ακριβώς συμπεράσματα. Ο φυγάς ίσως να σκεφτεί ότι η γέφυρα Α συνεχίζει να είναι η καλύτερη επιλογή του επειδή είναι σε καλή κατάσταση και επιτρέπει

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ακριβώς συμπεράσματα. Ο φυγάς ίσως να σκεφτεί ότι η γέφυρα Α συνεχίζει να είναι η καλύτερη επιλογή του επειδή είναι σε καλή κατάσταση και επιτρέπει"

Transcript

1 . ΕΙΣΓΩΓΗ Η Θεωρία Παιγνίων είναι ο επιστημονικός κλάδος που μελετάει συστηματικά και με χρήση μαθηματικών εργαλείων την συμπεριφορά των ατόμων σε συνθήκες στρατηγικής αλληλεπίδρασης. Στρατηγική αλληλεπίδραση υπάρχει όταν το τελικό αποτέλεσμα για κάθε άτομο που παίρνει αποφάσεις δεν εξαρτάται μόνο από τις δικές του επιλογές (ή από την τύχη) αλλά και από τις επιλογές άλλων με τους οποίους το άτομο αυτό συνεργάζεται ή βρίσκεται σε σύγκρουση. Κύρια στοιχεία ενός παιγνίου είναι: α) οι παίκτες, β) οι κανόνες, γ) οι στρατηγικές των παικτών, δ) η πληροφόρηση που έχει κάθε παίκτης όταν κληθεί να λάβει κάποια απόφαση, και ε) οι αποδόσεις (πληρωμές). Παίκτης ονομάζεται κάθε ένας ο οποίος λαμβάνει αποφάσεις στη διάρκεια του παιγνίου. Οι κανόνες καθορίζουν θέματα όπως η σειρά με την οποία οι παίκτες λαμβάνουν αποφάσεις και οι συνθήκες κάτω από τις οποίες τερματίζεται ή συνεχίζεται το παίγνιο. Οι στρατηγικές των παικτών είναι ολοκληρωμένα σχέδια δράσεις που εξειδικεύουν τις επιλογές τους σε κάθε σημείο του παιγνίου. Οι παίκτες όταν έλθει η σειρά τους να κάνουν μια επιλογή μπορεί να γνωρίζουν πλήρως την ιστορία του παιγνίου (τι προηγήθηκε μέχρι εκείνη την στιγμή) μπορεί όμως και να μην την γνωρίζουν. Επίσης, μπορεί να γνωρίζουν με ακρίβεια τις αποδόσεις των άλλων παικτών μπορεί όμως και όχι. Οι αποδόσεις προκύπτουν για τους παίκτες με τον τερματισμό του παιγνίου και μπορεί να είναι χρηματικές απολαβές ή επίπεδα ικανοποίησης/χρησιμότητας. Υποτίθεται ότι όλοι οι παίκτες είναι ορθολογικοί με την έννοια ότι έχουν τη δυνατότητα: α) να κατατάξουν τις αποδόσεις σε περισσότερο και λιγότερο επιθυμητές και β) να προσδιορίσουν τις επιλογές που οδηγούν στην πλέον επιθυμητή απόδοση. Επιπλέον, κάθε παίκτης ξεχωριστά γνωρίζει ότι και οι άλλοι είναι ορθολογικοί και λαμβάνει το στοιχείο αυτό υπόψη του όταν κάνει τις δικές του επιλογές. Η εισαγωγή στα θέματα που αποτελούν το αντικείμενο της Θεωρίας Παιγνίων είναι δυνατό να διευκολυνθεί με ένα παράδειγμα. Έστω ότι ένας φυγάς θέλει να περάσει ένα ποτάμι, που είναι το σύνορο της χώρας που επιθυμεί να εγκαταλείψει όσο το δυνατό πιο σύντομα, με την χώρα στην οποία θέλει να κατευθυνθεί. Για το πέρασμα υπάρχουν τρεις γέφυρες. Η γέφυρα βρίσκεται κοντά στο σημείο που είναι κρυμμένος και είναι σε πολύ καλή κατάσταση. Η γέφυρα βρίσκεται επίσης κοντά στο σημείο που είναι κρυμμένος αλλά είναι ετοιμόρροπη και υπάρχει πιθανότητα να καταρρεύσει αν προσπαθήσει να τη διασχίσει. Η γέφυρα Γ είναι σε καλή κατάσταση αλλά για να φτάσει εκεί ο φυγάς χρειάζεται να περπατήσει πολλές ώρες. Ο φυγάς πρέπει να επιλέξει τη γέφυρα που θα κάνει το πέρασμα. Το πρόβλημα του φυγά στην περίπτωση αυτή ονομάζεται Παραμετρικό επειδή η κατάσταση κάθε γέφυρας καθώς και η απόσταση της από το σημείο που κρύβεται είναι δεδομένες και ανεξάρτητες από το σκοπό αυτού που αποφασίζει. Οι γέφυρες δεν έχουν συμφέροντα και ατομικές επιδιώξεις, δεν μπορούν να κάνουν τίποτε ώστε να συντομεύσουν ή να καταστήσουν περισσότερο ασφαλές το πέρασμα. Ο χρόνος που θα χρειαστεί για το πέρασμα καθώς και ο βαθμός στον οποίο αυτό θα είναι ασφαλές εξαρτάται αποκλειστικά από την επιλογή του φυγά. Ο ορθολογικός φυγάς θα επιλέξει τη γέφυρα. Έστω τώρα ότι υπάρχει ένας διώκτης που γνωρίζει την κατάσταση κάθε μιας γέφυρας και την απόσταση του φυγά από αυτή. Έστω επίσης ότι ο φυγάς γνωρίζει την ύπαρξη του διώκτη. Το πρόβλημα τώρα του φυγά είναι περίπλοκο (ονομάζεται μη- Παραμετρικό) επειδή έχει απέναντι του κάποιον με ατομικές επιδιώξεις που μπορεί να προσαρμόσει τις επιλογές του στις δικές του και να φτάσει με τη λογική στα ίδια

2 ακριβώς συμπεράσματα. Ο φυγάς ίσως να σκεφτεί ότι η γέφυρα συνεχίζει να είναι η καλύτερη επιλογή του επειδή είναι σε καλή κατάσταση και επιτρέπει ένα σύντομο πέρασμα. Επειδή, ο διώκτης γνωρίζει σε τι κατάσταση είναι οι γέφυρες και ότι ο φυγάς θέλει να κάνει το πέρασμα σύντομο, με τη λογική μπορεί να καταλήξει στο συμπέρασμα ότι πρέπει να περιμένει το φυγά στην γέφυρα. Ο φυγάς, το αντιλαμβάνεται αυτό και ίσως να σκεφτεί ότι είναι απίθανο ο διώκτης να τον περιμένει στη γέφυρα αφού ξέρει ότι η γέφυρα αυτή μπορεί να καταρρεύσει αν κάποιος προσπαθήσει περάσει από εκεί. ν όμως ο φυγάς μπορεί να φτάσει στο συμπέρασμα αυτό, στο ίδιο συμπέρασμα μπορεί να φτάσει και ο ορθολογικός διώκτης. Έτσι, αυτό που φαίνεται να είναι το λιγότερο πιθανό θα γίνει αυτόματα το περισσότερο πιθανό. Ο φυγάς το καταλαβαίνει αυτό και βρίσκεται σε δίλημμα. Το ίδιο δίλημμα θα αντιμετωπίσει αν σκεφτεί το πέρασμα από την Γ γέφυρα (θυσία χρόνου). Όμως και ο διώκτης δεν θα βρίσκεται σε καλύτερη θέση. ν βρει ένα καλό λόγο να προτιμήσει την μια γέφυρα από τις άλλες τον ίδιο ακριβώς λόγο μπορεί τον βρει ο ορθολογικός φυγάς για να αποφύγει αυτή τη γέφυρα. Με αυτόν τον τρόπο και οι δύο παγιδεύονται στην αναποφασιστικότητα. Μη-παραμετρικά προβλήματα αντιμετώπιζαν, αντιμετωπίζουν και θα αντιμετωπίζουν στο μέλλον όλες οι οντότητες που καλούνται να πάρουν αποφάσεις είτε αυτές είναι άνθρωποι, είτε επιχειρήσεις, είτε στρατοί, είτε πολιτικά κόμματα και κυβερνήσεις είτε ακόμη και ζωντανοί οργανισμοί (ζώα, ψάρια, κ.λ.π.) των οποίων η επιτυχία ή η αποτυχία καθορίζεται όχι μόνο από τις δικές τους επιλογές αλλά και από τις επιλογές άλλων με τους οποίους βρίσκονται σε στρατηγική αλληλεπίδραση. Μάλιστα τέτοιου είδους προβλήματα είχαν προκαλέσει και θεωρητικό ενδιαφέρον από πολύ παλιά. Ο Πλάτωνας στην Πολιτεία παρουσιάζει το Σωκράτη να ανησυχεί για την ακόλουθη κατάσταση: Σε μια μάχη λαμβάνουν μέρος και από τις δύο πλευρές πολλοί στρατιώτες. Κάθε στρατιώτης ξεχωριστά σκεπτόμενος την κατάσταση αντιλαμβάνεται ότι η προσωπική στάση δεν είναι δυνατό να επηρεάσει στο ελάχιστο την έκβαση της μάχης. ν είναι να κερδίσει ο στρατός στον οποίον ανήκει, αυτό θα γίνει είτε αυτός μείνει εκεί να πολεμήσει με γενναιότητα είτε το βάλει στα πόδια. Τι ίδιο ισχύει αν είναι να χαθεί η μάχη. ν όμως μείνει στη μάχη και πολεμήσει με γενναιότητα, υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να τραυματισθεί ή να σκοτωθεί (και αυτό χωρίς κανένα λόγο αφού προσωπική συμβολή του δεν παίζει ρόλο στη νίκη ή στην ήττα). Το συμπέρασμα από την ανάλυση της κατάστασης που θα κάνει ο στρατιώτης είναι ότι θα πρέπει να το βάλει στα πόδια. Επιπλέον, επειδή ο στρατιώτης είναι ορθολογικός αντιλαμβάνεται ότι τις ίδιες σκέψεις έχουν κάνει όλοι οι συνάδελφοι του και ως ορθολογικοί έχουν καταλήξει στο ίδιο ακριβώς συμπέρασμα. Το αποτέλεσμα εδώ θα είναι η διάλυση ενός στρατού ο οποίος πιθανά να αποτελείται από πολύ γενναίους άνδρες που ενδιαφέρονται για τη νίκη (απλά καθένας ξεχωριστά βλέπει ότι η συμβολή του στη νίκη είναι μηδενική και το ένστικτο της αυτοσυντήρησης τον οδηγεί να το βάλει στα πόδια). Ο Πλάτωνας στην Πολιτεία ουσιαστικά περιγράφει μια κατάσταση που στην Θεωρία Παιγνίων είναι σήμερα γνωστή ως Δίλημμα των Φυλακισμένων όπου η προσπάθεια καθενός από τους παίκτες ξεχωριστά να εξυπηρετήσει το στενά ατομικό του συμφέρον (την αποφυγή τραυματισμού ή θανάτου) οδηγεί σε ένα αποτέλεσμα που είναι το χειρότερο για όλους μαζί (ήττα στη μάχη). Παρά το μεγάλο πρακτικό και θεωρητικό ενδιαφέρον που παρουσίαζαν τα μηπαραμετρικά προβλήματα, η επιστήμη δεν είχε μέχρι τα πρώτα χρόνια του 0 ου ιώνα απαντήσει στο ερώτημα αν υπάρχει ορθολογική λύση (δηλαδή, αν υπάρχει άριστος τρόπος συμπεριφοράς για κάθε παίκτη ξεχωριστά). Ο Μαθηματικός Emile Borel

3 (9) τόνιζε «χρειαζόμαστε μια μέθοδο για το παίξιμο ενός παιγνίου. μέθοδος είναι ένας κωδικός που προσδιορίζει ακριβώς τι θα κάνει το άτομο σε κάθε πιθανή περίπτωση (που θα κληθεί να παίξει)». Πρώτος ο Borel, άρχισε να παρουσιάζει παίγνια με την μορφή πινάκων όπου εμφανίζονταν οι αποδόσεις των παικτών από κάθε συνδυασμό επιλογών τους. Την εργασία του Borel συνέχισε ο Μαθηματικός John von Neumann (98) ο οποίος παρουσίασε δυναμικά παίγνια σε εκτατική μορφή, όρισε την στρατηγική σαν ένα πλήρες σχέδιο δράσης που εξειδικεύει την επιλογή του παίκτη σε κάθε φάση του παιγνίου σαν συνάρτηση της πληροφόρησης που διαθέτει και απέδειξε την ύπαρξη ορθολογικής λύσης σε προβλήματα μηδενικού (ή σταθερού) αθροίσματος με δύο παίκτες (Θεώρημα Minimax). Επιπλέον οι von Neumann και Oskar Morgenstern (944) πρότειναν την υποδειγματοποίηση παιγνίων με την κανονική μορφή που περιλαμβάνει τους παίκτες, τις στρατηγικές τους καθώς και τις συναρτήσεις απόδοσης οι οποίες μετασχηματίζουν συνδυασμούς στρατηγικών σε πραγματικούς αριθμούς. Στα παίγνια μηδενικού ή σταθερού αθροίσματος με δύο παίκτες υπάρχει απόλυτη σύγκρουση συμφερόντων αφού το κέρδος του ενός παίκτη από κάθε πιθανό συνδυασμό στρατηγικών ισούται με την ζημιά του άλλου. Όμως δεν ανήκουν όλα τα παίγνια στην κατηγορία αυτή. Επιπλέον, υπάρχουν παίγνια στα οποία εμπλέκονται περισσότεροι από δύο παίκτες. Υπήρχε λοιπόν ανάγκη να ξεπεραστούν οι περιορισμοί στην προσέγγιση των von Neumann και Morgenstern, με την εύρεση λύσης σε μηπαραμετρικά προβλήματα μεταβλητού αθροίσματος (τα οποία περιέχουν αυθαίρετη μίξη κοινών συμφερόντων και συμφερόντων σε σύγκρουση). Για παράδειγμα, στην πώληση ενός προϊόντος αν η ελάχιστη τιμή που απαιτεί ο πωλητής είναι μικρότερη από την μέγιστη τιμή που είναι διατεθειμένος να καταβάλει ο αγοραστής δημιουργείται ένα πλεόνασμα από το οποίο μπορεί να ωφεληθούν και οι δύο (κοινό συμφέρον). Ταυτόχρονα όμως, το μοίρασμα του πλεονάσματος αποτελεί σημείο τριβής (σύγκρουση συμφερόντων). Η συνεισφορά του Μαθηματικού John Nash βρίσκεται στο ότι με μία σειρά εργασίες από το 949 έως το 95 ανάπτυξε μια γενική μεθοδολογία για ανάλυση των παιγνίων. Πρότεινε μια νέα έννοια για τη λύση (ονομάζεται ισορροπία Nash) και απέδειξε ότι ορθολογική λύση επιδέχονται όλα τα παίγνια με πεπερασμένο αριθμό παικτών και πεπερασμένο αριθμό στρατηγικών για κάθε παίκτη. Για τον Nash, η κανονική μορφή που πρότειναν οι von Neumann και Morgenstern είναι ο γενικός τρόπος παρουσίασης ενός παιγνίου και η ισορροπία Nash είναι η γενική έννοια λύσης. Για την επιστήμη των αποφάσεων η συνεισφορά του Nash θεωρείται τόσο σημαντική όσο και η ανακάλυψη του έλικα του DN για τη βιολογία. Η Θεωρία Παιγνίων αναγνωρίζει ότι κάθε παίκτης ξεχωριστά προσπαθεί να προβλέψει τι θα κάνουν οι άλλοι παίκτες και να αντιδράσει με τον καλύτερο γιαυτόν τρόπο. Στη λύση ενός παιγνίου οι προσδοκίες κάθε παίκτη σχετικά με την συμπεριφορά των υπολοίπων αποδεικνύονται ορθές και οι αντιδράσεις με βάση τις προσδοκίες αυτές είναι άριστες. Η λύση ονομάζεται ισορροπία επειδή σε αυτή (με δεδομένες τις στρατηγικές των υπολοίπων) κανείς από τους παίκτες δεν έχει κίνητρο να αλλάξει τη δική του στρατηγική. Στα χρόνια που ακολούθησαν οι εργασίες των ερευνητών επικεντρώθηκαν στη βελτίωση της έννοιας της ισορροπίας Nash επειδή η εφαρμογή της φαινόταν να αντιμετωπίζει δυσκολίες σε κάποιες περιπτώσεις. Ειδικότερα, υπήρχε προβληματισμός σχετικά με το αν η κανονική μορφή του παιγνίου οδηγούσε πάντοτε σε λογικές ισορροπίες. Ο προβληματισμός συνδεόταν με το γεγονός ότι η ισορροπία Nash που προκύπτει από την κανονική μορφή είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη για την ορθολογική συμπεριφορά. Πραγματικά, σε κάποια δυναμικά παίγνια οι λύσεις δεν ήταν

4 λογικές αφού βασίζονταν σε μη-πιστευτές απειλές ή μη-πιστευτές υποσχέσεις κάποιων από τους παίκτες. Για να αντιμετωπιστεί το πρόβλημα αυτό ο Reihhard Selten (965) πρότεινε την έννοια της τέλειας κατά υπό-παίγνιο ισορροπίας Nash η οποία αποτελεί τόσο αναγκαία όσο και ικανή συνθήκη για ορθολογική συμπεριφορά στα δυναμικά παίγνια. Μια άλλη δυσκολία με την κανονική μορφή του παιγνίου ήταν ότι για την κατασκευή της γινόταν η υπόθεση ότι στην αρχή του παιγνίου όλοι οι παίκτες έχουν την ίδια ακριβώς πληροφόρηση. Ο John Harshanyi (967 ) αντιμετώπισε το πρόβλημα αυτό με την πρόταση του για την κατασκευή Μπεϋζιανών (Bayesian) παιγνίων τα οποία επιτρέπουν στους παίκτες να έχουν διαφορές στην πληροφόρηση. Για δυναμικά παίγνια με ασυμμετρία στην πληροφόρηση ο David Kreps (987) πρότεινε μια περαιτέρω βελτίωση της έννοιας της ισορροπίας Nash που είναι η τέλεια Μπεϋζιανή. Τα παίγνια διακρίνονται σε διάφορες κατηγορίες: α) Συνεργατικά και μη-συνεργατικά Τα παίγνια μηδενικού ή σταθερού αθροίσματος με δύο παίκτες είναι εξ ορισμού μη-συνεργατικά επειδή το κέρδος του ενός παίκτη μεταφράζεται σε απώλεια για τον άλλο. Στα παίγνια μεταβλητού αθροίσματος συνυπάρχουν τόσο ανταγωνιστικά όσο και κοινά συμφέροντα. Η κατάταξη των παιγνίων μεταβλητού αθροίσματος σε συνεργατικά ή μη-συνεργατικά σχετίζεται με την δυνατότητα ή όχι των παικτών να συντονίσουν τις στρατηγικές τους πριν από την έναρξη του παιγνίου μέσω επικοινωνίας. Ειδικότερα, συνεργατικά θεωρούνται τα παίγνια στα οποία οι παίκτες μπορούν να κάνουν δεσμευτικές συμφωνίες πριν από την έναρξη του παιγνίου, ενώ μη-συνεργατικά αυτά στα οποία η επικοινωνία πριν από την έναρξη του παιγνίου δεν μπορεί να οδηγήσει σε δεσμευτικές συμφωνίες. Στα μη-συνεργατικά παίγνια υπάρχει λεπτομερής περιγραφή των επιλογών που είναι διαθέσιμες σε κάθε παίκτη και της διαδικασίας με την οποία οι παίκτες αλληλεπιδρούν. Για το λόγο αυτό στη σχετική βιβλιογραφία τα μη-συνεργατικά παίγνια ονομάζονται Παίγνια Διαδικασίας. Στα συνεργατικά παίγνια περιγράφονται μόνο τα αποτελέσματα που προκύπτουν όταν οι παίκτες σχηματίζουν διαφορετικούς συνδυασμούς (συνασπισμούς). Για το λόγο αυτό στη σχετική βιβλιογραφία τα συνεργατικά παίγνια ονομάζονται Παίγνια Συνδυασμών. Τα συνεργατικά παίγνια δεν ασχολούνται με τις διαδικασίες από τις οποίες δημιουργούνται οι συνασπισμοί παικτών αλλά με τον τρόπο που θα πρέπει να μοιραστεί το όφελος που προκύπτει από τους συνασπισμούς στα μέλη τους ώστε αυτοί να είναι διατηρήσιμοι/σταθεροί (να μη υπάρχει κίνητρο από ένα υποσύνολο των παικτών να τους διαλύσουν). Ο όρος μη-συνεργατικά δεν σημαίνει υποχρεωτικά ότι η συνεργασία σε τέτοια παίγνια είναι αδύνατη. πλά η συνεργασία αυτή δεν μπορεί να προκύψει πριν ξεκινήσει το παίγνιο αλλά μπορεί μόνο να επιβληθεί από τον ένα παίκτη στον άλλο μέσω των στρατηγικών που θα χρησιμοποιηθούν. Για παράδειγμα, αν ένας αγοραστής και ένας πωλητής συναντηθούν μόνο μια φορά συμφέρον του πωλητή (που συνήθως γνωρίζει καλύτερα την ποιότητα του προϊόντος που προσφέρει) είναι να πωλήσει προϊόν χαμηλής ποιότητας σε υψηλή τιμή. Όταν όμως υπάρχει πιθανότητα για μελλοντικές συναλλαγές και η στρατηγική του αγοραστή περιλαμβάνει την απειλή διακοπής τους για πάντα στην περίπτωση που ο πωλητής έστω και μία φορά δεν προσφέρει καλή ποιότητα στη σωστή τιμή, ο πωλητής μπορεί να αντιληφθεί ότι η συνεργατική συμπεριφορά είναι και προς το δικό του συμφέρον. Στις δεκαετίες του 50 και του 60 το ενδιαφέρον των επιστημόνων ήταν στα συνεργατικά παίγνια. Στα πιο πρόσφατα χρόνια η έρευνα στράφηκε στα μη-συνεργατικά αφού αρκετοί ειδικοί θεωρούν ότι τα παίγνια αυτά είναι πιο βασικά με την έννοια ότι περιλαμβάνουν ξεκάθαρα τον μηχανισμό/διαδικασία που οδηγεί στις συνεργασίες (αυτός είναι οι χρησιμοποιούμενες 4

5 5 στρατηγικές από τους παίκτες). κολουθώντας την τάση των πιο πρόσφατων ετών το βιβλίο αυτό ασχολείται κατά κύριο λόγο με τα μη-συνεργατικά παίγνια. ασικές, όμως, έννοιες και εργαλεία για τη λύση συνεργατικών παιγνίων παρουσιάζονται συνοπτικά στο Κεφάλαιο. β) Στατικά και Δυναμικά Στα στατικά, οι παίκτες οι παίκτες κάνουν τις επιλογές τους ταυτόχρονα και κάθε παίκτης προσπαθεί να προβλέψει την επιλογή του άλλου. Τα δυναμικά παίγνια εξελίσσονται στη διάρκεια του χρόνου και κάθε παίκτης πρέπει να προβλέψει την επίδραση που θα έχει η δική του επιλογή στο παρόν στην συμπεριφορά των υπόλοιπων παικτών στο μέλλον. γ) Τέλειας Πληροφόρησης και μη-τέλειας Πληροφόρησης Ένα δυναμικό παίγνιο είναι τέλειας πληροφόρησης όταν όλοι οι παίκτες γνωρίζουν ακριβώς την ιστορία του παιγνίου (τι έχει προηγηθεί) κάθε φορά που καλούνται να κάνουν μια επιλογή. ν έστω και ένας δεν γνωρίζει τι ακριβώς έχει συμβεί στο παρελθόν το δυναμικό παίγνιο είναι μη-τέλειας πληροφόρησης. δ) Πλήρους Πληροφόρησης και Μη-Πλήρους Πληροφόρησης Ένα παίγνιο είναι πλήρους πληροφόρησης όταν οι αποδόσεις από τους πιθανούς συνδυασμούς στρατηγικών είναι γνωστοί σε όλους τους παίκτες. ν έστω και ένας από τους παίκτες δεν γνωρίζει με ακρίβεια τις αποδόσεις (υπάρχει ασυμμετρία στην πληροφόρηση) το παίγνιο είναι μη-πλήρους πληροφόρησης. Η Θεωρία Παιγνίων χρησιμοποιείται ως μαθηματικό εργαλείο σε μια σειρά από επιστημονικούς κλάδους όπως η Οικονομική, η Πολιτική Επιστήμη, οι Διεθνείς Σχέσεις, η Στρατιωτική Στρατηγική, η Νομική, η Ψυχολογία, η Διοίκηση Επιχειρήσεων και η ιολογία. Δεν μοιράζονται, όμως, όλοι την άποψη αυτή. Σύμφωνα με τον umann (989) «.. υπάρχει η αίσθηση ότι οι διαδικασίες δεν είναι τόσο σχετικές. Οι δυνατότητες για σχηματισμό συμμαχιών, οι απειλές και οι υποσχέσεις έχουν αποφασιστική σημασία και όχι ποιος έχει σειρά να μιλήσει Η λεπτομέρεια αποσπά την προσοχή από τα βασικά».

