3. Μέθοδος Ρεύματος Απλών Κόμβων 4. Κυκλώματα με Ελεγχόμενες Πηγές 5. Αρχή της Υπέρθεσης

Transcript

1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πνεπιστήμιο Ιωννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ Ι ο Κεφάλιο Γ. Τσιτούχς Τμήμ Μηχνικών Η/Υ κι Πληροφορικής Διάρθρωση. Ανάλση Δικτύο. Μέθοδος Κομβικών Τάσεων. Μέθοδος Ρεύμτος Απλών Κόμβων 4. Κκλώμτ με Ελεγχόμενες Πηγές 5. Αρχή της Υπέρθεσης LS Technology and Computer Architecture Lab

2 Ανάλση Δικτύο Η νάλση δικτύο ποσκοπεί στον προσδιορισμό των άγνωστων ρεμάτων σε κάθε κλάδο κι των άγνωστων τάσεων σε κάθε κόμβο ενός ηλεκτρικού δικτύο. Γι την επίτεξή της πιτείτι: ο κθορισμός όλων των σχετικών πρμέτρων, η νγνώριση των γνωστών κι των γνώστων πρμέτρων, η κτάστρωση των πρίτητων εξισώσεων πο σσχετίζον τις πρμέτρος κι η επίλση των εξισώσεων. b c S 4 i A d i B 4 Σημείο Ανφοράς S 4 a a b b c d b d c d a b c Μέθοδος Κομβικών Τάσεων Η μέθοδος των κομβικών τάσεων (node voltage method) βσίζετι στον κθορισμό της τάσης σε κάθε κόμβο σν μι νεξάρτητη μετβλητή. Ένς κόμβος, σνήθως η γείωση, επιλέγετι ως κόμβος νφοράς. Μόλις κθοριστεί η τάση σε κάθε κόμβο, εφρμόζετι ο νόμος το Ohm γι τον κθορισμό των ρεμάτων στος κλάδος μετξύ γειτονικών κόμβων. Με τη μέθοδο τή το ρεύμ κάθε κλάδο εκφράζετι σν σνάρτηση των τάσεων στ άκρ το κι σνεπώς τ ρεύμτ δεν πεισέρχοντι στις εξισώσεις (φσικά κι οι δύο νόμοι το Kirchhoff πρμένον σε χρήση). b i KCL: i i i b b c b d N. Ohm i b b i i d i c 4

3 Μέθοδος Κομβικών Τάσεων Έστω κύκλωμ με n κόμβος. Γι την εφρμογή της μεθόδο νάλσης των κομβικών τάσεων: Επιλέξτε ένν κόμβο νφοράς. Η τάση οποιοδήποτε άλλο κόμβο ορίζετι ως η διφορά με την τάση το κόμβο νφοράς. Προσδιορίστε πό τις πόλοιπες n κομβικές τάσεις ποιες είνι εξρτημένες μετβλητές (οι m πηγές τάσεις ντιστοιχούν σε εξρτημένες μετβλητές) κι ποιες είνι νεξάρτητες μετβλητές (οι τάσεις των κόμβων πο δεν σνδέοντι με πηγές τάσης ντιστοιχούν σε νεξάρτητες μετβλητές). Εφρμόστε το νόμο ρεύμτος το Kirchhoff σε κάθε κόμβο πο ντιστοιχεί σε νεξάρτητη μετβλητή προσιάζοντς τ σχετικά ρεύμτ ως σνάρτηση των τάσεων στος γειτονικούς κόμβος. Επιλύστε το γρμμικό σύστημ των n m άγνωστων μετβλητών (τάσεων). 5 Πράδειγμ: Ανάλση Κόμβων Ι Πρόβλημ: Νβρεθούνόλτάγνωστρεύμτκιοιτάσειςστοκύκλωμ, ότν =ma, =5mA, =KΩ, =ΚΩ, =KΩκι 4 =KΩ. Λύση: Στο κύκλωμ τρεις κόμβοι πό τος οποίος ο ένς είνι ο κόμβος νφοράς (γείωση). Σνεπώς, δύο νεξάρτητες μετβλητές: οι κι. Γράφομε τον νόμο KCL στος κόμβος κι. Οι φορές των ρεμάτων επιλέγοντι θίρετ. κόμβος κόμβος κόμβος Ι Ι κόμβος νφοράς 4 κόμβος 4 4 Πρτήρηση: Ορίσμε θίρετ με θετικό πρόσημο τ ρεύμτ πο εισέρχοντι σε ένν κόμβο κι με ρνητικό τά πο εξέρχοντι. Θ κολοθούμε μόνιμ τή την πρκτική! 6

4 Πράδειγμ: Ανάλση Κόμβων Ι Ισοδύνμ μπορούμε ν γράψομε: κόμβος κόμβος κόμβος Ι.6.6 κόμβος Ι Ι 4 κόμβος νφοράς Λύνοντς το σύστημ των δύο εξισώσεων βρίσκομε: =.57 κι = 5.86 Γι τ ρεύμτ ισχύει πό το Ν. Ohm:.57mA,.9mA, mA 6.4mA end 7 Πράδειγμ: Ανάλση Κόμβων ΙΙ Πρόβλημ: Ν βρεθεί η τάση στ άκρ της, ότν =A, =A, =Ω, =Ω, =4Ωκι 4 =Ω. Λύση: Στο κύκλωμ τέσσερις κόμβοι. Κόμβος νφοράς είνι η γείωση. Σνεπώς, τρεις νεξάρτητες μετβλητές: οι κι κι. Γράφομε τον νόμο KCL στος τρεις κόμβος Οι φορές των ρεμάτων επιλέγοντι θίρετ κόμβος κόμβος κόμβος κόμβος νφοράς 8 4

5 Πράδειγμ: Ανάλση Κόμβων ΙΙ Διχωρίζοντς τις μετβλητές, ισχύει: κόμβος κόμβος 4 5 κόμβος Ι 4 () () () () κόμβος νφοράς end 9 Πράδειγμ: Ανάλση Κόμβων ΙΙΙ Πρόβλημ: Ν βρεθεί το ρεύμ Ι πο διρρέει την πηγή τάσης, ότν =A, =, =Ω, =Ω, =4Ωκι 4 =Ω. Λύση: Στο κύκλωμ τέσσερις κόμβοι. Κόμβος νφοράς είνι η γείωση. Σνεπώς, τρεις νεξάρτητες μετβλητές: οι κι κι. Γράφομε τον νόμο KCL στος τρεις κόμβος Οι φορές των ρεμάτων επιλέγοντι θίρετ. κόμβος 4 4 κόμβος νφοράς () 4 κόμβος κόμβος 5

6 Ισχύει: Πράδειγμ: Ανάλση Κόμβων ΙΙ () 4 κόμβος 9 () 4 κόμβος Ι 4 () 4 4 Σνεπώς κθώς: κόμβος νφοράς ().4A end Γρμμικές Εξισώσεις Ι Γι την επίλση σστημάτων των γρμμικών εξισώσεων πο σνντούμε κτά την νάλση κκλωμάτων μπορεί ν χρησιμοποιηθεί ο κνόνς το Cramer. Κτά την εφρμογή το κνόν χρησιμοποιείτι η έννοι της ορίζοσς. Η ορίζοσ ποδίδετι με την μορφή πίνκ ως κολούθως: det( A) det(a) 6

7 Γρμμικές Εξισώσεις ΙΙ Έν σύστημ δύο γρμμικών εξισώσεων με δύο γνώστος μπορεί ν νπρστθεί με την κόλοθη μορφή πινάκων: x x b x x b x b x b Ο κνόνς το Cramer γι την εύρεση των γνώστων x κι x εφρμόζετι ως κολούθως: x b b b b b x b b b Μέθοδος Ρεύμτος Απλών Βρόχων Ι Η μέθοδος ρεμάτων σε πλούς βρόχος (mesh currents) χρησιμοποιεί τ ρεύμτ στος βρόχος σν νεξάρτητες μετβλητές. Τ ρεύμτ των πλών βρόχων έχον φορά τή των δεικτών το ρολογιού. Μόλις κθοριστεί το ρεύμ σε έν βρόχο, εφρμόζετι ο νόμος το Kirchhoff γι τις τάσεις γι ν προκύψει η επιθμητή εξίσωση. Με τη μέθοδο τή η τάση κάθε κλάδο εκφράζετι σν σνάρτηση το ρεύμτος πο τον διρρέει κι σνεπώς οι τάσεις δεν πεισέρχοντι στις εξισώσεις. KL: i i N. Ohm i i i 4 7

8 Μέθοδος Ρεύμτος Απλών Βρόχων Γι την εφρμογή της μεθόδο ρεμάτων σε πλούς βρόχος : Κθορίστε με σνέπει το ρεύμ κάθε πλού βρόχο. Δηλ. τ άγνωστ ρεύμτ στος πλούς βρόχος ορίζοντι ν κολοθούν πάντ την κτεύθνση των δεικτών το ρολογιού (σύμβση). ύ β Τ γνωστά ρεύμτ στος βρόχος (πηγές ρεύμτος) ορίζοντι ν κολοθούν πάντ την κτεύθνση της πηγής ρεύμτος. Σε έν κύκλωμ με n πλούς βρόχος κι m πηγές ρεύμτος προκύπτον n m νεξάρτητες εξισώσεις. Τ άγνωστ ρεύμτ στος βρόχος θ είνι οι n m νεξάρτητες μετβλητές το σστήμτος. Εφρμόστε το νόμο τάσης το Kirchhoff σε κάθε πλό βρόχο πο τον διρρέει έν άγνωστο ρεύμ, γράφοντς κάθε τάση ως σνάρτηση το ρεύμτος ενός ή περισσοτέρων βρόχων. Επιλύστε το γρμμικό σύστημ των n m άγνωστων μετβλητών (ρεμάτων). 5 Πράδειγμ: Ανάλση Βρόχων Ι Πρόβλημ: Ν βρεθούν τ ρεύμτ των πλών βρόχων στο κύκλωμ, ότν A =, B =9, C =, =5Ω, =Ω, =5Ωκι 4 =5Ω. Λύση: Ορίζομε την κτεύθνση των ρεμάτων στος δύο πλούς βρόχος σύμφων με τη φορά των δεικτών το ρολογιού. Σνεπώς, θ έχομε δύο εξισώσεις (μί γι κάθε βρόχο) με δύο άγνωστ ρεύμτ. ΕφρμόζομεKL: Α Β Ι Ι C 4 A B βρόχος 6 8

9 Πράδειγμ: Ανάλση Βρόχων Ι Γι τη δεύτερη εξίσωση εργζόμστε πρόμοι στον δεύτερο βρόχο, λμβάνοντς πόψιν σε τή την περίπτωση την πολικότητ της πτώσης τάσης στην η οποί ορίζετι σύμφων με τη φορά το ρεύμτος Ι. βρόχος B C 4 Με ντικτάστση των ριθμητικών τιμών στις δύο εξισώσεις προκύπτει: 5.5A 8.65A Α Β Ι Ι C 4 4 end 7 Πράδειγμ: Ανάλση Βρόχων Ι Πρόβλημ: Ν βρεθούν οι τάσεις στ άκρ των ντιστάσεων, κι, ότν S = S =, =5Ω, =4Ω, =6Ωκι 4 = 5 =.Ω. Λύση: Ορίζομε την κτεύθνση των ρεμάτων στος τρεις πλούς βρόχος σύμφων με τη φορά των δεικτών το ρολογιού. Σνεπώς, θ έχομε τρεις εξισώσεις (μί γι κάθε βρόχο) με τρί άγνωστ ρεύμτ. ΕφρμόζομεKL: 4 S Ι Ι S 4 βρόχος S 5 βρόχος βρόχος S βρόχος Ι 4 S Ι 5 S βρόχος 5 βρόχος 8 9

10 Πράδειγμ: Ανάλση Βρόχων Ι Οι λύσεις το σστήμτος είνι: 7.A.57A.6A Με βάση τη γείωση το κκλώμτος κι τις φορές των ρεμάτων πολογίζομε τιςζητούμενεςτάσειςχρησιμοποιώντςτονόμοτοohm: 4 S Ι Ι Ι Ι S 5 9 end Πράδειγμ: Ανάλση Βρόχων ΙΙΙ Πρόβλημ: Ν βρεθούν τ ρεύμτ στος πλούς βρόχος, ότν =.5A, =6, =Ω, =8Ω, =6Ωκι 4 =4Ω. Λύση: Ορίζομε την κτεύθνση των ρεμάτων στος τρεις πλούς βρόχος σύμφων με τη φορά των δεικτών το ρολογιού ή των πηγών ρεύμτος. Στο βρόχο τορεύμείνιήδηγνωστόπότηνπροσίτηςπηγής ρεύμτος, δηλ. Ι =Ι. Σνεπώς, θ έχομε δύο εξισώσεις, με δύο άγνωστ ρεύμτ. Εφρμόζομε KL: 4 βρόχος Ι Ι Ι 4 βρόχος βρόχος

11 Πράδειγμ: Ανάλση Βρόχων ΙΙΙ Αντικθιστώντς τις γνωστές τιμές προκύπτον οι κόλοθες εξισώσεις: Από τις λύσεις των εξισώσεων βρίσκομε:.95a.55a 4 Ι Πρτήρηση: Οσιστικά, η προσί της γνωστής στθερής πηγής ρεύμτος (Ι) πλούστεσε σημντικά την επίλση το προβλήμτος! Ι Ι end Πράδειγμ: Ανάλση Βρόχων Ι Πρόβλημ: Ν βρεθεί το ρεύμ Ι 4 πο διρρέει την ντίστση 4, ότν =, A =A, B =A, =Ω, =4Ω, =Ωκι 4 =5Ω. Λύση: Στο κύκλωμ τέσσερις πλοί βρόχοι. Ορίζομε τις φορές των ρεμάτων σύμφων με τη φορά των δεικτών το ρολογιού. Γράφομε τον νόμο KL στος βρόχος. Επειδή οι βρόχοι κι έχονμικοινήπηγήρεύμτος, διχειριζόμστε τούς τος βρόχος ως έν βρόχο όπο δεν πάρχει η πηγή ρεύμτος κι γράφομε την εξίσωση σσχέτισης της πηγής ρεύμτος με τ ρεύμτ των δύο βρόχων. βρόχος A 4 4 βρόχος 4 B βρόχοι, κι 4 4 A 4 B εξίσωση σσχέτισης

12 Πράδειγμ: Ανάλση Βρόχων Ι Ισοδύνμ μπορούμε ν γράψομε: βρόχος βρόχοι, κι A A βρόχος 4 4 B A 4 4 B 4 A 4 B 4 4B A Πράδειγμ: Ανάλση Βρόχων Ι Σνεπώς: B A 4.6A. A Προκύπτει: 4.96A 4 B A 4 4 B end 4

13 Κκλώμτ με Ελεγχόμενες Πηγές Οι μέθοδοι νάλσης (κόμβων ή πλών βρόχων) πο περιγράψμε μπορούν ν εφρμοστούν κι στην περίπτωση πο στ πό νάλση κκλώμτ εμπεριέχοντι εξρτώμενες (ελεγχόμενες) πηγές. Σε τή την περίπτωση εργζόμστε ως κολούθως: Αρχικά χειριζόμστε την εξρτώμενη πηγή ως ιδνική πηγή κι κτστρώνομε τις εξισώσεις κόμβων ή πλών βρόχων νάλογ. Στις εξισώσεις πο προκύπτον πάρχει κι μι εξίσωση πο σσχετίζει την εξρτημένη πηγή με εκείνη την τάση ή εκείνο το ρεύμ το κκλώμτος πότοοποίοεξρτάτι. Ατήηεξίσωσηκλείτιεξίσωση περιορισμού (constraint equation). Επιλύομε τις εξισώσεις ως προς το γνώστος. 5 Πράδειγμ: Εξρτημένες Πηγές Ι Πρόβλημ: Ν βρεθούν οι τάσεις στος κόμβος το κκλώμτος, ότν =.5A, =5Ω, =Ωκι =4Ω. Ισχύει x = Λύση: Στο κύκλωμ τέσσερις κόμβοι. Κόμβος νφοράς είνι η γείωση. Επίσης, δύο νεξάρτητες μετβλητές, οι κι κι μί εξρτημένη μετβλητή η x. Γράφομε τον νόμο KCL στος κόμβος κι. Οι φορές των ρεμάτων επιλέγοντι θίρετ. x x i i κόμβος νφοράς x κόμβος κόμβος Επίσης ισχύει η εξίσωση περιορισμού: x κόμβος x 6

14 Πράδειγμ: Εξρτημένες Πηγές Ι Αντικθιστώντς τη x προκύπτει: κόμβος Ι κόμβος () () 5. x 6.66 x x i i κόμβος νφοράς end 7 Πράδειγμ: Εξρτημένες Πηγές ΙΙ Πρόβλημ: Ν βρεθεί ο λόγος 5 / (κέρδος τάσης) στο κύκλωμ, ότν =Ω, =.5Ω, =.5Ω, 4 =.5Ω κι 5 =.5Ω. Ισχύει η εξίσωση περιορισμού: ε =. Λύση: Ορίζομε την κτεύθνση των ρεμάτων στος τρεις πλούς βρόχος σύμφων με τη φορά των δεικτών το ρολογιού. Σνεπώς, θ έχομε τρεις εξισώσεις, με τρί άγνωστ ρεύμτ. Εφρμόζομε KL σε κάθε βρόχο: i i i βρόχος i 4 i i 5 ε = i 5 i i i 4 i i i 4 5 βρόχος βρόχος 8 4

15 Πράδειγμ: Εξρτημένες Πηγές ΙΙ Ισχύει ότι = (i i ) κι σνεπώς: βρόχος i i βρόχος i i i i i i i i i i βρόχος i i i i i i i i Η λύση το σστήμτος δίνει: i. 88 i. i. 6 i 4 i Ισχύει: 5 5i i i ε = end 9 Πρτηρήσεις Οι μέθοδοι νάλσης πο προσιάστηκν στην τρέχοσ ενότητ είνι γενικές τεχνικές κι μπορούν ν χρησιμοποιηθούν στην νάλση οποιοδήποτε γρμμικούκκλώμτοςπέρντηςνάλσης κκλωμάτων ντιστάσεων. Κθώς τές οι μέθοδοι βσίζοντι στος θεμελιώδεις νόμος (KCL κι KL) γι την νάλση κκλωμάτων, μπορούν ν εφρμοστούν κι σε κκλώμτ πο σνθέτοντι με μη γρμμικά κκλωμτικά στοιχεί (π.χ. διόδος, τρνζίστορ κ..). 5

16 Αρχή της Υπέρθεσης Η ρχή της πέρθεσης (superposition principle) μπορεί ν εφρμοστεί σε όλ τ γρμμικά κκλώμτ ως κολούθως: Σε γρμμικό κύκλωμ με Ν πηγές, το ρεύμ κι η τάση σε κάθε κλάδο δίδετι πό το άθροισμ Ν ρεμάτων κι Ν τάσεων, όπο κάθε ρεύμ κι κάθε τάση πολογίζετι με την πόθεση ότι στο κύκλωμ πάρχει μόνο μί πηγή κάθε φορά κι όλες οι πόλοιπες Ν πηγές είνι μηδενισμένες. S N. Ohm: i s S s i S i S S S S i = S i S i S Μηδενισμός Πηγών Ο μηδενισμός μις πηγής τάσης επιτγχάνετι βρχκκλώνοντς τος κροδέκτες της (δηλ. ντικθίσττι με βρχκύκλωμ). Ο μηδενισμός μις πηγής ρεύμτος επιτγχάνετι νοικτοκκλώνοντς έν άκρο της (δηλ. ντικθίσττι με νοικτοκύκλωμ). S i S S i S Μηδενισμός πηγής τάσης Μηδενισμός πηγής ρεύμτος 6

17 Πράδειγμ: Υπέρθεση Πρόβλημ: Νβρεθείητάσηστάκρτηςντίστσης στο κύκλωμ, ότν G =, B =A, B =Ω, G =.Ω, κι =.Ω. Λύση: Μηδενίζομε την πηγή τάσης. Εφρμόζομε KCL : B B G B B G.8 B B G G Μηδενισμός G B B G κόμβος νφοράς κόμβος νφοράς Πράδειγμ: Υπέρθεση Ακολούθως, μηδενίζομε την πηγή ρεύμτος κι εφρμόζομε KCL: G B G G G. B G B G 4 6 Σύμφων με την ρχή της πέρθεσης ισχύει: B B G G B G Μηδενισμός G Ι Β B G κόμβος νφοράς κόμβος νφοράςend 4 7