Άσκηση 2 Να βρεθεί η πραγματοποιηθείσα απόδοση της προηγούμενης άσκησης, υποθέτοντας ότι τα τοκομερίδια πληρώνονται δύο φορές το έτος.

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Άσκηση 1 Η ομολογία Β εκδόθηκε στο παρελθόν και έχει διάρκεια ζωής τρία ακόμη έτη. Η ονομαστική της αξία είναι ευρώ και το εκδοτικό της επιτόκιο είναι 8%. Τα τοκομερίδια πληρώνονται ετησίως. Η τρέχουσα τιμή της ομολογίας είναι 1.053,46 ευρώ (δηλαδή η ομολογία πουλιέται σήμερα υπέρ το άρτιο). Να βρεθεί η απόδοση που θα πραγματοποιηθεί εάν ένας επενδυτής αγοράσει την ομολογία αυτή σήμερα, την κρατήσει μέχρι να λήξει και επανεπενδύει τα τοκομερίδια με επιτόκιο 4%. Η συνολική μελλοντική ή τελική αξία της ομολογίας βρίσκεται εάν προσθέσουμε την ονομαστική της αξία (που είναι ευρώ) που θα εισπραχθεί στο τέλος του τρίτου έτους και το ποσό που θα συσσωρευθεί στο τέλος του τρίτου έτους από την επανεπένδυση των τοκομεριδίων με επιτόκιο 4% για τρία έτη. Το ποσό αυτό είναι η τελική αξία μίας ληξιπρόθεσμης σειράς πληρωμών (ράντας) με σταθερό όρο τα 80 ευρώ, επιτόκιο ανατοκισμού 4% και χρονική διάρκεια τριών ετών. Άρα, η συνολική μελλοντική αξία της ομολογίας είναι {1.000+[80 (3,1216)]=} 1.249,73 ευρώ. Οπότε έχουμε rcy = [(1.249,73/1.053,46) 1/3 ] 1,0 = (1,0586 1,0000) = 0,0586 ή 5,86%%. Από την παραπάνω ανάλυση γίνεται φανερό ότι η ομολογία αυτή θα έχει μικρότερη πραγματοποιηθείσα απόδοση απ ότι απόδοση στη λήξη, η οποία είναι 6%. Συνολικ ή Μελλοντικ ή Αξ ί α Οµολογ ί ας rcy = 1, 0 Τιµ ή Αγοράς Οµολογίας 1 n Άσκηση 2 Να βρεθεί η πραγματοποιηθείσα απόδοση της προηγούμενης άσκησης, υποθέτοντας ότι τα τοκομερίδια πληρώνονται δύο φορές το έτος. Παράδειγμα 4.6 Ένας επενδυτής αγοράζει μια πενταετή ομολογία στο άρτιο πληρώνοντας ευρώ. Τα τοκομερίδια της ομολογίας πληρώνονται στο τέλος κάθε έτους και το κάθε ένα από αυτά ισούται με 120 ευρώ (δηλαδή το εκδοτικό επιτόκιο είναι 12%). Μετά την είσπραξη του δεύτερου τοκομεριδίου, ο επενδυτής χρειάζεται μετρητά και αποφασίζει 1

2 να πουλήσει την ομολογία στη δευτερογενή αγορά. Το επίπεδο των επιτοκίων την περίοδο αυτή έχει διαμορφωθεί σε χαμηλότερα επίπεδα, έτσι ώστε τα νέα αξιόγραφα τα οποία έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά με το εξεταζόμενο αποδίδουν 9%. Ζητείται: (α) Ποιά θα είναι η νέα τιμή της ομολογίας στην αγορά; (β) Εάν πουλήσει ο επενδυτής την ομολογία στη νέα τιμή ποια θα είναι η πραγματοποιηθείσα απόδοση του επενδυτή; (α) Εάν ο ομολογιούχος κρατούσε την ομολογία μέχρι τη λήξη της (δηλαδή άλλα τρία έτη) θα είχε απόδοση στη λήξη ίση με 12%. Εάν τα επιτόκια δεν είχαν μεταβληθεί και οι νέες ομολογίες με τα ίδια χαρακτηριστικά απέδιδαν 12%, τότε ο επενδυτής θα πουλούσε την ομολογία του προς ευρώ. Σήμερα όμως οι ομολογίες αποδίδουν 9% και επομένως η τιμή της δεδομένης ομολογίας θα πρέπει να αυξηθεί έτσι ώστε να προσφέρει στον πιθανό αγοραστή της απόδοση 9%. Η νέα τιμή της ομολογίας στην αγορά θα πρέπει να ισούται με την εύλογη της αξία, η οποία είναι ίση με: P = IV = + + = 1.075,94 ( 1+ 0,09) ( 1+ 0,09) ( 1+ 0,09) Άρα, η τιμή της ομολογίας κινήθηκε αντίστροφα από την απόδοση στη λήξη της και, επομένως, το παράδειγμα αυτό αποδεικνύει το πρώτο θεώρημα του Malkiel. (β) Εφόσον ο επενδυτής αποφασίσει να πουλήσει την ομολογία θα την πουλήσει προς 1.075,94 ευρώ. Στην περίπτωση αυτή, η πραγματοποιηθείσα απόδοση θα είναι ίση με: , = + + ( 1+ k) ( 1+ k) ( 1+ k) 2 3 Λύνοντας ως προς k με τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων, βρίσκουμε ότι η πραγματοποιηθείσα απόδοση είναι περίπου 15,52%. Η απόδοση αυτή είναι μεγαλύτερη από την απόδοση στη λήξη, διότι ο επενδυτής πούλησε την ομολογία σε τιμή υψηλότερη από την ονομαστική της που την είχε αγοράσει. 2

3 Παράδειγμα 4.7 Ένας επενδυτής αγοράζει σήμερα δύο ομολογίες, την Α και τη Β, οι οποίες έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά, εκτός από τη διάρκεια ζωής τους. Η ομολογία Α έχει διάρκεια ζωής 3 έτη, ενώ η Β έχει διάρκεια ζωής 20 έτη. Και τα δύο αξιόγραφα αγοράζονται στην ονομαστική τους αξία (δηλαδή στο άρτιο) που είναι ευρώ. Το εκδοτικό επιτόκιο και των δύο αξιογράφων είναι 7%, τα δε τοκομερίδια καταβάλλονται μια φορά τον χρόνο. Άρα, και τα δύο αξιόγραφα προσφέρουν απόδοση στη λήξη ίση με 7%. Ένα έτος μετά την αγορά των αξιογράφων τα επιτόκια των νεοεκδιδομένων ομολογιών έχουν αυξηθεί στο 9%, οπότε οι τιμές των ομολογιών Α και Β στην αγορά θα πρέπει να μειωθούν έτσι ώστε να προσφέρουν στους πιθανούς αγοραστές τους αποδόσεις παρόμοιες με εκείνες που προσφέρουν αξιόγραφα με τα ίδια χαρακτηριστικά (δηλαδή 9%). Ζητείται: Ποιες θα είναι οι νέες τιμές των δύο ομολογιών στην αγορά; Ποιας ομολογίας η τιμή έχει υποστεί τη μεγαλύτερη ποσοστιαία μεταβολή, λόγω της μεταβολής των επιτοκίων από 7% σε 9%; Έχει περάσει ένα έτος από την έκδοση των ομολογιών Α και Β. Επομένως, η ομολογία Α έχει διάρκεια ζωής 2 έτη και η ομολογία Β έχει διάρκεια ζωής 19 έτη. Οι τρέχουσες αποδόσεις που απαιτούν οι επενδυτές για να αγοράσουν ομολογίες είναι 9%. Η τιμή των ομολογιών Α και Β στην αγορά θα ισούται με την εύλογη τους αξία και κατά συνέπεια θα είναι ίση με τη συνολική παρούσα αξία των ταμειακών τους εισροών. Επομένως, θα ισχύει: P = IV = C + C C + FV (1+ k) (1+ k) (1+ k) (1+ k) 0 2 n n P = + = 964, ,84 A t 2 1(1 + 0, 09) (1 + 0, 09) P = + = 821, , 01 B t 19 1(1 + 0, 09) (1 + 0, 09) 3

4 Από τα ανωτέρω γίνεται φανερό ότι η τιμή της ομολογίας με το μεγαλύτερο χρόνο λήξης (δηλαδή η Β) έχει τη μεγαλύτερη μεταβλητότητα, σε μεταβολές των επιτοκίων. Η μείωση της τιμής της ομολογίας Α είναι ( ,84=) 35,16 ευρώ, ενώ της Β είναι ( ,01=) 178,99 ευρώ. Άρα, η ποσοστιαία μείωση της τιμής της ομολογίας Α είναι (35,16/1.000=) 3,516%, ενώ της Β είναι (178,99/1.000=) 17,899%. Το παράδειγμα αυτό επαληθεύει το δεύτερο και το τρίτο θεώρημα του Malkiel. Η ομολογία Β έχει μεγαλύτερο χρόνο λήξης από την ομολογία Α και, επομένως, και μεγαλύτερη μεταβλητότητα. Αν και η ομολογία Β έχει σχεδόν το δεκαπλάσιο χρόνο λήξης απ ό,τι η ομολογία Α, η ποσοστιαία μεταβολή της τιμής της Β δεν ήταν δεκαπλάσια από την τιμή της Α, αλλά περίπου πενταπλάσια. Παράδειγμα 4.9 Ένας επενδυτής αγοράζει σήμερα δύο ομολογίες, την Α και τη Β, οι οποίες έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά, εκτός από το εκδοτικό τους επιτόκιο. Η ομολογία Α εκδίδεται σήμερα, ενώ η ομολογία Β έχει εκδοθεί στο παρελθόν. Η ομολογία Α έχει εκδοτικό επιτόκιο 10%, ενώ η ομολογία Β έχει εκδοτικό επιτόκιο 20%. Τα τοκομερίδια καταβάλλονται μια φορά τον χρόνο. Και τα δύο αξιόγραφα λήγουν μετά από 7 έτη και έχουν ονομαστική αξία ευρώ. Ο επενδυτής πληρώνει ευρώ για την αγορά της ομολογίας Α και 1.486,88 ευρώ για την αγορά της ομολογίας Β. Δηλαδή η ομολογία Α αγοράζεται στο άρτιο, ενώ η Β υπέρ το άρτιο. Οι τιμές που έχουν διαμορφωθεί στην αγορά είναι τέτοιες ώστε και τα δύο αξιόγραφα προσφέρουν απόδοση στη λήξη ίση με 10%. Ένα έτος μετά την αγορά των αξιογράφων τα επιτόκια των νεοεκδιδομένων ομολογιών έχουν μειωθεί στο 5%. Οπότε οι τιμές των ομολογιών Α και Β στην αγορά θα πρέπει να αυξηθούν έτσι ώστε να προσφέρουν στους πιθανούς αγοραστές τους αποδόσεις παρόμοιες με εκείνες που προσφέρουν αξιόγραφα με τα ίδια χαρακτηριστικά (δηλαδή 5%). Ζητείται: Ποιες θα ήταν οι νέες τιμές των δύο ομολογιών στην αγορά εάν δεν είχαν μεταβληθεί τα επιτόκια; Ποιας ομολογίας η τιμή έχει υποστεί τη μεγαλύτερη ποσοστιαία μεταβολή, λόγω της μεταβολής των επιτοκίων από 10% σε 5%; Έχει περάσει ένα έτος από την αγορά των ομολογιών Α και Β και, επομένως, η διάρκεια ζωής που απομένει στις δύο ομολογίες είναι 6 έτη. Οι τρέχουσες αποδόσεις που απαιτούν οι επενδυτές για να αγοράσουν ομολογίες σήμερα είναι 5%. Η τιμή 4

5 των ομολογιών Α και Β στην αγορά θα ισούται με την εύλογη ή δίκαιη αξία τους και, κατά συνέπεια, θα είναι ίση με τη συνολική παρούσα αξία των ταμειακών τους εισροών. Άρα, θα ισχύει: P = + = 1.253,77 A t 6 1(1 + 0,05) (1 + 0,05) P = + = 1.761,34 B t 6 1(1 + 0,05) (1 + 0,05) Εάν τα επιτόκια δεν είχαν μεταβληθεί και παρέμεναν στο 10%, η μεν ομολογία Α θα πουλιόταν στο άρτιο (δηλαδή προς ευρώ), η δε ομολογία Β θα πουλιόταν υπέρ το άρτιο και συγκεκριμένα προς P = + = 1.435,56 B t 6 1(1 + 0,10) (1 + 0,10) Παρατηρούμε ότι η τιμή της ομολογίας Α αυξήθηκε, λόγω της μείωσης των επιτοκίων, κατά (1.253, =) 253,77 ευρώ, ή κατά (253,77/1.000=) 25,38%. Η τιμή της ομολογίας Β αυξήθηκε για τον ίδιο λόγο κατά (1.761, ,56=) 325,78 ευρώ ή κατά (325,78/1.435,56=) 22,69%. Άρα, η ποσοστιαία αύξηση της τιμής της ομολογίας Α είναι μεγαλύτερη από την ποσοστιαία αύξηση της τιμής της ομολογίας Β. Η τιμή της ομολογίας με τα μικρότερα τοκομερίδια (δηλαδή η Α) έχει μεγαλύτερη μεταβλητότητα, σε μεταβολές των επιτοκίων απ ότι η τιμή της ομολογίας με τα μεγαλύτερα τοκομερίδια (δηλαδή η Β). Το παράδειγμα αυτό αποδεικνύει το πέμπτο θεώρημα του Malkiel. 5

6 Παράδειγμα 4.10 Ένας επενδυτής αγοράζει σήμερα μια ομολογία η οποία λήγει σε τρία έτη και η οποία έχει ονομαστική αξία ευρώ και εκδοτικό επιτόκιο 10%. Τα τοκομερίδια πληρώνονται μια φορά τον χρόνο. Ο επενδυτής κατέβαλε 1.051,50 ευρώ για την αγορά της ομολογίας, που σημαίνει ότι η απόδοση στη λήξη της ομολογίας είναι 8%. Ζητείται: Να υπολογισθεί η διάρκεια του Macaulay της ομολογίας. Έτος Ταμειακή Συντελεστής Παρούσα αξία Εισροή προεξόφλησης 8% (1) (2) (3) (4) = (2) (3) (5)=(4)/Τιμή (6)=(1) (5) , ,59 0,0881 0, , ,73 0,0815 0, , ,18 + 0, , ,50 = Τιμή 1,0000 D = 2,7423 Άρα, η διάρκεια του Macaulay της ομολογίας αυτής είναι 2,7423 έτη. Ο αριθμός αυτός δείχνει το μέσο χρόνο που χρειάζεται για να επανακτηθούν τα 1.051,50 ευρώ που έδωσε ο επενδυτής για να αγοράσει την ομολογία. Παράδειγμα 4.11 Ένας επενδυτής αγοράζει σήμερα μια ομολογία στο άρτιο, η οποία λήγει μετά από πέντε έτη και η οποία έχει ονομαστική αξία ευρώ και εκδοτικό επιτοκίο 8%. Τα τοκομερίδια πληρώνονται κάθε έξι μήνες. Ζητείται: Να υπολογιστεί η διάρκεια του Macaulay της ομολογίας. Ο επενδυτής αγόρασε την ομολογία στο άρτιο. Άρα, η τιμή αγοράς της ομολογίας ισούται με την ονομαστική της τιμή που είναι ευρώ. Το ετήσιο ονομαστικό επιτόκιο της ομολογίας είναι 8%, ενώ το εξαμηνιαίο είναι 4%. Οπότε ο επενδυτής εισπράττει κάθε εξάμηνο ευρώ. Στην περίπτωση αυτή, η διάρκεια του Macaulay της ομολογίας υπολογίζεται ως εξής: 6

7 Έτος Ταμειακή Συντελεστής Παρούσα Εισρoή προεξόφλησης 4% αξία (1) (2) (3) (4)=(2) (3) (5)=(4)/Τιμή (6)=(1) (5) 0,5 0, ,460 0, ,0192 1,0 0, ,984 0, ,0370 1,5 0, ,560 0, ,0533 2,0 0, ,192 0, ,0684 2,5 0, ,876 0, ,0822 3,0 0, ,612 0, ,0948 3,5 0, ,396 0,030 0,1064 4,0 0, ,228 0, ,1169 4,5 0, ,104 0, ,1265 5, , ,624 +0, , ,000=Τιμή 1,00000 D=4,2178 Άρα, η διάρκεια του Macaulay της ομολογίας αυτής είναι 4,2178 έτη. Ο αριθμός αυτός δείχνει το μέσο χρόνο που χρειάζεται για να επανακτηθούν τα ευρώ που έδωσε ο επενδυτής για να αγοράσει την ομολογία. Άσκηση 3 Ένας επενδυτής αγοράζει σήμερα μια ομολογία η οποία λήγει σε τρία έτη και η οποία έχει ονομαστική αξία ευρώ και εκδοτικό επιτόκιο 5%. Τα τοκομερίδια πληρώνονται μια φορά τον χρόνο. Ομολογίες με τα ίδια χαρακτηριστικά με την ανωτέρω ομολογία προσφέρουν στους ομολογιούχους αποδόσεις στη λήξη 4%. Ζητείται: (α) Να υπολογισθεί η τιμή αγοράς της ομολογίας. (β) Να υπολογισθεί η διάρκεια του Macaulay της ομολογίας. (γ) Να βρεθεί η μεταβολή στην τιμή της ομολογίας η οποία θα προέλθει από μια αύξηση των επιτοκίων από 4% σε 4,20%, χρησιμοποιώντας την τροποποιημένη διάρκεια. Ποια θα είναι η νέα τιμή της ομολογίας; 7

8 Έτος (1) Ταμειακή Εισροή (2) Συντελεστής προεξόφλησης 4% (3) Παρούσα αξία (4) = (2) (3) (5)=(4)/Τιμή (6)=(1) (5) , ,08 0,0468 0, , ,23 0,0450 0, , ,45 0,9082 2, ,75 1 2,8615 Η τιμή αγοράς της ομολογίας είναι 1.027,75 ευρώ. Η διάρκεια του Macaulay της ομολογίας είναι 2,8615 έτη. Η ποσοστιαία μεταβολή της τιμής της ομολογίας δίνεται από τον τύπο: P 2,8615 ( 0,042 0,0) 100 = P 1 0,04 0 ( + ) ( ) ( ) = 2,7514 0, = 0,5503 Ο ανωτέρω τύπος μάς δίνει ότι η τροποποιημένη διάρκεια της ομολογίας είναι 2,7514 έτη και ότι η τιμή της ομολογίας θα μειωθεί περίπου κατά 0,55%. Επειδή η τιμή της ομολογίας στην αγορά πριν από τη αύξηση των επιτοκίων ήταν 1.027,75 ευρώ, τώρα θα είναι κατά προσέγγιση ίση με P = [(1.027,75) [1-(0,5503/100)]=1.022,0945 ] 1.022,09 ευρώ. Με τιμή αγοράς της ομολογίας τα 1.022,09 ευρώ, η απόδοση που θα επιτύχει ο δυνητικός αγοραστής της ομολογίας στη λήξη της είναι περίπου 4,2% και είναι αντίστοιχη με τις αποδόσεις που προσφέρουν ομολογίες με τα ίδια χαρακτηριστικά στην αγορά. 8