6 6. ΣΤΤΙΚ ΠΙΓΝΙ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ. Στρατηγική Μορφή Παιγνίου Η στρατηγική (ή κανονική) μορφή είναι ο απλούστερος τρόπος για την παρουσίαση ενός στατικού παιγνίου πλήρους πληροφόρησης και περιλαμβάνει: α) Τη λίστα (κατάλογο) των παικτών, L {, B,..., N,... } ή L {,,..., i,...}. β) Το χώρο των διαθέσιμων στρατηγικών για κάθε παίκτη, S i ( i, B,..., N,...). Ο χώρος των αποτελεσμάτων, S, είναι το Καρτεσιανό γινόμενο των ατομικών χώρων διαθέσιμων στρατηγικών ( S X Si ). υτός αποτελείται από όλες τις πιθανές κατατομές στρατηγικών, όπου κατατομή είναι ένας συνδυασμός στρατηγικών (μια στρατηγική για κάθε παίκτη). γ) Τις συναρτήσεις αποδόσεων (πληρωμών), μέσω των οποίων γίνεται ο υπολογισμός των αποδόσεων για κάθε στοιχείο του χώρου των αποτελεσμάτων (δηλαδή, για κάθε πιθανή κατατομή στρατηγικών). Μαθηματικά, η συνάρτηση απόδοσης του παίκτη i γράφεται ως u i : S R, όπου R είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών Κρίσιμη υπόθεση για την παρουσίαση ενός παιγνίου σε στρατηγική μορφή είναι ότι η λίστα των παικτών, οι χώροι των διαθέσιμων στρατηγικών και οι συναρτήσεις αποδόσεων είναι γνωστές σε κάθε παίκτη που λαμβάνει μέρος σε αυτό. Επιπλέον, κάθε παίκτης γνωρίζει ότι όλοι οι παίκτες γνωρίζουν τα παραπάνω και όλοι οι παίκτες γνωρίζουν ότι κάθε παίκτης γνωρίζει ότι όλοι οι παίκτες γνωρίζουν, κ.ο.κ. μέχρι το άπειρο (τα πάντα αποτελούν κοινή γνώση). Παράδειγμα (Δίλημμα των Φυλακισμένων) Ένας άνδρας (Κ) και μια γυναίκα (Λ) είναι ύποπτοι για το έγκλημα της απαγωγής ενός παιδιού και κρατούνται σε ξεχωριστά κελιά στην σφάλεια χωρίς δυνατότητα επικοινωνίας ο ένας με τον άλλο. Υπάρχουν ενδείξεις ότι αυτοί έχουν διαπράξει την απαγωγή, αλλά όχι αποδείξεις. Για να υπάρξει καταδίκη για την απαγωγή (κακούργημα) θα πρέπει ο ένας τουλάχιστον να ομολογήσει. ν κανείς δεν ομολογήσει θα καταδικαστούν και οι δύο για κάποιο πλημμέλημα (π.χ. προβολή αντίστασης κατά την προσαγωγή στην σφάλεια) σε χρόνια φυλακή. Κάθε ύποπτος έχει δύο επιλογές (στρατηγικές), την ομολογία (Ο) και την άρνηση (). Ένας αξιωματικός επισκέπτεται τον άνδρα και του λέει: «ν η γυναίκα ομολογήσει και εσύ δεν ομολογήσεις θα καταδικαστείς σε 5 χρόνια φυλακή, ενώ αν ομολογήσετε και οι δύο θα καταδικαστείς σε 0 χρόνια φυλακή. ν η γυναίκα δεν ομολογήσει και εσύ ομολογήσεις θα καταδικαστείς σε χρόνο φυλακή, ενώ αν κανείς δεν ομολογήσει θα καταδικαστείς για το πλημμέλημα σε χρόνια φυλακή». Στη συνέχεια ο αξιωματικός επισκέπτεται τη γυναίκα και της λέει τα ίδια πράγματα σχετικά με τη στάση της και τις ποινές που συνεπάγεται αυτή. Η στρατηγική μορφή του παιγνίου αυτού είναι: - λίστα παικτών, L {, } - ατομικοί χώροι διαθέσιμων στρατηγικών, S K { O, } και S { O, }. Ο χώρος των αποτελεσμάτων είναι S {( O, O), ( O, ), (, O), (, )}. Τα διανύσματα ( O, O), ( O, ), (, O) και (, ) είναι οι κατατομές των στρατηγικών όπου το πρώτο στοιχείο σε κάθε διάνυσμα αντιστοιχεί στην επιλογή/στρατηγική του άνδρα και το δεύτερο σε αυτή της γυναίκας. -Η συνάρτηση απόδοσης για τον άνδρα είναι

7 7 uk ( O, O) 0, uk ( O, ), uk (, O) 5, uk (, ), ενώ για τη γυναίκα είναι u ( O, O) 0, u ( O, ) 5, u (, O), u (, ). Όταν οι στρατηγικές των παικτών είναι διακριτές μεταβλητές και πεπερασμένες σε αριθμό ενώ ο αριθμός των παικτών είναι μικρός, η στρατηγική μορφή του παιγνίου μπορεί να παρουσιαστεί συνοπτικά με τη βοήθεια του πίνακα των αποδόσεων. Η συνοπτική παρουσίαση του παιγνίου που εξετάζουμε εδώ είναι Κ Λ Ο Ο -0, -0 -,-5-5,- -,- Η πρώτη στήλη του πίνακα δίνει το χώρο των διαθέσιμων στρατηγικών του παίκτη Κ, ενώ η πρώτη γραμμή δίνει το χώρο των διαθέσιμων στρατηγικών του παίκτη Λ. Οι αριθμοί στα κελιά δίνουν τις αποδόσεις για μια συγκεκριμένη κατατομή στρατηγικών. Για παράδειγμα, το πάνω δεξιά κελί δείχνει ότι για την κατατομή στην οποία ο άνδρας επιλέγει Ο και η γυναίκα, οι αποδόσεις είναι και 5 χρόνια φυλάκιση, αντίστοιχα. Το παίγνιο Δίλημμα των Φυλακισμένων ανήκει σε μια κατηγορία παιγνίων που ονομάζονται συμμετρικά. Ένα παίγνιο με δύο παίκτες ( και ) και με ατομικούς χώρους διαθέσιμων στρατηγικών S και S B, αντίστοιχα, είναι συμμετρικό όταν ικανοποιεί δύο προϋποθέσεις: α) οι ατομικοί χώροι των διαθέσιμων στρατηγικών είναι ταυτόσημοι (δηλαδή, S S B ) και β) η ανταλλαγή στρατηγικών ανάμεσα στους παίκτες οδηγεί σε ανταλλαγή K J K J J K αποδόσεων (δηλαδή, s S και sb S B ισχύει ότι u ( s, sb ) ub ( sb, s ) ). πό τον ορισμό προκύπτει ότι αν οι παίκτες επιλέξουν την ίδια στρατηγική λαμβάνουν ίσες αποδόσεις. Με άλλα λόγια, ένα παίγνιο είναι συμμετρικό αν δεν αλλάζει στην περίπτωση που τη θέση του παίκτη την πάρει ο και τη θέση του παίκτη την πάρει ο (οι παίκτες διαφέρουν μόνο στις ετικέτες/ονόματα). Για το παίγνιο του Διλήμματος των Φυλακισμένων u (, ) u B (, ), u ( O, O) ub ( O, O ) 0, u ( O, ) ub (, O ) και u (, O) ub ( O, ) 5. Σε παίγνια με περισσότερους από δύο παίκτες η συμμετρία εξετάζεται με ανταλλαγή στρατηγικών ανάμεσα σε δύο παίκτες κρατώντας τις στρατηγικές των υπολοίπων σταθερές. Τα συμμετρικά παίγνια είναι λύνονται πιο εύκολα από τα μη-συμμετρικά επειδή στην ισορροπία όλοι οι παίκτες συμπεριφέρονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Παράδειγμα (Ταίριασμα Νομισμάτων) Στο παίγνιο αυτό κάθε παίκτης έχει ένα νόμισμα και επιλέγει ταυτόχρονα με τον άλλον αν θα παρουσιάσει το νόμισμα από την πλευρά Κεφάλι (H) ή την πλευρά Γράμματα (T). ν τα δύο νομίσματα ταιριάζουν (δηλαδή, εμφανιστούν δύο Η ή δύο Τ), ο πρώτος παίκτης () κερδίζει ευρώ από τον δεύτερο παίκτη (). ν τα δύο νομίσματα δεν ταιριάζουν, ο παίκτης κερδίζει ένα ευρώ από τον παίκτη. Η στρατηγική μορφή του παιγνίου αυτού είναι

8 8 Η Τ Η, - -, Τ -,,- Το παίγνιο Ταίριασμα Νομισμάτων ανήκει σε μια κατηγορία παιγνίων που ονομάζονται παίγνια μηδενικού αθροίσματος με δύο παίκτες. Στα παίγνια αυτά τα συμφέροντα των παικτών είναι διαμετρικά αντίθετα καθώς το κέρδος για τον ένα είναι ίσο με την απώλεια για τον άλλο. Τα παίγνια μηδενικού αθροίσματος με δύο παίκτες, με τη σειρά τους, ανήκουν σε μια ευρύτερη κατηγορία παιγνίων που ονομάζονται σταθερού αθροίσματος (δηλαδή, παίγνια στα οποία υπάρχει ένα σταθερό ποσό που μοιράζεται ανάμεσα σε δύο παίκτες). Σε παίγνια μηδενικού ή σταθερού αθροίσματος δεν υπάρχει περιθώριο συνεργασίας (συντονισμού επιλογών) ανάμεσα στους δύο παίκτες. Παράδειγμα (Παίγνιο Ρύπανσης του Περιβάλλοντος) Οι επιχειρήσεις, και Γ χρησιμοποιούν το νερό μιας λίμνης για τις ανάγκες παραγωγής των προϊόντων τους. Μετά τη χρήση, κάθε μια επιχείρηση αποφασίζει ταυτόχρονα με τις άλλες αν θα υποβάλει το νερό σε κατάλληλη επεξεργασία ώστε να επιστραφεί στη λίμνη καθαρό (P) ή δεν θα το υποβάλει σε επεξεργασία (NP). Το κόστος επεξεργασίας για όλες τις επιχειρήσεις είναι. ν δύο τουλάχιστον από τις επιχειρήσεις υποβάλλουν το νερό σε επεξεργασία, το οικοσύστημα της λίμνης δεν υποβαθμίζεται. Στην αντίθετη περίπτωση, το οικοσύστημα υποβαθμίζεται και όλες οι επιχειρήσεις έχουν κόστος. Επειδή δεν είναι δυνατό να εργαστούμε με πίνακες αποδόσεων σε τρεις διαστάσεις κατασκευάζουμε, στη θέση ενός τέτοιου πίνακα, δύο πίνακες σε δύο διαστάσεις. Ειδικότερα, σε κάθε μία ξεχωριστά από τις στρατηγικές ενός από τους παίκτες αντιστοιχούμε ένα πίνακα αποδόσεων που προκύπτει αν κρατήσουμε τη στρατηγική του παίκτη αυτού σταθερή και επιτρέψουμε στους άλλους δύο παίκτες να κάνουν χρήση όλων των στρατηγικών που διαθέτουν. Έστω ότι η επιχείρηση Γ χρησιμοποιεί την στρατηγική P, ενώ οι και είναι δυνατό να χρησιμοποιήσουν την P ή την NP. Ο πίνακας αποδόσεων στην περίπτωση αυτή είναι (Η στρατηγική της Γ είναι P) P NP P -,-,- -,0,- NP 0,-,- -,-,-4 όπου στα κελιά εμφανίζεται πρώτη η απόδοση της και τελευταία η απόδοση της Γ. ν η Γ χρησιμοποιεί την στρατηγική NP, ενώ οι και χρησιμοποιούν οποιαδήποτε από τις στρατηγικές τους ο πίνακας αποδόσεων γίνεται (Η στρατηγική της Γ είναι ΝP) ν όμως εμπλέκονται περισσότεροι από δύο παίκτες τότε ένα υποσύνολο μπορεί να συντονίσει τις επιλογές του για να αποκομίσει όφελος σε βάρος των υπολοίπων παικτών.

9 9 P NP P -,-,0-4,-,- NP -,-4,- -,-,- Οι δύο αυτοί πίνακες αποδόσεων μαζί αποτελούν τη στρατηγική μορφή του παιγνίου με τρεις παίκτες. Παράδειγμα 4 (Δυοπώλιο Cournot) Έστω ότι η αγοραία συνάρτηση ζήτησης για ένα προϊόν είναι P D(Q), όπου P είναι η τιμή, Q είναι η ποσότητα στην αγορά και D μια αυστηρά φθίνουσα συνάρτηση. Έστω επίσης ότι υπάρχουν δύο επιχειρήσεις που παράγουν και ' προσφέρουν το προϊόν με συναρτήσεις κόστους παραγωγής Ci Ci ( Qi ), όπου C i 0 '' και C 0. Με δεδομένες τις εγκαταστάσεις και τον εξοπλισμό, η μέγιστη δυνατή i παραγωγή (παραγωγική ικανότητα) είναι Q i 0, i,. Οι δύο επιχειρήσεις επιλέγουν ταυτόχρονα τις ποσότητες που θα φέρουν στην αγορά. Για το παίγνιο αυτό έχουμε - λίστα παικτών, L {, } - ατομικοί χώροι διαθέσιμων στρατηγικών, S [ 0, Q ] και S [ 0, Q ]. Προφανώς εδώ οι στρατηγικές είναι συνεχείς μεταβλητές. Ο χώρος των αποτελεσμάτων αποτελείται από ζεύγη ( Q, Q ), με Q i [0, Qi ] για i,. - οι συναρτήσεις απόδοσης είναι οι συναρτήσεις κέρδους ui ( Q, Q ) D( Q Q ) Qi Ci ( Qi ) για κάθε Q S και i,. i i. Ισορροπία σε Κυρίαρχες Στρατηγικές Στα στατικά παίγνια οι επιλογές των παικτών γίνονται ταυτόχρονα ή, ακόμη και στην περίπτωση που δεν συμβαίνει αυτό, καθένας από τους παίκτες δεν γνωρίζει την επιλογή των άλλων πριν κάνει τη δική του επιλογή. Συνεπώς, οι παίκτες είναι, γενικά, υποχρεωμένοι να κάνουν μια υπόθεση (πρόβλεψη) σχετικά με τον τρόπο με τον οποίο θα συμπεριφερθούν οι υπόλοιποι, κάτι που δεν είναι πάντα εύκολο. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις που η δυσκολία στην πρόβλεψη δεν εμφανίζεται επειδή ο παίκτης έχει μια άριστη επιλογή (στρατηγική) η οποία δεν εξαρτάται από το πώς θα συμπεριφερθούν οι άλλοι παίκτες. Έστω ένα παίγνιο με Ν παίκτες και χώρο των αποτελεσμάτων S. Έστω επίσης ότι ο χώρος των διαθέσιμων στρατηγικών του παίκτη i είναι S i και ότι S i είναι ο χώρος αποτελεσμάτων για τους υπόλοιπους Ν- (δηλαδή, ο χώρος αποτελεσμάτων που θα προκύψει αν δεν ληφθεί υπόψη ο χώρος των διαθέσιμων στρατηγικών του i, S παίκτη i και i X S j με N k i j και j i ). Τέλος, έστω s και s δύο από τις στρατηγικές του s μια κατατομή στρατηγικών για τους υπόλοιπους Ν- παίκτες. Η i l i

10 0 k i στρατηγική s κυριαρχεί αυστηρά της στρατηγικής αυστηρά από την s ), όταν k k i l l s i (ή ισοδύναμα η l si κυριαρχείται ( ) ui ( si, si ) ui ( si, si ), si Si k l Με λόγια, η si κυριαρχεί αυστηρά της s i όταν η πρώτη οδηγεί σε αυστηρά μεγαλύτερη απόδοση, για οποιαδήποτε κατατομή στρατηγικών των υπολοίπων Ν- παικτών. k Με ανάλογο τρόπο, η στρατηγική s i κυριαρχεί ασθενώς της s l i όταν k l ( a) ui ( si, si ) ui ( si, si ), si Si και k l ( ) ui ( si, si ) ui ( si, si ), για κάποια si Si. k l Δηλαδή, η si κυριαρχεί ασθενώς της s i όταν οι αποδόσεις από την πρώτη ποτέ δεν είναι χειρότερες από αυτές της δεύτερης και τουλάχιστον σε μια περίπτωση είναι αυστηρά καλύτερες. Παράδειγμα 5 (Παίγνιο των Χρωμάτων I) Έστω το παίγνιο με στρατηγική μορφή Κόκκινο Μπλε Κόκκινο 60,60 00,5 Μπλε 5,00 0,0 Τα διανύσματα που ακολουθούν παρουσιάζουν τις αποδόσεις για τον παίκτη από τις στρατηγικές «Κόκκινο» και «Μπλε» για κάθε στρατηγική του. Ο επιλέγει: «Κόκκινο» 60 (όταν ο επιλέγει «Κόκκινο») «Μπλε» 5 (όταν ο επιλέγει «Κόκκινο») 00 (όταν ο επιλέγει «Μπλε») 0 (όταν ο επιλέγει «Μπλε») Κάθε στοιχείο του διανύσματος «Κόκκινο» είναι αυστηρά μεγαλύτερο από το αντίστοιχο στοιχείο του διανύσματος «Μπλε». Η στρατηγική «Κόκκινο» κυριαρχεί αυστηρά της στρατηγικής «Μπλε» για τον παίκτη (το ίδιο ισχύει και για τον παίκτη ). ν η στρατηγική k k i s ικανοποιεί την l ( ) ui ( si, si ) ui ( si, si ), si Si και si Si ( l k) k λέμε ότι η s i είναι η αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική του παίκτη i. Στο «Παίγνιο των Χρωμάτων Ι» κάθε παίκτης έχει μόνο δύο στρατηγικές και, συνεπώς, η στρατηγική «Κόκκινο» είναι αυστηρά κυρίαρχη και για τους δύο. Στο παίγνιο «Δίλημμα των l

11 Φυλακισμένων» η στρατηγική «Ομολογία» είναι αυστηρά κυρίαρχη και για τον άνδρα και για τη γυναίκα. Ο ορθολογισμός των παικτών επιβάλει τη χρησιμοποίηση της αυστηρά κυρίαρχης στρατηγικής (εφόσον αυτή υπάρχει). Ο παίκτης με αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική είναι αδιάφορος για τις στρατηγικές που θα υιοθετήσουν οι άλλοι παίκτες και η συμπεριφορά του είναι απόλυτα προβλέψιμη. ν όλοι οι παίκτες έχουν αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική, η λύση του παιγνίου θα είναι η ισορροπία σε αυστηρά κυρίαρχες sd στρατηγικές. Η ισορροπία αυτή είναι η κατατομή s η οποία έχει σαν στοιχεία τις sd sd sd sd αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές κάθε παίκτη ( s ( s,..., si,..., sn ) ), όπου εκθέτης sd δηλώνει αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική. Στο Παίγνιο Δίλημμα των Φυλακισμένων η ισορροπία σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές είναι η («Ομολογία», «Ομολογία»), ενώ στο Παίγνιο των Χρωμάτων Ι είναι η («Κόκκινο», «Κόκκινο»). Υπάρχει επίσης η έννοια της ισορροπίας σε ασθενώς κυρίαρχες στρατηγικές, όπου ένας τουλάχιστον από τους παίκτες χρησιμοποιεί μια ασθενώς κυρίαρχη στρατηγική. Παράδειγμα 6 Στο παίγνιο με στρατηγική μορφή s 5, 0,4 s 5, 4, η s κυριαρχεί ασθενώς της s και sb κυριαρχεί ασθενώς της. Στο παίγνιο αυτό δεν υπάρχει ισορροπία σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. Υπάρχει όμως ισορροπία σε wd ασθενώς κυρίαρχες και αυτή είναι η s ( s, sb ), όπου ο εκθέτης wd δηλώνει ασθενή κυριαρχία.. Ισορροπία Διαδοχικής παλοιφής των υστηρά Κυριαρχούμενων Στρατηγικών Στα παίγνια «Δίλημμα των Φυλακισμένων» και «Χρωμάτων I» όλοι οι παίκτες είχαν μια αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική και η λύση ήταν ιδιαίτερα εύκολη (κάθε παίκτης θα χρησιμοποιήσει την αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική του). Όμως, η ύπαρξη αυστηρά κυρίαρχων στρατηγικών για κάθε παίκτη είναι ένα μάλλον σπάνιο φαινόμενο. Στις περισσότερες περιπτώσεις κάποιοι από τους παίκτες (ή και όλοι οι παίκτες) δεν έχουν αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική. Χρειάζεται, λοιπόν, μια εναλλακτική προσέγγιση για τη λύση τέτοιων παιγνίων. υτή είναι η διαδοχική απαλοιφή των αυστηρά κυριαρχούμενων στρατηγικών. Η ισορροπία σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές απαιτεί οι παίκτες να είναι ορθολογικοί, ώστε να επιλέγουν την άριστη (αυτή που δίνει τη μεγαλύτερη απόδοση) ανάμεσα στις διαθέσιμες στρατηγικές. Η ισορροπία διαδοχικής απαλοιφής των αυστηρά κυριαρχούμενων στρατηγικών απαιτεί κάτι παραπάνω από τους παίκτες. Ειδικότερα, απαιτεί κάθε παίκτης να αναγνωρίζει ότι οι υπόλοιποι παίκτες είναι επίσης

12 ορθολογικοί και σαν τέτοιοι ποτέ δεν θα χρησιμοποιήσουν ποτέ μια αυστηρά κυριαρχούμενη στρατηγική. Ο ορθολογισμός των παικτών είναι κοινή γνώση. Η απαλοιφή των αυστηρά κυριαρχούμενων στρατηγικών για κάθε παίκτη οδηγεί σε ένα «νέο» παίγνιο το οποίο έχει μικρότερες διαστάσεις (λιγότερες σχετικές στρατηγικές για ένα ή για περισσότερους παίκτες) από το αρχικό. Στο «νέο» παίγνιο γίνεται επίσης απαλοιφή των αυστηρά κυριαρχούμενων (εφόσον υπάρχουν τέτοιες). Η διαδικασία αυτή είναι δυνατό να συνεχιστεί μέχρι την πρόβλεψη του αποτελέσματος (λύση). Παράδειγμα 7 Έστω το παίγνιο με στρατηγική μορφή s 0,0 0,55 0,4 s 55,0 5,5 -,6 s 4,0 6,-, Για τον παίκτη η στρατηγική s κυριαρχεί αυστηρά της s αφού, ανεξάρτητα από το τη στρατηγική του παίκτη, η s δίνει στον μεγαλύτερη 4 0 απόδοση από την s, 6 0. Ο επειδή ο είναι ορθολογικός ποτέ δεν θα 0 χρησιμοποιήσει την s και ο που γνωρίζει τον ορθολογισμό του δεν περιμένει από τον να χρησιμοποιήσει την s. Λόγω της συμμετρίας του παιγνίου, η στρατηγική sb κυριαρχεί αυστηρά της. Ο δεν θα χρησιμοποιήσει ποτέ την και ο δεν περιμένει από τον να χρησιμοποιήσει την. Η ταυτόχρονη απαλοιφή της s από τον χώρο των στρατηγικών του και της από τον χώρο των στρατηγικών του, επειδή αυτές δεν είναι σχετικές, οδηγεί στο «νέο» παίγνιο s 5,5 -,6 s 6,-, που έχει μικρότερες διαστάσεις από το αρχικό. Στο «νέο» παίγνιο η s κυριαρχεί αυστηρά της s (κάτι που δεν ίσχυε για το αρχικό παίγνιο) και κυριαρχεί αυστηρά της s (κάτι που επίσης δεν ίσχυε για το αρχικό παίγνιο). Η ταυτόχρονη απαλοιφή της B B s και της s από το «νέο» παίγνιο οδηγεί στην πρόβλεψη ( s, ). Η λύση αυτή ονομάζεται ισορροπία της διαδοχικής απαλοιφής των αυστηρά κυριαρχούμενων στρατηγικών.

13 Στο Παράδειγμα 7, η απαλοιφή των αυστηρά κυριαρχούμενων στρατηγικών σε κάθε γύρο (επανάληψη) έγινε ταυτόχρονα και για τους δύο παίκτες. υτό δεν είναι απαραίτητο. Θα ήταν δυνατό θα ξεκινήσει κάποιος από την απαλοιφή των αυστηρά κυριαρχούμενων στρατηγικών για ένα από τους παίκτες (π.χ. για τον, περιορίζοντας έτσι τον παίκτη αυτόν στο υποσύνολο του χώρου των διαθέσιμων στρατηγικών του που δεν κυριαρχείται αυστηρά) και, με δεδομένο τον περιορισμό στον, να συνεχίσει με την απαλοιφή των αυστηρά κυριαρχούμενων στρατηγικών του παίκτη. Γενικά ισχύει ότι το αποτέλεσμα από την απαλοιφή των αυστηρά κυρίαρχων στρατηγικών δεν εξαρτάται από τη σειρά με την οποία λαμβάνει χώρα η απαλοιφή. ν από τη διαδοχική απαλοιφή επιβιώσει μια και μόνο κατατομή στρατηγικών, λέμε ότι το παίγνιο είναι επιλύσιμο με αυστηρή κυριαρχία. Επίσης, αν όλοι οι παίκτες έχουν αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική, η διαδοχική απαλοιφή των αυστηρά κυριαρχούμενων θα οδηγήσει σε μια και μόνο κατατομή η οποία θα αποτελείται από τις αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές των παικτών. Δηλαδή, τέτοια παίγνια στα οποία όλοι οι παίκτες έχουν αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές είναι επιλύσιμα με αυστηρή κυριαρχία. Στο παίγνιο «Δίλημμα των Φυλακισμένων» οι στρατηγική «Άρνηση» απαλείφεται και για τους δύο παίκτες αφού κυριαρχείται αυστηρά από την «Ομολογία» και η ισορροπία σε κυρίαρχες στρατηγικές είναι επίσης ισορροπία της διαδοχικής απαλοιφής των αυστηρά κυριαρχούμενων Παράδειγμα 8 Έστω το παίγνιο με στρατηγική μορφή s,0, 0, s 0, 0,,0 Ο στο αρχικό παίγνιο δεν έχει αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική. Για τον, όμως, η κυριαρχεί αυστηρά της. Ο είναι ορθολογικός και δεν θα χρησιμοποιήσει την. Ο γνωρίζει ότι ο είναι ορθολογικός και προβλέπει σωστά ότι ο δεν θα χρησιμοποιήσει τη. Ο περιορισμός του χώρου των στρατηγικών του οδηγεί στο παίγνιο s,0, s 0, 0, Τώρα, η s κυριαρχείται αυστηρά από τη s, ενώ ο δεν έχει αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική. Ο περιορισμός του χώρου των στρατηγικών του οδηγεί στο παίγνιο

14 4 s,0, όπου η sb κυριαρχείται αυστηρά από την. Η απαλοιφή της sb οδηγεί στην ισορροπία ( s, ). Η διαδοχική απαλοιφή των αυστηρά κυριαρχούμενων στρατηγικών για κάποια παίγνια οδηγεί σε μια και μοναδική κατατομή ισορροπίας (λύση). Υπάρχουν όμως παίγνια στα οποία η προσέγγιση είναι δεν δυνατόν να εφαρμοστεί για το λόγο ότι κανείς από τους παίκτες δεν έχει αυστηρά κυριαρχούμενη στρατηγική. Παράδειγμα 9 (Εμπορικό Πολεμικό Πλοίο) Το εμπορικό πλοίο πλησιάζει σε ένα νησί από την νατολή και το πολεμικό πλησιάζει στο ίδιο νησί από τη Δύση. Το εμπορικό πλοίο θέλει να αποφύγει τη συνάντηση με το πολεμικό, ενώ το πολεμικό πλοίο θέλει να συναντήσει το εμπορικό. Τα πλοία μπορούν να παρακάμψουν το νησί ακολουθώντας το δρομολόγιο «ορράς» ή το δρομολόγιο «Νότος». Η στρατηγική μορφή του παιγνίου είναι Εμπορικό Πολεμικό ορράς Νότος ορράς 0,,0 Νότος,0 0, Ούτε το εμπορικό, ούτε το πολεμικό πλοίο έχουν αυστηρά κυριαρχούμενη στρατηγική στο παίγνιο αυτό. κόμη όμως και στην περίπτωση που ένας ή περισσότεροι παίκτες έχουν αυστηρά κυριαρχούμενες στρατηγικές η διαδικασία του περιορισμού του χώρου των διαθέσιμων στρατηγικών δεν οδηγεί πάντοτε σε λύση (σε μια και μόνη κατατομή ισορροπίας). Παράδειγμα 0 Στο παίγνιο με στρατηγική μορφή s 0, -, 4,- s 0,, 6,4 s,5 4, 5, Η s κυριαρχείται αυστηρά από την s. Με την απαλοιφή της s, η κυριαρχεί αυστηρά στη. Με αυτούς τους περιορισμούς στους χώρους στρατηγικών του και η στρατηγική μορφή είναι πλέον

15 5 s 0, 6,4 s,5 5, όπου κανείς από τους παίκτες δεν έχει αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική. Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν επιβιώνουν 4 κατατομές στρατηγικών, η ( s, ), η ( s, ), η ( s, ) και η ( s, ). Κάποιες από αυτές μπορεί να είναι κατατομές ισορροπίες ή καμιά να μην είναι κατατομή ισορροπίας. Η προσέγγιση της διαδοχικής απαλοιφής των αυστηρά κυριαρχούμενων στην περίπτωση αυτή δεν μπορεί να οδηγήσει σε πρόβλεψη (δηλαδή, το παίγνιο δεν είναι επιλύσιμο με αυστηρή κυριαρχία). Σε παίγνια με μεγάλο αριθμό παικτών και στρατηγικών είναι πολύ πιθανό η εύρεση ισορροπίας με διαδοχική απαλοιφή των αυστηρά κυριαρχούμενων να απαιτεί πάρα πολλές επαναλήψεις. Πειράματα έχουν δείξει ότι οι παίκτες αντιμετωπίζουν δυσκολίες να λύσουν τέτοιου είδους παίγνια. Παρά τα προβλήματα που υπάρχουν, η διαδοχική απαλοιφή των αυστηρά κυριαρχούμενων στρατηγικών είναι μια χρήσιμη προσέγγιση. υτό γιατί, ακόμη και όταν δεν οδηγεί σε μια και μόνη κατατομή ισορροπίας, η εφαρμογή της (όπου είναι δυνατόν) περιορίζει τους χώρους διαθέσιμων στρατηγικών των παικτών και με τον τρόπο αυτό διευκολύνει τη λύση παιγνίων με την έννοια της ισορροπίας Nash η οποία είναι το κύριο εργαλείο πρόβλεψης σε καταστάσεις στρατηγικής αλληλεπίδρασης..4 Ισορροπία Διαδοχικής παλοιφής των σθενώς Κυριαρχούμενων Στρατηγικών Η διαδοχική απαλοιφή των ασθενώς κυριαρχούμενων στρατηγικών είναι ανάλογη αυτής των αυστηρά κυριαρχούμενων. Γενικά γίνεται αποδεκτό ότι ένας ορθολογικός παίκτης δεν θα χρησιμοποιήσει μια ασθενώς κυριαρχούμενη στρατηγική αν αντιμετωπίζει κάποια αβεβαιότητα σε σχέση με τις επιλογές των υπολοίπων παικτών. Παράδειγμα Στο παίγνιο με στρατηγική μορφή s 5, 0, s 5, 6, ο δεν θα χρησιμοποιήσει την ασθενώς κυριαρχούμενη s αν θεωρεί ότι υπάρχει έστω και μια πολύ μικρή πιθανότητα ο να χρησιμοποιήσει τη. Η διαδικασία όμως της απαλοιφής των ασθενώς κυριαρχούμενων συχνά περιέχει μια αντίφαση με την έννοια ότι είναι δυνατόν να οδηγήσει σε απαλοιφή

16 6 στρατηγικών που οι παίκτες αρχικά θεωρούσαν ότι έχουν θετική πιθανότητα να χρησιμοποιηθούν στο παίγνιο. Παράδειγμα Έστω το παίγνιο με στρατηγική μορφή s 4,,0 s 5,0, s 5,, και έστω επίσης ότι ο παίκτης θεωρεί ότι υπάρχει πιθανότητα p 0. 5ότι ο θα B χρησιμοποιήσει τη στρατηγική s. Τότε η προσδοκώμενες αποδόσεις για τον είναι ( 4)( p ) ( p) p (αν χρησιμοποιήσει τη s ) ( 5)( p ) ( p) p (αν χρησιμοποιήσει τη s ) και ( 5)( p ) ( p) p (αν χρησιμοποιήσει τη s ). Μα βάση το τι πιστεύει ο, η s κυριαρχείται αυστηρά από τις υπόλοιπες δύο στρατηγικές και απαλείφεται. Τότε όμως, η κυριαρχείται ασθενώς από την και, συνεπώς, μπορεί να επίσης να γίνει η απαλοιφή της. Το τελευταίο όμως σημαίνει, ότι ο δεν χρησιμοποιεί την (τη χρησιμοποιεί με μηδενική πιθανότητα) που είναι σε αντίφαση με την απαλοιφή της s αρχικά (αφού αυτή βασίστηκε στο ότι ο θεωρεί ότι υπάρχει θετική πιθανότητα για τη χρησιμοποίηση της ). Τα αποτελέσματα της διαδοχικής απαλοιφής των ασθενώς κυριαρχούμενων συχνά εξαρτώνται από τη σειρά με την οποία λαμβάνει χώρα η απαλοιφή των στρατηγικών. Παράδειγμα Στο παίγνιο με στρατηγική μορφή s 0,0 5, 4,- s 0, 5,0,- η s κυριαρχεί ασθενώς της s, ενώ η κυριαρχεί αυστηρά της. ν γίνει πρώτα η απαλοιφή της ασθενώς κυριαρχούμενης στρατηγικής του η λύση θα είναι ( s, ). ν γίνει πρώτα η απαλοιφή της αυστηρά κυριαρχούμενης στρατηρικής του του, «νέο» παίγνιο θα είναι

17 7 s 0,0 5, s 0, 5,0 όπου κανείς από τους παίκτες δεν έχει αυστηρά ή ασθενώς κυριαρχούμενη στρατηγική και επιβιώνουν 4 κατατομές στρατηγικών. Τέλος, η διαδοχική απαλοιφή των ασθενώς κυριαρχούμενων είναι δυνατό να οδηγήσει σε απαλοιφή κατατομών που αποτελούν ισορροπίες Nash. Τα παραπάνω σημαίνουν ότι η απαλοιφή των ασθενών κυριαρχούμενων έχει μειονεκτήματα. Όμως, σε κάποιες περιπτώσεις χρησιμοποιείται στη λύση παιγνίων, ιδιαίτερα όταν δεν υπάρχουν αυστηρά κυριαρχούμενες στρατηγικές για απαλοιφή..5 Η Ισορροπία Nash Έστω ότι σε ένα παίγνιο, για λόγους που ήδη αναφέρθηκαν παραπάνω, δεν υπάρχει λύση σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές ή λύση με τη διαδοχική απαλοιφή των αυστηρά κυριαρχούμενων. Και στην περίπτωση αυτή, όμως, κάθε παίκτης θα προσπαθήσει να προβλέψει τι σκοπεύουν να κάνουν οι άλλοι παίκτες και να προσδιορίσει την άριστη αντίδραση του (γνωρίζοντας πάντα ότι και οι υπόλοιποι σκέφτονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο). ντιστοιχία άριστης αντίδρασης είναι η αντιστοιχία Bi : S i Si η οποία δίνει το σύνολο των άριστων απαντήσεων του παίκτη i=,,, Ν σε κάθε δεδομένη κατατομή στρατηγικών που θα υιοθετήσουν οι υπόλοιποι Ν- παίκτες. Ο όρος αντιστοιχία υποδηλώνει ότι πιθανά να υπάρχουν περισσότερες από μια άριστες αντιδράσεις (απαντήσεις) για κάθε στοιχείο του S i. ν η άριστη απάντηση είναι μια και μόνη, η αντιστοιχία άριστης αντίδρασης είναι απλά μια συνάρτηση άριστης αντίδρασης. Παράδειγμα 4 Έστω το παίγνιο με στρατηγική μορφή s 4,0, 0, s 0,,,0 Η άριστη αντίδραση του αν χρησιμοποιήσει την sb είναι μόνο η s (δηλαδή, B ( sb ) { s } ). ν ο χρησιμοποιήσει την υπάρχουν δύο άριστες αντιδράσεις, η s και η s (δηλαδή, B ( sb ) { s, s } ) (επειδή τόσο η s όσο και η s οδηγούν σε απόδοση απέναντι στην ). Η ισορροπία Nash είναι η αμοιβαία άριστη αντίδραση με την έννοια ότι στην ισορροπία αυτή κάθε παίκτης υιοθετεί μια άριστη στρατηγική, με δεδομένες τις

18 8 στρατηγικές όλων των άλλων παικτών. Μαθηματικά, η κατατομή * * * * * ( s,..., si, si, si..., sn ) είναι ισορροπία Nash ενός παιγνίου όταν * * * * * * * * * ui ( s,..., si, si, si..., sn ) ui ( s,..., si, si, si..., sn ), si Si και i. Για την ισορροπία Nash θα πρέπει: (α) κάθε παίκτης να κάνει πρόβλεψη (να διατυπώσει μια εικασία) για τον τρόπο με τον οποίον θα συμπεριφερθούν οι υπόλοιποι και να αντιδράσει άριστα με βάση την πρόβλεψη του, (β) η πρόβλεψη (η εικασία) να είναι ορθή. Η έννοια της ισορροπίας Nash, συνεπώς, υποθέτει ότι οι παίκτες έχουν μια κοινή εικασία για τον τρόπο με τον οποίο θα εξελιχθεί (θα παιχθεί) το παίγνιο. Η Nash ισορροπία έχει ερμηνευτεί με δύο τρόπους. Πρώτον, είναι η κατατομή των στρατηγικών που, με δεδομένο τι κάνουν οι υπόλοιποι, ο παίκτης που εξετάζουμε δίνει την καλύτερη απάντηση (και αυτό ισχύει για όλους τους παίκτες). Δεύτερον, είναι η κατατομή των στρατηγικών που, με δεδομένο τι κάνουν οι υπόλοιποι, ο παίκτης που εξετάζουμε δεν έχει κίνητρο να αλλάξει την στρατηγική του μονομερώς (και αυτό ισχύει για όλους τους παίκτες). Με βάση τη δεύτερη ερμηνεία, η ισορροπία Nash είναι ισοδύναμη με μια δεσμευτική συμφωνία σχετικά με το ποιες στρατηγικές θα χρησιμοποιηθούν η οποία επιβάλλεται από μόνη της αφού κανείς από τους παίκτες δεν θα βρει λόγο να την αθετήσει αν πιστεύει ότι και οι άλλοι θα την τηρήσουν. Οι δύο ερμηνείες υποδεικνύουν και με πιο τρόπο μπορούν να προσδιοριστούν οι ισορροπίες Nash σε ένα παίγνιο. Η ερμηνεία της έλλειψης κινήτρου για αλλαγή στρατηγικής υποδεικνύει την εξέταση των κελιών του πίνακα αποδόσεων ένα-προς-ένα με το ερώτημα αν ένας τουλάχιστον από τους παίκτες είναι δυνατό να πετύχει αυστηρά μεγαλύτερη απόδοση με το να αποκλίνει μονομερώς. Παράδειγμα 5 Έστω το παίγνιο με στρατηγική μορφή L R U,4 -,5 D 0, - 5,-5 Οι αποδόσεις από την κατατομή (U, L) είναι για τον και 4 για τον. Με δεδομένη τη στρατηγική του, ο μπορεί να αποκομίσει όφελος αλλάζοντας τη στρατηγική του από L σε R (επειδή 5>4). Συνεπώς, η κατατομή (U, L) δεν είναι Nash ισορροπία στο παίγνιο αυτό. Οι αποδόσεις από την κατανομή (U, R) είναι για τον και 5 για τον. Ο παίκτης δεν έχει κίνητρο για μονομερή αλλαγή στρατηγικής από R σε L αφού κάτι τέτοιο θα οδηγούσε σε μείωση της απόδοσης τους από 5 σε 4. Ο όμως έχει τέτοιο κίνητρο, επειδή με δεδομένο ότι ο χρησιμοποιεί την R, θα αύξανε την απόδοση του από σε 5 αν υιοθετούσε την D αντί της U. Συνεπώς, η κατατομή (U, R) δεν είναι Nash ισορροπία στο παίγνιο αυτό. Οι αποδόσεις από την κατατομή (D, L) είναι 0 για τον και για τον. Εδώ δεν υπάρχει κίνητρο για μονομερή αλλαγή στρατηγικής επειδή κάτι τέτοιο θα μείωνε την απόδοση του από 0 σε και του από σε 5. Η έλλειψη κινήτρου για μονομερή αλλαγή στρατηγικής και από τους δύο παίκτες σημαίνει ότι η κατατομή (D, L) είναι Nash ισορροπία. Η αποδόσεις από την κατατομή (D, R) είναι 5 και 5 για τον και το, αντίστοιχα. Και οι δύο παίκτες

19 9 έχουν κίνητρο για μονομερή απόκλιση, άρα η κατατομή (D, R) δεν είναι Nash ισορροπία. Το ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει από την ερμηνεία της αμοιβαίας άριστης αντίδρασης. Η αντιστοιχία αντίδρασης για την είναι B ( L) D, B ( R) D ενώ για τον είναι BB ( U ) R, BB ( D) L. Στην κατατομή (D, L), D είναι η άριστη αντίδραση του στη στρατηγική L και L είναι η άριστη αντίδραση του στη στρατηγική D. φού για την κατατομή αυτή, η στρατηγική του κάθε παίκτη είναι η άριστη απάντηση στη στρατηγική του άλλου, η (D, L) είναι η Nash ισορροπία του παιγνίου. Ένας γρήγορος τρόπος για τον προσδιορισμό των ισορροπιών Nash (που βασίζεται στην αμοιβαία άριστη αντίδραση) είναι η υπογράμμιση των αποδόσεων που προκύπτουν από τις άριστες αντιδράσεις στον πίνακα αποδόσεων του παιγνίου. ν οι αποδόσεις όλων των παικτών σε ένα κελί είναι υπογραμμισμένες, η κατατομή των στρατηγικών που αντιστοιχεί στο κελί αυτό είναι Nash ισορροπία. Η άριστη αντίδραση του στην U, συνεπάγεται απόδοση 5 για τον (υπογραμμίζουμε το 5 στο κελί πάνωδεξιά). Η άριστη αντίδραση του στην D, συνεπάγεται απόδοση για τον (υπογραμμίζουμε το στο κελί κάτω-αριστερά). Η άριστη αντίδραση του στην L, συνεπάγεται απόδοση 0 για τον (υπογραμμίζουμε το 0 στο κελί κάτω-αριστερά). Η άριστη αντίδραση του στην R, συνεπάγεται απόδοση 5 για τον (υπογραμμίζουμε το 5 στο κελί κάτω-δεξιά). Η Nash ισορροπία είναι η (D, L) που αντιστοιχεί στο κελί που όλες οι αποδόσεις είναι υπογραμμισμένες. Επισημαίνεται ότι τα αποτελέσματα από μια ισορροπία Nash δεν είναι πάντα τα καλύτερα (τα πιο επιθυμητά) για τους παίκτες. πλά με την χρήση των στρατηγικών μιας ισορροπίας Nash ο κάθε παίκτης αποφεύγει να γίνει αντικείμενο εκμετάλλευσης από πλευράς των υπολοίπων. Στο Παράδειγμα (Δίλημμα των Φυλακισμένων) η ισορροπία Nash είναι («Ομολογία», «Ομολογία»), ενώ και οι δύο παίκτες θα βρίσκονταν σε καλύτερη θέση αν ταυτόχρονα δεν ομολογούσαν. Όμως στην κατατομή («Άρνηση», «Άρνηση») υπάρχει κίνητρο και για τους δύο παίκτες να αποκλίνουν μονομερώς. Οι ισορροπίες Nash είναι τα κοινά σημεία των αντιστοιχιών άριστης αντίδρασης για όλους του παίκτες. Στην ειδικότερη περίπτωση όπου οι αντιστοιχίες είναι συναρτήσεις, οι ισορροπίες Nash προκύπτουν από τη λύση ενός συστήματος Ν εξισώσεων (Ν συναρτήσεων αντίδρασης) με Ν αγνώστους (στρατηγικές των παικτών). Παράδειγμα 6 (Δυοπώλιο Cournot) Έστω ότι η αγοραία αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης είναι p a bq για 0 Q a / b και p 0 για a / b Q. Οι συναρτήσεις κόστους είναι Ci ( Qi ) cqi (όπου για τις παράμετρες ισχύει a c 0 και b 0 ). Επειδή οι επιχειρήσεις συμπεριφέρονται ορθολογικά, καμιά από τις δύο δεν θα παράγει ποσότητα υτό είναι εύκολο να διαπιστωθεί σε ένα απλό παίγνιο με δύο παίκτες και με χώρους στρατηγικών S * * * * * και S B. Στην ισορροπία Nash u s, s ) u ( s, s ) s S B ( s ) s και ( B B B * * * * * B ( s, sb ) u B ( s, sb ) sb S B BB ( s ) sb * * u. Με άλλα λόγια, η κατατομή ( s, ) ικανοποιεί ταυτόχρονα και τις δύο αντιστοιχίες άριστης αντίδρασης (βρίσκεται σε τομή των αντίστοιχων γραφημάτων).

20 0 αυστηρά μεγαλύτερη από a / b (ανεξάρτητα από το τι θα κάνει η άλλη) αφού κάτι τέτοιο θα οδηγούσε σε αρνητικό κέρδος. Συνεπώς, χωρίς βλάβη της γενικότητας, η παραγωγική ικανότητα ( Q i ) μπορεί να τεθεί ίση με a / b. Για την ειδική αυτή περίπτωση του δυοπωλίου Cournot (γραμμικό υπόδειγμα Cournot) οι συναρτήσεις απόδοσης (κέρδους) είναι u Q, Q ) ( a b( Q Q ) c), αν 0 Q a / b και i ( Q i i ( Q, Q ) cq i a b Q u, αν / Q ( i, ). Κάθε μια από τις επιχειρήσεις επιλέγει την ποσότητα που θα φέρει στην αγορά θεωρώντας δεδομένη την ποσότητα της άλλης. Με Q [0, a / b], η συνάρτηση άριστης αντίδρασης της προκύπτει από τη συνθήκη πρώτης τάξης για μεγιστοποίηση du a c Q ( 4a) 0 ( a c) bq bq 0 Q B ( Q ) ( ). dq b d u Η συνθήκη δεύτερης τάξης b 0, ικανοποιείται για κάθε Q [0, a / b]. dq Όταν Q 0, η άριστη αντίδραση της είναι a c Q. Καθώς η Q αυξάνεται η b a c Q μειώνεται γραμμικά και γίνεται 0 για Q. Λόγω της συμμετρίας του b παιγνίου, η συνάρτηση άριστης αντίδρασης για την είναι a c Q (4b) Q B ( Q ) ( ). b Όταν Q 0, η άριστη αντίδραση της είναι a c Q. Καθώς η Q αυξάνεται η b a c Q μειώνεται γραμμικά και γίνεται 0 για Q. b Η Nash ισορροπία προκύπτει από τη λύση των (4α) και (4β) ως προς τους αγνώστους ( Q, Q ). υτή είναι * * a c Q Q και αντιστοιχεί στο σημείο τομής των δύο b συναρτήσεων άριστης αντίδρασης στο Σχήμα. Q ( a c) / b B ( a c) / b Ισορροπία Nash B Q ( a c) / b ( a c) / b Σχήμα. Ισορροπία Nash στο Γραμμικό Δυοπώλιο Cournot

21 Τα συμμετρικά παίγνια οδηγούν σε συμμετρικές ισορροπίες στις οποίες όλοι οι παίκτες κάνουν την ίδια ακριβώς επιλογή στρατηγικής. Παράδειγμα 7 (Δυοπώλιο Bertrand) Έστω ότι η αγοραία συνάρτηση ζήτησης και οι συναρτήσεις κόστους είναι οι ίδιες με αυτές στο Cournot. Κάθε επιχείρηση επιλέγει την τιμή για το προϊόν θεωρώντας δεδομένη την τιμή της άλλης. ν p και p είναι οι τιμές της και της, αντίστοιχα, η απόδοση της επιχείρησης i, j, θα είναι ( p, p ) p Q( p ) cq( p ), p p i i j 0.5( p Q( p ) cq( p ), 0, i i i i p p i i i p p Επειδή κάθε επιχείρηση έχει το κίνητρο να μειώσει την τιμή έτσι ώστε να πάρει όλη την * αγορά, η ισορροπία Nash είναι p p * c. Τα κέρδη θα είναι μηδενικά (η τιμολόγηση θα γίνει στο οριακό κόστος κάτι το οποίο χαρακτηρίζει επιχειρήσεις που λειτουργούν σε καθεστώς τέλειου ανταγωνισμού) και η αγορά θα μοιραστεί στα δύο. Στην περίπτωση που ci c j η Nash ισορροπία είναι pi c j και p j c j (η επιχείρηση με το μικρότερο μέσο (και οριακό) κόστος παίρνει όλη την αγορά και έχει θετικό κέρδος, ενώ εκείνη με το μεγαλύτερο παράγει ποσότητα 0). Παράδειγμα 8 Δύο γείτονες σχεδιάζουν να καθαρίσουν το δρόμο που περνάει μπροστά από τα σπίτια τους. Καθένας έχει ελεύθερη ώρα και μπορεί να τη διαθέσει είτε για να παρακολουθήσει τηλεόραση, είτε να καθαρίσει το δρόμο. ν ti είναι ο χρόνος τον οποίο ο i, θα διαθέσει για τον καθαρισμό του δρόμου η χρησιμότητα που θα αποκομίσει είναι ui ( t, t ) [ bi ln( t t )] [ ti ], με b i 0. Να βρεθούν οι ισορροπίες Nash για α) b b και β) b b b. Ο πρώτος όρος στο δεξιό της συνάρτησης είναι χρησιμότητα που αποκομίζει ο παίκτης από την καθαριότητα του δρόμου και εξαρτάται από το άθροισμα του χρόνου που διατίθεται για το σκοπό αυτό καθώς και από την τιμή της παραμέτρου b i. Όσο μεγαλύτερο είναι το bi τόσο μεγαλύτερη η χρησιμότητα, για δεδομένο t t. Ο δεύτερος όρος είναι η χρησιμότητα που απορρέει από την παρακολούθηση της τηλεόρασης. Οι χώροι στρατηγικών είναι S S [0,]. Οι συνθήκες πρώτης τάξης j j j. b i για τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας είναι 0, ( i,) από τις οποίες t t προκύπτουν οι συναρτήσεις άριστης αντίδρασης 5a) B ( t ) b t και 5 ) B ( t) b t. Το Σχήμα α παρουσιάζει τις συναρτήσεις άριστης αντίδρασης στην περίπτωση

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 2 η Διάλεξη Παίγνια ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά σύνολα Κανονική μορφή παιγνίου Ισοδύναμες στρατηγικές Παίγνια συνεργασίας και μη συνεργασίας Πεπερασμένα και

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων ΕΚΠΑ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μικροοικονομική Θεωρία ΙΙ Εαρινό εξάμηνο Ακαδ. έτους 08-09 Αν. Παπανδρέου, Φ. Κουραντή, Ηρ. Κόλλιας Δεύτερο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 0 Μαϊου. Θα υπάρξει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο

Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Εκδόσεις Κριτική Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο Ύλη για τη Μίκρο ΙΙ: κεφάλαιο 28.1 έως και 28.9 Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο Cournot Stackelberg Bertrand

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων - Ορισμός. Αν οι επιλογές μιας επιχείρησης εξαρτώνται από την αναμενόμενη αντίδραση των υπόλοιπων επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά, τότε υπάρχει στρατηγική αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 2η σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 18 Μαίου 2015 Πρόβλημα 1. (14

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων. Ε. Μαρκάκης. Επικ.

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Παίγνια πολλών παικτών 2 Παίγνια με > 2 παίκτες Όλοι οι ορισμοί που

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Τι είναι η Θεωρία Παιγνίων? Quote από το βιβλίο του Osborne: Game Theory aims to help us understand situawons in which decision makers interact

Διαβάστε περισσότερα

6. Παίγνια αλληλοδιαδοχικών κινήσεων και η αξία του περιορισμού των επιλογών κάποιου ατόμου

6. Παίγνια αλληλοδιαδοχικών κινήσεων και η αξία του περιορισμού των επιλογών κάποιου ατόμου Θεωρία παιγνίων 1 1. Παρακίνηση: Honda και Toyota 2. Ισορροπία κατά Nash 3. Το δίλημμα του φυλακισμένου 4. Ισορροπία με κυρίαρχη στρατηγική 5. Μειονεκτήματα της ισορροπίας κατά Nash 6. Παίγνια αλληλοδιαδοχικών

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 0 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Ανάγκη θεωρίας επιλογής υπό αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Η θεωρία αποφάσεων έχει ως αντικείμενο την επιλογή της καλύτερης στρατηγικής. Τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής εξαρτώνται από παράγοντες, οι οποίοι μπορεί να είναι καταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Δευτέρα 3 Σεπτεμβρίου 2012 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (16:30-19:30)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Λύσεις παιγνίων 2 Επιλέγοντας στρατηγική... Δεδομένου ενός παιγνίου, τι στρατηγική πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

A 2 B 2 Γ 2. u 1 (A 1, A 2 ) = 3 > 1 = u 1 (B 1, A 2 ) u 1 (A 1, Γ 2 ) = 1 > 0 = u 1 (B 1, Γ 2 ) A 2 B 2

A 2 B 2 Γ 2. u 1 (A 1, A 2 ) = 3 > 1 = u 1 (B 1, A 2 ) u 1 (A 1, Γ 2 ) = 1 > 0 = u 1 (B 1, Γ 2 ) A 2 B 2 Κεφάλαιο 2 Στατικά παίγνια με πλήρη πληροφόρηση 2.1 Εισαγωγή Η πιο απλή, αλλά και θεμελιώδης, κατηγορία παιγνίων είναι αυτή των στατικών παιγνίων με πλήρη πληροφόρηση. Στα παίγνια αυτά οι συμμετέχοντες

Διαβάστε περισσότερα

Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0

Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ιδάσκων: Ε. Πετράκης. Επαναληπτική Εξέταση: 15/09/99 Απαντήστε στα τρία από τα τέσσερα θέµατα. Όλα τα υποερωτήµατα βαθµολογούνται το ίδιο. 1. Θεωρήσατε ένα ολιγοπωλιακό κλάδο όπου τρεις

Διαβάστε περισσότερα

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο Ολιγοπώλιο Ένα μονοπώλιο είναι ένας κλάδος που αποτελείται από μία μόνο εταιρεία. Ένα δυοπώλιο είναι ένας κλάδος

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια;

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια; HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι οι

Διαβάστε περισσότερα

10/3/17. Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο. Μικροοικονομική. Ολιγοπώλιο. Ολιγοπώλιο. Ανταγωνισµός ποσότητας. Μια σύγχρονη προσέγγιση

10/3/17. Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο. Μικροοικονομική. Ολιγοπώλιο. Ολιγοπώλιο. Ανταγωνισµός ποσότητας. Μια σύγχρονη προσέγγιση 0/3/7 HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 8 Ολιγοπώλιο Ολιγοπώλιο Ένα μονοπώλιο είναι ένας κλάδος που αποτελείται από μία μόνο εταιρεία. Ένα δυοπώλιο είναι ένας κλάδος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 1 η Διάλεξη Ορισμός Θεωρίας Παιγνίων και Παιγνίου Κατηγοριοποίηση παιγνίων Επίλυση παιγνίου Αξία (τιμή) παιγνίου Δίκαιο παίγνιο Αναπαράσταση Παιγνίου Με πίνακα Με

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 3 η Διάλεξη-Περιεχόμενα (1/2) Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash Λύση ακολουθιακής κυριαρχίας και σημεία ισορροπίας Nash Αλγοριθμική εύρεση σημείων ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη πάνω στην εφαρμογή της θεωρίας παιγνίων σε θέματα πολεμικών τακτικών και στρατηγικής.

Μελέτη πάνω στην εφαρμογή της θεωρίας παιγνίων σε θέματα πολεμικών τακτικών και στρατηγικής. Μελέτη πάνω στην εφαρμογή της θεωρίας παιγνίων σε θέματα πολεμικών τακτικών και στρατηγικής. Ιστορική αναδρομή 1713 Ο Francis Waldegrave, σε ένα γράμμα του, παρουσίασε την πρώτη μικτή στρατηγική μεγίστου

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes Ε 10,10 0,3 Λ 3,0 2,2

Notes. Notes. Notes. Notes Ε 10,10 0,3 Λ 3,0 2,2 Θεωρία παιγνίων: Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 3 Δεκεμβρίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία παιγνίων: 3 Δεκεμβρίου 2012 1 / 21 -best responses Κυνήγι ελαφιού: Δυο κυνηγοί ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

Το Υπόδειγμα της Οριακής Τιμολόγησης

Το Υπόδειγμα της Οριακής Τιμολόγησης Το Υπόδειγμα της Οριακής Τιμολόγησης (ilgrom, Paul and John Roberts 98, imit Pricing and Entry under Incomplete Information) - Μια επιχείρηση ακολουθεί πολιτική οριακής τιμολόγησης (limit pricing) όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον Θεωρία Παιγνίων Αβεβαιότητα παρουσία άλλου πράκτορα Μια άλλη πηγή αβεβαιότητας είναι η παρουσία άλλου πράκτορα στο περιβάλλον, ακόμα κι όταν ένας πράκτορας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων

Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Εκδόσεις Κριτική Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Ύλη για τη Μίκρο ΙΙ: κεφάλαιο 29.1, 29.2, 29.4, 29.7, 29.8 Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

H 2 = H 1 H 1 H 3 = H 2 H 1 = H 1 H 1 H 1

H 2 = H 1 H 1 H 3 = H 2 H 1 = H 1 H 1 H 1 Κεφάλαιο 4 Επαναλαμβανόμενα παίγνια 4.1 Εισαγωγή Πολλά οικονομικά, ή και άλλα, φαινόμενα επαναλαμβάνονται στον χρόνο. Για παράδειγμα, οι επιχειρήσεις σε μία αγορά ανταγωνίζονται μεταξύ τους σε πολλές χρονικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Κεφάλαιο 7 Ε. Σαρτζετάκης Μονοπωλιακός ανταγωνισμός Η μορφή αγοράς του μονοπωλιακού ανταγωνισμού περιέχει στοιχεία πλήρους ανταγωνισμού (ελεύθερη

Διαβάστε περισσότερα

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη Θεωρία παιγνίων: Μεικτές στρατηγικές και Ισορροπία Nash Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 18 Μαρτίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 1 / 9 Κυριαρχία και μεικτές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 1 Φεβρουαρίου 26 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:-18:) ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) Κάθε ένας

Διαβάστε περισσότερα

Βιομηχανική Οργάνωση ΙΙ: Θεωρίες Κρατικής Παρέμβασης & Ανταγωνισμού

Βιομηχανική Οργάνωση ΙΙ: Θεωρίες Κρατικής Παρέμβασης & Ανταγωνισμού Βιομηχανική Οργάνωση ΙΙ: Θεωρίες Κρατικής Παρέμβασης & Ανταγωνισμού Ενότητα 1: Νικόλαος Χαριτάκης Σχολή Οικονομικών & Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Περιεχόμενα Ορισμοί Ισορροπία Nash

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνικά Δίκτυα Θεωρία Παιγνίων

Κοινωνικά Δίκτυα Θεωρία Παιγνίων Κοινωνικά Δίκτυα Θεωρία Παιγνίων Ν. Μ. Σγούρος Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων, Παν. Πειραιώς sgouros@unipi.gr Ορισμοί Ένα Παίγνιο (game) ορίζεται ως μια δραστηριότητα με τα ακόλουθα τρία χαρακτηριστικά: Υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

Μεταξύ του µονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισµού

Μεταξύ του µονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισµού Ολιγοπώλιο Μεταξύ του µονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισµού Ο ατελής ανταγωνισµός αναφέρεται σε εκείνες τις δοµές µ της αγοράς που κυµαίνονται µεταξύ του τέλειου ανταγωνισµού και του µονοπωλίου. Μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ολιγοπώλιο Με ιαφοροποιηµένο Προϊόν 1

Ολιγοπώλιο Με ιαφοροποιηµένο Προϊόν 1 Ολιγοπώλιο Με ιαφοροποιηµένο Προϊόν 1 Βασική ιάκριση: Προϊόντα κάθετα διαφοροποιηµένα (κοινός δείκτης ποιότητας) Προϊόντα οριζόντια διαφοροποιηµένα (δεν υπάρχει κοινός δείκτης ποιότητας) Προϊόντα Χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνιο: Συμμετέχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με τουλάχιστον δύο στρατηγικές ο καθένας και αντίθετα συμφέροντα. Το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη καθορίζεται από τις συνδυασμένες επιλογές όλων

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1

Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Σημεία ισορροπίας Nash: Yπάρχουν πάντα; Έχουν όλα τα παίγνια σημείο ισορροπίας; - Ναι, στην εξιδανικευμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να - Παράδειγμα. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να αποκρούσει ένας τερματοφύλακας. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Μεικτές στρατηγικές σε παίγνια 2 Σημεία ισορροπίας: Ύπαρξη Δεν έχουν όλα τα παίγνια σημείο ισορροπίας Π.χ. Το Matching

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και

Διαβάστε περισσότερα

Κριτικές στο Υπόδειγμα Cournot

Κριτικές στο Υπόδειγμα Cournot Κριτικές στο Υπόδειγμα Cournot -To υπόδειγμα Cournot έχει υποστεί τρία είδη κριτικής: () Το υπόδειγμα Cournot υποθέτει ότι κάθε επιχείρηση μεγιστοποιεί μόνο τα δικά της κέρδη και, επομένως, δε λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 3 η Διάλεξη-Περιεχόμενα (1/2) Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash Λύση ακολουθιακής κυριαρχίας και σημεία ισορροπίας Nash Αλγοριθμική εύρεση σημείων ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15.3 ΜΟΡΦΕΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΤΗΣ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗΣ ΑΓΟΡΑΣ Το τουριστικό ολιγοπώλιο

ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15.3 ΜΟΡΦΕΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΤΗΣ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗΣ ΑΓΟΡΑΣ Το τουριστικό ολιγοπώλιο ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15.3 ΜΟΡΦΕΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΤΗΣ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗΣ ΑΓΟΡΑΣ Το τουριστικό ολιγοπώλιο Το τουριστικό ολιγοπώλιο ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΘΕΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΑΙΟΥ Ορισμός του τουριστικού ολιγοπωλίου

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ότι έχουµε 2 µάρκες υπολογιστών: A (Apricot), B (Banana) [ ιαρκή Αγαθά].

Έστω ότι έχουµε 2 µάρκες υπολογιστών: A (Apricot), B (Banana) [ ιαρκή Αγαθά]. 2.2. ΥΟΠΩΛΙΟ ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΜΕ ΕΤΕΡΟΓΕΝΕΙΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΕΣ Έστω ότι έχουµε 2 µάρκες υπολογιστών: (pricot), (anana) [ ιαρκή Αγαθά]. Υποθέτουµε µηδενικό κόστος παραγωγής και P, P, οι τιµές για το Α, αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα Bertrand

3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα Bertrand 3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα ertrand - To υπόδειγμα Cournot υποθέτει ότι κάθε επιχείρηση επιλέγει την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος, ενώ στην πραγματικότητα οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 2: Ισορροπία Nash. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 2: Ισορροπία Nash. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 2: Ισορροπία Nash Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. Ιωάννα Καντζάβελου. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1

Ασκήσεις. Ιωάννα Καντζάβελου. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Ασκήσεις Ιωάννα Καντζάβελου Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 1. Επιλογή Διαδρομής 2. Παραλλαγή του Matching Pennies 3. Επίλυση Matching Pennies με Βέλτιστες Αποκρίσεις 4. Επίλυση BoS με Βέλτιστες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές.

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 1, -1 0, 0-1, 0 0, 0 0, 6 10, -1 2, 0 10, -1-1, -1 Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Μικροοικονομική Ι Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούμενα Μαθήματα: Παίχτες: είναι αυτοί που λαμβάνουν τις αποφάσεις. Ένα παίγνιο πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ολιγοπώλιο. Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι. Αρ. Διάλεξης: 11

Ολιγοπώλιο. Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι. Αρ. Διάλεξης: 11 Ολιγοπώλιο Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι Αρ. Διάλεξης: 11 Μορφές Αγορών μεταξύ Μονοπωλίου και Τέλειου Ανταγωνισμού Ο Ατελής Ανταγωνισμός αναφέρεται στην διάρθρωση της αγοράς εκείνης η οποία βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ (ECΟ465) ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΜΕΡΟΣ Α

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ (ECΟ465) ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΜΕΡΟΣ Α ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ (ECΟ465) ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΜΕΡΟΣ Α 1 o Ο κλάδος των τηλεπικοινωνιών (τηλέφωνο, fax, e-mail, υπηρεσίες μηνυμάτων, κ.τ.λ) αποτελεί το πιο απλό και φυσικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Ολιγοπωλιακή Ισορροπία

Ολιγοπωλιακή Ισορροπία Ολιγοπωλιακή Ισορροπία - Χρησιμοποιούμε τις βασικές αρχές της θεωρίας παιγνίων για να εξετάσουμε τη στρατηγική αλληλεπίδραση των επιχειρήσεων σε ατελώς ανταγωνιστικές αγορές, εστιάζοντας την προσοχή μας

Διαβάστε περισσότερα

Βασική θεωρία Ολιγοπωλιακού ανταγωνισµού

Βασική θεωρία Ολιγοπωλιακού ανταγωνισµού Βασική θεωρία Ολιγοπωλιακού ανταγωνισµού Οµοιογενή Προϊόντα Ισορροπία Courot-Nash Έστω δυοπώλιο µε συνάρτηση ζήτησης: ( ) a b a, b > 0 () Βέβαια ισχύει ότι: + () Ακόµα υποθέτουµε ότι η τεχνολογία παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Πληθωρισμός, Ανεργία και Αξιοπιστία της Νομισματικής Πολιτικής. Το Πρόβλημα του Πληθωρισμού σε ένα Υπόδειγμα με Υψηλή Ανεργία Ισορροπίας

Πληθωρισμός, Ανεργία και Αξιοπιστία της Νομισματικής Πολιτικής. Το Πρόβλημα του Πληθωρισμού σε ένα Υπόδειγμα με Υψηλή Ανεργία Ισορροπίας Πληθωρισμός, Ανεργία και Αξιοπιστία της Νομισματικής Πολιτικής Το Πρόβλημα του Πληθωρισμού σε ένα Υπόδειγμα με Υψηλή Ανεργία Ισορροπίας Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Πληθωρισμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΚΟΙΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Players-Παίκτες Rules- Κανόνες. Τιµωρείσαι εάν τους παραβιάσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3. Οικονομικά της ευημερίας. Οικονομικά της ευημερίας 3/9/2017. Περίγραμμα. Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης

Διάλεξη 3. Οικονομικά της ευημερίας. Οικονομικά της ευημερίας 3/9/2017. Περίγραμμα. Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης Περίγραμμα Διάλεξη Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης Συνθήκες για αποτελεσματικότητα κατά areto Συνθήκες για ισορροπία σε ανταγωνιστικές αγορές Το πρώτο θεώρημα των οικονομικών της ευημερίας Το δεύτερο θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων: Εισαγωγή και Βασικές Έννοιες

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων: Εισαγωγή και Βασικές Έννοιες Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων: Εισαγωγή και Βασικές Έννοιες ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πολύπλοκα Συστήματα αποτελούνται από πολλές

Διαβάστε περισσότερα

3. Παίγνια Αλληλουχίας

3. Παίγνια Αλληλουχίας 3. Παίγνια Αλληλουχίας Τα παίγνια αλληλουχίας πραγµατεύονται περιπτώσεις όπου οι κινήσεις των παικτών διαδέχονται η µια την άλλη, σε αντίθεση µε τα παίγνια όπου οι αποφάσεις των παικτών γίνονται ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2008 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (13:00-16:00) ΘΕΜΑ 1 ο (2,5

Διαβάστε περισσότερα

Ένα Παίγνιο (game) ορίζεται ως μια δραστηριότητα με τα ακόλουθα τρία χαρακτηριστικά:

Ένα Παίγνιο (game) ορίζεται ως μια δραστηριότητα με τα ακόλουθα τρία χαρακτηριστικά: Γενικοί Ορισμοί Η Θεωρία Παιγνίων (game theory) εξετάζει δραστηριότητες στις οποίες το αποτέλεσμα της απόφασης ενός ατόμου εξαρτάται όχι μόνο από τον τρόπο με τον οποίο επιλέγει ανάμεσα από διάφορες εναλλακτικές

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 2006 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝA Σελίδα ΕIΣΑΓΩΓΗ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

2. Διαφήμιση σε Αγορές όπου υπάρχουν πολλές Επιχειρήσεις

2. Διαφήμιση σε Αγορές όπου υπάρχουν πολλές Επιχειρήσεις . Διαφήμιση σε Αγορές όπου υπάρχουν πολλές Επιχειρήσεις Α. Ενημερωτική Διαφήμιση στη Μονοπωλιακά Ανταγωνιστική Αγορά (Butters, Gerard 977, Equilibrium Distribution of Prices and Advertising) -To υπόδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

10/3/17. Κεφάλαιο 26 Μονοπωλιακή συμπεριφόρά. Μικροοικονομική. Πώς πρέπει να τιµολογεί ένα µονοπώλιο; Πολιτικές διάκρισης τιµών

10/3/17. Κεφάλαιο 26 Μονοπωλιακή συμπεριφόρά. Μικροοικονομική. Πώς πρέπει να τιµολογεί ένα µονοπώλιο; Πολιτικές διάκρισης τιµών /3/7 HL R. VRIN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 26 Μονοπωλιακή συμπεριφόρά Πώς πρέπει να τιµολογεί ένα µονοπώλιο; Μέχρι τώρα, αντιμετωπίζουμε ένα μονοπώλιο ως μια εταιρεία η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Συνέχεια από πριν.. Στο προηγούμενο μάθημα είδαμε ότι μπορούμε να επιλύσουμε παίγνια με την μέθοδο της απαλοιφής

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Έστω συνάρτηση ζήτησης με τύπο Q = 200 4P. Να βρείτε: α) Την ελαστικότητα ως προς την τιμή όταν η τιμή αυξάνεται από 10 σε 12. 1ος τρόπος Αν P 0 10 τότε Q 0 200 410

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ανάλυση ΙΙ

Μικροοικονομική Ανάλυση ΙΙ Κατ επιλογήν υποχρεωτικό, 3 ώρες εβδομαδιαίως, Θεωρία, Διδάσκον: Περιλαμβάνει: 1. Θεωρία Βιομηχανικής Οργάνωσης 2. Θεωρία Γενικής Ισορροπίας 1 Ορισμοί και βασικές έννοιες Βιομηχανικής Οργάνωσης Ασχολείται

Διαβάστε περισσότερα

(2β) Το Υπόδειγμα της Κυκλικής Πόλης ή Υπόδειγμα του Salop

(2β) Το Υπόδειγμα της Κυκλικής Πόλης ή Υπόδειγμα του Salop (2β) Το Υπόδειγμα της Κυκλικής Πόλης ή Υπόδειγμα του alop (alop, teve 979, Moopolstc Competto wth Outsde Goods) - Υποθέτουμε μια πόλη που παριστάνεται από την περιφέρεια ενός κύκλου με περίμετρο L=. p

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Παίγνια. ιαµόρφωση Παιγνίων. Θέµατα σε Πάιγνια Μηδενικού Αθροίσµατος

Συνδυαστικά Παίγνια. ιαµόρφωση Παιγνίων. Θέµατα σε Πάιγνια Μηδενικού Αθροίσµατος Συνδυαστικά Παίγνια 1. Σε ένα παιγνίδι 2 παικτών µηδενικού αθροίσµατος οι παίκτες αναγγέλουν εναλλάξ ένα αριθµό µεταξύ {2,3,4}. Ο παίκτης που κάνει το άθροισµα των αριθµών που έχουν αναγγελθεί να φθάσει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Αποτελεσματικότητα κατά Pareto. 1. ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ (επεξεργασία σημειώσεων Β. Ράπανου)

Εισαγωγή. Αποτελεσματικότητα κατά Pareto. 1. ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ (επεξεργασία σημειώσεων Β. Ράπανου) 1. ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ (επεξεργασία σημειώσεων Β. Ράπανου) Εισαγωγή Μια από τις πιο βασικές διακρίσεις στην οικονομική θεωρία είναι μεταξύ των εννοιών της οικονομικής αποτελεσματικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Condorcet winner. (1) Αν U j (x) > U j (y) τότε U i (x) > U i (y) και (2) Αν U i (y) > U i (x) τότε U j (y) > U j (x).

Condorcet winner. (1) Αν U j (x) > U j (y) τότε U i (x) > U i (y) και (2) Αν U i (y) > U i (x) τότε U j (y) > U j (x). Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Άνοιξη 2012 Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης ηµόσια Οικονοµική ΙI Η διαδικασία της ψηφοφορίας Ως µεθόδου παροχής των δηµοσίων αγαθών (για τα ιδιωτικά αγαθά, ο µηχανισµός των τιµών).

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Βασικές Υποθέσεις (i) Οι αγορές όλων των αγαθών είναι τέλεια ανταγωνιστικές. Οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας

Άριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας Άριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας - Υποθέτουμε μια οικονομία που αποτελείται από: Δύο καταναλωτές 1,. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Το παράδοξο του St. Petersburg Η θεωρία του καταναλωτή σε περιβάλλον αβεβαιότητας που εξετάσαμε μπόρεσε να δώσει απάντηση σε κάποια ερωτήματα που πριν

Το παράδοξο του St. Petersburg Η θεωρία του καταναλωτή σε περιβάλλον αβεβαιότητας που εξετάσαμε μπόρεσε να δώσει απάντηση σε κάποια ερωτήματα που πριν Θεωρία Καταναλωτή: Μια κριτική ματιά Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 24 Δεκεμβρίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Μια κριτική ματιά 24 Δεκεμβρίου 2012 1 / 14 Το παράδοξο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3. Οικονομικά της ευημερίας 2/26/2016. Περίγραμμα. Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης. Αποτελεσματικότητα κατά Pareto: ορισμός. ορισμός.

Διάλεξη 3. Οικονομικά της ευημερίας 2/26/2016. Περίγραμμα. Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης. Αποτελεσματικότητα κατά Pareto: ορισμός. ορισμός. Περίγραμμα Διάλεξη Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης υνθήκες για αποτελεσματικότητα κατά areto υνθήκες για ισορροπία σε ανταγωνιστικές αγορές Το πρώτο θεώρημα των οικονομικών της ευημερίας Το δεύτερο θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Αποτροπή Εισόδου: Το Υπόδειγμα των Spence-Dixit

Αποτροπή Εισόδου: Το Υπόδειγμα των Spence-Dixit Αποτροπή Εισόδου: Το Υπόδειγμα των pence-dixit pence, Michael 977, Entry, apacity, Investment and Oligopolisting Pricing Dixit, Avinash 979, A Model of Duopoly uggesting a Theory of Entry Barriers - Στο

Διαβάστε περισσότερα

Ενημερωτική Διαφοροποίηση Προϊόντος: Ο Ρόλος της Διαφήμισης

Ενημερωτική Διαφοροποίηση Προϊόντος: Ο Ρόλος της Διαφήμισης Ενημερωτική Διαφοροποίηση Προϊόντος: Ο Ρόλος της Διαφήμισης - Οι επιχειρήσεις δεν ανταγωνίζονται μόνο ως προς τις τιμές στις οποίες επιλέγουν να πουλήσουν τα προϊόντα τους. - Ο μη-τιμολογιακός ανταγωνισμός

Διαβάστε περισσότερα

Γενίκευση: Πλήρως Μη Γραμμική Τιμολόγηση

Γενίκευση: Πλήρως Μη Γραμμική Τιμολόγηση Γενίκευση: Πλήρως Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Σχεδιασμός Συμβολαίων υπό Συνθήκες Ασυμμετρικής Πληροφόρησης) -H τιμολόγηση δύο μερών Τ(q)=α+pq αποτελείται από ένα σταθερό βασικό αντίτιμο (α) και ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Υπεύθυνος μαθήματος Καθηγητής Μιχαήλ Ζουμπουλάκης

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Υπεύθυνος μαθήματος Καθηγητής Μιχαήλ Ζουμπουλάκης 1 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Υπεύθυνος μαθήματος Καθηγητής Μιχαήλ Ζουμπουλάκης Μικροοικονομική ανάλυση 2 Η μέθοδος της «αφαίρεσης» και η μελέτη της οικονομικής συμπεριφοράς Τα άτομα ενεργούν σκόπιμα επιδιώκοντας

Διαβάστε περισσότερα

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 26 Μονοπωλιακή συμπεριφόρά Πώς πρέπει να τιµολογεί ένα µονοπώλιο; Μέχρι τώρα, αντιμετωπίζουμε ένα μονοπώλιο ως μια εταιρεία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Β. Βασιλειάδης Αν. Καθηγητής. Επιχειρησιακή Ερευνα Διάλεξη 6 η - Θεωρεία Παιγνίων

Β. Βασιλειάδης Αν. Καθηγητής. Επιχειρησιακή Ερευνα Διάλεξη 6 η - Θεωρεία Παιγνίων Β. Βασιλειάδης Αν. Καθηγητής Επιχειρησιακή Ερευνα Διάλεξη 6 η - Θεωρεία Παιγνίων Περιεχόμενα Θεωρία Αποφάσεων o Αποφάσεις χωρίς πιθανότητα o Αποφάσεις με πιθανότητα Θεωρία Παιγνίων o Παίγνια Μηδενικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα