ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ. Πράξεις και χρήσιμοι μετασχηματισμοί πινάκων

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ. Πράξεις και χρήσιμοι μετασχηματισμοί πινάκων"

Σελήνη Ρόκας
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πράξεις και χρήσιμοι μετασχηματισμοί πινάκων Δίνονται οι πίνακες : Υπολογίστε : i. τον ΑΒ. ii. τον ΑΒ Τ. iii. την ορίζουσα του Α (δηλ. det[a]). iv. την ορίζουσα του Α Τ Β (δηλ. det[α Τ Β]). v. την ορίζουσα του ΑΒ Τ (δηλ. det[αβ Τ ]). vi. τον αντίστροφο του Α (δηλ. Α -1 ). vii. τον αντίστροφο του Α Τ Β (δηλ. (Α Τ Β ) -1 ). viii. τον αντίστροφο του ΑΒ Τ (δηλ. (ΑΒ Τ ) -1 ). ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνεται ο πίνακας : Υπολογίστε τους: i. Α Τ Α. ii. ΑΑ Τ. iii. (Α Τ Α) -1. ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνονται οι πίνακες :

2 Υπολογίστε τους : i. ΑΒ ii. Β Τ Α Τ iii. Α Τ Α iv. (Α Τ Α) -1 ΑΣΚΗΣΗ 4 Δεδομένων των πινάκων Α και Β και του διανύσματος x : i. Υπολογίστε τους ΑΒ, Α Τ Β, ΒΑ και Β Τ Α Τ. ii. Υπολογίστε τον (ΑΒ) -1. iii. Υπολογίστε την ορίζουσα του ΑΒ, την ορίζουσα του (ΑΒ) -1 καθώς και την ορίζουσα του Α. iv. Επιλύστε την ΒΑx = 0 και χρησιμοποιείστε το αποτέλεσμα για να υπολογίσετε την ορίζουσα του ΒΑ. ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνεται ο πίνακας : Ζητείται : i. Χρησιμοποιώντας την ανάπτυξη Laplace, υπολογίστε την ορίζουσα του Α, Προχωρώντας κατά μήκος α) της 1 ης γραμμής και β) της 2 ης στήλης. ii. Υπολογίστε τον πίνακα προσημασμένων ελλασόνων C καθώς και τον adj[a]. iii. Υπολογίστε τους adj[a]α καθώς και τον Αadj[A]. Τι παρατηρείτε; iv. Υπολογίστε τον αντίστροφο του Α καθώς και τον (Α Τ ) -1

3 ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται ο πίνακας : Υπολογίστε : i. Την ορίζουσα του Α. ii. Τον πίνακα αλγεβρικών συμπληρωμάτων C. iii. Τον adj[a]. iv. Τον αντίστροφο του Α. Αλυσίδες Markov Ο Φανούρης πηγαίνει στο Πανεπιστήμιο είτε περπατώντας είτε με το ποδήλατο του. Αν την μία μέρα περπατήσει, την επόμενη θα πάρει το ποδήλατό του ή θα περπατήσει ξανά με ίση πιθανότητα. Αν όμως πάρει το ποδήλατό του μία μέρα, τότε η πιθανότητα να περπατήσει την επόμενη μέρα είναι ¼. Ζητούνται : i. Να κατασκευαστεί ένας πίνακας Markov που να εκφράζει την παραπάνω κατάσταση. ii. Αν ο πίνακας του ερωτήματος i θεωρεί ως πρώτη μέρα την Δευτέρα, κατασκευάστε έναν πίνακα που να δίνει τις πιθανότητες μετακίνησης του Φανούρη για την Τετάρτη, για την Πέμπτη και την Παρασκευή δεδομένης της επιλογής του την Δευτέρα. Ερμηνεύστε τα νούμερα του πίνακα. iii. Αν ο Φανούρης συνεχίσει να πηγαίνει στο πανεπιστήμιο περπατώντας ή με το ποδήλατο με βάση τις ίδιες πιθανότητες με αυτές που προκύπτουν από τον πίνακα Markov του ερωτήματος i, στο μακρινό μέλλον με τι πιθανότητα θα πηγαίνει στο πανεπιστήμιο περπατώντας ή με το ποδήλατο του? ΑΣΚΗΣΗ 2 Στον Βοτανικό υπάρχει μία Πιτσαρία που δέχεται εκατοντάδες παραγγελίες κάθε μέρα. Οι παραγγελίες είναι τόσες πολλές που για να καλύψουν τις ανάγκες τους αναγκάζονται να λειτουργούν 3 κουζίνες που έχουν τα ονόματα των τοποθεσιών στις οποίες βρίσκονται ( για ευκολία έστω A, B, C). Οι κουζίνες είναι

4 διασκορπισμένες στην περιοχή του Βοτανικού, το προσωπικό διανομής όμως είναι κοινό και για τις τρείς κουζίνες. Αφού κάποιος διανομέας παραδώσει μία παραγγελία, μετά πηγαίνει στο πλησιέστερο κατάστημα για να παραλάβει την επόμενη παραγγελία. Έτσι, ο προορισμός της επόμενης παραγγελίας κάθε διανομέα εξαρτάται από την τοποθεσία την οποία βρίσκεται εκείνη την στιγμή. Από τα τηλεφωνήματα που γίνονται στην Α κουζίνα, 30% διανέμονται στην τοποθεσία Α, 30% αφορούν την τοποθεσία Β και 40% την τοποθεσία C. Από τις παραγγελίες της κουζίνας Β, στην τοποθεσία Α καταλήγουν το 40%, στην τοποθεσία Β το 40% και στην τοποθεσία C το 20%. Από τα τηλεφωνήματα στην κουζίνα C, 50% πηγαίνουν στην Α τοποθεσία, 30% στην τοποθεσία Β και 20% στην τοποθεσία C. Ζητούνται: i. Αποδώστε το παραπάνω πρόβλημα σε διαγραμματική μορφή και σε μορφή πίνακα Markov. ii. Ποιες είναι οι πιθανότητες μετάβασης μετά από ακριβώς 2, 3, 4, 5, 6 και 7 παραγγελίες? Τι παρατηρείτε να συμβαίνει καθώς ο αριθμός των παραγγελιών αυξάνεται? Ερμηνεύστε το φαινόμενο. iii. Αν αρχικά υπήρχαν από 18 διανομείς σε κάθε κουζίνα, πόσοι θα βρίσκονται σε κάθε κουζίνα μετά την 1 η παραγγελία και πόσοι θα είναι σε κάθε κουζίνα μετά το τέλος της βάρδιας (δηλ. μετά από ένα πολύ μεγάλο αριθμό παραγγελιών)? iv. Αν αρχικά υπήρχαν συνολικά n διανομείς που μοιράζονταν ισάριθμα σε κάθε κουζίνα, τι ποσοστό διανομέων θα αντιστοιχούσε σε κάθε κουζίνα μετά την 1 η παραγγελία και μετά το τέλος της βάρδιας (δηλ. μετά από ένα πολύ μεγάλο αριθμό παραγγελιών)? v. Αν η πιτσαρία διέθετε κάποια χρήματα που ήθελε να επενδύσει σε κάποια από τις 3 κουζίνες της, ποια θα έπρεπε να επεκτείνει και γιατί? vi. Αν η πιτσαρία έπρεπε να κλείσει μία από τις κουζίνες ποια κουζίνα θα έπρεπε να διαλέξει και γιατί? vii. Τι θα συνέβαινε αν όλες οι παραγγελίες που δίνονταν στην κουζίνα C, διανέμονταν αποκλειστικά στην C τοποθεσία? Συστήματα Εξισώσεων Βρείτε τις τιμές του x και του y στο παρακάτω σύστημα εξισώσεων α) αλγεβρικά, β)με την βοήθεια της άλγεβρας πινάκων και γ) με τον κανόνα του Cramer. 3x + 2y = 1 2x + y = 2

5 ΑΣΚΗΣΗ 2 Βρείτε τις τιμές των x, y και z στο παρακάτω σύστημα εξισώσεων α) αλγεβρικά, β)με την βοήθεια της άλγεβρας πινάκων και γ) με τον κανόνα του Cramer. x + 3y - z = 4 2x + y + 2z = 10 3x - y + z = 4 ΑΣΚΗΣΗ 3 Έστω ότι η τιμή ισορροπίας του εισοδήματος, Y, του διαθέσιμου εισοδήματος, Υ δ, και της φορολογίας, Τ, ενός μακροοικονομικού μοντέλου τριών τομέων ικανοποιεί της εξισώσεις: Y = C + I* + G* C = ay δ + b (0 < a < 1, b > 0) Y δ = Y T T = ty + T* (0 < t < 1, T* > 0) Εκφράστε το παραπάνω σύστημα με την μορφή πινάκων Ax=b (1) και βρείτε το Υ με την βοήθεια του κανόνα του cramer. Ανάλυση εισροών-εκροών Τα επίπεδα παραγωγής της βιομηχανίας μηχανικού εξοπλισμού, ηλεκτρισμού και καυσίμων μιας μικρής χώρας είναι 3000, 5000 και 2000 αντίστοιχα. Επίσης : Για την παραγωγή μηχανολογικού εξοπλισμού αξίας ενός ευρώ απαιτούνται 0,3 ευρώ ηλεκτρισμού και 0,3 ευρώ καυσίμων. Για την παραγωγή ηλεκτρισμού αξίας ενός ευρώ απαιτούνται 0,1 ευρώ μηχ/κου εξοπλισμού και 0,2 ευρώ καυσίμων. Για την καυσίμων αξίας ενός ευρώ απαιτούνται 0,3 ευρώ μηχ/κου εξοπλισμού και 0,1 ευρώ ηλεκτρισμού. Ζητούνται : i. Κατασκευάστε τον τεχνολογικό πίνακα (εισροών-εκροών) που αντιστοιχεί στα παραπάνω στοιχεία. Πρόκειται για κλειστό ή για ανοιχτό υπόδειγμα? ii. Βρείτε την αξία της παραγωγής κάθε βιομηχανίας που είναι διαθέσιμη για εξαγωγή.

6 iii. iv. Βρείτε τον πίνακα Leontief και τον αντίστροφό του. τι παρατηρείται? Αν δεν γνωρίζαμε την συνολική αξία της παραγωγής και μας έλεγαν ότι η εν λόγω χώρα θέλει να εξάγει 2000 μηχ/κου εξοπλισμού, 5000 ηλεκτρισμού και 1000 καύσιμα, ποια θα έπρεπε να είναι η αξία παραγωγής κάθε βιομηχανίας για να ανταπεξέλθει στην ζήτηση. ΑΣΚΗΣΗ 2 Ο επόμενος πίνακας αποτελεί τον τεχνολογικό πίνακα (εισροών-εκροών) μίας οικονομίας με τρεις τομείς. Εάν γνωρίζεται ότι η τελική ζήτηση προϊόντων των δύο τομέων είναι κατά σειρά 300, 240 και 150 μονάδες, και τα επίπεδα παραγωγής των τριών τομέων για να ικανοποιείται η δοσμένη ζήτηση ακριβώς 600, 1080 και 960 αντίστοιχα, να προσδιοριστεί ο συντελεστής εισροής της τρίτης επιχείρησης στην πρώτη για την παραγωγή μίας μονάδος προϊόντος (y).

Σχετικά έγγραφα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Έστω συνάρτηση ζήτησης με τύπο Q = 200 4P. Να βρείτε: α) Την ελαστικότητα ως προς την τιμή όταν η τιμή αυξάνεται από 10 σε 12. 1ος τρόπος Αν P 0 10 τότε Q 0 200 410