Κεφάλαιο 2 ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ

Transcript

1 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ Κεφάλαιο ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό αναπτύσσεται η έννοια της παραμόρφωσης και περιγράφονται σχέσεις τάσεων παραμορφώσεων για δομικά στοιχεία υπό αξονική καταπόνηση. Ακολούθως παρουσιάζονται μέθοδοι υπολογισμού μετακινήσεων και εισάγονται οι βασικές αρχές της ανάλυσης ισοστατικών και υπερστατικών φορέων με αξονικά φορτιζόμενα μέλη.. Ορθή παραμόρφωση Ας θεωρήσουμε το μεταλλικό δοκίμιο του Σχ..α, το οποίο είναι στερεωμένο ακλόνητα στο πάνω άκρο, ενώ στο κάτω άκρο εφαρμόζεται εφελκυστική δύναμη P. Η δύναμη αυτή προκαλεί μήκυνση του δοκιμίου, έτσι ώστε η αρχική απόσταση L o μεταξύ των σημείων Α και Β να αυξάνεται σε L (η καταγραφή της μεταβολής μήκους γίνεται στο εργαστήριο με ειδικά όργανα, γνωστά ως μηκυνσιόμετρα, Σχ..β). Το ίδιο πείραμα θα μπορούσε να γίνει κρατώντας με το ένα χέρι ένα λαστιχάκι από το ένα άκρο και τραβώντας από το άλλο, οπότε θα παρατηρήσουμε αύξηση του μήκους. Η μήκυνση (ή βράχυνση) του δοκιμίου δε δίνει από μόνη της την αίσθηση του πόσο καταπονείται το υλικό του δοκιμίου, εκτός και αν συγκριθεί με το αρχικό μήκος. Γιαυτό και θεωρούμε το λόγο της μεταβολής του μήκους, L Lo, προς το αρχικό μήκος L o, τον οποίο ορίζουμε ως ορθή παραμόρφωση ε του υλικού: L L = o Lo ΔL = Lo ε (.) Για δύναμη P εφελκυστική, η ορθή παραμόρφωση είναι θετική (μήκυνση δοκιμίου) και ονομάζεται εφελκυστική παραμόρφωση, ενώ για P θλιπτική η ορθή παραμόρφωση είναι αρνητική (βράχυνση δοκιμίου) και ονομάζεται θλιπτική παραμόρφωση. Ας παρατηρήσουμε ότι η παραμόρφωση είναι αδιάστατος αριθμός, που μπορεί να εκφράζεται ως δεκαδικός ή επί τοις ο /ο ή ακόμα και επί τοις ο /οο (π.χ. 0.00

2 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 4 ή 0. ο /ο ή ο /οο). Γενικά οι παραμορφώσεις στα υλικά κατασκευών υπό φόρτιση είναι πολύ μικρές, π.χ. 0. ο /ο, πλην ακραίων περιπτώσεων (π.χ. κατά τη διάρκεια ενός ισχυρού σεισμού) οπότε μπορούν να φθάσουν αρκετά μεγαλύτερες τιμές. Μήκος μέτρησης (α) (β) Σχ.. (α) Σχηματική διάταξη δοκιμίου σε μηχανή εφαρμογής εφελκυστικής δύναμης και (β) μηκυνσιόμετρο για μέτρηση μεταβολής μήκους σε τμήμα με γνωστό αρχικό μήκος. Λεπτό σύρμα Υλικό υπό φόρτιση Καλώδια σύνδεσης Υλικό συγκόλλησης Βάση από χαρτί Σχ.. Σχηματική διάταξη ηλεκτρικού μηκυνσιόμετρου. Ένας συνήθης τρόπος μέτρησης παραμορφώσεων βασίζεται στη χρήση των λεγόμενων ηλεκτρομηκυνσιομέτρων (electrical strain gauges). Το ηλεκτρομηκυνσιόμετρο αποτελείται από ένα λεπτότατο σύρμα (Σχ..), το οποίο επικολλάται (με ειδική κόλλα) στην περιοχή του υλικού όπου θέλουμε να μετρήσουμε την

3 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 5 παραμόρφωση. Κατά τη φόρτιση του υλικού το σύρμα επιμηκύνεται ή βραχύνεται, με αποτέλεσμα να μεταβάλλεται η ηλεκτρική του αντίσταση. Αν η μεταβολή αυτή βαθμονομηθεί, δηλαδή αν μετρηθεί η μεταβολή της αντίστασης για γνωστή μεταβολή μήκους, το μηκυνσιόμετρο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απευθείας μέτρηση παραμορφώσεων.. Σχέσεις τάσης παραμόρφωσης και νόμος του Hooke Όπως προαναφέρθηκε, η παραμόρφωση σε ένα αξονικά φορτιζόμενο στοιχείο δίνει ένα μέτρο της καταπόνησης που υφίσταται το υλικό του στοιχείου όταν ασκείται δύναμη P. Επίσης, αυτό που ενδιαφέρει για την καταπόνηση του υλικού δεν είναι το μέγεθος της δύναμης αλλά η τάση που αυτή προκαλεί, δηλαδή η δύναμη προς το εμβαδόν της επιφάνειας. Έτσι καταλήγουμε σε δύο μεγέθη, στην τάση σ και στην αντίστοιχη παραμόρφωση ε, τα οποία δίνουν την εικόνα καταπόνησης του υλικού. Αν η δύναμη P μεταβάλλεται (το ίδιο κάνει και η τάση) τότε μεταβάλλεται και η μήκυνση (ή βράχυνση) του δομικού στοιχείου, άρα και η παραμόρφωση. Συνεπώς η τάση και η παραμόρφωση σχετίζονται, με τρόπο που καθορίζει το ίδιο το υλικό. Για παράδειγμα, αν αντί για το λαστιχάκι που προαναφέρθηκε χρησιμοποιήσουμε ένα σύρμα ίσου μήκους και ίσης διατομής, για δεδομένη δύναμη, δηλαδή για ίδια τάση και στα δύο υλικά, θα προκληθεί διαφορετική μήκυνση, άρα και διαφορετική παραμόρφωση. Η σχέση (ορθής) τάσης παραμόρφωσης για κάθε υλικό προσδιορίζεται πειραματικά, εφαρμόζοντας γνωστή δύναμη (και υπολογίζοντας την αντίστοιχη τάση) και μετρώντας την αντίστοιχη μήκυνση (και υπολογίζοντας την παραμόρφωση). Το πείραμα αυτό μπορεί να γίνει (ως συνήθως) και αντίστροφα, δηλαδή εφαρμόζοντας δεδομένη μήκυνση (π.χ. τεντώνοντας το λαστιχάκι κατά 5 mm) και μετρώντας, με κάποιο ειδικό όργανο (αισθητήρας φορτίου ή δυναμοκυψέλη) την δύναμη που χρειάζεται για τη συγκεκριμένη μήκυνση. Αν δε η διαδικασία αυτή γίνει για σταδιακά αυξανόμενη δύναμη (ή μήκυνση) μπορούμε να έχουμε μία πλήρη καταγραφή της σχέσης σ ε, που σε μορφή γραφήματος ονομάζεται καμπύλη τάσης παραμόρφωσης. Ενδεικτικές καμπύλες σ ε για διάφορα υλικά δίνονται στα Σχ Το τελευταίο σημείο της καμπύλης σ ε για κάθε δοκίμιο του υλικού υπό φόρτιση αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή της θραύσης, δηλαδή του πλήρους διαχωρισμού του δοκιμίου σε δύο τεμάχια. Οι επιφάνειες θραύσης (εκεί όπου διαχωρίζεται το δοκίμιο) έχουν μορφή που εξαρτάται από τον τύπο του υλικού. Για παράδειγμα, σε δοκίμια κοινού χάλυβα ή αλουμινίου η θραύση γίνεται (σε μεγάλες παραμορφώσεις) αφού προηγηθεί διατμητική ολίσθηση του υλικού σε επίπεδα που σχηματίζουν περίπου 45 ο με τον άξονα των δοκιμίων, με αποτέλεσμα οι δύο επιφάνειες θραύσης να έχουν μορφή προεξέχοντος

4 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 6 και εισέχοντος κώνου (Σχ..5). Σε δοκίμια άλλων υλικών (π.χ. σκυρόδεμα, κεραμικά, χυτοσίδηρος) η επιφάνεια θραύσης είναι περίπου επίπεδη και κάθετη στον άξονα του δοκιμίου. Σχ.. Καμπύλες τάσης παραμόρφωσης για διάφορους χάλυβες σε εφελκυσμό. 00 Χάλυβας Τάση, σ (MPa) Ξύλο -0.0 Σκυρόδεμα 0.0 Παραμόρφωση, ε Σχ..4 Καμπύλες τάσης παραμόρφωσης για χάλυβα και ξύλο σε εφελκυσμό, για σκυρόδεμα σε θλίψη.

