Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Transcript

1 Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα4: Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Τυχαίες Μεταβλητές. Διακριτές 3. Μέτρα Θέσης και Διασποράς Κατανομών Μέση Τιμή Διακύμανση και Τυπική Απόκλιση 4. Πιθανότητας 5. Κατανομή Posso Χ. Εμμανουηλίδης, Τυχαίες Μεταβλητές Τυχαία μεταβλητήή στοχαστική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση Χ: S R, η οποία σε κάθε στοιχείο sτου δειγματικού χώρου S αντιστοιχεί έναν και μόνο έναν πραγματικό αριθμό Χ(s). Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα, π.χ. Χ Οιτιμές της Χσυμβολίζονται με μικρό γράμμα, Διακριτές Μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να είναι διακριτή ή συνεχής: Μια διακριτή τυχαία μεταβλητήμπορεί μπορεί να λάβει είτε πεπερασμένο αριθμό τιμών είτε μια άπειρη ακολουθία (διακριτών) τιμών. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή μπορεί να λάβει οποιαδήποτε τιμήσε ένα ή περισσότερα διαστήματα πραγματικών αριθμών. 3 4 Παράδειγμα Έστω διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ αριθμός ελαττωματικών προϊόντων σε δείγμα μεγέθους 3 από πληθυσμό όπου το 0% είναι ελαττωματικά προϊόντα. Δυνατές τιμές: {,, 3, 4 } {0,,,3}. Κάθε τιμή της Χέχει μια πιθανότητα, Ρ( )ή Ρ(Χ ). Ας την υπολογίσουμε. Παράδειγμα Τυχαίο πείραμα: λήψη τριών στοιχείων με επανατοποθέτησηαπό τον πληθυσμό (ή χωρίς επανατοποθέτηση αν ο πληθυσμός είναι πολύ μεγάλος) και μέτρηση πόσων από αυτά είναι ελαττωματικά. Ας καταγράψουμε τα αποτελέσματα και τις πιθανότητες με ένα δένδρο πιθανότητας. Ενδεχόμενα: Ε : {Λήψη ελαττωματικού}, Κ : {Λήψη μη ελαττωματικού}, Θέστε την πιθανότητα λήψης ελαττωματικού ίση με p 5 p ; p 0 6 PDF processed wth CutePDF evaluato edto

2 έντρο ιθανότητας Κατανοµή ιθανότητας Λήψη η Κ (-p) Λήψη η Κ (-p) Κ (-p) Λήψη 3η Κ (-p) Κ (-p) Κ (-p) Κ (-p) Ανεξαρτησία λήψεων Α οτέλ. ΕΕΕ ΕΕΚ ΕΚΕ ΕΚΚ ΚΕΕ ΚΕΚ ΚΚΕ ΚΚΚ Τιµή της 3 0 Πιθανότ. p 3 p (-p) p (-p) p(-p) p (-p) p(-p) p(-p) (-p) 3 7 Α οτέλ. ΕΕΕ ΕΕΚ ΕΚΕ ΕΚΚ ΚΕΕ ΚΕΚ ΚΚΕ ΚΚΚ Τιµή Πιθανότ. της 3 p 3 0 p (-p) p (-p) p(-p) p (-p) p(-p) p(-p) (-p) 3 Ρ() 0 (-p) 3 (8) 3 5 3p(-p) 3()(8) 384 3p (-p) 3() (8) p 3 () Σύνολο: ) Δειγματικός Χώρος και Τιμές της τ.μ. Χ 0 KKK ΕKΚ KΕΚ ΚKΕ 3 EEE ΕEΚ ΚΕE EΚΕ S Ρ(0) 5 4 Ρ() 384 Ρ() 096 Ρ(3) 008 ) Κατανοµή ιθανότητας Ρ() 0 (-p) 3 5 3p(-p) 384 3p (-p) p Τρόποιμε τους οποίους μπορεί να προκύψει η τιμή Γενικός τύπος για την πιθανότητα του προβλήματός μας! ) p ( p)!( )! ( ) Πλήθος λήψεων, 3 p ( p) Πιθανότητα κάθε τρόπου με τον οποίο μπορεί να προκύψει η τιμή 0 ( ) Κατανοµή ιθανότητας Διακριτές Ρ() 0 (-p) 3 5 3p(-p) 384 3p (-p) p Διάγραμμα της Κατανομής Πιθανότητας Πιθανότητα ) Τιµές της τ.µ. Έστω διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ με πεδίο τιμών σε αύξουσα σειρά {,,, }. Κάθε τιμή της Χέχει μια πιθανότητα, Ρ( )ή Ρ( Χ ). Κατανομή πιθανότητας της Χ είναι η συνάρτηση Ρ η οποία σε κάθετιμή τηςχαντιστοιχείτηνπιθανότητα Ρ( ) Ρ(Χ ),έτσιώστε α)ρ( ) 0 γιακάθε, β) P ( ),,,, (καλείται επίσης συνάρτηση πιθανότητας ή συνάρτηση μάζας πιθανότητας).

3 Διακριτές Διακριτές Παράδειγμα: Από ιστορικά δεδομένα πωλήσεων(αριστερό μέρος πίνακα) προέκυψε η παρακάτω κατανομή πιθανότηταςγια τις ημερήσιες πωλήσεις (δεξιό μέρος πίνακα): Μονάδες # ηµερών ) Παράδειγμα: Διάγραμμα της Κατανομής Πιθανότητας Πιθανότητα ) Τιµές της τ.µ. (ηµερήσιες ωλήσεις ) 4 Διακριτές H αθροιστική κατανομή πιθανότητας της τ.μ. Χ, είναι η συνάρτησηfπουαντιστοιχείσεκάθετιμή της Χτην αθροιστική πιθανότηταρ(χ ), F ) ) ( ( ονομάζεται και αθροιστική συνάρτηση πιθανότηταςή συνάρτηση κατανομής ) Η πιθανότητα Ρ( Χ )είναι αθροιστική, P ( ) ) j j γιατί το ενδεχόμενο { Χ } είναι η ένωση των ασυμβίβαστων ενδεχομένων {Χ j }γιακάθε j,όπου j και j (οι τιμές είναι διατεταγμένες σε αύξουσα σειρά). 5 Διακριτές Ιδιότητες αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας: Ι. 0 F( ),γιακάθε Ι. γιακάθε j ισχύειf( ) F( j ) Ι3. F( )-F( - )Ρ( ) Από τις ιδιότητες αυτές προκύπτει πως η αθροιστική συνάρτηση κατανομής μια διακριτής τ.μ. είναι μια κλιμακωτή συνάρτηση. 6 Διακριτές Παράδειγμα: Ημερήσιες πωλήσεις ΔιάγραμματηςΑθροιστικής ) F() F() Κατανομής Πιθανότητας Αθρ. Πιθανότητα }0) } ) Τιµές της τ.µ. (ηµερήσιες ωλήσεις) 7 Διακριτές Εκτίμηση κατανομής πιθανοτήτων διακριτής τ.μ. Έστω παρατηρήσεις μιας διακριτής τ.μ. Χ. Η κατανομή πιθανοτήτων της Χ με βάση τον πληθυσμό (που ονομάζεται και θεωρητική κατανομή) προσεγγίζεται με την κατανομή των σχετικών συχνοτήτων των παρατηρούμενων τιμών της Χ, που ονομάζεται εμπειρική κατανομή. f σχετική συχνότητα της τιμής Όσο αυξάνει το πλήθος των παρατηρήσεων, τόσο πλησιάζει η εμπειρική κατανομή αυτήν του πληθυσμού. f ) lm 8 3

4 Μέτρα Θέσης και Διασποράς Διακριτών Κατανομών Κύριο μέτρο θέσης είναι η αναμενόμενηή μέση τιμή και κύριο μέτρο διασποράς είναι η διακύμανση. Αναμενόμενητιμήδιακριτής τ.μ. Χ : E ( ) µ ) Διακύμανσηδιακριτής τ.μ. Χ: Var H τυπική απόκλιση, σ Χ,ορίζεται ως σ Var( ) [ ] ( E( )) ) E ( E( )) ( ) σ 9 Μέτρα Θέσης και Διασποράς Διακριτών Κατανομών Παράδειγμα: Μέση τιμή ημερήσιων πωλήσεων ) ) E() ).0 Οι αναμενόμενες ημερήσιες πωλήσεις είναι. μονάδες 0 Μέτρα Θέσης και Διασποράς Διακριτών Κατανομών Παράδειγμα: Διακύμανση και τυπική απόκλιση ημερήσιων πωλήσεων -µ Χ ( -µ Χ ) ) (-µ Χ ) ) σ Η διακύμανση των ημερήσιων πωλήσεων είναι.66 μονάδες στο τετράγωνο. Η τυπική απόκλιση είναι.9 μονάδες. Μέση Τιμή Εκτίμηση της μέσης τιμής διακριτής τ.μ. ΈστωπαρατηρήσειςτηςΧμεδυνατέςτιμές. Κάθεπαρατηρούμενητιμή έχεισχετικήσυχνότηταf /. Για πολύ μεγάλο πλήθος παρατηρήσεων ( ), η σχετική συχνότηταf /προσεγγίζειτηνπιθανότηταρ( ). Άρα f lm ) E( ) lm E( ) Πρακτικά, για μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων ( > 50 ) η μέση τιμή διακριτής τ.μ. εκτιμάται ικανοποιητικά από τον αριθμητικό μέσο. Ιδιότητες της μέσης τιμής Μέση Τιμή Οι παρακάτω ιδιότητες προκύπτουν από την εφαρμογή του ορισμού της μέσης τιμής και ισχύουν και για διακριτές και για συνεχείς τ.μ. Ι. Αν α σταθερά, και για κάθε τιμή μιας τ.μ. Χ ισχύει α, τότε E() α Ι. Αν α σταθερά, τότε Ε(αΧ) αε(χ) Ι3. ΑνΧκαιΥ δύοτ.μ.,τότε Ε(Χ+Υ) Ε(Χ) +Ε(Υ) Για>τ.μ. E E( ) 3 Ιδιότητες της μέσης τιμής Μέση Τιμή Ι4. Αν Χκαι Υδύο τ.μ. και ακαι βδύο σταθερές, και Υ α Χ + β, τότε Ε(Υ) α Ε(Χ) + β Ι5.Αν Χκαι Υδύο τ.μ.με Υ g()(δηλαδήηyείναι συνάρτηση της Χ),τότε Ε(Υ) Ε(g()). Παρατήρηση: Αν η g() είναι μη γραμμική συνάρτηση της Χ, τότε Ε(g()) g(ε()). Αν είναι γραμμική, ισχύει Ε(g()) g(ε()). Ι6. Ε(Χ-Ε(Χ) )0 Από αυτήν την ιδιότητα προκύπτει ότι αν εκτιμήσουμε την τ.μ. Χ με την μέσητιμήτης Ε(Χ),ημέσητιμήτωνσφαλμάτωνπρόβλεψηςθαείναι 4 4

5 Ιδιότητες της μέσης τιμής Μέση Τιμή Ι7. Αν οι τ.μ. Χ, Χ,, Χ είναι ανεξάρτητες, και Ρ είναι το γινόμενό τους,ρχ Χ Χ,τότεισχύει EP ( ) E (... ) E ( ) E ( )... E ( ) E ( ) Ορισμός: Δύο ή περισσότερες τ.μ. Χ, Χ,, Χ είναι στοχαστικά ανεξάρτητες ή απλά ανεξάρτητες αν η πιθανότητα της μιας να λάβει οποιαδήποτε τιμή δεν επηρεάζεται από την τιμή που λαμβάνει κάθε άλλη από αυτές τις τυχαίες μεταβλητές. 5 Διακύμανση Εκτίμηση της διακύμανσης διακριτής τ.μ. ΈστωπαρατηρήσειςτηςΧμεκδυνατέςτιμές. Το είναι ικανοποιητικά μεγάλο ώστε να μπορεί να εκτιμηθεί η Ε(Χ) με τον αριθμητικό μέσο. Οι πιθανότητες Ρ( ) εκτιμούνται από τις παρατηρούμενες σχετικέςσυχνότητες f /. Aπό αυτές τις δύο εκτιμήσεις, η διακύμανση μπορεί να εκτιμηθεί με τη δειγματική διακύμανση s ( ) f 6 Διακύμανση Εκτίμηση της διακύμανσης διακριτής τ.μ. Για μικρό μέγεθος δείγματος, <00, η διακύμανση πρέπει να εκτιμηθεί με τον αμερόληπτο εκτιμητή της ( ) f s Όσο το μέγεθος του δείγματος αυξάνει η δειγματική διακύμανση προσεγγίζει την διακύμανση του πληθυσμού (ή θεωρητική διακύμανση). Διακύμανση Ιδιότητες της διακύμανσης Ι. Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Var( ) E( ) E( ) Ι. Var(+c) Var() όπου c σταθερά Ι3. Var(c) c Var()όπουcσταθερά 7 8 Διακύμανση Ιδιότητες της διακύμανσης I4. Ανοι τ.μ. Χ, Χ,, Χ είναι ανεξάρτητες, και Sείναι το άθροισμά τους, S Χ + Χ + + Χ, τότεισχύει Var(S)Var(Χ )+Var(Χ )+ +Var(Χ ) Τυποποιημένη Τυχαία Μεταβλητή ΑνΧείναιοποιαδήποτετ.μ.,ητυχαίαμεταβλητήΖπου ορίζεται από τη σχέση E( ) Z Var( ) ονομάζεται τυποποιημένη ή τυπική τυχαία μεταβλητή και έχει μέση τιμή Ε(Ζ)0 και διακύμανση Var(Z)

6 Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Διακριτές Κατανομές Πιθανότητας. Είναι μαθηματικά μοντέλα κατανομών πιθανοτήτων οι οποίες προκύπτουν από τη Θεωρία Πιθανοτήτων κάνοντας ορισμένες υποθέσεις.. Περιγράφουν πραγματικές συμπεριφορές μεταβλητότητας τυχαίων μεταβλητών. 3. Σε πειράματα μέτρησης μιας τυχαίας μεταβλητής Χ, αν οι υποθέσεις κάτω από τις οποίες μια θεωρητική κατανομή προκύπτει ισχύουν για το δεδομένο πείραμα, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη θεωρητική κατανομή ως μοντέλογια την κατανομή πιθανοτήτων της μεταβλητής που μετρούμε. 3 3 Πιθανότητας Χαρακτηριστικά Δυωνυμικών Τυχαίων Μεταβλητών και Δυωνυμικών Πειραμάτων α) Το πείραμα αποτελείται από πανομοιότυπες δοκιμές (επαναλήψεις) β) Σε κάθε δοκιμή υπάρχουν μόνο δύο δυνατά αποτελέσματα. Το ένα καλείται επιτυχίακαιτο άλλο αποτυχία. γ) Η πιθανότητα επιτυχίας παραμένει σταθερή από δοκιμή σε δοκιμή. Η πιθανότητα επιτυχίας συμβολίζεται με p και η πιθανότητα αποτυχίας συμβολίζεται με q-p. δ)οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες ε) Η δυωνυμική τ.μ. Χ μετρά τον αριθμό των επιτυχιών σε δοκιμές Δοκιμές που ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες: Ανεξάρτητες δοκιμές Με σταθερή πιθανότητα επιτυχίας εξασφαλίζονται Είτε όταν το δείγμα (σύνολο δοκιμών) έχει ληφθεί από τον πληθυσμό με επανάθεση Είτε το μέγεθος του πληθυσμού είναι πολύ μεγάλο σε σχέση με το μέγεθος του δείγματος, ώστε η πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε λήψη να μπορεί να θεωρηθεί σταθερή και ίση με p Πρακτικός κανόνας: η συνθήκη της ανεξαρτησίας κανοποιείται όταν/n 05(δείγμα μικρότερο ή ίσο με το 5% του πληθυσμού). 35 Ο αριθμός Χτων επιτυχιών σε τέτοιες δυωνυμικέςδοκιμές είναι μια τυχαία μεταβλητή με τιμές {0,,,} και έχει κατανομή πιθανοτήτων την δυωνυμική κατανομή πιθανότητας (Bomal dstrbuto) με παραμέτρους και p! ) p ( p) p ( p)!( )! ( ) ( ) ) ΠιθανότηταΧ επιτυχιών Μέγεθος δείγματος (αριθμός δοκιμών) p Πιθανότητα επιτυχίας Αριθμός επιτυχιών στο δείγμα ( 0,,,..., ) 36 6

7 Αθροιστική δυωνυμική κατανομή πιθανότητας (Cumulatve bomal dstrbuto) υωνυµική Κατανοµή Χρήση Πίνακα Δυωνυμικής Κατανομής Πιθανότητας! ) p ( p)!( )! 0 ( ) ) Αθροιστική πιθανότητα επιτυχιών Μέγεθος δείγματος (αριθμός δοκιμών) p Πιθανότητα επιτυχίας, Αριθμός επιτυχιών στο δείγμα (, 0,,,..., ) ( ) 37 p ~ B( 3, ) P ( ) ) υωνυµική Κατανοµή Χρήση Πίνακα Δυωνυμικής Κατανομής Πιθανότητας p Η δυωνυμική κατανομή καθορίζεται πλήρως από τα και p, τα οποία ονομάζουμε παραμέτρους της κατανομής. Το ότι μια τ.μ. Χ κατανέμεται σύμφωνα με μια δυωνυμική κατανομή που έχει παραμέτρους και p συμβολίζεται ως Χ B(,p) Μέση τιμή της δυωνυμικής κατανομής: µ E( ) p Διακύμανση της δυωνυμικής κατανομής: ~ B( 3, 35) P ( 3) 3) σ Var( ) p( p) 40 Χαρακτηριστικά της Δυωνυμικής Κατανομής: Για p<5 η δυωνυμική κατανομή έχει δεξιά λοξότητα Για p5 η δυωνυμική κατανομή είναι συμμετρική Για p>5 η δυωνυμική κατανομή έχει αριστερή λοξότητα Όσο ο αριθμός των δοκιμών αυξάνει η δυωνυμική κατανομή τείνει να γίνει συμμετρική. 4 p, 4 4 p5, ) )

8 Αναδρομικός τύπος για τον υπολογισμό της δυωνυμικής πιθανότητας: Αναδρομικός τύπος για τον υπολογισμό της δυωνυμικής πιθανότητας: p + ) ) + p ~ B( 3, ) ) ) 43 3, p, 3 P ( ) ) P ( ) ) p ΔυωνυμικήΚατανομή Αναλογία επιτυχιών σε ανεξάρτητες δοκιμές: Εκτίμηση της πιθανότητας επιτυχίας στον πληθυσμό: Έστω Χ B(,p). Ορίζουμε την τ.μ. p {αναλογία επιτυχιών σε ανεξάρτητες δοκιμές}. Από τις ιδιότητες της μέσης τιμής και της διακύμανσης προκύπτει πως(αφού / είναι μια σταθερά) E( p ) E( ) p p p( p) Var( p ) Var( ) p( p) 45 Όταν η πιθανότητα επιτυχίας p στον πληθυσμό δεν είναι γνωστή, μπορεί να εκτιμηθεί παίρνοντας κ δείγματα μεγέθους, και υπολογίζοντας την δειγματική αναλογία pɵ / σε κάθε δείγμα: όταν το πλήθος των δειγμάτων κ, είναι μεγάλο ο αριθμητικός μέσος των δειγματικών αναλογιών προσεγγίζει την αναλογία πληθυσμού p. 46 Κατανομή Posso Κατανομή Posso Έστω Χ μια τυχαία μεταβλητή που καταγράφει τον αριθμό των εμφανίσεων ενός συγκεκριμένου γεγονότος σε κάποιο συνεχές διάστημα χρόνου ή χώρου(μήκος, επιφάνεια ή όγκος). Υπό συγκεκριμένες προϋποθέσεις, η κατανομή Posso είναι το κατάλληλο μοντέλο πιθανότητας για τέτοιες τυχαίες μεταβλητές. Ας δούμε ποιες είναι αυτές οι προϋποθέσεις. Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 47 Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 48 8

9 Κατανομή Posso Ενδιαφερόμαστε για την κατανομή του αριθμού των εμφανίσεων,, ενός γεγονότος σε τυχαίο διάστημα κάποιου μήκους L. Χωρίζουμε το διάστημα σε μεγάλο αριθμό, έστω, μικρών υποδιαστημάτων ίσου μήκους, έστω l L/, για καθένα από τα οποία υποθέτουμε ότι: (α)ηπιθανότητανασυμβείτογεγονόςείναιίσημεμιαπολύμικρήτιμή p (β) η πιθανότητα να συμβούν περισσότερα από ένα γεγονότα είναι αμελητέα σε σχέσημετην p (γ) η πιθανότητα p είναι σταθερή για κάθε διάστημα ίσου μήκους (δ) η πραγματοποίηση ή όχι του γεγονότος σε ένα διάστημα είναι ανεξάρτητη από την πραγματοποίησή του ή όχι σε οποιοδήποτε άλλο διάστημα ίσου μήκους l p Κατανομή Posso Έστω Χ μια τυχαία μεταβλητή που καταγράφει τον αριθμό των εμφανίσεων ενός συγκεκριμένου γεγονότος σε κάποιο συνεχές διάστημα χρόνου ή χώρου(μήκος, επιφάνεια ή όγκος). Παράδειγμα: Έστω πως ενδιαφερόμαστε για τον αριθμό των πελατών που εκτελούν τηλεφωνικές παραγγελίες στο τηλεφωνικό κέντρο μιας εταιρίας σε διάστημα χρόνου ίσο με μια ημέρα(4 ώρες). L l - Aριθμός διαστημάτων: L l - Aριθμός γεγονότων στο διάστημα μήκους L: - Σε κάθε διάστημα μήκους lείτε συμβαίνει ένα είτε κανένα γεγονός με πιθανότητες p και - pαντίστοιχα, ανεξάρτητα από κάθε άλλο διάστημα μήκους l Συνεπώς ~ B(, p) Ορίζουμε Χτην τ.μ. που καταγράφει τον αριθμό των παραγγελιών στο τηλεφωνικό κέντρο στη διάρκεια μιας τυχαίας ημέρας λειτουργίας. Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 49 Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 50 Κατανομή Posso Αν υποθέσουμε ότι: α) χωρίζουμε τη μια ημέρα σε επαρκώς μικρά διαστήματα χρόνου (π.χ.σεδιαστήματαενόςλεπτού).έστω pηπιθανότηταναγίνειμια παραγγελία σε ένα τέτοιο διάστημα. β) η πιθανότητα ή περισσότερων παραγγελιών σε ένα τέτοιο διάστημα ενός λεπτού είναι πολύ μικρότερη (αμελητέα) σε σχέση με την πιθανότητα να υπάρξει μια μόνο παραγγελία. γ) Η πιθανότητα p μιας παραγγελίας σε ένα οποιοδήποτε διάστημα μήκους ενός λεπτού είναι σταθερή για κάθε διάστημα ίσου μήκους. δ) Η πραγματοποίηση ή όχι μιας παραγγελίας σε ένα διάστημα ενός λεπτού είναι ανεξάρτητη από την πραγματοποίηση ή όχι μιας παραγγελίας σε οποιοδήποτε άλλο διάστημα ίσου μήκους (ενός λεπτού). Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 5 Κατανομή Posso Αν ορίσουμε ως επιτυχία να γίνει μια παραγγελία σε διάστημα ενός λεπτού με πιθανότητα p, τότε: Η διαδικασία πληροί τις προϋποθέσεις του δυωνυμικού πειράματος: ακολουθία ανεξάρτητων επαναλήψεων Beroull με πιθανότητα επιτυχίας σταθερή από δοκιμή σεδοκιμήκαιίσημε p. Aν Χ ο αριθμός των παραγγελιών στη διάρκεια μιας ημέρας, τότε: Χ~Β(,p) όπου διαστήματα ενός λεπτού, και έστω p05 Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 5 Κατανομή Posso Αποδεικνύεται πως αν το είναι μεγάλο και το p μικρό, τότε η δυωνυμική πιθανότητα προσεγγίζει την τιμή όπου! e lm ) lm p ( p)!( )!! p 0 p 0 λ E( ) p λ λ είναι ο αναμενόμενος αριθμός παραγγελιών σε διάστημα 4 ωρών και e.788 η βάση των φυσικών λογαρίθμων. Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 53 p Δηλαδή, στην περίπτωσή μας λ Κατανομή Posso παραγγελίες την ημέρα. Η κατανομή πιθανότητας του αριθμού των παραγγελιών είναι η λ e λ ), 0,,,..., για, p 0! (θα μπορούσαμε να χωρίσουμε την ημέρα σε διαστήματα δευτερολέπτων, οπότε το θα αυξανόταν και το p θα μειωνόταν ακόμα περισσότερο). Η κατανομή αυτή ονομάζεται κατανομή Posso. Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 54 9

10 Ενότητα 4η : Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Ορισμός της Κατανομής Posso Έστω διακριτή τ.μ. Χ που μετρά τον αριθμό εμφανίσεων συγκεκριμένου γεγονότος που μπορεί να πραγματοποιηθεί σε κάποιο συνεχές διάστημα. Η Χ μπορεί να πάρει τιμές 0,,,,. Έστω ακόμη πως ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες :. Η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν δύο ή περισσότερα γεγονότα σε ορισμένο διάστημα είναι αμελητέα σε σχέση με την πιθανότητα να συμβεί ένα μόνο γεγονός, όταν το μήκος του διαστήματος είναι επαρκώς μικρό.. Η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός σε ένα διάστημα μήκους L είναι σταθερή για οποιοδήποτε διάστημα συγκεκριμένου μήκους. 3. Για οποιαδήποτε δύο μη επικαλυπτόμενα διαστήματα ίσου μήκους, η πιθανότητα εμφάνισης γεγονότων στο ένα διάστημα είναι ανεξάρτητη από την αντίστοιχη πιθανότητα εμφάνισής τους στο άλλο διάστημα. Παρατήρηση: Ως συνέπεια των παραπάνω, ο αναμενόμενος αριθμός γεγονότων σε ένα οποιοδήποτε διάστημα είναι ανάλογος προς το μήκος του διαστήματος. Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 55 Ορισμός της Κατανομής Posso Τότε αποδεικνύεται πως η πιθανότητα πραγματοποίησης γεγονότων σε διάστημα μήκους t ακολουθεί την κατανομή Posso με παράμετρολπουορίζεταιαπότησχέση 0,,,! όπου λ > 0 είναι ο μέσος αριθμός συμβάντων στο διάστημα t και e.788 είναι η βάση των νεπέρειων λογαρίθμων. Ισχύουν e ) ) δηλ. η αναμενόμενη τιμή και η διακύμανση είναι ίσες: µ σ λ Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 56 λ λ µ E( ) λ σ Var( ) λ, Ορισμός της Κατανομής Posso Ορισμός της Κατανομής Posso Αθροιστική κατανομή Posso: ) 0 ) 0 λ e λ,! 0,,, Οι πιθανότητες μιας τ.μ. Χ που κατανέμεται σύμφωνα με την κατανομή Posso ~ Posso(λ) υπολογίζονται και με τη χρήση πινάκων. ) λ5 λ ) λ λ6 Για λ μικρό η κατανομή Posso έχει δεξιά λοξότητα Όσο το λαυξάνει η κατανομή Posso τείνει να γίνει συμμετρική Προσέγγιση της Δυωνυμικής κατανομής με την κατανομή Posso Πρακτικά, η κατανομή Β(,p) προσεγγίζεται ικανοποιητικά με την κατανομή Posso(λp) αν >0 και p<05 ) ) Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 57 Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 58 Κατανομή Posso Εφαρμόζεται πρακτικά σε πολλές εφαρμογές, για παράδειγμαως κατανομή του αριθμού: Απεργιών σε κάποιο χρονικό διάστημα Πυρκαγιών σε δάση σε κάποιο χρονικό ή χωρικό διάστημα Ατυχημάτων σε διάφορα μέσα μεταφοράς Αυτοκινήτων σε δρόμους Αφίξεων μαζικών μεταφορικών μέσων Κοινωνικών κρίσεων ή εξεγέρσεων σε κάποια ιστορική περίοδο Πόλεων ή οικισμών σε κάποια γεωγραφική περιοχή και σε διάφορες ιστορικές περιόδους Τηλεφωνικών κλήσεων σε ένα τηλεφωνικό κέντρο Βλαβών σε ένα μηχάνημα Σπανίων γεγονότων (πολλά φαινόμενα που θεωρούνται αποτέλεσμα συμπτώσεων ή τύχης είναι φαινόμενα που ακολουθούν κατανομή Posso) Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 59 Τέλος Ενότητας 60 0