1. Διανυσματικός Λογισμός Επανάληψη (Vector Calculus)
|
|
- Ἄννα Χατζηιωάννου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 . Διανυσματικός Λογισμός Επανάληψη (ecto Clculus) Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη (scl nd vecto quntities) Η διανυσματική ανάλυση είναι μαθηματικό εγαλείο με το οποίο οι ηλεκτομαγνητικές έννοιες εκάζονται πιο βολικά και κατανοούνται καλύτεα. Πέπει πώτα να μάθουμε τους κανόνες και τις τεχνικές της ποτού να μποέσουμε με βεβαιότητα να την εαμόσουμε. Πιο κάτω εισάγουμε τις βασικές έννοιες του διανυσματικού λογισμού στα κατεσιανά και άλλα ισότιμα συστήματα. Βαθμωτό λέγεται κάθε υσικό μέγεθος που καθοίζεται τελείως όταν είναι γνωστή η αιθμητική του τιμή και η μονάδα μετήσεως (μάζα, απόσταση, θεμοκασία). Διανυσματικό λέγεται το υσικό μέγεθος που για τον καθοισμό του χειάζονται εκτός από το μέτο δύο επιπλέον στοιχεία, η κατεύθυνση και η οά (ταχύτητα, μετατόπιση, ένταση ηλεκτικών πεδίων). Μοναδιαίο διάνυσμα: λέγεται το διάνυσμα του οποίου το μέτο είναι ίσον με ένα (π.χ. ) και η κατεύθυνσή του είναι κατά μήκος του Α. Το μέτο του Α δίνεται από το τύπο A A A A
2 Πόσθεση και ααίεση διανυσμάτων Δύο διανύσματα Α και Β μποούν να ποστεθούν και να δώσουν ένα άλλο διάνυσμα Γ όπου ΓΑ Β. Η πάξη γίνεται συνιστώσα με συνιστώσα π.χ. αν Α(Α χ,α,a ) και Β(Β χ,β,b ) τότε Γ (Α χ Β χ ) (Α B ) (A B ). Η ίδια διαδικασία ισχύει και για την ααίεση διανυσμάτων. Πόσθεση Πολλαπλασιασμός - ΑΒΒΑ - καακ - Α(ΒΓ)(ΑΒ)Γ - κ(α)(κ)α - κ(αβ)κακβ όπου κ και είναι βαθμωτά μεγέθη. B A C A C B Πόσθεση Ααίεση
3 Διάνυσμα θέσης και απόστασης (Position nd Distnce ectos) Διάνυσμα θέσης: Ένα σημείο Ρ στις κατεσιανές συντεταγμένες μποεί να αντιποσωπευθεί με (,,). Το διάνυσμα θέσης οίζεται ως η κατευθείαν απόσταση από το σημείο αναοάς στο σημείο Ρ το οποίο είναι p OP Το σημείο (3,4,5), για παάδειγμα, και το διάνυσμα θέσης του 3 χ 4 5 αίνονται στο πιο κάτω σχήμα. Διάνυσμα Απόστασης: Αν έχουμε δύο σημεία, Ρ ( p, p, p ) και Q ( Q, Q, Q ), το διάνυσμα απόστασης είναι η απόσταση από το Ρ στο Q όπως αίνεται στο πιο κάτω σχήμα. P P PQ Q Ο Q 3
4 Παάδειγμα. Αν Α και Β, υπολογίστε (α) τη συνιστώσα του Α στη κατεύθυνση του (β) το μέτο του 3Α Β (γ) ένα μοναδιαίο διάνυσμα στη κατεύθυνση του Α Β. (sd. p9) 4
5 Παάδειγμα. Τα σημεία Ρ και Q βίσκονται στο (0,,4) και (-3,,5) αντίστοιχα. Υπολογίστε (α) Το διάνυσμα θέσης του P (β) Το διάνυσμα απόστασης απó το Ρ στο Q (γ) Την απόσταση μεταξύ Ρ και Q (δ) Ένα διάνυσμα παάλληλο του ΡQ με μέτο 0. (sd. p 0) 5
6 Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων (ecto multipliction) Όταν πολλαπλασιάζουμε δύο διανύσματα Α και Β το αποτέλεσμα είναι είτε βαθμωτό είτε διάνυσμα, εξατώμενο πάντα από τον τόπο που γίνεται ο πολλαπλασιασμός. Οι δύο τόποι για πολλαπλασιασμό διανυσμάτων είναι: (α) Εσωτεικό γινόμενο (dot poduct) A B AB cos( θ AB ) Επίσης ισχύουν τα εξής: Α. Β Β. Α Α. (Β Γ) Α. Β Α. Γ (β) Εξωτεικό γινόμενο (coss poduct) A B ABsin( θ AB ) A B όπου k είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που πειλαμβάνει τα σημεία Α, Β και το σημείο αναοάς όπως αίνεται στο πιο κάτω σχήμα. A B A B A B k 6
7 Επίσης Α B B A A B -B A A (B Γ) (A B) Γ Α (B Γ) Α B A Γ Α A 0 Τιπλό εσωτεικό γινόμενο (scl tiple poduct) A. (B Γ) Β. (Γ A) Γ. (A B) όπου Α. (Β Γ) A B A B A B Γ Γ Γ Τιπλό εξωτεικό γινόμενο (vecto tiple poduct) A (B Γ) B (A. Γ) Γ (A. B) 7
8 Παάδειγμα.3 Δίνονται τα διανύσματα Α 3 4 και Β 5. Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ Α και Β. (sd.5 p8) 8
9 Παάδειγμα.4 Δίνονται τία μεγέθη πεδίων Ρ - Σ T 3 Υπολογίστε (α) (Ρ Σ) (Ρ Σ) (β) Σ. Τ Ρ (γ) Ρ. Σ Τ (δ) sin(θ ΣΤ ) (ε) Ρ (Σ Τ) (στ) ένα μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο Σ και στο Τ (ζ) τη συνιστώσα του Ρ στη κατεύθυνση του Σ. (s.d.6 p9) 9
10 0
11 Συστήματα Συντεταγμένων και μετασχηματισμός (Coodinte Sstems nd Tnsfomtion) Γενικά, τα υσικά μεγέθη που θα εξετάζουμε στον ηλεκτομαγνητισμό, είναι συνατήσεις του διαστήματος και του χόνου. Ποκειμένου να πειγαούν οι μεταβολές των μεγεθών στο χώο, πέπει να είμαστε σε θέση να καθοίσουμε όλα τα σημεία μεμονωμένα στο διάστημα κατά τόπο κατάλληλο. Αυτό απαιτεί ένα κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων. Παακάτω θα πειοιστούμε στα τία πιό γνωστά συστήματα συντεταγμένων: κατεσιανό (Ctesin), κυκλικό κυλινδικό (cicul clindicl) και το σαιικό (spheicl). Κατεσιανές συντεταγμένες (Ctesin Coodintes) Ένα σημείο Ρ μποούμε να το παουσιάσουμε ως (,,). Ένα διάνυσμα Α, σε κατεσιανές συντεταγμένες, μποεί να γατεί ως (Α,A,A ) ή A A A Κυκλικές κυλινδικές συντεταγμένες (Cicul Clindicl Coodintes) Το κυκλικό κυλινδικό σύστημα συντεταγμένων είναι πολύ βολικό όταν έχουμε να κάνουμε με ποβλήματα που έχουν κυλινδική συμμετία. Ένα σημείο Ρ σε κυλινδικές συντεταγμένες γάεται ως (,,) και αίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Από το σχήμα μποούμε να δούμε ότι το είναι η ακτίνα του κυλίνδου, το είναι η γωνία που μετιέται από τον άξονα στο επίπεδο και το είναι το ίδιο όπως στις κατεσιανές συντεταγμένες. Ένα διάνυσμα Α μποεί να γατεί ως (Α,Α,Α ) ή Α Α Α
12 Η σχέση μεταξύ των μεταβλητών (,,,) του κατεσιανού συστήματος συντεταγμένων και του κυλινδικού συστήματος (,,) είναι: tn,, cos, sin ή,
13 Σαιικές συντεταγμένες (Spheicl Coodintes) Το σύστημα σαιικών συντεταγμένων είναι πιο βολικό όταν έχουμε να κάνουμε με ποβλήματα που έχουν κάποιο βαθμό σαιικής συμμετίας. Ένα σημείο Ρ μποεί να γατεί ως (,θ,) όπως αίνεται πιο κάτω σχήμα. Από το σχήμα βλέπουμε ότι το είναι η απόσταση από το σημείο αναοάς στο σημείο Ρ, το θ είναι η γωνία μεταξύ του άξονα και το διάνυσμα θέσης του Ρ και το είναι η γωνία που μετιέται από τον άξονα στο επίπεδο. Ένα διάνυσμα Α μποεί να γατεί ως (Α,Α θ,α ) ή Α Α θ θ Α Η σχέση μεταξύ των μεταβλητών (,,,) του κατεσιανού συστήματος συντεταγμένων και του σαιικού συστήματος (,θ,) είναι: ή, θ tn, tn sinθ cos, sin θ sin, cosθ 3
14 4
15 Παάδειγμα.5 Δίνεται το σημείο Ρ (-,6,3). Εκάστε το Ρ σε κυλινδικές και σαιικές συντεταγμένες. (sd. p40) 5
16 Παάδειγμα.6 Εκάστε το διάνυσμα 0 B cosθ σε κατεσιανές και κυλινδικές συντεταγμένες. Υπολογίστε το Β(-3,4,0) και το Β(5, π,-). (sd. p43) θ 6
17 Διανυσματικός Λογισμός (ecto clculus) Οι έννοιες που εισάγονται πιο κάτω παέχουν την κατάλληλη γλώσσα για να εκάσουν οισμένες θεμελιώδεις ιδέες στην ηλεκτομαγνητική ή τα μαθηματικά γενικά. Διαοικό μήκος, εμβαδόν και όγκος (Diffeentil length, e, nd volume) Διαοικό μήκος, εμβαδόν και όγκος είναι χήσιμα στο διανυσματικό λογισμό. Καθοίζονται στα κατεσιανά, κυλινδικά, και σαιικά συστήματα συντεταγμένων. Κατεσιανές συντεταγμένες (Ctesin Coodintes) Το διαοικό μήκος είναι dl d d d Το διαοικό κάθετο εμβαδόν είναι ds ds ds dd dd dd Ο διαοικός όγκος είναι dv ddd Σημείωση: dl και ds είναι διανύσματα όμως το dv είναι βαθμωτό όπως βλέπουμε στο πιο κάτω σχήμα. 7
18 8
19 Kυλινδικές συντεταγμένες (Clindicl coodintes) Το διαοικό μήκος είναι dl d d d Το διαοικό κάθετο εμβαδόν είναι ds ds ds dd dd dd Ο διαοικός όγκος είναι dv dd d 9
20 Σαιικές συντεταγμένες (spheicl coodintes) Το διαοικό μήκος είναι dl d dθ θ sinθd ds sinθdθd Το διαοικό κάθετο εμβαδόν είναι ds ds sinθdd ddθ θ Ο διαοικός όγκος είναι dv sinθddθd 0
21 Ολοκληώματα επικαμπύλια, επιάνειας και όγκου (Line, sufce, nd volume integls). Επικαμπύλιο Ολοκλήωμα (Line Integl) Δίνεται το διανυσματικό πεδίο Α και η καμπύλη L, καθοίζουμε το ολοκλήωμα L A. dl b A cosθdl ως το επικαμπύλιο ολοκλήωμα (line integl) του Α γύω από την L. Αν η ποεία του ολοκληώματος είναι μία κλειστή καμπύλη η πιο πάνω εξίσωση γίνεται L A.dl όπου ονομάζεται η κυκλοοία (cicultion) του Α γύω από την L.
22 Ολοκλήωμα Επιάνειας (Sufce Integl) Δίνεται το διανυσματικό πεδίο Α, σε μια πειοχή που πειέχει την επιάνεια S. Καθοίζουμε το ολοκλήωμα επιάνειας (sufce integl) ως Ψ S A cosθ ds S A. n ds ή πιο απλά Ψ S A. ds Ολοκλήωμα Όγκου (olume Integl) Επίσης καθοίζουμε το ολοκλήωμα vdv v ως το ολοκλήωμα όγκου (volume integl) του βαθμωτού v γύω από τον όγκο.
23 Παάδειγμα.7 Δίνεται F - -. Υπολογίστε την κυκλοοία (cicultion) του F γύω από την (κλειστή) ποεία όπως αίνεται στο πιο κάτω σχήμα. (sd 3. p67) 3
24 4
25 5 Τελεστής Ανάδελτα (Del opeto) Γάεται και είναι διανυσματικός διαοικός τελεστής (vecto diffeentil opeto) Σε κατεσιανές συντεταγμένες γάεται Αυτός ο διανυσματικός διαοικός τελεστής δεν είναι ένα διάνυσμα, αλλά όταν λειτουγεί σε μια βαθμωτή συνάτηση το αποτέλεσμα είναι ένα διάνυσμα. Η κλίση ενός βαθμωτού, γάεται Σε κυλινδικές συντεταγμένες ο τελεστής Ανάδελτα (Del opeto) γάεται α Σε σαιικές συντεταγμένες ο τελεστής Ανάδελτα (Del opeto) γάεται θ θ sin θ
26 6 Κλίση ενός βαθμωτού πεδίου (Gdient of scl) Εξ οισμού, η κλίση ενός βαθμωτού πεδίου είναι ένα διάνυσμα που αντιποσωπεύει και το μέγεθος και την κατεύθυνση του μέγιστου ποσοστού αύξησης του στο χώο. Σε κατεσιανές συντεταγμένες gd Σε κυλινδικές συντεταγμένες Σε σαιικές συντεταγμένες θ θ θ sin
27 Παάδειγμα.8 Υπολογίστε την κλίση (gd) των πιο κάτω βαθμωτών πεδίων: (α) e sin cosh (β) U cos (γ) W 0 sin θ cos (sd 3.3 p73) 7
28 Απόκλιση ενός διανύσματος και θεώημα απόκλισης (Divegence of vecto nd divegence theoem) Από ποηγουμένως έχουμε παατηήσει ότι η καθαή εκοή της οής ενός διανυσματικού πεδίου Α από μια κλειστή επιάνεια S λαμβάνεται από το ολοκλήωμα A. ds Τώα καθοίζουμε την απόκλιση του Α (div A) ως την καθαή εκοή πος τα έξω για κάθε μονάδα όγκου όταν ο όγκος τείνει στο 0. diva. A lim Δ 0 S A. ds Δ όπου Δ είναι ο εσωκλειόμενος όγκος από την κλειστή επιάνεια S. Η απόκλιση του Α σε ένα σημείο Ρ( o, o, o ) σε κατεσιανές συντεταγμένες είναι:. A A A A Σε κυλινδικές συντεταγμένες είναι:.a ( Α ) A A Σε σαιικές συντεταγμένες είναι:. A ( A ) ( Αθ sinθ ) sinθ θ Α sinθ 8
29 Θεώημα απόκλισης S A. ds. Adv Ιδιότητες της απόκλισης ενός διανυσματικού πεδίου.το αποτέλεσμα της απόκλισης ενός διανυσματικού πεδίου είναι βαθμωτό πεδίο..η απόκλιση ενός βαθμωτού δεν έχει νόημα. 3..( A B). A. B 9
30 Παάδειγμα.9 Υπολογίστε την απόκλιση των πιο κάτω διανυσματικών πεδίων: (α) Ρ (β) Q sin cos (γ) Τ cosθ sin θ cos θ cosθ. (sd 3.6 p79) 30
31 Παάδειγμα.0 Αν G()0e - ( ), υπολογίστε τη οή του G έξω από ολόκληη την επιάνεια του κυλίνδου, 0. Επιβεβαιώστε το αποτέλεσμα χησιμοποιώντας το θεώημα της απόκλισης. (Βλέπετε πιο κάτω σχήμα) (sd 3.7 p80) Ψ G ds Ψt Ψb Ψs Για Ψt, ds dd( ) Ψ t Για Ψ b Για Ψ s t G ds π 0 0 0e dd Ψb 0, ds d d ) s G ds b π 0 0 ( 0 0 0e dd Ψ, ds dd ) Ψ G ds s π 0 0 G ds Ψ 0e t Ψ b ( dd Ψ s 0e 0 0 0πe (π ) d 0e (π ) 0(π ) d 0(π ) 0e 0 0 0πe 0π e () (π ) d 0(π ) 0π 0π ( e ) 0 0 0π ( e ) 3
32 Χησιμοποιώντας το θεώημα της απόκλισης (αού έχουμε κλειστή επιάνεια) Ψ G ds ( G)d Όμως G Το G δεν έχει πηγή Ψ G d ( G ) ( G ) ( G ) ( 0e ) ( 0e ) 0e 0e 0 ( ) 0 3
33 Πειστοή ενός διανύσματος και το θεώημα του Stoke (Cul of vecto nd Stoke s Theoem) Καθοίζουμε την πειστοή (Cul) του Α ως αξονικό διάνυσμα του οποίου το μέγεθος είναι η μέγιστη κυκλοοία του Α ανά μονάδα εμβαδού καθώς το εμβαδόν τείνει στο μηδέν και η κατεύθυνση του είναι η κάθετη κατεύθυνση του εμβαδού όταν το εμβαδόν είναι ποσανατολισμένο έτσι ώστε να γίνει η κυκλοοία μέγιστη. cula A lim ΔS 0 L A. dl ΔS α n όπου ΔS είναι το εμβαδόν που καθοίζεται από την καμπύλη L και n το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στην επιάνεια ΔS. Σε κατεσιανές συντεταγμένες το cul του Α μποούμε εύκολα να το βούμε χησιμοποιώντας A A A Σε κυλινδικές συντεταγμένες το cul του Α μποούμε εύκολα να το βούμε χησιμοποιώντας A A A A A 33
34 Σε σαιικές συντεταγμένες το cul του Α μποούμε εύκολα να το βούμε χησιμοποιώντας A sinθ θ θ θ sinθ A A sinθa Ιδιότητες του cul:. Το cul ενός διανυσματικού πεδίου έχει ως αποτέλεσμα ένα άλλο διανυσματικό πεδίο.. Το cul ενός βαθμωτού πεδίου δεν έχει νόημα 3. ( A B) A B 4. ( A B) A(. B) B(. A) ( B. A) ( A. ) B 5..( A ) Θεώημα του Stoke. dl ( L A A). ds S 34
35 35 Παάδειγμα. Υπολογίστε το cul των πιο κάτω διανυσματικών πεδίων: (α) Ρ (β) Q sin cos (γ) Τ θ θ θ θ cos cos sin cos. (sd 3.8 p87) (α) P P P P P P P ( ) ( ) ( ) ( ) (β) ( ) Q Q Q Q Q Q Q ( ) ( ) cos sin ( ) ( ) 3 cos 3 sin (γ) ( ) ( ) ( ) T T T T T T T sin sin sin ( ) ( ) ( ) ( ) cos sin cos cos cos sin sin cos sin cos sin ( ) ( ) sin sin cos cos 0 sin sin cos sin
36 cos sin cos sin sinθcos 3 36
37 Παάδειγμα. Αν Αcos sin, υπολογίστε το A. dl γύω από την ποεία της καμπύλης, όπως αίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Επιβεβαιώστε την απάντηση σας χησιμοποιώντας το θεώημα του Stoke. (sd 3.9 p89) 37
38 38
39 39 Το Λαπλασιανό ενός βαθμωτού (The Lplcin of scl) Το Λαπλασιανό ενός βαθμωτού πεδίου, το οποίο γάεται ως, οίζεται ως η απόκλιση της κλίσης του (the divegence of the gdient of ). Σε κατεσιανές συντεταγμένες γάεται ως Σε κυλινδικές συντεταγμένες γάεται ως Σε σαιικές συντεταγμένες γάεται ως sin sin sin θ θ θ θ θ
40 Εξίσωση του Λαπλάς (Lplce s eqution) 0 Έχουμε εξετάσει μόνο το Lplcin ενός βαθμωτού. Μποούμε επίσης να καθοίσουμε το Λαπλασιανό ενός διανύσματος, το οποίο γάεται A. A ( A) A 40
41 Παάδειγμα.3 Υπολογίστε τα Λαπλασιανά των πιο κάτω βαθμωτών πεδίων: (α) e sin cosh (β) U cos (γ) W 0 sin θ cos. (sd 3. p93) 4
42 Ταξινόμηση διανυσματικών πεδίων (ecto field clssifiction) Ένα διανυσματικό πεδίο χαακτηίζεται από την απόκλισή του (divegence) και την πειστοή του (cul), για αυτό όλα τα διανυσματικά πεδία μποούν να ταξινομηθούν σε σχέση με το αν μηδενίζεται ή όχι η απόκλιση τους ή το cul τους. Π.χ. (α). A 0, A 0 (β). A 0, A 0 (γ). A 0, A 0 (δ). A 0, A 0 Σωληνοειδές (solenoidl) : για ένα συγκεκιμένο διανυσματικό πεδίο Α, αν το. A 0 (η απόκλιση είναι ίση με μηδέν) τότε το Α ονομάζεται σωληνοειδές και οι γαμμές οής (flu lines) του Α που μπαίνουν σε μια κλειστή επιάνεια πέπει και να βγουν όπως αίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Αστόβιλο ή συντηητικό (iottionl o consevtive): για ένα συγκεκιμένο διανυσματικό πεδίο Α, αν το A 0 (το cul του είναι ίσο με μηδέν) τότε το Α ονομάζεται αστόβιλο (iottionl) όπως αίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Eπίσης το επικαμπύλιο ολοκλήωμα του Α είναι ανεξάτητο από την ποεία (independent of pth).. A 0 A 0 A k. A 0 A 0 A k. A 3k A 0. A 0 A 0 A k. A 0 A k. A 0 A 0 A k c. A 3c A k 4
43 Παάδειγμα.4 Να αποδείξετε ότι το διανυσματικό πεδίο Α είναι συντηητικό (consevtive) αν το Α έχει μία από τις δύο πιο κάτω ιδιότητες: (α) Το επικαμπύλιο ολοκλήωμα της εαπτόμενης συνιστώσας του Α σε μία ποεία που ξεκινά από το σημείο Ρ και καταλήγει στο Q είναι ανεξάτητο της ποείας που ακολουθείται. (β) Το επικαμπύλιο ολοκλήωμα της εαπτόμενης συνιστώσας του Α γύω από όποια κλειστή ποεία είναι 0. (sd 3. p96) 43
Διάνυσμα μετατόπισης. Στοιχεία Διανυσματικής Ανάλυσης
Στοιχεία Διανυσματικής νάλυσης Συστήματα Συντεταγμένων (D) Διανυσματικά και αμωτά Μεγέη Πάξεις και ιδιότητες διανυσμάτων Διανυσματικές συνατήσεις Πααγώγιση Διανυσματικών συνατήσεων Ολοκλήωση Διανυσματικών
Διαβάστε περισσότεραH 2 + x 2 cos ϕ. cos ϕ dϕ =
. Άπειη γαμμική κατανομή ϕοτίου λ Θεωούμε την γαμμική κατανομή ϕοτίου στον άξονα των x και ζητάμε το ηλεκτικό πεδίο στο σημείο A που απέχει από την κατανομή. Το στοιχειώδες τμήμα dx της κατανομής στη θέση
Διαβάστε περισσότερα13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ETION 1 13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13.1 Ορισµοί Μεγέθη Μια ποσότητα που εκφράζεται από ένα µόνο πραγµατικό αριθµό καλείται βαθµωτό µέγεθος. Μια ποσότητα που εκφράζεται από περισσότερους από έναν πραγµατικούς
Διαβάστε περισσότερα1) Ηλεκτρικό πεδίο φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων
1) Ηλεκτικό πεδίο φοτισμένου φύλλου απείων διαστάσεων Σε αυτό το εδάφιο θα υπολογιστεί το ηλεκτικό πεδίο παντού στο χώο ενός φοτισμένου λεπτού φύλλου απείων διαστάσεων και αμελητέου πάχους όπως αυτό που
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,,
ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 06 0 07 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πολικές Συντεταγμένες Κυλινδρικές Συντεταγμένες Σφαιρικές Συντεταγμένες Στοιχειώδεις Όγκοι ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα Η αναγκαιότητα για τον ορισμό και την περιγραφή των ολοκληρωμάτων που θα περιγράψουμε στο Παράρτημα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα μεγέθη που
Διαβάστε περισσότεραΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού
ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.
Διαβάστε περισσότερα11. Βαθµίδα, Απόκλιση, Στροβιλισµός
56 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Βαθµίδα, Απόκλιση, Στροβιλισµός Βαθµίδα Έστω µια συνεχής βαθµωτή συνάρτηση,, Αν σε ένα σηµείο διατηρήσουµε σταθερά τα και και
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :
Διαβάστε περισσότερα14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ
SECTION 4 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 4. Γενικοί Ορισµοί Η θέση ενός σηµείου P στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο µπορεί να καθορισθεί µε ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγµένες (x y οι οποίες µετριώνται
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης
(Με ιδέες και υλικό από ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης από παλαιότερες διαφάνειες του κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 5 6 6 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Μέση και Στιγμιαία Ταχύτητα Επιτάχυνση Διαφορικές
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Μάθημα 7ου Εξαμήνου (Ακαδ. Έτος ) «Εισαγωγή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας»
Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Μάθημα 7ου Εξαμήνου (Ακαδ. Έτος 018 19 «Εισαγωγή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας» ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ... ΕΞΑΜΗΝΟ... Ημερομηνία Παράδοσης : 6/11/018 ΑΣΚΗΣΗ 3 Σκοπός: Η παρούσα εργασία
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ A u B Μέτρο Διεύθυνση Κατεύθυνση (φορά) Σημείο Εφαρμογής Διανυσματικά Μεγέθη : μετάθεση, ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη Μονόμετρα Μεγέθη : χρόνος, μάζα, όγκος, θερμοκρασία,
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης : ή ( )/ σύνολο: f Οι θέσεις του κινητού σημείου G ( x, y)/ y f( x), xa. f A y f x A είναι το M x, y, ώστε
Διαβάστε περισσότεραd dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) Η παράγωγος μιας συνάρτησης = f() σε ένα σημείο 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης (ή τον παράγωγο αριθμό) στο σημείο 0. β) Γραφικά, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο
Διαβάστε περισσότερα = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z
Οκτώβριος 2017 Ν. Τράκας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα: κατεύθυνση (διεύθυνση και ϕορά) και μέτρο. Συμβολισμός: A ή A. Αναπαράσταση μέσω των συνιστωσών του: A = (A x, A y ) σε 2-διαστάσεις και
Διαβάστε περισσότεραlim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση
Έστω διάνυσμα a( t a ( t i a ( t j a ( t k Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει a( t Δt a ( t Δt i a ( t Δt j a ( t Δt k Εξετάζουμε την παράσταση z z a( t Δt - a( t Δa a ( t Δt - a ( t lim
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης
Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης ) Το ύψος h σε χιλιόμετρα ενός βουνού δίνεται από την σχέση h 4 == 4. α) Ένας πεζοπόρος βρίσκεται στο σημείο (,,) και κινείται προς την διεύθυνση της μεγίστης κατάβασης.
Διαβάστε περισσότεραΠΕΙΡΑΜΑ 10. Aεροδυναµική Στερεών Σωµάτων
ΠΕΙΡΑΜΑ 10 Aεοδυναµική Στεεών Σωµάτων Σκοπός του πειάµατος Σκοπός του πειάµατος αυτού είναι η µελέτη της αντίστασης που αναπτύσσεται κατά τη σχετική κίνηση ενός αντικειµένου µέσα σε ένα αέιο. Οι εξισώσεις
Διαβάστε περισσότεραΕργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες
Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματι ά ατεύθυνσης
Β Λυκείου Μαθηματι ά ατεύθυνσης Ο Κύκλος Θεωία Μεθοδολογία -Ασκήσεις Σ υ ν ο π τ ι κ ή Θ ε ω ί α Ονομασία Διατύπωση Σχόλια Σχήμα Α. Κύκλος Οισμός: Ονομάζεται κύκλος με κέντο Ο και ακτίνα το σύνολο των
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα Διπλά Ολοκληρώματα Άσκηση (Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος- Αλλαγή
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν μια
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ
ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες
ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Β. Αναπτύγματα σε σειρές Για
Διαβάστε περισσότεραds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος a) Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο P (5,,3) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα iˆ+ 4ˆj kˆ
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ
ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 1 .1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Ας θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ενός κινούμενου σημειακού φορτίου q. Ονομάζουμε τη θέση του φορτίου σημείο πηγής
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος
3/4/6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Έστω το ολοκλήρωμα: I da {(, ) :, } 3 ( + 3 ) Να εκφράσετε το ολοκλήρωμα σε νέες συντεταγμένες, οι οποίες ορίζονται
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,
Διαβάστε περισσότεραk ) 2 P = a2 x 2 P = 2a 2 x y 2 Q = b2 y 2 Q = 2b 2 y z 2 R = c2 z 2 R = 2c 2 z P x = 2a 2 Q y = 2b 2 R z = 2c 2 3 (a2 +b 2 +c 2 ) I = 64π
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πέμπτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Το θεώρημα Gauss γενικά διατυπώνεται ως: F dv = ( F η)dσ (1) V Για την άσκηση όπου μας δίνεται η σφαίρα x + y + z 4 = Φ, το κάθετο διάνυσμα η,
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης
Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Εισαγωγή Ο νόµος του Gauss: Μπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Βασίζεται
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( )z. HMY Φωτονική. Διάλεξη 08 Οι εξισώσεις του Maxwell. r = A r. B r. ˆ det = Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη
HMY - Φωτονική Διάλεξη 8 Οι εξισώσεις του Mawell Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη Πολλαπλασιασμός Πρόσθεση διανυσμάτων Βαθμωτό: το μέγεθος που για τον προσδιορισμό του χρειάζεται μόνο το μέτρο του και η
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων
Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με
Διαβάστε περισσότεραΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 1. Σχήµα 1 Σχήµα 2
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ The law of natue ae witten in the language of mathematic G.Galileo God ued beautiful mathematic in ceating the wold P.Diac ΣΥΝΤΟΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ.Ροή
Διαβάστε περισσότεραΜ8 Η µερική παράγωγος
Μ8 Η µερική παράγωγος Βιβλιογραφία Ι S Sokolnikoff και R M Redheffer, Μαθηµατικά για Φυσικούς και Μηχανικούς (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 1 Κεφ 5 M R Spiegel, Ανώτερα Μαθηµατικά (ΕΣΠΙ, Αθήνα 198
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Κωνσταντίνος Βελλίδης ΕΚΠΑ, ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, Στυλιάρης
ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης Κωνσταντίνος Βελλίδης ΕΚΠΑ, ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 08-9 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 06 0 07 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πολικές Συντεταγμένες Κυλινδρικές Συντεταγμένες Σφαιρικές Συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Ενότητα 1: Στοιχεία Διανυσματικού Λογισμού Σκορδύλης Εμμανουήλ Καθηγητής Σεισμολογίας,
Διαβάστε περισσότεραx όπου Ε είναι η ολική ενέργεια ανά µονάδα µάζας και Η είναι η ολική ενθαλπία για τις οποίες ισχύει
ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΕΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Αν. Καθηγητής, Τοµέας Ρευστών, Σχολή Μηχανολόγων Ε.Μ.Π. ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EULER ιαφοετικές Γαφές των Εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα συντεταγμένων
Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις
Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Προσεγγίστε τo ολοκλήρωμα ( + ) I d d με αθροίσματα iemann χωρίζοντας το πεδίο ολοκλήρωσης σε ίσα ορθογώνια.
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα
ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης
Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών. Διανυσματική Ανάλυση. Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης
Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Διανυσματική Ανάλυση Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 9 Ιουνίου 2011 2 Περιεχόμενα 1 Διανυσματικές συναρτήσεις 1 1.1 Γενικά στοιχεία.....................................
Διαβάστε περισσότεραΟ Νόμος του Fourier και η Εξίσωση Θερμότητας
Ο Νόμος του Foue και η Εξίσωση Θεμότητας ΜΜΚ 3 Μεταοά Θεμότητας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Πααγωγής ΜΜΚ 3 Μεταοά Θεμότητας Κεάλαιο ΟΝόμοςτουFoue (Foue s Law) Ο νόμος του Foue είναι μία εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΔιάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά
Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά Πολλά φυσικά μεγέθη είναι διανυσματικά (π.χ. δύναμη, ταχύτητα, επιτάχυνση, γωνιακή ταχύτητα, ροπή, στροφορμή ) Συμβολισμός του διανύσματος: Συμβολισμός του μέτρου
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών :
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων
Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα Φ. Καραντώνη, Δρ. Πολ. Μηχανικός Επίκουρος Καθηγήτρια 1 Σημαντική σημείωση Δεδομένου ότι θα διδαχθεί
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014
Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Έργο ηλεκτροστατικής δύναμης W F Δl W N i i1 F Δl i Η μετατόπιση Δl περιγράφεται από ένα διάνυσμα που
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς
Παράρτημα Ι 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Ας θεωρήσουμε μια κυκλική στεφάνη ακτίνας a η οποία κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία (για ευκολία υποθέστε ότι η ευθεία είναι ο
Διαβάστε περισσότεραB ρ (0, 1) = {(x, y) : x 1, y 1}
Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετικών χώων 3.1 Ανοικτά και κλειστά σύνολα 3.1.1 Ανοικτά σύνολα Οισμοί 3.1.1. Εστω (X, ) μετικός χώος και έστω x 0 X. (α) Η ανοικτή -μπάλα με κέντο το x 0 και ακτίνα ε > 0 είναι το
Διαβάστε περισσότερα14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.
14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Αριθμητικά ή Μονόμετρα μεγέθη: Όγκος Μάζα Χρόνος Ενέργεια κ.λ.π. Διανυσματικά μεγέθη: Μετατόπιση Δύναμη Ορμή Διανυσματικοί τελεστές
ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Αριθμητικά ή Μονόμετρα μεγέθη: Όγκος Μάζα Χρόνος Ενέργεια κ.λ.π. Διανυσματικά μεγέθη: Μετατόπιση Δύναμη Ορμή Διανυσματικοί τελεστές κ.λ.π. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράσταση διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΝα βρίσκουμε τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων, όταν γνωρίζουμε τις ακτίνες τους και το μήκος της διακέντρου.
Ενότητα 6 Κύκλος Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να βίσκουμε τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων, όταν γνωίζουμε τις ακτίνες τους και το μήκος της διακέντου. Να αποδεικνύουμε και να εφαμόζουμε τις σχέσεις εγγεγαμμένων
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική
ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική Π. Γ. Αστερής Αθήνα, Μάρτιος 017 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 Ελατήρια σε σειρά... 1.1 Επιλογή μονάδων και καθολικού
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση-Μάθημα 32 Εύρεση Εμβαδού μέσω του Θεωρήματος Green- -Κυκλοφορία και εξερχόμενη ροή διανυσματικού πεδίου
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 3 Εύρεση Εμβαδού μέσω του Θεωρήματος Green- -Κυκλοφορία και εξερχόμενη ροή διανυσματικού
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς
Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια
Διαβάστε περισσότεραKόλλιας Σταύρος 1
Kόλλιας Σταύρος http://usersschgr/stkollias Θέμα ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Αα ) Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο
Διαβάστε περισσότερα( () () ()) () () ()
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t, ( t, z( t, t I = [ a, b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΔιανύσματα 1. Διανύσματα Πρόσθεση Διανυσμάτων Φυσική ποσότητα που περιγράφεται μόνο από ένα αριθμό ονομάζεται βαθμωτή.
Διανύσματα 1. Διανύσματα Πρόσθεση Διανυσμάτων Φυσική ποσότητα που περιγράφεται μόνο από ένα αριθμό ονομάζεται βαθμωτή. Η διανυσματική ποσότητα έχει διεύθυνση, φορά και μέτρο. Δύο διανυσματικές ποσότητες
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 2ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Ποιες από τις επόμενες καμπύλες παριστάνουν ευθείες γραμμές; r ( ) 8,, ˆ ˆ r ˆ () i 7 j+ k r ( )
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.
Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε
Διαβάστε περισσότεραΣτροβιλισµός πεδίου δυνάµεων
Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που
Διαβάστε περισσότερα( () () ()) () () ()
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t ( t z( t t I = [ a b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι: d 1 1
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Θεωρία Κελυφών Βασικές αρχές (διαφορική γεωµετρία) Καµπύλη στο χώρο Μοναδιαίο Εφαπτοµενικό ιάνυσµα
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS
ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΡΟΗ O νόμος του Gauss και o νόμος του Coulomb είναι δύο εναλλακτικές διατυπώσεις της ίδιας βασικής σχέσης μεταξύ μιας κατανομής φορτίου και του
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Να βρεθούν τα όρια, αν υπάρχουν: lim i) (,) (0,0) + ii) lim (,) (0,0) + iii) 3 lim 3 (,) (0,0) 6 + lim iv) (,) (0,0) + + lim sin + sin v) (,) (0,0)
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάσαµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού σηµείου έχοµε ένα στερεό σώµα.
Διαβάστε περισσότερα1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ
1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το
Διαβάστε περισσότεραΑπόδειξη. Θέτουµε τώρα δ= Απόδειξη. 1 συν. 4α + 4β. 3. Απόδειξη Σύµφωνα µε την 2 έχουµε. οπότε προκύπτει. και τελικά
1., β R ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΥ ΣΕ ΚΥΚΛΟ a ισχύει ηµα ηµβ ηµ ηµα ηµβ ηµ ηµα ηµβ 1 συν ηµα ηµβ 1- συνα συνβ +ηµα ηµβ συν(α-β) 1 ηµα ηµβ 1- συν (α+β) + γ + δ. α, β, γ, δ (0, π ) ισχύει:
Διαβάστε περισσότεραΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1.
ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο -7 Ασκήσεις Αποδείξτε την ανισότητα Cuch-Schwr Για R Δείξτε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ -A.1 - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 Copyright ΕΜΠ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις
Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 Διαστάσεις Κίνηση υλικού σημείου στο επίπεδο ( -D) και στο χώρο (3 -D). Ορισμός διανυσμάτων για την μελέτη της -D 3-D κίνησης: Θέση, Μετατόπιση Μέση και στιγμιαία ταχύτητα Μέση
Διαβάστε περισσότερα1. Εισαγωγή στην Κινητική
1. Εισαγωγή στην Κινητική Σύνοψη Στο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στις βασικές αρχές της Κινητικής θεωρίας. Αρχικά εισάγονται οι έννοιες των διανυσματικών και βαθμωτών μεγεθών στη Φυσική. Έπειτα εισάγονται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς
Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε
Διαβάστε περισσότεραΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A Α Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η
Διαβάστε περισσότερα10. Παραγώγιση διανυσµάτων
Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ. Η Φυσική είναι πειραματική επιστήμη
ΦΥΣΙΚΗ Η Φυσική είναι πειραματική επιστήμη Μέσα από το πείραμα ψάχνουμε κανονικότητες και αρχές (θεωρίες, νόμοι) ΕρώτημαΠείραμαΑποτέλεσμαΘεωρία Νόμος Φυσική 1 ΦΥΣΙΚΗ Φυσική 2 ΦΥΣΙΚΗ Η Φυσική χρησιμοποιεί
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να
Διαβάστε περισσότερα1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.
1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σαν μετασχηματισ
Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Ο πολλαπλασιασμός
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογία Παιγνίων. Τεχνολογία Παιγνίων. Εισαγωγή. Διάνυσμα και βαθμωτά μεγέθη
Τεχνολογία Παιγνίων Τεχνολογία Παιγνίων 4. Πράξεις Διανυσμάτων 5. Πράξεις Πινάκων 4. Πράξεις Διανυσμάτων 5. Πράξεις Πινάκων Εισαγωγή Διανύσματα Διανύσματα και Βαθμωτά μεγέθη Πολικές και Καρτεσιανές συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΔ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ
Κλίση συνάρτησης f Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Αν σε κάθε σημείο Px, y,z ενός τμήματος Δ του χώρου μία τιμή, ορίζεται μια συνάρτηση. f x, y,z : Δ, Δ αντιστοιχίσουμε την οποία ονομάζουμε σημειακή
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ Διαλ Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης
ΦΥΣ - Διαλ.4 Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης Κυκλική κίνηση ΦΥΣ - Διαλ.4 Ορίζουµε τα ακόλουθα µοναδιαία διανύσµατα: ˆ βρίσκεται κατά µήκος του διανύσµατος της ακτίνας θˆ είναι εφαπτόµενο του κύκλου
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Ορισμός Ηλεκτρικού Δυναμικού και συσχέτιση με το Ηλεκτρικό Πεδίο
Ηλεκτρικό Δυναμικό Δομή Διάλεξης Ορισμός Ηλεκτρικού Δυναμικού και συσχέτιση με το Ηλεκτρικό Πεδίο Ιδιότητες ηλεκτρικού δυναμικού (χρησιμότητα σε υπολογισμούς, σημείο αναφοράς, αρχή υπέρθεσης) Διαφορικές
Διαβάστε περισσότεραιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το
Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Ενέργεια Συστήματος Εικόνα: Στη φυσική, η ενέργεια είναι μια ιδιότητα των αντικειμένων που μπορεί να μεταφερθεί σε άλλα αντικείμενα ή να μετατραπεί σε διάφορες μορφές, αλλά δεν μπορεί
Διαβάστε περισσότερα