ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ. ΜΠΑΓΚΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ. ΜΠΑΓΚΗΣ"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ. ΜΠΑΓΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΤΥΠΩΝ ΜΕ ΝΕΕΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ. ιδακτορική διατριβή ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 7

2 Αφιερώνεται στους γονείς µου ηµήτριο και Ευαγγελία και στον αδελφό µου Τρύφων

3 Βιογραφικό Σηµείωµα Ο κ. Νικόλαος.. Μπαγκής γεννήθηκε στις 5//974 στην Έδεσσα του Νοµού Πέλλας. Φοίτησε στο 3 Γυµνάσιο και έπειτα στο Γενικό Λύκειο Έδεσσας. Κατά την διάρκεια των σπουδών του στο Γενικό Λύκειο βραβεύθηκε µε έπαινο για τις επιδόσεις του στο Πανελλήνιο διαγωνισµό της Μαθηµατικής Εταιρείας. Εισήχθη, έπειτα από Πανελλήνιες Εξετάσεις στο Γεωλογικό Τµήµα του Α.Π.Θ. Τον επόµενο χρόνο ξανάδωσε εξετάσεις και εισήχθη στο Μαθηµατικό τµήµα του Α.Π.Θ. οπού πήρε την κατεύθυνση των εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και απεφοίτησε µε γενικό βαθµό 6,6. Εκπόνησε διδακτορική διατριβή στο τµήµα Υπολογιστών του Α.Π.Θ. υπό την επίβλεψη του Καθηγητή Κωνσταντίνου Καρανίκα. Κατά την διάρκεια των σπουδών έλαβε µέρος σε Πανελλήνιο διαγωνισµό για τα Μαθηµατικά, µέσω Iteret όπου πήρε την πρώτη θέση. Είναι κάτοχος του διπλωµατών Bsic και Stdrd certificte i Eglish, του οργανισµού Plso. 3

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε στον Τµήµα Υπολογιστών του Α.Π.Θ., υπό την επίβλεψη της Τριµελούς Συµβουλευτικής Επιτροπής αποτελούµενης από τους κυρίους Καθηγητές Κ. Καρανίκα, Ι. Αντωνίου και τον Επίκουρο Καθηγητή Ε. Αγγελή, τους οποίους ευχαριστώ θερµά για την πρόθυµη συµµετοχή τους σε αυτήν την επιτροπή. Ευχαριστώ βαθύτατα τον επιβλέποντα Καθηγητή Κωνσταντίνο Καρανίκα, ο οποίος µε την επιστηµονική καθοδήγηση, την υποµονή, το αδιάκοπο ενδιαφέρον και την ηθική υποστήριξη σε όλη τη διάρκεια των σπουδών µου, συνέβαλε τα µέγιστα στην εκπόνηση αυτής της διατριβής. Ευχαριστώ επίσης τον Καθηγητή Α. Μελά και τον κ. Επίκουρο Καθηγητή Θ. Σταυρόπουλο για τις πολύτιµες υποδείξεις τους επάνω στην παρούσα διατριβή. Ευχαριστώ τον Λέκτορα Ν. Ατρέα για την συνεχή εποικοδοµητική συνεργασία και καθοδήγηση καθόλη την περίοδο της σπουδής µου. Ευχαριστώ θερµά τους γονείς µου ηµήτριο και Ευαγγελία και τον αδελφό µου Τρύφων για την ηθική συµπαράσταση τους καθ` όλη τη διάρκεια της εκπόνησης της διατριβής αυτής. Τέλος ευχαριστώ όλους τους υποψήφιους διδάκτορες, της ερευνητικής οµάδας του Καθηγητή Κωνσταντίνου Καρανίκα. Θεσσαλονίκη 3/6/7 Νικόλαος Μπαγκής. 4

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελ. Περίληψη. -3 Κεφάλαιο. 4-3 Εισαγωγικές έννοιες. Κεφάλαιο. 4-7 ειγµατοληψία σε Ολοκληρωτικούς Μετασχηµατισµούς και Ειδικές αναλυτικές συναρτήσεις. Κεφάλαιο Νέα ειγµατοληπτικά Θεωρήµατα και µια ειγµατοληπτική εφαρµογή του αθροιστικού τύπου των Euler-Mcluri. Κεφάλαιο Εφαρµογές των Κεφαλαίων και. Κεφάλαιο Σφάλµατα διαταραχής και αποκοπής σε ειγµατοληπτικές Σειρές. Κεφάλαιο Η συνάρτηση ζ του Rie ως µέσο για τον υπολογισµό σειρών συναρτήσεων µε τιµές πάνω στο σύνολο των πρώτων αριθµών. Κεφάλαιο Παράδειγµα αριθµητικών προσεγγίσεων σε ολοκληρωτικούς τύπους. Βιβλιογραφία

6 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της παρούσης διατριβής είναι η εύρεση νέων δειγµατοληπτικών Θεωρηµάτων και νέων υπολογιστικών εφαρµογών αυτών σε µια ποικιλία αναλογικών σηµάτων και υπολογιστικών προβληµάτων. Είναι πολύ γνωστή τον Εικοστό αιώνα η συνεισφορά του κλασσικού ειγµατοληπτικού Θεωρήµατος του Sho, που στηρίζεται στο µετασχηµατισµό Fourier, στην ανάπτυξη της τεχνολογίας, στα µαθηµατικά και τη θεωρία πληροφορίας (βλέπε [K]. To κύριο θεώρηµα του Sho για συναρτήσεις f πεπερασµένου φάσµατος στο [-σ, σ], δίνεται από τον τύπο: si σ ( x T f ( x = f ( T, T = π / σ, σ ( x T = δηλαδή η συνάρτηση f ανακατασκευάζεται από τα δείγµατα αυτής. Στα τέλη του προηγούµενου αιώνα η θεωρία του Sho γενικεύθηκε στα πλαίσια της κυµατιδιακής θεωρίας (wvelet, δίνοντας εκ νέου µια σηµαντική ώθηση τόσο στη θεωρία της δειγµατοληψίας όσο και στις τεχνολογικές εφαρµογές, βλέπε [D]. Η παρούσα διατριβή ασχολείται µε την ύπαρξη νέων δειγµατοληπτικών θεωρηµάτων, που βασίζονται στους κλασσικούς µετασχηµατισµούς όπως του Melli και σε ειδικές συναρτήσεις τύπου G, Zet, κλπ. και εφαρµόζει αυτά σε υπολογιστικά προβλήµατα ολοκληρωτικών τύπων, αριθµητικών σειρών, συναρτήσεων και σταθερών. Ασχολούµαστε επίσης µε την Αναλυτική Θεωρία αριθµών, όπου γενικεύουµε τον θεµελιώδη τύπο του Euler για την περίφηµη Ζήτα συνάρτηση του Rie σε µια µορφή που διευκολύνει κατά πολύ τους υπολογισµούς δειγµατοληπτικών αθροισµάτων πάνω στο σύνολο των πρώτων αριθµών. Υπενθυµίζουµε ότι η συνάρτηση Ζήτα του Rie είναι ζ ( s s =. = Στο Κεφάλαιο παρουσιάζουµε ορισµένα καινούργια δειγµατοληπτικά Θεωρήµατα. Τα Θεωρήµατα αυτά βασίζονται στον ολοκληρωτικό µετασχηµατισµό του Melli 6

7 ( Ψ ( f ( t( MΨ ( x+ it dt= π f ( i( x+,! όπου (ΜΨ είναι ο µετασχηµατισµός Melli µιας συνάρτησης Ψ και η f είναι µια ακεραία συνάρτηση. Εποµένως ο ανωτέρω ολοκληρωτικός τύπος εκφράζεται συναρτήσει των δειγµάτων της f. Στο Κεφάλαιο παρουσιάζουµε τις ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε να ικανοποιούνται δυο νέα δειγµατοληπτικά θεωρήµατα σε ακέραιες συναρτήσεις. Στην παράγραφο δίνουµε επίσης µια δειγµατοληπτική έκφραση του αθροιστικού τύπου των Euler-Mcluri. Στο Κεφάλαιο 3 δίνεται ένα πλήθος εφαρµογών των Κεφαλαίων και. Συγκεκριµένα: α Παρουσιάζουµε ακριβείς δειγµατοληπτικούς τύπους για τον υπολογισµό δύσκολων ολοκληρωµάτων και σειρών = β ίνεται ένα τυπολόγιο µε αριθµητικές εφαρµογές των δειγµατοληπτικών θεωρηµάτων των Κεφαλαίων και, για µια ποικιλία συναρτήσεων σειρών και ολοκληρωτικών τύπων. Στο Κεφάλαιο 4 αυτό υπολογίζουµε το σφάλµα διαταραχής (Jitter error σε δειγµατοληπτικές σειρές κυµατιδίων (wvelets, γενικεύοντας και επεκτείνοντας προηγού- µενους υπολογισµούς για συναρτήσεις πεπερασµένου φάσµατος (βλέπε [ΑΒΚ]. Στο Κεφάλαιο 5 επεκτείνουµε το θεµελιώδη τύπο του Euler, που συνδέει τη συνάρτηση Ζήτα µε γινόµενα πρώτων αριθµών: p, s s = > prie p ζ ( s. Αποδεικνύουµε ότι αν η συνάρτηση f είναι απειροδιαφορίσιµη στο δίσκο {z C : z α, α }, ισχύει ο τύπος: ( d log( ζ ( s f ( f = µ p Γ( d d, s p = d όπου Γ είναι η συνάρτηση Γάµµα και µ η συνάρτηση Moebius (βλέπε Κεφάλαιο. Αποδεικνύεται επίσης ότι όταν f ( x = log( x, ο ανωτέρω τύπος µας δίνει τον τύπο του Euler. Στο ίδιο Κεφάλαιο υπολογίζουµε το σφάλµα αποκοπής (tructio error του παραπάνω τύπου και δίνουµε µια εφαρµογή για τον ταχύτερο υπολογισµό της σταθεράς Euler-Totiet. Ο ακριβής υπολογισµός αυτής της σταθεράς είναι ένα παλαιό ανοιχτό πρόβληµα. Μόλις πριν από πέντε χρόνια έγινε ο υπολογισµός αυτής της σταθεράς µε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων. 7

8 Τέλος στο Κεφάλαιο 6 της διατριβής δίνουµε παραδείγµατα δειγµατοληπτικών τύπων, που µπορούν να εµπλουτίσουν ένα λογισµικό τύπου Mthetic ή Mtlb µε δυσεπίλυτα ολοκληρώµατα, σειρές και ολοκληρωτικούς τύπους. Για τους υπολογισµούς αυτούς δίνεται ο χρόνος υπολογισµού και συγκρίνεται µε τους υπολογιστικούς χρόνους των κλασσικών µεθόδων. Αποδεικνύεται ότι ο υπολογιστικός χρόνος µειώνεται κατά % έως και 9% σε πολλές περιπτώσεις (βλέπε Πίνακα στο τέλος του κεφαλαίου 6. Στο επόµενο Κεφάλαιο δίνονται διάφοροι ορισµοί, που χρειάζονται για την ανάπτυξη των Προτάσεων και Θεωρηµάτων της διατριβής αυτής. 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγικές έννοιες. Κυµατιδιακού τύπου (wvelet-type ειγµατοληπτικά Θεωρήµατα Έστω f µία πραγµατική συνάρτηση, ορίζουµε τον χώρο L ( R όλων των ολοκληρώσιµων κατά Lebesgue συναρτήσεων: L ( : ( p pr = f f t dt<+, p. Σηµειώνουµε ότι ο L ( R είναι χώρος µε εσωτερικό γινόµενο: =, f, g f ( t g( t dt όπου g είναι η συζυγής συνάρτηση της g. p Ο µετασχηµατισµός Fourier και ο αντίστροφος αυτού ορίζονται από το επόµενο: Θεώρηµα. (Βλέπε [Ch] σελ 3-34 Έστω f L ( R L ( R, ο µετασχηµατισµός Fourier f ^ της f ορίζεται ως εξής: 9

10 = itγ f ^ ( γ f ( t e dt και είναι συνάρτηση του L ( R. Ο παραπάνω µετασχηµατισµός αντιστρέφεται ως εξής: iγ t f ( t = f ^ ( γ e dγ π και είναι ισοµετρία, δηλαδή για συναρτήσεις f, g L ( R, ισχύει: f, g = f ^, g ^. π Με τον όρο δειγµατοληπτική θεωρία (Splig Theory αναφερόµαστε στην ανακατασκευή µιας συνάρτησης από µια ακολουθία δειγµάτων της. Η θεωρία αυτή συνδέεται άµεσα µε την Ανάλυση Fourier, τη Θεωρία Προσεγγίσεων, την Ανάλυση Σφαλµάτων και τη Θεωρία Ολοµόρφων Συναρτήσεων. Απαρχή της ειγµατο- ληπτικής Θεωρίας θεωρούνται οι εργασίες των Kotel iov (933 και Sho (949, οι οποίοι έδωσαν το υπόβαθρο της θεωρίας επικοινωνιών βάσει του ακόλουθου: Θεώρηµα. ( ειγµατοληπτικό θεώρηµα του Sho Έστω f συνάρτηση της οποίας ο µετασχηµατισµός Fourier είναι µηδέν έξω από το διάστηµα [ σ, σ ], όπου σ >. Η συνάρτηση αυτή µπορεί να ανακατασκευαστεί πλήρως από την ακολουθία των δειγµάτων της { f ( / σ } Z από τη σχέση: si π ( σ x f ( x = f, ( x R, ( Z σ π ( σ x όπου η σύγκλιση είναι απόλυτη και οµοιόµορφη στον R. Ιδιαίτερη ώθηση στη δειγµατοληπτική θεωρία έδωσε η θεωρία κυµατιδίων που βασίζεται στην Ανάλυση Πολλαπλής Ευκρίνειας (ΑΠΕ (Multiresolutio Alysis του L ( R.

11 Μια ΑΠΕ του L ( R περιλαµβάνει µια διατεταγµένη ακολουθία υποχώρων {V j V j+, j Z } του L ( R και µια συνάρτηση φ L ( R που καλείται ορθοκανονική κλιµακωτή συνάρτηση, έτσι ώστε: (α V = L ( R και j j jv j ={}. (β f V f (. V + για κάθε j Z. j j (γ το σύνολο { φ(., Z } αποτελεί µια ορθοκανονική βάση του V. Επιπλέον, εάν ισχύουν οι επόµενες συνθήκες πάνω στην γεννήτορα συνάρτηση φ: i i η σειρά ϕ( e γ συγκλίνει σηµειακά σε µία συνεχή π-περιοδική συνάρτηση, = ii η παραπάνω σειρά δεν έχει πραγµατικές ρίζες στο [-π, π], τότε έχουµε το ακόλουθο δειγµατοληπτικό ανάπτυγµα: j f V j, f ( x = f S( x j, Z όπου η S(x καλείται δειγµατοληπτική συνάρτηση του υποχώρου V και συνδέεται µε τη γεννήτορα συνάρτηση φ µε τον τύπο: όπου S ^ ( γ = ϕ ^ ( γ, γ R, i ϕ( e γ = S ^ είναι ο µετασχηµατισµός Fourier της S.

12 . ιάφορες ειδικές συναρτήσεις Οι αριθµοί Beroulli B ορίζονται από την σχέση: 4 z B = z, z z < π. e! = B =, B = /, B = / 6, B = / 3 B =, = +,,3,.... Αξίζει να σηµειώσουµε ότι οι αριθµοί Beroulli είναι ρητοί. b Η Ζήτα συνάρτηση του Rie ορίζεται στο ηµιεπίπεδο Re(s > από τον τύπο: ζ ( s s =. Μια γνωστή ιδιότητα της συνάρτησης ζ είναι ότι συνδέεται µε γινόµενα πρώτων αριθµών µέσω της σχέσης (Euler:, s s = > p p ζ ( s, ( όπου το p διατρέχει όλους τους θετικούς πρώτους. Η συνάρτηση ζ επεκτείνεται σε όλο το C, εκτός του s =, όπου έχει απλό πόλο, από τη σχέση: s = ( ζ ( s = s π si π s Γ( s ζ ( s. (3 O παραπάνω τύπος αποδείχθηκε από τον Rie και χρησιµοποιήθηκε στην περίφηµη απόδειξή του για την ασυµπτωτική συµπεριφορά της συνάρτησης που µετρά το πλήθος των πρώτων που είναι µικρότεροι ή ίσοι από κάποιον αριθµό x. (Όπου t x x e t dt Γ ( =

13 Ορισµένες γνωστές τιµές της συνάρτησης ζήτα που θα χρησιµοποιήσουµε στη συνέχεια είναι οι εξής: ζ ( = / ζ ( = ζ ( = log( π ζ ( =, =,,3,... B (,,,3,... ζ = = ( π ( π ( B ζ ( = B ή καλύτερα ζ ( =, =,,3,... (! (! Για τους αριθµούς ζ (+, =,, 3,..., δεν έχει βρεθεί ακόµη ακριβής τύπος. Επίσης, είναι άγνωστο εάν οι αριθµοί αυτοί είναι άρρητοι ή όχι. Το 979, ο Apery απόδειξε ότι ο ζ(3 ή αλλιώς η σταθερά Apery, όπως ονοµάστηκε προς τιµήν του, είναι άρρητος. c Η συνάρτηση Γάµµα (G fuctio γνωστή και ως συνάρτηση G του Euler είναι η εξής: s x s x e dx Γ ( =. Ορίζεται σε όλο το C εκτός από τα σηµεία, -, -, -3,, όπου έχει απλούς πόλους. Σηµειώνουµε ότι η συνάρτηση / Γ( s είναι αναλυτική. Παραθέτουµε ορισµένες ιδιότητες της G συνάρτησης: Γ ( z+ = zγ( z, z C. Γ ( + =!, N. π 3 Γ( z Γ( z =, < Re( z <. si( π z 3

14 4 Εάν z <, τότε: ( z log ( γ z = ζ ( ( z Γ + = +, όπου γ είναι η σταθερά του Euler και µπορεί να υπολογισθεί από τον τύπο = log( + γ + O, N, 3 (για περισσότερα βλέπε [Be] Κεφάλαιο 7. Γ ( x d Η συνάρτηση ψ ορίζεται από τη σχέση: ψ ( x = και ισχύει: Γ ( x ψ ( x + γ = = + x (i B Ψ ( x+ ~ l x+ x ( x. (ii = Το άθροισµα (ii ισχύει µε την έννοια ότι όσο αυξάνεται το, τότε πρέπει να δίνουµε και στο άθροισµα µια ανάλογη αύξηση στο x. e Οι Υπεργεωµετρικές συναρτήσεις F ορίζονται από τη σχέση: F,,..., (...( x ; x b, b,..., b =, = ( b...( b! όπου Γ ( + ( = = ( + ( +... ( +, µε =,,,, είναι το Γ( σύµβολο του Pochher µε ( =, ( =!, (βλέπε και [Be] Κεφ. Ι, II. Στο Κεφάλαιο 3, όπου βρίσκονται οι εφαρµογές, θα χρειαστούµε τη βοήθεια των υπεργεωµετρικών συναρτήσεων µε <. Παραθέτουµε ορισµένα παραδείγµατα αυτών: i x F ; x cosh( / = = x = (/! 4

15 ( i x ; = = Γ ( 3/8 F x 3/ 4 4 / 4 x I x = (/ 4! ( x I ( x x F ; x 3/,3 = = x = = ( (3! = ( (3 x i ( x F ; x J ( x = = = (! Οι συναρτήσεις I και J είναι γνωστές ως Bessel συναρτήσεις. Πιο συγκεκριµένα, η συνάρτηση J ( x y xy x y x είναι η λύση της διαφορικής εξισώσεως: + + ( =, και ονοµάζεται συνάρτηση Bessel πρώτου είδους τάξεως. Το ανάπτυγµα της J σε σειρά Tylor στο C µε κέντρο το µηδέν είναι: r + r ( ( x / J ( x =. r! Γ ( + r+ r= Η συνάρτηση I ( x = i J ( ix ονοµάζεται τροποποιηµένη συνάρτηση Bessel πρώτου είδους και εάν ο είναι ακέραιος, τότε I ( x = I ( x (βλέπε [AS] ή [S]. f z t erf ( iz erf ( z : = e dt, erfi( z =, (βλέπε [ΑS] σελ π i 3. Ο µετασχηµατισµός Melli Ένας ευρέως διαδεδοµένος µετασχηµατισµός της Ανάλυσης είναι ο µετασχηµατισµός Melli. Εάν f : µατισµό Melli: R C, είναι ολοκληρώσιµη στο [, +, ορίζουµε τον µετασχη- + 5

16 Έστω M : f ( Mf ( s, s ( ( (, Mf s = f x x dx s C. ( s Af s : f ( x x dx = C <, τότε ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Melli δίνεται από τον τύπο: όπου c ( A f Re. c+ i s f ( x = ( Mf ( s x ds πi, ( ci Παραδείγµατα Μετασχηµατισµών Melli (βλέπε [T] σελ. 9. t Ψ ( t =, ( MΨ ( s =Γ ( + s ζ ( + s t e t Ψ ( t = e, ( MΨ ( s = Γ ( s, όπου Re( s. 3, όπου Re( s > π Ψ ( t =, ( MΨ ( s =, όπου < Re(s <. + t si( π s 4 5 Γ( s Γ( - s Ψ ( t =, ( MΨ ( s =, όπου < Re(s < Re(α. Γ( s ( + t log( + t π Ψ ( t =, ( MΨ ( s =, όπου < Re(s <. t (- ssi( π s 4. Ο αθροιστικός τύπος των Euler-Mcluri Έστω η f ( x είναι συνάρτηση φορές παραγωγίσιµη µε συνεχείς παραγώγους στο διάστηµα (,Μ και έστω θ πραγµατικός αριθµός, έτσι ώστε < θ <, που εξαρτάται από την ( f ( x στο (, Μ. Ο αθροιστικός τύπος των Euler-Mcluri είναι ο εξής: 6

17 i M M ( ( f ( = f ( t dt+ ( f ( M + f ( + ( f ( M f ( + R ( f, M = = (! B όπου 48. B R f M f h h, (βλέπε [AS] σελ. 86, ή [Bru] σελ. 4- M ( (, = ( + θ (! = Μια εναλλακτική µορφή του παραπάνω τύπου, για f απόλυτα συνεχή στο [, Μ] είναι: M M f ( t t[ t] / dt= f ( ( f ( M + f ( f ( t dt ii ( = M 5. To Tuberi θεώρηµα του Abel Θεώρηµα: (βλ. και [Bru] σελ. 37 Εάν = l, τότε = li x = x = l. Το αντίστροφο ισχύει εάν li( =. 6. Οι αριθµοί Stirlig πρώτου και δεύτερου είδους Οι αριθµοί Stirlig πρώτου είδους µπορούν να ορισθούν ως οι αριθµοί ικανοποιούν την παρακάτω ισότητα: S που ( ( (...(,, = x x x + = S x x R N. 7

18 b Οι αριθµοί Stirlig δευτέρου είδους ικανοποιούν την παρακάτω ισότητα: S ορίζονται ως οι αριθµοί που ( ( x = S x( x...( x +. = Ένας κλειστός τύπος για τους S είναι ο εξής: ( S. ( = (! = Για περισσότερα πάνω στους αριθµούς Stirlig, βλέπε [AS] σελ

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ειγµατοληψία σε Ολοκληρωτικούς Μετασχηµατισµούς και σε Ορισµένες Kλάσεις Ειδικών Συναρτήσεων. Γενικά. Στην παράγραφο του Κεφαλαίου αυτού αναφερόµαστε σε νέους ολοκληρωτικούς µετασχηµατισµούς τύπου: f ( t( MΨ ( x+ it dt, x R, ( oπου η f είναι αναλυτική. Η συνάρτηση Ψ είναι αναπτύξιµη σε σειρά Tylor γύρω από το µηδέν στο (,, και MΨ είναι ο µετασχηµατισµός Melli της Ψ. Παίρνοντας ορισµένες τιµές της συνάρτησης f σε ένα διακριτό σύνολο, µπορούµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα ( από την σειρά ( Ψ ( π f ( i ( x+.! = Στην παράγραφο του Κεφαλαίου αυτού δίνουµε χωρίς µαθηµατική απόδειξη έναν νέο δειγµατοληπτικό τύπο ο οποίος ισχύει για ένα ευρύ φάσµα αναλυτικών συναρτήσεων στοr. Βλ. και: O Series Itegrls d Cotiued Frctios Hrdy Ruj Jourl, 6, pg

20 . ειγµατοληψία σε Ολοκληρωτικούς Μετασχηµατισµούς Το Κυρίως Θεώρηµα. Έστω x> και έστω ότι οι f, Ψ είναι αναλυτικές στο C και ικανοποιούν την συνθήκη: Re( z f ( z( MΨ ( x+ iz C( + z λ e δ ( για κάθε z µε I( z όπου c, λ, δ > σταθερές, µε την επιπλέον συνθήκη: z = x+ + /, όπου Ν φυσικός αρκετά µεγάλος. Τότε το ολοκλήρωµα f ( t( MΨ ( x+ it dt συγκλίνει απόλυτα, η σειρά κατά Abel και: π r = ( Ψ ( f ( i ( x+ συγκλίνει! ( Ψ ( f ( t( MΨ ( x+ it dt= li f ( i ( x+ r (! = Επιπλέον αν ( Ψ ( C f ( i ( x+! + η σειρά στην ( συγκλίνει. Για να αποδείξουµε το κυρίως θεώρηµα θα µας χρειαστεί το παρακάτω Θεώρηµα. Έστω ότι η Ψ αναπτύσσεται σε δυναµοσειρά γύρω από το µε ακτίνα σύγκλισης r > και έστω x R τέτοιο ώστε ( u x u Ψ du<+. Τότε ο µετασχηµατισµός Melli της Ψ επεκτείνεται αναλυτικά σε µια µερόµορφη συνάρτηση στο ηµιεπίπεδο Re( z < x µε απλούς πόλους στα σηµεία z= (για Z µε >x, Απόδειξη. Έστω < < r. Τότε αν z Z : ( z ( u u Ψ ( z+ Ψ du = u du = ( z+ ( u du =! =! = = Ψ ( z+ Ψ (! z+

21 όπου η σειρά συγκλίνει απόλυτα και οµοιόµορφα αφού < < r (γεγονός που δικαιολογεί και την εναλλαγή αθροίσµατος και ολοκληρώµατος. Άρα η z h ( z = Ψ( u u du είναι µερόµορφη στο C µε πόλους µόνο στα σηµεία z = και απλό πόλο σε κάθε z= ίσο µε υπόλοιπο z li =. + z ( Ψ (! (καθώς Επίσης η h z = Ψ u u du ( ( z ορίζεται και συγκλίνει απόλυτα ορίζοντας µια αναλυτική συνάρτηση όταν Re( z < x καθώς: ( u u z Ψ du = Και για την τυπική παράγωγο Ψ z ( u u log( Re( z Re( z x x u u du u u du Ψ( Ψ ( <+ x u du Cz Ψ ( u u du<+, (αφού Re( z Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη του Θεωρήµατος. < x. --Έστω ότι η Ψ είναι όπως στο θεώρηµα και x R είναι τέτοιο ώστε x Ψ ( u u du<+. Έστω η f είναι ολόµορφη στο άνω ηµιεπίπεδο I( z > και συνεχής στο I( z. Θεωρούµε τότε την συνάρτηση: g( z = f ( z MΨ ( x+ iz, Τότε από το Θεώρηµα η g είναι µερόµορφη στο ηµιεπίπεδο I( z > και συνεχής στο I( z (η συνέχεια του MΨ ( x+ iz έπεται από το Θεώρηµα κυριαρχούµενης σύγκλισης µε απλούς πόλους στα z= i( + x, όπου Z,, + x> και ( Ψ ( Res( g, i( x+ = f ( i( x+ i! Έστω γ R το άνω ηµικύκλιο µε διάµετρο [ R, R] όπου R= R = x+ + /, φυσικός. Τότε άρα g( z dz πi = γ R i( x+ στο εσωτ του γ R ( Ψ ( f ( i( x+ i!

22 R R π ( iθ iθ iθ f ( t MΨ ( x+ it dt+ f R e MΨ ( x+ ir e ir e dθ = ( ( = π f ( i( x+! Ψ > x Άρα αν το ολοκλήρωµα f ( t MΨ ( x+ it dt υπάρχει και επιπλέον ισχύει η συνθήκη: iθ ( iθ li R f R e MΨ ( x+ ir e dθ = π ( 3 τότε συγκλίνει και η σειρά και ισχύει ο εξής τύπος: H συνθήκη ( Ψ ( f ( t MΨ ( x+ it dt= π f ( i( x+ (4! = > x > x δεν χρειάζεται στο άθροισµα αν x>. `Έχοντας υπόψη τα παραπάνω και το Θεώρηµα µπορούµε να προχωρήσουµε. Απόδειξη του Κυρίως Θεωρήµατος. Για την ( η ( συνεπάγεται την απόλυτη σύγκλιση του ολοκληρώµατος f ( t( MΨ ( x+ it e it dt, για κάθε >. Η δε ( ισχύει καθώς αν < δ θα έχουµε: για R όταν θ π. iθ iθ R f ( R e MΨ ( x+ ir e e C( + R e e iθ ir e λ+ δ R cosθ R si( θ C + R e, λ+ R ( Άρα για κάθε > ισχύει: ( it Ψ ( ( x+ f ( t( MΨ ( x+ it e dt= π f ( i ( x+ e, =! + παίρνοντας τώρα και εφαρµόζοντας το Θεώρηµα κυριαρχούµενης σύγκλισης στο ολοκλήρωµα έχουµε την σχέση (.

23 Άρα η σχέση ( ισχύει αν Ψ αναλυτική σε µια περιοχή του, Ψ ( u u x du<+, f αναλυτική στο I( z > και συνεχής στο I( z και επιπλέον ισχύει η ( ή (3 για R= R = x+ + /. Ειδικότερα για τις εφαρµογές αρκεί να δοθούν ικανές συνθήκες για την f ώστε να ισχύει η (3 ή ( για συγκεκριµένη Ψ. --Έστω τώρα t ( ( t e t! Ψ = = οπότε M ( z ( z = MΨ ( t θα χρειαστούµε τα εξής τύπους: π i Γ( z Γ ( z =, Γ ( z+ = zγ ( z si( π z και Ψ =Γ. Για να εκτιµήσουµε το ii τον τύπο του Stirlig / ( z z Γ z = π e z h( z για Re( z όπου < c h( z c για Re( z. Με βάση αυτά έχουµε τα εξής: Λήµµα. Αν R και σ > φυσικός µε λ= σ + τότε για κάθε z µε I( z και z αρκετά µεγάλο έχουµε: I( z / e π Γ( iz z exp rg( z Re( z z, όταν rg( z [, π ] (όπου f ( z g( z σηµαίνει ότι υπάρχου σταθερές c, c > µε f ( z c c για το g( z αντίστοιχο σύνολο. Απόδειξη. 3

24 Αφού Γ( λ iz = ( + σ iz...( iz Γ( iz και από τον τύπο του Stirlig έχουµε: ( καθώς Re( λ iz = λ+ I( z λ+ y / ( y Γ( λiz e λiz exp ( ix iarg( λiz, ( z= x+ iy και για z αρκετά y λ iz µεγάλο, z c < < c + σ iz > z ότι το Arg είναι ο κλάδος στο [ π /, π / ]. παίρνουµε το ζητούµενο, δεδοµένου x Πράγµατι αν φ = Arg( λ iz = rct και rct x θ =, τότε: λ+ y y x / y x /( λ+ y λ x λ φ, θ (, π / και t( φ θ = = x x λ y+ z z + y λ+ y π άρα το x θ φ είναι φραγµένο για z µεγάλο στο I( z. Άλλα θ = rg( z όπου rg z [, π ] για I( z. Το ποσό µεγάλο πρέπει να είναι το z εξαρτάται από το λ αλλά στην ασυµπτωτική σχέση το λ δεν εµφανίζεται (µόνο στις σταθερές του ~ εµφανίζεται. Πόρισµα. Αν α, β R, τότε υπάρχει M = M ( α, β > τέτοιο ώστε: για κάθε z µε I( z και z > M. Γ( iz Γ( β iz z β Λήµµα. Έστω R και R= + + / µε φυσικό, R αρκετά µεγάλο. Τότε για κάθε θ [, π ] ισχύει: si / ( e R i e θ exp θ π rg( cos(. Γ + ir R π z R θ R 4

25 Απόδειξη. iθ π Έχουµε Γ ( + ir e = iθ iθ si( π ( + ir e Γ( ir e, αλλά τα R= + + / οπότε έχουµε i R cos π + i θ e π θ, Ν φυσικός µεγάλος, (βλ. και [C] σελ. 47. si( ( Re Άρα από το Λήµµα έχουµε το ζητούµενο. Πόρισµα. Αν, t R και t αρκετά µεγάλο τότε: / π t Γ ( ± it t exp. Με βάση τα παραπάνω έχουµε το εξής: Θεώρηµα. Έστω f αναλυτική στο άνω ηµιεπίπεδο I( z > και συνεχής στο I( z και τέτοια ώστε: I z z f ( z C( + z ρ e e στο I( z όπου b π /. Τότε για x > : b Re( z, ( f ( t Γ ( x+ it dt= li f ( i( x+ r! π r = Απόδειξη. Έπεται άµεσα από το Κυρίως Θεώρηµα και το Λήµµα. Πρόταση. Έστω f αναλυτική στο άνω ηµιεπίπεδο I(z > και συνεχής στο I( z και τέτοια ώστε υπάρχουν C, και b< π ώστε: b Re( z f ( z C( + z e, για κάθε z µε I( z. (α 5

26 Τότε η σειρά ( f ( i( + / είναι Abel αθροίσιµη και ισχύει = f ( t dt= li ( f ( i( / r + (β cosh( πt r = C Ειδικότερα αν f ( i( + /, =,,, για κάποιο C > τότε η σειρά + συγκλίνει και f ( t dt= ( f ( i( + / (γ cosh( πt = Απόδειξη. Έστω α > Θεωρούµε την συνάρτηση: iz g( z = e f ( z cosh( π z H g είναι µερόµοφη στο I(z > και έχει απλούς πόλους στα z = i (+/ µε: ( + / ( Res( g; i( + / = e f ( i( + /. Άρα αν > φυσικός, R = και γ R πi είναι το άνω ηµικύκλιο διαµέτρου [-R, R] θα έχουµε: ( ( + / g( z dz e f ( i( / π i = + (δ πi Αφού για R = φυσικός έχουµε γ R = cosh( e i R cos π R θ ce π θ, (βλ. και [C] σελ. 47 άσκηση 4 όταν c > σταθερά έχουµε από την ( για < π b π iθ ire iθ e iθ f ( Re ir e dθ iθ cosh( π R e π ( + R R e dθ π ( bπ R cosθ R siθ ( + R Re e dθ + καθώς R (R = φυσικός. Από την ( έχουµε Άρα παίρνουµε R f ( t dt< και cosh( πt = στην (δ και έχουµε: e f ( i( + / <+. = it e ( + / f ( t dt= ( f ( i( + / e (ε cosh( πt = 6

27 + Για κάθε α >. Θέτοντας τώρα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα κυριαρχούµενης σύγκλισης στην (ε προκύπτει η σχέση (γ. Πρόταση. Αν η f είναι όπως στην Θεώρηµα τότε η σειρά αθροίσιµη και ισχύει ( = li ( ( sih( πt r = ( f ( i είναι Abel = t f t dt f i r (ζ C Αν επιπλέον f ( i, =,, τότε η σειρά συγκλίνει και το άθροισµα της ισούται µε το ολοκλήρωµα στην (ζ. Απόδειξη. Παρόµοια µε αυτή της Πρότασης Πρόταση 3. Έστω f αναλυτική στο µοναδιαίο δίσκο D και συνεχής στο D µε f ( =, τότε Απόδειξη. i f ( t dt= ( f ( e π ( + π / + t = Η σειρά συγκλίνει απόλυτα αφού f ( z C z, για z / και ( i π f e w C άρα i w από το Πρόταση για την f ( e π ορισµένη στο ηµιεπίπεδο I( w παίρνουµε: πu ( / e = t π + iπ u ( f ( e = / f ( e = cosh( f ( t = = πu i i dt f ( t dt t+ t πt π + t 7

28 . ειγµατοληψία σε Ειδικές Αναλυτικές συναρτήσεις. Στην παράγραφο αυτή θα αναπτύξουµε σε σειρές µια ορισµένη κλάση αναλυτικών συναρτήσεων βάση των δειγµάτων αυτής σε ένα διακριτό σύνολο. Η ανάπτυξη στηρίζεται στην επόµενη Παρατήρηση. Έστω f είναι αναλυτική στο R, συµβολίζουµε ( f = ( f (. = Αν < ( f <, τότε = ( x f ( x = ( f,! = όπου Γ ( x+ ( x = = x( x+ ( x+... ( x+ Γ( x είναι το σύµβολο Pochher. ίνουµε την µέθοδο του πως καταλήξαµε στην παρακάτω Παρατήρηση: Για τη συνάρτηση f ισχύει: f ( x f ( ( = x. =! Χρησιµοποιώντας τους αριθµούς Stirlig δευτέρου είδους Ένας κλειστός τύπος για τα ( f ( f ( x = S x( x...( x =! + =. S είναι: S (βλ. Κεφ., έχουµε: 8

29 (βλ. Κεφάλαιο, 6. S = (! = ( Χρησιµοποιούµε την ( και έχουµε: f ( x = ( f (!! = = = f (! ( = = = = f (!!! ( = = = = = ( = = ( ( ( ( x ( f (!!. ( x x( x...( x + ( x Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας µε!, έχουµε τον ζητούµενο τύπο. Συνδυάζοντας το Θεώρηµα της Παραγράφου και την Παρατήρηση αυτής της Παραγράφου έχουµε τις ακόλουθες Προτάσεις: Πόρισµα από Παρατήρηση. Έστω οι f, g είναι ακέραιες συναρτήσεις τότε: l ( ( f ( f ( g( = g( + l!! l!, = = l= όπου το ( f έχει οριστεί στο Θεώρηµα αυτής της παραγράφου. Απόδειξη. Ισχύει ( f f ( x = ( x.! = 9

30 Αναπτύσσουµε το σύµβολο του Pochher στην µορφή των Γάµα συναρτήσεων: άρα συνεπώς ( f Γ( x+ f ( x =! Γ( x = ( f f ( x Γ( x = Γ( x+! = ( f f ( ix Γ ( ix = Γ ( ix+.! = Πολλαπλασιάζοντας και τα δυο µέλη µε g(-xi, παίρνουµε: s ( f g( xi f ( xi Γ ( xi = Γ ( xi+ s g( xi. (α s! s= Ολοκληρώνοντας τη σχέση (α σε όλη την πραγµατική ευθεία και χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα της Παραγράφου παίρνουµε το αποτέλεσµα. Πόρισµα από Παρατήρηση. Έστω f αναπτύσσεται σε σειρά Tylor γύρω από µηδέν µε ακτίνα σύγκλισης σε όλο το R, τότε εάν, b R, < b, ισχύει: b f ( t dt= ( f b + + ( ( S. =! = + Απόδειξη. Έστω, b R, < b τότε: b f ( t dt= b ( f ( x dx!. (β = Για τους S που είναι οι αριθµοί Stirlig πρώτου είδους, (βλ. Κεφάλαιο ισχύει: ( ( x = ( x( x...( x + = ( S x = ( (γ 3

31 Παίρνοντας υπόψη τις (β,(γ εύκολα έχουµε την απόδειξη. Σηµειώσεις στο Κεφάλαιο : i Ένα πλεονέκτηµα των Πορισµάτων, της Παραγράφου είναι ότι µας δίνουν µια επαλήθευση της Παρατήρησης. ii Οι αριθµητικές εφαρµογές αυτού του Κεφαλαίου βρίσκονται στο Κεφάλαια 3 και 6. 3

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Νέα ειγµατοληπτικά Θεωρήµατα και µια ειγµατοληπτική εφαρµογή του αθροιστικού τύπου των Euler-Mcluri. Γενικά Στην παράγραφο του Κεφαλαίου αυτού παρουσιάσουµε δυο νέους δειγµατοληπτικούς τύπους χρησιµοποιώντας θεωρήµατα της µιγαδικής ανάλυσης. Στη παράγραφο δίνουµε µια άλλη µορφή του αθροιστικού τύπου των Euler- Mcluri και αποδεικνύουµε νέες δειγµατοληπτικές προτάσεις. Τα αποτελέσµατα αυτά έχουν εκδοθεί στο περιοδικό Jourl of Splig Theory i Sigl d Ige Processig.Vol 5, No., (6, pp

33 . Νέα δειγµατοληπτικά θεωρήµατα Θεώρηµα Έστω f είναι µία ακεραία συνάρτηση µε f ( i Τότε ισχύει για x R Z <+. sih( π x f ( x = ( π x + ix + f ( i, ( = αν και µόνο αν η f ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες: (α Υπάρχει C > µε f ( z Re( z Ce π για κάθε z C π x (β li e x f ( x =. x ± x R Απόδειξη. Έστω ότι ισχύει η (. Τότε θα έχουµε για κάθε z C µε z i ( Re( z > ότι Z και + iz z ( (Απόδειξη: γράφεται ισοδύναµα: 4 ( z z I( z + z και το τριώνυµο 4 4 (I + = ( Re < ως προς έχει διακρίνουσα z ( z z z ( z Άρα: Z + iz + ( f ( i < z f ( i Z 33

34 Από όπου προκύπτει τα (α. Το (β έπεται από το θεώρηµα κυριαρχούµενης σύγκλισης αφού li = x ± + ix x R για κάθε Z και x, ix < R + Z. Αντιστρόφως έστω ότι ισχύουν τα (α, (β Θεωρούµε την µερόµορφη συνάρτηση: π z g( z = f ( z sih( π z Η g έχει πόλους στα z= i, Z µε: Res( g; i = ( if ( i. Έστω: ɶ ( ( + g z = f ( i Z + iz H gɶ είναι µερόµορφη µε πόλους στα i, Z και Res( gɶ ; i = Res( g; i αφού Z f ( i <+. Άρα η h( z = g( z ɶ g( z είναι ακέραια και αφού όπως πριν li gɶ ( x =, λόγω του (β έχουµε: x ± x R li h( x =. ( x ± x R Επίσης έστω > φυσικός και z C µε z = + /. Τότε + iz 4 z, για κάθε Z ( (Απόδειξη: Αφού + iz z = + / για κάθε έχουµε: 4 z + iz αν z ενώ αν > z τότε: + iz z / άρα: 4 + iz < Άρα: z αφού >. h( z g( z + gɶ ( z C z, (3 για κάποιο C > και κάθε z C µε z = + /, όπου φυσικός µε >. (Αρκεί να χρησιµοποιήσουµε την (α και την παρατήρηση ότι αν z = + / τότε Re( z π z ce π για κάποια σταθερά c >. sih( Πράγµατι αν z = x + i y 34

35 sih( π z = sih ( π x + si ( π y x x / 6 x e π ( e π π + si π y ( e e π αν x / ενώ αν x < / τότε + / y /, άρα π > si y / 4. Άρα έχουµε h(z = z + b όπου, b C. Αλλά η ( τώρα δίνει α = b = άρα h( z z C από όπου προκύπτει η (. Θεώρηµα. Έστω f είναι µία ακεραία συνάρτηση µε f ( i( + / <+. Τότε ισχύει για x R Z cosh( π x f ( x = ( f ( i( + /, ( π + + ix Z αν και µόνο αν η f ικανοποιεί τις ιδιότητες: (α Υπάρχει C > µε f ( z Re( z Ce π για κάθε z C π x (β li e f ( x =. x ± x R Απόδειξη. Οµοίως µε το θεώρηµα. 35

36 . O Αθροιστικός τύπος των Euler-Mcluri. Παρακάτω δίνουµε µια ειδική µορφή του αθροιστικού τύπου των Euler-Mcluri (βλέπε Κεφ., παρ. 4. Στον τύπο Euler-Mcluri, αντικαθιστούµε τους αριθµούς ( ( Beroulli Β, τις παραγώγους f ( M, f ( και το σφάλµα R ( f, M µε ένα ολοκλήρωµα. ίνουµε επίσης και ορισµένους νέους δειγµατοληπτικούς τύπους. Θεώρηµα. Εάν f είναι απόλυτα συνεχής και άρτια στο R και f L ( R τότε M = M f ( = f ( t dt+ ( f ( M + f ( + π γ ( γ cot f c ^ ( γ si( Mγ dγ, γ όπου M =,,3. Πρόταση. Έστω ότι η συνάρτηση f αναπτύσσεται σε σειρά Tylor γύρω από το µηδέν στο (-,,. Επίσης η σειρά Tylor της f συγκλίνει απόλυτα στο τότε υπάρχει σταθερά c η οποία εξαρτάται από την f και ισχύει: όπου: f = f dx+ c+ O x, = ( s f ( c= f ( + f ( γ + ζ ( s s s! s. Πρόταση. 36

37 Έστω f είναι ακεραία συνάρτηση και η σειρά Tylor της f συγκλίνει απόλυτα στο τότε: όπου x x f ( f + f f ( x = π i πi = = (! (!, B είναι οι αριθµοί Beroulli. ( B Πρόταση 3. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι άρτια µε f(= και αναλυτική στο δίσκο D(; r, r> και x R µε x < r. Τότε: 4π π it it e f ( xe dt= f it exp( e = x πi. Για να προχωρήσουµε στις αποδείξεις των προτάσεων θα χρειαστούµε ορισµένα Λήµµατα. Λήµµα. Έστω f αναπτύσσεται σε σειρά Tylor γύρω από το µηδέν στο (-α, α, για. Εάν επίσης η σειρά Tylor της f συγκλίνει απόλυτα στο : τότε έχουµε: A ζ ( s, s! ( s = f ( <+ s= f = f ( + f (l + f ( γ +Α+ O. = Απόδειξη. Αναπτύσσουµε την f σε σειρά Tylor γύρω από το µηδέν και έχουµε ( s ( s f ( s f ( f = = s! s! = = s= s= = s s ( s f ( f ( f ( H ζ ( s s! = + +, 37

38 Όπου Όµως: s ζ ( s =. = µ s s s = + µ = + µ ζ ( s = ζ ( s + < ζ ( s + t dt= ζ ( s + t dt ζ s+ ( (. = s s + Έτσι έχουµε ζ ( s ζ ( s = O, s >. s Από τα παραπάνω παίρνουµε την απόδειξη. Λήµµα. Έστω ότι η συνάρτηση f αναπτύσσεται σε σειρά Tylor στο (,,. Εάν επίσης η σειρά Tylor της f συγκλίνει απόλυτα στο τότε και ισχύει: ( s f ( B= <+ s!( s s= f dx = f ( + f ( + f (l + B+ O,, =,,... x Απόδειξη. Έστω Έχουµε: = = f ( x x. / f ( z s f dx= f ( z d dz z sz dz x = z = z / / s= s ( s / s= / = z + z dz+ z dz s z = + + l + s s= s / 38

39 όπου s = + + l + + O s= s = f ( + f ( + f (l + B+ O, s ( s f ( =, s=,,,... s! Απόδειξη της Πρότασης. (Εύκολη από τα Λήµµατα,. Απόδειξη της πρότασης. Από το Λήµµα, έχουµε: Αλλά = ( x x f ( f + f f ( = ζ ( x. = (! (π ( ζ ( = B (βλέπε [AS] σελ ή Κεφ,. (! Παίρνοντας υπόψη τις παραπάνω σχέσεις η απόδειξη ολοκληρώνεται εύκολα. Απόδειξη της Πρότασης 3. Έστω η συνάρτηση: f ( x / z g( z = z e H g είναι µερόµορφη στο z µε πόλους στα z= πi, Z ( και: x Res( g, πi = f. π i 39

40 Έστω R= π ( + / όπου φυσικός. Τότε από το Θεώρηµα του Cuchy (τύπος ολοκληρωτικών υπολοίπων παίρνουµε: x dz x dz f + f = z π i z e π i z e f z z= z= R x = π πi < i< R R < π f x, αφού η f είναι άρτια. π i Αφού f άρτια µε f(= υπάρχει c > µε: f ( w x f ( x / z C αν R> x / r και επίσης η σειρά R c w για κάθε r w άρα: x f = πi συγκλίνει απόλυτα. z Παρατηρώντας ότι e c > για κάποια σταθερά c και κάθε z µε z = π ( + / = R ( c ανεξάρτητη του παίρνουµε R στην παραπάνω σχέση και έχουµε το ζητούµενο. Απόδειξη του Θεωρήµατος. Για κάθε f απόλυτα συνεχή στο [, Μ] ισχύει: M M f ( t( t[ t] / dt= f ( ( f ( M + f ( f ( t dt = ξ Άρα αν g( t = ( t[ t] / X [, M ]( t τότε (για M M itξ itξ d e g ^ ( ξ = ( t[ t] / e dt = ( t[ t] / dt dt iξ M M ξ ( imξ itξ = e + e e dt iξ = imξ imξ e imξ e = + ( e iξ iξ e iξ imξ e = (cot( ξ / / ξ ξ M 4

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές. 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

I = 1. cos z. dz = = 1 z 2 cos z + 2z sin z + 2 cos z 2. z(z π) 3 dz. f(re iθ. f(z)

I = 1. cos z. dz = = 1 z 2 cos z + 2z sin z + 2 cos z 2. z(z π) 3 dz. f(re iθ. f(z) ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση. Χρησιμοποιώντας τους ολοκληρωτικούς τύπους Cauchy υπολογίστε το ολοκλήρωμα I = πi z(z π) 3 dz,

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τα βασικότερα στοιχεία που είναι απαραίτητα για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους Έτσι, δίνονται συστηµατικά οι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα:

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα: ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f () = uy (, ) + vy (, ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο = + y αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα: ) Οι πρώτες μερικές παράγωγοι u( y,

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

16 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ BESSEL

16 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ BESSEL SECTION ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ BESSEL. Ορισµοί Οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση του Bessel y'' y' ( )y καλούνται συναρτήσεις Bessel τάξης. Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης του Bessel είναι

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας.

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας. Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερµότητας Εστω Ω είναι ανοικτό σύνολο του µε γνωστή θερµοκρασία στο σύνορό του Ω κάθε χρονική στιγµή και γνωστή αρχική θερµοκρασία σε κάθε σηµείο του Ω Τότε οι φυσικοί νόµοι

Διαβάστε περισσότερα

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( ) 3 Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος Ολόµορφες συναρτήσεις Τοπολογικοί ορισµοί Ορισµός 3 Εστω και ε > Καλούµε ε-ανοικτή περιοχή ή ανοικτό δίσκο κέντρου και ακτίνας ε το σύνολο { ε} D ( ) = : < ε Ορισµός 3 Έστω Το

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός-Z. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός-Z. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μετασχηµατισµός-Z Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μετασχηµατισµός - Ιδιότητες Μετασχηµατισµού- Γραµµικότητα Χρονική Ολίσθηση Κλιµάκωση

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

4. Μιγαδική Ολοκλήρωση. Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές. ( ) ( ) ( )

4. Μιγαδική Ολοκλήρωση. Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές. ( ) ( ) ( ) 4 Μιαδική Ολοκλήρωση Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµοές Καµπύλες στο Μιαδικό επίπεδο Oρισµός 4 Αν, :[, ] xy a είναι συνεχείς πραµατικές συναρτήσεις τότε κάθε απεικόνιση :[ a, ] : t = x t + iy t, καλείται (προσανατολισµένη)

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Νικόλαος. Ατρέας Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 6/7 Περιεχόµενα A. Ορολογία. 4 B. Χρήσιµα στοιχεία θεωρίας. 6 B. Πολλαπλά ολοκληρώµατα Riema. 6 B. Mη γνήσια ολοκληρώµατα Riema σε µη φραγµένα

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

Σειρές πραγματικών αριθμών

Σειρές πραγματικών αριθμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ Σειρές πραγματικών αριθμών Προσέγγιση του π < π < Αρχιμήδης ο Συρακούσιος (87 π.χ - π.χ.) 7 7 π = Frçois Viète (54-6) + + + π 4 4 6 6 8 8 = Joh Wllis (66-7) 5 5 7 7 9 4 π = + Viscout Broucker

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard. Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης nstam84@gmail.com 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Εισαγωγή Οι γεννήτριες συναρτήσεις είναι ένα από τα ισχυρά εργαλεία για μια ενοποιημένη αντιμετώπιση πολλών κατηγοριών προβλημάτων απαρίθμησης Ο Lplce έθεσε πρώτος τις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ρ. Χρήστος Βοζίκης

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ρ. Χρήστος Βοζίκης ΤΜΗΜΑ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ - ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 7 Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ ον ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ :

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις.

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις Γενικά Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα