ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού. Προκειμένου να αναπαραστήσουμε προβλήματα αυτού του τύπου, τα γραφικά συστήματα πρέπει να δίνουν στο χρήστη τη δυνατότητα δημιουργίας γεωμετρικών οντοτήτων, όπως είναι οι γραμμές, κύκλοι κ.λ.π, καθώς και τη δυνατότητα μετασχηματισμού αυτών των οντοτήτων αλλάζοντας το μέγεθος, τη θέση ή τον προσανατολισμό τους μ ένα οργανωμένο και αποτελεσματικό τρόπο. Αυτοί οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί παίζουν έναν σπουδαίο ρόλο στη δημιουργία και στην προοπτική των μοντέλων και αποτελούν ένα σημαντικό εργαλείο για όλα τα σύγχρονα συστήματα CAD. Παρουσίαση της δισδιάστατης γεωμετρίας Στα γραφικά υπολογιστών το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων χαρακτηρίζονται από δισδιάστατες αριθμητικές περιγραφές, που σχετίζονται με ένα σύστημα συντεταγμένων, που τις περισσότερες φορές δεν είναι άλλο από τις γνωστές καρτεσιανές συντεταγμένες x,. Έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε στο μοντέλο ένα σύνολο από γεωμετρικούς μετασχηματισμούς, προκειμένου να το μετατοπίσουμε, να αλλάξουμε το μέγεθος ή τον προσανατολισμό του. Το βασικό στοιχείο ενός δισδιάστατου μοντέλου είναι το σημείο. Μία γραμμή, για παράδειγμα, αναπαρίσταται από τα δύο σημεία και μία επιφάνεια παριστάνεται από ένα σύνολο σημείων. Όλες οι δισδιάστατες απεικονίσεις μπορούν γι αυτό το λόγο να οριστούν από ένα σύνολο x, συντεταγμένων ή σημείων, που θεωρούνται ως τα στοιχειώδη συστατικά ενός μοντέλου. Η εικόνα 4.1 δείχνει την αναπαράσταση ενός τριγώνου από τις x, συντεταγμένες των κορυφών του. Αυτό το τρίγωνο μπορεί επίσης να παρασταθεί από ένα πίνακα [3 2] ως εξής: [ P] TRIANGLE = x x x (4.1) όπου κάθε ζεύγος x, είναι ένα διάνυσμα θέσης σύμφωνα με το καθορισμένο σύστημα συντεταγμένων. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 1

2 Β(χ 2, ψ 2 ) Α(χ 1, ψ 1 ) Γ(χ 3, ψ 3 ) Εικόνα 4.1 Αναπαράσταση τριγώνου σε ένα x, σύστημα συντεταγμένων Η σημειογραφία του πίνακα είναι πολύ χρήσιμη για το γεωμετρικό προσδιορισμό και για το χειρισμό στις εφαρμογές γραφικών. Γι αυτό θα ήταν βολικό όλες οι γεωμετρικές αναπαραστάσεις να μπορούσαν να παρασταθούν σ αυτήν τη μορφή. Η χρήση όμως του συνηθισμένου καρτεσιανού συστήματος αποκλείει αυτήν την πιθανότητα, αφού, όπως θα φανεί και από τα επόμενα, μερικοί γεωμετρικοί μετασχηματισμοί προκύπτουν από πολλαπλασιασμό πινάκων ενώ άλλοι από πρόσθεση διανυσμάτων. Προκειμένου να αποφύγουμε προβλήματα αυτού του τύπου, στα γραφικά υπολογιστών αλλά και στα γεωμετρικά μοντέλα, συνήθως χρησιμοποιούμε ομογενείς συντεταγμένες αντί των συνηθισμένων καρτεσιανών συντεταγμένων. Η αναπαράσταση των σημείων σε ομογενείς συντεταγμένες παρέχει μια ενιαία προσέγγιση στην περιγραφή των γεωμετρικών μετασχηματισμών. Προκειμένου να κατανοήσουμε τις ομογενείς συντεταγμένες, ας φανταστούμε ένα σημείο P 1 (x 1, 1 ) του δισδιάστατου χώρου ορισμένο σ έναν τρισδιάστατο χώρο, όπως φαίνεται στην εικόνα 4.2. Τα σημεία, που βρίσκονται πάνω στην ακτίνα και συνδέουν το P 1 με την αρχή του συστήματος συντεταγμένων, μπορούν να περιγραφούν μέσω μιας παραμέτρου h, όπως φαίνεται παρακάτω: P (x,, z) = P (hx 1, h 1, h) (4.2) Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 2

3 Κάθε σημείο του δισδιάστατου χώρου μπορεί να απεικονισθεί από ένα από τα σημεία που βρίσκονται κατά μήκος της ακτίνας στο τρισδιάστατο χώρο (και ο οποίος ονομάζεται ομογενής χώρος), εκτός του σημείου που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων (επομένως, πρέπει h ). P h (hχ 1, hψ 1,h) Z=3 Z=1 Z=2 P 1 (χ 1, ψ 1,1) P 2 (2χ 1, 2ψ 1,2) P 3 (3χ 1, 3ψ 1,3) Eικόνα 4.2 Τρισδιάστατη αναπαράσταση ομογενούς χώρου Οι κανονικές συντεταγμένες αντιστοιχούν στο σημείο, όπου η ακτίνα τέμνει το επίπεδο z = 1 (βασική παράσταση με z = 1). ιαφορετικά σημεία σε κανονικές συντεταγμένες αναπαριστώνται από διαφορετικές ακτίνες στον ομογενή χώρο. Γι αυτό το λόγο, στις ομογενείς συντεταγμένες ένα σημείο μπορεί να αναπαρασταθεί ως P(hx, h, h). Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε το σημείο P(2, 4) σε κανονικές συντεταγμένες. Οι ακόλουθες ομογενείς απεικονίσεις αναγνωρίζουν όλες το ίδιο σημείο: Ρ(4, 8, 2), Ρ(6, 12, 3), Ρ(2, 4, 1). οσμένων των ομογενών συντεταγμένων ενός σημείου, όπως το P(m, n, h), οι κανονικές συντεταγμένες μπορούν να βρεθούν από την αναπαράσταση P(m/h, n/h, 1), οπότε: m x = h n = h (4.3) Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 3

4 Όταν χρησιμοποιούμε ομογενείς συντεταγμένες, η αναπαράσταση των σημείων ενός αντικειμένου στο δισδιάστατο χώρο γίνεται με πίνακες [n 3], όπου n είναι ο αριθμός των κορυφών του αντικειμένου. Το τρίγωνο στην εικόνα 4.1 μπορεί να περιγραφεί ως εξής: x1 1 1 [Ρ] TRIANGLE = x (4.4) x3 3 1 Ένας γεωμετρικός μετασχηματισμός περιλαμβάνει τον υπολογισμό των νέων συντεταγμένων για τα σημεία που σχηματίζουν ένα αντικείμενο, από τις αρχικές τους θέσεις ως τις θέσεις μετασχηματισμού. Επανατοποθετεί κάθε σημείο σύμφωνα με καθορισμένους κανόνες. Μπορούμε, λοιπόν, με έναν απλό μετασχηματισμό των συντεταγμένων στα καθορισμένα σημεία να επιτύχουμε τη μετατόπιση, την περιστροφή και τη μεγέθυνση. Αυτοί οι μετασχηματισμοί δεν παραμορφώνουν το αντικείμενο κατά τη διάρκεια της κίνησης. Για κάθε ένα από τα αρχικά σημεία παίρνουμε ένα και μόνο ένα μετασχηματιζόμενο σημείο. Υπάρχουν δύο τρόποι με τους οποίους μπορούμε να μελετήσουμε τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς: Ο πρώτος είναι ο μετασχηματισμός αντικειμένου, ο οποίος αλλάζει τις συντεταγμένες των σημείων που σχηματίζουν το αντικείμενο, χωρίς να αλλάξει το τρέχον σύστημα συντεταγμένων. O δεύτερος είναι ο μετασχηματισμός του συστήματος συντεταγμένων, ο οποίος δημιουργεί ένα νέο σύστημα συντεταγμένων και στη συνέχεια αναπαριστά όλα τα σημεία που σχηματίζουν το αντικείμενο στο καινούριο σύστημα. Και οι δύο προσεγγίσεις που αναφέραμε είναι ισοδύναμες: οι μετασχηματισμοί συντεταγμένων λειτουργούν αντίθετα από τους μετασχηματισμούς αντικειμένων. Συνήθως στα γραφικά υπολογιστών χρησιμοποιούμε μετασχηματισμούς αντικειμένων, τους οποίους θα περιγράψουμε παρακάτω. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 4

5 Αλλαγή κλίμακας Οι μετασχηματισμοί αλλαγής κλίμακας επιτρέπουν σ ένα αντικείμενο να μετατραπεί, είτε επεκτείνοντας είτε συρρικνώνοντας τις διαστάσεις του. Οι σταθερές παραμόρφωσης στις κατευθύνσεις x και προκαλούν αλλαγές στο μήκος. Αν είναι μεγαλύτερες της μονάδος, οι σταθερές παριστάνουν μεγέθυνση, ενώ, αν είναι μικρότερες από την μονάδα, τότε παριστάνουν σμίκρυνση. Επίσης, οι σταθερές αυτές είναι πάντα θετικές εφόσον οι αρνητικές τιμές προκαλούν ένα φαινόμενο που είναι γνωστό ως ανάκλαση. Sx= 2 S= 1 Sx= 1 S= 2 Εικόνα 4.3 Μετασχηματισμός αλλαγής κλίμακας Μαθηματικά οι μετασχηματισμοί παραμόρφωσης ενός σημείου P(x, ) σε P*(x*, *) μπορούν να γραφούν ως : x* = x Sx * = S (4.5) ή σε μορφή πίνακα: [x* * 1] = [x 1] S x S 1 (4.6) Η εικόνα 4.3 αποτελεί ένα παράδειγμα της επίδρασης αυτού του μετασχηματισμού σε ένα τετράγωνο. Αν οι παράγοντες αλλαγής κλίμακας που εφαρμόζονται στις κατευθύνσεις x, είναι διαφορετικοί, τότε το μέγεθος και το σχήμα, που αρχικά υπάρχει, Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 5

6 αλλάζει, όπως φαίνεται και στην εικόνα 4.3. Τα συστήματα CAD περιλαμβάνουν πάντα μια εντολή «αλλαγής κλίμακας», για να εκτελέσουν αυτήν την συνάρτηση. Η αλλαγή κλίμακας στη φόρμα που περιγράφηκε ονομάζεται αλλαγή κλίμακας ως προς την αρχή των αξόνων, εφόσον κάθε σημείο στο αντικείμενο αλλάζει μέγεθος, θέση ή και τα δύο ως προς την αρχή των αξόνων. Αν οι παράγοντες αλλαγής κλίμακας στις κατευθύνσεις x και είναι ισοδύναμοι, έχει επικρατήσει η παραμόρφωση να ονομάζεται ομοιόμορφη. Αυτό είναι αντίστοιχο με τη εντολή magnif που υπάρχει στα συστήματα CAD, και η οποία επιτρέπει στο χρήστη να μεγεθύνει μια καθορισμένη περιοχή στην οθόνη έκθεσης. Μετατόπιση Η ικανότητα να μετακινούμε μέρη ενός μοντέλου είναι ένα σημαντικό χαρακτηριστικό οποιουδήποτε συστήματος γραφικών. Ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, την κίνηση ενός εμβόλου μέσα σ έναν κύλινδρο. Οι διάφορες θέσεις του πιστονιού και τα στοιχεία του μπορούν εύκολα και αποτελεσματικά να παρασταθούν ως μία μετατόπιση από την αρχική σε μία νέα θέση. Οι μετασχηματισμοί προκαλούν την μετατόπιση ενός αντικειμένου σε μια καθορισμένη κατεύθυνση και απόσταση, όπως φαίνεται στην εικόνα 4.4. ( x,) T ( x*,* ) Tx Εικόνα 4.4 Μετασχηματισμός μετατόπισης Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 6

7 Μαθηματικά, αυτό μπορεί να εκφραστεί ως εξής: x* = x + Tx (4.7) * = + T ή σε μορφή πίνακα: [ x* * 1] = [ x 1] 1 1 Tx T 1 (4.8) Είναι φανερό το πλεονέκτημα που μας προσφέρει η χρήση των ομογενών συντεταγμένων: οι μετασχηματισμοί σταθερού σώματος στις συνήθεις συντεταγμένες δεν μπορούν να παρασταθούν με τη μορφή πίνακα. Περιστροφή Η περιστροφή είναι ένας σημαντικός γεωμετρικός μετασχηματισμός στα γραφικά υπολογιστών. Χρησιμοποιείται συχνά, για να επιτρέψει στο θεατή να δει ένα αντικείμενο από διαφορετικές κατευθύνσεις ή να δημιουργήσει οντότητες τοποθετημένες σε μια κυκλική διάταξη.. Ο μετασχηματισμός περιστροφής είναι μια περιστροφή γύρω από την αρχή του συστήματος συντεταγμένων με μια καθορισμένη γωνία θ. Ας θεωρήσουμε ένα σημείο P(x, ), όπως φαίνεται στην εικόνα 4.5, περιστρέφοντάς το στη θέση P*(x*, *) κατά γωνία θ. Εφόσον πρέπει να υιοθετήσουμε μια σύμβαση σχετικά με την κατεύθυνση της περιστροφής, υποθέτουμε ότι οι περιστροφές, που είναι αντίθετες από την φορά των δεικτών του ρολογιού, είναι θετικές ενώ οι δεξιόστροφες αρνητικές. Η μετασχηματισμένη θέση P* του σημείου Ρ σύμφωνα με την περιστροφή μπορεί να υπολογιστεί με τη χρήση απλών τριγωνομετρικών σχέσεων: x = r cos φ = r sin φ (4.9) όπου φ και r είναι οι παράμετροι που φαίνονται στην εικόνα 4.5 και : x* = r cos (φ + θ) = r cos φ cos θ - r sin φ sin θ Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 7

8 * = r sin (φ + θ) = r sin φ cos θ - r cos φ sin θ (4.1) Y P*(x*,*) - Γ Θ P(x,) Φ X Εικόνα 4.5 Περιστροφή ενός σημείου Αντικαθιστώντας τα x και για τις σταθερές τιμές: x* = x cos θ - sin θ * = x sin θ + cos θ ή σε μορφή πίνακα: [ x* * 1] [ x 1] cosθ sinθ = sinθ cosθ 1 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 8

9 Σύνθετοι ισδιάστατοι Μετασχηματισμοί Τα περισσότερα δισδιάστατα προβλήματα απαιτούν όχι έναν αλλά μια σειρά από μετασχηματισμούς, προκειμένου να επιτύχουν τον επιθυμητό στόχο. Αυτή η ακολουθία μετασχηματισμών μπορεί να περιλαμβάνει, για παράδειγμα, μια αλλαγή στην κλίμακα, που ακολουθείται από μια μετατόπιση ή μια περιστροφή. Οι πίνακες που παριστάνουν κάθε μετασχηματισμό ανεξάρτητα πολλαπλασιάζονται με καθορισμένη σειρά ή κατά αλληλουχία και κατόπιν εφαρμόζονται στον πίνακα σημείων, για να επιτύχουν τις νέες θέσεις για κάθε σημείο. Ο χρόνος υπολογισμού που χρειάζεται για τον πολλαπλασιασμό των πινάκων μειώνεται με αυτήν την προσέγγιση - χωρίς αλληλουχία κάθε πίνακας θα έπρεπε να πολλαπλασιαστεί χωριστά με τον πίνακα σημείων, όπως έγινε στο παράδειγμα 4.1. Ιδιαίτερα πρέπει να προσέξουμε τη σειρά που πολλαπλασιάζονται οι πίνακες, γιατί μερικές από τις λειτουργίες μπορεί να μην είναι μεταβατικές. Για παράδειγμα, οι σειριακές περιστροφές δεν είναι μεταβατικές: δηλαδή η σειρά των λειτουργιών επηρεάζει το τελικό αποτέλεσμα. Τα ακόλουθα παραδείγματα δείχνουν τις προσεγγίσεις για να πετύχουμε σύνθετους μετασχηματισμούς. Παράδειγμα 4.1 Περιστρέψτε το ορθογώνιο που σχηματίζεται από τα σημεία Ρ 1 (1, 1), Ρ 2 (2, 1), Ρ 3 (2, 3), Ρ 4 (1, 3) κατά 3 μοίρες αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού γύρω από το σημείο S (3, 2) Λύση Η λύση περιλαμβάνει την παρακάτω ακολουθία μετασχηματισμών: 1) Μετατόπιση του S στην αρχή, γεγονός που αυτόματα κινεί το ορθογώνιο σε μια νέα θέση. (Αυτό μπορεί να περιγραφεί και ως μια κίνηση από την αρχή στο σημείο S) 2) Περιστροφή 3 μοιρών, αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού, CCW). 3) Μετατόπιση του S πίσω στην αρχική θέση, γεγονός που αυτόματα κινεί το ορθογώνιο σε μια νέα θέση. Η εικόνα 4.6 δείχνει την εφαρμογή αυτών των βημάτων. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 9

10 μετατόπιση περιστροφή μετατόπιση Εικόνα 4.6 Σύνθετος μετασχηματισμός Στη συνέχεια, παρουσιάζεται η λύση χρησιμοποιώντας αλληλουχία. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 1

11 Στην περίπτωση μοντέλων που περιγράφουν ένα μεγάλο αριθμό σημείων, υπάρχει ένας περισσότερο αποτελεσματικός υπολογιστικά τρόπος, προκειμένου να επιτύχουμε σύνθετους μετασχηματισμούς. Ο τρόπος αυτός είναι να πολλαπλασιάσουμε πρώτα όλους τους πίνακες και μόνο τότε να εφαρμόσουμε τον πίνακα σημείων. Το παράδειγμα 4.1 με την μέθοδο αυτή λύνεται ως εξής: Λύση [T] = = και [P]* = [P] [T] = = Άλλοι μετασχηματισμοί Εκτός από τους βασικούς τύπους των δισδιάστατων γεωμετρικών μετασχηματισμών αλλαγή κλίμακας, μετατόπισης και περιστροφής, μπορούμε να μελετήσουμε και άλλους τύπους. Από αυτούς οι πιο γνωστοί είναι η ανάκλαση και η στρέβλωση. Ανάκλαση Η ιδέα της ανάκλασης μπορεί να γίνει κατανοητή, αν σκεφτούμε ομοιώματα σ έναν καθρέφτη. Οι μετασχηματισμοί ανάκλασης είναι χρήσιμοι στη κατασκευή συμμετρικών αντικειμένων. Για παράδειγμα, μπορούμε να δημιουργήσουμε μισό αντικείμενο και στη συνέχεια να το «καθρεφτίσουμε», ώστε να δημιουργήσουμε όλη την εικόνα. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 11

12 Ανάκλαση μπορεί να υπάρξει τόσο για ένα σημείο όσο και για μια γραμμή. Ο πίνακας ανάκλασης που έχει σχέση με τους άξονες x, ή με την αρχή των αξόνων μπορεί να γραφεί με την εξής μορφή: [ T ] RFL = α b 1 Οι ακόλουθες περιπτώσεις δείχνουν διαφορετικές πιθανές ανακλάσεις ενός τριγώνου: 1) Ως προς τον άξονα x: οι τιμές x διατηρούνται, ενώ οι τιμές αντιστρέφονται. [ T RFL ] χ 1 = 1 1 2) Ως προς τον άξονα : οι τιμές διατηρούνται, ενώ οι τιμές x αντιστρέφονται. [ T RFL ] 1 = 1 1 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 12

13 3) Ως προς την αρχή των αξόνων: τόσο οι τιμές x όσο και οι τιμές αντιστρέφονται. [ T RFL ] o 1 = 1 1 Είναι επίσης πιθανές άλλες ανακλάσεις μέσω των γενικών γραμμών ή σημείων. Μια από αυτές τις περιπτώσεις είναι η ανάκλαση ενός τριγώνου ως προς τη γραμμή = x. Ανάκλαση ως προς τη γραμμή = x [T ] = RFL (Y=X) Cos45 O O -sin45 O O Sin45 Cos Cos45 O O sin45 O O -Sin45 Cos45 1 Περιστροφή ως προς άξονα χ Ανάκλαση ως προς τον άξονα χ Περιστροφή,επιστροφή στην αρχική θέση Y=x Y=x x x x x Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 13

14 Παράδειγμα 4.3 ημιουργήστε το είδωλο του ευθύγραμμου τμήματος που σχηματίζεται από τα σημεία Α(-1, -1) και Β(2, 1) ως προς τον άξονα x = -2. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα πριν και μετά το μετασχηματισμό. Λύση Τα βήματα για την επίλυση του προβλήματος είναι (βλ. Εικόνα 4.7): 1) Μετακίνηση του άξονα (x = -2), ώστε να συμπέσει με τον άξονα. 2) Ανάκλαση της γραμμής ΑΒ ως προς τον άξονα. 3) Μετακίνηση του άξονα ανάκλασης στην αρχική του θέση. Οι παρακάτω πίνακες δείχνουν τα βήματα αυτά: [T] = = Εφαρμόζοντας τον πίνακα αλληλουχίας στον πίνακα σημείου παράγονται τα καθρεπτιζόμενα σημεία: = Οι μετασχηματισμένες θέσεις είναι: Α* ( -3, -1) Β* ( -6, 1) Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 14

15 Y B*(-6,1) B(2,1) A*(-3,-1) A(-1,-1) X X=-2 Εικόνα 4.7 Σύνθετος μετασχηματισμός Στρέβλωση Οι μετασχηματισμοί στρέβλωσης αλλάζουν την τιμή μιας συντεταγμένης προσθέτοντας σ αυτήν μια γραμμική συνάρτηση της άλλης συντεταγμένης. Ο γενικός πίνακας στρέβλωσης είναι: [T SH ] = 1 b c 1 1 Στη συνέχεια, περιγράφεται η στρέβλωση ενός τετραγώνου για συγκεκριμένες περιπτώσεις. κάποιες Η x-διεύθυνσης στρέβλωση (επηρεάζει μόνο τη x συντεταγμένη) δίδεται από τον πίνακα: Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 15

16 [T SH ] x = 1 SH x 1 1 και η -διεύθυνσης στρέβλωση (επηρεάζει μόνο την συντεταγμένη) από τον πίνακα: [T SH ] = 1 SH 1 1 Y Y (X,, 1). ((X+SHX Y), Y, 1) X Y Y (X,, 1) X. ((X+SHX Y), Y, 1) X Περίληψη Οι δισδιάστατες αναπαραστάσεις μοντέλων, χρησιμοποιούνται συχνά στη λύση πολλών προβλημάτων, που εξετάζονται σ αυτό το κεφάλαιο. ιάφοροι μετασχηματισμοί, όπως περιστροφή, αλλαγή κλίμακας και ανάκλαση, έχουν οριστεί και συσχετιστεί με ειδικές εντολές που χρησιμοποιούνται σε καινούρια συστήματα CAD. Από τα παραπάνω φαίνεται ότι οι δισδιάστατοι μετασχηματισμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν αποτελεσματικά σε πολλές εφαρμογές. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 16

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ. Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ. Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ Γ Ρ Α Φ Ι Κ Α Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί εξιόστροφο σύστημα Θετικές περιστροφές ως προς τους άξονες συντεταγμένων x, y, z Αριστερόστροφο Σύστημα Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μετασχηματισμών

Θεωρία μετασχηματισμών Μήτρα Μετασχηματισμού Η γεωμετρία ενός αντικειμένου μπορεί να παρουσιαστεί από ένα σύνολο σημείων κατανεμημένων σε διάφορα επίπεδα. Έτσι λοιπόν ένα πλήθος δεδομένων για κάποιο αντικείμενο μπορεί να αναπαρασταθεί

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης. Γραφικά Υπολογιστών ΣΤ Εξάμηνο. Δρ Κωνσταντίνος Δεμερτζής

Γραφικά Υπολογιστών. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης. Γραφικά Υπολογιστών ΣΤ Εξάμηνο. Δρ Κωνσταντίνος Δεμερτζής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης ΣΤ Εξάμηνο Δρ Κωνσταντίνος Δεμερτζής η Μετασχηματισμοί kdemertz@fmenr.duth.gr Μετασχηματισμοί Κατά τον σχηματισμό του εικονικού κόσμου

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διαλέξεις #11-#12

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διαλέξεις #11-#12 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmlonas@ionio.gr Διαλέξεις #-# Σύνθεση Δ Μετασχηματισμών Ομογενείς Συντεταγμένες Παραδείγματα Μετασχηματισμών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη #10. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Γραφικά με υπολογιστές. Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο.

Διάλεξη #10. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Γραφικά με υπολογιστές. Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο. Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmlonas@ionio.gr Διάλεξη # Δ Μετασχηματισμοί (γενικά) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Απλοί Συσχετισμένοι

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations)

Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations) Μετασχηματισμοί Δ Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling trnformtion) Καθορισμός μετασχηματισμών των αντικειμένων Τα αντικείμενα περιγράφονται στο δικό τους σύστημα συντεταγμένων Επιτρέπει την χρήση

Διαβάστε περισσότερα

2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων

2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων 2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Σύνοψη του σημερινού μαθήματος 1 Εισαγωγή 2 Επανάληψη 3 Συσχετισμένοι 4 Γραμμικοί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Oι οπτικές επιδράσεις, που μπορεί να προκαλέσει μια εικόνα στους χρήστες, αποτελούν ένα από τα σπουδαιότερα αποτελέσματα των λειτουργιών γραφικών με Η/Υ. Τον όρο της οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μωσαϊκά-Συρραφή Εικόνων Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα

Μαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα Κεφάλαιο 3 Μαθηματικό υπόβαθρο Μαθησιακοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση αυτού του κεφαλαίου, ο αναγνώστης θα είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις βασικές ιδιότητες και να πραγματοποιεί πράξεις των σημείων και των

Διαβάστε περισσότερα

cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ

cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 33 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Νοε 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ 102-33 Νοε 2014 1 / 11 Μετασχηματισμοί του επιπέδου Πολλοί μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b. Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM)"

Σημειώσεις για το μάθημα Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM) ΑΤΕΙ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM" Εαρινό εξάμηνο 5 Χ. Οικονομάκος . Γενικά Χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών στα προγράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 - Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί και Προβολές

Κεφάλαιο 3 - Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί και Προβολές Κεφάλαιο 3 - Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί και Προβολές Σύνοψη Το παρόν κεφάλαιο είναι θεμελιώδες για τα συστήματα γραφικών. Αποτελεί τη βάση για την υλοποίηση πολλών πιο πολύπλοκων διαδικασιών όπως ο φωτισμός,

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σαν μετασχηματισ

Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σαν μετασχηματισ Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Ο πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design)

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) Ενότητα # 2: Στερεοί Μοντελοποιητές (Solid Modelers) Δρ Κ. Στεργίου

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση με Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές

Σχεδίαση με Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σχεδίαση με Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Ενότητα # 2: Μετασχηματισμοί συντεταγμένων στις 2 διαστάσεις Καθηγητής Ιωάννης Γ. Παρασχάκης Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Θέση και Προσανατολισμός

Θέση και Προσανατολισμός Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου

Διαβάστε περισσότερα

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης Ενημερωτική Συνάντηση Ομάδων Εργασίας Ν.Α.Π. Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Λευκωσία, 8 Μαΐου 2012 Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Απαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε 2Δ συσκευές. Θέση παρατηρητή. 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης

Απαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε 2Δ συσκευές. Θέση παρατηρητή. 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης Προβολές Προβολές Απαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε Δ συσκευές. Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3Δ Μαθηματικά Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 1 η Σειρά Ασκήσεων Πλαίσια, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και προβολές 1. Y B (-1,2,0) A (-1,1,0) A (1,1,0)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΠΛΑΝΗΤΗ ΓΗ

ΜΕΤΡΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΠΛΑΝΗΤΗ ΓΗ του Υποπυραγού Αλέξανδρου Μαλούνη* Μέρος 2 ο - Χαρτογραφικοί μετασχηματισμοί Εισαγωγή Είδαμε λοιπόν ως τώρα, ότι η γη θα μπορούσε να χαρακτηρισθεί και σφαιρική και αυτό μπορεί να γίνει εμφανές όταν την

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender

Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender Στον πραγματικό κόσμο, αντιλαμβανόμαστε τα αντικείμενα σε τρεις κατευθύνσεις ή διαστάσεις. Τυπικά λέμε ότι διαθέτουν ύψος, πλάτος και βάθος. Όταν θέλουμε να αναπαραστήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0

Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0 Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0 Παράθυρα των εγγράφων Επιφάνεια του σχεδίου. Σχεδιάστε εδώ νέα αντικείμενα με τα εργαλεία σημείων, διαβήτη, σχεδίασης ευθύγραμμων αντικειμένων και κειμένου.

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 6: Γεωμετρικά σχήματα και μεγέθη δύο και τριών διαστάσεων Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστηριακές Ασκήσεις

Φροντιστηριακές Ασκήσεις Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ Φροντιστηριακς Ασκήσεις Άσκηση ίνεται να τρίγωνο με τις ακόλουες συντεταγμνες κορυφών: Α(, ), Β(, ) και Γ(, ). Περιστρψτε το κατά 9 μοίρες γύρω από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Νίκος Βλάσσης Τµήµα Μηχανικών Παραγωγής και ιοίκησης Πολυτεχνείο Κρητης Ροµποτική, 9ο εξάµηνο ΜΠ, 2007 Ροµπότ SCR 1 Περιεχόµενα Στοιχεία γραµµικής άλγεβρας Χωρικές

Διαβάστε περισσότερα

t : (x, y) x 2 +y 2 y x

t : (x, y) x 2 +y 2 y x Σύνοψη Κεφαλαίου 5: Αντιστροφική Γεωμετρία Αντιστροφή 1. Η ανάκλαση σε μία ευθεία l στο επίπεδο απεικονίζει ένα σημείο A σε ένα σημείο A που απέχει ίση απόσταση από την l αλλά βρίσκεται στην άλλη πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ Ένα γεωμετρικό μοντέλο είναι μια αριθμητική περιγραφή ενός αντικειμένου, που περιλαμβάνει το μέγεθος, το σχήμα, καθώς και άλλες ιδιότητές του. Η περιγραφή του μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A Α Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Παραμετρική σχεδίαση Παραμετρικό αντικείμενο (2D σχήμα/3d στερεό) ονομάζουμε το αντικείμενο του οποίου η (γεωμετρική)

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Εισαγωγικές Ένvοιες ΙI Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Τα βασικά γεωμετρικά αντικείμενα και οι μεταξύ τους σχέσεις μπορούν να περιγραφούν με τρεις βασικές γεωμετρικές οντότητες: σημεία, βαθμωτά μεγέθη, διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί

Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί (olts) Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί Γενικά Σε κυκλώματα DC, οι ηλεκτρικές μεγέθη εξαρτώνται αποκλειστικά από τις ωμικές αντιστάσεις, φυσικά μετά την ολοκλήρωση πιθανών μεταβατικών φαινομένων λόγω παρουσίας

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Δισδιάστατες Κυματομορφές Σήματος

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Δισδιάστατες Κυματομορφές Σήματος Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Δισδιάστατες Κυματομορφές Σήματος Εισαγωγή Στα προηγούμενα μελετήσαμε τη διαμόρφωση PAM δυαδικό και Μ-αδικό, βασικής ζώνης και ζωνοπερατό Σε κάθε περίπτωση προέκυπταν μονοδιάστατες

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6.

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6. 1 8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Πρόβλημα 8.6. Το σύρμα του παρακάτω σχήματος έχει άπειρο μήκος και διαρρέεται από ρεύμα I. Υπολογίστε με τη βοήθεια του νόμου του Biot-Savart με ολοκλήρωση το μέτρο και την κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του Ροµποτική Ο χειρισµός αντικειµένων και εργαλείων από ένα ροµποτικό βραχίονα σηµαίνει ότι το ροµπότ πρέπει να είναι ικανό να τοποθετεί και να προσανατολίζει κατάλληλα το άκρο του στο χώρο εργασίας π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

Τα ρομπότ στην βιομηχανία

Τα ρομπότ στην βιομηχανία Τεχνολογικό Eκπαιδευτικό Ίδρυμα Kρήτης Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής" Βιομηχανική Ρομποτική «Κινηματική στερεών σωμάτων» Δρ. Φασουλάς Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Γενικά Επειδή οι επιφάνειε δευτέρου βαθμού συναντώνται συχνά στη μελέτη των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών θεωρούμε σκόπιμο να τι περιγράψουμε στην αρχή του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 5. - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 opyight ΕΜΠ - Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία μετασχηματισμών. Τα ρομπότ στην βιομηχανία

Εισαγωγή στη θεωρία μετασχηματισμών. Τα ρομπότ στην βιομηχανία Τεχνολογικό Eκπαιδευτικό Ίδρυμα Kρήτης Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής" Βιομηχανική Ρομποτική «Κινηματική στερεών σωμάτων» Τα ρομπότ στην

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

7 ο Εργαστήριο Θόρυβος 2Δ, Μετακίνηση, Περιστροφή

7 ο Εργαστήριο Θόρυβος 2Δ, Μετακίνηση, Περιστροφή 7 ο Εργαστήριο Θόρυβος 2Δ, Μετακίνηση, Περιστροφή O θόρυβος 2Δ μας δίνει τη δυνατότητα να δημιουργίας υφής 2Δ. Στο παρακάτω παράδειγμα, γίνεται σχεδίαση γραμμών σε πλέγμα 300x300 με μεταβαλόμενη τιμή αδιαφάνειας

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΟΠΤΙΚΗΣ & ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Καθ. Η. Ν. Γλύτσης, Tηλ.: 210-7722479 - e-mail:

Διαβάστε περισσότερα