5 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 7 Σχ..5 Επιφάνειες αστοχίας σε δοκίμιο χάλυβα. Εκτός από τη μορφή θραύσης του δοκιμίου, ο τύπος υλικού καθορίζει και την εν γένει μορφή της καμπύλης σ ε. Υλικά για τα οποία η καμπύλη σ ε χαρακτηρίζεται από περιοχή όπου οι παραμορφώσεις αυξάνονται σημαντικά χωρίς ιδιαίτερη αύξηση της τάσης (π.χ. Σχ..6α και μεσαία καμπύλη στο Σχ..6β) ονομάζονται όλκιμα ή πλάστιμα. Τέτοια υλικά είναι ο χάλυβας (σε εφελκυσμό ή θλίψη) και το ξύλο σε θλίψη. Αντίθετα, υλικά για τα οποία η καμπύλη σ ε αυξάνεται σχετικά απότομα χωρίς να οριζοντιώνεται ιδιαίτερα (πάνω καμπύλη στο Σχ..6β) ονομάζονται ψαθυρά. Τέτοια υλικά είναι το ξύλο σε εφελκυσμό, το σκυρόδεμα (σε θλίψη και εφελκυσμό), τα κεραμικά και το γυαλί. σ (MPa) Πραγματικό διάγραμμα σ-ε σ 400 a Α b Συμβατικό διάγραμμα σ-ε Β Α Ψαθυρό υλικό Πλάστιμο (όλκιμο) υλικό Περίπου 0.00 (α) ε 0 Α Α Ορισμένα οργανικά υλικά (β) ε Σχ..6 Καμπύλες τάσης παραμόρφωσης (α) για χάλυβα, (β) για διάφορα υλικά. Οι τάσεις που υπολογίζονται διαιρώντας τη δύναμη με το εμβαδόν της επιφάνειας του δοκιμίου πριν από την εφαρμογή του φορτίου, δηλαδή της αρχικής επιφάνειας, ονομάζονται συμβατικές τάσεις, και είναι αυτές που χρησιμοποιούνται συνήθως στη

6 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 8 μηχανική των υλικών. Κατά τη διάρκεια όμως της φόρτισης, το δοκίμιο παραμορφώνεται όχι μόνο αξονικά αλλά και στην εγκάρσια διεύθυνση (κάθετα στον άξονά του). Κατά κανόνα, δοκίμια σε εφελκυσμό υφίστανται εγκάρσια βράχυνση ( στενεύουν όλο και περισσότερο όσο φορτίζονται), ενώ σε θλίψη υφίστανται εγκάρσια διόγκωση ( παχαίνουν ενώ φορτίζονται), με αποτέλεσμα τη μεταβολή της πραγματικής επιφάνειας της διατομής των δοκιμίων με το φορτίο (μειώνεται για εφελκυσμό και αυξάνεται για θλίψη). Μάλιστα για ορισμένα όλκιμα υλικά σε εφελκυσμό (π.χ. χάλυβας, αλουμίνιο), λίγο πριν από τη θραύση των δοκιμίων παρατηρείται μία στένωση ( λαιμός ) στην περιοχή όπου επίκειται ο σχηματισμός των επιφανειών θραύσης (Σχ..7). Αν η τάση υπολογίζεται για κάθε τιμή της δύναμης διαιρώντας με το εμβαδόν της αντίστοιχης πραγματικής επιφάνειας, τότε ονομάζεται πραγματική τάση, και η αντίστοιχη καμπύλη σ ε ονομάζεται καμπύλη πραγματικής τάσης παραμόρφωσης. Συμβατικές και πραγματικές καμπύλες σ ε για χάλυβα σε εφελκυσμό δίνονται στο Σχ..6α, όπου φαίνεται ότι η διαφοροποίηση των καμπυλών αυτών είναι αισθητή μόνο σε μεγάλες παραμορφώσεις, γιαυτό και κατά κανόνα οι τάσεις που υπολογίζονται είναι (για λόγους ευκολίας) οι συμβατικές. Στένωση πριν τη θραύση Σχ..7 Σχηματισμός στένωσης σε δοκίμιο χάλυβα λίγο πριν τη θραύση σε εφελκυσμό. Αρχική διάμετρος δοκιμίου Για σχετικά μικρές παραμορφώσεις, δηλαδή κοντά στην αρχή των αξόνων σ ε, η καμπύλη τάσης παραμόρφωσης για τα περισσότερα υλικά είναι μία ευθεία γραμμή (για υλικά όπως τα μέταλλα, το ξύλο, τα κεραμικά αλλά και το σκυρόδεμα σε εφελκυσμό η καμπύλη είναι πραγματική ευθεία, ενώ για υλικά όπως το σκυρόδεμα σε θλίψη είναι ευθεία κατά καλή προσέγγιση). ηλαδή η σχέση μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης είναι σχέση αναλογίας, που μαθηματικά εκφράζεται μέσω του γνωστού νόμου του Hooke : σ = Eε (.) O Robert Hooke ήταν Άγγλος επιστήμονας που μελετώντας τη συμπεριφορά ελατηρίων ανέφερε για πρώτη φορά το 676 ότι η δύναμη αυξάνεται ανάλογα της μήκυνσης.

7 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 9 Η σταθερά αναλογίας E ονομάζεται μέτρο ελαστικότητας ή μέτρο του Young και αποτελεί χαρακτηριστική ιδιότητα για κάθε υλικό. Γραφικά, το μέτρο ελαστικότητας είναι η κλίση της καμπύλης σ ε στο αρχικό ευθύγραμμο τμήμα της. Ως φυσική σημασία για το μέτρο ελαστικότητας μπορούμε να αναφέρουμε ότι αποτελεί ένα μέτρο της δυσκολίας (ή της ευκολίας ) με την οποία κάθε υλικό παραμορφώνεται (σε εφελκυσμό ή θλίψη) όταν φορτίζεται. Το E έχει μονάδες τάσης και γενικά λαμβάνει μεγάλες τιμές, δεδομένου ότι το ε είναι μικρό. Ενδεικτικές τιμές μέτρων ελαστικότητας είναι 00 GPa για το χάλυβα, 0 GPa για το σκυρόδεμα και 0 GPa για το ξύλο. Για τα περισσότερα υλικά (π.χ. χάλυβας, σκυρόδεμα, κεραμικά, πολυμερή) το μέτρο ελαστικότητας αλλά και γενικότερα η συμπεριφορά υπό φόρτιση είναι ανεξάρτητα της διεύθυνσης φόρτισης. Τα υλικά αυτά ονομάζονται ισότροπα. Άλλα υλικά, όπως π.χ. το ξύλο ή τα ινοπλισμένα πολυμερή, έχουν διαφορετικό μέτρο ελαστικότητας (και άλλες ιδιότητες) ανάλογα με τη διεύθυνση φόρτισης και ονομάζονται ανισότροπα. Τα ανισότροπα υλικά χαρακτηρίζονται από αρκετά μέτρα ελαστικότητας, αναλόγως της διεύθυνσης φόρτισης (π.χ. το μέτρο ελαστικότητας του ξύλου για φόρτιση παράλληλα στον άξονα του κορμού του δένδρου είναι γύρω στα 0 GPa, ενώ για φόρτιση στην εγκάρσια διεύθυνση, δηλαδή κάθετα στον άξονα του κορμού, μπορεί να είναι μία τάξη μεγέθους μικρότερο)..4 Παρατηρήσεις επί των σχέσεων τάσης παραμόρφωσης, άλλες εξιδανικεύσεις καταστατικών νόμων Όπως προαναφέρθηκε, ο νόμος του Hooke ισχύει για μικρές παραμορφώσεις. Το σημείο πάνω στην καμπύλη σ ε (Α στο Σχ..6β) πέρα από το οποίο παύει η ισχύς του νόμου του Hooke (δηλαδή η αναλογία τάσεων παραμορφώσεων) ονομάζεται όριο αναλογίας του υλικού (συχνά αναφέρεται και ως όριο ελαστικότητας). Το σημείο της καμπύλης σ ε που αντιστοιχεί στη μέγιστη τάση (Β στο Σχ..6β) ονομάζεται αντοχή του υλικού. Για ορισμένα υλικά, όπως ο δομικός χάλυβας, η καμπύλη σ ε περιλαμβάνει ένα οριζόντιο τμήμα, δηλαδή από κάποια τιμή της τάσης και μετά οι παραμορφώσεις αυξάνονται χωρίς περαιτέρω αύξηση της τάσης. Η τάση αυτή ονομάζεται τάση διαρροής ( f y ). Στο χάλυβα η τάση διαρροής είναι πολύ κοντά στο όριο αναλογίας, γιαυτό και πρακτικά θεωρούνται ότι συμπίπτουν. Άλλα υλικά, όπως οι χάλυβες υψηλής αντοχής ή το αλουμίνιο, δεν εμφανίζουν σαφώς καθορισμένη τάση διαρροής. Σε αυτά η τάση διαρροής ορίζεται συμβατικά (και ονομάζεται συμβατική τάση διαρροής) ως αυτή που ευρίσκεται από την τομή της καμπύλης σ ε και της ευθείας O Thomas Young ήταν Άγγλος επιστήμονας που για πρώτη φορά το 807 διετύπωσε γραπτώς τον ορισμό του μέτρου ελαστικότητας.

8 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 0 που είναι παράλληλη στον αρχικό ευθύγραμμο κλάδο της καμπύλης σ ε και διέρχεται από παραμόρφωση ίση με συγκεκριμένη τιμή, συνήθως 0.% ή 0.% (Σχ..8). Μάλιστα η παραμόρφωση αυτή ονομάζεται και παραμένουσα παραμόρφωση, διότι αν το υλικό αποφορτισθεί από την τάση διαρροής, η καμπύλη αποφόρτισης θα είναι μία ευθεία παράλληλη στον αρχικό ευθύγραμμο κλάδο και άρα θα τμήσει τον οριζόντιο άξονα (ε ) στη συγκεκριμένη τιμή παραμόρφωσης, η οποία θα υπάρχει απουσία τάσης. σ Τάση διαρροής C Σχ..8 Ορισμός συμβατικής τάσης διαρροής. 0.% παραμένουσα παραμόρφωση ε Υλικά για τα οποία ισχύει ο νόμος του Hooke ονομάζονται γραμμικά ελαστικά. Αυτά για τα οποία η καμπύλη σ ε είναι μη γραμμική αλλά αποφορτιζόμενα ανακτούν το αρχικό σχήμα τους ονομάζονται μη γραμμικά ελαστικά. Τυπικές καμπύλες για γραμμικά και μη γραμμικά ελαστικά υλικά δίνονται στο Σχ..9α,β. Αν σε ένα υλικό η τάση ξεπεράσει το όριο αναλογίας και ακολούθως γίνει αποφόρτιση, ενδέχεται η παραμόρφωση που αντιστοιχεί σε μηδενική τάση να είναι μη μηδενική (παραμένουσα), όπως δίνεται στο Σχ..9γ. Τέτοια υλικά ονομάζεται ανελαστικά (ή όλκιμα ή πλάστιμα). Σε παρακάτω ενότητα θα δούμε ότι το εμβαδόν που περιβάλλει η καμπύλη σ ε από τη φόρτιση μέχρι συγκεκριμένη τάση και ακολούθως μέχρι την αποφόρτιση αποτελεί ενέργεια που αναλίσκεται (καταστρέφεται), π.χ. μέσω θερμότητας. Προφανώς η ενέργεια αυτή στα ελαστικά υλικά είναι μηδέν. Συχνά, για λόγους εύκολου συμβολισμού, δομικά μέλη από ελαστικά υλικά υπό αξονική καταπόνηση συμβιλίζονται με τη μορφή ενός ελατηρίου (Σχ..0α), το οποίο μπορεί να είναι γραμμικό ή μη γραμμικό, δηλαδή να περιγράφεται από σχέσεις δύναμης μετακίνησης όπως αυτές του Σχ..0β.

9 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ σ Φόρτιση σ σ Αποφόρτιση Φόρτιση Αποφόρτιση Αναλισκόμενη ενέργεια Ε ε (α) (β) (γ) ε Παραμένουσα Ελαστική παραμόρφωση ανάκτηση ε Σχ..9 Καμπύλες τάσης παραμόρφωσης για (α) γραμμικά ελαστικά, (β) μη γραμμικά ελαστικά και (γ) ανελαστικά υλικά. P P Γραμμικό ελατήριο Μη γραμμικό ελατήριο (α) (β) P 0 Σχ..0 Συμβολισμός ελαστικού υλικού μέσω γραμμικού ή μη γραμμικού ελατηρίου. Η σχέση τάσης παραμόρφωσης για ένα υλικό ονομάζεται και καταστατικός νόμος. Τυπικές (απλοποιημένες) καμπύλες για διάφορους καταστατικούς νόμους δίνονται στο Σχ... Η καμπύλη του Σχ..α περιγράφει προσεγγιστικά τη συμπεριφορά υλικών στα οποία οι ελαστικές παραμορφώσεις (αυτές μέχρι τη διαρροή) είναι πολύ μικρές (αμελητέες) σε σχέση με τις συνολικές, ενώ η τάση είναι σταθερή και ίση με την τάση διαρροής. Τα υλικά αυτά ονομάζονται απόλυτα πλαστικά. Υλικά με διγραμμική καμπύλη τάσης παραμόρφωσης, στην οποία ο δεύτερος κλάδος (μετά τη διαρροή) είναι οριζόντιος, ονομάζονται ελαστοπλαστικά. Τέλος, υλικά με διγραμμική καμπύλη σ ε αλλά ανερχόμενο δεύτερο κλάδο, ο οποίος χαρακτηρίζει το φαινόμενο που ονομάζεται κράτυνση, ονομάζονται ελαστοπλαστικά υλικά με γραμμική κράτυνση.

10 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ σ σ σ Ε f y f y f y ε ε ε -f y -f y (α) (β) (γ) Σχ.. Εξιδανικευμένες καμπύλες τάσης παραμόρφωσης: (α) απόλυτα πλαστικό υλικό, (β) ελαστοπλαστικό υλικό, (γ) ελαστοπλαστικό υλικό με γραμμική κράτυνση. Οι καμπύλες σ ε του Σχ.. αποτελούν εξιδανικεύσεις της πραγματικής συμπεριφοράς, που μπορεί να είναι διαφορετική. Γενικά η πραγματική συμπεριφορά προσδιορίζεται πειραματικά και ακολούθως επιδιώκεται η προσαρμογή καμπύλης στα πειραματικά αποτελέσματα, μέσω της εξεύρεσης του κατάλληλου καταστατικού νόμου. Παράδειγμα τέτοιου νόμου αποτελεί η παρακάτω σχέση των Ramberg και Osgood, η οποία έχει το πλεονέκτημα ότι αποτελεί συνεχή συνάρτηση και άρα περιγράφει τη σχέση σ ε με μαθηματική ευκολία: ε ε o = n σ σ + σ o 7 σ o (.) όπου ε o, σ o και n είναι σταθερές που χαρακτηρίζουν ένα συγκεκριμένο υλικό και θα πρέπει να προσδιορίζονται πειραματικά. Συνήθως βολεύει περισσότερο η αντιστροφή του τρόπου παρουσίασης της εξ. (.), ώστε να εκφράζεται η τάση συναρτήσει της παραμόρφωσης. Για περιπτώσεις καταπόνησης ενός υλικού σε ανακυκλιζόμενη φόρτιση (π.χ. κατά τη διάρκεια ενός σεισμού), οπότε οι τάσεις αλλάζουν πρόσημο (το υλικό άλλοτε είναι σε εφελκυσμό και άλλοτε σε θλίψη), η καμπύλη σ ε γίνεται πιο περίπλοκη. Τυπική μορφή τέτοιας καμπύλης για το χάλυβα δίνεται στο Σχ... W. Ramberg and W. R. Osgood (94), Description of Stress-Strain Curves by Three Parameters, National Advisory Committee on Aeronautics, TN 90.

11 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 70 σ (MPa) ε -700 Σχ.. Σχέση τάσης παραμόρφωσης για χάλυβα σε ανακυκλιζόμενη φόρτιση. Στην προηγηθείσα παρουσίαση, αλλά και στο υπόλοιπο του συγγράμματος, θεωρείται ότι η παράμετρος χρόνος δεν έχει επίδραση στις σχέσεις σ ε, κάτι που δεν ισχύει για ορισμένα υλικά υπό μόνιμη φόρτιση. Το σκυρόδεμα και το ξύλο, για παράδειγμα, υπό σταθερή θλιπτική τάση, χαρακτηρίζονται από το φαινόμενο που ονομάζεται ερπυσμός, σύμφωνα με το οποίο η παραμόρφωση αυξάνεται με το χρόνο (Σχ..α). Αντίθετο με το φαινόμενο του ερπυσμού είναι η χαλάρωση, δηλαδή η σταδιακή πτώση της τάσης σε ένα υλικό υπό σταθερή παραμόρφωση (Σχ..β). ε σ σ ο Σταθερή παραμόρφωση, ε ο ε ο Σταθερή τάση, σ ο 0 Χρόνος 0 Χρόνος (α) (β) Σχ.. (α) Αύξηση παραμόρφωσης με το χρόνο, λόγω ερπυσμού. (β) Μείωση τάσης με το χρόνο, λόγω χαλάρωσης..5 Παραμόρφωση ράβδων σε αξονική καταπόνηση Σε αρκετά προβλήματα αξονικής καταπόνησης δομικών στοιχείων το ζητούμενο είναι η εύρεση της συνολικής μήκυνσης ή βράχυνσης ενός στοιχείου για γνωστή αξονική δύναμη. Για την κατανόηση της πορείας επίλυσης τέτοιων προβλημάτων, ας

12 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 4 θεωρήσουμε τη ράβδο μεταβλητής διατομής του Σχ..4α, φορτιζόμενη με δυνάμεις P, P, P και P 4. Για τη ράβδο αυτή ζητάμε τον υπολογισμό της μεταβολής του μήκους μεταξύ των σημείων B και D. (α) (β) Σχ..4 Αξονική καταπόνηση ράβδου. Η εξ. (.) για κάθε στοιχειώδες (απειροστού μήκους) τμήμα της ράβδου, αρχικού μήκους dx, γράφεται: ε du x = dx (.4) όπου ε x η ορθή παραμόρφωση στη διεύθυνση x και du η (πολύ μικρή, απειροστή) μεταβολή μήκους του τμήματος dx. Η απόλυτη τιμή της μετακίνησης κάθε σημείου της ράβδου συμβολίζεται με u. Γράφοντας την εξ. (.4) ως du = ε xdx και θεωρώντας την αρχή του άξονα x στο σημείο Β, υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα L L du = u( L) u(0) = ε xdx (.5) 0 όπου u ( L) = ud και u ( 0) = ub είναι οι απόλυτες μετακινήσεις των σημείων D και B, αντίστοιχα. Η διαφορά μεταξύ αυτών των μετακινήσεων δίνει τη μεταβολή μήκους Δ μεταξύ των σημείων D και B, δηλαδή Για γραμμικά ελαστικά υλικά ε = σ E, οπότε x x / 0 L Δ = ε x dx (.6) 0

13 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 5 Δ = L 0 Ndx AE (.7) Στην παραπάνω σχέση N είναι η αξονική δύναμη στη διεύθυνση x, A το εμβαδόν της επιφάνειας κάθετα στον άξονα x και E το μέτρο ελαστικότητας του υλικού στη διεύθυνση x. Σημειωτέον ότι, γενικά, οι ποσότητες N, A και E μπορεί να είναι συναρτήσεις του x (μεταβλητή αξονική δύναμη, μεταβλητή διατομή και αλλαγή υλικού κατά μήκος της ράβδου). Στο σημείο αυτό πρέπει να τονισθεί ότι στην πλειονότητα των προβλημάτων μηχανικής των υλικών κάνουμε χρήση τριών θεμελιωδών αρχών. Πρώτη είναι η ισορροπία δυνάμεων, η οποία επιτρέπει τον προσδιορισμό των εσωτερικών δυνάμεων (αξονική δύναμη στο παραπάνω πρόβλημα) σε κάθε διατομή. εύτερη είναι η γεωμετρία του φορέα στην παραμορφωμένη κατάσταση. Βάσει αυτής, στο πρόβλημα της ράβδου υπολογίσθηκε η μεταβολή μήκους, υποθέτοντας ότι οι διατομές παραμένουν πάντα κάθετες στον άξονα x. Τρίτη θεμελιώδης θεώρηση είναι οι καταστατικοί νόμοι των υλικών, βάσει των οποίων σχετίζονται τάσεις με παραμορφώσεις, ώστε να γίνει δυνατός ο προσδιορισμός της μεταβολής μήκους μεταξύ διατομών. Η παραπάνω διαδικασία οδηγεί στον προσδιορισμό της μέσης τάσης (βλ. Ενότητα.5) σε κάθε διατομή. Σε ορισμένες όμως περιοχές της ράβδου, π.χ. στις διατομές όπου οι δυνάμεις ασκούνται σημειακά ή όπου η διατομή αλλάζει απότομα, οι τάσεις που αναπτύσσονται έχουν ανομοιόμορφη κατανομή. Πάντως, σε απόσταση περίπου ίση με το ύψος της διατομής από τις περιοχές αυτές οι τάσεις ομαλοποιούνται, και έτσι υπολογίζονται επακριβώς βάσει των παραπάνω θεωρήσεων. Περισσότερα σχετικά με το θέμα αυτό θα δοθούν στην Ενότητα.8. Παράδειγμα. Θεωρήστε τη ράβδο BC του Σχ..5α πακτωμένη στο αριστερό άκρο, με σταθερή διατομή A και μήκος L. Το υλικό της ράβδου έχει μέτρο ελαστικότητας E. Αν υποθέσουμε ότι στο ελεύθερο άκρο ασκείται δύναμη P, να υπολογιστεί η μετακίνηση της ακραίας διατομής. Η παραμορφωμένη ράβδος δίνεται στο Σχ..5β (και στο Σχ..5ε, υπό μορφή ελατηρίου). Κάνοντας μία υποθετική τομή a-a και μελετώντας το διάγραμμα ελευθέρου σώματος στο αριστερό τμήμα της ράβδου (Σχ..5γ) βρίσκουμε την αξονική δύναμη ίση με P, σταθερή σε όλο το μήκος της ράβδου (Σχ..5στ). Από την εξ. (.7) έχουμε

14 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 6 B Ndx P L P L Δ = = dx = x AE AE 0 AE 0 A = PL AE και άρα PL Δ = (.8) AE Η ορθή παραμόρφωση σε κάθε διατομή της ράβδου δίνεται στο Σχ..5ζ ενώ η μετακίνηση κάθε διατομής παριστάνεται γραφικά στο Σχ..5η (το αριστερό άκρο είναι ακλόνητο, άρα έχει μηδενική μετακίνηση, ενώ η μετακίνηση αυξάνεται γραμμικά μέχρι την τιμή Δ στο ελεύθερο άκρο). ύναμη (α) (στ) (β) Αξονική δύναμη (γ) Ν = P (ζ) Παραμόρφωση (δ) Αξονική παραμόρφωση (ε) (η) Μετακίνηση Αξονική μετακίνηση Σχ..5 Αξονική φόρτιση προβόλου με συγκεντρωμένο φορτίο στο ελεύθερο άκρο. Η εξ. (.8) μπορεί να ξαναγραφεί στη μορφή P = ( AE / L) Δ ή P = kδ, όπου AE k = (.9) L Προσομοιώνοντας δηλαδή τη ράβδο ως ένα γραμμικό ελατήριο, η εξ. (.9) δίνει τη σταθερά του ελατηρίου. Η ποσότητα k αποτελεί χαρακτηριστική ιδιότητα για κάθε ράβδο, που καθορίζει τη δύναμη που απαιτείται για να προκληθεί μοναδιαία μετακίνηση, και ονομάζεται δυστένεια του μέλους. Το αντίστροφό της, f = / k = L / AE = Δ / P, ονομάζεται ευτένεια.

15 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 7 Παράδειγμα. Για την ελαστική ράβδο μεταβλητής διατομής του Σχ..6α ζητείται ο προσδιορισμός της σχετικής μετακίνησης του σημείου D ως προς το σημείο Ο. Οι δυνάμεις που ασκούνται είναι P = 00 kn και P = 00 kn προς τα αριστερά, P = 50 kn και P 4 = 50 kn προς τα δεξιά. Τα εμβαδά των διατομών στα τμήματα OB, BC και CD είναι 000, 000 και 000 mm, αντίστοιχα. Το μέτρο ελαστικότητας του υλικού είναι E = 00 GPa. (α) (β) (γ) (δ) (ε) Αξονική δύναμη (στ) Αξονική παραμόρφωση (η) Σχετική αξονική μετακίνηση Σχ..6 Αξονική φόρτιση ράβδου μεταβλητής διατομής. Κατ αρχήν εύκολα διαπιστώνεται ότι οι δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο είναι σε ισορροπία. Με την μέθοδο των τομών στις θέσεις a-a, b-b και c-c και βάσει ισορροπίας ελευθέρου σώματος (Σχ..6β-δ) προσδιορίζεται το διάγραμμα αξονικών δυνάμεων του Σχ..6ε, μέσω του οποίου παρατηρούμε ότι η αξονική δύναμη σε κάθε τμήμα είναι

16 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 8 σταθερή. Έτσι για τον επίλυση του προβλήματος αρκεί να προσθέσουμε αλγεβρικά τις επιμέρους παραμορφώσεις των τριών τμημάτων, οπότε η συνολική μήκυνση της ράβδου είναι Δ = i Ni Li Ai E P = OBLOB AOBE P + BCLBC ABCE P + CDLCD ACDE = = = mm Η επίλυση για τις ορθές παραμορφώσεις κατά μήκος της ράβδου και τη σχετική μετακίνηση διατομών δίνεται γραφικά στα Σχ..6στ-η. Παράδειγμα. Για την ελαστική ράβδο του Σχ..7α ζητείται η κατακόρυφη μετακίνηση του ελευθέρου άκρου Β λόγω του ιδίου βάρους της ράβδου w (ανά μονάδα μήκους). Η διατομή της ράβδου είναι A (σταθερή) και το μέτρο ελαστικότητας του υλικού E. (x) N = w (L x) N = w (L x) (α) (β) (γ) (δ) Σχ..7 Αξονική φόρτιση κατακόρυφης ράβδου λόγω ιδίου βάρους. Από το διάγραμμα ελευθέρου σώματος του Σχ..7β η αξονική δύναμη κατά μήκος της ράβδου είναι N = w( L x), Σχ..7γ. Εφαρμογή της εξ. (.7) για τον υπολογισμό της κατακόρυφης μετακίνησης τυχαίας διατομής σε απόσταση x δίνει: x Ndx x w Δ = = = x ( x) w( L x) dx Lx 0 AE AE 0 AE

17 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 9 H Δ (x) (Σχ..7δ) γίνεται μέγιστη για x = L, Δ = Δ( L) = w AE L L wl = AE = WL AE όπου W = wl το συνολικό βάρος της ράβδου. Αν, εκτός από το ίδιο βάρος, στη ράβδο εφαρμόζεται και συγκεντρωμένη δύναμη P στο ελεύθερο άκρο (προς τα κάτω), η συνολική κατακόρυφη μετακίνηση του σημείου Β υπολογίζεται αθροίζοντας τα αποτελέσματα για τις δύο περιπτώσεις φόρτισης. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται αρχή της επαλληλίας. WL Δ = + AE Αν η ράβδος είναι μεταβλητής διατομής (Σχ..8), η επιφάνεια A στις παραπάνω σχέσεις είναι συνάρτηση του x. Εναλλακτικά, η ράβδος θα μπορούσε να διαιρεθεί σε μία σειρά μικρών ( πεπερασμένων ) στοιχείων σταθερής διατομής, όπως δείχνουν οι διακεκομμένες γραμμές του Σχ..8, οπότε η συνολική κατακόρυφη μετακίνηση του ελεύθερου άκρου θα μπορούσε να υπολογιστεί από το άθροισμα των μηκύνσεων κάθε στοιχείου. Σημειώνεται ότι η μέθοδος αυτή (μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων) είναι εκ φύσεως προσεγγιστική λόγω της απότομης μεταβολής των διατομών. Προσφέρεται όμως για την ανάλυση δομικών στοιχείων με υπολογιστικές μεθόδους. PL AE Σχ..8 Προσέγγιση της πραγματικής γεωμετρίας με πεπερασμένα στοιχεία. P Παράδειγμα.4 Για το σύστημα των δύο ελαστικών ράβδων του Σχ..9α να υπολογιστεί η κατακόρυφη μετακίνηση του σημείου Β λόγω της δύναμης P. Η διατομή των ράβδων είναι ορθογωνική, διαστάσεων 6x mm για τη ράβδο ΑΒ και 7x0 mm για τη ράβδο BC. Tο μέτρο ελαστικότητας του υλικού είναι 00 GPa.

18 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ kn P = 6 kn 0.75 m Ακτ. ΑΒ.5 m Ακτ. CΒ 5.66 kn.5 m Θέση μετά την παραμόρφωση (α) (β) (γ) Σχ..9 Υπολογισμός μετακίνησης σε σύστημα ράβδων. Αρχικά υπολογίζονται από ισορροπία οι αντιδράσεις (δίνονται στο Σχ..9α), βάσει αυτών οι αξονικές δυνάμεις στις ράβδους και από αυτές οι ορθές τάσεις. To εμβαδόν διατομής των ράβδων είναι A AB = 6x = 78 mm, A BC = 7x0 = 40 mm και άρα οι τάσεις είναι σ AB = / 78 = 57.8 MPa, σ BC = / 40 = 40.4 MPa. To αρχικό μήκος των ράβδων είναι L AB =.68 m, L BC =. m. H μεταβολή μήκους κάθε ράβδου είναι Δ AB = = 0.48 mm (μήκυνση) Δ BC = = 0.4 mm (βράχυνση) Ακολούθως προσδιορίζεται γραφικά η τελική θέση του σημείου Β, όπως δείχνει το Σχ..9β, στο οποίο ΒΒ είναι η μήκυνση της ράβδου AB και ΒΒ είναι η βράχυνση της ράβδου BC. Ο προσδιορισμός γίνεται γράφοντας δύο τόξα κύκλων, το ένα με κέντρο το σημείο Α και ακτίνα ΑΒ (ίση με το τελικό μήκος της ράβδου ΑΒ) και το άλλο με κέντρο το σημείο C και ακτίνα CB (ίση με το τελικό μήκος της ράβδου BC). Η τομή των τόξων αυτών ορίζει την τελική θέση Β του σημείου Β. Επειδή όμως η μετακίνηση του Β είναι πάρα πολύ μικρή, κάτι που αποτελεί τον κανόνα στην κλασσική μηχανική των υλικών, μικρά τμήματα τόξων σε κύκλους μεγάλης ακτίνας μπορούν να αντικατασταθούν με ευθύγραμμα τμήματα κάθετα στις ακτίνες. Έτσι η τελική θέση του σημείου Β είναι

19 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 4 (κατά πολύ καλή προσέγγιση) το σημείο Β 4 του Σχ..9β, που σε μεγέθυνση δίνεται και στο Σχ..9γ. Συνεπώς μπορούμε να γράψουμε (Σχ..9γ) Δ BC = Δ cosθ και Δ AB = Δ cosθ Επίσης είναι θ = 80 ο -45 ο -6.6 ο -θ = 08.4 ο -θ, οπότε μπορούμε να επιλύσουμε για τις γωνίες θ και θ : cosθ cosθ Δ 0.4 = 0.48 = BC = Δ AB 0.896, cosθ =cos08.4 o cosθ +sin08.4 o sinθ Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις cosθ / cosθ = cos08.4 o +sin08.4 o tanθ = Έτσι προκύπτει tanθ =.8 και θ = 5.9 ο. Συνεπώς Δ = Δ AB / cosθ = 0.78 mm, υπό γωνία.47 ο με την κατακόρυφο, και τελικά η κατακόρυφη μετακίνηση του σημείου Β είναι Δ cos.47 o = 0.76 mm..6 Λόγος Poisson Όπως έχουμε εξηγήσει, η επιβολή αξονικού φορτίου στα υλικά έχει ως αποτέλεσμα την ανάπτυξη ορθών τάσεων και παραμορφώσεων στη διεύθυνση του φορτίου. Εκτός όμως από τη μήκυνση ή βράχυνση στη διεύθυνση των τάσεων (αξονικά), παρατηρείται και μία αντίστοιχη συστολή ή διόγκωση του υλικού στην εγκάρσια διεύθυνση (Σχ..0). Τελικό σχήμα Τελικό σχήμα Αρχικό σχήμα Αρχικό σχήμα (α) (β) Σχ..0 (α) Εγκάρσια συστολή και (β) εγκάρσια διόγκωση, για αξονική μήκυνση ή βράχυνση, αντίστοιχα. Αν η μεταβολή μήκους στην εγκάρσια διεύθυνση διαιρεθεί με το αρχικό μήκος υπολογίζεται η εγκάρσια παραμόρφωση, ε t, η οποία, όπως προκύπτει από μετρήσεις κατά τη διάρκεια πειραμάτων, έχει σταθερό λόγο ως προς την αξονική παραμόρφωση ε x. Ο λόγος αυτός, και μάλιστα με αντίθετο πρόσημο, ώστε να προκύψει θετικός (διότι

20 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 4 αξονική μήκυνση, δηλαδή θετική αξονική παραμόρφωση, συνοδεύεται από εγκάρσια βράχυνση, δηλαδή αρνητική εγκάρσια παραμόρφωση, και αντιστρόφως) ονομάζεται λόγος Poisson ν και αποτελεί, όπως και το μέτρο ελαστικότητας, χαρακτηριστική ιδιότητα για κάθε υλικό. ν ε = t (.0) ε x Για τα περισσότερα υλικά ο λόγος Poisson έχει μικρές τιμές, π.χ. γύρω στο 0. για το σκυρόδεμα και 0. για το χάλυβα. Σε εξαιρετικές περιπτώσεις μπορεί να φθάσει το 0.5 (π.χ. στο καουτσούκ), τιμή που αποτελεί τη μέγιστη δυνατή, δηλώνοντας παραμόρφωση του υλικού χωρίς μεταβολή όγκου. Εδώ πρέπει να επισημανθεί ότι η ανάπτυξη εγκάρσιας παραμόρφωσης δεν συνεπάγεται και αντίστοιχη τάση. Προϋπόθεση βεβαίως για να ισχύει αυτό είναι να γίνεται η εγκάρσια παραμόρφωση ανεμπόδιστα. Σε κάθε άλλη περίπτωση θα προκύψουν και εγκάρσιες τάσεις. Παράδειγμα.5 Θεωρούμε ελαστική ράβδο κυκλικής διατομής με διάμετρο 50 mm σε εφελκυστική καταπόνηση (Σχ..). Για τιμή της δύναμης P ίση με 00 kn η αξονική μήκυνση τμήματος της ράβδου μήκους 00 mm μετρήθηκε 0.9 mm, ενώ η διάμετρος της διατομής μειώθηκε κατά 0.05 mm. Να προσδιορισθεί για το υλικό της ράβδου το μέτρο ελαστικότητας και ο λόγος Poisson. Σχ.. Εφελκυσμός κυλινδρικής ράβδου. Δ 0.05 = t Δ 0.9 ε t = = ε x = = = D 50 L 00

21 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 4 ε Λόγος Poisson: ν = t = = 0. ε x Εμβαδόν διατομής της ράβδου: A = πd / 4 =960 mm Μέτρο ελαστικότητας: PL E = = = 70 0 N/mm = 70 GPa A Δ Θερμικές παραμορφώσεις Οι μεταβολές θερμοκρασίας στα υλικά προκαλούν θερμική παραμόρφωση σε κάθε διεύθυνση (Σχ..), ίση με ( T T ) = ΔT ε T = α o α (.) όπου T o και T η αρχική και τελική θερμοκρασία, αντίστοιχα, και α ο συντελεστής θερμικής διαστολής, που αποτελεί χαρακτηριστική ιδιότητα για κάθε υλικό. Ενδεικτικές τιμές του α για το χάλυβα και το σκυρόδεμα είναι x0-6 / o C. Γενικά η αύξηση της θερμοκρασίας στα υλικά προκαλεί διαστολή και η μείωση προκαλεί συστολή. Οι θερμικές παραμορφώσεις στα ισότροπα υλικά είναι ίσες προς κάθε διεύθυνση. Επίσης, οι θερμικές παραμορφώσεις γενικώς δε συνοδεύονται από τάσεις, αρκεί φυσικά να γίνονται ανεμπόδιστα. (α) (β) Σχ.. ιαστολή υλικού (εδραζόμενου σε επιφάνεια με αμελητέα τριβή) λόγω αύξησης της θερμοκρασίας. (γ) H μεταβολή μήκους μίας ράβδου λόγω μεταβολής της θερμοκρασίας κατά ισούται με Δ T

22 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 44 Δ T = ε = αδtl (.) T L όπου L το αρχικό μήκος της ράβδου. Παράδειγμα.6 Για την κατασκευή του Παραδείγματος.4 να υπολογιστεί η μετακίνηση του σημείου Β για αύξηση της θερμοκρασίας κατά 0 ο C. Το υλικό έχει α T = x0-6 / o C m Θέση μετά την παραμόρφωση.5 m.5 m (α) (β) Σχ.. (α) Εγκάρσια συστολή και (β) εγκάρσια διόγκωση, για αξονική μήκυνση ή βράχυνση, αντίστοιχα. Η πορεία επίλυσης είναι παρόμοια με αυτήν του Παραδείγματος.4. Οι μεταβολές μήκους των ράβδων είναι 6 ΔAB = = 0.40 mm (μήκυνση) 6 ΔBC = = 0.5 mm (μήκυνση) Η τελική θέση του σημείου Β είναι το σημείο Β 4, το οποίο προσδιορίζεται γραφικά ή βάσει τριγωνομετρικών σχέσεων (Σχ..β): ΔT cosθ = Δ AB και ΔT cosθ = ΔBC cosθ cosθ Δ 0.40 = 0.5 = AB = ΔBC 0.784

23 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 45 θ = 45 ο ο -θ = 7.6 ο -θ, οπότε cosθ = cos7.6 o cosθ + sin7.6 o sinθ Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις γράφουμε cosθ / cosθ = cos7.6 o + sin7.6 o tanθ = Έτσι προκύπτει tanθ = και θ = 6. ο. Συνεπώς Δ T = Δ BC / cosθ= 0.57 mm, υπό γωνία 45 ο - θ = 8.7 ο με την οριζόντια..8 Αρχή Saint Venant και συγκεντρώσεις τάσεων Ο υπολογισμός τάσεων και παραμορφώσεων που περιγράφηκε σε προηγούμενες ενότητες για αξονικά φορτιζόμενα στοιχεία είναι απoλύτως ακριβής μόνο όταν τα στοιχεία είναι πρισματικά και οι δυνάμεις στα άκρα τους είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες. Στις περιπτώσεις αυτές οι τάσεις και οι παραμορφώσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες παντού, σε οποιαδήποτε περιοχή των στοιχείων. Αν όμως, για παράδειγμα, οι δυνάμεις ασκούνται σημειακά, δηλαδή σε μία πολύ μικρή επιφάνεια στο εξωτερικό ενός στοιχείου, όπως δείχνει π.χ. το Σχ..4, οι ορθές τάσεις σε διατομές κοντά στη θέση εφαρμογής της δύναμης έχουν ανομοιόμορφη κατανομή, γιαυτό και οι παραπάνω υπολογισμοί δίνουν με ακρίβεια τη μέση τάση, σ av, όχι όμως και τη μέγιστη, που μπορεί να είναι αρκετές φορές μεγαλύτερη. Πάντως αυτή η ανομοιομορφία των τάσεων (και των αντίστοιχων παραμορφώσεων) υφίσταται μόνο σε περιοχές κοντά στο σημείο εφαρμογής της δύναμης. Σε διατομές που απέχουν απόσταση μεγαλύτερη από το πλάτος (κατά προσέγγιση) της φορτιζόμενης διατομής η κατανομή των τάσεων ομαλοποιείται και η προαναφερθείσα ανάλυση ισχύει με ακρίβεια. Η παρατήρηση αυτή αποτελεί την αρχή του Saint Venant 4. (α) (β) (γ) (δ) Σχ..4 Κατανομή θλιπτικών τάσεων σε διατομές θλιβομένου στοιχείου κοντά στο σημείο εφαρμογής της δύναμης. Άλλη αιτία ανομοιομορφίας των τάσεων αποτελεί η ύπαρξη οπών ή η αλλαγή διατομής, π.χ. λόγω στένωσης (Σχ..5). Σε τέτοιες περιπτώσεις η κατανομή των 4 H αρχή αυτή διατυπώθηκε για πρώτη φορά από το Γάλλο επιστήμονα Saint Venant το 855.

24 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 46 τάσεων εξαρτάται γενικά από τη γεωμετρία των οπών ή της στένωσης σε σχέση με την αρχική διατομή, ενώ ιδιαίτερα πρακτικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η μέγιστη τάση, ή καλύτερα, το κατά πόσον αυξάνεται η μέση τάση στη θέση της οπής ή της στένωσης. Ο λόγος των δύο, δηλαδή της μέγιστης τάσης προς τη μέση ονομάζεται συντελεστής συγκέντρωσης τάσεων K. P σ max = Kσ av = K (.) A Η μεταβολή του συντελεστή συγκέντρωσης τάσεων συναρτήσει της γεωμετρίας στην περιοχή οπής ή στένωσης δίνεται στο Σχ..5 (ο συντελεστής αυτός ορίζεται στο Σχ..6). Περισσότερες λεπτομέρειες πάντως σχετικά με τις μεθόδους υπολογισμού των τάσεων σε περιοχές όπου εμφανίζονται συγκεντρώσεις τάσεων, δηλαδή κοντά σε οπές ή στενώσεις, ξεφεύγουν από το σκοπό του παρόντος συγγράμματος. Οπή Στένωση Οπή Στένωση Σχ..5 Συντελεστής συγκέντρωσης τάσεων για εφελκυόμενα επίπεδα ελάσματα με οπή ή στένωση. Σε δομικά στοιχεία που καταπονούνται μέχρι την θραύση, οι συγκεντρώσεις τάσεων (δηλαδή η τοπική επαύξηση των τάσεων) που υπολογίζονται υποθέτοντας ελαστική συμπεριφορά σε περιοχές π.χ. με οπές δεν έχουν ιδιαίτερη πρακτική σημασία αν το υλικό είναι πλάστιμο. Αυτό καταδεικνύεται στο Σχ..7, το οποίο δίνει την κατανομή των εφελκυστικών τάσεων στην περιοχή της οπής για διάφορες τιμές της αξονικής δύναμης. Για υλικά ελαστοπλαστικά, αύξηση της αξονικής δύναμης οδηγεί σε αύξηση των τάσεων, έως ότου αυτές φθάσουν την τάση διαρροής, την οποία φυσικά δεν δύνανται να υπερβούν. Έτσι, κατά την αστοχία του στοιχείου οι τάσεις στη διατομή της οπής είναι παντού ίσες με την τάση διαρροής. Συνεπώς η μέγιστη αξονική δύναμη που μπορεί να

25 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 47 παραλάβει ένα τέτοιο στοιχείο (με οπή) μπορεί να υπολογιστεί πολλαπλασιάζοντας την τάση διαρροής επί το εμβαδόν της διατομής όπου αυτό ελαχιστοποιείται. Φυσικά τα προαναφερθέντα δεν ισχύουν για την περίπτωση άλλων υλικών, με ψαθυρή συμπεριφορά. (α) (β) Σχ..6 Συντελεστής συγκέντρωσης τάσεων (α) σε οπή, (β) σε στένωση. f y Σχ..7 Κατανομή εφελκυστικών τάσεων στη διατομή οπής για σταδιακά αυξανόμενη εφελκυστική δύναμη P..9 Ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης και δυσθραυστότητα για αξονική φόρτιση Στη μηχανική, η δράση εξωτερικών δυνάμεων σε ένα δομικό στοιχείο που συμπεριφέρεται ελαστικά έχει ως αποτέλεσμα την παραγωγή εσωτερικού έργου, το οποίο αποθηκεύεται στο παραμορφωμένο στοιχείο ως εσωτερική ελαστική ενέργεια που ονομάζεται και ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης. Το έργο γενικά ισούται με το γινόμενο εσωτερικής δύναμης, δηλαδή ουσιαστικά τάσης επί επιφάνεια, επί τη μετακίνηση της δύναμης. Τα προαναφερθέντα θα γίνουν καλύτερα κατανοητά στην απλή

26 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 48 περίπτωση μονοαξονικής φόρτισης, που έχει ως αποτέλεσμα την εντατική κατάσταση του Σχ..8α. σ x Συμπληρωματική ενέργεια Ενέργεια παραμόρφωσης (α) (β) ε x Σχ..8 (α) Ορθές τάσεις σε στοιχείο λόγω μονοαξονικής φόρτισης και (β) σχέση τάσης - παραμόρφωσης. Στο απειροστό στοιχείο του Σχ..8α, διαστάσεων dxdydz, εξαιτίας της εξωτερικής φόρτισης αναπτύσσεται ορθή τάση, η οποία αυξάνεται σταδιακά και γραμμικά με την παραμόρφωση ε x, έως ότου φθάσει την τιμή σ x. Η αντίστοιχη μέση δύναμη είναι ( / )σ x dydz και η μετακίνηση ε xdx, συνεπώς το έργο που παράγεται ισούται με ( / )σ xdydz ε xdx. Υποθέτοντας ότι το στοιχείο παραμορφώνεται γραμμικά ελαστικά χωρίς απώλειες ενέργειας, το παραπάνω έργο ισούται με την ενέργεια που αποθηκεύεται στο στοιχείο, du (ενέργεια παραμόρφωσης). Έτσι μπορούμε να γράψουμε: du = σ xdydz ε xdx = σ xε xdxdydz = σ xε xdv 44 απόσταση δύναμη έργο (.4) όπου dv ο όγκος του στοιχείου. Από την εξ. (.4) υπολογίζεται η ενέργεια παραμόρφωσης ανά μονάδα όγκου, που ονομάζεται ειδική ενέργεια παραμόρφωσης ή πυκνότητα ενέργειας παραμόρφωσης U o : Uo du σ xε x σ = = = x (.5) dv E

27 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 49 Γραφικά, η U o περιγράφεται από το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη τάσηςπαραμόρφωσης, Σχ..8β, ενώ το εμβαδόν πάνω από την καμπύλη αυτή ονομάζεται συμπληρωματική ενέργεια. Στην περίπτωση γραμμικά ελαστικών υλικών τα δύο αυτά εμβαδά (και οι αντίστοιχες ενέργειες) είναι ίσα, στη γενική όμως περίπτωση (μη γραμμικού υλικού) διαφέρουν. Ας σημειωθεί ότι αντίστοιχες εκφράσεις με την εξ. (.5) ισχύουν για τις τάσεις σ y και σ z και τις αντίστοιχες παραμορφώσεις ε y και ε z. Ολοκληρώνοντας την U o σε όλο τον όγκο του αξονικά φορτιζόμενου στοιχείου υπολογίζεται η ενέργεια παραμόρφωσης U U = V σ x dv E (.6) Η τιμή της U o για τάση ίση με το όριο ελαστικότητας ενός υλικού δίνει ένα μέτρο της ενέργειας που αποθηκεύει το υλικό χωρίς να υφίσταται παραμένουσα παραμόρφωση και ονομάζεται μέτρο ανάπαλσης. Το συνολικό εμβαδόν κάτω από την καμπύλη τάσης παραμόρφωσης (Σχ..9) αποτελεί ένα μέτρο της ικανότητας του υλικού να απορροφήσει ενέργεια μέχρι την αστοχία και ονομάζεται δυσθραυστότητα. σ Αναλισκόμενη ενέργεια σ Υλικό μεγαλύτερης αντοχής Υλικό μεγαλύτερης δυσθραυστότητας Επαναφόρτιση Αποφόρτιση Παραμένουσα παραμόρφωση ε Ελαστική ανάπαλση ε Υπερελαστική ανάπαλση (α) (β) Σχ..9 Συμπεριφορά φόρτισης αποφόρτισης επαναφόρτισης υλικών με ανελαστική συμπεριφορά. Η αποφόρτιση ενός υλικού στην ανελαστική περιοχή (π.χ. σημείο A στο Σχ..9β) έχει ως αποτέλεσμα την ανάκτηση τμήματος μόνο της συνολικής ενέργειας που έχει απορροφηθεί από το υλικό μέχρι να γίνει η αποφόρτιση. Το υπόλοιπο τμήμα αναλίσκεται κυρίως μέσω θερμότητας και έχει ως αποτέλεσμα των ανάπτυξη μόνιμων, δηλαδή παραμενουσών παραμορφώσεων. Έχει πάντως ενδιαφέρον να επισημάνουμε ότι η

28 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 50 συμπεριφορά των υλικών κατά την αποφόρτιση είναι κατά κανόνα ελαστική, δηλαδή η καμπύλη αποφόρτισης (π.χ. HM ή RS στο Σχ..9α, AB στο Σχ..9β) είναι παράλληλη στο αρχικό ευθύγραμμο τμήμα φόρτισης (OD στο Σχ..9β). Παράδειγμα.7 Οι ελαστικές ράβδοι του Σχ..0 φορτίζονται αξονικά αποθηκεύοντας την ίδια ποσότητα ενέργειας. Να συγκριθούν οι τάσεις στις ράβδους αγνοώντας πιθανές συγκεντρώσεις τάσεων. Το εμβαδόν διατομής της ράβδου αριστερά είναι A και αυτής δεξιά είναι A στο κάτω τμήμα και A στο άνω τμήμα. Σχ..0 Αξονική φόρτιση ράβδων διαφορετικών διατομών. Υποθέτοντας ότι η ορθές τάσεις στην αριστερή ράβδο είναι σ, η συνολική ενέργεια παραμόρφωσης U είναι U σ = dv E V σ AL = E Στη δεξιά ράβδο η τάση στο κάτω τμήμα είναι σ και στο άνω τμήμα είναι σ /. Η συνολική ενέργεια παραμόρφωσης στη δεξιά ράβδο είναι U σ = dv + E κάτω τμήμα πάνω τμήμα ( σ / ) σ L ( σ / ) E dv = A + E 4 E L σ 5 A = AL 4 E 8 εδομένου ότι U = U γράφουμε σ AL σ 5 = AL σ =. 65σ E E 8 Επομένως συμπεραίνουμε ότι για την ίδια ποσότητα ενέργειας η ενισχυμένη (δεξιά) ράβδος καταπονείται (στο κάτω τμήμα) με 6.5% μεγαλύτερες τάσεις.

29 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 5.0 Εισαγωγή στις ενεργειακές μεθόδους για τον υπολογισμό μετακινήσεων Βάσει της αρχής διατήρησης ενέργειας, μπορούμε να διατυπώσουμε ότι η εσωτερική ενέργεια παραμόρφωσης U ισούται με το έργο των εξωτερικών δυνάμεων W e : U = W e (.7) Θεωρώντας την εξωτερική δύναμη να εφαρμόζεται σταδιακά αυξανόμενη από μηδέν μέχρι P, με αντίστοιχη μετακίνηση στη διεύθυνση εφαρμογής της δύναμης Δ, είναι W e = PΔ (.8) Η εξ. (.8) μπορεί να γενικευθεί για κατασκευές αποτελούμενες από αξονικά φορτιζόμενα στοιχεία. Αν κάθε στοιχείο έχει αξονική δύναμη N i, μήκος L i και εμβαδόν διατομής A i, για τη μετακίνηση Δ στη διεύθυνση εξωτερικής δύναμης P ισχύει: U = ( Ni / Ai ) i Ai Li E = PΔ i N i L A E i i = PΔ (.9) Παράδειγμα.8 Θεωρήστε ένα δομικό στοιχείο με το ένα άκρο ακλόνητο και το άλλο ελεύθερο. Στο ελεύθερο άκρο ασκείται εφελκυστική αξονική δύναμη P. Να βρεθεί η μήκυνση Δ του στοιχείου. ( P / A) σ AL AL U = We = PΔ = PΔ Δ = E E το οποίο υπολογίστηκε με διαφορετικό τρόπο και στο Παράδειγμα.. PL AE. Εισαγωγή στους στατικά αόριστους φορείς Ένας φορέας ονομάζεται στατικά αόριστος όταν οι εξισώσεις στατικής ισορροπίας δεν επαρκούν για τον υπολογισμό των εξωτερικών αντιδράσεων (εξωτερική αοριστία) ή ακόμα και όταν οι αντιδράσεις υπολογιστούν, οι εξισώσεις ισορροπίας δεν επαρκούν για τον υπολογισμό των εσωτερικών εντατικών μεγεθών (εσωτερική αοριστία). Παρόλο που μία ολοκληρωμένη παρουσίαση των μεθόδων επίλυσης προβλημάτων για στατικά αόριστους φορείς δεν εμπίπτει στην ύλη που καλύπτει το παρόν σύγγραμμα, παρακάτω

30 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 5 δίνεται μία εισαγωγή σε δύο από αυτές (μέθοδος των δυνάμεων και μέθοδος των μετακινήσεων), που είναι και οι βασικότερες. Για την επίλυση στατικά αόριστων φορέων απαιτείται η διατύπωση εξισώσεων ώστε να εξασφαλίζονται τρεις συνθήκες: (α) η ισορροπία του φορέα, (β) η γεωμετρική συμβατότητα των διαφόρων παραμορφωμένων στοιχείων, δηλαδή το συμβιβαστό των παραμορφώσεων και (γ) η ισχύς των καταστατικών νόμων (σχέσεις τάσεων παραμορφώσεων) για τα υλικά του φορέα.. Εισαγωγή στη μέθοδο των δυνάμεων Στη μέθοδο των δυνάμεων αρχικά αγνοείται η ύπαρξη ενός συγκεκριμένου αριθμού αντιδράσεων στις στηρίξεις του φορέα, ώστε να είναι δυνατός ο υπολογισμός των υπολοίπων βάσει των εξισώσεων ισορροπίας. Ακολούθως υπολογίζονται οι αντιδράσεις που αρχικά αγνοήθηκαν, μέσω της επιβολής του συμβιβαστού των παραμορφώσεων στις προαναφερθείσες στηρίξεις. Για καλύτερη κατανόηση θεωρούμε την αμφίπακτη ελαστική ράβδο μεταβλητής διατομής του Σχ..α με συγκεντρωμένη δύναμη P στο σημείο Β (οι γραμμές ζιγκ-ζαγκ απλά υπενθυμίζουν ότι κάθε τμήμα της ράβδου μπορεί να προσομοιωθεί με ένα ελατήριο). Αποτέλεσμα της δύναμης P είναι οι αντιδράσεις R και R, έστω θετικές αν ασκούνται προς τη φορά του άξονα x (Σχ..β). Ακολούθως, έχοντας στη διάθεσή μας μία μόνο εξίσωση ισορροπίας (δυνάμεων στον άξονα x ) αγνοούμε μία από τις δύο αντιδράσεις, π.χ. την R. Αποτέλεσμα της P στο φορέα που προκύπτει (ο οποίος ονομάζεται κύριος φορέας) είναι η μήκυνση του κάτω τμήματος της ράβδου κατά Δ 0, ενώ το πάνω τμήμα παραμένει αφόρτιστο, παρακολουθώντας ως απαραμόρφωτο σώμα την παραμόρφωση του κάτω τμήματος (Σχ..γ). Με τον τρόπο αυτό το σημείο Α μετακινείται κατά Δ 0, κάτι που στην πραγματικότητα παραβιάζει τις πραγματικές γεωμετρικές συνθήκες στήριξης του φορέα. Για την μετακίνηση Δ 0 ισχύει Δ 0 = f P (.0) όπου f η ευτένεια του κάτω τμήματος της ράβδου (ορίστηκε στο Παράδειγμα.). Ακολούθως υπολογίζεται η μετακίνηση του φορέα στο σημείο Α λόγω της αντίδρασης R, η οποία μέχρι τώρα αγνοήθηκε. Αποτέλεσμα της R είναι η μήκυνση του κάτω αλλά και του πάνω τμήματος της ράβδου, με συνολική μετακίνηση τού Α κατά Δ, για το οποίο ισχύει (Σχ..δ): ( f f ) Δ (.) = f R + f R = + R

31 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 5 Για να ικανοποιηθεί όμως το συμβιβαστό των παραμορφώσεων θα πρέπει η συνολική μετακίνηση στο Α λόγω της P αλλά και της R να είναι μηδέν: Δ + Δ 0 (.) 0 = Έτσι από τις εξ. (.0) (.) μπορούμε να επιλύσουμε για την αντίδραση R : R f = P (.) f + f Το αρνητικό πρόσημο στην εξ. (.) δηλώνει ότι η R έχει στην πραγματικότητα φορά αντίθετη από αυτήν που αρχικώς υποθέσαμε, δηλαδή προς τα κάτω. Το ίδιο ισχύει και για την Δ, βάσει της εξ. (.). Τέλος μπορούμε να προσδιορίσουμε την R από τη συνθήκη ισορροπίας R + R + P 0. = (α) (β) (γ) (δ) Σχ.. Παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου των δυνάμεων. Το αλγεβρικό άθροισμα των δύο παραπάνω περιπτώσεων φόρτισης (μία με τη δύναμη P και μία με την R ) υπονοεί εφαρμογή της αρχής της επαλληλίας, που επιτρέπει τον υπολογισμό του αποτελέσματος (μετακίνηση) διαφόρων δράσεων (δυνάμεων) αθροίζοντας τα αποτελέσματα της κάθε μιας ξεχωριστά. Θα πρέπει βέβαια να τονίσουμε και πάλι ότι η αρχή αυτή είναι εφαρμόσιμη μόνο όταν το υλικό του φορέα αποκρίνεται γραμμικά ελαστικά (δηλαδή το αποτέλεσμα κάθε δράσης είναι γραμμική συνάρτηση της δράσης), κάτι που αποτελεί τον κανόνα σε πολλές περιπτώσεις

32 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 54 πραγματικών καταπονήσεων, λόγω του μικρού μεγέθους των παραμορφώσεων που αναπτύσσονται στα υλικά. Η γραμμικότητα του υλικού επιτρέπει την εφαρμογή της αρχής της επαλληλίας με τυχαία σειρά εφαρμογής των δυνάμεων, κάτι που φυσικά δεν ισχύει στην περίπτωση μη γραμμικής συμπεριφοράς των υλικών. Σχετικό είναι το Σχ.., στο οποίο φαίνεται ότι σε μη γραμμικά συστήματα αν αθροίσουμε το αποτέλεσμα της δύναμης P ( Δ ) με αυτό της P ( Δ ) όταν οι δυνάμεις αυτές δρουν η κάθε μία μόνη της δεν προκύπτει το αποτέλεσμα ( Δ ) του αθροίσματος P + P. P P P P P Γραμμικό σύστημα Μη γραμμικό σύστημα: Δ Δ + Δ P P P P Σχ.. Η αρχή της επαλληλίας ισχύει σε γραμμικά συστήματα, όχι όμως σε μη γραμμικά. Η διαδικασία που περιγράψαμε έχει γενική εφαρμογή για οποιοδήποτε γραμμικό σύστημα, για οποιονδήποτε αριθμό αξονικών δυνάμεων, για τυχούσες διατομές, για διαφορετικά υλικά, για την επίδραση θερμοκρασιακών μεταβολών κλπ. Όμως η εφαρμογή της μεθόδου στην πράξη δε συνηθίζεται ιδιαίτερα, διότι η συστηματική απαλοιφή αντιδράσεων και η επίλυση για κάθε μία από αυτές δεν είναι πάντα εύκολη. Παράδειγμα.9 Η ελαστική ράβδος μήκους L του Σχ.. είναι στερεωμένη στα δύο άκρα της έτσι ώστε να παρεμποδίζεται η μετακίνηση κατά x. Να υπολογιστεί η εντατική κατάσταση στη ράβδο λόγω μεταβολής της θερμοκρασίας κατά Δ T. Υποθέτουμε ότι το γινόμενο AE είναι σταθερό.

33 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 55 Σχ.. Αξονική φόρτιση ράβδου λόγω μεταβολής της θερμοκρασίας. Αρχικά καταργείται η πάνω στήριξη και υπολογίζεται η μήκυνση Δ 0 της ράβδου λόγω Δ T : Δ0 = α( ΔT )L. Ακολούθως εφαρμόζεται η αντίδραση R, η οποία προκαλεί μετακίνηση Δ ίση με R f = RL / AE. Από τη σχέση Δ 0 + Δ = 0 υπολογίζουμε R = α ( ΔT )AE. Από τη συνθήκη ισορροπίας R + R = 0 R = R, συνεπώς η αξονική δύναμη στη ράβδο είναι N = α ( ΔT )AE και οι ορθές τάσεις είναι α ( ΔT )E (θλιπτικές). Παράδειγμα.0 Ο επίπεδος φορέας των τριών ελαστικών ράβδων του Σχ..4α καταπονείται από κατακόρυφη δύναμη P. Οι ράβδοι έχουν εμβαδόν διατομής A και αποτελούνται από υλικό μέτρου ελαστικότητας E. Να υπολογιστεί η αξονική δύναμη σε κάθε ράβδο. Αρχικά αφαιρείται η στήριξη στη μεσαία ράβδο (σημείο Β), οπότε δημιουργείται ο κύριος φορέας (Σχ..4β) και υπολογίζονται οι αξονικές δυνάμεις και η κατακόρυφη μετακίνηση Δ 0 του σημείου D. R,0 = 0, P R,0 cosα = P R, 0 = cos α Σημειώνουμε ότι εκμεταλλευόμενοι τη συμμετρία του φορέα θεωρήσαμε αυτομάτως τις αντιδράσεις στα σημεία A και D ίσες. Οι ράβδοι ΑD και CD έχουν μήκος L / cosα, συνεπώς από την εξ. (.8) ( Δ ) AD 0 = PL AE cos α

34 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 56 Από το Σχ..4γ είναι 0 cos = ( ΔAD ) 0 Δ α, οπότε Δ 0 = PL / AE cos α (το αρνητικό πρόσημο δηλώνει μετακίνηση προς τα κάτω). R R R R R,0 R,0 = R,0 R, R, (γ) (δ) (α) (β) (ε) Σχ..4 Επίλυση συστήματος τριών ράβδων με τη μέθοδο των δυνάμεων. Ακολούθως εφαρμόζεται η αντίδραση R (Σχ..4δ), η οποία προκαλεί μετακίνηση του σημείου Β κατά Δ. Η Δ ισούται με τη μήκυνση της μεσαίας ράβδου συν την προς τα πάνω μετακίνηση του σημείου D (Σχ..4ε), δηλαδή Δ = R L + AE R L AE cos Τέλος, από τη σχέση Δ + Δ 0 και με βάση τη σχέση στατικής ισορροπίας 0 = R + R cosα = P λύνουμε για τις αντιδράσεις: P P R = και R = cos α cos α + cos α + Οι παραπάνω ποσότητες είναι ίσες με την (εφελκυστική) αξονική δύναμη σε κάθε ράβδο: N = R, R N =. α. Εισαγωγή στη μέθοδο των μετακινήσεων Η μέθοδος των μετακινήσεων συνίσταται στον προσδιορισμό των μετακινήσεων του φορέα σε επιλεγμένες θέσεις και ακολούθως στην εύρεση των αντιδράσεων και των εσωτερικών δυνάμεων. Η παρουσίαση της μεθόδου θα γίνει, για καλύτερη κατανόηση, μέσω του παραδείγματος του Σχ.., το οποίο επαναλαμβάνεται στο Σχ..5. Βασικός

35 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 57 στόχος της μεθόδου είναι ο υπολογισμός της κατακόρυφης μετακίνησης Δ στο σημείο Β, όπου εφαρμόζεται η δύναμη P. Η μετακίνηση αυτή ονομάζεται βαθμός ελευθερίας. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα ο βαθμός ελευθερίας είναι μόνο ένας και το πρόβλημα χαρακτηρίζεται από ένα βαθμό κινηματικής αοριστίας. Παρατηρούμε επίσης ότι ένας είναι και ο βαθμός στατικής αοριστίας του προβλήματος 5 (δηλαδή έχουμε δύο συνολικά αντιδράσεις και μία εξίσωση στατικής ισορροπίας). (α) (β) (γ) Σχ..5 Παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου των μετακινήσεων. Στο φορέα του Σχ..5 η μετακίνηση Δ προκαλεί θλίψη στο πάνω τμήμα της ράβδου και εφελκυσμό στο κάτω. Αν η δυστένεια των τμημάτων αυτών είναι k και k αντίστοιχα, οι αντίστοιχες εσωτερικές δυνάμεις είναι k Δ (θλιπτική) και k Δ (εφελκυστική). Οι δυνάμεις αυτές δείχνονται μαζί με τις αντιδράσεις στα διαγράμματα ελευθέρου σώματος του Σχ..5γ, στις περιοχές των σημείων Α, Β και C. Tα σημεία αυτά (στηρίξεις και θέση όπου ορίζεται ο βαθμός ελευθερίας) ονομάζονται κόμβοι. Από την ισορροπία του ελευθέρου σώματος στον κόμβο Β γράφουμε: P kδ kδ + P = 0 Δ = k + k (.4) Ισορροπία των ελευθέρων σωμάτων στους κόμβους των στηρίξεων (Α και C) δίνει: 5 Η επίλυση πιο περίπλοκων προβλημάτων, με πολλούς κόμβους, πολλούς βαθμούς ελευθερίας και (κινηματικής/στατικής) αοριστίας, πολλά μέλη με διαφορετικές διατομές κλπ δεν εμπίπτει στα πλαίσια του παρόντος συγγράμματος.

36 ΚΕΦ. ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ 58 R Δ και R Δ (.5) = k = k Tέλος, συνδυάζοντας τις εξ. (.4) και (.5) υπολογίζονται οι αντιδράσεις: R k k = P και R = P (.6) k + k k + k Το αρνητικό πρόσημο των R και R δηλώνει φυσικά ότι οι αντιδράσεις έχουν φορά αντίθετη από αυτήν που υποτέθηκε, δηλαδή και οι δύο ασκούνται προς τα κάτω. Παράδειγμα. Να υπολογιστούν οι αντιδράσεις για το σύστημα των δύο ράβδων του Σχ..6. Οι ράβδοι έχουν δυστένεια k και k, εμβαδόν διατομής A και A και αποτελούνται από υλικά μέτρου ελαστικότητας E και E, αντίστοιχα. Σχ..6 Φόρτιση ράβδων. Βάσει της εξ. (.9) είναι k = AE / a και k = AE / b. Εφαρμόζοντας την εξ. (.4) για δύναμη P προς τα κάτω έχουμε: P Δ = k + k = A E P a + A E / / b Τέλος από τις εξ. (.5) είναι: P R = + AEa / AE b και R P = + AE b / AEa