ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ. ΜΠΑΓΚΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ. ΜΠΑΓΚΗΣ"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ. ΜΠΑΓΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΤΥΠΩΝ ΜΕ ΝΕΕΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ. ιδακτορική διατριβή ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 7

2 Αφιερώνεται στους γονείς µου ηµήτριο και Ευαγγελία και στον αδελφό µου Τρύφων

3 Βιογραφικό Σηµείωµα Ο κ. Νικόλαος.. Μπαγκής γεννήθηκε στις 5//974 στην Έδεσσα του Νοµού Πέλλας. Φοίτησε στο 3 Γυµνάσιο και έπειτα στο Γενικό Λύκειο Έδεσσας. Κατά την διάρκεια των σπουδών του στο Γενικό Λύκειο βραβεύθηκε µε έπαινο για τις επιδόσεις του στο Πανελλήνιο διαγωνισµό της Μαθηµατικής Εταιρείας. Εισήχθη, έπειτα από Πανελλήνιες Εξετάσεις στο Γεωλογικό Τµήµα του Α.Π.Θ. Τον επόµενο χρόνο ξανάδωσε εξετάσεις και εισήχθη στο Μαθηµατικό τµήµα του Α.Π.Θ. οπού πήρε την κατεύθυνση των εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και απεφοίτησε µε γενικό βαθµό 6,6. Εκπόνησε διδακτορική διατριβή στο τµήµα Υπολογιστών του Α.Π.Θ. υπό την επίβλεψη του Καθηγητή Κωνσταντίνου Καρανίκα. Κατά την διάρκεια των σπουδών έλαβε µέρος σε Πανελλήνιο διαγωνισµό για τα Μαθηµατικά, µέσω Iteret όπου πήρε την πρώτη θέση. Είναι κάτοχος του διπλωµατών Bsic και Stdrd certificte i Eglish, του οργανισµού Plso. 3

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε στον Τµήµα Υπολογιστών του Α.Π.Θ., υπό την επίβλεψη της Τριµελούς Συµβουλευτικής Επιτροπής αποτελούµενης από τους κυρίους Καθηγητές Κ. Καρανίκα, Ι. Αντωνίου και τον Επίκουρο Καθηγητή Ε. Αγγελή, τους οποίους ευχαριστώ θερµά για την πρόθυµη συµµετοχή τους σε αυτήν την επιτροπή. Ευχαριστώ βαθύτατα τον επιβλέποντα Καθηγητή Κωνσταντίνο Καρανίκα, ο οποίος µε την επιστηµονική καθοδήγηση, την υποµονή, το αδιάκοπο ενδιαφέρον και την ηθική υποστήριξη σε όλη τη διάρκεια των σπουδών µου, συνέβαλε τα µέγιστα στην εκπόνηση αυτής της διατριβής. Ευχαριστώ επίσης τον Καθηγητή Α. Μελά και τον κ. Επίκουρο Καθηγητή Θ. Σταυρόπουλο για τις πολύτιµες υποδείξεις τους επάνω στην παρούσα διατριβή. Ευχαριστώ τον Λέκτορα Ν. Ατρέα για την συνεχή εποικοδοµητική συνεργασία και καθοδήγηση καθόλη την περίοδο της σπουδής µου. Ευχαριστώ θερµά τους γονείς µου ηµήτριο και Ευαγγελία και τον αδελφό µου Τρύφων για την ηθική συµπαράσταση τους καθ` όλη τη διάρκεια της εκπόνησης της διατριβής αυτής. Τέλος ευχαριστώ όλους τους υποψήφιους διδάκτορες, της ερευνητικής οµάδας του Καθηγητή Κωνσταντίνου Καρανίκα. Θεσσαλονίκη 3/6/7 Νικόλαος Μπαγκής. 4

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελ. Περίληψη. -3 Κεφάλαιο. 4-3 Εισαγωγικές έννοιες. Κεφάλαιο. 4-7 ειγµατοληψία σε Ολοκληρωτικούς Μετασχηµατισµούς και Ειδικές αναλυτικές συναρτήσεις. Κεφάλαιο Νέα ειγµατοληπτικά Θεωρήµατα και µια ειγµατοληπτική εφαρµογή του αθροιστικού τύπου των Euler-Mcluri. Κεφάλαιο Εφαρµογές των Κεφαλαίων και. Κεφάλαιο Σφάλµατα διαταραχής και αποκοπής σε ειγµατοληπτικές Σειρές. Κεφάλαιο Η συνάρτηση ζ του Rie ως µέσο για τον υπολογισµό σειρών συναρτήσεων µε τιµές πάνω στο σύνολο των πρώτων αριθµών. Κεφάλαιο Παράδειγµα αριθµητικών προσεγγίσεων σε ολοκληρωτικούς τύπους. Βιβλιογραφία

6 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της παρούσης διατριβής είναι η εύρεση νέων δειγµατοληπτικών Θεωρηµάτων και νέων υπολογιστικών εφαρµογών αυτών σε µια ποικιλία αναλογικών σηµάτων και υπολογιστικών προβληµάτων. Είναι πολύ γνωστή τον Εικοστό αιώνα η συνεισφορά του κλασσικού ειγµατοληπτικού Θεωρήµατος του Sho, που στηρίζεται στο µετασχηµατισµό Fourier, στην ανάπτυξη της τεχνολογίας, στα µαθηµατικά και τη θεωρία πληροφορίας (βλέπε [K]. To κύριο θεώρηµα του Sho για συναρτήσεις f πεπερασµένου φάσµατος στο [-σ, σ], δίνεται από τον τύπο: si σ ( x T f ( x = f ( T, T = π / σ, σ ( x T = δηλαδή η συνάρτηση f ανακατασκευάζεται από τα δείγµατα αυτής. Στα τέλη του προηγούµενου αιώνα η θεωρία του Sho γενικεύθηκε στα πλαίσια της κυµατιδιακής θεωρίας (wvelet, δίνοντας εκ νέου µια σηµαντική ώθηση τόσο στη θεωρία της δειγµατοληψίας όσο και στις τεχνολογικές εφαρµογές, βλέπε [D]. Η παρούσα διατριβή ασχολείται µε την ύπαρξη νέων δειγµατοληπτικών θεωρηµάτων, που βασίζονται στους κλασσικούς µετασχηµατισµούς όπως του Melli και σε ειδικές συναρτήσεις τύπου G, Zet, κλπ. και εφαρµόζει αυτά σε υπολογιστικά προβλήµατα ολοκληρωτικών τύπων, αριθµητικών σειρών, συναρτήσεων και σταθερών. Ασχολούµαστε επίσης µε την Αναλυτική Θεωρία αριθµών, όπου γενικεύουµε τον θεµελιώδη τύπο του Euler για την περίφηµη Ζήτα συνάρτηση του Rie σε µια µορφή που διευκολύνει κατά πολύ τους υπολογισµούς δειγµατοληπτικών αθροισµάτων πάνω στο σύνολο των πρώτων αριθµών. Υπενθυµίζουµε ότι η συνάρτηση Ζήτα του Rie είναι ζ ( s s =. = Στο Κεφάλαιο παρουσιάζουµε ορισµένα καινούργια δειγµατοληπτικά Θεωρήµατα. Τα Θεωρήµατα αυτά βασίζονται στον ολοκληρωτικό µετασχηµατισµό του Melli 6

7 ( Ψ ( f ( t( MΨ ( x+ it dt= π f ( i( x+,! όπου (ΜΨ είναι ο µετασχηµατισµός Melli µιας συνάρτησης Ψ και η f είναι µια ακεραία συνάρτηση. Εποµένως ο ανωτέρω ολοκληρωτικός τύπος εκφράζεται συναρτήσει των δειγµάτων της f. Στο Κεφάλαιο παρουσιάζουµε τις ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε να ικανοποιούνται δυο νέα δειγµατοληπτικά θεωρήµατα σε ακέραιες συναρτήσεις. Στην παράγραφο δίνουµε επίσης µια δειγµατοληπτική έκφραση του αθροιστικού τύπου των Euler-Mcluri. Στο Κεφάλαιο 3 δίνεται ένα πλήθος εφαρµογών των Κεφαλαίων και. Συγκεκριµένα: α Παρουσιάζουµε ακριβείς δειγµατοληπτικούς τύπους για τον υπολογισµό δύσκολων ολοκληρωµάτων και σειρών = β ίνεται ένα τυπολόγιο µε αριθµητικές εφαρµογές των δειγµατοληπτικών θεωρηµάτων των Κεφαλαίων και, για µια ποικιλία συναρτήσεων σειρών και ολοκληρωτικών τύπων. Στο Κεφάλαιο 4 αυτό υπολογίζουµε το σφάλµα διαταραχής (Jitter error σε δειγµατοληπτικές σειρές κυµατιδίων (wvelets, γενικεύοντας και επεκτείνοντας προηγού- µενους υπολογισµούς για συναρτήσεις πεπερασµένου φάσµατος (βλέπε [ΑΒΚ]. Στο Κεφάλαιο 5 επεκτείνουµε το θεµελιώδη τύπο του Euler, που συνδέει τη συνάρτηση Ζήτα µε γινόµενα πρώτων αριθµών: p, s s = > prie p ζ ( s. Αποδεικνύουµε ότι αν η συνάρτηση f είναι απειροδιαφορίσιµη στο δίσκο {z C : z α, α }, ισχύει ο τύπος: ( d log( ζ ( s f ( f = µ p Γ( d d, s p = d όπου Γ είναι η συνάρτηση Γάµµα και µ η συνάρτηση Moebius (βλέπε Κεφάλαιο. Αποδεικνύεται επίσης ότι όταν f ( x = log( x, ο ανωτέρω τύπος µας δίνει τον τύπο του Euler. Στο ίδιο Κεφάλαιο υπολογίζουµε το σφάλµα αποκοπής (tructio error του παραπάνω τύπου και δίνουµε µια εφαρµογή για τον ταχύτερο υπολογισµό της σταθεράς Euler-Totiet. Ο ακριβής υπολογισµός αυτής της σταθεράς είναι ένα παλαιό ανοιχτό πρόβληµα. Μόλις πριν από πέντε χρόνια έγινε ο υπολογισµός αυτής της σταθεράς µε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων. 7

8 Τέλος στο Κεφάλαιο 6 της διατριβής δίνουµε παραδείγµατα δειγµατοληπτικών τύπων, που µπορούν να εµπλουτίσουν ένα λογισµικό τύπου Mthetic ή Mtlb µε δυσεπίλυτα ολοκληρώµατα, σειρές και ολοκληρωτικούς τύπους. Για τους υπολογισµούς αυτούς δίνεται ο χρόνος υπολογισµού και συγκρίνεται µε τους υπολογιστικούς χρόνους των κλασσικών µεθόδων. Αποδεικνύεται ότι ο υπολογιστικός χρόνος µειώνεται κατά % έως και 9% σε πολλές περιπτώσεις (βλέπε Πίνακα στο τέλος του κεφαλαίου 6. Στο επόµενο Κεφάλαιο δίνονται διάφοροι ορισµοί, που χρειάζονται για την ανάπτυξη των Προτάσεων και Θεωρηµάτων της διατριβής αυτής. 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγικές έννοιες. Κυµατιδιακού τύπου (wvelet-type ειγµατοληπτικά Θεωρήµατα Έστω f µία πραγµατική συνάρτηση, ορίζουµε τον χώρο L ( R όλων των ολοκληρώσιµων κατά Lebesgue συναρτήσεων: L ( : ( p pr = f f t dt<+, p. Σηµειώνουµε ότι ο L ( R είναι χώρος µε εσωτερικό γινόµενο: =, f, g f ( t g( t dt όπου g είναι η συζυγής συνάρτηση της g. p Ο µετασχηµατισµός Fourier και ο αντίστροφος αυτού ορίζονται από το επόµενο: Θεώρηµα. (Βλέπε [Ch] σελ 3-34 Έστω f L ( R L ( R, ο µετασχηµατισµός Fourier f ^ της f ορίζεται ως εξής: 9

