Ενότητα: «Επίλυση προβληµάτων στα Μαθηµατικά Mathematica Παραδείγµατα»
|
|
- Δωρόθεος Ζαΐμης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ενότητα: «Επίλυση προβληµάτων στα Μαθηµατικά Mathematica Παραδείγµατα» Οδηγός χρήσης του Mathematica. ιδακτικές εφαρµογές σε θέµατα Μαθηµατικών και Θετικών Επιστηµών ιδάσκων: Το Mathematica ως γνωστικό εργαλείο Το Mathematica είναι ένα µαθηµατικό πακέτο, το οποίο συνδυάζει τα χαρακτηριστικά (Κορρές, 2003 και Κορρές, 2007): α) ενός πακέτου συµβολικής άλγεβρας, εφόσον µπορεί να κάνει αλγεβρικές πράξεις, όπου το αποτέλεσµα µπορεί να περιέχει µία ή περισσότερες µεταβλητές, β) ενός εργαλείου οπτικοποίησης, εφόσον δίνει τη δυνατότητα για τη σχεδίαση γραφικών παραστάσεων στο επίπεδο και στο χώρο µε ευκολία, ταχύτητα και ακρίβεια, γ) ενός εργαλείου µοντελοποίησης συστηµάτων, εφόσον µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη δηµιουργία µοντέλων πραγµατικών καταστάσεων αλλά και θεωριών από διάφορους τοµείς των θετικών κυρίως επιστηµών και τη διερεύνηση τους µέσω στατικών και δυναµικών µεθόδων αναπαράστασης που επιτρέπουν την παρατήρηση της µεταβολής της συµπεριφοράς του µοντέλου ανάλογα µε τη µεταβολή των παραµέτρων, δ) ενός µικρόκοσµου, εφόσον είναι ένα εξερευνητικό µαθησιακό περιβάλλον για τις έννοιες των µαθηµατικών και των µαθηµάτων θετικών επιστηµών γενικότερα, µέσα στο οποίο ο µαθητευόµενος µπορεί να ασχοληθεί µε την κατασκευή και τον έλεγχο εσωτερικών διανοητικών µοντέλων, τα οποία στη συνέχεια µπορεί να τα αναπαραστήσει στο ίδιο περιβάλλον, έχοντας στη διάθεση του ένα ολοκληρωµένο συνδυασµό µικρόκοσµου εργαλείου µοντελοποίησης εργαλείου οπτικοποίησης σε ένα µόνο εργαλείο και ε) µιας γλώσσας προγραµµατισµού, µε τις δοµές της ακολουθίας, της επιλογής και της επανάληψης όπως και την ύπαρξη και δυνατότητα ορισµού διαφόρων δοµών δεδοµένων. 2
2 Το Mathematica στην υποστήριξη ανακαλυπτικών και κατασκευαστικών προσεγγίσεων Το Mathematica µπορεί να χρησιµοποιηθεί αποτελεσµατικά ως γνωστικό εργαλείο στην υποστήριξη ανακαλυπτικών κατασκευαστικών προσεγγίσεων στη διδασκαλία των Μαθηµατικών και άλλων µαθηµάτων Θετικών Επιστηµών, εφόσον δίνει τη δυνατότητα: α) Να σχεδιάσουµε εύκολα και γρήγορα τη γραφική παράσταση οποιασδήποτε συνάρτησης ή καµπύλης στο επίπεδο, µέσω του τύπου της συνάρτησης ή της εξίσωσης της καµπύλης. β) Να µελετήσουµε αναλυτικά τις γεωµετρικές ιδιότητες και τα γεωµετρικά µεγέθη που αναφέρονται στις συναρτήσεις ή στις καµπύλες του επιπέδου είτε µέσω στατικών αναπαραστάσεων οι οποίες µπορούν να περιλαµβάνουν πολλαπλές καµπύλες στο ίδιο σχήµα, είτε µέσω δυναµικών αναπαραστάσεων και κίνησης (animation). γ) Να κάνουµε εύκολα, γρήγορα και µε µεγάλη ακρίβεια πολύπλοκους υπολογισµούς αριθµητικούς ή αλγεβρικούς, οι οποίοι µπορούν να περιλαµβάνουν τόσο υπολογισµούς ορίων, παραγώγων και ολοκληρωµάτων, όπως και τη λύση εξισώσεων. 3 Το Mathematica στην υποστήριξη ανακαλυπτικών και κατασκευαστικών προσεγγίσεων Το Mathematica είναι ένα εύχρηστο εκπαιδευτικό εργαλείο, το οποίο δεν απαιτεί ιδιαίτερες γνώσεις προγραµµατισµού και επιτρέπει στους δασκάλους των Μαθηµατικών να οπτικοποιούν τις έννοιες των µαθηµατικών ούτως ώστε να µη φαντάζουν ξένες και απρόσιτες στους µαθητές. Να σχεδιάζουν και να υλοποιούν δραστηριότητες στις οποίες οι µαθητές θα µπορούν να αυτενεργούν και να πειραµατίζονται µε τον απ ευθείας χειρισµό των διαφόρων εννοιών και γεωµετρικών µεγεθών στα πλαίσια του λογισµικού, αναπτύσσοντας µε τον τρόπο αυτό, µία στάση εξερεύνησης και πειραµατισµού απέναντι στα µαθηµατικά. Επίσης να σχεδιάζουν και να υλοποιούν δραστηριότητες στις οποίες οι µαθητές θα µπορούν να διαµορφώνουν εικασίες σχετικά µε τα θέµατα που διαπραγµατεύονται, τις οποίες να ελέγχουν χρησιµοποιώντας το ίδιο το λογισµικό. Μ αυτόν τον τρόπο καλλιεργείται η διαισθητική σκέψη των µαθητών. Τέλος να ελέγχουν οι ίδιοι οι µαθητές, πειραµατικά, τα συµπεράσµατα τα οποία τους παρουσιάζει ο δάσκαλος, ούτως ώστε η αλήθεια να προκύπτει ως προϊόν διαπραγµάτευσης και συµφωνίας µεταξύ των µελών της τάξης. έχουµε µε τον τρόπο αυτό µία κοινωνική κατασκευή της γνώσης. 4
3 Χειρισµός του Mathematica Για να εκτελεστεί οποιαδήποτε εντολή πληκτρολογήσουµε ή να «φορτώσουµε» στη µνήµη οποιοδήποτε ορισµό πρέπει να πατήσουµε SHIFT και ENTER, ή αριθµητικό ENTER. Προτού εκτελεστεί οποιαδήποτε εντολή ή γίνει δεκτός οποιοσδήποτε ορισµός, γίνεται συντακτικός έλεγχος από το Mathematica. Στην περίπτωση που έχει γίνει λάθος στην σύνταξη κάποιας εντολής ή ορισµού, το πρόγραµµα εµφανίζει κατάλληλο µήνυµα, υπογραµµίζοντας το σηµείο στο οποίο έχει γίνει το λάθος. Στη συνέχεια θα δούµε: Το συµβολισµό των βασικών µαθηµατικών συµβόλων, πράξεων και αντικειµένων στο Mathematica. Πως µπορούµε να σχεδιάζουµε γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων µίας ή δύο µεταβλητών και καµπύλων στο επίπεδο και στο χώρο. Πως µπορούµε να µελετάµε συναρτήσεις µέσω του πίνακα τιµών τους και της γραφικής απεικόνισης των σηµείων του πίνακα τιµών. Πως να δηµιουργούµε απλές εντολές ως υποπρογράµµατα. Πως να φτιάχνουµε στατικές και δυναµικές αναπαραστάσεις της µεταβολής της γραφικής παράστασης ανάλογα µε τη µεταβολή των παραµέτρων του τύπου της συνάρτησης. (Κορρές, 2007, Κυριαζής, Ψυχάρης & Κορρές, 2012, Wolfram, 1996, Gray, 1998 και Torrence & Torrence, 1999) 5 Συµβολισµός στο Mathematica Χρήση Παρένθεσης Συνήθης Συµβολισµός Συµβολισµός στο Mathematica Σηµείο του R 2 (x1, y1) {x1, y1} Οµαδοποίηση a ( b + c) a (b + c) ή a * (b + c) Συνάρτηση f εφαρµοσµένη σε µια µεταβλητή x f(x) f[x] Χρήση Ισότητας Ορισµός συνάρτησης µίας µεταβλητής Συνήθης Συµβολισµός f(x) = έκφραση του x Συµβολισµός στο Mathematica f[x_] := έκφραση του x Αντικατάσταση x= α x= α Παράσταση ή επίλυση α x+ β y= = γ α x + β y = γ εξίσωσης ή α * x + β * y = = γ 6
4 Συµβολισµός στο Mathematica Ο πολλαπλασιασµός συµβολίζεται µε ένα κενό ή έναν αστερίσκο *. Πολλές φορές είναι απαραίτητο να χρησιµοποιούµε τον αστερίσκο, όταν µία έκφραση πρόκειται να συνεχιστεί σε µία επόµενη γραµµή. Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων (a 1, a 2 ) και (b 1, b 2 ) του R 2 συµβολίζεται µε., δηλαδή {a 1, a 2 }.{ b 1, b 2 } και επιστρέφει την έκφραση: a 1 b 1 + a 2 b 2. Στο Mathematica, όπως στα συνήθη µαθηµατικά, οι συναρτήσεις διακρίνονται από τις τιµές τους. Η f είναι µία συνάρτηση της οποίας η τιµή στο x(το οποίο µπορεί να είναι είτε µία παράµετρος ή ένας αριθµός) είναι η f[x]. 7 Συµβολισµός στο Mathematica Χρήση Συµβόλου Παράγωγος συνάρτησης f ως προς µεταβλητή x Tιµή της παραγώγου µιας συνάρτησης f στο x= a εύτερη παράγωγος µιας συνάρτησης f ως προς µια µεταβλητή x Συνήθης Συµβολισµός Συµβολισµός στο Mathematica f '(x) f '[ x ] ή D[ f[x], x ] f '(a) f '[a] ή D[ f[x], x ] /. x > a f' '(x) f ''[ x ] ή D[ f[x], {x, 2}] Χρήση Συµβόλου Αόριστο ολοκλήρωµα συνάρτησης f ως προς µεταβλητή x Ορισµένο ολοκλήρωµα συνάρτησης f ως προς µεταβλητή x στο διάστηµα [a, b] Συνήθης Συµβολισµός Συµβολισµός στο Mathematica f ( xdx ) Integrate[ f[x], x] ή f ( x) dx b f ( xdx b ) a Integrate[f[x], {x, a, b}] ή f ( xdx ) a 8
5 Γραφική παράσταση πραγµατικής συνάρτησης πραγµατικής µεταβλητής Θεωρούµε µία πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής µε τύπο f(x) = έκφραση του x, όπου x (a, b). Η βασική εντολή για τη χάραξη της γραφικής παράστασης µιας πραγµατικής συνάρτησης µίας πραγµατικής µεταβλητής είναι η Plot. Η εντολή Plot συντάσσεται µε τους εξής τρόπους: α) Plot[ f[x], {x, a, b}, επιλογές] β) Plot[ f[x] // Evaluate, {x, a, b}, επιλογές] Η διαφορά των δύο παραπάνω εντολών είναι η εξής: Χωρίς τη χρήση της εντολής //Evaluate, το πρόγραµµα αρχικά υπολογίζει ποιες τιµές του x από το διάστηµα (a, b) θα χρησιµοποιηθούν και στη συνέχεια εκτιµάει και υπολογίζει την τιµή της f σε καθεµιά από τις τιµές αυτές. Με τη χρήση της εντολής //Evaluate, το πρόγραµµα αρχικά εκτιµάει την f δηµιουργώντας µία συµβολική έκφραση στα πλαίσια της µεταβλητής x και στη συνέχεια εκτιµάει αυτήν την έκφραση αριθµητικά για τις συγκεκριµένες τιµές του x που απαιτούνται για τη χάραξη της γραφικής παράστασης. 9 Επιλογές γραφικών Οι επιλογές στην Plot µπορούν να περιλαµβάνουν: 1) Την εντολή AspectRatio, η οποία ορίζει την αναλογία ύψους πλάτους του γραφήµατος. Η εντολή AspectRatio > Automatic µας εξασφαλίζει ισότητα µονάδων στους δύο άξονες, δηλαδή ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων. Η προκαθορισµένη τιµή (default) για την AspectRatio είναι 0.618, δηλαδή ο αντίστροφος του λεγόµενου «χρυσού λόγου». 2) Την εντολή Ticks, η οποία αναφέρεται στη διαγράµµιση των αξόνων. Ειδικότερα η εντολή Ticks > None αφαιρεί τη διαγράµµιση από τους άξονες. Η εντολή Ticks > {Range[a, b, step1], Range[c, d, step2]} ορίζει τη διαγράµµιση στον άξονα x x να είναι µεταξύ των a και bµε βήµα step1 και τη διαγράµµιση στον άξονα y y να είναι µεταξύ των c και dµε βήµα step2. Με την εντολή Ticks > {Range[a, b, step1], Automatic} η διαγράµµιση στον άξονα y y καθορίζεται αυτόµατα. 3) Την εντολή Axes, µε την οποία καθορίζεται η ύπαρξη ή µη αξόνων. Ειδικότερα η εντολή Axes > None αφαιρεί τους άξονες. Η εντολή Axes > {True, False} εµφανίζει τον άξονα x x και αφαιρεί τον άξονα y y. 10
6 Επιλογές γραφικών 4) Την εντολή PlotRange, η οποία αναφέρεται στα σηµεία τα οποία πρόκειται να συµπεριληφθούν στην γραφική παράσταση. Ειδικότερα η εντολή PlotRange > {{a, b}, {c, d}} καθορίζει ότι θα χαραχθεί το τµήµα του ίχνους της καµπύλης το οποίο βρίσκεται µεταξύ των ευθειών x= a, x= b (ως προς τον άξονα x x) και y= c, y= d(ως προς τον άξονα y y). Η εντολή PlotRange > All επιτρέπει τη χάραξη όλων των σηµείων του γραφήµατος. Με την εντολή PlotRange > Automatic βρίσκεται η κατανοµή των τιµών των συντεταγµένων των σηµείων που εµφανίζονται στο γράφηµα και εξαιρούνται τα σηµεία εκείνα τα οποία βρίσκονται επαρκώς εκτός της κατανοµής. Η προκαθορισµένη τιµή (default) για την PlotRange είναι η PlotRange > Automatic. 5) Την εντολή PlotPoints, η οποία καθορίζει το πλήθος των σηµείων στα οποία πρόκειται να εκτιµηθεί η καµπύλη προκειµένου να χαραχθεί το γράφηµα του ίχνους της. Προκειµένου να έχουµε µεγαλύτερη ακρίβεια στη σχεδίαση, η καµπύλη θα πρέπει να εκτιµηθεί σε ένα µεγάλο αριθµό σηµείων. 6) Την εντολή AxesLabel, η οποία καθορίζει τίτλους για τους άξονες. Ειδικότερα, η εντολή AxesLabel > {τίτλος x άξονα, τίτλος y άξονα} αποδίδει τίτλους και στους δύο άξονες, ενώ η εντολή AxesLabel > τίτλος, αποδίδει τίτλο µόνο στον κατακόρυφο άξονα. Η εντολή AxesLabel > None αφαιρεί τους τίτλους από τους άξονες. 11 Επιλογές γραφικών 7) Την εντολή PlotStyle, η οποία καθορίζει το είδος των γραµµών ή των σηµείων που πρόκειται να σχεδιαστούν. Η εντολή PlotStyle µπορεί να περιλαµβάνει τις εξής παραµέτρους: Την παράµετρο Thickness[value1], η οποία καθορίζει το πάχος της γραµµής που σχεδιάζεται ανάλογα µε την τιµή της value1. H παράµετρος value1 παίρνει τιµές στο [0, 1]. Την παράµετρο GrayLevel[value2], η οποία χρωµατίζει την καµπύλη στις αποχρώσεις του γκρι. Η παράµετρος value2 παίρνει τιµές στο [0, 1], µε GrayLevel[0] να αντιστοιχεί στο µαύρο και GrayLevel[1] να αντιστοιχεί στο άσπρο. Την παράµετρο RGBColor[red, green, blue], η οποία χρωµατίζει την καµπύλη µε συνδυασµούς του κόκκινου, πράσινου και µπλε χρώµατος. Οι παράµετροι red, green, blue παίρνουν τιµές στο [0, 1] και ο συσχετισµός τους καθορίζει την υφή του τελικού χρώµατος. Την παράµετρο Hue[value] η οποία χρωµατίζει την καµπύλη ανάλογα µε την τιµή της value η οποία παίρνει τιµές στο [0,1]. Ενδεικτικά η επιλογή Hue[1] αντιστοιχεί στο κόκκινο, η επιλογή Hue[0.7] αντιστοιχεί στο µπλε και η επιλογή Hue[0.4] στο πράσινο. Η εντολή PlotStyle µπορεί να εµφανιστεί µε τις εξής µορφές: α) PlotStyle > παράµετρος, αν έχουµε µόνο µία παράµετρο, β) PlotStyle > {παράµετρος 1, παράµετρος 2, }, αν έχουµε περισσότερες από µία παραµέτρους. 12
7 Επιλογές γραφικών 8) Την εντολή AxesOrigin, η οποία καθορίζει την αρχή των αξόνων, δηλαδή το σηµείο τοµής των αξόνων που σχεδιάζονται. Ειδικότερα, η εντολή AxesOrigin > {x, y} καθορίζει ότι το σηµείο τοµής των αξόνων είναι το σηµείο (x, y). Η εντολή AxesOrigin > Automatic χρησιµοποιεί έναν εσωτερικό αλγόριθµο για τον προσδιορισµό του σηµείου τοµής των αξόνων. Αν το σηµείο (0, 0) βρίσκεται µέσα ή κοντά στην περιοχή που σχεδιάζεται τότε συνήθως επιλέγεται αυτό ως η αρχή των αξόνων. 9) Την εντολή DefaultFont, η οποία καθορίζει τη γραµµατοσειρά και το µέγεθος της γραµµατοσειράς, τα οποία θα χρησιµοποιηθούν στη διαγράµµιση των αξόνων και στους τίτλους των αξόνων ή του γραφήµατος. Ειδικότερα η επιλογή DefaultFont > {"Times", 13} καθορίζει η γραµµατοσειρά στους άξονες και στους τίτλους αξόνων και γραφήµατος να είναι η "Times New Roman" και το µέγεθος της γραµµατοσειράς 13 στ. H εντολή DefaultFont δεν ισχύει στις νεότερες εκδόσεις του Mathematica (όπως η έκδοση 10). 13 Χάραξη περισσότερων από µίας γραφικών παραστάσεων στο ίδιο γράφηµα Για τη χάραξη περισσότερων από µίας γραφικών παραστάσεων στο ίδιο γράφηµα: (Ι) Για να σχεδιάσουµε στο ίδιο γράφηµα δύο συναρτήσεις f, g: (a, b) R, µε το ίδιο πεδίο ορισµού, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την Plot µε την εξής σύνταξη: Plot[ {f[x], g[x]} //Evaluate, {x, a, b}, επιλογές] Οι περισσότερες επιλογές στην παραπάνω εντολή είναι οι ίδιες µε τις επιλογές της συνήθους σύνταξης της εντολής. Η επιλογή που διαφέρει είναι η PlotStyle, η οποία συντάσσεται: α) Αν έχουµε µία παράµετρο για την κάθε συνάρτηση: PlotStyle > {παράµετρος συνάρτησης f, παράµετρος συνάρτησης g} β) Αν έχουµε περισσότερες από µία παραµέτρους για την κάθε καµπύλη: PlotStyle > {{παράµετρος 1 της f, παράµετρος 2 της f, }, {παράµετρος 1 της g, παράµετρος 2 της g, }} (ΙΙ) Για να σχεδιάσουµε δύο πραγµατικές συναρτήσεις πραγµατικής µεταβλητής: f: (a, b) R και g: (c, d) R οι οποίες δεν έχουν απαραίτητα το ίδιο πεδίο ορισµού, στο ίδιο γράφηµα, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την εντολή Show. Η εντολή Show συντάσσεται ως εξής: Show[αντικείµενο1, αντικείµενο2,, επιλογές] 14
8 Χάραξη περισσότερων από µίας γραφικών παραστάσεων στο ίδιο γράφηµα Τα αντικείµενα που εµφανίζονται στην εντολή Show µπορούν να είναι είτε διανύσµατα ή γραφικές παραστάσεις καµπύλων ή συναρτήσεων στο επίπεδο. Οι επιλογές που εµφανίζονται στην εντολή Show είναι οι ίδιες µε τις επιλογές της εντολής Plot, µε διαφορές στις προκαθορισµένες τιµές (default) των εντολών. Για παράδειγµα η προκαθορισµένη τιµή για την εντολή Axes στην Show είναι Axes > False. Ειδικότερα για τις συναρτήσεις f και g χρησιµοποιούµε τις εντολές: p = Plot[ f[x] //Evaluate, {x, a, b}, επιλογές] q = Plot[ g[x] //Evaluate, {x, c, d}, επιλογές] Show[p, q,, επιλογές] Η αντικατάσταση των γραφηµάτων των δύο καµπύλων µε p και q αντίστοιχα, µας επιτρέπει να χρησιµοποιούµε τα εν λόγω γραφήµατα ως αντικείµενα, στα οποία αναφερόµαστε µε τα ονόµατα p και q. 15 Χάραξη περισσότερων από µίας γραφικών παραστάσεων στο ίδιο γράφηµα (ΙΙΙ) Για να σχεδιάσουµε στο ίδιο γράφηµα τo ίχνoς µιας συνάρτησης f [n]: (a, b) R για διαφορετικές τιµές κάποιας παραµέτρου n της συνάρτησης, χρησιµοποιούµε την εντολή Table σε συνδυασµό µε την Plot. Η σύνταξη της εντολής είναι: Plot[Table[ f[n][x], {n, n 1, n 2, step}] //Evaluate, {x, a, b}, επιλογές] Η παραπάνω εντολή σηµαίνει: «Σχεδίασε τις γραφικές παραστάσεις f[n], µε n να παίρνει τιµές από n 1 έως n 2 µε βήµα step, για x (a, b)». Η παραπάνω αναπαράσταση είναι µία «στατική» αναπαράσταση της µεταβολής της γραφικής παράστασης της f(x), καθώς µεταβάλλεται η παράµετρος n. Μία «δυναµική» αναπαράσταση της µεταβολής αυτής µπορεί να γίνει µε τη χρήση των εντολών: Do [έκφραση που περιέχει µία παράµετρο, {παράµετρος n, n 1, n 2, step}] στις παλαιότερες εκδόσεις του Mathematica (όπως εκδόσεις 4 και 5). Manipulate [έκφραση που περιέχει µία παράµετρο, {παράµετρος n, n 1, n 2, step}] στις νεότερες εκδόσεις του Mathematica (όπως η έκδοση 10). Η τελευταία εντολή δηµιουργεί ένα γραφικό περιβάλλον αλληλεπίδρασης µε το χρήστη, όπου µετακινώντας έναν επιλογέα τιµών (slider) για την παράµετρο, τροποποιείται αυτόµατα το γράφηµα. 16
9 Χάραξη γραφικής παράστασης καµπύλης στο επίπεδο και στο χώρο Θεωρούµε µία καµπύλη του επιπέδου µε παραµετρική εξίσωση alpha(t) = (a 1 (t), a 2 (t)), t (a, b). Αρχικά ορίζεται η καµπύλη alpha: alpha[t_] := {a 1 [t], a 2 [t]}. Η βασική εντολή για τη χάραξη του ίχνους µιας καµπύλης του επιπέδου, η οποία δίνεται µέσω της παραµετρικής µορφής της είναι η ParametricPlot. Η εντολή ParametricPlot συντάσσεται µε τους εξής τρόπους: ParametricPlot[alpha[t], {t, a, b}, επιλογές] ParametricPlot[alpha[t] //Evaluate, {t, a, b}, επιλογές] Οι επιλογές στην εντολή ParametricPlot χωρίζονται µεταξύ τους µε κόµµατα και είναι οι ίδιες µε τις επιλογές της εντολής Plot. Η βασική εντολή για τη χάραξη του ίχνους µιας καµπύλης του χώρου, η οποία δίνεται µέσω της παραµετρικής µορφής της είναι η ParametricPlot3D. Οι επιλογές στην εντολή ParametricPlot3D χωρίζονται µεταξύ τους µε κόµµατα και είναι ίδιες ή αντίστοιχες µε τις επιλογές της εντολής Plot, εκτός από την εντολή για την εµφάνιση του γραφήµατος PlotStyle, η οποία δεν ισχύει. 17 Μελέτη συναρτήσεων Πίνακας τιµών συνάρτησης και γραφική απεικόνιση σηµείων Η βασική εντολή για τον πίνακα τιµών µιας συνάρτησης είναι: Table[{x, f[x]}, {x, a, b, step}] Ο πίνακας τιµών µπορεί να πάρει την «παραδοσιακή» µορφή που χρησιµοποιούµε στα Μαθηµατικά µε τη χρήση της εντολής TableForm: TableForm[ Table[{x, f[x]}, {x, a, b, step}], TableHeadings > {None, {"x", "f(x)"}}, TableAlignments > Right, TableDirections > Row] Η γραφική παράσταση του πίνακα τιµών σ ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων γίνεται µε τη χρήση της εντολής ListPlot: ListPlot[ Table[{x, f[x]}, {x, a, b, step}], επιλογές ] Μπορούµε να «πυκνώσουµε» σταδιακά τα σηµεία στην γραφική παράσταση µειώνοντας το βήµα (step) στη σύνταξη της Table. Στη συνέχεια µε τη χρήση της επιλογής PlotJoined > True ενώνουµε τα σηµεία ώστε να προκύψει µία συνεχής γραµµή. Με αντίστοιχο τρόπο µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα πίνακα τιµών για διάφορες συναρτήσεις (ή τιµές των παραµέτρων συνάρτησης): TableForm[Table[{x, f[x], g[x], h[x]},{x, a, b, step}], TableHeadings > {None, {"x", "f(x)", "g(x)", "h(x)"}}, TableDirections > Row, TableAlignments > Right] 18
10 Υποπρογράµµατα στο Mathematica Μπορούµε να µελετήσουµε τις συναρτήσεις, δηµιουργώντας υποπρογράµµατα στο Mathematica, µέσω των οποίων δηµιουργούµε τον πίνακα τιµών συνάρτησης και απεικονίζουµε τα σηµεία του πίνακα τιµών σε ένα σύστηµα αξόνων. ηµιουργούµε τα υποπρογράµµατα ως εξής: pinakastimon[f_,{a_,b_,step_}] := TableForm[Table[{x, f[x]}, {x, a, b, step}],tableheadings > {None,{"x", "f(x)"}}, TableAlignments > Right, TableDirections > Row] sxediasepinaka[f_, {a_,b_,step_}, {color_, enosi_}] := ListPlot[Table[{x, f[x]}, {x, a, b, step}], PlotStyle > {If[enosi==True, Thickness[0.015], AbsolutePointSize[4]], color}, PlotJoined > If[enosi==True, True, False], AspectRatio > Automatic, Ticks > {Range[a, b, 1], Range[Min[Table[f[x], {x, a, b}]], Max[Table[f[x], {x, a, b}]], 1]}] Στη συνέχεια αφού ορίσουµε µία συνάρτηση f καλούµε τα υποπρογράµµατα ως απλές εντολές: pinakastimon[ f, {a, b, step}] sxediasepinaka[ f, {a, b, step}, {color, enosi}] 19 Γραφικό περιβάλλον στις νεότερες εκδόσεις του Mathematica Αντίστοιχα µε τον ορισµό υποπρογραµµάτων, µε τα οποία µπορούµε δηµιουργήσουµε απλές εντολές για χρήση από τους µαθητές, µπορούµε να δηµιουργήσουµε επιλογείς τιµών (sliders), µε τη χρήση της εντολής Manipulate στις νεότερες εκδόσεις του Mathematica: com/spinningoutsineandcosin e/ 20
11 Παραδείγµατα ηλεκτρονικών φύλλων εργασίας στο Mathematica Παρακάτω παρουσιάζονται παραδείγµατα ηλεκτρονικών φύλλων εργασίας στο Mathematica. Στα ηλεκτρονικά φύλλα εργασίας, η εντολή για τη «δυναµική» µεταβολή γραφήµατος αντίστοιχα µε τη µεταβολή των παραµέτρων που έχει χρησιµοποιηθεί είναι: Do [έκφραση που περιέχει µία παράµετρο, {παράµετρος n, n 1, n 2, step}] η οποία ισχύει στις παλαιότερες εκδόσεις του Mathematica (όπως εκδόσεις 4 και 5). Αν «τρέξει» κανείς τα παραπάνω φύλλα εργασίας σε κάποια νεότερη έκδοση, πρέπει να αντικαταστήσει την παραπάνω εντολή µε την εντολή: Manipulate [έκφραση που περιέχει µία παράµετρο, {παράµετρος n, n 1, n 2, step}] η οποία ισχύει στις νεότερες εκδόσεις του Mathematica (όπως η έκδοση 10). 21 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στις γραµµικές συναρτήσεις Γ Γυµνασίου 22
12 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στις γραµµικές συναρτήσεις Γ Γυµνασίου 23 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στις γραµµικές συναρτήσεις Γ Γυµνασίου 24
13 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στις γραµµικές συναρτήσεις Γ Γυµνασίου 25 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στις γραµµικές συναρτήσεις Γ Γυµνασίου 26
14 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στις γραµµικές συναρτήσεις Γ Γυµνασίου 27 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στις γραµµικές συναρτήσεις Γ Γυµνασίου 28
15 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στις γραµµικές συναρτήσεις Γ Γυµνασίου 29 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στις γραµµικές συναρτήσεις Γ Γυµνασίου 30
16 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στις γραµµικές συναρτήσεις Γ Γυµνασίου 31 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στις γραµµικές συναρτήσεις Γ Γυµνασίου 32
17 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη µελέτη συνάρτησης Α Λυκείου 33 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη µελέτη συνάρτησης Α Λυκείου 34
18 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη µελέτη συνάρτησης Α Λυκείου 35 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη µελέτη συνάρτησης Α Λυκείου 36
19 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη µελέτη συνάρτησης Α Λυκείου 37 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη µελέτη συνάρτησης Α Λυκείου 38
20 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη µελέτη συνάρτησης Α Λυκείου 39 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη µελέτη συνάρτησης Α Λυκείου 40
21 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη µελέτη συνάρτησης Α Λυκείου 41 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη µελέτη συνάρτησης Α Λυκείου 42
22 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη µελέτη συνάρτησης Α Λυκείου 43 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη µελέτη συνάρτησης Α Λυκείου 44
23 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη µελέτη συνάρτησης Α Λυκείου 45 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη µελέτη συνάρτησης Α Λυκείου 46
24 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη µελέτη συνάρτησης Α Λυκείου 47 Ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας στη µελέτη συνάρτησης Α Λυκείου 48
25 Βιβλιογραφία Κυριαζής Αθανάσιος, Ψυχάρης Σαράντος & Κορρές Κωνσταντίνος (2012). Η διδασκαλία και µάθηση των Θετικών Επιστηµών µε τη βοήθεια του Υπολογιστή: Μοντελοποίηση, Προσοµοίωση και εφαρµογές. Εκδόσεις Παπαζήση. Κορρές Κ. (2007). Μία διδακτική προσέγγιση των µαθηµάτων Θετικών Επιστηµών µε τη βοήθεια νέων τεχνολογιών. ιδακτορική διατριβή. Τµήµα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. Κορρές Κ. (2003). Η χρήση του Η/Υ ως γνωστικού εργαλείου στη διδασκαλία των µαθηµατικών. Πρακτικά του 20ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηµατικής Παιδείας της Ελληνικής Μαθηµατικής Εταιρείας, µε τίτλο «Η διαδροµή του παιδιού από την προσχολική ηλικία µέχρι την ενηλικίωση». Βέροια, 7 9 Νοεµβρίου Κυριαζής Α. & Κορρές Κ. (2001). Θέµατα ευτεροβάθµιας Εκπαίδευσης: Μελέτη θεµάτων µε τη βοήθεια του Mathematica. Σηµειώσεις επιµόρφωσης στα πλαίσια του «Επιµορφωτικού προγράµµατος ετήσιας διάρκειας, για τους εκπαιδευτικούς Μαθηµατικούς», για το µάθηµα «Νέες Τεχνολογίες στην Εκπαίδευση», µε διδάσκοντα τον κ. Α. Κυριαζή, Καθηγητή. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αθηνών. Kyriazis A. & Korres K. (2002). Teaching Linear Functions in Junior High School, with the use of Computers. Proceedings of the 3rd Hellenic Conference with International participation, of the Hellenic Scientific Association of Information & Communication Technologies in Education (ETPE). 49 Βιβλιογραφία Kyriazis A. & Korres K. (2002). Teaching Linear Functions in Junior High School, with the use of Computers. Proceedings of the 3rd Hellenic Conference with International participation, of the Hellenic Scientific Association of Information & Communication Technologies in Education (ETPE). Torrence Br. & Torrence E. (1999): The Students Introduction to Mathematica. Cambridge University Press. Wolfram St. (1996): The Mathematica Book (3 rd Edition). Cambridge University Press. Gray Α. (1998). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. CRC Press. Jonassen D. H. (2000). Computers as Mindtools for Schools: Engaging Critical Thinking (2nd Edition). New Jersey: Prentice Hall, Inc. Kyriazis, A., Psycharis, S. & Korres, K. (2009). Discovery Learning and the Computational Experiment in Higher Mathematics and Science Education: A combined approach. International Journal of Emerging Technologies in Learning of the International Association of Online Engineering, Volume 4, Issue 4 (doi: /ijet.v4i4.1044). 50
2.3 Επιπλέον συναρτήσεις για δισδιάστατα γραφικά
2.3 Επιπλέον συναρτήσεις για δισδιάστατα γραφικά 2.3.1 Γραφική παράσταση καμπύλης που ορίζεται με παραμετρικές εξισώσεις Μερικές φορές, οι καμπύλες ορίζονται παραμετρικά, για παράδειγμα μπορεί οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΗ λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της
ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της Η διδασκαλία της λογαριθµικής συνάρτησης, στο σχολικό εγχειρίδιο της Β Λυκείου, έχει σαν βάση την εκθετική συνάρτηση και την ιδιότητα
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ
ΣΕΝΑΡΙΟ του Κύπρου Κυπρίδηµου, µαθηµατικού ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Περίληψη Στη δραστηριότητα αυτή οι µαθητές καλούνται να διερευνήσουν το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) = αx 2 + βx + γ. Προτείνεται να διδαχθεί
Διαβάστε περισσότεραΤα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση
Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική
Διαβάστε περισσότεραΣτον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας α 3 +β 3 +3αβ(α+β)......
4. Βασικά Στοιχεία ιδακτικής της Άλγεβρας µε τη χρήση Ψηφιακών Τεχνολογιών Οι ψηφιακές τεχνολογίες που έχουν µέχρι τώρα αναπτυχθεί για τη διδασκαλία και τη µάθηση εννοιών της Άλγεβρας µπορούν να χωριστούν
Διαβάστε περισσότεραΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός
2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ
Διαβάστε περισσότερα2. Δισδιάστατα γραφικά
2. Δισδιάστατα γραφικά 2.1 Δισδιάστατες γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων μίας μεταβλητής. Η βασική εντολή σχεδίασης, του Sage, μιας γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης μίας μεταβλητής είναι η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΔΕΙΓΜΕΝΕΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ
ΕΝΔΕΔΕΙΓΜΕΝΕΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ (1) Οι μαθητές να ασχολούνται ενεργητικά με την εξερεύνηση προβληματικών καταστάσεων. Να ψάχνουν για πρότυπα, να διαμορφώνουν υποθέσεις τις οποίες να αξιολογούν και να
Διαβάστε περισσότεραΓεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.
Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη
Διαβάστε περισσότερα«Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή»
Ψηφιακό σχολείο: Το γνωστικό πεδίο των Μαθηματικών «Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή» ΕΛΕΝΗ ΚΑΛΑΪΤΖΙΔΟΥ Πληροφορικός ΠΕ19 (1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική Μαθηματικών Ι Ενδεικτικές οδηγίες για τη δραστηριότητα
Διδακτική Μαθηματικών Ι Ενδεικτικές οδηγίες για τη δραστηριότητα Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Διδακτική Μαθηματικών Ι: Ενδεικτικές οδηγίες για τη δραστηριότητα (εργασία) (To
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΚΤΙΚΉ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ
ΔΙΔΑΚΤΙΚΉ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ 2. Εκπαιδευτικό Λογισμικό για τα Μαθηματικά 2.1 Κύρια χαρακτηριστικά του εκπαιδευτικού λογισμικού για την Διδακτική των Μαθηματικών 2.2 Κατηγορίες εκπαιδευτικού λογισμικού για
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση του Mathematica
Παρουσίαση του Mathematica Εργαστήριο Σκυλίτσης Θεοχάρης Καλαματιανός Ρωμανός Καπλάνης Αθανάσιος Ιόνιο Πανεπιστήμιο (www.ionio.gr)( Εισαγωγή Σύμβολα πράξεων ή συναρτήσεων: Πρόσθεση + Αφαίρεση - Πολλαπλασιασμός
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού
Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού Όνοµα: Τάσος Αναστάσιος Επώνυµο: Μικρόπουλος Τίτλος: Αναπληρωτής Καθηγητής, Εργαστήριο Εφαρµογών Εικονικής Πραγµατικότητας στην Εκπαίδευση, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΣενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.
Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).
τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο
Διαβάστε περισσότερα4.1 Πράξεις με Πολυωνυμικές Εκφράσεις... 66
Περιεχόμενα Ευρετήριο Πινάκων... 7 Ευρετήριο Εικόνων... 8 Εισαγωγή... 9 Κεφάλαιο 1-Περιβάλλον Εργασίας - Στοιχεία Εντολών... 13 1.1 Το Πρόγραμμα... 14 1.2.1 Εισαγωγή Εντολών... 22 1.2.2 Εισαγωγή Εντολών
Διαβάστε περισσότερα1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση
1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση Στη βασική παιδεία, τα μαθηματικά διδάσκονται με στατικά μέσα α) πίνακα/χαρτιού β) κιμωλίας/στυλού γ) χάρτινου βιβλίου.
Διαβάστε περισσότεραΕπιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ
ΞΑΝΘΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017 Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr Διδακτική της Άλγεβρας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο 4. Άóêçóç 1. Άóêçóç 2. Χημικοί. Plot Sec x, x, 2 π, 2π. p1 Plot Abs 1 Abs x, x, 3, 3. 1 In[3]:= f x_ : 2 π. p2 Plot f x, x, 3,
Εργαστήριο 4 Χημικοί Άóêçóç. In[]:= Plot Sec x, x, π, π 6 4 Out[]= -6-4 - 4 6 - -4-6 Άóêçóç. In[]:= p Plot Abs Abs x, x, 3, 3.0.5 Out[]= -3 - - 3 In[3]:= f x_ : π x p Plot f x, x, 3, 3 0.4 0.3 Out[4]=
Διαβάστε περισσότεραΤο σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί με το λογισμικό Geogebra.
9.3. Σενάριο 9. Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx +βx+γ Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ +βχ+γ (γραφική παράσταση, μονοτονία, ακρότατα). Θέμα: Το προτεινόμενο θέμα αφορά την κατασκευή
Διαβάστε περισσότεραH ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΤΟΝ Η.Υ. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΩΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ
2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 495 H ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΤΟΝ Η.Υ. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΩΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ Τσιπουριάρη Βάσω Ανώτατη Σχολή Παιδαγωγικής
Διαβάστε περισσότεραΚλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία
Διαβάστε περισσότεραΚαθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος
Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013
Διαβάστε περισσότεραCabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας
Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή
Διαβάστε περισσότεραΕικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra.
Σενάριο 4. Η µέτρηση του εµβαδού ενός παραβολικού οικοπέδου Γνωστική περιοχή: Μαθηµατικά Γ' Λυκείου. Παραβολή. Τετραγωνική συνάρτηση. Εµβαδόν. Ορισµένο ολοκλήρωµα Θέµα: Οι τέσσερις πλευρές ενός οικοπέδου
Διαβάστε περισσότεραΟμάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο
Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Λίστες - Πίνακες Η λίστα στη Mathematica είναι ισοδύναμη με ένα μαθηματικό πίνακα. Για να ορίσουμε τη λίστα χρησιμοποιούμε άγκιστρα {}, μέσα στα οποία βάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΗ Έννοια κι η Γραφική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους με τη Βοήθεια του Λογισμικού Geogebra
Η Έννοια κι η Γραφική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους με τη Βοήθεια του Λογισμικού Geogebra Κιούφτη Ροϊδούλα 1 1 Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, rkioufti@hotmail.com
Διαβάστε περισσότερα3) το παράθυρο Πίνακας τιμών όπου εμφανίζονται οι τιμές που παίρνουν οι παράμετροι
Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ Γ Ι Α Τ Ο M O D E L L U S 0.0 4. 0 5 Για να κατεβάσουμε το πρόγραμμα Επιλέγουμε Download στη διεύθυνση: http://modellus.co/index.php/en/download. Στη συνέχεια εκτελούμε το ModellusX_windows_0_4_05.exe
Διαβάστε περισσότεραΠρώτη επαφή με το μαθηματικό πακέτο Mathematica
Πρώτη επαφή με το μαθηματικό πακέτο Mathematica Με δύο λόγια, μπορούμε να πούμε ότι η Mathematica είναι ένα πρόγραμμα που το χρησιμοποιούμε για να κάνουμε αναλυτικούς και αριθμητικούς υπολογισμούς αλλά
Διαβάστε περισσότεραΣενάριο 10. Ελάχιστη Απόσταση δυο Τρένων. Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ 2 +βχ+γ. Γραφική παράσταση τριωνύµου
Σενάριο 10. Ελάχιστη Απόσταση δυο Τρένων Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ 2 +βχ+γ Γραφική παράσταση τριωνύµου Εξισώσεις κίνησης. Θέµα: To προτεινόµενο θέµα αφορά την µελέτη της µεταβολής
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 2, 5 ΚΑΙ 10. Αρ2.7 Ανακαλύπτουν, διατυπώνουν και εφαρμόζουν τα κριτήρια διαιρετότητας του 2, 5 και του 10.
ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 2, 5 ΚΑΙ 10 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7 Αναπαριστούν εναδικά κλάσματα ( 1, 1, 1, 1, 1 ) ενός συνόλου ή μιας επιφάνειας, 2 3 4 6 8 χρησιμοποιώντας αντικείμενα,
Διαβάστε περισσότεραΒασικό Επίπεδο στο Modellus
Βασικό Επίπεδο στο Modellus Το λογισµικό Modellus επιτρέπει στον χρήστη να οικοδοµήσει µαθηµατικά µοντέλα και να τα εξερευνήσει µε προσοµοιώσεις, γραφήµατα, πίνακες τιµών. Ο χρήστης πρέπει να γράψει τις
Διαβάστε περισσότεραΤΟ MODELUS ΚΑΙ ΟΙ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ
268 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟ MODELUS ΚΑΙ ΟΙ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ Σ. Τσοβόλας Φυσικός, Επιμορφωτής ΤΠΕ Θ. Μαστρογιάννης Επιμορφωτής ΤΠΕ Στον πυρήνα του προγράμματος υπάρχει μια περιοχή εργασίας
Διαβάστε περισσότερα3. Τρισδιάστατα γραφικά
3. Τρισδιάστατα γραφικά 3.1 Τρισδιάστατες γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων δύο μεταβλητών. Μία συνάρτηση δύο μεταβλητών μπορεί να θεωρηθεί ως μία τρισδιάστατη επιφάνεια. Η βασική εντολή σχεδίασης, του
Διαβάστε περισσότεραΚατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση συνάρτησης
ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ Β ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΚΣΕ 4 ου ΣΕΚ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ: ΜΗΤΡΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Κατακόρυφη - Οριζόντια
Διαβάστε περισσότεραΒοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα.
Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Βοηθήστε τη ΕΗ Η προβληµατική της Εκπαιδευτικής ραστηριότητας Η επίλυση προβλήµατος δεν είναι η άµεση απόκριση σε ένα ερέθισµα, αλλά ένας πολύπλοκος µηχανισµός στον οποίο εµπλέκονται
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ
ΞΑΝΘΗ 2013, 2 ο ΣΕΚ ΞΑΝΘΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 Εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ
ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραGeogebra. Μακρή Βαρβάρα. Λογισµικό Geogebra
Λογισµικό Geogebra 1 Τι είναι το πρόγραµµα Geogebra; Το πρόγραµµα GeoGebra, είναι ένα δυναµικό µαθηµατικό λογισµικό που συνδυάζει Γεωµετρία, Άλγεβρα και λογισµό. Αναπτύσσεται από τον Markus Hohenwarter
Διαβάστε περισσότεραΕργασία στο εκπαιδευτικό λογισµικό Function Probe
Γιάννης Π. Πλατάρος -1-20/10/2003 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΕΚΦΡΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΙΑΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Εργασία στο εκπαιδευτικό λογισµικό Function Probe Περίληψη: ίνεται στους µαθητές η διαπραγµάτευση ενός προβλήµατος
Διαβάστε περισσότεραΤο σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II.
9.2.3 Σενάριο 6. Συμμεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου. Συμμεταβολή μεγεθών. Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστημα συντεταγμένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη
Διαβάστε περισσότερα2.2.7 Τίτλος στη γραφική παράσταση
2.2.7 Τίτλος στη γραφική παράσταση Η επιλογή title τοποθετεί μία επικεφαλίδα (τίτλο) στη γραφική παράσταση. title = None (προεπιλογή) title = επικεφαλίδα δεν θέτει καμία επικεφαλίδα θέτει ως επικεφαλίδα
Διαβάστε περισσότεραΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΩΝ ΣΕΛΙΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ DESCARTES
3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ-ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 167 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΩΝ ΣΕΛΙΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ DESCARTES Καστανιώτης Δημήτρης Μαθηματικός-επιμορφωτής
Διαβάστε περισσότεραΣΕΝΑΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΣΕΝΑΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΑΣΚΩΝ: ΣΦΑΕΛΟΣ Ι. ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ: ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ - ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΒΟΛΗ Βασική ιδέα: Οι µαθητές παρακολουθώντας τις προσοµοιώσεις για την ελεύθερη πτώση, την πτώση σώµατος
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές πολυμέσων για τη διδασκαλία των Μαθηματικών
Εφαρμογές πολυμέσων για τη διδασκαλία των Μαθηματικών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών «Γραφικές Τέχνες Πολυμέσα» Θεματική Ενότητα «Πληροφορική Πολυμέσα» ΓΤΠ61 Δούκα Δέσποινα 26/4/2015 Τι είναι τα πολυμέσα
Διαβάστε περισσότερα. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).
. Ερωτήσεις διάταξης. Οι συναρτήσεις f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x, φ (x) = 3x, ρ (x) = 5x, t (x) = 7x έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α = [- 3, 3]. Να γράψετε τις συναρτήσεις σε µια σειρά έτσι ώστε η γραφική
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»
ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν
Διαβάστε περισσότεραΕκπαιδευτικό Λογισμικό Ανοικτού Κώδικα
Εκπαιδευτικό Λογισμικό Ανοικτού Κώδικα Οι τίτλοι εκπαιδευτικού λογισμικού ανοικτού κώδικα που περιλαμβάνονται στον παρακάτω πίνακα εξελληνίστηκαν ή/και προσαρμόστηκαν στο ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΠοιες Νέες Τεχνολογίες; Εισαγωγή. 1841: Μαυροπίνακας. 1940: Κινούµενη Εικόνα. 1957: Τηλεόραση
Νέες Τεχνολογίες στην Εκπαίδευση Εισαγωγή Ποιες Νέες Τεχνολογίες; 1841: Μαυροπίνακας 1940: Κινούµενη Εικόνα 1957: Τηλεόραση 2000: Το ιαδίκτυο και η Τεχνολογία της πληροφορίας και των επικοινωνιών 1 Νέες
Διαβάστε περισσότεραό ή ύ ύ ύ ώ ά ς ύ ς ής ί ώ,... Τοµέας Επιµόρφωσης & Κατάρτισης
ό ή ύ ύ ύ ώ ά ς ύ ς ής ί ώ,..... Τοµέας Επιµόρφωσης & Κατάρτισης 1 Το Ε.Α.ΙΤΥ στο πλαίσιο των αρµοδιοτήτων του ως Τεχνικού Συµβούλου της Πράξης «Επιµόρφωση εκπαιδευτικών στη χρήση και αξιοποίηση των ΤΠΕ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών).
Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Θέµα: Η διερεύνηση µερικών βασικών ιδιοτήτων των παραλληλογράµµων από τους µαθητές µε χρήση
Διαβάστε περισσότεραΠαρεµβολή ή Παλινδρόµηση - Συνέργειες οµίλων Προτύπων ΓΕΛ
Παρεµβολή ή Παλινδρόµηση Συνέργειες οµίλων Προτύπων ΓΕΛ Σωτήρης. Χασάπης Πρότυπο Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σµύρνης 9η Μαθηµατική Εβδοµάδα Θεσσαλονίκη Τετάρτη 15 Ιουνίου 2016 Περιεχόµενα Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.
Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο
Διαβάστε περισσότεραΑ.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ
Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ 3 η Θεματική ενότητα: Ανάλυση μεθοδολογίας ερευνητικής εργασίας Σχεδιασμός έρευνας: Θεωρητικό πλαίσιο και ανάλυση μεθοδολογίας
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα: Χειρισµός αλγεβρικών ψηφιακών συστηµάτων
Ενότητα: Χειρισµός αλγεβρικών ψηφιακών συστηµάτων Σενάριο 8 (Τροποποιηµένο): Η γραµµική συνάρτηση ψ=αx Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α Λυκείου. - Η γραµµική συνάρτηση ψ=αx. Θέµα: Το προτεινόµενο θέµα αφορά
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).
λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο πολλές φορές και σε διαφορετικές τάξεις ή ανταλλάξει ιδέες µε άλλους συναδέλφους
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική της Πληροφορικής ΙΙ
Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Ομάδα Γ Βότσης Ευστάθιος Γιαζιτσής Παντελής Σπαής Αλέξανδρος Τάτσης Γεώργιος Προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι αρχάριοι προγραμματιστές Εισαγωγή Προβλήματα Δυσκολίες Διδακτικό
Διαβάστε περισσότερα7.5 ΑΡΑΙΕΣ ΜΗΤΡΕΣ Κατασκευή αραιών µητρών Πράξεις και συναρτήσεις αραιών µητρών Συναρτήσεις για γραφήµατα...
Κ. Π Α Π Α Ρ Ρ Ι Ζ Ο Σ M A T L A B 6 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ............. v Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Λ Ε Ι Τ Ο Υ Ρ Γ Ι Ε Σ Τ Ο Υ M A T L A B 1 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΕκπαιδευτικό πολυμεσικό σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών (Εφαρμογή στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση)
Εκπαιδευτικό πολυμεσικό σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών (Εφαρμογή στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Γ. Γρηγορίου, Γ. Πλευρίτης Περίληψη Η έρευνα μας βρίσκεται στα πρώτα στάδια ανάπτυξης της. Αναφέρεται
Διαβάστε περισσότεραΣ.Ε.Π. (Σύνθετο Εργαστηριακό Περιβάλλον)
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ: ΝΟΜΟΙ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ με τη βοήθεια του λογισμικού Σ.Ε.Π. (Σύνθετο Εργαστηριακό Περιβάλλον) Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Νοέμβριος 2013 0 ΤΙΤΛΟΣ ΝΟΜΟΙ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ
Διαβάστε περισσότεραα) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραΣχήµα 4.1: Εισαγωγή βρόγχου while-loop.
Ο βρόγχος While-loop 1. Ο βρόγχος while-loop εκτελείται έως ότου ικανοποιηθεί µία προκαθορισµένη συνθήκη. 2. Ο αριθµός των επαναλήψεων ενός βρόγχου while-loop δεν είναι εκ των προτέρων προκαθορισµένος,
Διαβάστε περισσότεραΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ (Project) Η χρήση των νέων τεχνολογιών στην Εκπαίδευση
ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ (Project) ΤΑ ΓΝΩΣΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ρ Κορρές Κωνσταντίνος Η χρήση των νέων τεχνολογιών στην Εκπαίδευση Οι εφαρµογές και οι δυνατότητες που προσφέρει η ραγδαία εξέλιξη της τεχνολογίας και
Διαβάστε περισσότεραΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ
2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 475 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ Μαστρογιάννης Αθανάσιος Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας
Διαβάστε περισσότεραΑπό την Άλγεβρα των Υπολογισμών στα Υπολογιστικά Συστήματα Άλγεβρας
Από την Άλγεβρα των Υπολογισμών στα Υπολογιστικά Συστήματα Άλγεβρας Νικόλαος Καραμπετάκης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. http://anemos.web.auth.gr/mathematica/index.htm http://anadrasis.web.auth.gr/n.karampetakis.htm
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκοντας με τη βοήθεια λογισμικού υπολογιστικών φύλλων
Διδάσκοντας με τη βοήθεια λογισμικού υπολογιστικών φύλλων Στόχος Εκμάθηση τεχνικών και μεθόδων για να χρησιμοποιείται το λογισμικό φύλλων εργασίας στη διδασκαλία. Διατυπωμένες Θέσεις 1 Δε χρησιμοποιείται
Διαβάστε περισσότεραΣενάριο 1. Σκιτσάροντας µε παραλληλόγραµµα. (χρήση λογισµικού Χελωνόκοσµος)
Σενάριο 1 Σκιτσάροντας µε παραλληλόγραµµα (χρήση λογισµικού Χελωνόκοσµος) Βασική ιδέα του σεναρίου Οι µαθητές σκιτσάρουν παραλληλόγραµµα και τα «ζωντανεύουν» κινώντας τα δυναµικά µε χρήση της Logo. Με
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας
Διαβάστε περισσότεραΟ πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών).
Μάθημα 5ο Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Ο δεύτερος ηλικιακός κύκλος περιλαμβάνει την ηλικιακή περίοδο
Διαβάστε περισσότεραΤα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού
Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.
Διαβάστε περισσότεραΓουλή Ευαγγελία. 1. Εισαγωγή. 2. Παρουσίαση και Σχολιασµός των Εργασιών της Συνεδρίας
1. Εισαγωγή Σχολιασµός των εργασιών της 16 ης παράλληλης συνεδρίας µε θέµα «Σχεδίαση Περιβαλλόντων για ιδασκαλία Προγραµµατισµού» που πραγµατοποιήθηκε στο πλαίσιο του 4 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου «ιδακτική
Διαβάστε περισσότεραΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µεγάλες τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Αξονική συµµετρία» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής χαρτογράφησης.
Διαβάστε περισσότεραΠαιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx
Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx Στόχος: Το παιδαγωγικό σενάριο αναφέρεται στη μελέτη της συνάρτησης y=αx και στη κατανόηση της κλίσης ευθείας. Λογισμικό: Για την εφαρμογή του σεναρίου
Διαβάστε περισσότεραΧρονικές σειρές 1 ο μάθημα: Εισαγωγή στη MATLAB
Χρονικές σειρές 1 ο μάθημα: Εισαγωγή στη MATLAB Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότερα4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:
4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικές Ασκήσεις. ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. 1 ο Μέρος
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. 1 ο Μέρος Θέμα 1 Δίνονται τα παρακάτω τμήματα αλγορίθμου Α. βαλίτσα Αληθής εισιτήριο Αληθής ταξίδι βαλίτσα και εισιτήριο Τι τιμή θα έχει η λογική μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M3. Διανύσµατα
Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 6. Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας
Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.13 Αναπτύσσουν και εφαρμόζουν αλγόριθμους της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού με τριψήφιους
Διαβάστε περισσότεραάλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου
άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου κάποια ερωτήματα τι είναι η άλγεβρα; τι περιλαμβάνει η άλγεβρα; ποια η σχέση της με την αριθμητική; γιατί
Διαβάστε περισσότερα«Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano»
«Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano» Ιορδανίδης Ι. Φώτιος Καθηγητής Μαθηματικών, 2 ο Γενικό Λύκειο Πτολεμαΐδας fjordaneap@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το θεώρημα του Bolzano
Διαβάστε περισσότεραΛογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου
Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους
Επίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους Επαµεινώνδας. Φριτζίλας Μ Ε Βιοπληροφορικής Τµήµα Βιολογίας ΕΚΠΑ 17 Φεβρουαρίου 2005 Τί σηµαίνει ο τίτλος ; γεωµετρικός περιορισµός:
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕ ΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ : Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης : Β Ενιαίου Λυκείου
ΜΑΘΗΜΑ ΤΑΞΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ : Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης : Β Ενιαίου Λυκείου : Υπερβολή : Λυµπερόπουλος Ιωάννης. Σκοπός : Οι µαθητές να γνωρίζουν : α) Τον ορισµό της υπερβολής. β)
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Page1 ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 3.1 - Η 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΗ i. ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: 1. Να κατανοήσουν τον ρόλο της αλγεβρικής αναγωγής σε απλούστερες αλγεβρικές
Διαβάστε περισσότεραΣύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού
Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1
Διαβάστε περισσότεραΠολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ
176 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Σωτηρόπουλος Παναγιώτης 1 -
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ
Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί
Διαβάστε περισσότεραTo σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί µε το λογισµικό Function probe. Σκεπτικό: Βασική
Σενάριο 8. Τριγωνοµετρικές. συναρτήσεις; Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Β' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= ρηµ(λχ+κ) Γραφική παράσταση τριγωνοµετρικών συναρτήσεων Γραφική επίλυση τριγωνοµετρικής εξίσωσης. Θέµα: To
Διαβάστε περισσότεραΓραφήματα οικογένειας παραβολών
Γραφήματα οικογένειας παραβολών Η βολή ενός αντικειμένου στον αέρα έχει ως αποτέλεσμα μια καμπυλωμένη τροχιά, η οποία είναι πάντοτε μια παραβολή. Η παραβολή είναι το γράφημα μιας δευτεροβάθμιας συνάρτησης,
Διαβάστε περισσότεραΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ. Μελέτη της συνάρτησης f(x)=ηµx
ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Μελέτη της συνάρτησης f(x)=ηµx Στη Γ' γυµνασίου, το ηµίτονο µελετάται ως τριγωνοµετρικός αριθµός µε βάση τις συντεταγµένες ενός σηµείου Μ µιας ηµιευθείας ΟΜ που σχηµατίζει µε
Διαβάστε περισσότεραΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΕΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΤΟ ΑΒΑΚΙΟ/E-SLATE
Θέµα ιερεύνησης: Σχεδιασµός γραµµάτων Μπορώ να φτιάξω το δικό µου επεξεργαστή κειµένου; Στη διερεύνηση αυτή οι µαθητές καλούνται να κατασκευάσουν µια γραµµατοσειρά µε όλα τα κεφαλαία γράµµατα του ελληνικού
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά. , :: x, :: x. , :: x, :: x. , :: x, :: x
Γενικά Μαθηματικά Κεφάλαιο Εισαγωγή Αριθμοί Φυσικοί 0,,,3, Ακέραιοι 0,,, 3, Ρητοί,, 0 Πραγματικοί Αν, με, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x Συνάρτηση Κάθε διαδικασία αντιστοίχησης η οποία
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων
Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων I. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως της πιθανότητας, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Έστω συνάρτηση ζήτησης με τύπο Q = 200 4P. Να βρείτε: α) Την ελαστικότητα ως προς την τιμή όταν η τιμή αυξάνεται από 10 σε 12. 1ος τρόπος Αν P 0 10 τότε Q 0 200 410
Διαβάστε περισσότερα