2.2 Διατήρηση της Ενέργειας - 9-1ο ΓΕΛ Πετρόυπολης

Transcript

1 . Διατήρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης. Έργο α) Ορισμός : Έργο ( W ) σταερής δύναμης η οποία μετατοπίζει ένα σώμα κατά την διεύυνση της ονομάζεται το γινόμενο της δύναμης επί την μετατόπιση δηλαδή είναι W =. Μονάδα έργου είναι το J (joule) και J = Nm. β) Έργο σταερής δύναμης : Το έργο σταερής δύναμης που μετατοπίζει ένα σώμα κατά την διεύυνση της είναι W = ενώ το έργο δύναμης που είναι κάετη στην μετατόπιση είναι ίσο με μηδέν. Αν έχουμε σταερή δύναμη που σχηματίζει γωνία με την διεύυνση της μετατόπισης τότε αν αναλύσουμε την δύναμη σε δυο συνιστώσες όπως στο σχήμα α έχουμε : W = W + W Αλλά W = 0 και = συν άρα για το έργο έχουμε W = συν.από την τελευταία σχέση βλέπουμε ότι το πρόσημο του έργου συμπίπτει με το πρόσημο του συν. Αν 0 < π/ το έργο είναι ετικό (W > 0) ενώ αν π/ π το έργο είναι αρνητικό (W < 0). γ) Έργο δύναμης μεταβλητού μέτρου : Αν η δύναμη είναι συνάρτηση της μετατόπισης τότε το έργο της υπολογίζεται ως εξής : Κατασκευάζουμε το διάγραμμα δύναμης μετατόπισης. Το έργο της δύναμης για μετατόπιση κατά είναι αριμητικά ίσο με το εμβαδόν που περικλείεται από το διάγραμμα = f(), τον άξονα των και τις καέτους στον άξονα οι οποίες αντιστοιχούν στην μετατόπιση. Παρατήρηση : Αν κάποιο τμήμα του διαγράμματος είναι κάτω από τον άξονα των, τότε το έργο είναι αρνητικό για το τμήμα αυτό.. Βασικά Έργα α) Έργο βάρους : Θεωρούμε μικρή μετατόπιση του σώματος βάρους mg στο βαρυτικό πεδίο ώστε η επιτάχυνση g z A να μένει σταερή. Η τυχαία διαδρομή Α ΓΑ z Γ του σώματος μετατρέπεται στην κλιμακωτή διαδρομή του σχήματος. mg Έργο του βάρους έχουμε μόνο στις κατακόρυφες μετατοπίσεις και είναι ίσο με το γινόμενο του βάρους επί το αλγεβρικό τους άροισμα, δηλαδή mg(a A 3 ). Aν τα σκαλοπάτια της κλίμακας γίνουν παρά πολύ μικρά και z A 3 A ταυτόχρονα αυξάνει ο αριμός τους τότε η κλιμακωτή γραμμή έχει όριο 0 την καμπύλη Α ΓΑ ενώ το έργο παραμένει σταερό. Αλλά η απόσταση (Α Α 3 ) = z z άρα για το έργο του βάρους γράφουμε W () = mg(z z ). Δηλαδή το έργο του βάρους είναι ίσο με το γινόμενο του βάρους επί την διαφορά του αρχικού ύψους μείον το τελικό ύψος. β) Έργο της τριβής ολίσησης : Σε μια ευύγραμμη τροχιά για μετατόπιση το έργο της τριβής ολίσησης είναι W T = Tσυν80 0 W T = T. To έργο αυτό είναι πάντα αρνητικό γιατί πάντα η τριβή είναι αντίετη στην μετατόπιση. Άρα το έργο της τριβής ολίσησης σε μια κλειστή διαδρομή δεν μπορεί να είναι ποτέ ίσο με μηδέν. Αυτού του είδους οι δυνάμεις λέγονται μη διατηρητικές. Διατηρητικές ( ή συντηρητικές ) λέγονται οι δυνάμεις το έργο των οποίων σε μια κλειστή διαδρομή είναι ίσο με μηδέν. Τέτοια δύναμη είναι το βάρος. 0 0 = f() Γενική ενότητα : Μεγέη που διατηρούνται

2 . Διατήρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης Μη διατηρητικές ( ή μη συντηρητικές ) λέγονται οι δυνάμεις το έργο των οποίων σε μια κλειστή διαδρομή είναι διαφορετικό από μηδέν. Τέτοια δύναμη είναι η τριβή. γ) Έργο δύναμης ελατήριου : H δύναμη η οποία μεταβάλλει το μήκος ελατήριου δίνεται από τον νόμο του Hooke = k, όπου k η σταερά του ελατήριου και η παραμόρφωση k B μετρημένη από το φυσικό του μήκος 0. Επειδή η δύναμη δεν είναι σταερή δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω την W = για τον υπολογισμό του k A έργου για παραμόρφωση από έως. Αν χωρίσω την παραμόρφωση σε Γ μικρά κομμάτια Δ τότε η δύναμη εωρείται σταερή και το έργο είναι 0 ΔW = Δ. Το άροισμα αυτών των στοιχειωδών έργων είναι αριμητικά ίσο με το εμβαδόν ΑΒΓΔ του τραπεζίου του σχήματος. Το τραπέζιο έχει βάσεις ΑΔ = k και ΒΓ = k και AΔ + ΒΓΓΔ (k + k ) ( ) ύψος. Άρα W( ) = (AΒΓΔ) W = W( ) = k ( + ) ( ) k ( ) W( ) = W( ) = W( ) = k k. Aν εωρήσουμε ότι αρχικά το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος τότε = 0 και έχουμε W(0 ) = k. Οι σχέσεις αυτές ισχύουν και για συμπίεση και για επιμήκυνση του ελατήριου. Παρατήρηση : Τα μήκη και είναι μετρημένα από το φυσικό μήκος του ελατηρίου πάντα. 3. Κινητική Ενέργεια α) Έργο και κινητική ενέργεια : Ας εωρήσουμε ένα σώμα μάζας m που κινείται με σταερή ταχύτητα υ 0. Κάποια στιγμή ασκείται στο σώμα σταερή δύναμη η οποία έχει την διεύυνση της ταχύτητας. Σε χρόνο t η δύναμη μετατοπίζει το σώμα κατά. Για την ταχύτητα υ και την μετατόπιση στο χρόνο t α ισχύει : υ = υ 0 + αt και = υ 0 t + υ υ αt. Λύνοντας την πρώτη ως προς t έχουμε t= 0 και αντικαιστώντας στην δεύτερη έχουμε α υ υ α 0 υ υ0 υυ υ αυ υυ + υ 0 0 υυ υ υ υυ + υ =υ + 0 = + = + α α α α α α υυ υ υ υυ + υ = α υ υ = 0. α Αλλά για την δύναμη ισχύει = mα και για το έργο W = και αντικαιστώντας την δύναμη και την υ υ μετατόπιση στον τύπο του έργου έχουμε W=mα 0 υ υ W=m 0 υ υ0 W=m m. α H ποσότητα mυ λέγεται κινητική ενέργεια του σώματος και συμβολίζεται με Κ. Είναι Γενική ενότητα : Μεγέη που διατηρούνται mυ K= άρα W = K K 0. Άρα το έργο της δύναμης χρησιμοποιήηκε για να αυξήσει την κινητική ενέργεια του σώματος. β) Το εώρημα (της μεταβολής) της κινητικής ενέργειας : Όταν σε κινούμενο σώμα ασκούνται παραπάνω από μια δυνάμεις, κάε μια από αυτές εκτελεί το έργο της ανεξάρτητα από τις άλλες. Το αλγεβρικό άροισμα όλων των έργων λέγεται ολικό έργο W ολ. Για τον υπολογισμό του έχουμε δυο επιλογές. Υπολογίζουμε το έργο κάε δύναμης χωριστά και το αλγεβρικό άροισμα των έργων δίνει το W ολ ή Υπολογίζουμε την συνιστάμενη δύναμη και το έργο της δίνει το W ολ. Γενικεύοντας την σχέση έργου και κινητικής ενέργειας που αποδείξαμε στο (β) έχουμε το εώρημα (μεταβολής) της κινητικής ενέργειας : «Σε κάε μετατόπιση το ολικό έργο των δυνάμεων που ασκήηκαν στο σώμα είναι ίσο με την μεταβολή που παρουσίασε η κινητική ενέργεια του σώματος», δηλαδή K K = W ολ.

3 . Διατήρηση της Ενέργειας - - ο ΓΕΛ Πετρόυπολης γ) Κινητική ενέργεια συστήματος υλικών σημείων : Έχουμε ένα σύνολο από υλικά σημεία με μάζες m, m, m 3,..., m ν και ταχύτητες υ, υ, υ 3,..., υ ν αντίστοιχα. Σαν κινητική ενέργεια του συστήματος εωρούμε το άροισμα των κινητικών ενεργειών των υλικών σημείων, δηλαδή K = m υ + m υ + m υ m υ 4. Δυναμική Ενέργεια ολ ν ν α) Ορισμός : Δυναμική ενέργεια λέγεται η ενέργεια που έχουν αποηκευμένη τα σώματα που μπορούν να εκτελέσουν έργο και να μεταδώσουν κίνηση. β) Βαρυτική δυναμική ενέργεια : λέγεται η δυναμική ενέργεια που έχει ένα σώμα όταν βρίσκεται σε ορισμένο ύψος από το έδαφος και έχει βάρος. Έχουμε δείξει ότι το έργο του βάρους για μετακίνηση σώματος μάζας m από ύψος z σε ύψος z από το έδαφος είναι W () = mg(z z ) άρα W () = mgz mgz. Ονομάζοντας U = mgz δυναμική ενέργεια έχουμε W () = U U. Η ποσότητα U = mgz δίνει το έργο του βάρους για μετατόπιση z. Γενικεύοντας ορίζουμε σαν δυναμική βαρυτική ενέργεια ενός σώματος την ποσότητα U = mgz όπου z η απόσταση του σώματος από κάποια οριζόντια επιφάνεια αναφοράς. Από την W () = U U W w = ( U U ) W w = ΔU ΔU = W w. Δηλαδή η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας είναι αντίετη από το έργο του βάρους. γ) Δυναμική ενέργεια (γενίκευση) : Σε κάε σύστημα σωμάτων που αλληλεπιδρούν και οι αλληλεπιδράσεις περιγράφονται με διατηρητικές δυνάμεις αντιστοιχεί κάποια δυναμική ενέργεια. Η τιμή της μεταβάλλεται εφόσον τα σώματα παρουσιάσουν σχετική μετακίνηση. Οι μεταβολές της είναι αντίετες με το έργο των δυνάμεων που περιγράφουν την αλληλεπίδραση. Δηλαδή ΔU = W αλ. δ) Ελαστική δυναμική ενέργεια ελατήριου : εωρούμε ένα ελατήριο τεντωμένο ή συσπειρωμένο κατά από το φυσικό του μήκος. Για να ισορροπεί σε αυτή τη έση το ελατήριο πρέπει να ασκείται εξωτερική δύναμη που δίνεται από τον νόμο του Hooke εξ = k. Για μεταβολή της παραμόρφωσης από σε η εξωτερική δύναμη εκτελεί έργο το οποίο είναι W = k k. Aν δεχτούμε ότι η εξωτερική εξ( ) δύναμη ενεργεί αργά ώστε κατά την μεταβολή της παραμόρφωσης να έχουμε διαρκώς ισορροπία της εξωτερικής δύναμης και της δύναμης αλληλεπίδρασης από το ελατήριο, η μεταβολή της κινητικής ενέργειας είναι μηδέν. Από το εώρημα κινητικής ενέργειας έχουμε : ΔK = W εξ() + W αλ() = 0 W εξ() = W αλ(). Αλλά W εξ( ) = k k άρα W αλ( ) = k k W αλ( ) = k k W αλ() = U U. Ονομάσαμε U= k την ελαστική δυναμική ενέργεια του ελατήριου. Αυτή δίνει το έργο που έχει την δυνατότητα να εκτελέσει ένα παραμορφωμένο ελατήριο μέχρι να επανέλει στο φυσικό του μήκος ή το έργο που εκτελέσαμε για να γίνει αυτή η παραμόρφωση. ε) Δυναμική ενέργεια και ισορροπία : Ένα σώμα που βρίσκεται σε ασταή ισορροπία έχει την μέγιστη δυναμική ενέργεια και σε οποιαδήποτε μετατόπιση η δυναμική ενέργεια του μειώνεται. Ένα σώμα που βρίσκεται σε αδιάφορη ισορροπία έχει κάποια δυναμική ενέργεια και σε οποιαδήποτε μετατόπιση η ενέργεια αυτή παραμένει σταερή. Ένα σώμα που βρίσκεται σε ευσταή ισορροπία έχει την ελάχιστη δυναμική ενέργεια και σε οποιαδήποτε μετατόπιση η δυναμική του ενέργεια αυξάνεται. Γενικότερα ένα σύστημα, τα σώματα του οποίου αλληλεπιδρούν τείνει αυόρμητα να μεταπέσει σε μια κατάσταση στην οποία η δυναμική του ενέργεια α είναι ελάχιστη. 5. Μηχανική Ενέργεια α) Ορισμός : Μηχανική ενέργεια ( Ε ) ονομάζεται το άροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας ενός σώματος δηλαδή είναι : Ε = K + U Γενική ενότητα : Μεγέη που διατηρούνται

4 . Διατήρηση της Ενέργειας - - ο ΓΕΛ Πετρόυπολης β) Η μηχανική ενέργεια διατηρείται : Aν εωρήσουμε ένα σύστημα σωμάτων στο οποίο δρουν μόνο εσωτερικές διατηρητικές δυνάμεις έχουμε W ολ = ΔK και W αλ = ΔU και επιπλέον W ολ = W αλ. Άρα ΔK = ΔU K K = ( U U ) K K = U + U K + U = K + U E = Ε. Το τελευταίο συμπέρασμα είναι η μαηματική έκφραση της αρχής διατήρησης της μηχανικής ενέργειας «Σε κάε κλειστό σύστημα, στο οποίο εμφανίζονται μόνο εσωτερικές διατηρητικές δυνάμεις, το άροισμα της κινητικής και δυναμικής ενέργειας ( δηλαδή η μηχανική ενέργεια ) διατηρείται σταερό». 6. Ισχύς Απόδοση Μηχανής α) Ισχύς ( Ρ ) : ορίζεται το πηλίκο του έργου W που εκτελέστηκε σε κάποιο χρόνο t προς τον χρόνο W αυτό. Η ισχύς εκφράζει τον ρυμό με τον οποίο αποδίδεται η προσφέρεται ενέργεια. Δηλαδή P=. t Μονάδα ισχύος είναι το W ( Watt ) και W = J/s. Παρατήρηση : Για την ισχύ σταερής δύναμης έχουμε : Το έργο της δύναμης δίνεται από την σχέση W W = άρα η ισχύς είναι P= ή P= αλλά υ = άρα P = υ t t t β) Απόδοση μηχανής (α) : Η ισχύς που αποδίδει μια μηχανή όταν λειτουργεί ονομάζεται ωφέλιμη ισχύς (P ωφ ), ενώ η ισχύς με την οποία την τροφοδοτούμε ονομάζεται καταναλισκόμενη ισχύς (P κατ ). Συντελεστής απόδοσης μιας μηχανής ονομάζεται ο λόγος της ωφέλιμης ισχύος προς την καταναλισκόμενη ισχύ : Pωφ α =. Ισχύει πάντα 0 α. P δαπ. Σε σώμα μάζας m = 5 kg που αρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο ασκείται σταερή δύναμη με μέτρο = 50 N που σχηματίζει γωνία με την οριζόντια επιφάνεια. Για την γωνία ισχύει ημ = 0.6 και συν = 0.8. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος και επιφάνειας είναι μ = 0.5. Το σώμα μετατοπίζεται οριζόντια κατά = 0 m. Να βρεούν α) Το έργο κάε δύναμης που ασκείται στο σώμα, β) το αλγεβρικό άροισμα των έργων όλων των δυνάμεων, γ) η συνισταμένη δύναμη και δ) το έργο της συνισταμένης δύναμης και να συγκριεί με το αποτέλεσμα του (β). α) Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις : Το βάρος w, η δύναμη, η δύναμη στήριξης κ και η τριβή Τ. Η δύναμη αναλύεται στις συνιστώσες = συν και = ημ.στον άξονα έχουμε ισορροπία άρα Σ = 0 άρα + κ w = 0 ή κ = mg ημ ή κ = ή κ = 0 Ν. Για την τριβή έχουμε Τ = μ κ ή Τ = 0.50 ή Τ = 0 Ν. Τα έργα των δυνάμεων είναι : W = συν ή W = ή W = 400 J W w = 0 ( Το βάρος είναι κάετο στη μετατόπιση ) W = 0 ( Η δύναμη στήριξης είναι κάετη στη μετατόπιση ) κ W Τ = Τ ή W Τ = 00 ή W Τ = 00 J β) Είναι W ολ = W + W B + W κ + W T = ( 00 ) = 300 J γ) Επειδή Σ = 0 η συνισταμένη δύναμη είναι ίση με άρα ολ = Σ ή ολ = Τ ή ολ = συν Τ ή ολ = ή ολ = 30 Ν δ) W ολ = ολ ή W ολ = 300 ή W ολ = 300 J Τ k w Γενική ενότητα : Μεγέη που διατηρούνται

5 . Διατήρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης Παρατηρούμε ότι : Το αλγεβρικό άροισμα των έργων όλων των δυνάμεων είναι ίσο με το έργο της συνισταμένης δύναμης που ασκείται στο σώμα.. Το πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταεράς κ = 00 N/m είναι στερεωμένο σε σταερό σημείο. Στο κάτω άκρο κρέμεται ένα σώμα μάζας m = 4 kg και το κατεβάζουμε σιγά σιγά μέχρι να ηρεμήσει σε κάποια έση. α) Να βρεεί η επιμήκυνση του ελατηρίου αν δίνεται g = 0 m/s. β) Ασκούμε δύναμη στο σώμα και το μετατοπίζουμε σιγά σιγά προς τα κάτω κατά = 0, m. Να υπολογιστεί το έργο του βάρους και το έργο της δύναμης του ελατηρίου για αυτή τη μετατόπιση. α) Στη έση ισορροπίας στο σώμα ασκούνται : Το βάρος και η δύναμη από το ελατήριο. Από την mg συνήκη ισορροπίας έχουμε Σ = 0 ή w ελ = 0 ή mg = k ή = ή k 40 = ή = 0. m. 00 β) Για την μετατόπιση το έργο του βάρους είναι W w = mg ή W w = 400. ή W w = 4 J Το έργο της δύναμης του ελατηρίου είναι W = k ελ k. Αλλά = + = = 0.3 m άρα W = ή W ελ ελ = 5 J. 3. Σώμα μάζας m = kg μεταφέρεται από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου κλίσης, με ημ = 0,6 και συν = 0,8, στην κορυφή με την δράση δύναμης. Η δύναμη έχει μέτρο = 40 N και διεύυνση παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο με φορά προς τα πάνω. Ο συντελεστής τριβής ολίσησης ανάμεσα στο σώμα και το κεκλιμένο επίπεδο είναι μ = 0.5. Να βρεεί το έργο της κάε δύναμης για μετατόπιση = 0 m αν g = 0 m/s. Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις : Το βάρος w, η δύναμη, η δύναμη στήριξης από το δάπεδο κ, και η τριβή Τ. Θεωρούμε τον άξονα ( παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο ) και τον άξονα ( κάετο στον ). Αναλύουμε το βάρος σε δύο συνιστώσες την w = mgημ και την w = mgσυν, όπως στο σχήμα. Υπολογισμός τριβής : Η συνήκη ισορροπίας στον άξονα δίνει : Σ = 0 ή k w = 0 ή k = mgσυν ή k = 00.8 ή k = 6 Ν Για την τριβή ισχύει Τ = μ k ή Τ = 0.56 ή Τ = 8 Ν. Υπολογισμός έργων των δυνάμεων : Για το έργο της κάε δύναμης έχουμε : w Δύναμη : W = συν0 0 ή W = 400 ή W = 400 J Βάρος w : W = W + W ή W = mgημ + 0 ή W = ή W = 0 J w w Τριβή Τ : W = Τ ή Τ = 80 ή Τ = 80 J Δύναμη στήριξης k : W = 0 ( γιατί η δύναμη είναι κάετη στη μετατόπιση ) 4. Σε σώμα με μάζα m = 0 kg που αρχικά ηρεμεί σε οριζόντια επιφάνεια ασκείται οριζόντια δύναμη μέτρου = 60 Ν. Ο συντελεστής τριβής ολίσησης μεταξύ του σώματος και του επιπέδου είναι μ = 0.. Να βρεεί η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που έχει διανύσει απόσταση = 8 m. Δίνεται g = 0 m/s. Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις που φαίνονται στο σχήμα. Υπολογισμός τριβής : Στον άξονα το σώμα ισορροπεί άρα Σ = 0 επομένως k w = 0 άρα k = mg. Για την τριβή ισχύει Τ = μ k άρα Τ = μmg ή Τ = 0.00 ή Τ = 0 Ν T w k w Γενική ενότητα : Μεγέη που διατηρούνται

6 . Διατήρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης Θεώρημα της κινητικής ενέργειας : mυ 0 = W + W T + W w + W k Κ Κ = W ολ άρα Υπολογισμός έργων των δυνάμεων : W = ή W = 608 άρα W = 480 J W Τ = Τ ή W Τ = 08 άρα W Τ = 60 J W = W = 0 w k mυ = W + W + W + W T w k άρα υ = W + W + W + W T w k m άρα υ = ή υ = 8 m/s. 5. Κατακόρυφο ελατήριο σταεράς κ είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο του. Στο πάνω άκρο του προσέτουμε σώμα μάζας m = kg και το συγκρατούμε ώστε το ελατήριο να είναι συμπιεσμένο κατά = 0.3 m. Όταν αφήσουμε ελεύερο το σώμα, τότε αυτό κινείται προς τα πάνω και φάνει σε ύψος h = 0.4 m πάνω από την αρχική του έση. Να βρεεί η σταερά k του ελατηρίου. Δίνεται g = 0 m/s. Παραμορφώσεις του ελατηρίου : Στην αρχική έση το ελατήριο είναι συμπιεσμένο κατά. Στην τελική έση το ελατήριο έχει επιμηκυνεί κατά = h = άρα = 0. m. Οι παραμορφώσεις του ελατηρίου είναι πάντα μετρημένες από το φυσικό του μήκος!!! Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις : Το βάρος του και η δύναμη από το ελατήριο. Θεώρημα της κινητικής ενέργειας : Κ Κ = W ολ άρα 0 0 = W + W ελ w Υπολογισμός έργων των δυνάμεων : W = k k ελ W w = mgh W ελ + W w = 0 άρα k + mgh = 0 k ή k = mgh mgh 00,4 άρα k = ήk = επομένως k = 00 Ν/m Προσδένουμε ένα μικρό σώμα μάζας m = kg στην άκρη νήματος με μήκος = 0,4 m. Κρατάμε το νήμα τεντωμένο ώστε να σχηματίζει γωνία = 60 0 με τη κατακόρυφο. Αφήνουμε το σώμα ελεύερο να κινηεί. Να βρεεί η ταχύτητα του σώματος όταν διέρχεται από τη χαμηλότερη έση της τροχιά του. Τ Ο Δίνεται g = 0 m/s 0. Α Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις : Το βάρος και η τάση του νήματος ( Η h Τ τάση μεταβάλλεται συνέχεια κατά την κίνηση του σώματος, αλλά είναι υ πάντα κάετη στη μετατόπιση γιατί έχει τη κατεύυνση της ακτίνας, άρα Γ w δεν εκτελεί έργο ). Επειδή η μόνη δύναμη που εκτελεί έργο στο σώμα είναι το βάρος, η μηχανική ενέργεια του συστήματος διατηρείται. Αν εωρήσουμε σαν επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας την κατώτερη έση του σώματος έχουμε : h Ε ( Α ) = Ε ( Γ ) άρα Κ Α + U A = K Γ + U Γ ή 0 + mgh = mυ + 0 άρα υ = gh Υπολογισμός της υψομετρικής διαφοράς : Από το τρίγωνο ΟΑΔ το τμήμα OΔ είναι : OΔ = ΑΟσυν επομένως OΔ = συν. Για το h είναι : h = OΓ ΟΔ άρα h = συν ή h = ( συν) Γενική ενότητα : Μεγέη που διατηρούνται

7 . Διατήρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης Η μέοδος αυτή χρησιμοποιείται στις περισσότερες περιπτώσεις που απαιτείται η υψομετρική διαφορά δύο έσεων στην κίνηση εκκρεμούς. Από τις σχέσεις και έχουμε : υ = g συν ή υ = 0 0,4 0, 5 ή υ = m/s. 7. Ένα σώμα μάζας m = kg ισορροπεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο έχει μ = 0,5. Ασκούμε στο σώμα δύναμη, που η τιμή της μεταβάλλεται σε συνάρτηση με τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της, σύμφωνα με τη σχέση = ( σε m, σε N ). Να υπολογίσετε : α. Κατά πόσο α μετακινηεί το σώμα, πριν εγκαταλείψει το οριζόντιο επίπεδο ; β. Την ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που εγκαταλείπει το οριζόντιο επίπεδο. Δίνεται : ημ = 0,8, συν = 0,6 και g = 0 m/s. α. Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις : το βάρος w, η κάετη αντίδραση N, η δύναμη της τριβής Τ και η δύναμη. Αναλύουμε τη δύναμη στις συνιστώσες : = ,6 άρα = (S.I.) = συν ή = ημ ή = ,8 άρα = (S.I.) Στον άξονα το σώμα ισορροπεί, άρα Σ = 0 ή Ν + w = 0 άρα N = 4 (S.I.). Ν = mg επομένως Ν = 0 m/s ( ) N άρα Η τριβή δίνεται από τον νόμο της τριβής ολίσησης Τ = μν ή Τ = 0,5 4 (S.I.) άρα Το σώμα εγκαταλείπει το οριζόντιο επίπεδο όταν Ν = 0 άρα 4 = 0 άρα = 3 m. Τ = 3 (S.I.) β. Θα εφαρμόσουμε το εώρημα έργου ενέργειας για μετατόπιση του σώματος κατά Δ = 3 m άρα K τελ K αρχ = W ολ, όπου K = mυ και K = 0 τελ αρχ Σ = Η συνισταμένη δύναμη στον άξονα των είναι Σ = T άρα λόγω της έχουμε άρα Σ = (S.I.) Το έργο της συνισταμένης δύναμης για μετατόπιση = 3 m α υπολογιστεί από το διάγραμμα Σ. Σ = (S.I.) Για = 0 είναι Σ = 3 N (N) Για = 3 m είναι Σ = 5 N 5 Είναι Από το διάγραμμα W = Από τις σχέσεις έχουμε υ = 7 J kg ολ επομένως υ = 3 3 m/s άρα W ολ = 7 J. mυ 0 = Wολ άρα Wολ υ = m ή Wολ υ = m άρα 3 0 T N m w W ολ 3 (m). Σε σώμα μάζας m = 0 kg που αρχικά ισορροπεί σε λείο και οριζόντιο δάπεδο ασκείται σταερή οριζόντια δύναμη που το μετακινεί για χρόνο t = 0 s με επιτάχυνση α = 0,5 m/s. Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης που ασκείται στο σώμα.. Σε σώμα μάζας m = kg, που ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο ασκείται στην αρχή μέτρησης των χρόνων σταερή οριζόντια δύναμη = 0 N. Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης από τη χρονική Γενική ενότητα : Μεγέη που διατηρούνται

8 . Διατήρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης στιγμή t = 5 s μέχρι τη χρονική στιγμή t = 0 s, αν ο συντελεστής τριβής σώματος επιπέδου είναι μ = 0,. Δίνεται g = 0 m/s. 3. Σε σώμα μάζας m = 5 kg που ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, ασκείται οριζόντια δύναμη = 5 N και το μετατοπίζει κατά διάστημα = m. Στη συνέχεια καταργείται η δύναμη και το σώμα διανύει διάστημα = 3 m μέχρι να σταματήσει. Να υπολογιστεί ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος και επιπέδου. Δίνεται g = 0 m/s. 4. Σώμα μάζας m = 5 kg ολισαίνει με σταερή ταχύτητα κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ = 30 ο με την επίδραση δύο δυνάμεων με μέτρα και όπως στο σχήμα. Αν ο συντελεστής τριβής σώματος κεκλιμένου επιπέδου είναι μ = 3 /5 να υπολογιστεί το έργο κάε δύναμης καώς και το συνολικό έργο, για μετατόπιση του σώματος κατά = m. Δίνεται = 00 Ν και g = 0 m/s. 5. Σώμα μάζας m = 0 kg ξεκινάει από την ηρεμία, σε οριζόντιο δάπεδο με την επίδραση σταερής οριζόντιας δύναμης = 30 N. Το σώμα αποκτά ταχύτητα υ = 0 m/s όταν μετατοπιστεί κατά = 0 m από την αρχική έση. Να εξεταστεί αν υπάρχει τριβή και να υπολογιστεί ο συντελεστής τριβής. Δίνεται το g = 0 m/s. 6. Σώμα μάζας m αφήνεται από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου ύψους h = 5 m. Το σώμα ολισαίνει, φτάνει στο οριζόντιο επίπεδο, συνεχίζει την κίνησή του και τελικά σταματά σε σημείο Δ. Αν η απόσταση του Δ από την προβολή του σημείου που αφήνεται το σώμα στο κεκλιμένο επίπεδο απέχει απόσταση d = 0 m να υπολογιστεί ο συντελεστής τριβής μ, αν είναι ο ίδιος για όλες τις επιφάνειες. 7. Σώμα μάζας m = 0,kg βάλλεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ 0 = 00 m/s. Σε κάποιο ύψος της κατακόρυφου συναντάει στρώμα παραφίνης πάχους d = cm, το οποίο διαπερνά και τελικά το σώμα ανέρχεται σε ύψος h = 400 m από το σημείο εκτόξευσης. Να υπολογιστεί η δύναμη που άσκησε η παραφίνη στο σώμα αν εωρηεί σταερή. Δίνεται g = 0 m/s. 8. Σώμα βάρους w = 00 Ν βρίσκεται σε οριζόντιο δάπεδο και ηρεμεί. Στο σώμα ασκείται οριζόντια δύναμη = 30 N και μετακινεί το σώμα και = 4 m και στη συνέχεια παύει να ενεργεί στο σώμα. Το σώμα μετατοπίζεται ακόμη κατά = m και σταματάει. α. Να υπολογιστεί ο συντελεστής τριβής σώματος δαπέδου, β. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις υ = f( t ), α = f( t ) και = f( t ). 9. Σώμα μάζας m εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα υ ο κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνιακής κλίσης φ, με το οποίο παρουσιάζει τριβή με συντελεστή τριβής μ. Αν εφφ > μ, να υπολογίσετε την απώλεια ενέργειας ΔΕ μέχρι το σώμα να επιστρέψει στο σημείο από το οποίο εκτοξεύτηκε. 0. Σε ελατήριο εφαρμόζουμε δύναμη = 50 N και επιμηκύνεται κατά Δl = 0, m. Πόση δυναμική ενέργεια έχει το ίδιο ελατήριο, όταν επιμηκυνεί από δύναμη = 80 N.. Ελατήριο έχει φυσικό μήκος l o = 0,3 m και σταερά k = 0 3 N/m. Μια δύναμη αυξάνει το μήκος του ελατηρίου από l = 0,5 m σε l = 0,6 m. Πόσο έργο παράγει αυτή η δύναμη ;. Στο ελατήριο δυναμόμετρου εφαρμόζουμε δύναμη = 00 N και τότε το ελατήριο επιμηκύνεται κατά. Στο ελατήριο του ίδιου δυναμόμετρου εφαρμόζουμε μαζί με την και μια άλλη δύναμη = 00 N που προκαλεί αύξηση της επιμήκυνσης του ελατηρίου κατά = 0 cm. α. Πόσο έργο παράγεται κατά τη δεύτερη επιμήκυνση του ελατήριου β. πόση είναι η ολική ενέργεια του τεντωμένου ελατηρίου. 3. Σφαίρα μάζας m = 0,5 kg αφήνεται να πέσει από ύψος h = m πάνω από το έδαφος. Σε ύψος h = m από το έδαφος συναντά στρώμα παραφίνης πάχους s = m το οποίο διαπερνά και βγαίνει από αυτό με υ = 4 m/s, ενώ στη συνέχεια πέφτει στο έδαφος. Ζητείται : α. η απώλεια ενέργειας της σφαίρας μέσα στην παραφίνη. β. η ταχύτητα υ με την οποία η σφαίρα πέφτει στο έδαφος και γ. η αντίσταση της παραφίνης αν εωρηεί σταερή. Δίνεται g = 0 m/s. Γενική ενότητα : Μεγέη που διατηρούνται φ

9 . Διατήρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης 4. Αυτοκίνητο μάζας m = 000 kg και ισχύος Ρ = 0 kw, αποκτά μέγιστη ταχύτητα υ = 7 km/h. Να υπολογιστεί η μέγιστη επιτάχυνση α με την οποία μπορεί να κινηεί το αυτοκίνητο. Γενική ενότητα : Μεγέη που διατηρούνται