Είµαστε τυχεροί που είµαστε δάσκαλοι
|
|
- ÁἌλκιμος Σπανού
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 <<Μια άποψη για το πρώτο µάθηµα στους Μιγαδικούς>> Από τον Χρ.Κυτίπη Μαθηµατικό Σ ένα τµήµα της Γ Λυκείου: Πιστεύω ότι ο άνθρωπος, από γεννησιµιού του, είναι εν δυνάµει Μαθηµατικός. Κουβαλάει µαζί του τη µαθηµατική λογική, πολύ απλά γιατί τα µαθηµατικά είναι απλή λογική. Για παράδειγµα, σε µια φυλή Ιθαγενών στη Λατινική Αµερική, βρέθηκε ότι οι άνθρωποι αυτό που εµείς σήµερα λέµε ένα αυτοί το έλεγαν πέτσεβαλ. - Mεταφερθείτε λοιπόν, κάνοντας ένα ταξίδι στο παρελθόν, σ αυτούς και προσπαθήστε να τους πείτε το δύο - Ναι, το βρήκατε!!! Το έλεγαν πέτσεβαλ-πέτσεβαλ. - Το τρία; Ακριβώς όπως το σκέφτεστε:πέτσεβαλ-πέτσεβαλ-πέτσεβαλ. - Το τέσσερα;...και βέβαια πέτσεβαλ- πέτσεβαλ- πέτσεβαλ- πέτσεβαλ. - Και το 100 κύριε; - Έχετε δίκιο να απορείτε. Πολύ απλά δεν µπορούσαν να µετρήσουν παραπάνω. Και µη σας φαίνεται περίεργο. Εσείς όταν είσαστε µικρά (4, 5 ετών) µπορούσατε να µετράτε όπως σήµερα; Οι άνθρωποι γνώριζαν µήπως πάντα όσα γνωρίζουν σήµερα; Όχι βέβαια. Εδώ ο Γαλιλαίος περί το 1610, έλεγε ότι η γη κινείται και κόντεψε να τον κάψουν. Σκεφτείτε ότι ο άνθρωπος ζούσε επί χιλιετηρίδες µέσα στην άγνοια γι αυτό το θέµα. Πίστευε µέχρι πολύ πρόσφατα λοιπόν (τι είναι το 1610στον ιστορικό χρόνο ) ότι ο ήλιος κινείται γύρω από τη Γη. Κι όµως η Γη κινείται έλεγε ο Γαλιλαίος και αποδείχτηκε ότι έχει δίκιο, αλλά που να το βρει τότε Ο άνθρωπος λοιπόν, ανάλογα µε την ιστορική περίοδο στην οποία ζούσε ήξερε και στη συνέχεια, επινοούσε, µάθαινε, κι άλλα πράγµατα. Ας έρθουµε π.χ. στην Α Γυµνασίου. Μάθαµε τους αριθµούς, τους Φυσικούς. Τους συµβολίσαµε µε Ν (Νάτσιουραλ) δεν είναι τυχαία η επιλογή του συµβόλου και της λέξης. Η λέξη εκφράζει το περιεχόµενο και το σύµβολο παραπέµπει στο αρχικό γράµµα της λέξης Natural. Μάθαµε να τους προσθέτουµε-αφαιρούµε- πολλαπλασιάζουµεδιαιρούµε... Κι εκεί που ικανοποιηµένοι, θεωρήσαµε ότι τελειώσαµε, έρχεται ο καθηγητής και µας λέει (Μην ξεχνάτε, είστε στην Α Γυµν.) - Παιδιά θα ασχοληθούµε τώρα µ ένα άλλο σύνολο αριθµών. - Ωχ! Ακόµη δεν ξεµπλέξαµε µε τους προηγούµενους και πάµε γι άλλους. Τι τους θέλουµε; σκέφτονται ίσως πολλοί από τους µαθητές - Πες µας Ειρήνη:3+5 πόσο κάνει; - Ειρήνη:8. - Κώστα πόσο κάνει 9-4; - Πέντε κύριε. - Πόσο κάνει 8-13 Γεωργία; - Ε! κύριε γίνεται αυτό; Βγαίνει το 13 από το 8; εν γίνεται. - Μπράβο σας παιδιά!!! 1 Τρίκαλα τηλ.-fax( )
2 - Ας σκεφτούµε το εξής τώρα: Η θερµοκρασία έξω είναι 3 ο C και πέφτει κατά 5 ο C. Τι θα δείξει το θερµόµετρο; - Γιώργος:-2 βαθµούς. - Τι είναι αυτό ρε Γιώργο. Τι -2. Πού το βρήκες αυτό. εν είπαµε ότι ξέρουµε µόνο τους φυσικούς; Ξέχασες ότι δεν είσαι Γ Λυκείου; - Το θερµόµετρο θα δείξει, κύριε, δύο βαθµούς κάτω από το µηδέν. - Έτσι µπράβο. Λέω λοιπόν να επινοήσουµε κάτι ώστε να αντικαταστήσουµε µε µαθηµατική γλώσσα, αυτή την πρόταση που µας είπε ο Γιώργος. Για παράδειγµα σας προτείνω, αν και εσείς συµφωνείτε, να συµβολίσουµε τη θερµοκρασία των δύο βαθµών κάτω απ το µηδέν µαετο -2. Τι λέτε; Συµφωνήσαµε λοιπόν, και δηµιουργήσαµε έτσι το σύνολο των ακεραίων, Ζ, µάθαµε να δουλεύουµε σ αυτό, πράξεις, ιδιότητες.κι εκεί που είπαµε ότι τελειώσαµε έρχεται ο σαδιστής µαθηµατικός και µας λέει: <<Παιδιά σήµερα θα ασχοληθούµε µ ένα καινούριο σύνολο, το σύνολο των Ρητών (Q). - Άντε πάλι απ την αρχή θα σκέφτονται, ίσως οι µαθητές. Είναι γραφτό µας να µας ταλαιπωρούν - Ας σκεφτούµε λοιπόν παιδιά το εξής: (Μην ξεχνάτε ότι ξέρετε τους φυσικούς και ακέραιους µόνο). Έχετε µια τούρτα µε 6 κοµµάτια και δίνουµε στον Γιώργο το 1 κοµµάτι. Μας έµειναν τα άλλα 5. Ποιον αριθµό θα διαλέγατε να γράψετε µαθηµατικά τις παραπάνω έννοιες, δηλ.: Το ένα από τα πέντε κοµµάτια Τα πέντε από τα έξι κοµµάτια Επειδή λοιπόν δεν επαρκούσαν οι µέχρι τώρα γνωστοί αριθµοί, επινοήσαµε λοιπόν τη γραµµή (-), πάνω της βάλαµε το 1 ή το 5 (το µέρος) και κάτω της το 6 (το όλο). Κατασκευάσαµε τους αριθµούς 6 1, 6 5 για να δηλώσουµε το µέρος απ το όλο. Τους ονοµάσαµε ρητούς (Q) αριθµούς και παιδευτήκαµε και µ αυτούς. Να τους προσθέτουµε, αφαιρούµε, πολλαπλασιάζουµε, διαιρούµε σύνθετα κλάσµατα, απλά Άστα να πάνε. Κάπου στη Β Γυµνασίου λοιπόν φορτωµένοι µε τους φυσικούς (Ν), ακέραιους (Ζ), ρητούς (Q), αλλά κι ένα σωρό άλλα π.χ. Θ. Θαλή, Πυθαγόρειο θεώρηµα, ίσα τρίγωνα Να σου ο κακός µαθηµατικός: - Παιδιά σήµερα θα µιλήσουµε για ένα νέο σύνολο αριθµών τους άρρητους (Q ). (Μην ξεχνάτε ότι µπορεί τώρα να είστε στη Γ Λυκείου αλλά πρέπει να ταξιδέψετε πίσω στη Β Γυµνασίου όπου ξέρετε τους Ν, Ζ, Q ). Θέλω να λύσουµε το εξής πρόβληµα: Ενός τετραγώνου x, πλευράς 1 να βρούµε τη διαγώνιο. Τι λέτε; - Γιάννης: Θα εφαρµόσουµε το Πυθαγόρειο θεώρηµα κύριε. 2 Τρίκαλα τηλ.-fax( )
3 - Πολύ ωραία. Είναι λοιπόν x 2 = x 2 =2 x=; - Γιάννης:x= 2 κύριε. - Ξέχασες ότι είσαι στη Β Γυµνασίου Γιάννη. Τι είναι αυτό το ρίζα δύο που µου λες; Μου είναι άγνωστο. Εγώ ξέρω ρίζες στα δέντρα, στα µαλλιά, στα δόντια. Ξέρω π.χ. τη φράση οι ρίζες µας (το γενεαλογικό µας δέντρο, από πού προερχόµαστε), αλλά αυτό δεν το γνωρίζω. Τι έχουµε λοιπόν µπροστά µας. Ψάχνουµε έναν αριθµό που όταν τον υψώσουµε στο τετράγωνο θα µας δώσει 2. Μήπως είναι το 1;Όχι γιατί 1 2 =1. Άρα είναι παραπάνω. Μήπως 2;Όχι γιατί 2 2 =4. Άρα λιγότερο. Μήπως 1,5; Όχι γιατί 1,5 2 =2,25.Άρα λιγότερο. Μήπως 1,4; Αλλά 1,4 2 =1,96.Περισσότερο λοιπόν. Μήπως 1,41; Αλλά 1,41 2 =1,9881.Μήπως 1,42; Αλλά 1,42 2 =2,0164.Είναι λοιπόν ένας αριθµός µεταξύ του 1,41 και 1,42. Κουράστηκα µ αυτές τις πράξεις, όµως παιδιά. Ας πάρω το κοµπιουτεράκι Πατάω 2 =1, Μου το δίνει λοιπόν µε προσέγγιση 9 δεκαδικών ψηφίων. Υπάρχουν άπειρα ακόµα. Εποµένως είναι αδύνατο να υπολογίσουµε τον αριθµό που ψάχνουµε. Μα στο διάολο σκέφτεσαι!!...είναι δυνατόν να µην µπορώ να βρω αυτόν τον αριθµό; Κι όµως δεν µπορούµε Σβήνω στη συνέχεια τον αριθµό 1, απ τον πίνακα και ζητάω απ τους µαθητές να µου τον πούνε, όποιος τον θυµάται.αν κάποιος απαντήσει θα πω πως είναι πολύ φωτογραφικός τύπος. Τέρας µνήµης. - Βλέπετε λοιπόν παιδιά ότι δεν τον θυµάστε; Ούτε και εγώ. Λέω λοιπόν: να επινοήσουµε ένα σύµβολο που να συµβολίζει τον ζητούµενο αριθµό. Κάποιος µαθητής µου είπε µια χρονιά: Να τον συµβολίσουµε 2 κύριε. Ενθουσιάστηκα µε την απάντησή του και προσπαθούσα να σκεφτώ ότι θα µπορούσε να συµβολιστεί και έτσι γιατί επινοήσαµε το 2. Σκέφτηκα π.χ. τι θα έκανα µε τον 2 3, θα ζωγράφιζα έναν κύβο στον εκθέτη; Αν είχα 2 2 τι θα έλεγα ; Επινοήσαµε λοιπόν το 2 και διαβάζουµε τετραγωνική ρίζα του 2. Γιατί άραγε διαλέξαµε τη λέξη ρίζα; Σκέφτοµαι ότι έχει σχέση µε τις ρίζες µας µε το από πού ερχόµαστε. Γιατί το 2 είναι ο αριθµός απ τον οποίο µε ύψωση στο τετράγωνο 2 2 γεννιέται το 2 δηλ, το 2 είναι ο πρόγονος του 2.Ίσως!!... - Επινοήσαµε λοιπόν έτσι παιδιά, και τους άρρητους αριθµούς (τους συµβολίσαµε µε Q ή Q a ), µάθαµε να δουλεύουµε µ αυτούς µαθηµατικά, έχουν τις ιδιότητες τους, µια καλή µαθηµατική δοµή. Μάθαµε π.χ. να λύνουµε πλέον την εξίσωση x 2 =2.Ερχόµαστε λοιπόν τώρα στη Γ Λυκείου. 3 Τρίκαλα τηλ.-fax( )
4 - Γωγώ σύνελθε είσαι Γ Λυκείου τώρα. Έµεινες στο Γυµνάσιο. Μ αυτά και µ αυτά λοιπόν φτάσαµε ίσαµε τώρα φορτωµένοι µε όλα τα τσουβάλια των αριθµών (Ν, Ζ, Q, Q ), τα βάλαµε όλα σ ένα µεγαλύτερο τσουβάλι, και το βαφτίσαµε σύνολο R των πραγµατικών αριθµών. Ας προσπαθήσουµε λοιπόν τώρα να λύσουµε την εξίσωση x 2 =-1. Θωµάς: Είναι αδύνατη κύριε. - Πολύ ωραία. Αλλά µε τα µέχρι τώρα γνωστά. εν µπορούµε να πούµε, π.χ. να επινοήσουµε έναν αριθµό ώστε το τετράγωνό του να είναι -1; - Σωτήρης: Γιατί κύριε; Ότι θέλουµε κάνουµε; φανταζόµαστε έναν αριθµό, ότι µας έρθει στο µυαλό και - Γιατί Σωτήρη, τους άλλους αριθµούς το 2, το - 9, το 6 5, το 2 εµείς δεν τους επινοήσαµε, δεν τους φανταστήκαµε. Ας φανταστούµε ακόµη έναν.χάλασε ο κόσµος; - Σωτήρης: Ποιον δηλαδή!; - Ας πούµε τον φ (αφού τον φανταζόµαστε). Θα πούµε δηλ. ο αριθµός που ψάχνουµε είναι ο φ και έχει την ιδιότητα φ 2 =-1. εν είναι καλό; - Θωµάς: Ας είναι! - Θα µπορούσαµε να τον πούµε i από το αγγλικό imagine. Ε; - Σωτήρης: Ναι! - Ε, λοιπόν συµφωνήσαµε αυτόν τον φανταστικό αριθµό (θαρρείς και οι άλλοι δεν ήταν φανταστικοί) να τον συµβολίζουµε µε το γράµµα i.αισθάνοµαι πολύ ωραία παιδιά, δεν ξέρω εσείς, που γεννήσαµε έναν καινούριο αριθµό. Για να δούµε όµως µπορούµε να δουλέψουµε µ αυτόν µαθηµατικά; Για παράδειγµα τι λέτε για το 2i+3i; - Κώστας: 5i. - Πολύ ωραία. Για τον 2 i 3i ; - Λήδα:6i 2 = 6 ( 1) =-6. - Μπράβο! Φαίνεται το πράγµα περπατάει λοιπόν. Ας πάρουµε τώρα ένα µεγαλύτερο τσουβάλι που να χωράει όλους τους προηγούµενους αριθµούς και να έχει και αρκετό κενό χώρο. Σ αυτόν τον κενό χώρο λέω να ρίξουµε τον 2i, -3i, 5i, -13i, κ.λ.π. Να τους πούµε φανταστικούς και να τους συµβολίσουµε Ι. Κατανοητό γιατί, ε; - Ας πάρουµε τώρα έναν πραγµατικό, τον 3 και έναν φανταστικό τον 4i. Πόσο κάνει 3+4i (Εδώ υπάρχει αµηχανία απ τα παιδιά. Λογικό.) - Πόσο κάνει 3 + 2, παιδιά; 4 Τρίκαλα τηλ.-fax( )
5 - Νίκος: Μπράβο! Ε! 3+4i κάνει 3+4i λοιπόν. ηλαδή εδώ έχουµε άλλα γεννητούρια. Ανακατεύονται ένας πραγµατικός και ένας φανταστικός και δίνουν έναν καινούριο αριθµό τον 3+4i. Να του δώσουµε κι αυτού λοιπόν ένα όνοµα. Όλοι έχουµε ένα όνοµα σ αυτή την κοινωνία, έτσι δεν είναι; Πώς λοιπόν να τον πούµε; Υπάρχει κανείς πρόθυµος για να γίνει νουνός; εν θα έχει έξοδα. Το µωρό δεν θέλει τίποτα, ένα όνοµα µόνο. Ελάτε...(Υπάρχει µια δυσκολία, εδώ, στη βάπτιση.) Για πείτε µου. (αλλάζω θέµα). Ξέρετε τι σηµαίνει η λέξη µιγάς, µιγάδας; - ανάη: Είναι κάτι µε τα παιδιά των ξένων δεν ξέρω αφήστε το. - Ας δούµε τι µας λέει λοιπόν στο λεξικό του ο Μπαµπινιώτης (πάω στο γραφείο, δίπλα, παίρνω το λεξικό) διαβάζω: µιγάς:(ο η) {µιγάδ-ος, -α -ες} το πρόσωπο που έχει γεννηθεί από γονείς διαφορετικής φυλής και ιδιαίτερα µε διαφορετικό χρώµα δέρµατος. [ΕΤΥΜ.<αρχ. µιγάς, -άδος<ρ. µ(ε)ίγνυµι, βλ. κ. µικτός] Νοµίζω καταλάβατε.παιδιά παραπάνω έχει τη λέξη µιγαδικός διαβάζω: µιγαδικός: 1. αυτός που σχετίζεται µε µιγάδες. 2. µαθηµατικά: µιγαδικός αριθµός ο αριθµός που αποτελείται από πραγµατικό και από φανταστικό αριθµό δηλ. της µορφής α+βi όπου α, β πραγµατικοί αριθµοί και i η φανταστική µονάδα. Μ αυτούς λοιπόν τους αριθµούς θα ασχοληθούµε στο εξής, στο κεφάλαιο Μιγαδικοί αριθµοί παιδιά. Ευχαριστώ για τη συνεργασία σας. 5 Τρίκαλα τηλ.-fax( )
Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.
1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.
Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΣχολείο εύτερης Ευκαιρίας Αλεξανδρούπολης. Σχολικό Έτος 2006 2007. Σενάριο : Αγιοργιωτάκης Ιωάννης Μαθηµατικός
Σχολείο εύτερης Ευκαιρίας Αλεξανδρούπολης Σχολικό Έτος 2006 2007 Σενάριο : Αγιοργιωτάκης Ιωάννης Μαθηµατικός Τρίτη 10 Οκτωβρίου στο Σ Ε Αλεξανδρούπολης. 2 η Ώρα : Μαθηµατικά στο Β2. ΙΣΜΑΗΛ : Λεµονιά, θέλω
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Κ. Τζιρώνης, Θ. Τζουβάρας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συµπλήρωµα στις λύσεις των ασκήσεων του βιβλίου Περιλαµβάνει λύσεις ή υποδείξεις για ασκήσεις του βιβλίου που αφορούν κυρίως προβλήµατα των οποίων η επίλυση
Διαβάστε περισσότερα«Το θέµα είναι που θα πάει; Τουλάχιστον µετά να πήγαινε Μαλανδρίνο, δεν ξέρω»
«Το θέµα είναι που θα πάει; Τουλάχιστον µετά να πήγαινε Μαλανδρίνο, δεν ξέρω» Στον αποµαγνητοφωνηµένο δάλογο που ακολουθεί συνοµιλεί συγγενής του Γ. Ρουπακιά (Α) µε τον (Β) - Οπου Α η καλούσα - Οπου Β
Διαβάστε περισσότεραΓυµνάσιο Σιταγρών Θεατρικοί διάλογοι από τους µαθητές της Α Γυµνασίου. 1 η µέρα. Χιουµορίστας: Καληµέρα παιδιά, πρώτη µέρα στο Γυµνάσιο.
Ντέµι Ραµά 1 η µέρα Χιουµορίστας: Καληµέρα παιδιά, πρώτη µέρα στο Γυµνάσιο. Κακός µ.: Άντε να δούµε τι θα γίνει αυτή τη χρονιά. ύσκολα θα είναι στο Γυµνάσιο? Καλός µ.: Σιγά να µην είναι δύσκολα, άµα διαβάζεις
Διαβάστε περισσότερα11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.
ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re
Διαβάστε περισσότεραΛήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το B' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη - Σμπώκου
Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το B' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη - Σμπώκου - από τον Φουάτ σε τρεις εταιρίες χρήματα... μπλου μπρουμέλ, άλλη μια P.A κάπως έτσι και άλλη μία που μου είχες πει
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ
ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Η ταχύτητα συνήθως δεν παραµένει σταθερή Ας υποθέσουµε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο µε ταχύτητα k 36. Ο δρόµος είναι ανοιχτός και ο οδηγός αποφασίζει
Διαβάστε περισσότεραπαραδειγματα επεισοδίων
παραδειγματα επεισοδίων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΟΗΜΑ Οι μαθητές ερμηνεύουν τα δρώμενα στην τάξη: ως προς το νόημα εννοιών και διαδικασιών ως προς τη φύση και την αξία αυτών στο μάθημα των μαθηματικών Καλδρυμίδου,
Διαβάστε περισσότερα2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν
Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων
Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των
Διαβάστε περισσότεραΌταν χαλά η γλώσσα, χαλάει η σκέψη
Όταν χαλά η γλώσσα, χαλάει η σκέψη (γ µέρος) Πριν από καιρό έγραφα σε κάποιο βιβλίο... «... Η ανησυχία µου, εκτός των άλλων, βρίσκεται και στο γεγονός ότι στο σχολικό βιβλίο και κατά συνέπεια στα εξωσχολικά
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.
Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ
4 η ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΠΟΕ-ΟΤΑ ΤΕΤΑΡΤΗ 12 ΙΟΥΛΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ Ενηµέρωση Προβλήµατα λειτουργίας Ε.Ε. Ν.Α ΑΜΟΠΟΥΛΟΣ: Συνάδελφοι, συγνώµη για την καθυστέρηση αλλά πληρώναµε τα
Διαβάστε περισσότερα1 η ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΠΟΕ-ΟΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 12 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ Ενηµέρωση. 2. Εγγραφές νέων µελών.
1 η ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΠΟΕ-ΟΤΑ ΠΕΜΠΤΗ 12 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ 1. Ενηµέρωση 2. Εγγραφές νέων µελών. 3. Ορισµός τόπου διεξαγωγής τακτικού Συνεδρίου. 4. Αγωνιστικές κινητοποιήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης
Διαβάστε περισσότεραΝΗΦΟΣ: Ένα λεπτό µόνο, να ξεµουδιάσω. Χαίροµαι που σε βλέπω. Μέρες τώρα θέλω κάτι να σου πω.
Νήφο. Πεταλία; Εγώ, ναι. Σήκω. Δεν ξέρω αν µπορώ. Μπορείς. Είµαι κουρασµένος. Ήρθε η ώρα, όµως. Τα χέρια µου έχουν αίµατα. Τα πόδια µου είναι σαν κάποιου άλλου. Δεν έχουµε πολύ χρόνο. Ένα λεπτό µόνο, να
Διαβάστε περισσότεραμονόλογος. του γιώργου αθανασίου.
μονόλογος. του γιώργου αθανασίου. δεν μπορώ άλλο. δεν αντέχω. τι σ έπιασε αυτή τη φορά; δεν μπορώ. τρελαίνομαι. με τι; δεν ξέρω τι να γράψω. δεν ξέρω τι να δημιουργήσω. αυτό είναι μόνο; δεν καταλαβαίνεις,
Διαβάστε περισσότεραΡΙΖΟΜΠΕΡ ΕΜΑΤΑ. Σκίτσο : Νικολιουδάκης Λεωνίδας Γ1
Σελίδα 1 από16 ΡΙΖΟΜΠΕΡ ΕΜΑΤΑ Κόµικ µε θέµα τις τετραγωνικές ρίζες. ιαθεµατική εργασία Μαθηµατικών Πληροφορικής Σκίτσο : Νικολιουδάκης Λεωνίδας Γ1 Σενάριο : Φανουργιάκη Μαρίνα Γ1 Καλιοντζάκης Μανώλης Γ1
Διαβάστε περισσότερα«.. Οι δυναµικές γραµµές έτσι κι αλλιώς δεν είναι φυσικό µέγεθος.
«.. Οι δυναµικές γραµµές έτσι κι αλλιώς δεν είναι φυσικό µέγεθος. Τι φυσικό µέγεθος να είναι µια γραµµή; Φιλοδοξία να γίνει φυσικό µέγεθος είναι η πυκνότητά τους ή ο αριθµός τους. Και αυτό µπορεί θαυµάσια
Διαβάστε περισσότεραΚάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 69. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Για παράδειγμα ο αριθμός που στην προηγούμενη
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς
Διαβάστε περισσότεραΕρωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς Κυκλοφορώ" (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Β - Γ Δημοτικού
Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς Κυκλοφορώ" (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Β - Γ Δημοτικού Tάξη & Τμήμα:... Σχολείο:... Ημερομηνία:.../.../200... Όνομα:... Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς
Διαβάστε περισσότερα(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX
1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις στις συναρτήσεις
Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο. Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο Κριτήρια διαιρετότητας Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: 1. Να µάθεις να ξεχωρίζεις ποιοι αριθµοί διαιρούνται µε το 2, το
Διαβάστε περισσότεραΟν/μο: Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 1 0
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 Υλη: Μιγαδικοί Γ Λυκείου Ον/μο:.. 9-0-3 Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 0 Α. Να αποδείξετε ότι : «Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών i και i είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτινών
Διαβάστε περισσότερα«Πώς να ξέρει κανείς πού στέκει; Με αγγίζεις στο παρελθόν, σε νιώθω στο παρόν» Μυρσίνη-Νεφέλη Κ. Παπαδάκου «Νερό. Εγώ»
«Πώς να ξέρει κανείς πού στέκει; Με αγγίζεις στο παρελθόν, σε νιώθω στο παρόν» Μυρσίνη-Νεφέλη Κ. Παπαδάκου «Νερό. Εγώ» ΚΕΦΆΛΑΙΟ 1 ΘΑ ΣΟΥ ΠΩ τι πιστεύω για την εξαφάνιση, αλλά δώσε μου λίγο χρόνο. Όχι,
Διαβάστε περισσότεραΟι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.
Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική
Διαβάστε περισσότερα4236) Μιγαδική προσέγγιση στη Θεωρία Οµάδων Ο Evariste Galois είναι ο δηµιουργός της Θεωρίας Οµάδων. Αν είχατε παρακολουθήσει το µάθηµα Ιστορία και Φιλοσοφία των Μαθηµατικών, θα σας βοηθούσε γιατί θα γνωρίζατε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Υπενθύµιση Τάξης ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να θυµηθείς πώς αντιµετωπίζουµε προβλήµατα της καθηµερινής µας ζωής µε τη βοήθεια
Διαβάστε περισσότεραΣΚΕΤΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΝΟΜΙΛΙΑ. ΑΡΗΣ (Συναντώνται μπροστά στη σκηνή ο Άρης με τον Χρηστάκη.) Γεια σου Χρηστάκη, τι κάνεις;
ΣΚΕΤΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΝΟΜΙΛΙΑ ΑΡΗΣ (Συναντώνται μπροστά στη σκηνή ο Άρης με τον Χρηστάκη.) Γεια σου Χρηστάκη, τι κάνεις; ΧΡΗΣΤΑΚΗΣ Μια χαρά είμαι. Εσύ; ΑΡΗΣ Κι εγώ πολύ καλά. Πάρα πολύ καλά! ΧΡΗΣΤΑΚΗΣ Σε βλέπω
Διαβάστε περισσότεραΚλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια
1 ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο Κλάσµατα Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια Όπως φαίνεται όµως ο Σάκης έφαγε 1 κοµµάτι από τα 8 Το κοµµάτι
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού)
Μιχάλης Λάµπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού) Ερωτήσεις 3 πόντων: 1) Αν όπου είναι κάποιος συγκεκριµένος αριθµός, τότε ο αριθµός αυτός
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών
Διαβάστε περισσότεραΥπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville
Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Χρήστος Κονταράτος 14 Νοεµβρίου 2014 1 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 3 2 Το Θεώρηµα του Liouville 4 3 Η Υπερβατικότητα του ξ 6 4 Αριθµοί του Liouville 8 2 1 Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότερα0001 00:00:11:17 00:00:13:23. Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18. Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10. Ναι.
0001 00:00:11:17 00:00:13:23 Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18 Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10 Ναι. 0004 00:01:06:17 00:01:07:17 Σου έδειξα τη φωτογραφία; 0005 00:01:07:17 00:01:10:10
Διαβάστε περισσότεραΜέσα από τη ζωγραφική, την κατασκευή ιστοριών και παραμυθιών βρήκαν από αρκετά έως πολύ τον τρόπο να εκφραστούν και να δημιουργήσουν.
ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΣΤ2 Στο ΣΤ2 αξιολογήθηκαν 18 μαθητές Αυτό που τους άρεσε περισσότερο σ? αυτή την ομάδα ήταν η συνεργασία μεταξύ τους και το μοίρα σμα συναισθημάτων και εμπειριών
Διαβάστε περισσότεραΛύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις επί των ρητών αριθµών
Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα
Διαβάστε περισσότεραe-mail@p-theodoropoulos.gr
Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο
Διαβάστε περισσότεραΟρια Συναρτησεων - Ορισµοι
Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ
Κεφάλαιο o : Εξισώσεις - Ανισώσεις ΜΑΘΗΜΑ Υποενότητα.: Ανισώσεις ου Βαθµού Θεµατικές Ενότητες:. Ανισότητες - Κανόνες Ανισοτήτων.. Η έννοια της ανίσωσης.. Τρόπος επίλυσης ανισώσεων ου βαθµού. Α. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016
Διαβάστε περισσότερα3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ
Kεφάλαιο 11 Θα επαναλάβουµε αυτά που είχαµε πει την προηγούµενη φορά. Παραστατικά αν έχουµε το εξής παίγνιο όπου οι δύο παίχτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους αφού αποφασίσει ο Ι, θα δούµε πόσα
Διαβάστε περισσότεραΚαθηγητής: Λοιπόν, εδώ έχουμε δυο αριθμούς α και β. Ποιος είναι πιο μεγάλος. Λέγε Ελπίδα.
ΠΕΜΠΤΗ 7 ΦΕΒΡΟΥΡΙΟΥ ΤΜΗΜΑ Γ4 Καθηγητής: Λοιπόν, εδώ έχουμε δυο αριθμούς α και β. Ποιος είναι πιο μεγάλος. Λέγε Ελπίδα. Μαθήτρια: Δεν γνωρίζουμε. Ποιος συμφωνεί με την Ελπίδα; Χρύσα, συμφωνείς Χρύσα: Ναι.
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος
Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των
Διαβάστε περισσότεραΣΩΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ
ΣΩΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΕΟΜΕΝΩΝ Νικ. Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός Φροντιστής, ΕΡΟΙ e-mail: iossifid@yahoo.gr Στην εισήγηση αυτή θα παρουσιάσουµε τους τρόπους µε τους οποίους πρέπει να χρησιµοποιούµε τα δεδοµένα ενός
Διαβάστε περισσότερα( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α
. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς
Διαβάστε περισσότεραΟι θέσεις µου... Ένα υλικό σηµείο κάθε φορά βρίσκεται σε ένα µόνο σε ένα σηµείο του χώρου και άρα κάνει µία µόνο κίνηση.
Οι θέσεις µου... ) Η παράγραφος.7α του σχολικού βιβλίου Κατεύθυνσης Γ Λυκείου είναι λάθος, γιατί σύνθεση απλών αρµονικών ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας ίδιας διεύθυνσης ούτε υπάρχει ούτε υποστηρίζεται θεωρητικά.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία
Διαβάστε περισσότεραBίντεο 1: Η Αµµόχωστος του σήµερα (2 λεπτά) ήχος θάλασσας
ΘΥΜΑΜΑΙ; Πρόσωπα Ήρωας: Λούκας Αφηγητής 1: Φράνσις Παιδί 1: Ματθαίος Παιδί 2: Αιµίλιος Βασίλης (αγόρι):δηµήτρης Ελένη (κορίτσι): Αιµιλία Ήλιος: Περικλής Θάλασσα: Θεοδώρα 2 ΘΥΜΑΜΑΙ; CD 1 Ήχος Θάλασσας Bίντεο
Διαβάστε περισσότεραΠολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α
Διαβάστε περισσότεραΑπόλυτη Τιμή Πραγματικού αριθμού
Απόλυτη Τιμή Πραγματικού αριθμού Ερώτηση Φανταστείτε δύο αριθμούς π.χ. τον 3 και τον 5. Ποια είναι η απόσταση του καθενός από το 0; Η απόσταση του 3 από το 0 είναι 3, και η απόσταση του 5 από το 0 είναι
Διαβάστε περισσότερα«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1)
«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) Πρόσωπα: Μαθητές ασκάλα Κύριος Τροχαιάκης (αστυνοµικός της τροχαίας) Παιδιά ΣΚΗΝΗ 1 (στην τάξη) Χτυπά κουδούνι και µπαίνει µέσα
Διαβάστε περισσότεραΕρωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς Κυκλοφορώ" (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Δ - Ε - ΣΤ Δημοτικού
Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς Κυκλοφορώ" (αρχικό ερωτηματολόγιο) Για μαθητές Δ - Ε - ΣΤ Δημοτικού Tάξη & Τμήμα:... Σχολείο:... Ημερομηνία:.../.../200... Όνομα:... Ερωτηματολόγιο Προγράμματος "Ασφαλώς
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
1.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΧΟΛΙΟ Για να λύσουµε ένα πρόβληµα, αφού το διαβάσουµε καλά, εντοπίζουµε τον άγνωστο και τον συµβολίζουµε µε µία µεταβλητή. Με βάση τα δεδοµένα του προβλήµατος καταστρώνουµε την
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση
Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε
Διαβάστε περισσότερα3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ
. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέθοδοι επίλυσης : Οι βασικές µέθοδοι αλγεβρικής επίλυσης ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο η µέθοδος της αντικατάστασης
Διαβάστε περισσότεραΚατανόηση γραπτού λόγου
Α1 1 Επίπεδο Α1 ιάρκεια: 30 λεπτά Πρώτο µέρος (12 µονάδες) Ερώτηµα 1 (6 µονάδες) Ένας φίλος σας σάς προσκαλεί στη βάφτιση της κόρης του. ιαβάστε το προσκλητήριο και σηµειώστε στις προτάσεις που πιστεύετε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 37ο. Παίρνοντας αποφάσεις! Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 37ο Λύνω προβλήµατα µε αντιστρόφως ανάλογα ποσά Παίρνοντας αποφάσεις! Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: 1. Να εξασκηθείς στην αναγνώριση δύο ποσών που είναι
Διαβάστε περισσότεραικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a
ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότερα4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ
1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΚ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές
Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a
Διαβάστε περισσότεραΗ οµάδα των κουατέρνιων Νίκος Λυγερός Θεώρηµα Lagrange (η τάξη της υποοµάδας Η διαιρεί την τάξη της οµάδας G) Πόρισµα 1 Έστω Λήµµα Πόρισµα 2 Έστω άρα και δεύτερον από το Πόρισµα 1 άρα Είναι ενδιαφέρον,
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά
Διαβάστε περισσότεραΈρευνα στη Διδακτική των Μαθηματικών και Διδακτική Πράξη
Έρευνα στη Διδακτική των Μαθηματικών και Διδακτική Πράξη Δέσποινα Πόταρη Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Διδασκαλία σε τμήμα της Α Λυκείου του 3 ου Λυκείου Πετρούπολης 3 η διδακτική ώρα (02-03-11)
Διαβάστε περισσότερα5.1 ΣΥΝΟΛΑ. 2. Παράσταση συνόλου. 3. Εποπτική παράσταση συνόλου : Γίνεται µε το διάγραµµα Venn, δηλαδή µε
1 5.1 ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ. x Σ και. x Σ και διαβάζουµε «το x δεν ανήκει στο Σ». ΕΙΣΑΓΩΓΗ :
ΕΙΣΑΓΩΓΗ : ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ Η έννοια του συνόλου στα µαθηµατικά είναι έννοια πρωταρχική και έτσι δεν ορίζεται αυστηρά µαθηµατικά. Μπορούµε όµως επεξηγηµατικά αντί ορισµού να πούµε: Σύνολο, είναι µια συλλογή
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
Διαβάστε περισσότεραΓεννηθήκαμε και υπήρξαμε μωρά. Κλαίγαμε, τρώγαμε, γελάγαμε, κοιμόμασταν, ξυπνάγαμε, λερωνόμασταν.
Γεννηθήκαμε και υπήρξαμε μωρά. Κλαίγαμε, τρώγαμε, γελάγαμε, κοιμόμασταν, ξυπνάγαμε, λερωνόμασταν. Μεγαλώσαμε λίγο και υπήρξαμε παιδιά. Φωνάζαμε, τσακωνόμασταν, γνωρίζαμε, βρίζαμε, παίζαμε, χαιρόμασταν,
Διαβάστε περισσότερα17.Γ. ΠΡΟΣΤΧΑ ΑΝΕΚΔΟΣΑ ΜΕ ΣΟΝ ΣΟΣΟ 4 - ΧΑΣΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΤ ΜΑΡΙΑ
το Δημοτικό η δασκάλα λέει στους μαθητές της: -Παιδιά, ελάτε να κάνουμε ένα τεστ εξυπνάδας! Ριχάρδο, πες μου ποιο είναι αυτό το ζωάκι: Περπατά στα κεραμίδια, έχει μουστάκι, κάνει νιάου και αλλά έχει και
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß
ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí
Διαβάστε περισσότεραΣΚΕΤΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΠΑΡΕΝΟΧΛΗΣΗ. ΝΑΤΑΣΑ (Μέσα στην τάξη προς το τέλος του μαθήματος) ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΑ Η Γη, κυρία Νατάσα, έχει το σχήμα μιας σφαίρας.
ΣΚΕΤΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΠΑΡΕΝΟΧΛΗΣΗ ΝΑΤΑΣΑ (Μέσα στην τάξη προς το τέλος του μαθήματος) Λοιπόν παιδιά αυτό ήταν το σημερινό μας μάθημα. Για να ανακεφαλαιώσουμε. Ποιο είπαμε ότι είναι το σχήμα της Γης;
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΘεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Την προηγούµενη φορά Τρόποι απόδειξης Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter,
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότεραΚύκλος Ερευνητικής Εργασίας: «Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Τεχνολογία»
3ο Γενικό Λύκειο Λάρισας Κύκλος Ερευνητικής Εργασίας: «Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Τεχνολογία» Θέµα Ερευνητικής Εργασίας: ιερεύνηση των εξισώσεων και ανισώσεων µέσα από την επίλυση καθηµερινών προβληµάτων.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιγαδικοί Αριθμοί ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ Μιγαδικοί Αριθμοί ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α. Πράξεις Συζυγής - Μέτρο Α. Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. Εργασία για το σπίτι. Απαντούν μαθητές του Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Εργασία για το σπίτι Απαντούν μαθητές του Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Απαντά η Μαρίνα Βαμβακίδου Ερώτηση 1. Μπορείς να φανταστείς τη ζωή μας χωρίς
Διαβάστε περισσότεραΕνέργεια και Έργα. Ε συστ = ΣΤ
Ενέργεια και Έργα. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας για ένα σύστηµα, σύµφωνα µε τον John W. Jewett Jr., (τα πέντε κείµενα που µετέφρασε και δηµοσίευσε ο Σταύρος Πρωτογεράκης, µπορείτε να τα κατεβάσετε συµπιεσµένα
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας
Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από
Διαβάστε περισσότερα1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( 2x 1 ) µ 2 = 5( 10x µ
1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( x 1 ) µ = 5( 10x µ ) Μετασχηµατίζουµε την εξίσωση στη µορφή αx = β. ( x 1 ) µ 5( 10x µ ) ( µ 50) x = µ 5µ () 1 = µ x µ = 50x 5µ µ x 50x = µ 5µ Λύνουµε την εξίσωση:
Διαβάστε περισσότεραΕίναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;
Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία
Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη
Διαβάστε περισσότεραΠρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης
Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα 1: Κρίσιμα συμβάντα Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Απομαγνητοφώνηση αποσπάσματος από Β Λυκείου
Διαβάστε περισσότερα