Električne lastnosti vodov. Ohmske upornosti. Induktivnost vodov. Kapacitivnost vodov. Odvodnost vodov. Vod v svetlobi telegrafske enačbe.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Električne lastnosti vodov. Ohmske upornosti. Induktivnost vodov. Kapacitivnost vodov. Odvodnost vodov. Vod v svetlobi telegrafske enačbe."

Transcript

1 Električne lastnosti vodov Ohmske upornosti. Induktivnost vodov. Kapacitivnost vodov. Odvodnost vodov. Vod v svetlobi telegrafske enačbe.

2 Primarne konstante vodov Če opazujemo električni vod iz istega zornega kota kot električna vezja, mu moramo pripisati enake parametre kot jih ima električno vezje: upornost, induktivnost in kapacitivnost. Razen teh treh lastnosti poznamo pri vodih še odvodnost, ki je posledica nepopolnosti izolacije oz. dielektrika. Ker se pojavi na vodih širijo vzdolž voda z veliko vendar končno hitrostjo, parametri vodov niso koncentrirani ampak porazdeljeni. Zato jih podajamo na enoto dolžine. V homogenem vodu so vsi štirje parametri (upornost, induktivnost, kapacitivnost, odvodnost) vzdolž voda konstantni in jih zato imenujemo konstante voda (primarne konstante). Ohmsko upornost R in reaktanco X vektorsko seštejemo v impedanco Z. Zanimiva je primerjava impedanc in kotov vodov (nadzemnih daljnovodov in podzemnih kablov) z impedančnimi koti ostalih elementov elektroenergetskih sistemov, ki imajo koncentrirane parametre (generatorji, transformatorji). Preglednica: Impedančni koti elementov elektroenergetskega sistema tg = X / R Generatorji Transformatorji Daljnovodi Kablovodi 0,

3 X generatorji transformatorji daljnovodi Z = R + j X kabli tg = X / R Generatorji Transformatorji Daljnovodi Kablovodi 0, R 3

4 Ohmske upornosti Ohmska upornost vodnika je upornost, s katero se vodnik upira pretoku enosmernega toka. Upornost vodnika je odvisna od oblike in snovi, iz katere je vodnik, razen tega pa še od temperature, frekvence in gostote toka, ki teče skozi vodnik. Ohmsko upornost daljnovoda na enoto dolžine R' L pri temperaturi vodnika 0 C določimo iz nazivnega prereza A n in specifične upornosti : R ' L A n Kot specifične upornosti lahko uporabimo naslednje vrednosti: material: baker aluminij aluminijeve zlitine spec. upornost m spec. upornost mm m , ,0941 0,

5 Induktivnost Za izračun skupne induktivnosti moramo oba prispevka sešteti (magnetne silnice računamo od osi vodnika do razdalje d: L L L 1 4 H ln d d ln 10 8 km 0 0 zun not rv rv Oba člena v oklepaju lahko tudi drugače zapišemo: 4 d 1 L 10 ln rv 4 4 d 0,5 10 ln ln e rv 4 d 4 d H 10 ln 10 ln 0,5 rv e r km 0,5 Kjer je r re GMR rve 0,779 rv ekvivalentni polmer, v literaturi poznan tudi pod imenom geometrijski srednji polmer. Predstavlja polmer manjšega vodnika, ki nima magnetnih silnic v notranjosti; njegova zunanja induktivnost je enaka vsoti notranje in zunanje induktivnosti dejanskega vodnika. 5

6 Kapacitivnost V računih za simetrično obremenitev lahko upoštevamo, da ima vsaka faza trifaznega voda enako obratovalno kapacitivnost: q C U = F A s d ln V m r v Za nadzemne vode je dielektrik (izolator) zrak in s tem dielektrična konstanta 8, A s V km A s 36 V m Kot razdaljo do sosednjih vodnikov vstavimo geometrijsko srednjo razdaljo d d 3 d d d in določimo obratovalno kapacitivnost kot: sr L1L LL3 L1L3 C 1 F 6 d sr ln km r v 6

7 Odvodnost Vsak vod ima tudi od toka neodvisne izgube, ki nastanejo zaradi nepopolne izolacije. Te izgube predstavimo s pomočjo parametra, ki mu pravimo odvodnost. Ta parameter si predstavljamo kot ohmski upor, ki je priključen med vodnikom in zemljo. Odvodnost ima enoto Siemens oz. S/km za predstavitev odvodnosti na enoto dolžine. Če poznamo izgube v izolaciji na enoto dolžine P i, lahko ustrezno odvodnost (konduktanco prevodnost) izračunamo z enačbo: P G U i S/km V andzemnih vodih srečujemo poleg tako imenovanih odvodnih izgub še koronske izgube. Ene in druge izgube so močno odvisne od vremenskih razmer in sicer so ob vlažnem vremenu veliko večje kot pa pri suhem vremenu. Vpliv teh izgub je pri višjih napetostnih nivojih večji kot pri nižjih in za nivoje nad 0 kv je njihov vpliv nujno potrebno upoštevati. Koronske izgube so tudi precej večje kot odvodne izgube. I 1 R X I U 1 B/ G/ G/ B/ U 7

8 Daljnovod v svetlobi telegrafske enačbe Vod je edini element elektroenergetskega omrežja, ki ima prostorsko porazdeljene parametre Slika kaže par potujočih valov napetosti in toka, u in i, na enojnem vodu dveh vodnikov. Eden izmed obeh vodnikov je lahko in običajno tudi je zrcalna slika nadzemnega voda. Slika je (ob predpostavki idealno vodljive zemlje) na enaki razdalji h pod površino kot je nadzemni vod nad njo. Parametri voda so: R upornost na enoto dolžine [Ω/m] L induktivnost na enoto dolžine [H/m] G odvodnost na enoto dolžine [S/m] C kapacitivnost na enoto dolžine [F/m] in ustrezne vrednosti za element dolžine dx so R dx, L dx, G dx in C dx. h u i c R u i Ravnina potenciala nič G L u u x i i x L R C y f h G C u i c R L L R x dx 8

9 9 Potujoči valovi na prenosnem vodu in povezano elektromagnetno polje R G C u i f dx x u i u i h h L L R R L L R G C u u x i i x Ravnina potenciala nič c c y

10 Z napetostnim valom je povezan električni pretok ψ in s tokovnim valom magnetni pretok Φ.Za vsak element dx voda velja d = i L dx d = uc dx Padec napetosti v pozitivni smeri x na elementu dx je zaradi dφ in upornosti voda u du dxirdx d RL idx x t t Skupna sprememba toka v elementu dx je vsota odvodnega toka in polnilnega toka i di dxugd x (d ) GC udx x t t 10

11 Z uporabo Heavisideove transformacije lahko enačbi zapišemo v slikovnem prostoru v obliki u RLpiZi x i GCpu Y u x Z = (R + L p) je impedančni operator in Y = (G + C p) je admitančni operator. Enačbi sta dobro znani diferencialni enačbi enojnega prenosnega voda. S ponovnim odvajanjem enačbe za tok po kraju in ob upoštevanju enačbe za napetost dobimo u i p p x x Z Y Z u R G R C G L L C u u Ponovno odvajanje enačbe za napetost, ob upoštevanju enačbe za tok, da i i p p x x Y Z Y i R G R C G L L C i i 11

12 Končna diferencialna enačba ima enako obliko za napetost in tok. Rešitvi za napetost in tok se tako razlikujeta samo v robnih pogojih vhodnih in izhodnih sponk voda. Enačbo, ki je splošno znana pod imenom telegrafska enačba, sta že pred mnogimi leti rešila Heaviside v Angliji in Poincaré v Franciji. x u e f() t e f() t x 1 Y x x i e f() 1 t e f() t Z V rešitvah sta f 1 (t) in f (t) integracijski konstanti, odvisni samo od razdalje x in neodvisni od časa t. 1

13 Enačbi sta splošni operatorski rešitvi. Operator R G ZY ( RLp) ( GCp) LC p p L C, zapišemo v obliki 1 1 ZY (p ) (p ) (p ) c c v kateri so c 1 L C hitrost (fazna) širjenja, 1 R G L C konstanta dušenja, 1 R G L C fazna konstanta (konstanta faznega zasuka) in Z RLp L p R/ L L p Y GCp C p G/ C C p valovna upornost. 13

14 Telegrafska enačba pri obratovalni frekvenci Poseben problem pri modeliranju prehodnih pojavov na digitalnem računalniku je poznavanje parametrov vključenih elementov. Večinoma so znane samo linearne vrednosti za ustaljeno obratovalno stanje pri obratovalni frekvenci. Napetost in tok izrazimo s kompleksnimi vrednostmi na začetku in koncu voda. Običajno opazujemo v elektroenergetskih omrežjih odvisnost vhodnih veličin od izhodnih (odjemalec je kralj!), zato štejemo pozitivno smer od izhodnega konca proti vhodnemu. 1 Z dx I 1 I d I du Y dx U 1 U L x dx x L 14

15 V dosedanjem izvajanju smo opazovali vod, na katerega je priključena napetost poljubne oblike. Ker pa vodi v elektroenergetskem sistemu obratujejo vedno pri napetosti, ki je vsaj približno sinusne oblike, bomo od sedaj opazovali vod, na katerega je priključena sinusna napetost. Trenutne vrednosti sinusne napetosti in toka lahko z efektivnimi veličinami izrazimo na naslednji način j t j( t ) u Re U e in ire I e V originalnih enačbah nastopata prvi in drugi odvod napetosti in toka, ki sedaj znašata u i Re j e in Re j e t t u t i Re U e in Re I e t t jt j( t) U I j j( t) Vidimo, da se časovna odvisnost nekako skrije v krožno frekvenco, zato se telegrafske enačbe prelevijo iz parcialne v navadno obliko. 15

16 Vidimo, da se časovna odvisnost nekako skrije v krožno frekvenco, zato se telegrafske enačbe prelevijo iz parcialne v navadno obliko. Tako preidejo sistemi enačb v obliko in u du Z I xt, dx i di Y U xt, dx d U d Z I di Z ZY U dx dx dx d I dy U du Y Y Z I dx dx dx 16

17 Iz telegrafske enačbe želimo določiti vrednosti U (x) in I (x) v poljubni točki voda, če sta znani vrednosti U in I na koncu voda. Z uporabo Heavisideove transformacije lahko enačbo za napetost zapišemo v slikovnem prostoru v obliki ' p U p pu x0 U x0 U p 0 Če izberemo x 0 = 0, je U (0) = U je du d I x Z Če vstavimo obe dobljeni vrednosti v enačbo za napetost v slikovnem prostoru, dobimo p p p U U I Z od tod izrazimo transform U (p) kot U p I Z p p p U 17

18 Za znana Heavisideovea para p p p ch sh dobi original transforma obliko x x ch sh U x x U Z x I v Vrednost toka I (x) dobimo na enak način x 1 du I x Y sh xu ch x I Z d x v 18

19 1 Z dx I 1 I d I du Y dx U 1 U L x dx x L To sta tako imenovani telegrafski enačbi, ki sta poenostavljeni Maxwellovi enačbi za periodične funkcije. ch sh sh ch U x x U Z x I v I x Y x U x I v Enačbi veljata za poljubno točko voda, torej tudi za začetek voda x = l. ch sh U x l l U Z l I 1 v sh ch I x l Y l U l I 1 v

20 Sekundarni parametri voda Označbe v telegrafskih enačbah so: Z in Y sta obratovalni impedanca in admitanca v znani obliki Z R j L R j X Y G j C G j B V enačbah označimo še z ZY ali ZY j propagacijsko konstanto ali konstanto širjenja. Konstanta širjenja je na splošno za sinusne oblike toka in napetosti kompleksna vrednost. Realno komponento imenujemo konstanto dušenja; pove, kako se vzdolž voda spreminja temenska vrednost sinusne veličine. Imaginarno komponento β imenujemo fazna konstanta (konstanta vrtenja); pove, kako se spreminja fazni kot sinusne veličine vzdolž voda. 0

21 Z Y ali Z Y j U x β 6000 km za f 50 Hz

22 1 1 1 c ZY R L G C j j LC d ln r d ln r Za daljnovode je dielektrik zrak: r = 1 in ε r = 1 c c 0 Za kable je dielektrik zamrežen polietilen ali PVC: r = 1 in ε r ~ 3,5 c 1 0 r 0

23 Nadalje vpeljemo oznake Z Z Z Y oziroma Y Y v, Z Z v kjer je Z v valovna upornost in Y v = 1 / Z v valovna prevodnost voda. Valovno upornost Z v in konstanto širjenja imenujemo tudi sekundarna parametra voda. Z V R G j L j C Za nadzemne vode znaša okoli 360, za kable 40 in je neodvisna od dolžine nadzemnega voda. Za idealni (brezizgubni) nadzemni vod lahko zapišemo Z V d 4 d ln 10 ln L r r C 1 60ln d 6 d ln 1810 ln r r d r 3

24 Potujoči valovi Pri zelo dolgih vodih moramo napetostne in tokovne razmere opisovati s tako imenovanimi telegrafskimi enačbami, ki sta poenostavljeni Maxwellovi enačbi za periodične funkcije. Napetost in tok na vhodu izrazimo z izhodnimi vrednostmi s hiperboličnimi funkcijami in sekundarnima parametroma voda, valovno upornostjo Z V in konstanto širjenja ch sh sh ch U x l l U Z l I 1 v I x l Y l U l I 1 v Enačbi veljata za poljubno točko voda, torej tudi za začetek voda x = l.

25 Bolj nas zanima napetostni val, saj tokovni valovi ne obremenjujejo izolacije. Hiperbolski funkciji lahko po Eulerju izrazimo z eksponentno funkcijo x x x x e e e e U x U Z V I 1 x 1 U x U Z V I e U Z V I e x x x x e e e e I x I Y V U 1 x 1 I x I Y V U e I Y V U e Prvi člen imenujemo direktni potujoči val, drugega pa odbiti potujoči val. Napetost v poljubni točki voda je vsota obeh valov. V slučaju, da takšen potujoči val naleti na spremembo valovne upornosti, pride do odboja, pri katerem se energija električnega polja pretvori v energijo magnetnega polja, energija magnetnega polja pa v energijo električnega polja. Posebni primeri: x x

26 a) Odprt konec voda: I = 0 napetostni direktni in odbiti val imata isto fazo 1 x 1 Ux U ZV Ie U ZV Ie 1 x 1 x Ux U e U e x U 1 U U 1 U U 1

27 b) Kratko sklenjen konec voda: U = 0 napetostni direktni in odbiti val imata nasprotno fazo 1 x 1 Ux U ZV I e U ZV I e 1 x 1 x Ux Z V I e Z V I e x U 1 U 1 U U 1 U

28 c) Konec voda je zaključen z Z V : I U Z odbitega vala ni V 1 x 1 x Ux U Z V I e U Z V I e 1 U x 1 U Ux U ZV e U ZV e ZV ZV / x U 1 Z v U U 1 Z v U U 1 Z v

29 Splošni primer spremembe valovne upornosti Ko pride udarni val do manjše valovne upornosti, naleti na razmere, ki so nekje vmes med primerom, ko ima kabel enako valovno upornost kot nadzemni vod, in primerom, ko bi bila v stični točki valovna upornost nič. Udarni val ne gre naprej nespremenjen niti ne pade njegova amplituda na nič; zgodi se nekaj vmesnega njegova amplituda se zmanjša. U 1 I 1 nadzemni vod Z v1 Z v U 1 kabelski vod nadzemni vod I 1 Z v1 Z v kabelski vod I U nadzemni vod Z v1 Z v kabelski vod nadzemni vod Z v1 Z v kabelski vod U 1 U 1 I 1 I 1 U 1 I 1 nadzemni vod Z v1 Z v kabelski vod nadzemni vod Z v1 Z v kabelski vod a) Potek napetosti b) Potek tokov

30 Sprememba napetosti in toka pri prehodu potujočega vala iz Z V1 v Z V Vzemimo, da se valovna upornost spremeni iz Z V1 na Z V. Označimo direktni potujoči val z U 1, odbiti val z U 1 ' in z U tisti del direktnega vala, ki se širi naprej po vodu z valovno upornostjo Z V ter ga imenujemo prehodni val. Primer takšne nehomogenosti imamo pri prehodu prostega voda v kabelski vod. Valovna upornost kabla je mnogo manjša od valovne upornosti nadzemnega voda. Prehodni val ima amplitudo U, ki je manjša od prvotne amplitude vala U 1. V stični točki je lahko samo ena napetost, ki se s hitrostjo c širi levo in desno. Ker pa stična točka istočasno predstavlja konec nadzemnega voda (in začetek kabla), pravimo, da imamo v nadzemnem vodu udarni val U 1 in superponirani odbiti val U 1 ', vsota obeh pa daje napetost U, ki se širi s hitrostjo c v levo in desno. Dobimo delni odboj in delni prehod vala.

31 Ob upoštevanju osnovnih zakonov elektrotehnike (Ohmov in Kirchhofov zakon) lahko določimo razmere tudi velikostno. Imamo tri znane veličine: udarni val U 1 in valovni upornosti nadzemnega voda Z V1 in Z V. Iščemo pet neznanih veličin: udarni tok I, napetost prehodnega vala U, napetost odbitega vala U 1 ', tok prehodnega vala I in tok odbitega vala I 1 '. Potrebujemo pet enačb. Tri enačbe dobimo po Ohmovem zakonu, s tem, da upoštevamo, da se odbiti val premika v nasprotni smeri kot udarni U U U I I I ' ZV1 Z Z V V1 Nadaljni enačbi dobimo iz posebnih pogojev, ki veljajo v stični točki (tok in napetost sta enaka) U = U 1 '+ U 1 in I = I 1 '+ I 1

32 Tok prehodnega vala je tako U U U U U U U U I Z I I1+ I 1 Z Z Z Z Z Z Z Z V V1 V1 V1 V1 V1 V1 V1 V1 I Z U I Z oz. I Z Z U V1 1 V V1 V 1 I U1 Z Z V1 V Napetostni prehodni val dobimo, če prehodni tok pomnožimo z valovno upornostjo Z V U IZV U1 Z V1 Z V Faktor prehoda definiramo kot razmerje prehodne in udarne napetosti p U ZV U Z Z 1 V1 V

33 Napetost odbitega vala Z Z Z U U U U U U Z Z Z Z V V V V1 V V1 V Faktor odboja definiramo kot razmerje odbite in udarne napetosti r U Z Z U Z Z 1 V V1 1 V1 V Ostane še odbiti tokovni val U U Z Z I 1 Z Z Z Z 1 1 V V1 V1 V1 V1 V

34 kabel prosti vod transformator odprte sponke Z VK 40 Z VV 360 Z VT 4500 Z 0 E U U 1,8U p Z 360 Z Z V V1 V 1,8 U 1,8U 3,33U p Z 4500 Z Z V V1 V 1,85 1,8U 3,33U 6,66U p Z Z Z 4500 V V1 V

35 Optimalne prenosne razmere Optimalne prenosne razmere dosežemo, če se potrebe po induktivni jalovi moči zaradi vzdolžne reaktance voda kompenzirajo s polnilno močjo. To pomeni: 3I X 3 B U f Razmerje fazne napetosti in toka v faznih vodnikih mora za takšno kompenzacijo doseči: Uf X L Zv I B C To je tako imenovana obratovalna valovna upornost voda, kateri bi naj bilo prilagojeno breme na koncu voda. Tako določenemu toku ustreza tako imenovana naravna moč trifaznega voda: P U f N 3 U Z v U Z v 35

36 Natančna nadomestna vezava voda Enačbi veljata za poljubno točko voda, torej tudi za začetek voda x = l. Tam je U(l) = U 1 in I(l ) = I 1. Če ju zapišemo v matrični obliki, dobimo l Z v sh l ch U1 ch U I 1 Y v sh l l I natančno četveropolno predstavitev voda v "A" obliki s koeficienti A ch l A Z sh l A Y sh l A ch l 36

37 Iz teh vrednosti lahko določimo tudi elemente nadomestnega vezja za dolgi vod Y 1 Z 1 1 A11 ch l A1 Z v sh l Y A1 Y v sh l A ch l nadomestna π vezava U U Z I Y U 1 1 I Y U Y U I koeficienti "A" predstavitve U A U A I I A U A I 1 1 Z A Z sh l 1 1 v A 1 A 1 ch 1 l Y Y Y th. l 11 1 v A1 A1 Z v sh l 37

38 Z1 A1 Z0 sh l 1 Y A 1 l Y th A Y A 11 1 l Y th A 0 1 Z A Z sh l 1 1 v A 1 A 1 ch 1 l Y Y Y th. l 11 1 v A1 A1 Z v sh l Enačbi predstavljata natančno predstavitev voda kot elementa s porazdeljenimi parametri. Členi v nadomestni vezavi so odvisni tako od konstante širjenja kot tudi od valovne upornosti voda Z 0 (oziroma Y 0 ) in dolžine voda. 38

39 Z1 A1 Z0 sh l 1 Y A 1 l Y th A Y A 11 1 l Y th A 0 1 Opisani model električnega voda je, kot smo že prej omenili, treba uporabiti za dolge vode. Pri napetosti s frekvenco 50 Hz znaša valovna dolžina = 6000 km, saj vzamemo v izračunu za hitrost širjenja valov kar svetlobno hitrost c 0. Vod, ki ga lahko pri obratovalni frekvenci upoštevamo za kratkega, postane pri neki višji frekvenci dolg. Pri strmini čela udarnega vala 1 μs ocenimo frekvenco na 1 MHz, ustrezna valovna dolžina se skrajša na okoli 30 m. 39

40 Izraz za Zv pa lahko zapišemo tudi v obliki: Zv z z l Z, l l kjer je Z = z l seštevek vseh diferencialnih vzdolžnih upornosti. To vstavimo v izraz za sh l Z Z 1 Z v sh l sh l Z l l Vrednost propagacijske konstante je sorazmerno majhna, zato še za sorazmerno velike razdalje l velja približek sh l l 1 in smemo v nadomestni π - vezavi uporabljati vrednosti Z 1 Z. 40

41 Podobno zapišemo še izraz za Y v v obliki: Y v y y l Y Y 1 l l l, kjer je Y = y l seštevek vseh diferencialnih prečnih prevodnosti.. To vstavimo v izraz za l l Y 1 l Y th Y 1 Y Y v th th l l Vrednost propagacijske konstante je sorazmerno majhna, zato še za sorazmerno velike razdalje l velja približek l th 1 l Y in smemo v nadomestni π - vezavi uporabljati vrednosti Y 1 Y. 41

42 Poenostavljena nadomestna vezava I 1 R X I U 1 Y/ Y/ U To poenostavljeno nadomestno vezavo smemo uporabljati do skupne dolžine vodov l = 00 km, za daljše pa natančno formulo. Za visoke in najvišje napetosti gre ta meja še navzgor, za srednje pa navzdol, zato moramo v dvomljivem primeru izračunati in razmerji ugotoviti. 4

43 I 1 R I X k U 1 U Za kratke vode smemo prečne prevodnosti zanemariti in kratki vod predstaviti kar z enoelementnim četveropolom, kjer upoštevamo le vzdolžno impedanco voda. Enako sliko uporabimo za vode pri izračunih kratkih stikov, kjer zlasti v orientacijskih izračunih zanemarimo še ohmsko komponento vzdolžne impedance. 43

44 I 1 I R U 1 U 44

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.

Διαβάστε περισσότερα

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.

Διαβάστε περισσότερα

1. Trikotniki hitrosti

1. Trikotniki hitrosti . Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedna in vzporedna feroresonanca

Zaporedna in vzporedna feroresonanca Visokonapetostna tehnika Zaporedna in vzporedna feroresonanca delovanje regulacijskega stikala T3 174 kv Vaja 9 1 Osnovni pogoji za nastanek feroresonance L C U U L () U C () U L = U L () U C = ωc V vezju

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike uvod

Osnove elektrotehnike uvod Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUN UPORNOSTI IN REAKTANCE VODA

IZRAČUN UPORNOSTI IN REAKTANCE VODA IZRAČUN UPORNOSTI IN REAKTANCE VODA Seminarska naloga pri predmetu Razdelilna in industrijska omrežja Podiplomski magistrski študij elektrotehnike, smer elektroenergetika Avtor: Jaka Jenškovec, univ. dipl.

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. 1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

Električne lastnosti vodov. Ohmske upornosti. Induktivnost vodov. Kapacitivnost vodov. Odvodnost vodov. Vod v svetlobi telegrafske enačbe.

Električne lastnosti vodov. Ohmske upornosti. Induktivnost vodov. Kapacitivnost vodov. Odvodnost vodov. Vod v svetlobi telegrafske enačbe. Električne lastnosti vodov Ohmske upornosti. Induktivnost vodov. Kapacitivnost vodov. Odvodnost vodov. Vod v svetlobi telegrafske enačbe. Primarne konstante vodov Če opazujemo električni vod iz istega

Διαβάστε περισσότερα

8. Diskretni LTI sistemi

8. Diskretni LTI sistemi 8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center *M * JESENSKI IZPITNI ROK ELEKTROTEHNIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Četrtek, 27. avgust 2009 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center *M * JESENSKI IZPITNI ROK ELEKTROTEHNIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Četrtek, 27. avgust 2009 SPLOŠNA MATURA Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M097711* ELEKTROTEHNIKA JESENSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Četrtek, 7. avgust 009 SPLOŠNA MATURA RIC 009 M09-771-1- A01 Z galvanizacijskim

Διαβάστε περισσότερα

Kvantni delec na potencialnem skoku

Kvantni delec na potencialnem skoku Kvantni delec na potencialnem skoku Delec, ki se giblje premo enakomerno, pride na mejo, kjer potencial naraste s potenciala 0 na potencial. Takšno potencialno funkcijo zapišemo kot 0, 0 0,0. Slika 1:

Διαβάστε περισσότερα

Analiza 2 Rešitve 14. sklopa nalog

Analiza 2 Rešitve 14. sklopa nalog Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)

Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE) Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 12. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 12. junij 2015 SPLOŠNA MATURA Državni izpitni center *M543* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek,. junij 05 SPLOŠNA MATURA RIC 05 M543 M543 3 IZPITNA POLA Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor

Διαβάστε περισσότερα

diferencialne enačbe - nadaljevanje

diferencialne enačbe - nadaljevanje 12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije več spremenljivk

Funkcije več spremenljivk DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov

Διαβάστε περισσότερα

1. Enosmerna vezja. = 0, kar zaključena

1. Enosmerna vezja. = 0, kar zaključena 1. Enosmerna vezja Vsebina polavja: Kirchoffova zakona, Ohmov zakon, električni viri (idealni realni, karakteristika vira, karakteristika bremena matematično in rafično, delovna točka). V enosmernih vezjih

Διαβάστε περισσότερα

Transformator. Izmenični signali, transformator 22.

Transformator. Izmenični signali, transformator 22. zmenični signali, transformator. Transformator Vsebina: Zapis enačb transformatorja kot dveh sklopljenih tuljav, napetostna prestava, povezava medd maksimalnim fluksom in napetostjo, neobremenjen transformator

Διαβάστε περισσότερα

MERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9

MERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9 .cwww.grgor nik ol i c NVERZA V MARBOR FAKTETA ZA EEKTROTEHNKO, RAČNANŠTVO N NFORMATKO 2000 Maribor, Smtanova ul. 17 Študij. lto: 2011/2012 Skupina: 9 MERTVE ABORATORJSKE VAJE Vaja št.: 4.1 Določanj induktivnosti

Διαβάστε περισσότερα

vezani ekstremi funkcij

vezani ekstremi funkcij 11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad

Διαβάστε περισσότερα

Navadne diferencialne enačbe

Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama

Διαβάστε περισσότερα

VALOVANJE UVOD POLARIZACIJA STOJEČE VALOVANJE ODBOJ, LOM IN UKLON INTERFERENCA

VALOVANJE UVOD POLARIZACIJA STOJEČE VALOVANJE ODBOJ, LOM IN UKLON INTERFERENCA VALOVANJE 10.1. UVOD 10.2. POLARIZACIJA 10.3. STOJEČE VALOVANJE 10.4. ODBOJ, LOM IN UKLON 10.5. INTERFERENCA 10.6. MATEMATIČNA OBDELAVA INTERFERENCE IN STOJEČEGA VALOVANJA 10.1. UVOD Valovanje je širjenje

Διαβάστε περισσότερα

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA 29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu. Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.

Διαβάστε περισσότερα

Najprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki:

Najprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki: NALOGA: Po cesi vozi ovornjak z hirosjo 8 km/h. Tovornjak je dolg 8 m, širok 2 m in visok 4 m in ima maso 4 on. S srani začne pihai veer z hirosjo 5 km/h. Ob nekem času voznik zaspi in ne upravlja več

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare

Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Laboratorij za termoenergetiko Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare po modelu IAPWS IF-97 izračunano z XSteam Excel v2.6 Magnus Holmgren, xsteam.sourceforge.net

Διαβάστε περισσότερα

Reševanje sistema linearnih

Reševanje sistema linearnih Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje

Διαβάστε περισσότερα

Izmenični signali metode reševanja vezij (21)

Izmenični signali metode reševanja vezij (21) Izmenični sinali_metode_resevanja (21b).doc 1/8 03/06/2006 Izmenični sinali metode reševanja vezij (21) Načine reševanja enosmernih vezij smo že spoznali. Pri vezjih z izmeničnimi sinali lahko uotovimo,

Διαβάστε περισσότερα

Odvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:

Odvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko: 4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolju Okolje (I. stopnja) Meteorologija 2013/2014. Energijska bilanca pregled

Univerza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolju Okolje (I. stopnja) Meteorologija 2013/2014. Energijska bilanca pregled Univerza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolu Okole (I. stopna) Meteorologia 013/014 Energiska bilanca pregled 1 Osnovni pomi energiski tok: P [W = J/s] gostota energiskega toka: [W/m ] toplota:q

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

Električni naboj, ki mu pravimo tudi elektrina, označimo s črko Q, enota zanj pa je C (Coulomb-izgovorimo "kulon") ali As (1 C = 1 As).

Električni naboj, ki mu pravimo tudi elektrina, označimo s črko Q, enota zanj pa je C (Coulomb-izgovorimo kulon) ali As (1 C = 1 As). 1 UI.DOC Elektrina - električni naboj (Q) Elementarni delci snovi imajo lastnost, da so nabiti - nosijo električni naboj-elektrino. Protoni imajo pozitiven naboj, zato je jedro pozitivno nabito, elektroni

Διαβάστε περισσότερα

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Fakulteta za elektrotehniko 1 Slika 7. 2: Principielna shema regulacije AM v KSP Fakulteta za elektrotehniko 2 Slika 7. 3: Merjenje komponent fluksa s

Διαβάστε περισσότερα

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013 Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:

Διαβάστε περισσότερα

INDUCIRANA NAPETOST (11)

INDUCIRANA NAPETOST (11) INDUCIRANA NAPETOST_1(11d).doc 1/17 29.3.2007 INDUCIRANA NAPETOST (11) V tem poglavju bomo nadgradili spoznanja o magnetnih pojavih v stacionarnih razmerah (pri konstantnem toku) z analizo razmer pri časovno

Διαβάστε περισσότερα

S53WW. Meritve anten. RIS 2005 Novo Mesto

S53WW. Meritve anten. RIS 2005 Novo Mesto S53WW Meritve anten RIS 2005 Novo Mesto 15.01.2005 Parametri, s katerimi opišemo anteno: Smernost (D, directivity) Dobitek (G, gain) izkoristek (η=g/d, efficiency) Smerni (sevalni) diagram (radiation pattern)

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva

Διαβάστε περισσότερα

Električno polje. Na principu električnega polja deluje npr. LCD zaslon, fotokopirni stroj, digitalna vezja, osciloskop, TV,...

Električno polje. Na principu električnega polja deluje npr. LCD zaslon, fotokopirni stroj, digitalna vezja, osciloskop, TV,... 1 Električno polje Vemo že, da: med elektrinami delujejo električne sile prevodniki vsebujejo gibljive nosilce elektrine navzven so snovi praviloma nevtralne če ima telo presežek ene vrste elektrine, je

Διαβάστε περισσότερα

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni

Διαβάστε περισσότερα

MAGNETNI PRETOK FLUKS

MAGNETNI PRETOK FLUKS MGNETNI PRETOK FLUKS Equation Section 4 Vsebina poglavja: Določitev magnetnega pretoka, brezizvornost magnetnega polja, upodobitev polja z gostotnicami, induktivnost, lastna induktivnost, magnetni sklep.

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnika in elektronika

Elektrotehnika in elektronika Elektrotehnika in elektronika 1. Zapišite pogoj zaporedne resonance, ter pogoj vzporedne resonance. a) Katera ima minimalno impedanco, katera ima minimalno admitanco? b) Pri kateri je pri napetostnem vzbujanju

Διαβάστε περισσότερα

NAVOR NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU

NAVOR NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU NAVOR NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU Equatio n Section 6Vsebina poglavja: Navor kot vektorski produkt ročice in sile, magnetni moment, navor na magnetni moment, d'arsonvalov ampermeter/galvanometer.

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORJI. Operacije z vektorji

VEKTORJI. Operacije z vektorji VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,

Διαβάστε περισσότερα

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih. TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center *M * SPOMLADANSKI IZPITNI ROK ELEKTROTEHNIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Četrtek, 29. maj 2008 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center *M * SPOMLADANSKI IZPITNI ROK ELEKTROTEHNIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Četrtek, 29. maj 2008 SPLOŠNA MATURA Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M877* SPOMLADANSK ZPTN ROK ELEKTROTEHNKA NAVODLA ZA OCENJEVANJE Četrtek, 9 maj 8 SPLOŠNA MATRA RC 8 M8-77-- A zračunajte gostoto toka v vodniku s presekom

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,

Διαβάστε περισσότερα

POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL

POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL Izdba aje: Ljubjana, 11. 1. 007, 10.00 Jan OMAHNE, 1.M Namen: 1.Preeri paraeogramsko praio za doočanje rezutante nezporedni si s skupnim prijemaiščem (grafično)..dooči

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH

Διαβάστε περισσότερα

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne

Διαβάστε περισσότερα

Navadne diferencialne enačbe

Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe (študijsko gradivo) Matija Cencelj 1. maja 2003 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Preprosti primeri......................... 8 2 Diferencialne enačbe prvega reda 11 2.1 Ločljivi spremenljivki.......................

Διαβάστε περισσότερα

Splošno o interpolaciji

Splošno o interpolaciji Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo

Διαβάστε περισσότερα

Elektrodinamika. Matjaž Vidmar

Elektrodinamika. Matjaž Vidmar Elektrodinamika Matjaž Vidmar Ljubljana, 2015 Vsebina 1. Uvod v elektrodinamiko 4 strani 2. Telegrafska enačba 9 strani 3. Odboj in zvonjenje 12 strani 4. Frekvenčni prostor in kazalci 10 strani 5. Smithov

Διαβάστε περισσότερα

Transformatorji in dušilke

Transformatorji in dušilke Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Danilo Makuc Transformatorji in dušilke Zbirka nalog z rešitvami Danilo Makuc, FE UN LJ, januar 011 Predgovor Zbirka vsebuje rešene naloge iz preteklih

Διαβάστε περισσότερα

3. AMPEROV ZAKON. SLIKA: Zanka v magnetnem polju. Integral komponente magnetnega polja v smeri zanke je sorazmeren toku, ki ga zanka oklepa.

3. AMPEROV ZAKON. SLIKA: Zanka v magnetnem polju. Integral komponente magnetnega polja v smeri zanke je sorazmeren toku, ki ga zanka oklepa. 3. AMPEROV ZAKON Equation Section 3 Vsebina poglavja: Integral polja po zaključeni zanki je sorazmeren toku, ki ga zanka objame. Izračuni polja s pomočjo Amperovega zakona za: tokovno premico, solenoid,

Διαβάστε περισσότερα

17. Električni dipol

17. Električni dipol 17 Električni dipol Vsebina poglavja: polarizacija prevodnika (snovi) v električnem polju, električni dipolni moment, polarne in nepolarne snovi, dipol v homogenem in nehomogenem polju, potencial in polje

Διαβάστε περισσότερα

2. BIOT-SAVARTOV ZAKON

2. BIOT-SAVARTOV ZAKON iot-savartov akon.. IOT-SAVARTOV ZAKON Equation Section Vsebina poglavja: apis iot-savartovega akona, iračuni magnetnega polja v okolici osnovnih oblik tokovodnikov: premice, daljice, anke in solenoida.

Διαβάστε περισσότερα

Nadzemni vodi. Univerza v Ljubljani. Fakulteta za elektrotehniko. Jure Jenko. Seminarska naloga pri predmetu: Razdelilna in industrijska omrežja

Nadzemni vodi. Univerza v Ljubljani. Fakulteta za elektrotehniko. Jure Jenko. Seminarska naloga pri predmetu: Razdelilna in industrijska omrežja Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Jure Jenko Nadzemni vodi Seminarska naloga pri predmetu: Razdelilna in industrijska omrežja Mentor: prof. dr. Grega Bizjak, univ.dipl.inž.el. Ljubljana

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo

Διαβάστε περισσότερα

PROCESIRANJE SIGNALOV

PROCESIRANJE SIGNALOV Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnika. Študijsko gradivo za študente Pedagoške fakultete UL. Študijsko leto 2009/2010. Slavko Kocijančič

Elektrotehnika. Študijsko gradivo za študente Pedagoške fakultete UL. Študijsko leto 2009/2010. Slavko Kocijančič Elektrotehnika Študijsko gradivo za študente Pedagoške fakultete UL Slavko Kocijančič Študijsko leto 2009/2010 Ljubljana, marec 2010 Vsebina 1. OSNOVE ELEKTROTEHNIKE...1 OHMOV ZAKON...1 PRVI KIRCHHOFFOV

Διαβάστε περισσότερα

POSTROJI ZA PRENOS IN TRANSFORMACIJO ELEKTRIČNE ENERGIJE

POSTROJI ZA PRENOS IN TRANSFORMACIJO ELEKTRIČNE ENERGIJE Univera v Ljubljani Fakulteta a elektrotehniko POTROJ ZA PRENO N TRANFORMACJO ELEKTRČNE ENERGJE MULACJKA VAJA Avtorja: doc. dr. Boštjan Blažič, Blaž Uljanić Ljubljana, 2012 1 hema omrežja Na sliki 1 je

Διαβάστε περισσότερα

Električni potencial in električna napetost Ker deluje na električni naboj, ki se nahaja v električnem polju, sila, opravi električno

Električni potencial in električna napetost Ker deluje na električni naboj, ki se nahaja v električnem polju, sila, opravi električno FIZIKA 3. poglavje: Elektrika in magnetizem - B. Borštnik 1 ELEKTRIKA IN MAGNETIZEM Elektrostatika Snov je sestavljena iz atomov in molekul. Atome si lahko predstavljamo kot kroglice s premerom nekaj desetink

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,

Διαβάστε περισσότερα

March 6, tuljava in električna. napetost in. padanjem. Potrebujete. torej 8,8µF. priključen. napetosti. in ustrezen

March 6, tuljava in električna. napetost in. padanjem. Potrebujete. torej 8,8µF. priključen. napetosti. in ustrezen DELAVNICA SSS: POSKUSI Z NIHANJEM V ELEKTRONIKI March 6, 2009 DUŠAN PONIKVAR: POSKUSI Z NIHANJEM V ELEKTROTEHNIKI Vsi smo poznamo električni nihajni krog. Sestavljataa ga tuljava in kondenzator po sliki

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko

Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Seminar HIDRODINAMIKA OBALNIH VALOV Mateja Erjavec Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik Februar 2010 Povzetek V začetnem delu seminarja

Διαβάστε περισσότερα

1 Fibonaccijeva stevila

1 Fibonaccijeva stevila 1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih

Διαβάστε περισσότερα

primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE

primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE p p RAK: P-XII//74 Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE L

Διαβάστε περισσότερα

Primerjava kablov in nadzemnih vodov. Kazalo

Primerjava kablov in nadzemnih vodov. Kazalo Kazalo 1 PRIMERJAVA KABLOV IN NADZEMNIH VODOV... 2 1.1 IZBRANI TIP KABLA IN VODA... 2 1.2 PADCI NAPETOSTI... 4 1.3 POLNILNI TOKI... 6 1.4 OBREMENLJIVOST NADZEMNIH VODOV IN KABLOV... 7 1.4.1 Primerjava

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko

Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Seminar HIDRODINAMIKA OBALNIH VALOV Mateja Erjavec Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik Februar 2010 Povzetek V začetnem delu seminarja

Διαβάστε περισσότερα

5.6 Ostale lastnosti feromagnetnih materialov

5.6 Ostale lastnosti feromagnetnih materialov 5.6 Ostale lastnosti feromagnetnih materialov Pri izdelavi magnetnih materialov imajo pomembno vlogo tudi nepravilnosti v njihovi strukturi. Če je material izdelan brez nepravilnosti, premikanje Blochovih

Διαβάστε περισσότερα

VSŠ Velenje - Elektronska vezja in naprave

VSŠ Velenje - Elektronska vezja in naprave Bipolarni tranzistor 1.5.3 BIPOLARNI TRANZISTOR Bipolarni tranzistor predstavlja najbolj značilno aktivno komponento med polprevodniki. Glede na strukturo ločimo PNP in NPN tip bipolarnega tranzistorja,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Funkcije in enačbe

Matematika. Funkcije in enačbe Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana

Διαβάστε περισσότερα

11. Vaja: BODEJEV DIAGRAM

11. Vaja: BODEJEV DIAGRAM . Vaja: BODEJEV DIAGRAM. Bodejev diagram sestavljata dva grafa: a) amplitudno frekvenčni diagram in b) fazno frekvenčni diagram Decibel je enota za razmerje dveh veličin. Definicija: B B 0log0 A A db Bodejeve

Διαβάστε περισσότερα

Vaje: Električni tokovi

Vaje: Električni tokovi Barbara Rovšek, Bojan Golli, Ana Gostinčar Blagotinšek Vaje: Električni tokovi 1 Merjenje toka in napetosti Naloga: Izmerite tok, ki teče skozi žarnico, ter napetost na žarnici Za izvedbo vaje potrebujete

Διαβάστε περισσότερα