1 ε και στη διαφορική µορφή. και για τη περίπτωση που δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία και ρεύµατα, όπως στο κενό

Transcript

1 Εξισώσεις Mawll Οι σχέσεις του Mawll έσα από ολοκληρώατα πορούν να γραφούν σαν dl b ds b dl j+ε ds ( ) C S C S zz d S zzz b S b dv V a f S S d dv ρdv ε και στη διαφορική ορφή b ( b) ( j+ε ) a bf ( ) ρ ε και για τη περίπτωση που δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία και ρεύατα, όπως στο κενό b ( b) ε a bf a f Από τα παραπάνω βλέπουε ότι τα πεδία συνδέονται εταξύ τους από τα εξωτερικά γινόενα πεδίων δηλαδή από rgh had ruls, όπου οι αλλαγές στο ένα πεδίο προκαλούν αλλαγές στο άλλο και σε κάθετη κατεύθυνση. Για παράδειγα ένα χρονο-εταβαλλόενο πεδίο παράγει ένα b πεδίο σε κάθετη διεύθυνση ως προς την κατεύθυνση της αλλαγής του. Επίσης ένα χρονο-εταβαλλόενο b πεδίο παράγει το αντίστοιχα κάθετο πεδίο. Περιένουε έτσι τα πεδία και b να είναι κάθετα εταξύ τους. Από τη συετρία των παραπάνω σχέσεων στο κενό, περιένουε ότι το η/ πεδίο που απαρτίζεται από τα πεδία και b να εταδίδεται σε ια συετρική κατεύθυνση προς αυτά. Εφόσον τα πεδία και b δεν είναι παράλληλα εταξύ τους, το η/ πεδίο δεν πορεί να είναι όνο διαήκες και να έχει και εγκάρσιο χαρακτήρα ως προς τη διεύθυνση διάδοσης του. Έχουε 4 τρόπους λύσης των εξισώσεων Mawll Κανονικές πηγές (aal surs): Για πηγές ε απλή συετρία, όπως σηειακές, γραής ή επιφάνειες φορτίων (α) υποθέτουε κάποια λύση (β) αντικαθιστούε στις εξισώσεις και λύνουε για τους αγνώστους Μέθοδος ρυθών (mdal mhd): Η προσέγγιση αυτή χρησιοποιείται για συνοριακές συνθήκες ε κάποια συετρία, όπως για κυατοδηγούς (α) λύνουε τις εξισώσεις Mawll για τον ελεύθερο χώρο, χωρίς πηγές (οογενείς λύσεις) και παίρνουε επίπεδα, σφαιρικά ή κυλινδρικά κύατα (β) εφαρόζουε τις συνοριακές συνθήκες, όπως για παράδειγα τοιχώατα ε πλήρη αγωγιότητα ή διηλεκτρικές επιφάνειες, που ας δίνει συνήθως ένα περιορισένο σύνολο λύσεων ή ρυθούς. Άσχετα ε τη πηγή που οδηγεί το σύστηα, το πεδίο που δηιουργείται πρέπει να είναι ια υπέρθεση των ρυθών αυτών. (γ) τα πεδία προσαρόζονται ε τη πηγή που τα οδηγεί για να πάρουε τις υπερθέσεις των ρυθών. Μέθοδος Gr (Gr s fu mhd): Η έθοδος Gr χρησιοποιεί το πεδίο που παράγεται από ια σηειακή πηγή για να κατασκευάσει το πεδίο που παράγεται από ια τυχαία πηγή. (α) Λύνουε τις εξισώσεις Mawll ε τις συνοριακές συνθήκες για ια σηειακή πηγή ή συνάρτηση δ. Η λύση αυτή είναι η συνάρτηση Gr G ( rr, ) που ας δίνει το πεδίο στο σηείο r για ια σηειακή πηγή r. (β) παίρνουε το πεδίο από την τυχαία πηγή ε τη συνέλιξη της συνάρτησης Gr ε τη πραγατική πηγή. Έτσι χρησιοποιούε την αρχή της υπέρθεσης για να προσθέσουε πεδία από πολλές σηειακές πηγές που απαρτίζουν τη πραγατική πηγή. Αριθητικές έθοδοι (Numral mhds): Οι εξισώσεις Mawll πορούν να γραφούν σαν ένα σύνολο εξισώσεων διαφορών (dffr quas), δηλαδή σαν ένα γραικό σύστηα το οποίο πορεί να λυθεί αριθητικά. Γενικά, για να λύσουε τις εξισώσεις Mawll χρειαζόαστε το σύνολο των σχέσεων, ια πηγή που οδηγεί το σύστηα και τις συνοριακές συνθήκες. V V

2 Εξίσωση κύατος του Η/Μ πεδίου στο κενό Αν δούε ένα η/ κύα που διαδίδεται στο κενό, όπου δεν υπάρχουν ρεύατα και ελεύθερα φορτία, οι σχέσεις του Mawll δίνονται συνοπτικά από b b b ε Με τη συστροφή ( b) b ( ε ) ε και ε τη σχέση A B C BAC ABC έχουε b g b g b g που ας δίνει τη κυατική εξίσωση κίνησης του πεδίου ε ε και ια παρόοια σχέση για το αγνητικό πεδίο b ε b b ώστε τα πεδία να διαδίδονται ε την παραπάνω κυατική εξίσωση όπου υ ε στο κενό. Η εγκάρσια φύση του η/ κύατος φαίνεται από τα παραπάνω. Για την απλή περίπτωση ενός επίπεδου κύατος στην κατεύθυνση του -άξονα, το πεδίο πρέπει να είναι λύση της εξίσωσης κίνησης ε όπου το είναι σταθερό για ια άπειρη σειρά επιπέδων κάθετα στον -άξονα, και είναι ια συνάρτηση του,. Έτσι a, f και από τη σχέση a f έχουε + yy + zz που ας αφήνει όνο το έρος Εάν το δεν είναι ηδέν, δηλαδή υπάρχει κάποια συνιστώσα του πεδίου στον -άξονα, η παραπάνω σχέση ας λέει ότι αυτή η συνιστώσα θα είναι σταθερή. Έτσι σε όλες τις τιές του, το θα είναι σταθερό για όλες τις τιές του, ώστε δεν έχουε κάποιο κύα που διαδίδεται στην κατεύθυνση του - άξονα. Άρα το και το η/ κύα δεν έχει συνιστώσα στη διεύθυνση διάδοσης του. Το πεδίο που βρίσκεται στο επίπεδο κύα είναι όνο εγκάρσιο, και απεικονίζει την κατάσταση πόλωσης του η/ πεδίου. Αν περιορίσουε τη πόλωση αυτή στην κατεύθυνση του y-άξονα, τότε jya, f και από τη σχέση b y bz που ας λέει ότι b, by είναι σταθερά. Η χρονο-εξάρτηση του b πορεί να έχει ια συνιστώσα στην κατεύθυνση του z-άξονα. Το η/ πεδίο στο χώρο είναι έτσι όνο εγκάρσιο. Για την διάδοση του η/ έσα στη ύλη, συνήθως δεν έχουε όνο εγκάρσιο χαρακτήρα επειδή το έσο πορεί να είναι αποσβεστικό ή να περιέχει φορτία (δέσια ή ελεύθερα). Έχοντας δει ότι αρονικές συναρτήσεις περιγράφουν η/ πεδία, πορούε να πάρουε στη παραπάνω περίπτωση του επίπεδου κύατος ya F, f ys F I I HG H K + ω ε K J σαν λύση της εξίσωσης κίνησης, ώστε η ορφή του αγνητικού πεδίου να είναι

3 z b d y za, f ω s ω d H K + ε F HG F y s H K + ω ε αγνοώντας τη σταθερά του ολοκληρώατος. Έτσι y bz και τα πεδία διαφέρουν κατά ια σταθερά, έχουν την ίδια χρονο-εξάρτηση και είναι σε φάση εταξύ τους. Είναι επίσης κάθετα εταξύ τους και η ποσότητα b είναι στην κατεύθυνση του -άξονα. Για την τρισδιάστατη περίπτωση, η I z F HG I K J ( ω k r+φ ) ( ω k r +φ) F { } s R p είναι ία λύση της εξίσωσης, ώστε οι R{ Ep ( ω k r+φ) } b R{ Bp ( ω k r+φ) } είναι επίσης λύσεις. Επίσης βλέπουε ότι k k b k b ώστε το E και το B είναι και τα δύο κάθετα στο k, την διεύθυνση διάδοσης, άρα τα πεδία E και B ταλαντώνονται εγκάρσια στη διεύθυνση διάδοσης. Η σχέση εταξύ E και B βγαίνει από b k E ω B k E B k E ω s E k όπου το s είναι το οναδιαίο διάνυσα της διεύθυνσης διάδοσης. Έτσι () B E () B σε φάση ε το E () B E για τα πλάτη τους Η ενέργεια του η/ πεδίου δίνεται από U ε + u + ub bb που οιράζεται εξ ίσου εταξύ του ηλεκτρικού και αγνητικού πεδίου, έσα από τη σχέση BB EE ε EE και έχουε U εee ε E θ Συβολίζοντας ε S τη εταφορά ενέργειας ανά ονάδα χρόνου ανά ονάδα επιφάνειας από ένα η/ κύα (στο ˆ σύστηα SI οι ονάδες είναι Wm S ) που κινείται ε ταχύτητα, σε ένα χρονικό διάστηα έχουε έσα στον όγκο A ια ποσότητα ενέργειας a Af U, ώστε a Af U S U A και από τη παραπάνω σχέση για την ενέργεια, παίρνουε S b I I K J

4 Η ροή ενέργειας ανά ονάδα χρόνου ανά ονάδα επιφάνειας γίνεται προς την διεύθυνση διάδοσης του η/ κύατος, ώστε S b άνυσα γνωστό σαν το άνυσα του Pyg, και η επιφάνεια βρίσκεται S Ssθ Οι ακροσκοπικές ποσότητες του S και U, δίνονται από το έσο όρο ύστερα από πολλούς οπτικούς κύκλους των πεδίων και διαστάσεις εγάλες σε σύγκριση ε τις ατοικές. Για γραικά πολωένο φως όπου τα πραγατικά πεδία δίνονται από k E E Es ϕ B Bs φ s ϕ k ϕω k r+φ έχουε k E S E B E ˆ s ϕε E ss ϕ k ε S E ˆ s s ϕ Μπορούε να δεχθούε τη παραπάνω προσέγγιση, όταν για οπτικές συχνότητες 5 Hz h, το S ταλαντώνεται ε διπλάσια συχνότητα από το η/ κύα (το τετράγωνο το συνηίτονου έχει διπλάσια συχνότητα από το αρχικό), ώστε ο έσος όρος να ισχύει. Η ενέργεια δίνεται από U ε E s ϕ ε U E ώστε S U δηλαδή έχουε ότι η ροή πυκνότητας ενέργειας δίνεται από την πυκνότητα ενέργειας επί την ταχύτητα διάδοσης. Για παράδειγα ε E V m V m, έχουε S bg. W/ m. mw/ m Ο έσος όρος ενέργειας ανά ονάδα επιφάνειας ανά ονάδα χρόνου (rrada) δίνεται από τα παραπάνω από τη σχέση S ε ε ε I T b s k r ω b Ο ρυθός ροής στο χρόνο της η/ ενέργειας είναι η οπτική ισχύ P (pal pwr) ή ροή ακτινοβολίας (rada flu) σε W. ιαιρώντας ε την επιφάνεια της ροής, έχουε τη πυκνότητα της ροής της ακτινοβολίας (rada flu dsy) σε Wm. Εάν η ροή αυτή εισέρχεται στη επιφάνεια έχουε την ακτινοβόληση (rrada) και όταν εξέρχεται την έξοδο (a), και στις δύο όως περιπτώσεις ια πυκνότητα ροής. Η πίεση p που ασκείται από την η/ ακτινοβολία είναι ίση ε την πυκνότητα ενέργειας του η/ πεδίου. ε Από u ub b έχουε p U u u + b, ώστε p S, ε ονάδες ισχύος ανά ονάδα επιφάνειας ανά ταχύτητα, άρα και δύναη επιτάχυνσης που δηιουργείται. Ο έσος όρος πίεσης είναι S I N p a f af L N M m 4 O QP

5 Έτσι η ορή p a f a f ανά ονάδα επιφάνειας A, ας δίνει στην επιφάνεια a pf Ap Η ορή p p A A S Η/Μ κύατα σε ύλη έσια φορτία και ρεύατα Οι εξισώσεις του Mawll έσα σε κάποιο υλικό δίνονται από ρ ε b b b ( j+ε ) όταν έχουε ελεύθερα φορτία ρ και ρεύατα J στο κενό. Σε αντίθεση ε τα ελεύθερα φορτία και ρεύατα, η ύλη πορεί να έχει και δέσια φορτία και ρεύατα που συνεισφέρουν στην πόλωση του έσου και πρέπει να περιληφθούν. Άτοα και όρια πορούν να πολωθούν, δηλαδή πορεί να υπάρξει αλλαγή των αποστάσεων των φορτίων, ώστε να δηιουργηθούν διπολικές ροπές q r q r j j + j j j j που ας δίνουν ια ακροσκοπική πόλωση p, από τον έσο όρο της διπολικής ροπής ανά ονάδα όγκου p V Τα δέσια φορτία είναι η ακροσκοπική αλλαγή στα φορτία του έσου εξ αιτίας της ακροσκοπικής αυτής πόλωσης p. Η πυκνότητα των δέσιων φορτίων είναι ρ b p και τα δέσια ρεύατα που επάγονται από τη κίνηση των φορτίων αυτών στο έσο είναι F r j r j jb q d q d + I d + p V j HG d d KJ d Για να συπληρωθεί η εικόνα και στα αγνητικά υλικά, η αγνήτιση m είναι ο έσος όρος της αγνητικής διπολικής ροπής ανά ονάδα όγκου και δίνεται από m V m a που δηιουργείται από τα ατοικά ρεύατα των περιστρεφόενων - ή τη κίνηση των - έσα στο άτοο. Η πυκνότητα του αγνητικού ρεύατος δίνεται από j m m Έτσι η πιο γενική ορφή των δέσιων ρευάτων είναι d jb p+ m d ώστε συνολικά ρf ρ ρb j j j f b 5

6 Οι εξισώσεις του Mawll στην ύλη Χωρίζοντας το ρ και το j στις εξισώσεις του Mawll σε συνεισφορές από δέσιες και ελεύθερες περιπτώσεις φορτίων και ρευάτων, πορούε να εστιάσουε τη προσοχή ας στο ρόλο της ύλης πάνω στο η/ πεδίο, ε την εξάλειψη των ελεύθερων φορτίων και ρευάτων. Ο νόος του Gauss γίνεται ρ ρf p ( ) ( ρ f +ρ b) ε ε ε ε και του Ampr αλλάζει σε ( b) ( jf + jb +ε ) ( jf + p+ m+ε ) Οι δύο αυτοί νόοι πρέπει να ετατραπούν ώστε να συπεριφέρονται σαν τις εξισώσεις του Mawll στο κενό. Εισάγουε το ηλεκτρικό πεδίο ετατόπισης ή ροή ηλεκτρικής πυκνότητας d d ε + p αγνητικό πεδίο ή ροή αγνητικής πυκνότητας b h b m ρf p και ο νόος του Gauss γίνεται ( ) ( ρ f +ρ b) που δίνει ε ε ε d ρ f b και ο νόος του Ampr γίνεται m jf + ( p+ε ) που δίνει h jf + d Έτσι οι νόοι του Mawll ε τη παρουσία ύλης γίνονται d 4πρf b 4π b h jf + d για το σύστηα gs dρf b b h jf + d για το σύστηα MKS, και συπληρώνονται ε τη σχέση συνέχειας j f + ρ f για τη διατήρηση των ηλεκτρικών φορτίων. όπου οι πηγές τώρα είναι όνο ελεύθερα φορτία και ρεύατα. Η πυκνότητα ενέργειας ορίζεται από U [ εd + bh ] και το διάνυσα του Pyg από s h Σε ένα έσο ελεύθερο από φορτία και ρεύατα, ισοτροπικό, γραικό και τοπικό η πυκνότητα πόλωσης σχετίζεται ε το ηλεκτρικό πεδίο pεχ dε + pε ( +χ ) ε όπου χ είναι η επιδεκτικότητα του έσου και ε η διηλεκτρική σταθερά του έσου Η αγνήτιση δίνεται από 6

7 m χmh b ( h+ m) ( +χ m) h h όπου χ m είναι η αγνητική επιδεκτικότητα του έσου και η επιδεκτικότητα του έσου, και στο σύστηα gs + 4πχ m και στο MKS ( +χ m) Με τα χαρακτηριστικά του έσου να συπεριλαβάνονται στις παραέτρους χ (ε) ή χ m (), οι εξισώσεις του Mawll γράφονται σαν ε b b bε που δίνουν την κυατική εξίσωση, ανάλογα ε την περίπτωση του κενού ε και b ε b ε την αλλαγή ε ε και, (που στη γενική περίπτωση είναι ιγαδικά), και πορούν να έχουν σαν λύσεις τα επίπεδα κύατα ω Ep ( ω k r+ϕ E) k εω ε b Bp ( ω k r+ϕ B) ε ε όπου το k είναι επίσης ιγαδικό και ορίζει και τον ιγαδικό δείκτη διάθλασης ε R + I ε ε Από τις σχέσεις b k ω k E k ˆ k E ωb B s E ω k βλέπουε ότι το και το b είναι ακόη κάθετα εταξύ τους και στην διεύθυνση διάδοσης, αλλά δεν είναι αναγκαστικά και σε φάση εταξύ τους. Όταν το k είναι ιγαδικό, όπως στα έταλλα και στα υλικά που απορροφούν, τα πεδία φθίνουν ε την απόσταση. Από ω ω Ep ( ω k r+ϕ E) k εω ( R I) ω ω ˆ ˆ Ep ω R s r+ I s r ω ˆ ω ˆ Ep I s r p ω R s r και ε την διάδοση στην κατεύθυνση του s, τότε s r r, και r Rr λs E p p ω δ δ Iω πi όπου το δ είναι το κλασσικό βάθος της επιφάνειας, και ας δίνει το έτρο που η ακτινοβολία θα διεισδύσει στο έσο. Αφού το b s βλέπουε ότι το b και το δεν βρίσκονται σε φάση, γιατί χρησιοποιώντας το 7

8 r ωrr E p p[ ϕ] ϕ ω δ έχουε r ˆ b s E p p ϕ ϕeb ϕ EB a δ Για να σχηατίσουε το διάνυσα του Pyg, θέτουε h I R b, ε την υπόθεση ότι το είναι r πραγατικό (ισχύει στα περισσότερα υλικά), που ας δίνει ˆ h s E p p ( ϕ ϕeb) δ, ώστε r s h E p s( ϕ) s( ϕ ϕeb) ˆ δ s Η έση τιή στο χρόνο δίνεται από τη σχέση s ϕs( ϕ ϕ EB ) s ϕs ϕ EB + s ϕs ϕs ϕ EB s ϕ EB I I και από τη σχέση a ϕ EB έχουε s ϕ EB R ώστε E 4πI S p[ Kr] s ˆ K δ λ Σε η-αγνητικά υλικά, και ε, ώστε ε S ( E ˆ s ) p[ Kr] Όταν το k είναι πραγατικό, για υλικά που δεν απορροφούν, τα ε και είναι επίσης πραγατικά, και το Rr E p ω διαδίδεται ε ταχύτητα υ ε Για οοιογενή υλικά, οι οριακές συνθήκες θέλουν τις συνιστώσες των bdh,,, σαν συνεχείς συναρτήσεις της θέσης. Στις επιφάνειες οι εφαπτοενικές συνιστώσες του h, είναι συνεχείς όπως και οι κάθετες συνιστώσες του b, d. Σχέσεις τηλεγραφίας Από τις σχέσεις του Mawll σε υλικά για το gs σύστηα 4πρ b ε 4π b b j+ε και στο MKS, ρ b ε b b j+ε s 8

9 Η ειδική αγωγιότητα σ για πραγατικά έταλλα σ >, ενώ στην ιδανική περίπτωση σ. Για ισοτροπικά και οοιογενή υλικά σσταθερά. Αν υποθέσουε ότι βρισκόαστε σε ια περιοχή όπου ισχύει ο νόος του Ohm, τότε j σ, και στο σύστηα gs, 4π ε b σ + και στο MKS, bσ +ε Από την ανυσατική ταυτότητα a ( b ) a( b ) ( a b), παίρνουε για το ηλεκτρικό πεδίο στο gs ( ) ( ) 4π b ρ ( b) ε και στο MKS, ( ) ( ) ρ ( b) ( b) ε Αν αντικαταστήσουε για το bστο gs 4πσ ε ( ) ε 4πσ 4π ρ ε και στο MKS ( ) σ ε ε σ ρ ε Εάν τώρα η πυκνότητα φορτίου ρ είναι σταθερή, τότε ρ. Η πυκνότητα φορτίων σε ένα έταλλο πορεί να παραείνει σταθερή όταν η αγωγιότητα είναι σηαντική. Με τη σχέση ( a ), έχουε ρ ρ ( b) ε ( ) + σ ε + σ ε ε σ ρ+ ρ ε ε λύση ρ ρ τ ε τε σ το χρόνο εφησυχασού της διαταραχής. Η πυκνότητα φορτίου φαίνεται να ελαττώνεται 7 εκθετικά ε το χρόνο, και για τα έταλλα ε σ s, ο χρόνος εφησυχασού είναι της τάξης των ρ ή ακόα και ρ, ώστε οι παραπάνω σχέσεις γίνονται στο gs [ fs ]. Έτσι θέτουε ε 4πσ και στο MKS ε σ Για το αγνητικό πεδίο τώρα στο gs ( b) ( b) b b 4πσ ε 4πσ ε + + 9

10 και στο MKS ε 4πσ b + + ( b) ( b) b b ( σ + ε ) σ + ε ( ) b+ε ( ) +σ( ) Αντικαθιστώντας για το, στο gs ε 4πσ b+ b+ b και στο MKS +ε +σ b b b Οι παραπάνω σχέσεις του ηλεκτρικού και αγνητικού πεδίου είναι γνωστοί και σαν σχέσεις της τηλεγραφίας (quas f lgraphy). Περιγράφουν ravlg ηλεκτροαγνητικά κύατα ε απόσβεση. Ένα αρονικό ravlg ονοχρωατικό κύα θα είναι τη ορφής ( kz) E ω Έτσι στο gs 4πωσ εω ( ω kz) k E ώστε το άνυσα διάδοσης είναι ε πραγατικό έρος και φανταστικό ω 4πσ k ε + εω ω ε 4πσ R( k) + + εω ω ε 4πσ Im ( k) + εω Εάν σ, τότε οι παραπάνω σχέσεις απλοποιούνται περισσότερο, και στο gs ε ε b b και στο MKS ε b ε b οι κλασσικές κυατικές εξισώσεις των συζευγένων πεδίων και b, για την η/ ακτινοβολία. Υλικά ιηλεκτρικά Ένα διηλεκτρικό (η-αγώγιο) υλικό έχει j f, σ και ρ f και πορεί να είναι διαφανές (raspar) ή αδιαφανές (paqu). Η φύση τέτοιων υλικών περιγράφεται από την σχέση p, που είναι γνωστή σαν την εξίσωση του έσου (mdum qua), και πορεί να έχει επιέρους χαρακτηριστικά όπως: Γραική: το άνυσα του p εξαρτάται γραικά από το (η αρχή της υπέρθεσης ισχύει). Οι παράετροι που περιγράφουν το σύστηα είναι ανεξάρτητοι των πεδίων

11 Χωρίς χρονική διασπορά: το έσο αντιδρά στιγιαία, το p σχετίζεται ε το στο χρόνο όνο. Οογενής: η σχέση p, δεν εξαρτάται από τη θέση r στο υλικό και οι παράετροι ε, είναι σταθερές ποσότητες. Ισοτροπική: η σχέση είναι ανεξάρτητη της διεύθυνσης του, το έσο είναι το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις, και p καθώς επίσης το d, όπως και το b h. Οι παράετροι ε, είναι βαθωτές ποσότητες. Χωρίς χωρική διασπορά: η σχέση p, είναι τοπική; p στη θέση r εξαρτάται από το στο r. Γραικό, οοιογενές, χωρίς διασπορά έσο Το p και το είναι παράλληλα και ανάλογα, ώστε ( ) p εχ ( ) dε + pε +εχ ε +χ ε εε +χ εε η διηλεκτρική σταθερά του έσου, και χ η ηλεκτρική επιδεκτικότητα του έσου. Οι εξισώσεις του Mawll δίνονται από ε b b bε h h hε Η εξίσωση κύατος στο έσο είναι u u ε ταχύτητα του φωτός ε και δείκτη διάθλασης εε +χ Ανοοιογενές, ισοτροπικό, γραικό και χωρίς διασπορά έσο Οι σχέσεις εξαρτώνται από το r, έτσι το χ χbg, r ε εbgκαι r το bg r είναι αργά εταβαλλόενες συναρτήσεις του r (δηλαδή έχουε τοπικά οοιογενές έσο). Τότε από ( ) ( ) d και από d ε και την ταυτότητα ε ε + ε έχουε ε ώστε d που ας δίνει ε E + ε ε ( r) r ε ( r) r Εφόσον το εbrg αλλάζει αργά σε σχέση ε το r, πορούε να αγνοήσουε την αλλαγή αυτή και έχουε την εξίσωση κύατος r Ανισοτροπικό, γραικό, χωρίς διασπορά, οοιογενές έσο Η σχέση p, εξαρτάται από την διεύθυνση, δηλαδή p εχ όπου χ j είναι ο τανυστής της επιδεκτικότητας και d ε ε + χ j j j j d j j j j j

12 όπου ε j είναι ο διηλεκτρικός τανυστής. Γραικό, οοιογενές, ισοτροπικό ε χρονική διασπορά έσο b g και bg, ώστε Έχουε ια δυναική εξάρτηση των πεδίων p a p + a p + ap όπου a, a, a σταθερές. Η παραπάνω σχέση είναι ίδια ε την απόκριση ενός αρονικού ταλαντωτή σε εξωτερική δύναη. Η θεωρία γραικής απόκρισης βασίζεται στην απόκριση ενός συστήατος σε ια στιγιαία δύναη: το στιγιαίο ηλεκτρικό πεδίο δaf στο χρόνο, επάγει ια πυκνότητα πόλωσης ε χρονική διασπορά, και για χρόνους z b g ε b g b g p d Μη-γραικό, οοιογενές, ισοτροπικό και χωρίς διασπορά έσο Η πόλωση δίνεται από ια συνάρτηση του ηλεκτρικού πεδίου p fbg και ε τις εξισώσεις του Mawll d d ε + p ε p dε για ισοτροπικά υλικά d ad ε p f η η-γραική εξίσωση κύατος γίνεται f Μονοχρωατικά η/ πεδία Τα πεδία είναι αρονικές συναρτήσεις του χρόνου ε ιγαδική εξάρτηση στο χώρο. r, R Er p ω hr, R Hr p ω pr, R Pr p ω dr, R Dr p ω br, R Br p ω b g m b g b gr b g m b g b gr b g m b g b gr b g m b g b gr b g m bg b gr από τη σχέση ω, οι εξισώσεις Mawll για διηλεκτρικό έσο χωρίς ελεύθερες πηγές ε ονοχρωατικά πεδία δίνονται από D E ωb B H ωd Η ροή η/ ισχύος δίνεται από

13 m r m r * * I R E R H E + E H + H * * ω * * E H + E H+ E H + E H 4 * * * I E H + E H S+ Sh Rlq S 4 S E H * το ιγαδικό άνυσα Pyg Οι εξισώσεις του έσου δίνονται από D ε E+ P B H ω ω ω ω ω ω ω Γραικό, οοιογενές, ισοτροπικό χωρίς διασπορά έσο P E τότε ε + ε +ε χ ε ( +χ ) ε B Από εχ υλικό και οι εξισώσεις γίνονται D E P E E E E και Hγια ένα η-αγνητικό E E ω H H H ωεe που σηαίνει ότι οι συνιστώσες του E και του H ικανοποιούν την εξίσωση κύατος u + k u Hlmhlz ω ε k k k ω ε ε Ανοοιογενές, γραικό, ισοτροπικό και χωρίς διασπορά έσο Οι σχέσεις έχουν ια εξάρτηση από τη θέση στο χώρο r, ώστε χ χbrg, ε εbrgκαι brg, αλλά είναι αργά εταβαλλόενες συναρτήσεις του r (δηλαδή έχουε τοπικά οοιογενές έσο). Η εξίσωση του Hlmhlz αλλάζει και δίνεται από u+ k u ω ε( r) k ( r) k k ( r) ε Γραικό, ισοτροπικό, οοιογενές ε χρονική διασπορά έσο Από τη σχέση και από το P και E, παίρνουε ε ( ) P r, E r, d { P( r) } ε ( ) E( r ) { } ω ω R R d και εξισώνοντας τους συντελεστές των ω έχουε Pr b g εχν b ger b g χν bg b g Επίσης D ε( ν) E ε( ν ) ε ( +χ( ν) ) ώστε η όνη διαφορά φαίνεται στην εξάρτηση των χ και ε από την συχνότητα. z πν d

14 Η εξίσωση του Hlmhlz παραένει u+ k u k ω ε ν ν k ν ε ν ε Ενέργεια και ισχύ σε η/ πεδία Η διάδοση των η/ πεδίων σε ύλη συνεπάγεται και εταφορά ενέργειας, κατανάλωση ισχύος και αποθήκευση ενέργειας στα συστατικά της ύλης. Από τις εξισώσεις του Mawll, έχουε b h jf + d αζί ε τα πεδία πόλωσης και ετατόπισης, d ε+ p b bh+ mg ώστε h jf + ( ε + p) ( h+ m) ε h j+ ( ) + p Εφόσον και αντίστοιχα h ( h h) h m ε την αφαίρεση τους, και από τη σχέση των ανυσάτων ba bg b a a b έχουε ε ( h) j+ + h h + p+ h m Ολοκληρώνοντας για κάποιο όγκο V και ε το θεώρηα του Gauss AdV A da z V όπου Α είναι ένα οποιοδήποτε ανυσατικό πεδίο, και είναι το οναδιαίο κάθετο στην επιφάνεια άνυσα, επιφάνεια που περικλείει τον όγκο του ολοκληρώατος, παίρνοντας για την παραπάνω σχέση h dv h da V A ε j+ + h h + + dv p h m V Το ολοκλήρωα πάνω στην επιφάνεια ας δίνει την ολική ισχύ του η/ πεδίου που ρέει έσα από αυτή την επιφάνεια. Ο πρώτος όρος είναι η ισχύ που καταναλώνεται από το πεδίο στην κίνηση των φορτίων. Ο δεύτερος και τρίτος όρος δίνουν τον ρυθό αύξησης της η/ ενέργειας του κενού E va zl O + NM ε QP hhdv V Ό όρος p είναι η ισχύ ανά ονάδα όγκου που καταναλώνεται από το πεδίο στα ηλεκτρικά δίπολα. Η ισχύ αυτή αυξάνει την δυναική ενέργεια που αποθηκεύεται στα δίπολα και η οποία αναλώνεται στην 4 z A

15 αλλαγή του πεδίου πόλωσης p. Αντίστοιχος όρος υπάρχει και για τη αγνητική περίπτωση. Η έση τιή της ισχύος αυτής ανά ονάδα όγκου που καταναλώνεται από το πεδίο για την πόλωση του υλικού είναι p. Για αρονικά πεδία και ε p, ώστε b g b g R E ω p R P η ηλεκτρική επιδεκτικότητα χ του υλικού ορίζεται από P ε χ E και είναι ια ιγαδική ποσότητα και συνήθως εξαρτάται από τη συχνότητα του η/ πεδίου. Έτσι ω ω * ω p R E R ω P R ωεχ EE ε E R[ χ] r Εάν γράψουε για την επιδεκτικότητα τις συνιστώσες της, χ χ + χ, τότε ωεχ p E Για ανισοτροπικά υλικά, όπου P ε χjej, τα παραπάνω ας δίνουν j ω ωε p R χ * ( E E ) j j j,j Μπορούε να δούε αυτή τη εταφορά ισχύος εταξύ των ηλεκτρονίων και του πεδίου από ια άλλη άποψη. Παίρνουε ένα ηλεκτρικό δίπολο. Η ισχύς που εταφέρεται από το δίπολο στο πεδίο είναι Η πιο απλή ταλάντωση του διπόλου είναι η αρονική ταλάντωση ε sbω+ ϕg, ε την επίδραση του η/ πεδίου E E sbg ω να ας δίνει ια διπολική ροπή ω + sb ϕg, ώστε E Eυ Fυ όπου F E είναι η δύναη στο δίπολο και υbg η ταχύτητα. Βλέπουε επίσης ότι η εταφορά αυτή ισχύος εξαρτάται και από την διαφορά φάσης εταξύ της κίνησης και του πεδίου. Για ϕ π, έχουε ωes ( ω) ώστε τα ηλεκτρόνια να βλέπουν ια επιβραδυντική δύναη και να χάνουν ισχύ προς το πεδίο. Αντίθετα όταν ϕ π, η δύναη είναι επιταχυντική και υπάρχει κέρδος ισχύος από το πεδίο. Η φάση στις τιές που κυαίνεται,π, αλλάζει πρόσηο τέσσερις φορές, ώστε η εταφορά αυτή να είναι ηδέν. Μια απλή αλλά σηαντική συνέπεια του θεωρήατος του Pyg αφορά ένα οπτικό σύστηα χωρίς απώλειες. Αν θεωρήσουε για το σύστηα να εισέρχονται δύο διαφορετικές κατανοές η/ πεδίων, και h, h, τότε το θεώρηα ας δίνει ( + ) ( h + h ) da ˆ ( u + u ) ( hu + hu ) da ˆ s Εφόσον η παραπάνω ισχύει για τυχαία πεδία, η ενέργεια για κάθε πεδίο πρέπει να διατηρείται ώστε και η ενέργεια στους rss όρους πρέπει επίσης να διατηρείται ( h ) + ( h) da ˆ ( u hu ) + ( u hu) da ˆ s που ας λέει ότι ένα οπτικό σύστηα χωρίς απώλειες δεν πορεί ν αναίξει ρυθούς. Αν οι ρυθοί εισόδου είναι ορθογώνιοι, τότε και στην έξοδο θα είναι ορθογώνιοι. s s 5

16 Βασικά η/ κύατα Για κάποιο γραικό, οοιογενές και ισοτροπικό υλικό πορούε να θεωρήσουε τρία βασικά η/ κύατα: επίπεδο, σφαιρικό και gaussa. Εγκάρσιο επίπεδο η/ κύα (TEM) Θέτουε Er Ep( kr ) Hr Hp( kr ) που ικανοποιούν την σχέση του Hlmhlz, εάν το έτρο του k είναι k k ικανοποιούν τις σχέσεις του Mawll k E ω H EHk,, είναι κάθετα εταξύ τους k H ωεe ωε k ε τα έτρα H E E H, k ω ώστε ωε k k ω ω ω k k ω ε E ω ε Επίσης, έτσι ώστε H k E η η η H η ε π 77 Ω 6 [ ] όπου η είναι η επέδιση ή η σύνθετη αντίσταση του κενού, και η ένταση * E S EH I η. Πρέπει επίσης να Σφαιρικό κύα Το η/ κύα που αντιπροσωπεύει ένα βαθωτό σφαιρικό κύα είναι αυτό πού εκπέπεται από ένα ηλεκτρικό δίπολο. Το ανυσατικό πεδίο είναι A r bg όπου το U r y θ r k r r H E z AU ˆ r είναι ένα βαθωτό σφαιρικό κύα, A ια σταθερά, και είναι το οναδιαίο διάνυσα. Εφόσον το U r b g ικανοποιεί την σχέση του Hlmhlz, έτσι και το Abrg Ar bg+ k Ar bg Εάν το αγνητικό πεδίο ορίζεται από H A ϕ έχουε για το ηλεκτρικό πεδίο E H ωε που ικανοποιεί H και E, αφού για κάθε άνυσα Για αποστάσεις ακριά από την πηγή του κύατος (στην αρχή των αξόνων), r >> λ ή kr >> π, τα πεδία δίνονται από Er E sθu( r) θˆ H r H sθu r ϕˆ

17 ε k E A E H θ s η r ώστε τα έτωπα των κυάτων να είναι σφαιρικά, E H r, τα έτρα να εταβάλλονται ε το sθ, σε αντίθεση από την επίπεδη περίπτωση. Κοντά στον άξονα z και ακριά από την αρχή των αξόνων (παραξονική περίπτωση) θ π και ϕ π ώστε τα έτωπα να είναι σχεδόν κάθετα στον z -άξονα και sθ. Σε Καρτεσιανό σύστηα θ sθ + sθsϕy + sθsϕz y z z y z z z z ώστε Er E ˆ ˆ + z U( r) z όπου το Ubrg είναι η παραξονική προσέγγιση στο σφαιρικό κύα (παραβολοειδής περίπτωση). Για εγάλες τιές του z, ο όρος z πορεί επίσης να αγνοηθεί ώστε Er EU ( r) ˆ H r HUr yˆ και ε αυτή τη προσέγγιση, U(r) προσεγγίζει το επίπεδο κύα z kz που ας δίνει ένα TEM επίπεδο κύα. Gaussa κύα Μια δέση Gaussa βγαίνει από το παραβολοειδές κύα, την παραξονική προσέγγιση του σφαιρικού κύατος, αντικαθιστώντας την z-εξάρτηση ε z+ z, όπου z είναι πραγατικό. Έτσι z z+ z Er E ˆ ˆ ˆ ˆ + z U r E + z U( r) z z+ z ιάδοση σε ισοτροπικά υλικά Ισοτροπικά και οογενή υλικά, όπως το κενό, τα υγρά και το γυαλί, έχουν βαθωτές σταθερές ε και. Αν και τα όρια που αποτελούν την ύλη πορεί να είναι ανισοτροπικά, η ικροσκοπικά αυτή ανισοτροπία ηδενίζεται ακροσκοπικά από τον τυχαίο προσανατολισό τους στο χώρο ακόα και έσα σε χώρο λ (τυπικές διαστάσεις για την ακτινοβολία που διαδίδεται). Για επίπεδα κύατα εγκάρσια στο επίπεδο y, b g ε διεύθυνση διάδοσης στον z -άξονα, έχουε y. Για κάποιο υλικό χωρίς απώλειες, τότε έχουε h zy h z hy zhz hε zhy ε zhz ε y ε zz Οι παραπάνω σχέσεις ας λένε ότι οι συνιστώσες hz, z είναι χρονικά ανεξάρτητες, γεγονός που σηαίνει ότι ένα επίπεδο κύα σε ένα ισοτροπικά οογενές υλικό δεν έχει διαήκεις συνιστώσες. Επίσης, εφόσον το και το b είναι κάθετα εταξύ τους, πορούε να ηδενίσουε τις συνιστώσες hy, (ή τις h, ) και πορούε να γράψουε τις δύο σχέσεις όνο y 7

18 zhy ε z hy Από τη δεύτερη παράγωγο του και ε αντικατάσταση έχουε ε z και ε παρόοιο τρόπο hy ε h z y ± ± ω kz Για αρονικές λύσεις, δοκιάζουε λύσεις του είδους Eb g, όπου E ± kz είναι το ιγαδικό πλάτος του πεδίου στο σηείο z. + : για κάποιο παρατηρητή να πορεί να βλέπει ένα σταθερό πλάτος, πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη ω kz C όπου η σταθερά εξαρτάται από το πλάτος του πεδίου που ο παρατηρητής θέλει να ετρήσει. Ο παρατηρητής πρέπει επίσης να έχει ια σταθερή ταχύτητα, που δίνεται από τη παράγωγο της παραπάνω dz d ω k τη φασική ταχύτητα του κύατος. : η λύση αυτή διαφέρει από την παραπάνω όνο στο πρόσηο του κυατάριθου, ώστε να έχουε ένα κύα να διαδίδεται στην διεύθυνση z, επίσης ε φασική ταχύτητα. Αντικαθιστώντας τη λύση στην διαφορική σχέση, έχουε το αποτέλεσα ω k ω ε k ε 8 Η φασική ταχύτητα στο κενό δίνεται από ε ms, και σε ισοτροπικά υλικά, ε όπου είναι ο δείκτης διάθλασης του έσου. ε Για το ισοτροπικό πεδίο έχουε επίσης που ας δίνει ώστε όπου η είναι η σύνθετη αντίσταση, ε η Αντίστοιχα, H y h H b ± ± y y g ω kz + + hy + + kh b ω kz g ω kz y ε ωεe b g z H + y + E η η ε 77 Ω την σύνθετη αντίσταση του κενού. ε E, ώστε για το κύα που διαδίδεται στον z άξονα, η σχετική φάση των δύο η πεδίων είναι αντίστροφη αυτής του z άξονα. Εφόσον η κυατική εξίσωση είναι ια γραική διαφορική εξίσωση, πορούε να έχουε σαν λύση και την υπέρθεση των δύο παραπάνω κυάτων kz kz bz, g Eb g + Eb g + ω ω + και kz kz kz kz hybz, g H + ybω g + H ybω + g E + bω g + E bω + g η Η έση ισχύ ανά ονάδα επιφάνειας - η ένταση του πεδίου Wm - είναι 8

19 I h και εφόσον πορούε να έχουε ώστε το h y, τότε I h y που ας δίνει * + kz kz + * kz * kz I REHys R{ E + E h Eh + Eh j} η + E E η η ο πρώτος όρος για τον z άξονα, και ο δεύτερος για τον z. Θα δούε και την σχέση της έντασης του πεδίου προς την αποθηκευένη πυκνότητα της η/ ενέργειας στο υλικό. Από τη γενική σχέση της πυκνότητας της η/ ενέργειας, οι όροι που αφορούν αυτή του ηλεκτρικού πεδίου είναι ε + p και από τις σχέσεις p εχ, ε ε b + χ g έχουε ε ε + p και σε αντιστοιχία για το αγνητικό πεδίο + hh h m Από τις σχέσεις m χ mh, b + χmg έχουε hh + h m hh Για υλικά χωρίς απώλειες, οι όροι αυτοί αντιπροσωπεύουν τις χρονικές αλλαγές της ηλεκτρικής και αγνητικής πυκνότητας στο κενό και στα δίπολα, ώστε Elr ε vlum και Emag hh vlum Για τον άξονα z έχουε E Elr + Emag ε + + ( ) + ( h) vlum vlum Ανάκλαση και διάδοση από επιφάνεια ΟΙ σχέσεις του Mawll περιγράφουν την συπεριφορά των η/ πεδίων στο χώρο, ε ή χωρίς τη παρουσία της ύλης, όπου οι παράετροι ε, είναι συνεχείς ποσότητες. Για την οπτική περιοχή, ε λ 5 m, τα άτοα ή όρια έχουν απόσταση εταξύ τους περίπου, m και οι ατοικές διαστάσεις είναι ακόα ικρότερες. Βλέπουε έτσι ότι οι ιδιότητες της ύλης, και κυρίως οι οπτικές ιδιότητες, αλλάζουν απότοα στην διεπιφάνεια εταξύ δύο υλικών. Περιένουε τότε κάποιες ασυνέχειες στα πεδία dbh,,, και τα ρ, j να εκφυλίζονται σε επιφανειακά φορτία και ρεύατα. Όπως το φως διαδίδεται σε ένα τέτοιο υλικό, τα σκεδαζόενα κύατα θα έχουν καταστρεπτική συβολή εκτός από την επρόσθια διεύθυνση, προς την οποία υπάρχει ενισχυτική συβολή και το η/ κύα κατευθύνεται σε ευθεία πορεία. Σε ια διεπιφάνεια, η απότοη αλλαγή στην θέση των σκεδαστών θα δηιουργήσει και ια σκέδαση που ονοάζουε ανάκλαση. Εάν η εταβολή εταξύ των υλικών είναι βαθιαία και γίνεται 9

20 σε πάχος εγαλύτερο από το ήκος κύατος της ακτινοβολίας, θα έχουε ια ικρή και συνήθως αελητέα ανάκλαση. Αν η αλλαγή αυτή συβαίνει σε πάχος λ 4 ή ικρότερο, η αλλαγή θα είναι ασυνεχής. Στο ανακλώενο κύα συνεισφέρουν οι σκεδαστές σε ια λεπτή πάχους περιοχή ~ λ, που ας δίνει περίπου 4% ανάκλαση. Στα παρακάτω ζητάε να βρούε τις σχέσεις που περιγράφουν την συπεριφορά των παραπάνω πεδίων έσα από αυτή την ασυνέχεια. Για ένα ονοδιάστατο κύα, όταν έχουε ια απότοη αλλαγή στο δείκτη διάθλασης σε κάποιο σηείο του χώρου, πρέπει να ικανοποιήσουε δύο συνοριακές συνθήκες στο σηείο αυτό (α) το πλάτος του κύατος στο πρέπει να είναι το ίδιο και στα δύο έσα, άρα συνεχές (β) η κλίση του κύατος πρέπει επίσης να είναι η ίδια, εφόσον όποια διαφορά θα σήαινε και ια κάθετο δύναη σε ένα απειροελάχιστο χώρο που συνεπάγεται άπειρη επιτάχυνση. Αν θεωρήσουε ένα προσπίπτων κύα ψ Ask ( ω ) για < ε ταχύτητα διάδοσης, τότε στο έχουε ψ As ( ω) ψ kas ( ω ) για το κύα που διαδίδεται στο > έχουε ψ Ask ( ω ) για > ε ταχύτητα διάδοσης, και στο έχουε ψ As ( ω) ψ Aks ( ω ) για να ικανοποιήσουε τις παραπάνω σχέσεις, πρέπει να έχουε A A και εφόσον η συνθήκη ισχύει για όλους τους χρόνους, τότε ω ω για τις συχνότητες. Η δεύτερη σχέση ας λέει πρόσθετα ότι ka ka και εφόσον A A, τότε k k. Βλέπουε όως ότι k ω, άρα ε ω ω τότε, που σηαίνει ίδια ταχύτητα διάδοσης και στα δύο έσα, γεγονός που δεν παρατηρούε. Για να ικανοποιήσουε τις συνοριακές συνθήκες χρειαζόαστε και ένα τρίτο κύα, το ανακλώενο στην αντίθετη κατεύθυνση από το προσπίπτων και το οποίο να πηγάζει από το σηείο ψ r Ars( kr+ω r) ε ταχύτητα διάδοσης, και ικανοποιεί τις συνθήκες ψ r As r ( ωr) ψ r kas r r ( ω r) Και τα τρία κύατα αζί ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες ψ+ψ ψ r ( ψ+ψ ψ r ) που δίνουν ωωω r και A + Ar A ka + krar ka ε λύσεις k + k ω ( + r ) ω A A A A kr + k ω ( + ) ( ω )( + ) Αν ορίσουε το συντελεστή διέλευσης A A, έχουε + και για τον συντελεστή ανάκλασης r Ar A, έχουε r +

21 Βλέπουε επίσης ότι αν δεν έχουε διάδοση του κύατος στο δεύτερο έσο, τότε A και A Ar ε r και. Τα δύο κύατα που ένουν ε την αρχή της υπέρθεσης, προστίθενται και έχουε ένα στάσιο κύα εφόσον A A + Ar A( s( k ω) s( k+ω ) ) As( ω ) s( k). Για τις τρεις διαστάσεις τώρα, όπως στο σχήα, έχουε το επάνω έρος ε δείκτη z διάθλασης και ταχύτητα διάδοσης υ. Για ένα επίπεδο κύα πρόσπτωσης, ζητάε τις φάσεις των τριών κυάτων στην διεπιφάνεια να είναι ίδιες και στις δύο πλευρές ω k r ω z r kr r ω z k r z y Αν η παραπάνω σχέση ισχύει για όλους τους χρόνους, τότε ω ω r ω και η συχνότητα δεν αλλάζει. Στη διεπιφάνεια r (,y,) ω k ω k ω k και είναι ανεξάρτητα από τις τιές (,y ), ώστε ( k,k,k ) y z r r r ( k,k,k ) r y z ( k,k,k ) y z r r k k k k y k y k y Οι παραπάνω σχέσεις αναγκάζουν και τα τρία κύατα να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, το οποίο ονοάζουε επίπεδο πρόσπτωσης (d pla) Το επίπεδο αυτό ορίζεται ε τη κάθετο στη διεπιφάνεια που χωρίζει τα δύο έσα και του k στο σηείο που συναντά την διεπιφάνεια. Έτσι τα συνηίτονα διεύθυνσης είναι k sθ ky kz sθ r r r k sθ r ky kz sθr k sθ k k sθ y z Τότε παίρνουε s θ s θ r s θ Για το πρώτο έσο, έχουε τη σχέση της ανάκλασης s θ s θr θ θr και για το δεύτερο έσο τη σχέση περίθλασης, νόο του Sll s θ s θ Οι παραπάνω σχέσεις δίνονται ε την απλή υπόθεση της συνέχειας των κυάτων στην διεπιφάνεια και όνο. Ισχύουν για όλες τις λύσεις της κυατικής εξίσωσης και δεν εξαρτώνται από τον η/ χαρακτήρα της ακτινοβολίας. Συνοριακές συνθήκες Οι παραπάνω σχέσεις δίνουν τη γεωετρία της συπεριφοράς των η/ κυάτων, αλλά καθόλου πληροφορία για τα πλάτη των κυάτων. Για να υπολογίσουε τα πλάτη χρειαζόαστε τις σχέσεις Mawll και τις συνοριακές συνθήκες που ισχύουν για τα πεδία αυτά. Οι σχέσεις Mawll σε ορφή ολοκληρώατος, για ισοτροπικά και γραικά υλικά είναι ε ds ρdv dl b ds S V C S

22 zz d S b S b dl ε ds C S Για να δούε τα αποτελέσατα των συνοριακών συνθηκών στις παραπάνω, χρειάζεται να δούε τα παρακάτω ολοκληρώατα: Για τις κάθετες στην διεπιφάνεια συνιστώσες των πεδίων, θεωρούε κάποιο κύλινδρο, ε βάση A, απειροελάχιστο ύψος h, και όγκο V Ah που πορεί να είναι ικρός, πάνω στην διεπιφάνεια εταξύ δύο υλικών, όπως φαίνεται στο σχήα. Αν το πεδίο b και οι παράγωγοί του είναι συνεχείς έσα στον ικρό αυτό όγκο, ε το θεώρηα Gauss έχουε bdv b ds V S όπου ds ds και είναι η κάθετος στην επιφάνεια S. Για τον κύλινδρο έχουε συνεισφορές από τις βάσεις του κυλίνδρου και την κυλινδρική επιφάνεια, που δίνει b ds+ b ds + yldr walls Στο όριο που το ύψος του κυλίνδρου είναι απειροελάχιστο h, τα τοιχώατα θα έχουν ηδενική συνεισφορά στην ροή αγνητικού πεδίου έσα από αυτά, και οι επιφάνειες της βάσης γίνεται στην ουσία ία, όπου και πορούε να έχουε τα πεδία b, b σταθερές ποσότητες ώστε ( b + b ) ds Αν πάρουε τώρα ένα άνυσα από το υλικό προς το υλικό, έχουε και που ας δίνει ( b b ) γεγονός που σηαίνει ότι η κάθετη συνιστώσα του b, δηλαδή η b είναι συνεχής έσα από την διεπιφάνεια των δύο υλικών. Μπορούε να δούε και τη σχέση για το πεδίο ετατόπισης d, στην οποία εφανίζεται και ο έξτρα όρος από τυχόν ελεύθερα φορτία που πορούε να έχουε σε ια επιφάνεια. Η αντίστοιχη σχέση είναι ddv ε dv d ds ρdv Πάλι στο όριο h, περιένουε ότι V V S V V ρ dv ρds όταν έχουε όνο επιφανειακά φορτία. Στη περίπτωση αυτή d ds+ d ds + yldr walls ρda και η συνεισφορά των τοιχωάτων είναι αελητέα, ώστε ένουε ε ( d + d ) ds ρ που δίνει ( d d ) ρ ώστε η αλλαγή του d, και του ε, είναι ασυνεχής έσα από την διεπιφάνεια, αν έχουε φορτία σε αυτή. Αν δεν έχουε επιφανειακά φορτία, τότε η κάθετος συνιστώσα του d, και του ε, είναι συνεχής στην διεπιφάνεια αυτή. Για την εφαπτοενικές συνιστώσες των πεδίων, θεωρούε ένα κλειστό βρόχο την διεπιφάνεια ε ήκος και ύψος h, που έχει επιφάνεια A h που πορεί ε να είναι πολύ ικρή, όπως και στο σχήα, ώστε τα ολοκληρώατα της κλειστής, γραής γύρω από την περίετρο αυτή θα έχουν συνεισφορές από τις πλευρές h ( ) και απειροελάχιστη από την (h), ας δίνει έσα από το θεώρηα Sks ε, S ds dl b ds S C S ε A h ε b b

23 όταν τα ήκη του βρόχου, στα δύο υλικά είναι ικρά, περιένουε τα, καθώς επίσης και το b να είναι σταθερές ποσότητες, ώστε οι συνεισφορές από το βρόχο να είναι από τα, και από τις πλευρές h να είναι d + d + ds b d dh όπου το οναδιαίο άνυσα κάθετο στην επιφάνεια που ο βρόχος περικλείει, και το οναδιαίο άνυσα κατά ήκος του βρόχου. Όπως το ύψος h, τότε ( + ) d Μπορούε να ορίσουε ένα οναδιαίο άνυσα από το υλικό προς το υλικό, ώστε και που ετατρέπει τη παραπάνω σχέση σε ( ) d ώστε οι εφαπτοενικές συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου είναι συνεχείς έσα από το κλειστό βρόχο. Μπορούε να δούε επίσης και τη σχέση για το αγνητικό πεδίο b ή h, που έχει παράλληλη ανάλυση αλλά περιέχει και πρόσθετους όρους αν υπάρχουν ελεύθερα ρεύατα. Όπως και παραπάνω έχουε h d + h d + ds d d dh + j d που στο όριο δίνει ( h h ) d j που δίνει ια ασυνέχεια στην εφαπτοενική συνιστώσα του h όταν υπάρχουν επιφανειακά ρεύατα. Σχέσεις Frsl Έχοντας ορίσει την ύπαρξη του κύατος ανάκλασης και του κύατος διάθλασης, αν επιτρέπεται, και το γεγονός ότι τα τρία αυτά κύατα ορίζουν ένα επίπεδο, το επίπεδο πρόσπτωσης (d pla), έχουε βρει τους νόους ανάκλασης και διάθλασης έσα από τις συνοριακές συνθήκες κυάτων. Τα πλάτη των πεδίων ανάκλασης και διάθλασης πορούν να υπολογισθούν ε βάση τις παραπάνω συνοριακές σχέσεις που βρέθηκαν και έσα από τις σχέσεις του Mawll. Ορίζουε σαν την επιφάνεια εταξύ των δύο διηλεκτρικών υλικών το επίπεδο y. Το επίπεδο πρόσπτωσης ορίζεται το z, και είναι η επιφάνεια της σελίδας. Γενικά, τα πεδία και b πορούν να έχουν συνιστώσες παράλληλες στο επίπεδο πρόσπτωσης ή και κάθετες σε αυτό. Μπορούε τότε να ορίσουε δύο περιπτώσεις z z k b b r k r r k k r r b r θ θ r b θ θ r b b θ k θ k Περίπτωση σ : Το πεδίο κάθετο και το b παράλληλο στο επίπεδο πρόσπτωσης Κάθετη πόλωση Περίπτωση π : Το πεδίο b κάθετο και το παράλληλο στο επίπεδο πρόσπτωσης Υποθέτουε ότι το είναι κάθετο στο επίπεδο πρόσπτωσης και το b παράλληλο (περίπτωση σ). Εφόσον E B τότε στο επίπεδο αυτό k b k Εφόσον η εφαπτοενική συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου είναι συνεχής στην επιφάνεια τότε

24 E + Er E Αν και τα E E r, είναι κάθετα στο επίπεδο πρόσπτωσης, υποθέτουε ότι και αυτά είναι προς την ίδια διεύθυνση ε το E. Τα αντίστοιχα αγνητικά πεδία εκτείνονται στην διεύθυνση που δίνεται από την σχέση k b. Στην συνέχεια αναλύουε τη δεύτερη συνοριακή σχέση, για τις κάθετες συνιστώσες των πεδίων. Στην προκειένη περίπτωση, αν το ηλεκτρικό πεδίο είναι κάθετο στο επίπεδο πρόσπτωσης (παράλληλο στην διεπιφάνεια) η συνοριακή συνθήκη θα δώσει για το b πεδίο b br b sθ + sθr s θ r ή h s θ + hrs θ r h s θ από τις σχέσεις k b και εφόσον r και θ θr έχουε b rgsθ s θ Στην επιφάνεια, εφόσον οι όροι των ηιτόνων είναι οι ίδιοι, έχουε E E d rsθ E s θ που σε συνδυασό ε τη σχέση E + Er E έχουε F E r r H G sθ sθ I E K J sθ + sθ F E H G sθ I E K J sθ + sθ για τη περίπτωση που το ηλεκτρικό πεδίο βρίσκεται κάθετο στο πεδίο πρόσπτωσης. Οι δύο παραπάνω σχέσεις είναι τελείως γενικές, για οποιοδήποτε γραικό, ισοτροπικό και οοιογενές υλικό. Είναι δύο από τις γνωστές σχέσεις του Frsl. Για διηλεκτρικά υλικά, πορούε επίσης να κάνουε τη προσέγγιση r, ώστε πιο απλά E r sθ sθ r για τον συντελεστή ανάκλασης E s θ+ s θ E sθ για το συντελεστή διάδοσης E s θ + s θ Παράλληλη πόλωση Ένα όοιο ζευγάρι εξισώσεων προκύπτει όταν το πεδίο βρίσκεται στο επίπεδο πρόσπτωσης. Στη περίπτωση αυτή, η σχέση συνέχειας των εφαπτοενικών συνιστωσών του στις δύο πλευρές της διεπιφάνειας δίνουν Esθ Ersθr Esθ και του πεδίου b r E r E r E + και για την ίδια προσέγγιση ε τη παραπάνω r και θ θr, παίρνουε το δεύτερο ζευγάρι των σχέσεων του Frsl 4

25 F r H G θ I K J sθ r s sθ E E + sθ F s E H G θ I E K J sθ + sθ, και για διηλεκτρικά υλικά, όπου ισχύει r F E r s s r H G I E K J θ θ για το συντελεστή ανάκλασης F sθ + sθ E s H G I E K J θ για το συντελεστή διάδοσης sθ + sθ Με τη χρήση του νόου του Sll, οι τέσσερις αυτές σχέσεις γίνονται s ( θ θ ) a ( θ θ ) r r s ( θ+θ ) a ( θ+θ ) sθ sθ sθ sθ s θ +θ s θ +θ s θ θ επισηαίνοντας ότι για τα παραπάνω πρόσηα πρέπει να λάβουε υπ όψη και τις επιλεγένες διευθύνσεις των πεδίων. Κάθετη πρόσπτωση Όταν βρισκόαστε κοντά σε γωνίες κάθετης πρόσπτωσης, θ, η εφαπτοένη είναι σχεδόν ίση ε το ηίτονο. Τότε οι συντελεστές ανάκλασης s θ r r θ θ sbθ + θg θ και ε την ανάπτυξη του ηίτονου και τη χρήση του νόου διάθλασης sθ sθ r r θ θ sθ + sθ θ θ και ε τη προσέγγιση sθ θ και sθ παίρνουε r r θ θ + Αντίστοιχα για θ, θ θ + και r και + r για τη κάθετη πρόσπτωση. Αλλαγή φάσης Εφόσον οι γωνίες θ και 5 b g θ είναι πραγατικές (αγνοούε τη περίπτωση ολικής ανάκλασης) οι τριγωνοετρικές σχέσεις θα είναι επίσης πραγατικές. Έτσι η φάση για κάθε συνιστώσα του πεδίου ανάκλασης ή διάθλασης θα είναι ίδια ε αυτή της συνιστώσας του πεδίου πρόσπτωσης ή θα διαφέρει κατά π.

26 Εφόσον οι συντελεστές και έχουν θετικά πρόσηα, η φάση θα είναι η ίδια για την πρόσπτωση και διάθλαση. Για την περίπτωση της ανάκλασης, η φάση θα εξαρτηθεί από τις τιές των θ και θ. Αν το υλικό διάθλασης είναι πιο πυκνό από το υλικό πρόσπτωσης, >, τότε θ <θ, όπου και έχουε εξωτερική ανάκλαση (ral rfl). Βλέπουε ότι για τον συντελεστή r έχουε αρνητικό πρόσηο, ώστε η φάση αλλάζει κατά π, για όλες τις τιές του θ. Αντίθετα για τον συντελεστή r, η a ( θ θ ) είναι θετική ενώ η a ( θ+θ ) είναι αρνητική για θ +θ >π όπου και πέρα από τη γωνία αυτή, γίνεται αρνητική και έχουε αλλαγή φάσης κατά π. Έτσι συντελεστής r ξεκινά θετικός για θ και ειώνεται, έχρι να ηδενισθεί όταν θ + θ 9, όπου και έχουε a π b g. Η τιή της θ που παρατηρούε αυτό είναι η θ B, γνωστή σαν γωνία πόλωσης ή γωνία Brwsr. Πέρα από τη τιή αυτή της θ, ο συντελεστής r γίνεται αρνητικός και παίρνει τη τιή του όταν θ 9. Στο σηείο αυτό ακόα και ια ατελής επιφάνεια, θα γίνει ανακλαστική σαν κάτοπτρο. Όταν <, έχουε εσωτερική ανάκλαση (ral rfl), όπου θ < θ και το r > για όλες τις γωνίες. Η τιή του γίνεται ονάδα όταν βρισκόαστε στη κρίσιη γωνία όπου θ π. Επίσης ο r ξεκινά αρνητικός, ηδενίζεται στη γωνία πόλωσης θ p και γίνεται ονάδα στη κρίσιη γωνία. Ανάκλαση και διέλευση Για ια κυκλική δέση που πέφτει πάνω σε ια επιφάνεια και εβαδόν A, η ισχύς ανά ονάδα επιφάνειας που περνά την επιφάνεια αυτή ε άνυσα παράλληλο ε το άνυσα Pyg δίνεται από S ε E B Σηειώνουε επίσης ότι η πυκνότητα ροής (rada flu dsy) είναι I ε E. Εάν οι αντίστοιχες πυκνότητες της προσπίπτουσας, ανακλώενης και διαδιδόενης δέσης είναι I, Ir, I ε επιφάνειες As θ, As θr, Asθ τότε η προσπίπτουσα ισχύς θα είναι IA sθ, δηλαδή η ενέργεια ανά ονάδα χρόνου στη δέση, καθώς επίσης και IA r sθ r για την ανακλώενη και IA sθ για την διαδιδόενη. Ορίζουε την ανακλαστικότητα R σαν το λόγο της ισχύος στην ανακλώενη προς την προσπίπτουσα R I rsθr Ir Isθ I και την διαπερατότητα T σαν το λόγο της διαδιδόενης προς την προσπίπτουσα ισχύ T I sθ I sθ Με τον ορισό της rrada έχουε R I r rεr Er Er r I εe E όταν στο ίδιο έσο έχουε,ε ε. Η διαπερατότητα θα είναι επίσης όταν r, r r T E εsθ sθ Er εsθe sθ E ε, ε. sθ sθ ιατήρηση ενέργειας Με τη σχέση της διατήρησης της ενέργειας, ξέρουε ότι η ενέργεια που ρέει έσα σε ια επιφάνεια ανά ονάδα χρόνου πρέπει να είναι ίση ε αυτή που ρέει εκτός 6

27 IA sθ IA r sθr + IA sθ E sθ E r rsθr + E sθ δηλαδή IA sθ IA r sθr + IA sθ E sθ E r rsθr + E sθ E r rsθr E sθ Er sθ E + + R+ T E sθ E sθ E sθ E και για τις επιέρους συνιστώσες R + T R + T Για γωνία πρόσπτωσης θ, κάθετη πρόσπτωση, το επίπεδο πρόσπτωσης γίνεται αόριστο και οποιαδήποτε διαφορά εταξύ παράλληλης και κάθετης συνιστώσας της RT, χάνεται. Στη περίπτωση αυτή βρίσκουε ότι Όπου όπως επίσης και ότι T R R R T T T b F HG g I KJ ( θ θ) ( θ θ) s θ s θ s R sθ + sθ s θ +θ a s θ s θ R sθ + sθ a θ +θ θ sθ s ( θ) s ( θ) θ θ + θ ( θ +θ) θ sθ s ( θ) s ( θ) θ θ + θ θ +θ θ θ s s s s s s T s s s s s ιαφορά φάσης η/ κυάτων R ( R + R ) T ( T + T ) Ενδιαφέρον έχει επίσης και η ύπαρξη διαφοράς φάσης (phas hag) ϕ εταξύ του ανακλώενου E r και διερχόενου κύατος E σε σχέση ε το προσπίπτον E. Η διαφορά αυτή για τις επιέρους παράλληλες και καθετες συνιστώσες εξαρτάται από τις τιές των δεικτών διάθλασης και για τα δύο έσα, καθώς επίσης και την γωνία πρόσπτωσης <θ < 9. Όταν έχουε <, οι γωνίες πρόσπτωσης θ και διέλευσης θ είναι πραγατικές και οι συντελεστές Frsl είναι επίσης πραγατικοί αριθοί. Στη περίπτωση αυτή η διαφορά φάσης ϕ για κάθε συνιστώσα θα είναι ηδέν ή 8. Για πραγατικές τιές των θ και θ έχουε 7

28 s s a ( θ θ ) s ( θ θ) ( θ θ ) s( θ θ) ( θ θ ) a ( θ θ ) Για το διερχόενο κύα, θα ισχύει παντού ότι E E > > E E και οι παραπάνω θετικές τιές σηαίνουν ότι η διαφορά φάσης για το διερχόενο κύα σε σχέση ε το προσπίπτον είναι ηδέν, ανεξάρτητα από τη γωνία πρόσπτωσης. Για τα ανακλόενα πεδία, εφόσον > > r < r < η διαφορά φάσης του κύατος ανάκλασης θα είναι ηδενική όταν r > και 8 ο για r<. Εξωτερική ανάκλαση ε < Εξωτερική ανάκλαση (ral rfl) έχουε όταν το φως περνά από ένα οπτικά αριαό προς ένα οπτικά πυκνότερο έσο. Στη περίπτωση αυτή, όταν η γωνία πρόσπτωσης κυαίνεται σε τιές (,9 ) έχουε τις παρκάτω περιπτώσεις Κάθετη πρόσπτωση θ Έχουε s θ s θ θ και οι συντελεστές E r r s8 < E E r r > E + E > E + E > E + Βλέπουε ότι το διερχόενο κύα έχει ϕ, ενώ το ανακλώενο ϕ και ϕ για γωνία θ. Παράλληλη πρόσπτωση θ 9 Με δέση παράλληλη στην διεπιφάνεια sθ < r s8 s θ sθ < r s θ τ τ όπου έχουε όνο ανακλώενο κύα ε αλλαγή φάσης 8 ο σε σχέση ε το προσπίπτον. <θ < 9 8

29 Ο συντελεστής r παραένει αρνητικός πάντα σε όλη αυτή τη περιοχή και εταβάλλει την απόλυτη τιή του από για θ έως για θ 9. Οι συντελεστές και ελαττώνονται συνεχώς και + τείνουν στο ηδέν. Γωνία Brwsr a ( θ θ ) Για τον συντελεστή r, όπως η γωνία θ αυξάνει το θ +θ φθάνει στις 9 ο όπου και η a ( θ+θ ) εφαπτοένη απειρίζεται. Στο σηείο αυτό το r, ώστε R για θ+θ 9 θ B +θ 9 ε θ B γνωστή σαν γωνία Brwsr. Τότε E r, ώστε δεν υπάρχει παράλληλη συνιστώσα του ανακλώενου κύατος, και το ανακλώενο φως είναι γραικά πολωένο. Πέρα από τη γωνία θ B, ο r < και φθάνει στο - για θ 9. Στη γωνία Brwsr έχουε a θ B ώστε a θb r s ( θ B ) < + + a θb r sθb s ( θ B ) > s θ B + s( 9 θ B) + sθb > s θ + s 9 θ a θ Εσωτερική ανάκλαση B B B Για >, το φως προσπίπτει στην διεπιφάνεια από τη πλευρά του οπτικά πυκνότερου έσου προς το οπτικά αριαότερο έσο, οπότε έχουε εσωτερική ανάκλαση (ral rfl). Με τη γωνία γωνία θ πρόσπτωσης να εγαλώνει, έχουε s θ < s θ άρα θ <θ και τότε οι r, r αυξάνονται και οι, ειώνονται εφόσον >. Ο νόος του Sll ας λέει ότι θ < θ. Όπως η θ αυξάνεται, η διαδιδόενη ακτίνα πλησιάζει να γίνει εφαπτοενική ε την επιφάνεια, θ 9 και όλη η ενέργεια εταφέρεται στο έγιστο στην ανακλώενη δέση. Όταν θ 9 τότε s θ και s θ, η κρίσιη αυτή γωνία θ. Για γωνίες πρόσπτωσης θ > θ, όλη η ενέργεια εταφέρεται στην ανακλώενη και έχουε ολική εσωτερική ανάκλαση (al ral rfl). Για το διαδιδόενο κύα, το άνυσα διάδοσης είναι αρνητικό στο έσο ε χαηλό δείκτη διάθλασης και το κύα ειώνεται εκθετικά, όπου και παίρνουε ένα επιφανειακό κύα (vas wav). Κάθετη πρόσπτωση θ Έχουε θ θ οπότε 9

30 γωνία πρόσπτωσης θθ Όταν θ 9 θ τότε θα έχουε ε το ανακλώενο φως, και και r > ϕ + r < ϕ r B + > ϕ > ϕ + θθ θ+θ r r 9, και το διαδιδόενο φως σχηατίζει ορθή γωνία a θ B < s θ s 9 θ aθ sθ + s 9 θ + a θ r B B B B B B a θb s ( θ B ) > + + a θb s ( B ) + θ > > aθb Βλέπουε ότι δεν υπάρχει παράλληλη ανακλώενη συνιστώσα, ώστε το ανακλώενο φως είναι γραικά πολωένο. Κρισιη γωνία πρόσπτωσης θθ Όταν για κάποια γωνία πρόσπτωσης η γωνία διάθλασης γίνει θ 9, τότε s θ s θ και η γωνία αυτή πρόσπτωσης είναι γνωστή σαν κρίσιη γωνία (ral agl) και s θ a θ B < Στη περίπτωση αυτή το ανακλώενο κύα περιέχει όλη την ενέργεια του προσπίπτοντος εφόσον και έχουε ολική εσωτερική ανάκλαση (al ral rfl). Επίσης από s θ r r > ϕ s θ δεν παρατηρούε αλλαγή φάσης στις ανακλώενες συνιστώσες. Επιφανειακά κύατα E,

31 Χωρίς το διαδιδόενο κύα δεν είναι δυνατόν να ικανοποιήσουε τις συνοριακές συνθήκες ε όνο το προσπίπτων και το ανακλώενο κύα στη παραπάνω περίπτωση. Ξαναγράφοντας τις σχέσεις s θ s θ s θ s θ r r s θ+ s θ s θ+ s θ όπου για θ > θ βλέπουε ότι οι r, r γίνονται ιγαδικές ποσότητες αλλά ισχύει ακόα η σχέση * * rr, r r ώστε R, που ας δίνει ότι I Ir και I. Έτσι έστω και αν υπάρχει διαδιδόενο κύα, δεν εταφέρει ενέργεια έσα από την διεπιφάνεια. Στη περίπτωση αυτή το διαδιδόενο ηλεκτρικό πεδίο dk r ω E E ε k r k + kyy ks θ + ksθ y. Με το νόο του Sll k r k s θ ± k s θ y Εφόσον s θ >,ο όρος του y γίνεται k y ± k s θ ± β ώστε F y E E k I s θ ω β HG KJ Απορρίπτουε το θετικό εκθέτη που ας δίνει ένα η αποδεκτό αποτέλεσα, και έχουε ένα κύα που το πλάτος του ειώνεται εκθετικά όπως διεισδύει στο λιγότερα πυκνό έσο. Η διαταραχή αυτή κινείται σαν ένα επιφανειακό κύα (vas wav). Τα κυατικά έτωπα είναι κάθετα στα επίπεδα σταθερού πλάτους, και το κύα είναι ανοοιογενές. Η ενέργεια κυκλοφορεί γύρω από την διεπιφάνεια και διατηρείται. Σε έσο όρο η ενέργεια που ρέει έσα από την διεπιφάνεια προς το αραιό έσο είναι ηδέν. Η ενέργεια στο επιφανειακό κύα εξηγείται όταν για πραγατικές συνθήκες, η προσπίπτουσα δέση έχει πεπερασένη διατοή και έτσι δεν είναι απόλυτα επίπεδο κύα. Η ικρή αυτή παρέκκλιση ας επιτρέπει τη ικρή διάδοση ενέργειας έσα στην επιφάνεια που υπάρχει το επιφανειακό κύα. Αν δούε τη περίπτωση όπου το προσπίπτων και διαδιδόενο κύα περιγράφονται από τη περίπτωση σ (ΤΕ), τότε E, y ze ˆ p k s θ y s θ ˆ ( θ θ ) E, y ze p k s y s αγνοώντας τη χρονική εξάρτηση. Οι γωνίες πρόσπτωσης και διάδοσης σχετίζονται από το νόο του Sll s θ ( ) s θ s θ s θ έχοντας επιλέξει τη θετική ρίζα, εφόσον η αρνητική ρίζα θα ήταν για διάδοση σε διαφορετική διεύθυνση. Έτσι το διαδιδόενο πεδίο είναι E(, y) z ˆ Ep k s θ y s θ Στη κρίσιη γωνία s θ, ώστε η γωνία διέλευσης είναι ηδέν και το πεδίο είναι ένα επιφανειακό κύα E,y z ˆ E p k [ ]

32 Για γωνίες εγαλύτερες το συνηίτονο της γωνίας διέλευσης είναι αρνητικό, και έχουε κάποια αβεβαιότητα για το πρόσηο που πρέπει να επιλέξουε. Στη γενική περίπτωση για s θ > sθ ± s θ το πεδίο διέλευσης E(, y) z ˆ Ep k s θ y ± s θ E(, y) z ˆ Ep k s θ k y ± s θ και πρέπει να επιλέξουε την αρνητική ρίζα ώστε το πεδίο να φθίνει προς την y κατεύθυνση. Με την επιλογή της αρνητικής ρίζας θέλουε να βρούε την αλλαγή φάσης σε ολική ανάκλαση. που δίνει θ + r TE θ ( ) E s s θ E s s θ s θ ϕ a s θ που ας λέει ότι η φασική αλλαγή στην ολική ανάκλαση από ηδέν στην κρίσιη γωνία γίνεται +π στην γωνία grazg, σε αντίθεση ε τις σχέσεις Frsl, όπου η φασική αλλαγή είναι από έως π, έχοντας επιλέξει τη θετική ρίζα το ηίτονου. Φαινόενο ετατόπισης Gs-Hah Η φασική αλλαγή αυτή στη εσωτερική ανάκλαση φαίνεται να αντιστοιχεί σε ετατόπιση του επίπέδου ανάκλασης, όπως φαίνεται στο σχήα και από τη σχέση k r kr rr +αr ( k kr) r ( rr r) k r αr Για να ποσοτικοποιήσουε την αλλαγή θεωρούε ια δέση ε πεπερασένη διατοή k ϕ k ( ) r ( ) A A k dk A A k dk Για εγάλες δέσες, δηλαδή ικρή περιοχή τιών k, αναπτύσσουε και ε αντικατάσταση ϕ ϕϕ + + ( k k ) k ϕ ϕ ϕ + ( k k) + k ϕ k r ( ) ϕ ϕ + k+ ϕ k k ϕ k A( k) dk ϕ ϕ + k+ k ϕ ϕ A k A A k dk που ας δίνει για τη φασική αλλαγή σε ολική εσωτερική ανάκλαση

33 ϕ s k και η δέση φαίνεται να ανακλάται έσα από το έσο ε το χαηλό δείκτη διάθλασης, και το φαινόενο είναι γνωστό σαν ετατόπιση Gs-Hah (Gs-Hah shf) s Frusrad ολική εσωτερική ανάκληση Θεωρούε τη δέση φωτός που διαδίδεται σε ένα έσο γυαλιού να υπόκειται σε εσωτερική ανάκλαση. Εάν υποθέσουε ότι τοποθετούε ένα άλλο κοάτι γυαλιού πάνω στην επιφάνεια, η διεπιφάνεια του γυαλιού ε τον αέρα θα λείψει και το κύα θα διαδοθεί κανονικά. Περιένουε την ολική αυτή διάδοση να αλλάξει σε ολική ανάκλαση όπως χωρίζουε τα δύο έρη. Την αλλαγή αυτή πορούε να τη δούε εάν υποθέσουε ότι το επιφανειακό κύα εκτείνεται σε κάποιο πλάτος σηαντικό έσα στο αραιό έσο και βρίσκεται να υπάρχει και στο επόενο πυκνό έσο, ώστε να πορεί να εταφέρει ενέργεια σε αυτό. Έτσι αν το επιφανειακό κύα είναι αρκετά ισχυρό να εκταθεί σε ένα άλλο πυκνό έσο, πορεί να οδηγήσει σε ταλάντωση σε ηλεκτρόνια στο δεύτερο έσο (φαινόενο ίδιο ε το κβαντικό φαινόενο σήραγγας). Στη περίπτωση αυτή έχουε την frusrad ολική εσωτερική ανάκλαση. ιαχωριστές δέσης κατασκευάζονται ε βάση το φαινόενο αυτό. Ανισοτροπικά υλικά Ένα υλικό είναι ισοτροπικό, όταν η επαγόενη πόλωση p είναι παράλληλη ε το ηλεκτρικό πεδίο, και ανάλογο ε αυτό ε ια σταθερά ανεξάρτητη ε την διεύθυνση διάδοσης έσα στο υλικό. Ένα υλικό είναι ανισοτροπικό όταν τα επαγόενα δίπολα πορεί να είναι περιορισένα προς ποια κατεύθυνση έχουν την δυνατότητα να κινηθούν, ώστε οι οπτικές ιδιότητες του υλικού να εξαρτούνται από την θέση και την διεύθυνση στο χώρο. Στη περίπτωση αυτή τα δίπολα δεν είναι παράλληλα στο πεδίο που τα επάγει. Αυτό σηαίνει ότι οι παράετροι ε, εξαρτώνται από τη διεύθυνση διάδοσης και πόλωσης του η/ πεδίου. Τα υλικά αυτά ανήκουν σε ια από τις 6 κατηγορίες κρυσταλλικών οάδων εκτός της ισοτροπικής (οι οάδες είναι οι τετραγωνική, τριγωνική, εξαγωνική, ορθοροβική, ονοκλινής και τρικλινής). Η ανισοτροπία πορεί να παρουσιασθεί σε σχέση ε τις ηλεκτρικές ιδιότητες του υλικού έσω του ε ( και d δεν είναι συγγραικά) ή σε σχέση ε τις αγνητικές ιδιότητες έσω του (b και h δεν είναι συγγραικά). Θα δούε πρώτα τη περίπτωση για η-αγώγια ( σ ) και η-αγνητικά ( m και ) υλικά. Έτσι η ανισοτροπία στις οπτικές ιδιότητες των υλικών αυτών εξαρτώνται από την διηλεκτρική σταθερά και από τις σχέσεις του Mawll η σχέση εταξύ του πεδίου ετατόπισης και του ηλεκτρικού πεδίου dε ( +χ ) εχ δεν πορεί να γραφεί ε την επιδεκτικότητα σαν ια σταθερά. Για ανισοτροπικά υλικά η τη διηλεκτρική σταθερά ε r δίνεται από ένα τανυστή δεύτερης τάξης και πάρουε ια σχέση p εχ p εχjj p ε χ+ χ + χ Lχ χ χ p + + O ε χ χ χ χ χ χ χ p + + NM ε χ χ χ χ χ χqp d εε r d ε ε ε d ε ε ε ε d ε ε ε r όπου το χ είναι ο τανυστής της ηλεκτρικής επιδεκτικότητας. Από τη σχέση του πεδίου ετατόπισης D έχουε