«Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "«Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός»"

Transcript

1 «Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός» Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής Διευθυντής Εργαστηρίου Μουσικής Ακουστικής Τεχνολογίας, Τμήμα Μουσικών Σπουδών, Φιλοσοφική Σχολή, Πανεπιστήμιο Αθηνών ΕΙΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΜΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗ Ι. ΡΕΝΤΖΕΠΕΡΗΝ, ΟΣΤΙΣ ΜΟΥ ΕΔΙΔΑΞΕ ΤΗΝ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΔΟΜΗ, ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΔΕΣΜΗ ΠΟΛΛΩΝ ΚΟΣΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝΤΙΚΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΩΝ.... Προλεγόμενα Θα ήθελα να εκκινήσω με ένα προσωπικό σχόλιο. Το ενδιαφέρον μου για τον πλατωνισμό ήταν κατ αρχάς το ενδιαφέρον του επιστήμονος που ασχολείται με τον πυθαγορισμό, στοχεύοντας στην κατανόηση του τρόπου μελέτης από τους πυθαγορείους των ακουστικών φαινομένων, τα οποία ακολουθούν νόμους αρμονικούς και φθάνουν επί αιώνες κατ αυτόν ή εκείνον τον τρόπο στην ανθρώπινη αίσθηση. Έτσι ο άνθρωπος από της αρχαιότητος μέχρι της σημερινής εποχής δεν κάνει τίποτ άλλο από το να προσπαθεί ν ανακαλύψει και διατυπώσει με την επιστημονική γνώση, που εκάστοτε διαθέτει, τη φύση και τη μορφή αυτών των φαινομένων κατά την Πλατωνική φιλοσοφική κι επιστημονική άποψη «σώζειν τα φαινόμενα». Στην προσπάθειά μου αυτή εντυπωσιάσθηκα εξαιρετικά από τον μυστικισμό, που διέκρινε τη μετάδοση της επιστημονικής γνώσεως μεταξύ των μεμυημένων οπαδών του πυθαγορισμού, αλλά συντόμως διεπίστωσα ότι ανέκαθεν οι κοσμοθεωρίες των κατ έθνη ιερατείων εβασίζοντο στον συμβολισμό. Για τον λόγον αυτόν τα ιερά κείμενά τους είναι άρρηκτα συνδεδεμένα με σημεία, σύμβολα, αριθμούς και αστερισμούς, προκειμένου να προστατευθούν αλήθειες και ιδανικά που, διαφορετικώς, με το πέρασμα των χρόνων θα υφίσταντο διαστρέβλωση (McClain E. G., 6). Μελετώντας την πορεία των μουσικών ιδεών από τον Πυθαγόρα στον Πλάτωνα, ασχολήθηκα επί πολύν καιρό με το «μουσικό χωρίο» του Πλατωνικού Τιμαίου (5a - 6b6), το οποίο αναφέρεται στη δημιουργία και τη σύσταση της Ψυχής του Κόσμου επί τη βάσει ενός αλγορίθμου διατυπωμένου με Πυθαγόρειο μουσική ορολογία. Συντόμως αντελήφθηκα ότι ο πλατωνισμός αντιμετωπίζει τη μουσική με μια νέα οπτική. Μια οπτική, η οποία αναγνωρίζει τη μουσική ως μία δύναμη ικανή να προβάλλει μια φιλοσοφική σύνθεση μόνο που ο μελετητής θα πρέπει ν ασχοληθεί με ένα απόθεμα αριθμολογίας και να συσχετίσει μια μυθολογία με μαθηματικές αλληγορίες. Κατάλαβα ότι ο μελετητής θα πρέπει να χρησιμοποιήσει τον Πλάτωνα ως την πολύτιμη στήλη της Ροζέττης για να μπορέσει να εισχωρήσει στην περισσότερο δυσνόητη επιστήμη των πρωιμοτέρων πολιτισμών αφενός και αφετέρου να συσχετίσει την τότε με τη σημερινή επιστημονική ορολογία. Καρπός αυτής της ενασχολήσεώς μου με το «μουσικό χωρίο» υπήρξαν τα δύο σύγγραμματά μου με τίτλο «Αναλυτική Γεωμετρία για την Πυθαγόρειο Μουσική» (Εικόνα.) και «Πλάτωνος Τίμαιος: Γένεση Ψυχής Κόσμου», (Εικόνα.), εις τα οποία αποκαλύπτεται πλήρως η όποια μουσική αλληγορία κάτω από τις προεκτάσεις της μεγίστης Πλατωνικής τετρακτύος,,,, 8, 9, 7 εις το εν λόγω Πλατωνικό χωρίο.

2 Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός Εικόνα.: Το σύγγραμμά του καθηγητού Χ. Χ. Σπυρίδη με τίτλο «Αναλυτική Γεωμετρία για την Πυθαγόρειο Μουσική». Εικόνα.: Το σύγγραμμά του καθηγητού Χ. Χ. Σπυρίδη με τίτλο «Πλάτωνος Τίμαιος: Γένεση Ψυχής Κόσμου (γραμμικές & λαβδοειδείς λύσεις)».

3 Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής. Η επιστήμη της Αρμονικής (Μουσικής) Οι πυθαγόρειοι ανεκάλυψαν τις βασικές αρχές της παγκοσμίου αρμονίας, των οποίων έκφραση και απείκασμα είναι οι μουσικοί λόγοι. Η λέξη αρμονία σημαίνει συναρμολόγηση, σύνδεση, εκ του αρχαίου ρήματος α- ραρίσκω, το οποίο έχει τη σημασία συνάπτω, ενώνω, συναρμόζω, βάλλω μαζί, προσαρμόζω τι προς τι, συναρμολογώ τι με τι. Η αλληλοδιαδοχή ποικίλων μουσικών λόγων εντός της διαπασών (οκτάβας) γεννά αλληλουχία ποικίλων αλληλοσυνδεομένων μουσικών διαστημάτων και φθόγγων. Για τον λόγο αυτόν οι παλαιοί μαθηματικοί και μουσικοί αποκαλούσαν τη διαπασών «αρμονίαν». Τα πολυποίκιλα φαινόμενα περί την αρμονίαν αντιμετώπιζαν οι πυθαγόρειοι με την επιστήμη της Αρμονικής (Μουσικής), μια πρωτοεπιστήμη αριθμών και φθόγγων, η οποία ετυμολογικώς σημαίνει μέσον προς συναρμογήν δια του νοός. Η Αρμονική (Μουσική) κατά τους Πυθαγορείους (Νικόμαχος Γερασηνός, Αριθμητική Εισαγωγή) ήτο η τρίτη κατά σειράν εκ των τεσσάρων αδελφών της Μαθηματικής επιστήμης (Αριθμητική, Γεωμετρία, Αρμονική και Σφαιρική), ενώ κατά τον Πλάτωνα ήτο η τετάρτη εκ των πέντε ιδιοτήτων δια των οποίων εξαγνίζεται ο άνθρωπος (Αριθμητική, Γεωμετρία, Στερεομετρία, Μουσική και Αστρονομία). Ο Νικόμαχος επισημαίνει ότι για να λειτουργήσει εκάστη επιστήμη ή ιδιότητα χρειάζεται οπωσδήποτε τις γνώσεις όλων των προηγουμένων της επιστημών ή ιδιοτήτων. Η Αρμονική, ως ασχολουμένη με την αρμονία, ήτο μία καθαρώς μαθηματική επιστήμη, βασιζομένη στην Αριθμητική, τη Γεωμετρία και την Στερεομετρία και δεν ήτο μια δραστηριότητα αποσκοπούσα στην τέρψη και τη διασκέδαση των ανθρώπων. Οφείλω να καταθέσω ότι η πολυετής ερευνητική ενασχόλησή μου με το γνωστό ως «μουσικό χωρίο» εκ του Πλατωνικού Τιμαίου, το οποίο αναφέρεται στη δημιουργία και τη σύσταση της Ψυχής του Κόσμου επί τη βάσει ενός αλγορίθμου βασιζομένου σε δύο τετράδες αριθμών, σε δύο τετρακτύες, (,,, 8 και,, 9, 7) και διατυπωμένου με Πυθαγόρειο μουσική ορολογία, μου εδημιούργησε την πίστη ότι η Πυθαγόρειος μουσική, ως καθαρώς μαθηματικός κλάδος, ήτο η εν είδει Διανυσματικού Λογισμού αντιμετώπιση των πυθαγορείων μουσικών διαστημάτων. Επιθυμών να επαληθεύσω αυτό μου το πιστεύω εδημιούργησα τη θεωρία του Μουσικού Διανυσματικού Λογισμού δια της οποίας απλοποιήθηκε η όλη αντιμετώπιση των πυθαγορείων μουσικών διαστημάτων και η οποία αποτελεί το θέμα της παρούσης εισηγήσεώς μου. Συνειδητοποιώντας το περιεχόμενο του αποσπάσματος του Νικομάχου του Γερασηνού «περί των τεσσάρων αδελφών της Μαθηματικής Επιστήμης» το ενδιαφέρον μου μετετοπίσθη από τη θεωρία των μουσικών διαστημάτων προς τη Γεωμετρία, διότι με τη Γεωμετρία οι αρχαίοι Έλληνες επεδίωκαν να κατανοήσουν την αφηρημένη δομή των σημείων και των ευθειών, χωρίς να προσκολλώνται σε συγκεκριμένους τύπους-συνταγές. Με προβλημάτιζαν οι νέοι τύποι γεωμετριών, που πολλοί είχαν προταθεί από διαφόρους μαθηματικούς κατά τον δέκατο ένατο αιώνα και που ο καθένας παρεβίαζε ένα από τα θεμελιώδη αξιώματα της Ευκλειδείου Γεωμετρίας. Το σημαντικό για μένα ήταν οι σχέσεις ανάμεσα στα αντικείμενα και όχι τα ίδια τα αντικείμενα. Θεωρούσα ότι η Γεωμετρία εξακολουθεί να έχει νόημα ακόμη και όταν οι όροι σημείο, ευθεία, επίπεδο, αντικατασταθούν από τις λέξεις μουσικό ύψος, μουσικό διάστημα, μουσικό σύστημα. Η ανάγκη να απαντήσω στα πάρα πολλά ερωτηματικά, που αντιμετώπισα κατά την πολυειδή ανάλυση του εν λόγω Πλατωνικού χωρίου, με ωδήγησε στη σύλληψη και διατύπωση της Γεωμετρίας των ευθέων και των αντιστρόφων δικτυωτών και στη συγγραφή του βιβλίου μου με τίτλο «Αναλυτική Γεωμετρία για την Πυθαγόρειο Μουσική» με έντονες επιρροές από την Ρεντζεπέρειο διδασκαλία της Κρυσταλλοδομής. Ως γνωστόν, όλες οι υπάρχουσες Γεωμετρίες, άλλη ολιγότερο και άλλη περισσότερο, περιγράφουν τον φυσικό κόσμο. Η δική μου Γεωμετρία περιγράφει ιδανικά τον κόσμο όλων των μουσικών γεγονότων, δηλαδή τις μουσικές όλων των μουσικών πολιτισμών που υπήρξαν, υπάρχουν και που θα υπάρξουν στον πλανήτη Γη με την πλέον λεπτή μέθοδο, με τη συντομότερη ανάλυση, με τη μεγαλύτερη δυνατή σαφήνεια και καλαισθησία και, τέλος, τον μικρότερο πνευματικό κόπο.

4 Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός Απόρροια της θεωρίας των δικτυωτών είναι «Ο Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός» δια του οποίου επιλύονται τα μουσικά προβλήματα, αντιμετωπίζοντας τα μουσικά διαστήματα ως διανύσματα.. Επίπεδα Δικτυωτά Με τον όρο επίπεδο δικτυωτό εννοούμε το σύνολο των σημείων που ορίζονται από τις τομές των ευθειών δύο συνεπιπέδων δεσμών παραλλήλων ευθειών, συνήθως ορθογωνίων μεταξύ τους. Λαμβάνομε ορθογώνιο σύστημα αξόνων O. Λαμβάνομε επίσης μία επίπεδη δέσμη παραλλήλων ευθειών προς τον άξονα O, που τέμνουν τον άξονα O κατά επίτριτα μουσικά διαστήματα και μια επίπεδη δέσμη παραλλήλων ευθειών προς τον άξονα O, που τέμνουν τον άξονα O καθ ημιόλια μουσικά διαστήματα. Οι τομές των δύο επιπέδων και ορθογωνίων δεσμών παραλλήλων ευθειών ορίζουν ένα σύνολο ομοεπιπέδων σημείων ή κόμβων, δηλαδή ορίζουν ένα επίπεδο δικτυωτό (Σχήμα.). Το επίτριτο και το ημιόλιο διάστημα επελέγησαν για τη δόμηση του δικτυωτού -ως χαρακτηριστικά θεμελειώδη μουσικά διαστήματα κατά τους αντιστοίχους άξονες και -, διότι είναι εκφραστές των δύο και μοναδικών ασυνθέτων αρχαιοελληνικών συμφωνιών, ήτοι της διατεσσάρων και της διαπέντε. Tîn sumfwniîn aƒ mšn e sin súnqetoi, aƒ dὲ súnqetoi, súnqetoi mὲn aƒ di tess rwn a te di pšnte, súnqetoi dὲ aƒ di Ñktë kaˆ ndeka kaˆ dèdeka kaˆ dekapšnte. Ανωνύμου του Bellermann, Τέχνη Μουσικής, 7, έως 75,. Ο κάθε κόμβος του δικτυωτού ορίζει είτε ένα μουσικό ύψος, είτε ένα μήκος ταλαντουμένου τμήματος χορδής επί ενός συμπαντικού μονοχόρδου. Στην πρώτη περίπτωση το δικτυωτό θα ονομάζεται ευθύ ή Πυθαγόρειο, στη δεύτερη περίπτωση αντίστροφο ή Σπυρίδειο. Οι έννοιες ευθύ και αντίστροφο εδόθησαν επειδή τα μουσικά ύψη και τα ταλαντούμενα τμήματα χορδών συνδέονται δια της αντιστρόφου σχέσεως f f L L. Πρέπει να τονισθεί ευθύς εξ αρχής ότι το δικτυωτό αποτελεί μια αφηρημένη περιοδική διάταξη κόμβων, επί της οποίας υλοποιείται η Πυθαγόρειος μουσική και ΜΟΝΟΝ. Κατά τη σχεδίαση του δικτυωτού σε γραμμικούς άξονες οι παράλληλες ευθείες των συνεπιπέδων δεσμών απέχουν κατά αποστάσεις ανάλογες του a k k,,,..., όπου b a είναι το χαρακτηριστικό θεμελειώδες μουσικό διάστημα κατά τον αντίστοιχο άξονα. b Ως εκ τούτου είναι μεταξύ τους μη ισαπέχουσες. Προκειμένου να καταστεί το δικτυωτό ευκολότερο στη σχεδίαση και περισσότερον εποπτικό, το σχεδιάζουμε σε ορθογώνιο σύστημα αναφοράς με λογαριθμικούς άξονες (Σχήμα.), οπότε οι παράλληλες ευθείες ανά δέσμη καθίστανται ισαπέχουσες. Στο εξής, όταν ομιλούμε για το ευθύ ή το αντίστροφο δικτυωτό, θα εννοούμε μετακίνηση κατά μήκος των αξόνων κατά το αντίστοιχο χαρακτηριστικό θεμελειώδες τους μουσικό διάστημα, αλλά θα το σχεδιάζουμε σε log-log άξονες. Δέσμη ευθειών εν γένει λέγεται το σύνολο των ευθειών, οι οποίες διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο oνομάζεται κέντρο της δέσμης. Δεχόμαστε ότι το κέντρο μιας δέσμης παραλλήλων ευθειών ευρίσκεται στο άπειρο.

5 Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής 5 Σχήμα.: Το δικτυωτό σε γραμμική σχεδίαση.

6 Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός 6 Σχήμα.: Το δικτυωτό σε log-log διάγραμμα, όπου και log. log Επί εκάστου δικτυωτού κατά τον άξονα το βήμα ( η μικρότερη επιτρεπτή μετακίνηση) είναι ένα επίτριτο διάστημα και κατά τον άξονα το βήμα είναι ένα ημιόλιο διάστημα. Αυτά σημαίνουν ότι στο δικτυωτό οι μετατοπίσεις γίνονται κατά ακέραιο αριθμό βημάτων και ΜΟΝΟΝ. Το βήμα κατά τον άξονα και το βήμα κατά τον άξονα έχουν μέτρα και, αντιστοίχως, είναι κάθετα μεταξύ τους και ονομάζονται παράμετροι του δικτυωτού. Επί του ευθέος δικτυωτού συμβολίζουμε με Μ(,) ένα μουσικό διάστημα, που υλοποιείται με την εκτέλεση επιτρίτων και ημιολίων μουσικών διαστημάτων σε σχέση με ένα αρχικό μουσικό ύψος Ο(,), το οποίο εκλαμβάνεται ως μουσικό ύψος αναφοράς (Σχήμα.).

7 Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής 7 Σχήμα.: Ένα μουσικό ύψος M(,) σε Πυθαγόρειο δικτυωτό, το οποίο σε σχέση με ένα μουσικό ύψος αναφοράς Ο(,) σχηματίζει ένα μουσικό διάστημα. Ένας κόμβος του Πυθαγορείου δικτυωτού με συντεταγμένες και συμβολίζεται ως M (, ) και παριστά το μουσικό ύψος M (, ) O (, ), αφού υλο ποιείται με την εκτέλεση επιτρίτων και ημιολίων μουσικών διαστημάτων σε σχέση με ένα αρχικό μουσικό ύψος Ο(,), το οποίο εκλαμβάνεται ως μουσικό ύψος αναφοράς (Σχήμα.). Τούτο συμβαίνει επειδή οι αριθμητικές σχέσεις των πυθαγορείων μουσικών διαστημάτων προστίθενται δια πολλαπλασιασμού. Επί του αντιστρόφου δικτυωτού, αντιστοίχως, ένας κόμβος Μ με συντεταγμένες, παριστά ένα μήκος δονουμένου τμήματος χορδής, το οποίο υλοποιεί σε σχέση με ένα αρχικό δονούμενο τμήμα χορδής L (,), το οποίο εκλαμβάνεται ως δονούμενο τμήμα χορδής αναφοράς, το μουσικό διάστημα LM (, ) L (,) Προφανώς, οποιοδήποτε μουσικό διάστημα εκφράζεται σαν απόσταση μεταξύ δύο οποιωνδήποτε κόμβων του δικτυωτού, η οποία επαναλαμβανόμενη δίδει στοίχο του δικτυωτού. Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, το οποίο σχηματίζεται από τις δύο παραμέτρους του δικτυωτού ονομάζεται βρόχος. Το δικτυωτό μπορεί να θεωρηθεί ότι παράγεται με περιοδική μετατόπιση του βρόχου από τις δύο παραμέτρους του. Ένας βρόχος δεν έχει σαφώς καθορισμένη αρχή ή θέση στο δικτυωτό, εκτός εάν επιβάλλεται από ένα πρόβλημα ο καθορισμός της αρχής και της θέσεώς του. Ένας βρόχος ονομάζεται απλός, διπλός, τριπλός και γενικώς πολλαπλός, αναλόγως του εάν περιέχει,,,..., πολλούς ισοδυνάμους από μετατόπιση κόμβους (Σχήμα.). Προφανώς, οι τέσσερις κόμβοι στις κορυφές ενός βρόχου πρέπει να θεωρούνται ως ένας, διότι ο καθένας τους ανήκει κατά το ¼ στον εν λόγω βρόχο, αφού συμμετέχει στον σχηματισμό τεσσάρων γειτονικών βρόχων. Οι δύο παράμετροι του δικτυωτού, που ορίζουν απλό βρόχο, ονομάζονται συζυγείς.

8 8 Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός Όλοι οι απλοί βρόχοι, οι οποίοι ορίζονται από διαφόρους συζυγείς παραμέτρους ενός δικτυωτού, έχουν το ίδιο εμβαδόν. Πολλαπλός βρόχος με n κόμβους μέσα του έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν (n+) απλών βρόχων. Σχήμα.: Απλός και σύνθετος βρόχος σε δικτυωτό.

9 Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής 9 Επί δικτυωτού, στο οποίο έχει καθορισθεί ο κόμβος αναφοράς Ο(,), δίδεται έ- νας ακόμη κόμβος M με συντεταγμένες (, ), N. Τούτο, κατά τα γνωστά, σημαίνει ότι το ευθύγραμμο τμήμα OM επί του δικτυωτού αντιπροσωπεύει το Πυθαγόρειο μουσικό διάστημα, το οποίο δομείται από επίτριτα και ημιόλια μουσικά διαστήματα. Έστω ότι επί του ιδίου δικτυωτού μας δίδονται οι κόμβοι M, M,..., M n με συντεταγμένες (, ), (, ) και ( n, n) n N, αντιστοίχως. Η κοινή ευθεία ή διεύθυνση επί της οποίας κείνται αυτοί οι κόμβοι λέμε ότι ορίζει τη θέση ενός στοίχου του δικτυωτού. Η δυάδα,, αποτελεί τους δείκτες του στοίχου, οι οποίοι τιθέμενοι εντός αγκυλών [ ]..., [ n], συμβολίζουν τον εν λόγω στοίχο. Επειδή οι δείκτες [, ], [, ], [, ], n, ορίζουν, προφανώς, τον ίδιο στοίχο, συνηθίζεται να συμβολίζεται η διεύθυνση ενός στοίχου με δείκτες χωρίς κοινό παράγοντα. Το σύνολο όλων των παραλλήλων στοίχων του δικτυωτού ως προς τον στοίχο,. [, ] το συμβολίζουμε με τους ίδιους δείκτες, αλλά εντός διπλών αγκυλών [ ] Αφού στο δικτυωτό όλοι οι κόμβοι ορίζονται με συντεταγμένες ακεραίους αριθμούς, έπεται ότι μέσα στον οιονδήποτε απλό βρόχο του δικτυωτού δεν υπάρχει κανείς κόμβος, διότι τότε ο κόμβος αυτός αφενός μεν θα ορίζετο με μη ακεραίους συντεταγμένες, αφετέρου δε ο βρόχος θα έπαυε να είναι απλός και θα καθίστατο πολλαπλός. Όπως έχει ήδη λεχθεί, έκαστος των κόμβων επί ενός αντιστρόφου δικτυωτού ο- ρίζει ένα μήκος δονουμένου τμήματος χορδής επί του άνευ δεσμών βραχίονος του συμπαντικού μονοχόρδου. Λόγω της Ευκλειδείου μεθόδου της ανταναιρέσεως ή της ανθυφαιρέσεως εκ του συνόλου των κόμβων του αντιστρόφου δικτυωτού φυσική σημασία έχουν μόνον οι κόμβοι, οι οποίοι αντιστοιχούν σε δονούμενα τμήματα χορδής με μήκη εκφραζόμενα δι ακεραίων αριθμών. Η μικρότερη αριθμητική τιμή αποδεκτού κόμβου είναι αυτή της μονάδος και εκφράζει το μήκος της «ανθυφαιρετικής» μονάδος, η οποία δια τούτο είναι και αδιαίρετη. «t¾n mon da diaire sqai, Óper dúnaton» κατά την η μαθηματική πρόταση της πραγμα τείας Ευκλείδου κατατομή κανόνος. Βλέπε Σπυρίδης, Χ. Χαράλαμπος, 5, Ευκλείδου: Κανόνος Κατατομή, Εκδόσεις Γαρταγάνης, Αθήνα, σ. 58. Επειδή στην αρχαία ελληνική μουσική τα διαστήματα εξεφράζοντο ως λόγοι μηκών ταλαντουμένων τμημάτων χορδής, όπως συμβαίνει επί του αντιστρόφου δικτυωτου, γι αυτόν τον λόγο η όλη μελέτη της αρχαιοελληνικής μουσικής πραγματοποιείται επί του αντιστρόφου δικτυωτού. Έχω αποδείξει στα δύο προμνημονευθέντα συγγράμματά μου ότι ένα αντίστροφο δικτυωτό αποτελεί αυτό που ο Πλάτων ονομάζει ΚΟΣΜΟΝ εις τον Τίμαιό του και το τμήμα του Κόσμου, που περιλαμβάνει τους κόμβους που αντιστοιχούν σε δονούμενα τμήματα χορδής με μήκη εκφραζόμενα δι ακεραίων αριθμών, ονομάζεται Ψυχή του Κόσμου (Σχήμα.5).

10 Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός Σχήμα.5: Ο καθορισμός των ορίων της Ψυχής του Κόσμου με τους όρους της μεγίστης τετρακτύος του Πλάτωνος [«μουσικό χωρίο (5a-6b6)» του διαλόγου του Τίμαιος]. Ο ασχολούμενος με την επίλυση του Πλατωνικού προβλήματος επί του αντιστρόφου δικτυωτού ευρίσκεσαι αντιμέτωπος με ένα θαυμάσιο πρόβλημα της θεωρίας αριθμών, το οποίο είναι εξ ίσου διαχρονικό μ ένα αληθινό έργο τέχνης, και αισθάνεται την ανάγκη να αναφωνήσει: «Αυτά δεν είναι Μαθηματικά. Αυτά είναι Θεολογία!».. ΜΟΥΣΙΚΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Για πρώτη φορά το έτος στο σύγγραμμά μου με τον τίτλο Ο ΔΥΪΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΟΥΣΙΚΟΥ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ, σύμφωνα με τη γραμμική Αριστοξένειο θέαση του μουσικού διαστήματος, αντιμετώπισα το μουσικό διάστημα ως ένα διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών (α, β ) και καθόρισα την Άλγεβρα των μουσικών διαστημάτων με βάση τα μη ηχούντα τμήματα χορδής. Το επόμενο έτος, 5, στο σύγγραμμά μου με τον τίτλο ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΜΟΥΣΙΚΗ καθιέρωσα για πρώτη φορά τα ευθέα και τα αντίστροφα δικτυωτά, τα οποία με οδήγησαν στην ανακάλυψη του Μουσικού Διανυσματικού Λογισμού, τον οποίο και χρησιμοποιώ για τη θεωρητική αντιμετώπιση μουσικών προβλημάτων, που αφορούν στα Πυθαγόρεια μουσικά διαστήματα. Περί του Μουσικού Διανυσματικού Λογισμού, ο οποίος προσομοιάζει προς αυτόν, που όλοι ως Φυσικοί γνωρίζουμε, με προπαιδεία τα όσα μέχρι στιγμής σας ανέπτυξα, θα σας ομιλήσω εν γενικαίς γραμμαίς.. Ορισμοί Μουσικό διάνυσμα λέγεται ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ από έναν κόμβο Α σε έναν κόμβο Β ενός άξονα (στοίχου) δικτυωτού. Ο κόμβος Α θεωρείται αρχή και ο κόμβος Β θεωρείται τέλος του μουσικού διανύσματος. Συμβολικά το μουσικό διάνυσμα ΑΒ γράφεται AB. Επίσης, ένα μουσικό διάνυσμα το συμβολίζουμε με ένα πεζό γράμμα λ.χ. AB a. Τα μουσικά διανύσματα θα χρησιμοποιηθούν για τη μελέτη των μουσικών διαστημάτων στο δομικό Πυθαγόρειο μουσικό σύστημα... Στοιχεία μουσικού διανύσματος Φορέας του μουσικού διανύσματος ονομάζεται ο άξονας (στοίχος) επάνω στον οποίον βρίσκεται το μουσικό διάνυσμα.

11 Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής Διεύθυνση του μουσικού διανύσματος ονομάζεται η διεύθυνση, την οποία ορίζει ο φορέας του. Φορά του μουσικού διανύσματος AB είναι η φορά από τον κόμβο (αρχής) Α προς τον κόμβο (πέρατος) Β. Μέτρο AB του μουσικού διανύσματος AB ονομάζεται το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Το μέτρο ενός μουσικού διανύσματος βρίσκεται ως εξής: Περίπτωση η Έστω το μουσικό διάνυσμα από τον κόμβο Ο(,) (την αρχή των ορθογωνίων συντεταγμένων O) σε έναν κόμβο A(,) του δικτυωτού. Το μέτρο ( η απόσταση των άκρων Ο και Α) αυτού του μουσικού διανύσματος θα δίδεται από τη σχέση: OA. Περίπτωση η Έστω το μουσικό διάνυσμα από τον κόμβο A ( ) σε έναν κόμβο B ( ),, του δικτυωτού. Το μέτρο ( η απόσταση των άκρων Α και Β) αυτού του μουσικού διανύσματος θα δίδεται από τη ( ) ( ) σχέση: AB Κάθε μουσικό διάνυσμα με αρχή έναν κόμβο του δικτυωτού και πέρας έναν άλλον κόμβο του ιδίου δικτυωτού παριστάνει ένα μουσικό διάστημα μεταξύ είτε των μουσικών υψών, είτε μεταξύ των μηκών των ταλαντουμένων μηκών χορδής, τα οποία αντιστοιχούν στους κόμβους αρχής και πέρατος αυτού. Το μέτρο αυτού του μουσικού διανύσματος θα δίνει την αριθμητική σχέση, η ο- ποία εκφράζει το μέγεθος του αντιστοίχου μουσικού διαστήματος... Είδη μουσικών διανυσμάτων Ελεύθερα ονομάζονται δύο μουσικά διανύσματα, τα οποία έχουν το ίδιο μέτρο, την ίδια διεύθυνση και την ίδια φορά. Αυτά σημαίνουν ότι οι φορείς (στοίχοι) των ελευθέρων μουσικών διαστημάτων είναι μεταξύ τους παράλληλοι [[,]]. Ολισθαίνοντα ονομάζονται δύο μουσικά διανύσματα, τα οποία έχουν το ίδιο μέτρο, την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και επί πλέον κείνται επάνω στον ίδιο φορέα [,]. Εφαρμοστά ονομάζονται δύο μουσικά διανύσματα, τα οποία έχουν το ίδιο μέτρο, την ίδια διεύθυνση και την ίδια φορά και επί πλέον το ίδιο σημείο εφαρμογής (την ίδια αρχή). Ουδέτερο μουσικό διάνυσμα o : Το μουσικό διάνυσμα από έναν οποιονδήποτε κόμβο A(,) του δικτυωτού προς τον ίδιο κόμβο A(,) έχει διεύθυνση και φορά απροσδιόριστες, μέτρο δε που δίδεται από τη σχέση: o. Το διάνυσμα αυτό ονομάζεται ουδέτερο μουσικό διάνυσμα. Μοναδιαίο μουσικό διάνυσμα (,) ή (,) λέγεται το διάνυσμα του άξονα ή, αντιστοίχως, που έχει θετική φορά και μέτρο ίσο προς ή αντιστοίχως. Οι ορθογώνιοι άξονες O στα δικτυωτά είναι κβαντισμένοι. Δηλαδή επάνω τους δεν μπορούμε να πάρουμε οποιοδήποτε μήκος, αλλά το μήκος είτε επάνω στον άξονα O, είτε επάνω στον άξονα O είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μέτρου του αντιστοίχου μοναδιαίου μουσικού διανύσματος, δηλαδή: κ, λ κ, λ N.,

12 Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός Με τα ανωτέρω καθίσταται αντιληπτό ότι στο κβαντισμένο αυτό ορθογώνιο σύστημα αξόνων O σχηματίζεται ένα δικτύωμα του οποίου τα κομβικά σημεία έχουν συντεταγμένες κ, λ κ, λ N. Δύο ή περισσότερα μουσικά διανύσματα λέγονται συγγραμμικά, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση [,]. Δύο συγγραμμικά μουσικά διανύσματα, εάν έχουν ίδια φορά, λέγονται ομόρροπα (Σχήμα.), εάν έχουν αντίθετη φορά, λέγονται αντίρροπα (Σχήμα.). Σχήμα.: Ομόρροπα μουσικά διανύσματα. Σχήμα.: Αντίρροπα μουσικά διανύσματα. Παρατήρηση Δεν μπορούμε να ομιλούμε για ομόρροπα ή αντίρροπα μουσικά διανύσματα, εάν αυτά δεν είναι συγγραμμικά. Δύο μουσικά διανύσματα λέγονται ίσα «δυνάμει» (Σχήμα.), όταν είναι είτε ελεύθερα, είτε είναι ολισθαίνονται. Αυτά σημαίνουν ότι τα μουσικά διαστήματα είναι ομόρροπα και έχουν το ίδιο μέτρο χωρίς να αποτελεί κώλυμμα η περιοχή είτε των μουσικών τους υψών, είτε των μηκών των ταλαντουμένων τμημάτων χορδής. Επί παραδείγματι, στο

13 Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής τέλειο αμετάβολο σύστημα των αρχαίων υπάρχουν πέντε διαστήματα διατεσσάρων (τετράχορδα), που είναι ίσα μεταξύ τους, αλλά το καθένα τους αναφέρεται σε διαφορετική περιοχή μουσικών υψών λ.χ. τετράχορδο υπατών, τετράχορδο μέσων, τετράχορδο συνημμένων, τετράχορδο διεζευγμένων, τετράχορδο υπερβολαίων. Σχήμα.: Ίσα «δυνάμει» μουσικά διανύσματα. Δύο μουσικά διανύσματα λέγονται ίσα «ενεργεία» (Σχήμα.), όταν είναι εφαρμοστά. Αυτό σημαίνει ότι τα μουσικά διαστήματα είναι ομόρροπα και έχουν την ίδια αρχή και το ίδιο πέρας. Δηλαδή κατά την εκτέλεσή τους το άκουσμά τους είναι απολύτως το ίδιο. Επί παραδείγματι, στο τέλειο αμετάβολο σύστημα των αρχαίων το μουσικό διάστημα από την υπάτη μέσων μέχρι τη μέση είναι ίσο με το τετράχορδο μέσων. Σχήμα.: Ίσα «ενεργεία» μουσικά διανύσματα Δύο μουσικά διανύσματα λέγονται αντίθετα «δυνάμει» (Σχήμα.5), όταν είτε έχουν το ίδιο μέτρο, την ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά (οι φορείς τους είναι διαφορετικοί και μεταξύ τους παράλληλοι [[,]]), είτε έχουν το ίδιο μέτρο, την ίδια διεύθυνση, αντίθετη φορά και επί πλέον κείνται επάνω στον ίδιο φορέα [,].

14 Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός Αυτά σημαίνουν ότι τα μουσικά διαστήματα είναι αντίρροπα και έχουν το ίδιο μέτρο χωρίς να αποτελεί κώλυμμα η περιοχή είτε των μουσικών τους υψών, είτε των μηκών των ταλαντουμένων τμημάτων χορδής. Επί παραδείγματι, στο τέλειο αμετάβολο σύστημα των αρχαίων το μουσικό διάστημα από την υπάτη υπατών μέχρι τη νήτη υπατών (υπάτη μέσων) είναι αντίθετο «δυνάμει» με το μουσικό διάστημα από τη νήτη υπερβολαίων μέχρι την υπάτη υπερβολαίων (νήτη διεζευγμένων). Πράγματι, το καθένα από τα δύο αυτά μουσικά διαστήματα είναι ένα δια τεσσάρων, μόνον που το πρώτο είναι ανιόν και το δεύτερο κατιόν. Σχήμα.5: Αντίθετα «δυνάμει» μουσικά διανύσματα. Δύο μουσικά διανύσματα λέγονται αντίθετα «ενεργεία» (Σχήμα.6), όταν έχουν το ίδιο μέτρο, την ίδια διεύθυνση [,], αντίθετη φορά καθώς επίσης η αρχή και το πέρας του πρώτου είναι πέρας και αρχή, αντίστοιχα, του δευτέρου. Επί παραδείγματι, στο τέλειο αμετάβολο σύστημα των αρχαίων το μουσικό διάστημα από τον προσλαμβανόμενο μέχρι τη μέση είναι αντίθετο «ενεργεία» του μουσικού διαστήματος από τη μέση μέχρι τον προσλαμβανόμενο. Σχήμα.6: Αντίθετα «ενεργεία» μουσικά διανύσματα. Διαδοχικά μουσικά διανύσματα Δύο ή περισσότερα μουσικά διανύσματα καλούνται διαδοχικά, όταν η αρχή εκάστου είναι πέρας του προηγουμένου του.

15 Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής 5. Πράξεις με μουσικά διανύσματα.. Πρόσθεση μουσικών διανυσμάτων Διακρίνουμε την πρόσθεση «ενεργεία» και την πρόσθεση «δυνάμει» των μουσικών διανυσμάτων. Η πρόσθεση «ενεργεία» αναφέρεται πάντοτε σε διαδοχικά μουσικά διανύσματα και είναι υλοποιήσιμη μουσικώς, δηλαδή εκτελείται στην πράξη επί συγκεκριμένων μουσικών διαστημάτων. Αυτό με ένα μουσικό παράδειγμα σημαίνει το εξής: ξεκίνησα από ένα συγκεκριμένο μουσικό ύψος και έπαιξα ένα ανιόν διάστημα διατεσσάρων και στη συνέχεια έπαιξα ένα ανιόν διάστημα διαπέντε. Άρα έπαιξα συνολικά ένα ανιόν διάστημα διαπασών και βρέθηκα σε διπλάσιο μουσικό ύψος του αρχικού. Δοθέντων, λοιπόν, δύο τουλάχιστον διαδοχικών μουσικών διανυσμάτων, καλούμε άθροισμα αυτών το μουσικό διάνυσμα το οποίο έχει αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του τελευταίου. Δηλαδή OB OA + AB κατά το Σχήμα.7. Σχήμα.7: Πρόσθεση «ενεργεία» δύο διαδοχικών μουσικών διανυσμάτων. Η πρόσθεση «δυνάμει» αναφέρεται πάντοτε σε μη διαδοχικά μουσικά διανύσματα, δεν έχει υλοποιήσιμο χαρακτήρα παρά έχει ένα χαρακτήρα αφορισμού. Αυτό με ένα μουσικό παράδειγμα σημαίνει το εξής: Κάθε φορά που προσθέτουμε λ.χ. έναν επόγδοο τόνο σε ένα οποιοδήποτε διατεσσάρων διάστημα, προκύπτει ένα διαπέντε διάστημα. Αυτό είναι ένας αφορισμός, μία λογική πρόταση αληθής, που ισχύει για όλα τα μουσικά διαστήματα, χωρίς, όμως, να αναφέρεται σε κάποια συγκεκριμένα. Επειδή ωρισμένες φορές δεν είναι τόσο οφθαλμοφανές το αποτέλεσμα της προσθέσεως «δυνάμει», ενεργούμε ωσάν να εκτελούμε πρόσθεση «ενεργεία», εκκινούντες από ένα αυθαιρέτως επιλεγμένο μουσικό ύψος και καθιστώντες τα δοθέντα μουσικά διανύσματα διαδοχικά. Διακρίνουμε τις εξής δύο περιπτώσεις προσθέσεως «δυνάμει» μουσικών διανυσμάτων:

16 Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός 6 η Περίπτωση Γ και ΕΖ (Σχήμα.8). Θα έχουμε OB OA + AB, όπου OA παράλληλο, ομόρροπο και ίσο με το Γ (αντιμεέστω ότι έχουμε τα μη διαδοχικά μουσικά διανύσματα τωπίζεται ως ελεύθερο μουσικό διάνυσμα) και AB παράλληλο, ομόρροπο και ίσο με το ΕΖ (αντιμετωπίζεται ως ελεύθερο μουσικό διάνυσμα). Σχήμα.8: Πρόσθεση «δυνάμει» δύο μη διαδοχικών μουσικών διανυσμάτων. η Περίπτωση Έστω ότι έχουμε να προσθέσουμε δύο μουσικά διανύσματα, τα οποία έχουν κοινή αρχή (Σχήμα.9). Άθροισμα αυτών των δύο μουσικών διανυσμάτων είναι η διαγώνιος του παραλληλογράμμου που κατασκευάζεται με πλευρές τα δοθέντα δύο μουσικά διανύσματα και η οποία (διαγώνιος) έχει ως αρχή την κοινή αρχή Ο(,) αυτών. Η μέθοδος του παραλληλογράμμου αποτελεί μια διαδικασία με την οποία καθιστούμε τα δύο μουσικά διανύσματα διαδοχικά, εάν σκεφθεί κανείς ότι οι απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου είναι παράλληλες και ίσες και, διανυσματικώς, παριστούν ανά δύο ίσα μουσικά διανύσματα (αντιμετωπιζόμενα ως ελεύθερα μουσικά διανύσματα).

17 Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής 7 Σχήμα.9: Πρόσθεση «δυνάμει» δύο μουσικών διανυσμάτων που έχουν κοινή αρχή. Εάν περισσότερα από δύο μουσικά διανύσματα έχουν κοινή αρχή, το άθροισμά τους βρίσκεται ως εξής: Βρίσκουμε το άθροισμα δύο εξ αυτών, κατόπιν το άθροισμα του αθροίσματος των δύο προηγουμένων με το τρίτο κ.ο.κ. Η περίπτωση αυτή είναι μουσικώς μη υλοποιήσιμη... Αφαίρεση δύο μουσικών διανυσμάτων Διακρίνουμε την αφαίρεση «ενεργεία» και την αφαίρεση «δυνάμει» των μουσικών διανυσμάτων. Η αφαίρεση «ενεργεία» αναφέρεται πάντοτε σε διαδοχικά μουσικά διανύσματα και είναι μουσικώς υλοποιήσιμη, ενώ η αφαίρεση «δυνάμει» αναφέρεται πάντοτε σε μη διαδοχικά μουσικά διανύσματα, είναι μουσικώς μη υλοποιήσιμη και έχει ένα χαρακτήρα αφορισμού. Για να πραγματοποιήσουμε γραφικά την αφαίρεση «δυνάμει» δύο δοθέντων μουσικών διανυσμάτων, τα αντιμετωπίζουμε ως ελεύθερα μουσικά διανύσματα και τα καθιστούμε κοινής αρχής επί ενός αφθαιρέτως επιλεγμένου κόμβου του δικτυωτού. Τότε διαφορά αυτών είναι η διαγώνιος του παραλληλογράμμου με πλευρές τα δύο δοθέντα μουσικά διανύσματα, η οποία ΔΕΝ διέρχεται από τον κοινή τους αρχή και έχει φορά από το πέρας του αφαιρετέου προς το πέρας του μειωτέου (Σχήμα.).

18 Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός 8 Γ και OB, τα οποία ούτε διαδοχικά είναι, ούτε έχουν κοινή αρχή. Η διαφορά «δυνάμει» αυτών AB OB Γ είναι εξ Έστω ότι έχουμε τα δύο μουσικά διανύσματα ορισμού ένα μουσικό διάνυσμα το οποίο, εάν προστεθεί στο Γ, θα μας δώσει το OB. Σχήμα.: Αφαίρεση «δυνάμει» δύο μουσικών διανυσμάτων που δεν έχουν κοινή αρχή. Αφαίρεση «ενεργεία» δύο μουσικών διανυσμάτων. Μπορούμε να εργασθούμε με δύο τρόπους. ος τρόπος Ενεργούμε, όπως στην αφαίρεση «δυνάμει» των δύο μουσικών διανυσμάτων και, όταν βρούμε τη διαφορά, την αντιμετωπίζουμε ως ελεύθερο μουσικό διάνυσμα και λαμβάνουμε ίσο προς αυτήν μουσικό διάνυσμα με αρχή την αρχή του πρώτου μουσικού διανύσματος (μειωτέου) (Σχήμα.). Το διάνυσμα AB καλείται διαφορά των δύο διανυσμάτων OB και Γ. Το διάνυσμα OB καλείται μειω- τέος, διότι θα μειωθεί. Το διάνυσμα Γ καλείται αφαιρετέος, διότι θα αφαιρεθεί.

19 Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής 9 Σχήμα.: Αφαίρεση «ενεργεία» δύο διαδοχικών μουσικών διανυσμάτων. ος τρόπος Η έκφραση β α μπορεί να γραφεί ισοδυνάμως ως σημαίνει ότι, προκειμένου να αφαιρέσουμε το μουσικό διάνυσμα νυσμα β, προσθέτουμε στο μουσικό διάνυσμα β α, δηλαδή το μουσικό διάνυσμα α ( ). Αυτό β α β + α α από το μουσικό διά- το αντίθετο του μουσικού διανύσματος (Σχήμα.).

20 Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός Σχήμα.: Αφαίρεση «ενεργεία» δύο διαδοχικών μουσικών διανυσμάτων... Πολλαπλασιασμός μουσικού διανύσματός επί ακέραιο αριθμό (βαθμωτός πολλαπλασιασμός μουσικού διανύσματος) A(, ) σε έναν κόμβο B(, ) του δικτυωτού (Σχήμα.) και ένας ακέραιος αριθμός λ (λ Z ). Έστω το μουσικό διάνυσμα τού, AB από τον κόμβο Το διάνυσμα λ AB είναι μουσικό εφ όσον ξεκινά από κόμβο και καταλήγει σε κόμβο του δικτυω- AB, εάν λ>, AB, εάν λ<, είναι ομόρροπο του είναι αντίρροπο του έχει δε μέτρο ίσο προς λ AB λ ( ) λ ( ).

21 Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής Σχήμα.: Βαθμωτός πολλαπλασιασμός μουσικού διανύσματος επί ακέραιο θετικό αριθμό... Διαίρεση μουσικού διανύσματος δια ακεραίου αριθμού A(, ) σε έναν κόμβο B(, ) του δικτυωτού (Σχήμα.) και ένας ακέραιος αριθμός λ (λ Z ). Έστω το μουσικό διάνυσμα Το διάνυσμα τού, AB από τον κόμβο AB λ είναι μουσικό εφ όσον ξεκινά από κόμβο και καταλήγει σε κόμβο του δικτυω- είναι ομόρροπο του είναι αντίρροπο του AB, εάν λ>, AB, εάν λ<,

22 Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός έχει δε μέτρο ίσο προς AB λ ( ) λ ( ) λ Σχήμα.: Διαίρεση μουσικού διανύσματος δια ακεραίου θετικού αριθμού... Διαστηματική ανάλυση βρόχου επί του αντιστρόφου δικτυωτού Όπως έχει ήδη λεχθεί, κάθε κόμβος της Ψυχής Κόσμου επί του αντιστρόφου δι- ( ) κτυωτού εκφράζεται δι ενός ακεραίου Πυθαγορείου αριθμού, Z και παριστά ένα μήκος χορδής. Μετακίνηση από κόμβου εις κόμβον του αντιστρόφου δικτυωτού εκφράζει ένα μουσικό διάστημα, το οποίο υπολογίζεται από τον λόγο του αριθμού του κόμβου αφίξεως δια του αριθμού του κόμβου εκκινήσεως Lαφίξεως L εκκινήσεως.

23 Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής Μετακίνηση από κόμβο μικρού αριθμού προς κόμβο μεγαλυτέρου αριθμού σημαίνει μετακίνηση από μικρό μήκος δονουμένου τμήματος χορδής προς μεγαλύτερο, δηλαδή εκτέλεση ενός καθοδικού μουσικού διαστήματος. Οι στοιχειώδεις μετακινήσεις μεταξύ των κόμβων του αντιστρόφου δικτυωτού πραγματοποιούνται εντός ενός απλού βρόχου (σχήμα.5) είναι οι: Μετακίνηση κατακορύφως μεταξύ δύο διαδοχικών κόμβων συνεπάγεται εκτέλεση ενός διαπέντε διαστήματος ανιόντος ή κατιόντος, αναλόγως της σχέσεως των αριθμών του κόμβου εκκινήσεως και του κόμβου αφίξεως. Μετακίνηση οριζοντίως μεταξύ των δύο διαδοχικών κόμβων συνεπάγεται εκτέλεση ενός διατεσσάρων διαστήματος. Μετακίνηση μεταξύ των διαγωνίων κόμβων (κάτω αριστερά- επάνω δεξιά) συνεπάγεται εκτέλεση ενός διαστήματος διαπασών. Μετακίνηση μεταξύ των διαγωνίων κόμβων (κάτω δεξιά- επάνω αριστερά) συνεπάγεται εκτέλεση ενός επογδόου διαστήματος. Σχήμα.5: Η γραφική παρουσίαση των τεσσάρων δυνατών κινήσεων μεταξύ των κόμβων ενός απλού βρόχου διπλασίων αριθμών. Οι μετακινήσεις μεταξύ κόμβων συνθετοτέρων βρόχων εκφράζουν μουσικά διαστήματα, το μέγεθος των οποίων προκύπτει δια της συνθέσεως ωρισμένων εκ των στοιχειωδών μετακινήσεως εντός του αντιστρόφου δικτυωτού κατά διανυσματικόν τρόπον, όπως θα δειχθεί κατωτέρω... Διανυσματική πρόσθεση πυθαγορείων μουσικών διαστημάτων. Τα μουσικά διαστήματα που αναφέρονται από τον Ιάμβλιχο στο πυθαγόρειο πείραμα στο χαλκοτυπείον.. Διαπασών συν έκαστον εκ των μουσικών διαστημάτων που αναφέρονται από τον Ιάμβλιχο στο πυθαγόρειο πείραμα στο χαλκοτυπείον.

24 Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός. Τα μουσικά διαστήματα διατονικόν τριημίτονον, αποτομή μείζονος τόνου, λείμμα. ( ) ( ) ) ( 7 ΚΙΤΡΙΝΟ ΙΑΤΟΝΙΚΟ ΤΡΙΗΜΙΤΟΝΟ AB ( ) ( ) ) ( ΚΟΚΚΙΝΟ ΤΟΝΟΥ ΑΠΟΤΟΜΗ ΜΕΙΖΟΝΟΣ AB

25 Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής 5 ( ) ( ) ) ( ΜΠΛΕ ΛΕΙΜΜΑ AB. Του δις διατεσσάρων προστιθεμένου εις τον μείζονα τόνον (επόγδοον), γεννάται το διαπασών. 5. Του δις διαπέντε προστιθεμένου εις το διαπασών και διατεσσάρων, γεννάται το δις διαπασών και διαπέντε. 6. Του δις διαπέντε προστιθεμένου εις το δις διατεσσάρων, γεννάται το δις διαπασών και του δις διατεσσάρων προστιθεμένου εις το δις διαπέντε, γεννάται το δις διαπασών. 7. Του δις διατεσσάρων προστιθεμένου εις το διαπέντε, γεννάται το διαπασών και διατεσσάρων.

26 6 Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός 8. Του δις διαπέντε προστιθεμένου εις το διατεσσάρων, γεννάται το διαπασών και διαπέντε. 9. Του δις διατονικού τριημιτόνου προστιθεμένου εις το χρωματικόν ημίτονον ή αποτομήν μείζονος τόνου, γεννάται το διαπέντε. ( ) ( ) ) ( ΜΠΛΕ ΙΣ ΙΑΤΟΝΙΚΟ ΤΡΙΗΜΙΤΟΝΟ AB

27 Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής 7 ( ) ( ) ) ( ΚΙΤΡΙΝΟ ΤΟΝΟΥ ΑΠΟΤΟΜΗ ΜΕΙΖΟΝΟΣ AB. Του πυθαγορείου διτόνου προστιθεμένου εις το διατονικόν ημίτονον ή λείμμα, γεννάται το διατεσσάρων. ( ) ( ) ) ( ΚΙΤΡΙΝΟ ΛΕΙΜΜΑ AB 7. Επίλογος Απευθυνόμενος προς τους φοιτητάς μου θα ήθελα αφενός μεν να τους θυμίσω τη λατινική ρήση «ignoramus et ignorabimus» [είμαστε και θα παραμείνουμε αδαείς] με την έννοια ότι υπάρχουν όρια στην ικανότητά μας να κατανοήσουμε τη φύση, αφετέρου δε να τους συμβουλέψω να μη διστάζουν να ασχολούνται με τα μεγάλα προβλήματα, διότι έτσι δεν αποκλείεται να ανακαλύψουν καθ οδόν κάτι το ενδιαφέρον.

«Ευθέα και Αντίστροφα δικτυωτά»

«Ευθέα και Αντίστροφα δικτυωτά» «Ευθέα και Αντίστροφα δικτυωτά» Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής Διευθυντής Εργαστηρίου Μουσικής Ακουστικής Τεχνολογίας, Τμήματος Μουσικών Σπουδών, Φιλοσοφικής Σχολής,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Β Γυμνασίου ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών είναι 1,2,3,4, Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός είναι: 0, 1, 2, 3, 4, Άρτιος αριθμός είναι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

«Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;»

«Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;» «Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;» Η έννοια «διάστημα» ως σχέσεως δύο αριθμών προς αλλήλους. Η σχέση μεταξύ δύο αριθμών στη Πυθαγόρειο θεωρία της Μουσικής και σ αυτήν ακόμη την Κατατομή Κανόνος του

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή 1 ΙΝΥΣΜΤ Εισαγωγή Το διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκε μέσα από τη στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. κανόνας του παραλληλόγραμμου, σύμφωνα με τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Γ Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Γ Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Ιδιότητες δυνάμεων:, Ιδιότητες ριζών:, ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ,,,, Ταυτότητες: αβ α 2αββ αβ 2αββ αβαβ α β αβ α 3α β3αβ β αβ α 3α β3αβ β ΠΡΟΣΟΧΗ!,,,,,, Όταν υψώνουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 1. Σπάμε ένα Διάνυσμα Έστω ότι έχουμε ένα διάνυσμα. Τότε αυτό μπορούμε να το σπάσουμε σε δύο (ή περισσότερα), παρεμβάλλοντας ανάμεσα στα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κατασκευή: Το μονόχορδο του Πυθαγόρα 2005-2006 Τόλιας Γιάννης Α1 Λ Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Α. Τσαγκογέωργα Περιεχόμενα: Τίτλος Εργασίας Σκοπός Υπόθεση (Περιγραφή Κατασκευής) Ορισμός Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή - Διανύσματα 25/7/2014

Μαθηματική Εισαγωγή - Διανύσματα 25/7/2014 Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορή Επίλυση βασικών μορών εξισώσεων Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Διανύσματα Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα 3.1 Έννοια διανύσματος Ορισμός 1 Ονομάζουμε Διάνυσμα ΑΒ ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με αρχή το Α και πέρας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Αδαμόπουλος Λεωνίδας Βισκαδουράκης Βασίλειος Γαβαλάς Δημήτριος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος

Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 1 Εισαγωγή Ο Νικόμαχος ο Γερασηνός στην πραγματεία του «Αριθμητική Εισαγωγή» αναφέρει ότι χαρακτηριστικά γνωρίσματα των όντων είναι το πλήθος και το μέγεθος. Το ορισμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Α Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Α Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Α Γυμνασίου ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο είναι μια καλώς ορισμένη συλλογή διαφορετικών μεταξύ τους αντικειμένων. Τα αντικείμενα που αποτελούν ένα σύνολο λέγονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύνολο C των Μιγαδικών Αριθμών Είναι γνωστό ότι η εξίσωση x δεν έχει λύση στο σύνολο IR των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ

ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ Στον τομέα της μουσικής η έρευνα του Αριστόξενου ήταν επαναστατική. Παραμέρισε τις έρευνες των πυθαγορείων

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

2. ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ SYNTHESIS ΣΤΗΝ ΑΠΟ ΟΣΗ ΤΩΝ ΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ Η ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ

2. ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ SYNTHESIS ΣΤΗΝ ΑΠΟ ΟΣΗ ΤΩΝ ΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ Η ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ 2. ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ SYNTHESIS ΣΤΗΝ ΑΠΟ ΟΣΗ ΤΩΝ ΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ Η ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ Tο σύστηµα γραφής που χρησιµοποιεί ο χρήστης στο πρόγραµµα Synthesis προσφέρει αρκετές από τις δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON 1 ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON Τι είναι «δύναμη»; Θα πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ότι ο όρος «δύναμη» στη Φυσική έχει αρκετά διαφορετική σημασία από ότι στην καθημερινή γλώσσα. Εκφράσεις όπως «τον χτύπησε με δύναμη»,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε.

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) Του Κώστα Βακαλόπουλου Στο άρθρο που ακολουθεί παραθέτουμε μια σειρά από ασκήσεις στις οποίες συνυπάρχουν άλλοτε αρμονικά και άλλοτε ανταγωνιστικά οι δύο βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Ι - Στατική

Μηχανική Ι - Στατική ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μηχανική Ι - Στατική Ενότητα #2: Δυνάμεις στο Επίπεδο Δρ. Κωνσταντίνος Ι. Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΙΝΗΣΗ ΣΩΜΑΤΙΟ Ή ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ Ή ΣΗΜΕΙΑΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ

Η ΚΙΝΗΣΗ ΣΩΜΑΤΙΟ Ή ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ Ή ΣΗΜΕΙΑΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ «Μπορούμε να παρομοιάσουμε τις έννοιες που δεν έχουν καμιά θεμελίωση στη φύση, με τα δάση εκείνα του Βορρά όπου τα δένδρα δεν έχουν καθόλου ρίζες. Αρκεί ένα φύσημα του αγέρα, ένα ασήμαντο γεγονός για να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα Φ. Καραντώνη, Δρ. Πολ. Μηχανικός Επίκουρος Καθηγήτρια 1 Σημαντική σημείωση Δεδομένου ότι θα διδαχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους, C, διανύσματα στο χώρο (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα