ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ

Transcript

1 SMANET1 Πρόγραµµα Συνόρθωσης και Ελέγχου Γεωµετρικών Συνθηκών σε 3 Τοπογραφικά ίκτυα ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Χριστόφορος Κωτσάκης Επίκουρος Καθηγητής ΤΑΤΜ/ΑΠΘ Τοµέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Τµήµα Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης ΤΑΤΜ ΑΠΘ Θεσσαλονίκη, 2007

2 2 Περιγραφή του προγράµµατος SMANET1 Το πρόγραµµα SMANET1 εκτελεί τη συνόρθωση, µε βάση τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, γεωµετρικών παρατηρήσεων που εκτελούνται σε ένα τρισδιάστατο (3 ) τοπογραφικό δίκτυο, και υπολογίζει τις βέλτιστες εκτιµήσεις για τις συντεταγµένες των σηµείων του ως προς ένα τοπικό 3 Καρτεσιανό σύστηµα αναφοράς. Σηµείωση: Το πρόγραµµα στη µορφή που διατίθεται από την ιστοσελίδα έχει τη δυνατότητα επεξεργασίας και συνόρθωσης 3 δικτύων µε 6 µόνο σηµεία. Για τη χρήση του προγράµµατος σε µεγαλύτερα δίκτυα, επικοινωνήστε στη διεύθυνση kotsaki@topo.auth.gr 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ Το πρόγραµµα παρέχει δύο βασικές δυνατότητες για την εκτέλεση της συνόρθωσης, δίνοντας την ευχέρεια στο χρήστη να επιλέξει µεταξύ των εξής περιπτώσεων: - συνόρθωση ελεύθερου 3 δικτύου, µε τη χρήση εσωτερικών δεσµεύσεων - συνόρθωση ανεξάρτητου/εξαρτηµένου/ενταγµένου 3 δικτύου, µε τη χρήση σταθερών συντεταγµένων Για τη δεύτερη περίπτωση, παρέχεται η δυνατότητα στο χρήστη να επιλέξει το συνδυασµό των 3 συντεταγµένων που επιθυµεί να διατηρηθούν σταθερές κατά τη συνόρθωση του δικτύου. Οι συνδυασµοί αυτοί (για κάθε «σταθερό» σηµείο) είναι: - σταθερή µόνο η συντεταγµένη x - σταθερή µόνο η συντεταγµένη y - σταθερή µόνο η συντεταγµένη z - σταθερές µόνο οι συντεταγµένες x και y - σταθερές µόνο οι συντεταγµένες x και z - σταθερές µόνο οι συντεταγµένες y και z - σταθερές όλες οι συντεταγµένες x, y, z Εκτός από τις τελικές τιµές των συνορθωµένων συντεταγµένων (x, y, z) για τα σηµεία του δικτύου, το πρόγραµµα έχει τη δυνατότητα να προσδιορίζει και τα µέτρα ακρίβειας για τις εκτιµήσεις των τελικών θέσεων όλων των κορυφών του δικτύου, υπολογίζοντας: - τον 3 3 πίνακα µεταβλητοτήτων-συµµεταβλητοτήτων για τις συνορθωµένες Καρτεσιανές συντεταγµένες όλων των σηµείων του δικτύου, και - τα στοιχεία του 3 ελλειψοειδούς σφάλµατος για όλα τα σηµεία του δικτύου.

3 3 Για την ανάλυση της αξιοπιστίας των αποτελεσµάτων της συνόρθωσης, το πρόγραµµα παρέχει όλη την απαραίτητη πληροφορία για την εφαρµογή της σάρωσης δεδοµένων (data snooping), µέσω του υπολογισµού του εξωτερικά οµαλοποιηµένου σφάλµατος για κάθε παρατήρηση. Η σύγκριση µεταξύ του εξωτερικά οµαλοποιηµένου σφάλµατος (που υπολογίζεται για κάθε παρατήρηση που συµµετέχει στη συνόρθωση του δικτύου) και της βασικής στατιστικής ποσότητας t f-1 (a/2) µπορεί να χρησιµοποιηθεί από το χρήστη για τον εντοπισµό πιθανών χονδροειδών ή/και συστηµατικών σφαλµάτων που υπάρχουν στις µετρήσεις του δικτύου. Επιπλέον, υπολογίζεται και η a-posteriori εκτίµηση της µεταβλητότητας αναφοράς (µεταβλητότητα της µονάδας βάρους), η οποία µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον ολικό έλεγχο αξιοπιστίας των αποτελεσµάτων της συνόρθωσης. Σηµειώνεται ότι οι διάφοροι πίνακες µεταβλητοτήτων-συµµεταβλητότητων που υπολογίζονται για την περιγραφή της ακρίβειας των συνορθωµένων συντεταγµένων του δικτύου, «διορθώνονται» σε κάθε εκτέλεση της συνόρθωσης µέσω του πολλαπλασιασµού τους µε την a-posteriori εκτίµηση της µεταβλητότητας αναφοράς που προκύπτει κάθε φορά. 2. ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ Πέρα από την απλή συνόρθωση ενός 3 δικτύου µε τη χρήση εσωτερικών δεσµεύσεων ή δεσµεύσεων σταθερών συντεταγµένων, το πρόγραµµα SMANET1 έχει τη δυνατότητα να εκτελεί συνόρθωση 3 δικτύων µε την πρόσθετη συµµετοχή συγκεκριµένων πλεοναζουσών γεωµετρικών δεσµεύσεων. Αυτή είναι µία ιδιαίτερα χρήσιµη επιλογή σε περιπτώσεις που ορισµένα από τα σηµεία του δικτύου έχουν (ή υποτίθεται ότι έχουν) µια συγκεκριµένη γεωµετρική διάταξη στο χώρο. Στην υπάρχουσα µορφή του, το πρόγραµµα µπορεί να επεξεργαστεί τους εξής τύπους γεωµετρικών δεσµεύσεων: - δέσµευση µήκους για την οριζόντια ή/και χωρική απόσταση µεταξύ 2 σηµείων του δικτύου (ο χρήστης επιλέγει τους κωδικούς των σηµείων που συµµετέχουν στη δέσµευση, και την τιµή του σταθερού µήκους για την οριζόντια ή χωρική απόσταση µεταξύ τους) - δέσµευση συνεπιπεδότητας για τέσσερα σηµεία του δικτύου (ο χρήστης επιλέγει τους κωδικούς των τεσσάρων σηµείων που συµµετέχουν στη συγκεκριµένη δέσµευση) - δέσµευση µηδενικής υψοµετρικής διαφοράς µεταξύ 2 σηµείων του δικτύου (ο χρήστης επιλέγει τους κωδικούς των δύο σηµείων, τα οποία ελέγχονται ως προς τη µηδενική υψοµετρική τους διαφορά)

4 4 Για την ανάλυση της αξιοπιστίας των αποτελεσµάτων (στην περίπτωση που συµµετέχουν στη συνόρθωση του δικτύου και πλεονάζουσες γεωµετρικές δεµεύσεις των παραπάνων τύπων), το πρόγραµµα υπολογίζει τη βασική στατιστική ποσότητα F = f k ˆ ϕ H ˆ ϕ ˆ ϕ όπου ϕˆ : είναι η τιµή του κριτηρίου των ελαχίστων τετραγώνων ( vˆ T Pvˆ ) που προκύπτει από τη συνόρθωση του δικτύου χωρίς τη συµµετοχή των γεωµετρικών δεσµεύσεων που πρόκειται να ελεγχθούν ϕˆ H : είναι η τιµή του κριτηρίου των ελαχίστων τετραγώνων ( vˆ T Pvˆ ) που προκύπτει από τη συνόρθωση του δικτύου µε τη συµµετοχή των γεωµετρικών δεσµεύσεων που πρόκειται να ελεγχθούν f : είναι οι βαθµοί ελευθερίας που αντιστοιχούν στη συνόρθωση του δικτύου χωρίς τη συµµετοχή των γεωµετρικών δεσµεύσεων που πρόκειται να ελεγχθούν k : είναι ο αριθµός των εισαγόµενων πλεοναζουσών γεωµετρικών δεσµεύσεων που πρόκειται να ελεγχθούν µέσω της συνόρθωσης του δικτύου. Ο στατιστικός έλεγχος για την ισχύ ή µη των εισαχθέντων γεωµετρικών δεσµεύσεων (για κάποιο επίπεδο σηµαντικότητας α που αντιστοιχεί σε πιθανότητα (1-α)%) µπορεί εύκολα να γίνει από το χρήστη µέσω του ελέγχου της ακόλουθης ανισότητας: a F F k, f a όπου F k, f είναι το αντίστοιχο εκατοστιαίο σηµείο της κατανοµής Fisher (λαµβάνεται από κατάλληλους πίνακες). 3. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Το πρόγραµµα έχει τη δυνατότητα να επεξεργαστεί ταυτόχρονα τους παρακάτω τύπους γεωµετρικών παρατηρήσεων: - οριζόντιες διευθύνσεις - οριζόντιες γωνίες - οριζόντιες αποστάσεις - χωρικές αποστάσεις - ζενίθειες γωνίες - υψοµετρικές διαφορές

5 5 εν υπάρχει κανένας περιορισµός στον αριθµό των παρατηρήσεων και των σηµείων που συµµετέχουν στη συνόρθωση του δικτύου (σηµ. η freeware έκδοση του προγράµµατος που διατίθεται από το διαδίκτυο παρέχει τη δυνατότητα συνόρθωσης δικτύων µε έξι µόνο σηµεία). Το πρόγραµµα έχει επίσης τη δυνατότητα να αναγνωρίζει και να επεξεργάζεται πολλαπλές (διαφορετικές) σειρές µετρήσεων οριζόντιων διευθύνσεων από το ίδιο σηµείο στάσης. Στην υπάρχουσα µορφή του, το πρόγραµµα SMANET1 θεωρεί ότι όλες οι παρατηρήσεις που συµµετέχουν στη συνόρθωση του δικτύου είναι ασυσχέτιστες µεταξύ τους, αλλά όχι κατ ανάγκη και ισοβαρείς. Το πρόγραµµα παρέχει τη δυνατότητα εισαγωγής του επιπέδου ακρίβειας (ως τυπική απόκλιση σφάλµατος) για κάθε παρατηρήση στο δίκτυο, σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα που έχουν ενδεχοµένως προκύψει από τη χωριστή διαδικασία προ-επεξεργασίας τους και την ακρίβεια των οργάνων που χρησιµοποιήθηκαν για τις µετρήσεις του δικτύου. 4. ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Το σύστηµα αναφοράς στο οποίο αναφέρονται οι παρατηρήσεις και οι τελικές συνορθωµένες συντεταγµένες των σηµείων του δικτύου είναι ένα 3 ορθογώνιο σύστηµα Καρτεσιανών συντεταγµένων Oxyz, όπου: - ο άξονας z έχει τη διευθύνση της τοπικής κατακορύφου στην περιοχή του δικτύου, - το επίπεδο xy ταυτίζεται µε το τοπικό οριζόντιο επίπεδο στην περιοχή του δικτύου. Για τον ακριβή και µονοσήµαντο ορισµό του συστήµατος αναφοράς, ο χρήστης έχει δύο βασικές δυνατότητες. Η πρώτη επιλογή αναφέρεται στη χρήση εσωτερικών δεσµεύσεων, η οποία οδηγεί σε µία ειδική λύση ελαχίστων δεσµεύσεων για το τελικό συνορθωµένο δίκτυο (ελεύθερο δίκτυο). Η δεύτερη επιλογή αναφέρεται στη δέσµευση µεµονωµένων συντεταγµένων, για ορισµένα σηµεία του δικτύου, σε προκαθορισµένες αριθµητικές τιµές. Τα αποτελέσµατα που προκύπτουν από τη δεύτερη αυτή επιλογή θα αντιστοιχούν, είτε σε µία λύση συνόρθωσης µε ελάχιστες δεσµεύσεις (αν ο αριθµός των σταθερών συντεταγµένων είναι ίσος µε την αδυναµία βαθµού του δικτύου), είτε σε µία λύση συνόρθωσης µε πλεονάζουσες δεσµεύσεις (αν ο αριθµός των σταθερών συντεταγµένων είναι µεγαλύτερος από την αδυναµία βαθµού του δικτύου). Στην περίπτωση συνόρθωσης του 3 δικτύου µε τη χρήση σταθερών σηµείων, ο χρήστης πρέπει να είναι ιδιαίτερα προσεκτικός στην επιλογή του αριθµού και του είδους των συντεταγµένων που θα διατηρηθούν αµετάβλητες κατά

6 6 την εκτέλεση της συνόρθωσης. Ο αριθµός των συντεταγµένων αυτών δεν θα πρέπει απλά να είναι τουλάχιστον ίσος µε την αδυναµία βαθµού του δικτύου, αλλά επιπλέον θα πρέπει και η συγκεκριµένη επιλογή να οδηγεί σε γεωµετρικά-µονοσήµαντο τρόπο ορισµού του 3 συστήµατος αναφοράς. Για παράδειγµα, σε ένα 3 δίκτυο όπου οι διαθέσιµες παρατηρήσεις είναι αποκλειστικά χωρικές αποστάσεις (τριπλευρικό 3 δίκτυο), η αδυναµία βαθµού του δικτύου είναι έξι (6). Χρειάζονται δηλαδή έξι ελάχιστες δεσµεύσεις για τον ορισµό του συστήµατος αναφοράς κατά τη συνόρθωση του δικτύου (τρεις δεσµεύσεις για τον ορισµό της αρχής και άλλες τρεις δεσµεύσεις για τον ορισµό του προσανατολισµού του δικτύου). Στην περίπτωση αυτή, αν ο χρήστης επιλέξει να διατηρηθούν 2 σηµεία σταθερά (3+3 συντεταγµένες), η συνόρθωση του δικτύου δεν µπορεί να επιτευχθεί αφού το σύστηµα αναφοράς δεν µπορεί να ορισθεί µονοσήµαντα (αυτό συµβαίνει επειδή το δίκτυο θα διατηρεί µία ελευθερία 3 περιστροφής περί το νοητό άξονα που ορίζουν τα 2 «σταθερά» σηµεία). Μία σωστή επιλογή ελαχίστων δεσµεύσεων σε αυτή την περίπτωση, θα έπρεπε να διατηρεί 6 σταθερές συντεταγµένες, οι οποίες όµως να αντιστοιχούν σε περισσότερα από δύο σηµεία του δικτύου. 5. ΑΡΧΕΙΑ ΕΙΣΟ ΟΥ Για την εκτέλεση του προγράµµατος απαιτείται η δηµιουργία δύο ASCII αρχείων εισόδου. [όνοµα_αρχείου].cor [όνοµα_αρχείου].obn αρχείο προσεγγιστικών συντεταγµένων αρχείο παρατηρήσεων (µε τις ακρίβειες τους) Το πρώτο αρχείο θα περιλαµβάνει τις προσεγγιστικές τιµές των 3 Καρτεσιανών συντεταγµένων για όλα τα σηµεία του δικτύου, και θα πρέπει απαραίτητα να έχει την προέκταση *.cor. Το δεύτερο αρχείο θα περιλαµβάνει τις παρατηρήσεις (µαζί µε τις ακρίβειες τους) που πρόκειται να εισαχθούν στη συνόρθωση του δικτύου, και θα πρέπει απαραίτητα να έχει την προέκταση *.obn. Τα δύο αρχεία εισόδου θα πρέπει απαραίτητα να έχουν το ίδιο όνοµα, το οποίο εισάγεται στην αρχική οθόνη του προγράµµατος ως [Project_name]. Αρχείο συντεταγµένων Η δοµή του αρχείου των προσεγγιστικών συντεταγµένων έχει τη γενική µορφή:......

7 7 [i] [x] [y] [z] όπου [i] είναι ο κωδικός εξωτερικής αναγνώρισης του σηµείου (πρέπει να είναι απαραίτητα αριθµός και όχι αλφαριθµητικός προσδιορισµός), ενώ [x],[y],[z] αντιστοιχούν στις τιµές των προσεγγιστικών συντεταγµένων (σε µέτρα) για κάθε σηµείο του δικτύου. Αρχείο παρατηρήσεων Η δοµή του αρχείου των παρατηρήσεων έχει τη γενική µορφή: [i] [j] [k] [τιµή παρατ.] [ακρίβεια παρατ.] [κωδικός παρατ.] [m] [n] Ανάλογα µε το είδος της συγκεκριµένης παρατηρήσης που εισάγεται κάθε φορά, οι τιµές για τις διάφορες ποσότητες που εµφανίζονται σε κάθε γραµµή του αρχείου των παρατηρήσεων θα είναι: για παρατηρήσεις οριζοντίων διευθύνσεων [i] [j] [k] [τιµή παρατ.] [ακρίβεια παρατ.] [κωδικός παρατ.] ένα (1) [m] µηδέν (0) [n] µηδέν (0) κωδικός εξωτερικής αναγνώρισης σηµείου στάσης κωδικός εξωτερικής αναγνώρισης σηµείου σκόπευσης κωδικός εξωτερικής αναγνώρισης για τη συγκεκριµένη σειρά διευθύνσεων τιµή της παρατήρησης σε grad ακρίβεια της παρατήρησης σε cc για παρατηρήσεις οριζοντίων γωνιών [i] [j] [k] κωδικός εξωτερικής αναγνώρισης σηµείου στάσης κωδικός εξωτερικής αναγνώρισης αριστερού σηµείου σκόπευσης κωδικός εξωτερικής αναγνώρισης δεξιού σηµείου σκόπευσης

8 8 [τιµή παρατ.] τιµή της παρατήρησης σε grad [ακρίβεια παρατ.] ακρίβεια της παρατήρησης σε cc [κωδικός παρατ.] δύο (2) [m] µηδέν (0) [n] µηδέν (0) για παρατηρήσεις οριζοντίων αποστάσεων [i] κωδικός εξωτερικής αναγνώρισης σηµείου στάσης [j] κωδικός εξωτερικής αναγνώρισης σηµείου σκόπευσης [k] µηδέν (0) [τιµή παρατ.] τιµή της παρατήρησης σε meters [ακρίβεια παρατ.] ακρίβεια της παρατήρησης σε centimeters [κωδικός παρατ.] τρία (3) [m] µηδέν (0) [n] µηδέν (0) για παρατηρήσεις χωρικών (3 ) αποστάσεων [i] κωδικός εξωτερικής αναγνώρισης σηµείου στάσης [j] κωδικός εξωτερικής αναγνώρισης σηµείου σκόπευσης [k] µηδέν (0) [τιµή παρατ.] τιµή της παρατήρησης σε meters [ακρίβεια παρατ.] ακρίβεια της παρατήρησης σε centimeters [κωδικός παρατ.] τέσσερα (4) [m] µηδέν (0) [n] µηδέν (0) για παρατηρήσεις ζενιθείων γωνιών [i] κωδικός εξωτερικής αναγνώρισης σηµείου στάσης [j] κωδικός εξωτερικής αναγνώρισης σηµείου σκόπευσης [k] µηδέν (0) [τιµή παρατ.] τιµή της παρατήρησης σε grads [ακρίβεια παρατ.] ακρίβεια της παρατήρησης σε cc [κωδικός παρατ.] πέντε (5) [m] ύψος οργάνου σε µέτρα [n] ύψος στόχου σε µέτρα

9 9 για παρατηρήσεις υψοµετρικών διαφορών [i] κωδικός εξωτερικής αναγνώρισης αρχικού σηµείου [j] κωδικός εξωτερικής αναγνώρισης τελικού σηµείου [k] µηδέν (0) [τιµή παρατ.] τιµή της παρατήρησης σε meters [ακρίβεια παρατ.] ακρίβεια της παρατήρησης σε centimeters [κωδικός παρατ.] έξι (6) [m] µηδέν (0) [n] µηδέν (0) 6. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΣΜΕΥΣΕΩΝ Στην υπάρχουσα µορφή του, το πρόγραµµα SMANET1 έχει τη δυνατότητα να εκτελέσει τη συνόρθωση 3 τοπογραφικών δικτύων, λαµβάνοντας υπόψη διάφορες γεωµετρικές συνθήκες (δεσµεύσεις) που επιβάλονται µεταξύ επιλεγµένων σηµείων του 3 δικτύου. Μέσω των αποτελεσµάτων της συνόρθωσης που λαµβάνονται σε αυτή την περίπτωση, το πρόγραµµα υπολογίζει όλες τις απαραίτητες ποσότητες (δίνονται στο τελικό αρχείο λύσης που δηµιουργείται αυτόµατα από το πρόγραµµα) που απαιτούνται για την εφαρµογή του στατιστικού ελέγχου σχετικά µε την ισχύ αυτών των γεωµετρικών δεσµεύσεων. Συγκεκριµένα, υπάρχει η δυνατότητα εισαγωγής και στατιστικού ελέγχου για τις εξής (γεωµετρικού-τύπου) δεσµεύσεις: «υψοµετρική δέσµευση» ελέγχεται στατιστικά η υπόθεση εάν δύο οποιαδήποτε σηµεία του 3 δικτύου έχουν το ίδιο υψόµετρο. «δέσµευση απόστασης» ελέγχεται στατιστικά η υπόθεση εάν δύο σηµεία απέχουν µεταξύ τους µια συγκεκριµένη απόσταση µε τιµή που ορίζεται από τον χρήστη. «δέσµευση συνεπιπεδότητας» ελέγχεται στατιστικά η υποθέση εάν τέσσερα σηµεία βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Το πρόγραµµα έχει την δυνατότητα να: - εισάγει απεριόριστο αριθµό δεσµεύσεων των παραπάνω τύπων, - εφαρµόσει νέες συνορθώσεις του δικτύου λαµβάνοντας υπόψη τις δεσµεύσεις αυτές, - ελέγξει στατιστικά εάν ισχύουν οι εισαγόµενες δεσµεύσεις.

10 10 Το πρόγραµµα στη µορφή που διατίθεται από την ιστοσελίδα έχει τη δυνατότητα επεξεργασίας και συνόρθωσης 3 δικτύων µε 6 µόνο σηµεία.

11 11 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Παράδειγµα αρχείου λύσης από το SMANET1 ADJUSTMENT OF 3D SURVEYING NETWORK IN A LOCAL CARTESIAN (Oxyz) COORDINATE SYSTEM - the z vertical axis concides with the direction of the local gravity vector - the xy plane concides with the local horizontal plane in the network area - the instrument's levelling errors are not estimated through the math model (*) PROJECT NAME: marios1 (*) REFERENCE FRAME DEFINITION: Inner Constraints (FREE NETWORK) The rank deficiency in this network is: 4 Internal code numbers for the identification of the observation type: 1: horizontal direction 2: horizontal angle 3: horizontal distance 4: spatial (3d) distance 5: zenith angle 6: height differences 1. FIRST SOLUTION (No Geometrical constraint has been tested) 1.1 SOLUTION OF THE NORMAL EQUATIONS: Station Approximate Coordinates Corrections Adjusted Coordinates X Y Z dx dy dz (m) (m) (m) (cm) (cm) (cm)

12

13 ADJUSTED DATA: a/a from to (to) observed m.s.e error adjusted code ti value value (grad/m) (cc/cm) (cc/cm) (grad/m) continued

14 A-POSTERIORI ERRORS: - a-posteriori variance = a-posteriori st.deviation = sum of weighted error squares = degrees of freedom = ACCURACY ESTIMATION: Point: 5 COVARIANCE MATRIX (mm**2) C(x,x)= C(x,y)= C(y,y)= C(x,z)= C(y,z)= C(z,z)= ERROR ELLIPSOID semiaxes length orientation (mm) (grad) azimuth vertical angle a b c ERROR ELLIPSES (projection of the ellipsoid on the 3 planes - xy,xz,yz) xy xz yz semiaxes(mm) a b azimuth(grad) G Point: 6 COVARIANCE MATRIX (mm**2) C(x,x)= C(x,y)= C(y,y)= C(x,z)= C(y,z)= C(z,z)= ERROR ELLIPSOID semiaxes length orientation (mm) (grad) azimuth vertical angle a b c

15 15 continued ERROR ELLIPSES (projection of the ellipsoid on the 3 planes - xy,xz,yz) xy xz yz semiaxes(mm) a b azimuth(grad) G THE SOLUTION INCLUDES THE FOLLOWING GEOMETRICAL CONSTRAINTS the points: (21, 31) on the same Horizontal plane 2.1 SOLUTION OF THE NORMAL EQUATIONS: Station Approximate Coordinates Corrections Adjusted Coordinates X Y Z dx dy dz (m) (m) (m) (cm) (cm) (cm)

16 ADJUSTED DATA: a/a from to (to) observed m.s.e error adjusted code value value (grad/m) (cc/cm) (cc/cm) (grad/m)

17 continued 2.3 A-POSTERIORI ERRORS: - a-posteriori variance = a-posteriori st.deviation = sum of weighted error squares = degrees of freedom = 55 - statistic for F-test = (used for statistical testing of the additional geometrical constraints) 2.4 ACCURACY ESTIMATION: Point: 5 COVARIANCE MATRIX (mm**2) C(x,x)= C(x,y)= C(y,y)= C(x,z)= C(y,z)= C(z,z)= ERROR ELLIPSOID semiaxes length orientation (mm) (grad) azimuth vertical angle a b c ERROR ELLIPSES (projection of the ellipsoid on the 3 planes - xy,xz,yz) xy xz yz semiaxes(mm) a b azimuth(grad) G

18 18 Point: 6 COVARIANCE MATRIX (mm**2) C(x,x)= C(x,y)= C(y,y)= C(x,z)= C(y,z)= C(z,z)= ERROR ELLIPSOID semiaxes length orientation (mm) (grad) azimuth vertical angle a b c ERROR ELLIPSES (projection of the ellipsoid on the 3 planes - xy,xz,yz) xy xz yz semiaxes(mm) a b azimuth(grad) G continued