Συντελεστής επαναφοράς ή αποκατάστασης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συντελεστής επαναφοράς ή αποκατάστασης"

Μαρδοχαῖος Βέργας
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Συντελεστής επαναφοράς ή αποκατάστασης (Coefficient of restitution ή bounciness) Μία έννοια εξαιρετικά σημαντική για όσους φτιάχνουν ασκήσεις στις στιγμιαίες κρούσεις (με ορμές ή/και στροφορμές για την Α και Γ Λυκείου). Γιατί είναι χρήσιμο; α) Για να ελέγχουμε την ορθότητα της λύσης μας. β) Για να μπορούμε να δίνουμε δεδομένα για την τελική κατάσταση χωρίς να παραβιάζουμε τη διατήρηση της ενέργειας. Περιορισμοί - Προϋποθέσεις: α) οι κρούσεις είναι ακαριαίες β) κατά τη διάρκεια των κρούσεων δεν εμφανίζονται εφαπτομενικές δυνάμεις τριβής ολίσθησης μεταξύ των δύο σημείων επαφής των δύο σωμάτων. γ) δεν έχουμε αύξηση της ολικής κινητικής ενέργειας (όπως π.χ. στην έκρηξη ή στην εξαναγκασμένη αποδιέγερση) Ορισμός - Περιγραφή Έστω δύο στερεά σώματα Σ 1 και Σ που συγκρούονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα και έστω (ε) το κοινό εφαπτομενικό επίπεδο (βλ. σχήμα). Αν τα σώματα είναι επίπεδες λεπτότατες πλάκες τότε (ε) είναι η κοινή εφαπτομένη. Απομακρύνουμε λίγο τα σώματα στο παρακάτω σχήμα για να σχεδιάσουμε: i) τον άξονα κρούσης, δηλαδή την ευθεία (n) που διέρχεται από τα Α και Β και είναι κάθετη στο επίπεδο (ή στην ευθεία) (ε). ii) τις ταχύτητες των σημείων Α και Β λίγο πριν την κρούση και iii) τις ταχύτητες των σημείων Α και Β αμέσως μετά την κρούση. Από αυτές τις ταχύτητες μας ενδιαφέρουν μόνο οι προβολές τους (οι πράσινες συνιστώσες) στον άξονα κρούσης (n). Οι άλλες συνιστώσες παραμένουν ίδιες αφού δεν εμφανίζονται (από υπόθεση) εφαπτομενικές δυνάμεις. Αν συμβολίσουμε αυτές τις συνιστώσες με το δείκτη n, τότε ορίζουμε ως συντελεστή επαναφοράς (ή αποκατάστασης) το πηλίκο:

2 υ nα υ e = υ υ όπου οι προβολές αυτές είναι αλγεβρικές τιμές (και όχι μέτρα). Δηλαδή, όπως κάνουμε πάντα στις κρούσεις πάνω σε μία ευθεία, επιλέγουμε αυθαίρετα μία φορά πάνω στην ευθεία (n) ως θετική. nα Αν και τα παρακάτω σχόλια αφορούν κυρίως τις περιπτώσεις εκείνες στις οποίες ο άξονας κρούσης διέρχεται από τα κέντρα μάζας των σωμάτων, τα συμπεράσματα (με εξαίρεση το 3 ο ) ισχύουν και στις περιπτώσεις που ο άξονας κρούσης δε διέρχεται από αυτά. Σχόλια & Συμπεράσματα: α) Ο αριθμητής εκφράζει τη σχετική ταχύτητα υ σχ του Α ως προς το Β μετά την κρούση ενώ ο παρονομαστής εκφράζει τη σχετική ταχύτητα υ σχ λίγο πριν (πάνω στον άξονα κρούσης). β) Προφανώς, επειδή ένας παρατηρητής στο Β αντιλαμβάνεται αρχικά να πλησιάζει το Α ενώ μετά ν απομακρύνεται σε αντίθετη κατεύθυνση οι σχετικές ταχύτητες είναι αντίρροπες δηλαδή ο λόγος των σχετικών ταχυτήτων είναι αρνητικός ή μηδέν (αν ο αριθμητής είναι μηδέν) Επομένως, e 0 γ) Επίσης, μετά από μία κρούση, κατά την οποία στην καλύτερη περίπτωση δεν έχουμε απώλειες ενέργειας δεν είναι δυνατό ένας παρατηρητής στο Β να βλέπει το Α να απομακρύνεται με μεγαλύτερη ταχύτητα από αυτή που είχε το Α όταν πλησίαζε, άρα: e 1 Συμπέρασμα 1 ο : 0 e 1 δ) Όταν έχουμε πλαστική κρούση τα σημεία αποκτούν τις ίδιες ταχύτητες. Συμπέρασμα ο : Στις πλαστικές κρούσεις e = 0 ε) Όταν έχουμε ελαστική κρούση ο Β βλέπει να απομακρύνεται ο Α (πάνω στην ευθεία (n)) με ταχύτητα ίδιου μέτρου με εκείνη που τον πλησίαζε. Συμπέρασμα 3 ο : Στις ελαστικές κρούσεις e = 1 στ) Σε κάθε ανελαστική (μη πλαστική) κρούση 0< e < 1 Ας εξηγήσουμε τώρα γιατί είναι χρήσιμο. 1 ος Λόγος Αν έχουμε μία κρούση, έστω και αν είναι ελαστική ή πλαστική, τη λύνουμε ως ανελαστική με συντελεστή επαναφοράς e. Η λύση θα είναι «απόλυτα» σωστή αν υπολογίζοντας την μεταβολή της κινητικής ενέργειας βρούμε ως αποτέλεσμα : ΔΚ = - C (1- e ) όπου C συνάρτηση των δεδομένων της άσκησης (μάζες, αποστάσεις, ροπές αδράνειας, αρχικές ταχύτητες και γωνιακές ταχύτητες) όχι όμως του e. (Προφανώς η C αντιστοιχεί στην απώλεια ενέργειας κατά την πλαστική κρούση). Πιστέψτε με, το παραμικρό λάθος δεν μπορεί να οδηγήσει στο (1- e ). ος Λόγος Κατασκευή ασκήσεων που δεν παραβιάζουν τη διατήρηση της ενέργειας. Μέσα από δύο παραδείγματα θα φανεί ο τρόπος αυτός.

3 1 ο Παράδειγμα (για την Α Λυκείου) Θέλουμε να φτιάξουμε μία άσκηση (κεντρικής) κρούσης δύο σωμάτων μη ελαστική αλλά και μη πλαστική. Τότε, δεν φτάνει να δώσουμε δεδομένα για τις αρχικές ορμές αλλά και δεδομένα για την τελική ορμή του ενός σώματος. Η αυθαίρετη όμως επιλογή μπορεί μεν να είναι ικανή για τον προσδιορισμό της ταχύτητας του άλλου σώματος αλλά δεν είναι σίγουρο ότι οδηγεί σε ελάττωση της ολικής κινητικής ενέργειας. Ας λύσουμε το πρόβλημα εντελώς γενικά όπως το αντίστοιχο της ελαστικής κρούσης στο βιβλίο της Γ Λυκείου. Με το κλασικό σχήμα του βιβλίου έχουμε: m Από διατήρηση ορμής: m1υ 1+ mυ= m1υ 1+ mυ υ1 υ 1 = ( υ υ) (1) m1 υ 1 υ όμως e= υ 1 υ = e( υ υ1) () υ1 υ Από (1) + () έχουμε: m m m m υ1 υ = ( e ) υ + υ eυ1 + 1 υ = (1 + e) υ 1+ e υ m1 m1 m1 m1 (1 + em ) 1 ( m em1) υ = υ1+ υ m1+ m m1+ m ( m και αντίστοιχα : 1 em) (1 + e) m υ 1 = υ1+ υ m1+ m m1+ m Για e = 1 είναι τα γνωστά μας αποτελέσματα. Μπορούμε να φτιάξουμε λοιπόν μια τέτοια άσκηση δίνοντας πέρα από μάζες και αρχικές ταχύτητες, μία τελική ταχύτητα από τους τύπους αυτούς, βάζοντας μια οποιαδήποτε τιμή στο e μεταξύ του 0 και του 1. (Αν δεν έχω υπολογίσει σωστά τους τύπους, ελέγξτε το, με το ΔΚ ) ο Παράδειγμα (για την Γ Λυκείου) Στη μη ελαστική κρούση της μάζας m με τη ράβδο θέλουμε να ζητήσουμε από τους μαθητές να υπολογίσουν την ω αμέσως μετά την κρούση. Πέρα από τις μάζες Μ, m, τη ροπή αδράνειας και την αρχική ταχύτητα υ της σφαίρας θα πρέπει να δώσουμε και την τελική τιμή u της ταχύτητας της σφαίρας (χωρίς φυσικά να προκύπτει πλεόνασμα ενέργειας) Από διατήρηση της στροφορμής ως προς το Ο: M ml υ = Iω mul υ+ u= ωl (1) 3m υγ ( u) όμως e= υγ + u = eυ, αλλά υγ ωl 0 υ =. Επομένως, ωl+ u = eυ ()

4 em 3m Από το σύστημα των (1) και () προκύπτει : u = M + 3m υ Από εδώ φαίνονται και οι περιορισμοί στην επιλογή των μαζών που θα δώσουμε (ώστε η σφαίρα να γυρνά πίσω). Έτσι, επιλέγουμε πρώτα μία τιμή για το e (μεταξύ 0 και 1), φροντίζουμε η επιλογή των M 3 μαζών να ικανοποιεί τη σχέση > και τελικά από τον παραπάνω τύπο προσδιορίζουμε την m e ταχύτητα u που πρέπει να τους δώσουμε. Αν θέλουμε να τα δυσκολέψουμε, αντί να δώσουμε το u, μπορούμε να δώσουμε είτε την απώλεια ενέργειας είτε το ποσοστό της ως προς την αρχική ενέργεια του συστήματος. Για το σκοπό αυτό θα πρέπει να υπολογίσουμε το ΔΚ που μετά από πράξεις προκύπτει: 1 Μ ΔΚ = mυ (1 e ) Μ+ 3m Τι γνωρίζουμε από τα πειράματα για το συντελεστή επαναφοράς; Για δύο τυχόντα σώματα το e είναι περίπου σταθερό για μια ευρεία περιοχή ταχυτήτων. Η πιο απλή περίπτωση πειραματικού προσδιορισμού του e είναι κατά την κρούση ενός σώματος με το έδαφος. Πραγματικά, έστω ότι αφήνουμε το σώμα από ύψος Η. Όταν φτάνει στο έδαφος έχει ταχύτητα υ = gh ενώ μετά την κρούση του στο έδαφος αναπηδά με ταχύτητα υ και φτάνει σε ύψος h. Από διατήρηση μηχανικής ενέργειας μετά την κρούση υπολογίζουμε την υ = gh 0 ( υ ) υ h Όμως, e = = = 0 υ υ H Τι συμβαίνει όταν κατά την κρούση το ένα σώμα διαπερνά το άλλο; Θα θεωρήσουμε και εδώ κρούσεις ακαριαίες και το πάχος του σώματος στο οποίο γίνεται η διάτρηση αμελητέο. Εδώ, δεν ισχύει ότι οι σχετικές ταχύτητες είναι αντίρροπες, σύμφωνα με το σχόλιο (β) αλλά ομόρροπες. Αν και δεν έχω συναντήσει κάποια ανάλυση τέτοιου θέματος στη βιβλιογραφία της κλασικής μηχανικής για Φυσικούς, πιστεύω ότι με κατάλληλη τροποποίηση του ορισμού μπορούμε να έχουμε ανάλογα αποτελέσματα. Επειδή οι σχετικές ταχύτητες είναι ομόρροπες και με δεδομένο ότι το σχόλιο (γ) παραμένει σε ισχύ, μπορούμε να ορίσουμε έναν άλλο συντελεστή ε (και ας τον βαφτίσουμε συντελεστή διαπερατότητας ή διάτρησης) από τη σχέση : υ nα υ ε = υ υ nα με την προφανή ιδιότητα 0< ε < 1 Αφορμή για αυτές τις. σκέψεις στάθηκε η δημοσίευση του συναδέλφου Δημήτρη Γκενέ στην ιστοσελίδα: Γράφει ο Δημήτρης: Ράβδος ΑΓ μήκους L και μάζας Μ, βρίσκεται ακίνητη σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Βολίδα μάζας m κτυπά με οριζόντια ταχύτητα υ κάθετα στη ράβδο σε σημείο Δ που απέχει ΟΔ=x από το κέντρο μάζας της ράβδου Ο. Η βολίδα διαπερνά τη ράβδο και εξέρχεται με ταχύτητα υ (υ <υ).

5 α) Να βρεθεί η ταχύτητα V του κέντρου μάζας της ράβδου και η γωνιακή της ταχύτητα ω μετά τη κρούση. ο οποίος παρατήρησε ότι: m x Υπάρχουν τιμές των a = και b = για τις οποίες η Κινητική Ενέργεια φαίνεται να αυξάνεται M L κατά την διάτρηση της ράβδου, και άρα έπρεπε να τεθεί ως περιορισμός ΔΚ<0. και συνεχίζει παρακάτω. Αλλά η ταχύτητα του σημείου Δ της ράβδου πρέπει να είναι μικρότερη από την ταχύτητα της βολίδας μετά τη κρούση... Οπότε: x M k V Δ < υ. 1 1 L + < B m 1 k H B είναι ισχυρότερη (από τη αυτή που προκύπτει με την απαίτησηδκ<0) και δίνει ισχυρότερους περιορισμούς και καταλήγει : Ήταν θέμα τύχης ότι δεν είχα δώσει τιμές οι οποίες θα ήταν αδύνατες. Ας δούμε πως θα μπορούσαμε να «κατασκευάσουμε» την άσκηση αυτή. όπως γράφει και ο Δημήτρης: Αρχή Διατήρησης της Ορμής : Δ p = 0. V = m (1 k) M υ (1) Αρχή Διατήρησης της Στροφορμής : Δ L = 0. ω = m x 1 (1 k) M L υ () υ όπου k = υ και θέλουμε, για να λυθεί η άσκηση από τους μαθητές, να δώσουμε κατάλληλη τιμή στη υ (δηλαδή δεδομένα από την τελική κατάσταση). Με το συντελεστή ε έχουμε: VΔ υ ε = VΔ = υ ευ 0 υ όμως V Δ = V + ω x άρα V = υ ευ ωx (3) Αντικαθιστώντας στην (3) τις (1) και () έχουμε: m m x υ (1 k) = υ ευ 1 υ (1 k) x όπου διαιρώντας με το υ και θέτοντας M M L έχουμε: a (1 k) = k ε 1 a (1 k) b 1 1 ε 1 ε k = υ = 1 ab + a + 1 ab + a + k(1ab + a+ 1) = 1ab + a+ ε υ (4) m a = και M b = x L

6 Η σχέση αυτή έρχεται σε συμφωνία με τη σχέση Β του Δημήτρη, η οποία μετά από μερικές 1 «ανακατατάξεις» γράφεται : υ > 1 υ 1 αβ + α + 1 Προσέξτε ότι το κλάσμα μέσα στην παρένθεση στη σχέση (4) είναι πάντα θετικό και μικρότερο της μονάδας. Τι κερδίσαμε περισσότερο χρησιμοποιώντας το ε ; α) Ότι ίσως εκτελούμε υπολογισμούς με πιο συστηματικό τρόπο. β) Ότι βγάζουμε πιο εύκολα συμπεράσματα για το εύρος τιμών που μπορεί να πάρει το μέγεθος που μας ενδιαφέρει με τη βοήθεια της σχέσης : 0 <ε < 1 γ) Ότι καταλήγοντας στην (4) βάζουμε μια τυχαία τιμή στο ε (μεταξύ 0 και 1), υπολογίζουμε τη υ, τη δίνουμε στην εκφώνηση και. τελειώσαμε! (την άσκηση!!) Ας βάλουμε όμως εδώ και μια τελεία (άνω ή κάτω το αφήνω σε σας!!).

Σχετικά έγγραφα

ΕΡΓΑΣΙΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/12/2016 ΘΕΜΑ 1 Στις παρακάτω ερωτήσεις 1-7 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της

ΕΡΓΑΣΙΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5//06 ΘΕΜΑ Στις παρακάτω ερωτήσεις - 7 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράµμα που αντιστοιχεί στη σωστή