ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ροπή και Σοφορµή Μέρος δεύτερο Στο προηγούµενο Κεφάλαιο εξετάσαµε την περισοφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα Εδώ θα εξετάσοµε την εξίσωση κίνησης στερεού σώµατος γενικώς Πριν το κάνοµε αυτό όµως, καλό είναι να γράψοµε την εξίσωση κίνησης υλικού σηµείου στον χώρο µε τη βοήθεια της ροπής δύναµης και της σοφορµής 8 Κίνηση υλικού σηµείου Ας θεωρήσοµε σύστηµα συντεταγµένων και υλικό σηµείο µάζας m που κινείται στον χώρο υπό την επίδραση δύναµης F F ˆ + F ˆ j+ F Η διανυσµατική ακτίνα του υλικού σηµείου την τυχούσα χρονική στιγµή είναι ˆ + + Όπως είδαµε στο Κεφάλαιο, η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι dp F, (8) όπου p mu m d / είναι η ορµή του υλικού σηµείου Με βάση όσα είδαµε στο Κεφάλαιο 7, ορίζοµε τη σοφορµή του υλικού σηµείου ως προς την αρχή των αξόνων ως ˆ l p ( ˆ + + ) ( p ˆ + p + p ) ( p p )ˆ + ( p p ) + ( p p ) (8) εν είναι απαραίτητο να χρησιµοποιούµε την έκφραση (8) για τη σοφορµή Χρησιµοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού ή ισοδύναµα τον κανόνα του δεξιόσοφου κοχλία, βρίσκοµε εύκολα την κατεύθυνση του διανύσµατος της σοφορµής Το µέο της σοφορµής δίνεται από µια από τις σχέσεις (63) Οµοίως, ορίζοµε τη ροπή της δύναµης F ως προς την αρχή των αξόνων ως τ F ( ˆ + + ) ( F ˆ + F + F k) ( F F )ˆ + ( F F ) + ( F F ) (83) p ˆ F p F p F Page of

2 εν είναι απαραίτητο να χρησιµοποιούµε την έκφραση (83) για τη ροπή Χρησιµοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού ή ισοδύναµα τον κανόνα του δεξιόσοφου κοχλία, βρίσκοµε εύκολα την κατεύθυνση του διανύσµατος της ροπής Το µέο της ροπής δίνεται από µια από τις σχέσεις (63) Ας εξετάσοµε τώρα τη χρονική µεταβολή της σοφορµής του υλικού σηµείου Παραγωγίζοντας αµφότερα τα µέλη της (8) έχοµε dl d dp p+ (84) Όµως, ο πρώτος όρος στο δεξιό µέλος της (84) ισούται µε µηδέν διότι τα διανύσµατα d / και p είναι συγγραµµικά Συνεπώς, µε τη χρήση της (8), η (84) γίνεται dl τ (85) Είναι σηµαντικό να κατανοήσοµε ότι η εξίσωση (85) δεν είναι τίποτε άλλο παρά ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα (8) γραµµένος µε άλλη µορφή Το πλεονέκτηµα της µορφής (85) είναι ότι αν η ροπή της δύναµης F είναι µηδέν, τότε η σοφορµή του υλικού σηµείου είναι σταθερή, δηλαδή διατηρείται, πράγµα που δεν είναι εµφανές από την εξίσωση (8) Άσκηση 8: είξτε ότι η σοφορµή υλικού σηµείου διατηρείται σε οποιοδήποτε κενικό πεδίο δυνάµεων και αν κινείται Σχολιάστε τις κινήσεις των πλανητών γύρω από τον Ήλιο 8 Κίνηση στερεού σώµατος Ας θεωρήσοµε ότι το στερεό σώµα αποτελείται από υλικά σηµεία,, 3, µε µάζες m, m, m 3,, m, αντιστοίχως, που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες,, 3,, Ας υποθέσοµε ότι το υλικό σηµείο j ασκεί στο υλικό σηµείο δύναµη F j, όπου j Επίσης, ας θεωρήσοµε ότι στο υλικό σηµείο,, ασκείται εξωτερική δύναµη F Η ροπή των δυνάµεων που ασκούνται στο υλικό σηµείο, ως προς την αρχή των αξόνων, είναι τ F + F (86) j και η ολική ροπή που ασκείται στο σύστηµα των υλικών σηµείων ως προς την αρχή των αξόνων είναι Page of j τ τ + F F j (87) j

3 Οι όροι στο διπλό άθροισµα είναι της µορφής α F + F F + (88) βα β αβ α βα β ( Fβα) ( α β) Fβα Επειδή όµως στα στερεά σώµατα η δύναµη που ασκείται µεταξύ των ιόντων που τα αποτελούν είναι κατά µήκος της ευθείας που τα ενώνει (δηλαδή F βα είναι παράλληλη προς το α, οι όροι στο διπλό άθροισµα κάνουν µηδέν ανά δυο Έτσι, η εξίσωση (87) γράφεται ως β dp d d d τ F ( p ) p l d, (89) όπου l είναι η σοφορµή του υλικού σηµείου και είναι η σοφορµή του στερεού σώµατος ως προς την αρχή των αξόνων Έτσι αποδείξαµε ότι αν σε ένα στερεό σώµα ασκείται συνολική ροπή τ ως προς την αρχή των αξόνων και η σοφορµή του είναι ως προς την αρχή των αξόνων, τότε η εξίσωση κίνησης του στερεού σώµατος είναι d τ (8) Τονίστηκε το ως προς την αρχή των αξόνων, διότι δεν έχει νόηµα ούτε η ροπή ούτε η σοφορµή αν δεν πούµε ως προς ποιο σηµείο ορίζονται Είναι σηµαντικό να κατανοήσοµε ότι η εξίσωση κίνησης (8) προέκυψε από τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα για καθένα από τα σωµατίδια που συνθέτουν το στερεό σώµα Με άλλα λόγια, αν θέλοµε κατά την κίνηση ενός στερεού σώµατος τα επιµέρους σωµατίδιά του να υπακούουν στον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα κατά την κίνησή τους, τότε πρέπει να χρησιµοποιήσοµε την εξίσωση (8) για τη µελέτη της κίνησης του στερεού σώµατος 8 ιατήρηση σοφορµής Είναι εµφανές από την εξίσωση (8) ότι αν δεν ασκείται ροπή σε ένα στερεό σώµα, το διάνυσµα (όχι µόνο το µέο) της σοφορµής του είναι σταθερό Και η ροπή και η σοφορµή υπονοούνται ως προς την αρχή των αξόνων Παράδειγµα 8: Ας θεωρήσοµε έναν χορευτή πάνω σε πάγο Αν µε τεντωµένα τα χέρια του έχει ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περισοφής του και γωνιακή ταχύτητα ω, τότε η σοφορµή του είναι ω, όπου θεωρήσαµε τον άξονα ως τον άξονα περισοφής και την κατανοµή της µάζας του σώµατός του συµµεική ως προς τον άξονα Αν µε µαζεµένα τα χέρια του έχει ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα, να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητά του ω Page 3 of

4 Λύση: Θεωρούµε ότι οι ιβές των παγοπέδιλων στο δάπεδο είναι αµελητέες Άρα δεν ασκείται ροπή στον χορευτή και εποµένως η σοφορµή του διατηρείται Έτσι γράφοµε ˆ ˆ ω k ωk Συνεπώς, ω ( / ) ω 8 ιατήρηση σοφορµής και κινητική ενέργεια Ας θεωρήσοµε ξανά το Παράδειγµα 8 Σύµφωνα µε την εξίσωση (73), η κινητική ενέργεια του χορευτή είναι αρχικά T ( / ω και τελικά ) ( / ) ω / ) ω (/ )( ω ) ω (/ )( ω ) ω > (/ ) T Η τελική κινητική ενέργεια του χορευτή γράφεται ως T ( ω T, όπου χρησιµοποιήσαµε τη διατήρηση της σοφορµής Τι είναι αυτό που προκάλεσε αύξηση της κινητικής ενέργειας του χορευτή; Για να το κατανοήσοµε, ας θεωρήσοµε µια απλουστευµένη εκδοχή του χορευτή στον πάγο και ας λύσοµε την παρακάτω άσκηση Η απλούστευση γίνεται για να µπορέσοµε να ποσοτικοποιήσοµε τη ροπή αδράνειας του χορευτή Άσκηση 8: Θεωρήστε «άυλο» χορευτή που κρατά σε κάθε χέρι του µια µάζα m Οι µάζες βρίσκονται αρχικά σε απόσταση από τον άξονα περισοφής και τελικά σε απόσταση Αρχικά η γωνιακή ταχύτητα του χορευτή είναι ω ω( ) και τελικά είναι ω ω( ) Α) Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα ω () του χορευτή όταν οι µάζες βρίσκονται σε τυχούσα απόσταση από τον άξονα περισοφής, όπου Β) Να βρεθεί µεταβολή T T T της κινητικής ενέργειας του χορευτή Γ) Να δείξετε ότι το έργο που κάνει η κενοµόλος δύναµη F( ) mω ( ) ˆ στις σηµειακές µάζες m κατά την ακτινική µετακίνησή τους από την αρχική ακτίνα στην τελική ισούται µε τη µεταβολή της κινητικής ενέργειας του χορευτή 83 Χρήσιµα θεωρήµατα 83 Σοφορµή Για να βρίσκοµε σχετικά εύκολα τη σοφορµή ενός στερεού σώµατος, θα διαχωρίσοµε τις συνεισφορές στο από την κίνηση του κένου µάζας τού σώµατος και από την σοφορµή του σώµατος ως προς το κένο µάζας Ας θεωρήσοµε υλικά σηµεία,, 3, µε µάζες m, m, m 3,, m, αντιστοίχως, που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες,, 3,, Τα υλικά σηµεία µπορεί να είναι σωµατίδια ενός στερεού σώµατος ή ανεξάρτητα σωµατίδια Έστω ότι η διανυσµατική ακτίνα του κένου µάζας των υλικών σηµείων (ας τα θεωρήσοµε ως στερεό σώµα) είναι την τυχούσα χρονική στιγµή R Τότε τη διανυσµατική ακτίνα του υλικού σηµείου γράφεται ως R+, (8) Page 4 of

5 όπου είναι η διανυσµατική ακτίνα του υλικού σηµείου ως προς το κένο µάζας Με άλλα λόγια, θεωρούµε δυο συστήµατα συντεταγµένων: Ένα το,, µε αρχή το σηµείο Ο (,, ) και ένα το το σύστηµα,, µε αρχή το κένο µάζας Είναι προφανές ότι,, κινείται καθώς το στερεό σώµα κινείται Με παραγώγιση της (8) ως προς χρόνο έχοµε & & R+ &, (8) όπου, όπως συνηθίζεται χάριν συντοµογραφίας, την παράγωγο ως προς τον χρόνο τη συµβολίσαµε µε µια τελεία πάνω από την υπό παραγώγιση ποσότητα Έτσι, η σοφορµή ενός στερεού σώµατος γράφεται ως που µε πράξεις γίνεται ίση µε p m & m R R+ m & & R+ R m ( R+ m & & ) ( R+ & + m ), (83) & (84) Η παρένθεση στον πρώτο όρο της (84) είναι ίση µε τη µάζα M του στερεού σώµατος Ο δεύτερος όρος στην (84) είναι ίσος µε µηδέν διότι η ποσότητα m R είναι η διανυσµατική ακτίνα του κένου µάζας ως προς το M κένο µάζας, δηλαδή ως προς το σύστηµα,, Το κένο µάζας είναι στην αρχή του συστήµατος,, και εποµένως έχει διανυσµατική ακτίνα R Οµοίως, ο ίτος όρος είναι µηδέν, διότι η παρένθεση είναι η χρονική παράγωγος του µηδενικού διανύσµατος R Έτσι, η (84) γράφεται ως ή & R MR+ & MR R+ m & R P+ m& p (85) (86) και εποµένως αποδείξαµε το ακόλουθο θεώρηµα Θεώρηµα 8: Η σοφορµή στερεού σώµατος ως προς την αρχή των αξόνων ισούται µε τη σοφορµή του κένου µάζας του (όπου θεωρούµε συγκενωµένη όλη τη µάζα) ως προς την αρχή των αξόνων συν τη σοφορµή του σώµατος ως προς το κένο µάζας του, δηλαδή Page 5 of

6 + (87) Ο πρώτος όρος είναι σοφορµή υλικού σηµείου, που είναι εύκολη να υπολογιστεί Ο δεύτερος όρος είναι η σοφορµή στερεού σώµατος ως προς το κένο µάζας του, που επίσης είναι σχετικά εύκολη να υπολογιστεί, διότι δεν µας ενδιαφέρει αν το κένο µάζας είναι ακίνητο ή κινείται Εποµένως, πρόκειται για περισοφή περί άξονα που διέρχεται από το κένο µάζας και δεν µας ενδιαφέρει αν ο άξονας κινείται ή είναι σταθερός Παρατήρηση : Είναι σηµαντικό να επισηµάνοµε ότι η έκφραση (87) ισχύει ανεξαρτήτως του τι κίνηση κάνει το κένο µάζας! Ακόµη κι αν το κένο µάζας επιταχύνεται, η σχέση (87) ισχύει Με άλλα λόγια, το, δηλαδή τη σοφορµή λόγω περισοφής γύρω από το κένο µάζας, την υπολογίζοµε απλώς θεωρώντας ότι το κένο µάζας βρίσκεται πάνω στον άξονα περισοφής Έτσι, σε όλα τα προβλήµατα όπου το στερεό έχει άξονα συµµείας και η περισοφή γίνεται περί τον άξονα συµµείας, ω, όπου είναι η ροπή αδράνειας του στερεού σώµατος ως προς τον άξονα περισοφής που διέρχεται από το κένο µάζας του και ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περισοφής του Το διάνυσµα ω έχει την κατεύθυνση του άξονα περισοφής, που είναι και άξονας συµµείας του στερεού Για παράδειγµα, θεωρήστε την κύλιση χωρίς ολίσθηση ενός κυλίνδρου Αν ο άξονας περισοφής δεν είναι άξονας συµµείας, τότε πρέπει να χρησιµοποιήσοµε την πιο γενική έκφραση που δίνεται στο υποκεφάλαιο 85 Παρατήρηση: Η εξίσωση (87) δεν σηµαίνει ότι σε όλα τα προβλήµατα θα υπάρχει και το και το Αν το κένο µάζας είναι ακίνητο, τότε, πχ περισοφή µιας οχαλίας περί σταθερό άξονα Οµοίως, αν το στερεό σώµα δεν περισέφεται, τότε, πχ ένας κυκλικός δίσκος γλισά σε ένα δάπεδο, αλλά δεν κυλίεται Τέλος, ένας κυκλικός δίσκος που κυλίεται έχει και και (βλ Παράδειγµα 8) 83 Κινητική ενέργεια Ανάλογο θεώρηµα προς το θεώρηµα ισχύει για την κινητική ενέργεια στερεού σώµατος Η κινητική ενέργεια στερεού σώµατος είναι το άθροισµα των κινητικών ενεργειών των σωµατίων που συνθέτουν το σώµα Έτσι γράφοµε T m & m & & (88) και χρησιµοποιώντας τη σχέση (8) η σχέση (88) γράφεται ως T & m ( R+ & & ) ( R+ & ) & & & & & m & m R + m R+ R m + Page 6 of (89)

7 Ο δεύτερος και ο ίτος όρος είναι µηδέν και εποµένως η (89) γράφεται ως T & MR + m & (8) Έτσι αποδείξαµε το ακόλουθο θεώρηµα Θεώρηµα 8: Η κινητική ενέργεια T στερεού σώµατος ισούται µε την κινητική ενέργεια του κένου µάζας του (όπου θεωρούµε συγκενωµένη όλη τη µάζα) T συν την κινητική ενέργεια του σώµατος γύρω από το κένο µάζας του T, δηλαδή T + T T (8) Παρατήρηση : Είναι σηµαντικό να επισηµάνοµε ότι η έκφραση (8) ισχύει ανεξαρτήτως του τι κίνηση κάνει το κένο µάζας! Ακόµη κι αν το κένο µάζας επιταχύνεται, η σχέση (8) ισχύει Με άλλα λόγια, το T, δηλαδή την περισοφική ενέργεια γύρω από το κένο µάζας, την υπολογίζοµε απλώς θεωρώντας ότι το κένο µάζας βρίσκεται πάνω στον άξονα περισοφής Έτσι, σε όλα τα προβλήµατα όπου το στερεό έχει άξονα συµµείας και η περισοφή γίνεται περί τον άξονα συµµείας, T ( / ) ω, όπου είναι η ροπή αδράνειας του στερεού σώµατος ως προς τον άξονα περισοφής που διέρχεται από το κένο µάζας του και ω ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περισοφής του Το διάνυσµα ω έχει την κατεύθυνση του άξονα περισοφής, που είναι και άξονας συµµείας του στερεού Για παράδειγµα, θεωρήστε την κύλιση ενός κυλίνδρου Αν ο άξονας περισοφής δεν είναι άξονας συµµείας, τότε πρέπει να χρησιµοποιήσοµε την πιο γενική έκφραση που δίνεται στο υποκεφάλαιο 85 Παρατήρηση : Είναι επίσης σηµαντικό να κατανοήσοµε ότι σε ένα Λούνα Παρκ, το βαγόνι µε τους επιβάτες του δεν είναι υλικό σηµείο, αλλά στερεό σώµα Έτσι, σε προβλήµατα ανακύκλωσης, δεν υπεισέρχεται µόνο το T, αλλά και το T Χάριν ευκολίας, θεωρούµε ότι το βαγόνι δεν έχει οχούς και απλώς γλισά χωρίς ιβές Καθώς το βαγόνι κάνει µια περιφορά στην κυκλική οχιά της ανακύκλωσης, κάνει και µια περισοφή περί άξονα που διέρχεται από το κένο µάζας του Αυτό το καταλαβαίνοµε ως εξής: Αν βρισκόµαστε κάτω από την ανακύκλωση, αρχικά βλέποµε τα πόδια των επιβατών, ενώ όταν το βαγόνι βρίσκεται στο ψηλότερο σηµείο της ανακύκλωσης βλέποµε τα κεφάλια των επιβατών Γενικά, η εικόνα του βαγονιού µε τους επιβάτες που βλέποµε αλλάζει ανάλογα µε τη θέση του βαγονιού, αλλά σε µια ανακύκλωση βλέποµε το βαγόνι και τους επιβάτες από όλες τις πλευρές, µια φορά την κάθε πλευρά Έτσι, η γωνιακή ταχύτητα περιφοράς του βαγονιού στην κυκλική οχιά ισούται µε τη γωνιακή ταχύτητα περισοφής του βαγονιού περί τον άξονά του Παρατήρηση 3: Η Παρατήρηση δεν σηµαίνει ότι όλα τα στερεά σώµατα που κάνουν µια περιφορά κάνουν υποχρεωτικά και µια περισοφή περί τον άξονά τους Μπορεί να µην κάνουν καµία (όπως πχ τα κρεµαστά καθίσµατα σε έναν Page 7 of

8 κατακόρυφο περισεφόµενο κύκλο στα Λούνα Παρκ) ή να κάνουν περισσότερες της µίας (όπως πχ οι οχοί του βαγονιού που κάνει ανακύκλωση) Παράδειγµα 8: Θεωρείστε ότι ένα κέρµα µάζας M ακτίνας R και αµελητέου πάχους κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει) κατά µήκος του άξονα µε σταθερή ταχύτητα u > Να βρεθεί η κινητική ενέργειά του και η σοφορµή του ως προς την αρχή των αξόνων Λύση: Η κινητική ενέργεια του κένου µάζας του κέρµατος είναι T M u Θεωρώντας ότι η περισοφή του κέρµατος γίνεται περί τον άξονα, που είναι παράλληλος προς τον άξονα και διέρχεται από το κένο µάζας του, έχοµε από την (7) ότι T ω, όπου είναι η ροπή αδράνειας του κέρµατος ως προς τον άξονα και ω u / R Επειδή το κέρµα είναι οµογενές, η πυκνότητά του (µάζα ανά επιφάνεια) είναι M σ και η είναι π R M R 4 R σ MR 4 dm π d πσ Έτσι, η κινητική ενέργεια του κέρµατος είναι u 3 Mu R 4 T T + T Mu + MR Η κατεύθυνση της σοφορµής του κένου µάζας του κέρµατος µπορεί να βρεθεί εύκολα µε τον κανόνα του δεξιού χεριού Αν θεωρήσοµε ότι ο άξονας είναι προς τα πάνω και ο άξονας προς τα δεξιά, τότε το διάνυσµα της έχει κατεύθυνση προς τα µέσα, δηλαδή ĵ Το µέο της είναι R Mu Αν θέλαµε να βρούµε το διάνυσµα της σοφορµής µε διανύσµατα µέσω του ορισµού (8) θα γράφαµε Η σοφορµή p ( ˆ + R ) ( Mu ˆ) RMu του κέρµατος περί το κένο µάζας του είναι ω MR u R ˆ j MRu Συνεπώς, η ολική σοφορµή του κέρµατος είναι Page 8 of

9 + 3 RMu 833 Ροπή Κατ αναλογία προς τα δυο παραπάνω θεωρήµατα, θα δούµε τώρα ότι ισχύει αντίστοιχο θεώρηµα για τη ροπή Η ροπή που ασκείται σε ένα στερεό σώµα είναι το άθροισµα των ροπών των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα Έτσι, µε τη χρήση των (87) και (86) έχοµε d τ d ( ) R P+ d R M dr + dr dr d R d M + R M + (8) Ο πρώτος όρος είναι ίσος µε µηδέν διότι είναι το εξωτερικό γινόµενο συγγραµµικών διανυσµάτων Για τον δεύτερο όρο χρησιµοποιούµε τη σχέση (46) Έτσι έχοµε d τ R F + (83) Έχοµε όµως δει στις σχέσεις (87) και (88) ότι για εσωτερικές δυνάµεις της µορφής F βα συγγραµµικές προς τα α µόνο οι εξωτερικές δυνάµεις συνεισφέρουν στη β ροπή, δηλαδή τ F (84) Συνεπώς, από τις εξισώσεις (83) και (84) έχοµε d F R F + (85) ή d ( R) F F (86) Συνεπώς, η (83) γράφεται ως τ R F + F (87) και έτσι αποδείξαµε το ακόλουθο θεώρηµα: Θεώρηµα 83: Η ροπή τ όλων των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται σε ένα στερεό σώµα ως προς την αρχή των αξόνων ισούται µε τη ροπή της συνισταµένης Page 9 of

10 δύναµης (που θεωρούµε ότι εφαρµόζεται στο κένο µάζας) τ ως προς την αρχή των αξόνων, συν τη ροπή τ των εξωτερικών δυνάµεων ως προς το κένο µάζας του σώµατος, δηλαδή τ τ + τ, (88) όπου τ R F και τ F Έτσι, η εξίσωση κίνησης στερεού σώµατος (8) γράφεται µε τη χρήση των (87) και (88) ως d ( + ) τ +τ (89α) Επειδή όµως η κίνηση του κένου µάζας είναι κίνηση υλικού σηµείου, µε βάση την εξίσωση (85) και το Θεώρηµα 4 µπορούµε να γράψοµε d τ, (89β) που συνεπάγεται ότι d τ (89γ) Παράδειγµα 83: Θεωρήστε κεκλιµένο επίπεδο µε γωνία κλίσης θ Θεωρήστε επίσης ότι ένα κέρµα µάζας M και ακτίνας R κυλίεται (λόγω του βάρους του) χωρίς να γλισά κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου A) Να βρεθεί η επιτάχυνση του κένου µάζας του κέρµατος B) Να βρεθεί η δύναµη ιβής µεταξύ του κέρµατος και του κεκλιµένου επιπέδου Λύση: Α) Θεωρούµε σύστηµα συντεταγµένων, µε τον άξονα παράλληλο προς το κεκλιµένο επίπεδο (µε θετική κατεύθυνση από το ψηλότερο σηµείο του κεκλιµένου επιπέδου προς το χαµηλότερο), τον άξονα κάθετο στο κεκλιµένο επίπεδο και τον άξονα κάθετο στους άλλους δυο, ώστε να σχηµατίζεται δεξιόσοφο σύστηµα Η αρχή των αξόνων είναι στο χαµηλότερο σηµείο του κεκλιµένου επιπέδου Την τυχούσα χρονική στιγµή το κένο µάζας του κέρµατος έχει διανυσµατική ακτίνα ˆ+ R ˆ j και ταχύτητα u & & ˆ Το είναι αλγεβρική ποσότητα και στη συγκεκριµένη περίπτωση έχει αρνητική τιµή Το βάρος B του σώµατος αναλύεται στους άξονες και ως B Mg snθ ˆ Mg cosθ Η συνιστώσα αλληλοαναιρείται από την αντίδραση του επιπέδου Για να µην ολισθαίνει το κέρµα, πρέπει να του ασκείται δύναµη ιβής F F ˆ, µε F > Η ροπή που ασκείται στο κέρµα είναι τ τ + τ, όπου Page of

11 τ ( Mg snθ F ˆ )ˆ ( + R ˆ) j ( Mg snθ F )ˆ R Mg snθ F )( ) R( Mg snθ F ) ( Αυτό που κάναµε εδώ ήταν να φανταστούµε ότι όλες οι εξωτερικές δυνάµεις ασκούνται στο κένο µάζας (κάναµε δηλαδή µια νοερή µετατόπιση της δύναµης ιβής στο κένο µάζας) και υπολογίσαµε τη ροπή τους ως προς την αρχή των αξόνων Για τη ροπή ως προς το κένο µάζας έχοµε τ F ( R ˆ) j ( F ˆ) RF διότι µόνο η δύναµη ιβής έχει µη µηδενική ροπή ως προς το κένο µάζας Το βάρος έχει µηδενική ροπή ως προς το κένο µάζας, Έτσι, τ τ + τ RMg snθ Παρατηρούµε ότι το ίδιο αποτέλεσµα θα παίρναµε αν δεν αναλύαµε το τ σε τ και τ, διότι στο σύστηµα που επιλέξαµε η ροπή της F ως προς την αρχή των αξόνων είναι µηδέν Η σοφορµή του κέρµατος είναι +, όπου Mu ( ˆ + R ˆ) j M & ˆ RM & ( ) και, λόγω του ότι ο άξονας περισοφής είναι άξονας συµµείας του κέρµατος, & & ω ( ) ( ) MR ( ) MR & ( ) R R Το ότι η κατεύθυνση του είναι το βρίσκοµε από τον όπο που κυλίεται το κέρµα και τον κανόνα του δεξιού χεριού Έτσι έχοµε 3 + RM & Χρησιµοποιώντας τη σχέση (8) έχοµε και d 3 3 RMg sn θ ( RM & ) RM & Page of

12 & g snθ 3 Παρατήρηση : Το σώµα που κινείται είναι το κέρµα Το κεκλιµένο επίπεδο είναι ακίνητο και δεν αποτελεί µέρος του συστήµατος που εξετάζοµε, δηλαδή την κίνηση του κέρµατος Έτσι, το κεκλιµένο επίπεδο ασκεί δύναµη ιβής στο κέρµα και αυτή είναι εξωτερική δύναµη, όπως και το βάρος του κέρµατος Γι αυτό τη λάβαµε υπόψη µας στον υπολογισµό του τ Αν δεν υπήρχε αυτή η εξωτερική δύναµη το κέρµα δεν θα κυλιόταν αλλά θα ολίσθαινε Β) Χρησιµοποιώντας είτε την εξίσωση (89β) είτε την εξίσωση (89γ) βρίσκοµε Συνεπώς, F F g snθ 3 F ˆ g snθ ˆ 3 Παρατήρηση : Αν η άσκηση δεν ζητούσε να βρούµε τη δύναµη ιβής, θα µπορούσαµε να βρούµε την επιτάχυνση του κένου µάζας πολύ εύκολα ως εξής: Στο σύστηµα αξόνων που επιλέξαµε συνεισφορά στη ροπή ως προς την αρχή των αξόνων έχει µόνο το βάρος του κέρµατος, διότι η ροπή της δύναµης ιβής είναι µηδέν Έτσι τ RMg snθ Η σοφορµή του κέρµατος ως προς την αρχή των αξόνων είναι 3 + RM & Συνεπώς, από την εξίσωση κίνησης των στερεών σωµάτων βρίσκοµε d τ & g snθ 3 Παράδειγµα 84: Μια οµογενής ράβδος µήκους l και µάζας M µπορεί να περισέφεται χωρίς ιβές περί ένα σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Η ράβδος αφήνεται να πέσει από αρχικά οριζόντια θέση Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου στην τυχούσα θέση Λύση: Ας θεωρήσοµε ότι η αρχικά οριζόντια ράβδος είναι στον άξονα µε το σταθερό άκρο της στη θέση και το άλλο στη θέση l Ο άξονας έχει φορά προς τα δεξιά Θεωρούµε επίσης ως κατακόρυφο άξονα τον µε φορά προς τα πάνω Συνεπώς, για να έχοµε δεξιόσοφο σύστηµα συντεταγµένων, ο άξονας Page of

13 πρέπει να είναι κάθετος στο επίπεδο του χαρτιού και προς τα µέσα Η περισοφή της ράβδου γίνεται περί τον άξονα Πρώτα θα υπολογίσοµε τη ροπή αδράνειας της ράβδου, στην αρχική θέση της, ως προς τον άξονα Έχοµε l l M dm λ d d Ml, l 3 όπου λ M / l είναι η γραµµική πυκνότητα της ράβδου Η µόνη εξωτερική δύναµη που ασκείται στη ράβδο και έχει ροπή ως προς την αρχή των αξόνων (δείτε παρακάτω!!!) είναι το βάρος της B Mg, που ασκείται στο κένο µάζας της, δηλαδή στο µέσο της ράβδου Έτσι, όταν η ράβδος σχηµατίζει τυχούσα γωνία θ µε τον άξονα, η ροπή του βάρους είναι Η σοφορµή της ράβδου είναι l τ cosθ Mg & θ ˆ ω j Ml ω 3 Η εξίσωση κίνησης της ράβδου, όπως και όλων των στερεών σωµάτων, είναι d τ Με αντικατάσταση των ποσοτήτων τ και έχοµε l 3 g cosθ Mg Ml & ω & ω cosθ 3 l Σηµείωση: Η άσκηση είναι αρκετά απλή και µπορέσαµε εύκολα να γράψοµε το συνολικό τ και το συνολικό ως προς την αρχή των αξόνων Με άλλα λόγια, δεν χρειάσθηκε να σπάσοµε το τ και το σε συνεισφορές του κένου µάζας και γύρω από αυτό Ας το κάνοµε όµως για πληρότητα και για να βεβαιωθούµε ότι θα βρούµε το ίδιο αποτέλεσµα Επιπλέον, θα µπορούσε η άσκηση να ζητάει την αντίδραση του άξονα στη ράβδο Για τον υπολογισµό του τ πρέπει να θεωρήσοµε ότι στο κένο µάζας δρουν όλες οι εξωτερικές δυνάµεις Πέραν του βάρους, εξωτερική δύναµη στη ράβδο είναι και η αντίδραση του άξονα περισοφής F F ˆ µε F > Αυτή η δύναµη δεν αντ είχε ροπή ως προς την αρχή των αξόνων, αλλά τώρα που πρέπει να τη θεωρήσοµε ότι δρα στο κένο µάζας έχει ροπή ως προς την αρχή των αξόνων Έτσι έχοµε αντ αντ Page 3 of

14 τ ( Mg + F αντ ) l (cosθ ˆ snθ ) ( Mg + F αντ ) l cosθ Mg ˆ l j cosθ F αντ ˆ j Για τη ροπή ως προς το κένο µάζας έχοµε τ l F ˆ l ( cos sn ) F cos F ˆ αντ θ + θ αντ θ αντ j l Παρατηρούµε ότι τ τ + τ cosθ Mg, όπως πρέπει Για τη σοφορµή έχοµε και l M ˆ ω j M l ω, 4 ˆ ω j Ml ω, διότι εύκολα αποδεικνύεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς άξονα παράλληλο του, που διέρχεται από το κένο µάζας της, είναι ( /) M l Παρατηρούµε ότι + M l ω, όπως πρέπει 3 d Ας δούµε τώρα τι δίνουν οι εξισώσεις τ και τ µπορούµε να επαληθεύσοµε, και οι δυο δίνουν d Όπως εύκολα 3 g & ω cosθ, l όπως περιµέναµε Επιπλέον, τώρα µπορούµε να υπολογίσοµε είτε από την εξίσωση (89β) είτε από την εξίσωση (89γ) την αντίδραση του άξονα στη ράβδο και αυτή είναι F Mg αντ 4 Συµπέρασµα : Η ανάλυση του τ και του σε συνεισφορές του κένου µάζας και γύρω από αυτό µπορεί να κάνει τη λύση πιο δύσκολη!!! Συµπέρασµα : Η επιλογή του κατάλληλου συστήµατος συντεταγµένων µπορεί να κάνει τη λύση πολύ εύκολη Έτσι, σε προβλήµατα όπου εµφανίζονται ιβές ή αντιδράσεις συνδέσµων, επιλέγοµε το σύστηµα συντεταγµένων ώστε αυτές να έχουν ροπή µηδέν ως προς την αρχή των αξόνων Αν όµως η άσκηση ζητάει τη δύναµη ιβής ή την αντίδραση δεν θα αποφύγοµε να τις βάλοµε στις εξισώσεις µας Page 4 of

15 Παράδειγµα 85: Θεωρήστε οχαλία µάζας M και ακτίνας R γύρω από την οποία είναι τυλιγµένο αβαρές νήµα Στην άκρη του νήµατος κρέµεται υλικό σηµείο µάζας m Το υλικό σηµείο είναι αρχικά ακίνητο και αφήνεται να πέσει λόγω του βάρους του Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση της οχαλίας Λύση: Ας θεωρήσοµε τον άξονα της οχαλίας ως τον άξονα, µε κατεύθυνση προς τα µέσα Το κένο της οχαλίας είναι στην αρχή των αξόνων, µε τον άξονα οριζόντιο (κατεύθυνση προς τα δεξιά) και τον άξονα κατακόρυφο µε κατεύθυνση προς τα πάνω Το σύστηµά µας αποτελείται από την οχαλία και τη µάζα m Η ροπή αδράνειας της οχαλίας ως προς τον άξονα είναι R R 4 3 M R dm σ π d σ π d π MR 4 π R Ροπή, ως προς την αρχή των αξόνων, ασκεί µόνο το βάρος της µάζας m Συνεπώς, τ R mg Στη σοφορµή συνεισφέρουν και η οχαλία και η µάζα m Συνεπώς έχοµε R mu ˆ j MR ˆ j R m R ˆ ω + ω + ω j M + m R ω Η εξίσωση κίνησης της οχαλίας και της µάζας m, όπως και όλων των στερεών σωµάτων, είναι d τ Με αντικατάσταση των ποσοτήτων τ και έχοµε M + m mg R mg R & ω & ω ( M + m) R Παρατήρηση: Στη άσκηση αυτή σίγουρα δεν µας εξυπηρετεί να σπάσοµε το τ και το σε συνεισφορές του κένου µάζας και γύρω από αυτό 84 Περισοφή περί σταθερό άξονα που δεν είναι άξονας συµµείας Page 5 of

16 Ίσως έχετε σχηµατίσει την εντύπωση ότι όταν ένα στερεό σώµα περισέφεται περί τον σταθερό άξονα η σοφορµή του σώµατος έχει µόνο -συνιστώσα Αυτό είναι λάθος, εκτός ειδικών περιπτώσεων Ας δούµε γιατί Από τον ορισµό της σοφορµής στερεού σώµατος ως προς την αρχή των αξόνων έχοµε ˆ p m & m Αλλά, όλες οι µάζες m [( & ) ˆ + ( & & ) + ( & & ) ] & & & (83) m περιγράφουν κύκλους µε ακτίνες & + Έτσι έχοµε cos φ & snφ ω ω σταθερ ο & sn φ & cosφ ω ω (83) dφ όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περισοφής του σώµατος, που είναι η ίδια για όλες τις µάζες m Έτσι, οι εις συνιστώσες της (83) γίνονται m ( & ) m ω m ω ω m ( & ) m ω m ω ω (83) m ( & & ) m ( + ) ω ω όπου ορίσαµε τα γινόµενα αδράνειας ως προς την αρχή των αξόνων ως και m (833) m (834) Γενικά, για ένα τυχόν στερεό σώµα, τα γινόµενα αδράνειας είναι διάφορα του µηδενός Έτσι, παρά το γεγονός ότι η περισοφή του στερεού σώµατος γίνεται περί τον σταθερό άξονα, η σοφορµή του στερεού σώµατος µπορεί να έχει και - και -συνιστώσες!!! Σύµφωνα µε τα παραπάνω, η σοφορµή στερεού σώµατος περί τον σταθερό άξονα γράφεται ως Page 6 of

17 ˆ + + ω ˆ + ω + ω (835) Αν για ένα σύστηµα αξόνων,,, τα γινόµενα αδράνειας και είναι µηδέν, τότε ο άξονας λέγεται κύριος άξονας αδράνειας και k ˆ Ένας άξονας συµµείας είναι πάντοτε κύριος άξονας αδράνειας, το αντίθετο όµως δεν ισχύει πάντοτε Ακόµη και σε στερεά σώµατα µε ακανόνιστο σχήµα µπορούµε να ορίσοµε πάντοτε εις κύριους άξονες αδράνειας εν θα το αποδείξοµε όµως αυτό εδώ Άσκηση 83: είξτε ότι αν ο άξονας είναι άξονας συµµείας ενός στερεού σώµατος, τότε τα γινόµενα αδράνειας και είναι µηδέν Παράδειγµα 86: Μια αβαρής ράβδος µήκους l φέρει στο κάθε άκρο της µια σηµειακή µάζα m και σχηµατίζει γωνία θ µε τον κατακόρυφο άξονα Το µέσο της ράβδου είναι στην αρχή των αξόνων και η ράβδος περισέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω ω περί τον άξονα Τη χρονική στιγµή t η ράβδος βρίσκεται στο επίπεδο, µε τον άξονα οριζόντιο Α) Να βρεθεί η συνιστώσα της σοφορµής του συστήµατος ως προς την αρχή των αξόνων Β) Να βρεθεί το διάνυσµα της σοφορµής του συστήµατος ως προς την αρχή των αξόνων όταν η ράβδος είναι στο επίπεδο, δηλαδή για t, t π / ω, κλπ Γ) Είναι λογικό να µην είναι το διάνυσµα της σοφορµής του συστήµατος παράλληλο προς τον άξονα περισοφής ; Για ποια γωνία θ το είναι παράλληλο προς τον άξονα περισοφής ; ) Εξηγήστε γιατί είναι σηµαντικό να γίνεται ζυγοστάθµιση στους οχούς των αυτοκινήτων Λύση: Α) Εδώ έχοµε περισοφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα Άρα, σύµφωνα µε την εξίσωση (79) έχοµε ότι ω m( lsnθ ) ω, διότι η ροπή αδράνειας της κάθε µάζας είναι m ( lsnθ ) Β) Τη χρονική στιγµή t, η µια µάζα έχει διανυσµατική ακτίνα lsnθ ˆ + l cosθ και η άλλη Η ταχύτητα της πρώτης είναι u ωl snθ και της άλλης u Έτσι, η σοφορµή του συστήµατος των δυο σηµειακών µαζών είναι mu+ ( ) ( mu) mu ˆ m lsnθ ωlsnθ l cosθ mωl ˆ (snθ cosθ sn θ ) Page 7 of

18 Παρατηρούµε ότι η σοφορµή έχει όχι µόνο -συνιστώσα, αλλά και Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το γινόµενο αδράνειας (εξισώσεις 83, 833) είναι διάφορο του µηδενός εν είναι δύσκολο να αποδείξοµε ότι, καθώς περισέφεται η ράβδος, το θα έχει και -συνιστώσα Έτσι, µετά από /4 της περιόδου περισοφής, η σοφορµή της ράβδου θα είναι ˆ mωl (snθ cosθ j sn θ ) Γ) Είναι λογικό το να µην έχει µόνο -συνιστώσα, διότι ο άξονας δεν είναι άξονας συµµείας (ή καλύτερα κύριος άξονας αδράνειας) Για θ π /, ο άξονας γίνεται άξονας συµµείας και το γίνεται παράλληλο µε το ω ) Αν ο οχός ενός αυτοκινήτου δεν είναι ζυγοσταθµισµένος, τότε ο άξονας του οχού δεν είναι άξονας συµµείας, µε αποτέλεσµα η σοφορµή του οχού να µην είναι παράλληλη µε τον άξονα Αυτό συνεπάγεται µη οµαλή κύλιση του οχού και φθορά στα ρουλεµάν Παρατήρηση: Αν θέλαµε να λύσοµε την άσκηση όχι για t, αλλά για την τυχούσα χρονική στιγµή t θα γράφαµε για τη διανυσµατική ακτίνα της µάζας m που είναι πάνω από το επίπεδο όπου l snθ cosφ ˆ + l snθ snφ + l cosθ, φ ( t) ω t Της άλλης µάζας m η διανυσµατική ακτίνα είναι Η γραµµική ταχύτητα της m, που είναι πάνω από το επίπεδο, είναι ενώ της άλλης είναι d u ω l snθ snφ ˆ + ωl snθ cosφ, u Έτσι η ολική σοφορµή m m των δυο µαζών είναι mu+ ( ) m( u) mu m ˆ l snθ cosφ ωl snθ snφ l snθ snφ ωl snθ cosφ l cosθ ˆ sn cos sn ˆ mωl (snθ cosθ cosφ + θ θ φ j sn θ ) ˆ sn cos sn ˆ mωl (snθ cosθ cosωt + θ θ ωt j sn θ ) Το παραπάνω αποτέλεσµα, για τυχούσα γωνία θ και τυχούσα χρονική στιγµή t, µας δηµιουργεί την ακόλουθη ερώτηση: Page 8 of

19 Ερώτηση: Αφού έχοµε χρονικά εξαρτώµενη σοφορµή, από την εξίσωση κίνησης των στερεών σωµάτων d τ συνεπάγεται ότι υπάρχει χρονικά εξαρτώµενη ροπή Όµως, βαρύτητα και ιβές δεν υπάρχουν Άρα ποια δύναµη έχει αυτή τη ροπή ως προς την αρχή των αξόνων; Άσκηση 84: Να βρεθεί η σοφορµή της ράβδου του Παραδείγµατος 86 χρησιµοποιώντας την έκφραση (835) Άσκηση 85: Μια οµογενής ράβδος µήκους l έχει µάζα m και σχηµατίζει γωνία θ µε τον κατακόρυφο άξονα Το µέσο της ράβδου είναι στην αρχή των αξόνων και η ράβδος περισέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω ω περί τον άξονα Τη χρονική στιγµή t η ράβδος βρίσκεται στο επίπεδο, µε τον άξονα οριζόντιο Α) Να βρεθεί η συνιστώσα της σοφορµής της ράβδου ως προς την αρχή των αξόνων Β) Να βρεθεί το διάνυσµα της σοφορµής της ράβδου ως προς την αρχή των αξόνων όταν η ράβδος είναι στο επίπεδο, δηλαδή για t, t π / ω, κλπ 85 Περισοφή στερεού σώµατος περί τυχόντα άξονα Στο υποκεφάλαιο 8 είδαµε ότι η εξίσωση (8) είναι η εξίσωση κίνησης όλων των στερεών σωµάτων Για να γράψοµε αυτή την εξίσωση, πρέπει να είµαστε σε θέση να γράψοµε τη σοφορµή του στερεού σώµατος ως προς οποιοδήποτε σηµείο Ας θεωρήσοµε ένα αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων,, µε την αρχή του στο τυχόν σηµείο Ο Έστω ω ω ˆ + ω + ω η στιγµιαία γωνιακή ταχύτητα περισοφής του στερεού σώµατος στο σύστηµα,, Παρότι η απόδειξη δεν είναι δύσκολη, εµείς εδώ µόνο θα γράψοµε τις εκφράσεις για τη σοφορµή του στερεού σώµατος ως προς το σηµείο Ο και την κινητική ενέργεια T του στερεού σώµατος Έτσι γράφοµε ή όπου t ω ω + ω + ω, ω ω, (836) ω ω + ω + ω, (837) ω + ω + ω, Page 9 of

20 dm ( + ), dm ( + ), dm ( + ), είναι οι ροπές αδράνειας του σώµατος ως προς τους άξονες,, αντιστοίχως, dm, dm, dm είναι τα γινόµενα αδράνειας και t είναι ο πίνακας αδράνειας ως προς το σύστηµα,, Η κινητική ενέργεια T του στερεού σώµατος γράφεται ως T t ω ω ( ω ω ω ) ω ω ω (838) ( ω + ω + ω ω + ω + ω ω + ω + ω ) ω ω ω ( ω + ω ω + ω ω + ω ω + ω + ω ω + ω ω + ω ω + ω ) ( ω + ω + ω ) + ω ω + ω ω + ω ω Στο υποκεφάλαιο 83 και ειδικά στις εξισώσεις (87) και (8) είδαµε ότι πρέπει να είµαστε σε θέση να γράφοµε τη σοφορµή και την κινητική ενέργεια T στερεού σώµατος για οποιαδήποτε γωνιακή ταχύτητα ω, δηλαδή για οποιονδήποτε άξονα περισοφής που διέρχεται από το κένο µάζας του σώµατος Ας θεωρήσοµε σύστηµα συντεταγµένων,, µε την αρχή τους στο κένο µάζας του στερεού σώµατος Το σύστηµα έχει σταθερό προσανατολισµό ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα,,, ενώ το κένο µάζας µπορεί να κινείται Έστω ω ω ˆ + ω + ω η στιγµιαία γωνιακή ταχύτητα περισοφής του στερεού σώµατος στο σύστηµα,, ή,,, περί άξονα που διέρχεται από το κένο µάζας Σύµφωνα µε το γενικό αποτέλεσµα (836), γράφοµε ή t ω ω ω, (839) ω Page of

21 όπου ω + ω + ω, ω + ω + ω, (84) ω + ω + ω, ( + dm ), ( + dm ), dm ( + ), είναι οι ροπές αδράνειας του σώµατος ως προς τους άξονες,, αντιστοίχως, dm, dm, dm είναι τα γινόµενα αδράνειας και,, t είναι ο πίνακας αδράνειας ως προς το σύστηµα Η κινητική ενέργεια T του στερεού σώµατος λόγω περισοφής του περί το κένο µάζας του γράφεται ως T t ω ω ( ω ω ω ) ω ω ω (84) ( ω + ω + ω ) + ω ω + ω ω + ω ω Άσκηση 86: Να βρεθεί η σοφορµή του συστήµατος τού Παραδείγµατος 86 χρησιµοποιώντας την έκφραση (839) ή τις εκφράσεις (84) Page of

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο Στο προηγούµενο Κεφάλαιο εξετάσαµε την περιστροφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα. Εδώ θα εξετάσοµε την εξίσωση κίνησης στερεού σώµατος γενικώς. Πριν το κάνοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάσαµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού σηµείου έχοµε ένα στερεό σώµα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. Παγκόσµια έλξη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. Παγκόσµια έλξη ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παγκόσµια έλξη ύναµη µεταξύ υλικών σηµείων Σε ένα αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων θεωρούµε δυο σηµειακές µάζες και Η µάζα είναι ακίνητη στην αρχή των αξόνων και η µάζα βρίσκεται στη διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ταλαντώσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ταλαντώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ταλαντώσεις Στο Παράδειγµα 9 είδαµε τη µελέτη της κίνησης υλικού σηµείου µάζας, που βρίσκεται στο ένα άκρο ελατηρίου µε το άλλο άκρο του ελατηρίου σταθερό Θα επανεετάσοµε το ίδιο πρόβληµα εδώ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ιατήρηση ορµής Ας θεωρήσοµε δυο υλικά σηµεία και µε µάζες και αντιστοίχως που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες και και έχουν αντίστοιχες ταχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός.

Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός. Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Κίνηση Ράβδου σε κατακόρυφο επίπεδο Εστω µια οµογενής ϱάβδος ΟΑ µάζας Μ

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας m=0,5kgr δίνεται από τη σχέση: 3 j οπότε το μέτρο της ταχύτητας θα είναι:

ΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας m=0,5kgr δίνεται από τη σχέση: 3 j οπότε το μέτρο της ταχύτητας θα είναι: ΑΣΚΗΣΗ. Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας =,k δίνεται από τη σχέση: 6. α Βρείτε την θέση και το μέτρο της ταχύτητας του κινητού την χρονική στιγμή. β Τι είδους κίνηση κάνει το κινητό σε κάθε άξονα;

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 3, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης

Εργασία 3, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης Εργασία ΦΥΕ 4-4 Κυλάφης Λύσεις Άσκηση : Ένας κυκλικός δίσκος µάζας M και ακτίνας R µπορεί να περιστρέφετε χωρίς τριβές γύρω από έναν οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ένα αβαρές νήµα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 01: ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής. Έργο και ισχύς σταθερής ροπής)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής. Έργο και ισχύς σταθερής ροπής) ΕΚΦΩΝΗΣΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1 (Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής Έργο και ισχύς σταθερής ροπής) Ένας κύβος και ένας δίσκος έχουν ίδια μάζα και αφήνονται από το ίδιο ύψος να κινηθούν κατά μήκος δύο κεκλιμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Λύση. V = V x. H θ y O V 1 H/2. (α) Ακίνητος παρατηρητής (Ο) (1) 6 = = (3) 6 (4)

ΘΕΜΑ 1. Λύση. V = V x. H θ y O V 1 H/2. (α) Ακίνητος παρατηρητής (Ο) (1) 6 = = (3) 6 (4) ΘΕΜΑ Ένα αεροπλάνο πετάει οριζόντια σε ύψος h=km µε σταθερή ταχύτητα V=6km/h, ως προς ακίνητο παρατηρητή στο έδαφος. Ο πιλότος αφήνει µια βόµβα να πέσει ελεύθερα: (α) Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης (δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ B B1. Σωστή απάντηση είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΙΣΚΟΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΙΣΚΟΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΣΤΡΕΦΜΕΝΙ ΙΣΚΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΦΡΜΗΣ Ένας οµογενής και συµπαγής δίσκος µάζας m και ακτίνας =,2m στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω =1 ra/sec.

Διαβάστε περισσότερα

1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα).

1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα). Θέμα ο. ια το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και M= M = M, υπολογίστε την επιτάχυνση της µάζας. ίνεται το g. (0) Λύση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΥΕΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΥΕΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΥΕΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/04 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Στις ερωτήσεις Α Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6β Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Ροπή Ροπή ( ) είναι η τάση που έχει μια δύναμη να περιστρέψει ένα σώμα γύρω από κάποιον άξονα. d είναι η κάθετη απόσταση του άξονα περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

v = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2

v = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΉΣ Ι ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 019 ΚΏΣΤΑΣ ΒΕΛΛΙΔΗΣ, cvellid@phys.uoa.r, 10 77 6895 ΘΕΜΑ 1: Σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα u κατά µήκος οριζόντιας ράβδου που περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός οµογενούς δίσκου που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, που διέρχεται από το κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ 25/11/2018 ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 111 Τελική Εξέταση: 17-Δεκεµβρίου-2017

ΦΥΣ. 111 Τελική Εξέταση: 17-Δεκεµβρίου-2017 ΦΥΣ. 111 Τελική Εξέταση: 17-Δεκεµβρίου-2017 Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας). Ονοµατεπώνυµο Αριθµός ταυτότητας Απενεργοποιήστε τα κινητά σας. Σας δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ [Υποκεφάλαιο 4.2 Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων του σχολικού βιβλίου]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ [Υποκεφάλαιο 4.2 Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων του σχολικού βιβλίου] ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5

Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 01-03-2015 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ M-ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΑΝ.-ΠΟΥΛΗ Κ. ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας

Διαβάστε περισσότερα

6ο Πρόχειρο Τεστ Γ Τάξης Λυκείου Θεµελιώδης Νόµος Στροφικής Κίνησης Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 90 min Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο:

6ο Πρόχειρο Τεστ Γ Τάξης Λυκείου Θεµελιώδης Νόµος Στροφικής Κίνησης Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 90 min Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: 6ο Πρόχειρο Τεστ Γ Τάξης Λυκείου Θεµελιώδης Νόµος Στροφικής Κίνησης Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 90 min Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4 να γράψετε στο

Διαβάστε περισσότερα

Ενέργεια στην περιστροφική κίνηση

Ενέργεια στην περιστροφική κίνηση ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 1 Ενέργεια στην περιστροφική κίνηση q Ένα περιστρεφόµενο στερεό αποτελεί µια µάζα σε κίνηση. Εποµένως υπάρχει κινητική ενέργεια. v i θ i r i m i Θεωρείστε ένα στερεό σώµα περιστρεφόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Σάββατο 24 Φλεβάρη 2018 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Γ Λυκείου Θετικού προσανατολισμού. Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος. Σάββατο 24 Φεβρουαρίου Θέμα 1ο

Διαγώνισμα Γ Λυκείου Θετικού προσανατολισμού. Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος. Σάββατο 24 Φεβρουαρίου Θέμα 1ο Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος Σάββατο 24 Φεβρουαρίου 2018 Θέμα 1ο Στις παρακάτω προτάσεις 1.1 1.4 να επιλέξτε την σωστή απάντηση (4 5 = 20 μονάδες ) 1.1. Ένας δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή.

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή. Στροφορµή Έστω ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ και έστω ένα σηµείο Ο. Ορίζουµε στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς το Ο, το εξωτερικό γινόµενο: L= r p= m r υ Όπου r η απόσταση του υλικού σηµείου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΕΡΕΟ. ΘΕΜΑ Α (μοναδες 25)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΕΡΕΟ. ΘΕΜΑ Α (μοναδες 25) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΕΡΕΟ ΘΕΜΑ Α (μοναδες 25) Α1. Σε στερεό που περιστρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα ενεργεί σταθερή ροπή. Τότε αυξάνεται με σταθερό ρυθμό: α. η ροπή αδράνειας του β. η

Διαβάστε περισσότερα

F r. www.ylikonet.gr 1

F r. www.ylikonet.gr 1 3.5. Έργο Ενέργεια. 3.5.1. Έργο δύναµης- ροπής και Κινητική Ενέργεια. Το οµοαξονικό σύστηµα των δύο κυλίνδρων µε ακτίνες R 1 =0,1m και R =0,5m ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο. Τυλίγουµε γύρω από τον κύλινδρο

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα: Μηχανική Στερεού Σώματος

Διαγώνισμα: Μηχανική Στερεού Σώματος Διαγώνισμα: Μηχανική Στερεού Σώματος Θέμα Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία τη συμπληρώνει σωστά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014 ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

Όταν υπάρχει ΑΚΙΝΗΤΟ σηµείο

Όταν υπάρχει ΑΚΙΝΗΤΟ σηµείο Όταν υπάρχει ΑΚΙΝΗΤΟ σηµείο ) Οµογενής κύλινδρος µάζας m, ακτίνας R φέρει λεπτή εγκοπή βάθους είναι τυλιγµένο νήµα αµελητέου πάχους. R r=, στην οποία Το άλλο άκρο του νήµατος έχει δεθεί σε οροφή όπως στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς Στην Εισαγωγή στη Μηχανική, πριν το Κεφάλαιο 1, είδαµε ότι ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα ισχύει µόνο για αδρανειακούς παρατηρητές, δηλαδή για παρατηρητές που είτε

Διαβάστε περισσότερα

Β. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων

Β. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΣΤΕΡΕΟ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1 έως 3 επιλέξτε τη σωστή απάντηση 1. Δυο δακτύλιοι µε διαφορετικές ακτίνες αλλά ίδια µάζα κυλάνε χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο έδαφος µε την

Διαβάστε περισσότερα

L 1 L 2 L 3. y 1. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής Σιδερής Ε.

L 1 L 2 L 3. y 1. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής Σιδερής Ε. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 Μαρούσι 06-0-0 ΘΕΜΑ ο (βαθμοί ) ΟΜΑΔΑ Α Μια οριζόντια ράβδος που έχει μάζα είναι στερεωμένη σε κατακόρυφο τοίχο. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

16. Να γίνει µετατροπή µονάδων και να συµπληρωθούν τα κενά των προτάσεων: α. οι τρεις ώρες είναι... λεπτά β. τα 400cm είναι...

16. Να γίνει µετατροπή µονάδων και να συµπληρωθούν τα κενά των προτάσεων: α. οι τρεις ώρες είναι... λεπτά β. τα 400cm είναι... 1. Ο νόµος του Hooke υποστηρίζει ότι οι ελαστικές παραµορφώσεις είναι.των...που τις προκαλούν. 2. Ο τρίτος νόµος του Νεύτωνα υποστηρίζει ότι οι δυνάµεις που αναφέρονται στο νόµο αυτό έχουν... µέτρα,......

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Κεφαλαίου: Στερεό σώµα. Ασκήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως. Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 1

Τίτλος Κεφαλαίου: Στερεό σώµα. Ασκήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως. Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 1 Τίτλος Κεφαλαίου: Στερεό σώµα ιδακτική Ενότητα: Κινηµατική του Στερεού Σώµατος Ασκήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Θέµα 3ο: Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 1 ιδακτική Ενότητα: Ροπή

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Κυριακή 17 Φλεβάρη 2019 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. α) έχουν κάθε χρονική στιγμή την ίδια οριζόντια συνιστώσα ταχύτητας, και την ίδια κατακόρυφη συνιστώσα ταχύτητας.

ΦΥΣΙΚΗ. α) έχουν κάθε χρονική στιγμή την ίδια οριζόντια συνιστώσα ταχύτητας, και την ίδια κατακόρυφη συνιστώσα ταχύτητας. Β Λυκείου 14 / 04 / 2019 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις A1 A4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: Α1. Η ορμή ενός σώματος :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 2016-2017 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον

Διαβάστε περισσότερα

% ] Βαγγέλης Δημητριάδης 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου

% ] Βαγγέλης Δημητριάδης 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου 1. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος μήκους L= 4 m και μάζας M= 2 kg ισορροπεί οριζόντια. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Σε σημείο Κ της ράβδου έχει προσδεθεί το ένα άκρο κατακόρυφου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος

Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος Θέμα Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία τη συμπληρώνει σωστά

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α Α.1. Ενα στερεό σώµα περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα. Εάν διπλασιαστεί η στροφορµή

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις. 2. Η ροπή αδράνειας μιας σφαίρας μάζας Μ και ακτίνας R ως προς άξονα που διέρχεται

Ερωτήσεις. 2. Η ροπή αδράνειας μιας σφαίρας μάζας Μ και ακτίνας R ως προς άξονα που διέρχεται - Μηχανική στερεού σώματος Ερωτήσεις 1. Στερεό στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Η γωνιακή ταχύτητα του στερεού μεταβάλλεται με το χρόνο όπως στο διπλανό διάγραμμα ω -. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Ενας δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η τιµή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόμενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσματικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναμική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Γραµµική ταχύτητα : ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ds. Γωνιακή ταχύτητα : dθ ω ωr Οµαλή κκλική κίνηση : σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Συστήµατα µεταβλητής µάζας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Συστήµατα µεταβλητής µάζας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Συστµατα µεταβλητς µάζας Μέχρι τώρα µελετσαµε την κίνηση υλικού σηµείου µε συγκεκριµένη µάζα m, η οποία παραµένει σταθερ. Θα εξετάσοµε τώρα την περίπτωση που η µάζα δεν είναι σταθερ, αλλά µεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ συνδεδεμένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αμελητέας μάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση.

Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση. Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση. Τις προηγούµενες µέρες έγινε στο δίκτυο µια συζήτηση µε θέµα «Πόση είναι η κεντροµόλος επιτάχυνση;» Θεωρώ αναγκαίο να διατυπώσω µε απλό τρόπο κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Κυριακή 24 Γενάρη 2016 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4

Διαβάστε περισσότερα

Τα θέματα συνεχίζονται στην πίσω σελίδα

Τα θέματα συνεχίζονται στην πίσω σελίδα ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 16-17 Διδάσκων : Χ. Βοζίκης Τ. Ε. Ι. ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι. Θέµα Α

6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι. Θέµα Α 6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι Ηµεροµηνία : 10 Μάρτη 2013 ιάρκεια : 3 ώρες Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία % Θέµα Α Στις ερωτήσεις Α.1 Α.4 επιλέξτε την σωστη απάντηση [4 5 = 20 µονάδες] Α.1. Στερεό

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως

Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Τίτλος Κεφαλαίου: Στερεό σώµα ιδακτική Ενότητα: Κινηµατική του Στερεού Σώµατος Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Θέµα ο: (Ιούνιος 009 Ηµερήσιο) Ο δίσκος του σχήµατος κυλίεται χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 206-207 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 9/03/207 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Όποτε χρησιμοποιείτε το σταυρό ή το κλειδί της εργαλειοθήκης σας για να ξεσφίξετε τα μπουλόνια ενώ αντικαθιστάτε ένα σκασμένο λάστιχο αυτοκινήτου, ολόκληρος ο τροχός αρχίζει να στρέφεται και θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως

Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Τίτλος Κεφαλαίου: Στερεό σώµα ιδακτική Ενότητα: Κινηµατική του Στερεού Σώµατος Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Θέµα 1ο: ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Στις ηµιτελείς παρακάτω προτάσεις να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/014 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ 5//08 ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

mu R mu = = =. R Γενική περίπτωση ανακύκλωσης

mu R mu = = =. R Γενική περίπτωση ανακύκλωσης Γενική περίπτωση ανακύκλωσης Με τον όρο ανακύκλωση εννοούμε την κίνηση ενός σώματος σε κατακόρυφο επίπεδο σε κυκλική τροχιά. Χαρακτηριστικό παράδειγμα τέτοιας κίνησης είναι η κίνηση στο roller coaster,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση ΦΥΕ4-5 η Εργασία Παράδοση.5.9 Πρόβληµα. Συµπαγής οµογενής κύλινδρος µάζας τυλιγµένος µε λεπτό νήµα αφήνεται να κυλίσει από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου µήκους l και γωνίας φ (ϐλέπε σχήµα). Το ένα άκρο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις (διάφορες, στροφορμής και δυναμικής συστήματος σωματιδίων)

Ασκήσεις (διάφορες, στροφορμής και δυναμικής συστήματος σωματιδίων) Προσπαθείστε να λύσετε τις: Ασκήσεις (διάφορες, στροφορμής και δυναμικής συστήματος σωματιδίων Διάφορες: l. inn: : 7.6, 7.76, 7.78 Serwy: Κεφ.. 9:, 55, 65, 8, 85 Στροφορμή: : : 7.5, 7.8, 7., 7.6 Δυν. Συστ.

Διαβάστε περισσότερα

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s]

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 34. Μία κατακόρυφη ράβδος μάζας μήκους, μπορεί να περιστρέφεται στο κατακόρυφο επίπεδο γύρω από

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΤΑΞΗ ΤΜΗΜΑ ΟΝΟΜΑ. ΘΕΜΑ 1ο. 7 mr 5. 1 mr. Μονάδες 5. α. 50 W β. 100 W γ. 200 W δ. 400 W

Γ ΤΑΞΗ ΤΜΗΜΑ ΟΝΟΜΑ. ΘΕΜΑ 1ο. 7 mr 5. 1 mr. Μονάδες 5. α. 50 W β. 100 W γ. 200 W δ. 400 W ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΟΝΟΜΑ ΤΜΗΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΡΤΙΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ 1) Συμπαγής κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R δέχεται μια αρχική μεγάλη και στιγμιαία ώθηση προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ και μετά αφήνεται ελεύθερος. Κατά την παύση της ώθησης,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί τη σχέση:

, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί τη σχέση: Στην κορυφή της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας σφήνας µάζας M, η οποία ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος, αφήνεται µικ ρός κύβος µάζας m. Nα δείξετε ότι η σφήνα κινείται στο σύστη µα αναφοράς του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΛΙΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΠΛΑΓΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΚΥΛΙΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΠΛΑΓΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΚΥΛΙΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΠΛΑΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Σε ένα πλάγιο επίπεδο γωνίας κλίσης κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει προς τα κάτω, ένα στερεό σώµα µε κατανοµή µάζας συµµετρική ως προς το κέντρο του. ( Το στερεό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Στις ερωτήσεις -4 να βρείτε τη σωστή πρόταση.. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώµατος εξαρτάται: α. Από τη ροπή της δύναµης που ασκείται στο στερεό. β. από

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµα Α ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 12. Ένας οριζόντιος ομογενής δίσκος ακτίνας μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1 EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1. Από την ίδια γραµµή αφετηρίας(από το ίδιο ύψος) ενός κεκλιµένου επιπέδου αφήστε να κυλήσουν, ταυτόχρονα προς τα κάτω, δύο κυλίνδροι της

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Κυριακή 5 Μάρτη 2017 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4 να

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

( σφόνδυλος : τροχαλία με μεγάλη μάζα)

( σφόνδυλος : τροχαλία με μεγάλη μάζα) Ζήτημα 1 ο (μια σωστή στα ερωτήματα α,β,γ,) α) Οι πόλοι της γης βρίσκονται στα ίδια σημεία της επιφάνειας της γης Η σταθερότητα των πόλων οφείλεται; Στο γεγονός ότι ασκείται από τον ήλιο ελκτική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 17 Ε_3.ΦλΘ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Πέµπτη 5 Ιανουαρίου 17 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα