1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ"

Transcript

1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Εισαγωγή Στο χώρο της επιστήμης το 7ο αιώνα κυριαρχούσε η μελέτη της κίνησης των ουράνιων σωμάτων, καθώς και η μελέτη της κίνησης ενός σώματος πάνω ή κοντά στη Γη Στη μελέτη αυτή προφανώς σημαντικό ρόλο έπαιζε ο προσδιορισμός του μέτρου της ταχύτητας και της διεύθυνσης της κίνησης του σώματος σε μια δεδομένη χρονική στιγμή Όπως θα δούμε στη συνέχεια, αν η θέση του σώματος μια χρονική στιγμή t εκφράζεται με τη συνάρτηση f t, τότε ο προσδιορισμός του μέτρου και της διεύθυνσης της ταχύτητάς του τη χρονική στιγμή t ανάγεται στον προσδιορισμό του ρυθμού μεταβολής της f t ως προς t ή, όπως ονομάστηκε αργότερα, της παραγώγου της f t Έτσι, προβλήματα σχετικά με την κίνηση ενός σώματος, καθώς και άλλα που θα συναντήσουμε αργότερα, οδήγησαν στη γένεση του Διαφορικού Λογισμού Θεμελιωτές του είναι οι Newton και Leibniz , οι οποίοι εισήγαγαν τη γενική έννοια της παραγώγου και του διαφορικού, βελτίωσαν τις μεθόδους του Διαφορικού Λογισμού και τις χρησιμοποίησαν στην επίλυση προβλημάτων της Γεωμετρίας και της Μηχανικής Η ανάπτυξη του Διαφορικού Λογισμού δε σταμάτησε το 7ο αιώνα, αλλά συνεχίστηκε το 8ο αιώνα με τη σημαντική συμβολή των αδελφών Jacob Bernoulli και Johann Bernoulli , του Euler , κορυφαίου μαθηματικού της εποχής, του Lagrange 76-8 και πολλών άλλων Τέλος, η αυστηρή θεμελίωση του Διαφορικού Λογισμού έγινε από τους μαθηματικούς του 9ου αιώνα όπως του Bolzano , του Cauch και του Weierstrass ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός Συνάρτησης Είδαμε σε προηγούμενες τάξεις ότι συνάρτηση function είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β

2 0 A f B Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις στις οποίες το σύνολο Α, που λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης, είναι υποσύνολο του συνόλου R των πραγματικών αριθμών, ενώ το Β συμπίπτει με το R Οι συναρτήσεις αυτές λέγονται πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής και τις οποίες στο εξής θα τις λέμε απλώς συναρτήσεις Η συνάρτηση συμβολίζεται συνήθως με ένα από τα μικρά γράμματα f, g, h, φ, σ κτλ του λατινικού ή του ελληνικού αλφαβήτου Έστω λοιπόν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α Αν με τη συνάρτηση αυτή το A αντιστοιχίζεται στο B, τότε γράφουμε f και διαβάζουμε ίσον f του Το f λέγεται τιμή της f στο Το γράμμα, που συμβολίζει οποιοδήποτε στοιχείο του Α, ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το, που παριστάνει την τιμή της συνάρτησης στο και εξαρτάται από την τιμή του, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή Σε μια συνάρτηση συνήθως η τιμή της εκφράζεται με έναν αλγεβρικό τύπο, για παράδειγμα f Σ αυτή την περίπτωση λέμε: η συνάρτηση f με f ή η συνάρτηση f ή η συνάρτηση ή, απλούστερα, η συνάρτηση Όταν το f εκφράζεται μόνο με έναν αλγεβρικό τύπο, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο το f έχει νόημα πραγματικού αριθμού Έτσι, η παραπάνω συνάρτηση f έχει ως πεδίο ορισμού το σύνολο λύσεων της ανίσωσης 0, δηλαδή το διάστημα [, ], η συνάρτηση g έχει ως πεδίο ορισμού το σύνολο A R {}, δηλαδή το R χωρίς το, ενώ η συνάρτηση h έχει ως πεδίο ορισμού ολόκληρο το σύνολο R των πραγματικών αριθμών ΣΧΟΛΙΟ Αν και συνήθως χρησιμοποιούμε το γράμμα f για το συμβολισμό μιας συνάρτησης και τα γράμματα και για το συμβολισμό της ανεξάρτητης και της εξαρτημένης μεταβλητής αντιστοίχως, ωστόσο μπορούμε να

3 χρησιμοποιήσουμε και άλλα γράμματα Έτσι, για παράδειγμα, οι τύποι f g και s t gt ορίζουν την ίδια συνάρτηση Πράξεις με Συναρτήσεις Αν δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σε ένα σύνολο Α, τότε ορίζονται και οι συναρτήσεις: Το άθροισμα S f g, με S f g, A Η διαφορά D f g, με D f g, A Το γινόμενο P f g, με P f g, A και Το πηλίκο f R, με g f R, όπου A και g 0 g Για παράδειγμα, αν f και g, τότε S D P f R, όπου g Γραφική Παράσταση Συνάρτησης Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α Όπως είδαμε σε προηγούμενες τάξεις γραφική παράσταση ή καμπύλη της f σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων O λέγεται το σύνολο των σημείων M, f για όλα τα A Επομένως, ένα σημείο M, του επιπέδου των αξόνων ανήκει στην καμπύλη της f, μόνο όταν f Η εξίσωση λοιπόν f επαληθεύεται μόνο από τα ζεύγη, που είναι συντεταγμένες σημείων της γραφικής παράστασης της f και λέγεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της f Είναι πολύ χρήσιμο να σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης Στα παρακάτω σχήματα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις ορισμένων συναρτήσεων που γνωρίσαμε σε προηγούμενες τάξεις

4 = O = α Η καμπύλη της συνάρτησης f είναι η διχοτόμος της ης και ης γωνίας των αξόνων - - O - - γ Η καμπύλη της συνάρτησης f είναι μια υπερβολή O - =ln ε Η καμπύλη της λογαριθμικής συνάρτησης f ln είναι δεξιά του άξονα, αφού ο λογάριθμος ορίζεται μόνο για O β Η καμπύλη της συνάρτησης f είναι μια παραβολή =e - - O δ Η καμπύλη της εκθετικής συνάρτησης f e είναι πάνω από τον άξονα, αφού e 0 για κάθε R =συν O π π =ημ π O π στ Οι συναρτήσεις f ημ και g συν είναι περιοδικές με περίοδο π

5 Παρατηρούμε ότι στη γραφική παράσταση της f υπάρχει μια διακοπή στο σημείο 0 Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το πεδίο ορισμού της f δεν περιέχει το μηδέν Μονοτονία - Ακρότατα Συνάρτησης =ημ O π/ π π/ π Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ημ, [ 0, π] προκύπτει αμέσως ότι για δύο οποιαδήποτε σημεία, του διαστήματος 0, π με είναι ημ ημ Αυτό το εκφράζουμε λέγοντας ότι η συνάρτηση f ημ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0, π Το ίδιο π συμβαίνει και στο διάστημα, π Όμως για δύο οποιαδήποτε σημεία π π, του διαστήματος, με, παρατηρούμε ότι ημ ημ Λέμε σ αυτή την περίπτωση ότι η συνάρτηση f ημ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα π π, Γενικά: Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία, με ισχύει f f, και γνησίως φθίνουσα στο Δ, όταν για οποιαδήποτε σημεία, με ισχύει f f Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότονη Ακόμη, για την παραπάνω συνάρτηση παρατηρούμε ότι για κάθε

6 4 π π [ 0, π] είναι ημ ημ και ημ ημ Δηλαδή, όπως λέμε, η συνάρτηση π f ημ έχει ολικό μέγιστο maimum για και ολικό π ελάχιστο minimum για 4 Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g του σχήματος 4 προκύπτει ότι για η τιμή της g είναι =g μικρότερη από τις τιμές της g σε όλα τα που ανήκουν σε ένα ανοικτό διάστημα το οποίο περιέχει το, ή, όπως λέμε σε μια O 4 περιοχή του Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση g έχει στο σημείο τοπικό ελάχιστο Το ίδιο συμβαίνει και για Οι τιμές g και g λέγονται τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης Επίσης, για 4 η τιμή g 4 είναι μεγαλύτερη από τις τιμές της g σε όλα τα που ανήκουν σε μια περιοχή του 4 Λέμε ότι η συνάρτηση g έχει στο σημείο 4 τοπικό μέγιστο Το ίδιο συμβαίνει και για Οι τιμές g και g 4 λέγονται τοπικά μέγιστα της συνάρτησης Παρατηρούμε ότι ένα τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο Για παράδειγμα, το τοπικό ελάχιστο g είναι μεγαλύτερο από το τοπικό μέγιστο g 4 Γενικά: Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει: Τοπικό μέγιστο στο A, όταν f f για κάθε σε μια περιοχή του, και τοπικό ελάχιστο στο A, όταν f f για κάθε σε μια περιοχή του Τα μέγιστα και τα ελάχιστα μιας συνάρτησης, τοπικά ή ολικά, λέγονται ακρότατα της συνάρτησης Όριο Συνάρτησης Έστω η συνάρτηση f, η οποία δεν ορίζεται για Ας εξετάσουμε όμως τη συμπεριφορά της f για τιμές του κοντά στο

7 5 Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις τιμές του f για τιμές του κοντά στο f f 0,5 0,9 0,99 0,999 0,9999,500000,900000,990000,999000,999900,5,,0,00,000,500000,00000,00000,00000,00000 Από τον παραπάνω πίνακα βλέπουμε ότι όταν το παίρνει τιμές πολύ κοντά στο και από τις δύο πλευρές του, το f παίρνει τιμές πολύ κοντά στο Στο ίδιο συμπέρασμα φτάνουμε, αν παρατηρήσουμε ότι για είναι f, 5 οπότε όταν το παίρνει τιμές που τείνουν στο, τότε το f παίρνει τιμές που τείνουν στο Λέμε λοιπόν ότι η f έχει στο σημείο όριο limit και γράφουμε lim f Με το προηγούμενο παράδειγμα παρουσιάσαμε με απλό τρόπο και χωρίς μαθηματική αυστηρότητα την O έννοια του ορίου μιας συνάρτησης f σε ένα σημείο 0, που δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της, υπάρχουν όμως σημεία του πεδίου ορισμού της πολύ κοντά στο 0 Τίποτα βέβαια δεν αποκλείει την αναζήτηση του ορίου μιας συνάρτησης και σε ένα σημείο 0 που να ανήκει στο πεδίο ορισμού της Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f, που είναι ορισμένη στο R Παρατηρούμε ότι όταν 0, το f, δηλαδή lim f Ομοίως, lim 0 και lim Ο O = Ο α β γ

8 6 Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν στο 0 όρια πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή αν lim f και lim g όπου και πραγματικοί αριθμοί, τότε 0 0 αποδεικνύεται ότι: lim f g 0 lim kf k 0 lim f g 0 f lim 0 g lim 0 ν ν f lim ν f ν 0 Έτσι, για παράδειγμα, για την πολυωνυμική συνάρτηση f 9 έχουμε lim f lim 9 lim lim lim Παρατηρούμε ότι για τη συνάρτηση f 9 ισχύει lim f f Αυτό το εκφράζουμε λέγοντας ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 Γενικά μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής, αν για κάθε 0 A ισχύει lim f f 0 0 Χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα είναι ότι η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής καμπύλη, δηλαδή για το σχεδιασμό της δε χρειάζεται να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί Αποδεικνύεται ότι οι γνωστές μας συναρτήσεις, πολυωνυμικές, τριγωνομετρικές, εκθετικές, λογαριθμικές, αλλά και όσες προκύπτουν από πράξεις μεταξύ αυτών είναι συνεχείς συναρτήσεις Έτσι ισχύει για παράδειγμα lim ημ ημ 0 0, lim συν συν0 0 και lim εφ εφ0 όταν συν ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Να υπολογιστούν τα όρια: 5 i lim lim ΛΥΣΗ ii iii lim 9

9 i lim ii lim 8 9 iii lim lim lim 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Αν f, να υπολογίσετε τις τιμές f, f, f Αν φ t t 5t 6, να υπολογίσετε τις τιμές φ 0 και φ Για ποιες τιμές του t είναι φ t 0; π Αν h θ συνθ ημθ, να υπολογίσετε τις τιμές h 0 και h Για ποιες τιμές της γωνίας θ [ 0, π] είναι h θ 0; 4 Αν f ln, να υπολογίσετε τις τιμές f και f e 5 Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ; 6 Για ποιες τιμές του είναι αρνητική η συνάρτηση f 7 ; Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σ 7 ; 7 Αν f και g, να βρείτε τις συναρτήσεις f f g, f g, g 8 Να υπολογίσετε τα όρια:

10 8 i lim 4 0 iv limημ συν 0 ii lim [ 4] v limημ συν π 4 iii lim 4 9 Να υπολογίσετε τα όρια: 4 5 i lim ii lim iv 6 lim 4 4 v 5 lim 5 5 iii lim[ συν] vi 0 lim Β ΟΜΑΔΑΣ Αν f, να δείξετε ότι f f e Έχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους 00 m, μια ορθογώνια περιοχή από τις τρεις πλευρές της Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος Αν το μήκος του τοίχου που θα χρησιμοποιηθεί είναι, να εκφράσετε το εμβαδόν της περιοχής ως συνάρτηση του Ένα κυλινδρικό φλυτζάνι, ανοικτό από πάνω, κατασκευάζεται έτσι ώστε το ύψος του και το μήκος της βάσης του να έχουν άθροισμα 0 cm Αν το φλυτζάνι έχει ύψος h cm, να εκφράσετε τον όγκο του ως συνάρτηση του h Αν η ακτίνα της βάσης του είναι r, να εκφράσετε το εμβαδόν της επιφάνειάς του ως συνάρτηση του r 4 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι 0 Αν θ, να εκφράσετε το ύψος υ του τριγώνου από την κορυφή Β, καθώς και το εμβαδόν του ως συνάρτηση του θ 5 Να δείξετε ότι 5 i lim 5 5 ii 5 lim 0 h h h

11 9 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Εφαπτομένη Καμπύλης Από τη Γεωμετρία γνωρίζουμε ότι η εφαπτομένη 7 ενός κύκλου O, R σε ένα σημείο του Α είναι η ευθεία ε που είναι κάθετη στην ακτίνα ΟΑ στο B σημείο Α Έστω Μ ένα άλλο σημείο του κύκλου Επειδή το τρίγωνο ΜΑΒ είναι ορθογώνιο στο Μ, το Μ o άθροισμα των γωνιών του Α και Β είναι 90 Αν υποθέσουμε ότι το Μ κινούμενο πάνω στον κύκλο Ο Μ πλησιάζει το Α, η γωνία Β τείνει να γίνει μηδενική, οπότε η γωνία Α τείνει να γίνει ορθή Δηλαδή η Μ τέμνουσα ΑΜ τείνει να γίνει κάθετη στην ΟΑ που Α ε σημαίνει ότι τείνει να συμπέσει με την εφαπτομένη ε Θα μπορούσαμε επομένως να ορίσουμε ως εφαπτομένη του κύκλου O, R στο σημείο Α, την οριακή θέση της τέμνουσας ΑΜ, καθώς το Μ κινούμενο πάνω στον κύκλο τείνει να συμπέσει με το Α Τον ισοδύναμο αυτό ορισμό της 8 C εφαπτομένης ενός κύκλου θα τον f 0 +h Μ χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια για να ορίσουμε την εφαπτομένη της ε γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε ένα σημείο της Μ Έστω λοιπόν f μια συνάρτηση και Α f 0 Γ A 0, f 0 ένα σημείο της γραφικής Ο ω φ της παράστασης C 0 0 +h Παίρνουμε και ένα άλλο σημείο M 0 h, f 0 h της C με h 0 Παρατηρούμε ότι καθώς το Μ κινούμενο πάνω στη C πλησιάζει το Α, όταν δηλαδή h 0, τότε η ευθεία ΑΜ φαίνεται να παίρνει μια οριακή θέση ε η οποία λέγεται εφαπτομένη tangent της C στο Α Από το σχήμα έχουμε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΜ είναι MΓ f 0 h f 0 εφφ, AΓ h οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C στο Α θα είναι f 0 h f 0 εφω lim h 0 h

12 0 Στιγμιαία Ταχύτητα Όπως έχει διαπιστωθεί πειραματικά από τον Γαλιλαίο πριν από τέσσερις αιώνες, το διάστημα S που διανύεται σε χρόνο t sec s από ένα σώμα που αφήνεται να πέσει στο κενό εκφράζεται από τον τύπο S t gt, όπου g 9,8m/s είναι η σταθερή επιτάχυνση της βαρύτητας Ποια όμως θα είναι η ταχύτητα ενός σώματος που πέφτει ελεύθερα σε ένα οποιοδήποτε σημείο της τροχιάς του, για παράδειγμα όταν t 5 s; Μπορούμε να προσεγγίσουμε το ζητούμενο μέγεθος υπολογίζοντας τη μέση ταχύτητα σε ένα μικρό χρονικό διάστημα για παράδειγμα του ενός δεκάτου του δευτερολέπτου, από t 5 s στο t 5, s Έχουμε: Μέση διανυθέν διάστημα S5, S5 ταχύτητα χρόνος 0, 4,9055, 4, ,5405 m/s 0, Ο πίνακας που ακολουθεί δείχνει τα αποτελέσματα όμοιων υπολογισμών της μέσης ταχύτητας για ολοένα και μικρότερα χρονικά διαστήματα Χρονικό διάστημα 5 t 6 5 t 5, 5 t 5,05 5 t 5,0 5 t 5,00 5 t 5,000 5 t 5,0000 Μέση ταχύτητα 5,955 49, ,955 49, , , , Φαίνεται ότι καθώς μικραίνει το χρονικό διάστημα, η μέση ταχύτητα πλησιάζει ολοένα και περισσότερο στην τιμή 49,05 m/s Η οριακή αυτή τιμή των μέσων ταχυτήτων σε ολοένα και μικρότερα χρονικά διαστήματα με ένα άκρο το t 5 ορίζεται ως η στιγμιαία ταχύτητα του σώματος όταν t 5 s Έτσι η στιγμιαία ταχύτητα του σώματος ύστερα από χρόνο 5 s θα είναι υ 49,05 m/s Γενικότερα, ας υποθέσουμε ότι το σώμα ύστερα από t 0 βρίσκεται στο σημείο Α και ας εξετάσουμε πόσο O A t 0 B t 0 +h 9

13 αυξάνεται το διανυόμενο διάστημα, όταν ο χρόνος αυξηθεί κατά h Το κινητό διανύει σε χρόνο t 0 διάστημα και σε χρόνο t0 h διάστημα S S OA S t0 gt OB S t0 h g t0 h gt0 gt0h h Άρα, η αύξηση του διαστήματος σε χρόνο h είναι 0 S S S AB gt0h h και η μέση ταχύτητα στο χρονικό διάστημα από t 0 σε gt0 h h S υ gt t h t h 0 0 t0 h θα είναι 0 gh Καθώς όμως ελαττώνεται το h πλησιάζοντας το μηδέν, χωρίς ποτέ να γίνεται ίσο με το μηδέν, η μέση ταχύτητα θα πλησιάζει όλο και περισσότερο στο gt 0 Την οριακή αυτή τιμή τη λέμε στιγμιαία ταχύτητα του κινητού στη χρονική στιγμή t 0 ή απλώς ταχύτητα του κινητού στο t 0 Επομένως, η ταχύτητα υ του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 θα είναι S t υ lim h0 0 h S t h 0 S lim gt h0 h Προφανώς όταν t 0 5, τότε υ 9,8 5 49,05 m/s, τιμή την οποία προσεγγίσαμε και προηγουμένως με αριθμητικούς υπολογισμούς Την ίδια πορεία μπορούμε να ακολουθήσουμε και για τον υπολογισμό της ταχύτητας ενός κινητού το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση, στη γενικότερη περίπτωση που η τετμημένη του ή, όπως λέμε στη Φυσική, η θέση του τη χρονική στιγμή t εκφράζεται από τη συνάρτηση f t O t 0 A B t 0 +h 0 0 Για να βρούμε την ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t 0, θεωρούμε το χρονικό διάστημα από t 0 έως t0 h με h 0 Το κινητό σε χρόνο h μετατοπίζεται κατά Δ f t h f Επομένως, η μέση 0 t0

14 ταχύτητα του κινητού στη διάρκεια του χρονικού διαστήματος h θα είναι Δ f t0 h f t0 υ h h Αν σκεφτούμε όπως στην προηγούμενη ειδική περίπτωση, συμπεραίνουμε ότι η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 θα είναι υ lim lim h0 h h0 f t 0 h h f t0 Δηλαδή θα είναι το όριο του λόγου της μεταβολής της τετμημένης του κινητού προς την αύξηση του χρόνου, καθώς η τελευταία τείνει προς το μηδέν χωρίς στην πραγματικότητα να γίνεται ίση με το μηδέν Παράγωγος της f στο 0 Και τα δύο προηγούμενα προβλήματα, μολονότι αναφέρονται σε διαφορετικούς επιστημονικούς κλάδους, το πρώτο στη Γεωμετρία και το δεύτερο στη Μηχανική, οδηγούν στον υπολογισμό ενός ορίου της μορφής f 0 lim h0 h h f 0 Υπάρχουν όμως και πολλά άλλα προβλήματα διαφορετικής φύσεως, όπως, για παράδειγμα, είναι ο ορισμός της έντασης ενός ρεύματος, της ταχύτητας μιας χημικής αντίδρασης, του οριακού κόστους στην Οικονομία, τα οποία οδηγούν στον υπολογισμό ενός ορίου της ιδίας μορφής Αν το προηγούμενο όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε λέμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο 0, συμβολίζεται με f 0 και διαβάζεται f τονούμενο του 0 Έχουμε λοιπόν: f 0 lim h0 f 0 h h f 0 Για παράδειγμα, αν θέλουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο 4, εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε τη διαφορά f 4 h f 4: f 4 h f 4 4 h 4 4 8h h h8 h 4

15 Για h 0 βρίσκουμε το πηλίκο f 4 h f 4 : h f 4 h h Υπολογίζουμε το όριο lim Άρα, f 4 4 h0 f 4 h lim h0 h f 4 h8 h 4 h h f 4 h f 4 : h f 4 lim4 h 4 h0 Η παράγωγος της f στο 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής rate of change του f ως προς το, όταν 0 Έτσι, σύμφωνα με όσα εκθέσαμε στην προηγούμενη παράγραφο: Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης που είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f στο σημείο, f θα είναι 0 0 f 0, δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της f ως προς όταν 0 Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση f t θα είναι τη χρονική στιγμή t 0 υ f, t0 t0 δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της f t ως προς t όταν t t0 ΣΧΟΛΙΟ Υπάρχουν και συναρτήσεις οι οποίες δεν έχουν παράγωγο σε ένα σημείο Όπως είναι, για παράδειγμα, η συνάρτηση f στο 0 0 Διότι όταν h 0, έχουμε f 0 h f 0 lim h 0 h h lim, h 0 h O = f 0 h f 0 h ενώ όταν h 0, έχουμε lim lim, που σημαίνει ότι δεν h0 h h0 h f 0 h f 0 υπάρχει το lim h 0 h

16 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Η θέση ενός υλικού σημείου που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση εκφράζεται με τη συνάρτηση t t t, όπου το t μετριέται σε δευτερόλεπτα α Να βρεθεί η μέση ταχύτητα στα παρακάτω χρονικά διαστήματα: i [ 0, ] ii [ 0, ] iii [ 0, 0,5] iv [ 0, 0,] β Να βρεθεί η ταχύτητα όταν t 0 γ Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης t δ Να σχεδιαστούν οι τέμνουσες από το O 0, 0 της γραφικής παράστασης με συντελεστή διεύθυνσης τις μέσες ταχύτητες του ερωτήματος α Επίσης, να βρεθεί και να σχεδιαστεί η εφαπτομένη της καμπύλης της συνάρτησης t στο σημείο της με t 0 ΛΥΣΗ α Από τον ορισμό της μέσης ταχύτητας έχουμε i υ m/s ii υ m/s iii 0,5 0 0, 0 υ,5 m/s iv υ, m/s 0,5 0, β Η ταχύτητα υ όταν t 0, είναι 0 h 0 h υ lim lim h0 h h0 h lim h m/s h h0 γ Αν σε ένα ορθοκανονικό σύστημα ο οριζόντιος άξονας παριστάνει το χρόνο t και ο κατακόρυφος άξονας το t, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης t t t t είναι, σύμφωνα με όσα γνωρίζουμε 4 από την Α Λυκείου, μια παραβολή με κορυφή το σημείο, και 4 άξονα συμμετρίας την ευθεία t Έτσι, έχουμε την παρακάτω γραφική παράσταση

17 ,6 =t =t =,5t =t +t =,t =t εφαπτομένη - Ο t δ Επειδή οι τέμνουσες διέρχονται από το σημείο O 0, 0 και έχουν συντελεστές διεύθυνσης,,,5 και,, οι εξισώσεις τους είναι t, t,, 5t και, t αντιστοίχως Οι ευθείες αυτές έχουν σχεδιαστεί στο παραπάνω σχήμα Η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο της με t 0 θα έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με τη στιγμιαία ταχύτητα όταν t 0, δηλαδή ίσο με Επειδή η εφαπτομένη αυτή διέρχεται και από την αρχή των αξόνων, η εξίσωσή της είναι t, δηλαδή είναι η διχοτόμος της γωνίας των θετικών ημιαξόνων Δίνεται η συνάρτηση i Να βρεθεί η f f ii Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο της, f και να σχεδιαστεί η εφαπτομένη αυτή ΛΥΣΗ i Έχουμε h h f h f και για h 0 h h h Επομένως f h h h f h h h h h h

18 6 f lim h0 f h h f lim h0 h ii Η εφαπτομένη της καμπύλης της f στο σημείο της με έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με f Επομένως, η εξίσωσή της είναι β O Επειδή όμως το σημείο, f, ανήκει στην εφαπτομένη, έχουμε β β β Άρα, η εξίσωση της εφαπτομένης είναι ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης i f στο ii g 5 στο iii σ στο 4 Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f t στο t t i Το μήκος L ενός κύκλου ακτίνας r είναι L πr Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του L ως προς r, όταν r ii Το εμβαδόν Ε ενός κύκλου ακτίνας r είναι E πr Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του Ε ως προς r, όταν r

19 7 4 i Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε ενός τετραγώνου πλευράς ως προς όταν 5 ii Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του όγκου ενός κύβου πλευράς ως προς, όταν 0 5 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης: i f στο A, f ii f, στο A 4, f 4 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Παραγώγου Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, και Β το σύνολο των A στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την f h f οποία κάθε B αντιστοιχίζεται στο f lim Η h0 h συνάρτηση αυτή λέγεται πρώτη παράγωγος derivative της f και συμβολίζεται με f Για παράδειγμα, αν f, τότε έχουμε: f h f h h h h h, και για h 0 f h f h h 6 h h h Επομένως, f lim6 h 6 h0 Έτσι, η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο 0 είναι ίση με την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο αυτό Για παράδειγμα, η παράγωγος της f στο 0 4 είναι ίση με την τιμή της συνάρτησης f 6 στο 0 4, δηλαδή f Η παράγωγος της συνάρτησης f λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f Σύμφωνα με τα προηγούμενα αν η τετμημένη ενός κινητού που κινείται ευθυγράμμως είναι t τη χρονική στιγμή t, τότε η ταχύτητά του θα είναι υ t t

20 8 Αν η συνάρτηση υ είναι παραγωγίσιμη, τότε η επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t θα είναι η παράγωγος της ταχύτητας, δηλαδή θα ισχύει α t υ t ή ισοδύναμα α t t Παραγώγιση Βασικών Συναρτήσεων Έως τώρα η παραγώγιση μιας συνάρτησης f γινόταν με τη βοήθεια του τύπου f h f f lim Στη συνέχεια θα γνωρίσουμε μερικούς κανόνες h0 h που διευκολύνουν τον υπολογισμό της παραγώγου πιο πολύπλοκων συναρτήσεων Η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης Έχουμε f h f c c 0 και για h 0, f h h f 0, f h f οπότε lim 0 h 0 h Άρα c 0 Η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f c f Έχουμε f h f h h, και για h 0, f h f h α h h f h f Επομένως lim lim h0 h h0 Άρα β Η παράγωγος της συνάρτησης f c O α ρ =c O β O O =0 = = Έστω η συνάρτηση f Έχουμε f h f h h h h h,

21 9 f h f h h και για h 0, h h h Επομένως, lim h0 f h h f lim h h0 Άρα = 4 = O O Αποδεικνύεται ότι α β ν ν ν, όπου ν φυσικός Ο τύπος αυτός ισχύει και στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι ρητός αριθμός Για παράδειγμα, Άρα ρ ρ ρ, όπου ρ ρητός αριθμός Η παράγωγος του ημ και του συν Έστω η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ημ σχήμα 5 Αν λάβουμε υπόψη ότι η τιμή της f σε ένα σημείο 0 είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο, f, 0 0 μπορούμε να σχεδιάσουμε προσεγγιστικά τη γραφική παράσταση της f Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της f μοιάζει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης συν

22 0 =ημ 5o 45 o 5 o π 45 o Ο π 5 Ο π/ π π =ημ Πράγματι, για τη συνάρτηση f ημ αποδεικνύεται ότι ημ συν Επίσης για τη συνάρτηση g συν αποδεικνύεται ότι Η παράγωγος του e και του συν ημ ln Για την εκθετική και τη λογαριθμική συνάρτηση, με βάση τον αριθμό e, αποδεικνύεται ότι e e και ln Κανόνες Παραγώγισης Η παράγωγος της συνάρτησης cf Έστω η συνάρτηση F cf Έχουμε F h F cf h cf c f h f, και για h 0 Επομένως F h F c f h f f h f c h h h F h F lim lim c h0 h h0 f h h f cf Άρα c f c f

23 Για παράδειγμα , και 6 6 6ln 6ln Η παράγωγος της συνάρτησης g f Έστω η συναρτηση g f F Έχουμε g f h g h f F h F g h g f h f, και για 0 h, h g h g h f h f h F h F Επομένως lim lim lim g f h g h g h f h f h F h F h h h Άρα g f g f Για παράδειγμα και Παράγωγος των συναρτήσεων g f και g f Για το γινόμενο και το πηλίκο συναρτήσεων αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι παρακάτω κανόνες παραγώγισης: g f g f g f g g f g f g f

24 Για παράδειγμα και ημ ημ ημ ημ συν 4 4 Η παράγωγος σύνθετης συνάρτησης Γνωρίζουμε ήδη πώς παραγωγίζονται οι συναρτήσεις, ημ, συν, e και ln Επίσης, με τη βοήθεια των κανόνων παραγώγισης αθροίσματος, γινομένου και πηλίκου μπορούμε να παραγωγίσουμε και πολυπλοκότερες συναρτήσεις όπως για παράδειγμα τις έχουμε ν και για τις οποίες 6 και [ ] 6 9 Πώς όμως θα παραγωγίσουμε μια συνάρτηση όπως η F ; Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση F προκύπτει αν στην f θέσουμε όπου το g Είναι, δηλαδή, F f g Γι αυτό η συνάρτηση F λέγεται σύνθεση της g με την f Αποδεικνύεται ότι για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει: f g f g g Δηλαδή για να παραγωγίσουμε τη συνάρτηση f g, σε πρώτη φάση παραγωγίζουμε την f σαν να έχει ανεξάρτητη μεταβλητή την g και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο της g Επομένως, 9 Επίσης, επειδή όπως είδαμε, είναι, έχουμε:

25 Ομοίως, ημ συν συν Στον παρακάτω πίνακα συνοψίζονται οι βασικοί τύποι και κανόνες παραγώγισης c 0 ρ ρ ρ ημ συν συν ημ e e n cf cf f g f g f g f g f g f g f g f g g f g f g g ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Να υπολογιστεί η παράγωγος των συναρτήσεων i f εφ ii f ημ ΛΥΣΗ i Έχουμε f εφ ημ ημ συν ημσυν συν ημ συν συν συν συν Άρα εφ συν ii Έχουμε

26 4 f [ημ ] ημ ημ ημ συν ημ συν ημ ημ6, όπου χρησιμοποιήθηκε η σχέση ημα ημα συνα Η θέση ενός υλικού σημείου, το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση δίνεται από τον τύπο t t 6t 9t, όπου το t μετριέται σε δευτερόλεπτα και το σε μέτρα i Να βρεθεί η ταχύτητα του σημείου σε χρόνο t ii Ποια είναι η ταχύτητα του σημείου σε χρόνο s και ποια σε χρόνο 4 s; iii Πότε το σημείο είναι στιγμιαία ακίνητο; iv Πότε το σημείο κινείται στη θετική κατεύθυνση και πότε στην αρνητική κατεύθυνση; v Να βρεθεί το ολικό διάστημα που έχει διανύσει το σημείο στη διάρκεια των πρώτων 5 s ΛΥΣΗ i Η ταχύτητα είναι υ t t t 6t 9t t t 9 ii Η ταχύτητα του σημείου σε χρόνο t s είναι υ 9 m/s και σε χρόνο t 4s είναι υ m/s iii Το σημείο είναι ακίνητο, όταν υ t 0, δηλαδή όταν t t 9 0 t 4t 0 t ή t Άρα, το σημείο είναι ακίνητο ύστερα από s και ύστερα από s iv Το σημείο κινείται στη θετική κατεύθυνση, όταν υ t 0, δηλαδή όταν t t 9 0 t 4t 0 t t 0 t ή t

27 5 Άρα, το σημείο κινείται στη θετική κατεύθυνση στα χρονικά διαστήματα t και t και στην αρνητική κατεύθυνση όταν t Σχηματικά η κίνηση του υλικού σημείου μπορεί να παρασταθεί ως εξής: t= t=0 0 4 t= =t v Η απόσταση που διανύθηκε από το κινούμενο σημείο είναι: Στη διάρκεια του πρώτου δευτερόλεπτου Από t μέχρι t Από t μέχρι t 5 S m S m S m Άρα, το ολικό διάστημα S που διάνυσε το σημείο σε χρόνο 5s είναι S S S S m ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων στις ασκήσεις -8 i f 5 ii 4 f iii 9 f i / f ii f iii 5 f i f ii 5 f, 0

28 6 4 i f ii f iii f, i f 4 ii 5 f 6 iii 0 f 5 6 i 6 f ii f i 4 f ii f 5 iii f 8 i f 8 ημ 5 ii f 6συν i f ii f ημ συν 0 i f συν ii f 4 ημ συν i f ii f iii ημ ημ f συν i f ii συν f i f ii 5 f iii 5 f 5 4 i f ημ ii f ημ iii f ημ4 iv f εφ 5 i f ii f ημ 6 i f e ii f e iii a β f e iv e f e e

29 7 7 i f ln ii f ln iii f ln α β iv f ln 8 i ln f ii f e ln 9 i Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της t συνάρτησης f t στο σημείο της A, f t ημθ ii Ομοίως της καμπύλης της συνάρτησης f θ στο σημείο ημθ συνθ π π της, f 0 Το βάρος Β σε γραμμάρια ενός θηλυκού ποντικιού ύστερα από t εβδομάδες δίνεται προσεγγιστικά από τη συνάρτηση B t t, όπου 4 t 8 Να βρείτε το ρυθμό ανάπτυξης του ποντικιού: i ύστερα από t εβδομάδες και ii ύστερα από, και 8 εβδομάδες A0, Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης των σημείων A 0, και B, 0 ως προς όταν 0 O B,0 Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f α στο σημείο της O 0, f 0 να σχηματίζει με 0 τον άξονα γωνία 60 Β ΟΜΑΔΑΣ Σε ποιά σημεία της καμπύλης της συνάρτησης της είναι παράλληλη στην ευθεία 5; f η εφαπτομένη Να βρείτε τα σημεία της καμπύλης της συνάρτησης

30 8 f στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f που είναι παράλληλες στη διχοτόμο της γωνίας 0ˆ 4 Ένα σώμα κινείται σε έναν άξονα έτσι ώστε η θέση του σε χρόνο t να δίνεται από τον τύπο t t t t Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος σε χρόνο t και να προσδιορίσετε πότε το σώμα είναι ακίνητο Ποια είναι η επιτάχυνση του σώματος στις χρονικές αυτές στιγμές; 5 Αν f Aσυνω Bημω, να δείξετε ότι f ω f 0 6 Αν p p f αe βe, να δείξετε ότι f p f 7 Αν μ f e, να βρείτε το μ ώστε να ισχύει f f 4 f 0 8 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης π f ημ συν στο σημείο της με 9 Ο ρυθμός της φωτοσύνθεσης P ενός φυτού δίνεται από τον τύπο I P I, I 0, όπου Ι η ένταση του φωτός και α, β σταθερές i α βi Να βρείτε την P I ή, όπως λέγεται, τη φωτοχημική ικανότητα του φυτού, καθώς και την 0 P I βp I α P ii Να δείξετε ότι 0 Η θέση ενός υλικού σημείου που κινείται σε έναν κατακόρυφο άξονα δίνεται από τον τύπο t Aημωt, όπου t ο χρόνος και τα Α, ω σταθερές i Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σημείου ως συνάρτηση του t ii Να δείξετε ότι η επιτάχυνση είναι ανάλογη της απομάκρυνσης iii Να δείξετε ότι, όταν η επιτάχυνση είναι 0, το μέτρο της ταχύτητας είναι μέγιστο

31 9 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Το Κριτήριο της Πρώτης Παραγώγου Σε προηγούμενες τάξεις χρειάστηκε να εφαρμόσουμε τις μεθόδους της Άλγεβρας και της Γεωμετρίας για να επιλύσουμε προβλήματα στα οποία σκοπός ήταν να μεγιστοποιήσουμε ή να ελαχιστοποιήσουμε την τιμή ενός μεγέθους Για παράδειγμα, μεταξύ όλων των ορθογωνίων με την ίδια περίμετρο βρήκαμε τις διαστάσεις εκείνου του ορθογωνίου που έχει το μέγιστο εμβαδόν και μεταξύ όλων των ορθογωνίων με το ίδιο εμβαδόν, αναζητήσαμε τις διαστάσεις εκείνου του ορθογωνίου που έχει την ελάχιστη περίμετρο Βέβαια οι μέθοδοι που χρησιμοποιήσαμε για την επίλυση των προβλημάτων αυτών δύσκολα μπορούν να εφαρμοστούν και για την επίλυση προβλημάτων άλλης μορφής Με τη βοήθεια όμως της παραγώγου μπορούμε να διατυπώσουμε μια γενική μέθοδο προσδιορισμού της μέγιστης ή της ελάχιστης τιμής ενός μεταβαλλόμενου μεγέθους Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι θέλουμε να βρούμε το μέγιστο ύψος στο οποίο μπορεί να φθάσει ένα σώμα που εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα επάνω με αρχική ταχύτητα υ 0 0 m/s Αν η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g 0 m/s, τότε, σύμφωνα με όσα μας διδάσκει η Φυσική, το ύψος h του σώματος ύστερα από t δευτερόλεπτα θα είναι h t 0t 5t 5t 0t Επομένως η γραφική παράσταση της ht θα είναι μια παραβολή η οποία: Τέμνει τον άξονα των t στα σημεία t 0 και h t Παρουσιάζει μέγιστο για β t α που είναι ίσο με h 0 Είναι γνησίως αύξουσα για t και γνησίως φθίνουσα για t O 4 t Ας δούμε τώρα πώς μεταβάλλεται το πρόσημο της παραγώγου h t 0t 0 στο διάστημα [ 0, 4] Λύνοντας την ανίσωση h t 0, βρίσκουμε ότι αριστερά του όπου η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, η παράγωγός της είναι θετική, ενώ δεξιά του όπου η συνάρτηση είναι φθίνουσα, η παράγωγός της είναι αρνητική

32 40 t 0 4 h t 0 Από τα παραπάνω φαίνεται να υπάρχει στενή σχέση ανάμεσα στη μονοτονία και στην παράγωγο μιας συνάρτησης Αποδεικνύεται ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ Παρατηρούμε ακόμα ότι στο σημείο t όπου η h παρουσιάζει μέγιστο, η h μηδενίζεται, ενώ εκατέρωθεν του t η h αλλάζει πρόσημο Αποδεικνύεται ότι: Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f 0 0 για 0 α, β, f 0 στο α, 0 και f 0 στο 0, β, τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα α, β για 0 μέγιστο Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f 0 0 για 0 α, β, f 0 στο α, 0 και f 0 στο 0, β, τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα α, β για 0 ελάχιστο f 0 =0 7 f >0 f <0 f <0 f >0 O 0 O 0 f 0 =0 α β

33 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης α β γ, α 0 f ΛΥΣΗ Έχουμε: f α β γ α β β f 0 α β 0 α f 0 α β 0 α β Επομένως, αν α 0, τότε f 0 για β και f 0 για α β α f 0 β α ενώ αν α 0, τότε f 0 για β και f 0 για α β α β α f 0 Άρα, η συνάρτηση f α β γ, α 0 για β παρουσιάζει α ελάχιστο αν α 0 και μέγιστο αν α 0 Η τιμή του μεγίστου ή του ελαχίστου β β β 4αγ β είναι ίση με f α β γ α α α 4α Ένας πληθυσμός 000 βακτηριδίων εισάγεται σε ένα θρεπτικό μέσον και αναπτύσσεται σύμφωνα με τη συνάρτηση 000t p t 000, 00 t όπου t ο χρόνος σε ώρες Σε πόσο χρόνο ο πληθυσμός των βακτηριδίων θα είναι μέγιστος και ποιος θα είναι ο πληθυσμός αυτός;

34 4 ΛΥΣΗ Έχουμε t 000t t t p t 00 t 00 t p t t 0 t 0 ή t 0 Επειδή ο χρόνος t είναι θετικός, η ρίζα t 0 απορρίπτεται t p t 0 00 t 0 00 t 0 t t 0 t t 0 Επομένως p t 0 για 0 t Έχουμε λοιπόν p 0 0, p t 0 στο 0, 0 και p t 0, στο 0, Άρα ύστερα από 0 ώρες θα παρουσιαστεί ο μέγιστος πληθυσμός βακτηριδίων που θα είναι ίσος με p Το Κριτήριο της Δεύτερης Παραγώγου Έστω μια συνάρτηση f, της οποίας η καμπύλη είναι μία παραβολή και η οποία για 0 παρουσιάζει μέγιστο Τότε, για τιμές κοντά στο 0, η συνάρτηση είναι αύξουσα για 0 και φθίνουσα για 0 Αυτό σημαίνει ότι η f από θετική γίνεται αρνητική, δηλαδή είναι φθίνουσα συνάρτηση Αφού λοιπόν η f είναι φθίνουσα, η παράγωγός της, δηλαδή η f θα είναι αρνητική Επομένως, f =f O 0 Έστω τώρα η συνάρτηση f, της οποίας η καμπύλη είναι μια παραβολή και η οποία για 0 παρουσιάζει ελάχιστο Τότε, για τιμές του κοντά στο 0, η συνάρτηση είναι φθίνουσα για 0 και αύξουσα για 0 Αυτό σημαίνει ότι η f από αρνητική γίνεται θετική, δηλαδή είναι O 0 9 =f

35 4 αύξουσα συνάρτηση Άρα, η παράγωγος της f, δηλαδή η f θα είναι θετική Επομένως, f 0 0 Αποδεικνύεται ότι: Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f 0 0 και f 0 0, τότε η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 0 Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f 0 0 και f 0 0, τότε η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 ΣΧΟΛΙΟ Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f 0 0 και f 0 0, τότε δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί το κριτήριο της ης παραγώγου για τον προσδιορισμό των ακροτάτων της f ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ένα παράθυρο έχει το διπλανό σχήμα και αποτελείται από ένα ορθογώνιο που περικλείεται στο άνω μέρος από ένα ημικύκλιο Το παράθυρο έχει περίμετρο 0 μέτρα Να βρείτε τις διαστάσεις που πρέπει να έχει ώστε να μπαίνει από αυτό όσο γίνεται περισσότερο φως A Δ B Γ ΛΥΣΗ Έστω η ακτίνα του ημικυκλίου Τότε Αν, έχουμε: π 0 0 π Η μεγαλύτερη ποσότητα φωτός θα διέρχεται από το παράθυρο, όταν το εμβαδόν του είναι μέγιστο Αν Ε το εμβαδόν του παραθύρου, τότε π E π 0 π π 0,

36 44 π δηλαδή E 0 0 Έχουμε E 0 4 π και E 0 4 π 0 Επειδή E 4 π 0, συμπεραίνουμε ότι για η συνάρτηση 4 π έχει τη μέγιστη τιμή της Για την τιμή αυτή του από την έχουμε π και επομένως 4 π 4 π 0 π 4 Άρα για 0 4, m π 4, το παράθυρο έχει το μέγιστο εμβαδό Το κέρδος P σε ευρώ από την πώληση ενός αυτοκινήτου ορισμένου τύπου και ο χρόνος παραγωγής του t σε ώρες σχετίζονται με τον τύπο: Να βρεθεί το μέγιστο δυνατό κέρδος 50 P t 0 00 t, t t ΛΥΣΗ Έχουμε 50 P t 0 t Επομένως t 50 P t 0 t 0 t 5 t 5 t Θα εξετάσουμε αν η τιμή t 5 αντιστοιχεί σε μέγιστο κέρδος με τη βοήθεια της δεύτερης παραγώγου Έχουμε P t 0 t 0 0 0, αφού t t t t Άρα για t 5 έχουμε το μέγιστο δυνατό κέρδος που είναι ίσο με P ευρώ

37 45 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων i f ii f 6 iii f 4 Ομοίως των συναρτήσεων i f 6 5 ii f Να δείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις δεν έχουν ακρότατα i f ii f 6 iii f 0 iv f 5 4 Το άθροισμα δύο αριθμών είναι ίσο με 40 Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το γινόμενό τους 5 Από όλα τα ορθογώνια με εμβαδό μικρότερη περίμετρο; 00 m ποιο είναι εκείνο που έχει τη 6 Ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με τετράγωνη βάση και ανοικτό από πάνω πρέπει να έχει όγκο dm Να βρείτε ποιές πρέπει να είναι οι διαστάσεις του κουτιού, ώστε για την κατασκευή του να χρειάζεται το ελάχιστο δυνατό υλικό 7 Αν ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με βάση τετράγωνο και ανοικτό από πάνω πρέπει να έχει επιφάνεια ίση με dm, ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός όγκος του; 8 Να βρείτε το σημείο της ευθείας με εξίσωση που είναι πλησιέστερο στην αρχή των αξόνων λ c 9 Η ταχύτητα ενός κύματος μήκους λ μέσα στο νερό είναι υ κ, c λ όπου κ και c θετικές σταθερές Για ποιο μήκος κύματος έχουμε την ελάχιστη ταχύτητα; 0 Να προσδιοριστούν δύο θετικοί αριθμοί με τις εξής ιδιότητες: Το άθροισμά τους να είναι 0 και το άθροισμα των τετραγώνων τους να είναι ελάχιστο

38 46 Β ΟΜΑΔΑΣ Αν υ 00 p ln r 00qr, όπου p και q θετικές σταθερές, να δείξετε ότι το υ έχει τη μέγιστη τιμή του όταν p r q Αν υ κ ln, όπου κ θετική σταθερά, να δείξετε ότι το υ έχει τη μέγιστη τιμή του όταν e 60 Από ένα φύλλο λαμαρίνας σχήματος τετραγώνου πλευράς 60 cm θα κατασκευαστεί ένα δοχείο, ανοικτό από πάνω, αφού κοπούν από τις γωνίες 60 του τέσσερα ίσα τετράγωνα και στη συνέχεια διπλωθούν προς τα επάνω οι πλευρές Να βρείτε ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του δοχείου, ώστε να έχει το μέγιστο όγκο 4 Θέλουμε να περιφράξουμε μια περιοχή 6000 m σχήματος ορθογωνίου με μεταβλητές διαστάσεις και να τη χωρίσουμε στη μέση Ο φράχτης για την περίφραξη κοστίζει 900 δρχ/m και ο φράχτης για το χώρισμα 600 δρχ/m Να βρείτε ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου ώστε, να έχουμε το ελάχιστο κόστος για την περίφραξη μαζί με το χώρισμα 5 Σε έναν κύκλο ακτίνας ρ να εγγράψετε το ορθογώνιο με το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν 6 Ένα σύρμα μήκους λ κόβεται σε δύο τμήματα με τα οποία σχηματίζουμε έναν κύκλο και ένα τετράγωνο αντιστοίχως Να δείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων είναι ελάχιστο, όταν η πλευρά του τετραγώνου είναι ίση με τη διάμετρο του κύκλου 7 Η έρευνα έχει δείξει ότι αν σε έναν ασθενή γίνει μια υποδόρια ένεση, τότε ύστερα από χρόνο t η συγκέντρωση του φαρμάκου στο αίμα του δίνεται A k t k t από τη συνάρτηση t e e, όπου Α, k και k k k θετικές σταθερές με k k Να βρείτε το χρόνο t στον οποίο το φάρμακο θα παρουσιάσει τη μέγιστη συγκέντρωση

39 47 8 Ένα ορισμένο όχημα όταν ταξιδεύει με ταχύτητα υ km/h, καταναλώνει την ώρα 6 0,000υ λίτρα καύσιμα i Να βρείτε τη συνολική ποσότητα καυσίμων που χρειάζεται για να διανύσει μια απόσταση 000km με σταθερή ταχύτητα υ ii Να βρείτε την τιμή του υ για την οποία έχουμε την οικονομικότερη κατανάλωση καυσίμων, καθώς και την ποσότητα καυσίμων που χρειάζεται το όχημα για να διανύσει τα 000km Να σχολιάσετε αν η απάντηση στο ερώτημα ii είναι εφαρμόσιμη λόγω της μεγάλης απόστασης 9 Δύο ηλεκτρικές αντιστάσεις πρέπει να έχουν άθροισμα 450Ω Πως πρέπει να επιλεγούν ώστε όταν συνδεθούν εν παραλλήλω να δίνουν τη μέγιστη ολική αντίσταση; 0 Το μεσημέρι ένα ιστιοφόρο βρίσκεται 0 χιλιόμετρα βορείως ενός φορτηγού πλοίου Το ιστιοφόρο ταξιδεύει νότια με 40 km/h, και το φορτηγό ανατολικά με 0 km/h Αν η ορατότητα είναι 0 km, θα έχουν οι άνθρωποι των δύο πλοίων οπτική επαφή σε κάποια στιγμή; ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν μια συρμάτινη ράβδος είναι ομογενής, τότε η γραμμική της πυκνότητα ρ m ορίζεται ως η μάζα της ανά μονάδα μήκους ρ και μετριέται σε χιλιόγραμμα ανά μέτρο kgr/m Όμως αν η ράβδος δεν είναι ομογενής και η μάζα της μετρούμενη από το αριστερό άκρο της μέχρι το σημείο που απέχει από το άκρο αυτό απόσταση μέτρα δίνεται από τη συνάρτηση m f, τότε ορίζουμε ως γραμμική πυκνότητα ρ στο σημείο το όριο f h f lim, δηλαδή την παράγωγο της μάζας ως προς το μήκος h 0 h +h Αν υποθέσουμε ότι για μια ράβδο η μάζα της δίνεται από τη συνάρτηση m f, όπου το μετριέται σε μέτρα και η μάζα της σε χιλιόγραμμα, να βρεθεί i Η μέση πυκνότητα του τμήματος της ράβδου στο διάστημα [,,] ii Η γραμμική πυκνότητα της ράβδου για

40 48 Το κόστος C της ημερήσιας παραγωγής μονάδων ενός προϊόντος από μια βιοτεχνία που απασχολεί v εργάτες δίνεται από τον τύπο: C v 5v σε χιλιάδες δρχ Το κέρδος ανά μονάδα προϊόντος είναι 6 v χιλιάδες δρχ Να βρείτε πόσες μονάδες πρέπει να παράγονται ημερησίως και από πόσους εργάτες, ώστε να έχουμε ελάχιστο κόστος και μέγιστο κέρδος Σε ποιό σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης; 4 Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα δίνεται το σημείο A α, β του ου τεταρτημορίου Μια ευθεία ε διέρχεται από το Α και τέμνει τους θετικούς ημιάξονες 0 και 0 στα p και q αντιστοίχως Να δείξετε ότι η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος p q είναι ίση με α β 5 Ποιος κύλινδρος με άθροισμα διαμέτρου και ύψους 0 cm έχει το μέγιστο δυνατό όγκο; 6 Ένα κυλινδρικό δοχείο πρέπει να έχει χωρητικότητα lt Να βρείτε τις διαστάσεις του οι οποίες ελαχιστοποιούν το κόστος του μετάλλου από το οποίο θα κατασκευαστεί το δοχείο 7 Από έναν κυκλικό δίσκο ακτίνας R αφαιρούμε έναν κυκλικό τομέα ΟΑΒ και ενώνοντας τις ακτίνες ΟΑ και ΟΒ κατασκευάζουμε ένα κωνικό ποτήρι Να βρείτε τη μέγιστη χωρητικότητα του ποτηριού Ο R Α Β O R 8 Αν C είναι το συνολικό κόστος για την παραγωγή μονάδων ενός προϊόντος, τότε η συνάρτηση C λέγεται συνάρτηση κόστους, το πηλίκο C C h C c λέγεται μέσο κόστος και το όριο lim λέγεται h 0 h οριακό κόστος

41 49 α Να αποδείξετε ότι αν για κάποιο το μέσο κόστος είναι ελάχιστο, τότε ισχύει: οριακό κόστος=μέσο κόστος β Μια εταιρεία εκτιμά ότι το κόστος σε δολάρια για την παραγωγή μονάδων ενός προϊόντος είναι C i Να βρείτε το κόστος, το μέσο κόστος και το οριακό κόστος για την παραγωγή 000 μονάδων, 000 μονάδων και 000 μονάδων ii Ποιο είναι το επίπεδο παραγωγής για το οποίο το μέσο κόστος είναι το χαμηλότερο και ποια είναι η ελάχιστη τιμή του μέσου κόστους; 9 Αν μονάδες ενός προϊόντος είναι διαθέσιμες για πώληση, τότε η τιμή πώλησης p της μονάδας του προϊόντος λέγεται συνάρτηση ζήτησης Από την πώληση μονάδων του προϊόντος, τα συνολικά έσοδα είναι R p Η συνάρτηση R λέγεται συνάρτηση εσόδων και η παράγωγος R λέγεται οριακή συνάρτηση εσόδων Επίσης από την πώληση μονάδων του προϊόντος το συνολικό κέρδος είναι P R C Η συνάρτηση P καλείται συνάρτηση κέρδους και η παράγωγος P καλείται οριακή συνάρτηση κέρδους α Να αποδείξετε ότι αν το κέρδος για κάποιο είναι μέγιστο, τότε τα οριακά έσοδα είναι ίσα με το οριακό κόστος β Ποιο είναι το επίπεδο παραγωγής που μεγιστοποιεί τα κέρδη για μια εταιρεία, αν η συνάρτηση κόστους είναι C ,00 και η συνάρτηση ζήτησης p 50 0, 0 ; 0 Έστω υ η ταχύτητα του φωτός στον αέρα και υ η ταχύτητα του στο νερό Σύμφωνα με την αρχή του Fermat, μια ακτίνα φωτός από ένα σημείο Α του αέρα φθάνει σε ένα σημείο Β του νερού ακολουθώντας μια πορεία ΑΓΒ η οποία ελαχιστοποιεί τον απαιτούμενο χρόνο Να αποδείξετε ότι i Ο χρόνος που χρειάζεται το φως για τη διαδρομή ΑΓΒ είναι t ii Να υπολογίσετε την t iii Να αποδείξετε ότι ημ ημβ υ υ α d υ d υ d Α d a νερό d αέρας Γ d- β d Β

42 50 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ο όγκος του διπλανού ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου εκφράζεται με τη συνάρτηση V Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι το διάστημα: Α [ 0, Β 0, Γ, 0] Δ [, ] Στο διπλανό σχήμα το μήκος του τμήματος ΑΒ είναι Α Β Γ Δ = O A B = Το εμβαδόν του διπλανού ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι 6 Η τιμή του κ είναι A,4 Bk,4 Α 8 Β Γ -6 Δ 0 Ο Δ,- Γk,- 4 Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική 6 παράσταση της συνάρτησης f Οι τιμές του για τις οποίες ισχύει 6 είναι: Α Β Γ Δ 5 Στο διπλανό σχήμα τα σημεία Α και Β είναι τα σημεία τομής των καμπυλών των συναρτήσεων f ημ και g Το μήκος του τμήματος ΑΒ είναι: Α π Β π Γ π Δ 6 π O / A B O

43 5 6 Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα Το πλήθος των διακεκριμένων λύσεων της εξίσωσης f f είναι: Α Β Γ 4 Δ 5 Ε 6 5 Ο 7 Στο διπλανό σχήμα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις δυο συναρτήσεων f και g Το άθροισμα f g είναι: 4 =f =g Α 5 Β 4 Γ Δ O 4 8 Η ευθεία κ θέλουμε να τέμνει τη διπλανή γραφική παράσταση της συνάρτησης f σε 4 διαφορετικά σημεία Τότε πρέπει: Α κ Β κ Γ κ Δ κ =f Ο Γ,- Α-,- Β4,- 9 Με βάση τη διπλανή γραφική παράσταση της συνάρτησης f / A [0, ] να γράψετε τα ακρότατα της συνάρτησης f - O - 0 Για καθένα από τα παρακάτω όρια να χρησιμοποιήσετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση για να βρείτε την τιμή του ή να προσδιορίσετε ότι δεν υπάρχει

44 5 i ii Ο 0 lim O lim 0 iii iv Ο lim 0 O - - lim v vi Ο lim O - - lim vii O lim

45 5 i Αν ii Αν iii Αν f και f α, ποια είναι η τιμή του α; f και f α, ποιες τιμές μπορεί να έχει ο α; 9 f ημ και f α, ποιο είναι το σύνολο των τιμών του α; Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύουν f 4, g, f 6 και g 5 να βρείτε για τις παραγώγους των συναρτήσεων f α f g β f g γ f g δ g Αν h f g και g 6, g 4 και f 6 7, να βρείτε τον αριθμό h 4 Στην πρώτη γραμμή του παρακάτω πίνακα υπάρχουν οι γραφικές παραστάσεις μερικών συναρτήσεων και στη δεύτερη γραμμή οι παράγωγοι των συναρτήσεων αυτών Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση στην παράγωγό της O O O O 4 O O O O α β γ δ

46 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Ο όρος Στατιστική ενδεχομένως να προέρχεται από τη λατινική λέξη status πολιτεία, κράτος η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικών δεδομένων που αναφέρονται κυρίως στον πληθυσμό μιας χώρας Μπορεί όμως να προέρχεται από την αρχαία ελληνική λέξη στατίζω τοποθετώ, ταξινομώ, συμπεραίνω Με την εμφάνιση της Στατιστικής και στα πρώτα στάδια της ανάπτυξής της οι άνθρωποι την ταύτισαν με την παράθεση τεράστιων πινάκων με δεδομένα σχετικά με τους θανάτους, τις γεννήσεις, τους φόρους, τα προϊόντα, τους άνδρες σε στρατεύσιμη ηλικία κτλ, προσπαθώντας έτσι να περιγράψουν διάφορα δημογραφικά, οικονομικά και πολιτικά φαινόμενα Η αρχαιότερη ίσως συλλογή στατιστικών στοιχείων θεωρείται η απογραφή πληθυσμού που έγινε το 8 πχ στην Κίνα από τον αυτοκράτορα Yao Επίσης, στοιχειώδεις απογραφές φαίνεται να έχουν πραγματοποιηθεί από τους Σίνες, τους Αιγυπτίους και τους Πέρσες Ο όρος Στατιστική αναφέρεται επίσης και από το Σωκράτη Ξενοφώντος Απομνημονεύματα και από τον Αριστοτέλη Πολιτεία Όπως γνωρίζουμε απογραφή πληθυσμού είχε επίσης διαταχθεί και από τον καίσαρα Αύγουστο στην περίοδο της γέννησης του Χριστού Στην αρχαιότητα, η συγκέντρωση στατιστικών στοιχείων είχε στόχο τον εντοπισμό των πολιτών που είχαν υποχρέωση να υπηρετήσουν ως πολεμιστές ή να πληρώσουν φόρο Συστηματική συλλογή δεδομένων για τον πληθυσμό και την οικονομία άρχισε κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης στις πόλεις Βενετία και Φλωρεντία στην Ιταλία, και γρήγορα επεκτάθηκε και σε άλλες χώρες της Δυτικής Ευρώπης Ο μεγάλος ρυθμός θνησιμότητας στην Ευρώπη οφειλόταν στις επιδημικές ασθένειες, στους πολέμους και στις λιμοκτονίες Στις αρχικές καταγραφές των θανάτων από την πανώλη, τη φοβερή ασθένεια που εμφανίστηκε το 48 και κράτησε πάνω από 400 χρόνια, προστέθηκαν στη συνέχεια και οι θάνατοι από άλλες αιτίες Στα 60 ο Άγγλος εμπορευόμενος Graunt από δειγματοληπτική έρευνα που έκανε σε οικογένειες του Λονδίνου βρήκε ότι σε κάθε 88 άτομα υπήρχαν θάνατοι Χρησιμοποιώντας τους καταλόγους του Λονδίνου, που έδιναν 00 θανάτους το 60, εκτίμησε τον πληθυσμό του Λονδίνου το έτος αυτό στα 8700 άτομα

47 56 Μια πραγματικά σπουδαία στατιστική απογραφή στην εποχή του Γουλιέλμου του Κατακτητή, στο τέλος του ου αιώνα, αναφέρεται σε διάφορες μονάδες παραγωγής της Αγγλίας όπως μεταλλεία, ιχθυοτροφεία κά Από το 6ο έως το 9ο αιώνα, η ραγδαία ανάπτυξη του εμπορίου ώθησε τις πολιτειακές αρχές στη μελέτη οικονομικών δεδομένων, όπως είναι το εξαγωγικό εμπόριο, το πλήθος και η δυναμικότητα των βιομηχανιών κτλ Ενώ παλαιότερα η Στατιστική ασχολείτο μόνο με την παράθεση τεράστιων πινάκων με δεδομένα και αναρίθμητων διαγραμμάτων, σήμερα μπορούμε να διακρίνουμε σε μια στατιστική έρευνα τρία στάδια: Τη συλλογή του στατιστικού υλικού, την επεξεργασία και παρουσίασή του και τέλος την ανάλυση αυτού του υλικού και την εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάτων Τα τρία αυτά στάδια επιτυγχάνονται με την εφαρμογή καταλλήλων για κάθε περίπτωση στατιστικών μεθόδων, όπως και με τη βοήθεια των Υπολογιστών, οι οποίοι σημείωσαν τεράστια ανάπτυξη στις μέρες μας Συμπερασματικά λοιπόν μπορούμε να δώσουμε ως ορισμό της Στατιστικής το συνηθέστερο και πλέον γνωστό ορισμό του RA Fisher , πατέρα της σύγχρονης Στατιστικής: Στατιστική είναι ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση και εξαγωγή αντίστοιχων συμπερασμάτων Ο κλάδος της Στατιστικής που ασχολείται με τον πρώτο στόχο λέγεται σχεδιασμός πειραμάτων eperimental design ενώ, με τον δεύτερο ασχολείται η περιγραφική στατιστική descriptive statistics, που αποτελεί και το αντικείμενο μελέτης μας στη συνέχεια Τέλος, η επαγωγική στατιστική ή στατιστική συμπερασματολογία inferential statistics περιλαμβάνει τις μεθόδους με τις οποίες γίνεται η προσέγγιση των χαρακτηριστικών ενός μεγάλου συνόλου δεδομένων, με τη μελέτη των χαρακτηριστικών ενός μικρού υποσυνόλου των δεδομένων Έτσι αν, για παράδειγμα, ο Διευθυντής ενός σχολείου εξετάζοντας ένα δείγμα 00 απουσιών των μαθητών από το σύνολο των απουσιών ενός τριμήνου αναφέρει στο σύλλογο των καθηγητών ότι 0 από τις 00 απουσίες είναι αδικαιολόγητες, τότε απλώς περιγράφει αυτό που παρατήρησε Αν όμως αναφέρει ότι το 0% των απουσιών είναι αδικαιολόγητες, τότε συμπεραίνει ότι το ποσοστό των απουσιών όλων των μαθητών του σχολείου είναι περίπου το ίδιο με αυτό του δείγματος Προβαίνει δηλαδή σε μια επαγωγή από το δείγμα στον πληθυσμό Η Στατιστική σήμερα χρησιμοποιείται ευρύτατα σε όλους σχεδόν τους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας Βασικές έννοιες της Στατιστικής έχουν εισχωρήσει και ενσωματωθεί σε όλες τις επιστήμες Από τις Ανθρωπιστικές, Νομικές και Κοινωνικές Επιστήμες Αρχαιολογία, Λαογραφία, Κοινωνιολογία,

48 Δημογραφία,, τις Φυσικές Επιστήμες Φυσική, Χημεία, Αστρονομία,, τις Επιστήμες Υγείας Ιατρική, Φαρμακευτική, Βιολογία,, τις Τεχνολογικές Επιστήμες Μηχανολογία, Τοπογραφία, Ναυπηγική, μέχρι τις Επιστήμες Οικονομίας και Διοίκησης Οικονομικά, Χρηματιστηριακά, Διαφήμηση, Marketing,, βλέπουμε να υπεισέρχεται η Στατιστική είτε με την αρχική περιγραφική μορφή της είτε με τις προηγμένες αναλυτικές τεχνικές της Η ανάλυση στατιστικών ερευνών είναι το κυριότερο εργαλείο έρευνας σε ένα μεγάλο φάσμα εφαρμογών των παραπάνω επιστημών Οι έρευνες των ανθρώπινων πληθυσμών συχνά αναφερόμενες και ως δημοσκοπήσεις αποτελούν σπουδαίες πηγές βασικής γνώσης των κοινωνικών επιστημών Οικονομολόγοι, ψυχολόγοι, κοινωνιολόγοι και πολιτικοί επιστήμονες μελετούν ποικίλα θέματα όπως πρότυπα εσόδων-εξόδων των οικογενειών και των επιχειρήσεων, την επίδραση της επαγγελματικής απασχόλησης των γυναικών στην οικογενειακή ζωή, τις συγκοινωνιακές και ταξιδιωτικές συνήθειες των κατοίκων μιας πόλης, τις προτιμήσεις των ψηφοφόρων για τους υποψηφίους και τις θέσεις τους Πολλά προβλήματα που αντιμετωπίζουν σήμερα οι επιχειρήσεις αφορούν τη διατήρηση, αντικατάσταση ή το κρίσιμο σημείο αντοχής συσκευών ή προσωπικού Ο διευθυντής μιας βιομηχανίας πρέπει να είναι σε θέση να κατανοεί στατιστικές έρευνες που αφορούν την ποιότητα του προϊόντος και την αποδοτικότητα της παραγωγικής διαδικασίας Πρέπει επίσης να αντιλαμβάνεται την αποτελεσματικότητα της διαφήμισης και τις προτιμήσεις του καταναλωτή σε μια έρευνα αγοράς Συμβουλευόμενος και τον στατιστικό μπορεί να πάρει σωστές αποφάσεις αναφορικά με την επέκταση ή μη της επιχείρησης Σήμερα κάθε γιατρός πρέπει να έχει βασικές γνώσεις Στατιστικής που θα τον βοηθήσουν τόσο στην έρευνα όσο και στην καθημερινή άσκηση του κάθε μορφής και είδους ιατρικού ή βιοϊατρικού, γενικότερα, επαγγέλματος Η Εθνική Στατιστική Υπηρεσία κάθε χώρας διενεργεί σε τακτά χρονικά διαστήματα δειγματοληπτικές έρευνες, για να πάρει πληροφορίες για τον πληθωρισμό, την απασχόληση και την ανεργία στη χώρα Ανάλογα με τα αποτελέσματα διαμορφώνεται και η κυβερνητική πολιτική στα θέματα αυτά Πέρα από όλα αυτά, διαπιστώνουμε ολοένα και περισσότερο να γίνεται χρήση μεθόδων της Στατιστικής για την υποστήριξη διάφορων θέσεων Ακόμα και σε τηλεοπτικές αντιπαραθέσεις κυρίως σε προεκλογικές περιόδους βλέπουμε τους συνομιλητές να κάνουν χρήση αριθμών, στατιστικών στοιχείων, γραφημάτων και διαγραμμάτων, για να δώσουν εγκυρότητα στις απόψεις τους και να πείσουν για τα λεγόμενά τους Παραπάνω έχουν αναφερθεί ελάχιστα από τα πεδία εφαρμογών της Στατιστικής Προφανώς μια λεπτομερής περιγραφή όλων των εφαρμογών δεν είναι δυνατή Η μελέτη όμως και η γνώση της Στατιστικής βοηθά όχι μόνο στη σωστή χρήση των γνωστών μεθόδων αλλά και στην ανάπτυξη νέων τεχνικών για την αποτελεσματικότερη εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάτων ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 57

ρυθμός μεταβολής = παράγωγος

ρυθμός μεταβολής = παράγωγος ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ρυθμός μεταβολής ρυθμός μεταβολής = παράγωγος Πιο σωστό είναι να λέμε «ρυθμός μεταβολής ενός μεγέθους, ως προς ένα άλλο», αλλά... :) Προσέχουμε γιατί οι συναρτήσεις, στα περισσότερα προβλήματα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Αδαμόπουλος Λεωνίδας, Δαμιανού Χαράλαμπος Σβέρκος Ανδρέας Επ Σύμβουλος Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Αναπλ Καθηγητής Παν/μίου Αθηνών Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το ο Γενικό Λύκειο Χανίων [00-0 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το ήθος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Tόμος ος -0088_l_c_math_bm_-54_8b.indd 5/08/07 09:49 ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Αδαμόπουλος Λεωνίδας Επ. Σύμβουλος Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Αδαμόπουλος Λεωνίδας, Δαμιανού Χαράλαμπος Σβέρκος Ανδρέας Επ Σύμβουλος Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Αναπλ Καθηγητής Παν/μίου Αθηνών Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

( x)( x) x ( x) 2. 2x< 60 x< 30 και τελικά 0 < x < 30. = x = (παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης)

( x)( x) x ( x) 2. 2x< 60 x< 30 και τελικά 0 < x < 30. = x = (παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης) Β3. Από ένα φύλλο λαμαρίνας σχήματος τετραγώνου πλευράς 6 cm θα κατασκευαστεί ένα δοχείο, ανοικτό από πάνω, αφού κοπούν από τις γωνίες του τέσσερα ίσα τετράγωνα και στη συνέχεια διπλωθούν προς τα επάνω

Διαβάστε περισσότερα

1.4. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας A ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων i) f(x) = x 2x ii) f(x) = 3 x iii) f(x) = x 2x + 4

1.4. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας A ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων i) f(x) = x 2x ii) f(x) = 3 x iii) f(x) = x 2x + 4 .4 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 45 47 A ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων i) f() ii) f() + 6 iii) f() i) Πεδίο ορισµού είναι το R f () f () 0 0 f () > 0 > 0 > > + 4 Το πρόσηµο της f και η µονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 010-011 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΚΕΦ1 1 Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΠOΥΡΓΕIO ΠΑIΔΕIΑΣ ΚΑI ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΔΑΜΟΠΟΥΛΟΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΔΑΜΙΑΝΟΥ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΣΒΕΡΚΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ Η συγγραφή και η επιμέλεια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΠOΥΡΓΕIO ΠΑIΔΕIΑΣ ΚΑI ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΔΑΜΟΠΟΥΛΟΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΔΑΜΙΑΝΟΥ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΣΒΕΡΚΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ Η συγγραφή και η επιμέλεια

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f (, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ).

0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ). Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι παρουσιάζει στο o Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f () f( o ) για κάθε A ( o δ, o δ ), όπου Α το πεδίο ορισμού της f. Το o λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y f(x), όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1 Κεφ ο : Διαφορικός Λογισμός Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Θέματα από Πανελλαδικές Α Πεδίο ορισμού συνάρτησης (Περιορισμούς για το χ ) Όταν έχουμε κλάσμα πρέπει : παρονομαστής 0 Όταν έχουμε ρίζα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης ΘΕΩΡΙΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης Συνάρτηση από το σύνολο Α στο Β λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο x του Α, αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ενότητα 17 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ασκήσεις για λύση 1. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ η πλευρά ΑΒ αυξάνεται με ρυθμό cm / s, ενώ η πλευρά ΒΓ ελαττώνεται με ρυθμό 3 cm / s. Να βρεθούν: i) ο ρυθμός μεταβολής

Διαβάστε περισσότερα

0 είναι η παράγωγος v ( t 0

0 είναι η παράγωγος v ( t 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f(, όταν f

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Θεώρημα Frmat) Εστω μια συναρτηση ορισμενη σ ένα διαστημα Δ και ένα εσωτερικο σημειο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 + Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω η συνάρτηση f () = - 3 +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-3), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ

Διαβάστε περισσότερα

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 47 49

Γενικές ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 47 49 Γενικές ασκήσεις σχ. βιβλίο σελίδας 47 49. Αν µια σρµάτινη ράβδος είναι οµογενής, τότε η γραµµική της πκνότητα ρ ρ m και µετριέται σε χιλιόγραµµα l ορίζεται ως η µάζα της ανά µονάδα µήκος ( ) ανά µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Αδαμόπουλος Λεωνίδας, Δαμιανού Χαράλαμπος Σβέρκος Ανδρέας Επ Σύμβουλος Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Αναπλ Καθηγητής Παν/μίου Αθηνών Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Tόμος 1ος -0088_l_c_math_bm_1-54_8b.indd 1 18/09/017 10:3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Αδαμόπουλος Λεωνίδας Επ. Σύμβουλος Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

5o Φύλλο Ασκήσεων. Γενικής Παιδείας. ΑΣΚΗΣΗ 1η. ΑΣΚΗΣΗ 2η. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων :

5o Φύλλο Ασκήσεων. Γενικής Παιδείας. ΑΣΚΗΣΗ 1η. ΑΣΚΗΣΗ 2η. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων : ΛΥΚΕΙΟ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Κ E Φ Α Λ Α Ι Ο Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ 1ο Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΡΙΜΗΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Γενικής Παιδείας 5o Φύλλο Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Δίνεται η συνάρτηση i Να

Διαβάστε περισσότερα

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α. 3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β, 8B, 9 Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

lim lim lim f (x) δ) lim lim lim lim 1- x 1- lim lim lim lim lim Ερωτήσεις ανάπτυξης

lim lim lim f (x) δ) lim lim lim lim 1- x 1- lim lim lim lim lim Ερωτήσεις ανάπτυξης Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρεθούν τα παρακάτω όρια: α) γ) ε) ζ) - f () β) f () δ) f () f () στ) - - - f () f () f () - y

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Ορισμός Συνάρτησης

Συναρτήσεις. Ορισμός Συνάρτησης Συναρτήσεις Ορισμός Συνάρτησης Συνάρτηση είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Σχόλιο : Τα σύνολα Α και Β είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β). Σ Λ. * Αν η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 45 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο ; (, 5) Απάντηση : α) Μια συνάρτηση, με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

2.0. , κ R, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο Ρ=(1,1). Να βρεθεί η τιμή του αριθμού κ.

2.0. , κ R, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο Ρ=(1,1). Να βρεθεί η τιμή του αριθμού κ. Άσκηση. α Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία (,y, Α=(, και Β=(0, β Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο B(0, και έχει κλίση -0.. Να βρεθούν τα σημεία που

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΕΠΑΛ Κεφάλαιο ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΕΠΑΛ Κεφάλαιο ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Παράγωγοι Κώστας Γλυκός ΕΠΑΛ Κεφάλαιο 59 ασκήσεις σε 9 σελίδες 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 εκδόσεις / / 0 8 Καλό πήξιμο Τα πάντα για παραγώγους (ΕΠΑΛ) Να βρεις τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων :. f ( ) 9. f(

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΕΠΑΛ Κεφάλαιο ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΕΠΑΛ Κεφάλαιο ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Παράγωγοι Κώστας Γλυκός ΕΠΑΛ Κεφάλαιο 59 ασκήσεις σε 9 σελίδες 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 εκδόσεις / / 0 8 Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Τα πάντα για παραγώγους (ΕΠΑΛ) Να βρεις τα πεδία

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β;

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; σελ 1 από 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; 1. Σ-Λ Η σχέση με:, είναι συνάρτηση. 2. Σ-Λ Η σχέση είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Usus est magister optimus (η χρήση είναι ο καλύτερο δάσκαλο ) y M(,f()) C f A( 0,f( 0 )) M ε O 0 (α) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α).

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α). Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Για να υπολογίσει κάποιος την (0 ) χρησιµοποιεί για + προσέγγιση τον αριθµό +, ενώ ένας άλλος τον αριθµό. 3 α) Να εκτιµήσετε ποια από τις δύο προσεγγίσεις δίνει το ελάχιστο (απόλυτο)

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1 1. Πότε τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία; Αναφέρεται παραδείγματα. Στη φυσική πολλές φορές είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τα σώματα χωρίς να λάβουμε υπόψη τις διαστάσεις τους. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΙ Πότε μια συνάρτηση λέγεται : α Παραγωγίσιμη στο σύνολο Α β Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα αβ γ Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ αβ ] Β δ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη e d g h g h Εκφωνήσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2. Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα