και συνοριακές συνθήκες στο x = 0 και το x = L. Η ασθενής µορφή του προβλήµατος προκύπτει µε ολοκλήρωση κατά παράγοντες της κάτωθι ισοδύναµης µορφής

Transcript

1 5. ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΓΚΛΙΣΗ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 5. Μια πιο µαθηµατική διατύπωση της µεθόδου Galerkn Έστω το πρόβληµα: Να βρεθεί η ( x) που ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση: z ( ) = f < x < και συνοριακές συνθήκες στο x = και το x =. Η ασθενής µορφή του προβλήµατος προκύπτει µε ολοκλήρωση κατά παράγοντες της κάτωθι ισοδύναµης µορφής z + f wdx= µε wx τυχαία αποδεκτή συνάρτηση. Η συµµετρική ασθενής µορφή είναι: ( w, ) fwdx F( w ) Β = + = ( w, ) είναι όροι που εξαρτώνται από τις φυσικές ΣΣ Β w Όπου σηµαίνει ότι οι, περιέχονται το πολύ µε παραγώγους - τάξεως, και Παράδειγµα Για το γενικό πρόβληµα ας τάξης και µε συνοριακές συνθήκες d d g x h x = p x dx dx έχω ότι και = στο x= = q στο x= (, ) Β w = g x w dx + h x wdx = + F w p x wdx g w q Γενικά θα πρέπει να έχουν "νόηµα" τα ως άνω ολοκληρώµατα και αυτό επιτυγχάνεται µε την απαίτηση και x dx< ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Βέλτιστη προσέγγιση και σύγκλιση σελίδα από 6

2 w x dx< Ας ορίσω λοιπόν τον χώρο και τον χώρο U ως εξής: και ={ ε ικανοποιεί βασικές ΣΣ & ( x ) dx< } U={wεU w ικανοποιεί οµογενείς βασικές ΣΣ & w ( x ) dx< } Προφανώς όταν οι βασικές ΣΣ είναι εξαρχής οµογενείς τότε οι δύο χώροι ταυτίζονται. Το πρόβληµα λοιπόν τίθεται ως εξής: Βρείτε ε η οποία να ικανοποιεί U (, ) B w = F w w U, ε () Μέχρι τώρα η λύση που ζητώ είναι η ακριβής λύση του προβλήµατος z ( ) = f συνοριακές συνθήκες. ιακριτοποιώντας (Petro Galerkn), περιορίζω την λύση που αναζητώ σε έναν "υπόχωρο συναρτήσεων" ο οποίος "γεννάται" από µία βάση φ = N. Επίσης περιορίζω τον χώρο από τον οποίο µπορεί να επιλέγει η, θεωρώντας { },,..., µία βάση { },,..., ψ = N που γεννά τον υπόχωρο U. Οι και U είναι χώροι πεπερασµένης διάστασης και στην γενική περίπτωση δεν φ = ψ (Galerkn), οι υπόχωροι και U σχεδόν ταυτίζονται. Το ταυτίζονται. Αν θεωρήσω «σχεδόν» αναφέρεται στο ότι οι βασικές ΣΣ ενδέχεται να µην είναι οµογενείς, οπότε όπως είδαµε σε προηγούµενη ενότητα, απαιτείται µία επιπλέον συνάρτηση βάσης για τον ( φ ή φ N + ) ώστε να ικανοποιηθεί αυτή η συνθήκη ( = στο x = ή = στο x = ). Για την περίπτωση που. (οµογενείς βασικές συνοριακές συνθήκες του U προβλήµατος), οι δύο υπόχωροι ταυτίζονται U (όταν φ ψ ). Στα παρακάτω θα θεωρήσουµε ότι χρησιµοποιώ τις ίδιες συναρτήσεις βάσης ( x) w και φ και ότι οι χώροι και U ταυτίζονται ή σχεδόν ταυτίζονται (όταν υπάρχουν µη οµογενείς βασικές συνοριακές συνθήκες). Το προσεγγιστικό πρόβληµα είναι: Βρείτε ( x ), που να ικανοποιεί (, ) = + () = B w f wdx F w wεu () Μπορώ να βρω µε την ως άνω προσέγγιση την ακριβή λύση; Η απάντηση είναι πως αυτό γίνεται µόνον όταν έχουµε την ακριβή λύση να ανήκει στον. Για παράδειγµα, αν οι συναρτήσεις φ είναι πολυωνυµικές, ενώ η είναι εκθετική συνάρτηση, τότε σαφώς και δεν θα πάρω ποτέ την ακριβή λύση, όσο και να αυξάνω τον αριθµό των φ. Θα δείξουµε ότι B, w =, wεu (3) όπου απλή: είναι η ακριβής λύση και είναι η προσεγγιστική λύση Galerkn. Η απόδειξη είναι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Βέλτιστη προσέγγιση και σύγκλιση σελίδα από 6

3 Ισχύει (, ), B w = F w wε U όµως επειδή U U, (, ) Η εξίσωση Galerkn είναι: B w = F w, wεu (4) (, ) B w = F w, wεu (5) Αφαιρώντας κατά µέλη τις (4) και (5): (, ) B w =, (6) όπου ορίζω ( x) ( x) = e( x) ως την «συνάρτηση σφάλµατος». Χωρίς να εισέλθουµε σε πολλές λεπτοµέρειες ότι το (, ) B f f µπορεί να θεωρηθεί ένα "εσωτερικό γινόµενο" των f και f. Πράγµατι για το πρόβληµα που συζητάµε ας δεχτούµε προς το παρόν ότι B f, f f, f (θα το αναλύσουµε πιο κάτω). Τότε ισχύει: (, ) f (, ) = = (, ) = (, ), ( λ µ ) λ µ B f f B f f f B f f B f f f f B f + f, f = B f, f + B f, f f, f, f που είναι οι ιδιότητες ενός εσωτερικού γινοµένου. U w Σχήµα 5.: Σχηµατική απεικόνιση του θεωρήµατος προβολής. Εποµένως, µε βάση την εξίσωση (6), το σφάλµα της µεθόδου είναι "ορθογώνιο" στον U, µπορεί να εκφραστεί σχηµατικά όπως στο παρακάτω σχήµα και σηµαίνει πως η ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Βέλτιστη προσέγγιση και σύγκλιση σελίδα 3 από 6

4 προσεγγιστική λύση είναι ουσιαστικά η "βέλτιστη προσέγγιση" του διακριτοποίηση. Θεωρώντας πως, U άρα U U τότε, µε την δεδοµένη (, ) B e = (7) εποµένως λόγω της (7), και επειδή (, ) = ( +, + ) = (, ) + (, ) + B ( ee, ) B B e e B B e B e, e λόγω της βασικής ιδιότητας του εσωτερικού γινοµένου, θα έχω B (, ) B ( ), (8) Ας εξετάσουµε τι σηµαίνει το παραπάνω στο πρόβληµα της δοκού µε αξονική ακαµψία Ε Α µέσα σε ελαστικό µέσο σταθεράς β ("ελαστική" θεµελίωση): ΕΑ β = p x, = z < x< Τότε το αντίστοιχο δι-γραµµικό συναρτησιακό είναι: B (, ) = dx β dx ΕΑ + η οποία είναι η ενέργεια παραµόρφωσης του συστήµατος δυναµική ενέργεια είναι Π= U + V ) U (θυµηθείτε η συνολική Με άλλα λόγια, παρότι δεν µπορώ (στην γενική περίπτωση) να φτάσω να έχω, το αποτελεί την καλύτερη δυνατή προσέγγιση της λύσης µου µέσα από τον υπόχωρο U ή. Το παραπάνω θεώρηµα είναι το "θεώρηµα προβολής" ή "θεώρηµα βέλτιστης προσέγγισης". Σηµείωση Στα παραπάνω θεωρήσαµε ότι U, πράγµα που δεν συµβαίνει πάντα. Για ευκολία δεν θα θεωρήσουµε αυτήν την περίπτωση, για την οποία όµως ισχύουν ουσιαστικά οι ίδιες ιδιότητες. Η ανισότητα (8) δείχνει πως η προσεγγιστική λύση Galerkn υποεκτιµά την ενέργεια παραµόρφωσης του συστήµατος. Αν θεωρήσω λοιπόν την U ως ένα "µέτρο" για το µέγεθος των µετατοπίσεων ( ( x ) ή ( x ) ) δηλαδή µία "νόρµα" των µετατοπίσεων, τότε: Η προσεγγιστική λύση καταλήγει γενικά σε µικρότερες µετατοπίσεις από ότι η ακριβής λύσης λύση του προβλήµατος. Σε πρακτικό επίπεδο, αν λύσετε ένα σύνθετο πρόβληµα και δείτε τις µετατοπίσεις, και εν συνεχεία κάνετε διαδοχικές επιλύσεις µε "πυκνότερο δίκτυο πεπερασµένων στοιχείων" θα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Βέλτιστη προσέγγιση και σύγκλιση σελίδα 4 από 6

5 δείτε ότι οι µετατοπίσεις γενικά αυξάνουν και ο λόγος είναι πως πλησιάζουµε την ακριβή λύση. 5. Μοναδικότητα της λύσης και προβλήµατα ιδιοτιµών Μας ενδιαφέρει κάτω από ποίες προϋποθέσεις, υπάρχει λύση και µάλιστα µοναδική, τόσο στο ακριβές πρόβληµα όσο και στο αντίστοιχο προσεγγιστικό. Το ακριβές πρόβληµα τίθεται ως εξής: Βρείτε : (, ) F( w) w U B w= (9) Το αντίστοιχο προσεγγιστικό πρόβληµα τίθεται ως εξής: Βρείτε : (, ) F( w) w U B w = () Το θεώρηµα των ax Mlgra εξασφαλίζει την µοναδικότητα της λύσης στο (9), κάτω την βασική προϋπόθεση της λεγόµενης "Η-ελλειπτικότητας" (H-ellptct) του "διγραµµικού συναρτησιακού" (, ) B. Η δε απόδειξη του θεωρήµατος αυτού βασίζεται σε αρκετά προχωρηµένες έννοιες ακολουθιών Cach σε χώρους Hlbert και δεν θα µας απασχολήσει. Θα µπορούσαµε όµως να πούµε µε απλά λόγια πως η "Η-ελλειπτικότητα" του (, ) B έχει την έννοια πως για όλες τις συναρτήσεις B (, ) µε γ θετική σταθερά. > γ () Με όρους µηχανικής του παραµορφώσιµου στερεού, αυτό σηµαίνει πως το σύστηµα έχει θετική ενέργεια παραµόρφωσης. Η εφαρµογή της µεθόδου Galerkn στο προσεγγιστικό πρόβληµα () καταλήγει σε ένα σύστηµα της µορφής [ K ] a= F () το οποίο είναι ισοδύναµο µε το () όπου K (, ) = B φ φ j j a = ( φ ) και { } µε = άγνωστοι συντελεστές, F F φ = συναρτήσεις βάσης (γνωστές). Για την ύπαρξη µοναδικής λύσης, αρκεί να δείξω πως ο K j είναι αντιστρέψιµος. K είναι θετικά ορισµένος, λόγω του ότι η η περίπτωση: στα περισσότερα προβλήµατα ο [ ] ενέργεια παραµόρφωσης είναι θετική U = B(, ) (3) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Βέλτιστη προσέγγιση και σύγκλιση σελίδα 5 από 6

6 και εποµένως είναι αντιστρέψιµος. Στην κατηγορία αυτή ανήκουν όλα τα προβλήµατα της µορφής d d g x h x = p x dx dx (4) g( x ) > h( x) µε και. Πράγµατι, θυµηθείτε πως στην περίπτωση αυτή U = g( x) dx h( x) + dx (5) η περίπτωση: υπάρχουν περιπτώσεις που αυτό δεν εξασφαλίζεται. Συγκεκριµένα στην (4) g( x ) > h( x) [ K ], ανάλογα µε τις τιµές των g( x ), h( x ) θεωρήστε και. Τότε ο ενδέχεται να είναι θετικά ορισµένος, ή όχι. Μερικές φορές µας ενδιαφέρουν εξισώσεις της µορφής d d g( x) h ( x) = (6) dx dx x = µε οµογενείς συνοριακές συνθήκες στο και h ( x ) >. Προφανώς η ( x ) = είναι x = λύση του προβλήµατος (τετριµµένη). Θα ήθελα όµως να εξετάσω υπό ποιες προϋποθέσεις, κα συγκεκριµένα, για ποιες τιµές του h x έχω και άλλες λύσεις, επιπλέον της τετριµµένης. Η διακριτοποίηση Galerkn δίνει όπου [ K ] a = (7) φφ K = g x dx h x φφ d j j j x (8) Προφανώς, για κάποιες (µεγάλες) τιµές του h ( x ) έχω µη-µηδενική λύση διότι ο [ K ] παύει να είναι θετικά ορισµένος. Παράδειγµα g( x ) =ΕΙ h x = P Έστω,. Τότε η εξίσωση γράφεται: ΕΙ + P= (9) Έστω τώρα οι συνοριακές συνθήκες = και ( ) =. Το φυσικό πρόβληµα είναι ο λυγισµός αµφιαρθρωτού στύλου (βλέπε κάτωθι σχήµα). ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Βέλτιστη προσέγγιση και σύγκλιση σελίδα 6 από 6

7 P EI P x (x) Σχήµα 5.: Λυγισµός αµφιαρθρωτού στύλου, υπό αξονικό φορτίο. Για την επίλυση του προβλήµατος, διαλέγω συνάρτηση στέγης και βαθµό ελευθερίας 4ΕΙ P K = ΕΙφφ dx pφφdx= 3 () εποµένως η (7) γίνεται 4ΕΙ P 3 = () και η τιµή του P για την οποία έχω µη-τετριµµένη λύση ΕΙ P = () όπου τότε K = και το γίνεται απροσδιόριστο (αόριστο). Εποµένως κάθε συνάρτηση της µορφής προβλήµατος. φ x x = µε αυθαίρετη σταθερά, είναι λύση του προσεγγιστικού Σηµείωση Το ανωτέρω πρόβληµα ήταν ένα κλασικό πρόβληµα ιδιοτιµών Str ovlle. Η βασική θεωρία των προβληµάτων αυτών βρίσκεται στο Παράρτηµα Α. Χαρακτηριστικά τέτοια προβλήµατα είναι τα προβλήµατα λυγισµού (ευστάθεια) λεπτότοιχων και εύκαµπτων κατασκευών. Ερώτηση Τι θα παίρναµε ως τιµή του κρίσιµου φορτίου (ιδιοτιµή) P αν χρησιµοποιούσαµε πεπερασµένα στοιχεία αντί για στοιχείο (βλέπε σχετική άσκηση)? Παρατήρηση Η ακριβής λύση της (9) προσδιορίζεται ακολούθως. Θέτω P k = ΕΙ, οπότε + k = Η γενική λύση είναι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Βέλτιστη προσέγγιση και σύγκλιση σελίδα 7 από 6

8 ( x) = Asn kx+ Bcos kx µε συνοριακές συνθήκες, και = B= = = Asnk= =, οπότε έχω Για να έχω µη τετριµµένη λύση ( x) θα πρέπει ή ισοδύναµα: nπ k= nπ k= P= n π ΕΙ A και sn k=, οπότε που είναι οι τιµές του P για τις οποίες έχω µη µηδενική λύση. Η µικρότερη των ανωτέρω τιµών αντιστοιχεί στο n = π ΕΙ P = ΕΙ η οποία είναι κοντά στο P = της προσεγγιστικής λύσης. Ερώτηση Το περιµένατε που η προσεγγιστική λύση υπερεκτιµά την τιµή του το εξηγήσετε (βλέπε σχετική άσκηση); P ; Μήπως µπορείτε να 5.3 Εκτίµηση του σφάλµατος Μιλήσαµε για τη συνάρτηση σφάλµατος e=, όπως ορίστηκε ανωτέρω. Είναι η διαφορά της ακριβούς λύσης από την προσεγγιστική. Θα ήθελα να είχα µία εκτίµηση για το µέγεθος του σφάλµατος, δηλαδή της συνάρτησης e( x ). Θυµίζουµε πως το µέγεθος µίας συνάρτησης µπορεί να ποσοτικοποιηθεί µε µία νόρµα. Για την e( x) θα χρησιµοποιήσω την νόρµα N e = e ( x) dx ( ( x) ( x) = ) dx e= e N e e e e = ( x) AφA( x) BφB( x) dx e= e ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Βέλτιστη προσέγγιση και σύγκλιση σελίδα 8 από 6

9 ή και η Μία άλλη νόρµα που θα µπορούσα να χρησιµοποιήσω είναι η e = ( e ( x) e ( x) E + ) dx e = ax e x x Προφανώς δεν µπορώ να βρώ την συνάρτηση e( x ), παρά µόνον όταν γνωρίζω την ( x) (ακριβής λύση). Σε σύνθετα προβλήµατα όµως, αυτό είναι αδύνατο και γι αυτό άλλωστε χρησιµοποιώ την προσέγγιση Galerkn ή πεπερασµένων στοιχείων. Θα ήθελα όµως, ακόµη και αν δεν γνωρίζω την ( x) να έχω µία εκτίµηση ένα άνω όριο για το µέγεθος της συνάρτησης σφάλµατος e( x ). Το βασικό που θα ήθελα είναι η οποιοδήποτε νόρµα της e( x ) να µικραίνει η τιµή της όσο εγώ "πυκνώνω" το δίκτυο πεπερασµένων στοιχείων, δηλαδή όσο µειώνω το µέγεθος του κάθε στοιχείου h= xb xa. Θα ήταν λοιπόν πολύ χρήσιµο αν ήξερα πως, χρησιµοποιώντας µία δεδοµένη βάση { ϕ } για ένα συγκεκριµένο πρόβληµα συνοριακών τιµών, έχω: e p ch (3) µε c και p σταθερά. Το p δείχνει το "ρυθµό σύγκλισης" ως προς την συγκεκριµένη νόρµα, όπως φαίνεται στο κάτωθι σχήµα. log e p log c log h Σχήµα 5.3: Σχηµατική απεικόνιση της σχέσης (3). Αποδεικνύεται πως για το τυπικό πρόβληµα = = = f x µε την διακριτοποίηση που έχω θεωρήσει έχω ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Βέλτιστη προσέγγιση και σύγκλιση σελίδα 9 από 6

10 e ch δηλαδή "τετραγωνική σύγκλιση". Σε λογαριθµική κλίµακα: log e log c+ log h Η εκτίµηση του σφάλµατος της µεθόδου αποτελεί ένα πολύ µεγάλο κεφάλαιο έρευνας, κυρίως των Μαθηµατικών και λιγότερο των Μηχανικών. Ο ενδιαφερόµενος παραπέµπεται στα βιβλία των Hghes (987) και Μπακόπουλου & Χρυσοβέργη (986). Εκείνο που πρέπει να θυµάστε είναι πως µε σωστή εφαρµογή της µεθόδου l e h Σηµειώνεται επίσης πως ο ρυθµός σύγκλισης (δηλ. η τιµή του νόρµα που θα διαλέξουµε. Πχ. Για το ίδιο πρόβληµα p ) εξαρτάται και από την ενώ e c h p= E e c h p = 3 Παρατηρήστε επίσης ότι η σύγκλιση είναι µονοτονική. (onotonc convergence). Το ερώτηµα είναι πως θα εξασφαλίσω σε κάθε περίπτωση αυτή την µονοτονική σύγκλιση. ϕ x ώστε να εξασφαλίσω µονοτονική σύγκλισης; ηλαδή, πώς θα εκλέξω κατάλληλες Αυτό θα το δούµε σε επόµενο κεφάλαιο. 5.4 Συνάρτηση Drac, συνάρτηση Green και «υπερσύγκλιση» 5.4. Συνάρτηση Drac (delta fncton) Η συνάρτηση αυτή συµβολίζεται µε δ ( x) ή ( x ) δ και ορίζεται ως ακολούθως: Θεωρούµε την ακολουθία συναρτήσεων fk ( x ) µε εύρος µη-µηδενικών τιµών k (από k έως k + συνάρτησης f k δ ) όπως φαίνεται στο κάτωθι σχήµα. Στο διάστηµα αυτό, η τιµή της x είναι k. Ορίζω ( x) δ ( x ) l f ( x) = k k όπου σηµειώνουµε πως η ισότητα δεν είναι τόσο σωστή από µαθηµατικής πλευράς. Ισχύει = δ x dx Η ( x) της συνάρτησης ( x) δ είναι µία γενικευµένη συνάρτηση και όχι µία κοινή συνάρτηση. Το φυσικό νόηµα δ είναι πως έχει µηδενικές τιµές παντού, πλην του, όπου η ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Βέλτιστη προσέγγιση και σύγκλιση σελίδα από 6

11 συνάρτηση απειρίζεται, µε τέτοιον όµως τρόπο ώστε το ολοκλήρωµά της τέτοιον όµως τρόπο ώστε το ολοκλήρωµά της να παραµένει πεπερασµένο (και µάλιστα µοναδιαίο). f k ( x) k x k c x = c k k c + δ ( x c) = = l fk k ( x) x x = c Σχήµα 5.4: Συνάρτηση Drac. Μία βασική ιδιότητα της υπόψη συνάρτησης (που πολλές φορές χρησιµοποιείται ως ορισµός) είναι f ( x) δ ( x) dx= f, συνάρτηση f ( x ) συνεχή στο x=. Εποµένως, αν (, ) τότε δ = f x x dx f ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Βέλτιστη προσέγγιση και σύγκλιση σελίδα από 6

12 ενώ αν [, ] τότε f x δ x dx= Το αόριστο ολοκλήρωµα της ( x) συνάρτηση Heavsde H ( x) ( x) dx H ( x) δ = δ είναι η συνάρτηση σκαλοπάτι (step fncton) ή x x 45 o x Σχήµα 5.5: Συναρτήσεις Heavsde και «Maccale-bracket». Είναι το πρώτο και το δ x. δεύτερο αόριστο ολοκλήρωµα της συνάρτησης H ( x) Το αόριστο ολοκλήρωµα της είναι η συνάρτηση Macale bracket : H x dx= x όπου x < x = x x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Βέλτιστη προσέγγιση και σύγκλιση σελίδα από 6

13 η οποία είναι µία συνεχής συνάρτηση Συνάρτηση Green ενός Προβλήµατος Συνοριακών Τιµών Έστω το πρόβληµα συνορισκών τιµών z ( ) = f και µε συνοριακές συνθήκες B( ) c είναι η συνάρτηση g( x ) που ικανοποιεί το πρόβληµα: z g = δ =. Τότε η συνάρτηση Green του προβλήµατος αυτού και µε συνοριακές συνθήκες B ( g ) = (οµογενείς συνοριακές συνθήκες φυσικές και βασικές) Η g( x) εξαρτάται από το σηµείο έχω διαφορετική άλλη θέση του στο οποίο εφαρµόζεται η συνάρτηση Drac δ. Για g x. Όσον αφορά το φυσικό νόηµα της, η συνάρτηση Green είναι η "µετατόπιση" του συστήµατος για µοναδιαίο "φορτίο" στην θέση ελαστικά µηχανικά συστήµατα].. [για Υπερσύγκλιση Έστω το απλό πρόβληµα µε συνοριακές συνθήκες = p x (4) = q και =. Η συνάρτηση Green για το πρόβληµα αυτό δίνεται από τη λύση του προβλήµατος g = δ ( x) µε συνοριακές συνθήκες g =, g( ) = g( x) είναι: g( x) = ( ) x Η ασθενής µορφή του προβλήµατος είναι. Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι η συνάρτηση gwdx = δ wdx ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Βέλτιστη προσέγγιση και σύγκλιση σελίδα 3 από 6

14 όµως, από τον ορισµό της δ ( x) Αν τώρα ( x) gwdx = δ wdx= w (5) ( x ) είναι η ακριβής λύση και φ τις συναρτήσεις στέγης, τότε εφαρµόζοντας την (5), x η προσέγγισή µας, µε συναρτήσεις βάσης g( x) = ( ) δ = ( ) dx gdx x g ( x) x - Σχήµα 5.6: Συνάρτηση Green και παράγωγός της για το πρόβληµα (4) Για το συγκεκριµένο όµως πρόβληµα, ισχύει κάτι σηµαντικό: Αν το είναι ένας κόµβος της διακριτοποίησης τότε η συνδυασµός των ( x) φ. g( x) U. ηλαδή η g x µπορεί να γραφεί ως γραµµικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Βέλτιστη προσέγγιση και σύγκλιση σελίδα 4 από 6

15 gx φ (x) x= x= 3 4 =x N+ x Σχήµα 5.7: Συνάρτηση Green για το πρόβληµα (4) και συναρτήσεις στέγης. Συνεπώς για x (κόµβος) από το θεώρηµα προβολής Εποµένως ( x ) ( x ) ( ) x x = g x dx= για το συγκεκριµένο πρόβληµα. Αποδεικνύεται πως στα προβλήµατα = p x µε τυχαίες συνοριακές συνθήκες ισχύει ( x ) ( x ) =. Παρατηρήστε πως το "κλειδί" για την απόδειξη της παραπάνω ιδιότητας ήταν το ότι η αντίστοιχη συνάρτηση Green του προβλήµατος όταν = x ανήκει στον προσεγγιστικό υπόχωρο. Αν όµως θεωρήσετε το πρόβληµα: λ = p x, λ > = q Με, έστω, συνοριακές συνθήκες =, τότε η συνάρτηση Green, που προκύπτει από την επίλυση του προβλήµατος g λg= δ x µε g = και g( ) = είναι της µορφής px px ce + ce x g( x) = px px ce 3 + ce 4 x όπου p = λ και τα c προσδιορίζονται από τις σχέσεις g = ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Βέλτιστη προσέγγιση και σύγκλιση σελίδα 5 από 6

16 g( ) = και + = g( ) g + = g g Στην περίπτωση όµως αυτή, ακόµη και όταν στον U άρα αναµένω ( x ) ( x) σε κάθε σηµείο x (, ) x, σε καµία περίπτωση η g( x) δεν ανήκει. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Βέλτιστη προσέγγιση και σύγκλιση σελίδα 6 από 6