10 = itγ f ^ ( γ f ( t e dt και είναι συνάρτηση του L ( R. Ο παραπάνω µετασχηµατισµός αντιστρέφεται ως εξής: iγ t f ( t = f ^ ( γ e dγ π και είναι ισοµετρία, δηλαδή για συναρτήσεις f, g L ( R, ισχύει: f, g = f ^, g ^. π Με τον όρο δειγµατοληπτική θεωρία (Splig Theory αναφερόµαστε στην ανακατασκευή µιας συνάρτησης από µια ακολουθία δειγµάτων της. Η θεωρία αυτή συνδέεται άµεσα µε την Ανάλυση Fourier, τη Θεωρία Προσεγγίσεων, την Ανάλυση Σφαλµάτων και τη Θεωρία Ολοµόρφων Συναρτήσεων. Απαρχή της ειγµατο- ληπτικής Θεωρίας θεωρούνται οι εργασίες των Kotel iov (933 και Sho (949, οι οποίοι έδωσαν το υπόβαθρο της θεωρίας επικοινωνιών βάσει του ακόλουθου: Θεώρηµα. ( ειγµατοληπτικό θεώρηµα του Sho Έστω f συνάρτηση της οποίας ο µετασχηµατισµός Fourier είναι µηδέν έξω από το διάστηµα [ σ, σ ], όπου σ >. Η συνάρτηση αυτή µπορεί να ανακατασκευαστεί πλήρως από την ακολουθία των δειγµάτων της { f ( / σ } Z από τη σχέση: si π ( σ x f ( x = f, ( x R, ( Z σ π ( σ x όπου η σύγκλιση είναι απόλυτη και οµοιόµορφη στον R. Ιδιαίτερη ώθηση στη δειγµατοληπτική θεωρία έδωσε η θεωρία κυµατιδίων που βασίζεται στην Ανάλυση Πολλαπλής Ευκρίνειας (ΑΠΕ (Multiresolutio Alysis του L ( R.

11 Μια ΑΠΕ του L ( R περιλαµβάνει µια διατεταγµένη ακολουθία υποχώρων {V j V j+, j Z } του L ( R και µια συνάρτηση φ L ( R που καλείται ορθοκανονική κλιµακωτή συνάρτηση, έτσι ώστε: (α V = L ( R και j j jv j ={}. (β f V f (. V + για κάθε j Z. j j (γ το σύνολο { φ(., Z } αποτελεί µια ορθοκανονική βάση του V. Επιπλέον, εάν ισχύουν οι επόµενες συνθήκες πάνω στην γεννήτορα συνάρτηση φ: i i η σειρά ϕ( e γ συγκλίνει σηµειακά σε µία συνεχή π-περιοδική συνάρτηση, = ii η παραπάνω σειρά δεν έχει πραγµατικές ρίζες στο [-π, π], τότε έχουµε το ακόλουθο δειγµατοληπτικό ανάπτυγµα: j f V j, f ( x = f S( x j, Z όπου η S(x καλείται δειγµατοληπτική συνάρτηση του υποχώρου V και συνδέεται µε τη γεννήτορα συνάρτηση φ µε τον τύπο: όπου S ^ ( γ = ϕ ^ ( γ, γ R, i ϕ( e γ = S ^ είναι ο µετασχηµατισµός Fourier της S.

12 . ιάφορες ειδικές συναρτήσεις Οι αριθµοί Beroulli B ορίζονται από την σχέση: 4 z B = z, z z < π. e! = B =, B = /, B = / 6, B = / 3 B =, = +,,3,.... Αξίζει να σηµειώσουµε ότι οι αριθµοί Beroulli είναι ρητοί. b Η Ζήτα συνάρτηση του Rie ορίζεται στο ηµιεπίπεδο Re(s > από τον τύπο: ζ ( s s =. Μια γνωστή ιδιότητα της συνάρτησης ζ είναι ότι συνδέεται µε γινόµενα πρώτων αριθµών µέσω της σχέσης (Euler:, s s = > p p ζ ( s, ( όπου το p διατρέχει όλους τους θετικούς πρώτους. Η συνάρτηση ζ επεκτείνεται σε όλο το C, εκτός του s =, όπου έχει απλό πόλο, από τη σχέση: s = ( ζ ( s = s π si π s Γ( s ζ ( s. (3 O παραπάνω τύπος αποδείχθηκε από τον Rie και χρησιµοποιήθηκε στην περίφηµη απόδειξή του για την ασυµπτωτική συµπεριφορά της συνάρτησης που µετρά το πλήθος των πρώτων που είναι µικρότεροι ή ίσοι από κάποιον αριθµό x. (Όπου t x x e t dt Γ ( =

13 Ορισµένες γνωστές τιµές της συνάρτησης ζήτα που θα χρησιµοποιήσουµε στη συνέχεια είναι οι εξής: ζ ( = / ζ ( = ζ ( = log( π ζ ( =, =,,3,... B (,,,3,... ζ = = ( π ( π ( B ζ ( = B ή καλύτερα ζ ( =, =,,3,... (! (! Για τους αριθµούς ζ (+, =,, 3,..., δεν έχει βρεθεί ακόµη ακριβής τύπος. Επίσης, είναι άγνωστο εάν οι αριθµοί αυτοί είναι άρρητοι ή όχι. Το 979, ο Apery απόδειξε ότι ο ζ(3 ή αλλιώς η σταθερά Apery, όπως ονοµάστηκε προς τιµήν του, είναι άρρητος. c Η συνάρτηση Γάµµα (G fuctio γνωστή και ως συνάρτηση G του Euler είναι η εξής: s x s x e dx Γ ( =. Ορίζεται σε όλο το C εκτός από τα σηµεία, -, -, -3,, όπου έχει απλούς πόλους. Σηµειώνουµε ότι η συνάρτηση / Γ( s είναι αναλυτική. Παραθέτουµε ορισµένες ιδιότητες της G συνάρτησης: Γ ( z+ = zγ( z, z C. Γ ( + =!, N. π 3 Γ( z Γ( z =, < Re( z <. si( π z 3

14 4 Εάν z <, τότε: ( z log ( γ z = ζ ( ( z Γ + = +, όπου γ είναι η σταθερά του Euler και µπορεί να υπολογισθεί από τον τύπο = log( + γ + O, N, 3 (για περισσότερα βλέπε [Be] Κεφάλαιο 7. Γ ( x d Η συνάρτηση ψ ορίζεται από τη σχέση: ψ ( x = και ισχύει: Γ ( x ψ ( x + γ = = + x (i B Ψ ( x+ ~ l x+ x ( x. (ii = Το άθροισµα (ii ισχύει µε την έννοια ότι όσο αυξάνεται το, τότε πρέπει να δίνουµε και στο άθροισµα µια ανάλογη αύξηση στο x. e Οι Υπεργεωµετρικές συναρτήσεις F ορίζονται από τη σχέση: F,,..., (...( x ; x b, b,..., b =, = ( b...( b! όπου Γ ( + ( = = ( + ( +... ( +, µε =,,,, είναι το Γ( σύµβολο του Pochher µε ( =, ( =!, (βλέπε και [Be] Κεφ. Ι, II. Στο Κεφάλαιο 3, όπου βρίσκονται οι εφαρµογές, θα χρειαστούµε τη βοήθεια των υπεργεωµετρικών συναρτήσεων µε <. Παραθέτουµε ορισµένα παραδείγµατα αυτών: i x F ; x cosh( / = = x = (/! 4

15 ( i x ; = = Γ ( 3/8 F x 3/ 4 4 / 4 x I x = (/ 4! ( x I ( x x F ; x 3/,3 = = x = = ( (3! = ( (3 x i ( x F ; x J ( x = = = (! Οι συναρτήσεις I και J είναι γνωστές ως Bessel συναρτήσεις. Πιο συγκεκριµένα, η συνάρτηση J ( x y xy x y x είναι η λύση της διαφορικής εξισώσεως: + + ( =, και ονοµάζεται συνάρτηση Bessel πρώτου είδους τάξεως. Το ανάπτυγµα της J σε σειρά Tylor στο C µε κέντρο το µηδέν είναι: r + r ( ( x / J ( x =. r! Γ ( + r+ r= Η συνάρτηση I ( x = i J ( ix ονοµάζεται τροποποιηµένη συνάρτηση Bessel πρώτου είδους και εάν ο είναι ακέραιος, τότε I ( x = I ( x (βλέπε [AS] ή [S]. f z t erf ( iz erf ( z : = e dt, erfi( z =, (βλέπε [ΑS] σελ π i 3. Ο µετασχηµατισµός Melli Ένας ευρέως διαδεδοµένος µετασχηµατισµός της Ανάλυσης είναι ο µετασχηµατισµός Melli. Εάν f : µατισµό Melli: R C, είναι ολοκληρώσιµη στο [, +, ορίζουµε τον µετασχη- + 5

16 Έστω M : f ( Mf ( s, s ( ( (, Mf s = f x x dx s C. ( s Af s : f ( x x dx = C <, τότε ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Melli δίνεται από τον τύπο: όπου c ( A f Re. c+ i s f ( x = ( Mf ( s x ds πi, ( ci Παραδείγµατα Μετασχηµατισµών Melli (βλέπε [T] σελ. 9. t Ψ ( t =, ( MΨ ( s =Γ ( + s ζ ( + s t e t Ψ ( t = e, ( MΨ ( s = Γ ( s, όπου Re( s. 3, όπου Re( s > π Ψ ( t =, ( MΨ ( s =, όπου < Re(s <. + t si( π s 4 5 Γ( s Γ( - s Ψ ( t =, ( MΨ ( s =, όπου < Re(s < Re(α. Γ( s ( + t log( + t π Ψ ( t =, ( MΨ ( s =, όπου < Re(s <. t (- ssi( π s 4. Ο αθροιστικός τύπος των Euler-Mcluri Έστω η f ( x είναι συνάρτηση φορές παραγωγίσιµη µε συνεχείς παραγώγους στο διάστηµα (,Μ και έστω θ πραγµατικός αριθµός, έτσι ώστε < θ <, που εξαρτάται από την ( f ( x στο (, Μ. Ο αθροιστικός τύπος των Euler-Mcluri είναι ο εξής: 6

17 i M M ( ( f ( = f ( t dt+ ( f ( M + f ( + ( f ( M f ( + R ( f, M = = (! B όπου 48. B R f M f h h, (βλέπε [AS] σελ. 86, ή [Bru] σελ. 4- M ( (, = ( + θ (! = Μια εναλλακτική µορφή του παραπάνω τύπου, για f απόλυτα συνεχή στο [, Μ] είναι: M M f ( t t[ t] / dt= f ( ( f ( M + f ( f ( t dt ii ( = M 5. To Tuberi θεώρηµα του Abel Θεώρηµα: (βλ. και [Bru] σελ. 37 Εάν = l, τότε = li x = x = l. Το αντίστροφο ισχύει εάν li( =. 6. Οι αριθµοί Stirlig πρώτου και δεύτερου είδους Οι αριθµοί Stirlig πρώτου είδους µπορούν να ορισθούν ως οι αριθµοί ικανοποιούν την παρακάτω ισότητα: S που ( ( (...(,, = x x x + = S x x R N. 7

18 b Οι αριθµοί Stirlig δευτέρου είδους ικανοποιούν την παρακάτω ισότητα: S ορίζονται ως οι αριθµοί που ( ( x = S x( x...( x +. = Ένας κλειστός τύπος για τους S είναι ο εξής: ( S. ( = (! = Για περισσότερα πάνω στους αριθµούς Stirlig, βλέπε [AS] σελ

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ειγµατοληψία σε Ολοκληρωτικούς Μετασχηµατισµούς και σε Ορισµένες Kλάσεις Ειδικών Συναρτήσεων. Γενικά. Στην παράγραφο του Κεφαλαίου αυτού αναφερόµαστε σε νέους ολοκληρωτικούς µετασχηµατισµούς τύπου: f ( t( MΨ ( x+ it dt, x R, ( oπου η f είναι αναλυτική. Η συνάρτηση Ψ είναι αναπτύξιµη σε σειρά Tylor γύρω από το µηδέν στο (,, και MΨ είναι ο µετασχηµατισµός Melli της Ψ. Παίρνοντας ορισµένες τιµές της συνάρτησης f σε ένα διακριτό σύνολο, µπορούµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα ( από την σειρά ( Ψ ( π f ( i ( x+.! = Στην παράγραφο του Κεφαλαίου αυτού δίνουµε χωρίς µαθηµατική απόδειξη έναν νέο δειγµατοληπτικό τύπο ο οποίος ισχύει για ένα ευρύ φάσµα αναλυτικών συναρτήσεων στοr. Βλ. και: O Series Itegrls d Cotiued Frctios Hrdy Ruj Jourl, 6, pg

20 . ειγµατοληψία σε Ολοκληρωτικούς Μετασχηµατισµούς Το Κυρίως Θεώρηµα. Έστω x> και έστω ότι οι f, Ψ είναι αναλυτικές στο C και ικανοποιούν την συνθήκη: Re( z f ( z( MΨ ( x+ iz C( + z λ e δ ( για κάθε z µε I( z όπου c, λ, δ > σταθερές, µε την επιπλέον συνθήκη: z = x+ + /, όπου Ν φυσικός αρκετά µεγάλος. Τότε το ολοκλήρωµα f ( t( MΨ ( x+ it dt συγκλίνει απόλυτα, η σειρά κατά Abel και: π r = ( Ψ ( f ( i ( x+ συγκλίνει! ( Ψ ( f ( t( MΨ ( x+ it dt= li f ( i ( x+ r (! = Επιπλέον αν ( Ψ ( C f ( i ( x+! + η σειρά στην ( συγκλίνει. Για να αποδείξουµε το κυρίως θεώρηµα θα µας χρειαστεί το παρακάτω Θεώρηµα. Έστω ότι η Ψ αναπτύσσεται σε δυναµοσειρά γύρω από το µε ακτίνα σύγκλισης r > και έστω x R τέτοιο ώστε ( u x u Ψ du<+. Τότε ο µετασχηµατισµός Melli της Ψ επεκτείνεται αναλυτικά σε µια µερόµορφη συνάρτηση στο ηµιεπίπεδο Re( z < x µε απλούς πόλους στα σηµεία z= (για Z µε >x, Απόδειξη. Έστω < < r. Τότε αν z Z : ( z ( u u Ψ ( z+ Ψ du = u du = ( z+ ( u du =! =! = = Ψ ( z+ Ψ (! z+

21 όπου η σειρά συγκλίνει απόλυτα και οµοιόµορφα αφού < < r (γεγονός που δικαιολογεί και την εναλλαγή αθροίσµατος και ολοκληρώµατος. Άρα η z h ( z = Ψ( u u du είναι µερόµορφη στο C µε πόλους µόνο στα σηµεία z = και απλό πόλο σε κάθε z= ίσο µε υπόλοιπο z li =. + z ( Ψ (! (καθώς Επίσης η h z = Ψ u u du ( ( z ορίζεται και συγκλίνει απόλυτα ορίζοντας µια αναλυτική συνάρτηση όταν Re( z < x καθώς: ( u u z Ψ du = Και για την τυπική παράγωγο Ψ z ( u u log( Re( z Re( z x x u u du u u du Ψ( Ψ ( <+ x u du Cz Ψ ( u u du<+, (αφού Re( z Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη του Θεωρήµατος. < x. --Έστω ότι η Ψ είναι όπως στο θεώρηµα και x R είναι τέτοιο ώστε x Ψ ( u u du<+. Έστω η f είναι ολόµορφη στο άνω ηµιεπίπεδο I( z > και συνεχής στο I( z. Θεωρούµε τότε την συνάρτηση: g( z = f ( z MΨ ( x+ iz, Τότε από το Θεώρηµα η g είναι µερόµορφη στο ηµιεπίπεδο I( z > και συνεχής στο I( z (η συνέχεια του MΨ ( x+ iz έπεται από το Θεώρηµα κυριαρχούµενης σύγκλισης µε απλούς πόλους στα z= i( + x, όπου Z,, + x> και ( Ψ ( Res( g, i( x+ = f ( i( x+ i! Έστω γ R το άνω ηµικύκλιο µε διάµετρο [ R, R] όπου R= R = x+ + /, φυσικός. Τότε άρα g( z dz πi = γ R i( x+ στο εσωτ του γ R ( Ψ ( f ( i( x+ i!

22 R R π ( iθ iθ iθ f ( t MΨ ( x+ it dt+ f R e MΨ ( x+ ir e ir e dθ = ( ( = π f ( i( x+! Ψ > x Άρα αν το ολοκλήρωµα f ( t MΨ ( x+ it dt υπάρχει και επιπλέον ισχύει η συνθήκη: iθ ( iθ li R f R e MΨ ( x+ ir e dθ = π ( 3 τότε συγκλίνει και η σειρά και ισχύει ο εξής τύπος: H συνθήκη ( Ψ ( f ( t MΨ ( x+ it dt= π f ( i( x+ (4! = > x > x δεν χρειάζεται στο άθροισµα αν x>. `Έχοντας υπόψη τα παραπάνω και το Θεώρηµα µπορούµε να προχωρήσουµε. Απόδειξη του Κυρίως Θεωρήµατος. Για την ( η ( συνεπάγεται την απόλυτη σύγκλιση του ολοκληρώµατος f ( t( MΨ ( x+ it e it dt, για κάθε >. Η δε ( ισχύει καθώς αν < δ θα έχουµε: για R όταν θ π. iθ iθ R f ( R e MΨ ( x+ ir e e C( + R e e iθ ir e λ+ δ R cosθ R si( θ C + R e, λ+ R ( Άρα για κάθε > ισχύει: ( it Ψ ( ( x+ f ( t( MΨ ( x+ it e dt= π f ( i ( x+ e, =! + παίρνοντας τώρα και εφαρµόζοντας το Θεώρηµα κυριαρχούµενης σύγκλισης στο ολοκλήρωµα έχουµε την σχέση (.

23 Άρα η σχέση ( ισχύει αν Ψ αναλυτική σε µια περιοχή του, Ψ ( u u x du<+, f αναλυτική στο I( z > και συνεχής στο I( z και επιπλέον ισχύει η ( ή (3 για R= R = x+ + /. Ειδικότερα για τις εφαρµογές αρκεί να δοθούν ικανές συνθήκες για την f ώστε να ισχύει η (3 ή ( για συγκεκριµένη Ψ. --Έστω τώρα t ( ( t e t! Ψ = = οπότε M ( z ( z = MΨ ( t θα χρειαστούµε τα εξής τύπους: π i Γ( z Γ ( z =, Γ ( z+ = zγ ( z si( π z και Ψ =Γ. Για να εκτιµήσουµε το ii τον τύπο του Stirlig / ( z z Γ z = π e z h( z για Re( z όπου < c h( z c για Re( z. Με βάση αυτά έχουµε τα εξής: Λήµµα. Αν R και σ > φυσικός µε λ= σ + τότε για κάθε z µε I( z και z αρκετά µεγάλο έχουµε: I( z / e π Γ( iz z exp rg( z Re( z z, όταν rg( z [, π ] (όπου f ( z g( z σηµαίνει ότι υπάρχου σταθερές c, c > µε f ( z c c για το g( z αντίστοιχο σύνολο. Απόδειξη. 3

24 Αφού Γ( λ iz = ( + σ iz...( iz Γ( iz και από τον τύπο του Stirlig έχουµε: ( καθώς Re( λ iz = λ+ I( z λ+ y / ( y Γ( λiz e λiz exp ( ix iarg( λiz, ( z= x+ iy και για z αρκετά y λ iz µεγάλο, z c < < c + σ iz > z ότι το Arg είναι ο κλάδος στο [ π /, π / ]. παίρνουµε το ζητούµενο, δεδοµένου x Πράγµατι αν φ = Arg( λ iz = rct και rct x θ =, τότε: λ+ y y x / y x /( λ+ y λ x λ φ, θ (, π / και t( φ θ = = x x λ y+ z z + y λ+ y π άρα το x θ φ είναι φραγµένο για z µεγάλο στο I( z. Άλλα θ = rg( z όπου rg z [, π ] για I( z. Το ποσό µεγάλο πρέπει να είναι το z εξαρτάται από το λ αλλά στην ασυµπτωτική σχέση το λ δεν εµφανίζεται (µόνο στις σταθερές του ~ εµφανίζεται. Πόρισµα. Αν α, β R, τότε υπάρχει M = M ( α, β > τέτοιο ώστε: για κάθε z µε I( z και z > M. Γ( iz Γ( β iz z β Λήµµα. Έστω R και R= + + / µε φυσικό, R αρκετά µεγάλο. Τότε για κάθε θ [, π ] ισχύει: si / ( e R i e θ exp θ π rg( cos(. Γ + ir R π z R θ R 4

25 Απόδειξη. iθ π Έχουµε Γ ( + ir e = iθ iθ si( π ( + ir e Γ( ir e, αλλά τα R= + + / οπότε έχουµε i R cos π + i θ e π θ, Ν φυσικός µεγάλος, (βλ. και [C] σελ. 47. si( ( Re Άρα από το Λήµµα έχουµε το ζητούµενο. Πόρισµα. Αν, t R και t αρκετά µεγάλο τότε: / π t Γ ( ± it t exp. Με βάση τα παραπάνω έχουµε το εξής: Θεώρηµα. Έστω f αναλυτική στο άνω ηµιεπίπεδο I( z > και συνεχής στο I( z και τέτοια ώστε: I z z f ( z C( + z ρ e e στο I( z όπου b π /. Τότε για x > : b Re( z, ( f ( t Γ ( x+ it dt= li f ( i( x+ r! π r = Απόδειξη. Έπεται άµεσα από το Κυρίως Θεώρηµα και το Λήµµα. Πρόταση. Έστω f αναλυτική στο άνω ηµιεπίπεδο I(z > και συνεχής στο I( z και τέτοια ώστε υπάρχουν C, και b< π ώστε: b Re( z f ( z C( + z e, για κάθε z µε I( z. (α 5

26 Τότε η σειρά ( f ( i( + / είναι Abel αθροίσιµη και ισχύει = f ( t dt= li ( f ( i( / r + (β cosh( πt r = C Ειδικότερα αν f ( i( + /, =,,, για κάποιο C > τότε η σειρά + συγκλίνει και f ( t dt= ( f ( i( + / (γ cosh( πt = Απόδειξη. Έστω α > Θεωρούµε την συνάρτηση: iz g( z = e f ( z cosh( π z H g είναι µερόµοφη στο I(z > και έχει απλούς πόλους στα z = i (+/ µε: ( + / ( Res( g; i( + / = e f ( i( + /. Άρα αν > φυσικός, R = και γ R πi είναι το άνω ηµικύκλιο διαµέτρου [-R, R] θα έχουµε: ( ( + / g( z dz e f ( i( / π i = + (δ πi Αφού για R = φυσικός έχουµε γ R = cosh( e i R cos π R θ ce π θ, (βλ. και [C] σελ. 47 άσκηση 4 όταν c > σταθερά έχουµε από την ( για < π b π iθ ire iθ e iθ f ( Re ir e dθ iθ cosh( π R e π ( + R R e dθ π ( bπ R cosθ R siθ ( + R Re e dθ + καθώς R (R = φυσικός. Από την ( έχουµε Άρα παίρνουµε R f ( t dt< και cosh( πt = στην (δ και έχουµε: e f ( i( + / <+. = it e ( + / f ( t dt= ( f ( i( + / e (ε cosh( πt = 6

27 + Για κάθε α >. Θέτοντας τώρα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα κυριαρχούµενης σύγκλισης στην (ε προκύπτει η σχέση (γ. Πρόταση. Αν η f είναι όπως στην Θεώρηµα τότε η σειρά αθροίσιµη και ισχύει ( = li ( ( sih( πt r = ( f ( i είναι Abel = t f t dt f i r (ζ C Αν επιπλέον f ( i, =,, τότε η σειρά συγκλίνει και το άθροισµα της ισούται µε το ολοκλήρωµα στην (ζ. Απόδειξη. Παρόµοια µε αυτή της Πρότασης Πρόταση 3. Έστω f αναλυτική στο µοναδιαίο δίσκο D και συνεχής στο D µε f ( =, τότε Απόδειξη. i f ( t dt= ( f ( e π ( + π / + t = Η σειρά συγκλίνει απόλυτα αφού f ( z C z, για z / και ( i π f e w C άρα i w από το Πρόταση για την f ( e π ορισµένη στο ηµιεπίπεδο I( w παίρνουµε: πu ( / e = t π + iπ u ( f ( e = / f ( e = cosh( f ( t = = πu i i dt f ( t dt t+ t πt π + t 7

28 . ειγµατοληψία σε Ειδικές Αναλυτικές συναρτήσεις. Στην παράγραφο αυτή θα αναπτύξουµε σε σειρές µια ορισµένη κλάση αναλυτικών συναρτήσεων βάση των δειγµάτων αυτής σε ένα διακριτό σύνολο. Η ανάπτυξη στηρίζεται στην επόµενη Παρατήρηση. Έστω f είναι αναλυτική στο R, συµβολίζουµε ( f = ( f (. = Αν < ( f <, τότε = ( x f ( x = ( f,! = όπου Γ ( x+ ( x = = x( x+ ( x+... ( x+ Γ( x είναι το σύµβολο Pochher. ίνουµε την µέθοδο του πως καταλήξαµε στην παρακάτω Παρατήρηση: Για τη συνάρτηση f ισχύει: f ( x f ( ( = x. =! Χρησιµοποιώντας τους αριθµούς Stirlig δευτέρου είδους Ένας κλειστός τύπος για τα ( f ( f ( x = S x( x...( x =! + =. S είναι: S (βλ. Κεφ., έχουµε: 8

29 (βλ. Κεφάλαιο, 6. S = (! = ( Χρησιµοποιούµε την ( και έχουµε: f ( x = ( f (!! = = = f (! ( = = = = f (!!! ( = = = = = ( = = ( ( ( ( x ( f (!!. ( x x( x...( x + ( x Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας µε!, έχουµε τον ζητούµενο τύπο. Συνδυάζοντας το Θεώρηµα της Παραγράφου και την Παρατήρηση αυτής της Παραγράφου έχουµε τις ακόλουθες Προτάσεις: Πόρισµα από Παρατήρηση. Έστω οι f, g είναι ακέραιες συναρτήσεις τότε: l ( ( f ( f ( g( = g( + l!! l!, = = l= όπου το ( f έχει οριστεί στο Θεώρηµα αυτής της παραγράφου. Απόδειξη. Ισχύει ( f f ( x = ( x.! = 9

30 Αναπτύσσουµε το σύµβολο του Pochher στην µορφή των Γάµα συναρτήσεων: άρα συνεπώς ( f Γ( x+ f ( x =! Γ( x = ( f f ( x Γ( x = Γ( x+! = ( f f ( ix Γ ( ix = Γ ( ix+.! = Πολλαπλασιάζοντας και τα δυο µέλη µε g(-xi, παίρνουµε: s ( f g( xi f ( xi Γ ( xi = Γ ( xi+ s g( xi. (α s! s= Ολοκληρώνοντας τη σχέση (α σε όλη την πραγµατική ευθεία και χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα της Παραγράφου παίρνουµε το αποτέλεσµα. Πόρισµα από Παρατήρηση. Έστω f αναπτύσσεται σε σειρά Tylor γύρω από µηδέν µε ακτίνα σύγκλισης σε όλο το R, τότε εάν, b R, < b, ισχύει: b f ( t dt= ( f b + + ( ( S. =! = + Απόδειξη. Έστω, b R, < b τότε: b f ( t dt= b ( f ( x dx!. (β = Για τους S που είναι οι αριθµοί Stirlig πρώτου είδους, (βλ. Κεφάλαιο ισχύει: ( ( x = ( x( x...( x + = ( S x = ( (γ 3

31 Παίρνοντας υπόψη τις (β,(γ εύκολα έχουµε την απόδειξη. Σηµειώσεις στο Κεφάλαιο : i Ένα πλεονέκτηµα των Πορισµάτων, της Παραγράφου είναι ότι µας δίνουν µια επαλήθευση της Παρατήρησης. ii Οι αριθµητικές εφαρµογές αυτού του Κεφαλαίου βρίσκονται στο Κεφάλαια 3 και 6. 3

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Νέα ειγµατοληπτικά Θεωρήµατα και µια ειγµατοληπτική εφαρµογή του αθροιστικού τύπου των Euler-Mcluri. Γενικά Στην παράγραφο του Κεφαλαίου αυτού παρουσιάσουµε δυο νέους δειγµατοληπτικούς τύπους χρησιµοποιώντας θεωρήµατα της µιγαδικής ανάλυσης. Στη παράγραφο δίνουµε µια άλλη µορφή του αθροιστικού τύπου των Euler- Mcluri και αποδεικνύουµε νέες δειγµατοληπτικές προτάσεις. Τα αποτελέσµατα αυτά έχουν εκδοθεί στο περιοδικό Jourl of Splig Theory i Sigl d Ige Processig.Vol 5, No., (6, pp

33 . Νέα δειγµατοληπτικά θεωρήµατα Θεώρηµα Έστω f είναι µία ακεραία συνάρτηση µε f ( i Τότε ισχύει για x R Z <+. sih( π x f ( x = ( π x + ix + f ( i, ( = αν και µόνο αν η f ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες: (α Υπάρχει C > µε f ( z Re( z Ce π για κάθε z C π x (β li e x f ( x =. x ± x R Απόδειξη. Έστω ότι ισχύει η (. Τότε θα έχουµε για κάθε z C µε z i ( Re( z > ότι Z και + iz z ( (Απόδειξη: γράφεται ισοδύναµα: 4 ( z z I( z + z και το τριώνυµο 4 4 (I + = ( Re < ως προς έχει διακρίνουσα z ( z z z ( z Άρα: Z + iz + ( f ( i < z f ( i Z 33

34 Από όπου προκύπτει τα (α. Το (β έπεται από το θεώρηµα κυριαρχούµενης σύγκλισης αφού li = x ± + ix x R για κάθε Z και x, ix < R + Z. Αντιστρόφως έστω ότι ισχύουν τα (α, (β Θεωρούµε την µερόµορφη συνάρτηση: π z g( z = f ( z sih( π z Η g έχει πόλους στα z= i, Z µε: Res( g; i = ( if ( i. Έστω: ɶ ( ( + g z = f ( i Z + iz H gɶ είναι µερόµορφη µε πόλους στα i, Z και Res( gɶ ; i = Res( g; i αφού Z f ( i <+. Άρα η h( z = g( z ɶ g( z είναι ακέραια και αφού όπως πριν li gɶ ( x =, λόγω του (β έχουµε: x ± x R li h( x =. ( x ± x R Επίσης έστω > φυσικός και z C µε z = + /. Τότε + iz 4 z, για κάθε Z ( (Απόδειξη: Αφού + iz z = + / για κάθε έχουµε: 4 z + iz αν z ενώ αν > z τότε: + iz z / άρα: 4 + iz < Άρα: z αφού >. h( z g( z + gɶ ( z C z, (3 για κάποιο C > και κάθε z C µε z = + /, όπου φυσικός µε >. (Αρκεί να χρησιµοποιήσουµε την (α και την παρατήρηση ότι αν z = + / τότε Re( z π z ce π για κάποια σταθερά c >. sih( Πράγµατι αν z = x + i y 34

35 sih( π z = sih ( π x + si ( π y x x / 6 x e π ( e π π + si π y ( e e π αν x / ενώ αν x < / τότε + / y /, άρα π > si y / 4. Άρα έχουµε h(z = z + b όπου, b C. Αλλά η ( τώρα δίνει α = b = άρα h( z z C από όπου προκύπτει η (. Θεώρηµα. Έστω f είναι µία ακεραία συνάρτηση µε f ( i( + / <+. Τότε ισχύει για x R Z cosh( π x f ( x = ( f ( i( + /, ( π + + ix Z αν και µόνο αν η f ικανοποιεί τις ιδιότητες: (α Υπάρχει C > µε f ( z Re( z Ce π για κάθε z C π x (β li e f ( x =. x ± x R Απόδειξη. Οµοίως µε το θεώρηµα. 35

36 . O Αθροιστικός τύπος των Euler-Mcluri. Παρακάτω δίνουµε µια ειδική µορφή του αθροιστικού τύπου των Euler-Mcluri (βλέπε Κεφ., παρ. 4. Στον τύπο Euler-Mcluri, αντικαθιστούµε τους αριθµούς ( ( Beroulli Β, τις παραγώγους f ( M, f ( και το σφάλµα R ( f, M µε ένα ολοκλήρωµα. ίνουµε επίσης και ορισµένους νέους δειγµατοληπτικούς τύπους. Θεώρηµα. Εάν f είναι απόλυτα συνεχής και άρτια στο R και f L ( R τότε M = M f ( = f ( t dt+ ( f ( M + f ( + π γ ( γ cot f c ^ ( γ si( Mγ dγ, γ όπου M =,,3. Πρόταση. Έστω ότι η συνάρτηση f αναπτύσσεται σε σειρά Tylor γύρω από το µηδέν στο (-,,. Επίσης η σειρά Tylor της f συγκλίνει απόλυτα στο τότε υπάρχει σταθερά c η οποία εξαρτάται από την f και ισχύει: όπου: f = f dx+ c+ O x, = ( s f ( c= f ( + f ( γ + ζ ( s s s! s. Πρόταση. 36

37 Έστω f είναι ακεραία συνάρτηση και η σειρά Tylor της f συγκλίνει απόλυτα στο τότε: όπου x x f ( f + f f ( x = π i πi = = (! (!, B είναι οι αριθµοί Beroulli. ( B Πρόταση 3. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι άρτια µε f(= και αναλυτική στο δίσκο D(; r, r> και x R µε x < r. Τότε: 4π π it it e f ( xe dt= f it exp( e = x πi. Για να προχωρήσουµε στις αποδείξεις των προτάσεων θα χρειαστούµε ορισµένα Λήµµατα. Λήµµα. Έστω f αναπτύσσεται σε σειρά Tylor γύρω από το µηδέν στο (-α, α, για. Εάν επίσης η σειρά Tylor της f συγκλίνει απόλυτα στο : τότε έχουµε: A ζ ( s, s! ( s = f ( <+ s= f = f ( + f (l + f ( γ +Α+ O. = Απόδειξη. Αναπτύσσουµε την f σε σειρά Tylor γύρω από το µηδέν και έχουµε ( s ( s f ( s f ( f = = s! s! = = s= s= = s s ( s f ( f ( f ( H ζ ( s s! = + +, 37

38 Όπου Όµως: s ζ ( s =. = µ s s s = + µ = + µ ζ ( s = ζ ( s + < ζ ( s + t dt= ζ ( s + t dt ζ s+ ( (. = s s + Έτσι έχουµε ζ ( s ζ ( s = O, s >. s Από τα παραπάνω παίρνουµε την απόδειξη. Λήµµα. Έστω ότι η συνάρτηση f αναπτύσσεται σε σειρά Tylor στο (,,. Εάν επίσης η σειρά Tylor της f συγκλίνει απόλυτα στο τότε και ισχύει: ( s f ( B= <+ s!( s s= f dx = f ( + f ( + f (l + B+ O,, =,,... x Απόδειξη. Έστω Έχουµε: = = f ( x x. / f ( z s f dx= f ( z d dz z sz dz x = z = z / / s= s ( s / s= / = z + z dz+ z dz s z = + + l + s s= s / 38

39 όπου s = + + l + + O s= s = f ( + f ( + f (l + B+ O, s ( s f ( =, s=,,,... s! Απόδειξη της Πρότασης. (Εύκολη από τα Λήµµατα,. Απόδειξη της πρότασης. Από το Λήµµα, έχουµε: Αλλά = ( x x f ( f + f f ( = ζ ( x. = (! (π ( ζ ( = B (βλέπε [AS] σελ ή Κεφ,. (! Παίρνοντας υπόψη τις παραπάνω σχέσεις η απόδειξη ολοκληρώνεται εύκολα. Απόδειξη της Πρότασης 3. Έστω η συνάρτηση: f ( x / z g( z = z e H g είναι µερόµορφη στο z µε πόλους στα z= πi, Z ( και: x Res( g, πi = f. π i 39

40 Έστω R= π ( + / όπου φυσικός. Τότε από το Θεώρηµα του Cuchy (τύπος ολοκληρωτικών υπολοίπων παίρνουµε: x dz x dz f + f = z π i z e π i z e f z z= z= R x = π πi < i< R R < π f x, αφού η f είναι άρτια. π i Αφού f άρτια µε f(= υπάρχει c > µε: f ( w x f ( x / z C αν R> x / r και επίσης η σειρά R c w για κάθε r w άρα: x f = πi συγκλίνει απόλυτα. z Παρατηρώντας ότι e c > για κάποια σταθερά c και κάθε z µε z = π ( + / = R ( c ανεξάρτητη του παίρνουµε R στην παραπάνω σχέση και έχουµε το ζητούµενο. Απόδειξη του Θεωρήµατος. Για κάθε f απόλυτα συνεχή στο [, Μ] ισχύει: M M f ( t( t[ t] / dt= f ( ( f ( M + f ( f ( t dt = ξ Άρα αν g( t = ( t[ t] / X [, M ]( t τότε (για M M itξ itξ d e g ^ ( ξ = ( t[ t] / e dt = ( t[ t] / dt dt iξ M M ξ ( imξ itξ = e + e e dt iξ = imξ imξ e imξ e = + ( e iξ iξ e iξ imξ e = (cot( ξ / / ξ ξ M 4

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

4. Μιγαδική Ολοκλήρωση. Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές. ( ) ( ) ( )

4. Μιγαδική Ολοκλήρωση. Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές. ( ) ( ) ( ) 4 Μιαδική Ολοκλήρωση Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµοές Καµπύλες στο Μιαδικό επίπεδο Oρισµός 4 Αν, :[, ] xy a είναι συνεχείς πραµατικές συναρτήσεις τότε κάθε απεικόνιση :[ a, ] : t = x t + iy t, καλείται (προσανατολισµένη)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις.

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις Γενικά Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Τα προβλήµατα µεταδόσεως θερµότητας (ή θερµικής αγωγιµότητας heat conduction), µε την υπόθεση ισχύος του νόµου Fourier, διέπονται από

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Iανουαρίου 005. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887 Ολοκλήρωση κατά Gauss Ενώ στους τύπους Newton-Cotes χρησιµοποιούσαµε τις τιµές της συνάρτησης σε ισαπέχοντα σηµεία, στους τύπους ολοκλήρωσης κατά Gauss τα σηµεία xj και τα βάρη wj επιλέγονται, έτσι ώστε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές

Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές Ανδρέας Καβατζικλής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Πολυτεχνειούπολη Ζωγράφου 57 8 Αθήνα e-mail: kaviros@ceral.ua.gr

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 73 Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Ο µετασχηµατισµός Laplace µετασχηµατίζει τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τα γραµµικά µη χρονικά µεταβαλλόµενα συστήµατα συνεχούς χρόνου, σε αλγεβρικές εξισώσεις και

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Β Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις Παράγωγος συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής Πριν ορίσουμε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης f(z) θα σταθούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα