ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΜΕ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ KERNEL

Transcript

1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2007), σελ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΜΕ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ KERNEL Θ. Μητράκος Τράπεζα της Ελλάδος - Διεύθυνση Οικονομικών Μελετών tmitrakos@bankofgreece.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα μελέτη έχει ως στόχο την διερεύνηση της εισοδηματικής ανισότητας στην μεταπολιτευτική Ελλάδα με την εφαρμογή των εναλλακτικών τεχνικών που χρησιμοποιούνται πιο συχνά στη διεθνή βιβλιογραφία. Η ανάλυση των εισοδηματικών δεκατημορίων, και η εκτίμηση των στατιστικών δεικτών ανισότητας και των καμπυλών Lorenz που γίνεται από την μελέτη ενισχύεται με κατάλληλους στατιστικούς ελέγχους των παρατηρούμενων διαχρονικών τους μεταβολών, ενώ οι προηγούμενες τεχνικές συμπληρώνονται με εκτιμητές Kernel. Για το σκοπό αυτό αξιοποιούνται τα πρωτογενή δεδομένα των Ερευνών Οικογενειακών Προϋπολογισμών της Εθνικής Στατιστικής Υπηρεσίας της Ελλάδος (ΕΣΥΕ). 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη των διαχρονικών εξελίξεων της εισοδηματικής ανισότητας γίνεται συνήθως με την εκτίμηση στατιστικών δεικτών ανισότητας και των καμπυλών Lorenz. Η ανάλυση αυτή ωστόσο, προϋποθέτει την υιοθέτηση αξιολογικών κρίσεων σχετικά με την επιλογή του πλέον κατάλληλου δείκτη ανισότητας που θα χρησιμοποιηθεί για την σύγκριση των επιμέρους κατανομών και η επιλογή αυτή, έως ένα βαθμό, επηρεάζει το τελικό αποτέλεσμα. Επιπλέον, είναι πολύ πιθανόν με την προσέγγιση αυτή να μας διαφύγουν ορισμένες πολύ ενδιαφέρουσες λεπτομέρειες που παρατηρούνται στις μεταβολές της ανισότητας. Στην παρούσα μελέτη η ανάλυση των μεταβολών της ανισότητας στην Ελλάδα επιχειρείται με την βοήθεια εκτιμητών Kernel με βάση τα πρωτογενή δεδομένα των Ερευνών Οικογενειακών Προϋπολογισμών (ΕΟΠ). Η χρησιμοποίηση των εκτιμητών Kernel δίνει πράγματι μία πιο αποκαλυπτική άποψη για τις μεταβολές που συμβαίνουν διαχρονικά στα διάφορα τμήματα των εξεταζόμενων κατανομών εισοδήματος και δαπάνης. Οι πληροφορίες που προκύπτουν είναι συμπληρωματικές των άλλων προσεγγίσεων που συχνά χρησιμοποιούνται στη βιβλιογραφία δηλαδή των δεικτών ανισότητας, της ανάλυσης δεκατημορίων και των καμπυλών Lorenz. Επιπλέον ας σημειωθεί, ότι οι τελευταίες προσεγγίσεις μπορούν να προκύψουν και μέσα από τις εκτιμούμενες συναρτήσεις πυκνότητας οι οποίες ως εκ' τούτου φαίνεται να είναι ένα εξαιρετικά χρήσιμο εργαλείο για την ανάλυση των θεμάτων της ανισότητας

2 2. ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΤΗΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑΣ Τέσσερις κυρίως προσεγγίσεις χρησιμοποιούνται συνήθως στη διεθνή βιβλιογραφία για την μέτρηση και την μελέτη της διαχρονικής μεταβολής του επιπέδου ανισότητας μεταξύ των μελών μιας κοινωνίας. Η πρώτη προσέγγιση προσπαθεί με έναν μάλλον περιγραφικό τρόπο να εξάγει κάποια συμπεράσματα μέσα από την μελέτη των εισοδηματικών μεριδίων που κατέχουν διάφορα τμήματα του συνολικού πληθυσμού. Η απεικόνιση των μεριδίων αυτών με έναν συγκεκριμένο γραφικό τρόπο μας οδηγεί στην αξιοποίηση των καμπυλών Lorenz η οποία θεμελιώθηκε με το θεώρημα του Atkinson (1970) κάτω από συγκεκριμένες και μάλλον περιοριστικές υποθέσεις σχετικά με τις συναρτήσεις ατομικής χρησιμότητας και κοινωνικής ευημερίας. Η τρίτη προσέγγιση εκτίμησης της οικονομικής ανισότητας προσπαθεί να περιγράψει και να ενσωματώσει τα χαρακτηριστικά και τη διασπορά μιας κατανομής εισοδήματος σε έναν ή περισσότερους απλούς στατιστικούς δείκτες ανισότητας. Με βάση τον ορισμό του Cowell (1995), δείκτης ανισότητας είναι ένα μέτρο συνοπτικής απεικόνισης των διαφορών που παρατηρούνται στα εισοδήματα των μελών ενός πληθυσμού. Οι δείκτες αυτοί δε δίνουν πάντα την ίδια ιεράρχηση στις διάφορες κατανομές εισοδήματος από πλευράς ανισότητας. Παρόλα αυτά, τέτοιοι δείκτες χρησιμοποιούνται συχνά για τη σύγκριση διαφόρων κατανομών (συνήθως του εισοδήματος), για την απόλυτη μέτρηση του βαθμού της ανισότητας ή για τη διατύπωση γενικότερων συμπερασμάτων σχετικά με το επίπεδο της ανισότητας (υψηλό, χαμηλό, κ.λπ.) ενός πληθυσμού. Τέλος, πιο πρόσφατες μελέτες προσεγγίζουν τις διαστάσεις και τις μεταβολές της εισοδηματικής ανισότητας με εκτιμητές Kernel οι οποίες δίνουν μία πιο αποκαλυπτική εικόνα των παρατηρούμενων μεταβολών που συμβαίνουν διαχρονικά στα διάφορα τμήματα των κατανομών εισοδήματος ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΤΗΣ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑΣ Στην ενότητα αυτή επιχειρείται η εφαρμογή των τεσσάρων τεχνικών μέτρησης της ανισότητας που παρουσιάσθηκαν πολύ συνοπτικά στην προηγούμενη ενότητα, στα ελληνικά δεδομένα. Ως μεταβλητή για τη μέτρηση και διαχρονική μεταβολή της ανισότητας χρησιμοποιούνται το τρέχον διαθέσιμο εισόδημα των νοικοκυριών, όπως αυτό προκύπτει από τα αναλυτικά στοιχεία των Ερευνών Οικογενειακών Προϋπολογισμών (ΕΟΠ). 2 Ειδικότερα, στην παρούσα μελέτη χρησιμοποιείται το πρωτογενές (micro-data) αναλυτικό υλικό τεσσάρων ΕΟΠ που καλύπτουν το σύνολο 1 Για μία αναλυτική παρουσίαση των εναλλακτικών τεχνικών μέτρησης της ανισότητας βλ. μεταξύ άλλων Sen (1992), Kakwani (1980), Foster (1985), Lambert (1993) και Cowell (1995). Για μία εφαρμογή των τεχνικών αυτών στα ελληνικά δεδομένα βλ. Mitrakos and Tsakloglou (2006) και Μητράκος (2003). 2 Για μία αναλυτική παρουσίαση των ΕΟΠ βλ. Μητράκος και Ντούρος (2006)

3 της χώρας και πραγματοποιήθηκαν από την ΕΣΥΕ στις περιόδους 1974, 1987/88, 1993/94 και 2004/ Εκτιμήσεις εισοδηματικών μεριδίων Στον Πίνακα 1 δίνονται τα αθροιστικά εισοδηματικά μερίδια των επιμέρους δεκατημορίων του πληθυσμού και για τις τέσσερις ΕΟΠ. Όπως προκύπτει από τα αποτελέσματα της ΕΟΠ 2004/05, το φτωχότερο 10% του πληθυσμού κατέχει το 2004 το 2.9% του συνολικού εισοδήματος, ενώ αντίθετα, το πλουσιότερο 10% του πληθυσμού συγκεντρώνει περίπου το ένα τέταρτο του συνολικού εισοδήματος (24.5%). Περίπου τα ίδια μερίδια κατέχουν τα δύο ακραία δεκατημόρια και στις δύο προηγούμενες ΕΟΠ των ετών 1994 και Ωστόσο, σημαντικά μικρότερο μερίδιο (1.6%) κατείχε το φτωχότερο 10% του πληθυσμού το 1974 έναντι σχετικά υψηλότερου μεριδίου για το πλουσιότερο 10% στο ίδιο έτος (31.1%). Επιπλέον, όπως προκύπτει από την τελευταία γραμμή του πίνακα το πλουσιότερο 1% του πληθυσμού κατείχε το 1974 το 7.8% του συνολικού εισοδήματος έναντι μεριδίου 4.5% το Πίνακας 1. Ανάλυση μεριδίων εισοδήματος Δεκατημόριο ο (10% φτωχότερο) 1.6% 2.5% 2.6% 2.9% 2ο 5.0% 6.9% 7.0% 7.4% 3ο 9.8% 12.6% 12.5% 13.2% 4ο 15.7% 19.3% 19.2% 20.1% 5ο 22.7% 27.2% 27.0% 28.1% 6ο 31.1% 36.3% 36.3% 37.3% 7ο 41.1% 46.9% 47.0% 48.0% 8ο 53.2% 59.4% 59.5% 60.4% 9ο 68.9% 74.7% 74.9% 75.5% 10ο (10% πλουσιότερο) 100.0% 100.0% 100.0% 100.0% Μερίδιο πλουσιότερου 1% 7.8% 5.5% 5.4% 4.5% Μία πρώτη απάντηση στο ερώτημα της διαχρονικής μεταβολής της εισοδηματικής ανισότητας μπορεί να δοθεί εξετάζοντας τη μεταβολή των μεριδίων του εισοδήματος που απεικονίζεται γραφικά στο Διάγραμμα 1. Το κύριο συμπέρασμα που προκύπτει από την προσεκτική εξέταση των δεδομένων του Πίνακα 1 και του Διαγράμματος 1 είναι μία σημαντική μείωση της εισοδηματικής ανισότητας μετά το Σε όλες τις υποπεριόδους που σχηματίζονται με έτος αναφοράς το 1974 ( , , ) τα οκτώ πρώτα δεκατημόρια της κατανομής εισοδήματος αυξάνουν το εισοδηματικό τους μερίδιο, σε βάρος πάντα του μεριδίου που κατέχουν τα δύο ανώτερα δεκατημόρια της ίδιας κατανομής. Ανάλογη μείωση της ανισότητας παρατηρείται και στις περιόδους και καθώς τα πέντε κατώτερα

4 δεκατημόρια του πληθυσμού ενισχύουν το εισοδηματικό τους μερίδιο σε βάρος των υπολοίπων. Ωστόσο, οι μεταβολές που παρατηρούνται στην περίοδο είναι μικρότερες από αυτές των άλλων περιόδων, ενώ γενικά η εξέταση των μεριδίων δεν οδηγεί σε ασφαλή συμπεράσματα για την εξέλιξη της ανισότητας στην περίοδο αυτή. Στην κατανομή του εισοδήματος, τα μερίδια του δεύτερου, τρίτου, τέταρτου αλλά και του δέκατου δεκατημορίου μειώνονται, έναντι αύξησης των μεριδίων των μεσαίων αλλά και του πρώτου δεκατημορίου. 2.0 Διάγραμμα 1 Απόλυτες μεταβολές μεριδίων εισοδήματος Εκτιμήσεις καμπυλών Lorenz Ένας δεύτερος ευρέως χρησιμοποιούμενος τρόπος διερεύνησης των διαχρονικών μεταβολών του επιπέδου ανισότητας είναι και η αξιοποίηση των καμπυλών Lorenz. Η προσέγγιση αυτή είναι άμεσα συνδεδεμένη με την προηγούμενη ανάλυση των εισοδηματικών μεριδίων και σε ένα βαθμό αποτελεί μία εναλλακτική γραφική παρουσίαση της ανάλυσης αυτής. Από τα αθροιστικά μερίδια των δεκατημορίων του Πίνακα 1 σχηματίζονται άμεσα οι συντεταγμένες των καμπυλών Lorenz των εξεταζόμενων εισοδηματικών κατανομών οι οποίες και παρουσιάζονται στο Διάγραμμα 2. Αξιοποιώντας το θεώρημα του Atkinson (1970) μπορεί κανείς εύκολα να ιεραρχήσει τις κατανομές εισοδήματος στις επιμέρους ΕΟΠ. Πράγματι, στην τελευταία ΕΟΠ η κατανομή του εισοδήματος εμφανίζεται ως λιγότερο άνιση (Lorenz dominance) σε σχέση με όλες τις άλλες κατανομές και κυρίως σε σχέση με την κατανομή του 1974 που παρουσιάζει και την μεγαλύτερη ανισότητα. Στις δύο ενδιάμεσες κατανομές των ετών 1988 και 1994 η ιεράρχηση των κατανομών

5 εισοδήματος εμφανίζεται να είναι περισσότερο σύνθετη λόγω ύπαρξης τομών των αντίστοιχων καμπυλών Lorenz. 100 Διάγραμμα 2 Καμπύλες Lorenz εισοδηματικών κατανομών Αθροιστικό μερίδιο εισοδήματο Ισότητα Αθροιστικό πληθυσμιακό μερίδιο Το κύριο συμπέρασμα που προκύπτει από την μελέτη των καμπυλών Lorenz είναι ότι σε όλη την περίοδο υπάρχει μια στατιστικά σημαντική υπεροχή της καμπύλης του 2004 με την έννοια ότι αυτή βρίσκεται πλησιέστερα στην κατάσταση της ισοκατανομής και συνεπώς είναι κοινωνικά προτιμότερη. Αντίθετα υποδεέστερη όλων των άλλων κατανομών είναι η κατανομή εισοδήματος του 1974, ενώ το επίπεδο της ανισότητας φαίνεται να παραμένει μάλλον σταθερό στην περίοδο καθώς η υπόθεση της ισότητας των αντίστοιχων καμπυλών Lorenz γίνεται αποδεκτή και συνεπώς οι παρατηρούμενες διαφορές μεταξύ των ετών αυτών μπορούν να αποδοθούν στην ύπαρξη δειγματοληπτικών σφαλμάτων Εκτιμήσεις των δεικτών ανισότητας Όπως έχει ήδη τονιστεί, για την ιεράρχηση κατανομών των οποίων οι καμπύλες Lorenz τέμνονται ή για την ποσοτικοποίηση των διαφορών των επιπέδων ανισότητας δύο κατανομών θα πρέπει να επιλεγεί κάποιος δείκτης ανισότητας. Η διαφορετική όμως ευαισθησία των δεικτών σε μεταβιβάσεις στα διάφορα τμήματα των κατανομών είναι πιθανόν να οδηγήσει σε διαφορετικά αποτελέσματα όσον αφορά τη διαχρονική εξέλιξη του επιπέδου ανισότητας. Για τον λόγο αυτό στον Πίνακα 2 παρουσιάζoνται 3 Η εκτίμηση των τυπικών σφαλμάτων των συντεταγμένων όλων των καμπυλών Lorenz έγινε από την μελέτη με την βοήθεια της τεχνικής των Beach και Davidson (1983)

6 οι απόλυτες μεταβολές τριών ευρέως χρησιμοποιούμενων δεικτών ανισότητας: του συντελεστή Gini, του δείκτη Theil και της διακύμανσης των λογαρίθμων (Varlogs). Οι εκτιμήσεις των τυπικών σφαλμάτων που δίνονται στον πίνακα έγιναν με βάση την τεχνική των επαναληπτικών δειγμάτων. Πρόκειται για τη γνωστή τεχνική bootstrap, όπως αυτή εισήχθη από τον Efron (1979) και αναπτύχθηκε από τους Efort και Tibshirani (1986), ως ένας γενικός τρόπος εκτίμησης μιας δειγματικής κατανομής. Ορισμένα από τα συμπεράσματα που προκύπτουν από τα στοιχεία του Πίνακα 2 είναι ενδιαφέροντα. Κατ αρχάς οι μεταβολές της ανισότητας που καταγράφονται από έτος σε έτος είναι πολύ μεγαλύτερες όταν χρησιμοποιούνται δείκτες που παρουσιάζουν συγκριτικά μεγαλύτερη ευαισθησία σε μεταβιβάσεις στα άκρα της κατανομής (Theil, Varlogs) παρά όταν χρησιμοποιείται ο δείκτης του Gini που είναι περισσότερο ευαίσθητος σε μεταβιβάσεις γύρω από τη διάμεσο της κατανομής. Αναφορικά με τις επιμέρους περιόδους, με βάση τις περισσότερες στατιστικά σημαντικές ενδείξεις η συνολική ανισότητα μειώνεται σημαντικά στην περίοδο , διατηρείται σταθερή στην περίοδο , για να μειωθεί πιθανόν και πάλι στην τελευταία από τις εξεταζόμενες περιόδους (όπως και στην περίοδο ). Πίνακας 2. Σύγκριση των δεικτών ανισότητας Δείκτες ανισότητας Gini ** t- statistics Theil ** * t- statistics Varlogs ** ** ** t- statistics * επίπεδο σημαντικότητας 5%, ** επίπεδο σημαντικότητας 1%. 3.5 Εκτιμητές Kernel Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι μία θεμελιώδης έννοια στη Στατιστική. Απαντάει στο ερώτημα ποια είναι η συγκέντρωση του πληθυσμού στα διάφορα σημεία της κατανομής, για παράδειγμα, του εισοδήματος;. Η περιοχή κάτω από τη συνάρτηση πυκνότητας μεταξύ δύο επιπέδων εισοδήματος δίνει την αναλογία του συνολικού πληθυσμού με εισόδημα μεταξύ των δύο αυτών επιπέδων. Η εκτίμηση της συνάρτησης πυκνότητας από ένα δείγμα παρατηρήσεων μπορεί να είναι παραμετρική ή μη παραμετρική. Η παραμετρική προσέγγιση υποθέτει ότι τα δεδομένα προέρχονται από μία γνωστή οικογένεια κατανομών, για παράδειγμα κανονική, με γνωστές παραμέτρους (μέσο και διακύμανση). Έτσι η συνάρτηση

7 πυκνότητας που περιγράφει καλύτερα τα δεδομένα μπορεί εύκολα να εκτιμηθεί με την εύρεση εκτιμήσεων για τις παραμέτρους της κανονικής αυτής κατανομής από τα δεδομένα του δείγματος και αντικατάσταση των τιμών αυτών στον τύπο της κανονικής συνάρτησης πυκνότητας. Από την άλλη πλευρά η μη παραμετρική προσέγγιση η οποία και υιοθετείται στην ενότητα αυτή κάνει λιγότερο αυστηρές υποθέσεις για την κατανομή του δείγματος. Αν και υποθέτει ότι η κατανομή έχει μία συνάρτηση πυκνότητας, τα δεδομένα αφήνονται να προσδιορίσουν από μόνα τους τη συναρτησιακή της μορφή. Η τυποποίηση της διαδικασίας αυτής μπορεί να γίνει με διαφορετικούς τρόπους οι οποίοι περιγράφονται σταδιακά και αναλυτικά από τον Silverman (1986). Διάγραμμα 3 Εκτιμήσεις Kernel Πυκνότητα Ισοδύναμο Εισόδημα Ο τρόπος με τον οποίο κατανέμεται η επίδραση των παρατηρήσεων του δείγματος στην περιοχή γύρω απ' αυτές ή με άλλα λόγια το σύστημα στάθμισης (βαρύτητας) των επιμέρους παρατηρήσεων (ανάλογα με τη θέση τους) στην εκτίμηση των συναρτήσεων πυκνότητας είναι αυτό που προσδιορίζεται κάθε φορά από την χρησιμοποιούμενη συνάρτηση (πυρήνων) Kernel. Με τον τρόπο αυτό, η εκτίμηση των συναρτήσεων πυκνότητας σε κάθε σημείο της κατανομής επηρεάζεται από κάθε γειτονική παρατήρηση και η επίδραση αυτή είναι αντιστρόφως ανάλογη από την απόσταση της παρατήρησης από το σημείο αυτό. Οι εκτιμήσεις των συναρτήσεων πυρήνων των κατανομών εισοδήματος στηρίχθηκαν στα πρωτογενή δεδομένα των ΕΟΠ που πραγματοποιήθηκαν από την ΕΣΥΕ στα έτη 1974, 1988, 1994 και Στο στρωματοποιημένο και τυχαίο δείγμα αυτών των ερευνών συμπεριλαμβάνονται κάθε φορά περίπου 6500 νοικοκυριά από όλες τις περιοχές της χώρας. Με βάση το στατιστικό αυτό υλικό εξειδικεύονται από την μελέτη εκτιμητές Kernel τύπου Epanechnikov της μορφής

8 2 K( z) = 3(1 z / 5) / 4 5 (για z < 5 και μηδέν αλλού). Οι εκτιμήσεις αυτές που έγιναν με την βοήθεια του στατιστικού προγράμματος STATA δίνεται στο Διάγραμμα 3. Όπως προκύπτει από τα στοιχεία του διαγράμματος, σημαντικό μέρος της υψηλής πυκνότητας του πληθυσμού γύρω από τη διάμεσο της κάθε κατανομής του εισοδήματος μετατοπίζεται διαχρονικά σε σχετικά υψηλότερα εισοδηματικά κλιμάκια καταγράφοντας με τον τρόπο αυτό μια σαφή βελτίωση του μέσου βιοτικού επιπέδου για το σύνολο του πληθυσμού. Σε σχετικούς με τον μέσο της κατανομής όρους, καταγράφεται μια μείωση της ανισότητας όλων των επιμέρους κατανομών μετά το 1974 καθώς παρατηρείται μια σαφής συγκέντρωση των μελών του πληθυσμού γύρω από τον μέσο. Τέλος, είναι χαρακτηριστική η θετική ασυμμετρία και η ύπαρξη μακριάς δεξιάς ουράς που χαρακτηρίζει τις συναρτήσεις πυκνότητας όλων των κατανομών εισοδήματος. 4. ΣΥΝΟΨΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Ο βασικός σκοπός της μελέτης ήταν η παρουσίαση των ευρέως χρησιμοποιούμενων τεχνικών εκτίμησης της εισοδηματικής ανισότητας. Μία εφαρμογή των τεχνικών αυτών έγινε από τη μελέτη με τη χρήση των αναλυτικών στοιχείων των Ερευνών Οικογενειακών Προϋπολογισμών για την περίοδο Οι εκτιμήσεις των τυπικών σφαλμάτων όλων των μετρήσεων που έγιναν, κρίνονται ιδιαίτερα χρήσιμες για τον έλεγχο των στατιστικών υποθέσεων σχετικά με τις διαχρονικές μεταβολές της εισοδηματικής ανισότητας στην χώρα μας κατά την μεταπολιτευτική περίοδο. Τόσο η ανάλυση των εισοδηματικών μεριδίων, όσο και οι εκτιμήσεις των καμπυλών Lorenz, των δεικτών ανισότητας και των συναρτήσεων Kernel οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η συνολική ανισότητα στην κατανομή του διαθέσιμου εισοδήματος των νοικοκυριών μειώθηκε σημαντικά στην περίοδο , διατηρήθηκε σταθερή στην περίοδο , για να μειωθεί ελαφρά με βάση ορισμένες ενδείξεις και πάλι στην περίοδο Από τις πλέον σημαντικές μεταβολές είναι η παρατηρούμενη μείωση της συνολικής ανισότητας στην περίοδο ABSTRACT The study presents the different techniques used to estimate income inequality and applies these techniques in the case of Greece during the period More specifically, the level of inequality and its inter-temporal changes is estimated using income shares, Lorenze curves, statistical indices and Kernel estimators. Particular interest is given in the estimation of standard errors useful in statistical comparisons. The results show an important and statistical significant reduction of inequality in the period , remaining more or less unchanged in the period in order to reduce again in the last period

9 ΑΝΑΦΟΡΕΣ Atkinson, A. (1970). On the measurement of inequality, Journal of Economic Theory 2, σελ Beach, C. και Davidson R. (1983). Distribution-free statistical inference with Lorenz curves and income shares, Review of Economic Studies L, σελ Cowell, F. (1995). Measuring inequality, (2nd ed.), Prentice Hall / Harvester Wheatsheaf. Efron, B. (1979). Bootstrap methods: another look at the jackknife, Annals of Statistics 7, pp Efron, B. and R., Tibshirani (1986). Bootstrap methods for standard errors, confidence intervals, and other measures of statistical accuracy, Statistical Science 1, pp Foster, J. (1985). Inequality measurement, στο H. P. Young (επιμ.) Fair allocation, American Mathematical Society, Proceedings of Symposia in Applied Mathematics 33. Kakwani, N. (1980). Income inequality and poverty, Oxford University Press, New York etc. Lambert, P. (1993). The distribution and redistribution of income: A mathematical analysis, 2nd edition, Manchester University Press, Manchester. Mitrakos T. and P. Tsakloglou (2006) Inequality and poverty in the last quarter of the 20th century, στο M. Petmesidou and E. Mossialos (eds) Social policy development in Greece, Ashgate Publishing Limited, Chapter 6, pp , 2006, Aldershot, England. Sen, A. (1992). Inequality reexamined, Clarendon Press, Oxford. Silverman B. (1986) Density estimation for statistics and data analysis, Chapman & Hall, London. Μητράκος, Θ. (2003) Τεχνικές μέτρησης των οικονομικών ανισοτήτων: Μια εφαρμογή στην Ελλάδα της τελευταίας εικοσαετίας, στο Θ. Σκούνζος (επιμ.), Μελέτες προς τιμήν του καθ. Α. Λάζαρη, Τόμος Α', σελ , Πανεπιστήμιο Πειραιά, Πειραιάς Μητράκος, Θ. και Γ. Ντούρος (2006), Δειγματοληπτικές έρευνες νοικοκυριών στην Ελλάδα: Στατιστικές τεχνικές και προβλήματα, παρουσιάσθηκε στο 19ο Πανελλήνιο Συνέδριο Στατιστικής με τίτλο «Δημοσκοπήσεις και Στατιστική», Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο, Απριλίου 2006, Καστοριά. Δημοσιεύθηκε στα πρακτικά του συνεδρίου