στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας"

Transcript

1 στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων προέρχονται από παρατηρήσεις, ανάλυση κι διερεύνηση των χαρακτηριστικών ενός δείγµατος του πληθυσµού που µελετάται. Ανάλυση όλου του πληθυσµού δεν εφικτή τόσο για οικονοµικούς όσο και για τεχνικούς λόγους. Λόγω της διακύµανσης των τιµών / µεταβλητότητας των χαρακτηριστικών του πληθυσµού είναι απαραίτητο, το δείγµα να αναπαριστά αυτή την µεταβλητότητα να είναι δηλαδή αντιπροσωπευτικό του πληθυσµού. Ο σκοπός του σχεδιασµού της δειγµατοληψίας είναι να εξασφαλίσει ότι τα στοιχεία που αναλύονται παρέχουν την βέλτιστη πληροφορία που απαιτείται για τον πληθυσµό που µελετάται, στο χαµηλότερο δυνατό κόστος. 1

2 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Βασικές έννοιες διαστήµατα εµπιστοσύνης Όταν συλλέγουµε στοιχεία από ένα δείγµα δεν αναµένουµε τα αποτελέσµατα της ανάλυσης να είναι ακριβώς ίδια µε εκείνα που θα υπολογίζαµε αν είχαµε στοιχεία από όλο τον πληθυσµό Χρησιµοποιώντας την µεταβλητότητα των στοιχείων του δείγµατος, µπορούµε να υπολογίσουµε το φάσµα τιµών µέσα στο οποίο είναι πιθανό να είναι η µέση τιµή του πληθυσµού. Μπορούµε να µεταβάλουµε το εύρος αυτού του φάσµατος, ανάλογα µε το πόσο σίγουροι θέλουµε να είµαστε ότι το εύρος αυτό θα περιλαµβάνει την πραγµατική µέση τιµή του πληθυσµού (συνήθως θεωρούµε επίπεδο εµπιστοσύνης το 95%). ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : ιαστήµατα Εµπιστοσύνης Θεωρώντας ότι το δείγµα είναι αντιπροσωπευτικό, τα διαστήµατα εµπιστοσύνης µπορούν να υπολογισθούν από τα δείγµατα χρησιµοποιώντας την ακόλουθη σχέση: Μέση τιµή δείγµατος συντελεστής επίπεδου εµπιστοσύνης ± x τυπικό σφάλµα

3 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Το Θεώρηµα της Κεντρικής Θέσης Το θεώρηµα της κεντρικής θέσης Ο αριθµητικός µέσος όρος των στοιχείων τυχαίων δειγµάτων µέσου µεγέθους (ν), που λαµβάνονται από ένα πληθυσµό τείνει να κατανεµηθεί σε στατιστικά κανονική κατανοµή, καθώς το µέγεθος του δείγµατος αυξάνει. µ: µέση τιµή Ν: µέγεθος πληθυσµού x 1 x x 3 Προϋπόθεση ν > 30-8,5-7 -5,5-4 -,5-1 µ 0,5 3,5 5 6,5 ν µπορεί να είναι < 30 µόνο αν ο 8 πληθυσµός ακολουθεί κανονική κατανοµή 9,5 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Το Τυπικό Σφάλµα µέγεθος Πληθυσµός Ν µέση τιµή (mean) µ διακύµανση (variance) σ είγµα x ν S παράδειγµα Εάν χρησιµοποιούµε ένα µόνο δείγµα η καλύτερη εκτίµηση του µ είναι το και η καλύτερη εκτίµηση του σ είναι το S x Σε αυτή την περίπτωση η τυπική απόκλιση δηλ. το τυπικό σφάλµα του µ είναι se ( x) = ( N ν ). S ν. N 3

4 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Το Τυπικό Σφάλµα Πότε το τυπικό σφάλµα τείνει να µηδενισθεί? ν ( N ν) N Ν 1 se ( x) = ( N ν ). S ν. N Στη πράξη όµως έχουµε συνήθως µεγάλους πληθυσµούς και µικρό δείγµα se ( x ) = Επιλύνοντας µπορούµε να προσδιορίσουµε το µέγεθος του δείγµατος, δηλ. S ν ν ν = ν 1 + N ιόρθωση για δείγµατα πεπερασµένου µεγέθους ν = S se ( x) ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Το Τυπικό Σφάλµα Προβλήµατα εφαρµογής: Η εκτίµηση της διακύµανσης του δείγµατος (S ) που µπορεί να υπολογισθεί αφού πρώτα έχουν συλλεχθεί τα στοιχεία => πρέπει να εκτιµηθεί από άλλες πηγές (π.χ. πιλοτική έρευνα) Ο επιθυµητός βαθµός εµπιστοσύνης που συνδέεται µε την χρήση της µέσης τιµής του δείγµατος σαν εκτίµηση της µέσης τιµής του πληθυσµού. Ο βαθµός εµπιστοσύνης, στην πράξη συνήθως καθορίζεται σαν ένα διάστηµα γύρω από την µέση τιµή του πληθυσµού για ένα δεδοµένο επίπεδο εµπιστοσύνης. Εποµένως: Το επίπεδο εµπιστοσύνης για το διάστηµα θα πρέπει να καθορισθεί, δηλ. η αποδεκτή συχνότητα εµφάνισης σφάλµατος που οφείλεται στην παραδοχή ότι η µέση τιµή του δείγµατος είναι η πραγµατική µέση τιµή του πληθυσµού (δηλ. το τυπικό επίπεδο εµπιστοσύνης 95% σηµαίνει ότι δεχόµαστε ότι στο 5% των περιπτώσεων θα υπάρχει σφάλµα) Θα πρέπει καθορισθούν τα όρια του διαστήµατος γύρω από την µέση τιµή 4

5 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : ιαστήµατα Εµπιστοσύνης Υπολογισµός των διαστηµάτων εµπιστοσύνης Θεωρώντας ότι το δείγµα είναι αντιπροσωπευτικό, τα διαστήµατα εµπιστοσύνης µπορούν να υπολογισθούν από τα δείγµατα χρησιµοποιώντας την ακόλουθη σχέση: Μέση τιµή δείγµατος συντελεστής επίπεδου εµπιστοσύνης ± x τυπικό σφάλµα x u ± x se ( x) Lc ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : ιαστήµατα Εµπιστοσύνης Τι είναι το ιάστηµα Εµπιστοσύνης Αν θεωρήσουµε άπειρα δείγµατα µεγέθους ν από ένα πληθυσµό Ένα διάστηµα εµπιστοσύνης 95% για την µέση τιµή, µπορεί να υπολογισθεί για κάθε ένα από τα δείγµατα : M x x x 1 ± u ± u 95% 95% ± u95% ( s1 / n) ( s / n),, ( s / n). ιαστήµατα εµπιστοσύνης 95% 95% αυτών των διαστηµάτων θα περιλαµβάνουν την µέση τιµή του πληθυσµού µ, ενώ το 5% από αυτά τα διαστήµατα δεν θα περιλαµβάνουν την µέση τιµή του πληθυσµού. 5

6 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : ιαστήµατα Εµπιστοσύνης Μέση τιµή πληθυσµού και διαστήµατα εµπιστοσύνης από τα δείγµατα δείγµα 1 δείγµα δείγµα 3 δείγµα 4 δείγµα 5 ιάστηµα εµπιστοσύνης δείγµατος 4 M δείγµα ν Πραγµατική µέση τιµή του πληθυσµού (µ, π,..) ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : ιαστήµατα Εµπιστοσύνης Αύξηση του επιπέδου εµπιστοσύνης από 95% σε 99% αυξάνει την βεβαιότητα ότι το διάστηµα εµπιστοσύνης περιλαµβάνει την µέση τιµή του πληθυσµού, αλλά µειώνει την ακρίβεια της εκτίµησης, δεδοµένου ότι το διάστηµα είναι πιο ευρύ. π.χ. Με επίπεδο εµπιστοσύνης 99% ο χρόνος διαδροµής θα είναι µεταξύ 40 και 54 λεπτών Με επίπεδο εµπιστοσύνης 95% ο χρόνος διαδροµής θα είναι µεταξύ 43 και 50 λεπτών

7 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Όρια ακρίβειας της µέσης τιµής του δείγµατος Ακρίβεια της εκτίµησης : 0,1 Ηπιθανότητα που υπάρχει ο πραγµατικός µέσος όρος (δηλ. ο µ.ο. του πληθυσµού) να βρίσκεται µέσα σε ορισµένα όρια κανονική κατανοµή 0,1 0,08 0,1 Το 68,7% το πληθυσµού 0,06 0,1 0,08 0,04 0,06 0,0 0,04 95,45% 0,0 99,73% 0 µ (µ-σ) (µ-3σ) (µ-σ) (µ-σ) 0 (µ+σ) (µ+3σ) ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Όρια ακρίβειας της µέσης τιµής του δείγµατος Υπάρχει πιθανότητα 68,7% 95,45% 99,73% x - se ( x) < µ < x + se ( x) x -.se ( x) < µ < x +.se ( x) x - 3.se ( x) < µ < x + 3.se ( x) Όπου : x : ο µέσος όρος του δείγµατος µ : ο µέσος όρος του πληθυσµού se ( x ) = S ν το τυπικό σφάλµα και ν το µέγεθος του δείγµατος S η τυπική απόκλιση του δείγµατος 7

8 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Υπολογισµός πιθανότητας Για να υπολογίσουµε την πιθανότητα η τιµή µιας µεταβλητής να είναι µεταξύ δύο συγκεκριµένων ορίων, θα πρέπει να υπολογίσουµε το εµβαδόν της περιοχής κάτω από την καµπύλη και ανάµεσα στα δυο όρια. P( α < x < β ) 0,45 0,4 0,35 Το εµβαδόν αυτό υπολογίζεται εύκολα µε χρήση της Τυπικής/µοναδιαίας κανονικής κατανοµής 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0, α β ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Τυπική/Μοναδιαία Κανονική Κατανοµή - Η Τυπική/Μοναδιαία Κανονική Κατανοµή είναι µια κανονική κατανοµή πιθανότητας πού έχει µέση τιµή (µ) = 0, και τυπική απόκλιση (σ)= 1. Τα περισσότερα µεγέθη που ακολουθούν Κανονική Κατανοµή δεν έχουν µέση τιµή = 0 και τυπική απόκλιση =1. Είναι δυνατό όµως να τυποποιήσουµε τις µη τυπικές περιπτώσεις χρησιµοποιώντας την σχέση : Z = (X-F)/F z = x µ σ x µ x 1 z 0 z 1 8

9 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : ο συντελεστής z µετατροπής σε µοναδιαία κατανοµή x µ z = x = µ + z. σ σ Οι τιµές του συντελεστή z µετρούν τον αριθµό των τυπικών αποκλίσεων από απέχει µια τιµή από την µέση τιµή ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Μοναδιαία Κανονική Κατανοµή Ο κλασσικός τρόπος υπολογισµού της πιθανότητας µια τιµής να είναι µεταξύ δύο συγκεκριµένων ορίων (το εµβαδόν κάτω από την καµπύλη και µεταξύ των ορίων) γίνεται µε χρήση της µοναδιαίας κανονικής κατανοµής για την οποία υπάρχουν τυποποιηµένοι πίνακες. Η κανονική κατανοµή της µεταβλητής x(µ,σ) µετασχηµατίζεται σε µοναδιαία εφαρµόζοντας την σχέση z = ( x µ )/σ 0,45 0,4 0,35 0,3 68,7% 0,5 0, 0,15 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0, Μοναδιαία κανονική Κατανοµή z(0,1) µ = 0, σ=1 0,1 95,45% 0,05 99,73%

10 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Μοναδιαία Κανονική Κατανοµή 0,45 z 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0, ( xi µ) z = σ O πίνακας δίνει το εµβαδόν κάτω από την µοναδιαία κανονική κατανοµή καi µεταξύ µιας τεταγµένης στο 0 και µιας στο z. 0 Παράδειγµα 1 X : N(µ,σ) = Ν(0, 3) Ποια η πιθανότητα x < 4? Pr(0<x<4) = Pr (0 < µ + z.σ < 4) = = Pr (0 < 0 + z.3 < 4) = Pr (0 < 3z < 4) = = Pr ( 0 < z < 1,33) = 0,4083 Pr(0<x<4) = 0,4083 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0, Pr ( x < 4) = Pr (x<0) + Pr (0 < x < 4) Pr (x<0) = 0,5 Pr ( x < 4) = 0,5 + 0,4083 = 0,9083 Pr ( 16 < x < 4) = x 0,4083 =0,8166 Pr ( x < 16 ) = 0,5 0,4083 = 0,0917 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Μοναδιαία Κανονική Κατανοµή z 10

11 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Μοναδιαία Κανονική Κατανοµή 0,45 u 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0, Παράδειγµα Χ : N(µ,σ) = Ν(0, 3) Μεταξύ ποιών ορίων µπορούµε να πούµε ότι κυµαίνεται η µεταβλητή Χ, µε ακρίβεια (επίπεδο εµπιστοσύνης) 95%? Pr ( µ-u.σ < x < µ+ u.σ ) = 0,95 => Pr ( µ-u.σ < µ+z.σ < µ+ u.σ ) = 0,95 => Pr ( -u.σ < z.σ < u.σ ) = 0,95 => Pr ( 0,5 < z < u ) = 0,475 => u = 1,96 Xmin = 0-1,96x3 = 14,1 Xmax = 0 + 1,96x3 = 5,88 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Όρια ακρίβειας της µέσης τιµής του δείγµατος Pr Pr Pr Pr ( ) = ( ) = ( ) = x - 1.se ( x) < µ < x + 1.se ( x) 68,7% x -.se ( x) < µ < x +.se ( x) 95,45% x - 3.se ( x) < µ < x + 3.se ( x) 99,73% ( -.se ( x) < µ < x +.se ( x) ) = x z z L Τα όρια διακύµανσης των τιµών για διαφορετικά επίπεδα εµπιστοσύνης προσδιορίζονται από τον σχετικό πίνακα του παραδείγµατος. Ενδεικτικά αναφέρονται ότι οι συντελεστές z για διαφορετικά επίπεδα εµπιστοσύνης, L. Οι τιµές του συντελεστή z για διαφορετικά επίπεδα εµπιστοσύνης είναι: Επίπεδο εµπιστοσύνης 90% 1,65 95% 1,96 98%,33 99%,58 z 11

12 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Ανάλυση Μεγεθών εκφρασµένων σε Ποσοστά Σε περίπτωση που τα µεγέθη που αναλύουµε, εκφράζονται σε ποσοστά, π.χ. % νοικοκυριών µε ιδιοκτησία Ι.Χ. αυτοκινήτου ή υψηλότερο % µετακινούµενων που χρησιµοποιούν Μ.Μ.Μ. Η µέση τυπική απόκλιση υπολογίζεται από την σχέση: se ( p) = p. q ν Όπου : se (p) η προσέγγιση της τυπικής απόκλισης p το ποσοστιαίο αποτέλεσµα της µετρήσεως q (100 p) ν το µέγεθος του δείγµατος Προϋποθέσεις για ικανοποιητικά αποτελέσµατα p 10% ν 30 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Σύγκριση αποτελεσµάτων δύο δειγµατοληψιών δείγµα 1 δείγµα µέγεθος µέση τιµή (mean) διακύµανση (variance) ν 1 ν x1 x S 1 S Ερώτηµα τα δύο δείγµατα προέρχονται από δύο διαφορετικούς πληθυσµούς µε διαφορετικό µέσο όρο (πραγµατική διαφορά) ή από τον ίδιο πληθυσµό αλλά µε διαφορετικές διακυµάνσεις (τυχαία διαφορά) 1

13 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Σύγκριση αποτελεσµάτων δύο δειγµατοληψιών Σύµφωνα µε το θεώρηµα κεντρικής θέσης η καλύτερη εκτίµηση του µ 1 είναι το x 1 και η καλύτερη εκτίµηση του σ είναι το 1 S 1 (και αντίστοιχα για το δείγµα ) Υπόθεση προς έλεγχο: Οι δύο πληθυσµοί είναι στην ουσία ίδιοι δηλ. µ 1 = µ Αποδεικνύεται στατιστικά ότι: Η διαφορά x 1 x ακολουθεί µια κατά προσέγγιση κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 0 Το τυπικό σφάλµα της κατανοµής της διαφοράς των δύο µέσων όρων υπολογίζεται από την σχέση S D ( ) 1 S S x = + ν ν 1 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Σύγκριση αποτελεσµάτων δύο δειγµατοληψιών Εάν η υπόθεση είναι σωστή: Με επίπεδο εµπιστοσύνης 95,45% η διαφορά x1 θα βρίσκεται µεταξύ ± 3.S D ( x) x Εάν η διαφορά x1 x είναι µεγαλύτερη από Η διαφορά είναι σηµαντική, και άρα µε επίπεδο 99,73% εµπιστοσύνης, τα δείγµατα προέρχονται από διαφορετικούς πληθυσµούς µε διαφορετικούς µέσους όρους ± 3.S D ( x) Γενικά, για δείγµατα µε ν > 30 συγκρίνεται η διαφορά z.s D ( x) x µε το για το επίπεδο εµπιστοσύνης που αντιστοιχεί το z 1 x 13

14 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Σύγκριση ποσοστιαίων αποτελεσµάτων Σύγκριση ποσοστιαίων αποτελεσµάτων από δύο δείγµατα Ακολουθείται η ίδια διαδικασία µε την περίπτωση των µέσων όρων Το τυπικό σφάλµα υπολογίζεται από την σχέση: S D ( p ) = p 1 1 o. q o. + ν1 ν Η αναλογική µέση τιµή των δύο ποσοστών είναι ίση µε τον λόγο p o = p 1. ν1 + p. ν ν + ν 1 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ: Αξιοπιστία µικρών ειγµάτων ο συντελεστής t STUDENT Ο έλεγχος αξιοπιστίας του δείγµατος, µε βάση την υπόθεση της κανονικής κατανοµής ισχύει για τις περιπτώσεις που το µέγεθος του δείγµατος είναι µεγάλο, δηλ., τουλάχιστον Για µικρά δείγµατα αντί για τον συντελεστή z της µοναδιαίας κανονικής κατανοµής χρησιµοποιείται ο συντελεστής t του Student Για µεγάλα δείγµατα, οι τιµές του συντελεστή t ταυτίζονται µε τις τιµές του συντελεστή z. Καθώς το µέγεθος του δείγµατος ελαττώνεται, η διαφορά των τιµών των δύο συντελεστών αυξάνεται. Οι τιµές του συντελεστή t δίνονται σε πίνακες για διαφορετικά επίπεδα εµπιστοσύνης και διαφορετικά βαθµούς ελευθερίας ( ο βαθµός ελευθερίας είναι v-1: το µέγεθος του δείγµατος µείον ένα) 14

15 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Κατανοµή t-student και βαθµοί ελευθερίας Προσέγγιση Κανονικής Κατανοµής Οι κατανοµές έχουν παρόµοια µορφή. Η διαφορές εντοπίζονται στο πάχος των «ουρών» κάθε κατανοµής, που είναι µεγαλύτερο για χαµηλότερους βαθµούς ελευθερίας δηλ. µικρότερο δείγµα. Καθώς ο βαθµός ελευθερίας αυξάνεται η κατανοµή t-student, προσεγγίζει την κανονική κατανοµή. ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Κατανοµή t-student και βαθµοί ελευθερίας < < Για το ίδιο διάστηµα ±.σ Το επίπεδο εµπιστοσύνης (πιθανότητα = εµβαδόν) είναι πολύ µεγαλύτερο όταν ο βαθµός ελευθερίας δηλ. το δείγµα είναι µεγαλύτερο 15

16 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Συµπέρασµα - Μεθοδολογία εποµένως Είναι δυνατό να υπολογίσουµε το µέγεθος του δείγµατος, εάν θέλουµε να πετύχουµε ένα συγκεκριµένο επίπεδο ακρίβειας Η ακρίβεια των εκτιµήσεων µπορεί να αυξηθεί όταν ελαττώσουµε το τυπικό σφάλµα Το µέγεθος του τυπικού σφάλµατος εξαρτάται από το µέγεθος του δείγµατος ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Γενική Μεθοδολογία υπολογισµού µεγέθους δείγµατος Υπολογισµός µεγέθους δείγµατος µε βάση την επιθυµητή ακρίβεια για συγκεκριµένο επίπεδο εµπιστοσύνης, π.χ. ακρίβεια χρόνου διαδροµής + 0,5 λεπτά µε πιθανότητα 95% e : επιθυµητή ακρίβεια = µέγιστο επιτρεπτό σφάλµα L : επίπεδο εµπιστοσύνης, δηλ. η πιθανότητα σφάλµατος = (100% - L) 1. Προ-εκτίµηση του µέσης τυπικής απόκλισης του δείγµατος, S, ή του ποσοστού p, από πιλοτική έρευνα/µετρήσεις, µε δείγµα µεγέθους v > 30 (Παραδοχή : το πιλοτικό δείγµα είναι αντιπροσωπευτικό του πληθυσµού). Υπολογισµός του τυπικού σφάλµατος µε βάση το ν Μεγάλος πληθυσµός se ( x ) = S ν Πληθυσµός πεπερασµένου µεγέθους se ( x) = ( N ν ). S ν. N Μεγέθη που εκφράζονται σε ποσοστά se ( p) = p. q ν 16

17 ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Γενική Μεθοδολογία υπολογισµού µεγέθους δείγµατος 3. Υπολογισµός των ορίων διακύµανσης των τιµών του σφάλµατος για διαφορετικά επίπεδα εµπιστοσύνης / ακρίβειας µε βάση το δείγµα της πιλοτικής εφαρµογής 4. Υπολογισµός του συντελεστή z, (µοναδιαίας κανονικής κατανοµής) για την επίτευξη του απαιτούµενου επίπεδου εµπιστοσύνης, z= z(l) 5. Υπολογισµός του µεγέθους του δείγµατος, ν, έτσι ώστε το σφάλµα του τελικού δείγµατος να είναι µικρότερο από το µέγιστο επιτρεπτό z. se ( x) e S z z. e ν =. S ν e z. se ( p ) e p. q z z. e ν =. p. q ν e Άσκηση 4: Υπολογισµός µεγέθους δείγµατος Υπολογισµός µεγέθους δείγµατος όταν δίνεται η επιθυµητή ακρίβεια (ανεκτό σφάλµα) για ορισµένο επίπεδο εµπιστοσύνης Για την εκτίµηση του χρόνου διαδροµής µεταξύ δύο σηµείων µιας αστικής περιοχής έχουν γίνει µετρήσεις µε παρατηρητές που κάνουν την ίδια πάντα διαδροµή µε αυτοκίνητο. Έχουν γίνει 3 µετρήσεις και οι χρόνοι διαδροµής παρουσιάζονται στο πίνακα. Εάν επιθυµούµε ο χρόνος διαδροµής να εκτιµηθεί µε ακρίβεια ± 0,5 λεπτών στο επίπεδο εµπιστοσύνης 95%, να υπολογισθεί ο απαιτούµενος αριθµός των µετρήσεων Συχνότητα Χρόνος ιαδροµής 4,0 4,3 5,1 6,3 7, 7,9 8,5 9, 3,3 ίδονται: z = 1,96 για επίπεδο εµπιστοσύνης 95% t =,04 για επίπεδο εµπιστοσύνης 95% και 31 βαθµούς ελευθερίας 17

18 Άσκηση 4: Υπολογισµός µεγέθους δείγµατος f. i i x x = ν i 864,4 = = 7,01 3 λεπτά f. ( ) i i xi x S = ν 1 S,11 se( x) = = = 0,37 ν 3 = 138,13 =,11 31 λεπτά λεπτά Για επίπεδο εµπιστοσύνης 95% ο συντελεστής z=1,96 και το σφάλµα που προκύπτει από τις 3 µετρήσεις είναι 1,96x0,373 =0,73 > 0,5 δηλ. από το επιτρεπτό σφάλµα. Με τις 3 µετρήσεις προκύπτει ότι το 95% των περιπτώσεων ο πραγµατικός µέσος χρόνος διαδροµής θα είναι σε ένα εύρος 0,73 λεπτά από τον µέσο όρο του δείγµατος ± Άσκηση 4: Υπολογισµός µεγέθους δείγµατος Εποµένως θα πρέπει να αυξηθεί το µέγεθος του δείγµατος έτσι ώστε το σφάλµα για επίπεδο εµπιστοσύνης 95% να είναι µικρότερο από το επιτρεπτό. z. se( x) < επιτρεπτό σφάλµα,11 1,96 < 0,5 N,11 N > 1,96 N 0,5 > 68 Το πρόβληµα µπορεί να επιλυθεί και µε χρήση της κατανοµής t-student. Με αυτή την µέθοδο το απαιτούµενο δείγµα θα είναι µεγαλύτερο. 18

19 Άσκηση 5: Σύγκριση ειγµάτων Για να αξιολογηθούν τα αποτελέσµατα κυκλοφοριακών ρυθµίσεων που εφαρµόσθηκαν σε κυκλοφοριακό διάδροµο αστικής περιοχής, έγιναν µετρήσεις χρόνου διαδροµής µεταξύ δύο σηµείων, προ και µετά την εφαρµογή των µέτρων. Τα αποτελέσµατα από την ανάλυση των µετρήσεων παρουσιάζονται στον πίνακα. Μετρήσεις πριν και µετά την εφαρµογή του νέου συστήµατος Φωτεινής Σηµατοδότησης µέση τιµή τυπική απόκλιση Μέγεθος δείγµατος είγµα - Πριν,6,1 50 είγµα - Μετά 1, 1,8 60 Ζητείται να εξετασθεί αν η παρατηρούµενη µείωση του χρόνου διαδροµής οφείλεται σε τυχαία διακύµανση των συνθηκών της κυκλοφορίας ή αν είναι αποτέλεσµα των εφαρµοσθέντων ρυθµίσεων. Άσκηση 5: Σύγκριση ειγµάτων Η διαφορά των µέσων όρων των δειγµάτων είναι: x1 x =,6 1. = 1,4 λεπτά Το τυπικό σφάλµα των διαφορών των µέσων όρων των δειγµάτων είναι: sd =,1 50 1, = 0,377 λεπτά Για επίπεδο εµπιστοσύνης 99,75%, (οπότε ο σχετικός συντελεστής z = 3), x1 x > z sd 1,4 > 3 0,377 Εποµένως συµπεραίνουµε ότι πρόκειται για πραγµατική διαφορά που οφείλεται στις νέες ρυθµίσεις. 19

20 Άσκηση 6 : Μέγεθος είγµατος ποσοστιαίων µεγεθών Έρευνα επιλογής µεταφορικού µέσου σε 100 εργαζόµενους για τις µετακινήσεις µεταξύ κατοικίας και χώρου εργασίας, έδωσε τα εξής αποτελέσµατα: Μεταφ. Μέσο Ποσοστό Αυτοκίνητο 40% Λεωφορείο 35% Μετρό 5% 1. Ποια είναι η ακρίβεια των παραπάνω µεριδίων αγοράς µε πιθανότητας 99% (δηλ. µεταξύ ποιών ορίων κυµαίνονται τα µερίδια, για επίπεδο εµπιστοσύνης 99%). Ποιο είναι το απαιτούµενο µέγεθος του δείγµατος έτσι ώστε τα µερίδια αγοράς να µην απέχουν από τα πραγµατικά µερίδια περισσότερο από + %, µε πιθανότητα 95%? spreadsheet 0

δειγµατοληψία µέθοδοι συλλογής στοιχείων δίκτυο & ζωνικό σύστηµα

δειγµατοληψία µέθοδοι συλλογής στοιχείων δίκτυο & ζωνικό σύστηµα δειγµατοληψία µέθοδοι συλλογής στοιχείων δίκτυο & ζωνικό σύστηµα ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Βασικές έννοιες βασικές έννοιες Πληθυσµός: είγµα: Το σύνολο των στοιχείων για τα οποία απαιτείται συγκεκριµένη πληροφορία.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση και Σχεδιασμός Μεταφορών Ι Δειγματοληψία - Μέθοδοι συλλογής στοιχείων

Ανάλυση και Σχεδιασμός Μεταφορών Ι Δειγματοληψία - Μέθοδοι συλλογής στοιχείων Δειγματοληψία - Μέθοδοι συλλογής στοιχείων Παναγιώτης Παπαντωνίου Δρ. Πολιτικός Μηχανικός, Συγκοινωνιολόγος ppapant@upatras.gr Πάτρα, 2017 Στόχοι Βασικές έννοιες στατιστικής Μέθοδοι συλλογής στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Αγρονό ων Το ογράφων Μηχανικών ΕΜΠ Εργαστήριο Συγκοινωνιακής Τεχνικής

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Αγρονό ων Το ογράφων Μηχανικών ΕΜΠ Εργαστήριο Συγκοινωνιακής Τεχνικής ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Αγρονό ων Το ογράφων Μηχανικών ΕΜΠ Εργαστήριο Συγκοινωνιακής Τεχνικής Συστήματα Μεταφορών Κωνσταντίνος Αντωνίου Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΜΠ antoniou@central.ntua.gr ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες

Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική: η επιστήµη που παρέχει µεθόδους και εργαλεία για την οργάνωση, συστηµατική περιγραφή και περιληπτική παρουσίαση δεδοµένων, καθώς και για την ανάλυση της πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

γένεση των µετακινήσεων

γένεση των µετακινήσεων 3 γένεση των µετακινήσεων εισαγωγή το υπό διερεύνηση θέµα: πόσες µετακινήσεις ξεκινούν από κάθε ζώνη? πόσες µετακινήσεις κάνει ένας µετακινούµενος κατά την διάρκεια µιας µέσης εβδοµάδας? Ανάλυση κατά ζώνη

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

γένεση των µετακινήσεων

γένεση των µετακινήσεων Κυκλοφοριακές Ζώνες κυκλοφοριακή ζώνη Η µονάδα ανάλυσης είναι η κυκλοφοριακή Ζώνη 3 γένεση των µετακινήσεων Κυκλοφοριακή ζώνη Κεντροϊδές (κέντρο της δραστηριότητας) Για την διαµόρφωση των ορίων της Κυκλοφοριακής

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ πόσες μετακινήσεις δημιουργούνται σε και για κάθε κυκλοφοριακή ζώνη; ΟΡΙΣΜΟΙ μετακίνηση μετακίνηση με βάση την κατοικία μετακίνηση με βάση άλλη πέρα της κατοικίας

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική ΙI Ενότητα 1: Δειγματοληψία και Κατανομές Δειγματοληψίας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 1. ειγµατοληψία Πιθανοτικές

Διαβάστε περισσότερα

καταµερισµός στα µεταφορικά µέσα

καταµερισµός στα µεταφορικά µέσα 5 καταµερισµός στα µεταφορικά µέσα πόσες µετακινήσεις από την ζώνη i στην ζώνη j γίνονται µε κάθε µεταφορικό µέσο? το υπό διερεύνηση θέµα : εισαγωγή Ποιο µεταφορικό µέσο θα επιλέξει ένας µετακινούµενος

Διαβάστε περισσότερα

Καταµερισµός. µεταφορικό µέσο. Καταµερισµός στα µέσα. το υπό διερεύνηση θέµα :

Καταµερισµός. µεταφορικό µέσο. Καταµερισµός στα µέσα. το υπό διερεύνηση θέµα : καταµερισµός στα µεταφορικά µέσα προς ζώνη.... ν 00 00 από ζώνη 0πίνακας Π-Π....... ν 0 00 00 00 0 Μελλοντικές Ελκόµενες µετακινήσεις Μελλοντικές Παραγόµενες µετακινήσεις 0 00 70 ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΕΣΑ

Διαβάστε περισσότερα

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος. 1. Η µέση υπερετήσια τιµή δείγµατος µέσων ετήσιων παροχών Q (m3/s) που ακολουθούν κατανοµή Gauss, ξεπερνιέται κατά µέσο όρο κάθε: 1/0. = 2 έτη. 1/1 = 1 έτος. 0./1 = 0. έτος. 2. Έστω δείγµα 20 ετών µέσων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Ολικής Ποιότητας ΔΙΑΛΕΞΗ 8 η : Στατιστικός Έλεγχος Ποιότητας. Δρ. Α. Στεφανή Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Δυτικής Ελλάδας - Μεσολόγγι

Διοίκηση Ολικής Ποιότητας ΔΙΑΛΕΞΗ 8 η : Στατιστικός Έλεγχος Ποιότητας. Δρ. Α. Στεφανή Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Δυτικής Ελλάδας - Μεσολόγγι Διοίκηση Ολικής Ποιότητας ΔΙΑΛΕΞΗ 8 η : Στατιστικός Έλεγχος Ποιότητας Δρ. Α. Στεφανή Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Δυτικής Ελλάδας - Μεσολόγγι Πρόληψη - Επιθεώρησης Τεχνικές ελέγχου: Δειγματοληψία:

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

7. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝ ΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ

7. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝ ΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ 7. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝ ΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 7.. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ Στα προηγούµενα κεφάλαια αναφέρθηκαν λεπτοµερώς τα πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα των διαφόρων στρατηγικών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση και Σχεδιασμός Μεταφορών Ι Ανάλυση Διακριτών Επιλογών

Ανάλυση και Σχεδιασμός Μεταφορών Ι Ανάλυση Διακριτών Επιλογών Ανάλυση Διακριτών Επιλογών Παναγιώτης Παπαντωνίου Δρ. Πολιτικός Μηχανικός, Συγκοινωνιολόγος Πάτρα, 2017 Περιεχόμενα Αθροιστικά μοντέλα Εξατομικευμένα μοντέλα Μοντέλα Διακριτών Μεταβλητών Θεωρία Μεγιστοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram).

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram). Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μάρτιος 2010 Κατανοµές 1. Οµοιόµορφη κατανοµή Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Χημική Τεχνολογία. Εργαστηριακό Μέρος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Χημική Τεχνολογία. Εργαστηριακό Μέρος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Εργαστηριακό Μέρος Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού

Διαβάστε περισσότερα

03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 6_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Παράμετροι θέσης όταν θέλουμε να εκφράσουμε μια μεταβλητή με έναν αριθμό π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #: Επαγωγική Στατιστική - Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα Είδη δειγματοληψίας Γνωρίζουμε ότι: Με τη στατιστική τα δεδομένα γίνονται πληροφορίες Στατιστική Δεδομένα Πληροφορία Αλλά από πού προέρχονται τα δεδομένα; Πώς τα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM. Μάθηµα : Αλγοριθµικές Βάσεις στη Γεωπληροφορική ιδάσκων : Συµεών Κατσουγιαννόπουλος Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.. Μέθοδοι παρεµβολής. Η παρεµβολή σε ψηφιακό µοντέλο εδάφους (DTM) είναι η διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων.

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων. ειγµατοληψία Καθώς δεν είναι εφικτό να παίρνουµε δεδοµένα από ολόκληρο τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει, διαλέγουµε µια µικρότερη οµάδα που θεωρούµε ότι είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του πληθυσµού. Τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΓΕΩΧΗΜΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΓΕΩΧΗΜΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΓΕΩΧΗΜΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Ορολογία αβεβαιότητας 2. Εκτίµηση επαναληψιµότητας 3. Εκτίµηση αναλυτικής ακρίβειας 4. Περιληπτικά στατιστικά µετρήσεων ΟΡΟΛΟΓΙΑ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ορεστιάδα 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Παράγωγες κατανοµές

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Προσοχή: Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν θα λαµβάνεται υπόψη µία σωστή

Προσοχή: Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν θα λαµβάνεται υπόψη µία σωστή Σειρά Α σ1 Επώνυµο Όνοµα Αρ. Μητρώου Ζήτηµα 1 ο (3 µονάδες) Εξετάσεις Φεβρουαρίου (2011/12) στο Μάθηµα: Στατιστική Θεσσαλονίκη: 03/03/2012 Προσοχή: Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν θα λαµβάνεται υπόψη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στα ιαστήµατα Εµπιστοσύνης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ) Για τον προσδιορισµό της σκληρότητας αλουµινίου έγιναν 6 µετρήσεις και προέκυψαν τα εξής αποτελέσµατα:.4,.4,.7,.3,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 9Α: Απλή Τυχαία Δειγματοληψία Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πιθανότητες - Κατανομές ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών

ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πιθανότητες - Κατανομές ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πιθανότητες - Κατανομές ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων ΑΓΡΙΝΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Φραγκίσκος Κουτελιέρης Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ACCURACY)

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ACCURACY) ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ACCURACY) 1) Ανάλυση 1 δείγματος (Πιστοποιημένο Υλικό Αναφοράς (CRM), εμπορικό δείγμα ελέγχου (control sample), υπόλειμμα διεργαστηριακού) με γνωστή τιμή αναφοράς (μ). Αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Εργάτης Μηχάνηµα τύπου Α Μηχάνηµα τύπου Β

Εργάτης Μηχάνηµα τύπου Α Μηχάνηµα τύπου Β Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου 2009 στη Στατιστική 30/09/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ [20] Μια καπνοβιοµηχανία ισχυρίζεται ότι στα νέα τσιγάρα που διαφηµίζει, η ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Υπολογισμός πιθανοτήτων και πρόβλεψη τιμών από τις τιμές των παραμέτρων και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ www.ifospoudes.gr ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Δ.Α.Π.-Ν.Δ.Φ.Κ. ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ www.dap-pape.gr www.ifospoudes.gr S.O.S

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ

4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ 4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (STRATIFIED RANDOM SAMPLING) Στην τυχαία δειγµατοληψία κατά στρώµατα ο πληθυσµός των Ν µονάδων (πρόκειται για τον στατιστικό πληθυσµό και τις στατιστικές µονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά και κόστος. Κατηγορίες κόστους. Οριακό κόστος και µεγιστοποίηση του κέρδους. Μέσο κόστος. TC MC = q TC AC ) AC

Προσφορά και κόστος. Κατηγορίες κόστους. Οριακό κόστος και µεγιστοποίηση του κέρδους. Μέσο κόστος. TC MC = q TC AC ) AC Μέσο κόστος µέσο συνολικό κόστος (AC) 3 Προσφορά και κόστος µέσο µεταβλητό κόστος (AVC) µέσο σταθερό κόστος (AFC) Το µέσο σταθερό κόστος µειώνεται, διότι το συνολικό σταθερό κόστος κατανέµεται σε περισσότερη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση της συµπεριφοράς των πεζών ως προς τη διάσχιση οδών σε αστικές περιοχές

Ανάλυση της συµπεριφοράς των πεζών ως προς τη διάσχιση οδών σε αστικές περιοχές Ανάλυση της συµπεριφοράς των πεζών ως προς τη διάσχιση οδών σε αστικές περιοχές Ε.Παπαδηµητρίου Γ.Γιαννής Ι.Γκόλιας ΕΜΠ - Τοµέας Μεταφορών και Συγκοινωνιακής Υποδοµής 5ο ιεθνές Συνέδριο Έρευνα στις Μεταφορές

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα : Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. )

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Πίνακας Περιεχομένων Εργασία η... Θέμα ο :... Θέμα ο :... 4 Θέμα 3 ο :...

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test

Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 53Ε Τομέας Επιστήμης & Τεχνολογίας Τροφίμων Έλεγχος υποθέσεων Συνεχή δεδομένα z-test Student s test (t-test) Ανάλυση παραλλακτικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης

10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης 10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διαστήματα εμπιστοσύνης για τον μέσο ενός πληθυσμού (Μικρά δείγματα) Άσκηση 10.7.1: Ο επόμενος πίνακας τιμών δείχνει την αύξηση σε ώρες ύπνου που είχαν

Διαβάστε περισσότερα