Α Λυκείου 4 ΓΛΧ. Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά. Άλγεβρα 12.09

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Α Λυκείου 4 ΓΛΧ. Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά. Άλγεβρα 12.09"

Transcript

1 Α Λυκείου ΓΛΧ Μ Παπαγρηγοράκης Χανιά Άλγεβρα 9

2 Ευχαριστώ το συνάδελφο Θανάση Νικολόπουλο από το Γυμνάσιο ΛΤ Βολιμών Ζακύνθου για τις εύστοχες παρατηρήσεις και τις διορθώσεις που έκανε στην αρχική έκδοση της συλλογής

3 ο ΓΛΧ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μαθηματική Λογική Ποιες από τις παρακάτω φράσεις είναι λογικές προτάσεις; Α) Ο αριθμός 8 είναι πρώτος Β) Η Κρήτη είναι νησί Γ) Αύριο θα βρέξει Να διατυπώσετε τις αρνήσεις των προτάσεων: Α) Υπάρχει τρίγωνο που είναι ορθογώνιο Β) Μερικοί ακέραιοι είναι πρώτοι Γ) Υπάρχει πραγματικός αριθμός που το τετράγωνό του είναι αρνητικό Δ) Κάθε τετράπλευρο είναι τετράγωνο Να διατυπώσετε τις αντίστροφες προτάσεις των προτάσεων: Α) Αν α τότε α 9 Β) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο πλευρές ίσες τότε έχει δύο γωνίες ίσες Γ) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες του ίσες τότε είναι ισοσκελές Δ) Αν ένα τρίγωνο είναι ισόπλευρο τότε είναι ισοσκελές Να αποδείξετε ότι pqq p 5 Να διατυπώσετε τις αντιθετοαντίστροφες προτάσεις των προτάσεων: Α) Αν ο είναι περιττός τότε και ο είναι περιττός Β) Αν ένα τετράπλευρο έχει άνισες διαγωνίους τότε αυτό δεν είναι ορθογώνιο 6 Να αποδείξετε ότι: Α) pq q p Β) pq p Γ) pq q Δ) pp q 7 Nα χαρακτηρίσετε ως Σωστή ή Λάθος κάθε μια από τις παρακάτω συνεπαγωγές: A) α α B) α α Γ) α α Σύνολα 8 A) Να γράψετε με αναγραφή το σύνολο: Α={/ ψηφίο του αριθμού 657} B) Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων του το σύνολο: Β={ y / ακέραιος με και y πραγματικός με y } Γ) Να γράψετε το σύνολο Γ={68} με περιγραφή μιας ιδιότητας των στοιχείων του Δ) Για τα προηγούμενα σύνολα να χαρακτηρίσετε σωστές ή λάθος τις προτάσεις: Α () Β 8 Α - Γ Γ 9 Να γραφούν με περιγραφή τα σύνολα και Β A Δίνονται τα σύνολα: A /( )( )( 6) και B y /(y )(y 6)(y 9) Να βρείτε τα σύνολα A B και A B Να βρεθεί η ένωση και η τομή των συνόλων: α) AR και B R β) AR και B γ) A και Β 5 Αν Ω 5 Α Β τότε να αποδείξετε ότι: A B A B και AB A B και Να συμπληρώσετε τις ισότητες Έστω ότι τα σύνολα Α και Β είναι υποσύνολα ενός συνόλου αναφοράς Ω Να χαρακτηρίσετε αν είναι σωστή ή λάθος κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις: Α) Αν A B τότε AB A Β) Αν B A τότε A B B Γ) Αν AB Ω και A B τότε A B Δ) Είναι Aγια κάθε A Ε) Αν A B και B A τότε: A B

4 Α Λυκείου - Άλγεβρα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ισοπίθανα Ενδεχόμενα Έστω τα σύνολα: Ω 5 B ω Ω/ω περιττός Α ω Ω/ω Αν εκλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω να βρείτε τις πιθανότητες να ανήκει: Α) στο Α Β) στο Α ή στο Β Γ) στο Α και στο Β Δ) στο Α και όχι στο Β Ε) σε ένα το πολύ από τα Α και Β Ρίχνουμε δύο ζάρια μαζί Να βρείτε την πιθανότητα να φέρουμε 6 στο ένα και 5 στο άλλο Ρίχνουμε ένα ζάρι διαδοχικά δύο φορές Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: Α) Το αποτέλεσμα της πρώτης ρίψης είναι μικρότερο από το αποτέλεσμα της δεύτερης ρίψης Β) Οι ενδείξεις και στις δύο ρίψεις είναι ίδιες Γ) Το άθροισμα των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι μεγαλύτερο του 9 Έστω το σύνολο Ω Εκλέγουμε τυχαία ένα λ Ω Να βρείτε την πιθανότητα ΡΑ όπου Α το ενδεχόμενο ο λ να είναι ρίζα της εξίσωσης λ λ 5 Έστω το σύνολο Ω Εκλέγουμε τυχαία ένα λ Ω Να βρείτε την πιθανότητα ΡΑ όπου Α το ενδεχόμενο η εξίσωση λ έχει δύο ρίζες άνισες 6 Δύο ισοδύναμοι παίκτες θα παίξουν τάβλι και συμφωνούν νικητής να είναι εκείνος που πρώτος θα κερδίσει δύο παιχνίδια Έστω α το αποτέλεσμα να κερδίσει ο πρώτος παίκτης ένα παιχνίδι και β το αποτέλεσμα να κερδίσει ο δεύτερος παίκτης ένα παιχνίδι Να βρείτε: Α) Την πιθανότητα στα δύο πρώτα παιχνίδια να κερδίσει ο α Β) Την πιθανότητα ο νικητής να βγει μετά από δύο παιχνίδια 7 Σε ένα Λύκειο οι μαθητές της Α τάξης είναι 5 Αν εκλέξουμε τυχαία ένα μαθητή του Λυκείου η πιθανότητα να είναι μαθητής της Α τάξης είναι 6 και η πιθανότητα να είναι της Β τάξης είναι Να βρείτε: Α) το πλήθος όλων των μαθητών του Λυκείου Β) το πλήθος των μαθητών της Β τάξης Γ) την πιθανότητα να είναι ένας μαθητής που εκλέξαμε τυχαία μαθητής της Γ τάξης 8 Η Α τάξη έχει 5 αγόρια και κορίτσια Το % των αγοριών και τα των κοριτσιών επέλεξαν το βόλεϋ Επιλέγουμε τυχαία 5 ένα άτομο Αν η πιθανότητα να είναι αγόρι και να μην επέλεξε το βόλεϋ είναι να βρείτε: Α) Πόσα είναι τα αγόρια και πόσα είναι τα κορίτσια Β) Την πιθανότητα να είναι κορίτσι και να μην επέλεξε βόλεϋ 9 Ένα κουτί περιέχει άσπρες και κόκκινες σφαίρες Βγάζουμε διαδοχικά δύο σφαίρες Να βρεθεί η πιθανότητα: Α) να είναι δύο κόκκινες Β) να είναι η πρώτη άσπρη και η δεύτερη κόκκινη Γ) να είναι και οι δύο άσπρες Ένα κουτί περιέχει άσπρες μερικές κόκκινες και μερικές μαύρες μπάλες Παίρνουμε τυχαία μία μπάλα Η πιθανότητα να πάρουμε κόκκινη μπάλα είναι και η πιθανότη- τα να πάρουμε μαύρη μπάλα είναι Να βρείτε πόσες κόκκινες και πόσες μαύρες μπάλες υπάρχουν στο κουτί Στο διπλανό πίνακα έχουμε τη βαθμολογία μιας ο- μάδας μαθητών Αν εκλέξουμε τυχαία ένα μαθητή να βρείτε την πιθανότητα να έχει βαθμό: Α) Το πολύ 6 Β) Τουλάχιστον 5 Γ) 5 ή 7 Βαθμ Μαθ 7 M Παπαγρηγοράκης

5 ο ΓΛΧ 5 Λογισμός Πιθανοτήτων Έστω Α Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Να αποδειχθεί ότι: i) PA B PA PA B και PA B PB PA B ii) η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα ενδεχόμενα A B είναι ίση με PA PB PA B Αν ΑΒ είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν Α Β 5 PA PΒ και PΒPΑ να βρεθούν οι πιθανότητες PA PΒ P Α Β και PΑ Β Αν ΑΒ ενδεχόμενα ενός δειγματικού PA χώρου και ισχύουν PA B PB τότε βρείτε τις PA B PA B 5 Θεωρούμε τα ενδεχόμενα AB ενός πειράματος τύχης με πιθανότητες τέτοιες ώ- στε: PA B PA PA B Να βρείτε τις PA PB PA B 6 Αν για δύο ενδεχόμενα AB ενός 5 δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: PA B PΒ να βρείτε την PA B PA 7 Αν για δύο ενδεχόμενα AB ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: PA PA 5 6 B να υπολογίσετε την PΒ Α 8 Αν AB είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν οι ισότητες PA PA και PA Β να βρείτε τις : Α) PA Β Β) PA Γ) PB Δ) PA Β Ε) PA Β 9 Αν PA και PA 5 να βρείτε τις Ρ(Α ) Ρ(Α) 6 Αν για δύο ενδεχόμενα AB ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: PA B ΡΑ Β να υπολογίσετε την πιθανότητα PΒ Αν για δύο ενδεχόμενα AB ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι: PA PΑ PA PΒ και P A B να υπολογίσετε τις πιθανότητες P Α Β PΒ Α PA B Δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου έχουν γινόμενο πιθανοτήτων Να βρεθεί η πιθανότητα καθενός 9 Εστω A B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύουν AB Ω ΡΑ α και ΡΒ β Να βρεθούν οι: PA B PA B PA B PA B Αν A B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν PA B και PA BAB να βρείτε την πιθα- 6 νότητα PA B 5 Δίνονται δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύ- ουν: P(A B) P(A B) και PB A Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β 6 Έστω ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με μη μηδενικές πιθανότητες για τα οποία ισχύει ΡΑΡΑ ΡΑ Ρ Β Να αποδείξετε ότι το Α είναι βέβαιο ενδεχόμενο και το Β αδύνατο

6 6 Α Λυκείου - Άλγεβρα 7 Έστω ΑΒ δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύει ότι η πιθανότητα: να πραγματοποιείται το Α είναι 5 Έστω ΑΒ δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι η πιθανότητα: Να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α να μην πραγματοποιείται το Β είναι 5 και να και Β είναι πραγματοποιούνται συγχρόνως και τα δύο είναι Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται: 6 Α) ένα τουλάχιστον από τα Α και Β Β) το πολύ ένα από τα Α και Β Γ) κανένα από τα Α και Β Δ) μόνο το Α Ε) μόνο ένα από τα Α και Β ΣΤ) το Α ή να μην πραγματοποιείται το Β 8 Έστω Α Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια ώστε ΡΑ ΡΒ και PA B Να βρεθούν οι 6 πιθανότητες των ενδεχομένων Α) Γ: «Πραγματοποιείται ένα μόνο από τα A και B» Β) Δ: «Δεν πραγματοποιείται ούτε το A ούτε το B» 9 Η Β τάξη ενός Λυκείου έχει αγόρια και κορίτσια Τα των αγοριών και το 5 % των κοριτσιών πήγαν την προηγούμενη μέρα σε μια συναυλία Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο Αν η πιθανότητα να είναι κορίτσι και να μην έχει πάει στην συναυλία είναι % να βρείτε την πιθανότητα να είναι αγόρι και να μην έχει πάει στην συναυλία Στη Γ τάξη ενός Λυκείου υπάρχουν 5 αγόρια και κορίτσια Τα των αγοριών και τα των κοριτσιών συμμετείχαν 5 στην πενθήμερη εκδρομή της τάξης τους Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο Να βρείτε την πιθανότητα: Α) Να είναι αγόρι και να μην έχει πάει εκδρομή Β) Να είναι κορίτσι ή να μην έχει πάει εκδρομή να πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β είναι Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται ένα το πολύ από τα Α και Β Στη Γ τάξη ενός Λυκείου το % των μαθητών ασχολείται με το ποδόσφαιρο το % με το μπάσκετ και το % με το ποδόσφαιρο και με το μπάσκετ Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή Να βρεθεί η πιθανότητα: Α) Να μην ασχολείται με το μπάσκετ Β) Να μην ασχολείται ούτε με το ποδόσφαιρο ούτε με το μπάσκετ Γ) Να ασχολείται με το μπάσκετ και να μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο Από τους 5 μαθητές της A τάξης ενός οι ασχολούνται με το ποδόσφαιρο οι με το μπάσκετ και καθένας ασχολείται με το ποδόσφαιρο ή το μπάσκετ Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή Nα βρεθεί η πιθανότητα: Α) Να μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο Β) Να ασχολείται με το ποδόσφαιρο και με το μπάσκετ Γ) Να ασχολείται με το ποδόσφαιρο αλλά όχι με το μπάσκετ Έστω δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύει ότι: ΡΑ Β και ΡΒ Να βρείτε την πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα και 5 Σε ένα σχολείο το 5% των μαθητών έχει κινητό τηλέφωνο ή δεν έχει Η/Υ και το 5% των μαθητών έχει κινητό και Η/Υ Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή Αν η πιθανότητα να έχει κινητό και να μην έχει Η/Υ είναι 5 να βρείτε την πιθανότητα να μην έχει ούτε Η/Υ ούτε κινητό M Παπαγρηγοράκης

7 ο ΓΛΧ 7 Παραμετρικές 6 Αν Ω δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα με ΝΩ και ΝΑ PB με 6 A B συμπληρωματικά ενδεχόμενα να βρεθούν οι πιθανότητες PA και PB 7 Αν AB ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με PA λ PB7λ 6λ να δείξετε ότι λ 8 Ένα μη αμερόληπτο ζάρι είναι έτσι φτιαγμένο ώστε η εμφάνιση κάθε αριθμού κ να είναι ανάλογη του κ με κ 6 Να βρείτε τη πιθανότητα εμφάνισης κάθε α- ριθμού 9 Έστω Ω ω ω ω ένας δειγματικός χώρος του οποίου οι πιθανότητες P ω i i των απλών ενδεχομένων του ικανοποιούν τις σχέσεις Pω Pω 7Pω θ και 6Pω P ω P ω 5θ όπου θ φυσικός αριθμός Να βρεθούν: Α) οι πιθανότητες P ω P ω P ω Β) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Β ω ω Α ω ω Α Β και Α Β Έστω ο δειγματικός χώρος Ω και οι πιθανότητες κ P κ κ Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ και ΡΑ όπου A Έστω Ω ω ω ω ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενά του Α=ω ω ω και Β=ω ω κ Αν ισχύουν : ΡΑ ΡΒ και κ κ κ P(ω ) να βρεθεί ο κ και οι πιθανότητες P(ω ) P(ω ) κ Ανισότητες Αν ΑΒ είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Α) P(A)P(A ) P(A) P(A ) Β) Γ) P(A B) P(A)P(B) P((A Β)) Δ) P(A B) P(A Β) P(A) P(Β) ΡΑ Β E) P(A B) P(A) P(B) P(A B) Έστω A B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A) P(B) Α) Να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα A και B δεν είναι ασυμβίβαστα Β) Να αποδείξετε ότι: P(A B) 6 Έστω A B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης για τα 6 οποία ισχύει PA B PA PB 5 7 Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων A B A B 5 Έστω A B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με P(A) P(B) 78 Α) Να εξετάσετε αν τα A B είναι ασυμβίβαστα Β) Να δείξετε ότι: P(A B) 6 Έστω Α Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με ΡΑ ΡΑ Β 5 Να δείξετε ότι ΡΒ 7 Έστω A B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A) P(B ) Να αποδείξετε ότι τα A B δεν είναι ασυμβίβαστα 8 Έστω A B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A) P(B ) Να αποδείξετε ότι: P(A B) 6

8 8 Α Λυκείου - Άλγεβρα 9 Έστω A B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A) P(B) και P(A ) P(B) Να αποδείξετε ότι: 5 P(A B) Έστω ΑΒΓ ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια ώστε Γ Α Β Να αποδειχθεί ότι: Α) ΡΓ ΡΑ ΡΒ Β) ΡΓ ΡΑΒ ΡΑ Β ΡΑ Β Γ) ΡΑ Β ΡΑ ΡΒ Γ 55 Μέσα σε ένα κουτί υπάρχουν 5 μπάλες από τις οποίες οι είναι άσπρες και οι κόκκινες Επιλέγουμε την μία μπάλα μετά από την άλλη μέχρι να μείνουν στο κουτί μπάλες του ίδιου χρώματος Να βρείτε : Α) Τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: «Οι μπάλες που επιλέξαμε ήταν του ίδιου χρώματος» Β: «Στο κουτί έμεινε μόνο μία μπάλα» Γ: «Από τις μπάλες που επιλέξαμε οι κόκκινες ήταν περισσότερες από τις άσπρες» Β) Τις πιθανότητες των ενδεχομένων : ΑΒ ΒΓ ΓΑ Α Β 5 Αν ΑΒ ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν P(A ) α και P(Β) β όπου αβ να αποδειχθεί ότι: βαρ ΑΒ Ρ Α Β 5 Αν A B συμπληρωματικά ενδεχόμενα και 5P A8 9PA PB να βρε- θούν οι PA και PB Γενικές Ασκήσεις στις Πιθανότητες 5 Ένα κουτί περιέχει άσπρες και κόκκινες σφαίρες Βγάζουμε διαδοχικά δύο σφαίρες Να βρεθεί η πιθανότητα: Α) να είναι δύο κόκκινες Β) να είναι η πρώτη άσπρη και η δεύτερη κόκκινη Γ) να είναι και οι δύο άσπρες 5 Σε μια έρευνα που έγινε μεταξύ των μαθητών μιας τάξης βρέθηκε ότι το 5% θα πάει το καλοκαίρι διακοπές σε «νησί» το 5% θα πάει το καλοκαίρι διακοπές σε «βουνό» το % θα πάει διακοπές το καλοκαίρι σε «νησί» και σε «βουνό» ενώ τρείς μαθητές δεν θα πάνε πουθενά Πόσα άτομα έει η τάξη; 56 Έστω AB δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Αν οι πιθανότητες ΡΑ ΡΑ Β ΡΑ Β είναι ρίζες της εξίσωσης να βρείτε την πιθανότητα ΡB 57 Έστω AB ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A B) και P(A) P(B) Nα δειχθεί ότι PA B και ότι ισχύει PA PB 58 Έστω A B ενδεχόμενα ενός πεπερασμένου δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης με μη μηδενικές πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων Αν PA PA B και PB PA B να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α και Β είναι συμπληρωματικά 59 Έστω A B ενδεχόμενα ενός πεπερασμένου δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης με μη μηδενικές πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων Αν και PB PA B P B P A B να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα A και B είναι συμπληρωματικά 6 Έστω A B ενδεχόμενα ενός πεπερασμένου δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης Να αποδείξετε ότι αν τότε PA PB PA B PA B M Παπαγρηγοράκης

9 ο ΓΛΧ 9 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Iδιότητες των πράξεων Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) Β) βαβα β 5 5 Αν α 5 και β να υπολογιστεί η α β α α β Να αποδείξετε ότι αν είναι αντίθετοι οι αριθμοί Α y z και B y z τότε y z Αν οι αριθμοί α α και β β είναι αντίστροφοι να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι αντίθετοι 5 Αν α β να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α α(α ) β( α) β(α 8) Δυνάμεις Υπολογίστε τις παραστάσεις 7 Α) 5 8 Β) () : Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) αβ α β αβ αβ Γ) y y y Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 5 y : y Α) Β) y : yy και αν και y 5 y αν Α) Να απλοποιηθούνοι παραστάσεις: 7 8 αβ αβ και 7 7 α β α β Β) Για ποιες τιμές των αβ είναι Α Β ; 6 Αν y(y ) να αποδειχτεί ότι η παράσταση είναι ανεξάρτητη y y των y 7 Αν y y y να βρεθεί ο λόγος y και η τιμή της παράστασης Α= y y 8 Αν ο α είναι περιττός ακέραιος να αποδείξετε ότι ο αριθμός α α είναι πολλαπλάσιο του 9 Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων δύο διαδοχικών περιττών αριθμών είναι άρτιος Αν α β γ να αποδειχτεί ότι: y ω ν ν ν ν ν α β γ α β γ ν ν ν α y ω y ω 5 Αν ν είναι φυσικός με v να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) v v v v 6 Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορούμε να φτιάξουμε με: α) τρία δυάρια β) τρία τριάρια γ) τρία τεσσάρια; 7 Για ποια τιμή του κ η παράσταση κ κ β γράφεται με μορφή δύναμης με α βάση αβ ; ν6 8 Να βρεθεί ο ν αν 9 Να δείξετε ότι α αβ β βγ γ γα β γ α ν 6 Να γράψετε ως δύναμη με βάση το 8 την παράσταση: { :[(5 : 5 ) :( ) ( ) ]}

10 Α Λυκείου - Άλγεβρα Ταυτότητες Παραγοντοποίηση Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να είναι τέλεια τετράγωνα οι παραστάσεις: α) 6 8 β) 9 Αν αβ να αποδείξετε ότι α β α αβ β Να απλοποιήσετε τις ακόλουθες παραστάσεις αφού βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται: A) Β) ( ) ( ) Γ) Δ) Αν 5 y=- να βρείτε την τιμή της παράστασης y y : y y y 5 Nα αποδείξετε ότι: Α) Αν Β) Αν α β α β τότε α β αβ αβ τότε α β α β 6 Για κάθε α β γ R να αποδείξετε ότι: αν α β γ αββγ γα τότε α β γ 7 Για κάθε yω R να αποδείξετε ότι: αν y ω y ω y ω τότε 8 Αν αβγ είναι τα μήκη πλευρών τρι- α βγ αβγ γώνου και ισχύει ότι να β γ αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο 9 Αν βα να αποδείξετε ότι: α βα β α β α β α β Αν α 5 να βρείτε τα α α α α α Αν y και y να υπολογιστούν τα y y y y Aν y α α α β να αποδείξετε ότι y y β β και y Αν α β β γ γ α και α βγ να αποδείξετε ότι: α β βγ β γ αγ γ α αβ αβ βγ αγ 5 Αν για τους θετικούς ακέραιους yω ισχύει ότι: αποδειχτεί ότι y ω y ω y 7 ω τότε να 6 Αν α βγ αβγ να δείξετε ότι α β γ β γ αβγ γ α αβγ α β αβγ 7 Για κάθε φυσικό ν να αποδείξετε ότι: Α) Ο αριθμός είναι άρτιος ν Β) Ο αριθμός διαιρεί τον 5 8 Αν αβγ και βγ β να αποδείξετε ότι: α β γ αβ α βγ β γα γ 9 Να αποδείξετε ότι αν βγ γα αβ τότε α β γ α β γ Αν α y β α βy τότε να αποδείξετε ότι α και y β M Παπαγρηγοράκης

11 ο ΓΛΧ Διάταξη Ανισότητες Nα χαρακτηρίσετε κάθε μια από τις προτάσεις με την ένδειξη Αληθής ή Ψευδής : Α) Αν και y τότε y Γ) Αν α β τότε ισχύει πάντα Δ) Αν τότε ισχύει πάντα Ε) Αν α τότε α ΣΤ) Αν α και β τότε αβ α β Αν και y 7 να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρουν οι παραστάσεις y y y y y y Αν είναι 8 να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις: Α) Β) Γ) Δ) Να δείξετε ότι y y y Να αποδείξετε ότι: Α) Aν α β τότε α β β α Β) Αν α τότε α α α Γ) Αν y τότε 7 y 5 5 Να αποδείξετε ότι: Α) Αν αβ είναι ομόσημοι τότε α β β α Β) Αν αβ είναι ετερόσημοι τότε α β β α α Γ) Αν α τότε α 6 Αν για τους θετικούς αβγ ισχύει ότι α+β β+γ γ+α αβ γ βγ -αγα -β να αποδείξετε ότι α β γ δηλαδή ότι αυτοί οι αριθμοί είναι ίσοι μεταξύ τους 8 Να συγκρίνετε τους αριθμούς 5 και 9 Αν α β γ R να αποδείξετε ότι: A) α β αβ B) α β γ 8αβγ 5 Αν αβ R αριθμοί να δείξετε ότι: Α) Β) α αββ α β γ αββγ γα 5 Αν α β θετικοί να αποδείξετε ότι Α) αβ α β α β Β) α β αβ α β 5 Αν α β γ είναι πλευρές τριγώνου και ισχύει ότι α β γ α β γ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο αυτό είναι ισόπλευρο 5 Για τους θετικούς αβγ να αποδείξετε ότι: αβγ α β γ αβγ α β γ * 5 Για κάθε αβ γ R να αποδείξετε α β γ α γ β ότι: β γ α γ β α 55 Να δείξετε ότι α β γ α γ β β γ α γ β α 56 Για κάθε αβ να αποδείξετε ότι Α) αβ α β Β) α α α α α α 6 57 Αν αβ θετικοί ακέραιοι αριθμοί τέτοιοι ώστε α β να αποδειχτεί ότι αβ 7 Να αποδειχτεί ότι 58 Αν είναι y και αποδείξετε ότι y 5 y 6 να

12 Α Λυκείου - Άλγεβρα Απόλυτη Τιμή 59 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟY-ΛΑΘΟYΣ: Α) Η δεν υπάρχει για κάθε Β) Ισχύει ότι y z y z Γ) Ισχύει για κάθε Δ) Αν y τότε ή y Ε) Αν τότε ΣΤ) Ισχύει ότι α α α α α Ζ) Ισχύει ότι αν αβ τότε α β 6 Nα βρείτε τις απόλυτες τιμές: 7 π α π 6 ημ8 6 Αν αβ γ να γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής την παράσταση Α αβ γ α β γ 6 Αν γράψτε χωρίς τις απόλυτες τιμές τις παραστάσεις: Α 6 B 8 Γ 6 Δ 6 Nα γράψτε χωρίς τις απόλυτες τιμές τις παραστάσεις: A 8 Β 6 Γ Δ Ε 66 Εάν y να δείξετε ότι: Α) y 5 Β) y 7 67 Να βρεθούν οι τιμές των αριθμών α α α αν α α α 68 Αν ισχύει ότι: κ y m να αποδείξετε ότι y κ κ y m 69 Να λυθούν οι ανισώσεις: Α) Β) Γ) Δ) 6 7 Να αποδείξετε ότι: Α) y αν y y Β) αν Γ) Αν y 8 τότε 5y 9 Δ) 5y 5 y y 7 Να δείξετε ότι 6 7 Να βρεθεί το όταν: Α) d 7 Β) 9 d() Γ) d ΣΤ 6 Αν α 5 και β να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών μεταβάλλεται η παράσταση α β 65 Να λυθούν οι ανισώσεις: Α) 7 Β) 5 6 Γ) Δ) 7 Ε) ΣΤ) 7 Ζ) M Παπαγρηγοράκης

13 ο ΓΛΧ 7 Ρίζες 7 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ: 8 Α) Ισχύει y y για κάθε y Β) Ισχύει ότι για κάθε Γ) Ισχύει ότι Δ) Ισχύει ότι για κάθε 5 5 Ε) Για κάθε ισχύει: ΣΤ) Για κάθε είναι για κάθε ( ) 8 Αν α να δείξετε ότι: Α) α α α Β) α α α 8 Να μετατραπούν οι παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή: A B Γ 5 Δ 5 8 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Ζ) Αν y> τότε y y Α) Η) Ισχύει πάντα ότι α β α β Β) Για κάθε να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: () 75 Αν να απλοποιήσετε την παράσταση Α= 6 9 Γ) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) Β) 9 Γ) 5 85 Να δείξετε ότι: Να απλοποιηθεί η παράσταση αν 77 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) Β) Γ) Δ) 78 Να υπολογίσετε τα και στη συνέχεια να απλοποιήσετε την παράσταση: 79 Να αποδείξετε ότι 8 Να υπολογίσετε τον αριθμό Να συγκρίνετε τους αριθμούς και 87 Να λύσετε την εξίσωση: Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός είναι φυσικός 89 Για ποια R έχουν έννοια οι παραστάσεις: Α Ε 7 Ζ ; 9 Να αποδείξετε ότι: Α) Β) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης A

14 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να λύσετε τις εξισώσεις: Α) Β) Γ) Να λυθούν για λ οι εξισώσεις: Α) λ λ Β) λ λ Γ) λ λ Δ) λ λ Να λύσετε τις εξισώσεις: Α) α β αα β Β) αβ α α α α α α Α) Να λυθεί ο τύπος ως R R R προς R PV PV Β) Να λυθεί ο τύπος ως προς V T T 5 Από τις ισότητες v v αt και v v S vt αt να δείξετε ότι S t 6 Ένα συνεταιρικό ελαιουργείο έχει δύο συγκροτήματα το Α και το Β Όταν δουλεύουν και τα δύο μαζί τελειώνουν όλες τις ελιές μίας περιοχής σε μέρες Τη φετινή χρονιά ξεκίνησαν μαζί και μετά από μέρες το Α σταμάτησε οριστικά λόγω βλάβης ενώ το Β συνέχισε να δουλεύει κανονικά Το Β έχει τα της απόδοσης του Α Να βρείτε σε πόσες μέρες συνολικά θα τελειώσουν όλες οι ελιές της περιοχής 7 Ένα βαρέλι Α περιέχει 5 κιλά κρασί των ευρώ το κιλό και ένα βαρέλι Β περιέχει 56 κιλά κρασί των 5 ευρώ το κιλό Αφαιρούμε από κάθε βαρέλι την ίδια ποσότητα κρασιού και βάζουμε αυτή που αφαιρέσαμε από το Α στο Β και αυτή που αφαιρέσαμε από το Β στο Α Αν μετά το ανακάτεμα των κρασιών το περιεχόμενο των δύο βαρελιών έχει την ίδια αξία να βρείτε πόσα κιλά μεταφέρθηκαν από το ένα βαρέλι στο άλλο Εξισώσεις με Απόλυτα 8 Να λύσετε τις εξισώσεις: Α) 8 Β) 5 Γ) Δ) Ε) 5 ΣΤ) Να λύσετε τις εξισώσεις Α) 5 Β) 6 6 Γ) 6 8 Να λυθούν γεωμετρικά οι εξισώσεις: Α) Β) Να λύσετε τις εξισώσεις: A) 5 B) Γ) 9 56 Δ) Να λύσετε τις εξισώσεις: Α) Β) Γ) Δ) Να λύσετε τις εξισώσεις Α) Γ) Β) 6 5 Δ) Α)Να δείξετε ότι: Β) Να λύσετε την εξίσωση λ λ λ για κάθε λ 5 Α) Να λυθεί η εξίσωση Β) Αν η εξίσωση: 8 () α και η () έχουν κοινή λύση να βρείτε το α 5 Γ) Αν η εξίσωση (β+) και η () έχουν κοινή λύση να βρείτε το α M Παπαγρηγοράκης

15 ο ΓΛΧ 5 Δευτεροβάθμια Εξίσωση 6 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: Α) Β) Γ) 5 Δ) Ε) 67 ΣΤ) 7 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις ως προς για κάθε τιμή των παραμέτρων τους: Α) Β) αβ αγ β γ αβ αβ αβ αβ Γ) β αβ αβ 8 Αν η εξίσωση αβ έχει ως ρίζα τον αριθμό α β να αποδείξετε ότι α β 9 Να βρεθούν οι τιμές του λ R ώστε η εξίσωση λ λ λ να έχει έχει δύο ρίζες πραγματικές Έστω η εξίσωση λ 5 λ Α) Για ποιες πραγματικές τιμές του λ η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα; Β) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει διπλή ρίζα; Γ) Να βρεθεί η διπλή ρίζα της εξίσωσης για την τιμή του λ που βρήκατε στο (Β) ερώτημα Δ) Αν ρ είναι η διπλή ρίζα της εξίσωσης να υπολογίσετε την παράσταση Α ( ρ) για κάθε πραγματικό αριθμό Ένας μαθητής αντί της εξίσωσης α β () έλυσε την β α και βρήκε δύο ρίζες Από αυτές η μία ήταν ίση με μία ρίζα της () και η δεύτερη ήταν μικρότερη κατά της άλλης ρίζας της () Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β Να βρεθεί ο λ ώστε η εξίσωση λ λ λ : Α) να έχει μία μόνο ρίζα Β) να έχει διπλή ρίζα Να λύσετε την εξίσωση Δ 6Δ αν Δ είναι η διακρίνουσά της Η εξίσωση λ 5λ λ λ έχει ρίζα το Να βρείτε το λ και μετά να δείξετε ότι το είναι διπλή ρίζα 5 Να βρεθούν οι αβ αν οι ρίζες της α β είναι ίσες με α και β 6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αβγ αβ αγ βγ αβ γ R έχει μια διπλή ρίζα αν και μόνον αν α β γ 7 Δίνεται η εξίσωση μ μ Να βρεθεί για ποιες τιμές του μ έχει: Α) διαφορετικές ρίζες Β) μια διπλή ρίζα 8 Να αποδείξετε ότι αν η εξίσωση α β α β αβ έχει διπλή ρίζα τότε η εξίσωση α β αβ έχει ρίζες άνισες 9 Αν η εξίσωση βγ βγ είναι αδύνατη στο να δείξετε ότι η εξίσωση β5γ δεν έχει ρίζες στο Αν η εξίσωση β γ γ β έχει δύο ρίζες άνισες συμπληρώστε δίπλα από κάθε εξίσωση το πλήθος των ριζών της: Α) β γ Β) γ β Γ) β γ Δ) γ β Για ποιες τιμές του α οι εξισώσεις α και ρίζα; α έχουν κοινή Αν η εξίσωση μ κ έχει διπλή ρίζα να αποδείξετε ότι το ίδιο θα συμβαίνει και για την εξίσωση: μ μ κ+ μ+κ+κκ- +

16 Άθροισμα Γινόμενο Ριζών Δίνεται η εξίσωση με ρίζες Χωρίς να υπολογιστούν οι ρίζες να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων: ( ) Έστω η εξίσωση β γ γ A) Να αποδείξετε ότι έχει άνισες ρίζες Β) Αν οι δύο ρίζες της εξίσωσης να γράψετε συναρτήσει των αριθμών β γ τις παραστάσεις Γ) Να αποδείξετε ότι: d Δ όπου Δ η διακρίνουσα της εξίσωσης 5 Δίνεται η εξίσωση: λ λ λ λ Α) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να έχει δύο πραγματικές και ίσες ρίζες Β) Αν λ 5 και είναι οι ρίζες της εξίσωσης να βρείτε την τιμή της 6 6 παράστασης: A 6 Έστω η εξίσωση α α β β αβ με α Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για οποιεσδήποτε τιμές των αβ Β) Αν οι δύο ρίζες της εξίσωσης να αποδείξετε ότι Γ) Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός α με α να αποδείξετε ότι β α 7 Αν ρ ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης α β γ αβγ α και οι ρίζες της εξίσωσης κ λ μ κ λμ κ να βρείτε εξίσωση με ρίζες τις παραστάσεις ρ ρ και ρ ρ 8 Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης λ να βρεθεί ο πραγματικός α- ριθμός λ έτσι ώστε να ισχύει: Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης α β γ με αβ γ οι ρίζες της και ρ ρ να αποδειχθεί ότι αν οι είναι ετερόσημες τότε και οι ρ ρ είναι ετερόσημες Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση λ έχει: Α) δύο ρίζες ετερόσημες Β) δύο ρίζες θετικές και άνισες Γ) δύο ρίζες αρνητικές Δ) δύο ρίζες αντίστροφες Έστω η εξίσωση και ρ ρ οι ρίζες της A) Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων: ρ ρ ρρ ρρ A ρ ρ B Γ ρ ρ ρ ρ ρ ρ Δ ρ ρ Ε ρ ρ B) Να σχηματίσετε εξίσωση β βαθμού με ρίζες τις παραστάσεις Δ Ε του (Α) ερωτήματος και μετά να υπολογίσετε το Έστω η εξίσωση λ λ () Α) Να βρεθεί ο λ ώστε να έχει ρίζες αντίθετες Β) Να λυθεί η ανίσωση d( λ) 5-λ όταν η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα Αν για τους αριθμούς αβ γ ισχύει γ α βγ α να αποδείξετε ότι: A) Η εξίσωση α β γ δεν μπορεί να έχει ρίζες τους αριθμούς και B) Η α β γ έχει δύο ρίζες άνισες Γ) Αν οι ρίζες της εξίσωσης να αποδείξετε ότι: Δ) Να αποδείξετε ότι μία μόνο ρίζα της εξίσωσης θα είναι στο διάστημα Αν είναι ρίζες της να βρεθεί εξίσωση που να έχει ρίζες τις: A) ρ και ρ B) ρ και ρ Γ) ρ και ρ 57 M Παπαγρηγοράκης

17 ο ΓΛΧ 7 Δευτεροβάθμια εξίσωση-τριώνυμο 5 Δίδεται η εξίσωση λ λ λ η οποία έχει δύο πραγματικές ρίζες έστω Να αποδείξετε ότι: και 6 Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 7 έχει δύο θετικές ρίζες Β) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων Α= B 7 Έστω η εξίσωση λ λ λ Α) Βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μια διπλή ρίζα την οποία και να υπολογίσετε Β) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες ετερόσημες 8 Δίνεται η εξίσωση η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς και Να 5 βρείτε το πρόσημο του αριθμού 9 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση γ γ α β β όπου τα αβγ είναι μήκη πλευρών ενός τριγώνου δεν έχει πραγματικές ρίζες 5 Nα λυθεί η εξίσωση: 5 Δίνεται η εξίσωση β γ και ισχύει η σχέση: β 6γ Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και ομόσημες τις ρ και ρ Β) Να αποδείξετε ότι ρ ρ Γ) Αν για το άθροισμα S των ριζών ισχύει S να λύσετε την ανίσωση β γ 5 Ένας επενδυτής πούλησε μια μετοχή αντί euro και υπολόγισε ότι ζημιώθηκε τόσο επί τοις εκατό όσο την αγόρασε Να βρείτε πόσα euro έχασε ( λύσεις) 5 Ένα βαρέλι περιέχει 5 lt κρασί Βγάζουμε μια ποσότητα κρασί και προσθέτουμε την ίδια ποσότητα νερού Μετά ξαναβγάζουμε την ίδια ποσότητα από το μείγμα Στο βαρέλι παραμένει ένα μείγμα που περιέχει lt καθαρό κρασί Να βρείτε πόσα λίτρα κρασί βγάλαμε αρχικά (Απ 8) 5 Σε μια γεωργική περιοχή αναλογεί ως έκτακτη ενίσχυση εξ αιτίας φυσικής καταστροφής το ποσό των euro Σε κάθε παραγωγό αναλογεί το ίδιο ποσό Επειδή είχε γραφτεί κατά λάθος ένας παραγωγός παραπάνω τον έσβησαν και οι υπόλοιποι πήραν ο καθένας euro περισσότερα Να βρείτε πόσοι ήταν τελικά οι δικαιούχοι (Απ: 5) 55 Έστω f (λ ) λ λ όπου λ Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση f() αληθεύει για κάθε Β) Αν λ να λύσετε την εξίσωση f Έστω α Να αποδείξετε ότι: P α β με A) Αν P για κάθε τότε P B) Αν είναι αβ τότε η εξίσωση α β έχει ρίζες πραγματικές 57 Έστω η εξίσωση (λ-) -λ +λ= λ Α) Για ποια λ η εξίσωση έχει ρίζες στο r ; Β) Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης για λ λ ποιες τιμές του λ είναι ; 58 Να απλοποιηθούν τα κλάσματα : α6α αβα αβ και 5α6α αβ α αβ 59 Το κόστος της ημερήσιας παραγωγής μονάδων ενός προϊόντος είναι K ενώ η είσπραξη από την πώληση μονάδων είναι E 99 σε χιλιάδες δραχμές Να βρεθεί η ημερήσια παραγωγή μονάδων του εργοστασίου για την οποία το κέρδος γίνεται μέγιστο

18 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού Να λύσετε τις ανισώσεις: Α) Β) Γ) Να λύσετε τις ανισώσεις: 6 Α) 5 Β) 5 Να λυθούν οι ανισώσεις: + Α) 7 - Β) Β) Δ) + - Να λυθούν οι ανισώσεις: Α) Β) ( 8 7)( 9) Γ) 5 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: Α) f() Β) f Γ) f() 6 Δίνεται η εξίσωση: λ λ λ λ Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ η () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες Β) Εάν είναι οι ρίζες της () να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει λ 7 Να βρείτε το λ ώστε το τριώνυμο λ λ να έχει: Α) σταθερό πρόσημο για κάθε Β) αρνητικό πρόσημο για κάθε 8 Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του λ να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξί- σωσης λ λ λ 9 Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση: λ- λ+ λ+> να είναι αδύνατη για κάθε Να βρεθούν αν υπάρχουν οι τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση λ λλ να αληθεύει για όλες τις πραγματικές τιμές του Να προσδιοριστεί ο λ ανίσωση ώστε η λ λ λ να είναι αληθής για κάθε Αν είναι οι ρίζες της εξίσωης λ λ λ λ να βρεθεί ο λ ώστε Έστω ρίζες της εξίσωσης λ λ λ Να βρεθεί ο λ ώστε να ισχύει Να λύσετε τις ανισώσεις: Α) Β) Γ) ( ) 5 Για ποια συναληθεύουν οι ανισώσεις και - ; - 6 Δίνεται η εξίσωση β γ Να βρείτε το πρόσημο των αριθμών β και γ ώστε να έχει νόημα η ανίσωση με τις ρίζες της εξίσωσης Κατόπιν δείξτε ότι η ανίσωση εφ όσον έχει νόημα ισχύει πάντα M Παπαγρηγοράκης

19 5 ΠΡΟΟΔΟΙ Αριθμητική Πρόοδος 5 Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο όταν το άθροισμα των πρώτων όρων της είναι και η διαφορά του τρίτου από τον δέκατο όρο είναι 5 5 Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο στην οποία είναι S 6 και S 5 Για ποια τιμή του ακεραίου οι αριθμοί 5 9 είναι διαδοχικοί αριθμ προόδου; 5 Να βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου αν έχουν άθροισμα και γινόμενο 55 Αν οι αριθμοί αβγ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να αποδείξετε ότι οι α βγ β γα γ αβ είναι επί- σης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου Ποιος είναι ο λόγος των διαφορών των δυο προόδων αυτών; 56 Αν τα μήκη των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου δείξτε ότι είναι ανάλογα των αριθμών 5 57 Πόσους αριθμούς πρέπει να παρεμβάλλουμε μεταξύ του 5 και του 5 ώστε να αποτελούν όλοι μαζί διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και ο τελευταίος από τους παρεμβαλλόμενους όρους να είναι -πλάσιος από τον δεύτερό τους; 58 Αν α α αv είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να δείξετε ότι: ν α α α α α α α α v v ν 59 Αν α α αv είναι -μη μηδενικοίδιαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να δείξετε ότι v α α α α α α α α α α v v v 5 Σε μία αριθμητική πρόοδο ισχύει α7 α7 και α9 α Να βρείτε το άθροισμα των όρων της που βρίσκονται μεταξύ του α 8 και α 5 5 Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι αν ν 5 ν Να δειχθεί ότι η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος Να βρείτε το ά- θροισμα των όρων της που είναι μεταξύ των 7 και 99 5 Να αποδείξετε ότι η ακολουθία για την οποία ισχύει ότι Sv v v είναι αριθμητική πρόοδος 5 Δίνεται η αριθμητική πρόοδος 5 και παίρνουμε ομάδες όρων ως εξής: Να υπολογιστεί το άθροισμα των όρων της ν- οστής ομάδας 5 Αν το άθροισμα των ν πρώτων διαδοχικών όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι μ και το άθροισμα των μ πρώτων διαδοχικών όρων της ίδιας ΑΠ είναι ν τότε να βρεθεί το άθροισμα των ν μ πρώτων και διαδοχικών όρων σε συνάρτηση με τα νμ ( νμ ) 55 Για κάθε v να λύσετε την εξίσωση 5 8 ν Έχουμε ν κιβώτια μέσα στα οποία τοποθετούμε αριθμημένες μπάλες ως εξής: Στο πρώτο κιβώτιο τη μπάλα με τον αριθμό στο δεύτερο τις μπάλες στο τρίτο τις 56 στο τέταρτο τις 789 κοκ Α Πόσες μπάλες έχει το ν -οστό κιβώτιο; Β Να δειχτεί ότι στο ν -στό κιβώτιο η μπάλα με τον μικρότερο αριθμό είναι αυτή με τον α- ριθμό ν (ν ) Ποια είναι εκείνη που έχει το μεγαλύτερο αριθμό; Γ Σε ποιο κιβώτιο βρίσκεται η μπάλα με τον αριθμό ; Δ Αν v 5 πόσες μπάλες έχουμε συνολικά;

20 Γεωμετρική Πρόοδος 57 Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε σε καθέναν από τους αριθμούς 6 58 για να γίνουν τρεις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου; 58 Να βρεθούν τρεις αριθμοί που αποτελούν αύξουσα γεωμετρική πρόοδο αν το άθροισμά τους είναι 65 και η διαφορά των άκρων όρων τους είναι 59 Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου όταν έχουν γινόμενο 6 και άθροισμα μεσαίων όρων 5 5 Να βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο σε κάθε μια από τις περιπτώσεις: A) Αν S και α5 α6 α7 α8 8 B) Αν S 6 και α α 5 5 Αν (α ν)(β ν) είναι δυο γεωμετρικές πρόοδοι και για κάθε ν είναι βν εξετάστε σε ποια περίπτωση σχηματίζεται γεωμετρική πρόοδος: α) αν β) αν βν γ) α δ) αν βν 5 Α) Να αποδειχτεί ότι η ακολουθία με ν γενικό όρο αν είναι γεωμετρική πρόοδος Β) Ποιος όρος της είναι ίσος με 7 ; 5 Σε μια γεωμετρική πρόοδο έχουμε α α α α Να βρεθεί ο λόγος της 5 Α) Να δειχθεί ότι η ακολουθία για την οποία ισχύει ότι S v v ν είναι γεωμετρική πρόοδος Β) Πόσους όρους της πρέπει να πάρουμε για να έχουμε άθροισμα 8 ; 55 Α) Να συγκρίνετε τον αριθμητικό και τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών: και 8 Β) Να αποδείξετε ότι η σχέση που θα βρείτε ισχύει γενικά για κάθε ζεύγος θετικών αριθμών y 56 Να βρείτε τρεις ακέραιους αριθμούς για τους οποίους ισχύουν τα εξής: Είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν αυξηθεί ο δεύτερος κατά 8 η πρόοδος γίνεται αριθμητική και αν αυξηθεί και ο τρίτος κατά 6 γίνεται πάλι γεωμετρική 57 Να βρείτε τρεις αριθμούς για τους οποίους ισχύουν τα εξής: είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου έχουν άθροισμα 5 και αν σε αυτούς προσθέσουμε τους αριθμούς 9 αντίστοιχα θα γίνουν διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου 58 Να βρείτε τέσσερις ακέραιους αριθμούς για τους οποίους ισχύουν τα εξής: α) οι τρεις πρώτοι είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου β) οι τρεις τελευταίοι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και γ) το άθροισμα των άκρων όρων είναι και των μεσαίων 59 Να βρεθούν τρεις αριθμοί y ω αν αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου έχουν άθροισμα 8 και αν ο μεσαίος αυξηθεί κατά τότε οι αριθμοί που προκύπτουν είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου 5 Αν αβ β γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να αποδείξετε ότι οι αριθμοί β γ β α αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου 5 Για κάθε α { } δίνεται η εξίσωση (α ) (α 5α 5) (α 5α 5) (α ) Α) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του α για τις οποίες η εξίσωση έχει τρεις πραγματικές ρίζες αυτές αποτελούν γεωμετρική πρόοδο Β) Αν παραστήσουμε με τη ρίζα της εξίσωσης που δεν εξαρτάται από την παράμετρο α προσδιορίστε τότε το α ώστε οι ρίζες να αποτελούν αριθμητική πρόοδο Γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές της παραμέτρου α που βρήκατε στην προηγούμενη ερώτηση η εξίσωση έχει τρεις ίσες ρίζες Μ Παπαγρηγοράκης

21 ο ΓΛΧ 6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Η έννοια της Συνάρτησης 6 Να γράψετε πιο απλά τον τύπο της συνάρτησης αν f αν και να βρείτε την τιμή της παράστασης: ff f 6 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με - f() και g() Βρείτε τα f( ) f() f( ) f(/) g() g( 5) 6 Αν είναι f 6 να βρεθούν οι πραγματικοί α και β ώστε να ισχύει: f α 8 και f8 β 6 Για την συνάρτηση ισχύουν f και f f α β Βρείτε το f α β 65 Aν f()= να υπολογίσετε τα α β ώστε να ισχύει f()= και β f()= α 66 Έστω ότι f() αβ Να βρεθούν τα αβ ώστε f(-)=f() 67 Αν f()= να βρείτε την 5 5 τιμή του πραγματικού λ ώστε να ισχύει f λf Αν f για κάθε να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α) f Β) f Γ) f f() Δ) f f() 69 Για τη συνάρτηση f να δείξετε ότι: A) f α fα fα fα 8 B) f κα λβ μγ κf α λf β μf γ 6 Αν f ισχύει f f 6 Αν f τότε να δείξετε ότι να δείξετε ότι για α β κάθε αβ R ισχύει: f αf βf να λύσετε την εξίσω- 6 Αν f ση f f f f Πεδίο Ορισμού 6 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των: Α) f 9 + Β) h - Γ) f - Δ) f 6 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των: Α) f Β) f Γ) f 65 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των: Α) f Β) f Γ) f 66 Για ποιες τιμές του α r η συνάρτηση - f() = έχει πεδίο ορισμού το σύνολο r ; α

22 Γεωμετρικές Απόσταση Σημείων 67 Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία A B Γ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές 6 Δίνεται η συνάρτηση f Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες yy την ευθεία y και 68 Δίνεται η συνάρτηση f()= Να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α f() και Β f( ) 69 Να βρεθεί σημείο Γ του άξονα τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με ίσες πλευρές τις ΑΓ ΒΓ όπου A B 6 Δίνονται τα σημεία A B Να βρείτε σημείο Μ της ευθείας y= ώστε το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ισοσκελές με ίσες πλευρές τις ΜΑ και ΜΒ 65 Δίνεται η συνάρτηση: f μ με μ< Να βρεθεί το μ ώστε το C f να τέμνει τους άξονες σε σημεία που απέχουν απόσταση ίση με 5 66 Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα είναι γραφική παράσταση συνάρτησης; Στις περιπτώσεις που είναι να σημειώσετε το πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών y A B y y y Συμμετρικά Σημεία Γ y y Δ Ε y 6 Δίνονται τα σημεία Αα B Γβ 6 Δ γ Ε και Ζ δ Να βρείτε τους πραγματικούς α β γ δ αν γνωρίζετε ότι: Τα Α και Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα τα Ε και Ζ είναι συμμετρικά ως προς το το Γ βρίσκεται πάνω στον και το σημείο Δ βρίσκεται στον yy 6 Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού λ ώστε τα σημεία: Α) Α λ λ B 5λ να είναι συμμετρικά ως προς το σημείο Ο Β) Aλ λ Βλ λ να είναι συμμε- τρικά ως προς την ευθεία y Γ) A B λ να είναι συμμε- τρικά ως προς τον άξονα Γραφική Παράσταση 6 Δίνεται η συνάρτηση fα Nα βρεθεί το α ώστε η C f να διέρχεται από το σημείο M y 67 Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: Α) f και y g Β) f και g 68 Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f()=+ g()=-+ h()=+ στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων και να υπολογίσετε το εμβαδόν της περιοχής που περικλείεται από αυτές 69 Nα κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f()= 6 Δίνονται οι συναρτήσεις: f()= και g Nα βρεθούν τα σημεία τομής των C f C g καθώς και η απόστασή τους 6 Εξηγήστε γιατί ο κύκλος δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης y Μ Παπαγρηγοράκης

23 Α Λυκείου - Άλγεβρα Ευθεία 6 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ευθεία y= + με τον άξονα 6 Δίνεται η ευθεία λ λ ε :y Να προσδιοριστεί ο λ λ λ ώστε η ε να είναι: Α) παράλληλη στην ευθεία y=- Β) παράλληλη στην ευθεία y 5 Γ) κάθετη στην ευθεία y=-8+ Δ) να διέρχεται από το σημείο (-) 6 Αν οι ευθείες ε : y λ λ και ε : y λ είναι παράλληλες να δείξετε ότι οι ευθείες ε : y λ είναι κάθετες Άρτιες Περιττές ε :y λ 8 65 Σε κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις εξετάστε ποια είναι άρτια και ποια είναι περιττή: Α) f()= Β) f: (-] R με f()= 66 Α) Έστω f περιττή συνάρτηση Να αποδείξετε ότι αν Df τότε f Β) Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή κάθε μια από τις συναρτήσεις: Α) f Β) f Μονοτονία 69 Να βρείτε τη μονοτονία των συναρτήσεων: Α) f και Β) f και f 6 Δίνεται η συνάρτηση f()= f λ f στο ( ) Να προσδιοριστεί ο λ ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα 6 Η συνάρτηση f() είναι γνησίως αύξουσα στο R με f()> για κάθε r Nα δείξετε ότι η συνάρτηση g() είναι γνησίως f() φθίνουσα στο r Ακρότατα 6 Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων: Α) f f Β) f f 5 Γ) f f() 6 Δ) f αν έχει πεδίο ορισμού το A 67 Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι f Nα βρεθεί το f αν γνωρίζετε ότι: Α) Η f είναι άρτια Β) Η f είναι περιττή 68 Δίνεται συνάρτηση f: με την ιδιότητα για κάθε y να ισχύει fy f fy Δείξτε ότι ότι η f είναι περιττή f και

24 Γενικές Ασκήσεις 6 Να αποδείξετε ότι: Α) μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση δεν μπορεί να είναι άρτια Β) η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονό- τονης συνάρτησης τέμνει τον σε ένα το πολύ σημείο λ 6 Για την ευθεία ε: y 5 να λ- βρείτε: Α) Τις τιμές του λ ώστε η ευθεία ε να είναι παράλληλη προς την ευθεία δ: y 6 Β) Τις τιμές του λ ώστε το σημείο A( ) να ανήκει στην γραφική παράστάση της ευθείας ε Γ) Τις τιμές του λ ώστε η ευθεία ε να είναι παράλληλη προς τον άξονα Δ) Τα σημεία τομής της με τους άξονες 65 Αν f τότε: Α) Να λυθεί η εξίσωση ff Β) Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή Γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία της στο [+) Δ) Να γίνει η γραφική της παράσταση 66 Έστω η συνάρτηση f()=λ+ λ< Να βρείτε: Α) Τα σημεία τομής της γραφικής της παρά - στασης με τους άξονες Β) Το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση και τους άξονες Γ) Την τιμή του λ ώστε το εμβαδόν του παρα- πάνω τριγώνου να είναι τμ 67 Δίνεται η συνάρτηση f λ λ Να βρείτε: Α) Τα σημεία τομής της γραφικής της παρά- στασης με τους άξονες Β) Το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση και τους άξονες Γ) Την τιμή του λ ώστε το εμβαδόν του παραπάνω τριγώνου να είναι τετραγω- νικές μονάδες 69 Δίνεται η συνάρτηση f Α) Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή Β) Να βρείτε το ακρότατο της f Γ) Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία Δ) Να γραφτεί ο τύπος της χωρίς την απόλυτη τιμή Ε) Να γίνει η γραφική της παράσταση ΣΤ) Να βρείτε αν υπάρχουν- τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες Ζ) Να βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης με την ευθεία y Η) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης και την ευθεία y Θ) Να δείξετε ότι το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές 65 Να προσδιοριστεί ο κ ώστε όταν η συνάρτηση f()= (κ ) παρουσιάζει ελάχιστο τότε και η συνάρτηση g()= ( κ ) να παρουσιάζει για την ίδια τιμή του μέγιστο 65 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το r A) Να βρείτε το f() και f() B) Να λύσετε την εξίσωση: f() Γ) Να λύσετε την ανίσωση: f() Δ) Να λύσετε την ανίσωση: f() Να επιλυθούν γραφικά οι ανισώσεις: και Μ Παπαγρηγοράκης

25 5 Α Λυκείου - Άλγεβρα 7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 7 Για κάθε λ r δίνονται οι ευθείες : ε : y λ(λ ) και ε : y - -λ -9 Α) Να ελέγξετε αν υπάρχει τιμή του λ για την οποία η ευθεία ε περνάει από το Β) Να βρεθεί ο λr ώστε το σημείο Μ(--6) να είναι σημείο της ευθείας ε Γ) Να αποδείξετε ότι οι ε και ε είναι κάθετες στην περίπτωση που ο λ ισούται με την μεγαλύτερη από τις τιμές που βρήκατε στο (Β) ερώτημα Δ) Να βρείτε την απόσταση των σημείων στα οποία η ε τέμνει τους άξονες όταν ο λ ισούται με την μικρότερη από τις τιμές που βρήκατε στο (Β) ερώτημα 7 Δίνεται η συνάρτηση f() Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Β) Να αποδειχτεί ότι είναι άρτια Γ) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα Δ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα yy 7 Έστω η συνάρτηση f με f() κ + κ A) Να βρεθεί η τιμή του κ ώστε το σημείο Α(8) να ανήκει στη γραφική παράσταση της f Για την τιμή του κ που βρήκατε στο Α ερώτημα: Β) Να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α( 8) και Β(8 f(8)) Β) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή 7 Δίνονται οι ευθείες: ε : y λ και ε : y λ με λ Α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε οι ε και ε να είναι παράλληλες Β) Για λ 5 : α) Να γράψετε τη μορφή που παίρνουν οι ε και ε β) Αν A και Β είναι τα σημείο στα οποία η ε τέμνει τον ε τον yy και η αντίστοιχα να βρείτε την απόσταση AB 75 Δίνεται η συνάρτηση : f() αν με λ 6λ λ αν Α) Να βρείτε το λ ώστε ff 8 Β) Αν λ τότε: α) Να βρείτε την απόσταση των σημείων Af() και B 5f( 5) β) Να υπολογίσετε την τιμή της παρά- στασης f f9 76 Έστω η συνάρτηση f() Α Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f Β Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες και σε ποια σημεία ; Γ Να βρεθεί η τιμή της παράστασης 9 ff7 f f Δίνεται η συνάρτηση f Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας το O 78 Έστω τα σημεία Aκ και Βκ όπου κ R Α) Να αποδείξετε ότι AB 5 κ Β) Αν AB 5 να βρείτε τις τιμές του κ Γ) Αν κ να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y διέρχεται από τα Α και Β Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Να αποδείξετε ότι είναι περιττή Γ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 79 Δίνεται η συνάρτηση f f() f( ) 7 Αν f() ανίσωση: να λυθεί η f f

26 7 Δίνεται η συνάρτηση : f() αν με λ 6λ λ αν Α) Να βρεθεί ο λ ώστε f() f 8 Β) Αν λ τότε: α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστα- σης f8 β) Να βρείτε την απόσταση των σημείων f και f 7 Έστω η συνάρτηση f Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α f της f Β) Να δείξετε ότι f() = για κάθε Α f Γ) Να λύσετε την εξίσωση 9 = f() 7 Δίνεται η συνάρτηση f() 9 Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f Β) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια Γ) Υπολογίστε την τιμή της παράστασης f(8) f( 8) Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να 7 Δίνεται η συνάρτηση f απλοποιήσετε τον τύπο της Β) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή Γ) Να λύσετε την ανίσωση f 75 Για κάθε λ δίνονται οι ευθείες ε : y λ 6 5 και ε : y5λ 8 Α) Να βρείτε αν υπάρχει- τιμή του λ ώστε η ε να διέρχεται από το σημείο Β) Να βρείτε το λ ώστε οι ευθείες ε και ε να είναι παράλληλες Γ) Αν λ να βρείτε τα σημεία στα ο- ποία η ε τέμνει τους άξονες 76 Έστω μια συνάρτηση y=g() της ο- ποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα Παρατηρώντας την γραφική παράσταση να απαντήσετε στα ερωτήματα Α) Ποιό είναι το πεδίο ορισμού της g; Β) Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της g Γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του η g παρουσιάζει ακρότατα και ποια είναι αυτά Δ) Να ελέγξετε αν η g άρτια ή περιττή Ε) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: g() g( ) g( ) Στ) Είναι σωστό ότι g()>g(); (γιατί;) Ζ) Για ποιες τιμές του ισχύει ότι g()=; Η) Για ποιες τιμές του ισχύει ότι g()>; 77 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Δίνεται ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά cm και το μέσον Ο της ΑΔ Ένα κινητό σημείο Μ ξεκινά από το Α και διαγράφοντας την πολυγωνική γραμμή ΑΒΓΔ καταλήγει στο Δ Γ Β Γ Μ Β Γ Μ Β Μ Ο A Ο A Αν με συμβολίσουμε το μήκος της διαδρομής που έκανε το κινητό Μ και με f() το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου Α) Να βρείτε τον τύπο της f και να την παραστήσετε γραφικά Β) Να βρείτε την τιμή του για την οποία ισχύει f() cm Ο A Μ Παπαγρηγοράκης

27 ο ΓΛΧ 7 8 ΓΕΝΙΚΕΣ - ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 8 Δίνεται η εξίσωση λ (λ )+λ = () λr Α) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να έχει πραγματικές και ίσες ρίζες Β) Αν λ και είναι οι ρίζες της εξίσωσης () να βρείτε την τιμή της παρά- 6 6 στασης: A 8 Δίδονται τα τριώνυμα Ρ() = + Q() = + K() = Α) Να βρεθεί το πρόσημο σε κάθε ένα από τα παραπάνω τριώνυμα για κάθε r Β) Να λυθεί η ανίσωση Ρ() Q() K() 8 Δίνεται η εξίσωση α α β β με α β Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για όλες τις τιμές των αβ Β) Αν είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης να αποδείξετε ότι Γ) Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός α με α να αποδείξετε ότι β α 8 Δίνεται η συνάρτηση f λ κ κ και κ λ R Γνωρίζουμε ότι για η f έχει ελάχιστο το Α) Να βρείτε τα κ και λ Β) Αν κ και λ τότε: α) Να λυθεί η εξίσωση: f f β) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρ- τησης g με g f 85 Οι αριθμοί ρ και ρ είναι οι ρίζες εξίσωσης ου βαθμού με S = ρ +ρ P=ρ ρ τέτοια ώστε Ρ+S = και Ρ S = Α) Να δείξετε ότι S = και Ρ = Β) Να βρείτε την εξίσωση +κ+λ = που έχει ρίζες τους ρ + και ρ + Γ) Να λύσετε την ανίσωση +κ+λ 86 Δίνεται η εξίσωση λ (λ ) λ λ Α) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και ίσες Β) Για τις τιμές του λ που βρήκατε στο (Α) ερώτημα να αποδείξετε ότι οι ευθείες y (λ ) και y λ(λ ) είναι παράλληλες 87 Έστω η εξίσωση λ λλ με λ Α) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό ; Β) Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες; Γ) Αν ρ ρ είναι οι δύο οι ρίζες της παρα- πάνω εξίσωσης να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε για αυτές να ισχύει η ανίσωση: ρ ρ ρ ρ 88 Έστω f (λ ) λ λ όπου λ Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση f() αληθεύει για όλες τις πραγματικές τιμές του Β) Αν λ να λύσετε την εξίσωση f Δίνεται συνάρτηση f με τύπο f() Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Να λυθεί η εξίσωση f() f() 8 Έστω η συνάρτηση f() (λ-)-λ Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η f να έχει δύο ρίζες άνισες Β) Αν ρίζες της συνάρτησης f να βρεθεί η τιμή του λ R ώστε: Γ) Να λυθεί η ανίσωση d( λ) 5-λ όταν η f έχει μία διπλή ρίζα

28 ο ΓΛΧ 8 8 Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση λ (5λ ) λ λ αληθεύει για όλες τις πραγματικές τιμές του 8 Δίνεται η συνάρτηση f() = (λ) λ + με λ της οποίας η γραφική παράσταση είναι μια παραβολή που περνά από το σημείο Α() Α) Να βρείτε το λ Β) Για την τιμή λ= να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα Γ) Να σχηματίσετε την εξίσωση που έχει ρίζες τις ρ = ρ = όπου οι ρίζες της f()= 8 Δίνεται η συνάρτηση : 6 f 6 Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Β) Να βρεθούν τα σημεία τομής Α Β της C f με τους άξονες και yy Γ) Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΒ 8 Δίνεται το τριώνυμο με λ f λ λ λ A) Να βρείτε το λ ώστε το τριώνυμο f() να έχει ελάχιστο στο B) Αν λ και είναι οι ρίζες της εξί- σωσης f να λύσετε την ανίσωση f 8 85 Δίνονται οι Α() = Β() = + Α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α() και Β() Β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να α- ( )Β() πλοποιήσετε την παράσταση f Α() Γ) Να λύσετε την ανίσωση f() 86 Δίνεται η συνάρτηση f()=κ -+κ όπου κ A) Αν κ για ποιες τιμές του κ η συνάρτηση f γράφεται σαν τέλειο τετράγωνο ; B) Για κ= να λυθεί η ανίσωση f() Γ) α Bρείτε την τιμή κ R ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Μ() β Για την τιμή του κ που βρήκατε στο ερώτημα (α) να βρείτε αν υπάρχουν τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες 87 Έστω η εξίσωση λ λ- με λ Α) Να αποδείξετε ότι έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες Β) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις και Γ) Να βρείτε το λ ώστε: 5 88 Δίνεται η εξίσωση λ- () με ρίζες A) Να βρείτε για ποια τιμή του λ είναι: 5 Β) Για την τιμή αυτή του λ να λυθεί η () Γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε να σχημα- τίσετε άλλη εξίσωση ου βαθμού με ρίζες ρ ρ 89 Έστω η εξίσωση: λ- λ λ με λ Α) Δείξτε ότι για κάθε λ η παραπά- νω εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις Β) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε όπου οι άνισες ρίζες της παραπάνω εξίσωσης Γ) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε το τριώνυ- μο f() λ- λ λ με λ R να έχει ελάχιστο το 8 Να λυθεί το σύστημα: 76 Μ Παπαγρηγοράκης

29 ο ΓΛΧ 9 8 Δίνεται η συνάρτηση f λ κ κ με και κ λ R παράμετροι Γνωρίζουμε ότι για η f έχει ελάχιστο το Α) Να βρεθούν τα κ και λ Β) Να λυθεί η εξίσωση f Γ) Να βρεθεί για ποιες τιμές του ορίζεται η συνάρτηση g f Δ) Εάν α β είναι οι τετμημένες των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της g τέμνει τον με α β θεωρούμε τα σημεία Μ β Ν α Δείξτε ότι το τρίγωνο ΟΜΝ είναι ορθογώνιο Ε) Να λυθεί η ανίσωση f 8 Δίνεται η παράσταση Α A) Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση Α; B) Να απλοποιηθεί η παράσταση Α Γ) Να λυθεί η ανίσωση Α 8 Έστω η συνάρτηση f() (λ-)-λ όπου λ Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η f να έχει δύο ρίζες άνισες Β) Αν ρίζες της συνάρτησης f να βρεθεί η τιμή του λ R ώστε: Γ) Να λυθεί η ανίσωση d( λ) 5-λ όταν η f έχει μία διπλή ρίζα 8 Δίνεται η συνάρτηση αν f αν Α) Να βρείτε τα f f f και f Β) Να υπολογίσετε την απόσταση των σημείων f και f Γ) Να βρείτε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς f και f 85 Δίνεται η εξίσωση (α ) α α () Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο ρίζες άνισες για κάθε τιμή του α Β) Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης (): α) να βρείτε τις τιμές του α ώστε 5 β) για α να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες και 86 Έστω η εξίσωση: 8λ-6 8λ Α) Για ποια τιμή του λ η είναι δευτέρου βαθμού; Β) Για ποιες τιμές του λ η έχει μία διπλή ρίζα; 87 Έστω οι συναρτήσεις: f() (λ ) λ και g() μ μ με μ Α) Να βρεθεί η τιμή του λ ώστε η γραφι- κή παράσταση της f να είναι ευθεία Β) Να βρεθεί η τιμή του μ ώστε η γραφκή παράσταση της g να εφάπτεται στον Γ) Για τις τιμές των λ μ που βρήκατε να βρεί- τε τα κοινά σημεία των CC f g Δ) Να βρεθούν τα σημεία που τέμνει η C f τους άξονες και y y και να βρεθεί το μήκος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώ- νου που σχηματίζεται 88 Έστω η εξίσωση μ = μ () Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο ρίζες άνισες για κάθε μ Β) Αν ρ ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης () να βρείτε για ποιες τιμές του μ : α) η παράσταση Α ρμ+ρ (μ ρ ) παίρνει το πολύ την τιμή β) οι ευθείες ε : y ρ 6 και ε : y (7 ρ ) 7 είναι παράλληλες

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 013-014 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Δημήτρης Πατσιμάς Στέλιος Μιχαήλογλου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {,,, 4, 5, 6,7,8,9, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {,,4,6},

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Μεθοδική Επανάληψη www.askisopolis.gr Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Ε. Σύνολα i. Τι είναι το σύνολο; ii. Ποιοι είναι οι βασικοί τρόποι παράστασης συνόλων και τι γνωρίζετε γι αυτούς; iii. Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 0-0 Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10 ΓΕ.Λ. ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΖΗΤΗΜΑ A ΑΊ. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΛΙΒΑΔΕΙΑ 4 ΜΑΪΟΥ 05 ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1.Δίνεται η εξίσωση f x x 4x. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1.Δίνεται η εξίσωση f x x 4x. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται η εξίσωση fx x 4x Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εξίσωση f x 0 έχει: α) ρίζα το β) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες γ) ρίζες ετερόσημες δ) Αν 3,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 / Ανισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-300.88.88

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

1, 2, Β 3, 2,λ. 7, να 2 βρείτε την τιμή του k. x x y y Α)Να βρείτε τις τιμές των x,y για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. Β)Να αποδείξετε ότι Α=-1

1, 2, Β 3, 2,λ. 7, να 2 βρείτε την τιμή του k. x x y y Α)Να βρείτε τις τιμές των x,y για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. Β)Να αποδείξετε ότι Α=-1 ,, Β,,λ. Δίνονται τα σημεία Β.Αν τα Α,Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y y να βρείτε το λ. Β. Βρείτε τις τιμές του λ, ώστε το σημείο Β να βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο του ορθοκανονικού συστήματος.

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 1 ο (ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) Ο ρ ι σ µ ο ί Πείραµα τύχης (π.τ.) είναι το πείραµα για το οποίο δεν µπορούµε εκ των προτέρων να προβλέψουµε το αποτέλεσµά του αν και επαναλαµβάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου. Άλγεβρα Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά

Α Λυκείου. Άλγεβρα Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά Α Λυκείου Άλγεβρα 06-07 Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά Ταξη: Α Γενικού Λυκείου Άλγεβρα Έκδοση 7.08 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9)

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9) α) Να λύσετε την ανίσωση: 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2 β) Να λύσετε την ανίσωση: x+ 5 3. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του άξονα των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn.

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. Άσκηση 1 Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. B) Αν ( ), ( ), ( ), να εκφράσετε τις πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέμα Α. Αν x, x οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx +βx+γ=, α να αποδείξετε ότι S P. (6 μονάδες) Β. Ελέγξατε αν κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα:

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: 1 Η Έννοια της Πιθανότητας Η Έννοια της Πιθανότητας 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: α) Να εμφανιστεί περιττός αριθμός κατά την ρίψη ενός ζαριού. (1/2) β) Να εμφανιστεί τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων

Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σ. Ανδρεαδάκης Β. Κατσαργύρης Σ. Παπασταυρίδης Γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

Β Περιφερειακό Γυμνάσιο Λευκωσίας Σχολική Χρονιά: Επαναληπτικές ασκήσεις Β Γυμνασίου

Β Περιφερειακό Γυμνάσιο Λευκωσίας Σχολική Χρονιά: Επαναληπτικές ασκήσεις Β Γυμνασίου Β Περιφερειακό Γυμνάσιο Λευκωσίας Σχολική Χρονιά: 014-015 Επαναληπτικές ασκήσεις Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί αριθμοί 1. Να υπολογίσετε τις πιο κάτω παραστάσεις: α) 5 = β) (-10) - = γ) + 3 δ) ( 7

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Διαβάστε περισσότερα