ISBN:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ISBN:"

Transcript

1 Ακριβείς και ευρετικοί αλγόριθμοι μεικτού ακέραιου διεπίπεδου προγραμματισμού για βέλτιστη υποβολή προσφορών σε αγορές ημερήσιου προγραμματισμού ηλεκτρικής ενέργειας Ευτυχία Κωσταρέλου Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Λ. Αθηνών, Πεδίον Άρεως, Βόλος Γιώργος Κοζανίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Λ. Αθηνών, Πεδίον Άρεως, Βόλος Περίληψη Η απελευθέρωση των αγορών ηλεκτρικής ενέργειας που λαμβάνει χώρα σε διάφορες χώρες του κόσμου τα τελευταία χρόνια έχει προσελκύσει το έντονο ενδιαφέρον πολλών επιστημόνων, οι οποίοι, παρά το διαφορετικό υπόβαθρό τους, έχουν έναν κοινό στόχο: την ανάπτυξη καινοτόμων εργαλείων που θα αναβαθμίσουν ουσιαστικά τη λειτουργία των αγορών αυτών. Το πρόβλημα της ανάπτυξης βέλτιστων προσφορών για έναν παραγωγό ενέργειας που συμμετέχει σε μία αγορά ημερήσιου προγραμματισμού ηλεκτρικής ενέργειας είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα και συνάμα πιο δύσκολα προβλήματα που απαντώνται στην καθημερινή λειτουργία των αγορών αυτών. Στην παρούσα εργασία, παρουσιάζουμε ένα μοντέλο μεικτού ακέραιου διεπίπεδου προγραμματισμού για το πρόβλημα αυτό, και δύο αλγόριθμους, έναν ακριβή κι έναν ευρετικό για την επίλυσή του. Ο ευρετικός αλγόριθμος βασίζεται σε ένα σημαντικό αποτέλεσμα από τη θεωρία του μεικτού ακέραιου παραμετρικού προγραμματισμού που είναι γνωστό από τη δεκαετία του Ο ακριβής αλγόριθμος βασίζεται σε μια διαδικασία που περιλαμβάνει την επαναμορφοποίηση του προβλήματος μέσω των συνθηκών βελτιστότητας ΚΚΤ, και την παραγωγή τομών που αποκόπτουν λύσεις οι οποίες δεν είναι εφικτές. Η σημασία του ευρετικού αλγόριθμου έγκειται στο γεγονός ότι εκτός από τη δυνατότητα απευθείας εύρεσης ικανοποιητικών λύσεων για το πρόβλημα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή των τομών αυτών. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Αγορές ηλεκτρικής ενέργειας, βέλτιστη στρατηγική υποβολής προσφορών, μεικτός ακέραιος διεπίπεδος προγραμματισμός, ακέραιος παραμετρικός προγραμματισμός. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε μια απελευθερωμένη αγορά ηλεκτρικής ενέργειας ημερήσιου προγραμματισμού συμμετέχουν μονάδες παραγωγής ενέργειας που υποβάλουν ελεύθερα τις προσφορές τους για την ενέργεια που παράγουν σε κάθε χρονική περίοδο ενός χρονικού ορίζοντα, και ένας ανεξάρτητος διαχειριστής του συστήματος ο οποίος εκκαθαρίζει την αγορά καθορίζοντας τις ποσότητες παραγωγής για κάθε μονάδα παραγωγής και ικανοποιώντας ταυτόχρονα την ημερήσια ζήτηση για ηλεκτρική ενέργεια σε κάθε χρονική περίοδο. Κάθε μονάδα που συμμετέχει χαρακτηρίζεται από το τεχνικό της ελάχιστο και μέγιστο και από το κόστος εκκίνησης και παραγωγής, και καλείται να υποβάλλει μια προσφορά για την ποσότητα ενέργειας που θα προσφέρει στο σύστημα. Με τα τεχνικά χαρακτηριστικά και τις προσφορές των μονάδων γνωστά, ο διαχειριστής λύνει το πρόβλημα εκκαθάρισης της αγοράς ελαχιστοποιώντας το συνολικό κόστος που απαιτείται για την ικανοποίηση της συνολικής ζήτησης. Στόχος ενός οποιουδήποτε μεμονωμένου παραγωγού είναι η προσφορά που θα υποβάλει να μεγιστοποιεί το συνολικό ατομικό του κέρδος που θα προκύψει μετά από την εκκαθάριση της αγοράς. Στην παρούσα εργασία, μορφοποιούμε το πρόβλημα ενός μεμονωμένου παραγωγού ως ένα μοντέλο μεικτού ακέραιου διεπίπεδου προγραμματισμού, στο άνω επίπεδο του οποίου μεγιστοποιείται το συνολικό του κέρδος, και στο κάτω επίπεδο του οποίου ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος ικανοποίησης της ζήτησης. Υιοθετούμε ένα σχήμα εκκαθάρισης της αγοράς που αποζημιώνει κάθε συμμετέχουσα μονάδα με την πλήρη καταβολή του κόστους εκκίνησης, καθώς και μια ενιαία τιμή εκκαθάρισης (οριακή τιμή συστήματος) για κάθε παραγόμενη MWh. Κύριος στόχος είναι η ανάπτυξη αποτελεσματικών μεθοδολογιών επίλυσης για το μοντέλο αυτό, καθώς και για άλλα με παραπλήσια δομή. 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Για τη μαθηματική μορφοποίηση του προβλήματος, χρησιμοποιούμε την παρακάτω σημειογραφία: Σύνολα: 54

2 U: Μονάδες παραγωγής, με δείκτη Η: Χρονικός ορίζοντας, με δείκτη h Μεταβλητές απόφασης: P 1,h Τιμή προσφοράς ενέργειας του μεμονωμένου παραγωγού, δηλαδή του παραγωγού 1, για τη χρονική περίοδο h Q,h Ποσότητα ενέργειας του παραγωγού για τη χρονική περίοδο h ST,h Δυαδική μεταβλητή που παίρνει την τιμή 1 αν η μονάδα παράγει θετική ποσότητα ενέργειας τη χρονική περίοδο h, και 0 αλλιώς Y,h Δυαδική μεταβλητή που παίρνει την τιμή 1 αν η κατάσταση της μονάδα μεταβληθεί από OFF στην περίοδο h-1 σε ON στην περίοδο h, και 0 αλλιώς p h Σκιώδης τιμή του περιορισμού ικανοποίηση της ενεργειακής ζήτησης τη χρονική περίοδο h Παράμετροι: P,h Τιμή προσφοράς ενέργειας του παραγωγού τη χρονική περίοδο h Q Τεχνικό μέγιστο του παραγωγού min Q Τεχνικό ελάχιστο του παραγωγού P Ανώτατο όριο τιμής προσφοράς της ενέργειας c 1 Μοναδιαίο κόστος παραγωγής του μεμονωμένου παραγωγού, δηλαδή του παραγωγού 1 SUC Κόστος εκκίνησης του παραγωγού Ζήτηση ενέργειας τη χρονική περίοδο h D h Το πρόβλημα που εξετάζουμε μορφοποιείται ως εξής: P1, h = h 1 1, h (1) h H h Max F ( p c ) Q s.t. c1 P1, P, h H (2) Min f = ( Ph, Qh, + SUCYh, ) (3) STh,, Yh,, Qh, h H U Qh, = Dh h H (4) U s.t., min STh, Q Qh, STh, Q, U, h H (5) Y,, h, STh, STh, 1 U h H (6) ST,h, Y,h δυαδικές, U, h H (7) Q,h > 0, U, h H (8) Η αντικειμενική συνάρτηση (1) μεγιστοποιεί το κέρδος του μεμονωμένου παραγωγού. Το κέρδος αυτό εξαρτάται από την τιμή εκκαθάρισης της αγοράς στη χρονική περίοδο h, p h, που είναι η σκιώδης τιμή του περιορισμού εκκαθάρισης της αγοράς (4) που διασφαλίζει την ικανοποίηση της ζήτησης. Το κόστος εκκίνησης δεν περιλαμβάνεται στην αντικειμενική συνάρτηση (1), δεδομένου ότι σύμφωνα με το συγκεκριμένο σχήμα εκκαθάρισης οι παραγωγοί αποζημιώνονται πλήρως για το κόστος αυτό. Ο περιορισμός (2) επιβάλλει ένα κάτω και ένα άνω όριο στις τιμές προσφοράς του κάθε παραγωγού. Το πρόβλημα του κάτω επίπεδου ορίζεται από τις (3) - (8). Η αντικειμενική συνάρτηση (3) ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος ικανοποίησης της ζήτησης. Ο περιορισμός (4) εξασφαλίζει ότι η ζήτηση για ενέργεια θα ικανοποιηθεί. Ο περιορισμός (5) εξασφαλίζει ότι το τεχνικό ελάχιστο και το τεχνικό μέγιστο της κάθε μονάδας παραγωγής δε θα παραβιαστούν. Ο περιορισμός (6) σηματοδοτεί τη μεταβολή της κατάστασης λειτουργίας της μονάδας από OFF στην περίοδο h-1 σε ON στην περίοδο h. Συνεπακόλουθα, απαιτείται γνώση της αρχικής κατάστασης κάθε μονάδας παραγωγής (ST,0 ). Τέλος, οι περιορισμοί (7) και (8) επιβάλλουν την ακεραιότητα και τη μη-αρνητικότητα των μεταβλητών απόφασης, αντίστοιχα. Το πρόβλημα (1)-(8) είναι ένα μεικτό ακέραιο διεπίπεδο μοντέλο βελτιστοποίησης. Μια βασική ιδιότητά του είναι ότι μπορεί να μην υπάρχει βέλτιστη λύση, ακόμη και όταν υπάρχει βέλτιστη λύση για το πρόβλημα του κάτω επιπέδου. Αυτό μπορεί να συμβεί όταν η βέλτιστη λύση του προβλήματος του κάτω επιπέδου δεν είναι μοναδική, επειδή ο διαχειριστής είναι αδιάφορος ως προς την επιλογή 55

3 μίας εξ αυτών. Πολλοί κανόνες έχουν προταθεί για την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος. Στην παρούσα εργασία, υιοθετούμε τη λεγόμενη «αισιόδοξη» προσέγγιση (Loridan and Morgan, 1996), σύμφωνα με την οποία μεταξύ πολλαπλών βέλτιστων λύσεων στο κάτω επίπεδο επιλέγεται η πιο ευνοϊκή για το άνω επίπεδο. 3. ΕΥΡΕΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Η ευρετική μεθοδολογία επίλυσης που προτείνουμε είναι μια επαναληπτική διαδικασία σύμφωνα με την οποία βρίσκουμε τη βέλτιστη τιμή μιας οποιασδήποτε τιμής προσφοράς του μεμονωμένου παραγωγού, κρατώντας σταθερές σε λογικές αρχικές τιμές όλες τις υπόλοιπες τιμές προσφοράς του ίδιου παραγωγού. Η διαδικασία αυτή μπορεί να εφαρμοστεί διαδοχικά για κάθε μία από τις τιμές προσφοράς του μεμονωμένου παραγωγού, μέχρι να ολοκληρωθεί ένας κύκλος, ένα σημείο δηλαδή στο οποίο η τρέχουσα τιμή κάθε προσφοράς του μεμονωμένου παραγωγού είναι βέλτιστη για τις τρέχουσες τιμές όλων των υπολοίπων προσφορών του ίδιου παραγωγού. Εφαρμόζοντας την ίδια διαδικασία πολλές φορές με διαφορετικές αρχικές τιμές για τις προσφορές του μεμονωμένου παραγωγού, μπορούμε να βρούμε διάφορες εναλλακτικές λύσεις, η καλύτερη από τις οποίες μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως προσέγγιση της ολικά βέλτιστης λύσης του προβλήματος. Η διαδικασία εύρεσης της βέλτιστης τιμής μιας προσφοράς κρατώντας σταθερές όλες τις υπόλοιπες κάνει χρήση ενός σημαντικού αποτελέσματος από τη θεωρία του μεικτού ακέραιου παραμετρικού προγραμματισμού που βασίζεται στο γεγονός ότι οι προσφορές του μεμονωμένου παραγωγού εμφανίζονται μόνο στην αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος βελτιστοποίησης του κόστους ικανοποίησης της συνολικής ζήτησης. Οι Kozanidis et al. (2011) χρησιμοποιούν το αποτέλεσμα αυτό για την επίλυση του προβλήματος στην περίπτωση που ο χρονικός ορίζοντας αποτελείται από μία χρονική περίοδο. Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος του κάτω επιπέδου εκφρασμένη παραμετρικά συναρτήσει της τιμής-προσφοράς είναι κατά τμήματα γραμμική και κοίλη (Noltemeier, 1970), οι συγγραφείς ανέπτυξαν έναν ακριβή αλγόριθμο επίλυσης που βρίσκει τη βέλτιστη λύση του προβλήματος συγκρίνοντας το κέρδος του μεμονωμένου παραγωγού για κάθε διαφορετική λύση που προκύπτει στο κάτω επίπεδο, μεταβάλλοντας την τιμή προσφοράς. 3.1 Αριθμητικό Παράδειγμα Στην ενότητα αυτή, εξετάζουμε μια μελέτη περίπτωσης με 3 μονάδες παραγωγής και χρονικό ορίζοντα 3 περιόδων. Τα τεχνικά χαρακτηριστικά, το κόστος εκκίνησης και οι τιμές προσφοράς (σε /MWh) των μονάδων παραγωγής για κάθε χρονική περίοδο παρουσιάζονται στον Πίνακα 1. Η ζήτηση για ενέργεια για τις χρονικές περιόδους 1, 2 και 3 είναι 500 MWh, 360 MWh και 440 MWh, αντίστοιχα. Το μεταβλητό κόστος του μεμονωμένου παραγωγού είναι 15 /MWh, και το άνω όριο στην τιμή προσφοράς είναι 60 /MWh. Πίνακας 6 Τεχνικά χαρακτηριστικά, κόστος εκκίνησης και τιμές προσφοράς των μονάδων παραγωγής Μονάδα () min Q (MW) Q (MW) SUC ( ) (P,1, P,2, P,1 ) (40, 40, 25) (20, 35, 21) Ο Πίνακας 2 παρουσιάζει τα αποτελέσματα της εφαρμογής του παραμετρικού αλγορίθμου για την πρώτη και την τελευταία (5 η ) επανάληψη της ευρετικής διαδικασίας. Στην πρώτη επανάληψη, κρατούνται σταθερές και ίσες με το μοναδιαίο μεταβλητό κόστος οι προσφορές για τις χρονικές περιόδους 2 και 3 και αναζητείται η βέλτιστη προσφορά για την πρώτη χρονική περίοδο. Στην 1 η γραμμή του πίνακα παρουσιάζεται η βέλτιστη λύση του προβλήματος του κάτω επιπέδου στη μορφή (Q,1,Q,2,Q,3 ), η οριακή τιμή συστήματος καθώς και η μονάδα που την καθορίζει, η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του προβλήματος του κάτω επιπέδου (f*), και η αντίστοιχη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του άνω επιπέδου (F). Το μέγιστο κέρδος που ο μεμονωμένος παραγωγός μπορεί να επιτύχει ισούται με 2,000 και επιτυγχάνεται όταν το P 1,1 είναι ίσο με 20, οδηγώντας σε συνολικό κόστος συστήματος 22,640. Στη δεύτερη επανάληψη, κρατούνται σταθερές οι προσφορές του μεμονωμένου παραγωγού για τις χρονικές περιόδους 1 και 3 στις τιμές 20 και 15, αντίστοιχα, και αναζητείται η βέλτιστη τιμή προσφοράς για τη δεύτερη χρονική περίοδο. Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι την εμφάνιση ενός κύκλου, κάτι που συμβαίνει στην 5 η επανάληψη. Η τρέχουσα λύση εκείνη τη στιγμή είναι και αυτή που επιστρέφει ο αλγόριθμος. Για το συγκεκριμένο μικρό αριθμητικό παράδειγμα, η λύση που 56

4 επιστρέφει η ευρετική διαδικασία τυχαίνει να είναι και η ολικά βέλτιστη, κάτι που δεν ισχύει απαραίτητα σε μεγάλα προβλήματα. Για το λόγο αυτό, ο χρήστης μπορεί να επαναλάβει την όλη διαδικασία, ξεκινώντας με διαφορετικές αρχικές τιμές για τις προσφορές του μεμονωμένου παραγωγού. Πίνακας 2 Εφαρμογή ευρετικής διαδικασίας επίλυσης Επανάληψη h Βέλτιστη τιμή Βέλτιστη λύση Οριακή τιμή Οριακή του P 1,h κάτω προβλήματος συστήματος μονάδα f * F Q1: (400, 360, 340) 1 1 P 1,1 =20, P 1,2 =15, P 1,3 =15 Q2: (0, 0, 0) (P 1,1, 15, 15) (1, 1, 1) 22,640 2,000 Q3: (100, 0, 100) P 1,1 =20, Q1: (400, 360, 340) P 1,2 =34.85, 5 2 P 1,3 =21 Q2: (0, 0, 0) Q3: (100, 0, 100) (20, P 1,2, 21) (1, 1, 1) 31,826 11, ΑΚΡΙΒΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Στην ενότητα αυτή, αναπτύσσουμε μια ακριβή διαδικασία επίλυσης για το πρόβλημα, η οποία κάνει χρήση και της παραπάνω ευρετικής διαδικασίας. Η ύπαρξη δυαδικών μεταβλητών απόφασης στη μορφοποίηση του προβλήματος, σε συνδυασμό με την επιβολή ενός κάτω ορίου στην ποσότητα ενέργειας που κάθε μονάδα πρέπει να παράγει για να εισέλθει στην αγορά, απαγορεύουν την εφαρμογή μεθόδων που βασίζονται στη χρήση των συνθηκών βελτιστότητας ΚΚΤ του κάτω προβλήματος. Για να ξεπεραστεί η δυσκολία αυτή στην περίπτωση που το πρόβλημα του κάτω επιπέδου είναι μεικτό ακέραιο γραμμικό, οι Gümüs και Flodas (2005) πρότειναν την αναδιατύπωση του κάτω προβλήματος ως συνεχές μέσω της απεικόνισης του μεικτού ακέραιου πολυέδρου του (SheraliandAdams 1990; 1994), και την αντικατάσταση του κάτω προβλήματος με τις συνθήκες KKT. Δυστυχώς, η εφαρμογή αυτής της προσέγγισης δεν είναι εφικτή παρά μόνο για πολύ μικρά προβλήματα. Ως εκ τούτου, ακολουθούμε μια ελαφρώς διαφορετική προσέγγιση, η οποία περιλαμβάνει τη μετατροπή του μεικτού ακέραιου γραμμικού προβλήματος του κάτω επιπέδου σε συνεχές, αντικαθιστώντας τους περιορισμούς ακεραιότητας κάθε δυαδικής μεταβλητή z i, με έναν ισοδύναμο μη γραμμικό περιορισμό z i (1-z i ) = 0. Εξαλείφοντας τους μη γραμμικούς όρους όπως πρότειναν οι Fortny-AmatandMcCarl (1981) και κάνοντας χρήση έξυπνων τεχνικών μοντελοποίησης ακέραιου προγραμματισμού (Williams, 1999), μπορούμε να καταλήξουμε σε ένα εντελώς ισοδύναμο πρόβλημα ενός επιπέδου, το οποίο αποτελείται από μια τετραγωνική αντικειμενική συνάρτηση και μεικτούς ακέραιους γραμμικούς περιορισμούς. Από την αναγκαιότητα των συνθηκών ΚΚΤ, η βέλτιστη λύση της αντικειμενικής συνάρτησης αυτού του προβλήματος παρέχει ένα άνω όριο στη βέλτιστη αντικειμενική συνάρτηση του αρχικού διεπίπεδου προβλήματος. Εάν η λύση είναι αυτή είναι εφικτή, τότε είναι και η βέλτιστη για το αρχικό διεπίπεδο πρόβλημα. Εάν όχι, ένα κάτω όριο στη βέλτιστη αντικειμενική συνάρτηση μπορεί να ληφθεί μέσω της επίλυσης του προβλήματος του κάτω επιπέδου για τις συγκεκριμένες τιμές προσφοράς της λύσης αυτής. Στη συνέχεια, μία ισχύουσα ανισότητα θα πρέπει να προστεθεί στο μοντέλο, η οποία θα εξασφαλίζει ότι για τις τρέχουσες τιμές προσφοράς του παραγωγού, η λύση του προβλήματος του κάτω επιπέδου δεν μπορεί να είναι διαφορετική από την πραγματικά βέλτιστη. Για την εύρεση της ανισότητας αυτής, χρησιμοποιείται ο ευρετικός αλγόριθμος που παρουσιάζεται παραπάνω. Οι Geoffrion και Nass (1977) απέδειξαν ότι η κατά τμήματα γραμμικότητα και κοιλότητα μιας μεικτής ακεραίας παραμετρικής αντικειμενικής συνάρτησης ισχύει επίσης στην περίπτωση που πολλοί συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης μεταβάλλονται ταυτόχρονα, με τον ίδιο όμως ρυθμό. Αυτό μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε διαστήματα τιμών για τις προσφορές του άνω επιπέδου για τις οποίες η βέλτιστη λύση του προβλήματος του κάτω επίπεδου παραμένει η ίδια. Με αυτό τον τρόπο, προκύπτει μία τομή η οποία ορίζει ότι όταν κάθε προσφορά ανήκει στο αντίστοιχο διάστημα, πρέπει κατ 'ανάγκη να επιστρεφόμενη λύση του προβλήματος του κάτω επίπεδου να είναι η βέλτιστη για το πρόβλημα του κάτω επίπεδου. Η διαδικασία συνεχίζεται προσθέτοντας τομές για 57

5 κάθε μη εφικτή λύση που προκύπτει, έως ότου η ολικά βέλτιστη λύση του προβλήματος αναγνωριστεί. 4.1 Αριθμητικό Παράδειγμα Χρησιμοποιώντας τα αριθμητικά δεδομένα του παραδείγματος της ενότητας 3.1, μετασχηματίζοντας το μοντέλο με τη χρήση των συνθηκών ΚΚΤ, και λύνοντας το ισοδύναμο μοντέλο ενός επιπέδου παίρνουμε τη λύση που φαίνεται στο πάνω μέρος του Πίνακα 3. Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή, καθώς αν λύσουμε το πρόβλημα του κάτω επίπεδου για τιμές των προσφορών P 1,1, P 1,2 και P 1,3 ίσες με 40, 60 και 25 αντίστοιχα, η λύση που παίρνουμε είναι αυτή που φαίνεται στο κάτω μέρος του ίδιου πίνακα. Πίνακας 3 Λύση του ισοδύναμου προβλήματος ενός επιπέδου και προκύπτουσα λύση του κάτω προβλήματος Τιμές τωνp 1,h 40, 60, 25 40, 60, 25 Ποσότητες ενέργειας Q1: (300, 360, 240) Q2: (200, 0, 200) Q3: (0, 0, 0) Q1: (0, 0, 0) Q2: (200, 200, 200) Q3: (300, 160, 240) Οριακή τιμή συστήματος Οριακή μονάδα f * F (40, 60, 25) (1, 1, 1) 52,620 26,100 (20, 35, 25) (3, 3, 3) 37,660 0 Η βέλτιστη αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος βρίσκεται μεταξύ των τιμών 0 και 26,100. Στη συνέχεια, βρίσκουμε τα διαστήματα των τριών τιμών προσφοράς εντός των οποίων η βέλτιστη λύση του Πίνακα 3 δεν αλλάζει. Τα διαστήματα αυτά είναι το [38.25, 60], το [56.85, 60] και το [24.3, 60], αντίστοιχα. Συνεπώς, η πρώτη ισχύουσα ανισότητα που θα προστεθεί στο μοντέλο θα εξασφαλίζει ότι όταν ο μεμονωμένος παραγωγός επιλέξει P 1,1 που ανήκει στο διάστημα [38.25, 60] καιp 1,2 που ανήκει στο διάστημα [56.85, 60] και P 1,3 που ανήκει στο διάστημα [24.3, 60], τότε τα Q 1,h θα πρέπει να είναι μηδέν. Στη συνέχεια, λύνουμε ξανά το πρόβλημα μετά την προσθήκη της συγκεκριμένης ισχύουσας ανισότητας και αν η λύση που θα προκύψει δεν είναι εφικτή, εισάγουμε με τον ίδιο τρόπο μια επιπρόσθετη ισχύουσα ανισότητα. Ο αλγόριθμος συνεχίζει ομοίως, μέχρι να βρει την ολικά βέλτιστη λύση του προβλήματος. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ/ ΤΡΕΧΟΥΣΑ ΕΡΕΥΝΑ Οι δύο αλγόριθμοι που προτείνουμε μπορούν να εφαρμοστούν σε πολλά παρόμοια μοντέλα βελτιστοποίησης υποβολής στρατηγικών προσφορών που περιέχουν συνεχείς ή/και διακριτές μεταβλητές, στα οποία οι μη-γραμμικότητες περιορίζονται μόνο στην αντικειμενική συνάρτηση του άνω επιπέδου. Επιπλέον, η παρούσα μορφοποίηση μπορεί να επεκταθεί περαιτέρω ώστε να συμπεριλάβει πρόσθετες πτυχές του πραγματικού προβλήματος, όπως ο ελάχιστος χρόνος που θα πρέπει να παραμείνει μια μονάδα ανοιχτή (κλειστή) από τη στιγμή της εκκίνησής της (του σβησίματός της), και η μέγιστη επιτρεπόμενη μεταβολή της ποσότητας ενέργειας που παράγει μία μονάδα σε δύο διαδοχικές περιόδους. Τελειώνοντας, τονίζεται ότι μελλοντικά θα πρέπει να εκτιμηθεί πειραματικά η υπολογιστική απόδοση των δύο αλγορίθμων σε πραγματικές περιπτώσεις του υπό εξέταση προβλήματος. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Fortny-Amat J., McCarl B., 1981.A representation and economic interpretation of a two-level programming problem, Jornal of the Operational Research Society, Vol. 32, pp Geoffrion A.M. and Nass R., 1977.Parametric and postoptimality analysis in integer linear programming, Management Science, Vol. 23, No. 5, pp Gümüs Z.H., Flodas C.A., 2005.Global optimization of mixed-integer bilevel programming problems, Comptational Management Science, Vol. 2, No. 3, pp G. Kozanidis, E. Kostarelo, P.Andrianesis and G. Liberopolos, Mixed integer bilevel programming for optimal bidding strategies in day-ahead electricity markets with indivisibilities, Proceedings of the 1st 58

6 International Symposim & 10th Balkan Conference on Operational Research (BALCOR), Thessaloniki, Greece, 8 pages. Loridan P., Morgan J., 1996.Weak via strong Stackelberg problem: New reslts. Jornal of Global Optimization, Vol. 8, No. 3, pp Noltemeier H., 1970.Sensitivetätsanalyse bei diskreten linearen optimierngsproblemen, in M. Beckmann and H.P. Knzi (eds.), Lectre Notes in Operations Research and Mathematical Systems, 30, Springer-Verlag, New York. Sherali H.D., Adams W.P., 1990.A hierarchy of relaxations between the continos and convex hll representations for zero-one programming problems. Siam Jornal of Discrete Mathematics, Vol. 3, No. 3, pp Sherali H.D., Adams W.P., 1994.A hierarchy of relaxations and convex-hll characterizations for mixed integer 0-1 programming problems. Discrete Applied Mathematics, Vol. 52, pp Williams H.P., Model bilding in mathematical programming, John Wiley & Sons, Inc., England. 59

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Μεταπτυχιακή Εργασία ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗ ΓΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΥΠΟΒΟΛΗ ΠΡΟΣΦΟΡΩΝ ΣΕ ΗΜΕΡΗΣΙΕΣ ΑΓΟΡΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Διπλωματικη εργασία

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Διπλωματικη εργασία Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Διπλωματικη εργασία Βελτιστοποίηση προσφορών παραγωγών σε αγορές ημερήσιου προγραμματισμού ηλεκτρικής ενέργειας μέσω προσθήκης επίπεδων

Διαβάστε περισσότερα

Μεικτός ακέραιος διεπίπεδος προγραμματισμός για βέλτιστη υποβολή προσφορών σε αγορές ημερήσιου προγραμματισμού ηλεκτρικής αδιαιρετότητες

Μεικτός ακέραιος διεπίπεδος προγραμματισμός για βέλτιστη υποβολή προσφορών σε αγορές ημερήσιου προγραμματισμού ηλεκτρικής αδιαιρετότητες Μεικτός ακέραιος διεπίπεδος προγραμματισμός για βέλτιστη υποβολή προσφορών σε αγορές ημερήσιου προγραμματισμού ηλεκτρικής αδιαιρετότητες Γιώργος Κοζανίδης Εργαστήριο Βελτιστοποίησης Συστημάτων Τμήμα Μηχ/γων

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΡΟΣΘΗΚΗ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΤΟΜΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΙΑΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΙΚΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΡΟΣΘΗΚΗ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΤΟΜΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΙΑΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΙΚΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Μεταπτυχιακή Εργασία ΠΡΟΣΘΗΚΗ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΤΟΜΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΙΑΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΙΚΤΗΣ ΑΚΕΡΑΙΑΣ ΔΙΕΠΙΠΕΔΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισμοί της Αγοράς Ηλεκτρικής Ενέργειας

Μηχανισμοί της Αγοράς Ηλεκτρικής Ενέργειας Μηχανισμοί της Αγοράς Ηλεκτρικής Ενέργειας Παναγιώτης Ανδριανέσης Γιώργος Λυμπερόπουλος Γιώργος Κοζανίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιομηχανίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας pandrianesis@hotmail.com Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. Εύρεση βέλτιστων λύσεων σε αγορές ημερήσιου προγραμματισμού

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. Εύρεση βέλτιστων λύσεων σε αγορές ημερήσιου προγραμματισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Μεταπτυχιακή Εργασία Εύρεση βέλτιστων λύσεων σε αγορές ημερήσιου προγραμματισμού ηλεκτρικής ενέργειας μέσω της εφαρμογής συνθηκών βελτιστότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. Διπλωματική Εργασία

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. Διπλωματική Εργασία ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Διπλωματική Εργασία Υπολογιστική σύγκριση ευρετικών και αναλυτικών μεθοδολογιών επίλυσης προβλημάτων μεικτού ακέραιου διεπίπεδου προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018-2019 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Μη Κυρτότητες σε Προβλήματα Βελτιστοποίησης με Εφαρμογή σε Αγορές Ηλεκτρικής Ενέργειας και Εφεδρειών

Μη Κυρτότητες σε Προβλήματα Βελτιστοποίησης με Εφαρμογή σε Αγορές Ηλεκτρικής Ενέργειας και Εφεδρειών 5 ο Φοιτητικό Συνέδριο Διοικητικής Επιστήμης και Τεχνολογίας Αθήνα 8 Μαΐου 28 Μη Κυρτότητες σε Προβλήματα Βελτιστοποίησης με Εφαρμογή σε Αγορές Ηλεκτρικής Ενέργειας και Εφεδρειών Παναγιώτης Ανδριανέσης

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ολοκληρωμένη μαθηματική τεχνική βελτιστοποίησης Ευρύτατο φάσμα εφαρμογών Εισαγωγή ακέραιων/λογικών/βοηθητικών μεταβλητών Δυνατότητα γραμμικοποίησης με 0-1 μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού

Σχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού 3ο Πανελλήνιο Επιστημονικό Συνέδριο Χημικής Μηχανικής Αθήνα,, IούνιοςI 200 Σχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού Γιώργος Μαυρωτάς Δανάη

Διαβάστε περισσότερα

(sensitivity analysis, postoptimality analysis).

(sensitivity analysis, postoptimality analysis). Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 7 Ανάλυση ευαισθησίας Παραμετρική ανάλυση Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 11 Φεβρουαρίου 2016 Α.

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Ανάλυση Ευαισθησίας. Έχοντας λύσει ένας πρόβλημα ΓΠ θα πρέπει να αναρωτηθούμε αν η λύση έχει φυσική σημασία. Είναι επίσης πολύ πιθανό να έχουμε χρησιμοποιήσει δεδομένα για τα οποία δεν είμαστε σίγουροι

Διαβάστε περισσότερα

Πολυκριτηριακός Γραμμικός Προγραμματισμός. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

Πολυκριτηριακός Γραμμικός Προγραμματισμός. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης Πολυκριτηριακός Γραμμικός Προγραμματισμός Πολλαπλά κριτήρια στη λήψη απόφασης Λήψη Αποφάσεων με Πολλαπλά Κριτήρια Διακριτό σύνολο επιλογών Συνεχές σύνολο επιλογών Πολυκριτηριακή Ανάλυση (ELECTRE, Promethee,

Διαβάστε περισσότερα

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 1 Εισαγωγή Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 3 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ: Ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του μαθηματικού υποδείγματος. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ: Ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του μαθηματικού υποδείγματος. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ: Ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του μαθηματικού υποδείγματος. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό έχει σκοπό να παρουσιάσει και να υπογραμμίσει τη σημασία της ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Το πρόβλημα μεταφοράς: μαθηματικό μοντέλο και μεθοδολογία επίλυσης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Δρ. Πολ. Μηχ. Κόκκινος Οδυσσέας

ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Δρ. Πολ. Μηχ. Κόκκινος Οδυσσέας ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Δρ. Πολ. Μηχ. Κόκκινος Οδυσσέας Σχεδιασμός αντικειμένων, διεργασιών, δραστηριοτήτων (π.χ. τεχνικά έργα, έπιπλα, σκεύη κτλ) ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ (conceptual design) ΠΡΟΜΕΛΕΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 7-8 η /2017 Τι παρουσιάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Κλασικές Τεχνικές Βελτιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 2 η /2017 Μαθηματική Βελτιστοποίηση Η «Μαθηματική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ με το EXCEL

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ με το EXCEL ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ με το EXCEL ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ( Μαθηματικών Γ Γυμνασίου έκδοση ΙΑ 99 σελ. 236 / Έχει γίνει μετατροπή των δρχ. σε euro.) Ένας κτηνοτρόφος πρόκειται να αγοράσει

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση προβληµάτων

Μοντελοποίηση προβληµάτων Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Φ. Δογάνης I. Bafumba Χ. Σαρίμβεης. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Χημικών Μηχανικών Μονάδα Αυτόματης Ρύθμισης και Πληροφορικής

Φ. Δογάνης I. Bafumba Χ. Σαρίμβεης. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Χημικών Μηχανικών Μονάδα Αυτόματης Ρύθμισης και Πληροφορικής Αριστοποίηση παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας από συντονισμένη αξιοποίηση υδροηλεκτρικών και συμβατικών μονάδων ηλεκτροπαραγωγής με χρήση μικτού ακέραιου τετραγωνικού προγραμματισμού. Φ. Δογάνης I. Bafumba

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex

Διαβάστε περισσότερα

Ελαχιστοποίηση του Κόστους

Ελαχιστοποίηση του Κόστους Ελαχιστοποίηση του Κόστους - H ανάλυση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήματα σε σχέση με το πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους: (1) Επιτρέπει τη διατύπωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Ενότητα Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Ο χρονικός ορίζοντας απαρτίζεται από διαδοχικές χρονικές περιόδους. Διαμόρφωση ενός χαρτοφυλακίου στο οποίο, καθώς ο χρόνος εξελίσσεται, το διαθέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση με περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής Διάλεξη 9-10 η /2017 Τι παρουσιάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης Δ.Π.Θ. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Dr. Christos D. Tarantilis Associate Professor in Operations Research & Management Science http://tarantilis.dmst.aueb.gr/ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 1- ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1)

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1) ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1) 1 Προέλευση και ιστορία της Επιχειρησιακής Έρευνας Αλλαγές στις επιχειρήσεις Τέλος του 19ου αιώνα: βιομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Ανάπτυξη Μοντέλου Βελτιστοποίησης της Κατανομής Πόρων για τη Διαχείριση Λεωφορείων Αστικών Συγκοινωνιών Επιβλέποντες Καθηγητές: Γιώργος Γιαννής, Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Βασικός τελικός στόχος κάθε επιστηµονικής τεχνολογικής εφαρµογής είναι: H γενική βελτίωση της ποιότητας του περιβάλλοντος Η βελτίωση της ποιότητας ζωής Τα µέσα µε τα

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ερευνητικό έργο: Εκσυγχρονισµός της εποπτείας και διαχείρισης του συστήµατος των υδατικών πόρων ύδρευσης της Αθήνας Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ανδρέας Ευστρατιάδης και Γιώργος Καραβοκυρός Τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

4.γ. μερική επανάληψη, εισαγωγή στη βελτιστοποίηση υδατικών συστημάτων. Δρ Μ.Σπηλιώτης

4.γ. μερική επανάληψη, εισαγωγή στη βελτιστοποίηση υδατικών συστημάτων. Δρ Μ.Σπηλιώτης 4.γ. μερική επανάληψη, εισαγωγή στη βελτιστοποίηση υδατικών συστημάτων Δρ Μ.Σπηλιώτης Ολοκληρωμένη διαχείριση υδατικών πόρων (integrated water resources management), έμφαση στην εξέταση όλων των πτυχών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εφαρμογή σε Άλλα Προβλήματα Διαχείρισης Έργων Π. Γ. Υψηλάντης ΓΠ στη Διοίκηση Έργων Προβλήματα μεταφοράς και δρομολόγησης Αναθέσεις προσωπικού Επιλογή προμηθευτών Καθορισμός τοποθεσίας

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ανάλυση ευαισθησίας Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Παράδειγμα TOYCO Η επιχείρηση TOYCO χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ακέραιος Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: Εισαγωγή Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 3 η /2017 Γραμμικός προγραμματισμός Είναι μια μεθοδολογία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Επιχειρησιακής Έρευνας. Δρ. Γεώργιος Κ.Δ. Σαχαρίδης

Εφαρμογές Επιχειρησιακής Έρευνας. Δρ. Γεώργιος Κ.Δ. Σαχαρίδης Εφαρμογές Επιχειρησιακής Έρευνας Δρ. Γεώργιος Κ.Δ. Σαχαρίδης 1 Outline Introduction to mathematical programming Introduction to scheduling Flow shop optimization Scheduling of crude oil Decomposition techniques

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παραγωγού. Μικροοικονομική Θεωρία Ι / Διάλεξη 11 / Φ. Κουραντή 1

Θεωρία παραγωγού. Μικροοικονομική Θεωρία Ι / Διάλεξη 11 / Φ. Κουραντή 1 Θεωρία παραγωγού Σκοπός: Μεγιστοποίηση κερδών (υπάρχουν κι άλλοι σκοποί, π.χ. ένας μάνατζερ επιδιώκει την μεγιστοποίηση εσόδων κτλ. Τελικά όμως σκοπεύει στην μεγιστοποίηση των κερδών για να μπορέσει να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Παραδείγματα Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Δικτυακή Διατύπωση Λύση Γενική Μέθοδος Simplex Μέθοδος Simplex για Προβλήματα Μεταφοράς Παράδειγμα: P&T Co ΗεταιρείαP&T

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Η βιομηχανική επιχείρηση «ΑΤΛΑΣ Α.Ε.» δραστηριοποιείται στο χώρο του φυσικού αερίου και ειδικότερα στις συσκευές οικιακής χρήσης. Πρόκειται να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Έστω συνάρτηση ζήτησης με τύπο Q = 200 4P. Να βρείτε: α) Την ελαστικότητα ως προς την τιμή όταν η τιμή αυξάνεται από 10 σε 12. 1ος τρόπος Αν P 0 10 τότε Q 0 200 410

Διαβάστε περισσότερα

που προκύπτουν στις δύο περιπτώσεις: (α) και (β) αντίστοιχα;

που προκύπτουν στις δύο περιπτώσεις: (α) και (β) αντίστοιχα; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 Μέρος Α. (3.6 μονάδες) (α). Να γίνει το γράφημα της συνάρτησης f() = ln(+ ), και να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας. (β). Δίνεται η συνάρτηση f() = ln. Να διαπιστωθεί ότι είναι κυρτή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Αναλυτικές τεχνικές - Ειδικά θέματα θεωρίας - Λύση ασκήσεων πράξης ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Τι μάθαμε μέχρι τώρα: Να επιλύουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ελαχιστοποίηση του Κόστους

Ελαχιστοποίηση του Κόστους Ελαχιστοποίηση του Κόστους - H ανάλυση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήματα σε σχέση με το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών: () Επιτρέπει τη διατύπωση μιας θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Η μέθοδος Simplex Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 1: Γραµµικός προγραµµατισµός(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com http://vasilis-ismyrlis.webnode.gr/

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας 4 η Διάλεξη: Βελτιστοποίηση πολλαπλών στόχων (Μulti-objective optimization) 2019 Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Ατζέντα Εισαγωγή στην βελτιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Φουτσιτζή Γεωργία-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 15/10/2016 1 Περιεχόμενα Γραμμικός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14: Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 14: Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής Κεφάλαιο 14: Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής Έλεγχος λειτουργίας δικτύων διανομής με χρήση μοντέλων υδραυλικής ανάλυσης Βασικό ζητούμενο της υδραυλικής ανάλυσης είναι ο έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Βελτιστοποίηση Μέρος b: Συμβατικές Μέθοδοι συνέχεια Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος Στόχος βελτιστοποίησης: Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα