ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ. ΜΠΑΓΚΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ. ΜΠΑΓΚΗΣ"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ. ΜΠΑΓΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΤΥΠΩΝ ΜΕ ΝΕΕΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ. ιδακτορική διατριβή ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 7

2 Αφιερώνεται στους γονείς µου ηµήτριο και Ευαγγελία και στον αδελφό µου Τρύφων

3 Βιογραφικό Σηµείωµα Ο κ. Νικόλαος.. Μπαγκής γεννήθηκε στις 5//974 στην Έδεσσα του Νοµού Πέλλας. Φοίτησε στο 3 Γυµνάσιο και έπειτα στο Γενικό Λύκειο Έδεσσας. Κατά την διάρκεια των σπουδών του στο Γενικό Λύκειο βραβεύθηκε µε έπαινο για τις επιδόσεις του στο Πανελλήνιο διαγωνισµό της Μαθηµατικής Εταιρείας. Εισήχθη, έπειτα από Πανελλήνιες Εξετάσεις στο Γεωλογικό Τµήµα του Α.Π.Θ. Τον επόµενο χρόνο ξανάδωσε εξετάσεις και εισήχθη στο Μαθηµατικό τµήµα του Α.Π.Θ. οπού πήρε την κατεύθυνση των εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και απεφοίτησε µε γενικό βαθµό 6,6. Εκπόνησε διδακτορική διατριβή στο τµήµα Υπολογιστών του Α.Π.Θ. υπό την επίβλεψη του Καθηγητή Κωνσταντίνου Καρανίκα. Κατά την διάρκεια των σπουδών έλαβε µέρος σε Πανελλήνιο διαγωνισµό για τα Μαθηµατικά, µέσω Iteret όπου πήρε την πρώτη θέση. Είναι κάτοχος του διπλωµατών Bsic και Stdrd certificte i Eglish, του οργανισµού Plso. 3

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε στον Τµήµα Υπολογιστών του Α.Π.Θ., υπό την επίβλεψη της Τριµελούς Συµβουλευτικής Επιτροπής αποτελούµενης από τους κυρίους Καθηγητές Κ. Καρανίκα, Ι. Αντωνίου και τον Επίκουρο Καθηγητή Ε. Αγγελή, τους οποίους ευχαριστώ θερµά για την πρόθυµη συµµετοχή τους σε αυτήν την επιτροπή. Ευχαριστώ βαθύτατα τον επιβλέποντα Καθηγητή Κωνσταντίνο Καρανίκα, ο οποίος µε την επιστηµονική καθοδήγηση, την υποµονή, το αδιάκοπο ενδιαφέρον και την ηθική υποστήριξη σε όλη τη διάρκεια των σπουδών µου, συνέβαλε τα µέγιστα στην εκπόνηση αυτής της διατριβής. Ευχαριστώ επίσης τον Καθηγητή Α. Μελά και τον κ. Επίκουρο Καθηγητή Θ. Σταυρόπουλο για τις πολύτιµες υποδείξεις τους επάνω στην παρούσα διατριβή. Ευχαριστώ τον Λέκτορα Ν. Ατρέα για την συνεχή εποικοδοµητική συνεργασία και καθοδήγηση καθόλη την περίοδο της σπουδής µου. Ευχαριστώ θερµά τους γονείς µου ηµήτριο και Ευαγγελία και τον αδελφό µου Τρύφων για την ηθική συµπαράσταση τους καθ` όλη τη διάρκεια της εκπόνησης της διατριβής αυτής. Τέλος ευχαριστώ όλους τους υποψήφιους διδάκτορες, της ερευνητικής οµάδας του Καθηγητή Κωνσταντίνου Καρανίκα. Θεσσαλονίκη 3/6/7 Νικόλαος Μπαγκής. 4

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελ. Περίληψη. -3 Κεφάλαιο. 4-3 Εισαγωγικές έννοιες. Κεφάλαιο. 4-7 ειγµατοληψία σε Ολοκληρωτικούς Μετασχηµατισµούς και Ειδικές αναλυτικές συναρτήσεις. Κεφάλαιο Νέα ειγµατοληπτικά Θεωρήµατα και µια ειγµατοληπτική εφαρµογή του αθροιστικού τύπου των Euler-Mcluri. Κεφάλαιο Εφαρµογές των Κεφαλαίων και. Κεφάλαιο Σφάλµατα διαταραχής και αποκοπής σε ειγµατοληπτικές Σειρές. Κεφάλαιο Η συνάρτηση ζ του Rie ως µέσο για τον υπολογισµό σειρών συναρτήσεων µε τιµές πάνω στο σύνολο των πρώτων αριθµών. Κεφάλαιο Παράδειγµα αριθµητικών προσεγγίσεων σε ολοκληρωτικούς τύπους. Βιβλιογραφία

6 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της παρούσης διατριβής είναι η εύρεση νέων δειγµατοληπτικών Θεωρηµάτων και νέων υπολογιστικών εφαρµογών αυτών σε µια ποικιλία αναλογικών σηµάτων και υπολογιστικών προβληµάτων. Είναι πολύ γνωστή τον Εικοστό αιώνα η συνεισφορά του κλασσικού ειγµατοληπτικού Θεωρήµατος του Sho, που στηρίζεται στο µετασχηµατισµό Fourier, στην ανάπτυξη της τεχνολογίας, στα µαθηµατικά και τη θεωρία πληροφορίας (βλέπε [K]. To κύριο θεώρηµα του Sho για συναρτήσεις f πεπερασµένου φάσµατος στο [-σ, σ], δίνεται από τον τύπο: si σ ( x T f ( x = f ( T, T = π / σ, σ ( x T = δηλαδή η συνάρτηση f ανακατασκευάζεται από τα δείγµατα αυτής. Στα τέλη του προηγούµενου αιώνα η θεωρία του Sho γενικεύθηκε στα πλαίσια της κυµατιδιακής θεωρίας (wvelet, δίνοντας εκ νέου µια σηµαντική ώθηση τόσο στη θεωρία της δειγµατοληψίας όσο και στις τεχνολογικές εφαρµογές, βλέπε [D]. Η παρούσα διατριβή ασχολείται µε την ύπαρξη νέων δειγµατοληπτικών θεωρηµάτων, που βασίζονται στους κλασσικούς µετασχηµατισµούς όπως του Melli και σε ειδικές συναρτήσεις τύπου G, Zet, κλπ. και εφαρµόζει αυτά σε υπολογιστικά προβλήµατα ολοκληρωτικών τύπων, αριθµητικών σειρών, συναρτήσεων και σταθερών. Ασχολούµαστε επίσης µε την Αναλυτική Θεωρία αριθµών, όπου γενικεύουµε τον θεµελιώδη τύπο του Euler για την περίφηµη Ζήτα συνάρτηση του Rie σε µια µορφή που διευκολύνει κατά πολύ τους υπολογισµούς δειγµατοληπτικών αθροισµάτων πάνω στο σύνολο των πρώτων αριθµών. Υπενθυµίζουµε ότι η συνάρτηση Ζήτα του Rie είναι ζ ( s s =. = Στο Κεφάλαιο παρουσιάζουµε ορισµένα καινούργια δειγµατοληπτικά Θεωρήµατα. Τα Θεωρήµατα αυτά βασίζονται στον ολοκληρωτικό µετασχηµατισµό του Melli 6

7 ( Ψ ( f ( t( MΨ ( x+ it dt= π f ( i( x+,! όπου (ΜΨ είναι ο µετασχηµατισµός Melli µιας συνάρτησης Ψ και η f είναι µια ακεραία συνάρτηση. Εποµένως ο ανωτέρω ολοκληρωτικός τύπος εκφράζεται συναρτήσει των δειγµάτων της f. Στο Κεφάλαιο παρουσιάζουµε τις ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε να ικανοποιούνται δυο νέα δειγµατοληπτικά θεωρήµατα σε ακέραιες συναρτήσεις. Στην παράγραφο δίνουµε επίσης µια δειγµατοληπτική έκφραση του αθροιστικού τύπου των Euler-Mcluri. Στο Κεφάλαιο 3 δίνεται ένα πλήθος εφαρµογών των Κεφαλαίων και. Συγκεκριµένα: α Παρουσιάζουµε ακριβείς δειγµατοληπτικούς τύπους για τον υπολογισµό δύσκολων ολοκληρωµάτων και σειρών = β ίνεται ένα τυπολόγιο µε αριθµητικές εφαρµογές των δειγµατοληπτικών θεωρηµάτων των Κεφαλαίων και, για µια ποικιλία συναρτήσεων σειρών και ολοκληρωτικών τύπων. Στο Κεφάλαιο 4 αυτό υπολογίζουµε το σφάλµα διαταραχής (Jitter error σε δειγµατοληπτικές σειρές κυµατιδίων (wvelets, γενικεύοντας και επεκτείνοντας προηγού- µενους υπολογισµούς για συναρτήσεις πεπερασµένου φάσµατος (βλέπε [ΑΒΚ]. Στο Κεφάλαιο 5 επεκτείνουµε το θεµελιώδη τύπο του Euler, που συνδέει τη συνάρτηση Ζήτα µε γινόµενα πρώτων αριθµών: p, s s = > prie p ζ ( s. Αποδεικνύουµε ότι αν η συνάρτηση f είναι απειροδιαφορίσιµη στο δίσκο {z C : z α, α }, ισχύει ο τύπος: ( d log( ζ ( s f ( f = µ p Γ( d d, s p = d όπου Γ είναι η συνάρτηση Γάµµα και µ η συνάρτηση Moebius (βλέπε Κεφάλαιο. Αποδεικνύεται επίσης ότι όταν f ( x = log( x, ο ανωτέρω τύπος µας δίνει τον τύπο του Euler. Στο ίδιο Κεφάλαιο υπολογίζουµε το σφάλµα αποκοπής (tructio error του παραπάνω τύπου και δίνουµε µια εφαρµογή για τον ταχύτερο υπολογισµό της σταθεράς Euler-Totiet. Ο ακριβής υπολογισµός αυτής της σταθεράς είναι ένα παλαιό ανοιχτό πρόβληµα. Μόλις πριν από πέντε χρόνια έγινε ο υπολογισµός αυτής της σταθεράς µε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων. 7

8 Τέλος στο Κεφάλαιο 6 της διατριβής δίνουµε παραδείγµατα δειγµατοληπτικών τύπων, που µπορούν να εµπλουτίσουν ένα λογισµικό τύπου Mthetic ή Mtlb µε δυσεπίλυτα ολοκληρώµατα, σειρές και ολοκληρωτικούς τύπους. Για τους υπολογισµούς αυτούς δίνεται ο χρόνος υπολογισµού και συγκρίνεται µε τους υπολογιστικούς χρόνους των κλασσικών µεθόδων. Αποδεικνύεται ότι ο υπολογιστικός χρόνος µειώνεται κατά % έως και 9% σε πολλές περιπτώσεις (βλέπε Πίνακα στο τέλος του κεφαλαίου 6. Στο επόµενο Κεφάλαιο δίνονται διάφοροι ορισµοί, που χρειάζονται για την ανάπτυξη των Προτάσεων και Θεωρηµάτων της διατριβής αυτής. 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγικές έννοιες. Κυµατιδιακού τύπου (wvelet-type ειγµατοληπτικά Θεωρήµατα Έστω f µία πραγµατική συνάρτηση, ορίζουµε τον χώρο L ( R όλων των ολοκληρώσιµων κατά Lebesgue συναρτήσεων: L ( : ( p pr = f f t dt<+, p. Σηµειώνουµε ότι ο L ( R είναι χώρος µε εσωτερικό γινόµενο: =, f, g f ( t g( t dt όπου g είναι η συζυγής συνάρτηση της g. p Ο µετασχηµατισµός Fourier και ο αντίστροφος αυτού ορίζονται από το επόµενο: Θεώρηµα. (Βλέπε [Ch] σελ 3-34 Έστω f L ( R L ( R, ο µετασχηµατισµός Fourier f ^ της f ορίζεται ως εξής: 9

10 = itγ f ^ ( γ f ( t e dt και είναι συνάρτηση του L ( R. Ο παραπάνω µετασχηµατισµός αντιστρέφεται ως εξής: iγ t f ( t = f ^ ( γ e dγ π και είναι ισοµετρία, δηλαδή για συναρτήσεις f, g L ( R, ισχύει: f, g = f ^, g ^. π Με τον όρο δειγµατοληπτική θεωρία (Splig Theory αναφερόµαστε στην ανακατασκευή µιας συνάρτησης από µια ακολουθία δειγµάτων της. Η θεωρία αυτή συνδέεται άµεσα µε την Ανάλυση Fourier, τη Θεωρία Προσεγγίσεων, την Ανάλυση Σφαλµάτων και τη Θεωρία Ολοµόρφων Συναρτήσεων. Απαρχή της ειγµατο- ληπτικής Θεωρίας θεωρούνται οι εργασίες των Kotel iov (933 και Sho (949, οι οποίοι έδωσαν το υπόβαθρο της θεωρίας επικοινωνιών βάσει του ακόλουθου: Θεώρηµα. ( ειγµατοληπτικό θεώρηµα του Sho Έστω f συνάρτηση της οποίας ο µετασχηµατισµός Fourier είναι µηδέν έξω από το διάστηµα [ σ, σ ], όπου σ >. Η συνάρτηση αυτή µπορεί να ανακατασκευαστεί πλήρως από την ακολουθία των δειγµάτων της { f ( / σ } Z από τη σχέση: si π ( σ x f ( x = f, ( x R, ( Z σ π ( σ x όπου η σύγκλιση είναι απόλυτη και οµοιόµορφη στον R. Ιδιαίτερη ώθηση στη δειγµατοληπτική θεωρία έδωσε η θεωρία κυµατιδίων που βασίζεται στην Ανάλυση Πολλαπλής Ευκρίνειας (ΑΠΕ (Multiresolutio Alysis του L ( R.

11 Μια ΑΠΕ του L ( R περιλαµβάνει µια διατεταγµένη ακολουθία υποχώρων {V j V j+, j Z } του L ( R και µια συνάρτηση φ L ( R που καλείται ορθοκανονική κλιµακωτή συνάρτηση, έτσι ώστε: (α V = L ( R και j j jv j ={}. (β f V f (. V + για κάθε j Z. j j (γ το σύνολο { φ(., Z } αποτελεί µια ορθοκανονική βάση του V. Επιπλέον, εάν ισχύουν οι επόµενες συνθήκες πάνω στην γεννήτορα συνάρτηση φ: i i η σειρά ϕ( e γ συγκλίνει σηµειακά σε µία συνεχή π-περιοδική συνάρτηση, = ii η παραπάνω σειρά δεν έχει πραγµατικές ρίζες στο [-π, π], τότε έχουµε το ακόλουθο δειγµατοληπτικό ανάπτυγµα: j f V j, f ( x = f S( x j, Z όπου η S(x καλείται δειγµατοληπτική συνάρτηση του υποχώρου V και συνδέεται µε τη γεννήτορα συνάρτηση φ µε τον τύπο: όπου S ^ ( γ = ϕ ^ ( γ, γ R, i ϕ( e γ = S ^ είναι ο µετασχηµατισµός Fourier της S.

12 . ιάφορες ειδικές συναρτήσεις Οι αριθµοί Beroulli B ορίζονται από την σχέση: 4 z B = z, z z < π. e! = B =, B = /, B = / 6, B = / 3 B =, = +,,3,.... Αξίζει να σηµειώσουµε ότι οι αριθµοί Beroulli είναι ρητοί. b Η Ζήτα συνάρτηση του Rie ορίζεται στο ηµιεπίπεδο Re(s > από τον τύπο: ζ ( s s =. Μια γνωστή ιδιότητα της συνάρτησης ζ είναι ότι συνδέεται µε γινόµενα πρώτων αριθµών µέσω της σχέσης (Euler:, s s = > p p ζ ( s, ( όπου το p διατρέχει όλους τους θετικούς πρώτους. Η συνάρτηση ζ επεκτείνεται σε όλο το C, εκτός του s =, όπου έχει απλό πόλο, από τη σχέση: s = ( ζ ( s = s π si π s Γ( s ζ ( s. (3 O παραπάνω τύπος αποδείχθηκε από τον Rie και χρησιµοποιήθηκε στην περίφηµη απόδειξή του για την ασυµπτωτική συµπεριφορά της συνάρτησης που µετρά το πλήθος των πρώτων που είναι µικρότεροι ή ίσοι από κάποιον αριθµό x. (Όπου t x x e t dt Γ ( =

13 Ορισµένες γνωστές τιµές της συνάρτησης ζήτα που θα χρησιµοποιήσουµε στη συνέχεια είναι οι εξής: ζ ( = / ζ ( = ζ ( = log( π ζ ( =, =,,3,... B (,,,3,... ζ = = ( π ( π ( B ζ ( = B ή καλύτερα ζ ( =, =,,3,... (! (! Για τους αριθµούς ζ (+, =,, 3,..., δεν έχει βρεθεί ακόµη ακριβής τύπος. Επίσης, είναι άγνωστο εάν οι αριθµοί αυτοί είναι άρρητοι ή όχι. Το 979, ο Apery απόδειξε ότι ο ζ(3 ή αλλιώς η σταθερά Apery, όπως ονοµάστηκε προς τιµήν του, είναι άρρητος. c Η συνάρτηση Γάµµα (G fuctio γνωστή και ως συνάρτηση G του Euler είναι η εξής: s x s x e dx Γ ( =. Ορίζεται σε όλο το C εκτός από τα σηµεία, -, -, -3,, όπου έχει απλούς πόλους. Σηµειώνουµε ότι η συνάρτηση / Γ( s είναι αναλυτική. Παραθέτουµε ορισµένες ιδιότητες της G συνάρτησης: Γ ( z+ = zγ( z, z C. Γ ( + =!, N. π 3 Γ( z Γ( z =, < Re( z <. si( π z 3

14 4 Εάν z <, τότε: ( z log ( γ z = ζ ( ( z Γ + = +, όπου γ είναι η σταθερά του Euler και µπορεί να υπολογισθεί από τον τύπο = log( + γ + O, N, 3 (για περισσότερα βλέπε [Be] Κεφάλαιο 7. Γ ( x d Η συνάρτηση ψ ορίζεται από τη σχέση: ψ ( x = και ισχύει: Γ ( x ψ ( x + γ = = + x (i B Ψ ( x+ ~ l x+ x ( x. (ii = Το άθροισµα (ii ισχύει µε την έννοια ότι όσο αυξάνεται το, τότε πρέπει να δίνουµε και στο άθροισµα µια ανάλογη αύξηση στο x. e Οι Υπεργεωµετρικές συναρτήσεις F ορίζονται από τη σχέση: F,,..., (...( x ; x b, b,..., b =, = ( b...( b! όπου Γ ( + ( = = ( + ( +... ( +, µε =,,,, είναι το Γ( σύµβολο του Pochher µε ( =, ( =!, (βλέπε και [Be] Κεφ. Ι, II. Στο Κεφάλαιο 3, όπου βρίσκονται οι εφαρµογές, θα χρειαστούµε τη βοήθεια των υπεργεωµετρικών συναρτήσεων µε <. Παραθέτουµε ορισµένα παραδείγµατα αυτών: i x F ; x cosh( / = = x = (/! 4

15 ( i x ; = = Γ ( 3/8 F x 3/ 4 4 / 4 x I x = (/ 4! ( x I ( x x F ; x 3/,3 = = x = = ( (3! = ( (3 x i ( x F ; x J ( x = = = (! Οι συναρτήσεις I και J είναι γνωστές ως Bessel συναρτήσεις. Πιο συγκεκριµένα, η συνάρτηση J ( x y xy x y x είναι η λύση της διαφορικής εξισώσεως: + + ( =, και ονοµάζεται συνάρτηση Bessel πρώτου είδους τάξεως. Το ανάπτυγµα της J σε σειρά Tylor στο C µε κέντρο το µηδέν είναι: r + r ( ( x / J ( x =. r! Γ ( + r+ r= Η συνάρτηση I ( x = i J ( ix ονοµάζεται τροποποιηµένη συνάρτηση Bessel πρώτου είδους και εάν ο είναι ακέραιος, τότε I ( x = I ( x (βλέπε [AS] ή [S]. f z t erf ( iz erf ( z : = e dt, erfi( z =, (βλέπε [ΑS] σελ π i 3. Ο µετασχηµατισµός Melli Ένας ευρέως διαδεδοµένος µετασχηµατισµός της Ανάλυσης είναι ο µετασχηµατισµός Melli. Εάν f : µατισµό Melli: R C, είναι ολοκληρώσιµη στο [, +, ορίζουµε τον µετασχη- + 5

16 Έστω M : f ( Mf ( s, s ( ( (, Mf s = f x x dx s C. ( s Af s : f ( x x dx = C <, τότε ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Melli δίνεται από τον τύπο: όπου c ( A f Re. c+ i s f ( x = ( Mf ( s x ds πi, ( ci Παραδείγµατα Μετασχηµατισµών Melli (βλέπε [T] σελ. 9. t Ψ ( t =, ( MΨ ( s =Γ ( + s ζ ( + s t e t Ψ ( t = e, ( MΨ ( s = Γ ( s, όπου Re( s. 3, όπου Re( s > π Ψ ( t =, ( MΨ ( s =, όπου < Re(s <. + t si( π s 4 5 Γ( s Γ( - s Ψ ( t =, ( MΨ ( s =, όπου < Re(s < Re(α. Γ( s ( + t log( + t π Ψ ( t =, ( MΨ ( s =, όπου < Re(s <. t (- ssi( π s 4. Ο αθροιστικός τύπος των Euler-Mcluri Έστω η f ( x είναι συνάρτηση φορές παραγωγίσιµη µε συνεχείς παραγώγους στο διάστηµα (,Μ και έστω θ πραγµατικός αριθµός, έτσι ώστε < θ <, που εξαρτάται από την ( f ( x στο (, Μ. Ο αθροιστικός τύπος των Euler-Mcluri είναι ο εξής: 6

17 i M M ( ( f ( = f ( t dt+ ( f ( M + f ( + ( f ( M f ( + R ( f, M = = (! B όπου 48. B R f M f h h, (βλέπε [AS] σελ. 86, ή [Bru] σελ. 4- M ( (, = ( + θ (! = Μια εναλλακτική µορφή του παραπάνω τύπου, για f απόλυτα συνεχή στο [, Μ] είναι: M M f ( t t[ t] / dt= f ( ( f ( M + f ( f ( t dt ii ( = M 5. To Tuberi θεώρηµα του Abel Θεώρηµα: (βλ. και [Bru] σελ. 37 Εάν = l, τότε = li x = x = l. Το αντίστροφο ισχύει εάν li( =. 6. Οι αριθµοί Stirlig πρώτου και δεύτερου είδους Οι αριθµοί Stirlig πρώτου είδους µπορούν να ορισθούν ως οι αριθµοί ικανοποιούν την παρακάτω ισότητα: S που ( ( (...(,, = x x x + = S x x R N. 7

18 b Οι αριθµοί Stirlig δευτέρου είδους ικανοποιούν την παρακάτω ισότητα: S ορίζονται ως οι αριθµοί που ( ( x = S x( x...( x +. = Ένας κλειστός τύπος για τους S είναι ο εξής: ( S. ( = (! = Για περισσότερα πάνω στους αριθµούς Stirlig, βλέπε [AS] σελ

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ειγµατοληψία σε Ολοκληρωτικούς Μετασχηµατισµούς και σε Ορισµένες Kλάσεις Ειδικών Συναρτήσεων. Γενικά. Στην παράγραφο του Κεφαλαίου αυτού αναφερόµαστε σε νέους ολοκληρωτικούς µετασχηµατισµούς τύπου: f ( t( MΨ ( x+ it dt, x R, ( oπου η f είναι αναλυτική. Η συνάρτηση Ψ είναι αναπτύξιµη σε σειρά Tylor γύρω από το µηδέν στο (,, και MΨ είναι ο µετασχηµατισµός Melli της Ψ. Παίρνοντας ορισµένες τιµές της συνάρτησης f σε ένα διακριτό σύνολο, µπορούµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα ( από την σειρά ( Ψ ( π f ( i ( x+.! = Στην παράγραφο του Κεφαλαίου αυτού δίνουµε χωρίς µαθηµατική απόδειξη έναν νέο δειγµατοληπτικό τύπο ο οποίος ισχύει για ένα ευρύ φάσµα αναλυτικών συναρτήσεων στοr. Βλ. και: O Series Itegrls d Cotiued Frctios Hrdy Ruj Jourl, 6, pg

20 . ειγµατοληψία σε Ολοκληρωτικούς Μετασχηµατισµούς Το Κυρίως Θεώρηµα. Έστω x> και έστω ότι οι f, Ψ είναι αναλυτικές στο C και ικανοποιούν την συνθήκη: Re( z f ( z( MΨ ( x+ iz C( + z λ e δ ( για κάθε z µε I( z όπου c, λ, δ > σταθερές, µε την επιπλέον συνθήκη: z = x+ + /, όπου Ν φυσικός αρκετά µεγάλος. Τότε το ολοκλήρωµα f ( t( MΨ ( x+ it dt συγκλίνει απόλυτα, η σειρά κατά Abel και: π r = ( Ψ ( f ( i ( x+ συγκλίνει! ( Ψ ( f ( t( MΨ ( x+ it dt= li f ( i ( x+ r (! = Επιπλέον αν ( Ψ ( C f ( i ( x+! + η σειρά στην ( συγκλίνει. Για να αποδείξουµε το κυρίως θεώρηµα θα µας χρειαστεί το παρακάτω Θεώρηµα. Έστω ότι η Ψ αναπτύσσεται σε δυναµοσειρά γύρω από το µε ακτίνα σύγκλισης r > και έστω x R τέτοιο ώστε ( u x u Ψ du<+. Τότε ο µετασχηµατισµός Melli της Ψ επεκτείνεται αναλυτικά σε µια µερόµορφη συνάρτηση στο ηµιεπίπεδο Re( z < x µε απλούς πόλους στα σηµεία z= (για Z µε >x, Απόδειξη. Έστω < < r. Τότε αν z Z : ( z ( u u Ψ ( z+ Ψ du = u du = ( z+ ( u du =! =! = = Ψ ( z+ Ψ (! z+

21 όπου η σειρά συγκλίνει απόλυτα και οµοιόµορφα αφού < < r (γεγονός που δικαιολογεί και την εναλλαγή αθροίσµατος και ολοκληρώµατος. Άρα η z h ( z = Ψ( u u du είναι µερόµορφη στο C µε πόλους µόνο στα σηµεία z = και απλό πόλο σε κάθε z= ίσο µε υπόλοιπο z li =. + z ( Ψ (! (καθώς Επίσης η h z = Ψ u u du ( ( z ορίζεται και συγκλίνει απόλυτα ορίζοντας µια αναλυτική συνάρτηση όταν Re( z < x καθώς: ( u u z Ψ du = Και για την τυπική παράγωγο Ψ z ( u u log( Re( z Re( z x x u u du u u du Ψ( Ψ ( <+ x u du Cz Ψ ( u u du<+, (αφού Re( z Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη του Θεωρήµατος. < x. --Έστω ότι η Ψ είναι όπως στο θεώρηµα και x R είναι τέτοιο ώστε x Ψ ( u u du<+. Έστω η f είναι ολόµορφη στο άνω ηµιεπίπεδο I( z > και συνεχής στο I( z. Θεωρούµε τότε την συνάρτηση: g( z = f ( z MΨ ( x+ iz, Τότε από το Θεώρηµα η g είναι µερόµορφη στο ηµιεπίπεδο I( z > και συνεχής στο I( z (η συνέχεια του MΨ ( x+ iz έπεται από το Θεώρηµα κυριαρχούµενης σύγκλισης µε απλούς πόλους στα z= i( + x, όπου Z,, + x> και ( Ψ ( Res( g, i( x+ = f ( i( x+ i! Έστω γ R το άνω ηµικύκλιο µε διάµετρο [ R, R] όπου R= R = x+ + /, φυσικός. Τότε άρα g( z dz πi = γ R i( x+ στο εσωτ του γ R ( Ψ ( f ( i( x+ i!

22 R R π ( iθ iθ iθ f ( t MΨ ( x+ it dt+ f R e MΨ ( x+ ir e ir e dθ = ( ( = π f ( i( x+! Ψ > x Άρα αν το ολοκλήρωµα f ( t MΨ ( x+ it dt υπάρχει και επιπλέον ισχύει η συνθήκη: iθ ( iθ li R f R e MΨ ( x+ ir e dθ = π ( 3 τότε συγκλίνει και η σειρά και ισχύει ο εξής τύπος: H συνθήκη ( Ψ ( f ( t MΨ ( x+ it dt= π f ( i( x+ (4! = > x > x δεν χρειάζεται στο άθροισµα αν x>. `Έχοντας υπόψη τα παραπάνω και το Θεώρηµα µπορούµε να προχωρήσουµε. Απόδειξη του Κυρίως Θεωρήµατος. Για την ( η ( συνεπάγεται την απόλυτη σύγκλιση του ολοκληρώµατος f ( t( MΨ ( x+ it e it dt, για κάθε >. Η δε ( ισχύει καθώς αν < δ θα έχουµε: για R όταν θ π. iθ iθ R f ( R e MΨ ( x+ ir e e C( + R e e iθ ir e λ+ δ R cosθ R si( θ C + R e, λ+ R ( Άρα για κάθε > ισχύει: ( it Ψ ( ( x+ f ( t( MΨ ( x+ it e dt= π f ( i ( x+ e, =! + παίρνοντας τώρα και εφαρµόζοντας το Θεώρηµα κυριαρχούµενης σύγκλισης στο ολοκλήρωµα έχουµε την σχέση (.

23 Άρα η σχέση ( ισχύει αν Ψ αναλυτική σε µια περιοχή του, Ψ ( u u x du<+, f αναλυτική στο I( z > και συνεχής στο I( z και επιπλέον ισχύει η ( ή (3 για R= R = x+ + /. Ειδικότερα για τις εφαρµογές αρκεί να δοθούν ικανές συνθήκες για την f ώστε να ισχύει η (3 ή ( για συγκεκριµένη Ψ. --Έστω τώρα t ( ( t e t! Ψ = = οπότε M ( z ( z = MΨ ( t θα χρειαστούµε τα εξής τύπους: π i Γ( z Γ ( z =, Γ ( z+ = zγ ( z si( π z και Ψ =Γ. Για να εκτιµήσουµε το ii τον τύπο του Stirlig / ( z z Γ z = π e z h( z για Re( z όπου < c h( z c για Re( z. Με βάση αυτά έχουµε τα εξής: Λήµµα. Αν R και σ > φυσικός µε λ= σ + τότε για κάθε z µε I( z και z αρκετά µεγάλο έχουµε: I( z / e π Γ( iz z exp rg( z Re( z z, όταν rg( z [, π ] (όπου f ( z g( z σηµαίνει ότι υπάρχου σταθερές c, c > µε f ( z c c για το g( z αντίστοιχο σύνολο. Απόδειξη. 3

24 Αφού Γ( λ iz = ( + σ iz...( iz Γ( iz και από τον τύπο του Stirlig έχουµε: ( καθώς Re( λ iz = λ+ I( z λ+ y / ( y Γ( λiz e λiz exp ( ix iarg( λiz, ( z= x+ iy και για z αρκετά y λ iz µεγάλο, z c < < c + σ iz > z ότι το Arg είναι ο κλάδος στο [ π /, π / ]. παίρνουµε το ζητούµενο, δεδοµένου x Πράγµατι αν φ = Arg( λ iz = rct και rct x θ =, τότε: λ+ y y x / y x /( λ+ y λ x λ φ, θ (, π / και t( φ θ = = x x λ y+ z z + y λ+ y π άρα το x θ φ είναι φραγµένο για z µεγάλο στο I( z. Άλλα θ = rg( z όπου rg z [, π ] για I( z. Το ποσό µεγάλο πρέπει να είναι το z εξαρτάται από το λ αλλά στην ασυµπτωτική σχέση το λ δεν εµφανίζεται (µόνο στις σταθερές του ~ εµφανίζεται. Πόρισµα. Αν α, β R, τότε υπάρχει M = M ( α, β > τέτοιο ώστε: για κάθε z µε I( z και z > M. Γ( iz Γ( β iz z β Λήµµα. Έστω R και R= + + / µε φυσικό, R αρκετά µεγάλο. Τότε για κάθε θ [, π ] ισχύει: si / ( e R i e θ exp θ π rg( cos(. Γ + ir R π z R θ R 4

25 Απόδειξη. iθ π Έχουµε Γ ( + ir e = iθ iθ si( π ( + ir e Γ( ir e, αλλά τα R= + + / οπότε έχουµε i R cos π + i θ e π θ, Ν φυσικός µεγάλος, (βλ. και [C] σελ. 47. si( ( Re Άρα από το Λήµµα έχουµε το ζητούµενο. Πόρισµα. Αν, t R και t αρκετά µεγάλο τότε: / π t Γ ( ± it t exp. Με βάση τα παραπάνω έχουµε το εξής: Θεώρηµα. Έστω f αναλυτική στο άνω ηµιεπίπεδο I( z > και συνεχής στο I( z και τέτοια ώστε: I z z f ( z C( + z ρ e e στο I( z όπου b π /. Τότε για x > : b Re( z, ( f ( t Γ ( x+ it dt= li f ( i( x+ r! π r = Απόδειξη. Έπεται άµεσα από το Κυρίως Θεώρηµα και το Λήµµα. Πρόταση. Έστω f αναλυτική στο άνω ηµιεπίπεδο I(z > και συνεχής στο I( z και τέτοια ώστε υπάρχουν C, και b< π ώστε: b Re( z f ( z C( + z e, για κάθε z µε I( z. (α 5

26 Τότε η σειρά ( f ( i( + / είναι Abel αθροίσιµη και ισχύει = f ( t dt= li ( f ( i( / r + (β cosh( πt r = C Ειδικότερα αν f ( i( + /, =,,, για κάποιο C > τότε η σειρά + συγκλίνει και f ( t dt= ( f ( i( + / (γ cosh( πt = Απόδειξη. Έστω α > Θεωρούµε την συνάρτηση: iz g( z = e f ( z cosh( π z H g είναι µερόµοφη στο I(z > και έχει απλούς πόλους στα z = i (+/ µε: ( + / ( Res( g; i( + / = e f ( i( + /. Άρα αν > φυσικός, R = και γ R πi είναι το άνω ηµικύκλιο διαµέτρου [-R, R] θα έχουµε: ( ( + / g( z dz e f ( i( / π i = + (δ πi Αφού για R = φυσικός έχουµε γ R = cosh( e i R cos π R θ ce π θ, (βλ. και [C] σελ. 47 άσκηση 4 όταν c > σταθερά έχουµε από την ( για < π b π iθ ire iθ e iθ f ( Re ir e dθ iθ cosh( π R e π ( + R R e dθ π ( bπ R cosθ R siθ ( + R Re e dθ + καθώς R (R = φυσικός. Από την ( έχουµε Άρα παίρνουµε R f ( t dt< και cosh( πt = στην (δ και έχουµε: e f ( i( + / <+. = it e ( + / f ( t dt= ( f ( i( + / e (ε cosh( πt = 6

27 + Για κάθε α >. Θέτοντας τώρα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα κυριαρχούµενης σύγκλισης στην (ε προκύπτει η σχέση (γ. Πρόταση. Αν η f είναι όπως στην Θεώρηµα τότε η σειρά αθροίσιµη και ισχύει ( = li ( ( sih( πt r = ( f ( i είναι Abel = t f t dt f i r (ζ C Αν επιπλέον f ( i, =,, τότε η σειρά συγκλίνει και το άθροισµα της ισούται µε το ολοκλήρωµα στην (ζ. Απόδειξη. Παρόµοια µε αυτή της Πρότασης Πρόταση 3. Έστω f αναλυτική στο µοναδιαίο δίσκο D και συνεχής στο D µε f ( =, τότε Απόδειξη. i f ( t dt= ( f ( e π ( + π / + t = Η σειρά συγκλίνει απόλυτα αφού f ( z C z, για z / και ( i π f e w C άρα i w από το Πρόταση για την f ( e π ορισµένη στο ηµιεπίπεδο I( w παίρνουµε: πu ( / e = t π + iπ u ( f ( e = / f ( e = cosh( f ( t = = πu i i dt f ( t dt t+ t πt π + t 7

28 . ειγµατοληψία σε Ειδικές Αναλυτικές συναρτήσεις. Στην παράγραφο αυτή θα αναπτύξουµε σε σειρές µια ορισµένη κλάση αναλυτικών συναρτήσεων βάση των δειγµάτων αυτής σε ένα διακριτό σύνολο. Η ανάπτυξη στηρίζεται στην επόµενη Παρατήρηση. Έστω f είναι αναλυτική στο R, συµβολίζουµε ( f = ( f (. = Αν < ( f <, τότε = ( x f ( x = ( f,! = όπου Γ ( x+ ( x = = x( x+ ( x+... ( x+ Γ( x είναι το σύµβολο Pochher. ίνουµε την µέθοδο του πως καταλήξαµε στην παρακάτω Παρατήρηση: Για τη συνάρτηση f ισχύει: f ( x f ( ( = x. =! Χρησιµοποιώντας τους αριθµούς Stirlig δευτέρου είδους Ένας κλειστός τύπος για τα ( f ( f ( x = S x( x...( x =! + =. S είναι: S (βλ. Κεφ., έχουµε: 8

29 (βλ. Κεφάλαιο, 6. S = (! = ( Χρησιµοποιούµε την ( και έχουµε: f ( x = ( f (!! = = = f (! ( = = = = f (!!! ( = = = = = ( = = ( ( ( ( x ( f (!!. ( x x( x...( x + ( x Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας µε!, έχουµε τον ζητούµενο τύπο. Συνδυάζοντας το Θεώρηµα της Παραγράφου και την Παρατήρηση αυτής της Παραγράφου έχουµε τις ακόλουθες Προτάσεις: Πόρισµα από Παρατήρηση. Έστω οι f, g είναι ακέραιες συναρτήσεις τότε: l ( ( f ( f ( g( = g( + l!! l!, = = l= όπου το ( f έχει οριστεί στο Θεώρηµα αυτής της παραγράφου. Απόδειξη. Ισχύει ( f f ( x = ( x.! = 9

30 Αναπτύσσουµε το σύµβολο του Pochher στην µορφή των Γάµα συναρτήσεων: άρα συνεπώς ( f Γ( x+ f ( x =! Γ( x = ( f f ( x Γ( x = Γ( x+! = ( f f ( ix Γ ( ix = Γ ( ix+.! = Πολλαπλασιάζοντας και τα δυο µέλη µε g(-xi, παίρνουµε: s ( f g( xi f ( xi Γ ( xi = Γ ( xi+ s g( xi. (α s! s= Ολοκληρώνοντας τη σχέση (α σε όλη την πραγµατική ευθεία και χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα της Παραγράφου παίρνουµε το αποτέλεσµα. Πόρισµα από Παρατήρηση. Έστω f αναπτύσσεται σε σειρά Tylor γύρω από µηδέν µε ακτίνα σύγκλισης σε όλο το R, τότε εάν, b R, < b, ισχύει: b f ( t dt= ( f b + + ( ( S. =! = + Απόδειξη. Έστω, b R, < b τότε: b f ( t dt= b ( f ( x dx!. (β = Για τους S που είναι οι αριθµοί Stirlig πρώτου είδους, (βλ. Κεφάλαιο ισχύει: ( ( x = ( x( x...( x + = ( S x = ( (γ 3

31 Παίρνοντας υπόψη τις (β,(γ εύκολα έχουµε την απόδειξη. Σηµειώσεις στο Κεφάλαιο : i Ένα πλεονέκτηµα των Πορισµάτων, της Παραγράφου είναι ότι µας δίνουν µια επαλήθευση της Παρατήρησης. ii Οι αριθµητικές εφαρµογές αυτού του Κεφαλαίου βρίσκονται στο Κεφάλαια 3 και 6. 3

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Νέα ειγµατοληπτικά Θεωρήµατα και µια ειγµατοληπτική εφαρµογή του αθροιστικού τύπου των Euler-Mcluri. Γενικά Στην παράγραφο του Κεφαλαίου αυτού παρουσιάσουµε δυο νέους δειγµατοληπτικούς τύπους χρησιµοποιώντας θεωρήµατα της µιγαδικής ανάλυσης. Στη παράγραφο δίνουµε µια άλλη µορφή του αθροιστικού τύπου των Euler- Mcluri και αποδεικνύουµε νέες δειγµατοληπτικές προτάσεις. Τα αποτελέσµατα αυτά έχουν εκδοθεί στο περιοδικό Jourl of Splig Theory i Sigl d Ige Processig.Vol 5, No., (6, pp

33 . Νέα δειγµατοληπτικά θεωρήµατα Θεώρηµα Έστω f είναι µία ακεραία συνάρτηση µε f ( i Τότε ισχύει για x R Z <+. sih( π x f ( x = ( π x + ix + f ( i, ( = αν και µόνο αν η f ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες: (α Υπάρχει C > µε f ( z Re( z Ce π για κάθε z C π x (β li e x f ( x =. x ± x R Απόδειξη. Έστω ότι ισχύει η (. Τότε θα έχουµε για κάθε z C µε z i ( Re( z > ότι Z και + iz z ( (Απόδειξη: γράφεται ισοδύναµα: 4 ( z z I( z + z και το τριώνυµο 4 4 (I + = ( Re < ως προς έχει διακρίνουσα z ( z z z ( z Άρα: Z + iz + ( f ( i < z f ( i Z 33

34 Από όπου προκύπτει τα (α. Το (β έπεται από το θεώρηµα κυριαρχούµενης σύγκλισης αφού li = x ± + ix x R για κάθε Z και x, ix < R + Z. Αντιστρόφως έστω ότι ισχύουν τα (α, (β Θεωρούµε την µερόµορφη συνάρτηση: π z g( z = f ( z sih( π z Η g έχει πόλους στα z= i, Z µε: Res( g; i = ( if ( i. Έστω: ɶ ( ( + g z = f ( i Z + iz H gɶ είναι µερόµορφη µε πόλους στα i, Z και Res( gɶ ; i = Res( g; i αφού Z f ( i <+. Άρα η h( z = g( z ɶ g( z είναι ακέραια και αφού όπως πριν li gɶ ( x =, λόγω του (β έχουµε: x ± x R li h( x =. ( x ± x R Επίσης έστω > φυσικός και z C µε z = + /. Τότε + iz 4 z, για κάθε Z ( (Απόδειξη: Αφού + iz z = + / για κάθε έχουµε: 4 z + iz αν z ενώ αν > z τότε: + iz z / άρα: 4 + iz < Άρα: z αφού >. h( z g( z + gɶ ( z C z, (3 για κάποιο C > και κάθε z C µε z = + /, όπου φυσικός µε >. (Αρκεί να χρησιµοποιήσουµε την (α και την παρατήρηση ότι αν z = + / τότε Re( z π z ce π για κάποια σταθερά c >. sih( Πράγµατι αν z = x + i y 34

35 sih( π z = sih ( π x + si ( π y x x / 6 x e π ( e π π + si π y ( e e π αν x / ενώ αν x < / τότε + / y /, άρα π > si y / 4. Άρα έχουµε h(z = z + b όπου, b C. Αλλά η ( τώρα δίνει α = b = άρα h( z z C από όπου προκύπτει η (. Θεώρηµα. Έστω f είναι µία ακεραία συνάρτηση µε f ( i( + / <+. Τότε ισχύει για x R Z cosh( π x f ( x = ( f ( i( + /, ( π + + ix Z αν και µόνο αν η f ικανοποιεί τις ιδιότητες: (α Υπάρχει C > µε f ( z Re( z Ce π για κάθε z C π x (β li e f ( x =. x ± x R Απόδειξη. Οµοίως µε το θεώρηµα. 35

36 . O Αθροιστικός τύπος των Euler-Mcluri. Παρακάτω δίνουµε µια ειδική µορφή του αθροιστικού τύπου των Euler-Mcluri (βλέπε Κεφ., παρ. 4. Στον τύπο Euler-Mcluri, αντικαθιστούµε τους αριθµούς ( ( Beroulli Β, τις παραγώγους f ( M, f ( και το σφάλµα R ( f, M µε ένα ολοκλήρωµα. ίνουµε επίσης και ορισµένους νέους δειγµατοληπτικούς τύπους. Θεώρηµα. Εάν f είναι απόλυτα συνεχής και άρτια στο R και f L ( R τότε M = M f ( = f ( t dt+ ( f ( M + f ( + π γ ( γ cot f c ^ ( γ si( Mγ dγ, γ όπου M =,,3. Πρόταση. Έστω ότι η συνάρτηση f αναπτύσσεται σε σειρά Tylor γύρω από το µηδέν στο (-,,. Επίσης η σειρά Tylor της f συγκλίνει απόλυτα στο τότε υπάρχει σταθερά c η οποία εξαρτάται από την f και ισχύει: όπου: f = f dx+ c+ O x, = ( s f ( c= f ( + f ( γ + ζ ( s s s! s. Πρόταση. 36

37 Έστω f είναι ακεραία συνάρτηση και η σειρά Tylor της f συγκλίνει απόλυτα στο τότε: όπου x x f ( f + f f ( x = π i πi = = (! (!, B είναι οι αριθµοί Beroulli. ( B Πρόταση 3. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι άρτια µε f(= και αναλυτική στο δίσκο D(; r, r> και x R µε x < r. Τότε: 4π π it it e f ( xe dt= f it exp( e = x πi. Για να προχωρήσουµε στις αποδείξεις των προτάσεων θα χρειαστούµε ορισµένα Λήµµατα. Λήµµα. Έστω f αναπτύσσεται σε σειρά Tylor γύρω από το µηδέν στο (-α, α, για. Εάν επίσης η σειρά Tylor της f συγκλίνει απόλυτα στο : τότε έχουµε: A ζ ( s, s! ( s = f ( <+ s= f = f ( + f (l + f ( γ +Α+ O. = Απόδειξη. Αναπτύσσουµε την f σε σειρά Tylor γύρω από το µηδέν και έχουµε ( s ( s f ( s f ( f = = s! s! = = s= s= = s s ( s f ( f ( f ( H ζ ( s s! = + +, 37

38 Όπου Όµως: s ζ ( s =. = µ s s s = + µ = + µ ζ ( s = ζ ( s + < ζ ( s + t dt= ζ ( s + t dt ζ s+ ( (. = s s + Έτσι έχουµε ζ ( s ζ ( s = O, s >. s Από τα παραπάνω παίρνουµε την απόδειξη. Λήµµα. Έστω ότι η συνάρτηση f αναπτύσσεται σε σειρά Tylor στο (,,. Εάν επίσης η σειρά Tylor της f συγκλίνει απόλυτα στο τότε και ισχύει: ( s f ( B= <+ s!( s s= f dx = f ( + f ( + f (l + B+ O,, =,,... x Απόδειξη. Έστω Έχουµε: = = f ( x x. / f ( z s f dx= f ( z d dz z sz dz x = z = z / / s= s ( s / s= / = z + z dz+ z dz s z = + + l + s s= s / 38

39 όπου s = + + l + + O s= s = f ( + f ( + f (l + B+ O, s ( s f ( =, s=,,,... s! Απόδειξη της Πρότασης. (Εύκολη από τα Λήµµατα,. Απόδειξη της πρότασης. Από το Λήµµα, έχουµε: Αλλά = ( x x f ( f + f f ( = ζ ( x. = (! (π ( ζ ( = B (βλέπε [AS] σελ ή Κεφ,. (! Παίρνοντας υπόψη τις παραπάνω σχέσεις η απόδειξη ολοκληρώνεται εύκολα. Απόδειξη της Πρότασης 3. Έστω η συνάρτηση: f ( x / z g( z = z e H g είναι µερόµορφη στο z µε πόλους στα z= πi, Z ( και: x Res( g, πi = f. π i 39

40 Έστω R= π ( + / όπου φυσικός. Τότε από το Θεώρηµα του Cuchy (τύπος ολοκληρωτικών υπολοίπων παίρνουµε: x dz x dz f + f = z π i z e π i z e f z z= z= R x = π πi < i< R R < π f x, αφού η f είναι άρτια. π i Αφού f άρτια µε f(= υπάρχει c > µε: f ( w x f ( x / z C αν R> x / r και επίσης η σειρά R c w για κάθε r w άρα: x f = πi συγκλίνει απόλυτα. z Παρατηρώντας ότι e c > για κάποια σταθερά c και κάθε z µε z = π ( + / = R ( c ανεξάρτητη του παίρνουµε R στην παραπάνω σχέση και έχουµε το ζητούµενο. Απόδειξη του Θεωρήµατος. Για κάθε f απόλυτα συνεχή στο [, Μ] ισχύει: M M f ( t( t[ t] / dt= f ( ( f ( M + f ( f ( t dt = ξ Άρα αν g( t = ( t[ t] / X [, M ]( t τότε (για M M itξ itξ d e g ^ ( ξ = ( t[ t] / e dt = ( t[ t] / dt dt iξ M M ξ ( imξ itξ = e + e e dt iξ = imξ imξ e imξ e = + ( e iξ iξ e iξ imξ e = (cot( ξ / / ξ ξ M 4

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

4. Μιγαδική Ολοκλήρωση. Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές. ( ) ( ) ( )

4. Μιγαδική Ολοκλήρωση. Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές. ( ) ( ) ( ) 4 Μιαδική Ολοκλήρωση Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµοές Καµπύλες στο Μιαδικό επίπεδο Oρισµός 4 Αν, :[, ] xy a είναι συνεχείς πραµατικές συναρτήσεις τότε κάθε απεικόνιση :[ a, ] : t = x t + iy t, καλείται (προσανατολισµένη)

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις.

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις Γενικά Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887 Ολοκλήρωση κατά Gauss Ενώ στους τύπους Newton-Cotes χρησιµοποιούσαµε τις τιµές της συνάρτησης σε ισαπέχοντα σηµεία, στους τύπους ολοκλήρωσης κατά Gauss τα σηµεία xj και τα βάρη wj επιλέγονται, έτσι ώστε

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Β Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις Παράγωγος συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής Πριν ορίσουμε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης f(z) θα σταθούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Σειρές και Ολοκληρώµατα Fourier ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 16 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποσκοπούν στο να δώσουν µια σύνοψη της ϑεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 11 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση Στα µαθητικά και φοιτητικά µας χρόνια, έχουµε γνωριστεί µε µία ποικιλία από µαθηµατικά προβλήµατα των οποίων µαθαίνουµε σταδιακά τις λύσεις Παραδείγµατος χάριν,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής . Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας περιοχής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Περιεχόµενα Eισαγωγή στους µιγαδικούς αριθµούς Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις 3 Οριο-Συνέχεια-Παράγωγος Αναλυτικές Συναρτήσεις 4 Μιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 7 Ιουνίου 214 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 3 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα