Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie"

Transcript

1 Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni şi legi ale mecanicii. De a semeni, se urmăreşte realizarea unei legături între mecanică şi biologie, prin exemple concrete şi prin tratarea distinctă a legăturii între mecanică şi biologie. Prin noţiunile şi principiile introduse, acest capitol reprezintă şi o bază pentru prezentarea unor alte părţi ale cursului. Cea mai simplă definiţie a mecanicii ar putea fi următoarea: mecanica este partea fizicii care se ocupă cu studiul mişcării. În realitate, mecanica se ocupă atât de studiul mişcării, prin intermediul cinematicii şi dinamicii, dar şi de studiul stării de echilibru, de repaus, în cadrul staticii. Mecanica reprezintă în acelaşi timp şi baza pentru majoritatea celorlalte capitole ale fizicii şi de aceea trebuie să reprezinte şi punctul de plecare al unui curs de biofizică, datorită faptului că mişcarea poate fi considerată esenţa vieţii CINEMATICA Cinematica este acea parte a mecanicii care studiază mişcarea fără a cerceta cauzele mişcării. Un sistem fizic aflat în mişcare se numeşte mobil, iar locul geometric al tuturor punctelor prin care trece mobilul în timpul deplasării se numeşte traiectorie. 23

2 Iuliana Lazăr Să considerăm un sistem de coordonate carteziene Oxyz (Fig.2.1.) în raport cu care poziţia unui punct P este determinată de vectorul de poziţie r, care poate fi scris astfel: r = xi +yj + zk unde x, y, z sunt coordonatele carteziene ale punctului P, iar unitari (versorii) pe cele trei direcţii x, y, z. i, j, k (2.1.) sunt vectorii Fig.2.1. Fig.2.2 Fig.2.3 Să prezentăm acum câteva elemente ale mişcării: 24 Viteza Viteza instantanee a punctului P (Fig.2.2) se defineşte prin raportul dintre spaţiul parcurs de mobil şi intervalul infinitezimal (care tinde la zero) de timp în care a fost parcurs acest spaţiu: dr dx dy dz v = = i + j+ k (2.2) dt dt dt dt sau: v= v i + v j+ v k (2.3) x y z In sistemul astfel ales, mărimea vectorului viteză se exprimă prin relaţia: 2 y 2 2 v= v + v + v (2.4) x Dacă notăm cu τ versorul tangentei la punctul în care se calculează viteza, atunci dr = τ dr şi relaţia (2.2) capătă forma: v dr = = v dt τ τ z (2.5)

3 Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Rezultă astfel că viteza este o mărime vectorială, direcţia ei fiind tangentă la traiectorie în punctul considerat. În multe situaţii, prezintă interes cunoaşterea unei valori medii a vitezei. Aceasta se defineşte tot ca fiind raportul dintre spaţiul parcurs de mobil şi intervalul de timp în care a fost parcurs acest spaţiu, numai că de această dată, intervalul de timp este unul finit: Δd v med = (2.6) Δ t Acceleraţia Acceleraţia instantanee este definită ca raportul dintre variaţia vitezei şi intervalul de timp (considerat foarte mic) în care a avut loc această variaţie: dv a= (2.7) dt Ţinând seama de relaţia (2.2), se obţine: 2 dv d r a= = 2 dt dt Raportând mişcarea la un sistem cartezian de axe, putem scrie: (2.8) d d x d y d z a= ( vxi+ vy j+ vzk)= i+ j+ k=ai+a x y j+ak z (2.9) dt dt dt dt Analog relaţiei (2.4) putem scrie pentru modulul vectorului acceleraţie expresia: a = a = a x +a y +a z (2.10) In general, vectorul acceleraţie nu este tangent la traiectorie (cu excepţia mişcărilor rectilinii), el având o componentă tangentă la traiectorie şi una normală la aceasta. In cazul unei mişcări oarecare viteza v variază atât ca direcţie ( τ ) cât şi ca mărime (v) şi ca urmare putem scrie: d v v a= = d ( v )= d + v d τ τ τ dt dt dt dt Cum τ este un vector unitar, avem: 2 τ τ = τ =1 şi derivând această relaţie în raport cu timpul, se obţine: dτ dτ τ + τ = 0 dt dt (2.11) (2.12) (2.13) 25

4 Iuliana Lazăr sau: dτ τ = 0 dt relaţie care arată că vectorii τ dτ şi au direcţii perpendiculare. Notând cu n dt vectorul unitate al normalei la traiectorie în punctul respectiv (Fig.2.3.), rezultă că: dτ dτ dτ = n = n (2.14) dt dt dt Ca urmare, relaţia (2.8) devine: dv dτ a= τ + v n (2.15) dt dt şi arată că vectorul a are două componente reciproc perpendiculare: o componentă tangentă la traiectorie, a t, determinată de variaţia vitezei ca mărime şi o componentă normală la traiectorie, a n, determinată de variaţia vitezei ca direcţie. Cele două componente au expresiile: dv dτ at= şi an= v dt dt Din figura 2.3 se observă că: d τ = τ d α= 1dα (2.16) (2.17) iar arcul P 1 P 2 = ds = R.dα. Acum se poate scrie: 2 dτ dα v ds v a n = v = v = = dt dt R dt R sau, conform cu relaţia (2.15), avem: v 2 a n = n R dv a t = dt τ Se pot considera câteva cazuri particulare: a) dacă R, mişcarea devine rectilinie şi a n =0, putând să existe numai a t ; (2.18) (2.19) (2.20) 26

5 Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie b) dacă R = const. şi v = const., mişcarea este uniform circulară şi a=0 t, respectiv v 2 a n = n, ultima numindu-se acceleraţie centripetă. R 2.2. DINAMICA Dinamica este acea parte a mecanicii care studiază mişcarea pornind de la cauzele acesteia. Studiul sistemelor din punct de vedere dinamic are la bază un număr de principii fundamentale, cunoscute sub numele de principiile dinamicii. Cel mai important dintre acestea, cunoscut şi sub numele de principiul fundamental al dinamicii, poate fi enunţat astfel: "forţa rezultantă care acţionează asupra unui punct material este proporţională cu viteza de variaţie a impulsului": dp F ~ (2.21) dt unde mărimea notată cu litera p este egală cu produsul dintre masă şi viteză şi poartă numele de impuls. În Sistemul Internaţional de Unităţi, constanta de proporţionalitate este egală cu unitatea, astfel încât: dp d( mv) F = = (2.22) dt dt Cum în mecanica clasică, masa este o mărime constantă, ecuaţia de mai sus se mai poate scrie: dv F = m = ma (2.23) dt Conform acestei relaţii, masa este "o constantă de proporţionalitate" între forţă şi acceleraţie, sau altfel spus, este o mărime care determină valoarea acceleraţiei unui corp atunci când este supus unei forţe date. Cu cât masa este mai mare, cu atât acceleraţia determinată de forţă este mai mică, adică masa este o măsură a inerţiei corpurilor şi masa astfel definită mai poartă numele de masă inerţială. O altă posibilă definiţie a masei este legată de forţa de atracţie gravitaţională: G = mg (2.24) 27

6 Iuliana Lazăr Masa astfel definită este denumită masă grea şi are altă semnificaţie decât masa inertă: dacă valoarea unei forţe oarecare nu este determinată de valoarea masei inerte, valoarea greutăţii este determinată direct şi univoc de valoarea masei grele. În primul caz, masa este o măsură a inerţiei, în timp ce în al doilea caz, masa determină valoarea forţei. Diferenţa dintre cele două feluri de masă a constituit o problemă pentru fizicieni timp de secole, echivalenţa celor două fiind postulată de Einstein în teoria relativităţii generale. Cel de-al doilea principiu important al mecanicii este principiul acţiunii şi reacţiunii: "dacă un corp acţionează asupra altui corp cu o forţă numită acţiune, cel de-al doilea acţionează asupra celui dintâi cu o forţă egală şi de sens contrar numită reacţiune". Pentru caracterizarea din punct de vedere dinamic a unui sistem, sunt folosite şi mărimile energetice: lucrul mecanic, energia cinetică şi energia potenţială. Să considerăm un punct material asupra căruia acţionează forţa F, variabilă atât ca mărime cât şi ca direcţie şi sens. Fie r şi r +dr vectorii de poziţie a punctului material P la momentul iniţial şi după un interval de timp dt, unde dr = dr reprezintă deplasarea elementară (Fig.2.4.). Fig.2.4. Fig.2.5 Prin definiţie, lucrul mecanic elementar făcut de forţa F pentru deplasarea punctului material din punctul P 0 în punctul P este: dw = Fdr = Fdr cos α (2.25) iar lucrul mecanic total, pe întreaga curbă AB, va fi: 28

7 Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Dacă F x,f y, F z B W = Fdr (2.26) A sunt proiecţiile forţei F pe cele trei axe, iar componentele vectorului dr pe aceleaşi axe de coordonate, se poate scrie: B d x,d y, d z sunt W = ( F x dx + F y dy + F z dz) (2.28) A care reprezintă expresia analitică a lucrului mecanic. Intr-un sistem de axe de coordonate (F,r), lucrul mecanic este egal cu suprafaţa haşurată din figura 2.5. Prin definiţie, energia cinetică a unui punct material este egală cu: 2 mv T = (2.29) 2 unde m este masa iar v este viteza punctului material. Trebuie subliniat faptul că energia cinetică este conform relaţiei de definiţie o mărime întotdeauna pozitivă. Presupunem că forţa care se exercită asupra punctului material nu depinde decât de poziţia punctului. O regiune în care asupra fiecărui punct acţionează o forţă formează un câmp de forţe. O forţă care are proprietatea că lucrul mecanic efectuat de ea este independent de drumul parcurs şi nu depinde decât de poziţia iniţială şi de poziţia finală a punctului se numeşte forţă conservativă. Un alt mod de a defini forţa conservativă este următorul: o forţă este conservativă dacă ea poate fi scrisă ca fiind egală cu gradientul (derivata spaţială) unei mărimi spaţial numite potenţial sau energie potenţială. Matematic aceasta se scrie astfel: F = U (2.30) unde U este energia potenţială. Relaţia se poate scrie şi pe componente astfel: U U U Fx = ; Fy = ; Fz = (2.31) x y z Energia potenţială este o energie de poziţie, spre deosebire de energia cinetică, definită ca o energie de mişcare, însă ambele reprezintă forme ale energiei mecanice. Trebuie subliniat faptul că prin modul în care a fost definită energia potenţială în relaţia (2.31), prin adăugarea unei constante lui U, valoarea forţei nu 29

8 Iuliana Lazăr se modifică. Aceasta înseamnă că poziţia corespunzătoare unei energii potenţiale nule este arbitrară, trebuind însă ca pentru o problemă dată, să avem grijă ca nivelul de referinţă al energiei potenţiale să fie ales în mod unic. Termenul de forţă conservativă cu care este asociată energia potenţială indică faptul că ea este utilă numai în cazul problemelor în care nu există pierderi de energie mecanică. Cea mai des întâlnită ocazie în care apar pierderi de energie mecanică este aceea în care deplasările se fac cu frecare CINEMATICA ŞI DINAMICA MIŞCĂRII DE ROTAŢIE În situaţia în care traiectoria pe care se efectuează mişcarea este un cerc de rază r, spaţiul parcurs pe circumferinţă este: s = rθ (2.32) unde θ este unghiul la centru descris de raza vectoare (Fig.2.6). O θ r s Calculul vitezei dă, ţinând cont că raza traiectoriei este constantă: v Fig.2.6 dθ = r (2.33) dt Poziţia mobilului pe traiectorie poate fi exprimată prin valoarea unghiului la centru θ, iar variaţia în timp a unghiului poartă numele de viteză unghiulară: dθ ω = (2.34) dt Similar acceleraţiei liniare se poate defini şi o acceleraţie unghiulară: 2 dω d θ ε = = (2.35) 2 dt dt 30

9 Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Corpurile supuse unor mişcări circulare sunt caracterizate de o mărime numită moment de inerţie. Pentru un punct material de masă m care se mişcă pe o traiectorie circulară de rază r, valoarea acestuia este: 2 I = mr (2.36) Dacă este vorba despre un corp oarecare, rotindu-se în jurul unei axe fixe, expresia momentului de inerţie se scrie astfel: 2 I = r dm (2.37) unde r este distanţa de la elementul de masă dm la axa de rotaţie. Folosindu-se în locul masei momentul de inerţie, iar în locul vitezei liniare, viteza unghiulară, expresia energiei cinetice devine: 2 T = Iω (2.38) 2 Fig.2.7 Fig.2.8 relaţie echivalentă cu (2.29). In mişcarea de translaţie, acceleraţia liniară a unui punct material este asociată cu forţa. In mişcarea de rotaţie, acceleraţia unghiulară a punctului material este asociată cu momentul forţei. Dacă o forţă F acţionează asupra unui punct material P a cărui poziţie este dată de vectorul de poziţie r (Fig.2.7), momentul M al forţei în raport cu originea O, este definit prin relaţia: M = r F (2.39) Momentul M al forţei F este un vector perpendicular pe planul determinat de F şi r şi al cărui sens este dat de regula produsului vectorial. Modulul momentului forţei are valoarea: M = rf sin( r, F) = bf = rf n (2.40) 31

10 Iuliana Lazăr unde b, care poartă numele de braţul forţei, reprezintă distanţa de la centrul de rotaţie la dreapta suport a forţei, iar F n este componenta forţei normală pe raza vectoare. Aşa cum forţa este necesară pentru modificarea vitezei liniare, momentul forţei este necesar pentru modificarea vitezei unghiulare. Conform relaţiei (2.40), pentru ca o forţă să nu determine o mişcare de rotaţie, este necesar ca forţa să fie aplicată în punctul în jurul căruia se poate produce rotaţia (b = 0) sau să fie paralelă cu corpul (F n = 0). Anterior am văzut că impulsul este util în studiul mişcării de translaţie a punctelor materiale individuale sau a sistemelor mecanice. Se pune întrebarea: care este omologul impulsului în mişcarea de rotaţie? Acesta este momentul cinetic, dat de vectorul L (Fig.2.8) definit prin relaţia: L = r p (2.41) unde p este vectorul impuls al punctului de masă m, iar r este vectorul de poziţie al acestuia în raport cu originea O. Direcţia lui L este perpendiculară pe planul determinat de vectorii r şi p, iar sensul este dat de sensul produsului lor vectorial. Cele două mărimi pot fi exprimate şi în funcţie de mărimile cinematice caracteristice mişcării de rotaţie astfel: M = Iθ ; L = Iω (2.42) 2.4. TEOREME DE CONSERVARE Probabil cea mai importantă idee din fizică este aceea a conservării. Ea este importantă deoarece permite obţinerea unor ecuaţii utile în rezolvarea problemelor practice. În fizică sunt multe mărimi care se conservă, însă unele se conservă în orice situaţie (sarcina electrică, energia totală), iar altele, în anumite condiţii (impulsul, momentul cinetic). O menţiune specială trebuie acordată masei, a cărei conservare nu a fost pusă la îndoială până la apariţia teoriei relativităţii şi la punerea în evidenţă a variaţiei masei în procesele nucleare. Vom trece în revistă în continuare trei teoreme de conservare folosite frecvent în mecanică. 32

11 Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Teorema de conservare a impulsului. Dacă forţa rezultantă care acţionează asupra unui sistem este nulă, impulsul său se conservă. Într-adevăr, dacă scriem ecuaţia principiului fundamental al dinamicii (2.22): dp F = = 0 dp = 0 p = const. (2.43) dt Această teoremă este deosebit de utilă în special în procesele de interacţiune dintre particule, unde nu sunt implicate forţe externe (de exemplu în cazul ciocnirilor). Teorema de conservare a energiei mecanice Într-un sistem mecanic în care acţionează numai forţe conservative, energia mecanică se conservă. În demonstrarea acestei teoreme se pleacă de la expresia lucrului mecanic, transformată după cum urmează: 2 dv dr mv dl = Fdr = ma. dr = m dr = m dv= mvdv= d = dt (2.44) dt dt 2 Scriind acum din nou lucrul mecanic: U U U dl = Fdr = Udr = dx + dy + dz = du (2.45) x y z Combinând cele două relaţii, rezultă că: dt + du = 0 d( T + U ) = 0 E = T + U = const. (2.46) deci energia mecanică totală a unui sistem conservativ este constantă. Teorema de conservare a momentului cinetic. Dacă momentul forţei care acţionează asupra unui sistem este nul faţă de un punct, momentul cinetic faţă de acelaşi punct este constant. Pentru demonstrarea teoremei vom calcula viteza de variaţie a momentului cinetic: dl d( r mv) dr dv = = mv + r m = r F = M (2.47) dt dt dt dt şi dacă momentul forţei este nul, atunci variaţia momentului cinetic este zero şi deci valoarea acestuia este constantă. În stabilirea relaţiei (2.47) am folosit faptul că: 33

12 Iuliana Lazăr dr mv v mv 0 dt = = deoarece produsul vectorial a doi vectori coliniari este nul. (2.48) 2.5. STATICA Statica este acea parte a mecanicii care se ocupă cu studiul echilibrului corpurilor, atunci când acestea sunt supuse acţiunii unor forţe şi unor cupluri de forţe. Condiţia ca un sistem mecanic să se găsească într-o stare de echilibru este ca suma vectorială a forţelor care acţionează asupra sistemului şi suma vectorială a momentelor forţelor faţă de orice punct să fie nule: F i = ; M 0 0 i = (2.49) Pentru a înţelege mai bine condiţia de echilibru, vom folosi un exemplu practic: să calculăm forţa necesară menţinerii antebraţului în poziţie orizontală, atunci când în mână este ţinut un corp de masă m = 10 kg. Pentru rezolvarea acestei probleme, vom folosi un model simplificat al braţului, în care am reprezentat toate forţele implicate, ca în Fig.2.9. În figură sunt reprezentate braţul, antebraţul şi bicepsul. Forţa cu care acţionează bicepsul, şi pe care trebuie să o calculăm este F b, greutatea proprie a antebraţului este G a = m a g = 40 N (am considerat masa antebraţului 4 kg şi acceleraţia gravitaţională 10 m/s 2 ), greutatea corpului G = 100 N, iar F r este forţa de reacţiune care acţionează asupra antebraţului, din partea braţului, în cot. Lungimea antebraţului o vom considera egală cu 0.4 m, iar punctul în care bicepsul acţionează asupra antebraţului îl vom considera la 4 cm de cot. Vom mai considera unghiul făcut de biceps cu orizontala β = 70. În această problemă, numărul de necunoscute este egal cu trei: forţa din biceps, forţa de reacţiune şi unghiul sub care aceasta acţionează. Pentru rezolvarea problemei este deci necesar să scriem trei ecuaţii: două ecuaţii de echilibru pentru forţe, corespunzătoare la două direcţii perpendiculare (x şi y) şi una pentru momentele forţelor. 34

13 Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Pentru aceasta, trebuie să descompunem forţele după o direcţie orizontală şi una verticală şi să alegem un punct faţă de care să calculăm momentele. Acesta trebuie să fie punctul în care sistemul poate să se rotească, în cazul nostru cotul. Cu notaţiile din Fig.2.9.b, se pot scrie ecuaţiile de echilibru: a. ecuaţia de echilibru a forţelor pe direcţia x: F F = F cos α F cosβ = 0 (2.50) rx bx r b. ecuaţia de echilibru a forţelor pe direcţia y: Fby Fry Ga G = Fb sin β Fr sin α Ga G = 0 (2.51) c. ecuaţia de echilibru a momentelor (considerăm prin convenţie pozitive momentele forţelor care tind să rotească antebraţul în sens orar şi negative pe cele care tind să imprime o rotaţie în sens trigonometric): l M F M G M G = Fbd sin β Ga Gl = 0 (2.52) b a 2 unde am folosit faptul că punctul de aplicaţie al lui G a este la jumătatea antebraţului (în centrul de greutate), braţul forţei F b este d.sinβ, iar momentul lui F r este nul deoarece are punctul de aplicaţie chiar în cot. b Fig.2.9 a) Modelul simplificat al braţului; b) Schema forţelor implicate Din relaţia (2.52) rezultă imediat: l Ga + Gl F 2 b = = 1277 N (2.53) d sinβ Această valoare a forţei exercitate de biceps, mult mai mare decât a greutăţii corpului ţinut în mână, se datorează faptului că punctul de aplicaţie al 35

14 Iuliana Lazăr forţei este mult mai aproape de cot decât cel al greutăţii, şi de aceea şi momentul forţei corespunzătoare este mai mic. Continuând calculele se obţin şi valorile celorlalte necunoscute: α = 67.6 ; F r = 1146 N 2.6. FRECAREA ŞI REZISTENŢA Faptul că frecarea este incompatibilă cu energia potenţială, nu este de natură să ne permită să considerăm frecarea neglijabilă sau neimportantă. De fapt, în natură toate sistemele sunt supuse sub o formă sau alta frecării, iar în unele cazuri, frecarea este indispensabilă realizării deplasării. Dacă de exemplu între cauciucul unui automobil şi asfalt nu ar exista frecare, deplasarea automobilului nu ar fi posibilă, cauciucul rotindu-se în loc. Forţele care duc la pierderea de energie mecanică (disipative) pot fi împărţite în două categorii: - forţele de frecare: sunt forţele care iau naştere la suprafaţa de contact dintre corpuri solide - forţele de rezistenţă: sunt forţele care iau naştere la deplasarea unui corp solid într-un fluid. Forţele de frecare sunt caracterizate de un coeficient de frecare şi sunt proporţionale cu forţa cu care corpul în mişcare apasă asupra suprafeţei pe care se deplasează: F f = μn (2.54) unde μ este coeficientul de frecare, care depinde de natura suprafeţelor în contact, iar N este forţa de apăsare normală pe suprafaţă. Forţa de frecare este orientată întotdeauna în sens opus deplasării. Experimental s-a pus în evidenţă faptul că un corp care se mişcă într-un fluid vâscos este supus unei forţe care se opune mişcării. Sub o formă generală, forţa de rezistenţă cu care acţionează fluidul asupra corpului poate fi scrisă astfel: F r =-ksf( v ) (2.55) 36

15 Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie unde k este o constantă ce depinde de densitatea fluidului, s este aria maximă a secţiunii transversale a corpului, iar f( v ) este o funcţie de viteza relativă a corpului faţă de fluid. Fig.2.10 Valorile constantei k din expresia forţei de rezistenţă în funcţie de forma geometrică a corpului Constanta k poate fi considerată ca fiind constantă pentru o formă geometrică dată. Ca exemplu în acest sens, în figura 2.10 se indică valorile lui k (în funcţie de densitatea fluidului) pentru diferite obstacole cu simetrie de revoluţie, toate de acelaşi diametru. In cazul vitezelor mici, f(v)=v. Un caz particular, deosebit de interesant din punct de vedere practic, este cel studiat de către Stokes şi anume mişcarea unei sfere omogene printr-un fluid vâscos. In această situaţie, forţa de frecare este: F = - 6 r v r π η (2.56) unde r este raza sferei, v - viteza ei relativă, iar η este un coeficient care depinde ne natura fluidului şi care poartă numele de vâscozitate dinamică. In cazul corpurilor care se deplasează cu viteze medii prin fluid, funcţia din formula (2.55) are forma f(v)=v 2, iar la viteze supersonice f(v)=v 3. Pentru a exemplifica în continuare modul în care forţa de rezistenţă influenţează mişcarea, vom considera căderea unei macromolecule, pe care pentru simplitate, o vom considera de formă sferică, într-un lichid biologic. Fig

16 Iuliana Lazăr După cum se poate observa din figura 2.11, asupra moleculei acţionează trei forţe: forţa de greutate, forţa arhimedică şi forţa de rezistenţă. Forţa arhimedică este prin definiţie egală cu greutatea volumului de fluid dislocuit de corp şi este orientată în sens opus greutăţii. Presupunând că molecula cade în fluid, forţa de rezistenţă este orientată de asemeni în sens opus greutăţii. Principiul fundamental al dinamicii dă pentru acest caz ecuaţia: dv ma = m = G Fa Fr = mg ρ fvg 6πηrv = ( ρm ρ f ) Vg 6πη rv (2.57) dt unde m este masa moleculei, ρ f este densitatea fluidului, ρ m este densitatea moleculei, iar V este volumul moleculei. Forţa de rezistenţă a fost înlocuită cu relaţia din (2.56). Ecuaţia (2.57) reprezintă o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi, care prin integrare dă expresia vitezei în funcţie de timp. Presupunând că la momentul iniţial (t = 0), viteza moleculei era nulă, atunci, după un timp suficient de lung, se ajunge la o viteză care nu mai depinde de timp, numită viteză limită de cădere: v max ( ρm ρ f ) Vg = (2.58) 6πηr O mărime mai generală decât această viteză limită care să caracterizeze mişcarea este constanta de sedimentare, definită ca raportul dintre viteza limită şi acceleraţia gravitaţională: v max ( ρm ρ f ) V s = = (2.59) g 6πηr Utilizarea acestei mărimi este legitimată de faptul că de multe ori mişcarea descrisă mai sus nu se face numai sub acţiunea greutăţii. Cel mai bun exemplu este acela al proceselor care au loc într-o centrifugă. Într-un astfel de dispozitiv, particulele aflate într-un fluid sunt supuse unor forţe centrifuge foarte mari, ale căror acceleraţii sunt cu mult mai mari decât acceleraţia gravitaţională, astfel încât greutatea devine neglijabilă. 38

17 Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie 2.7. DEFORMAREA CORPURILOR SOLIDE In paragrafele precedente, corpurile au fost presupuse având o formă bine precizată, care nu se modifică în timpul considerat. In realitate, sub acţiunea unor forţe suficient de intense, corpurile solide suferă modificări de formă şi dimensiune, care pot fi temporare (dispar o dată cu acţiunea forţei), numite deformări elastice sau permanente (se menţin şi după încetarea acţiunii forţei), numite deformări plastice. Limita de separare dintre cele două domenii de deformare este dată de proprietăţile substanţei din care este făcut corpul şi de intensitatea forţei care acţionează asupra lui. Cantitativ, limita de separare dintre cele două domenii este dată de o lege stabilită pe cale experimentală şi numită legea lui Hooke. Conform acesteia, în domeniul de elasticitate, deformarea este proporţională cu forţa care acţionează asupra obiectului, normalizată de obicei la unitatea de suprafaţă. In afara domeniului de elasticitatea, legătura dintre cele două mărimi nu mai este liniară (Fig. 2.12). Deformarea M' domeniu plastic M Q P domeniu elastic Efortul unitar Fig.2.12 Natura şi orientarea forţelor care acţionează asupra unui solid este foarte diversă. Pentru a caracteriza deformarea produsă, vom considera în continuare un corp solid de formă paralelipipedică, având una dintre feţe fixe, asupra feţei opuse acţionând o forţă arbitrară (Fig.2.13). Indiferent de orientarea forţei, ea poate fi descompusă în două componente, una aflată în acelaşi plan cu faţa corpului, iar cealaltă perpendiculară pe prima. Cele două componente ale forţei 39

18 Iuliana Lazăr sunt corespunzătoare celor două tipuri principale de acţiuni la cere este supus un solid: tracţiunea sau compresiunea, pentru componenta forţei orientată perpendicular pe faţa solidului, respectiv forfecarea pentru componenta aflată în planul forţei. F t F F n Fig Modul de descompunere al forţei care acţionează asupra feţei unui corp solid Corespunzător acţiunii acestor forţe, deformările corespunzătoare ale corpului sunt alungirea sau comprimarea, respectiv alunecarea. Vom studia în continuare separat fiecare caz Acţiunile simple la care este supus un corp solid Prima categorie a acţiunilor elementare la care este supus un corp solid este aceea a tracţiunii şi comprimării şi se întâlneşte în situaţia în care forţa se exercită pe direcţie perpendiculară pe faţa corpului care este opusă unei feţe fixe, ca în Fig. 2.14: Cazul ilustrat în Fig.2.14 este cel al tracţiunii, în cel al comprimării forţa F fiind orientată în sens invers. După cum se poate observa, sub acţiunea forţei de tracţiune, corpul suferă o alungire Δl. Se constantă experimental, conform legii lui Hooke, că alungirea relativă este proporţională cu forţa exercitată pe unitatea de suprafaţă: Δ l 1 F = (2.60) l E S 40

19 Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie unde mărimea E este o constantă specifică materialului din care este confecţionat corpul, numită modul de elasticitate sau modul Young. Făcând o analiză dimensională a relaţiei (2.60) rezultă că unitatea de măsură a modulului de elasticitate este N.m -2. l F Δl m In cel de-al doilea caz, când forţa deformatoare se află în acelaşi plan cu faţa asupra căreia se exercită, avem de-a face cu o forfecare, al cărei efect este alunecarea. Fig Sub acţiunea forţei F care acţionează perpendicular pe faţa corpului, acesta suferă o alungire F α Fig Forţa F este o forţă de forfecare şi are drept efect o alunecare a corpului Aşa cum se arată în Fig. 2.15, măsura alunecării este unghiul cu care se abate corpul de la direcţia iniţială şi conform legii lui Hooke, acesta trebuie să fie proporţional cu forţa exercitată pe unitatea de suprafaţă: 1 F α = (2.61) GS 41

20 Iuliana Lazăr unde G este modulul de rigiditate sau modulul de forfecare având valoarea dependentă de natura corpului. In tabelul alăturat sunt date câteva valori ale constantelor elastice ale unor materiale uzuale. Tabelul 2.1. Constantele elastice ale diferitelor materiale Material E(N.m -2 ) G(N.m -2 ) Aluminiu Fier Oţel normal Cupru Bronz Os compact de femur umed Os spongios 7x x10 11 (1,8 la 2,5)x ,2x ,1x ,7x ,7x10 8 2,5x x10 10 (7,5 la 10)x x ,5x ,8x în punctul P 5x10 7 2x x10 7 F/S (N.m -2 ) în punctul Q 15x10 7 4x10 8 2x10 9 3x10 7 3x x10 7 Se poate observa că valorile constantelor elastice ale osului compact sunt apropiate de cele ale metalelor. Este interesant de calculat comprimarea la care este supus unul dintre cele mai solicitate din punct de vedere mecanic oasele scheletului uman, tibia. Să considerăm un om cu masa de 70 de kg care stă în picioare. Presupunând că greutatea se distribuie în mod egal pe cele două picioare şi neglijând influenţa altor oase, pentru o rază medie a tibiei de 1 cm, efortul unitar suportat este: F G = = N / m S 2π R 2π 10 şi folosind legea lui Hooke (2.60), obţinem o comprimare relativă de: Δ l 1 F = = = l E S % Considerând o lungime medie a tibiei de 30 cm, rezultă ca sub acţiunea greutăţii corpului osul suferă o comprimare de aproximativ 0,02 mm. Această valoare poate fi considerată pe bună dreptate neglijabilă, însă proprietăţile elastice ale scheletului îşi dovedesc importanţa în solicitările complexe la care este supus. 42

21 Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie F F F Fig a) Flexiunea plană b) Torsiunea In realitate, solicitările mecanice la care este supus un sistem sunt complexe, fiind date nu numai de forţele care tind să deformeze corpul, dar şi de momentele acestora, cum este în cazul flexiunii plane sau al torsiunii (Fig. 2.16) Limita de elasticitate şi rupere După cum se poate vedea din figura 2.12, în care este reprezentată dependenţa experimentală a deformării de efortul unitar, diagrama poate fi împărţită în funcţia de mărimea deformării în două zone distincte. La valori mici ale deformării (din origine până în punctul P), la încetarea acţiunii forţei deformatoare, corpul revine la forma şi dimensiunile iniţiale şi spunem că ne găsim în domeniul deformărilor elastice. Dacă se depăşeşte limita de elasticitate, deformările devin permanente (domeniul P-Q) şi legea lui Hooke nu mai este valabilă, deformarea nemaifiind proporţională cu efortul unitar. La încetarea forţei deformatoare, corpul nu mai revine la starea iniţială, el urmează o diagramă nouă, M-M, corespunzătoare noilor stări ale sistemului. In acest domeniu, forma corpului nu se modifică foarte mult, el păstrându-şi parţial elasticitatea. Dacă forţa aplicată corpului este suficient de mare pentru ca diagrama deformării să atingă punctul Q, spunem că este atinsă limita de rupere şi corpul suferă o transformare plastică importantă, ruperea. In tabelul 2.1 pot fi văzute valorile eforturile unitare corespunzătoare punctelor P şi Q ale unor materiale. 43

22 Iuliana Lazăr După cum se poate vedea valorile respective sunt mult inferioare valorilor modulului de elasticitate, adică valorile posibile ale alungirilor relative din domeniul de elasticitate sunt mici, în general sub 1 % MIŞCAREA ÎN BIOLOGIE. INFLUENŢA GRAVITAŢIEI ASUPRA VIEŢII Se poate spune că mişcarea este însăşi esenţa vieţii. În biologie, mişcarea este prezentă sub toate formele, de la mişcarea mecanică simplă, până la mişcarea biologică, realizată cu organe specializate. Deşi ar părea că plantele nu au legătură cu mişcarea, trebuie să nu confundăm mişcarea cu modificarea poziţiei în spaţiu a întregului sistem. Plantele au o capacitate ridicată de mişcare, cel mai bun exemplu în acest sens fiind floarea soarelui. Însuşi procesul de creştere poate fi perceput ca o mişcare mecanică. La nivel celular, mişcarea este realizată de obicei prin mecanisme chimice: difuzie, mişcări ionice, sau prin gradienţi ai unor mărimi fizice. Curenţii care iau naştere în interiorul citoplasmei celulare au un rol foarte important, acela de a transporta diferitele substanţe în celulă, asigurând astfel buna funcţionare a diferitelor componente ale acesteia. Mai mult, la unele organisme monocelulare (ameoba), aceşti curenţi citoplasmatici au chiar rol de locomoţie. Un nivel superior de dezvoltare este reprezentat de apariţia la unele organisme unicelulare a unor cili (flageli) care permit deplasarea în medii fluide. Poate cel mai important factor mecanic ce influenţează lumea vie este gravitaţia. Prin faptul că toate organismele sunt supuse permanent unei forţe de atracţie din parte Pământului, întreaga dezvoltare a biosferei a fost influenţată. Mărimea forţei gravitaţionale influenţează poate cel mai mult dezvoltarea viului. Dacă Pământul ar fi fost mai mare, suferind acţiunea unor forţe mai mari, organismele ar fi avut cu siguranţă o talie mai mică, deplasarea ar fi fost mai greoaie, şi este posibil chiar ca zborul să nu mai fi fost posibil. Experimentele realizate în spaţiu cosmic, în condiţii de imponderabilitate au demonstrat faptul că funcţiile organismului se modifică în absenţa gravitaţiei, aceasta fiind poate cea mai importantă piedică în calea colonizării cosmosului. 44

23 Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Forţa de atracţie gravitaţională este proporţională cu masa corpului ceresc care o exercită; este necesară o anumită mărime a planetei pentru ca această forţă să fie favorabilă evoluţiei chimice a materiei spre viaţă. O planetă prea mare are o forţă de atracţie gravitaţională suficient de mare pentru a reţine în atmosferă gaze ca hidrogenul, amoniacul sau metanul, atmosfera este foarte densă şi razele soarelui nu reuşesc să ajungă până la suprafaţa nucleului solid pentru a putea realiza reacţiile chimice necesare existenţei vieţii. In sistemul solar acesta este cazul planetelor Jupiter sau Saturn. Pe de altă parte, o planetă prea mică, cu gravitaţie redusă, nu poate reţine la suprafaţă o atmosferă gazoasa, ceea ce împiedică de asemenea apariţia vieţii. Efectul direct al gravitaţiei asupra fiinţelor vii se manifestă prin influenţa mărimii, formei şi structurii. Forţa de atracţie gravitaţională este proporţională cu masa, deci cu volumul corpului, ceea ce este echivalent cu o relaţie de proporţionalitate între forţă şi cubul dimensiunii liniare a corpului F L 3. Pe de altă parte, alte forţe din natură sunt proporţionale cu suprafaţa corpului sau cu secţiunea sa transversală, deci relaţia de proporţionalitate este de tipul F L 2. Unul dintre cele mai importante efecte este cel al forţelor de tip elastic. Forţa deformatoare este greutatea, proporţională cu cubul dimensiunii liniare, în timp ce efectul acesteia este proporţional cu secţiunea, deci cu pătratul dimensiunii liniare. Aceasta face ca pentru aceeaşi masă, corpuri cu secţiuni (forme) diferite să suporte solicitări diferite. Cum forma este legată şi de utilitate şi funcţionalitate, înseamnă ca gravitaţia aduce o limitare pentru dimensiunile plantelor şi animalelor, dar şi pentru construcţiile umane. Cel dintâi care a sesizat această limitare a fost Galilei, care a presupus că natura nu poate construi arbori şi animale oricât de mari cu materialele pe care le are la dispoziţie, după cum omul este limitat în ambiţiile sale de a construi edificii cât mai înalte de rezistenţa materialelor folosite. In 1778 Euler a demonstrat matematic faptul că o coloană prea înaltă se poate strivi sub acţiunea propriei greutăţi. Propria greutate şi limitarea rezistenţei la vânt limitează şi talia arborilor. Un studiu statistic realizat în 1983 asupra a 576 de specii de arbori din Statele Unite a demonstrat relaţia teoretică dintre înălţimea maximă a arborilor şi raza acestora l 3 r 2. 45

24 Iuliana Lazăr Influenţa gravitaţiei asupra animalelor se manifestă mai ales la nivelul scheletului. Animalele de talie mare (elefantul, rinocerul, hipopotamul) au oasele membrelor relativ mai groase. In acelaşi timp, proporţional cu cele ale altor animale ele sunt mai scurte, pentru a evita flambajul (flexiunea plană). Ca exemplificare, la şoarece scheletul reprezintă 8 % din masa totală, în timp ce la om procentul ajunge la 18 %. Pe parcursul evoluţiei, formele de dimensiuni foarte mari nu s-au dovedit viabile şi nu au supravieţuit până în prezent. Animalele voluminoase nu sunt numai grele, ele sunt şi greoaie. Dacă masa deplasată este proporţională cu L 3, eficienţa muşchilor este proporţională cu L 2, în timp ce energia necesară deplasării este proporţională cu L 4. Probabil cel mai mare animal din epoca dinozaurilor era brahiozaurul, care putea să ajungă la 78 de tone. Pentru comparaţie, cel mai mare animal terestru de astăzi, elefantul, are o masă de aproximativ 4 tone. In schimb, datorită forţei arhimedice, în apă greutatea reală a animalelor este mult mai mică, ceea ce permite atingerea unor dimensiuni cu mult superioare celor ale animalelor terestre. Astfel, balena poate să cântărească până la 100 tone. Diferenţele se observă şi la nivelul unor animale mai mici, talia crabilor de apă fiind mai mare decât a celor de uscat. Pentru a le putea permite zborul, păsările au o structură particulară care le permite să îşi micşoreze greutatea specifică. Ele au oasele tubulare având în interior saci cu aer cald în conexiune cu plămânii. De asemenea, penajul conţine o anumite cantitate de aer care contribuie şi ea la scăderea greutăţii specifice a întregului corp. O altă limitare dinamică a taliei animalelor este dată de efectul energiei cinetice când se atinge pământul în mers şi în salt. Oasele unui iepure de 3 kg suferă după un salt de 0.4 m o tensiune echivalentă cu o masă de 6.7 kg, în timp ce pentru un cal cu masa de 320 kg, după un salt efortul este echivalent unei mase de aproximativ 2 tone. Rezumând, acţiunea gravitaţiei se manifestă atât asupra factorilor de mediu, cât şi asupra formei şi dimensiunii lumii vii. Putem să ne imaginăm viaţa pe o planetă cu o gravitaţie mai mare decât a Terrei. Datorită gravitaţiei mai mari atmosfera este mai densă, absorbţia radiaţiei solare la nivelul solului este mai scăzută şi deci temperatura mai mică. Animalele ar fi mai mici, cu organe 46

25 Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie de locomoţie mai dezvoltate, iar zburătoarele ar lipsi, fauna fiind în general mai săracă, cu o mai mică diversitate. Condiţiile climatice ar duce şi la modificări de metabolism, acesta fiind probabil mai ridicat. Existenţa câmpului gravitaţional se constituie în acelaşi timp şi ca factor de excitare a unor organe specializate. Astfel, plantele cresc în direcţie verticală (pe direcţia liniilor de câmp), indiferent de forma solului. Animalele superioare au în urechea internă un întreg sistem mecanic ce permite menţinerea echilibrului, acesta lucrând pe baze gravitaţionale. Demonstrarea acestui fapt este foarte simplă şi se realizează prin "păcălirea" sistemelor specializate cu ajutorul altor tipuri de forţe, cea mai uşor de folosit fiind forţa centrifugă. Cu toţii ne amintim de jocurile copilăriei, când după ce ne roteam suficient de rapid, ne pierdeam imediat echilibrul, senzaţia de ameţeală dispărând doar după un timp, necesar organismului pentru a reveni la normalitate. Un experiment interesant a fost făcut şi asupra plantelor. Au fost plantate seminţe pe circumferinţa unei roţi aflată în mişcare. Toate plantele au crescut către interiorul roţii, luând forţa centrifugă drept forţă gravitaţională. Acesta este unul dintre motivele pentru care cucerirea spaţiului cosmic este deocamdată un vis departe de a fi realizat, absenţa gravitaţiei pentru perioade lungi ducând la modificări importante şi negative în structura scheletului, a sistemului muscular, fiind influenţat chiar şi metabolismul. În concluzie, pentru aprofundarea anumitor laturi ale ştiinţelor biologice este utilă şi necesară cunoaşterea unor capitole ale mecanicii. Să nu uităm că dezvoltarea fizicii ca ştiinţă a naturii a început cu mecanica. 47

26 Iuliana Lazăr 48

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic şi energia mecanică.

Lucrul mecanic şi energia mecanică. ucrul mecanic şi energia mecanică. Valerica Baban UMC //05 Valerica Baban UMC ucrul mecanic Presupunem că avem o forţă care pune în mişcare un cărucior şi îl deplasează pe o distanţă d. ucrul mecanic al

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede 2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul si energia mecanica

Lucrul si energia mecanica Lucrul si energia mecanica 1 Lucrul si energia mecanica I. Lucrul mecanic este produsul dintre forta si deplasare: Daca forta este constanta, atunci dl = F dr. L 1 = F r 1 cos α, unde r 1 este modulul

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic. Puterea mecanică.

Lucrul mecanic. Puterea mecanică. 1 Lucrul mecanic. Puterea mecanică. In acestă prezentare sunt discutate următoarele subiecte: Definitia lucrului mecanic al unei forţe constante Definiţia lucrului mecanic al unei forţe variabile Intepretarea

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA NOŢIUNI DE BAZĂ ÎN CINEMATICA Cinematica studiază mişcările mecanice ale corpurilor, fără a lua în considerare masa acestora şi

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții Capitolul 1 Noțiuni Generale 1.1 Definiții Forța este acțiunea asupra unui corp care produce accelerația acestuia cu condiția ca asupra corpului să nu acționeze şi alte forțe de sens contrar primeia. Forța

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a IX-a, Lucrul mecanic. Energia

Clasa a IX-a, Lucrul mecanic. Energia 1. LUCRUL MECANIC 1.1. Un resort având constanta elastică k = 50Nm -1 este întins cu x = 0,1m de o forță exterioară. Ce lucru mecanic produce forța pentru deformarea resortului? 1.2. De un resort având

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

Dinamica. F = F 1 + F F n. si poarta denumirea de principiul suprapunerii fortelor.

Dinamica. F = F 1 + F F n. si poarta denumirea de principiul suprapunerii fortelor. Dinamica 1 Dinamica Masa Proprietatea corpului de a-si pastra starea de repaus sau de miscare rectilinie uniforma cand asupra lui nu actioneaza alte corpuri se numeste inertie Masura inertiei este masa

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

15. Se dă bara O 1 AB, îndoită în unghi drept care se roteşte faţă de O 1 cu viteza unghiulară ω=const, axa se rotaţie fiind perpendiculară pe planul

15. Se dă bara O 1 AB, îndoită în unghi drept care se roteşte faţă de O 1 cu viteza unghiulară ω=const, axa se rotaţie fiind perpendiculară pe planul INEMTI 1. Se consideră mecanismul plan din figură, compus din manivelele 1 şi 2, respectiv biela legate intre ele prin articulaţiile cilindrice şi. Manivela 1 se roteşte cu viteza unghiulară constantă

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.

Διαβάστε περισσότερα

III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe

III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe reprezintă totalitatea forțelor care acționează simultan asupra unui corp, Fig. 1. În Fig.

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 )

Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) In prima fisa publicata pe site-ul didactic.ro ( Miscarea armonica) am explicat parametrii ce definesc miscarea oscilatorie ( perioda, frecventa ) dar nu am

Διαβάστε περισσότερα

I. Forţa. I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei

I. Forţa. I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei I. Forţa I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei Interacţionăm cu lumea în care trăim o lume în care toate corpurile acţionează cu forţe unele asupra altora! Întrebările indicate prin: * 1 punct

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

ENUNŢURI ŞI REZOLVĂRI 2013

ENUNŢURI ŞI REZOLVĂRI 2013 ENUNŢURI ŞI REZOLVĂRI 8. Un conductor de cupru ( ρ =,7 Ω m) are lungimea de m şi aria secţiunii transversale de mm. Rezistenţa conductorului este: a), Ω; b), Ω; c), 5Ω; d) 5, Ω; e) 7, 5 Ω; f) 4, 7 Ω. l

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Sistem hidraulic de producerea energiei electrice. Turbina hidraulica de 200 W, de tip Power Pal Schema de principiu a turbinei Power Pal

Sistem hidraulic de producerea energiei electrice. Turbina hidraulica de 200 W, de tip Power Pal Schema de principiu a turbinei Power Pal Producerea energiei mecanice Pentru producerea energiei mecanice, pot fi utilizate energia hidraulica, energia eoliană, sau energia chimică a cobustibililor în motoare cu ardere internă sau eternă (turbine

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar A. SUBIECTUL III Varianta 001 (15 puncte) O locomotivă cu puterea P = 480 kw tractează pe o cale ferată orizontală o garnitură de vagoane. Masa totală a trenului este m = 400 t. Forţa de rezistenţă întâmpinată

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

MECANICA CINEMATICA. Cinematica lucrează cu noţiunile de spaţiu, timp, şi derivatele lor viteză şi acceleraţie.

MECANICA CINEMATICA. Cinematica lucrează cu noţiunile de spaţiu, timp, şi derivatele lor viteză şi acceleraţie. unde cos(a,b) este cosinusul unghiului dintre cei doi vectori a şi b, iar a şi b sunt modulele vectorilor a şi b. Fiindcă cos(π/)=0, produsele i j, j k şi k i sunt nule, iar produsele i i, j j şi k k sunt

Διαβάστε περισσότερα

II. Dinamica (2) Unde F și F sunt forța de acțiune respectiv de reacțiune, Fig. 1.

II. Dinamica (2) Unde F și F sunt forța de acțiune respectiv de reacțiune, Fig. 1. II. Dinamica 1. Principiile mecanicii clasice (sau principiile mecanicii newtoniene, sau principiile dinamicii). 1.1 Principiul I, (al inerției): Un corp își păstrează starea de repaus relativ sau de mișcare

Διαβάστε περισσότερα

I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE DIVIZIUNILE MECANICII. PRINCIPIILE MECANICII CLASICE SISTEME ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ

I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE DIVIZIUNILE MECANICII. PRINCIPIILE MECANICII CLASICE SISTEME ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE DIVIZIUNILE MECANICII. PRINCIPIILE MECANICII CLASICE SISTEME ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ 1.1 Noţiuni fundamentale Mecanica este una dintre ştiinţele fundamentale ale naturii, având ca

Διαβάστε περισσότερα

Optica geometricǎ. Formula de definiţie

Optica geometricǎ. Formula de definiţie Tabel recapitulativ al marimilor fizice învǎţate în clasa a IX-a Optica geometricǎ Nr. crt. Denumire Simbol Unitate de mǎsurǎ Formula de definiţie 1 Indicele de n adimensional n=c/v refracţie 2 Formula

Διαβάστε περισσότερα

Brutus Demşoreanu. Mecanica analitică. - Note de curs -

Brutus Demşoreanu. Mecanica analitică. - Note de curs - Brutus Demşoreanu Mecanica analitică - Note de curs - TIMIŞOARA 2003 Tehnoredactarea în L A TEX 2ε aparţine autorului. Copyright c 2003, B. Demşoreanu Cuprins I Mecanica newtoniană 7 1 Elemente de cinematica

Διαβάστε περισσότερα

Mecanica. Unde acustice. Seminar

Mecanica. Unde acustice. Seminar Mecanica. Unde acustice Seminar Notiuni de mecanica Domenii ale mecanicii Cinematica Studiul miscarii fara a lua in consideratie cauzele ei Corpul considerat un punct material (dimensiuni neglijabile comparativ

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 14. Asamblari prin pene

Capitolul 14. Asamblari prin pene Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

I. BAZELE MECANICII CLASICE

I. BAZELE MECANICII CLASICE Alexandru RUSU Spiridon RUSU CURS DE FIZICĂ I. BAZELE MECANICII CLASICE Ciclu de prelegeri Chişinău 014 UNIVERSITATEA TEHNICĂ A MOLDOVEI Facultatea Inginerie şi Management în Electronică şi Telecomunicaţii

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument: Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

1. Introducere in Fizică

1. Introducere in Fizică FIZICA se ocupă cu studiul proprietăţilor şi naturii materiei, a diferitelor forme de energie şi a metodelor prin care materia şi enegia interacţionează în lumea în care ne înconjoară.. Introducere in

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

3. DINAMICA FLUIDELOR. 3.A. Dinamica fluidelor perfecte

3. DINAMICA FLUIDELOR. 3.A. Dinamica fluidelor perfecte 3. DINAMICA FLUIDELOR 3.A. Dinamica fluidelor perfecte Aplicația 3.1 Printr-un reductor circulă apă având debitul masic Q m = 300 kg/s. Calculați debitul volumic şi viteza apei în cele două conducte de

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ ŞI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ FIZICĂ

ALGEBRĂ ŞI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ FIZICĂ Sesiunea august 07 A ln x. Fie funcţia f : 0, R, f ( x). Aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei, x x axa Ox şi dreptele de ecuaţie x e şi x e este egală cu: a) e e b) e e c) d) e e e 5 e.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Liviu BERETEU FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICA

Liviu BERETEU FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICA Liviu BERETEU FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICA 200 .Momentul unei forţe în raport cu un punct şi în raport cu o axă. Cuplu de forţe Momentul unei forţe F în raport cu un punct O se defineşte ca fiind produsul

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada de Fizică Etapa pe judeţ 20 februarie 2016 Subiecte

Olimpiada de Fizică Etapa pe judeţ 20 februarie 2016 Subiecte Pagina din 5 0 februarie 06 Problema. (0 puncte) F Q La oglindă D/ În laboratorul de fizică, elevii din cercul de robotică studiază mișcarea unei mașinuțe robot teleghidate. De la distanța D = 4m Fig.

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Forme de energie. Principiul I al termodinamicii

Forme de energie. Principiul I al termodinamicii Forme de energie. Principiul I al termodinamicii Există mai multe forme de energie, care se pot clasifica după natura modificărilor produse în sistemele termodinamice considerate şi după natura mişcărilor

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI In mecanică există mărimi scalare sau scalari şi mărimi vectoriale sau vectori. Mărimile scalare (scalarii) sunt complet determinate prin valoarea lor numerică

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 7. Statica punctului material... 1 Cuprins..1

CUPRINS 7. Statica punctului material... 1 Cuprins..1 CURS 7 STATICA UNCTULUI MATERIAL CURINS 7. Statica punctului material.......... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 7.1. Generalităţi...2 7.2. Echilibrul punctului material liber...3

Διαβάστε περισσότερα

1,4 cm. 1.Cum se schimbă deformaţia elastică ε = Δ l o. d) nu se schimbă.

1,4 cm. 1.Cum se schimbă deformaţia elastică ε = Δ l o. d) nu se schimbă. .Cum se schimbă deformaţia elastică ε = Δ l o a unei sîrme de oţel dacă mărim de n ori : a)sarcina, b)secţiunea, c) diametrul, d)lungimea? Răspuns: a) creşte de n ori, b) scade de n ori, c) scade de n,

Διαβάστε περισσότερα

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã Emil Budescu BIOMECANICA GENERALã IASI 03 C U P R I N S pag. I. Introducere în biomecanica 3. Obiectul de studiu 3. Terminologie 7 3. Aspecte de baza ale biomecanicii 4. Aspecte de baza ale anatomiei si

Διαβάστε περισσότερα

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate... SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

PROPRIETATI ELASTICE ALE CORPURILOR

PROPRIETATI ELASTICE ALE CORPURILOR PROPRIETATI ELASTICE ALE CORPURILOR Determinarea modulului de elasticitate a cauciucului. Determinarea constantei elastice a unui resort. Determinarea modulelor de torsiune şi de forfecare ale unei bare

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα

Brutus Demşoreanu. Mecanica analitică. - Probleme -

Brutus Demşoreanu. Mecanica analitică. - Probleme - Brutus Demşoreanu Mecanica analitică - Probleme - TIMIŞOARA 003 Tehnoredactarea în L A TEX ε aparţine autorului. Copyright c 003, B. Demşoreanu Cuprins 1 Mecanica newtoniană 5 1.1 Problema determinării

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1 URS 6 ENTRE DE GREUTATE UPRINS 6. entre de greutate...... 1 uprins..1 Introducere modul.1 biective modul....2 6.1. entre de greutate......2 6.2. Momente statice...4 Test de autoevaluare 1...5 6.3. entre

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα