ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ;

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ;"

Transcript

1 ΚΦΛΙΟ 4ο ΠΡΛΛΗΛΣ ΥΘΙΣ Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; Οι σχετικές θέσεις δυο ευθειών ε και ε, οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, είναι οι παρακάτω: i) ταυτίζονται (σχ.α), ii) τέμνονται (σχ.β), iii) δεν τέμνονται (σχ.γ). Στην τρίτη περίπτωση οι ευθείες ε και ε λέγονται παράλληλες, ώστε: υο ευθείες ε και ε που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες ευθείες. ια να δηλώσουμε ότι οι ε και ε είναι παράλληλες, γράφουμε ε //ε. ς θεωρήσουμε δύο ευθείες ε και ε του επιπέδου, οι οποίες τέμνονται από τρίτη ευθεία ε 3 πόσων ειδών γωνίες ορίζονται ; ς θεωρήσουμε δύο ευθείες ε και ε του επιπέδου, οι οποίες τέμνονται από τρίτη ευθεία ε 3. Παρατηρούμε ότι σχηματίζονται οκτώ γωνίες. Οι γωνίες γ, δ, ε, ζ που βρίσκονται μεταξύ των ε, ε λέγονται "εντός", ενώ οι γωνίες α, β, η, θ λέγονται "εκτός". ύο γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της τέμνουσας ε 3 λέγονται "επί τα αυτά μέρη", ενώ δύο γωνίες που βρίσκονται εκατέρωθεν της ε 3 λέγονται "εναλλάξ". Έτσι, με συνδυασμό και των δύο χαρακτηρισμών, οι γωνίες ε και γ λέγονται εντός εναλλάξ, οι γωνίες ε και α λέγονται εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη, ενώ οι γωνίες ε και δ λέγονται εντός και επί τα αυτά μέρη. Να αποδείξετε το παρακάτω θεώρημα : ν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δυο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

2 πόδειξη Έστω ότι ω = φ. ν οι ευθείες ε, ε τέμνονται σε σημείο, η εξωτερική γωνία φ του τριγώνου θα είναι ίση με την απέναντι εσωτερική γωνία ω, που είναι άτοπο. Άρα ε //ε. Να διατυπώσετε τα πορίσματα που προκύπτουν από το θεώρημα : ν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δυο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. ν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δυο εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες ή δυο εντός και επί τα αυτά μέρη παραπληρωματικές, τότε είναι παράλληλες. υο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία, σε διαφορετικά σημεία της, είναι μεταξύ τους παράλληλες ω φ ε ε πόδειξη Πράγματι οι γωνίες ω και φ είναι ορθές, οπότε ω = φ. Άρα ε //ε. Έστω σημείο εκτός ευθείας μπορούμε να φέρουμε παράλληλες ευθείες προς αυτή και πόσες ; Τι προκύπτει από το συμπέρασμά μας ; Θα εξετάσουμε τώρα αν από σημείο εκτός ευθείας μπορούμε να φέρουμε παράλληλες ευθείες προς αυτή και πόσες. Έστω λοιπόν, ευθεία ε και σημείο εκτός αυτής Φέρουμε την ε και ονομάζουμε ε' την ευθεία που είναι κάθετη στην στο σημείο. Τότε ε'//ε (αφού και οι δύο είναι κάθετες στην ). ε ε Έτσι λοιπόν υπάρχει ευθεία ε' που διέρχεται από ένα σημείο που δεν ανήκει στην ε και είναι παράλληλη προς την ευθεία ε. εχόμαστε ως αξίωμα ότι η ευθεία αυτή είναι μοναδική, δηλαδή: ίτημα παραλληλίας πό σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλληλη προς αυτή. ΣΧΟΛΙΟ Το παραπάνω αξίωμα είναι ισοδύναμο με το 5ο αίτημα των "Στοιχείων" του υκλείδη (υκλείδειο αίτημα). Το υκλείδειο αίτημα ή κάποιο ισοδύναμο του καθορίζει τη φύση ολόκληρης της εωμετρίας και αποτελεί βάση για τα περισσότερα θεωρήματα της υκλείδειας εωμετρίας. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 6

3 Να αποδείξετε την πρόταση : ν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. πόδειξη Έστω ότι ε //ε και ε μια τέμνουσα.θα αποδείξουμε π.χ. ότι ω = φ. ν οι γωνίες ω και φ δεν είναι ίσες, φέρουμε την x ώστε οι γωνίες xab και φ να βρίσκονται εκατέρωθεν της ε και να είναι ίσες. Τότε x//ε γιατί τεμνόμενες από την σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Κατά συνέπεια υπάρχουν δύο παράλληλες από το προς την ε, που είναι άτοπο. Άρα ω = φ. Ποια πορίσματα προκύπτουν από την πρόταση : ν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. ν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν i) τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, ii) τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές. Να αποδείξετε ότι : ν δυο διαφορετικές ευθείες ε και ε είναι παράλληλες προς μία τρίτη ευθεία ε, τότε είναι και μεταξύ τους παράλληλες, δηλαδή αν ε //ε και ε //ε, τότε ε //ε. πόδειξη ν οι ε και ε τέμνονταν σε σημείο, θα είχαμε από το δύο παράλληλες προς την ε, που είναι άτοπο. Άρα ε //ε. Να αποδείξετε ότι αν δυο ευθείες ε και ε είναι παράλληλες και μία τρίτη ευθεία ε τέμνει τη μία από αυτές, τότε η ε θα τέμνει και την άλλη. Ποιο πόρισμα προκύπτει από αυτό ; πόδειξη Υποθέτουμε ότι η ε τέμνει την ε στο. ν η ε δεν έτεμνε την ε, θα ήταν ε//ε και έτσι θα είχαμε από το δύο παράλληλες προς την ε, πράγμα αδύνατο. Άρα η ε τέμνει την ε. Πόρισμα : ν μια ευθεία είναι κάθετη σε μια από δυο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 7

4 Να αποδείξετε ότι : ν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότερο από ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες. Ποιο πόρισμα προκύπτει από αυτή την πρόταση ; πόδειξη Έστω ότι η ε τέμνει τις ε,ε στα και αντίστοιχα και ότι φ + ω. Τότε οι ε και ε δεν είναι παράλληλες, αφού φ + ω. Έστω ότι οι ε και ε τέμνονται σε σημείο Κ, προς το μέρος της τέμνουσας, που δεν περιέχει τις γωνίες ω και φ. Τότε, όμως, η εξωτερική γωνία ω του τριγώνου Κ είναι μεγαλύτερη από τη γωνία A δηλαδή ω > A = - φ ή ω + φ >, που είναι άτοπο. Άρα οι ε,ε τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες ω και φ. ΠΟΡΙΣΜ: Η κατασκευή τριγώνου με δοσμένη μία πλευρά και τις δυο προσκείμενες σε αυτή γωνίες έχει λύση, αν και μόνο αν το άθροισμα των δυο γωνιών είναι μικρότερο των δυο ορθών. Πως κατασκευάζουμε ευθεία ε παράλληλη προς μία ευθεία ε από ένα σημείο εκτός αυτής ; ίδαμε παραπάνω ότι υπάρχει ευθεία ε', η οποία διέρχεται από ένα σημείο και είναι παράλληλη προς γνωστή ευθεία ε. ια την κατασκευή της ε' φέρουμε από το ένα πλάγιο τμήμα προς την ε και ονομάζουμε φ την οξεία γωνία που σχηματίζει το με την ε. Μεταφέρουμε τη γωνία φ ώστε να έχει κορυφή το, η μια πλευρά της να είναι η και η άλλη πλευρά της να βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που δεν ανήκει η γωνία φ. πειδή A = φ έχουμε //ε, αφού τεμνόμενες από την, σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Έτσι η ευθεία είναι η ζητούμενη ευθεία ε'. Να αποδείξετε ότι δυο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία προς μία, είναι ίσες αν είναι και οι δυο οξείες ή αμβλείες, ενώ είναι παραπληρωματικές αν η μία γωνία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία. ς θεωρήσουμε δύο γωνίες xay και x'y' με x//x' και y//y', δηλαδή δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους, μία προς μία παράλληλες. ν προεκτείνουμε τις x' και ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 8

5 By' θα τέμνουν τις x και y στα σημεία και αντίστοιχα. Έτσι όλες οι γωνίες του σχήματος λόγω των παραλλήλων θα είναι ίσες με ω ή φ. Παρατηρούμε ότι: ν και οι δυο γωνίες είναι οξείες είναι ίσες. ν και οι δυο γωνίες είναι αμβλείες είναι ίσες. ν η μία γωνία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία,είναι παραπληρωματικές. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι: υο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία προς μία, είναι ίσες αν είναι και οι δυο οξείες ή αμβλείες, ενώ είναι παραπληρωματικές αν η μία γωνία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία. Έστω ε και ε δυο παράλληλες που τέμνονται από ευθεία ε. Να αποδειχθεί ότι (i) Οι διχοτόμοι δυο εντός εναλλάξ γωνιών είναι παράλληλες. (ii) Οι διχοτόμοι δυο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών είναι κάθετες. πόδειξη i) Έστω x, By οι διχοτόμοι των γωνιών A και αντίστοιχα. Τότε ω = A/ και φ = /. λλά A = (ως εντός εναλλάξ). πό τα παραπάνω προκύπτει ότι ω = φ. Οι ω και φ όμως είναι εντός εναλλάξ γωνίες των ευθειών x και By με τέμνουσα την. Άρα x//by. (ii) ν z διχοτόμος της ΜA, τότε z x (ως διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών). φού x//by, θα είναι και Az By. Τι καλείται περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και τι καλείται περίκεντρο ; ια κάθε τρίγωνο υπάρχει κύκλος που διέρχεται από τις τρεις κορυφές του. Ο κύκλος αυτός λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και επιπλέον το κέντρο του είναι ένα σημείο στο οποίο συντρέχουν και οι τρεις μεσοκάθετοι του τριγώνου και λέγεται περίκεντρο. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 9

6 Να αποδείξετε ότι οι τρεις μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κυκλου που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου. πόδειξη Έστω τρίγωνο και Κ, Λ, Μ τα μέσα των πλευρών του, και αντίστοιχα. Οι μεσοκάθετοι Κx και Λy των, θα τέμνονται σε σημείο Ο, αφού τέμνονται οι κάθετες ευθείες τους και. Το Ο ισαπέχει από τις κορυφές και αφού ανήκει στη μεσοκάθετο της πλευράς, δηλαδή Ο=Ο. πίσης Ο=Ο, αφού το Ο ανήκει στη μεσοκάθετο της πλευράς. πομένως ισχύει ότι Ο=Ο, οπότε το Ο θα ανήκει και στη μεσοκάθετο της. Άρα, ο κύκλος (O,OA) θα διέρχεται από τις τρεις κορυφές του τριγώνου και είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. Τι καλείται εγγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο και τι καλείται έγκεντρο ; Ένας άλλος σημαντικός κύκλος βρίσκεται στο εσωτερικό τριγώνου και εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του, για κάθε τρίγωνο υπάρχει κύκλος με την ιδιότητα αυτή. Ο κύκλος αυτός λέγεται εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και το κέντρο του, το οποίο λέγεται έγκεντρο, θα είναι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών του τριγώνου. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου. πόδειξη Έστω τρίγωνο και οι διχοτόμοι και Ζ των γωνιών του και αντίστοιχα. Οι και Ζ τέμνονται σε σημείο I αφού + Ζ = + < + < Το Ι ως σημείο της διχοτόμου της θα ισαπέχει από τις πλευρές της και, δηλαδή ΙΛ = ΙΘ. νάλογα το Ι θα ισαπέχει από τις πλευρές της, δηλαδή ΙΘ = ΙΝ. πομένως το Ι ισαπέχει από τις και και θα ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας A. Τελικά, το Ι είναι το σημείο τομής και των τριών διχοτόμων του τριγώνου. Με κέντρο το Ι και ακτίνα την κοινή απόσταση του Ι από τις πλευρές του, γράφεται κύκλος που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

7 Πως ορίζεται ο παρεγγεγραμμένος στο τρίγωνο κύκλοςκαι τι καλείται παράκεντρο ; Η ιδιότητα των εσωτερικών διχοτόμων ενός τριγώνου να διέρχονται από το ίδιο σημείο ισχύει και όταν θεωρήσουμε δύο εξωτερικές και μία εσωτερική διχοτόμο του τριγώνου. Οι τρεις αυτές διχοτόμοι τέμνονται σε σημείο το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δύο άλλων. Ο κύκλος αυτός λέγεται πaρεγγεγραμμένος και το κέντρο του παράκεντρο του τριγώνου. Σε κάθε τρίγωνο υπάρχουν τρία παράκεντρα, τα οποία συμβολίζουμε Ι α, Ι β, Ι γ, και κατά συνέπεια τρεις παρεγγεγραμμένοι κύκλοι Να αποδείξετε ότι : Οι διχοτόμοι δυο εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου και η ημιευθεία που διχοτομεί την τρίτη γωνία του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δυο άλλων. ς θεωρήσουμε τις διχοτόμους x και y των δύο εξωτερικών γωνιών εξ και εξ αντίστοιχα, του τριγώνου. Οι x και y τέμνονται σε σημείο Iα, αφού ισχύει ότι: x + y = εξ / + εξ/ = - ( + )/ <. Το Ι α ισαπέχει από τη και την προέκταση της, καθώς και από την προέκταση της. πομένως ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας A, αφού ισαπέχει από τις πλευρές της. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

8 ρωτήσεις Κατανόησης. i) Πώς ονομάζονται οι γωνίες α και β του παρακάτω σχήματος και τι σχέση έχουν μεταξύ τους; ii) Tι ισχύει για τις γωνίες γ και δ ; α ε δ ε ε ε γ β ε πάντηση i) κτός εναλλάξ και είναι ίσες, αφού α = γ και γ = β ii) ίναι παραπληρωματικές, αφού α + δ = 8 ο και α = γ. Να εξηγήσετε γιατί η είναι παράλληλη στην 65 ο ω 45 ο πάντηση Προφανώς η γωνία ω είναι ίση με ˆ= 36 ο 45 ο =5 ο φού ˆ = ˆ 5 ο + 65 ο =8 ο θα είναι 3. ν ω = ο θ και φ = 6 ο + θ να εξηγήσετε γιατί x x ψ ψ x ω σ x φ ψ ψ πάντηση σ + φ = ω + φ = ο θ + 6 ο + θ = 8 ο x x ψ ψ 4. Να αναφέρετε 5 τρόπους για να αποδείξουμε ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες πάντηση i) ίναι κάθετες στην ίδια ευθεία ii) Τέμνονται από τρίτη και σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες iii) Τέμνονται από τρίτη και σχηματίζουν δύο εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες iν) Τέμνονται από τρίτη και σχηματίζουν δύο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

9 παραπληρωματικές ν) ίναι παράλληλες προς μία τρίτη ευθεία 5. ύο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες είναι i) Συμπληρωματικές; ii) Ίσες; iii) Παραπληρωματικές; iν) Κανένα από τα παραπάνω; ικαιολογήστε την απάντηση σας πάντηση ίναι ίσες διότι έχουν τις πλευρές παράλληλες και είναι οξείες ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 33

10 σκήσεις εμπέδωσης.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο και ευθεία ε παράλληλη προς τη βάση του, που τέμνει τις και στα και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ε ε ˆ ˆ και ˆ ˆ () τρ. ισοσκελές ˆ ˆ () (), () ˆ ˆ άρα τρ, ισοσκελές.ίνεται γωνία x ˆ y και σημείο της διχοτόμου της. ν η παράλληλη από το προς την Οx τέμνει την Οy στο, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές. x O A δ y Οx ˆ ˆ λλά ˆ ˆ Άρα ˆ ˆ τρ. Ο ισοσκελές. 3.ίνεται γωνία x ˆ y και η διχοτόμος της Ο. πό σημείο της Οy φέρουμε παράλληλη προς την Ο, που τέμνει την προέκταση της Οx στο. Να αποδείξετε ότι Ο = Ο. παράλληλη Ο ˆ ˆ (εντός εναλλάξ) και ˆ ˆ (εντός εκτός επί τα αυτά) O αλλά ˆ ˆ άρα ˆ ˆ τρ. Ο ισοσκελές με Ο = Ο x y 4.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και σημείο της πλευράς. ν ο κύκλος (, ) τέμνει τη στο, να αποδείξετε ότι παράλληλη. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 34

11 = (ακτίνες) ˆ ˆ = ˆ ˆ Άρα ˆ ˆ 5.Στις προεκτάσεις των πλευρών, τριγώνου παίρνουμε αντίστοιχα τα τμήματα = και =. Να αποδείξετε ότι παράλληλη. (Π--Π) τρ. = τρ. ˆ ˆ παράλληλη 6.ίνεται κύκλος (Ο, ρ) και Μ το μέσο χορδής του. Φέρουμε Οx ΟΜ. Να αποδείξετε ότι Οx παράλληλη. Μ μέσο της χορδής ΟΜ Ο x αλλά και ΟΜ Οx άρα Οx παράλληλη Μ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 35

12 M x ποδεικτικές σκήσεις.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και η διάμεσός του Μ. Φέρουμε x προς το ημιεπίπεδο που δεν ανήκει το και παίρνουμε σε αυτή τμήμα =. Να αποδείξετε ότι η είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ. Μ διάμεσος του ισοσκελούς Μ αλλά και x άρα x Μ ˆ ˆ () = = τρ. ισοσκελές ˆ ˆ () () και () ˆ ˆ άρα διχοτόμος.ίνεται τρίγωνο και η διχοτόμος του. πό την κορυφή φέρουμε // που τέμνει την προέκταση της στο. Να αποδείξετε ότι = + ρκεί να αποδείξουμε ότι = ˆ ˆ και ˆ ˆ λλά ˆ ˆ Άρα ˆ ˆ δηλαδή τρ. ισοσκελές με = 3.ίνεται τρίγωνο με < και η εξωτερική διχοτόμος του x. πό την κορυφή φέρουμε x που τέμνει την στο. Να αποδείξετε ότι =. ρκεί να αποδείξουμε ότι = x ή αρκεί ˆ ˆ x ˆ ˆ και ˆ ˆ λλά ˆ ˆ Άρα ˆ ˆ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 36

13 4.πό το έκκεντρο Ι τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη της, που τέμνει τις και στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι = + Ι ˆ I Bˆ B ˆ Bˆ I () + () Ι + Ι = + = + Ι έκκεντρο Άρα ˆ I Bˆ τρ. Ι ισοσκελές με Ι = () Ομοίως Ι = () 5.πό το έκκεντρο Ι τριγώνου φέρουμε Ι// και Ι//. Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου Ι ισούται με τη. I Ι ˆ I Bˆ Ι έκκεντρο B ˆ Bˆ Άρα I Bˆ τρ. Ι ισοσκελές με Ι = () Ομοίως Ι = () () + () Ι + Ι = + Ι + Ι + = + + Άρα περίμετρος του τρ. Ι = ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 37

14 Σύνθετα Θέματα.ίνεται τρίγωνο, η διχοτόμος του και η εξωτερική διχοτόμος του Bx. Θεωρούμε δύο σημεία και Κ της πλευράς. ν ο κύκλος (Κ, Κ) τέμνει τη στο Ζ, ενώ ο κύκλος (Κ, Κ) τέμνει τη x στο Μ, να αποδείξετε ότι Ζ//ΜΚ. Παρατηρούμε ότι οι Ζ και ΜΚ είναι //. Προσπαθούμε να το αποδείξουμε x M K 4 3 Ζ = Ζ (ακτίνες) Z ˆ Bˆ διχοτόμος B ˆ Bˆ Άρα Z ˆ Bˆ και επειδή είναι εντός εναλλάξ, θα έχουμε Ζ// Ομοίως ΜΚ//.πό τα άκρα ευθυγράμμου τμήματος φέρουμε προς το ίδιο ημιεπίπεδο δύο παράλληλες ημιευθείες x και y. Παίρνουμε τυχαίο σημείο του, και στις x, y τα σημεία και αντίστοιχα, ώστε = και =. Να αποδείξετε ότι η γωνία ˆ είναι ορθή. x θ y Φέρουμε θ//x και y Τότε ˆ ˆ (εντός εναλλάξ) = ˆ ˆ Άρα ˆ ˆ 3 4 διχοτόμος της ˆ Ομοίως διχοτόμος της ˆ Άρα είναι σαν διχοτόμοι δύο εφεξής παραπληρωματικών γωνιών. 3.πό το παράκεντρο τριγώνου με < φέρουμε παράλληλη στην, που τέμνει τις πλευρές και στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι =. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 38

15 Ια// ˆ ˆ διχοτόμος ˆ ˆ Άρα ˆ τρ. ισοσκ. ˆ με () Ι α Ομοίως Ια//.. () () () = 4.ίνεται τρίγωνο με < και Μ σημείο της πλευράς. πό το Μ φέρουμε παράλληλη προς τη διχοτόμο της γωνίας ˆ, που τέμνει τις και στα σημεία και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι i) Το τρίγωνο Ζ είναι ισοσκελές. ii) + Ζ = σταθερό iii) Aν Μ το μέσο της τότε α) = Ζ = β) = Ζ = Ζ i) ΖΜ// ˆ ˆ και ˆ ˆ διχοτόμος ˆ ˆ Άρα ˆ ˆ οπότε τρ. Ζ ισοσκελές με = Ζ Μ Ζ Μ ii) BE + Ζ = + + Ζ = = + = σταθερό iii) πό το φέρουμε παράλληλη στην, που τέμνει την ΖΜ σε σημείο Κ. (-Π-) τρ. ΜΚ = τρ.μ Κ = () πό i) έχουμε ˆ ˆ ˆ Κ ˆ ˆ Άρα ˆ ˆ τρ. ΖΚ ισοσκελές με Κ = Ζ () πό () και () = Ζ (ii) BE = AB + A ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ Κ 39

16 = = - = = ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 4

17 ΚΦΛΙΟ 4ο ΠΡΛΛΗΛΣ ΥΘΙΣ Άθροισμα γωνιών τριγώνου ωνίες με πλευρές κάθετες Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ορθές. πόδειξη πό μια κορυφή, π.χ. την, φέρουμε ευθεία xy//b. Τότε ω = () και φ = (), ως εντός και εναλλάξ των παραλλήλων xy και με τέμνουσες και αντίστοιχα. λλά ω + A + φ = (3). πό τις (), () και (3) προκύπτει ότι : A + + = Να διατυπώσετε και να αποδείξετε τα πορίσματα που προκύπτουν από το θεώρημα : Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ορθές i) Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δυο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. ii) ν δυο τρίγωνα έχουν δυο γωνίες ίσες, μία προς μία, έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες. iii) Οι οξείες γωνίες ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. iv) Κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι 6. πόδειξη i) Έχουμε A + B + = και εξ + =, οπότε A + B + = εξ + ή εξ = A + B. ii) - iv) Προφανή. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 4

18 υο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες πόδειξη Έστω οι γωνίες xôy = ω και x'ô'y'= φ με Οx O'x' και Oy O'y'. Τα τρίγωνα Ο και Ο' έχουν A = B = και = (κατακορυφήν). Άρα θα έχουν και τις άλλες γωνίες ίσες, οπότε ω = φ. i) υο αμβλείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες. ii) υο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες αλλά η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία είναι παραπληρωματικές. πόδειξη i) Πράγματι, (παραπάνω σχήμα) είναι θ + ω =, θ' + φ =, οπότε θ =θ', αφού ω = φ. ii) Πράγματι, (παραπάνω σχήμα) είναι θ+ ω =, οπότε θ + φ =, αφού ω = φ. Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου να είναι ν-4 ορθές. πόδειξη Όμοια, αν το κυρτό πολύγωνο έχει ν πλευρές και ενώσουμε το Ο με τις κορυφές του σχηματίζονται ν τρίγωνα. Το άθροισμα των γωνιών των ν τριγώνων είναι ν ορθές. ν αφαιρέσουμε το άθροισμα των γωνιών Ô +Ô +Ô Ô ν = 4 ορθές έχουμε: ν = (ν - 4) ορθές. Άλλη απόδειξη. ς θεωρήσουμε κυρτό πολύγωνο... ν με ν πλευρές και ας φέρουμε από μια κορυφή του, π.χ. την όλες τις διαγωνίους που διέρχονται από αυτή. Έτσι το πολύγωνο διαιρείται σε ν- τρίγωνα, γιατί σε καθεμιά από τις πλευρές του, εκτός των ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 4

19 και ν που διέρχονται από την κορυφή, αντιστοιχεί ένα τρίγωνο. πειδή το άθροισμα των γωνιών των ν- τριγώνων είναι (ν-)=(ν-4) ορθές και ισούται με το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου, προκύπτει ότι: ν = (ν - 4) ορθές. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτου ν γώνου είναι 4 ορθές. πόδειξη Θεωρούμε τρίγωνο και τη διχοτόμο χ της εξωτερικής γωνίας A του τριγώνου. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές, αν και μόνο αν x//. πόδειξη (i) ν β = γ τότε = = ω. Όμως A εξ = + = ω, οπότε Aεξ/ = ω ή A = = ω. Άρα x//, αφού σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. (ii) ν x// τότε A = (ως εντός εναλλάξ) και A = (ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη). Άρα = (αφού A = A ), οπότε β = γ. Σε τρίγωνο φέρουμε τις εσωτερικές και εξωτερικές διχοτόμους των γωνιών του και. Να αποδειχθεί ότι (i) Η γωνία των δυο εσωτερικών διχοτόμων είναι ίση με 9 + A/. (ii) Η γωνία μίας εσωτερικής και μίας εξωτερικής διχοτόμου είναι ίση με A/. (iii) Η γωνία των δυο εξωτερικών διχοτόμων είναι ίση με 9 - A/. πόδειξη ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 43

20 Οι εσωτερικές διχοτόμοι τέμνονται στο έγκεντρο I. Οι εξωτερικές διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών και τέμνονται στο παράκεντρο Ι α και η εσωτερική διχοτόμος της με την εξωτερική διχοτόμο της τέμνονται στο παράκεντρο Ι β. (i) πό το τρίγωνο Ι παίρνουμε: Ι + + = 8 ή Ι = ή Ι = ή Ι = ή Ι = 9 + A/(επειδή A + + = 9 ). () (ii) Η εσωτερική και εξωτερική διχοφτόμος μιας γωνίας τέμνονται κάθετα. Έτσι στο τρίγωνο ΙΙ β είναι: = 9 και Ι = 9 + Ι β () (ως εξωτερική γωνία). πό τις () και () προκύπτει ότι Ι β = A/. (3) (iii) Όμοια στο τρίγωνο I α Ι β είναι = 9, οπότε Ι α + Ι β = 9 ή Ι α = 9 - Ι β. (4) πό τις (3) και (4) προκύπτει ότι Ι α = 9 - A/. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 44

21 ρωτήσεις Κατανόησης.Να υπολογίσετε την γωνία ω στο παρακάτω σχήμα πάντηση ίναι φ =8 ο ο = 6 ο άρα ω ω = 5 ο + 6 ο = ο 5 ο φ ο.ν = και x διχοτόμος της γωνίας πάντηση ω φ ω 55 ο x ίναι ˆ, να υπολογίσετε την γωνία φ ˆ = ο άρα ω =7 ο, οπότε φ = 8 ο ω = 8 ο 4 ο = 4 ο 3.Υπάρχει κυρτό ν γωνο ώστε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του να ισούται με το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών του ; πάντηση Ναι το τετράπλευρο 4.Να εξηγήσετε γιατί αν ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει μία γωνία του 6 ο θα είναι ισόπλευρο Έστω ω = 6 ο τότε φ =8 ο ω =8 ο ο = 6 ο φ φού το τρίγωνο έχει τις γωνίες του ίσες θα είναι ισόπλευρο Έστω φ = 6 ο τότε ω = 8 φ = ο ω ω Άρα ˆ= 6 ο, οπότε πάλι το τρίγωνο θα έχει τις γωνίες ίσες, οπότε θα είναι ισόπλευρο. 5.Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι.8 ο. 7 ο. 36 ο. 54 ο. τίποτα από αυτά πιλέξτε την σωστή απάντηση και αιτιολογήστε την απάντηση σας. πάντηση Σωστή απάντηση είναι η, διότι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών οποιουδήποτε ν γώνου ισούται με 36 ο. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 45

22 σκήσεις μπέδωσης.σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του είναι ίση με τα μιας άλλης γωνίας 3 του. Να υπολογισθούν όλες οι γωνίες του (δύο περιπτώσεις). Έστω το τρίγωνο με ˆ = 9 ο Όταν ˆB = ˆ, τότε ˆB = 3 3 9ο = 6 ο και ˆ = 9 ο - ˆB = 9 ο 6 ο = 3 ο Ομοίως όταν ˆ = 3 Όταν ˆB = 3 ˆ ˆ, τότε ˆB = 3 ( 9ο ˆB ) 3 ˆB = ( 9 ο ˆB ) 3 ˆB = 8 ο ˆB 5 ˆB = 8 ο ˆB = 36 ο και ˆ = 9 ο ˆB = 9 ο 36 ο = 54 ο ˆ.Σε ισοσκελές τρίγωνο ( = ) είναι ˆ =. ν Ι το έκκεντρο του τριγώνου, να υπολογισθεί η γωνία ˆ. πό εφαρμογή του σχ. ιβλίου έχουμε ˆ = 9 ο + ˆ () ˆ = ˆ ˆB = ˆ () τρ. ισοσκελές ˆB = ˆ (3) ˆ + ˆB + ˆ = 8 ο (),(3) ˆ + ˆ + ˆ = 8 ο 5 ˆ = 8 ο ˆ = 36 ο () ˆ = 9 ο + 8 ο = 8 ο 3.Σε τρίγωνο η γωνία ˆ είναι τριπλάσια της γωνίας ˆB. ν ˆ = 44 ο να βρεθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις πλευρές του. = ˆ + ˆB 44 ο = 3 ˆB + ˆB 44 ο = 4 ˆB ˆB = 36 ο ˆ ˆ = 8 ο - ˆ = 8 ο 44 ο = 36 ο Άρα ˆB = ˆ τρ. ισοσκελές με = ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 46

23 4.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 9 ο ) και το ύψος του. Να αποδείξετε ότι ˆB = ˆ και ˆ = ˆ. Οξείες γωνίες με κάθετες πλευρές. 5.Στο παρακάτω σχήμα είναι = = και x ˆ = 8 ο. Να υπολογισθεί η γωνία ˆ. = Â 8 ˆ εξωτερική του τριγώνου φ Στο τρίγωνο έχουμε λλά Â + ˆ + 8 ο = 8 ο φ + 8 ο 4φ + 8 ο = 8 ο 3φ = 8 ο φ = 36 ο ˆ = + Â = + = = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 8 ˆ 8 ˆ Στο παρακάτω σχήμα είναι ˆ 9, διχοτόμος, //. ν η γωνία ˆ είναι ο μεγαλύτερη από τη ˆ, να υπολογίσετε τις γωνίες ω και φ. Υπόθεση: ˆ = ˆ + ο λλά ˆ + ˆ = 9 ο ω ˆ + ο + ˆ = 9 ο φ ˆ = 7 ο ˆ =35 ο και ˆ = 55 ο // φ = ˆ = 55 ο και ω = ˆ = ˆ = 45 ο 7.Το άθροισμα των γωνιών κυρτού πολυγώνου είναι 9 ο. Να βρεθεί το πλήθος των πλευρών του. Έστω ν το πλήθος των πλευρών. ( ν 4) 9 = 9 ν 4 = ν = 4 ν = 7 ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 47

24 ποδεικτικές σκήσεις. Σε τρίγωνο είναι ˆ 9. Να αποδείξετε ότι = ˆ ˆ 9 ˆ ˆ ˆ 9 ˆ ˆ 8 ˆ ˆ 8 ˆ ˆ ˆ 8 8 ˆ ˆ ˆ = ˆ.ίνεται τρίγωνο με ˆ ˆ και η διχοτόμος του. Να αποδείξετε ότι i) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ii) ˆ 9, ˆ ˆ ˆ 9 i) διχοτόμος Â = Â = ˆ εξωτερική του τριγώνου Â ˆ = ˆ + ˆ εξωτερική του τριγώνου ˆ = ˆ + Â () () ˆ ˆ = ˆ ˆ () () Â ii) H () ˆ = ˆ + Ομοίως για τη ˆ 9 ˆ ˆ = 9 ˆ ˆ + = 9 ˆ ˆ 3.Σε τρίγωνο με ˆ ˆ φέρουμε το ύψος και τη διχοτόμο. Να αποδείξετε ότι ˆ = ˆ ˆ. ˆ = ˆ - ˆ E αλλά ˆ = Â λόγω της διχοτόμου και ˆ = 9 ο ˆ από το ορθ. τρίγωνο ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 48

25 Άρα ˆ Â = ( 9ο ˆ ) Â = 9ο + ˆ = = Â ˆ ˆ ˆ + ˆ = ˆ ˆ 4.ν οι διχοτόμοι των γωνιών ˆ, ˆ κυρτού τετραπλεύρου τέμνονται σε ˆ ˆ σημείο, να αποδείξετε ότι ˆ πό το τρίγωνο έχουμε ˆ = 8 ο ˆ ˆ = 8 ο Â ˆ 36 ˆ ˆ = πειδή το άθροισμα των γωνιών τετραπλεύρου είναι 36 ο, θα έχουμε ˆ = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = ˆ ˆ 5.πό τυχαίο σημείο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου φέρουμε τη. Να αποδείξετε ότι ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 8 ˆ ˆ 8 () τρ. : ˆ 9 ˆ () ˆ + ( 9 ˆ ) = 8 ο ˆ + 8 ο ˆ = 8 ο ˆ = ˆ 6.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 9ο ) το ύψος του και η διχοτόμος του Ζ τέμνονται σε σημείο. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο Ζ είναι ισοσκελές. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ Ζ Τρ. ορθογώνιο: Ê = Ê = 9 ο - ˆB = 9 ο ˆB Τρ. Ζ ορθογώνιο: 49 ()

26 Ẑ = 9 ο - ˆB = 9 ο ˆB πό τις () και () έχουμε Ê = Ẑ τρ. Ζ ισοσκελές. () 8.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 9ο ). Η διχοτόμος της γωνίας ˆB τέμνει την στο Ζ και την κάθετη στη στο σημείο, στο Η. Να αποδείξετε ότι Ζ = Η Ζ Η Τρ. ορθογώνιο: Ĥ = 9 ο - ˆB = 9 ο - ˆB Τρ. Ζ ορθογώνιο: Ẑ = Ẑ = 9 ο ˆB = 9 ο ˆB πό τις () και () έχουμε Ĥ = Ẑ τρ. ΗΖ ισοσκελές. () () ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

27 Σύνθετα Θέματα.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και τυχαίο σημείο της πλευράς. Στην προέκταση της, προς το, παίρνουμε τμήμα =. Να αποδείξετε ότι. ρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ ˆ 9 Ζ = ˆ ˆ λλά ˆ = ˆ ˆ σαν εξωτερική του τρ. ˆ Άρα ˆ = ˆ ˆ ˆ ˆ () = ˆ ˆ. λλά ˆ + ˆ ˆ = 8 ο Άρα ˆ + ˆ = 8 ο ˆ 8 ˆ ˆ 9 ˆ () () + () ˆ ˆ 9.ίνεται τρίγωνο με ˆ ˆ και η διχοτόμος του. πό την κορυφή φέρουμε ευθεία κάθετη στην, που τέμνει την στο. Να αποδείξετε ότι ˆ ˆ ˆ Ζ Τρ. Ζ ορθογώνιο ˆB = 9 ο ˆ λλά ˆ = ˆ ˆ + ˆ = ˆ + σαν εξωτερική του τριγώνου Άρα ˆB = 9 ο ˆ ( ˆ + ) = = ˆ ˆ ˆ ˆ + + ˆ = = ˆ ˆ ˆ ˆ = 3.Σε ορθογώνιο τρίγωνο προεκτείνουμε την υποτείνουσα κατά τμήμα =. Φέρουμε κάθετη στη στο σημείο και παίρνουμε σε αυτή, προς το μέρος του, τμήμα =. Να αποδείξετε ότι τα σημεία,, είναι συνευθειακά. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

28 Φέρουμε τα τμήματα,. ρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ + ˆ + ˆ = 8 ο ή αρκεί ˆ + ˆ = 9 ο αφού ˆ = 9 ο ˆB εξωτερική του ισοσκελούς τριγώνου ˆB = ˆ ˆ = ˆ () Στο ισοσκελές τρίγωνο έχουμε ˆ = ˆ και ˆ + ˆ + ˆ = 8 ο ˆ = 8 ο ˆ ˆ = 9 ο ˆ () ίναι ˆ = ˆB σαν οξείες με πλευρές κάθετες () ˆ = 9 ο ˆ (3) () + (3) ˆ + ˆ = 9 ο 4.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και το ύψος του. Φέρουμε Η, που τέμνει την προέκταση της στο. Να αποδείξετε ότι i) B = ii) > Η i) ρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ = ˆ Ορθ. τρίγωνο : ˆ = 9 ο - ˆ Ορθ. τρίγωνο Η : ˆ = 9 ο - ˆ Ισοσκελές : ˆ = ˆ Άρα ˆ = ˆ ii) Τα τρίγωνα και έχουν δύο πλευρές ίσες. ια να είναι >, αρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ > ˆ. πειδή, όμως, ˆ = 9 ο, αρκεί να αποδείξουμε ότι η ˆ είναι οξεία. Ισοσκελές τρίγωνο ˆ οξεία, άρα ˆ αμβλεία. Έτσι, στο τρίγωνο η ˆ είναι οξεία. 5.Σε τρίγωνο, προεκτείνουμε τα ύψη του και προς το μέρος των κορυφών και επί των προεκτάσεων παίρνουμε τμήματα Ζ = και Η = αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι i) AZ = AH ii) AZ AH ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

29 Η i) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα Ζ, Η. Έχουν = Η και Ζ = ια να είναι ίσα, αρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ ˆ, Ζ ή αρκεί ˆ ˆ αφού είναι παραπληρωματικές τους. υτό ισχύει διότι, από τα ορθ. τρίγωνα και, οι γωνίες ˆ και ˆ είναι συμπληρωματικές της γωνίας ˆ του τριγώνου. ii) τρ.ζ = τρ.η ˆ = ˆ Στο ορθ. τρίγωνο Η, η ˆ είναι συμπληρωματική της ˆ, άρα και η ˆ. 6.Θεωρούμε τετράπλευρο με ˆ ˆ και ονομάζουμε φ την οξεία γωνία ˆ ˆ των διχοτόμων των γωνιών ˆ και ˆ. Να αποδείξετε ότι φ = Στο τρίγωνο Ζ είναι φ = 8 ο - ˆ - ˆ ˆ = ˆ + ˆ σαν εξωτ. του τριγώνου Ζ φ Άρα φ = 8 ο ( ˆ + ˆ ˆ ) Ζ φ = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ φ = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = 7.ύο επίπεδα κάτοπτρα, είναι κάθετα. Φωτεινή ακτίνα α προσπίπτει αρχικά στο και μετά την ανάκλαση στο, εξέρχεται κατά την ακτίνα β. Τι πορεία θα ακολουθήσει, σε σχέση με την αρχική ακτίνα α; Κ ω x ω α y φ φ β Κ Θα αποδείξουμε ότι α β. Προς τούτο, αρκεί να αποδείξουμε ότι x + y = 8 ο. ίναι ω + x + ω = 8 ο () και φ + y + φ = 8 ο () () + () ω + φ + x + y =36 ο ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 53

30 x + y =36 ο (ω + φ) λλά ω + φ = 9 ο αφού Άρα x + y =36 ο. 9 ο x + y = 8 ο ενικές ασκήσεις 4 ου Κεφαλαίου.ίνεται τρίγωνο με Â = 6 ο και οι διχοτόμοι του και. Να αποδείξετε ότι B ˆ = ˆ. Στο τρ. έχουμε ˆ = Â + ˆ B ˆ = 6 ο + ˆ Στο τρ. έχουμε ˆ = ˆ + ˆ ˆ = ˆ + ˆ. ρκεί να αποδείξουμε ότι 6 ο + ˆ = ˆ + ˆ 6 ο ˆ ˆ = + ο = ˆ ˆ, το οποίο ισχύει αφού Â = 6 ο..θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α και τα σημεία, των πλευρών του και αντίστοιχα, ώστε = = α. Να αποδείξετε ότι 3. Φέρουμε Μ Τότε ˆ = ˆ = 6 ο και αφού ˆ = 6 ο, το τρίγωνο Μ είναι ισόπλευρο Μ = = 3 α M Και επειδή = α, το είναι μέσο του Μ. 3 Έτσι, το είναι διάμεσος του τρ.μ, άρα και ύψος. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 54

31 3.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 9 ο ) και η διχοτόμος του. Φέρουμε x, που τέμνει την στο και την προέκταση της στο Ζ. Να αποδείξετε ότι = Ζ. ρκεί να δειχθεί ότι τρ. = τρ.ζ. υτά είναι ορθογώνια και έχουν ˆ = ˆ (οξείες με πλευρές κάθετες), οπότε αρκεί να δειχθεί ότι = Ζ. x Ζ K Λ Πάμε να εκμεταλλευθούμε την ιδιότητα της διχοτόμου. Φέρουμε Κ και Λ Κ = Λ οπότε τρ.κ = τρ.λζ (αφού είναι ορθογώνια με ˆ = ˆ ) Άρα = Ζ. 4.Θεωρούμε τετράπλευρο με Â = ˆ = 9 ο και =. Στην προέκταση της παίρνουμε τμήμα =. Να αποδείξετε ότι. 3 3 ρκεί να δειχθεί ότι ˆ = ˆ, ή ότι 3 τρ. = τρ. και επειδή έχουν δύο πλευρές ίσες, αρκεί να δειχθεί ότι ˆ = ˆ. ˆ = ˆ + ˆ = 9 ο ˆ ο ˆ 3 = 8 ο ˆ 3 ˆ = ˆ 3 5.ίνεται τρίγωνο με <. Να αποδείξετε ότι : i) To ύψος = σχηματίζει με τη μικρότερη πλευρά μικρότερη γωνία. ii) Η διάμεσος Μ = iii) Το ύψος και η διάμεσος =. σχηματίζει με τη μικρότερη πλευρά μεγαλύτερη γωνία. βρίσκονται εκατέρωθεν της διχοτόμου i) ˆ ˆ 9 ο ˆ < 9 ο ˆ (από τα ορθ. τρίγωνα M, ). ˆ < ˆ το οποίο ισχύει αφού < Η ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 55

32 ii) Θα αποδείξουμε ότι ˆ > ˆ. Προεκτείνουμε την Μ κατά τμήμα ΜΗ = Μ (Π Π) τρ.μη = τρ.μ ˆ = ˆ και = Η Στο τρ.η είναι Η = < ˆ < ˆ = ˆ iii) πό το i) ˆ < ˆ = ˆ () πό το ii) > ˆ ˆ = ˆ () πό () και () το ύψος και η διάμεσος διχοτόμου =. βρίσκονται εκατέρωθεν της 6.Τρεις κύκλοι με κέντρα,, εφάπτονται εξωτερικά στα,,. 3 Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο. 3 K Έστω Ι το έκκεντρο του τριγώνου 3 Τότε διχοτόμος της γωνίας ˆ και ομοίως για τις, 3 K 3 Ι 3 A K 3 Φέρουμε τις Ι, Ι, Ι. (Π Π) τρ.ι = τρ.ι () Άρα Ομοίως Ι = Ι Ι = Ι και Ι = Ι. Άρα το Ι είναι περίκεντρο του τρ.. Φανταζόμαστε τον περιγεγραμμένο κύκλο (Ι, Ι) του τριγώνου. ια να είναι αυτός ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, αρκεί να 3 αποδείξουμε ότι Ι και ομοίως Ι 3 3, Ι () ˆ = ˆ και ομοίως ˆ = ˆ, ˆ = ˆ () 3 3 αλλά ˆ ˆ 8 ˆ ˆ 8 3 ˆ ˆ 8 3 () ˆ ˆ 8 ˆ ˆ 8 3 ˆ ˆ 8 3 ˆ ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ 8 3 ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 56

33 ˆ ˆ 3 ˆ ˆ 8 3 ˆ = ˆ = 9 ο. 3 7.Θεωρούμε τρίγωνο, τον εγγεγραμμένο κύκλο του (Ι, ρ) και τον παρεγγεγραμμένο κύκλο του (, ). Ονομάζουμε,, Ζ και,, Ζ τα σημεία επαφής των (Ι, ρ) και (, ) με τις ευθείες,, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : i) AZ = AE = τ α, = Ζ = τ β, = = τ γ ii) Ζ = = τα iii) ΖΖ = = α, = β γ Ζ Ζ Ι Ι α i) Ζ =, Ζ =, = σαν εφαπτομενικά τμήματα. + + = τ Ζ + Ζ = τ Ζ Ζ = τ Ζ + + τ Ζ + + = τ Ζ + α = τ Ζ = τ α = Ομοίως ii) Ζ =, = Ζ, = σαν εφαπτομενικά τμήματα. + + = τ Ζ Ζ + + = τ Ζ + + Ζ = τ Ζ + = τ Ζ = τ = iii) ΖΖ = Ζ Ζ = τ (τ α ) =τ τ + α = α = = = Ζ (τ β) = Ζ τ + β = τ γ τ + β = β γ. και = τ β = Ζ = τ γ = ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 57

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός)

Παράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) Παράλληλες Ευθείες Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 4.1 Εισαγωγή 2 ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο ευθείες ε 1 και ε 2 που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες. Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1) Οι οξείες

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; ΚΕΦΛΙΟ 3ο ΤΡΙΩΝ Στοιχεία και είδη τριγώνων Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 7.8 7.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 162 163 ρωτήσεις Κατανόησης 1. Να εξηγήσετε γιατί τα ίχνη, της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας τριγώνου είναι συζυγή αρμονικά των και. πάντηση

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 5. 5.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 04 ρωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι Ορθογώνια, ρόµβοι, i τετράγωνα, ποια όχι και γιατί; (α) 5 (β) 5 (γ) (δ) (ε) (ζ) φ 5 φ 5 φ φ (η)

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης 4. -4.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 8 83 ρωτήσεις Κτνόησης. i) Πώς ονοµάζοντι οι γωνίες κι β του πρκάτω σχήµτος κι τι σχέση έχουν µετξύ τους; ii) Tι ισχύει γι τις γωνίες γ κι δ ; ε δ ε ε ε γ β ε πάντηση

Διαβάστε περισσότερα

Α λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ Γ ε ω μ ε τ ρ ι α Α Λ υ κ ε ι ο υ

Α λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ Γ ε ω μ ε τ ρ ι α Α Λ υ κ ε ι ο υ Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι............ λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ ε ω μ ε τ ρ ι α Λ υ κ ε ι ο υ π ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r m a t h s

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την και ɵ = 30 ο. Έστω διάµεσος του και, Ζ, Η τα µέσα των, και αντίστοιχα. Στην προέκταση του Ζ παίρνουµε τµήµα ΖΚ= Ζ. Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 57 ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ Πολυγωνικά χωρία - Πολυγωνικές επιφάνειες. Τι καλούμαι πολυγωνικό χωρίο και πως ονομάζεται αυτό ; Πότε δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 140

Γενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 140 ενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 40. ίνεται τρίγωνο ορθογώνιο στο. πό τα άκρα, της υποτείνουσας φέρουµε κάθετες x και y στη και προς το ίδιο µέρος της. πό το µέσο Μ της φέρουµε κάθετη στην, που τέµνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x 1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα. Μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα. Μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα ΚΕΦΛΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα Μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα 1. Τι καλούμαι ορθή προβολή ενός σημείου πάνω σε μία ευθεία και ποια είναι η προβολή ενός ευθυγράμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές ασκήσεις 7 ου Κεφαλαίου σελίδας 164

Γενικές ασκήσεις 7 ου Κεφαλαίου σελίδας 164 1 ενικές ασκήσεις 7 ου Κεφαλαίου σελίδας 164 1. ίνονται δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο. φέρουμε το κοινό εφαπτόμενο τμήμα τους και την κάθετη στη. Να αποδείξετε ότι = R R. Φέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

AΓ BΓ BΓ. = 40 MN = 2 AB + AΓ AN =

AΓ BΓ BΓ. = 40 MN = 2 AB + AΓ AN = 1 ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Οι πρωταρχικές έννοιες της Γεωμετρίας είναι το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο. Δεχόμαστε ότι: Από δύο διαφορετικά σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1)

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1) σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 6 7 ενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου. ίνεται τρίγωνο (β γ) µε Â = 60 ο, τα ύψη του, και τα µέσα Μ, Ν των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Μ = Ν. Τρ. ορθογώνιο µε Â = 60 ο M N ˆB

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

7.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156

7.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156 1 7.7 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156 ρωτήσεις ατανόησης 1. Στα παρακάτω σχήματα να βρείτε τα x, ψ (α) ε 1 ε x 1 2 ε 2 ψ 6 ε 2 3 3 ε 4 ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 3 ε 2 ε 1 ε 2 4 x 1,5 ψ 3 4 ε 3 (β) (γ) ε 1

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 2 και 3

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 2 και 3 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ Ι Τ ΚΦΛΙ και 3 1. Τι λέμε κυρτή γωνία, μη κυρτή γωνία, διχοτόμο γωνίας, κάθετες ευθείες. προβολή ή ίχνος σημείου σε ευθεία;. Πότε δύο σημεία λέγονται συμμετρικά ως προς ευθεία; 3. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. 6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος.

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος. ΙΩΝΙΣΜ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΟΥ 3/0/0 ΕΝΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜ ο ) Να αποδείξετε ότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και µόνο αν τα αποστήµατά τους είναι ίσα. Θεωρία, σελίδα 46 σχολικού βιβλίου Θεώρηµα III

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;

Διαβάστε περισσότερα

Είναι φ =180 ο 120 ο = 60 ο άρα ω = 50 ο + 60 ο = 110 ο. ˆ ΑΓ, να υπολογίσετε την γωνία φ. ˆ ΑΓ = 110 ο άρα ω =70 ο, οπότε. Είναι

Είναι φ =180 ο 120 ο = 60 ο άρα ω = 50 ο + 60 ο = 110 ο. ˆ ΑΓ, να υπολογίσετε την γωνία φ. ˆ ΑΓ = 110 ο άρα ω =70 ο, οπότε. Είναι 4.6 4.8 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 87 88 ρωτήσεις Κατανόησης. Να υπλγίσετε την γωνία ω στ παρακάτω σχήµα πάντηση ω ίναι φ =8 = 6 άρα ω = 5 + 6 = 5 φ. ν = και x διχτόµς της γωνίας πάντηση ω φ ω 55 x

Διαβάστε περισσότερα

Απέναντι πλευρές παράλληλες

Απέναντι πλευρές παράλληλες 5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > 90. 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓ=ΑΔ(υπόθεση) ΒΔ = ΓΕ υποθεση

ΑΓ=ΑΔ(υπόθεση) ΒΔ = ΓΕ υποθεση ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ Άσκηση 1.Συγκρίνουμε τα τρίγωνα και. 2 1 =(υπόθεση) = (υπόθεση) = 2 1 κατακορυφήν γωνίες πό το κριτήριο Π--Π τα τρίγωνα είναι ίσα άρα και = Άσκηση 2 Χαράζουμε τις και επειδή τα, είναι σημεία

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο ΥΣΕΙΣ ΙΩΝΙΣΜΤΣ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜ 1 ο ) Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή ως λάθος () καθεµία από τις επόµενες προτάσεις. ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, όταν οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες.

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β 1 11.6 11.8 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 50 51 Ερωτήσεις Κατανόησης 1. ντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης µε την τιµή του στην στήλη Στήλη Στήλη Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας Εµβαδόν κυκλικού τοµέα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης 0. 0.3 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 8 Ερωτήσεις κατανόησης. Να γράψετε τους τύπους υπολογισµού του εµβαδού Τετραγώνου Ορθογωνίου i Παραλληλογράµµου iν) Τριγώνου ν) Τραπεζίου πάντηση Ε = α Ε = α β

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. Οι πρωταρχικές γεωμετρικές έννοιες - Το ευθύγραμμο τμήμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. Οι πρωταρχικές γεωμετρικές έννοιες - Το ευθύγραμμο τμήμα ΚΕΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ Οι πρωταρχικές γεωμετρικές έννοιες - Το ευθύγραμμο τμήμα 1. Πως ξεκινά η μελέτη εωμετρίας,δηλαδή από ποιες έννοιες και από ποιες παραδοχές; Η μελέτη της εωμετρίας ξεκινά από

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΥΤΩΝ Κωδικός βιβλίου: 0--007 ΠΟΛΙΤΙΣΟΥ ΚΙ ΘΛΗΤΙΣΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ε Κ ε Ψ Ζ Ο Ι Θ ε Η μα ε4 και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ISBN 978-960-06--6

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Τεύχος Α

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Τεύχος Α ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ, ΡΥΝΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΥΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΠΙΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ Τεύχος ε 3 ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ Κ ε ε Ι Ο Θ Η μ α Ψ ε 4 ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΧΝΟΛΟΙΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ ΚΙ ΚΟΣΩΝ «ΙΟΦΝΤΟΣ» ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα. 1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες

Διαβάστε περισσότερα

10.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. ΑΒΓ =λ. ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν υ β = υ β και =. β ποιος είναι ο λόγος β

10.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. ΑΒΓ =λ. ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν υ β = υ β και =. β ποιος είναι ο λόγος β 0.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης. ( ) ύο τρίγωνα και έχουν υ β = υ β και =. ( ) β ποιος είναι ο λόγος β : : : 9 : 4 5 4 4 9 Κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 1. Οι παραλληλες ευθειες ε, ε τεμνονται απ'την ευθεια ε υπο γωνια 40.

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 1. Οι παραλληλες ευθειες ε, ε τεμνονται απ'την ευθεια ε υπο γωνια 40. υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς υ θ ε ι ε ς ) Οι παραλληλες ευθειες ε, ε τεμνονται απ'την ευθεια ε υπο γωνια 4. π'το σημειο τομης των ε, ε φερνουμε ημιευθεια K που τεμνει την ε στο. ν ε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία

Διαβάστε περισσότερα

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου 5 ΣΚΗΣΙΣ ΣΤ ΞΙΟΣΗΙΩΤ ΣΗΙ ΤΡΙΩΝΟΥ )ίνεται τρίγωνο µε = 45 και B = 75. ν µέσο της φέρουµε από το κάθετη στη διχοτόµο της γωνίας που τέµνει την στο. Στην παίρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν. Τα τρία σημεία αυτά λέγονται κορυφές του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Δύο ημιευθείες OX, OY με κοινό άκρο O, χωρίζουν το επίπεδο σε δύο μέρη και ορίζουν μία κυρτή γωνία ή απλά γωνία και μία μη κυρτή γωνία.

Δύο ημιευθείες OX, OY με κοινό άκρο O, χωρίζουν το επίπεδο σε δύο μέρη και ορίζουν μία κυρτή γωνία ή απλά γωνία και μία μη κυρτή γωνία. ΜΑΘΗΜΑ 2 Δύο ημιευθείες OX, OY με κοινό άκρο O, χωρίζουν το επίπεδο σε δύο μέρη και ορίζουν μία κυρτή γωνία ή απλά γωνία και μία μη κυρτή γωνία. Κυρτή γωνία ή απλά γωνία λέγεται το σχήμα που συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ύψος Διχοτόμος Διάμεσος Διάμετρος

Ύψος Διχοτόμος Διάμεσος Διάμετρος = Y β μ α M μ α Υ M Ύψος Διχοτόμος Διάμεσος Διάμετρος Σε τρίνο με 90, θα αποδείξουμε ότι το Ύψος, η Διχοτόμος και η Διάμεσος από την κορυφή, «διατάσσονται» όπς στο σχήμα. πειδή σε κάθε τρίνο, απέναντι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ

3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ 1 3 ΠΛΛΗΛΟΜΜΟ ΟΘΟΩΝΙΟ ΤΤΩΝΟ ΟΜΟΣ ΤΠΙΟ ΙΣΟΣΛΣ ΤΠΙΟ ΘΩΙ Παραλληλόγραµµο Λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες. ( // και // ) άσεις και ύψη στο παραλληλόγραµµο άθε πλευρά του µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4. ίνεται παραλληλόγραµµο και έστω, Μ τα µέσα των και αντίστοιχα Οι προεκτάσεις των τµηµάτων Μ και τέµνονται στο Ζ. Να αποδείξετε ότι Τα τρίγωνα Μ και ΜΖ είναι ίσα i Το τετράπλευρο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Α και Β Γενικού Λυκείου ε 3 Γ ε 2 Κ Ε ε 1 Ι Ο Θ Η Ζ Α μ α Ψ ε 4 Β Β ( Σελ. 63 120 ) Τόμος 2ος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

EΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

EΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ, ΡΥΝΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΥΜΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΠΙΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ EΥΚΛΙΙ ΩΜΤΡΙ ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ A ΤΥΧΟΣ Η συγγραφή και η επιστημονική επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚΕΦΛΙΟ 2 o Τ ΣΙΚ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ Πρωταρχικές έννοιες Όπως τα αντιλαμβανόμαστε : Σημείο, Ευθεία, Επίπεδο. ξιώματα προτάσεις που τις αποδεχόμαστε χωρίς απόδειξη. αξίωμα: πό δυο διαφορετικά σημεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10 ΥΕΙ ΙΑΩΝΙΜΑ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΥΚΕΙΟΥ 05/0/0 ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδειχτεί ότι σε κάθε παραλληλόγραµµο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Θεωρία σελίδα 97 B. Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη σωστό () ή λάθος () καθεµιά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα