1 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ;...19 ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ...76 ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ...27 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ...57 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ...

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ;...19 ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ...76 ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ...27 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ...57 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ..."

Transcript

1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος...13 Κατάλογος Συμβόλων και Συντμήσεων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ;...19 Χρήση Στατιστικών Τεχνικών στις Επιχειρήσεις...19 Οι Δύο Έννοιες της Λέξης Στατιστική...20 Πληθυσμοί και Δείγματα...21 Εφαρμογή της Στατιστικής στις Επιχειρήσεις...23 Σχέση Μεταξύ Πιθανότητας και Στατιστικής...24 ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΏΝ...25 ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ...27 Μέτρα της Κεντρικής Τάσης: Μέσος, Διάμεσος, και Επικρατούσα Τιμή...27 Μέσος...28 Διάμεσος...29 Επικρατούσα Τιμή...30 Μέτρα της Διασποράς: Διακύμανση και Τυπική Απόκλιση...31 Διακύμανση...34 Τυπική Απόκλιση...35 Ιστογράμματα Συχνοτήτων...38 Ομαδοποιημένα Δεδομένα...41 Το Ιστόγραμμα...46 Άλλα Γραφήματα...48 ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ...55 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ...57 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ...63 Το Στρίψιμο του Κέρματος...64 Υπολογισμός των Πιθανοτήτων...65 Χρήση Παραγοντικών...67 Έλεγχος Υποθέσεων...70 Η Μηδενική Υπόθεση και η Εναλλακτική Υπόθεση...70 Αποφυγή των Σφαλμάτων Τύπου Ι Και Τύπου ΙΙ...71 ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ...76 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ...76 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

2 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ...81 Ερμηνείες των Πιθανοτήτων...82 Η Ερμηνεία των Πιθανοτήτων από το Χαρτοπαίκτη...82 Χώροι Πιθανοτήτων...83 Πιθανότητα Ενός Ενδεχόμενου...85 Πιθανότητα να Συμβεί Ένα Ενδεχόμενο...85 Πιθανότητα να Μη Συμβεί Ένα Ενδεχόμενο...87 Πιθανότητα Μιας Ένωσης...88 Πιθανότητα Μιας Τομής...90 Η Αρχή του Πολλαπλασιασμού...94 Δειγματοληψία Με Επανατοποθέτηση...95 Δειγματοληψία Χωρίς Επανατοποθέτηση...97 Μεταθέσεις...99 Συνδυασμοί ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Υπολογισμός Δεσμευμένων Πιθανοτήτων Ανεξάρτητα Ενδεχόμενα ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συναρτήσεις Πιθανοτήτων Μαθηματική Ελπίδα Διακύμανση Δοκιμές Bernoulli Διακύμανση Ενός Αθροίσματος Τυχαία Δείγματα Υπολογισμός της Μέσης Τιμής Ο Νόμος των Μεγάλων Αριθμών ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ, ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON, ΚΑΙ ΥΠΕΡΓΕΩ- ΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η Διωνυμική Κατανομή Υπολογισμός της Μαθηματικής Ελπίδας και της Διακύμανσης Μιας Διωνυμικής Τυχαίας Μεταβλητής Εφαρμογές της Διωνυμικής Κατανομής Υπολογισμός της Αναλογίας των Επιτυχιών...166

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7 Η Κατανομή Poisson Άλλες Εφαρμογές της Κατανομής Poisson Υπολογισμός της Μαθηματικής Ελπίδας και της Διακύμανσης Μιας Τυχαίας Μεταβλητής Poisson Η Υπεργεωμετρική Κατανομή ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Η Καμπύλη με το Σχήμα Καμπάνας Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Συναρτήσεις Συνεχών Αθροιστικών Κατανομών Συναρτήσεις Πυκνότητας Συνεχών Πιθανοτήτων Ορισμός της Συνάρτησης Πυκνότητας μιας Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής Αναμενόμενη Τιμή και Διακύμανση μιας Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής Η Κανονική Κατανομή Ιδιότητες της Κανονικής Κατανομής Η Αθροιστική Ιδιότητα των Κανονικών Τυχαίων Μεταβλητών Η Τυπική Κανονική Κατανομή Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Η Κατανομή Χ Η Κατανομή T Η Κατανομή F ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΕ ΔΥΟ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συναρτήσεις Κοινών Πιθανοτήτων Συναρτήσεις Οριακής Πυκνότητας Ανεξάρτητων Τυχαίων Μεταβλητών Συναρτήσεις Δεσμευμένων Πιθανοτήτων Ανεξάρτητες Τυχαίες Μεταβλητές Συνδιακύμανση και Συσχέτιση Συνδιακύμανση Συσχέτιση Τυχαίες Μεταβλητές με Τέλεια Συσχέτιση Διακύμανση Ενός Αθροίσματος ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ...228

4 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 10 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ Εκτίμηση του Μέσου Εκτιμήτριες Μέγιστης Πιθανότητας Συνεπείς Εκτιμήτριες Αμερόληπτες Εκτιμήτριες ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Υπολογισμός Διαστημάτων Εμπιστοσύνης του Μέσου Όταν Είναι Γνωστή η Διακύμανση Υπολογισμός Διαστημάτων Εμπιστοσύνης με Χρήση της Κατανομής T Υπολογισμός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης της Διακύμανσης Υπολογισμός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης της Διαφοράς Δύο Μέσων ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΗΜΟΣΚΟΠΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΕΣ Σφυγμομετρήσεις Μέθοδοι για την Επιλογή Δείγματος Χρήση της Διωνυμικής Κατανομής Διαστήματα Εμπιστοσύνης Αναλογιών Χρήση της Κανονικής Κατανομής Ανάλυση του Ποσοστιαίου Σφάλματος σε Σχέση με το Μέγεθος του Δείγματος Είδη Μεθόδων Δειγματοληψίας Δειγματοληψία Κατά Συστοιχίες Στρωματοποιημένη Δειγματοληψία Ευκαιριακές Δειγματοληψίες ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στατιστικά Στοιχεία Ελέγχου Έλεγχος Μιας Μηδενικής Υπόθεσης Αποφυγή Σφαλμάτων Τύπου Ι και Τύπου ΙΙ Έλεγχος της Τιμής του Μέσου Ο Έλεγχος Μιας Ουράς Έλεγχος Υποθέσεων που Αφορούν την Πιθανότητα Επιτυχίας Έλεγχος της Διαφοράς Δύο Μέσων Το Στατιστικώς Σημαντικό Είναι και Αξιόλογο;...294

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9 Ζεύγη Δειγμάτων Έλεγχος της Διαφοράς Δύο Αναλογιών Ο Έλεγχος Χ Ο Πίνακας Συνάφειας Ανάπτυξη Ενός Στατιστικού Στοιχείου Ελέγχου Εφαρμογή του Ελέγχου Χ Έλεγχοι Προσαρμοστικότητας ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Έλεγχος της Ισότητας Πολλών Μέσων Άθροισμα Τετραγώνων Συνολικό Άθροισμα Τετραγώνων Άθροισμα Τετραγωνικών Σφαλμάτων Άθροισμα Τετραγωνικών Αγωγών Μέση Τετραγωνική Διακύμανση Πίνακας Anova Δύο Λεπτά Σημεία για τη Χρήση Ελέγχων Ανάλυσης Διακύμανσης Ανάλυση Διακύμανσης με Δείγματα Άνισων Μεγεθών Ανάλυση Διακύμανσης Δύο Παραγόντων Αθροίσματα Τετραγώνων Γραμμών και Στηλών, και Άθροισμα Τετραγωνικών Σφαλμάτων Πίνακας Anova Δύο Παραγόντων ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η Γραμμή Παλινδρόμησης Υπολογισμός Μιας Γραμμής Παλινδρόμησης Ακρίβεια Της Γραμμής Παλινδρόμησης Συσχέτιση Στατιστική Ανάλυση της Παλινδρόμησης Πρόβλεψη Τιμών της Μεταβλητής Y Τέσσερα Σημεία που Χρειάζονται Προσοχή Κατά την Πρόβλεψη Τιμών Πρόβλεψη των Τιμών της Εξαρτημένης Μεταβλητής Ανάλυση των Υπόλοιπων Μετασχηματισμοί με Λογάριθμους ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ...390

6 10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 16 ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Πολλές Ανεξάρτητες Μεταβλητές Ένα Παράδειγμα Χρήσης της Πολλαπλής Παλινδρόμησης Δύο Διαφορές Μεταξύ της Απλής Παλινδρόμησης και της Πολλαπλής Παλινδρόμησης Αποτελέσματα της Πολλαπλής Παλινδρόμησης Η Τιμή R Το Στατιστικό Στοιχείο F Έλεγχος Μεμονωμένων Συντελεστών Παραπέρα Ανάλυση των Μοντέλων Παλινδρόμησης ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ Προσημικός Έλεγχος Έλεγχος Friedman F r Έλεγχος Άθροισης Βαθμών Wilcoxon Έλεγχος Kruskal Wallis H Προσημικός Βαθμολογικός Έλεγχος Wilcoxon ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΩΝ Ακαθάριστο Εγχώριο Προϊόν Οδηγίες για τον Υπολογισμό του ΑΕΠ Δείκτες Τιμών Ο Δείκτης Τιμών Καταναλωτή Ο Δείκτης Τιμών Παραγωγού Χρονολογικά Δεδομένα Συνιστώσες των Χρονολογικών Δεδομένων Προσδιορισμός της Τάσης με τον Υπολογισμό Κινητών Μέσων Προσδιορισμός της Τάσης με την Παλινδρόμηση Εκθετική Εξομάλυνση Προσαρμογή Λόγω Εποχικότητας Η Ανάγκη για Προσαρμογές Λόγω Εποχικότητας Η Μέθοδος του Λόγου Ως Προς τον Κινητό Μέσο ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ...472

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Το Δένδρο Αποφάσεων Αντικειμενικές Μεταβλητές Πίνακας Αντιτίμων Αναμενόμενο Αντίτιμο ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ Παράρτημα 1 Γλωσσάρι Παράρτημα 2 Υπολογισμοί Παράρτημα 3 Στατιστικοί Πίνακες ΛΕΞΙΚΟ ΟΡΩΝ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ...541

8 11 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ διάστημα εμπιστοσύνης (confidence interval): ένα διάστημα που βασίζεται σε παρατηρήσεις ενός δείγματος και είναι καθορισμένο με τέτοιο τρόπο ώστε να υπάρχει μια συγκεκριμένη πιθανότητα ότι θα περιέχει την άγνωστη πραγματική τιμή μιας παραμέτρου (για παράδειγμα, συνηθίζεται ο καθορισμός διαστημάτων εμπιστοσύνης που έχουν 95% πιθανότητα να περιέχουν την πραγματική τιμή) επίπεδο εμπιστοσύνης (confidence level): ο βαθμός εμπιστοσύνης που σχετίζεται με ένα διάστημα εμπιστοσύνης. η πιθανότητα ότι το διάστημα περιέχει την πραγματική τιμή της παραμέτρου Στο Κεφάλαιο 10 εξηγήσαμε τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να χρησιμοποιούμε τις παρατηρήσεις μιας τυχαίας μεταβλητής για να παίρνουμε πληροφορίες για μια άγνωστη παράμετρο της κατανομής που παράγει τη μεταβλητή. Πάντως, εξακολουθούμε να αντιμετωπίζουμε ένα σημαντικό ερώτημα: πόσο πιθανό είναι να βρίσκεται μια τέτοια εκτίμηση κοντά στην πραγματική τιμή; Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι προσπαθείτε να εκτιμήσετε το ποσοστό των ημερών που βρέχει στη Ρόδο. Προφανώς, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε την εκτιμήτρια (αριθμός ημερών που βρισκόσασταν στη Ρόδο όταν έβρεχε) (αριθμός ημερών που βρισκόσασταν στη Ρόδο) 241

9 242 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ωστόσο, αν είχατε πάει στη Ρόδο μόνο μία ημέρα και έτυχε να βρέχει εκείνη την ημέρα, η εκτίμησή σας ότι στη Ρόδο βρέχει καθημερινά δεν είναι πιθανό να είναι και τόσο ακριβής. Αν, όμως, είχατε ζήσει στη Ρόδο δέκα χρόνια, θα μπορούσατε να εκτιμήσετε το ποσοστό των βροχερών ημερών με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια. Η τιμή ενός στατιστικού στοιχείου που χρησιμοποιείται ως εκτιμήτρια εξαρτάται από τις τιμές μιας ομάδας τυχαίων μεταβλητών, κάτι που σημαίνει ότι και η ίδια η εκτιμήτρια είναι μια τυχαία μεταβλητή. Θα ήταν πολύ χρήσιμο αν μπορούσαμε να βρούμε με τι μοιάζει η κατανομή της εκτιμήτριας. Για παράδειγμα, ας υ- ποθέσουμε ότι χρησιμοποιούμε το μέσο όρο του δείγματος x για να εκτιμήσουμε την τιμή του μέσου μιας κανονικής τυχαίας μεταβλητής: x = X 1 + X 2 + X X n n Καθένα από αυτά τα X έχει κανονική κατανομή. έτσι, με βάση την ιδιότητα της πρόσθεσης των κανονικών τυχαίων μεταβλητών, το x θα πρέπει να έχει και αυτό κανονική κατανομή (το x υπολογίζεται με την άθροιση μιας ομάδας κανονικών τυχαίων μεταβλητών). Έχουμε ήδη βρει (δείτε τις σελίδες ) ότι E( x) = μ και Var( x) = σ 2 /n. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ ΟΤΑΝ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΗ Η ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ Τώρα που γνωρίζουμε την κατανομή του x, μπορούμε να είμαστε πιο ακριβείς σχετικά με την ποιότητα της εκτίμησής μας. Ξέρουμε ότι η πραγματική τιμή του μ είναι πιθανό να βρίσκεται κοντά στο x όμως πόσο κοντά; Είναι πιθανό να βρίσκεται το x 1 μονάδα μακριά από το μ ή μήπως είναι πιθανό να βρίσκεται 50 μονάδες μακριά του; Θα θέλαμε, λοιπόν, να γνωρίζουμε την πιθανότητα να είναι η απόσταση του x από το μ μικρότερη από μια συγκεκριμένη τιμή c. Με άλλα λόγια, θέλουμε να ξέρουμε την πιθανότητα να κυμαίνεται η πραγματική τιμή του μ από ( x c) μέχρι ( x + c). Είναι προφανές ότι η πιθανότητα εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από το c που θα επιλέξουμε (δείτε την Εικόνα 11-1). Αν επιλέξουμε κάποια μεγάλη τιμή για το c, θα μπορούμε να είμαστε σχεδόν απόλυτα βέβαιοι ότι η τιμή του μ θα βρίσκεται στο διάστημα. Θα μπορούσαμε, για παράδειγμα, να ορίσουμε το c έτσι ώστε να είναι ίσο με το άπειρο. Τότε, η πιθανότητα να βρίσκεται το μ στο διάστημα θα είναι 100%, μιας και είναι προφανές ότι το μ θα βρίσκεται ανάμεσα στο ( x άπειρο) και το ( x + άπειρο). Ωστόσο, ένα τόσο μεγάλο διάστημα δεν είναι και πολύ χρήσιμο. Αν κάνουμε το διάστημα "στενότερο" επιλέγοντας κάποια μικρότερη τιμή για το c, θα μπορούμε να είμαστε περισσότερο ακριβείς για την πραγματική τιμή του μ. Από την άλλη μεριά, όταν στενεύουμε το διάστημα αυξάνεται η πιθανότητα να μην περιέχεται το μ στο διάστημα.

10 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 243 Εικόνα 11-1 Η συνηθισμένη διαδικασία που ακολουθείται στη στατιστική είναι η εξής: Καταρχάς, επιλέγουμε την πιθανότητα που θέλουμε με άλλα λόγια, ορίζουμε προκαταβολικά την πιθανότητα να βρίσκεται το μ στο διάστημα. Συχνά, αυτή η πιθανότητα ορίζεται ίση με 95%. Στη συνέχεια υπολογίζουμε το εύρος που πρέπει να έχει το διάστημα ώστε να υπάρχει πιθανότητα 95% να περιέχει την πραγματική τιμή. Αυτού του είδους το διάστημα ονομάζεται διάστημα εμπιστοσύνης (confidence interval), και η πιθανότητα 95% είναι το επίπεδο εμπιστοσύνης (confidence level). Τώρα θα πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή του c που ικανοποιεί την εξίσωση Pr( x c < μ < x + c) = 0,95 ή Pr( c < x μ < c) = 0,95 Από τη στιγμή που θα γνωρίζουμε την τιμή του c, θα ξέρουμε και πόσο μεγάλο θα πρέπει να είναι το διάστημα εμπιστοσύνης. Αυτό σημαίνει ότι δουλειά μας είναι να υπολογίσουμε την τιμή του c. Ας ορίσουμε, λοιπόν, μια νέα τυχαία μεταβλητή που θα την ονομάσουμε Z: Z = x μ σ 2 /n = n x μ σ Αν χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες που ορίσαμε για τις κανονικές τυχαίες μεταβλητές, ξέρουμε ότι η Z έχει τυπική κανονική κατανομή (με μέσο 0 και διακύμανση 1. δείτε το Κεφάλαιο 8). Μπορούμε, λοιπόν, να ξαναγράψουμε την εξίσωση έτσι: Pr Pr c n σ c n σ < n x μ σ < Z < c n σ < c n σ = 0,95 = 0,95

11 244 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Αυτό το πρόβλημα απαιτεί τη χρήση του πίνακα των πιθανοτήτων της τυπικής κανονικής κατανομής. Ας ορίσουμε, λοιπόν, το a ως εξής: a = n/σ. Τότε Pr( a < Z < a) = 0,95 Τώρα θα πρέπει να ψάξουμε στον Πίνακα Α3-2 για να βρούμε μια τιμή του a που ικανοποιεί την εξίσωση. Ψάχνοντας, λοιπόν, μπορούμε να βρούμε ότι, σε αυτή την περίπτωση, η κατάλληλη τιμή για το a είναι 1,96. Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του c: c = 1,96σ n Έτσι, λοιπόν, ξέρουμε πόσο μεγάλο πρέπει να είναι το διάστημα εμπιστοσύνης. Υπάρχει πιθανότητα 95% ότι το διάστημα από το x 1,96σ/ n μέχρι το x + 1,96σ/ n θα περιέχει την πραγματική τιμή του μ. Δύο χαρακτηριστικά αυτού του αποτελέσματος βασίζονται στην απλή λογική. Πρώτον, όσο μεγαλύτερο είναι το σ, τόσο πλατύτερο είναι το διάστημα εμπιστοσύνης (δηλαδή, υπάρχει μεγαλύτερη αβεβαιότητα). Αν η διακύμανση κάθε μεμονωμένης παρατήρησης είναι μεγαλύτερη, είναι δυσκολότερο να εντοπίσουμε την πραγματική τιμή του μ. Δεύτερον, όσο μεγαλύτερο είναι το n, τόσο στενότερο είναι το διάστημα εμπιστοσύνης. Αυτό σημαίνει ότι, καθώς συλλέγουμε όλο και περισσότερες παρατηρήσεις, μπορούμε να προβλέψουμε την πραγματική τιμή του μ με μεγαλύτερη ακρίβεια. Αν θέλουμε, μπορούμε να είμαστε ακόμη περισσότερο επιφυλακτικοί. Ας υ- ποθέσουμε ότι θέλουμε να είμαστε 99% βέβαιοι ότι το διάστημα εμπιστοσύνης θα περιέχει την πραγματική τιμή του μ. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να συμβιβαστούμε με ένα πλατύτερο και λιγότερο ακριβές διάστημα. Από την άλλη μεριά, αν δεν θέλαμε να είμαστε και τόσο προσεκτικοί, θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε ένα μικρότερο διάστημα εμπιστοσύνης που θα είχε μικρότερη πιθανότητα να περιέχει την πραγματική τιμή. Τα διαστήματα εμπιστοσύνης που μας απασχολούν εδώ (και που θα μας απασχολήσουν και αργότερα) είναι συμμετρικά με τον εξής τρόπο: η πιθανότητα ότι το αριστερό άκρο του διαστήματος είναι μικρότερο από την παράμετρο (το μ εδώ) είναι ίδια με την πιθανότητα ότι το δεξιό άκρο του διαστήματος είναι μεγαλύτερο από την παράμετρο. Θεωρητικά, θα μπορούσαμε να ορίσουμε και ασύμμετρα διαστήματα εμπιστοσύνης, αλλά τα συμμετρικά είναι τα στενότερα που μπορούμε να ορίσουμε και, γι' αυτόν το λόγο, τα ακριβέστερα.

12 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 245 Γενική διαδικασία υπολογισμού του διαστήματος εμπιστοσύνης του μέσου όταν έχουμε n παρατηρήσεις μιας κανονικής κατανομής με γνωστή τυπική απόκλιση σ 1. Αποφασίζουμε τι είδους διάστημα εμπιστοσύνης θέλουμε. Αν θέλουμε να είμαστε περισσότερο προσεκτικοί, πρέπει να επιλέξουμε κάποιο υψηλό ε- πίπεδο εμπιστοσύνης (ένα από τα πιο συνηθισμένα είναι για πιθανότητα 0,95). 2. Ψάχνουμε για την τιμή του α στον Πίνακα Α3-2. Αν ονομάσουμε ΕΕ το επίπεδο εμπιστοσύνης, τότε 3. Υπολογίσουμε τα x και ασ/ n. Pr( α < Z < α) = ΕΕ Το επίπεδο εμπιστοσύνης είναι από x ασ/ n έως x + ασ/ n. ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΘΥΜΑΣΤΕ 1. Όταν υπολογίζουμε μια εκτίμηση για μια άγνωστη παράμετρο του πληθυσμού, χρειάζεται να ξέρουμε πόσο ακριβής είναι πιθανό να είναι αυτή η ε- κτίμηση. 2. Είναι πολύ χρήσιμος ο υπολογισμός ενός διαστήματος εμπιστοσύνης δηλαδή, ενός διαστήματος ορισμένου με τέτοιο τρόπο ώστε να υπάρχει μια σταθερή πιθανότητα ότι το διάστημα θα περιέχει την άγνωστη τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού. 3. Αυτή η σταθερή πιθανότητα είναι γνωστή ως επίπεδο εμπιστοσύνης και συχνά ορίζεται ίση με 95%. 4. Ένα στενό διάστημα εμπιστοσύνης είναι προτιμότερο γιατί σημαίνει ότι έ- χουμε τη δυνατότητα να κάνουμε ακριβέστερη εκτίμηση για την πραγματική τιμή της παραμέτρου. 5. Γενικά, το διάστημα εμπιστοσύνης γίνεται στενότερο όσο αυξάνεται το πλήθος των παρατηρήσεων. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ t Ο τρόπος υπολογισμού των διαστημάτων εμπιστοσύνης που περιγράψαμε κρύβει μια σημαντική δυσκολία. Πολύ συχνά δεν ξέρουμε την πραγματική τιμή του σ 2. Σε μια πρώτη προσέγγιση θα μπορούσαμε να εκτιμήσουμε την τιμή του σ 2 χρησιμοποιώντας τη διακύμανση του δείγματος. Αποδεικνύεται ότι, αν το μέγεθος του

13 246 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ δείγματος (n) είναι αρκετά μεγάλο (για παράδειγμα, αν n > 30), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο υπολογισμού του διαστήματος εμπιστοσύνης που περιγράψαμε στην προηγούμενη ενότητα χρησιμοποιώντας αντί για το σ 2 τη διακύμανση του δείγματος s 1 2. Ωστόσο, για τα μικρά δείγματα πρέπει να αναπτύξουμε μια άλλη μέθοδο. Θυμηθείτε ότι ο αρχικός υπολογισμός του διαστήματος εμπιστοσύνης βασίστηκε στο γεγονός ότι η μεταβλητή n( Z = x μ) σ έχει τυπική κανονική κατανομή. Ας ορίσουμε μια νέα τυχαία μεταβλητή που θα ονομάσουμε T: n( T = x μ) s 2 Προσέξτε ότι η T είναι ίδια με τη Z με τη διαφορά ότι, αντί για την άγνωστη τιμή του σ χρησιμοποιείται η γνωστή τιμή s 2 = s 2 2. Θα περιμέναμε, λοιπόν, ότι η κατανομή της T θα μοιάζει πολύ με την τυπική κανονική κατανομή. Στο Κεφάλαιο 8 διαπιστώσαμε ότι η κατανομή t μοιάζει με την κανονική κατανομή. Έτσι, η μεταβλητή που ονομάσαμε T θα έχει κατανομή t με n 1 βαθμούς ελευθερίας. Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε το εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης. Το μόνο που χρειάζεται είναι να βρούμε την τιμή του c που ικανοποιεί την εξίσωση Pr( x c < μ < x + c) = 0,95 Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της μεταβλητής T μπορούμε να ξαναγράψουμε την εξίσωση ως εξής: Pr c n < s T < c n = 0,95 2 s 2 Ορίζουμε το a ίσο με c n/s 2. Τώρα απομένει να ψάξουμε σε έναν πίνακα της κατανομής t για να βρούμε μια τιμή του a τέτοια ώστε Pr( a < T < a) = 0,95 Για παράδειγμα, αν n 1 = 8, μπορούμε να βρούμε από τον Πίνακα Α3-5 ότι a = 2,306. Από τη στιγμή που θα βρούμε το a, μπορούμε να υπολογίσουμε το c με τη βοήθεια του τύπου c = s 2 a n

14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 247 Κατά συνέπεια, το διάστημα εμπιστοσύνης του 95% για το μ είναι από x s 2 a/ n έως x+ s 2 a/ n. Παράδειγμα: Εύρεση του διαστήματος εμπιστοσύνης με τη χρήση της κατανομής t ΠΡΟΒΛΗΜΑ Μας έχει δοθεί ένας κατάλογος 750 πόλεων σε ολόκληρο τον κόσμο και θέλουμε να εκτιμήσουμε το μέσο πληθυσμό αυτών των πόλεων. ΛΥΣΗ Επιλέγουμε ένα τυχαίο δείγμα 20 από αυτές τις πόλεις. Για να επιλέξουμε τις πόλεις αρκεί να χρησιμοποιήσουμε ένα πρόγραμμα υπολογιστή παραγωγής τυχαίων αριθμών. Ακολουθεί ένα παράδειγμα 20 τυχαία επιλεγμένων πόλεων: Πληθυσμός Πόλη Βίλνιους (Λιθουανία) Βισμπάντεν (Γερμανία) Βομβάη (Ινδία) Γκουιάνια (Βραζιλία) Δελχί (Ινδία) Θάντερ Μπέι (Καναδάς) Ιμπαντάν (Νιγηρία) Κάντιθ (Ισπανία) Κιτακιόσου (Ιαπωνία) Κουριτίμπα (Βραζιλία) Μαϊάμι (ΗΠΑ) Μπανγκούι (Κεντροαφρικανική Δημοκρατία) Μπουκαραμάνγκα (Κολομβία) Νουάκτσοτ (Μαυριτανία) Ρεσίφ (Βραζιλία) Σακάι (Ιαπωνία) Σκάρμπορο (Καναδάς) Τουλούζ (Γαλλία) Τούσον (ΗΠΑ) Τσενγκ Τσου (Κίνα) Για να υπολογίσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% για το μέσο, πρέπει να υπολογίσουμε πρώτα τα x = και s 2 = , Αφού n = 20, πρέπει να ψάξουμε στον Πίνακα Α3-5 για 20 1 = 19 βαθμούς ελευθερίας, οπότε και θα βρούμε a = 2,093. Κατά συνέπεια, το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ± 2, ,09740/ 20, δηλαδή από έως Αυτό το διάστημα είναι τόσο πλατύ ώστε να μην είναι και πολύ χρήσιμο. Το πρόβλημα είναι ότι οι πληθυσμοί των πόλεων έχουν πολύ μεγάλη διακύμανση υπάρχουν μερικές πολύ μεγάλες πόλεις και πολλές μικρότερες. Οι πληθυσμοί των

15 248 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ πόλεων δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή αλλά γνωρίζουμε από το κεντρικό οριακό θεώρημα ότι, όπως και να είναι, το x θα έχει κανονική κατανομή. Όπως μπορείτε να μαντέψετε, ο μόνος τρόπος για να πετύχουμε στενότερο διάστημα ε- μπιστοσύνης είναι να επιλέξουμε μεγαλύτερο δείγμα. Σημείωση: είναι σωστό να πούμε ότι "υπάρχει 95% πιθανότητα ότι το διάστημα x s 2 a/ n έως x + s 2 a/ n θα περιέχει την πραγματική τιμή του μ". Τα δύο άκρα του διαστήματος είναι τυχαίες μεταβλητές. Πάντως, μετά την εκτέλεση του υπολογισμού δεν είναι σωστό να πούμε ότι "υπάρχει 95% πιθανότητα ότι το διάστημα από έως θα περιέχει την πραγματική τιμή του μ". Ε- πειδή το μ δεν είναι τυχαία μεταβλητή, δεν έχει νόημα να μιλάμε για την πιθανότητα να παίρνει τιμές από ένα συγκεκριμένο εύρος. Διαδικασία υπολογισμού διαστημάτων εμπιστοσύνης με τη χρήση της κατανομής t όταν έχουμε n παρατηρήσεις της τυχαίας μεταβλητής X (Μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε μικρά δείγματα όταν η διακύμανση σ είναι ά- γνωστη.) 1. Αποφασίζουμε ποιο θα είναι το επίπεδο εμπιστοσύνης (ΕΕ). (Συχνά χρησιμοποιείται το διάστημα 95%.) 2. Υπολογίζουμε το x: 3. Υπολογίζουμε το s 2: s 2 = x = x 1 + x xn n (x 1 x) 2 + (x 2 x) (xn x) 2 n 1 = = n n 1 ( x 2 x 2 ) 4. Ψάχνουμε για την τιμή του α στον Πίνακα Α3-5. Pr( α < T < α) = ΕΕ όπου η μεταβλητή T έχει κατανομή t με n 1 βαθμούς ελευθερίας. (Σημειώστε ότι, αν το n είναι μεγαλύτερο από 30, η κατανομή t είναι σχεδόν πανομοιότυπη με την τυπική κανονική κατανομή.) Το διάστημα εμπιστοσύνης του μ είναι από x s 2 α/ n έως x + s 2 α/ n.

16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 249 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΤΗΣ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Υποθέστε ότι έχετε ένα δείγμα που λήφθηκε από έναν κατά προσέγγιση κανονικό πληθυσμό του οποίου τη διακύμανση θα θέλατε να εκτιμήσετε. Ξέρουμε πώς υπολογίζεται η διακύμανση ενός δείγματος s 1 2 και θα θέλαμε τώρα να βρούμε το διάστημα εμπιστοσύνης της διακύμανσης του πληθυσμού σ 2. Έχουμε δει ότι η μεταβλητή Y 2 = ns 1 2 σ 2 είναι μια τυχαία μεταβλητή χ 2 με n 1 βαθμούς ελευθερίας. Για δύο οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς a και b ξέρουμε ότι Pr(a < Y 2 < b) = Pr a < ns 1 2 σ 2 < b = Pr 2 ns 1 b < σ2 < ns 2 1 a Για παράδειγμα, ακολουθούν τα ύψη (σε εκατοστά του μέτρου) 25 μαθητών ενός δημοτικού σχολείου που επιλέχθηκαν στην τύχη: 135, 139, 128, 143, 122, 123, 142, 135, 140, 141, 115, 133, 128, 137, 142, 128, 135, 142, 129, 133, 141, 137, 125, 127, 138 Μπορούμε να υπολογίσουμε ότι s 2 1 είναι 54, 17. Θα ορίσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 90% για τη διακύμανση. Πρέπει, λοιπόν, να βρούμε δύο αριθμούς a και b τέτοιους ώστε Pr(Y 2 < a) = 0,05 και Pr(Y 2 < b) = 0,95 Αν ψάξουμε στον Πίνακα Α3-3 της κατανομής χ 2 με 25 1 = 24 βαθμούς ελευθερίας, θα βρούμε a = 13,85 και b = 36,4. Κατά συνέπεια, το διάστημα εμπιστοσύνης είναι από ns 2 1 /b = 37,20 έως ns 2 1 /a = 97,78. Διαδικασία υπολογισμού του διαστήματος εμπιστοσύνης της διακύμανσης 1. Αποφασίζουμε ποιο θα είναι το επίπεδο εμπιστοσύνης (ΕΕ). 2. Υπολογίζουμε τα x, x 2, και s 2 1 = x 2 x Ανατρέχουμε στον Πίνακα Α3-3 για να βρούμε τα α και b που θα είναι τέτοια ώστε, αν η Y 2 είναι μια τυχαία μεταβλητή με κατανομή χ 2 και n 1 βαθμούς ελευθερίας, θα ισχύει Pr(Y 2 < α) = 1 ΕΕ 2 και Pr(Y 2 < b) = 1 + ΕΕ 2 Για παράδειγμα, αν ΕΕ = 0,90, τότε Pr(Y 2 < α) = 0,05 και Pr(Y 2 < b) = 0,95. Το διάστημα εμπιστοσύνης της διακύμανσης σ 2 είναι από ns 12 /b έως ns 12 /α.

17 250 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΔΥΟ ΜΕΣΩΝ Πολύ συχνά θα έρχεστε αντιμέτωποι με μια κατάσταση στην οποία θα θέλετε να συγκρίνετε δύο πληθυσμούς σε ό,τι αφορά κάποια τυχαία μεταβλητή. Να μερικά παραδείγματα: το μέσο εισόδημα σε δύο διαφορετικές πόλεις τα έσοδα από τις πωλήσεις δύο εταιρειών το πλήθος των αναγνωστών δύο εφημερίδων Σε όλα τα παραπάνω παραδείγματα θα είχε μεγάλο ενδιαφέρον η εκτίμηση της διαφοράς των δύο μέσων (μ a μ b ) των δύο τυχαίων μεταβλητών X a (με μέσο μ a και διακύμανση σ 2 a ) και X b (με μέσο μ a και διακύμανση σ 2 b ). Αυτό γίνεται με τον υπολογισμό της διαφοράς των μέσων των δειγμάτων ( x a x b ). Όπως και πριν, μας απασχολεί το θέμα της ακρίβειας. Πόσο κοντά θα βρίσκεται η τιμή x a x b στην άγνωστη τιμή μ a μ b ; Για άλλη μια φορά θα πρέπει να καταφύγουμε στα διαστήματα εμπιστοσύνης. Ας υποθέσουμε ότι η X a έχει μέσο δείγματος x a και μέγεθος δείγματος n a, και ότι, με παρόμοιο τρόπο, η X b έχει μέσο δείγματος x b και μέγεθος δείγματος n b. Αν οι X a και X b είναι κανονικές τυχαίες μεταβλητές, τότε το ίδιο ισχύει και για τη διαφορά x a x b, η οποία έχει μέσο μ a μ b και διακύμανση (σ 2 a /n a + σ 2 b /n b ). Όπως και νωρίτερα, ορίζουμε μια νέα τυχαία μεταβλητή Z: Z = ( x a x b ) (μ a μ b ) σ 2 a /n a + σ 2 b /n b η οποία έχει τυπική κανονική κατανομή. Στη συνέχεια, ανατρέχουμε στον Πίνακα Α3-2 για να βρούμε μια τιμή του a τέτοια ώστε Pr( a < Z < a) = ΕΕ όπου ΕΕ είναι το επίπεδο εμπιστοσύνης. Κατόπιν, υπολογίζουμε το c: c = a σ 2 a /n a + σ 2 b /n b Έτσι, το διάστημα εμπιστοσύνης της διαφοράς μ a μ b είναι: ( x a x b ) ± c Για παράδειγμα, ακολουθεί ένα σύνολο εσόδων από πωλήσεις (σε χιλιάδες φύλλα) μιας εφημερίδας σε δύο γειτονικές πόλεις για μια περίοδο λίγων ημερών: Πόλη Α: 25, 13, 14, 19, 23, 30, 35, 29, 28, 17, 17, 16, 13, 18, 20 Πόλη Β: 10, 12, 15, 13, 7, 6, 11, 5, 9, 14, 15, 18, 17, 16, 12, 12, 10, 11, 13, 14

18 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 251 Υποθέστε ότι σ a 2 = 40 και σ b 2 = 14. Μπορούμε να υπολογίσουμε ότι x a = 21,13, n a = 15, x b = 12,00, n b = 20, και x a x b = 9,13. Αν χρησιμοποιήσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 99%, βρίσκουμε ότι a = 2,58, c = 2,58 40/ /20 = = 4,73, και το διάστημα εμπιστοσύνης είναι από 4,40 έως 13,86. Έτσι, μπορούμε να συνοψίσουμε τα παραπάνω στην ακόλουθη διαδικασία (παρόμοια με αυτή που χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό του διαστήματος ε- μπιστοσύνης του μέσου μιας μεταβλητής): Διαδικασία υπολογισμού του διαστήματος εμπιστοσύνης της διαφοράς δύο μέσων (όταν τα σ α και σ b είναι γνωστά) 1. Αποφασίζουμε ποιο διάστημα εμπιστοσύνης θέλουμε να έχουμε (για παράδειγμα, 95%). 2. Αναζητούμε την τιμή του α στον Πίνακα Α Υπολογίζουμε τη διαφορά x α x b. 4. Υπολογίζουμε το c = α σ α2 /n α + σ b2 /n b. Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι x α x b ± c. Και πάλι, αν τα μεγέθη των δειγμάτων είναι αρκετά μεγάλα, στη θέση των διακυμάνσεων των πληθυσμών σ 2 a και σ 2 b (όταν είναι άγνωστες) μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι διακυμάνσεις των δειγμάτων. Όταν τα δείγματα είναι μικρά καταφεύγουμε στην κατανομή t. Πάντως, σε αυτό το σημείο θα πρέπει να κάνουμε ακόμη δύο υποθέσεις ότι σ 2 a = σ 2 b και ότι τα δείγματα επιλέγονται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. (Όταν τα δείγματα είναι μικρά, είναι πολύ επικίνδυνο να χάσουμε την τυχαιότητα που είναι ουσιώδης στην καλή στατιστική.) Θυμηθείτε ότι δεν υποθέτουμε ότι γνωρίζουμε τις διακυμάνσεις σ 2 a και σ 2 b. Απλώς υποθέτουμε ότι είναι ίσες. Αν τις ξέρουμε, καλώς. Αν όχι, μπορούμε να τις εκτιμήσουμε κατά προσέγγιση με τη συγχωνευμένη εκτίμηση (pooled estimate) s 2 p : s 2 p = (n a 1) s 2 2 a + (n b 1) s b (n a 1) + (n b 1) Θα χρησιμοποιούμε το s 2 a για να συμβολίζουμε τη διακύμανση (2η παραλλαγή) του δείγματος a: s a 2 = ( x a 2 x a 2 ) na n a 1

19 252 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Παρόμοια, με το s b 2 θα συμβολίζουμε τη διακύμανση (2η παραλλαγή) του δείγματος b. Επίσης, η s p 2 είναι ο σταθμικός μέσος όρος των s a 2 και s b 2, και είναι τέτοια ώστε, αν το n a είναι πολύ μεγαλύτερο από το n b, η s p 2 να είναι πιο κοντά στην s a 2 απ' ό,τι στην s b 2, και αντίστροφα. Τώρα, στον τελευταίο τύπο της προηγούμενης σελίδας για τα μεγάλα δείγματα, αν σ a 2 = σ b 2, έχουμε Z = ( x a x b ) (μ a μ b ) = ( x a x b ) (μ a μ b ) σ 2 a /n a + σ 2 b /n b σ 2 a (1/n a +1/n b ) Στη συνέχεια, ορίζουμε μια νέα μεταβλητή T με κατανομή t αντικαθιστώντας τη διακύμανση σ 2 a με τη συγχωνευμένη εκτιμήτρια s 2 p : T = ( x a x b ) (μ a μ b ) σ 2 p (1/n a +1/n b ) Αυτή η μεταβλητή T έχει (n a 1) + (n b 1) = n a + n b 2 βαθμούς ελευθερίας. Αν γνωρίζουμε την τιμή της σ 2 a, αντικαθιστούμε με αυτή την s 2 p (δεν υπάρχει λόγος να κάνουμε εκτιμήσεις όταν έχουμε την πραγματική τιμή). Κατόπιν, αναζητούμε στον Πίνακα Α3-5 την τιμή του a έτσι ώστε Pr( a < T < a) = ΕΕ όπου ΕΕ είναι το επίπεδο εμπιστοσύνης, και η μεταβλητή T έχει κατανομή t με n a + n b 2 βαθμούς ελευθερίας. Στη συνέχεια, υπολογίζουμε το c: 2 c = a s 1 p n + 1 a n b Κατά συνέπεια, το διάστημα εμπιστοσύνης της διαφοράς μ a μ b είναι ( x a x b ) ± c Για παράδειγμα, ακολουθούν οι πωλήσεις (σε χιλιάδες κομμάτια) δύο διαφορετικών τύπων χαρταετών την Καθαρά Δευτέρα σε τυχαία επιλεγμένες χρονιές: Τύπος Α: 15, 20, 33, 27 Τύπος Β: 23, 42, 39 Υποθέτουμε ότι σ a 2 = σ b 2. Μπορούμε να υπολογίσουμε ότι x a = 23,75, x b = 34,67, xa x b = 10,92, s a 2 = 62,25, s b 2 = 104,3, και s p 2 = 79,08. Αν αποφασίσουμε να χρησιμοποιήσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% για n a + n b 2 = 5 βαθμούς ελευθερίας, βρίσκουμε ότι a = 2,571, c = 2,571 79,08 (1/4 + 1/3) = 17,46, και το διάστημα εμπιστοσύνης είναι από 28,38 έως 6,54.

20 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 253 Διαδικασία υπολογισμού του διαστήματος εμπιστοσύνης της διαφοράς των μέσων δύο πληθυσμών όταν έχουμε μικρά δείγματα και ίσες διακυμάνσεις πληθυσμών 1. Αποφασίζουμε ποιο θα είναι το διάστημα εμπιστοσύνης (για παράδειγμα, 95%). 2. Υπολογίζουμε τη διαφορά x α x b. 3. Υπολογίζουμε τη συγχωνευμένη εκτιμήτρια s p2 : s p 2 = (nα 1) sα2 + (nb 1) sb 2 nα + nb 2 4. Αναζητούμε την τιμή του α στον Πίνακα Α3-5 για nα + nb 2 βαθμούς ελευθερίας. 5. Υπολογίζουμε το c: c = α s 2 p 1 n + 1 α n b Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ( x a x b) ± c. ΓΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΓΝΩΡΙΖΕΤΕ ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ; Ελέγξτε το βαθμό στον οποίο κατανοήσατε τις έννοιες του Κεφαλαίου 11 απαντώντας στις παρακάτω ερωτήσεις: 1. Γιατί να μην υπολογίσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης με πολύ μεγάλο επίπεδο εμπιστοσύνης ας πούμε 99,99%; 2. Γιατί ένα διάστημα εμπιστοσύνης είναι πιο αξιόλογο από μια μεμονωμένη σημειακή εκτίμηση; 3. Αναφέρετε τρεις τρόπους με τους οποίους μπορούμε να στενέψουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης. 4. Γιατί να πρέπει να υπολογίσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης χρησιμοποιώντας την κατανομή t αντί για την κανονική κατανομή; 5. Αν διπλασιάσουμε το πλήθος των παρατηρήσεων θα μπορέσουμε να μειώσουμε το εύρος ενός διαστήματος εμπιστοσύνης στο μισό;

21 254 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΟΡΟΙ ΓΙΑ ΜΕΛΕΤΗ διάστημα εμπιστοσύνης επίπεδο εμπιστοσύνης ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Κάθε μια από τις παρακάτω λίστες αριθμών αντιπροσωπεύει εβδομαδιαία ποσά καθαρών κερδών (σε εκατομμύρια δραχμές) μιας εταιρείας. Υποθέστε ότι, σε κάθε ε- ταιρεία, τα ποσά των καθαρών κερδών έχουν κανονική κατανομή με άγνωστο μέσο και άγνωστη διακύμανση. Υπολογίστε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% της πραγματικής τιμής του μέσου Σε κάθε μια από τις επόμενες ασκήσεις δίνεται το σύνολο μιας λίστας παρατηρήσεων, ο μέσος όρος αυτών των παρατηρήσεων, και η τυπική απόκλιση (s 2 ) αυτών των παρατηρήσεων. Υπολογίστε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% και ένα διάστημα εμπιστοσύνης 99% για την άγνωστη τιμή του μέσου κάθε κατανομής. 6. Σύνολο: 523,114 Μέσος όρος: 52,311 s 2 : 8, Σύνολο: 1.571,322 Μέσος όρος: 104,755 s 2 : 3,002

22 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Σύνολο: 1.150,295 Μέσος όρος: 127,811 s 2 : 4, Σύνολο: 4.528,186 Μέσος όρος: 283,012 s 2 : 8, Σύνολο: 2.957,990 Μέσος όρος: 147,899 s 2 : 1,688 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΕΤΕ ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ 1. Ένα διάστημα με τόσο μεγάλο επίπεδο εμπιστοσύνης θα είναι πάρα πολύ μεγάλο ώστε να είναι χρήσιμο. 2. Μια σημειακή εκτίμηση δεν μας δίνει καμία πληροφορία για το πόσο ακριβής είναι πιθανό να είναι αυτή η εκτίμηση. 3. Περισσότερες παρατηρήσεις, μικρότερη τιμή για τη διακύμανση του πληθυσμού, χαμηλότερο επίπεδο εμπιστοσύνης. 4. Η κατανομή t θα πρέπει να χρησιμοποιείται όταν η διακύμανση του πληθυσμού είναι άγνωστη και το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μικρότερο από Όχι. Το πλάτος του διαστήματος εμπιστοσύνης είναι ανάλογο με την ποσότητα 1/ n. ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ακολουθούν οι υπολογισμοί για την Άσκηση 1 και την Άσκηση 6. Οι ίδιες μέθοδοι θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν και για τις Ασκήσεις 2-5 και 7-10, αντίστοιχα. 1. x = ( )/20 = 13,9 x 2 = ( )/20 = 253,7 s 2 = 253,7 13,9 2 19/20 = 7,98 Από τον Πίνακα Α3-5 μπορούμε να βρούμε ότι, για μια κατανομή t με 19 βαθμούς ελευθερίας, a = 2,093. Κατά συνέπεια, το διάστημα εμπιστοσύνης 95% είναι 13,9 ± 2,093 7,98/ 20 δηλαδή, από 10,165 έως 17, Μέσος όρος = 20,880 s 2 = 17,405 διάστημα εμπιστοσύνης 95% = 13,695 έως 28, Μέσος όρος = 14,562 s 2 = 7,763 διάστημα εμπιστοσύνης 95% = 10,427 έως 18,698

23 256 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 4. Μέσος όρος = 20,250 s 2 = 9,255 διάστημα εμπιστοσύνης 95% = 14,369 έως 26, Μέσος όρος = 17,733 s 2 = 8,455 διάστημα εμπιστοσύνης 95% = 13,050 έως 22,416 Διαστήματα εμπιστοσύνης 95% Διαστήματα εμπιστοσύνης 99% 6. 52,311 ± 2,262 8,813/ 10 52,311 ± 3,250 8,813/ 10 46,007 έως 58,615 43,254 έως 61, ,092 έως 106, ,447 έως 107, ,266 έως 131, ,654 έως 132, ,544 έως 287, ,834 έως 289, ,110 έως 148, ,819 έως 148,979

Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21

Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21 Χρήση στατιστικών τεχνικών στις επιχειρήσεις 21 Οι δυο έννοιες της λέξης στατιστική 22 Πληθυσμοί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτικά περιεχόμενα

Συνοπτικά περιεχόμενα b Συνοπτικά περιεχόμενα 1 Τι είναι η στατιστική;... 25 2 Περιγραφικές τεχνικές... 37 3 Επιστήμη και τέχνη των διαγραμματικών παρουσιάσεων... 119 4 Αριθμητικές μέθοδοι της περιγραφικής στατιστικής... 141

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21

Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21 Χρήση στατιστικών τεχνικών στις επιχειρήσεις 21 Οι δυο έννοιες της λέξης στατιστική 22 Πληθυσμοί

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 Πρόλογος... xv Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 1.1.Ιστορική Αναδρομή... 1 1.2.Βασικές Έννοιες... 5 1.3.Πλαίσιο ειγματοληψίας (Sampling Frame)... 9 1.4.Κατηγορίες Ιατρικών Μελετών.... 11 1.4.1.Πειραµατικές

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα 11 η Διάλεξη Εκτιμήτρια Κάθε στατιστική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση μιας παραμέτρου ενός πληθυσμού (π.χ. ο δειγματικός μέσος) Σημειακή εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εξάμηνο του Ακαδημαϊκού Έτους ΟΔ 055 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Διδασκαλία: κάθε Τετάρτη 12:00-15:00 Ώρες διδασκαλίας (3)

2 ο Εξάμηνο του Ακαδημαϊκού Έτους ΟΔ 055 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Διδασκαλία: κάθε Τετάρτη 12:00-15:00 Ώρες διδασκαλίας (3) Τμήμα Οργάνωσης και Διαχείρισης Αθλητισμού 2 ο Εξάμηνο του Ακαδημαϊκού Έτους 2015-2016 ΟΔ 055 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Διδασκαλία: κάθε Τετάρτη 12:00-15:00 Ώρες διδασκαλίας (3) Αντώνης Κ.

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25 1.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ... 25 1.3 Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Κατανομές Πιθανότητας Ως τυχαία μεταβλητή ορίζεται το σύνολο των τιμών ενός χαρακτηριστικού

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων

Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων Βασίλης Αγγελής Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Αιγαίου Κατερίνα Δημάκη Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ Τα μη γραμμικά μοντέλα έχουν την πιο κάτω μορφή: η μορφή αυτή μοιάζει με τη μορφή που έχουμε για τα γραμμικά μοντέλα ( δηλαδή η παρατήρηση Y i είναι το άθροισμα της αναμενόμενης

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικές συναρτήσεις Γραφική και πινακοποιημένη αναπαράσταση δεδομένων (ιστόγραμμα) Διαχειριστής Σεναρίων Κινητός Μέσος σε Χρονοσειρές o o o

Στατιστικές συναρτήσεις Γραφική και πινακοποιημένη αναπαράσταση δεδομένων (ιστόγραμμα) Διαχειριστής Σεναρίων Κινητός Μέσος σε Χρονοσειρές o o o ΙΩΑΝΝΗΣ Κ. ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ Εφαρμογές Ποσοτικές Ανάλυσης με το Excel 141 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ανάλυση Δεδομένων Στατιστικές συναρτήσεις Γραφική και πινακοποιημένη αναπαράσταση δεδομένων (ιστόγραμμα) Διαχειριστής

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ IΙ ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ: ΣΑΒΒΑΣ ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΛΑΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ********************************************************************

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mail: dkugiu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://users.auth.gr/~dkugiu/teach/civiltrasport/ide.html Στατιστική: Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Στατιστική (ΔΕ200Α-210Α)

Εισαγωγή στην Στατιστική (ΔΕ200Α-210Α) Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Αγ. Νικόλαος), Τ.Ε.Ι. Κρήτης Σελίδα 1 από 13 5η Εργαστηριακή Άσκηση Σκοπός: Η παρούσα εργαστηριακή άσκηση στοχεύει στην εκμάθηση κατασκευής γραφημάτων που θα παρουσιάζουν

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

Y Y ... y nx1. nx1

Y Y ... y nx1. nx1 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΙΚΑΚΩΝ Η χρησιμοποίηση και ο συμβολισμός πινάκων απλοποιεί σημαντικά τα αποτελέσματα της γραμμικής παλινδρόμησης, ιδίως στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόμησης Γενικά,

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα