Κεφάλαιο 12 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 12 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ"

Transcript

1 Κεφάλαιο 1 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Ο προδιοριμός του φυικού εντατικού πεδίου έχει α κοπό να δώει αφενός μεν τη βαική γνώη για το πεδίο των τάεων, αφετέρου δε τη υγκεκριμένη γνώη των υνοριακών υνθηκών που δύνανται να χρηιμοποιηθούν ε ταικές αναλύεις που πραγματοποιούνται τη φάη χεδιαμού γεωτεχνικών έργων. Παραδείγματα της πρώτης περίπτωης αποτελούν ο προδιοριμός της κατεύθυνης που δρουν και το μέγεθος των κυρίων τάεων, η εκτίμηη των κινδύνων (λόγω των τάεων) από τους οποίους πρέπει να προτατεύουμε τις κατακευές μας, η πιθανή κατεύθυνη ατοχίας του πετρώματος, και η κατεύθυνη ροής των υπόγειων νερών. Το φυικό εντατικό πεδίο ε ένα δεδομένο χώρο της βραχομάζας χαρακτηρίζεται υνήθως με το μέγεθος και τον προανατολιμό των κυρίων τάεων. Οι προανατολιμοί παρουιάζονται υχνά μέω μιας τερεογραφικής προβολής. 1 Μέθοδοι προδιοριμού της τάης 1.1 Άμεες και έμμεες μέθοδοι Οποιοδήποτε ύτημα χρηιμοποιείται για την εκτίμηη της επί τόπου τάης, πρέπει να περιλαμβάνει τουλάχιτον έξι ανεξάρτητες μετρήεις. Υπάρχουν μέθοδοι άμεης μέτρηης της τάης και μέθοδοι εκτίμηης της τάης μέω διάφορων μεθόδων έμμεων ή με δείκτες. Παρακάτω, δίνονται πέντε τύποι μεθόδων, εκ των οποίων οι τρεις πρώτοι υνιτώνται (Kim και Franklin, 1987) από τη Διεθνή Εταιρία Βραχομηχανικής (ISRM): (α) Η δοκιμή επίπεδου γρύλου (β) Η δοκιμή υδραυλικής θραύης (γ) Μέθοδοι υπερδιάτρηης. (γ1) Υπερδιάτρηη της γεώτρηης και μέτρηη της παραμόρφωης με την τορπίλη USBM, (γ) Υπερδιάτρηη της γεώτρηης και μέτρηη της παραμόρφωης με την κυψέλη CSIRO (δ) Μέτρηη της παραμόρφωης τον πυθμένα γεώτρηης (ε) Μέτρηη της τάης από εγκλειμένους αιθητήρες

2 Μια πλήρης περιγραφή των έμμεων μεθόδων, δίνεται από τον Dyke (1988). Μερικές από τις μεθόδους δεικτών είναι: (α) Θραύεις εντός γεωτρήεων που υποδεικνύουν τους κύριους προανατολιμούς της τάης (Σχήμα 1). (β) Επιλύεις επιπέδων ρηγμάτων, δηλ. ανάδρομες αναλύεις για την εκτίμηη των κυρίων τάεων που προκαλούν τα ρήγματα. (γ) Ακουτική εκπομπή. Το πέτρωμα εκπέμπει χαμηλής ένταης θόρυβο όταν φορτίζεται. (δ) Ανελατική παραμόρφωη χαλάρωης. Ο πυρήνας παρουιάζει διατολή / υτολή με την απομάκρυνη του από τη γεώτρηη. (ε) Ανάλυη διαφορικής παραμόρφωης. Η θλίψη δοκιμίου πετρώματος φανερώνει την προηγούμενη εντατική κατάταη με βάη τα αποτελέματα διαφορικής παραμόρφωης. (ς) Δημιουργία δίκων τον πυρήνα. Η μορφή των δημιουργούμενων θραύεων, λόγω τάης, υποδεικνύει τις υνιτώες της τάης. (ζ) Παρατηρήεις της κατάταης των αυνεχειών. π.χ. ανοικτές αυνέχειες δεν διαβιβάζουν την τάη δια μέου του ανοίγματος. Σχήμα 1. Μετρητής διαμέτρου γεώτρηης, με τέερις βραχίονες 1. Δυνατότητες μέτρηης των α, β, γ, άμεων μεθόδων Στο Σχήμα, δίνονται οι τανυτές των τάεων και οι υνιτώες που δύνανται να προδιοριτούν από μία μοναδική εφαρμογή μιας επιλεγμένης μεθόδου. Για τον επίπεδο γρύλο και με τον x άξονα κάθετο το επίπεδο του γρύλου, μία μόνο υνιτώα της τάης, η xx, μπορεί να καθοριτεί. Επομένως για τον προδιοριμό των έξι υνιτωών του τανυτή των τάεων απαιτούνται έξι

3 3 τέτοιες μετρήεις επίπεδου γρύλου ε έξι διαφορετικούς προανατολιμούς. Σημειώτε, ότι γενικά, οι άξονες αναφοράς δεν ταυτίζονται υνήθως με τον προανατολιμό των επίπεδων γρύλων, και ότι κάθε μέτρηη δίνει την ορθή τάη το επίπεδο του γρύλου και όχι μία υγκεκριμένη υνιτώα της τάης. Θα πρέπει επίης να ημειωθεί ότι ενώ μια ορθή τάη μπορεί να καθοριτεί άμεα, δεν υπάρχει τέτοια μέθοδος προδιοριμού της διατμητικής τάης. Επομένως οι διατμητικές και ορθές υνιτώες της τάης υπολογίζονται, με μεταχηματιμό αξόνων, από τις μετρήεις των ορθών τάεων ε διάφορες κατευθύνεις. Πρέπει επίης να αναφερθεί ότι αυτή η τεχνική καθορίζει τον τανυτή της τάης το τοίχωμα εκκαφής και επομένως προδιορίζει την προκαλούμενη, λόγω της εκκαφής, δευτερογενή τάη παρά το φυικό εντατικό πεδίο. Επίπεδος γρύλος xx symmetry xy yy xz yz zz Υδραυλική θραύη xx symmetry xy yy xz yz zz Τορπίλη υπερδιάτρηης USBM xx symmetry xy yy xz yz zz Κυψέλη υπερδιάτρηης CSIRO xx symmetry xy yy xz yz zz Σχήμα. Οι τέερις προτεινόμενες από την ISRM μέθοδοι για τον προδιοριμό της τάης ε βράχο και η δυνατότητά τους να καθορίουν τις υνιτώες του τανυτή των τάεων με μια εφαρμογή της υγκεκριμένης μεθόδου (Hudson and Harrison, 1997). Με μεγάλους χαρακτήρες υποδηλώνονται οι άμεα υπολογιζόμενες υνιτώες. Η μέθοδος υδραυλικής θραύης, ύμφωνα με το Σχήμα, παρέχει πληροφορίες για δύο μόνο τοιχεία, την πίεη θραύης και την πίεη κλειίματος. Κατά υνέπεια, μόνο δύο υνιτώες του τανυτή της τάης μπορούν να προδιοριτούν από αυτήν την τεχνική. Η πίεη κλειίματος υποτίθεται ότι δίνει την ελάχιτη κύρια τάη, 3, ενώ η μέγιτη κύρια τάη, 1, δίνεται μέω της πίεης θραύης, της τιμής της 3 και της εφελκυτικής αντοχής του πετρώματος. Στην περίπτωη του επίπεδου γρύλου, οι έξι υνιτώες μπορούν να καθοριτούν με τη χρηιμοποίηη της μεθόδου ε έξι διαφορετικούς προανατολιμούς. Γενικά, αυτό δεν είναι

4 4 δυνατό με την υδραυλική θραύη, επειδή οι δοκιμές πραγματοποιούνται βαθιά ε γεώτρηη. Το ημαντικότερο πλεονέκτημα υδραυλικής θραύης βρίκεται το ότι είναι η μόνη μέθοδος που δύναται να προδιορίει μερικώς το εντατικό πεδίο ε βάθος μεγαλύτερο από μερικές εκατοντάδες μέτρα από τη θέη ανθρώπινης πρόβαης, και γενικά μπορεί να χρηιμοποιηθεί μέχρι 5 ή και 6 km βάθος. Εντούτοις, το ημαντικότερο μειονέκτημά της είναι ότι πρέπει να γίνουν υποθέεις προκειμένου να υμπληρωθεί ο τανυτής της τάης. Οι υποθέεις αυτές είναι ότι οι κύριες τάεις είναι παράλληλες και κάθετες τον άξονα γεώτρηης, και ότι η κατακόρυφη κύρια τάη μπορεί να υπολογιτεί από το βάθος των υπερκειμένων. Κατά υνέπεια, τον τανυτή της τάης το Σχήμα, οι δύο υνιτώες της τάης καθορίζονται, αλλά οι τρεις μηδενικές τιμές για τις διατμητικές τάεις αποτελούν υπόθεη, όπως αποτελεί και η τιμή της. Στην περίπτωη της τορπίλης USBM, καθορίζεται μια διδιάτατη κατάταη της πίεης, δηλ. οι τρεις υνιτώες της τάης ενός τριδιάτατου τανυτή της τάης. Κατά υνέπεια, δύο, και κατά προτίμηη τρεις, μη παράλληλες γεωτρήεις πρέπει να χρηιμοποιηθούν για να καθοριθεί πλήρως το εντατικό πεδίο. Πρέπει να ημειωθεί ότι τις περιπτώεις του επίπεδου γρύλου και της υδραυλικής θραύης, οι μηχανικές ιδιότητες του πετρώματος δεν χρηιμοποιούνται εκτός από την εφελκυτική αντοχή του πετρώματος που απαιτείται τη μέθοδο υδραυλικής θραύης. Για τον επίπεδο γρύλο, απαιτούνται μόνο οι εξιώεις μεταχηματιμού αξόνων, ενώ για την υδραυλική θραύη μόνο οι υντελετές υγκέντρωης τάης την περιφέρεια κυκλικής οπής, που είναι ανεξάρτητοι από τις μηχανικές ιδιότητες του πετρώματος αν υποτεθεί ιότροπη γραμμική ελατικότητα. Αντίθετα, για τη μέθοδο τορπίλης USBM, προκειμένου να μετατραπούν οι μετρημένες μετατοπίεις ε τάεις, απαιτούνται οι ελατικές ιδιότητες του πετρώματος. Τούτο ειάγει μια νέα ειρά υποθέεων. Τέλος, την περίπτωη της κυψέλης CSIRO, όπως φαίνεται το Σχήμα, το πλήρες εντατικό πεδίο μπορεί να καθοριτεί από τις μετρήεις της πίεης ε έξι ή περιότερες διαφορετικές κατευθύνεις που λαμβάνονται κατά τη διάρκεια μιας εφαρμογής της μεθόδου. Οι μηχανικές ιδιότητες του πετρώματος απαιτούνται επίης για τη μέθοδο αυτή. Μια υκευή που είναι εξοπλιμένη με 9 ή 1 μετρητές πίεης μπορεί να καθορίει την κατάταη της τάης ε ένα εγκαρίως ιότροπο πέτρωμα με πέντε ελατικές ταθερές. Επιτόπου μέτρηη της τάης.1 Μέθοδος επίπεδου γρύλου Σε γενικές γραμμές, η μέθοδος επίπεδου γρύλου για την μέτρηη της τάης, Mayer et al (1951) και Tincelin (1951), είναι απλή. Μία εγκοπή διανοίγεται ε μια επιφάνεια πετρώματος, όπως το

5 5 τοίχωμα μίας ήραγγας, με τη διάτρηη μιας ειράς επικαλυπτόμενων οπών ή με πριόνι, όπως δείχνεται το Σχήμα 3 (α). Με τον τρόπο αυτό χαλαρώνεται τελείως η εντατική κατάταη κάθετα το επίπεδο της εγκοπής και ελευθερώνεται το πέτρωμα εκατέρωθεν της εγκοπής από τις τάεις που ακούνταν παράλληλα το τοίχωμα πριν από την διάνοιξη της εγκοπής. Αυτή η ανακούφιη επιφέρει μια διατολή του πετρώματος την εγκοπή, η οποία μπορεί να μετρηθεί από τη ύγκλιη εγκαρίως της εγκοπής ή τη ύγκλιη μεταξύ δύο ταθερών ημείων εκατέρωθεν της εγκοπής. Ένας επίπεδος υδραυλικός γρύλος, ή ένας γρύλος τύπου Freysinnet, τοποθετείται μέα την εγκοπή (και τερεώνεται με τη βοήθεια ρευτοκονιάματος την περίπτωη παχιάς εγκοπής). Με τη βοήθεια αντλίας εφαρμόζεται πίεη το γρύλο η οποία αυξάνεται μέχρις ότου ακυρωθεί η μετατόπιη που επήλθε από τη διάνοιξη της εγκοπής, όπως δείχνεται το Σχήμα 3(β). Η απαιτούμενη πίεη για να επανέλθουν τα τοιχώματα της εγκοπής την αρχική τους θέη, θεωρητικά είναι ίη με την αρχική πίεη κάθετα το επίπεδο της εγκοπής που ακούταν πριν τη διάνοιξη της εγκοπής. Κατά υνέπεια, η μέθοδος επίπεδου γρύλου είναι μία, από μηδενικής τιμής, τεχνική από την οποία οι τάεις το πέτρωμα μπορούν να μετρηθούν άμεα. Εντούτοις, η μέθοδος πάχει από διάφορα μειονεκτήματα. Κατ' αρχάς, όπως εφαρμόζεται υνήθως, περιορίζεται τη μέτρηη των τάεων κοντά την επιφάνεια του πετρώματος. Δεύτερον, περιπλέκεται από την επίδραη του ερπυμού του πετρώματος κατά τη διαδικαία διάνοιξης της εγκοπής, ενεμάτωης και επαναφοράς του πετρώματος την αρχική του θέη. Σχήμα 3. (α) Εγκοπή, για τοποθέτηη επίπεδου γρύλου, διανοίγεται ε μια επιφάνεια του πετρώματος με επικαλυπτόμενα διατρήματα, παράγοντας ύγκλιη Δu μεταξύ των ακίδων μέτρηης (measuring pins), (β) Εγκάρια τομή της ίδιας εγκοπής μετά την τοποθέτηη του επίπεδου γρύλου και την εφαρμογή πίεης το γρύλο για την επαναφορά των ακίδων μέτρηης την αρχική τους θέη. Οι επίπεδοι γρύλοι κατακευάζονται υνήθως από λεπτές μεταλλικές πλάκες ενός τετραγωνικού πόδα (1 ft ) υγκολλημένες μεταξύ τους γύρω από την περίμετρό τους και εφοδιαμένες με ένα ωλήνα επικοινωνίας που επιτρέπει το έλαιο να ειέρχεται το μεταξύ τους κενό (Σχήμα 4, αριτερά). Οι ακίδες μέτρηης των μετατοπίεων εγκάρια την εγκοπή

6 6 τοποθετούνται εκατέρωθεν της εγκοπής, κατά προτίμηη επί της μεοκαθέτου της εγκοπής. Τοποθετούνται πριν από τη διάνοιξη της εγκοπής, και είτε υγκολλούνται την επιφάνεια του πετρώματος με τιμεντοκονίαμα είτε τερεώνονται ε διατρήματα με τιμεντένεμα. Τοποθετούνται υνήθως ε απόταη από μια ίντα έως ένα πόδι από την εγκοπή. Οι μετατοπίεις μεταξύ των ακίδων μετρούνται με μετρητή παραμόρφωης τύπου Huggenberger (Σχήμα 4, δεξιά), ή μηκυνιόμετρο με ωρολογιακό αναλογικό μικρόμετρο ακριβείας (dial gauge), ή με άλλες κατάλληλες υκευές μέτρηης. Επίπεδος γρύλος Μετρητής μετατόπιης τύπου Huggenberger Σχήμα 4. Επίπεδος γρύλος και μετρητής μετατόπιης Εάν η εγκοπή θεωρηθεί ως πεπλατυμένη έλλειψη ε κατάταη επίπεδης παραμόρφωης, η ορθή μετατόπιη μεταξύ των ακίδων μέτρηης εγκάρια την εγκοπή οφείλεται μόνο τη μεταβολή της ορθής τάης εγκάρια την εγκοπή και δεν επηρεάζεται από τη μεταβολή της διατμητικής τάης παράλληλα ε αυτή. Σε αυτή την περίπτωη η πίεη που απαιτείται ε ολόκληρη την επιφάνεια της εγκοπής για να ακυρώει τις μετατοπίεις που επέρχονται από την διάνοιξη της εγκοπής πρέπει να είναι ίδια με την αρχική ορθή τάη εγκάρια την εγκοπή. Στην πράξη, μια περιοχή, d, κοντά την άκρη ενός επίπεδου γρύλου είναι ανενεργή και το πλάτος του γρύλου, c j, είναι μικρότερο από αυτό της εγκοπής, c. Με ένα τέτοιο ύτημα η χέη μεταξύ της αρχικής ορθής τάης, n, εγκάρια την εγκοπή, και της πίεη ακύρωης του γρύλλου, p c μπορεί να προεγγιτεί από τη χέη:

7 7 = p ( c d) / c (1) n c j Η ύγκλιη, που προκαλείται από τη διάνοιξη της εγκοπής, Δu, μεταξύ των ακίδων μέτρηης ε απόταη y από το επίπεδο της εγκοπής κατά μήκος της μεοκαθέτου του, είναι: 1/ 1/ u c n / E{(1 v)[(1 y / c ) y/ c] (1 v)(1 y / c ) } Δ = () Σχήμα 5. Μετατοπίεις μεταξύ των ακίδων μέτρηης κατά τη διάρκεια της διάνοιξης της εγκοπής, τερέωης με τιμεντένεμα, και της εφαρμογής της πίεης τον επίπεδο γρύλο (Alexander, 1960). Από τις μετρήεις ε δύο ή περιότερες διαφορετικές αποτάεις y, τόο το μέτρο Young όο και ο λόγος Poisson μπορούν να υπολογιτούν. Οι μετρήεις των μετατοπίεων παράλληλα την εγκοπή που προκαλούνται από τη διάνοιξη της εγκοπής μπορούν να χρηιμοποιηθούν για να παράχουν μια εκτίμηη της διατμητικής τάης το επίπεδο της εγκοπής. Ο Alexander (1960) μελέτηε την επίδραη του ερπυμού και των αυνεχειών τις μετρήεις επίπεδου γρύλου επί τόπου, και ο Hoskins (1966) πραγματοποίηε παρόμοιες έρευνες ε εργατηριακά πειράματα. Χαρακτηριτικές μετατοπίεις μεταξύ των ακίδων μέτρηης κατά τη διάρκεια της διάνοιξης της εγκοπής, ενεμάτωης, και αποκατάταης πίεης παρουιάζονται το Σχήμα 5. Οι Panek και Stock (1964) πρότειναν διαδικαίες για να λαμβάνεται υπόψη η επίδραη του ερπυμού τις δοκιμές επίπεδου γρύλου, εκ των οποίων μία περιλαμβάνει τη διατήρηη της πίεης του επίπεδου γρύλου κοντά την πίεη ακύρωης για χρόνο υγκρίιμο με αυτόν για τον οποίο η εγκοπή παρέμεινε ανακουφιμένη από τις τάεις, για να επιτρέψει να πραγματοποιηθεί ο αντίτροφος ερπυμός προτού καθοριτεί η πίεη ακύρωης. Είναι ύνηθες να γίνονται οι μετρήεις επίπεδου γρύλου ε διάφορες αμοιβαία κάθετες εγκοπές, Alexander (1960) και Merrill (1964). Σε μια ήραγγα, παραδείγματος χάριν, οι οριζόντιες και κατακόρυφες εγκοπές μπορούν να διανοιχτούν τα τοιχώματα της ήραγγας για τη μέτρηη της κατακόρυφης και αξονικής εφαπτομενικής τάης την επιφάνεια, και μια κατακόρυφη

8 8 διαμήκης εγκοπή να διανοιχθεί την οροφή για τη μέτρηη της οριζόντιας εφαπτομενικής τάης την επιφάνεια του πετρώματος της οροφής. Οι μετρήεις μπορούν επίης να γίνουν το μέτωπο μιας ήραγγας. Εάν αυτές οι μετρήεις κοπεύουν το να παράχουν τοιχεία χετικά με τις τάεις πεδίου μακριά από τη ζώνη επιρροής της εκκαφής, τα αποτελέματα πρέπει να διορθωθούν για να ληφθούν υπόψη οι υγκεντρώεις τάεων γύρω από την εκκαφή. Για απλά χήματα εκκαφής, όπως μια κυκλική ήραγγα, οι υγκεντρώεις τάεων μπορούν να υπολογιτούν από τις αναλυτικές λύεις. Πιο περίπλοκες κατατάεις, όπως οι μετρήεις το μέτωπο μίας ήραγγας, μπορούν να ερμηνευθούν λαμβάνοντας υπόψη αποτελέματα από τεχνικές, φωτοελατικής ανάλυης ή αριθμητικές επιλύεις ε πρότυπα. Οι μετρήεις επίπεδου γρύλου πρέπει να γίνονται ε επιφάνεια όπου το πέτρωμα δεν είναι φθαρμένο λόγω διάβρωης, χαλάρωης τάεων, ή διαδικαιών εκκαφής. Η διόρθωη των μετρήεων για να ληφθούν υπόψη οι υγκεντρώεις τάεων γύρω από την εκκαφή είναι μια δύκολη και αβέβαιη διαδικαία. Οι Jaeger και Cook (1964) πρότειναν να προαρμοτεί η τεχνική επίπεδου γρύλου για χρήη ε διατρήματα βάθους μέχρι 6m, ώτε οι μετρήεις να γίνονται το υγιές πέτρωμα μακρύτερα από την ζώνη επιρροής της εκκαφής. Για αυτόν το λόγο ανέπτυξαν λεπτούς επιμήκεις καμπυλωμένους γρύλους που να ταιριάζουν τον κενό χώρο της εγκοπής. Όπως τη μέθοδο επίπεδου γρύλου, καμπύλοι γρύλοι, υνήθως τέερις που καθένας από αυτούς καλύπτει ένα τεταρτημόριο, χρηιμοποιούνται για να αποκατατήουν τις πιέεις τον πυρήνα που ανακουφίζεται με τη διάτρηη. Οι πιέεις τον πυρήνα μπορούν να μετρηθούν με ένα άλλο ύνολο γρύλων ή οποιαδήποτε άλλη κατάλληλη διάταξη. Η πλήρης θεωρία των ελατικών μετατοπίεων και των τάεων που παράγονται από ομόκεντρους γρύλους δίνεται από τους Jaeger και Cook (1976). Στο Σχήμα 6, παρουιάζεται ως παράδειγμα η εφαρμογή της δοκιμής επίπεδου γρύλου τα τοιχώματα ήραγγας, προκειμένου να μετρηθεί το υφιτάμενο δευτερογενές εντατικό πεδίο. Δύο ακίδες πακτώνονται ε οπές που διανοίγονται την περιφέρεια της εκκαφής. Η απόταη, d, μεταξύ τους μετριέται έπειτα με ακρίβεια. Μια ημικυκλική εγκοπή κόβεται τη υνέχεια το πέτρωμα μεταξύ των ακίδων, όπως φαίνεται το χήμα. Εάν η ορθή τάη είναι θλιπτική, οι ακίδες θα υγκλίνουν καθώς κόβεται η εγκοπή. Ένας επίπεδος δίκος, που αποτελείται από δύο μεταλλικά φύλλα υγκολλημένα παράλληλα μεταξύ τους καθώς και με ένα ωλήνα τροφοδοίας, πακτώνεται με ένεμα την εγκοπή. Ειπιέζοντας έλαιο ή νερό, οι ακίδες απομακρύνονται. Υποτίθεται ότι, όταν η απόταη των ακίδων φθάει αυτήν που ήταν προτού κοπεί η εγκοπή, η πίεη που ακείται από τον επίπεδο γρύλο τα τοιχώματα της εγκοπής είναι η ίδια με αυτήν που ακούνταν πριν από την κοπή της εγκοπής. Θα υπάρξει κάποιο φάλμα ε αυτήν την υπόθεη, που οφείλεται κυρίως την ύπαρξη των άκρων των γρύλων, που όμως μπορούν να ληφθούν υπόψη εάν

9 9 ο γρύλος είναι κατάλληλα βαθμονομημένος. Η δοκιμή παρέχει μια καλή εκτίμηη της ορθής τάης κάθετα το επίπεδο του γρύλου. Το ημαντικότερο μειονέκτημα του υτήματος είναι οι απαραίτητα απαιτούμενες έξι τουλάχιτον δοκιμές, ε διαφορετικούς προανατολιμούς, που πρέπει να εκτελεθούν ε έξι διαφορετικές θέεις και που επομένως θα διανεμηθούν την περιφέρεια της εκκαφής. Επομένως, οι δοκιμές αυτές θα εκτελεθούν ε θέεις που η πραγματική κατάταη της τάης είναι διαφορετική. Ως εκ τούτου, για να ερμηνευθούν κατάλληλα τα αποτελέματα, είναι απαραίτητο να είναι γνωτή η κατανομή της τάης γύρω από την εκκαφή της δοκιμής. Σχήμα 6. Δοκιμή επίπεδου γρύλου (Kim and Franklin, 1987). (α) Επίπεδος γρύλος. (β) Διάταξη δοκιμής. (γ) Απομάκρυνη ακίδων ε χέη με το χρόνο διάνοιξης της εγκοπής και ε χέη με την πίεη του γρύλου. (δ) Η διαδικαία της δοκιμής γρύλου ε εξέλιξη.

10 10. Υδραυλική θραύη Η μέθοδος υδραυλικής θραύης, για τη μέτρηη της τάης, παρέχει βαικά δύο πληροφορίες μέω της πίεης θραύης και της πίεης κλειίματος. Ένα μήκος γεώτρηης, με τυπικό μήκος 1m, επιλέγεται για τις μετρήεις πίεης, και απομονώνεται με ύτημα παρεμβυμάτων (Σχήμα 7). Στο απομονωμένο τμήμα ειπιέζεται νερό έως ότου ρωγματωθεί το πέτρωμα. Οι δύο μετρήεις που λαμβάνονται είναι η πίεη P B ύδατος για την επίτευξη της θραύης και η πίεη P s που απαιτείται για να κρατηθεί η θραύη ανοικτή, γνωτές, αντίτοιχα, ως πιέεις θραύης και κλειίματος. Σημαντικό είναι το απομονωμένο τμήμα της δοκιμής να εξαφαλίζεται από προϋπάρχουες ρωγμές του πετρώματος, έτι ώτε η θραύη που δημιουργείται να είναι πραγματική. Η εξαφάλιη αυτή επιβεβαιώνεται με τη χρηιμοποίηη τηλεοπτικής υκευής γεωτρήεων. Είναι επίης απαραίτητη η χρηιμοποίηη ενός παρεμβύματος εντύπωης ή ιοδύναμο ύτημα για τον καθοριμό του προανατολιμού και της θέης έναρξης της θραύης. Τέλος, πρέπει να αναφερθεί ότι, χρηιμοποιώντας τη βαική τεχνική, γίνεται η υπόθεη ότι η γεώτρηη είναι παράλληλη ε μια κύρια κατεύθυνη τάης. Η επίτευξη των παραπάνω δεν είναι πάντα δυνατή. Εντούτοις, είναι γεγονός ότι η μέθοδος υδραυλικής θραύης είναι η μόνη άμεη μέθοδος διαθέιμη για τη μέτρηη της τάης ε οποιαδήποτε ημαντική απόταη από τον παρατηρητή (δηλ. αποτάεις μεγαλύτερες από 100m), και έχει χρηιμοποιηθεί ε βάθη ακόμη και μερικών χιλιομέτρων.

11 11 Σχήμα 7. (α) Σύτημα υδραυλικής θραύης και (β) Σχετικοί υπολογιμοί (Kim and Franklin, 1987). Στη μέθοδο υπολογιμού που παρουιάζεται το Σχήμα 7(β), γίνεται η υπόθεη ότι ο υντελετής υγκέντρωης μιας κύριας τάης γύρω από τη γεώτρηη ε οριζόντιο επίπεδο λαμβάνει τις ακραίες τιμές -1 και 3 (Kirsch, 1898). Προκειμένου οι υντελετές υγκέντρωης τάης να είναι -1 και 3 γύρω από την κυκλική γεώτρηη, το πέτρωμα του τοιχώματος της γεώτρηης πρέπει να είναι υνεχές, ομοιογενές, ιότροπο και γραμμικά ελατικό. Επιπλέον, έχει υποτεθεί ότι το πέτρωμα είναι αδιαπέρατο, έτι ώτε το νερό της γεώτρηης να μην ειχωρεί το πέτρωμα και επηρεάζει την κατανομή της τάης. Η πίεη κλειίματος, P s, υποτίθεται, το θραυμένο πλέον πέτρωμα, ότι είναι ίη με την ελάχιτη οριζόντια κύρια τάη, h. Η μέγιτη οριζόντια κύρια τάη, H, βρίκεται έπειτα από την πίεη θραύης P B. Στον τύπο το Σχήμα 7, η πίεη διακοπής, P B, πρέπει να υπερνικήει την ελάχιτη οριζόντια κύρια τάη, h, (που τριπλαιάζεται από την παρουία της γεώτρηης) και να υπερνικήει την εφελκυτική αντοχή, t, του πετρώματος. Βοηθείται όμως από την εφελκυτική τάη που προκαλεί η μέγιτη οριζόντια κύρια τάη, H. Σημειώτε ότι όταν ειπιέζεται νερό ε μια γεώτρηη η πίεη του νερού, P, προκαλεί ίη εφελκυτική τάη την περιφέρεια της γεώτρηης. Γενικά, θεωρείται ότι η ρωγμή διαδίδεται κάθετα την κατεύθυνη της ελάχιτης κύριας τάης (Scheidegger, 196), και ότι η πίεη που απαιτείται για να διαδοθεί η ρωγμή είναι λίγο μεγαλύτερη από το μέγεθος της τάης αυτής.

12 1 Οι τάεις που προκαλούνται τα τοιχώματα μιας γεώτρηης ε έναν αδιαπέρατο πέτρωμα από τη πίεη ρευτού την περιοχή μεταξύ δύο παρεμβυμάτων έχουν υπολογιτεί από τον Kehle (1964). Στο μεγαλύτερο μέρος της περιοχής μεταξύ των παρεμβυμάτων η πίεη ρευτού, p, προκαλεί μια εφαπτομενική εφελκυτική τάη, θ = -p, και μια ακτινική θλιπτική τάη, r = p και μηδενική αξονική τάη. Κοντά τα παρεμβύματα η εφαπτομενική τάη μειώνεται το μηδέν και η αξονική τάη γίνεται εφελκυτική με μέγεθος πολύ κοντά το p. Υποθέτε ότι μία ρωγμή αρχίζει από την επιφάνεια της οπής όταν η πίεη, p, προκαλεί μια καθαρή εφελκυτική ένταη, Τ, ικανή για να προκαλέει την ατοχία. Η έναρξη ρωγματώεως φαίνεται δυνατή είτε κατά μήκος ενός αξονικού επιπέδου την κεντρική περιοχή μεταξύ των παρεμβυμάτων είτε κατά μήκος ενός επιπέδου κάθετου τον άξονα της οπής τις περιοχές κοντά τα παρεμβύματα. Εάν ο άξονας της γεώτρηης είναι παράλληλος τον ένα από τους άξονες των κυρίων τάεων, z, και οι κύριες τάεις κάθετα τον άξονα της οπής είναι x > y, οι ρωγμές εμφανίζονται όταν: p T + (3 y x) (3) p T + z + v(3 y x) (4) Όταν 3 3 η ρωγμάτωη ξεκινάει το αξονικό επίπεδο παράλληλο την κατεύθυνη της x και διαδίδεται το ίδιο επίπεδο υπό τον όρο ότι z > y. Η ρωγμάτωη ξεκινάει κάθετα τον άξονα της οπής όταν 3 3 και διαδίδεται το ίδιο επίπεδο υπό τον όρο ότι z < y. Ενώ αυτή η υζήτηη έχει χέη με την έναρξη της ρωγμάτωης γύρω από μια οπή ε ελατικό πέτρωμα, πρέπει να ημειωθεί ότι η υνθήκη για τη διάδοη ρωγμής είναι μόνο ότι η πίεη p είναι ίη με ή ελαφρώς μεγαλύτερη από τη ελάχιτη κύρια τάη, είτε το πέτρωμα είναι ελατικό ή όχι. Η πίεη ρευτού που απαιτείται για τη διάδοη μίας ρωγμής παρέχει μία άμεη μέτρηη της τιμής της ελάχιτης κύριας τάης το πέτρωμα, οποιεδήποτε αν είναι οι ιδιότητές αυτού. Εφόον ιχύουν οι παραπάνω υποθέεις της ελατικότητας, διαπιτώνουμε ότι οι υντελετές υγκέντρωης τάης δεν εξαρτώνται από τις ελατικές ταθερές του πετρώματος ούτε από τη διάμετρο της γεώτρηης. Εντούτοις, πρέπει να γνωρίζουμε την εφελκυτική αντοχή, t, του πετρώματος. Ο καλύτερος τρόπος για να μετρηθεί η εφελκυτική αντοχή είναι από τη δοκιμή ε κοίλο κύλινδρο. Τούτο, επειδή η εφελκυτική αντοχή δεν είναι μια απόλυτη ιδιότητα του υλικού, αλλά εξαρτάται από τη μορφή και τις υνθήκες φόρτιης της δοκιμής..

13 13.3 Μέθοδοι υπερδιάτρηης γεωτρήεων Οι τάεις το πέτρωμα γύρω από γεώτρηη μπορούν να αποτονωθούν με υπερδιάτρηη, και οι επακόλουθες παραμορφώεις της οπής μπορούν να χρηιμοποιηθούν για να υπολογιθεί η απόλυτη τάη το πέτρωμα, υπό τον όρο ότι οι ιδιότητες του πετρώματος είναι γνωτές. Σχήμα 8. Τομή δια μέω μιας γεώτρηης με μετρητή παραμόρφωης που μόλις έχει υπερδιατρηθεί. Διάφοροι ερευνητές έχουν αναπτύξει μετρητές παραμόρφωης γεωτρήεων που μετρούν την παραμόρφωη ε μια ή περιότερες διαμέτρους μιας οπής διαμέτρου 1½ ίντας. Οι μετρητές παραμόρφωης γεωτρήεων είναι εύκαμπτοι, ή μαλακοί, και ακούν μόνο ένα αμελητέο φορτίο το εωτερικό της γεώτρηης. Είναι ουιατικά παχύμετρα γεωτρήεων με δυνατότητα από απόταη ανάγνωης των μετρήεων, με ακρίβεια μέτρηης της παραμόρφωης 0.00 cm και εύρος μετρήεων 0-cm. Με υπερδιάτρηη διαμέτρου 15cm είναι δυνατό να ληφθούν μετρήεις ε βάθος μεγαλύτερο των 6 μέτρων μέα το πέτρωμα (Σχήμα 8). Υποθέτοντας ότι ο άξονας της οπής είναι την κατεύθυνη μιας κύριας τάης, της z, η αύξηη του μήκους μιας διαμέτρου με κλίη θ ως προς τη διεύθυνη της μέγιτης κύριας τάης, x > y, λόγω της αποτόνωης των κυρίων τάεων με την υπερδιάτρηη, είναι: δ = ( R/ E)[( x + y) + ( x y)(1 v )cos θ v y] (5) Εάν μετρηθεί η αλλαγή του μήκους τριών διαμέτρων με διαφορετικούς προανατολιμούς προκύπτουν από την (1) τρεις εξιώεις που μπορούν να λυθούν για να προδιοριτούν οι x και y υναρτήει της z και της γωνίας θ. Το μέτρο του Young του πετρώματος πρέπει να είναι γνωτό με την ίδια επιθυμητή ακρίβεια εκτίμηης των κυρίων τάεων. Η ακρίβεια με την οποία απαιτείται να είναι γνωτός ο λόγος Poisson, είναι μικρότερη. Ο Fairhurst (1965) εξετάζοντας την περίπτωη όπου η γεώτρηη δεν είναι παράλληλη ε μία από τις κύριες τάεις έδειξε ότι, η υνιτώα της διατμητικής τάης παράλληλα τον άξονα της οπής δεν έχει καμία επίδραη το μήκος της διαμέτρου και ότι οι ορθές υνιτώες της τάης κάθετα ε μία τέτοια οπή μπορούν να βρεθούν υναρτήει της υνιτώας παράλληλα με την οπή, από μετρήεις της παραμόρφωης τριών διαμέτρων με διαφορετικούς προανατολιμούς, όπως την περίπτωη που ο άξονας της

14 14 οπής είναι παράλληλος ε μια κύρια τάη. Η υνολική εντατική κατάταη μπορεί να βρεθεί από μετρήεις ε τρεις αμοιβαία κεκλιμένες οπές. Τα τοιχώματα των οπών που έχουν κλίη ως προς την κατεύθυνη μίας κύριας τάης παραμορφώνονται εφαπτομενικά και κατά μήκος. Οι μετρητές παραμόρφωης γεωτρήεων πρέπει επομένως να μην είναι ευαίθητοι την παραμόρφωη των τοιχωμάτων της οπής κάθετα τη διάμετρό της. Οι μετρητές παραμόρφωης γεωτρήεων είναι ακατάλληλοι για τη μέτρηη τάεων κοντά την αντοχή του πετρώματος επειδή τα τοιχώματα της γεώτρηης ατοχούν, προκαλώντας ανελατικές παραμορφώεις, και η υπερδιάτρηη γίνεται αδύνατη λόγω της ατοχίας του εωτερικού πυρήνα ε μορφή δίκων (core disking) πετρώματος. Το θέμα της επιρροής της ανιοτροπίας και της χρονικά εξαρτημένης παραμόρφωης την παραμόρφωη γεωτρήεων έχει υζητηθεί από τους Berry και Fairhurst (1965), οι οποίοι κατέληξαν το υμπέραμα ότι μπορεί να προκύψουν ημαντικά λάθη τον προδιοριμό της τάης όταν δεν λαμβάνεται υπόψη η τυχόν έντονη ανιοτροπία το πέτρωμα..3.1 Μέτρηη της παραμόρφωης με την τορπίλη USBM Όπως φαίνεται το Σχήμα, η τεχνική USBM επιτρέπει τον πλήρη καθοριμό του εντατικού πεδίου ε ένα επίπεδο από τρεις μετρήεις της μεταβολής της διαμέτρου μιας γεώτρηης, όταν απελευθερώνονται οι τάεις με υπερδιάτρηη. Αφού ειέλθει η τορπίλη ε μια γεώτρηη, έξι ακίδες ωθούνται τα τοιχώματά της. Όταν η γεώτρηη υπερδιατρηθεί από μεγαλύτερης διαμέτρου γεώτρηη, η τάη τον προκύπτοντα κοίλο κύλινδρο μηδενίζεται, η διάμετρος των τοιχωμάτων μεταβάλλεται, οι ακίδες μετατοπίζονται, και οι παραμορφώεις μετρώνται από του υνδεμένους μετρητές. Από προηγούμενες δοκιμές βαθμονόμηης υνάγονται οι πραγματικές μεταβολές της διαμέτρου. Από αυτές τις μεταβολές, και με τη χρήη της θεωρίας ελατικότητας, προκύπτει η διαξονική κατάταη της τάης το επίπεδο το κάθετο τον άξονα γεώτρηης. Σε αυτήν την δοκιμή, όπως την υδραυλική θραύη, καθορίζουμε τις τάεις του απώτερου εντατικού πεδίου που έχουν υγκεντρωθεί γύρω από τη γεώτρηη μέτρηης. Μια χρήιμη πτυχή της τεχνικής USBM είναι ότι παρέχει έναν κυλινδρικό πυρήνα που μπορεί να δοκιμαθεί το εργατήριο για να καθοριθούν οι ελατικές ιδιότητες του ίδιου του πετρώματος. Θεωρώντας ότι ιχύουν οι υποθέεις που έγιναν, ο μετρητής USBM είναι αποτελεματικός επειδή είναι επαναχρηιμοποιήιμος, επιτρέπει πολλαπλές μετρήεις ε μία γεώτρηη και είναι χετικά φτηνός και ανθεκτικός. Κάθε μέτρηη μεταβολής μιας διαμέτρου επιτρέπει τον υπολογιμό μιας ορθής παραμόρφωης. Συνήθως πραγματοποιούνται περιότερα από ένα διατρήματα (Σχήμα 9) με αντίτοιχες μετρήεις. Μέω της χρήης των εξιώεων μεταχηματιμού της τάης, είναι

15 15 δυνατός ο υπολογιμός των κύριων υνιτωών της διαξονικής κατάταης της τάης και του προανατολιμού τους. Υπάρχει, εντούτοις, η προτιθέμενη παρουία της γεώτρηης, η οποία διαταράει την κατάταη της τάης από την επί τόπου φυική κατάταη. Σχήμα 9. Διάταξη διατρημάτων (Kim & Franklin, 1987).3. Μέτρηη της παραμόρφωης με την κυψέλη CSIRO Αυτή η υκευή λειτουργεί (Σχήμα 10, αριτερά) παρόμοια με την αρχή της τορπίλης USBM, εκτός του ότι ο μετρητής είναι κολλημένος τη γεώτρηη και μπορεί να μετρήει τις κανονικές πιέεις ε ποικίλους προανατολιμούς και θέεις γύρω από το τοίχωμα της γεώτρηης. Ο μετρητής υγκολλείται τη θέη του μέα την γεώτρηη, οι αρχικές αναγνώεις της τάης λαμβάνονται και ο μετρητής υπερδιατρείται (Σχήμα 10, δεξιά). Τούτο αποτονώνει τον προκύπτοντα κοίλο κύλινδρο και λαμβάνονται οι τελικές αναγνώεις των μετρητών πίεης. Ο μετρητής έχει 9 ή 1 χωριτούς μετρητές παραμόρφωης, ε ροζέτες των τριών. Κατ αυτόν τον τρόπο υπάρχει περίεια τις μετρήεις, επιτρέποντας τατιτική ανάλυη των τοιχείων. Εναλλακτικά, εάν το πέτρωμα θεωρηθεί ότι είναι εγκάρια ιότροπο, οι πρόθετες αναγνώεις επιτρέπουν τον υπολογιμό της κατάταης της τάης λαμβάνοντας υπόψη την ανιοτροπία. Ένα ημαντικό πλεονέκτημα αυτού και των παρόμοιων μετρητών είναι ότι ο προκύπτων κοίλος κύλινδρος ανακτάται από τη γεώτρηη και μπορεί να υποβληθεί ε εργατηριακή δοκιμή υπό ελεγχόμενες υνθήκες προκειμένου να καθοριτούν, η λειτουργικότητα του υτήματος (π.χ. εάν οποιοιδήποτε μετρητές πίεης έχουν αποκολληθεί, εάν ο κύλινδρος αποτελείται από άρρηκτο

16 16 πέτρωμα, κλπ), και οι απαραίτητες ελατικές ταθερές. Ένα ημαντικό πρόβλημα της μεθόδου είναι το περιβάλλον της γεώτρηης. Πριν από την κόλληη του μετρητή, η επιφάνεια του τοιχώματος μπορεί εύκολα να λερωθεί με υλικό που εμποδίζει την προκόλληη. Επίης εάν το νερό της διάτρηης είναι ε διαφορετική θερμοκραία από το πέτρωμα, η θερμική διατολή ή υτολή του κοίλου κυλίνδρου μπορεί να ειάγει παραπλανητικές τάεις. Η μακροπρόθεμη ταθερότητα της κόλλας μπορεί επίης να μην είναι υμβατή με το χρόνο ζωής του μετρητή. Υπέρ του υτήματος είναι παράγοντες όπως ότι, ο μετρητής είναι χετικά φτηνός, περιέχει ενωματωμένη περίεια (ηλεκτρική και μαθηματική) και, είναι η μοναδική από τις τέερις μεθόδους που περιγράφηκαν, που προδιορίζει την πλήρη κατάταη της τάης με μια εγκατάταη. Σχήμα 10. Μέτρηη με τη τορπίλη CSIRO (Kim & Franklin, 1987). Αριτερά: Ο μετρητής. Δεξιά: Η διαδικαία τοποθέτηης..4 Μετρήεις τον πυθμένα γεώτρηης Διάφοροι ερευνητές έχουν επιδιώξει να καθορίουν τις τάεις το πέτρωμα με τη ταθερή υγκόλληη ηλεκτρικών μηκυνιομέτρων (strain gauges), π.χ. το κελί doorstopper του CSIR, το

17 17 πυθμένα μιας γεώτρηης, που έχει πρώτα εξομαλυνθεί (Σχήμα 11), και τη μέτρηη της αποτόνωης που επέρχεται με την επανέναρξη της διάτρηης του πυθμένα με κοπτικό πυρηνοληψίας ε δακτύλιο ίδιας εξωτερικής διαμέτρου με την γεώτρηη. Αυτή η μέθοδος έχει το πλεονέκτημα της αποφυγής προβλημάτων που χετίζονται με την υπερδιάτρηη γεώτρηης με ένα μεγάλης διαμέτρου κοπτικό δακτύλιο, ενώ έχουν πραγματοποιηθεί μετρήεις ε βάθος γεώτρηης μεγαλύτερο από 30 m. Η μεγαλύτερη δυκολία με αυτή τη μέθοδο είναι η απαίτηη υχετιμού της αποτόνωης των παραμορφώεων τον πυθμένα της γεώτρηης με τις τάεις του πετρώματος. Καθόον η υγκεκριμένη μορφή της δοκιμής δεν επιτρέπει κλειτή λύη, η υχέτιη της τάης με την παραμόρφωη βαίζεται ε απλές χέεις προαρμομένες τα αποτελέματα αριθμητικών επιλύεων ή πειραμάτων φωτοελατικότητας. Σχήμα 11. Τομή μέω μιας γεώτρηης με επίπεδο πυθμένα και υγκολλημένο ε αυτόν μηκυνιόμετρο, με ακόλουθη υπερδιάτρηη. Εάν x, y, z είναι οι διευθύνεις των κυρίων τάεων το πέτρωμα και ο άξονας της γεώτρηης είναι παράλληλος με τη διεύθυνη z, η παραμόρφωη κατά την διεύθυνη x τον πυθμένα της γεώτρηης, που βρίκεται ε κατάταη επίπεδης παραμόρφωης, είναι ε = [ a( ) b(1 v) ]/ E (6) x x y z Οι πειραματικές τιμές για το a είναι από 1.1 έως 1.6 και για το b από 0.07 έως 1.04 για γεώτρηη με επίπεδο πυθμένα, ενώ το a είναι.0 και το b είναι 0.5 για γεώτρηη με ημιφαιρικό πυθμένα. Δεδομένου ότι ο υντελετής ε μια κατεύθυνη κάθετα την τάη πεδίου είναι μηδέν για γεώτρηη με επίπεδο πυθμένα το πρόβλημα μπορεί να αναλυθεί χρηιμοποιώντας ένα αξιυμμετρικό προομοίωμα πεπεραμένων τοιχείων, το οποίο λαμβάνεται a = 1.13 και b = 0.9 για v = 0.5. Η επίδραη των διατμητικών τάεων παράλληλα τη γεώτρηη θεωρείται αμελητέα. Οι παραμορφώεις τον πυθμένα μιας γεώτρηης μπορούν να μετρηθούν ε τρεις διευθύνεις, OP, OQ, OR, με γνωτή μεταξύ τους κλίη χρηιμοποιώντας μια ροζέτα μέτρηης παραμορφώεων. Θεωρούμε ότι η OP τοποθετείται ε άγνωτη γωνία θ ως προς την κατεύθυνη της κύριας τάης x και ότι οι παραμορφώεις που προκαλούνται από την υπερδιάτρηη της ροζέτας είναι ε P, ε Q, ε R. Οι υνήθεις χέεις για την εύρεη των κύριων παραμορφώεων και

18 18 του προανατολιμού τους ε δύο διατάεις από τρεις μετρήεις παραμορφώεων μπορούν να εφαρμοτούν για την εύρεη του προανατολιμού των ε x, ε y και του μεγέθους των ε x, ε y, όπου ε = ε + b(1 v) / E και ε = ε + b(1 v) / E Στην πρακτική περίπτωη που α = β = π/4, έχουμε x x z y y z ε + ε = ε + ε x y P R ε ε ε ε ε ε ε 1/ x y = [( P Q + R ) ( P R) ] θ ε ε ε ε ε 1 = tan ( P Q + R ) /( P R ) (7) Η πλήρης εντατική κατάταη μπορεί να βρεθεί είτε με την εκτέλεη μετρήεων τον πυθμένα δύο κάθετων μεταξύ τους οπών (υποθέτοντας ότι ορύονται την κατεύθυνη μιας κύριας τάεις η κάθε μία) είτε με δύο ετ μετρήεων την ίδια γεώτρηη διαμορφώνοντας επίπεδο πυθμένα για την πρώτη και ημιφαιρικό πυθμένα για τη δεύτερη. Οι διαφορετικές ταθερές την (6) για επίπεδο και ημιφαιρικό πυθμένα επιτρέπουν την εύρεη των x, y, z από τις μετρήεις την ίδια οπή. Εάν οι διευθύνεις των κύριων τάεων δεν είναι γνωτές, πρέπει να γίνουν μετρήεις ε μια πρόθετη γεώτρηη που δεν είναι ούτε κάθετη ούτε παράλληλη τις οπές που χρηιμοποιήθηκαν τις προηγούμενες περιπτώεις..5 Εγκλειμένοι μετρητές τάης Οι εγκλειμένοι μετρητές τάης ε γεωτρήεις διαφέρουν από τους μετρητές παραμόρφωης ε γεωτρήεις δεδομένου ότι είναι δύκαμπτες υκευές που έχουν μέτρο ελατικότητας μεγαλύτερο από αυτό του πετρώματος. Χρηιμοποιούνται για την άμεη μέτρηη των τάεων χωρίς να απαιτείται η μέτρηη των παραμορφώεων και ο υπολογιμός των τάεων από τις παραμορφώεις. Εάν ένας εγκλειμένος κυλινδρικός μετρητής τάεων τερεωθεί με τιμέντο ε γεώτρηη έτι ώτε οι τάεις και οι μετατοπίεις να είναι πάντα υνεχείς το όριο μεταξύ του μετρητή και του περιβάλλοντος πετρώματος, οποιαδήποτε αλλαγή τις τάεις πεδίου το πέτρωμα παράγει μια αλλαγή των τάεων το μετρητή. Η χέη μεταξύ των τάεων το μετρητή και εκείνων το πέτρωμα εξαρτάται κυρίως από την αναλογία μεταξύ του μέτρου διάτμηης του υλικού του μετρητή, G 0, και του πετρώματος, G, και είναι απαλά εξαρτώμενη από τις χετικές τιμές του λόγου Poisson. Υποθέτε ότι οι λόγοι Poisson για το πέτρωμα και το υλικό του μετρητή είναι και οι δύο 0.5. Για υνθήκες επίπεδης παραμόρφωης η μεταβολή την τιμή οποιαδήποτε τάης κάθετα τον άξονα της γεώτρηης,, προκαλεί αντίτοιχη μεταβολή της τάης, 0, την ίδια διεύθυνη το έγκλειμα. Αυτές οι μεταβολές διέπονται από τη χέη / = 3 k/(k + 1) (8) 0

19 19 όπου k = G 0 /G. Ο λόγος 0 / τείνει ε μια ταθερή τιμή 3/ όταν το k τείνει το άπειρο (Jaeger & Cook, 1976). Υπό τον όρο ότι το μέτρο διάτμηης του μετρητή είναι πολύ μεγαλύτερο από αυτό του πετρώματος, οι μεταβολές της τάης το πέτρωμα απεικονίζονται ως μεταβολές της πίεης το μετρητή, οι οποίες είναι λίγο πολύ ανεξάρτητες από το υντελετή διάτμηης του πετρώματος. Πρώτος ο Coutinho (1949) πρότεινε έναν άκαμπτο εγκειμένο μετρητή για τον καθοριμό των τάεων το κυρόδεμα. Στη υνέχεια, εγκλειμένοι μετρητές τάεων έχουν κατακευατεί για τη μέτρηη τάεων το πέτρωμα από τους Potts (1954), Hiramatsu et al (1957), Hast (1958), May (1959), Wilson (1961), και άλλους. Οι τάεις το μετρητή μετρούνται με υδραυλικές κάψουλες, πώματα από διπλοθλατικό γυαλί, μαγνητουταλτικά, και μηκυνιόμετρα ηλεκτρικής αντίταης. Η θεωρία την οποία είναι βαιμένη η λειτουργία των εγκλειμένων μετρητών τάης υποθέτει τη υνέχεια των τάεων και μετατοπίεων ε ολόκληρο το ύνορο μεταξύ του μετρητή και της γεώτρηης. Ο Leeman (1964) επιήμανε ότι, όταν ένας μετρητής προαρμόζεται ακριβώς ε μίας κυκλική οπή, μία μεταβολή της μονοαξονικής τάης έχει ως αποτέλεμα την απώλεια επαφής μεταξύ του μετρητή ε μέρος του υνόρου. Για αυτόν τον λόγο οι μετρητές τάης εγκαθίτανται γενικά με μία υψηλή προένταη και τιμεντάρονται τις γεωτρήεις. Οι εγκλειμένοι μετρητές τάης ε γεωτρήεις έχουν χρηιμοποιηθεί γενικά για την καταγραφή των μεταβολών τάης. Οι Berry και Fairhurst (1966) έχουν αναλύει το πρόβλημα των μετρητών τάης ε ένα βικοελατικό υλικό και δείχνουν ότι οι τάεις το μετρητή αλλάζουν αρκετά με το χρόνο λόγω ερπυμού, ακόμα κι αν οι τάεις πεδίου το πέτρωμα παραμένουν ταθερές. Στο πέτρωμα που επιδεικνύει αξιόλογο ερπυμό αυτό θα μπορούε να παρέχει ένα μέο για τον καθοριμό των επί τόπου φυικών τάεων το πέτρωμα..6 Στατιτική επεξεργαία των τοιχείων κατάταης της τάης Τις επαναλαμβανόμενες μετρήεις μιας μεταβλητής, ακολουθεί τατιτική επεξεργαία με κοπό τον προδιοριμό της ακρίβειας του υτήματος μέτρηης. Όταν μετριέται ένα βαθμωτό μέγεθος, η μέη τιμή και η ταθερή απόκλιη χρηιμοποιούνται υμβατικά ως μέτρα της τιμής και της μεταβλητότητάς της. Στην περίπτωη του τανυτή της τάης υπάρχουν έξι ανεξάρτητες τιμές. Η κατάταη της τάης προδιορίζεται από το μέγεθος και τον προανατολιμό των κυρίων τάεων. Έτι, εάν ένας αριθμός μετρήεων τάης έχει πραγματοποιηθεί ε μια περιοχή, η ωτή διαδικαία είναι να βρεθούν οι υνιτώες της τάης ε ένα κοινό ύτημα αναφοράς, να υπολογιτεί ο μέος όρος των υνιτωών, και να υπολογιτούν έπειτα οι κύριες τάεις από τις έξι τιμές των μέων υνιτωών. Σημειώτε επίης ότι κάθε μία από τις έξι ανεξάρτητες υνιτώες του τανυτή έχει τη δική της μέη τιμή και ταθερή απόκλιη, που θα είναι γενικά

20 0 διαφορετικές για κάθε μία. Κατά υνέπεια, η μεταβλητότητα (που εκφράζεται μέω των έξι τυπικών αποκλίεων των υνιτωών) είναι επίης τανυτής με κύριες τιμές και διευθύνεις που δεν υμπίπτουν με τις κατευθύνεις των κυρίων τάεων. Η μορφή της μεταβλητότητας διάφορων μετρήεων που γίνονται ε μια θέη μπορεί από μόνη της να είναι διαγνωτική. Η διαδικαία εύρεης του μέου όρου δύο τανυτών έχει ως ακολούθως: Έτω τα αποτέλεμα δύο προγραμμάτων μέτρηης της τάης που προδιορίζονται από τους δείκτες α και β: α 0 α α β 0 β β 3 Οι κύριες υνιτώες της τάης ε αυτούς τους τανυτές θα έχουν γενικά διαφορετικούς προανατολιμούς. Πριν υπολογιθεί ο μέος όρος, θα πρέπει να μεταχηματιτούν ε ένα κοινό ύτημα αξόνων αναφοράς, κατά υνέπεια: a xx symmetric a xy a yy a xz a yz a zz β xx symmetric β xy β yy β xz β yz β zz Ο μέος όρος των δύο τανυτών είναι: α β α β α β ( ) ( ) ( ) xx + xx xy + xy xz + xz α β α β ( ) ( ) ( ) yy + yy yz + yz α β symmetric + zz zz από τον όποιο μπορεί να υπολογιθούν οι κύριες υνιτώες του τανυτή με τις κύριες διευθύνεις τους. Οι τανυτές αποτελούνται από μία βαθμωτή υνιτώα και μία διανυματική. Κατά υνέπεια, κατά την προθήκη δύο τανυτών (Hudson and Harrison, 1997) προτίθεται η υδροτατική υνιτώα ως βαθμωτό μέγεθος κατά μήκος του άξονα ορθής τάης και η αποκλίνουα υνιτώα ως διάνυμα το χώρο τ-. Αυτή η μέθοδος μπορεί επίης να προεκταθεί ε οποιοδήποτε αριθμό τανυτών.

21 1 3 Φυική κατάταη της τάης 3.1 Πρόβλεψη του φυικού εντατικού πεδίου με βάη τη θεωρία ελατικότητας Σαν πρώτη προέγγιη της πρόβλεψης, γίνεται υνήθως η υπόθεη ότι η μία από τις τρεις κύριες τάεις του φυικού εντατικού πεδίου δρα κατακόρυφα και οι άλλες δύο οριζόντια. Η κατακόρυφη υνιτώα v αναμένεται ότι αυξάνει ε μέγεθος με το βάθος z από την επιφάνεια του εδάφους, λόγω του φαινόμενου βάρους γ των υπερκειμένων. Η κατακόρυφη υνιτώα της τάης αναμένεται ύμφωνα με τα παραπάνω να δίνεται από τη χέη: v =γ z (9) Στα πετρώματα υνήθεις τιμές του φαινόμενου βάρους κυμαίνονται από γ=0.03mn/m 3 για αργιλικούς χιτόλιθους έως γ=0.030mn/m 3 για το γάββρο. Αυτή η προέγγιη χρηιμοποιείται για την εκτίμηη της κατακόρυφης υνιτώας της τάης, εκτός αν το πρόγραμμα προδιοριμού τάης περιλαμβάνει την άμεη μέτρηή της. Για παράδειγμα, κατά τη χρηιμοποίηη της μεθόδου υδραυλικής θραύης, η κατακόρυφη υνιτώα υπολογίζεται με αυτήν την τεχνική. Αντιθέτως, χρηιμοποιώντας το μετρητή CSIRO, μετρείται ο πλήρης τανυτής της τάης και έτι δεν είναι απαραίτητο να εκτιμηθεί η κατακόρυφη υνιτώα της τάης με βάη την παραπάνω χέη. Δεδομένης της κατακόρυφης υνιτώας της τάης ε ένα ημείο της βραχομάζας, αναμένεται ότι μία οριζόντια υνιτώα θα προκαλούνταν ως αποτέλεμα της κατακόρυφης υμπίεης του πετρώματος. Προκειμένου να υπολογιθεί η οριζόντια υνιτώα, θεωρείται χάριν απλοποίηης ότι το πέτρωμα είναι υνεχές, ομογενές, ιότροπο, γραμμικά ελατικό υλικό. Επομένως, μία οριζόντια κύρια υνιτώα της παραμόρφωης δίνεται από τη χέη: ε ε 1 E ( ν ν ) H1 = H1 H H 1 E ( ν ν ) = H H1 v v (10) Θεωρώντας ότι οι οριζόντιες παραμορφώεις παρεμποδίζονται λόγω της ύπαρξης των γειτονικών πετρωμάτων που και αυτά υφίτανται το ίδιο κατακόρυφο βαρυτικό φορτίο, προκύπτει:

22 1 ( H1 ν H ν )= ε H E ε H1 = v H1 = H = H 1 E ( ν ν ) = H H1 v =0=> ν = v 1 ν (11) Αυτή η χέη ύμφωνα με τους Turchaninov et α1. (1979), παρήχθη αρχικά από τον ακαδημαϊκό Dinnik το 195. Θα πρέπει να ημειωθεί εδώ ότι το μέτρο ελατικότητας του πετρώματος θεωρείται ταθερό ε όλη τη βραχομάζα. Από αυτήν την ανάλυη, διαπιτώνουμε ότι λόγος μεταξύ της οριζόντιας και της κατακόρυφης υνιτώας της τάης είναι υνάρτηη μόνον του λόγου του Poisson. Ως εκ τούτου, γνωρίζοντας τις ακραίες τιμές του λόγου του Poisson για τα πετρώματα, μπορούμε να βρούμε τα θεωρητικά ανώτερα και κατώτερα όρια για την προκαλούμενη οριζόντια υνιτώα της τάης. Έτι, για ν = 0, H = 0 για ν = 0.5, H = 0.33 v για ν = 0.5, H = v Επομένως, για τη χαμηλότερη τιμή του ν=0 αντιτοιχεί η χαμηλότερη τιμή του λόγου των υνιτωών της τάης. Για τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του λόγου του Poisson ν=0.5 αντιτοιχεί οριζόντια υνιτώα της τάης ίη με την κατακόρυφη. Για τη υνήθη τιμή του λόγου του Poisson ν=0.5, η προκαλούμενη οριζόντια υνιτώα της τάης είναι ίη με το ένα τρίτο της εφαρμοζόμενης κατακόρυφης τάης. Αυτοί οι υπολογιμοί υποδεικνύουν τις πιθανές τιμές των κατακόρυφων και οριζόντιων υνιτωών του φυικού εντατικού πεδίου ύμφωνα με τη θεωρία της ιότροπης ελατικότητας. 3. Μετρημένες τιμές του φυικού εντατικού πεδίου Τις παραπάνω θεωρητικές προβλέψεις δυνάμεθα να τις υγκρίνουμε με μετρήεις των υνιτωών της τάης που πραγματοποιήθηκαν κατά τη διάρκεια των τριών τελευταίων δεκαετιών. Σε μερικές περιπτώεις, οι μετρήεις ήταν μάλλον βιατικές και δεν καθόριαν όλα τις υνιτώες του τανυτή των τάεων. Σε άλλες περιπτώεις, έγινε προπάθεια υπολογιμού και των έξι ανεξάρτητων υνιτωών του τανυτή της τάης. Μερικά από αυτά τα τοιχεία υλλέχθηκαν από τους Hoek and Brown (1980) και παρουιάζονται τις δύο γραφικές παρατάεις το Σχήμα 1 και το Σχήμα 13. Στο Σχήμα 1, χεδιάζεται η ευθεία v =0.07 z, που υμφωνεί με τη χέη v =γ z, για γ=0.07mn/m 3. Διαπιτώνεται, ότι η εκτίμηη της κατακόρυφης υνιτώας της τάης είναι βαικά ωτή, με την έννοια της γραμμής βέλτιτης προαρμογής. Σε πολλές περιπτώεις η μετρημένη υνιτώα της τάης είναι χεδόν ακριβώς όπως προβλέπεται. Εν τούτοις, ε άλλες περιπτώεις και ειδικά ε βάθη μικρότερα από 1500m, η μετρημένη υνιτώα

23 3 μπορεί να είναι ημαντικά διαφορετική, ως και πενταπλάια ή υποπενταπλάια, από την προβλεφθεία. Επομένως, εφόον είναι δυνατόν ή το μέγεθος του έργου το επιβάλει, είναι προτιμότερη η μέτρηη της τάης παρά η εκτίμηή της. Σχήμα 1. Παγκόμια τοιχεία κατακόρυφης υνιτώας της τάης (Hoek and Brown, 1980). Στο Σχήμα 13 υχετίζεται ο υντελετής πλευρικής ώθηης του πετρώματος k, δηλ. ο λόγος της οριζόντιας υνιτώας της τάης προς την κατακόρυφη, με το βάθος. Προκειμένου να υπολογιθεί ο υντελετής αυτός, ως οριζόντια υνιτώα της τάης ορίζεται η μέη τιμή των δύο οριζόντιων υνιτωών. Τούτο ομαλοποιεί τυχόν ακρότητες τις μετρήεις του k. Θεωρητικά δείξαμε προηγουμένως, με βάη τη θεωρία τηςελατικότητας, ότι k=ν/(1-ν). Με βάη τις μετρήεις, βρέθηκε ότι οι τιμές του k κυμαίνονται μεταξύ δύο περιβαλλουών ως κάτωθι: < k < z z (1) Σημειώτε ότι η κιαμένη κατακόρυφη ζώνη το Σχήμα 13 δίνει το εύρος των τιμών του k από 0.33 έως 1.00 που προβλέφθηκε από τη θεωρία ιότροπης ελατικότητας. Για μεγαλύτερα βάθη ύμφωνα με τις παραπάνω χέεις οι τιμές του k τείνουν τη ζώνη 0.3 < k < 0.5. Κατά υνέπεια, για τα ημαντικά βάθη, δύναται να υποτηριχθεί ότι το πρότυπο της ελατικότητας παρέχει αποδεκτές τιμές για την τιμή του k.

24 4 Σχήμα 13. Παγκόμια τοιχεία του υντελετή πλευρικής ώθηης του πετρώματος (Hoek and Brown, 1980). Εν τούτοις, από τα τοιχεία που φαίνονται το χήμα γίνεται αφές, ότι είναι ο μάλλον ο κανόνας παρά την εξαίρεη, η οριζόντια υνιτώα της τάης να είναι μεγαλύτερη από την κατακόρυφη. Παραδείγματος χάριν, τα βάθη που κατακευάζονται τα τεχνικά έργα, δηλ. έως 500m, ε 9% των μετρημένων περιπτώεων (100% των περιπτώεων έξω από τον Καναδά), το μέγεθος της μέης οριζόντιας υνιτώας της τάης υπερβαίνει την κατακόρυφη. Επίης, τα χαρακτηριτικά βάθη των μεταλλείων, δηλ. έως και 1000m, ιχύουν παρόμοια. 3.3 Αιτίες απόκλιης του φυικού εντατικού πεδίου από το προβλεπόμενο Οι υψηλές οριζόντιες υνιτώες της τάης προκαλούνται από παράγοντες όπως η διάβρωη, οι τεκτονικές πιέεις, η ανιοτροπία του πετρώματος, η τοπική επίδραη των αυνεχειών με τα επακόλουθα αποτελέματα κλίμακας, και η καμπυλότητα της γης.

25 5 Σχήμα 14. Προανατολιμός της μέγιτης οριζόντιας κύριας τάης τη βορειοδυτική Ευρώπη (Hudson and Cooling, 1988) Διάβρωη Το ότι η διάβρωη της επίγειας επιφάνειας προκαλεί αύξηη την τιμή του k υζητήθηκε αρχικά από τον Goodman (1989). Η βαική ιδέα είναι ότι ο τύπος k=ν/(1 - ν) ιχύει για την αρχική μάζα του πετρώματος. Κατά τη διάβρωη της επίγειας επιφάνειας, η εξάλειψη του υπερκείμενου φορτίου και η επακόλουθη επίδραη τις κατακόρυφες και οριζόντιες υνιτώες της τάης, θα προκαλέει μια αύξηη της τιμής του k, που μπορεί να ξεπεράει και τη μονάδα. Τούτο οφείλεται το μερικό κλείδωμα της οριζόντιας υνιτώας της τάης Τεκτονική δρατηριότητα Στο Σχήμα 14 φαίνονται οι διευθύνεις των οριζόντιων κυρίων τάεων τη βορειοδυτική Ευρώπη. Η υνέπεια τις κατευθύνεις των τάεων αυτών, ε μια τέτοια μεγάλη περιοχή, υποδεικνύει ότι αυτή οφείλεται ε κάποιας μορφή τεκτονική δρατηριότητα. Από τους ειμούς του 1906 και του 1989 κατά μήκος του ρήγματος του Αγίου Ανδρέα την Καλιφόρνια, ΗΠΑ, ξέρουμε ότι οι υψηλές διατμητικές τάεις μπορούν να προκύψουν από την τεκτονική δρατηριότητα. Η γένεη των

26 6 Άνδεων οφείλεται τις υψηλές οριζόντιες ωθήεις λόγω της ζώνης υποβύθιης έξω από τις ακτές της Χιλής. Τα επιφανειακά και υπόγεια μεταλλεία της χώρας αυτής, που είναι από τα μεγαλύτερα τον κόμο, παρουιάζουν ιχυρά ημάδια φαινομένων που χετίζονται με τις ιχυρές οριζόντιες πιέεις, όπως ατάθεια των πρανών και εκρήξεις του πετρώματος, αντίτοιχα Ανιοτροπία πετρώματος Η έκφραη k=ν/(1- ν) παρήχθη για πέτρωμα που θεωρήθηκε γραμμικά ελατικό και ιότροπο. Είναι δυνατό εν τούτοις να υπολογιτεί η τιμή του k για ένα υλικό που είναι εγκαρίως ιότροπο (που έχει δηλαδή διαφορετικές ελατικές ιδιότητες την κατακόρυφη διεύθυνη από ότι τις οριζόντιες διευθύνεις), και που είναι ορθότροπο (που έχει δηλαδή διαφορετικές ελατικές ιδιότητες ε τρεις κάθετες διευθύνεις). Ένα εγκάρια ιότροπο υλικό αντιπροωπεύει τη υμπεριφορά ενός μη ρωγματωμένου ιζηματογενούς πετρώματος, ενώ ένα ορθότροπο υλικό (Gerrard, 198) αντιπροωπεύει πετρώματα τεμνόμενα από τρία μεταξύ τους κάθετα ύνολα αυνεχειών. Είναι φανερό, ότι οι οριζόντιες υνιτώες της τάης μπορούν να είναι διαφορετικές την περίπτωη του ορθότροπου υλικού. Για εγκάρια ιότροπο υλικό (Wittke, 1984; Sofianos, 1984) με τον άξονα, κάθετο το επίπεδο ιοτροπίας, και κύριο ύτημα αξόνων 1,, 3: ε1 1/ E1 = ε ν / E ε 3 ν 1 / E 1 ν / E 1/ E ν / E ν / E 1 ν / E 1/ E (13) Για μηδενιμό των παραμορφώεων το επίπεδο 1,: ν E k = 1 ν E 1 1 Επίης, από την παραπάνω χέη παρατηρούμε ότι εφόον ο κατακόρυφος άξονας είναι ο, και οι τιμές του λόγου Ε 1 /Ε είναι μεγαλύτερες της μονάδας, που γενικά ιχύει πληίον της επίγειας επιφάνειας, η τιμή του k δύναται να λαμβάνει τιμές μεγαλύτερες της μονάδας. Η μειούμενη τιμή του λόγου των μέτρων ελατικότητας με το βάθος, προς μία ιότροπη κατάταη Ε 1 /Ε =1, εξηγεί (Amadei and Stephanson, 1997) τις περιβάλλουες k που δίνονται το Σχήμα 13. Για παράδειγμα, εφόον το πέτρωμα είναι οριζόντια διατρωμένο με απόταη τρωμάτων S, δυτροπία τρωμάτων k n, και μέτρο ελατικότητας πετρώματος E, τότε (βλέπε εξίωη 3, κεφάλαιο «Ανιότροπο πέτρωμα»): (14) E 1 =E,

27 7 E E 1 E = 1+ k S n (15) Εφόον χρηιμοποιήουμε για τη δυτροπία των ενδιατρώεων (βλέπε εξίωη 17, κεφάλαιο «Αυνέχειες»): k n = k ni n + k ni V k ni Vm m η οποία λαμβάνει υπόψη της εκτός από την ποιότητα της ενδιάτρωης, με τις ταθερές παραμέτρους k ni V m, και τη θλίψη της n. Αντικαθιτώντας την προηγούμενη χέη προκύπτει: E E 1 = 1+ k E k ni Vm S n + k ni V ni m Αντικαθιτώντας και πάλι τη χέη που δίνει το υντελετή πλευρικής ώθηης: k = ν E kni V 1 + ν 1 kni S ρ g z + k V 1 ni m m Αν για παράδειγμα δώουμε k n V mi =1.71MPa, ν 1 =ν =0.5, και E/k ni S μεταβλητό από 0 έως 0, προκύπτει το διάγραμμα το Σχήμα 15. Η περίπτωη ιότροπου πετρώματος αντιτοιχεί ε λόγο E/k ni S=0. (16) (17) (18) Σχήμα 15. Μεταβολή του k με το βάθος για διατρωμένο πέτρωμα (Amadei & Stephanson, 1997) Αυνέχειες Ένας από τους ημαντικότερους παράγοντες που προκαλούν τη διαπορά των αποτελεμάτων μέτρηης των τάεων είναι το γεγονός ότι το πέτρωμα δεν είναι υνεχές υλικό αλλά θραυμένο ε

28 8 διάφορες κλίμακες, ώτε να είναι αυνεχές, και η εωτερική κατανομή της τάης απεικονίζει αυτήν την γεωμετρία. Στο Σχήμα 16 φαίνεται ε ένα παράδειγμα η επιρροή μιας θραύης το πεδίο των τάεων για υνθήκες επίπεδης παραμόρφωης και υδροτατικό απώτερο εντατικό πεδίο. Είναι αφές ότι τα μεγέθη των κύριων τάεων και οι προανατολιμοί τους διαταράονται ημαντικά από την παρουία της θραύης. Για μια αυνέχεια μήκους της τάξης των 10km, οι μετρήεις της τάης ε μια παρακείμενη περιοχή θα επηρεάζονταν από την παρουία της, αλλά αυτή η τάη θα ήταν αντιπροωπευτική της περιοχής. Αντιθέτως, μια θραύη πετρώματος μήκους μερικών μέτρων θα προκαλούε μια τοπική διαταραχή την περιοχή μέτρηης της τάης που δεν θα ήταν αντιπροωπευτική της ευρύτερης περιοχής. Υποτηρίζεται ότι η μεγάλη διαπορά των καταγραφών του εντατικού πεδίου οφείλεται κυρίως την ύπαρξη διαφορετικών υτημάτων θραύης που υπάρχουν ε όλα τα πετρώματα. Σα υμπέραμα επομένως ακολουθεί ότι μια ευρεία διαπορά τις μετρημένες τιμές δεν οφείλεται απαραιτήτως ε κακές πειραματικές τεχνικές. Αντίθετα, η ίδια η διαπορά μπορεί να δείξει πολλά για το φυικό εντατικό πεδίο. Σχήμα 16. Παράδειγμα επίδραης μιας αυνέχειας την κατάταη του εγγύς πεδίου των τάεων, για υδροτατικό διδιάτατο εντατικό πεδίο και μία αυνέχεια που έχει μέτρο παραμόρφωης 10% του περιβάλλοντος πετρώματος (Hyett, 1990). Το μέτρο παραμορφωιμότητας της αυνέχειας έχει επίης ημαία την κατανομή των τάεων γύρω από αυτήν. Εφόον η αυνέχεια είναι ανοικτή, E D =0, η μέγιτη κύρια τάη θα κατευθύνεται παράλληλα προς την αυνέχεια και η ελάχιτη κάθετα ε αυτήν. Αντίθετα, εφόον η αυνέχεια

29 9 είναι πληρωμένη με υλικό πολύ δύτροπο, η μέγιτη κύρια τάη θα κατευθύνεται κάθετα την αυνέχεια και η ελάχιτη παράλληλα με την αυνέχεια. Στην περίπτωη που η αυνέχεια είναι πληρωμένη με υλικό παρόμοιας παραμορφωιμότητας με το περιβάλλον πέτρωμα, τότε δεν θα παρατηρηθεί μεταβολή της κατεύθυνης του εντατικού πεδίου Καμπυλότητα της γης Ο McCutchen (198) έλαβε υπόψη του την καμπυλότητα της γης, θεωρώντας το φλοιό της ως φαιρικό κέλυφος εξωτερικής ακτίνας R και εωτερικής R 1, με ίδιο βάρος γ, γεμιμένο εωτερικά του από αυμπίετο υγρό. Η εξίωη ιορροπίας ε φαιρικές υντεταγμένες είναι επομένως: γ 0 Οι τάεις αυτές υχετίζονται με τις ακτινικές μετατοπίεις u: 1 ; Με αντικατάταη των τάεων (0, 1) την εξίωη ιορροπίας (19), προκύπτει: Η επίλυη της εξίωης δίνει την ακτινική μετατόπιη: (19) Που μετά την αντικατάταή της τις τάεις (0, 1), δίνει: Οι ταθερές ολοκλήρωης C 1, C δύνανται να προδιοριτούν από τις οριακές υνθήκες μηδενιμού των ακτινικών (κατακόρυφων) τάεων την επιφάνεια και των μετατοπίεων τη διεπιφάνεια φλοιού-μανδύα, ε ακτίνα R 1 : 0; 0 5 ακτινικών εφαπτομενικές τάεις το φλοιό. Οι χέεις αυτές απλοποιούνται αν ληφθεί υπόψη το μικρό 6 7 Μετά την αντικατάταη των ταθερών προκύπτουν οι δύο χέεις που δίνουν τις ακτινικές και

30 30 πάχος t του φλοιού (~40km) ε χέη με την ακτίνα R της γης (~6400km), οπότε προκύπτουν απλοποιημένες χέεις για την ακτινική (κατακόρυφη) και εφαπτομενική (οριζόντια) τάη: ό ό Παρατηρούμε ότι οι χέεις αυτές είναι αύξουες γραμμικές υναρτήεις του βάθους. Ο υντελετής πλευρικής ώθηης δίνεται από το λόγο θθ/ rr και είναι: Η μεταβολή του υντελετή πλευρικής ώθηης με το βάθος, που προβλέπεται από αυτό το μοντέλο, για πάχος φλοιού t=40km, μέη πυκνότητα πετρωμάτων ρ=700kg/m 3, λόγο Poisson ν=0.5, και ακτίνα γης 6400km, φαίνεται το Σχήμα 17 αριτερά, μαζί με τις καμπύλες οριοθέτηης, των μετρήεων, που υλλέξανε οι Brown and Hoek (1978). Παρατηρούμε ότι η θεωρητική καμπύλη βρίκεται μέα τα όρια των μετρήεων, και είναι αντίτροφη υνάρτηη του βάθους, όπως και οι καμπύλες οριοθέτηης. Σχήμα 17. Μεταβολή της πλευρικής ώθηης του πετρώματος με το βάθος. Αριτερά: Θεώρηη ομοιογενούς ιότροπου φλοιού επί αυμπίετου μανδύα (McCutchen, 198). Δεξιά: Θεώρηη ανομοιογενούς ελατικού φλοιού επί ελατικού μανδύα, και μεταβολή της θερμοκραίας με το βάθος (Sheorey, 1994).

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία)

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία) Σειμολογία Ελατική Τάη, Παραμόρφωη (Κεφ., Σύγχρονη Σειμολογία) Τι είναι Σειμός O ειμός είναι η γένεη και μετάδοη ελατικών κυμάτων μέα από το φλοιό της γης, τα κύματα δημιουργούνται από τη διάρρηξη των

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Τάεις και παραμορφώεις γύρω από κυκλικές ήραγγες 5.8.5 Κατανομές τάεων και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 2005-06 Μ. ΚΑΒΒΑΔΑΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικό εντατικό πεδίο και Μέτρηση των τάσεων in-situ

Φυσικό εντατικό πεδίο και Μέτρηση των τάσεων in-situ Φυσικό εντατικό πεδίο και Μέτρηση των τάσεων in-situ 1 Φυσικό εντατικό πεδίο Βασική γνώση της διεύθυνσης του εντατικού πεδίου Οριακές συνθήκες για την ανάλυση HMAX > hmin v HMAX Εντατική κατάσταση του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Μέθοδος και Εφαρμογές. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ Στύλων Παράδειγμα Ο χεδιαμός των τη μέθοδο και γίνεται με βάη τη θεωρία της υνειφέρουας ς Κάθε τύλος φέρει το

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ Διάλεξη 4η ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ Διάλεξη 4η ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ Εργατήριο Τεχνολογίας ιάνοιξης Σηράγγων, ΕΜΠ. ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ Διάλεξη η ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ Α.Ι. Σοφιανός Τάεις γύρω από υπόγεια ανοίγματα ε ελατικό πέτρωμα - Κυκλικό άνοιγμα

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ Δδά Διδάκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Τα υπόγεια τεχνικά έργα έχουν γενικά μεγάλη διάρκεια ζωής. Τέτοια είναι οι ήραγγες, οι άλαμοι, οι αποήκες καυίμων, τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Μελέτη εντατικοπαραµορφωιακής κατάταης ρηγµατωµένων τερεών ωµάτων µε τη µέθοδο των αυνεχών µετατοπίεων» ΤΣΟΥΤΣΟΥΒΑ ΜΑΡΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα),

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα), ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

«Αλληλεπίδραση Εδάφους Κατασκευής»

«Αλληλεπίδραση Εδάφους Κατασκευής» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «Αηεπίδραη Εδάφους Κατακευής» 8ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Διάνοιξη και προωρινή

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ Μέρος» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 6-7 Μ. ΚΑΒΒΑΔΑΣ, Αναπλ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βιβλίο διδάκοντα με λύεις προβλημάτων Κεφάλαιο ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής epapamic@civil.auth.gr Euripides apamichos Digitally signed y Euripides apamichos DN: c=gr,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής.

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. η Εφαρμογή (Το επιτυχημένο service) Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. Νεαρός τενίτας που έχει ύψος h ν =,6m εκτελεί service και το μπαλάκι φεύγει από ύψος h =,4m πάνω από το κεφάλι του με

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων. Πίνακας Περιεχομένων 1. Πίνακας Σχημάτων 5. Πίνακας Πινάκων 11. Πίνακας Συμβολισμών Συντομογραφιών 13

Πίνακας Περιεχομένων. Πίνακας Περιεχομένων 1. Πίνακας Σχημάτων 5. Πίνακας Πινάκων 11. Πίνακας Συμβολισμών Συντομογραφιών 13 Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Σχημάτων 5 Πίνακας Πινάκων Πίνακας Συμβολιμών Συντομογραφιών Ειαγωγή Γενικότητες 5. Έννοιες από την μηχανική του υνεχούς μέου... 7.. Η χέη τάεων παραμορφώεων

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Ένα µεγάλο Ευχαριστώ στον καθηγητή µου κ. Σαλπιστή Χρήστο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια...

Ένα µεγάλο Ευχαριστώ στον καθηγητή µου κ. Σαλπιστή Χρήστο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια... Ένα µεγάλο Ευχαριτώ τον καθηγητή µου κ. Σαλπιτή Χρήτο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια... ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΜΕΤΡΟΥ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΕΡΗΧΩΝ ΠΑΤΕΡΑΚΗΣ Ε.

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ Είδη φαλµάτων Σφάλµα µετρηµένη αληθής τιµή Τυχαία - Εµφανίζονται χεδόν ε όλες τις παρατηρήεις και ακολουθούν υνήθως κανονική κατανοµή. Συτηµατικά - Εµφανίζονται ε όλες τις παρατηρήεις και µπορεί να µοντελοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΜΑΡΤΙΟΣ 2013 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 7.2 Παράμετροι Σχεδιασμού Ορισμοί

Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΜΑΡΤΙΟΣ 2013 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 7.2 Παράμετροι Σχεδιασμού Ορισμοί 7. ΧΑΛΙΚΟΠΑΣΣΑΛΟΙ Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΜΑΡΤΙΟΣ 2013 7.1 Μέθοδοι Κατακευής ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7.2 Παράμετροι Σχεδιαμού Οριμοί 7.3 Εμπειρικές Μέθοδοι Σχεδιαμού 7.4 Αναλυτικές Μέθοδοι Σχεδιαμού ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ: «ΝΑΥΤΙΚΗ & ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ: «ΝΑΥΤΙΚΗ & ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ: «ΝΑΥΤΙΚΗ & ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΗΡΑΓΓΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ» ΑΝ ΡΕΑΣ Β. ΦΡΑΓΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΕΜΠ ΑΘΗΝΑ 2009 ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ 1 Οι υνηθέτερες δοκιμές της Εδαφομηχανικής 2 Μονοδιάτατη υμπίεη Τυπική υμπεριφορά ( v -ε v ) Μέτρο Συμπίεης (D) Φόρτιη αποφόρτιη επαναφόρτιη ιαφορές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y 5 Απόκλιη και τροβιλιµός ενός διανυµατικού πεδίου Έτω F ένα C διανυµατικό πεδίο του R, δηλαδή υνάρτηη µε D ανοικτό το F = F, F, F. R και F : D R R Στο διανυµατικό πεδίο F αντιτοιχούµε ένα άλλο διανυµατικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Κεφάλαιο : Ειαγωγή.... Η Παγκόμια Χρηματοπιτωτική Κρίη.... Το Αντικείμενο και ο Στόχος του Βιβλίου... 9.3 Η Δομή του Βιβλίου... 0 Κεφάλαιο : Η ιαχείριη

Διαβάστε περισσότερα

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_01_Εκτίμηη παραμέτρων και διατημάτων Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Για την περιγραφή μιας μεταβλητής, που μετριέται ε έναν πληθυμό ή ε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 7.1

Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 7.1 7. ΧΑΛΙΚΟΠΑΣΣΑΛΟΙ Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2015 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7.1 Μέθοδοι Κατακευής 7.2 Παράμετροι Σχεδιαμού Οριμοί 7.3 Εμπειρικές Μέθοδοι Σχεδιαμού 7.4 Αναλυτικές Μέθοδοι Σχεδιαμού

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών 11.6 Ελικοειδή θλιπτικά ελατήρια Στα προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε αναλυτικά τα ελικοειδή κυλινδρικά ελατήρια υμπίεης, κυκλικής διατομής ύρματος. Στο Σχήμα 11-7 φαίνονται (α) κυλινδρικό ελατήριο υμπίεης

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

Σ. Η. ΔΡΙΤΣΟΣ. Kg/m³. Kg/m³ 0,80

Σ. Η. ΔΡΙΤΣΟΣ. Kg/m³. Kg/m³ 0,80 TΟΙΧΟΠΟΙΙΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ Η µηχανική υµπεριφορά της τοιχοποιίας περιράφεται από τα εξής χαρακτηριτικά: καθ. Στέφανος ρίτος Τµήµα Πολιτικών Σ. Μηχανικών, Πανεπιτήµιο Η. Πατρών ΔΡΙΤΣΟΣ Θλιπτική

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του λόγου e/m του ηλεκτρονίου

Μέτρηση του λόγου e/m του ηλεκτρονίου Άκηη 4 Μέτρηη του λόγου e/m του ηλεκτρονίου 4.. Σκοπός Στην Άκηη αυτή µελετάται η κίνηη δέµης ηλεκτρονίων µέα ε κάθετο οµογενές µαγνητικό πεδίο και προδιορίζεται ο λόγος e/m (φορτίο προς µάζα) του ηλεκτρονίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

Στραγγίσεις (Εργαστήριο)

Στραγγίσεις (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιευτικό Ίρυμα Ηπείρου Στραγγίεις (Εργατήριο Ενότητα 6 : Η κίνηη του νερού το έαφος IV Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Άκηη Ένας κλειτός υπό πίεη υροφορέας έχει μεταβλητό πάχος

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εξίωη Schrıdinger Χρηιµότητα Εξαγωγή της εξίωης Schrıdinger Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού Αλληλεπίδραη µη γραµµικών φαινοµένων και διαποράς Αµελητέα η διαπορά και τα µη γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ, ΘΕΩΡΟΥΜΕΝΗΣ ΩΣ ΜΕΣΟΥ ΜΕ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ, ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ, ΘΕΩΡΟΥΜΕΝΗΣ ΩΣ ΜΕΣΟΥ ΜΕ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ, ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 004 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ, ΘΕΩΡΟΥΜΕΝΗΣ ΩΣ ΜΕΣΟΥ ΜΕ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ, ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Έµφαη τα υπόγεια έργα Σ. ΚΟΖΑΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ).

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ). Υποδείγματα GARCH Γιατί; Κίνητρο: υποδείγματα που υποθέτουν γραμμική δομή δεν μπορούν να εξηγήουν ημαντικά χαρακτηρίτηκα των χρηματοοικονομικών χρονοειρών - λεπτοκύρτοη - volaili clusering Το παραδοιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός, Μεθοδολογία και Λογισµικό Παρακολούθησης Συγκλίσεων Σηράγγων µε Μεθόδους Τεχνικής Γεωδαισίας

Σχεδιασµός, Μεθοδολογία και Λογισµικό Παρακολούθησης Συγκλίσεων Σηράγγων µε Μεθόδους Τεχνικής Γεωδαισίας Σχεδιαµός, Μεθοδολογία και Λογιµικό Παρακολούθηης Συγκλίεων Σηράγγων µε Μεθόδους Τεχνικής Γεωδαιίας Κ. ΛΑΚΑΚΗΣ Λέκτορας Α.Π.Θ Σ. Π. ΧΑΛΙΜΟΥΡ ΑΣ Υπ. ιδάκτωρ Α.Π.Θ Π. ΣΑΒΒΑΪ ΗΣ Καθηγητής Α.Π.Θ. Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά.

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά. Δίνεται η υνάρτηη μεταφοράς ενός αυτόματου υτήματος πλοήγηης υπερηχητικού αεροπλάνου, το οποίο επικουρεί την αεροδυναμική ευτάθεια του, κάνοντας την πτήη ποιο ταθερή και ποιο άνετη. Ζητείται να μελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΙI ΜΕΤΩΠΙΚΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΟΙ ΤΡΟΧΟΙ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΙI ΜΕΤΩΠΙΚΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΟΙ ΤΡΟΧΟΙ Χρήτος Α. Παπαδόπουλος ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΙI ΜΕΤΩΠΙΚΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΟΙ ΤΡΟΧΟΙ Πάτρα 005 Μετωπικοί οδοντωτοί τροχοί Σελίδα - -. Ακήεις μετωπικών οδοντωτών τροχών... ΑΣΚΗΣΗ (Αντοχή ε κάμψη και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Ιξώδης συμπεριφορά

Κεφάλαιο 11 Ιξώδης συμπεριφορά Κεφάλαιο Ιξώδης υμπεριφορά Οριμοί Ερπυμός (creep) καλείται η χρονικά εξαρτημένη παραμόρφωη του πετρώματος, που παρατηρείται όταν το πέτρωμα φορτίζεται υπό ταθερή εντατική κατάταη ε ταθερή θερμοκραία. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ (Με εφαρμογές σε προβλήματα μηχανικής των υλικών, υπογείων έργων και σηράγγων)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ (Με εφαρμογές σε προβλήματα μηχανικής των υλικών, υπογείων έργων και σηράγγων) Γ. Ε. ΕΞΑΔΑΚΤΥΛΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ ΚΡΗΤΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ (Με εφαρμογές ε προβλήματα μηχανικής των υλικών, υπογείων έργων και ηράγγων) Χανιά 006 Eιαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σχετική κίνηη 1 Υλικό ηµείο µάζας m=1 κινείται πάνω ε επίπεδο Ο που περιτρέφεται γύρω από τον άξονα Ο µε γωνιακή ταχύτηταω = ωk, όπου ω=1/ s -1 Αν κάποια τιγµή το ώµα βρίκεται ε απόταη r=1 m

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Μετρήεις, Σφάλµατα και Στατιτικά Μεγέθη . Ειαγωγή Αχοληθήκαµε το προηγούµενο Κεφάλαιο µε τον οριµό µαθηµατικών εργαλείων για την περιγραφή της πιθανότητας ή της πυκνότητας πιθανότητας ώτε µία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ 5. Ειαγωγικά Στα προηγούµενα κεφάλαια, αχοληθήκαµε µε τη µελέτη πεδίων που η δηµιουργία τους οφείλονταν την παρουία ακίνητων ηλεκτρικών φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Αδιαστατοποιημένο Κριτήριο Αστοχίας Τοιχοποιίας υπό Διαξονική ένταση Non-Dimensional Masonry Failure Criterion under Biaxial Stress

Αδιαστατοποιημένο Κριτήριο Αστοχίας Τοιχοποιίας υπό Διαξονική ένταση Non-Dimensional Masonry Failure Criterion under Biaxial Stress 1 Αδιατατοποιημένο Κριτήριο Ατοχίας Τοιχοποιίας υπό ιαξονική ένταη Non-Dimensional Masonr Failure Criterion under Biaial Stress Πρακτικά 16ου Συνεδρίου Σκυροδέματος, Πάφος, Κύπρος, 1-3 Οκτωβρίου 009 Π

Διαβάστε περισσότερα

ο εκτιμητής LS είναι n 1 x y 2 t Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ( ) = β, αμεροληψία, . Αν έχουμε n x C, τότε Var Τότε, θα έχουμε Var (

ο εκτιμητής LS είναι n 1 x y 2 t Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ( ) = β, αμεροληψία, . Αν έχουμε n x C, τότε Var Τότε, θα έχουμε Var ( Στο γραμμικό υπόδειγμα y = β + u, =,,, ο εκτιμητής LS είναι = β = = y Οι βαικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: E ( β ) = β, αμεροληψία, Var ( β ) = = Αν έχουμε =, τότε y = β =, ο δειγματικός μέος του y

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα