[Μαρία Θεοδωροπούλου, Α.Μ:42661] Σελίδα 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "[Μαρία Θεοδωροπούλου, Α.Μ:42661] Σελίδα 2"

Transcript

1

2 Σελίδα 2

3 στην οικογένειά μου Σελίδα 3

4 Περιεχόμενα ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ... 5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 6 Abstract... 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 9 Κεφάλαιο 1 ο : ΥΠAΡΧΟΝΤΕΣ ΘΟΛΟΙ Κεφάλαιο 2ο: ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΘΟΛΩΝ Κεφάλαιο 3ο: ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ ΘΟΛΟΥ Σφαιρικές πλακοστρώσεις και πολύεδρα «Τριγωνισμός» σφαιρικού πολυγώνου η Λύση (πρβλ. Coxeter 1971, pp ) η Λύση (Wenninger 1999, p. 92) η Λύση (εφαρμογή DOMES) «Δυϊκές» των σφαιρικών πλακοστρώσεων Κεφάλαιο 4 ο : ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ DOMES Κεφάλαιο 5 ο : ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Σφαιρικές Πλακοστρώσεις και Πολύεδρα ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Έντυπη: Ξενόγλωσση: Ελληνική: Ηλεκτρονική: Ξενόγλωσση: Ελληνική: Σελίδα 4

5 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τους κκ. Νικολαΐδη Παναγιώτη και Εξαρχάκο Γεώργιο, για την εμπιστοσύνη που μου έδειξαν αλλά και για την πολύτιμη βοήθεια και καθοδήγησή τους στην επίλυση διάφορων θεμάτων. Ιδιαίτερα οφείλω (και επιθυμώ) για μία ακόμα φορά να ευχαριστήσω τον κ. Νικολαΐδη ο οποίος παρότι δεν είχε σύμβαση με το Α.Ε.Ι. Πειραιά Τ.Τ. (ενώ όταν ξεκίνησε την εργασία αυτή δίδασκε στο ίδρυμα) μου παρείχε αφειδώς το χρόνο του και τις πολύτιμες συμβουλές και καθοδήγησή του σε όποιο θέμα προέκυπτε. Η βοήθειά του στην εργασία αυτή είναι όχι μόνο πολύτιμη αλλά κρίσιμη και θα ήθελα να τονίσω ότι χωρίς την ατέρμονη αρωγή του δεν θα ήτο δυνατή. Αισθάνομαι επίσης την ανάγκη να ευχαριστήσω θερμά τους γονείς μου, Σοφοκλή και Παναγιώτα, τα αδέρφια μου, Κώστα και Μαρίνο, αλλά και το σύντροφό μου Ευθύμη, για όλα όσα μου έχουν προσφέρει στη διάρκεια των φοιτητικών μου χρόνων και για την αμέριστη υποστήριξή τους σε κάθε μου επιλογή. Σελίδα 5

6 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η έρευνα των τεχνικών «τριγωνισμού» της σφαιρικής επιφανείας, μιας διαδικασίας η οποία προαπαιτείται κατά τη σχεδίαση ενός γεωδαιτικού θόλου. Όπως επίσης και ο υπολογισμός των απαραίτητων δομικών στοιχείων (ακμών-ράβδων, κορυφών-κόμβων), ως προς το πλήθος και ως προς τα λοιπά τους χαρακτηριστικά, για την κατασκευή ενός γεωδαιτικού θόλου. Η ενασχόλησή μου με τους γεωδαιτικούς θόλους ξεκίνησε από την περιέργειά μου για τη γεωμετρική δομή και τις ιδιότητες αυτών των εντυπωσιακών κατασκευών. Συνέβη ο ένας από τους εισηγητές, ο κ. Παναγιώτης Νικολαΐδης, να έχει ασχοληθεί στο παρελθόν με τη γεωμετρία των γεωδαιτικών θόλων, σε επαγγελματικό επίπεδο. Έχει μάλιστα αναπτύξει τις εφαρμογές λογισμικού TILES και DOMES. Και οι δύο εφαρμογές είναι γραμμένες στη γλώσσα Visual LISP, για το περιβάλλον του AutoCAD, και τα αντικείμενα που παράγουν είναι πλήρως επεξεργάσιμα και αξιοποιήσιμα. Η εφαρμογή TILES, μεταξύ άλλων, κατασκευάζει όλες τις κανονικές και ημικανονικές πλακοστρώσεις στην επιφάνεια της σφαίρας, τις δυϊκές τους, καθώς και τα αντίστοιχα των πλακοστρώσεων πολύεδρα, εφόσον ζητηθεί. Η εφαρμογή DOMES κατασκευάζει γεωδαιτικούς θόλους επιθυμητής συχνότητας (frequency), με αφετηρία τυχούσα κανονική ή ημικανονική πλακόστρωση στην επιφάνεια της σφαίρας. Κατασκευάζει επίσης, εφόσον ζητηθεί, τον δυϊκό θόλο του αρχικού, στην επιφάνεια της ίδιας ή διαφορετικής (αλλά ομόκεντρης της αρχικής) σφαίρας, ώστε να προκύπτει θόλος διπλού κελύφους. Οι δύο εφαρμογές συνεργάζονται, με την έννοια ότι οι πλακοστρώσεις που παράγει η TILES αναγνωρίζονται και χρησιμοποιούνται ως αφετηρία από την DOMES. Ο κ. Νικολαΐδης έθεσε στη διάθεσή μου τις δύο αυτές εφαρμογές, οι οποίες αξιοποιήθηκαν ευρύτατα στην έρευνα των γεωμετρικών ιδιοτήτων των γεωδαιτικών θόλων, στο πλαίσιο της παρούσης εργασίας και από την θέση αυτή θα ήθελα να τον ευχαριστήσω θερμά. Η εργασία αυτή αποτελείται από μία εισαγωγή, από 5 κεφάλαια και από ένα παράρτημα. Στην εισαγωγή παρουσιάζεται η έννοια γεωδαιτικός θόλος και η γεωμετρική της περιγραφή. Στο 1 ο κεφάλαιο παρουσιάζονται ορισμένες υφιστάμενες κατασκευές. Στο 2 ο κεφάλαιο παρουσιάζεται η τυπολογία των γεωδαιτικών θόλων. Στο 3 ο κεφάλαιο παρουσιάζονται τεχνικές σχεδιασμού των γεωδαιτικών θόλων. Στο 4 ο κεφάλαιο δίνονται παραδείγματα σχεδιασμού γεωδαιτικών θόλων, με χρήση της εφαρμογής DOMES. Στο 5 ο κεφάλαιο παρουσιάζονται συμπεράσματα. Τέλος, στο παράρτημα παρουσιάζονται οι Σελίδα 6

7 κανονικές και ημικανονικές σφαιρικές πλακοστρώσεις και τα αντίστοιχά τους πολύεδρα. Σελίδα 7

8 Abstract The purpose of this work is to research the techniques of «triangulation» of the spherical surface, in the design of a geodesic dome this process is prerequisited. In addition the calculation of the necessary components (edges- rods, verticesnodes) in number and in their other characteristics, that are needed for a geodesic dome to be constructed. The impressive structures called geodesic domes, got my curiosity up due to their geometric structure and properties that define them and that is how my occupation with this project started. One of the rapporteurs, Mr. Panagiotis Nikolaidis, has dealt in the past with the geometry of the geodesic domes professionally. He has even developed the software applications TILES and DOMES. Both applications are written in Visual LISP language for the AutoCAD environment, and the objects that they produce are fully editable and utilizable. The application TILES constructs all regular and semi-regular tessellations on the surface of the sphere, their duals and, if requested, the corresponding polyhedra. The application DOMES constructs geodesic domes of desired frequency, starting with any regular or semi-regular tessellation on the surface of the sphere. It also constructs, on request, the dual dome of the original, on the surface of the exact same or another (but concentric to the initial) sphere, such as a double-shell dome will be produced. These two applications work with each other, which means that DOMES can recognize and make use of the produced tessellations of TILES, as a starting point. Mr. Nikolaidis gave me these two applications, which were widely utilized in the investigation of the geometric properties of geodesic domes as part of this work, and from this position I would like to warmly thank him. This work consists of an introduction, of five chapters and of an appendix. The introduction presents the geodesic dome and its geometric description. The first chapter presents some existing structures. The second one presents the typology of geodesic domes. In the third chapter are presented the design techniques of the geodesic domes. In the fourth chapter are given examples about the design of the geodesic domes, by using the application DOMES. In the fifth chapter are presented the conclusions. Finally the appendix presents all spherical regular and semi-regular tessellations and the corresponding polyhedra. Σελίδα 8

9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Υπάρχουν και άλλες εφαρμογές οι οποίες παράγουν γεωδαιτικούς θόλους, όπως για παράδειγμα το πρόγραμμα windome (http://ir.lib.uth.gr/bitstream/handle/11615/13298/p pdf?sequence=1&isal lowed=y). Ο λόγος για τον οποίο επέλεξα να χρησιμοποιήσω τις εφαρμογές λογισμικού TILES και DOMES είναι γιατί ήταν αρκετά δύσκολη η εύρεση άλλων εφαρμογών αλλά και γιατί οι εφαρμογές αυτές δεν διατίθενται δωρεάν. Ενώ τις εφαρμογές TILES και DOMES, αφενός μου τις διέθεσε ο κ. Νικολαΐδης δωρεάν, ούτως ώστε να υλοποιήσω την πτυχιακή μου εργασία, αφετέρου υπήρξε μια «εκπαίδευση» στη χρήση τους η οποία απεδείχθη πολύτιμη. Γεωδαιτικός θόλος είναι ένα χωροδικτύωμα, το οποίο βασίζεται σε ένα δίκτυο μεγίστων κύκλων στην επιφάνεια μιας σφαίρας ή ενός τμήματος της σφαιρικής επιφανείας. Οι μέγιστοι κύκλοι (γεωδαιτικές γραμμές) της σφαίρας διασταυρώνονται για να σχηματίσουν ένα σύμπλεγμα σφαιρικών τριγώνων, τα οποία με τη σειρά τους θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε ότι συνθέτουν τη σφαιρική επιφάνεια. Στις κορυφές αυτού του συμπλέγματος σφαιρικών τριγώνων τοποθετούνται κόμβοι διαφόρων τύπων, οι οποίοι συνδέουν μεταλλικές ράβδους. Οι ράβδοι υλοποιούν τις χορδές των τόξων μεγίστων κύκλων που συμβάλλουν στην αντίστοιχη κορυφή και συνδέουν εκάστη κορυφή με τις γειτονικές της. Με αυτό τον τρόπο συντίθεται ο θόλος. Οι ράβδοι αυτών των χωροδικτυωμάτων θεωρείται ότι συνδέονται αρθρωτά στους κόμβους, ώστε να μεταφέρουν τα φορτία αποκλειστικά μέσω αξονικών δυνάμεων, ενώ τα τρίγωνα επιδρούν θετικά πάνω στον θόλο δίνοντάς του ακαμψία. Οι κατασκευές που προκύπτουν είναι εξαιρετικά ανθεκτικές. Όσο πιο πυκνό είναι το σύμπλεγμα των τριγώνων, τόσο περισσότερο ο θόλος προσεγγίζει τη μορφή της σφαίρας (Εικόνα 1). Σελίδα 9

10 Εικόνα 1 (Παράχθηκε μέσω της εφαρμογής DOMES) Σελίδα 10

11 Κεφάλαιο 1 ο : ΥΠAΡΧΟΝΤΕΣ ΘΟΛΟΙ Θα περιγράψουμε με συντομία μερικούς υπάρχοντες γεωδαιτικούς θόλους. 1. Ο γεωδαιτικός θόλος του Buckminster Fuller ( ). Είναι από τους πιο διάσημους γεωδαιτικούς θόλους και κατασκευάστηκε για να αποτελέσει το περίπτερο των ΗΠΑ στη διεθνή έκθεση του Montreal το 1967 (Εικόνες 2-3). Πρόκειται για θόλο τριών τετάρτων μιας σφαίρας διαμέτρου 76 μέτρων (https://en.wikipedia.org/wiki/montreal_biosph%c3%a8re). Είναι θόλος διπλού κελύφους, κατασκευασμένος από χαλύβδινες ράβδους. Το εξωτερικό του κέλυφος συντίθεται από τρίγωνα και το εσωτερικό από εξάγωνα. Στις 20 Μαΐου 1976 και κατά την διάρκεια επισκευών, ο θόλος αυτός τυλίχθηκε στις φλόγες, με αποτέλεσμα να καεί το πλαστικό του περίβλημα (Εικόνα 4). Ύστερα από το γεγονός αυτό, η περιοχή παρέμεινε κλειστή μέχρι το Από το 1995 έως και σήμερα, η κατασκευή αυτή χρησιμοποιείται ως μουσείο. Διαπιστώνουμε ότι ο θόλος ουσιαστικά δεν υπέστη σοβαρές ζημιές από την πυρκαγιά, επομένως μπορούμε να πούμε ότι οι γεωδαιτικοί θόλοι έχουν μεγαλύτερη αντίσταση στη φωτιά απ ό,τι άλλες κατασκευές. Εικόνα 2 (http://photocamel.com/forum/architecture-cityscapes/ geodesic-dome-uspavillion.html) Σελίδα 11

12 Εικόνα 3 (http://photocamel.com/forum/architecture-cityscapes/ geodesic-dome-uspavillion.html) Σελίδα 12

13 Εικόνα 4 (http://hearthisyoucreators.blogspot.gr/2012/10/geometric-structures-at-montreal-expo- 67.html) 2. Θερμοκήπιο Climatron στο Missouri Botanical Gardens, στις ΗΠΑ, που σχεδιάστηκε από τους αρχιτέκτονες της St. Louis, Murphy και Mackey. H κατασκευή του ολοκληρώθηκε το 1960 (http://www.missouribotanicalgarden.org/gardensgardening/our-garden/gardens-conservatories/conservatories/climatron.aspx) (Εικόνα 5). Φαίνεται ότι πρόκειται για θόλο τριπλού κελύφους, ο οποίος είναι κατασκευασμένος από αλουμίνιο. Η κατασκευή αυτή είναι διαμέτρου 53 μέτρων και ύψους 21 μέτρων. Το θερμοκήπιο παρέμεινε κλειστό για επισκευές από το 1988 έως το Σελίδα 13

14 Εικόνα 5 (https://www.flickr.com/photos/mbgarchives/ /) Σελίδα 14

15 3. Οι γεωδαιτικοί θόλοι κατασκευάζονται κατά κανόνα από μεταλλικές ράβδους. Υπάρχουν όμως και παραδείγματα θόλων από οπλισμένο σκυρόδεμα. Ένας από τους πρώτους είναι ο διάσημος θόλος που κτίσθηκε το και ονομάζεται Αίθουσα της Εκατονταετίας (Εικόνα 6). Βρίσκεται στο Wroclaw της Πολωνίας, σχεδιάστηκε από τον Max Berg, και κατασκευάστηκε από οπλισμένο σκυρόδεμα. Καλύπτει μια περιοχή 65 μέτρων σε διάμετρο και από το 2006 ανήκει στα μνημεία της διεθνούς πολιτιστικής κληρονομιάς της UNESCO. Εικόνα 6 (http://unescopireas.gr/2010/05/20/mnimeia-politistikis-klironomias-diethnos/) Σελίδα 15

16 4. Υπάρχουν και παραδείγματα θόλων με βασικό υλικό το ξύλο. Το σπίτι αυτό του Kevin Shea (Εικόνα 7), κατασκευασμένο από ξύλο, βρίσκεται στο Long Island της Νέας Υόρκης (http://inhabitat.com/nyc/long-island-green-dome-is-the-worldslargest-wooden-residential-dome/). Είναι ύψους 13,70 μέτρων και υποτίθεται πως είναι ο μεγαλύτερος γεωδαιτικός θόλος του κόσμου με χρήση κατοικίας. Αξίζει να σημειωθεί ότι λειτουργεί με ηλιακή, γεωθερμική και αιολική ενέργεια. Εικόνα 7 (http://inhabitat.com/nyc/long-island-green-dome-is-the-worlds-largest-woodenresidential-dome/) 5. Στις Εικόνες 8-9 βλέπουμε κατοικία, η οποία περικλείεται από γεωδαιτικό θόλο, κατασκευασμένο από αλουμίνιο και γυαλί (http://inhabitat.com/gorgeous-solargeodesic-eco-dome-crowns-cob-house-in-the-arctic-circle/). Βρίσκεται στο νησί Sandhornøya της βόρειας Νορβηγίας και η κατασκευή του ολοκληρώθηκε μόλις μέσα σε 3 εβδομάδες, τον Αύγουστο του 2012, από την εταιρεία Solardome Industries. Ο θόλος, εκτός από την ικανότητά του να αντέχει στη χιονόπτωση, στις ακραίες θερμοκρασίες της Αρκτικής και στους ανέμους, είναι και φιλικός προς το περιβάλλον, γιατί περιλαμβάνει μια τεχνολογία ηλιακών πάνελ και ανακυκλώσιμων δομικών υλικών. Σελίδα 16

17 Εικόνα 8 (http://inhabitat.com/gorgeous-solar-geodesic-eco-dome-crowns-cob-house-in-the-arcticcircle/) Εικόνα 9 (http://inhabitat.com/gorgeous-solar-geodesic-eco-dome-crowns-cob-house-in-the-arcticcircle/) Σελίδα 17

18 6. Γεωδαιτικός θόλος στην πλατεία Δημοκρατίας στο Περιστέρι (http://www.ametro.gr/page/default.asp?la=1&id=38&pl=4953&pk=169&ap=261), κατασκευασμένος από μεταλλικές ράβδους και γυαλί (Εικόνες 10-11). Ο θόλος είναι ελάχιστα μικρότερος από ημισφαίριο και στη βάση του έχει διάμετρο 14 μέτρων. Η κατασκευή ολοκληρώθηκε το 2010 και σκοπός της, εκτός του αισθητικού της ενδιαφέροντος, είναι να φωτίζει το σταθμό μετρό του Περιστερίου. Είναι εντυπωσιακή η θέα του θόλου από τον κεντρικό χώρο του σταθμού (Εικόνες 12-13). Εικόνα 10 (φωτογραφία Μ. Θεοδωροπούλου) Σελίδα 18

19 Εικόνα 11 (Φωτογραφία Μ. Θεοδωροπούλου) Εικόνα 12 (Φωτογραφία Μ. Θεοδωροπούλου) Σελίδα 19

20 Εικόνα 13 (Φωτογραφία Μ. Θεοδωροπούλου) Σελίδα 20

21 7. Ο New Orleans Superdome είναι ο μεγαλύτερος παγκοσμίως θόλος με μια διάμετρο 213 μέτρων (Εικόνες 14-15). Βρίσκεται στην Νέα Ορλεάνη των Ηνωμένων Πολιτειών και έχει σχεδιαστεί από το αρχιτεκτονικό γραφείο Curtis and Davis, το 1967 (https://en.wikipedia.org/wiki/superdome). Σκοπός του θόλου ήταν να φιλοξενεί διάφορες εκδηλώσεις, όπως για παράδειγμα αθλητικές. Το 2005 ήρθε αντιμέτωπος με τον τυφώνα Katrina, με αποτέλεσμα να υποστεί βλάβες, χωρίς ωστόσο να καταρρεύσει. Οι επισκευές του είχαν ολοκληρωθεί μέσα σε ένα χρόνο. Εικόνα 14 (http://wwno.org/post/new-orleans-superdome-symbol-citys-spirit) Εικόνα 15 (http://www.destination360.com/north-america/us/louisiana/new-orleans/superdome) Σελίδα 21

22 Κεφάλαιο 2ο: ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΘΟΛΩΝ Με βάση διαφορετικά κριτήρια, οι γεωδαιτικοί θόλοι μπορεί να ταξινομηθούν με διαφορετικούς τρόπους. 1. Συνήθως οι ράβδοι που συνθέτουν ένα γεωδαιτικό θόλο διατάσσονται κατά μήκος γεωδαιτικών γραμμών, δηλαδή διαδρομών μεγίστων κύκλων. Αλλά έχουν κατασκευαστεί μικροί γεωδαιτικοί θόλοι, πολλές από τις ράβδους των οποίων ακολουθούν διαδρομές παραλλήλων κύκλων. Χαρακτηριστική περίπτωση αυτού του τύπου είναι ο θόλος του σταθμού του Μετρό στο Περιστέρι (Εικόνες 10-13). Λόγω του μικρού τους μεγέθους, οι θόλοι αυτοί είναι συνήθως μονού κελύφους. 2. Μονού κελύφους είναι συχνά και ορισμένοι μέσου ή μεγάλου μεγέθους θόλοι. Προκύπτουν από ορισμένο «τριγωνισμό» της σφαιρικής επιφανείας, με χρήση τεχνικών οι οποίες θα συζητηθούν παρακάτω. Οι μεγάλοι γεωδαιτικοί θόλοι είναι συνήθως διπλού ή και πολλαπλού κελύφους. Ο γεωδαιτικός θόλος του Buckminster Fuller στο Montreal (Εικόνες 16-17) είναι διπλού κελύφους, ενώ εκείνος του θερμοκηπίου Climatron στο Missouri (Εικόνα 5) είναι πολλαπλού κελύφους. Εικόνα 16 (http://photocamel.com/forum/architecture-cityscapes/ geodesic-dome-uspavillion.html) Σελίδα 22

23 Εικόνα 17 (http://photocamel.com/forum/architecture-cityscapes/ geodesic-dome-uspavillion.html) 3. Οι γεωδαιτικοί θόλοι στεγάζουν χώρους ανθρωπίνων δραστηριοτήτων, επομένως δεν πρόκειται για πλήρεις αιωρούμενες σφαίρες. Με κριτήριο το ποσοστό της σφαιρικής επιφανείας που αξιοποιούν, ταξινομούνται σε θόλους ενός τετάρτου (Εικόνα 5) και τριών τετάρτων (Εικόνες 2-3). 4. Μια άλλη ταξινόμηση προκύπτει με κριτήριο την «πλακόστρωση» αφετηρίας. Η ταξινόμηση αυτή έχει να κάνει με το αν ξεκινάμε από την πλακόστρωση που αντιστοιχεί στο Κανονικό Εικοσάεδρο, η οποία είναι η συνήθης περίπτωση, ή από την πλακόστρωση που αντιστοιχεί σε κάποιο άλλο κανονικό ή ημικανονικό πολύεδρο. Στα επόμενα θα δώσουμε παραδείγματα και της συνήθους αλλά και άλλων περιπτώσεων. Σελίδα 23

24 Κεφάλαιο 3ο: ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ ΘΟΛΟΥ Σφαιρικές πλακοστρώσεις και πολύεδρα Οι γεωδαιτικοί θόλοι μπορούν να θεωρηθούν εφαρμογές των πλακοστρώσεων στην επιφάνεια της σφαίρας. Ο όρος πλακόστρωση (tessellation) έχει να κάνει με το διαμερισμό μιας επιφάνειας σε ένα σύνολο χωρίων, τα οποία καλύπτουν την επιφάνεια αυτή χωρίς κενά. Τα χωρία αυτά, τα οποία συνθέτουν την πλακόστρωση, θα τα ονομάζουμε πλακίδια (tiles) ή έδρες (faces) της πλακόστρωσης (Εικόνα 18). Εικόνα 18 (Παράχθηκε μέσω της εφαρμογής TILES) Θα ασχοληθούμε με πλακοστρώσεις στην επιφάνεια της σφαίρας, των οποίων τα πλακίδια είναι κανονικά και κυρτά σφαιρικά πολύγωνα. Μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα ένας τύπος πλακοστρώσεων στην επιφάνεια της σφαίρας, οι οποίες ονομάζονται πλευρά-με-πλευρά πλακοστρώσεις και διαθέτουν την εξής ιδιότητα: Για κάθε δύο τυχόντα πλακίδια της πλακόστρωσης ισχύει μόνο μία από τις παρακάτω τρεις σχέσεις: Α) Τα πλακίδια έχουν κοινή κορυφή. Β) Τα πλακίδια έχουν κοινή πλευρά. Γ) Τα πλακίδια δεν έχουν κοινό σημείο. Σελίδα 24

25 Για τις πλευρά-με-πλευρά πλακοστρώσεις του είδους που μας ενδιαφέρει ισχύουν και οι εξής ιδιότητες. Επειδή τα πλακίδιά τους είναι κυρτά, κάθε κορυφή πλακιδίου είναι και κορυφή τουλάχιστον δύο ακόμα πλακιδίων. Τις κορυφές των πλακιδίων θα τις θεωρούμε και κορυφές (vertices) της πλακόστρωσης. Επίσης, κάθε πλευρά πλακιδίου είναι κοινή πλευρά αυτού του πλακιδίου και ενός και μόνο γειτονικού του. Τις πλευρές των πλακιδίων θα τις ονομάζουμε και ακμές (edges) της πλακόστρωσης πρόκειται για τόξα μεγίστων κύκλων της σφαίρας. Θεωρούμε μία πλευρά-με-πλευρά πλακόστρωση στην επιφάνεια της σφαίρας, αποτελούμενη από κανονικά σφαιρικά πολύγωνα. Επειδή οι κορυφές κάθε σφαιρικού κανονικού πολυγώνου είναι συνεπίπεδες, αποτελούν κορυφές ενός επίπεδου κανονικού πολυγώνου. Τα επίπεδα αυτά πολύγωνα είναι οι έδρες ενός πολυέδρου εγγεγραμμένου στη σφαίρα. Οι κορυφές του πολυέδρου συμπίπτουν με τις κορυφές της πλακόστρωσης, ενώ οι ακμές του είναι οι χορδές των ακμών της πλακόστρωσης. Συμπεραίνουμε ότι για κάθε πλευρά-με-πλευρά πλακόστρωση στην επιφάνεια της σφαίρας, αποτελούμενη από κανονικά σφαιρικά πολύγωνα, υπάρχει και ένα αντίστοιχό της πολύεδρο, του οποίου οι έδρες είναι κανονικά (επίπεδα) πολύγωνα. Από την πλακόστρωση μεταβαίνουμε στο πολύεδρο με τον τρόπο που περιγράψαμε παραπάνω. Αντιστρόφως, αν δοθεί το πολύεδρο, είναι δυνατόν να κατασκευάσουμε την πλακόστρωση ως εξής: Θεωρούμε την περιγεγραμμένη στο πολύεδρο σφαίρα ή οποιαδήποτε ομόκεντρή της. Από το κέντρο της σφαίρας προβάλλουμε τις έδρες του πολυέδρου στην επιφάνειά της (ακτινική προβολή). Κάθε έδρα του πολυέδρου προβάλλεται σε ένα κανονικό σφαιρικό πολύγωνο. Το σύνολο των πολυγώνων που προκύπτουν συνθέτει την αντίστοιχη τού πολυέδρου πλακόστρωση. Στα επόμενα, θα περιοριστούμε σε ένα υποσύνολο των σφαιρικών, κυρτών και πλευρά-με-πλευρά πλακοστρώσεων: στις κανονικές και ημικανονικές σφαιρικές πλακοστρώσεις και στα αντίστοιχά τους κανονικά και ημικανονικά πολύεδρα. Κανονικά είναι τα πολύεδρα των οποίων οι έδρες είναι κανονικά πολύγωνα του αυτού τύπου, ενώ οι στερεές γωνίες στις κορυφές τους είναι κανονικές και ίσες. Οι αντίστοιχές τους πλακοστρώσεις είναι επίσης κανονικές. Σελίδα 25

26 Ημικανονικά είναι τα πολύεδρα των οποίων οι έδρες είναι κανονικά πολύγωνα, όχι του ίδιου τύπου, ενώ οι στερεές γωνίες στις κορυφές τους είναι ίσες 1. Οι αντίστοιχές τους πλακοστρώσεις ονομάζονται επίσης ημικανονικές. Είναι γνωστό, ότι τα κυρτά κανονικά πολύεδρα είναι πέντε, γνωστά από την αρχαιότητα, που στις μέρες μας αναφέρονται και ως πλατωνικά. Υπάρχουν επίσης 13 ημικανονικά, που αναφέρονται και ως αρχιμήδεια καθώς ανακαλύφθηκαν από τον Αρχιμήδη ( π.χ.). Αιώνες μετά τον Αρχιμήδη ο Kepler ( ) πρόσθεσε στην ομάδα και τις απειρομελείς οικογένειες των πρισμάτων και αντιπρισμάτων (Πίνακας 1). Έχει αποδειχθεί ότι πέραν αυτών δεν υπάρχουν άλλα κυρτά κανονικά ή ημικανονικά πολύεδρα. Ως συνέπεια αυτού του γεγονότος καθώς και του διπλού γεωμετρικού μηχανισμού παραγωγής πλακοστρώσεων από κυρτά κανονικά ή ημικανονικά πολύεδρα και αντιστρόφως, βγαίνει το συμπέρασμα ότι οι μόνες εφικτές κυρτές κανονικές ή ημικανονικές πλακοστρώσεις στην επιφάνεια της σφαίρας είναι είκοσι: Οι πέντε είναι κανονικές και αντιστοιχούν στα πέντε πλατωνικά πολυέδρα, οι δεκατρείς ημικανονικές και αντιστοιχούν στα δεκατρία αρχιμήδεια πολυέδρα, και ακολουθούν οι δύο ομάδες πλακοστρώσεων που αντιστοιχούν στα ημικανονικά πρίσματα και αντι-πρίσματα. 1 Για να χαρακτηρισθεί ένα πολύεδρο ημικανονικό, απαιτείται να ισχύει και ένα τρίτο κριτήριο, το οποίο συχνά παραλείπεται στη βιβλιογραφία: Να υπάρχει μετασχηματισμός, ο οποίος να μετασχηματίζει τυχούσα κορυφή του πολυέδρου σε τυχούσα άλλη, ενώ το πολύεδρο να παραμένει αναλλοίωτο ως όλο. Η ιδιότητα αυτή αναφέρεται ως μεταθετότητα κορυφών (vertex transitivity). Την ισχύ του τρίτου κριτηρίου επέβαλε η ανακάλυψη του λεγόμενου στερεού του Miller, το οποίο, ενώ ως προς τις δύο πρώτες ιδιότητες ταυτίζεται με το Ρομβο-κυβοκτάεδρο (Πίνακας 1), δεν ικανοποιεί την τρίτη (Cromwell 1997, pp , Martin 1982, pp ). Τα πολύεδρα που διαθέτουν μεταθετότητα κορυφών αναφέρονται ως ομαλά (uniform). Σελίδα 26

27 «Τριγωνισμός» σφαιρικού πολυγώνου Διαπιστώσαμε ότι μεταξύ των κυρτών κανονικών ή ημικανονικών πολυέδρων και των κυρτών κανονικών ή ημικανονικών πλακοστρώσεων στην επιφάνεια της σφαίρας υπάρχει μία σαφής σχέση, ώστε αν δοθεί η πλακόστρωση να ορίζεται το πολύεδρο και αντιστρόφως. Με δεδομένη αυτή τη σχέση και από γεωμετρική άποψη, θα επιχειρήσουμε μια προσέγγιση στους γεωδαιτικούς θόλους. Ως αφετηρία για το γεωμετρικό ορισμό ενός γεωδαιτικού θόλου μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε σφαιρική, κυρτή, κανονική ή ημικανονική πλακόστρωση, αλλά συνήθως χρησιμοποιείται εκείνη που αντιστοιχεί στο Κανονικό Εικοσάεδρο (Εικόνα 19). Εικόνα 19 (Παράχθηκε μέσω της εφαργογής TILES) Αυτό γίνεται διότι αποτελεί τον πυκνότερο από τους τρεις πλευρά-μεπλευρά διαμερισμούς της σφαιρικής επιφάνειας με διάταξη ισόπλευρων τριγωνικών πλακιδίων (οι άλλοι 2 αντιστοιχούν στο Κανονικό Τετράεδρο και στο Κανονικό Οκτάεδρο, με 4 και 8 ισόπλευρα σφαιρικά τρίγωνα αντιστοίχως). Αλλά για σχετικά μεγάλους γεωδαιτικούς θόλους ο διαμερισμός αυτός δεν είναι αρκετά πυκνός, οπότε πρέπει να εφαρμοστεί ένας πρόσθετος τριγωνισμός για κάθε ένα από τα είκοσι τριγωνικά πλακίδια αφετηρίας. Το αποτέλεσμα αυτού του πρόσθετου τριγωνισμού δεν είναι προφανώς μια κανονική πλακόστρωση, ανεξάρτητα από την τεχνική που θα χρησιμοποιηθεί, αν και ορισμένα πλακίδια δεν αποκλείεται να είναι ισόπλευρα σφαιρικά τρίγωνα. Για να εντοπίσουμε τη διαφορά ανάμεσα στην επιφάνεια της σφαίρας και στο επίπεδο, θα διαμερίσουμε ένα επίπεδο ισόπλευρο τρίγωνο σε μικρότερα ισόπλευρα τρίγωνα. Ένας τρόπος να το επιτύχουμε είναι ο εξής: Χρησιμοποιούμε τρεις ομάδες τεμνουσών. Κάθε μια από αυτές διαιρεί ένα ζεύγος πλευρών του τριγώνου σε n ίσα μέρη. Οι τέμνουσες μιας ομάδας είναι Σελίδα 27

28 παράλληλες μεταξύ τους και προς την τρίτη πλευρά. Διαπιστώνουμε ότι, αν μια τέμνουσα που ανήκει σε μια ομάδα συναντά τέμνουσα άλλης ομάδας, από το σημείο τομής διέρχεται και τέμνουσα της τρίτης ομάδας. Προκύπτει ένας διαμερισμός του αρχικού τριγώνου σε ισόπλευρα και ίσα μεταξύ τους τρίγωνα, πλήθους έστω N (Εικόνα 20). Εικόνα 20 (Σχεδίαση Μ. Θεοδωροπούλου) Προφανώς το πλήθος των τριγώνων που προκύπτει από το διαμερισμό είναι Πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο το 1 και λόγο 2 (στην βιβλιογραφία ο λόγος μιας αριθμητικής προόδου αναφέρεται και ως διαφορά). Επομένως, το πλήθος Ν ισούται με το άθροισμα των n πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου, όπου n είναι το πλήθος των τμημάτων στα οποία διαιρείται η κάθε πλευρά του τριγώνου. Με εφαρμογή του τύπου του αθροίσματος των n πρώτων όρων αριθμητικής προόδου (Ντζιώρας 1975, σελ. 180), έχουμε 2 : 2 N n [2 a1 ( n 1) ] n (2 2n 2) n n Στο ισόπλευρο τρίγωνο της Εικόνας 20 έχουμε επιλέξει n=5, επομένως παράγεται ένας διαμερισμός σε ισόπλευρα τρίγωνα. Η παραπάνω τεχνική εφαρμόζεται ακόμη και αν το τρίγωνο αφετηρίας δεν είναι ισόπλευρο, αλλά τα 2 2 n τρίγωνα που 2 Για έναν άλλο τρόπο υπολογισμού του πλήθους N, που βασίζεται σε σύγκριση εμβαδών, βλέπε Βενέρης 2011, σελ Σελίδα 28

29 προκύπτουν δεν είναι ισόπλευρα. Παραμένουν όμως ίσα μεταξύ τους και όμοια ως προς το αρχικό. Στη συνέχεια, θα επιχειρήσουμε να χρησιμοποιήσουμε την ίδια τεχνική με ένα ισόπλευρο σφαιρικό τρίγωνο, έστω το αντίστοιχο της έδρας του Κανονικού Εικοσαέδρου. Ο τρόπος για να πραγματοποιήσουμε κάτι τέτοιο είναι ο εξής: Διαιρούμε τις πλευρές σε n ίσα μέρη και στη συνέχεια συνδέουμε τα αντίστοιχα σημεία με «κατάλληλες» τέμνουσες. Το n, στην ορολογία των γεωδαιτικών θόλων, αναφέρεται ως συχνότητα (frequency). Επειδή ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δύο σημείων της σφαιρικής επιφανείας είναι το μικρότερο από τα τόξα μεγίστου κύκλου της σφαίρας που διέρχεται από τα σημεία αυτά, οι κατάλληλες τέμνουσες είναι τόξα μεγίστων κύκλων. Ο μέγιστος κύκλος είναι το αντίστοιχο της ευθείας στη σφαιρική επιφάνεια και είναι γνωστό ότι, για κάθε δύο μη αντιδιαμετρικά σημεία στη επιφάνεια της σφαίρας, υπάρχει ένας και μόνο μέγιστος κύκλος που διέρχεται από αυτά. Παρατηρούμε όμως ότι οι τέμνουσες δεν διέρχονται ανά τρεις από το ίδιο σημείο (Εικόνα 21) και αυτό αποτελεί μια σημαντική διαφορά ανάμεσα στην επιφάνεια της σφαίρας και στο επίπεδο. Για την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος έχουν προταθεί οι παρακάτω λύσεις. Εικόνα 21 (Σχεδίαση Μ. Θεοδωροπούλου) 1 η Λύση (πρβλ. Coxeter 1971, pp ) Αρχίζουμε με το διαμερισμό του επίπεδου τριγώνου, έδρα του Κανονικού 2 Εικοσαέδρου, σε n ισόπλευρα τρίγωνα. Έπειτα προβάλλουμε ακτινικά τον παραπάνω διαμερισμό στο σφαιρικό τρίγωνο. Οι 3( n 1) τέμνουσες προβάλλονται σε τόξα μεγίστων κύκλων, τα οποία τέμνονται με τον προσδοκώμενο τρόπο, αλλά οι πλευρές του σφαιρικού τριγώνου δεν διαιρούνται σε ίσα μέρη (Εικόνα 22). Ακόμη, η Σελίδα 29

30 απόκλιση του μήκους των πλευρών των τριγώνων του διαμερισμού είναι μεγαλύτερη από το μέσο μήκος και αυξάνεται όσο αυξάνει η συχνότητα n. Εικόνα 22 (Σχεδίαση Μ. Θεοδωροπούλου) Ο H.S.M. Coxeter, στο άρθρο του Virus Macromolecules and Geodesic Domes, pp , περιγράφει έναν υποθετικό τρόπο εργασίας εκ μέρους του B. Fuller. Γράφει ότι ο Fuller διαμερίζει ένα μεγάλο ισόπλευρο τρίγωνο σε μικρά ισόπλευρα τρίγωνα και επαναλαμβάνει αυτό το μοτίβο σε κάθε έδρα ενός Κανονικού Εικοσαέδρου. Στη συνέχεια μεταφέρει το επαναλαμβανόμενο μοτίβο με ακτινική προβολή στην επιφάνεια της περιγεγραμμένης σφαίρας 3. Αλλά σημειώνει (p. 106), ότι κατά δήλωση του Fuller (η οποία προφανώς ισχύει), δεν πρόκειται για ακτινική προβολή τριγωνικών εδρών διαμερισμένων σε ίσα ισόπλευρα τρίγωνα, αλλά για ένα μετασχηματισμό ο οποίος εξασφαλίζει την ισότητα των τμημάτων, στα οποία διαιρούνται οι πλευρές των σφαιρικών τριγώνων της πλακόστρωσης που αντιστοιχεί στο Κανονικό Εικοσάεδρο. Το πρόβλημα που προκύπτει με αυτή την τεχνική διαμερισμού, δηλαδή η μεγάλη απόκλιση του μήκους των πλευρών των σφαιρικών τριγώνων που προκύπτουν από το μέσο μήκος, είναι σημαντικό από στατική και από αισθητική σκοπιά. Ο τρόπος για να αμβλυνθεί αυτό το πρόβλημα είναι να επιμείνουμε στη διαίρεση των πλευρών των αρχικών σφαιρικών τριγώνων σε ίσα μέρη και να χρησιμοποιήσουμε ένα είδος «διόρθωσης», κατάλληλης δηλαδή αντικατάστασης με σημεία των μικρών σφαιρικών τριγώνων στην περιοχή συνάντησης των τεμνουσών. 3 Ο B. Fuller έχει ασχοληθεί και με τη χαρτογραφία, ακολουθώντας μια αντίστροφη τεχνική: Προβάλλει ακτινικά το ομοίωμα της υδρογείου στις έδρες ενός εγγεγραμμένου Κανονικού Εικοσαέδρου, στη συνέχεια κόβει το Εικοσάεδρο κατά μήκος ενός καταλλήλου συνόλου ακμών και αναπτύσσει την επιφάνειά του στο επίπεδο (Gardner 1975, pp , Coxeter 1971, pp ) Σελίδα 30

31 2 η Λύση (Wenninger 1999, p. 92) Ο M.J. Wenninger, επί της έδρας του Κανονικού Εικοσαέδρου, μετασχηματίζει τα μικρά σφαιρικά τρίγωνα σε επίπεδα, μέσω ακτινικής προβολής. Στη συνέχεια, βρίσκει τα κέντρα βάρους των επιπέδων τριγώνων και τα προβάλλει πάλι ακτινικά στην επιφάνεια της σφαίρας. Τα σημεία που προκύπτουν αντικαθιστούν τα σφαιρικά τρίγωνα (Εικόνα 23). 3 η Λύση (εφαρμογή DOMES) Εικόνα 23 (Σχεδίαση Μ. Θεοδωροπούλου) Η λύση είναι να παραμείνουμε στην επιφάνεια της σφαίρας και να αντικαταστήσουμε τα μικρά σφαιρικά τρίγωνα με το σημείο τομής των διαμέσων τους. Είναι γνωστό ότι οι διάμεσοι κάθε σφαιρικού τριγώνου, δηλαδή τα τόξα μεγίστων κύκλων, από τις κορυφές του στα μέσα των απέναντι πλευρών διέρχονται από το ίδιο σημείο. Η εφαρμογή DOMES χρησιμοποιεί την τελευταία αυτή μέθοδο «διόρθωσης». Η εφαρμογή ξεκινάει από τυχούσα κυρτή κανονική ή ημικανονική πλακόστρωση στην επιφάνεια της σφαίρας, όπως αυτή παράγεται από την εφαρμογή TILES. Η DOMES ελέγχει αρχικά αν υπάρχουν μη τριγωνικά πλακίδια. Αν υπάρχουν, τότε προχωρεί σε έναν πρώτο τριγωνισμό τους συνδέοντας το κέντρο καθενός με τις κορυφές του. Κατά την ολοκλήρωση αυτής της διαδικασίας η εφαρμογή έχει να διαχειριστεί ένα σύνολο σφαιρικών τριγώνων. Πρόκειται για ισόπλευρα τρίγωνα αν υπήρχαν στην αρχική πλακόστρωση, ή για ισοσκελή τρίγωνα αν προέκυψαν από τριγωνισμό άλλων σφαιρικών πολυγώνων. Ο χρήστης έχει τη δυνατότητα μέσω Σελίδα 31

32 διαλόγου να ορίζει την επιθυμητή συχνότητα και η εφαρμογή να προχωρεί στον τριγωνισμό των σφαιρικών τριγώνων και στην κατασκευή του γεωδαιτικού θόλου. Αυτό επιτυγχάνεται με χρήση τεμνουσών που διαιρούν τις πλευρές κάθε αρχικού σφαιρικού τριγώνου σε n ίσα μέρη. Η «διόρθωση» προκύπτει αντικαθιστώντας τα μικρά σφαιρικά τρίγωνα, στην περιοχή συνάντησης των τεμνουσών, με τα σημεία τομής των διαμέσων τους (Εικόνα 24). Εικόνα 24 (Σχεδίαση Μ. Θεοδωροπούλου) «Δυϊκές» των σφαιρικών πλακοστρώσεων Θεωρούμε τώρα τα κέντρα των εδρών που διατάσσονται περί μια κορυφή κυρτής, πλευρά-με-πλευρά πλακόστρωσης στην επιφάνεια της σφαίρας και κατασκευάζουμε κυρτό σφαιρικό πολύγωνο με κορυφές στα κέντρα αυτά. Αν αυτό επαναληφθεί σε κάθε κορυφή της πλακόστρωσης, προκύπτει μια νέα πλευρά-με-πλευρά πλακόστρωση, η οποία αναφέρεται ως η δυϊκή (dual) της αρχικής. Οι δύο πλακοστρώσεις σχετίζονται, με τρόπο ώστε κάθε έδρα της μιας να αντιστοιχεί σε κορυφή της άλλης. Στην περίπτωση που η αρχική πλακόστρωση είναι κανονική, είναι και η δυϊκή της κανονική. Αν η αρχική πλακόστρωση δεν είναι κανονική ή ημικανονική, τότε δεν είναι μοναδικός ο τρόπος κατασκευής της δυϊκής της, επειδή τα μη κανονικά σφαιρικά πολύγωνα έχουν πολλών ειδών «κέντρα», επομένως στις πλακοστρώσεις αυτές αντιστοιχούν πολλών ειδών δυϊκές. Κυρτές, πλευρά-με-πλευρά αλλά μη κανονικές ή ημικανονικές πλακοστρώσεις της σφαιρικής επιφανείας είναι εκείνες που προκύπτουν με Σελίδα 32

33 «τριγωνισμό» των εδρών μιας κανονικής ή ημικανονικής πλακόστρωσης, ώστε να προκύψει ένας γεωδαιτικός θόλος. Η εφαρμογή DOMES κατασκευάζει τις δυϊκές αυτών των πλακοστρώσεων, θεωρώντας ως κέντρα των τριγωνικών πλακιδίων της τα σημεία τομής των διαμέσων τους. Στους γεωδαιτικούς θόλους διπλού κελύφους, ως δεύτερο κέλυφος χρησιμοποιείται συνήθως η δυϊκή της αρχικής γεωδαιτικής σφαίρας, εφαρμοσμένη σε σφαίρα κατά τι μεγαλύτερης ή μικρότερης ακτίνας (Εικόνες 5,16). Το χωροδικτύωμα που προκύπτει, με κατάλληλη σύνδεση των κόμβων των δύο σφαιρών, έχει σημαντικά υψηλότερη ακαμψία και αντοχή, σε σύγκριση με το αρχικό απλό κέλυφος. Η εφαρμογή DOMES κατασκευάζει και θόλους διπλού κελύφους, αν ζητηθεί. Το δεύτερο κέλυφος αποτελείται από την δυϊκή της αρχικής πλακόστρωσης και εγγράφεται σε σφαίρα μεγαλύτερης ή μικρότερης ακτίνας, σύμφωνα με τις επιλογές του χρήστη. Τα δύο κελύφη συνδέονται με ράβδους με τον εξής τρόπο: Κάθε κορυφή της δυϊκής σφαίρας συνδέεται με τρεις ράβδους με τις τρεις κορυφές του τριγωνικού πλακιδίου στο οποίο αντιστοιχεί (Εικόνα 25 και Εικόνες 5,16). Εικόνα 25 (Παράχθηκε μέσω της εφαρμογής DOMES) Σελίδα 33

34 Κεφάλαιο 4ο: ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ DOMES Σε αυτή την ενότητα θα κατασκευάσουμε ένα σύνολο γεωδαιτικών θόλων, με χρήση της εφαρμογής DOMES. Θα εργαστούμε στο σύνολο της σφαιρικής επιφανείας. Στην Εικόνα 26 βλέπουμε έναν γεωδαιτικό θόλο συχνότητας 6, όπως έχει παραχθεί από την εφαρμογή DOMES. Έχει ως αφετηρία την πλακόστρωση που αντιστοιχεί στο Κανονικό Εικοσάεδρο. Η τελευταία αποτελείται από 20 σφαιρικά τρίγωνα. Επομένως το πλήθος, έστω F, των τριγωνικών πλακιδίων του θόλου είναι: F Θα υπολογίσουμε το πλήθος, έστω E, των ακμών των τριγωνικών πλακιδίων του θόλου. Σε κάθε πλακίδιο αντιστοιχούν τρεις ακμές. Επειδή όμως κάθε ακμή είναι κοινή δύο παρακειμένων πλακιδίων, το σύνολο των ακμών είναι προφανώς: E 3F Το πλήθος, έστω V, των κορυφών της πλακόστρωσης είναι δυνατόν να υπολογιστεί με χρήση του τύπου του Euler (Πάμφιλος 2012, σελ ): V E F 2. V E F 2 3F F 720 F Εικόνα 26 (Παράχθηκε μέσω της εφαρμογής DOMES) Σελίδα 34

35 Στην Εικόνα 27 βλέπουμε τη γεωδαιτική σφαίρα τη δυϊκή εκείνης της Εικόνας 26. Αποτελείται από εξαγωνικά πλακίδια με εξαίρεση τα 12 πενταγωνικά πλακίδια που αντιστοιχούν στις κορυφές της αρχικής πλακόστρωσης, αυτής δηλαδή που αντιστοιχεί στο Κανονικό Εικοσάεδρο. Το πλήθος F των πλακιδίων στις δυϊκές αυτές γεωδαιτικές σφαίρες συμπίπτει με το πλήθος των κορυφών των κύριων πλακοστρώσεων, από τις οποίες και προέκυψαν, επομένως, στη συγκεκριμένη περίπτωση ισχύει: F 362 Από τις 362 έδρες, οι 12 είναι πενταγωνικές και οι υπόλοιπες 350 είναι εξαγωνικές. Το πλήθος E των ακμών είναι: E Το πλήθος των κορυφών, σύμφωνα με τον τύπο του Euler, είναι: V E F Τα αποτελέσματα αυτά είναι τα αναμενόμενα. Εξαιτίας του τρόπου κατασκευής της δυϊκής πλακόστρωσης, το πλήθος των εδρών της μιας σφαίρας συμπίπτει με το πλήθος των κορυφών της άλλης, ενώ οι δύο σφαίρες έχουν το αυτό πλήθος ακμών. Εικόνα 27 (Παράχθηκε μέσω της εφαρμογής DOMES) Σελίδα 35

36 Ο θόλος της Εικόνας 28 έγινε με αφετηρία την πλακόστρωση που αντιστοιχεί στο Κανονικό Εικοσάεδρο και έχει συχνότητα 6, αλλά αυτή τη φορά είναι διπλού κελύφους. Η ακτίνα της εσωτερικής σφαίρας είναι κατά 5% μικρότερη της ακτίνας της εξωτερικής. Εικόνα 28 (Παράχθηκε μέσω της εφαρμογής DOMES) Μια άλλη κατασκευή είναι ο θόλος της Εικόνας 29, συχνότητας 12, με αφετηρία την πλακόστρωση που αντιστοιχεί στο Αμβλύ Δωδεκάεδρο (Πίνακας 1). Το Αμβλύ Δωδεκάεδρο διαθέτει 80 τριγωνικές και 12 πενταγωνικές έδρες (Πίνακας 2). Η εφαρμογή DOMES καλείται τώρα να εφαρμόσει έναν πρώτο τριγωνισμό στις πενταγωνικές έδρες. Από κάθε πενταγωνική έδρα θα προκύψουν 5 ισοσκελή σφαιρικά τρίγωνα, επομένως έχει να διαχειριστεί σφαιρικά τρίγωνα. Οι πλευρές των σφαιρικών τριγώνων θα διαιρεθούν σε 4 ίσα μέρη και το εσωτερικό τους θα διαμεριστεί κατά τα γνωστά. Εδώ χρησιμοποιούμε τον όρο συχνότητα με μια ευρύτερη έννοια, ως το ελάχιστο πλήθος δηλαδή βημάτων από μια πενταμερή κορυφή έως μια άλλη πενταμερή κορυφή. Προκύπτουν σφαιρικά τρίγωνα πλήθους F όπου: 2 F Σελίδα 36

37 Θα υπολογίσουμε με τον ίδιο τρόπο, όπως και παραπάνω, το πλήθος E των ακμών και το πλήθος V των κορυφών της πλακόστρωσης. Θα έχουμε: 3F E F 2240 V Εικόνα 29 (Παράχθηκε μέσω της εφαρμογής DOMES) Σελίδα 37

38 Στην Εικόνα 30 βλέπουμε τον δυϊκό του θόλου της Εικόνας 29. Αποτελείται από σφαιρικά εξάγωνα, όχι εν γένει κανονικά, με εξαίρεση 12 πλακίδια, τα οποία είναι κανονικά σφαιρικά πεντάγωνα και αντιστοιχούν στα κέντρα των πενταγωνικών εδρών της αρχικής πλακόστρωσης. Και πάλι, αν V το πλήθος των κορυφών, E το πλήθος των ακμών και F το πλήθος των εδρών της κύριας πλακόστρωσης, η δυϊκή της διαθέτει F κορυφές, E ακμές και V έδρες. Επομένως για τη δυϊκή ισχύει: F 1122, E 3360 και V 2240 Εικόνα 30 (Παράχθηκε μέσω της εφαρμογής DOMES) Μια άλλη κατασκευή είναι ο θόλος της Εικόνας 31, συχνότητας 15, με αφετηρία την πλακόστρωση που αντιστοιχεί στον Αμβλύ Κύβο (Πίνακας 1). Ο Αμβλύς Κύβος διαθέτει 32 τριγωνικές και 6 τετραγωνικές έδρες (Πίνακας 2). Η εφαρμογή DOMES προχωρεί σε έναν πρώτο τριγωνισμό των τετραγωνικών εδρών από τον οποίο θα προκύψουν ισοσκελή και ορθογώνια σφαιρικά τρίγωνα. Επομένως έχει να διαχειριστεί σφαιρικά τρίγωνα. Οι πλευρές εκάστου διαιρούνται σε 5 ίσα μέρη και ο διαμερισμός προχωρεί κατά τα γνωστά. Και πάλι η συχνότητα δεν συμπίπτει με το πλήθος των τμημάτων στα οποία διαιρούμε τις πλευρές των αρχικών τριγώνων αλλά με το ελάχιστο πλήθος βημάτων από τετραμερή σε τετραμερή κορυφή. Σελίδα 38

39 Θα υπολογίσουμε με τον ίδιο τρόπο, όπως και παραπάνω, το πλήθος F των τριγωνικών πλακιδίων, το πλήθος E των ακμών και το πλήθος V των κορυφών της πλακόστρωσης. Θα έχουμε: 2 F F E F 1400 V Εικόνα 31 (Παράχθηκε μέσω της εφαρμογής DOMES) Σελίδα 39

40 Η δυϊκή της τελευταίας πλακόστρωσης εμφανίζεται στην Εικόνα 32. Αποτελείται από εξαγωνικές έδρες, με εξαίρεση 6 τετραγωνικές έδρες που αντιστοιχούν στα κέντρα των 6 τετραγωνικών εδρών της αρχικής πλακόστρωσης. Και πάλι, αν V το πλήθος των κορυφών, E το πλήθος των ακμών και F το πλήθος των εδρών της κύριας πλακόστρωσης, η δυϊκή της διαθέτει F κορυφές, E ακμές και V έδρες. Επομένως για τη δυϊκή ισχύει: F 702, E 2100 και V 1400 Εικόνα 32 (Παράχθηκε μέσω της εφαρμογής DOMES) Μια άλλη κατασκευή είναι ο θόλος της Εικόνας 33, συχνότητας 8, με αφετηρία την πλακόστρωση που αντιστοιχεί στο Εικοσιδωδεκάεδρο. Το Εικοσιδωδεκάεδρο διαθέτει 20 τριγωνικές και 12 πενταγωνικές έδρες. Η εφαρμογή DOMES προχωρεί σε έναν πρώτο τριγωνισμό των πενταγωνικών εδρών από τον οποίο θα προκύψουν ισοσκελή και ορθογώνια σφαιρικά τρίγωνα. Επομένως έχει να διαχειριστεί σφαιρικά τρίγωνα. Οι πλευρές εκάστου διαιρούνται σε 4 ίσα μέρη και ο διαμερισμός προχωρεί κατά τα γνωστά. Και πάλι η συχνότητα δεν συμπίπτει με το πλήθος των τμημάτων στα οποία διαιρούμε τις πλευρές των αρχικών τριγώνων αλλά με το ελάχιστο πλήθος βημάτων από πενταμερή σε πενταμερή κορυφή. Σελίδα 40

41 Θα υπολογίσουμε με τον ίδιο τρόπο, όπως και παραπάνω, το πλήθος F των τριγωνικών πλακιδίων, το πλήθος E των ακμών και το πλήθος V των κορυφών της πλακόστρωσης. Θα έχουμε: 2 F F E F 1400 V Εικόνα 33 (Παράχθηκε μέσω της εφαρμογής DOMES) Σελίδα 41

42 Η δυϊκή της τελευταίας πλακόστρωσης εμφανίζεται στην Εικόνα 34. Αποτελείται από εξαγωνικές έδρες, με εξαίρεση 12 πενταγωνικές έδρες που αντιστοιχούν στα κέντρα των πενταγωνικών εδρών της αρχικής πλακόστρωσης. Και πάλι, αν V το πλήθος των κορυφών, E το πλήθος των ακμών και F το πλήθος των εδρών της κύριας πλακόστρωσης, η δυϊκή της διαθέτει F κορυφές, E ακμές και V έδρες. Επομένως για τη δυϊκή ισχύει: F 702, E 2100 και V 1400 Εικόνα 34 (Παράχθηκε μέσω της εφαρμογής DOMES) Θα μελετήσουμε τώρα μια πλακόστρωση συχνότητας 10, που δεν θεωρείται ιδιαίτερα «όμορφη». Πρόκειται για την πλακόστρωση, που ως αφετηρία έχει τον Κολοβό Κύβο (Πίνακας 1). Ο Κολοβός Κύβος διαθέτει 6 οκταγωνικές και 8 τριγωνικές έδρες (Πίνακας 2). Η DOMES προχωρεί επομένως με έναν πρώτο τριγωνισμό των οκταγωνικών εδρών από τον οποίο θα προκύψουν ισοσκελή και ορθογώνια σφαιρικά τρίγωνα. Άρα θα έχει να διαχειριστεί σφαιρικά τρίγωνα. Οι πλευρές εκάστου διαιρούνται σε 5 ίσα μέρη και ο διαμερισμός προχωρεί όπως παραπάνω. Η συχνότητα και εδώ δεν συμπίπτει με το πλήθος των τμημάτων, στα οποία διαιρούνται οι πλευρές των αρχικών τριγώνων, αλλά με το Σελίδα 42

43 ελάχιστο πλήθος βημάτων από οκταμερή σε οκταμερή κορυφή (Εικόνα 35). Θα υπολογίσουμε ξανά το πλήθος F των τριγωνικών πλακιδίων, το πλήθος E των ακμών και το πλήθος V των κορυφών της πλακόστρωσης. Θα έχουμε: 2 F , 3F F 1400 E 2100, V Εικόνα 35 (Παράχθηκε μέσω της εφαρμογής DOMES) Η δυϊκή της τελευταίας πλακόστρωσης (Εικόνα 36) αποτελείται από εξαγωνικές έδρες, με εξαίρεση 24 πενταγωνικές έδρες, που αντιστοιχούν στις κορυφές της αρχικής πλακόστρωσης, και 6 οκταγωνικές έδρες, που αντιστοιχούν στα κέντρα των 6 οκταγωνικών εδρών της αρχικής πλακόστρωσης. Και πάλι, αν V το πλήθος των κορυφών, E το πλήθος των ακμών και F το πλήθος των εδρών της κύριας πλακόστρωσης, η δυϊκή της διαθέτει F κορυφές, E ακμές και V έδρες. Πράγματι: Σελίδα 43

44 F E V E F Εικόνα 36 (Παράχθηκε μέσω της εφαρμογής DOMES) Σελίδα 44

45 Κεφάλαιο 5 ο : ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Τα πλεονεκτήματα των γεωδαιτικών θόλων, είναι καταρχήν ότι σαν κατασκευές είναι αρκετά ελαφρές, εύκολες στην εφαρμογή και ιδιαίτερα ευσταθείς. Η ευστάθειά τους αποδίδεται στο γεγονός ότι υπάρχουν πολλαπλά αλληλοσυνδεόμενα τρίγωνα, με συνέπεια τη δημιουργία άκαμπτης κατασκευής. Είναι δε ακόμα πιο ευσταθείς, αν είναι διπλού ή πολλαπλού κελύφους. Ένα άλλο πλεονέκτημα του θόλου έγκειται στο γεγονός ότι είναι αεροδυναμικός, έτσι η κατασκευή μπορεί να αντιστέκεται στα φορτία ανέμου που ασκούνται πάνω της. Ακόμα, λόγω του μικρού βάρους τους και της ελαστικής συμπεριφοράς των μεταλλικών στοιχείων που τους συνθέτουν, οι γεωδαιτικοί θόλοι έχουν άριστη συμπεριφορά σε περίπτωση σεισμού. Αλλά και σε περίπτωση πυρκαγιάς οι κατασκευές αυτές είναι ιδιαίτερα ανθεκτικές. Αξίζει να τονιστεί, ότι το ίδιο βάρος των χωροδικτυωμάτων και των γεωδαιτικών θόλων ειδικά είναι πολύ μικρότερο από τις αντίστοιχες κατασκευές από οπλισμένο σκυρόδεμα. Για αυτό το λόγο, εκτός της οικονομίας σε υλικό, έχουμε και οικονομία από τη χρήση θεμελιώσεων μικρότερων διαστάσεων. Πέραν αυτών, οι γεωδαιτικοί θόλοι επιτρέπουν την κάλυψη χώρων πολύ μεγάλων διαστάσεων, χωρίς τη χρήση ενδιάμεσων υποστυλωμάτων. Μια δυσκολία στην κατασκευή των γεωδαιτικών θόλων είναι η εξής. Τα στοιχεία τους έρχονται μεν προκατασκευασμένα στο εργοτάξιο, αλλά είναι αδύνατη η πλήρης τυποποίηση, γιατί υπάρχουν διαφορετικές ομάδες ράβδων και κόμβων, εξαρτώμενες από το μέγεθος του θόλου, από την πλακόστρωση αφετηρίας, από τη συχνότητα και από τη χρησιμοποιούμενη τεχνική τριγωνισμού. Επίσης, σε ένα θόλο με μεγάλο ύψος είναι δυνατόν ένα μεγάλο μέρος του χώρου να μείνει ανεκμετάλλευτο, λόγω της θολωτής στέγης. Και ακόμα ενδέχεται να χρειαστεί περισσότερη ώρα για να θερμανθεί, με αποτέλεσμα μεγαλύτερο κόστος λειτουργίας. Τελικά όμως οι γεωδαιτικοί θόλοι είναι έξυπνες, χαμηλού κόστους και εντυπωσιακές κατασκευές. Σελίδα 45

46 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Σφαιρικές Πλακοστρώσεις και Πολύεδρα Στον επόμενο Πίνακα, έχουμε την παράσταση των κυρτών κανονικών και ημικανονικών πολυέδρων, όπως παράγονται από την εφαρμογή TILES. Από τις απειρομελείς οικογένειες των ημικανονικών πρισμάτων και αντιπρισμάτων, δίνονται ενδεικτικά το Ημικανονικό Πενταγωνικό Πρίσμα και το Ημικανονικό Πενταγωνικό Αντιπρίσμα. Ο Κύβος είναι μέλος της πρώτης οικογένειας (για και το Κανονικό Οκτάεδρο είναι μέλος της δεύτερης (για n 3 ). n 4 ) Πίνακας 1: Κυρτά Κανονικά και Ημικανονικά Πολύεδρα 1 Κανονικό Τετράεδρο 2 Κολοβό Τετράεδρο 3 Κολοβός Κύβος 4 Κολοβό Δωδεκάεδρο 5 Ημικανονικό 5-γωνικό Πρίσμα 5a Κανονικό Εξάεδρο (Κύβος) 6 Κολοβό Οκτάεδρο 7 Κολοβό Κυβοκτάεδρο Σελίδα 46

47 8 Κολοβό Εικοσιδωδεκάεδρο 9 Κανονικό Δωδεκάεδρο 10 Κολοβό Εικοσάεδρο 11 Ημικανονικό 5-γωνικό Αντιπρίσμα 11a Κανονικό Οκτάεδρο 12 Κυβοκτάεδρο Ρομβοκυβοκτάεδρο Ρομβο-εικοσιδωδεκάεδρο 15 Εικοσιδωδεκάεδρο 16 Κανονικό Εικοσάεδρο 17 Αμβλύς Κύβος 18 Αμβλύ Δωδεκάεδρο Σελίδα 47

48 Στον επόμενο Πίνακα βλέπουμε το πλήθος των διακριτών στοιχείων, δηλαδή των κορυφών (V), ακμών (E) και εδρών (F), των κυρτών κανονικών και ημικανονικών πολυέδρων και των αντιστοίχων τους σφαιρικών πλακοστρώσεων. Εκτός από το όνομα κάθε πολυέδρου, δίνεται και ένας συμβολισμός. Επειδή σε κάθε κορυφή του πολυέδρου και της αντίστοιχής του πλακόστρωσης συναντώνται οι ίδιες, ως προς το πλήθος, το είδος και τη διάταξη, έδρες, είναι εύλογος ο συμβολισμός ( n1n2... n ), για την πλακόστρωση και το πολύεδρο σε κάθε κορυφή r των οποίων διατάσσονται r έδρες, με πλήθος ακμών Το σύμβολο F n και της αντίστοιχής του πλακόστρωσης. n 1, αναφέρεται στο πλήθος n - γωνικών εδρών ενός πολυέδρου n 2,... n r. Πίνακας 2: Πλήθος Διακριτών Στοιχείων Πλακοστρώσεων και Πολυέδρων a Πολύεδρο V E F3 F4 F5 F6 F8 F10 Fn F Κανονικό Τετράεδρο (3 3 3) Κολοβό Τετράεδρο ( 6 6 3) Κολοβός Κύβος (3 8 8) Κολοβό Δωδεκάεδρο ( ) Ημικανονικό n-γωνικό Πρίσμα (4 4 n) Κανονικό Εξάεδρο (Κύβος) (4 4 4) Κολοβό Οκτάεδρο (4 6 6) Κολοβό Κυβοκτάεδρο (4 6 8) Κολοβό Εικοσιδωδεκάεδρο (4 6 10) Κανονικό Δωδεκάεδρο (5 5 5) n 3 n n 2 n Σελίδα 48

49 a 12 Κολοβό Εικοσάεδρο (5 6 6) Ημικανονικό n-γωνικό Αντιπρίσμα (3 3 3 n) Κανονικό Οκτάεδρο ( ) Κυβοκτάεδρο ( ) 13 Ρομβο-κυβοκτάεδρο ( ) Ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο ( ) Εικοσιδωδεκάεδρο ( ) Κανονικό Εικοσάεδρο ( ) Αμβλύς Κύβος ( ) Αμβλύ Δωδεκάεδρο ( ) n 4 n 2 n 2 2 n Σελίδα 49

50 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Έντυπη: Ξενόγλωσση: 1. Baggott J.: Perfect Symmetry - The Accidental Discovery of Buckminsterfullerene, Oxford University Press, Oxford, Coxeter H.S.M.: "Virus Macromolecules and Geodesic Domes", in J.C. Butcher (ed.) A spectrum of mathematics: Essays presented to H.G. Forder, Oxford University Press, Oxford, 1971, pp Cromwell P.R.: Polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge, Gardner M.: "On map projections (with special reference to some inspired ones) " in Scientific American, November 1975, Vol. 233, Nr. 5, pp Kepler J.: The Harmony of the World, American Philosophical Society, Philadelphia 1997 (Harmonices Mundi, Translated into English with an Introduction and Notes by E.J. Aiton, A.M. Duncan, J.V. Field). 6. Martin G.E.: Transformation Geometry An Introduction to Symmetry, Springer-Verlag, New York, Wenninger M.J.: Polyedron Models, Cambridge University Press, Cambridge Williams R.: The Geometrical Foundation of Natural Structures A Source Book of Design, Dover Publications, New York Ελληνική: 9. Βενέρης I.: Πληροφορική και Αρχιτεκτονική Έννοιες και Τεχνολογίες, Eκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη, Ντζιώρας Η.Β.: Μαθηματικά Ε Γυμνασίου, Τόμος πρώτος, Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων, Αθήναι, Πάμφιλος Π.: Έλασσον Γεωμετρικόν, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, Τζουρμακλιώτου Δ.: "Χωροκατασκευές Εισβολή στον Κόσμο των Τριών Διαστάσεων", Τεχνικά Χρονικά (έκδοση Τεχνικού Επιμελητηρίου της Ελλάδας), Τεύχος 5, Σεπτέμβριος-Οκτώβριος 2007, σελ Σελίδα 50

51 Ηλεκτρονική: Ξενόγλωσση: 13. (26/10/2016) (26/10/2016) (26/10/2016) 16. https://en.wikipedia.org/wiki/montreal_biosph%c3%a8re (26/10/2016) 17. https://en.wikipedia.org/wiki/superdome (26/10/2016) (18/07/2016) 19. (26/10/2016) 20. (26/10/2016) 21. https://www.flickr.com/photos/mbgarchives/ / (26/10/2016) Ελληνική: (10/04/2016) &isAllowed=y (26/10/2016) Σελίδα 51

Ανθή Μαρία Κουρνιάτη. Νίκος Κουρνιάτης

Ανθή Μαρία Κουρνιάτη. Νίκος Κουρνιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Τομέας III : Αρχιτεκτονικής Γλώσσας, Επικοινωνίας & Σχεδιασμού ntua ACADEMIC OPEN COURSES Ανθή Μαρία Κουρνιάτη Επίκουρη Καθηγήτρια, Σχολή Αρχιτεκτόνων

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + 2). Την εποχή της Στερεομετρίας.

Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + 2). Την εποχή της Στερεομετρίας. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Παράρτημα Κέρκυρας Χαράλαμπος Δημητριάδης Μαθηματικός Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + ). Την εποχή της Στερεομετρίας. Μέγιστο γινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

1 Dodecaeder 3 7 5 11 9. 2 12 4 10 6. 8 Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Dodecaeder Copyright 1998-2005 Gijs Korthals

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανίτη Μαρία Ελένη Κρυσταλλίδης Περικλής. Μάθημα : «Θέμα» Επιβλέπουσα : Λαμπροπούλου Σοφία ΣΕΜΦΕ

Αρβανίτη Μαρία Ελένη Κρυσταλλίδης Περικλής. Μάθημα : «Θέμα» Επιβλέπουσα : Λαμπροπούλου Σοφία ΣΕΜΦΕ Αρβανίτη Μαρία Ελένη Κρυσταλλίδης Περικλής Μάθημα : «Θέμα» Επιβλέπουσα : Λαμπροπούλου Σοφία ΣΕΜΦΕ 2016-2017 ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ Εισαγωγή Τα Πλατωνικά στερεά Τα Πλατωνικά στερεά και τα στοιχεία της φύσης Η

Διαβάστε περισσότερα

Λίγα λόγια για τα Πλατωνικά και Αρχιµήδεια Στερεά

Λίγα λόγια για τα Πλατωνικά και Αρχιµήδεια Στερεά Λίγα λόγια για τα Πλατωνικά και Αρχιµήδεια τερεά (Κανονικά και Ηµικανονικά Πολύεδρα) Λίγα Ιστορικά στοιχεία ηµ. Μπουνάκης χ. ύµβουλος Μαθηµατικών dimitrmp@sch.gr Ιούνιος 2011 Κανονικό Πολύεδρο είναι το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΟΛΙΣΘΗΡΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΜΑΚΡΟΥΦΗ ΤΩΝ ΟΔΟΔΤΡΩΜΑΤΩΝ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΟΛΙΣΘΗΡΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΜΑΚΡΟΥΦΗ ΤΩΝ ΟΔΟΔΤΡΩΜΑΤΩΝ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Πτυχιακή εργασία ΟΛΙΣΘΗΡΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΜΑΚΡΟΥΦΗ ΤΩΝ ΟΔΟΔΤΡΩΜΑΤΩΝ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΣ Χριστοδούλου Αντρέας Λεμεσός 2014 2 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ( Κανονικά πολύγωνα ) Δραστηριότητα 1 : Θεωρούμε ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ ( τυχαίο μήκος ) και πάνω σε σ αυτόν παίρνουμε 5 διαδοχικά ίσα τόξα τα: AB, B Γ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ. Στην συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος

Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα στη φύση, τέχνη, ανθρώπινες κατασκευές, Μαθηματικά Κανονικά πολύγωνα στη φύση Η κηρήθρα είναι ένα φυσικό θαύμα αρχιτεκτονικής Οι μέλισσες έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58].

εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. Η συνεισφορά του Kepler στα Αρχιµήδεια ήταν µεγάλη, γιατί αυτός απέδειξε

Διαβάστε περισσότερα

1. * Η κάθετη τοµή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσµατος είναι τρίγωνο Α. ισοσκελές. Β. ισόπλευρο. Γ. ορθογώνιο.. αµβλυγώνιο. Ε. τυχόν.

1. * Η κάθετη τοµή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσµατος είναι τρίγωνο Α. ισοσκελές. Β. ισόπλευρο. Γ. ορθογώνιο.. αµβλυγώνιο. Ε. τυχόν. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1 * Η κάθετη τοµή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσµατος είναι τρίγωνο Α ισοσκελές Β ισόπλευρο Γ ορθογώνιο αµβλυγώνιο Ε τυχόν * Κάθε παραλληλεπίπεδο έχει ακµές Α Β 6 Γ 8 10 Ε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή Η ιδέα, ότι όλα τα υλικά πράγµατα συντίθενται από αυτά τα τέσσερα πρωταρχικά στοιχεία, αποδίδεται στον προγενέστερό Εµπεδοκλή, Έλληνα φιλόσοφο, ποιητή και πολιτικό [493-433 π.χ.] που γεννήθηκε στον Ακράγαντα

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ Από τις καταστάσεις της ύλης τα αέρια και τα υγρά δεν παρουσιάζουν κάποια τυπική διάταξη ατόμων, ενώ από τα στερεά ορισμένα παρουσιάζουν συγκεκριμένη διάταξη ατόμων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΔΕΙΚΤΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΑ ΑΝΤΛΙΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΥΔΑΤΩΝ Γεωργίου

Διαβάστε περισσότερα

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών).

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών). ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.6 Ονομάζουν, περιγράφουν και ταξινομούν τρισδιάστατα σχήματα (κύβο, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, πυραμίδα, σφαίρα, κύλινδρο, κώνο),

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Ιούνιος 14

ιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Ιούνιος 14 ΟΓΚΟΣ ΣΤΕΓΗΣ ιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Περιεχόμενα 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 4 I. ΠΥΡΑΜΙΔΑ 4 II. ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ 5 III. ΟΓΚΟΣ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ 5 2. ΜΟΡΦΕΣ ΙΣΟΚΛΙΝΟΥΣ ΣΤΕΓΗΣ 6 I. ΔΥΡΙΧΤΗ 6 II. ΤΕΤΡΑΡΙΧΤΗΜΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738)

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ Το μαθηματικό λογισμικό GeoGebra ως αρωγός για τη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2.

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

συµµετρίες που αντιστοιχούν σε έναν από τους άξονες συµµετρίας του τετράεδρου.

συµµετρίες που αντιστοιχούν σε έναν από τους άξονες συµµετρίας του τετράεδρου. συµµετρίες που αντιστοιχούν σε έναν από τους άξονες συµµετρίας του τετράεδρου. Σε κάθε άξονα αντιστοιχούν 3 κατοπτρισµοί, οπότε έχουµε 4 * 3 = 12 κατοπτρισµούς συνολικά. Συνολικά, η οµάδα των συµµετριών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών ΕΦΑΡΜΟΓΙΔΙΟ: Σχήματα-Γραμμές-Μέτρηση Είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά στην κατασκευή και μέτρηση σχημάτων, γωνιών και γραμμών. Μας παρέχει ένα χάρακα, μοιρογνωμόνιο και υπολογιστική μηχανή για να μας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πλακοστρώσεις στο Sketchpad v4 ως διαισθητικό θεμέλιο για την ανάπτυξη παραγωγικών συλλογισμών

Οι Πλακοστρώσεις στο Sketchpad v4 ως διαισθητικό θεμέλιο για την ανάπτυξη παραγωγικών συλλογισμών Οι Πλακοστρώσεις στο Sketchpad v4 ως διαισθητικό θεμέλιο για την ανάπτυξη παραγωγικών συλλογισμών Σ.Πατσιομίτου Εκπ/κός Δ/θμιας Εκπ/σης, Med Διδακτικής και Μεθοδολογίας Μαθηματικών ΕΚΠΑ, Υπ. Διδάκτωρ Παν.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 35 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2018 Θέματα μικρών τάξεων Ενδεικτικές λύσεις

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 35 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 3 Μαρτίου 2018 Θέματα μικρών τάξεων Ενδεικτικές λύσεις ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-67784 - Fax: 6405 e-ail : ifo@hs.gr, www.hs.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Paepistiiou (Εleftheriou Veizelou)

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. Σε αυτό το επίπεδο περιλαµβάνονται δραστηριότητες ταξινόµησης, αναγνώρισης και περιγραφής διαφόρων σχηµάτων. Είναι σηµαντικό να χρησιµοποιούνται πολλά διαφορετικά και ποικίλα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα [2] Γεωμετρία: ΣΤΕΡΕΑ: [Ονοματολογία Συμβολισμός] Η έννοια της μεταβλητής -Απλές εξισώσεις. [ο προγραμματισμός]

Θέμα [2] Γεωμετρία: ΣΤΕΡΕΑ: [Ονοματολογία Συμβολισμός] Η έννοια της μεταβλητής -Απλές εξισώσεις. [ο προγραμματισμός] Θέμα [2] 1 Γεωμετρία: ΣΤΕΡΕΑ: [Ονοματολογία Συμβολισμός] Η έννοια της μεταβλητής -Απλές εξισώσεις Ενδεικτική πορεία διδασκαλίας [ο προγραμματισμός] Α. Δίνουμε στους εκπαιδευομένους διάφορα στερεά (κατασκευασμένα)-πολύεδρα

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D 1 Φύλλο 2 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο με το αντίστοιχο λογισμικό του Cabri II. Περιέχει γενικές εντολές και εικονίδια που συμπεριλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηματικός Ο τύπος του Euler για τα πολύεδρα

ΓΥΜΝΑΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηματικός Ο τύπος του Euler για τα πολύεδρα 1. Πολύεδρα Στον τριδιάστατο ευκλείδειο χώρο θεωρούμε ένα σύστημα πολυγώνων, τα οποία είναι διατεταγμένα κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να πληρούνται οι εξής δύο συνθήκες: α) Κάθε πλευρά των πολυγώνων του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x 1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος: ΝΑΝΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ: Κατασκευάζοντας ένα Μοντέλο Φουλερενίου Θέματα: ΝΑΝΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ: Κατασκευάζοντας ένα Μοντέλο Φουλερενίου

Τίτλος: ΝΑΝΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ: Κατασκευάζοντας ένα Μοντέλο Φουλερενίου Θέματα: ΝΑΝΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ: Κατασκευάζοντας ένα Μοντέλο Φουλερενίου Τίτλος: ΝΑΝΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ: Κατασκευάζοντας ένα Μοντέλο Φουλερενίου Θέματα: ΝΑΝΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ: Κατασκευάζοντας ένα Μοντέλο Φουλερενίου Χρόνος: 90 λεπτά (2 μαθήματα) Ηλικία: Α' Λυκείου 15 16 χρονών Διαφοροποίηση:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

: :

: : ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ 1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Εύρεση του Συνόλου των ιεργασιών Συμμετρίας ενός Μορίου

4.1 Εύρεση του Συνόλου των ιεργασιών Συμμετρίας ενός Μορίου 4. Ομάδες Σημείου ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o ορίζετε την έννοια της ομάδας σημείου ενός μορίου o διακρίνετε τις βασικές κατηγορίες ομάδων σημείου

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΟΣΜΩΝ

Η ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΟΣΜΩΝ Η ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΟΣΜΩΝ Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου Όπως διατυπώθηκε στην κοσμοθεωρία μας ΤΟ ΙΔΙΟΝ, ο κόσμος μας, το σύμπαν μας είναι μία ολογραφία, περίπου ένα επίπεδο τετράγωνο. Υπάρχουν έξι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. 2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες. Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1) Οι οξείες

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της σχέσης (1) επί 2, λαμβάνουμε = k+ ), (2) οπότε με αφαίρεση της (1) από τη (2) κατά μέλη, λαμβάνουμε:

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της σχέσης (1) επί 2, λαμβάνουμε = k+ ), (2) οπότε με αφαίρεση της (1) από τη (2) κατά μέλη, λαμβάνουμε: 6 Θέματα μεγάλων τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜ Δίνεται η ακολουθία πραγματικών αριθμών ( a ), =,,, με + a = και a = ( a+ a + + a ), Να προσδιορίσετε τον όρο a 0 Λύση ( ος τρόπος) Παρατηρούμε ότι: 4 4 a =, a = a =, a

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Παραμετρική σχεδίαση Παραμετρικό αντικείμενο (2D σχήμα/3d στερεό) ονομάζουμε το αντικείμενο του οποίου η (γεωμετρική)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Στέφανος Κεΐσογλου Σχολικός σύμβουλος ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Στέφανος Κεΐσογλου Σχολικός σύμβουλος ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Στέφανος Κεΐσογλου Σχολικός σύμβουλος ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολείο: Ημερομηνία: / / Β Λυκείου τμήμα.. Καθηγητής/τρια:Τάξη: Α) Το θέμα και το μαθησιακό περιβάλλον. 1) Το γνωστικό

Διαβάστε περισσότερα