Μερικές «αντιφάσεις» στην ελαστική κρούση.

Transcript

1 Υλικό Φσικής-Χημείας Μερικές «αντιφάσεις» στην ελαστική κρούση. Κατά την μετωπική ελαστική κρούση έχομε καταλήξει στις σχέσεις: + + Για τις ταχύτητες των δύο λικών σημείων πο σγκρούονται ελαστικά πο το δεύτερο σώμα είναι αρχικά ακίνητο. Οι τελικές ταχύτητες σνεπώς των δύο σωμάτων, εξαρτώνται καθαρά από τις σχέσεις των μαζών τος. Αλλά τότε ανάλογα με την σχέση των δύο μαζών, θα έχομε διαφορετικά «πρακτικά» αποτελέσματα μερικά από ατά μπορούν να δημιοργούν «εκπλήξεις»! Ας ξεκινήσομε από μια πολύ σχνή περίπτωση: Παράδειγμα ο : Αν λικό σημείο Α κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα 4/s σγκρούεται με δεύτερο ακίνητο λικό σημείο Β. Να βρεθούν μετά την κρούση: i) Οι ταχύτητες των δύο σωμάτων. ii) Η ορμή κάθε σώματος iii) Η κινητική το ενέργεια r B r B ( ) () Στις δο περιπτώσεις πο εμφανίζονται στο παραπάνω σχήμα, όπο στην πρώτη 4, ενώ στη δεύτερη 4. Για την () περίπτωση, οι παραπάνω σχέσεις μας δίνον: 4 3 i) ii) Αλλά τότε για την ορμή κάθε σώματος έχομε: P P P P Προφανώς ΔΡ - ΔΡ. Η απόδειξη αφήνεται για έλεγχο iii) Αντίστοιχα για τις κινητικές ενέργειες έχομε:

2 Υλικό Φσικής-Χημείας Προφανώς Κ +Κ Κ αρχ. Για την () περίπτωση αντίστοιχα θα έχομε: 4 3 i) K K K K ii) Αλλά τότε για την ορμή κάθε σώματος έχομε: P P 8 P P Προφανώς ΔΡ - ΔΡ. Και ατό αφήνεται για έλεγχο! iii) Αντίστοιχα για τις κινητικές ενέργειες έχομε: Προφανώς Κ +Κ Κ αρχ K K K K Μερικά σχόλια: Αν προσέξομε τα παραπάνω αποτελέσματα, μπορούμε να διαπιστώσομε ότι κρίσιμο θέμα είναι το πρόσημο της διαφοράς -, πο θα καθορίσει το πρόσημο της ταχύτητας το κινούμενο σώματος. Έτσι αν < τότε η ταχύτητα το Α μετά την κρούση έχει αντίθετη κατεύθνση από την αρχική το ταχύτητα (δεν λέμε είναι θετική ή αρνητική πριν αποφασίσομε ποια κατεύθνση θα ορίσομε ως θετική! Σε όλη την παραπάνω επεξεργασία έχομε δολέψει με αλγεβρικές τιμές, χωρίς να έχει ορισθεί θετική κατεύθνση ). Αν > τότε το Α σώμα σνεχίζει να κινείται προς την ίδια κατεύθνση. Βέβαια η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας θα εκφραστεί στην αντίστοιχη αλγεβρική τιμή της ορμής, όπο στην () περίπτωση βρήκαμε ότι: 3 P 5 P 8 P + P 5 Δηλαδή το σώμα Α μετέφερε στο Β σώμα, μεγαλύτερη ορμή από ατήν πο έχει!!! Ας μην ξεχνάμε όμως στο σημείο ατό ότι η ορμή είναι διάνσμα!

3 Υλικό Φσικής-Χημείας Κάτι ανάλογο όμως δεν σμβαίνει με τις κινητικές ενέργειες (μονόμετρο μέγεθος)! Αν το σώμα Α έχει κάποια κινητική ενέργεια, προφανώς δεν μπορεί να μεταφέρει στο Β, μεγαλύτερο ποσό ενέργειας!!! Παράδειγμα ο : Αν το παραπάνω σώμα Α έχει μάζα ενώ το Β 999 να βρεθούν: r B i) Η μεταβολή της ορμής κάθε σώματος. ii) Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας το Α σώματος. Εφαρμόζοντας τις παραπάνω σχέσεις ξανά παίρνομε: , , Δηλαδή στην περίπτωση ατή, το πρώτο σώμα επιστρέφει με ταχύτητα πρακτικά ίσο μέτρο, ενώ το Β σώμα παραμένει πρακτικά ακίνητο. Ας προσέξομε όμως τι λέμε: Το Α οσιαστικά ανακλάται με ταχύτητα ίσο μέτρο, αλλά όχι ακριβώς ίσο!!! Ελαφρώς μικρότερο, αλλά πο εμείς το θεωρούμε ίσο! Το Β σώμα μένει πρακτικά ακίνητο; Και όμως κινείται!!! Ωραία, πολύ μικρή ταχύτητα, έχει όμως αποκτήσει ταχύτητα!!! i) Η μεταβολή της ορμής το Α σώματος θα είναι: ΔΡ Ρ -Ρ - -, ,998 Ρ - Ρ Ενώ το Β σώματος: ΔΡ Ρ -Ρ Ρ 999, +,998Ρ Ρ. ii) Για τις κινητικές ενέργειες αντίστοιχα θα έχομε: K ((,998 ) ),4 K K K K K K K 998(,),4K??* Και μερικά σχόλια: Τι ακριβώς βρήκαμε; «Όταν ένα μικρό σώμα Α σγκρούεται μετωπικά ελαστικά με άλλο ακίνητο, πολύ μεγάλης μάζας, τότε το σώμα Α ανακλάται με ταχύτητα ίσο μέτρο, ενώ το Β παραμένει ακίνητο». Ατό σε γλώσσα μαθηματικών επιβάλλει τη χρήση ορίων, όπο τα πράγματα εμφανίζονται ξεκάθαρα: 3

4 Υλικό Φσικής-Χημείας Αν C, τότε έχομε: li li + + Αλλά αν C έχομε επίσης: li li + + Και βέβαια, τώρα θα μπορούσαμε να καταλάβομε τι σημαίνει το «αθαίρετο» πο προηγούμενα γράψαμε: 998 (, ),4K K Αφού κάποιος διούται να πει, μα αν Κ.J, τότε Κ 4J, γιατί βάζεις ότι είναι περίπο μηδέν; Το μηδέν στην παραπάνω περίπτωση σημαίνει ότι το σώμα Β θα αποκτήσει αμελητέα κινητική ενέργεια, σε σχέση με την αρχική κινητική ενέργεια το κινούμενο σώματος Α. Αλλά ενώ το αρχικά ακίνητο σώμα Β, αποκτά πρακτικά μηδενική ταχύτητα μηδενική κινητική ενέργεια, απέκτησε διπλάσια ορμή από ατήν πο είχε το αρχικά κινούμενο σώμα Α!!! Ατή είναι άλλωστε η μέγιστη ορμή πο μπορεί να αποκτήσει το ακίνητο σώμα Β. Στην περίπτωση πο πρακτικά μένει ακίνητο!!! Παράδειγμα 3 ο : Αν το παραπάνω σώμα Α έχει μάζα 999 ενώ το Β να βρεθούν: r B i) Η μεταβολή της ορμής κάθε σώματος. ii) Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας το Α σώματος. Εφαρμόζοντας τις παραπάνω σχέσεις ξανά παίρνομε: , , Δηλαδή το Α σώμα σνεχίζει σχεδόν με την ίδια ταχύτητα, ενώ το Β αποκτά σχεδόν διπλάσια ταχύτητα. i) Η μεταβολή της ορμής το Α σώματος θα είναι: ΔΡ Ρ -Ρ -, , Ρ Ενώ το Β σώματος: 4

5 Υλικό Φσικής-Χημείας ΔΡ Ρ -Ρ Ρ +,Ρ. ii) Για τις κινητικές ενέργειες αντίστοιχα θα έχομε: K ( ) K K 4 K K K 999 ( ) 999,4K K Και μερικά ακόμη σχόλια: Στην περίπτωση πο το κινούμενο σώμα Α έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από το ακίνητο, τότε το σώμα Α σνεχίζει να κινείται, σχεδόν σαν να μην σνέβη τίποτα!!! Με σχεδόν την ίδια ταχύτητα, την ίδια ορμή σχεδόν την ίδια κινητική ενέργεια. Αλλά, παρόλα ατά, το μικρό σώμα εκτινάσσεται με μέγιστη ταχύτητα, διπλάσια το κινούμενο σώματος. Όμως ενώ η ταχύτητά το είναι μέγιστη, η ορμή το είναι πάρα πολύ μικρή, οπότε μπορούμε να την α- γνοούμε, αφού είναι περίπο μηδέν, όπως επίσης με «σχεδόν» μηδενική κινητική ενέργεια. Μπορούμε όλα ατά να τα διατπώσομε με πιο ακριβή γλώσσα. Στη γλώσσα των μαθηματικών επιβάλλεται η χρήση ορίων, όπο τα πράγματα εμφανίζονται ξεκάθαρα: Αν C, τότε έχομε: li + Αλλά αν ενώ C έχομε επίσης: li + li li + Προφανώς στην περίπτωση ατή, όταν λέμε «μηδενική» ορμή ή ενέργεια εννοούμε ότι έχον πολύ μικρότερη τιμή, σε σχέση με τις αρχικές τιμές της ορμής της κινητικής ενέργειας το σώματος Α. Παράδειγμα 4 ο : Και αν πάμε στην ενδιάμεση κατάσταση, όπο τα σώματα έχον ίσες μάζες; r B Εφαρμόζοντας πάλι τις αρχικές σχέσεις παίρνομε:

6 Υλικό Φσικής-Χημείας + + Δηλαδή τα σώματα ανταλλάσον ταχύτητες, οπότε αν μιλήσομε για ορμές: ΔΡ Ρ -Ρ - - Ρ Ενώ το Β σώματος: ΔΡ Ρ -Ρ Ρ +Ρ. i) Για τις κινητικές ενέργειες αντίστοιχα θα έχομε: K K K K K K K K K Με άλλα λόγια το αρχικά ακίνητο σώμα Β, αποκτά ΟΛΗ την κινητική ενέργεια το Α σώματος, αποκτά δηλαδή τη μέγιστη κινητική ενέργεια πο θα μπορούσε να αποκτήσει. Αλλά προσοχή! Ατό δεν σημαίνει ούτε μέγιστη ταχύτητα, ούτε μέγιστη ορμή. Μόνο μέγιστη κινητική ενέργεια. Ας σγκεντρώσομε τα σμπεράσματα: Σχέση μαζών Ρ Κ <<< Ρ Μέγιστη Ρ Κ Μέγιστη >>> Μέγιστη dargaris@sch.gr 6