Επαναληπτικές Έννοιες

Transcript

1 Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc ) ΣΥΝΟΛΑ 0,,,, Φυσικοί,,,0,,, Ακέριοι,, 0 Ρητοί \ Άρρητοι Πργμτικοί ) ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ορισμοί Επνληπτικές Έννοιες, ν 0. ν, ν, ν, ν πράγοντες.., 0 Ιδιότητες Κοινής Βάσης Κοινού Εκθέτη Δύνμη σε Δύνμη.. :. 4. : κ 5. λ κ λ ) ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ (Αξιοσημείωτοι Πολλπλσισμοί). ( + ) = = ( + ) -. ( - ) = = ( - ) -. ( + + γ) = + +γ + + γ + γ 4. ( - + γ) = + + γ - + γ - γ 5. ( - γ) = + +γ - - γ + γ 4. ( + ) = = ( + ) - ( + ) 5. (-) = = (-) - (-) 6. ( + ) ν = ν + ν- +! ν- +!! με! (ν πργοντικό) Διώνυμο του Newton ν ν

2 Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc 7. ( + + γ) = + + γ + ( + )( + γ)(γ + ) 8. - = ( - )( + ) 9. - = ( - )( + + ) 0. ν - ν = ( - )( ν- + ν ν- + ν- ),. ν - ν = ( + )( ν- - ν ν- - ν- ),. + = ( + )( + ). ν + ν = ( + )( ν- - ν ν- - ν- ), * * *, ν άρτιο, ν περιττό γ - γ = ( + + γ)[( - ) + ( - γ) + (γ - ) ] = = ( + + γ)( + + γ - - γ - γ) Πόρισμ : Αν + + γ=0 ή = = γ, τότε : + + γ = γ 4) ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ορισμός > > 0, < < 0 Ιδιότητες. <. Το ντίστροφο της ιδιότητς δεν ισχύει, γιτί μπορεί ν είνι κι όμως = κι όχι <..,. (Ανκλστική Ιδιότητ)..,, κι. (Αντισυμμετρική Ιδιότητ). 4.,, κι. (Μεττική Ιδιότητ). Λόγω των ιδιοτήτων (), (), (4) η σχέση (λλά κι η ) λέγετι σχέση ολικής ή φυσικής διάτξης στο. 5.,,, (ισχύει κι γι ) τότε,,,. 0 τότε 7.,,, : Πορίσμτ I. Μπορούμε ν προσθέσουμε κτά μέλη ίδις φοράς νισώσεις, λλά όχι ν τις φιρέσουμε.

3 Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc II. Γενίκευση, με 8.,,,, κι τρις τουλάχιστον θετικοί 9. *, κι 0 :. 0 : 0. : a a. 0 : a a. 0 0 κι *, κι, 0,,..,,,. * 4. κι ισχύει 0 5) Διστήμτ Διάστημ Ανισότητ Συμολισμός,,,,,,,,,

4 Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc Διάστημ Ανισότητ Συμολισμός 0 0 ή,,,, 0 0, 0, 0 6) ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Αν,,γ, δ 0 κι ) ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Ορισμός Ιδιότητες. 0,., , :, 4.,. κι ma, 5., κι γενικά, κι. 0 ό 0 ό.. 6., με 0 0 Ά ό... 7., με (Ιδιότητ 6). 8., με 0 0 ό 0 ό... 0 Ά ό.. 4

5 Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc ή, με 0 (Αν 0 Τυτότητ, Ιδιότητ ). 0 0 ή 0.,,, γενικά.., κι *. 4.,, (Τριγωνική Ανισότητ). Γενικά,,,, Γι τις ισότητες στην Τριγωνική Ανισότητ έχουμε : 0 κι 0 Αν στην τριγωνική νισότητ άλουμε οπού το έχουμε :,, Γι τις ισότητες έχουμε : 0 κι 0 8) ΡΙΖΕΣ Ορισμοί, με 0, με 0, με 0, με 0 Ιδιότητες Ριζών Γι, 0κι,, έχουμε a a

6 Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc Συζυγείς Πρστάσεις Γι, 0κι, έχουμε Πρστάσεις Συζυγείς Η Εξίσωση ν = 0 0 ν άρτιος, ν περιττός, ν άρτιος, ν περιττός, Έχει κριώς δύο λύσεις τις ν κι ν Έχει κριώς μί λύση την ν Η εξίσωση δεν έχει λύσεις, είνι δύντη Έχει κριώς μί λύση την ν 9) Ισότητες στο. Αν,. Αν,. Αν, κι 0 6. κι 0 7. κι 8. κι 9. κι ή 0 ή 0 ή 0 6

7 Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc. 0 0, , 0) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου Βθμού ου Βθμού Δικρίνουσ: Δ 0 Επίλυση της 0 0 Τότε έχουμε μονδική λύση την 0 0 Τότε η 0 είνι δύντη 0 Τότε η 0 0 είνι όριστη 4 Επίλυση Εξίσωσης Η εξίσωση έχει πργμτικές κι άνισες ρίζες: Δ, γ Πργοντοποίηση Πρόσημο ομόσημο ετερόσημο ομόσημο του του του γ Επίλυση Εξίσωσης Η εξίσωση έχει διπλή πργμτική ρίζ Πργοντοποίηση γ o o Δ 0 Πρόσημο o ομόσημο ομόσημο του του γ Επίλυση Εξίσωσης Πργοντοποίηση Η εξίσωση δεν έχει πργμτικές ρίζες, δηλδή είνι δύντη στο Δεν πργοντοποιείτι Δ 0 Πρόσημο γ ομόσημο του 7

8 Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc Ελλιπείς μορφές τριωνύμου γ 0 γ γ γ γ 0 ή γ 0 Η εξίσωση είνι δύντη γ ή 0 0 ή Άθροισμ Γινόμενο Ριζών (Τύποι Vietta) Έστω 0 0, με,, κι Συμολίσουμε με S κι P, τότε η εξίσωση γίνετι S το άθροισμ ριζών κι P τις ρίζες τις δευτεροθμίου εξίσωσης. S P 0, όπου το γινόμενο ριζών κι, 8

9 Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc Διερεύνηση Ριζών Της Εξίσωσης P S Είδος των ριζών, 0 P 0 S 0 Δύο ρίζες θετικές 0 P 0 S 0 Δύο ρίζες ρνητικές 0 P 0 S 0 Δύο ετερόσημες ρίζες, μεγλύτερη η θετική 0 P 0 S 0 Δύο ετερόσημες ρίζες, μεγλύτερη η ρνητική 0 P 0 S 0 Δύο ρίζες ντίθετες 0 P 0 S Δύο ρίζες ντίστροφες 0 P S 0 Διπλή ρίζ θετική 0 P S 0 Διπλή ρίζ ρνητική 0 P S Δεν έχει ρίζες Διτετράγωνη Εξίσωση Γι ν λύσουμε την εξίσωση υτή θέτουμε, κι έτσι η εξίσωση μετσχημτίζετι σε μί εξίσωση δευτέρου θμού, δηλδή : 0, που κλείτι επιλύουσ της διτετράγωνης. Η επιλύουσ λύνετι ως δευτεροάθμι εξίσωση. Αν η λύση είνι ρνητική πορρίπτετι, ενώ ν είνι θετική εξισώνετι με το ντίθετες ρίζες γι το. Δηλδή Γενικότερ οι διτετράγωνες έχουν την μορφή 0 δίνοντάς μς δύο πργμτικές κι Μεγλύτερες του ου Βθμού Γι λύσουμε μί πολυωνυμική ρχικά νζητούμε τις πιθνές κέριες λύσεις (Π.Α.Λ) τις εξίσωσης, που είνι οι διιρέτες του στθερού όρου 0. Αφού ρούμε την ρίζ ρ, τοποθετούμε τους συντελεστές της πολυωνυμικής εξίσωσης στην πρκάτω διάτξη του σχήμτος Horner ως εξής ν ν-... ο ρ ν ν ( ν- + ν )... ν- + ν... 0 Στην συνέχει γράφουμε την εξίσωση σε μορφή γινομένου του πράγοντ κι ενός πολυωνύμου θμού μικρότερου κτά έν πό το ρχικό με συντελεστές 9

10 Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc τους όρους στο κάτω μέρος του σχήμτος Horner. Δηλδή 0 Εξισώσεις Γινομένου Γι ν λύσουμε μί τέτοι εξίσωση, πίρνουμε κάθε πράγοντ ξεχωριστά κι λύνουμε τις επιμέρους εξισώσεις. Δηλδή Πρτήρηση Αν Κλσμτικές Εξισώσεις Γι ν λύσουμε μί κλσμτική εξίσωση ρίσκουμε το ΕΚΠ, πίρνουμε τους περιορισμούς κι κάνουμε πλοιφή προνομστών. Εξισώσεις με ρίζες Αρχικά πίρνουμε τους περιορισμούς f 0, κι λύνουμε την εξίσωση g 0 υψώνοντς κι τ δύο μέρη στο τετράγωνο. Δηλδή f g f g ) ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ. Κοινός Πράγοντς: Ότν οι όροι του πολυωνύμου έχουν κοινούς πράγοντες, τότε γάζουμε τους κοινούς πράγοντες εκτός πρένθεσης εφρμόζοντς το ντίστροφο της επιμεριστικής ιδιότητς. Δηλδή,.. Ομδοποίηση: Ότν μί ομδοποίηση των όρων του πολυωνύμου εμφνίζει κοινούς πράγοντες, τότε χωρίζουμε τους όρους του πολυωνύμου σε ομάδες (πολυώνυμ) με ίσο πλήθος όρων. Βλέπουμε πολλές φορές ότι, ν γάλουμε πό τους όρους κάθε ομάδς τους κοινούς πράγοντες, εμφνίζετι το ίδιο πολυώνυμο μέσ στις πρενθέσεις όλων των ομάδων. Τότε το πολυώνυμο των πρενθέσεων είνι κοινός πράγοντς όλων των ομάδων κι μπορεί ν γρφεί μπροστά πό μι νέ πρένθεση. Δηλδή. 0

11 Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc. Τυτότητες Ότν οι όροι του πολυωνύμου είνι νπτύγμτ τυτοτήτων τότε τις πργοντοποιούμε στην ρχική τους μορφή. Δηλδή ν, 4. Πργοντοποίηση τριωνύμου: Γι ν πργοντοποιήσουμε έν τριώνυμο,ρχικά υπολογίζουμε την δικρίνουσ Αν Δ > 0 τότε, με, Αν Δ = 0 τότε 4. τις ρίζες της εξίσωσης. 0, με 0 την ρίζ της εξίσωσης. Αν Δ < 0 τότε το τριώνυμο δεν πργοντοποιείτι. ) ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου Βθμού 0 0 Επίλυση της Τότε η 0 είνι όριστη Τότε η 0 είνι δύντη 0 Τότε η 0 Τότε η 0 είνι δύντη είνι όριστη Πίνκς προσήμου ετερόσημο ομόσημο του του ου Βθμού, με Γι τις νισώσεις ου θμού εφρμόζουμε το πρόσημο τριωνύμου.

12 Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc Μεγλύτερες του ου Βθμού Γι ν λύσουμε μί νίσωση μεγλύτερη του δευτέρου θμού ρίσκουμε τις ρίζες της με την οήθει του σχήμτος Horner ή πργοντοποιούμε, κι δημιουργούμε πράστση της μορφής. Στη συνέχει κτσκευάζουμε τον πίνκ που περιέχει τ πρόσημ όλων των πργόντων στ διστήμτ που χωρίζετι η ευθεί των πργμτικών ριθμών πό τις ρίζες των πργόντων του κι εφρμόζοντς τους κνόνες προσήμων ρίσκουμε το πρόσημο του γινομένου. Ανισώσεις Γινομένου Βρίσκουμε ρχικά τις ρίζες κι το πρόσημο κάθε πράγοντ χωριστά. Στη συνέχει κτσκευάζουμε τον πίνκ που περιέχει τ πρόσημ όλων των πργόντων στ διστήμτ που χωρίζετι η ευθεί των πργμτικών ριθμών πό τις ρίζες των πργόντων κι κτσκευάζουμε τον πίνκ που περιέχει τ πρόσημ όλων των πργόντων στ διστήμτ που χωρίζετι η ευθεί των πργμτικών ριθμών πό τις ρίζες των πργόντων του γινομένου. Τελειώνοντς εφρμόζοντς τους κνόνες προσήμων κι ρίσκουμε το πρόσημο του γινομένου Κλσμτικές Ανισώσεις Το πρόσημο του πηλίκου εξρτάτι πό το πρόσημο του γινομένου, οπότε κι νγόμστε στην προηγούμενη περίπτωση κι εργζόμστε όμοι. Ανισώσεις με ρίζες Αρχικά πίρνουμε τους περιορισμούς f 0, κι λύνουμε την νίσωση g 0 υψώνοντς κι τ δύο μέρη στο τετράγωνο. Δηλδή ) ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Θεωρούμε το σύστημ Ορίζουμε ως Ορίζουσες D, D κι D

13 Απένντι Κάθετη Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc D D 0 Το (Σ) έχει μονδική λύση :, D, D D D=0 D + D 0. To (Σ) είνι Αδύντο D =D = = = = =0 Το (Σ) είνι ισοδύνμο με μί εξίσωση, δηλδή Αόριστο κι έχει άπειρες λύσεις με έν ελεύθερο άγνωστο. γ + γ 0 Το (Σ) είνι Αδύντο γ =γ =0. Το (Σ) είνι Αόριστο (Πλήρη Απροσδιοριστί) Λύσεις, 4) ΠΡΟΟΔΟΙ Πρόοδος Αριθμητική Γεωμετρική Ορισμός Διφορά / Λόγος ν οστός όρος Αριθμητικός Μέσος,, γ διδοχικοί όροι προόδου Γεωμετρικός Μέσος Άθροισμ ν πρώτων όρων S S S 5) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Οξείς Γωνίς Γ Α γ ω Προσκείμενη Κάθετη Β πένντι κάθετη πλευρά ημω υποτείνουσ προσκείμενη κάθετη πλευρά γ συνω υποτείνουσ πένντι κάθετη πλευρά εφω προσκείμενη κάθετη πλευρά γ προσκείμενη κάθετη πλευρά γ σφω πένντι κάθετη πλευρά

14 Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc Τριγωνομετρικός Κύκλος A (-, 0) B(0, ) Ρ ημ Ο συν σφ Ε Μ Π Σ εφ A(, 0) B (0, -) ημ τετγμένη του Ε ΟΡ συν τετμημένη του Ε ΟΠ εφ σφ ΑΜ ΒΣ Πρόσημο Τριγωνομετρικών Συνρτήσεων Η Ε σ Ο Σ Ο: όλ θετικά Η: ημίτονο θετικό Ε: εφπτομένη κι συνεφπτομένη θετικές Σ: συνημίτονο θετικό. Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Βσικών Γωνιών Γωνί σε Μοίρες 0 0 ο 45 ο 60 ο 90 ο 80 ο 70 ο 60 ο Γωνί σε rad Τριγ. ριθμοί ημ 0 συν εφ 0 0 π π σφ

15 Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc Ανγωγή στο ο Τετρτημόριο Πρπληρωμτικά ( ο τετ.) Διφέρουν κτά π ( ο τετ.) Αντίθετ (4 ο τετ.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Συμπληρωμτικά ( ο τετ.) Διφέρουν κτά ( ο τετ.) Με άθροισμ ( ο τετ.) Διφέρουν κτά (4 ο τετ.) π ημ συν π συν ημ π εφ σφ π σφ εφ π ημ συν π συν ημ π εφ σφ π σφ εφ π ημ συν π συν ημ π εφ σφ π σφ εφ π ημ συν π συν ημ π εφ σφ π σφ εφ Τριγωνομετρικές Τυτότητες Τριγωνομετρικές Συνρτήσεις Τύπος Πεδίο Ορισμού, π, π Σύνολο Τιμών Περίοδος T Μέγιστη Τιμή Ελάχιστη Τιμή, π -, π - Δεν Υπάρχει Δεν Υπάρχει Δεν Υπάρχει Δεν Υπάρχει 5

16 Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc Ο π π Ο π π Ο Ο Τριγωνομετρικές Εξισώσεις ή, ή,,, Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσμτος Διφοράς Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Διπλσίου τόξου Τύποι Αποτετργωνισμού 6

17 Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Τριπλσίου τόξου 4 4 6) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΙΣΗ Τύπος Πεδίο Ορισμού Σύνολο Τιμών Μονοτονί 0, Αύξουσ, 0, Φθίνουσ O O > 0<< 7) ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΙΣΗ Ορισμός, κι Ιδιότητες Λογρίθμων. log 0 4. log 7. log log log. log 5. log. 6. log log log ln e 8. ln e 9. log κ κ log Τύπος Πεδίο Ορισμού Σύνολο Τιμών Μονοτονί 0, Αύξουσ, 0, Φθίνουσ O O > 0<< 7

18 Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc 8) ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΩΝ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμ Τύπος Σχήμ Τύπος Ορθογώνιο Τετράγωνο 4 υ Πρλληλόγρμμο υ γ Τρίγωνο δ δ Ρόμος 4 υ Τρπέζιο Κύκλος Ισόπλευρο τρίγωνο 4 μ Τόξο Τομές A B Γ Πυθγόρειο Θεώρημ ( ) ( ) ( ) 8

19 Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc 9) ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ ΚΑΙ ΟΓΚΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ Κύος 6 V a γ Ορθογώνιο Πρλληλεπίπεδο V Πρίσμ υ h Πυρμίδ h υ V E V υ h Κόλουρη πυρμίδ h ( ) ( ) V υ Κύλινδρος V υ λ Κώνος V Σφίρ 4 4 V υ λ ρ Κόλουρος Κώνος V 9