Κεφάλαιο 8 Ορμή, Ώθηση και Κρούσεις

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 8 Ορμή, Ώθηση και Κρούσεις"

Φιλομηλος Παπάζογλου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Κεφάλαιο 8 Ορμή, Ώθηση και Κρούσεις Η ορμή είναι από τα πλέον βασικά φυσικά μεγέθη. Επεκτείνει την κατανόηση των νόμων του Νεύτωνα. Και όπως η ενέργεια είναι μια ποσότητα που διατηρείται στο σύμπαν.

2 d υ d 2 ος Νόμος του Νεύτωνα: Fολ m ( mυ ) dt dt Το άθροισμα των δυνάμεων είναι ίσο με το ρυθμό mυ μεταβολής του, το οποίο ονομάζεται Ορμή ή γραμμική ορμή. ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΜΗΣ Ορμή και Ώθηση P mυ Η Ορμή είναι διανυσματικό μέγεθος. Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα γράφεται: F ολ dp dt Και η συνολική δύναμη σχετίζεται Τόσο με τη μεταβολή του όσο και με τη μεταβολή της μάζας 2 υ

3 Έστω σταθερή δύναμη που ενεργεί σε σώμα: dp P Fολ Fολ t P P2 P1 J Ορισμός Ώθησης dt t J και Fολ και P Fολ t J t Εάν η δύναμη δεν είναι σταθερή: dp Fολ Fολdt dp, Ολοκληρώνουμε από t1 έως t1 dt t2 και F dt P P J t 1 ολ 2 1 Γενικός ορισμός Ώθησης: Ορμή και Ώθηση J t t 2 1 Fολdt 3

4 Γενικός ορισμός Ώθησης: Ορμή και Ώθηση J t t 2 1 Fολdt 4

5 Σύγκριση Ορμής και Κινητικής Ενέργειας Βασική διαφορά μεταξύ ορμής και κινητικής ενέργειας Μεταβολή ορμής οφείλεται στην ώθηση της δύναμης που εξαρτάται από το χρόνο δράσης της δύναμης. Μεταβολή κινητικής ενέργειας οφείλεται στο έργο της δύναμης το οποίο εξαρτάται από την απόσταση που δρα η δύναμη. 5

6 Σχέση Ορμής και Κινητικής Ενέργειας Όταν εφαρμόζεται μια συνολική δύναμη F ολ σε σύστημα επιφέρει μεταβολή της κινητικής ενέργειας και της ορμής του: P P2 P1 Fολ t και K K2 K1 Fολ s Σχέση κινητικής ενέργειας - ορμής: P 1 P K mυ mυυ P υ P και m 2 m 1 ( ) 1 ( ) 1 dk d P P d dp ( υ υ + υ mυ dυ + dp υ) ( ) 1 υ mdυ + dp υ ( υ dp + dp υ) υ dp. Αυτό ισχύει όταν dp P 2 2 dk Για δεδομένη ταχύτητα η υ dk d K υ dp υ Fextdt υ Fext Fext δύναμη είναι ανάλογη της 2 dt υ dt μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας! 6

7 Διατήρηση Ορμής 1. Έστω σώμα Α απομονωμένο F ολ 0 τότε dp F ολ 0 P σταθερή dt 2. Έστω απομονωμένο σύστημα 2 σωμάτων A και B που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Οι δυνάμεις αυτές είναι ίσες και αντίθετες σύμφωνα με τον 3 ο νόμο του Νεύτωνα, οπότε: ος 3 νόμος FBA, FAB, FBA, + FAB, 0 και από ος dpb dpa d 2 νόμος ( ) d FBA, + FAB, PB + PA 0 P0λ 0 dt dt dt dt Οι εσωτερικές δυνάμεις που ενεργούν σε απομονωμένο σύστημα δεν αλλάζουν την ορμή του συστήματος. Εάν το άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων που ενεργούν σε απομονωμένο σύστημα είναι μηδέν, η συνολική ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή (διατηρείται). 7

8 Ορμή συστήματος σωματιδίων Η συνολική ορμή P συστήματος sys σωματιδίων ορίζεται ως: P mv p Από 2 ο Νόμο του Νεύτωνα: dp sys p Fext Fnetext dt sys εσωτερικές δυνάμεις αναιρούνται ανά δύο (3 ος Νόμος). 8

9 Μη ελαστικές κρούσεις: Κρούσεις Δυο σώματα έρχονται σε επαφή ειδική περίπτωση: Τελείως μη ελαστική κρούση (Πλαστική) (ένωση 2 σωμάτων ή διάσπαση ενός σε θραύσματα) Δεν διατηρείται η Κινητική Ενέργεια Ελαστικές κρούσεις : Διατηρείται η Κινητική Ενέργεια Προσοχή: Διατήρηση Ορμής! Εάν δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάμεις 9

10 Μη Ελαστικές Κρούσεις Κρούση σωματίων A και B των οποίων η αρχική και η τελική κίνηση συμβαίνει στην διεύθυνση x. (1-D) Διατηρείται μόνο η ΟΡΜΗ maυa 1x + mbυb 1x maυa2x + mbυb2x (για όλες τις κρούσεις) m υ + m υ ( m + m ) υ (για τελείως μή ελεστική κρούση) A A1x B B1x A B f Παράδειγμα Βαλλιστικό εκκρεμές ΠΡΙΝ ΚΡΟΥΣΗ ΑΜΕΣΩΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΚΡΟΥΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ 10

11 Παράδειγμα Έκρηξη M ΠΡΙΝ v v 2 1 m 1 m 2 ΜΕΤΑ Παράδειγμα: m 1 M/3 m 2 2M/3 Μετά την έκρηξη, ποιο θραύσμα έχει την μεγαλύτερη ορμή; (Ίδιο μέτρο, αντίθετη κατεύθυνση) ποιο θραύσμα έχει την μεγαλύτερη ταχύτητα; m 1 v 1 - m 2 v 2, οπότε μικρότερη μάζα έχει μεγαλύτερη ταχύτητα: v 1 > v 2. Διατηρείται η κινητική ενέργεια? ΟΧΙ! K ήταν 0 πριν, είναι μεγαλύτερη μετά την έκρηξη. (εσωτερική μη-συντηρητική δύναμη παράγει έργο.) 11

12 Ελαστική Κρούση σε 1-D ΠΡΙΝ ΠΡΙΝ ΜΕΤΑ ΜΕΤΑ m υ + m υ m υ + m υ A A B B A Af B Bf (διατήρηση ορμής) maυa + mbυb maυaf + mbυbf (διατήρηση ΚΕ) 2 2 ma mb 2mB υaf υa + υb m + m m + m A B A B 2mA mb ma υ υ + υ m + m m + m Bf A B 20/11/2011 A B ΚΕΦ. 8 A B 12

13 Ελαστική Κρούση σε 2-D 1 1 m υ m υ + m υ 2 2 m υ m υ υ ΠΡΙΝ A A1 A A2 B B A A1 A A2 B2 mb ΜΕΤΑ m υ m υ + m υ A A1x A A2x B B2x 0 m υ + m υ (y -D) A A2y B B2y (x -D) Από τις 2 αυτές εξισώσεις Υπολογίζονται οι γωνίες α και β 13

14 Κέντρο Μάζας Έστω αριθμός σωματιδίων με μάζες m 1, m 2... Που είναι διατεταγμένα στο επίπεδο (x,y) (x 1, y 1 ) είναι οι συντεταγμένες θέσης του m 1, (x 2, y 2 ) του m 2 ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ του συστήματος των σωματιδίων ορίζεται το σημείο με συντεταγμένες (x cm, y cm ) που δίνονται από: x cm m1x1 + m2x m + m m3x m m x m y cm m1 y1 + m2 y2 + m3 y m + m + m m y m 14

15 Κέντρο Μάζας Κέντρο μάζας συστήματος N σωματιδίων με μάζες m 1, m 2, m 3,... Και θέσεις (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ), (x 3, y 3, z 3 ),... Ορίζεται από συναρτήσει των διανυσμάτων θέσης των σωματιδίων από: r cm m1r1 + m2r2 + m3r m + m + m m r Κέντρο μάζας είναι η κατά μάζα σταθμισμένη μέση θέση των σωματιδίων Εάν παραγωγίσουμε την έκφραση αυτή ως προς το χρόνο έχουμε για την ταχύτητα το κέντρου μάζας: v cm m1v 1 + m2v2 + m3v m + m + m m m m v 15

16 Και επειδή: Κέντρο Μάζας mv mv Mv mv P m cm cm M η συνολική μάζα του συστήματος σωματιδίων Η συνολική ΟΡΜΗ του συστήματος Συνολική ορμή ισούται με την συνολική μάζα επί την ταχύτητα του Κέντρου Μάζας Για σύστημα σωματιδίων που δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις (απομονωμένο), η συνολική ορμή είναι σταθερή, συνεπώς η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι επίσης σταθερή. Κίνηση του κέντρου μάζας και εξωτερικές δυνάμεις Ας αρχίσουμε από την εξίσωση κίνησης του ι σωματιδίου ενός συστήματος σωματιδίων ή ενός στερεού: dp dt F F + F ολ ext j j 16

17 Κίνηση Κέντρου Μάζας Αθροίζουμε για όλα τα σωματίδια του συστήματος dp d dp p Fext + Fj Fext ι dt dt ι dt j, Το διπλό άθροισμα είναι μηδέν αφού αθροίζουμε όλες τις εσωτερικές δυνάμεις που ανά δυο είναι ίσες και αντίθετες 3 ος Νόμος. Συνεπώς: 2 ος ΝΟΜΟΣ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Η ΣΩΜΑ dp Ma m a m a m a F cm dt ext F j j, 0 17

18 Κινητική ενέργεια συστήματος σωματιδίων Συναρτήσει της ταχύτητας του CM και της σχετικής ταχύτητας ως προς το CM: r r c r Έστω ότι το σωματίδιο ι είναι στο σημείο P και το Ο Α είναι το σύστημα αναφοράς ενός παρατηρητή ενώ το Ο Β είναι το CM d d d r rc + r r rc + r υ υc + υ dt dt dt 1 1 ( K m ) ( ) υ υ m υc υ + υc + υ mυc + mυ + υ c mυ Mυc + mυ dr d d υ c mυ υ c m υ c mr υc Mr c 0 dt dt dt K K + K c rel 18

19 Συστήματα μεταβλητής μάζας Χρήση του 2 ου Νόμου στη γενική του μορφή και υπολογισμό των ποσοτήτων, κυρίως του dp και της F ext πρωτογενώς: F ext dp dt Γενικά: Ο υπολογισμός του dp πρέπει να γίνεται σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. α) Σταγόνα μέσα σε υδρατμούς v ταχύτητα σταγόνας, F εξωτερική δύναμη, v υ η ταχύτητα των υδρατμών υδρατμοί σταγόνα v υ F v 19

20 υδρατμοί σταγόνα Συστήματα μεταβλητής μάζας Ο υπολογισμός του dp σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς v v υ Σύστημα: Σταγόνας υδρατμών σε t και t+dt Σταγόνα Υδρατμοί (κλάσμα) Ορμή συστήματος t m, v, dm, v υ mv+dmv υ t+dt m+dm, v+dv - (m+dm)(v+dv) F dp(m+dm)(v+dv) (mv + dmv υ )mv+mdv+vdm+dvdm-mv-dmv υ dpmdv+dm(v-v υ ) dp dυ dm m + ( υ υυ ) dt dt dt Αυτή είναι διανυσματική εξίσωση, συνεπώς θα προκύψουν γενικά 3 διαφορικές εξισώσεις για να υπολογίσουμε π.χ. υ(t). F ext dp dt 20

21 Συστήματα μεταβλητής μάζας β) Ταινία μεταφοράς Ο υπολογισμός του dp σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς Σύστημα: Ταινίας Μεταφοράς Υλικού Ταινία+υλικό Υλικό που θα ενσωματωθεί στην ταινία Ορμή συστήματος t Μ+m, v dm, v0, 0 (M+m)v t+dt Μ+m+dm, v - (Μ+m+dm)v dp(μ+m+dm)v -(M+m)vdmv F ext dp dt dm dt υ Αυτή μας δίνει κατευθείαν τη δύναμη σε 1D, και υποθέτοντας υ σταθερό, για δεδομένο dm/dt 21

22 Συστήματα μεταβλητής μάζας γ) Πύραυλος Ο υπολογισμός του dp σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. F ext Σύστημα: Πύραυλος Πύραυλος Αέρια Ορμή συστήματος t m, v - mv t+dt m-dm, v+dv dm, v-v e (m-dm)(v+dv)+dm(v-v e ) dp(m-dm)(v+dv)+dm(v-v e )-mvmv+mdv-dmv-dvdm+dmv-dmv e -mv mdv-dmv e Συνεπώς η εξίσωση κίνησης είναι: dp dυ dm m υe dt dt dt Ζητούμενο η συνάρτηση υ(t). Συγκεκριμένο πρόβλημα: 22

23 Συστήματα μεταβλητής μάζας Πύραυλος στο πεδίο βαρύτητας της Γης Αδρανειακό σύστημα: Παρατηρητής στη Γη +z Ζητούμενο η συνάρτηση υ(t). Συγκεκριμένο πρόβλημα: Κίνηση κατακόρυφη προς τα επάνω. F ext -mg, g σταθερό, v e -v e, η αρχική μάζα είναι m 0, η τελική m f και ο ρυθμός εκπομπής αερίων σταθερός dm/dtc. Συνεπώς η εξίσωση κίνησης είναι: dp dυ dm dυ dm F mg m + υ ext m υe e dt dt dt dt dt dυ 1 dm dm g υe dυ gdt υe dt m() t dt m() t υe υ t m dm Ολοκλήρωση dυ gdt υ e υ( t) υ0 gt υeln mt () υ0 0 m0 m0 Τελικά υ( t) υ0 gt + υe ln mt () 23 m() t m 0

24 Προβλήματα για μελέτη Από το βιβλίο 8.54, 8.66, 8.73,8.90, 8.101,

Σχετικά έγγραφα

Κεφάλαιο 8. Ορμή, ώθηση, κρούσεις

Κεφάλαιο 8. Ορμή, ώθηση, κρούσεις Κεφάλαιο 8 Ορμή, ώθηση, κρούσεις Στόχοι 8 ου Κεφαλαίου Ορμή και ώθηση. Διατήρηση της ορμής. Μη ελαστικές κρούσεις. Ελαστικές κρούσεις. Κέντρο μάζας. Η μεταβολή της ορμής ενός σωματίου κατά τη διάρκεια