Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα"

Transcript

1 Σημειακή εκτίμηη και εκτίμηη με διάτημα Εκτιμήτριες υαρτήεις και μέθοδοι εκτίμηης Σημειακή εκτίμηη Ιδιότητες τω εκτιμητριώ 3 Εκτίμηη με διάτημα Διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού Ο πληθυμός είαι καοικός Το μέγεθος το δείγματος είαι μεγάλο 3 Διάτημα εμπιτούης για το διωυμικό ποοτό 4 Διάτημα εμπιτούης για τη διακύμαη εός καοικού πληθυμού 5 Διάτημα εμπιτούης για τη διαφορά τω μέω τιμώ δύο πληθυμώ 5 Εξαρτημέα δείγματα/ζευγαρωτές παρατηρήεις 5 Αεξάρτητα δείγματα 6 Διάτημα εμπιτούης για τη διαφορά δύο διωυμικώ ποοτώ με δύο αεξάρτητα δείγματα 7 Διάτημα εμπιτούης για το λόγο τω διακυμάεω δύο καοικώ πληθυμώ 8 Πάω (κάτω φράγμα εμπιτούης 9 Σύτομη αακόπηη βαικώ εοιώ, προτάεω και τύπω

2 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 39

3 Αρκετά τρόφιμα περιέχου το ιχοτοιχείο ελήιο το οποίο, ότα προλαμβάεται ε μικρές ποότητες ημερηίως, έχει ευεργετική επίδραη τη υγεία Έας φοιτητής, το πλαίιο της πτυχιακής του εργαίας, πρέπει α μελετήει τη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου οι εήλικες μέω της διατροφής τους ε δύο υγκεκριμέες περιοχές της χώρας, έτω Α και Β, όπου κατεξοχή κατααλώοται τρόφιμα τοπικής παραγωγής (η περιεκτικότητα τω τροφίμω ε ελήιο ποικίλει αάλογα με τη περιοχή παραγωγής τους Η ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάει ο άθρωπος από τις τροφές είαι προφαώς τυχαία μεταβλητή και από τη βιβλιογραφία ο φοιτητής γωρίζει ότι αυτή ακολουθεί καοική καταομή Δε γωρίζει όμως τις τιμές τω παραμέτρω της, τόο για τη περιοχή Α όο και για τη περιοχή Β και ειδικότερα για τους εήλικες αυτώ τω περιοχώ Δηλαδή, α Χ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Α και Υ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Β, ο φοιτητής γωρίζει ότι ~ N( μ, και Y ~ N( μ, όμως δε γωρίζει τις τιμές τω παραμέτρω τους μ, και μ,, ατίτοιχα Για το κοπό αυτό επέλεξε με μια τυχαία διαδικαία 6 εήλικες από κάθε περιοχή και για καθέα υπολόγιε/μέτρηε (με κάποια μέθοδο τη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάει μέω της διατροφής του Μετά τη επεξεργαία τω δεδομέω που υγκέτρωε, προέκυψε ότι o δειγματικός μέος και η δειγματική τυπική απόκλιη για το δείγμα από τη περιοχή Α ατίτοιχα είαι x 75μgr και s 84μgr και για το δείγμα από τη περιοχή Β, ατίτοιχα είαι y 87μ gr και s 9μgr Με βάη τα ευρήματα ε αυτά τα δύο τυχαία δείγματα, τι μπορεί άραγε α υμπεράει ο φοιτητής για τη άγωτη μέη τιμή μ, δηλαδή, για τη μέη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου οι εήλικες τη περιοχή Α, και για τη, άγωτη επίης, μέη τιμή μ, αλλά και για το πώς αυτές υγκρίοται, δηλαδή, α είαι ίες ή διαφέρου και ποια είαι μεγαλύτερη (και πόο α διαφέρου Επίης, τι μπορεί α υμπεράει για τις άγωτες διακυμάεις και και για το πώς αυτές υγκρίοται Αυτά τα ερωτήματα είαι τυπικά παραδείγματα ερωτημάτω τα οποία δίει απατήεις η τατιτική υμπεραματολογία Στη εότητα αυτή, θα δούμε ( επιτέλους πώς, για παράδειγμα, ο φοιτητής μπορεί, με βάη τα ευρήματα το τυχαίο δείγμα από τη περιοχή Α, α «πει κάτι» για τη μέη τιμή μ της τυχαίας μεταβλητής Χ της οποίας δε γωρίζει επακριβώς τη καταομή (γωρίζει μόο τη οικογέεια καταομώ τη οποία αήκει ή τι μπορεί α πει για το α οι μέες τιμές μ και μ είαι ίες ή διαφέρου (και πόο και ατίτοιχα για τις διακυμάεις και Θα δούμε επίης, τι απατήεις μπορεί α δώει ε αυτά τα ερωτήματα ακόμη και α δε γωρίζει ε ποια οικογέεια καταομώ αήκει η καταομή της τυχαίας μεταβλητής Χ (και της Υ Εκτιμήτριες υαρτήεις και μέθοδοι εκτίμηης Έα από τα γεικότερα θέματα που τίθεται με τα ερωτήματα που απαχολού το φοιτητή, είαι το εξής: πώς μπορούμε α εκτιμήουμε μία ή περιότερες άγωτες παραμέτρους της καταομής μιας τυχαίας μεταβλητής με βάη έα τυχαίο δείγμα από αυτή; Εφόο θεωρούμε ότι το τυχαίο δείγμα που έχουμε τη διάθεή μας είαι έα ατιπροωπευτικό δείγμα τω δυατώ τιμώ της τυχαίας μεταβλητής που μελετάμε, Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 393

4 είαι λογικό α εκτιμήουμε τις άγωτες παραμέτρους της μέω «κατάλληλω» τατιτικώ υαρτήεω που θα κατακευάουμε και θα μπορούμε (όπως έχουμε εξηγήει α υπολογίουμε από το δείγμα Για παράδειγμα, για α εκτιμήουμε τη άγωτη μέη τιμή μ μιας τυχαίας μεταβλητής, έτω Χ, είαι λογικό α χρηιμοποιήουμε το δειγματικό μέο που είαι μια υάρτηη του δείγματος και μπορεί α υπολογιθεί από αυτό Κάθε τατιτική υάρτηη που χρηιμοποιείται για τη εκτίμηη μιας άγωτης παραμέτρου εός πληθυμού (δηλαδή, της καταομής μιας τμ οομάζεται εκτιμήτρια υάρτηη ή εκτιμήτρια (estmator της άγωτης παραμέτρου Η τιμή της εκτιμήτριας για υγκεκριμέη πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, οομάζεται εκτίμηη (estmaton της άγωτης παραμέτρου Έτι, το παράδειγμά μας, α ως εκτιμήτρια της άγωτης μέης τιμής μ, της τυχαίας μεταβλητής Χ, επιλέξουμε το δειγματικό μέο 6 6 τότε, η τιμή του x 75μgr για το υγκεκριμέο τυχαίο δείγμα που πήρε ο φοιτητής από τη περιοχή Α, μπορεί α χρηιμοποιηθεί ως μια εκτίμηη της άγωτης μέης τιμής μ της Χ, δηλαδή, της άγωτης μέης ημερήιας ποότητας εληίου που προλαμβάου οι εήλικες τη περιοχή Α μέω της διατροφής τους Ατίτοιχα, η τιμή y 87μgr του δειγματικού μέου Y 6 6 Y μπορεί α χρηιμοποιηθεί ως μια εκτίμηη της άγωτης μέης τιμής μ Σημειακή εκτίμηη Η εκτίμηη μιας άγωτης παραμέτρου εός πληθυμού μέω της τιμής μιας εκτιμήτριας (για υγκεκριμέη πραγματοποίηη εός τυχαίου δείγματος από τo πληθυμό, οομάζεται ημειακή εκτίμηη (pont estmaton της παραμέτρου και η εκτιμήτρια οομάζεται ημειακή εκτιμήτρια (pont estmator Είαι προφαές, ότι από κάθε πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, παίρουμε μια διαφορετική (ε γέει ημειακή εκτίμηη της άγωτης παραμέτρου του πληθυμού Έτι, α ο φοιτητής έπαιρε έα άλλο τυχαίο δείγμα μεγέθους 6 από τη περιοχή Α και εύρικε, για παράδειγμα, δειγματικό μέο x 745μgr, αυτή θα ήτα μια άλλη ημειακή εκτίμηη της μέης τιμής μ του πληθυμού Επίης, α ως εκτιμήτρια της άγωτης πληθυμιακής μέης τιμής, ο φοιτητής δε επέλεγε το δειγματικό μέο αλλά κατακεύαζε μια άλλη τατιτική υάρτηη, για παράδειγμα, τη mn + T max δηλαδή, το ημιάθροιμα της μικρότερης και της μεγαλύτερης τιμής του δείγματος, προφαώς, θα έπαιρε μια διαφορετική ημειακή εκτίμηη από αυτή που πήρε, για τη ίδια πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, από το δειγματικό μέο Γεώται επομέως δύο εύλογα ερωτήματα α Υπάρχει κάποια μέθοδος για α καθορίζουμε/κατακευάζουμε εκτιμήτριες με βάη κάποια κριτήρια και όχι αυθαίρετα; Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 394

5 β Ποιο είαι το «φάλμα της εκτίμηης» που κάουμε, δηλαδή, πόο κοτά τη πραγματική τιμή της παραμέτρου βρίκεται η τιμή της εκτιμήτριας που υπολογίζουμε από τη πραγματοποίηη εός τυχαίου δείγματος; Σε ότι αφορά το πρώτο ερώτημα η απάτηη (αφαλώς είαι αι Μια πολύ γωτή μέθοδος κατακευής εκτιμητριώ είαι η μέθοδος μέγιτης πιθαοφάειας (method of maxmum lkelhood που προτάθηκε από το Ronald A Fsher (9 Μια άλλη, επίης πολύ γωτή μέθοδος/τεχική εκτίμηης, είαι η μέθοδος τω ροπώ (method of moments που προτάθηκε από το Karl Pearson (894 Επίης, για τις εκτιμήτριες έχου οριθεί επιθυμητές ιδιότητες, ή αλλιώς, κριτήρια «καλής υμπεριφοράς» τους, όπως αμεροληψία, υέπεια και αποτελεματικότητα Ας δούμε το όημα αυτώ τω ιδιοτήτω (τις μεθόδους εκτίμηης δε θα ααφερθούμε Ιδιότητες τω εκτιμητριώ Είαι προφαές, ότι μια εκτιμήτρια μπορεί α χαρακτηριθεί «καλή» ή όχι, δηλαδή, μπορούμε α θεωρήουμε ότι έχει ή δε έχει «καλές» ιδιότητες, αάλογα με τη υμπεριφορά της ε επααλαμβαόμεες δειγματοληψίες (από δείγμα ε δείγμα, η οποία περιγράφεται από τη καταομή της, ή αλλιώς, από τη δειγματοληπτική καταομή Μια επιθυμητή/καλή ιδιότητα μιας εκτιμήτριας θα μπορούε α είαι η εξής: ε επααλαμβαόμεες δειγματοληψίες, κατά μέο όρο α εκτιμά ωτά τη άγωτη παράμετρο, δηλαδή, ούτε α τη υπερεκτιμά ούτε α τη υποεκτιμά υτηματικά Η ιδιότητα αυτή οομάζεται αμεροληψία (unbasedness Μια εκτιμήτρια, έτω θˆ, μιας παραμέτρου θ, οομάζεται αμερόληπτη (unbased, α η μέη τιμή της είαι ίη με τη αληθή/πραγματική τιμή της παραμέτρου, δηλαδή, α E [ ˆ] θ θ Στο Σχήμα, η καταομή (α είαι η καταομή μιας εκτιμήτριας μιας παραμέτρου θ και η καταομή (β είαι η καταομή μιας άλλης εκτιμήτριας της ίδιας παραμέτρου θ Προφαώς, η (α είαι καταομή αμερόληπτης εκτιμήτριας της παραμέτρου θ εώ η (β, που είαι μετατοπιμέη προς τα αριτερά της αληθούς τιμής της θ, είαι καταομή μη αμερόληπτης εκτιμήτριας της θ και τείει α υποεκτιμά τη θ Σχήμα Η εκτιμήτρια (α είαι αμερόληπτη εκτιμήτρια της θ εώ η (β είαι μη αμερόληπτη εκτιμήτρια της θ Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 395

6 Στο Σχήμα δίουμε τη έοια της αμεροληψίας πιο παρατατικά Σκεφθείτε ότι έας κοπευτής τοχεύει με βέλη προς έα τόχο και θεωρείτε ότι ο τόχος (το κέτρο του τόχου είαι η αληθής/πραγματική τιμή μιας παραμέτρου θ και ο κοπευτής είαι η εκτιμήτρια Οι επααλαμβαόμεες ρίψεις του βέλους, κατ ααλογία, ατιτοιχού τις επααλαμβαόμεες δειγματοληψίες και το ημείο πρόπτωης του βέλους, τη εκτίμηη της θ, που φυικά εξαρτάται από το κοπευτή (τη εκτιμήτρια Στη περίπτωη του κοπευτή-εκτιμήτριας (α το ημείο πρόπτωης του βέλους (η εκτίμηη, τις επααλαμβαόμεες ρίψεις (δειγματοληψίες, βρίκεται υτηματικά ε υγκεκριμέη περιοχή μακριά από το κέτρο του τόχου (πάω δεξιά, εώ τη περίπτωη (β βρίκεται γύρω/κοτά το κέτρο του τόχου (τη αληθή τιμή της παραμέτρου Σχήμα Στη περίπτωη (α το βέλος πέφτει υτηματικά ε υγκεκριμέη περιοχή μακριά από το κέτρο του τόχου (πάω δεξιά, εώ τη περίπτωη (β πέφτει κοτά το κέτρο του τόχου Ας δούμε α ο δειγματικός μέος είαι αμερόληπτη εκτιμήτρια της μέης τιμής, μ, εός πληθυμού, δηλαδή, α κατά μέο όρο εκτιμά ωτά τη μέη τιμή του πληθυμού Στο Πόριμα 55 δείξαμε ότι E ( E( μ Επομέως, για οποιοδήποτε πληθυμό, με μέη τιμή μ και διακύμαη, ο δειγματικός μέος (για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος είαι αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής μ Επίης, για οποιοδήποτε πληθυμό, με μέη τιμή μ και διακύμαη αποδεικύεται ότι η δειγματική διακύμαη, Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 396

7 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 397 ( (για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος είαι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυμιακής διακύμαης Πράγματι, ( ] [ E E E + + μ ] [ ( ( ( ( ] [ ] [ E Var E E ( μ μ + Σημείωη : Στη προηγούμεη απόδειξη χρηιμοποιήαμε τη γωτή από το Α Μέρος χέη ] [ ( μ E Var καθώς και το ότι για οποιοδήποτε πληθυμό με μέη τιμή μ και διακύμαη, η διακύμαη του δειγματικού μέου για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος, είαι (όπως δείξαμε το Πόριμα 55 ίη με, δηλαδή ( Var Παρατηρήεις : α Α ως εκτιμήτρια της διακύμαης εός πληθυμού χρηιμοποιήουμε τη τατιτική υάρτηη * ( εύκολα μπορεί α αποδειχθεί ότι * ] [ E δηλαδή, η * δε είαι αμερόληπτη εκτιμήτρια της διακύμαης, αφού κατά μέο όρο υποεκτιμά τη Αυτός είαι και ο λόγος που τη Περιγραφική Στατιτική, ως δειγματική διακύμαη ορίαμε τη τατιτική υάρτηη ( και όχι τη *, που θα ήτα και πιο «λογικό» β Εύκολα μπορεί α αποδειχθεί (δείτε το ως άκηη ότι α η πληθυμιακή μέη τιμή μ είαι γωτή τότε η τατιτική υάρτηη μ ( είαι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της διακύμαης Ο δειγματικός μέος, όπως αποδείξαμε, είαι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής μ Όμως, και η τατιτική υάρτηη T +

8 α χρηιμοποιηθεί ως εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής μ, θα τη εκτιμά κατά μέο όρο ωτά, αφού, + E [ T ] E ( E[ ] + E[ ] ( μ + μ μ δηλαδή, είαι και αυτή μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της μ Παρατηρείτε επίης, ότι για οποιουδήποτε πραγματικούς αριθμούς α,,, K, με α, η τατιτική υάρτηη T a μπορεί α χρηιμοποιηθεί ως αμερόληπτη εκτιμήτρια της μέης τιμής μ οποιουδήποτε πληθυμού (δείτε το ως μια απλή άκηη Άραγε, μεταξύ αμερόληπτω εκτιμητριώ της ίδιας παραμέτρου εός πληθυμού, έχει ημαία ποια θα επιλέξουμε ή μήπως δε έχει; Η απάτηη είαι ότι έχει Η αμεροληψία δε είαι η μόη επιθυμητή ιδιότητα για μια εκτιμήτρια Δείτε το Σχήμα 3 τη υάρτηη πυκότητας μιας αμερόληπτης εκτιμήτριας ˆ θ μιας παραμέτρου θ και τη υάρτηη πυκότητας μιας άλλης, αμερόληπτης επίης, εκτιμήτριας ˆ θ της ίδιας παραμέτρου θ Η εκτιμήτρια ˆ θ έχει προφαώς μικρότερη διακύμαη από τη εκτιμήτρια ˆ θ Όπως φαίεται από το χήμα, γιαε > 0, P ( θ ε ˆ θ ( ˆ θ + ε > P θ ε θ θ + ε δηλαδή, η ˆ θ έχει μεγαλύτερη πιθαότητα από τη ˆ θ α πάρει τιμή που α βρίκεται ε απόταη το πολύ ε από τη αληθή τιμή της παραμέτρου θ Επομέως, η εκτιμήτρια ˆ θ υμπεριφέρεται καλύτερα από τη ˆ θ γιατί έχει μικρότερη διακύμαη Έτι, μια αμερόληπτη εκτιμήτρια είαι επιθυμητό (δείτε και το Σχήμα 4 α έχει μικρή διακύμαη Μια αμερόληπτη εκτιμήτρια, ˆ θ μιας παραμέτρου θ, οομάζεται πιο αποτελεματική (more effcent από μια άλλη αμερόληπτη εκτιμήτρια, ˆ θ της ίδιας παραμέτρου θ, α Var ˆ θ < Var( ˆ ( θ Σχήμα 3 Η εκτιμήτρια ˆ θ είαι πιο αποτελεματική από τη ˆ θ Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 398

9 Εύκολα μπορεί α αποδειχθεί ότι από τις εκτιμήτριες T a, με α της μέης τιμής μ εός πληθυμού, τη μικρότερη διακύμαη έχει αυτή για τη οποία α,,,,, δηλαδή, ο δειγματικός μέος Προφαώς, είαι εδιαφέρο και φυικά επιθυμητό, από όλες τις αμερόληπτες εκτιμήτριες μιας παραμέτρου α προδιορίουμε εκείη με τη ελάχιτη διακύμαη, δηλαδή, α προδιορίουμε τη αμερόληπτη εκτιμήτρια ελάχιτης διαποράς της παραμέτρου Όμως, για το πώς μπορούμε α προδιορίζουμε μια τέτοια εκτιμήτρια δε θα επεκταθούμε περιότερο Σχήμα 4 Επιθυμητή είαι η περίπτωη (δ αφού τα ημεία πρόπτωης του βέλους βρίκοται κοτά το κέτρο του τόχου όπως βέβαια και τη περίπτωη (γ, όμως επιπλέο είαι περιότερο υγκετρωμέα γύρω από το κέτρο Στις περιπτώεις (α και (β βρίκοται υτηματικά ε υγκεκριμέη περιοχή μακριά από το κέτρο του τόχου Στη περίπτωη (α είαι και περιότερο διακορπιμέα Ολοκληρώουμε αυτή τη ύτομη ααφορά ε κάποιες από τις επιθυμητές ιδιότητες τω εκτιμητριώ, με τη ιδιότητα της υέπειας (consstency η οποία κατατάεται τις ιδιότητες που ααφέροται τη αυμπτωτική υμπεριφορά τω εκτιμητριώ, δηλαδή, το πώς υμπεριφέρεται μια εκτιμήτρια ότα το μέγεθος του δείγματος αυξάεται (θεωρητικά ότα + Δε θα ααφερθούμε εκτεώς, ούτε θα δώουμε το αυτηρό οριμό της υέπειας Θα κάουμε μόο μια ύτομη ααφορά το όημά της και θα δώουμε έα παράδειγμα Ότα, προηγουμέως, ααφερθήκαμε τη ιδιότητα της αποτελεματικότητας, προπαθήαμε α εξηγήουμε γιατί είαι επιθυμητό α έχει μια αμερόληπτη εκτιμήτρια μικρή διακύμαη Μπορεί α αποδειχθεί ότι α η διακύμαη μιας αμερόληπτης εκτιμήτριας (ακριβέτερα, μια ακολουθίας αμερόληπτω εκτιμητριώ υγκλίει το μηδέ ότα το μέγεθος του δείγματος αυξάεται ( +, τότε αυξάεται η πιθαότητα η εκτίμηη α βρίκεται «κοτά» τη τιμή της παραμέτρου Αυτή η ιδιότητα οομάζεται υέπεια Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 399

10 Μια εκτιμήτρια οομάζεται υεπής (consstent α, καθώς αυξάεται το μέγεθος του δείγματος, η εκτίμηη γίεται καλύτερη/ακριβέτερη, δηλαδή, οι τιμές της εκτιμήτριας πληιάζου (υγκλίου τοχατικά τη τιμή της παραμέτρου Εύκολα μπορεί α αποδειχθεί ότι ο δειγματικός μέος είαι υεπής εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής (αρκεί α θυμηθούμε ότι είαι αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής και ότι η διακύμαη της,, τείει το μηδέ ότα + και εφόο, φυικά, η πληθυμιακή διακύμαη,, είαι πεπεραμέη Δηλαδή, όο αυξάεται το μέγεθος του δείγματος, αυξάεται η πιθαότητα οι τιμές του δειγματικού μέου,, α βρίκοται κοτά, α υγκλίου, τη πληθυμιακή μέη τιμή, μ Σημειώουμε, τέλος, ότι και η αμερόληπτη δειγματική διακύμαη,, είαι υεπής εκτιμήτρια της πληθυμιακής διακύμαης Ας δούμε τώρα πώς μπορούμε α απατήουμε το δεύτερο από τα δύο ερωτήματα που θέαμε προηγουμέως (τη εότητα, δηλαδή για το τι μπορούμε α πούμε για το φάλμα που κάουμε ότα εκτιμάμε μια άγωτη παράμετρο εός πληθυμού με βάη τη πληροφορία που παίρουμε από έα τυχαίο δείγμα τιμώ του 3 Εκτίμηη με διάτημα Μια ημειακή εκτίμηη μιας άγωτης παραμέτρου εός πληθυμού, όπως είδαμε, είαι έας υγκεκριμέος αριθμός Με τις επιθυμητές ιδιότητες τω εκτιμητριώ, ουιατικά ζητάμε οι τιμές της εκτιμήτριας (ε επααλαμβαόμεες δειγματοληψίες α βρίκοται με μεγάλη πιθαότητα κοτά τη πραγματική/αληθή τιμή της παραμέτρου Ζητάμε δηλαδή, το φάλμα της εκτίμηης α είαι μικρό, με μεγάλη πιθαότητα Μπορούμε όμως α κάουμε κάτι ακόμη, έα επιπλέο βήμα Με βάη πάτα τη πληροφορία που παίρουμε από έα τυχαίο δείγμα, ατί α δίουμε έα μόο αριθμό (μια ημειακή εκτίμηη ως εκτίμηη της άγωτης παραμέτρου του πληθυμού, α δίουμε έα διάτημα εμπιτούης, δηλαδή, έα διάτημα το οποίο α περιέχει, με δεδομέη εμπιτούη (πιθαότητα, τη εκτιμώμεη παράμερο Μια τέτοια εκτίμηη λέγεται εκτίμηη με διάτημα (nterval estmaton Έα 00( διάτημα εμπιτούης (confdence nterval ( 0 < α <, για μια παράμετρο εός πληθυμού, είαι έα διάτημα που υπολογίζεται από έα τυχαίο δείγμα από το πληθυμό και έχει πιθαότητα α α περιέχει τη πραγματική τιμή της παραμέτρου Η πιθαότητα α οομάζεται υτελετής εμπιτούης (confdence coeffcent του διατήματος Έτι, κατακευάζοτας για μια άγωτη παράμετρο εός πληθυμού, έα 00( διάτημα εμπιτούης, δίουμε ως εκτίμηή της, όχι έα αριθμό (μια ημειακή εκτίμηη αλλά δύο αριθμούς που ορίζου έα διάτημα το οποίο περιέχει τη άγωτη παράμετρο με οριμέη πιθαότητα, ίη με α Η πιθαότητα αυτή αφαλώς ορίζεται α είαι μεγάλη (υήθως, ίη με 090 ή 095 ή 098 ή 099 Διευκριίζουμε και επιημαίουμε, ότι λέγοτας «το διάτημα εμπιτούης υπολογίζεται από έα τυχαίο δείγμα», εοούμε ότι τα άκρα του είαι τατιτικές υαρτήεις (υαρτήεις του δείγματος που δε περιέχου άγωτες παραμέτρους, δηλαδή, μπορεί α υπολογιθεί αποκλειτικά από το υγκεκριμέο δείγμα που, κάθε φορά, έχουμε τη διάθεή μας Είαι προφαές, ότι από πραγματοποίηη ε πραγματοποίηη του δείγματος, το διάτημα εμπιτούης ε γέει μεταβάλλεται, είαι δηλαδή τυχαία μεταβλητή Πρι εξηγήουμε πώς κατακευάζεται, ας δούμε πώς πρέπει α ερμηεύεται έα 00( διάτημα εμπιτούης Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 400

11 Σύμφωα με το οριμό που δώαμε προηγουμέως, έα 00( διάτημα εμπιτούης μιας παραμέτρου εός πληθυμού, περιέχει τη τιμή της παραμέτρου με πιθαότητα α Αυτό, ύμφωα με τη ερμηεία της πιθαότητας ως οριακή χετική υχότητα (οριμός της πιθαότητας κατά von Mses, ημαίει/έχει τη έοια ότι: ε μεγάλο αριθμό επααλήψεω του πειράματος «παίρω έα τυχαίο δείγμα μεγέθους από το πληθυμό και κατακευάζω για τη άγωτη παράμετρο έα 00( διάτημα εμπιτούης», ποοτό α τω δειγμάτω, θα δώου διάτημα που θα περιέχει τη τιμή της παραμέτρου και ποοτό α τω δειγμάτω θα δώου διάτημα που δε θα περιέχει τη τιμή της παραμέτρου Βέβαια, ότα πάρουμε έα υγκεκριμέο τυχαίο δείγμα, ποτέ δε είματε βέβαιοι/δε ξέρουμε α το διάτημα εμπιτούης που θα κατακευάουμε από αυτό, περιέχει/εγκλωβίζει ή όχι τη τιμή της παραμέτρου (εκτός α γωρίζαμε τη τιμή της παραμέτρου Αυτό, φυικά, δε μειώει τη αξία εός διατήματος εμπιτούης Η εμπιτούη μας τη εκτίμηη της παραμέτρου με αυτό, είαι ίη με α, είαι αφώς οριμέη και έχει τη έοια που εξηγήαμε προηγουμέως Ας δούμε και μια πιο παρατατική ερμηεία της εκτίμηης με διάτημα εμπιτούης που πιτεύουμε ότι θα βοηθήει τη καταόηη Σκεφθείτε ότι προπαθείτε, πετώτας έα λάο, α «εγκλωβίετε» έα πακτωμέο/ταθερό πάαλο (α περάετε τη θηλιά του λάου το πάαλο Ο πάαλος ααπαριτά τη παράμετρο που θέλετε α εκτιμήετε και η θηλιά του λάου το διάτημα εμπιτούης Κάθε φορά που πετάτε το λάο προς το πάαλο, ελπίζετε ότι θα καταφέρετε α το «εγκλωβίετε» Όμως αυτό, κάποιες φορές υμβαίει και κάποιες όχι Κατ ααλογία, κάθε φορά που παίρετε έα τυχαίο δείγμα και κατακευάζετε από αυτό έα διάτημα εμπιτούης για α εκτιμήετε μια παράμετρο, ελπίζετε ότι θα «εγκλωβίετε» τη παράμετρο το διάτημα που κατακευάατε, αλλά όπως υμβαίει με τη θηλιά και το πάαλο, κάποιες φορές επιτυγχάετε και κάποιες αποτυγχάετε Το ποοτό τω «επιτυχιώ» ας, ε επααλαμβαόμεες δειγματοληψίες, είαι ο υτελετής εμπιτούης Παρατήρηη : Κάποιος θα μπορούε α δώει τη εξής ερμηεία για έα 00( διάτημα εμπιτούης: η παράμετρος έχει α πιθαότητα α βρίκεται το υγκεκριμέο διάτημα που κατακευάαμε Προφαώς μια τέτοια ερμηεία είαι άτοχη/λάθος γιατί η παράμετρος είαι, άγωτη με, αλλά ταθερός αριθμός και επομέως ή αήκει ή δε αήκει το υγκεκριμέο διάτημα (πιθαότητες αποδίδουμε τις τιμές τυχαίω μεταβλητώ Ας δούμε τώρα, πώς μπορούμε α κατακευάουμε έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ εός πληθυμού Διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού Ως εκτιμήτρια της μέης τιμής μ θα χρηιμοποιήουμε το δειγματικό μέο αφού όπως διαπιτώαμε έχει καλές ιδιότητες και επιπλέο, όπως είδαμε το Α Μέρος και το 0 ο Κεφάλαιο, υπάρχου αποτελέματα της Θεωρίας Πιθαοτήτω και της Στατιτικής που μας δίου επακριβώς ή με ικαοποιητική προέγγιη τη καταομή Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 40

12 του Συγκεκριμέα, έχουμε τη διάθεή μας αποτελέματα χετικά με τη καταομή του δειγματικού μέου α ότα ο πληθυμός είαι καοικός β ότα το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο (και ο πληθυμός όχι κατ αάγκη καοικός Για τις περιπτώεις αυτές ας δούμε πώς μπορούμε α κατακευάουμε έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη εκτίμηη της μέης τιμής μ εός πληθυμού Ο πληθυμός είαι καοικός Θα διακρίουμε τη περίπτωη που η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή από τη περίπτωη που δε είαι γωτή (α Ο πληθυμός είαι καοικός με γωτή διακύμαη Έτω τυχαίο δείγμα,, K,, μεγέθους (οτιδήποτε, μικρό ή μεγάλο, από έα καοικό πληθυμό με άγωτη μέη τιμή μ (τη οποία θέλουμε α εκτιμήουμε και με γωτή διακύμαη Επειδή ~ N( μ,,,,,, από τη θεωρία πιθαοτήτω γωρίζουμε ότι η καταομή του δειγματικού μέου είαι καοική με μέη τιμή μ και διακύμαη, δηλαδή ~ N( μ, και επομέως ( μ n Z ~ N(0, Επίης γωρίζουμε, ότι για τη τυποποιημέη καοική καταομή μπορούμε α ορίουμε έα υμμετρικό γύρω από τη μέη τιμή της (από το 0 διάτημα, το οποίο η Ζ παίρει τιμές με δοθεία πιθαότητα α (θυμηθείτε πώς ορίζουμε και υμβολίζουμε έα άωα -ποοτιαίο ημείο τη τυποποιημέη καοική καταομή Έτι, όπως φαίεται και το Σχήμα, η Ζ παίρει τιμές το υμμετρικό διάτημα z α, z ] με πιθαότητα α Δηλαδή [ α P ( z Z α α zα Σχήμα P ( z Z α α zα Επομέως ( μ P ( zα zα α και επειδή Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 40

13 ( μ z α zα z α μ zα zα μ + zα zα μ + zα τα εδεχόμεα ( μ zα zα και zα μ + zα υμβαίου με τη ίδια πιθαότητα, έτι P ( zα μ + zα α Αυτό ημαίει, ότι το τυχαίο διάτημα ± z α περιέχει τη μέη τιμή μ του πληθυμού με πιθαότητα α και επομέως, για υγκεκριμέη πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, μας δίει έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού Έτι, κάθε φορά που έχουμε τη διάθεή μας μια υγκεκριμέη πραγματοποίηη x, x, K, x του τυχαίου δείγματος,, K,, υπολογίζουμε τη τιμή, x, της και αφού καθορίουμε έα επιθυμητό υτελετή εμπιτούης α, μπορούμε α κατακευάουμε έα 00( διάτημα εμπιτούης, αφού η διακύμαη,, του πληθυμού μάς είαι γωτή και η τιμή z α δίεται από το πίακα της τυποποιημέης καοικής καταομής (με ατίτροφη αάγωη Κατακευάζοτας για τη μέη τιμή μ του πληθυμού, με βάη μια υγκεκριμέη πραγματοποίηη x, x, K, x του τυχαίου δείγματος, έα υγκεκριμέο 00( διάτημα εμπιτούης x ± z α δε είματε ποτέ βέβαιοι, όπως ήδη έχουμε εξηγήει, α το διάτημα αυτό περιέχει ή όχι τη άγωτη μέη τιμή μ Γωρίζουμε όμως, ότι η πιθαότητα α υμβεί αυτό είαι α και έχει τη έοια, όπως επίης εξηγήαμε, ότι α επααλάβουμε τη προηγούμεη διαδικαία πολλές φορές, ποοτό α τω δειγμάτω θα δώου διάτημα που θα περιέχει τη μέη τιμή μ του πληθυμού και ποοτό α τω δειγμάτω θα δώου διάτημα που δε θα τη περιέχει Στο Σχήμα, δείχουμε πιο παρατατικά αυτό ακριβώς Θεωρείτε ότι επααλάβαμε τη προηγούμεη διαδικαία 00 φορές και κατακευάαμε (για υγκεκριμέο/γωτό και υγκεκριμέο μέγεθος δείγματος 00 διατήματα εμπιτούης με 095 υτελετή εμπιτούης το καθέα, δηλαδή 00 διατήματα x ±96 Τα πέτε από αυτά ( , δηλαδή ποοτό 005, περιμέουμε α μη περιέχου τη πληθυμιακή μέη τιμή μ Παρατηρείτε ότι τα κέτρα τω διατημάτω που δε περιέχου τη μ (το χήμα φαίοται από τα 5 που περιμέουμε, είαι αρκετά απομακρυμέα από το κέτρο της δειγματοληπτικής καταομής (της καταομής της Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 403

14 Σχήμα 95% διατήματα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ εός πληθυμού Ποοτό 095 από αυτά ααμέουμε α «εγκλωβίζου» τη μέη τιμή μ και ποοτό 005 α αποτυγχάου α τη «εγκλωβίου» Παρατήρηη : Όπως φαίεται και το Σχήμα, το πλάτος τω 00( διατημάτω εμπιτούης, x ±, από δείγμα ε δείγμα του ιδίου μεγέθους δε αλλάζει, παραμέει ταθερό και είαι ίο με z α Αυτό υμβαίει γιατί το τύπο αυτό δε εμφαίζεται κάποια ποότητα που μεταβάλλεται από δείγμα ε δείγμα του ιδίου μεγέθους (η τυπική απόκλιη του πληθυμού, είαι έας μοαδικός/ταθερός αριθμός Περιθώριο φάλματος Ότα εκτιμάμε τη μέη τιμή μ εός πληθυμού με το δειγματικό μέο, το φάλμα της εκτίμηης (error of estmaton που κάουμε, για υγκεκριμέο κάθε φορά δείγμα, είαι μ x και προφαώς, από δείγμα ε δείγμα αυτό αλλάζει Είαι δηλαδή, τυχαία μεταβλητή ( μ Δίοτας ως εκτίμηη της πληθυμιακής μέης τιμής μ, έα 00( διάτημα εμπιτούης, x ± z α, ουιατικά δίουμε με προκαθοριμέη πιθαότητα ίη με α, έα περιθώριο φάλματος της εκτίμηης ίο με z α Α και είαι προφαές τι εοούμε με τη όρο περιθώριο φάλματος, καθώς και γιατί τη περίπτωη που εξετάζουμε αυτό είαι z α (με πιθαότητα α, ας δούμε πώς ορίζεται και πώς τα προηγούμεα προκύπτου πιο «φορμαλιτικά» Ως περιθώριο φάλματος (margn of error της εκτίμηης της πληθυμιακής μέης τιμής μ από το δειγματικό μέο, ορίζουμε το μέγιτο φάλμα, με πιθαότητα α, που μπορεί α κάουμε Δηλαδή, έα θετικό αριθμό d, τέτοιο ώτε P ( μ d α Επομέως, ιοδύαμα, έχουμε d d P ( d μ d α ή P ( Z α Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 404 z α

15 Άρα d zα d zα Έτι, εκτιμώτας τη άγωτη μέη τιμή μ με έα, για παράδειγμα, 95% διάτημα εμπιτούης, το περιθώριο φάλματος, με πιθαότητα 095, είαι 96 Δηλαδή, ο δειγματικός μέος, με πιθαότητα 095, βρίκεται ε απόταη το πολύ ίη με 96 (αριτερά ή δεξιά από τη πληθυμιακή μέη τιμή Σημείωη : Όπως διαπιτώαμε, η τυπική απόκλιη του δειγματικού μέου, υδέεται άμεα με το φάλμα της εκτίμηης της πληθυμιακής μέης τιμής από το δειγματικό μέο Έτι εξηγείται γιατί η τυπική απόκλιη, οομάθηκε τυπικό φάλμα (standard error Εμπιτούη vs ακρίβεια και επιλογή μεγέθους δείγματος Είαι φαερό ότι όο μεγαλύτερο υτελετή εμπιτούης ορίζουμε, δηλαδή, όο μεγαλύτερη θέλουμε α είαι η πιθαότητα το διάτημα που θα κατακευάουμε α περιέχει τη πληθυμιακή μέη τιμή, τόο το πλάτος/εύρος του διατήματος, έτω l, γίεται μεγαλύτερο Επομέως, αυξάοτας το υτελετή εμπιτούης, αυξάεται το περιθώριο φάλματος, ή αλλιώς, μειώεται η ακρίβεια της εκτίμηης Παρατηρείτε το τύπο που δίει το διάτημα εμπιτούης Το πλάτος/εύρος του διατήματος είαι l zα d δηλαδή, καθορίζεται από το περιθώριο φάλματος Α αυξήουμε το υτελετή εμπιτούης, α, η τιμή z α θα μεγαλώει γιατί είαι αύξουα υάρτηη του α (ή αλλιώς, φθίουα υάρτηη του α και επειδή το είαι ταθερό/μοαδικό για το πληθυμό και το είαι καθοριμέο, το περιθώριο φάλματος και επομέως το πλάτος του διατήματος, ααπόφευκτα, θα μεγαλώει και θα χάουμε ε ακρίβεια Εφόο ότα απαιτούμε μεγαλύτερη εμπιτούη αυξάεται το περιθώριο φάλματος (χάουμε ε ακρίβεια, για α ελέγξουμε και τα δύο αυτά μεγέθη, μπορούμε α κάουμε το εξής Στη φάη χεδιαμού της έρευας, δηλαδή, πρι πάρουμε το δείγμα, καθορίζουμε, τόο το επιθυμητό επίπεδο εμπιτούης α, όο και το αεκτό περιθώριο φάλματος d Έτι, αξιοποιώτας το τύπο d z α λύουμε ως προς το μέγεθος του δείγματος, z α zα ή d l και με αυτό το τρόπο βρίκουμε το απαιτούμεο μέγεθος δείγματος, για α πετύχουμε, το επιθυμητό επίπεδο εμπιτούης, το αεκτό περιθώριο φάλματος Πρι υεχίουμε με άλλες περιπτώεις υπολογιμού διατημάτω εμπιτούης, ας δούμε έα παράδειγμα Παράδειγμα : Μια αυτόματη μηχαή υκευάζει καλαμπόκι ε τουβάλια τω 5kg Το βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι είαι τυχαία μεταβλητή, έτω Χ, η οποία, ύμφωα με το κατακευατή της μηχαής, ακολουθεί Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 405

16 μια καοική καταομή με διακύμαη 5 Kg Ο υπεύθυος παραγωγής αμφιβάλλει για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι και προκειμέου α το εκτιμήει, επέλεξε τυχαία 5 τουβάλια από τη παραγωγή μιας ημέρας, τα ζύγιε και βρήκε ότι έχου μέο βάρος 4 8kg Με βάη τη πληροφορία από το τυχαίο δείγμα που πήρε ο υπεύθυος παραγωγής, τι μπορούμε α υμπεράουμε για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι από τη μηχαή; Απάτηη: Ως μια εκτίμηη (ημειακή της μέης τιμής μ, της τυχαίας μεταβλητής Χ μπορούμε προφαώς, α χρηιμοποιήουμε το δειγματικό μέο x 4 8kg και α υμπεράουμε ότι η τιμή της μ είαι περίπου ίη με 48kg Βέβαια, έα άλλο τυχαίο δείγμα του ιδίου μεγέθους δε περιμέουμε α δώει ακριβώς τη ίδια εκτίμηη, μπορεί α δώει 5kg, ή 5kg ή 45kg ή κάποια άλλη εκτίμηη Γωρίζουμε όμως ότι ο δειγματικός μέος έχει καλές ιδιότητες, όπως ότι ε επααλαμβαόμεες δειγματοληψίες κατά μέο όρο εκτιμά ωτά τη μ και ότι όο αυξάεται το μέγεθος του δείγματος, παίρει τιμές κοτά τη πραγματική τιμή της μ με πιο μεγάλη πιθαότητα Επιπλέο μπορούμε α κατακευάουμε έα διάτημα εμπιτούης με ικαοποιητική εμπιτούη, για παράδειγμα 095, δηλαδή έα διάτημα το οποίο με πιθαότητα 095 α περιέχει τη πραγματική τιμή της μέης τιμής, μ Επειδή το δείγμα μας προέρχεται από καοικό πληθυμό με γωτή διακύμαη 5 kg, έα 95% διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή, μ, της τυχαίας μεταβλητής Χ, δηλαδή, για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι από τη μηχαή, είαι 5 5 x ± z 005 ή 48 ± z 0 05 ή 4 8 ± 96 ή 4 8 ± Μπορούμε επομέως α υμπεράουμε ότι το διάτημα [ 404, 556] έχει 095 πιθαότητα α περιέχει το πραγματικό μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι από τη μηχαή Το περιθώριο φάλματος της εκτίμηης, με πιθαότητα 095, είαι 076kg Α θέλουμε α έχουμε μεγαλύτερη εμπιτούη τη εκτίμηή μας, ας πούμε 099, κατακευάζουμε από το ίδιο δείγμα έα 99% διάτημα εμπιτούης Έτι, παίρουμε 5 5 x ± z 00 ή 48 ± z ή 4 8 ± 58 ή 4 8 ± 5 5 Συεπώς, τώρα μπορούμε α υμπεράουμε ότι το διάτημα [ 38, 58] έχει 099 πιθαότητα α περιέχει το πραγματικό μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι από τη μηχαή Όμως, το περιθώριο φάλματος αυτής της εκτίμηης με πιθαότητα 099, είαι kg, δηλαδή, μεγάλωε και επομέως χάαμε ε ακρίβεια εκτίμηης Παρατηρείτε ότι το πλάτος του 99% διατήματος εμπιτούης είαι kg kg εώ του 95% διατήματος εμπιτούης είαι 076kg 5kg (δείτε και το Σχήμα 3 Σχήμα 3 Το 99% διάτημα εμπιτούης είαι πιο πλατύ από το ατίτοιχο 95% διάτημα εμπιτούης Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 406

17 Α θέλουμε η εμπιτούη τη εκτίμηή μας για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι από τη μηχαή α είαι 099 και το φάλμα της εκτίμηης α είαι, για παράδειγμα, το πολύ ± 05kg, δηλαδή, το περιθώριο φάλματος με πιθαότητα 099 α είαι d 0 5kg (καθοριμέο εκ τω προτέρω, τότε το απαιτούμεο μέγεθος του δείγματος που πρέπει α επιλέξουμε είαι z α 5z d 05 Στη περίπτωη που ακολουθεί όπως και τις επόμεες, δίουμε μόο τους τύπους υπολογιμού τω διατημάτω εμπιτούης Η μέθοδος που εφαρμόζουμε για α κατακευάουμε αυτά τα διατήματα εμπιτούης είαι αάλογη με αυτή που εφαρμόαμε προηγουμέως Φυικά, αξιοποιούμε τα ατίτοιχα, κατά περίπτωη, αποτελέματα τω Πιθαοτήτω και της Στατιτικής για τις δειγματοληπτικές καταομές που ααφέραμε το 0 ο Κεφάλαιο (για δείγματα από καοική καταομή ή για μεγάλα δείγματα Σημειώουμε επίης, ότι όα προηγουμέως ααφέραμε για το πώς επηρεάζεται η ακρίβεια της εκτίμηης από το επίπεδο εμπιτούης, ιχύου και τις περιπτώεις που ακολουθού Μόο οι χετικοί τύποι αλλάζου (β Ο πληθυμός είαι καοικός με άγωτη διακύμαη Στη περίπτωη (α προηγουμέως, υπολογίαμε το τύπο που δίει έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ εός καοικού πληθυμού του οποίου γωρίζουμε τη διακύμαη Όμως, ε πρακτικά προβλήματα, η διακύμαη του πληθυμού, υήθως δε είαι γωτή Έτω λοιπό, τυχαίο δείγμα,, K, μεγέθους (οτιδήποτε, μικρό ή μεγάλο από μια καοική καταομή με άγωτη μέη τιμή μ (τη οποία θέλουμε α εκτιμήουμε και με άγωτη διακύμαη Στη περίπτωη αυτή, εκτιμάμε τη άγωτη πληθυμιακή διακύμαη από τη αμερόληπτη δειγματική διακύμαη ( και επειδή (όπως είδαμε το 0 ο Κεφάλαιο η τυχαία μεταβλητή ( μ T ακολουθεί t-καταομή με βαθμούς ελευθερίας, δηλαδή ( μ T ~ t εργαζόμεοι όπως τη περίπτωη (α προηγουμέως, εύκολα μπορούμε α αποδείξουμε ότι το τυχαίο διάτημα ± t ; α, περιέχει τη μέη τιμή μ του πληθυμού με πιθαότητα α και επομέως, για υγκεκριμέη πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, μας δίει έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού Υπεθυμίζουμε, ότι με t ; α υμβολίζεται το άω α -ποοτιαίο ημείο της t- καταομής με βαθμούς ελευθερίας, το οποίο για διάφορες τιμές του α και του, δίεται από χετικό πίακα (δείτε και το Σχήμα 4 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 407

18 Σχήμα 4 P ( t T ; α t ; α Παρατηρείτε ότι το τυχαίο διάτημα ± t ; α από δείγμα ε δείγμα (του ιδίου μεγέθους μεταβάλλεται, ε γέει, όχι μόο ως προς τη τιμή του δειγματικού μέου, αλλά και ως προς τη τιμή της δειγματικής τυπικής απόκλιης Δηλαδή, το πλάτος/εύρος l t ; α, τω 00( διατημάτω εμπιτούης που κατακευάζουμε είαι τυχαία μεταβλητή αφού από δείγμα ε δείγμα μεταβάλλεται (εώ τη περίπτωη (α προηγουμέως όπως είδαμε είαι ταθερό Έτι, και ο προδιοριμός κατάλληλου μεγέθους δείγματος για α πετύχουμε προκαθοριμέο περιθώριο φάλματος (το επιθυμητό υτελετή εμπιτούης, δε μπορεί α γίει όπως τη περίπτωη (α Λύη το πρόβλημα αυτό έχει δώει ο Charles ten (945, με μια διαδικαία διταδιακής δειγματοληψίας (ten s two-stage scheme, όμως δε θα επεκταθούμε περιότερο Ας επαέλθουμε τώρα τα ερωτήματα που απαχολού το φοιτητή (το ειαγωγικό παράδειγμα του κεφαλαίου Παράδειγμα : Το τυχαίο δείγμα μεγέθους 6 που πήρε ο φοιτητής από τη περιοχή Α, προέρχεται από καοικό πληθυμό με άγωτη μέη τιμή μ και άγωτη διακύμαη Δηλαδή, για τη τυχαία μεταβλητή Χ που εκφράζει τη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Α, έχουμε ~ N( μ, Επειδή ο δειγματικός μέος και η δειγματική τυπική απόκλιη είαι ατίτοιχα, x 75μgr και s 84μgr, έα 95% διάτημα εμπιτούης για τη άγωτη μέη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Α, είαι ± t 5;0 05 ή 75 ± 3 ή 75 ± Επομέως, μπορούμε α υμπεράουμε ότι το διάτημα [ 705, 7948] έχει 095 πιθαότητα α περιέχει τη άγωτη μέη τιμή μ, δηλαδή, τη άγωτη μέη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Α Το εύρος αυτού του διατήματος είαι ίο με μgr Α θέλουμε, για το ίδιο υτελετή εμπιτούης, καλύτερη ακρίβεια (διάτημα μικρότερου εύρους πρέπει α πάρουμε μεγαλύτερου μεγέθους δείγμα Για α υπολογίουμε το μέγεθος του δείγματος που απαιτείται για α πετύχουμε, ε δεδομέο επίπεδο εμπιτούης έα προκαθοριμέο αεκτό εύρος για το διάτημα εμπιτούης, μπορούμε α εφαρμόουμε τη διαδικαία διταδιακής δειγματοληψίας ten Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 408 α

19 Βέβαια, όπως εξηγήαμε τα προηγούμεα, μπορούμε α βελτιώουμε τη ακρίβεια της εκτίμηης α από το ίδιο δείγμα κατακευάουμε έα διάτημα εμπιτούης με μικρότερο υτελετή εμπιτούης, για παράδειγμα, 090 Πράγματι, το 90% διάτημα εμπιτούης που παίρουμε από το υγκεκριμέο δείγμα, είαι ± t 5;0 05 ή 75 ± 753 ή 75 ± και το εύρος τώρα είαι μικρότερο (είαι ίο με 368μgr Εργαζόμεοι με το ίδιο τρόπο μπορούμε α δώουμε εκτίμηη με διάτημα εμπιτούης και για τη άγωτη μέη τιμή μ, δηλαδή, για τη μέη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Β (δείτε το ως άκηη Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο Θα διακρίουμε και πάλι τη περίπτωη που η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή από τη περίπτωη που δε είαι γωτή (α Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο και η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή Α το τυχαίο δείγμα,, K, προέρχεται από οποιαδήποτε καταομή (όχι κατ αάγκη καοική, με μέη τιμή μ και διακύμαη, τότε όπως είδαμε το Α Μέρος (ΚΟΘ, για μεγάλο μέγεθος δείγματος (ε γέει, 30, κατά προέγγιη έχουμε ~ N( μ, Επομέως, τη περίπτωη αυτή, για υγκεκριμέη πραγματοποίηη, x, x, K, x, του τυχαίου δείγματος,, K,, έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού, όπως τη περίπτωη α, δίεται από το τύπο x ± z α Βέβαια, επειδή η καταομή της δε είαι καοική αλλά προεγγίζεται ικαοποιητικά από τη καοική, το διάτημα αυτό είαι υτελετή εμπιτούης α κατά προέγγιη Δηλαδή, έχει πιθαότητα περίπου α, α περιέχει τη άγωτη πληθυμιακή μέη τιμή μ (β Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο και η διακύμαη του πληθυμού είαι άγωτη Α το δείγμα,, K, προέρχεται από οποιαδήποτε καταομή (όχι κατ αάγκη καοική, με μέη τιμή μ και διακύμαη, τότε (όπως είδαμε το 0 ο Κεφάλαιο για μεγάλο μέγεθος δείγματος (ε γέει, 30, κατά προέγγιη έχουμε ( μ ~ N(0, Επομέως, τη περίπτωη αυτή, για υγκεκριμέη πραγματοποίηη x, x, K, x του τυχαίου δείγματος,, K,, έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού, δίεται από το τύπο Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 409

20 s x ± zα Βέβαια, όπως και τη προηγούμεη περίπτωη α, το διάτημα αυτό είαι υτελετή εμπιτούης α κατά προέγγιη Δηλαδή, έχει πιθαότητα περίπου α, α περιέχει τη άγωτη πληθυμιακή μέη τιμή μ Για διευκόλυή μας υοψίζουμε τις προηγούμεες περιπτώεις το Πίακα Πληθυμός 00( α % Δ Ε Διακύμαη του Μέγεθος για τη μέη τιμή, μ, πληθυμού ( του δείγματος ( του πληθυμού Καοικός Γωτή Οτιδήποτε ± z Οποιοδήποτε Γωτή Μεγάλο α ( Οποιοδήποτε Άγωτη Μεγάλο ± zα ( Καοικός Άγωτη Οτιδήποτε ± t ; α (3 Όχι Καοικός Γωτή ή Άγωτη Μικρό? Πίακας 00( διατήματα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ εός πληθυμού από έα τυχαίο δείγμα μεγέθους Σημείωη : α Είαι προφαές, όμως το επιημαίουμε, ότι ε κάθε περίπτωη το δείγμα θεωρείται τυχαίο β Για μεγάλο δείγμα από καοική καταομή με άγωτη διακύμαη, μπορεί α εφαρμοθεί ή ο τύπος ( ή ο τύπος (3 αφού τη περίπτωη αυτή δίου ίδιο διάτημα (για μεγάλα, t ; α zα Όμως, για μικρό δείγμα από καοική καταομή με άγωτη διακύμαη, το διάτημα (3 αποτελεί μοαδική επιλογή μας γ Ο τύπος (3 εφαρμόζεται με τη προϋπόθεη ότι ο πληθυμός είαι καοικός, ετούτοις, έχει διαπιτωθεί ότι τη πράξη δίει καλά αποτελέματα ακόμη και ότα ο πληθυμός δε είαι καοικός Δηλαδή, η πιθαότητα το διάτημα αυτό α περιέχει τη πληθυμιακή μέη τιμή δε απέχει πολύ από α, αρκεί βέβαια, ο πληθυμός α μη απέχει δραματικά από το α είαι καοικός (οβαρή αυμμετρία, περιότερες από μια κορυφές, κτλ και το δείγμα α μη είαι πολύ μικρό Παράδειγμα 3 (υέχεια του Παραδείγματος 93: Στο Πίακα φαίεται για κάθε μια από 50 τυχαία επιλεγμέες γαλακτοπαραγωγές αγελάδες, ο χρόος (ε μήες από τη πρώτη εκδήλωη μιας υγκεκριμέης αθέειας που προβάλλει τις αγελάδες μέχρι τη επαεμφάιή της Πίακας Οι χρόοι επαεμφάιης (ε μήες μιας αθέειας ε 50 γαλακτοπαραγωγές αγελάδες Στα Παραδείγματα 93&94 και τη Άκηη 93 μελετήαμε τη καταομή του υγκεκριμέου δείγματος Ας δούμε τώρα τι μπορούμε α πούμε, με βάη το υγκεκριμέο δείγμα, για το πληθυμό από το οποίο αυτό προέρχεται Δηλαδή, τι Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 40

21 μπορούμε α πούμε για τη καταομή της τυχαίας μεταβλητής, έτω Χ, που εκφράζει το χρόο επαεμφάιης της αθέειας Η καταομή της τυχαίας μεταβλητής Χ μας είαι άγωτη Δε γωρίζουμε ούτε τη μορφή της (α είαι, για παράδειγμα, καοική ούτε κάποια παράμετρό της όπως τη μέη τιμή της ή τη διακύμαή της Έτω λοιπό μ η άγωτη μέη τιμή της Χ, δηλαδή, ο άγωτος μέος χρόος επαεμφάιης της αθέειας Με βάη το τυχαίο δείγμα τιμώ της Χ που έχουμε τη διάθεή μας, μπορούμε πλέο α κατακευάουμε έα 95% διάτημα εμπιτούης για τη άγωτη μέη τιμή μ, δηλαδή, α πάρουμε μια εκτίμηη για το μέο χρόο επαεμφάιης της αθέειας Πράγματι, επειδή το δείγμα είαι μεγάλο ( και η διακύμαη της Χ (του πληθυμού μας είαι άγωτη, με βάη όα προηγουμέως εξηγήαμε (περίπτωη β, έα 95% διάτημα εμπιτούης για τη άγωτη μέη τιμή μ της Χ δίεται από το τύπο ± zα Εύκολα βρίκουμε (Άκηη 93 ότι ο δειγματικός μέος και η δειγματική τυπική απόκλιη για το υγκεκριμέο δείγμα ατίτοιχα είαι x 8 μήες και s 5μήες και επομέως, με βάη το υγκεκριμέο δείγμα, το ζητούμεο 95% διάτημα εμπιτούης, είαι ± z 005 ή 8 ± z 0 05 ή 8 ± 96 ή 8 ± Αυτό ημαίει ότι το διάτημα [, 35] έχει 095 πιθαότητα α περιέχει το άγωτο μέο χρόο επαεμφάιης της αθέειας 3 Διάτημα εμπιτούης για το διωυμικό ποοτό Έτω,, K, τυχαίο δείγμα από πληθυμό που ακολουθεί καταομή Bernoull με παράμετρο p (πιθαότητα επιτυχίας και επομέως με μέη τιμή μ p και διακύμαη p( p Στο 0 ο Κεφάλαιο εξηγήαμε ότι για τη τυχαία μεταβλητή + + K + η οποία εκφράζει το ποοτό τω επιτυχιώ το δείγμα Pˆ, για μεγάλα, κατά προέγγιη έχουμε ˆ + + K+ p( p P ~ N p, Η προέγγιη αυτή είαι ικαοποιητική α p 5 και ( p 5 ή p( p 0 (θυμηθείτε ότι το πόο μεγάλο πρέπει α είαι το εξαρτάται και από το p Επομέως, κατά προέγγιη έχουμε Pˆ p P ( zα zα α p( p Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 4

22 και χρηιμοποιώτας ως εκτιμήτρια της άγωτης διακύμαης p( p, τη Pˆ ( Pˆ, εύκολα προκύπτει ότι το διάτημα ˆ Pˆ( Pˆ P ± zα είαι έα κατά προέγγιη 00( διάτημα εμπιτούης για τη παράμετρο p (ποοτό το πληθυμό Έτι, για υγκεκριμέη πραγματοποίηη x, x, K, x του τυχαίου δείγματος,, K, με ποοτό επιτυχιώ το δείγμα p ˆ ( x + x + K + x, το, διάτημα pˆ( pˆ pˆ ± zα είαι έα κατά προέγγιη 00( διάτημα εμπιτούης για το ποοτό p το πληθυμό, εφόο, pˆ 5 και ( pˆ 5 Σημείωη 3: Α το μέγεθος του δείγματος δε είαι μεγάλο, η καοική προέγγιη που χρηιμοποιήαμε δε μπορεί α εφαρμοθεί Στη περίπτωη αυτή μπορεί α χρηιμοποιηθεί η ακριβής καταομή της τατιτικής υάρτηης ˆ + + P ~ B(, p Όμως, τη πράξη, ε προβλήματα εκτίμηης ποοτού, υήθως δε ατιμετωπίζουμε πρόβλημα μικρώ δειγμάτω Παράδειγμα 3: Έας ερευητής, προκειμέου α εκτιμήει το ποοτό τω ατόμω ε έα πληθυμό που έχου ομάδα αίματος Α, επέλεξε με βάη έα χέδιο τυχαίας δειγματοληψίας 00 άτομα από το πληθυμό αυτό και βρήκε ότι ομάδα αίματος Α έχου τα 89 Προφαώς, πρόκειται για δειγματοληψία από έα πληθυμό Bernoull με παράμετρο p (μέη τιμή, τη οποία ο ερευητής θέλει α εκτιμήει με βάη έα τυχαίο δείγμα,, K, μεγέθους 00 Η τιμή του δειγματικού μέου (δειγματικού ποοτού, 00 ˆ + + K + 00 P 00 για τη υγκεκριμέη πραγματοποίηη του δείγματος είαι 89 p ˆ και επειδή pˆ και ( pˆ , το διάτημα ± z 0 05 ή 0445 ± ή ± είαι έα κατά προέγγιη 95% διάτημα εμπιτούης για τη παράμετρο p (ποοτό το πληθυμό Επομέως, το διάτημα [ 0376, 054] έχει 095 πιθαότητα α περιέχει το ποοτό τω ατόμω το πληθυμό που έχει ομάδα αίματος Α Παράδειγμα 3 (υέχεια του Παραδείγματος 6: Στο Παράδειγμα 6 είδαμε ότι ε μια καλλιέργεια τουλίπας, από 5 βολβούς τουλίπας που τυχαία επελέγηα, βλάτηα μόο οι 38 και γι αυτό ο αγρότης που τους καλλιεργεί αμφιβάλλει για το α το ποοτό τω βολβώ που βλατάου είαι πράγματι 90% όπως ιχυρίζεται ο γεωπόος του φυτώριου από το οποίο τους αγόραε Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 4

23 Η απάτηη που δώαμε (το Παράδειγμα 6 δικαιώει όπως είδαμε τις αμφιβολίες του αγρότη γιατί όπως δείξαμε «με τη υπόθεη ότι αληθεύει ο ιχυριμός του γεωπόου, η πιθαότητα α βλατήου μόο 38 από τους 5 βολβούς είαι περίπου μηδεική» Ας δούμε τώρα πώς μπορούμε, με βάη το δειγματικό ποοτό που έχουμε τη διάθεή μας, α κατακευάουμε έα διάτημα εμπιτούης για το ποοτό p τω βολβώ που βλατάου (επί του υόλου της παραγωγής του φυτώριου και α πάρουμε έτι για το p μια εκτίμηη με δεδομέη εμπιτούη, έτω 95% Το δειγματικό ποοτό είαι 38 p ˆ και επειδή pˆ και ( pˆ , το διάτημα ± z 0 05 ή 073 ± ή 0 73 ± 0 5 είαι έα κατά προέγγιη 95% διάτημα εμπιτούης για το ποοτό p τω βολβώ του φυτωρίου που βλατάου (ποοτό το πληθυμό Επομέως, το διάτημα [ 06, 085] έχει 095 πιθαότητα α περιέχει το ποοτό τω βολβώ (επί του υόλου της παραγωγής που βλατάου Παρατηρείτε ότι δε περιέχει τη τιμή 09, δηλαδή, οι αμφιβολίες του αγρότη και πάλι δικαιώοται Παρατήρηη 3: Το εύρος z ˆ α pˆ( p εός 00( διατήματος εμπιτούης για το διωυμικό ποοτό p, προφαώς δε είαι ταθερό από δείγμα ε δείγμα Όμως, για p ˆ, το γιόμεο pˆ ( pˆ γίεται μέγιτο και επομέως το περιθώριο φάλματος της εκτίμηης με πιθαότητα α είαι d zα ή d zα 4 Α επομέως προκαθορίουμε έα αεκτό περιθώριο φάλματος d, με πιθαότητα α, τότε για τη εκτίμηη του ποοτού το πληθυμό, απαιτείται μέγεθος δείγματος z α 4 d Α έχουμε λόγους α πιτεύουμε ότι το άγωτο πληθυμιακό ποοτό είαι περίπου ίο με κάποια τιμή, έτω p, τότε, το απαιτούμεο μέγεθος δείγματος είαι zα p ( p d Έτι, α το παράδειγμά μας θέλουμε το φάλμα της εκτίμηης, με πιθαότητα 095, α μη ξεπερά, για παράδειγμα, το 003, τότε πρέπει α πάρουμε δείγμα μεγέθους Α εκτιμάμε/θεωρούμε ότι το ποοτό το πληθυμό είαι περίπου 040, τότε το απαιτούμεο μέγεθος δείγματος είαι zα 96 p ( p d 003 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 43

24 4 Διάτημα εμπιτούης για τη διακύμαη εός καοικού πληθυμού Έτω,, K, τυχαίο δείγμα από καοικό πληθυμό, δηλαδή, ~ N( μ, για κάθε,, K, Στο 0 ο Κεφάλαιο είδαμε ότι για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος ( ~ χ όπου ( η αμερόληπτη δειγματική διακύμαη Επομέως (δείτε και το Σχήμα 4, ( P ( χ ; α χ ; α α ή ιοδύαμα P α χ α χ ; ; α Αυτό ημαίει ότι για υγκεκριμέη πραγματοποίηη x, x, K, x, του τυχαίου δείγματος,, K,, το διάτημα s, s χ ; α χ ; α είαι έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη διακύμαη του πληθυμού P ( χ Σχήμα 4 ( χ ; α ; α Προφαώς, έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη τυπική απόκλιη του πληθυμού είαι s, s χ ; α χ ; α Υπεθυμίζουμε ότι με χ ; α και χ ; α υμβολίζουμε, ατίτοιχα, το άω α και το άω α ποοτιαίο ημείο της καταομής χ τα οποία δίοται, για διάφορες τιμές του α και του από χετικό πίακα (δείτε και το Σχήμα 4 Παράδειγμα 4 (υέχεια του Παραδείγματος : Επειδή για τη τυχαία μεταβλητή Χ που εκφράζει τη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Α, έχουμε ότι ~ N( μ, και η Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 44 α

25 δειγματική τυπική απόκλιη είαι s 84μgr, έα 95% διάτημα εμπιτούης για τη άγωτη διακύμαη της Χ, είαι το διάτημα 5 χ 5;005 84, 5 χ 5; ή , ή [ 385, 690] Επομέως, μπορούμε α υμπεράουμε ότι με πιθαότητα 095 το διάτημα [ 385, 690] περιέχει τη άγωτη διακύμαη της Χ Επίης, μπορούμε α υμπεράουμε ότι με πιθαότητα 095, το διάτημα [ 385, 690] ή [ 6, 3] περιέχει τη άγωτη τυπική απόκλιη της Χ Ως άκηη, μπορείτε α κατακευάετε έα 99% διάτημα εμπιτούης για τη άγωτη διαπορά της Υ Σημείωη 4: Το διάτημα εμπιτούης που δώαμε για τη διακύμαη εός καοικού πληθυμού, όπως είδαμε, κατακευάθηκε «αδιαφορώτας» για τη μέη τιμή του πληθυμού μ Α η μέη τιμή του πληθυμού μ, είαι γωτή, χρηιμοποιώτας τη τυχαία μεταβλητή,, όπου, ( μ (ατί τη (, με αάλογο τρόπο (επειδή, ~ χ προκύπτει ότι για υγκεκριμέη πραγματοποίηη x, x, K, x, του τυχαίου δείγματος,, K,, το διάτημα s, s χ ; α χ ;α είαι έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη διακύμαη του πληθυμού Συχά απαιτείται α εκτιμήουμε τη διαφορά τω μέω τιμώ δύο πληθυμώ ή το λόγο τω διακυμάεώ τους Ας δούμε πώς μπορούμε α κατακευάουμε διατήματα εμπιτούης για αυτές τις περιπτώεις 5 Διάτημα εμπιτούης για τη διαφορά τω μέω τιμώ δύο πληθυμώ Ο φοιτητής το ειαγωγικό παράδειγμα αυτού του κεφαλαίου εδιαφέρεται α εκτιμήει πόο διαφέρει η μέη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου οι εήλικες μέω της διατροφής τους τις δύο περιοχές Α και Β Το τμήμα ποιοτικού ελέγχου μιας παραγωγικής μοάδας εδιαφέρεται α εκτιμήει πόο διαφέρει το ποοτό τω ελαττωματικώ προϊότω που παράγοται από τη γραμμή παραγωγής Α από το ποοτό τω ελαττωματικώ προϊότω που παράγοται από τη γραμμή παραγωγής Β Σε μια μελέτη για τη περιεκτικότητα τω ζαχαρότευτλω ε άκχαρα, πρέπει α εκτιμήουμε πόο διαφέρει η μέη περιεκτικότητα ε άκχαρα μιας ποικιλίας ζαχαρότευτλω από τη μέη περιεκτικότητα μιας άλλης ποικιλίας ζαχαρότευτλω Μια απάτηη ε ερωτήματα όπως αυτά μπορεί προφαώς α δοθεί με τη κατακευή κατάλληλου διατήματος εμπιτούης Συγκεκριμέα, με τη κατακευή διατήματος εμπιτούης για τη διαφορά τω μέω τιμώ τω ατίτοιχω πληθυμώ Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 45

26 Για α κατακευάουμε έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη διαφορά τω μέω τιμώ δύο πληθυμώ εργαζόματε όπως εργαθήκαμε τα προηγούμεα για τη κατακευή εός 00( διατήματος εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού Με μια βέβαια διαφορά Ατί για έα δείγμα χρηιμοποιούμε δύο, έα από κάθε πληθυμό Ας δούμε έα παράδειγμα που δόθηκε από το tudent (τη εργαία The probable error of a mean, Bometrka, 6, -5, 908 Παράδειγμα 5: Σε δέκα αθεείς που πάχου από αϋπία δόθηκε μια φαρμακευτική αγωγή, έτω Α, και για καθέα καταγράφηκε η παράταη του ύπου (ε ώρες Στους ίδιους αθεείς δόθηκε και μια άλλη φαρμακευτική αγωγή, έτω Β, και επίης καταγράφηκε η παράταη του ύπου για κάθε αθεή (ε ώρες Ας υμβολίουμε με Χ τη τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τη παράταη του ύπου ε ώρες ότα οι αθεείς παίρου τη φαρμακευτική αγωγή Α και με Υ τη τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τη παράταη του ύπου ε ώρες ότα οι αθεείς παίρου τη φαρμακευτική αγωγή Β Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται τα δεδομέα που υγκετρώθηκα Αύξω αριθμός αθεούς ( Παράταη ύπου (ε ώρες υπό τη φαρμακευτική αγωγή Α ( x Παράταη ύπου (ε ώρες υπό τη φαρμακευτική αγωγή Β ( y Α μ η μέη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ, δηλαδή, η μέη παράταη του ύπου αθεώ που πάχου από αϋπία ότα παίρου τη αγωγή Α και μ η μέη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Υ, δηλαδή, η μέη παράταη του ύπου αθεώ που πάχου από αϋπία ότα παίρου τη αγωγή Β, το ζητούμεο είαι α κατακευάουμε, από τα τυχαία δείγματα,, K, 0 και Y, Y, K, Y0 έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ μ, της διαφοράς Y τω τυχαίω μεταβλητώ Χ και Υ Είαι εύλογο, ως εκτιμήτρια της διαφοράς μ μ α χρηιμοποιήουμε τη διαφορά Y τω ατίτοιχω δειγματικώ μέω Όμως δε μπορούμε α αξιοποιήουμε τα χετικά αποτελέματα της Θεωρίας Πιθαοτήτω και της Στατιτικής για τη καταομή της Y που παρουιάαμε το 0 ο Κεφάλαιο γιατί τα δύο δείγματα δε έχου ληφθεί το έα αεξάρτητα από το άλλο Βέβαια, τα ζεύγη (, Y, (, Y, K,( 0, Y0 είαι μεταξύ τους αεξάρτητα αφού ααφέροται ε διαφορετικούς αθεείς τυχαία επιλεγμέους, όμως τα και Y ετός του ίδιου ζεύγους δε είαι αεξάρτητα (δε μπορού α θεωρηθού αεξάρτητα αφού ααφέροται το ίδιο αθεή Για α κατακευάουμε επομέως, έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη διαφορά τω μέω τιμώ δύο πληθυμώ από δύο δείγματα, έα από κάθε πληθυμό, πρέπει α διακρίουμε τη περίπτωη που τα δύο δείγματα είαι αεξάρτητα από τη περίπτωη που τα δύο δείγματα δε είαι αεξάρτητα Υπεθυμίζουμε ότι τη πράξη, η αεξαρτηία (είτε εδεχομέω, είτε μεταβλητώ, είτε πειραμάτω υήθως ααγωρίζεται και διαπιτώεται από τη περιγραφή τω μεταβλητώ και από τις υθήκες εκτέλεης τω πειραμάτω και δε απαιτείται α Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 46

27 ελεγχθού/αποδειχθού οι ατίτοιχες υθήκες αεξαρτηίας (ξααδείτε και τη Εότητα 55 του 5 ου Κεφαλαίου 5 Εξαρτημέα δείγματα/ζευγαρωτές παρατηρήεις Έτω ότι από κάθε δειγματοληπτική ή πειραματική μοάδα παίρουμε έα ζεύγος παρατηρήεω, Y,,, K,, δηλαδή, έτω ότι από τα δύο δείγματα (,, K, και Y, Y, K, Y δημιουργούται ζεύγη παρατηρήεω, (, Y, (, Y, K,(, Y, τα οποία είαι μεταξύ τους αεξάρτητα, όμως τα και Y ετός του ίδιου ζεύγους δε είαι αεξάρτητα Σε επόμεα κεφάλαια (το ο και το 3 ο θα εξηγήουμε πολύ ααλυτικά ε ποιες περιπτώεις (και γιατί εδείκυται α εργαζόματε με τέτοια δείγματα τα οποία τη βιβλιογραφία ααφέροται ως ζευγαρωτές παρατηρήεις (pared samples, matched samples, dependent samples, αλλά και πώς/με ποια κριτήρια πρέπει α δημιουργούται τα ζεύγη Στο ημείο αυτό ααφέρουμε μόο ότι έα ζεύγος παρατηρήεω μπορεί α ληφθεί από τη ίδια πειραματική ή δειγματοληπτική μοάδα πρι και μετά από κάποια επέμβαη ή υπό δύο διαφορετικές επεμβάεις ε κάποια χροική απόταη (όπως το προηγούμεο παράδειγμα, αλλά και από δύο όμοιες ή χεδό όμοιες μοάδες Παίροτας για κάθε ζεύγος, Y τη διαφορά ( D Y (η οποία το παράδειγμά μας εκφράζει τη διαφορά τω επιδράεω τω δύο φαρμάκω το αθεή, δημιουργούμε έα τυχαίο δείγμα D, D, K, D το οποίο μπορούμε α θεωρήουμε ότι προέρχεται από έα (θεωρητικό πληθυμό, το πληθυμό τω διαφορώ, με μέη τιμή μ D μ μ όπου μ η μέη τιμή της Χ και μ η μέη τιμή της Υ και επομέως, για τη κατακευή εός 00( διατήματος εμπιτούης για τη μέη τιμή μ D μ μ ιχύει ό,τι έχουμε ααφέρει για τη κατακευή εός 00( διατήματος εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού από έα δείγμα Έτω για παράδειγμα, ότι ο πληθυμός τω διαφορώ είαι καοικός με άγωτη διακύμαη D, και μέη τιμή μ D μ μ τη οποία θέλουμε α εκτιμήουμε με έα 00( διάτημα εμπιτούης Έτω επίης D Y και D ( D D ο μέος και η αμερόληπτη διακύμαη του δείγματος τω διαφορώ D, D, K, D ατίτοιχα Τότε με βάη όα ααφέραμε τα προηγούμεα, το διάτημα D ± t D ; α είαι έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ D του πληθυμού τω διαφορώ δηλαδή για τη διαφορά μ μ Επομέως, για υγκεκριμέη πραγματοποίηη ( x, y, ( x, y, K,( x, y τω, Y, (, Y, K,(, Y, το διάτημα ( d s D ± t ; α ή x y ± t ; α s D Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 47

11. Σημειακή Εκτίμηση & Εκτίμηση με Διάστημα

11. Σημειακή Εκτίμηση & Εκτίμηση με Διάστημα Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Αρκετά τρόφιμα περιέχου το ιχοτοιχείο ελήιο το οποίο, ότα προλαμβάεται ε μικρές ποότητες ημερηίως, έχει ευεργετική

Διαβάστε περισσότερα

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές Στατιτικές Συαρτήεις και Δειγματοληπτικές Καταομές 0 Στατιτικές υαρτήεις και δειγματοληπτικές καταομές Στο ειαγωγικό κεφάλαιο του Β Μέρους (8 ο Κεφάλαιο εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζου από τα δεδομέα»

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

ειγματοληπτικές κατανομές

ειγματοληπτικές κατανομές ειγματοληπτικές καταομές Σκοπός της τατιτικής υμπεραματολογίας: η εξαγωγή ατικειμεικώ υμπεραμάτω για έα πληθυμό από περιοριμέο αριθμό δεδομέω (δείγμα). Με τη περιγραφική τατιτική υχά μπορούμε α βγάλουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων Στατιτικός έλεγχος υποθέεω. Βαικές έοιες. Στατιτικός έλεγχος υποθέεω για τη μέη τιμή εός πληθυμού.. Ο πληθυμός είαι καοικός.. Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο.3 Πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ και ιχύς

Διαβάστε περισσότερα

12. Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων

12. Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Έας έος τύπος τιγάρω βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Α το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καποβιομηχαίας παραγωγής, εδιαφέρεται α γωρίζει τη μέη ποότητα

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ.-.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 2. Τυχαίες μεταβλητές-βασικές κατανομές

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 2. Τυχαίες μεταβλητές-βασικές κατανομές Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ 860) Τυχαίες μεταβλητές-βασικές καταομές Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Ο κλασικός ορισμός της πιθαότητας (Laplace, 181) Ο στατιστικός ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_01_Εκτίμηη παραμέτρων και διατημάτων Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Για την περιγραφή μιας μεταβλητής, που μετριέται ε έναν πληθυμό ή ε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιητική Στατιτική Συπεραατολογία εκτιήεις τω αγώτω παραέτρω ιας γωτής από άποψη είδους καταοής έλεγχο τω υποθέεω που γίοται ε χέη ε τις παραέτρους ιας καταοής και ε χέη ε το είδος της καταοή. ΒΙΟ309-Εκτιητική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Παραδείγματα. 12 η Διάλεξη

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Παραδείγματα. 12 η Διάλεξη Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Παραδείγματα 12 η Διάλεξη 1 ο Παράδειγμα (1) Μια αυτόματη μηχανή συσκευάζει καλαμπόκι σε τσουβάλια των 25kg Το βάρος του καλαμποκιού που συσκευάζεται ανά τσουβάλι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

4. Βασικές κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

4. Βασικές κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 5) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 4. Βασικές καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Η διωυμική καταομή με παραμέτρους και p Η

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Η Καοική Καταομή H καοική καταομή (normal dstrbuton) θεωρείται η σπουδαιότερη καταομή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές συνεχείς κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Βασικές συνεχείς κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Βασικές συεχείς καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Καοική καταομή 7. Το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7.. Καοική προσέγγιση της Διωυμικής καταομής 7.. Καοική προσέγγιση της καταομής Posson 7..3 Διόρθωση

Διαβάστε περισσότερα

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας

Διαβάστε περισσότερα

Δεσμευμένη πιθανότητα και Ανεξαρτησία ενδεχομένων

Δεσμευμένη πιθανότητα και Ανεξαρτησία ενδεχομένων Δεσμευμέη πιθαότητα και Αεξαρτησία εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας 4 Ο πολλαπλασιαστικός τύπος 4 Το θεώρημα ολικής πιθαότητας 44 Το θεώρημα Bayes 45 Αεξαρτησία εδεχομέω

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Στατιτική ΙΙ Συμπεραματολογία Βαιμένη ε Ένα Δείγμα: Έλεγχοι υποθέεων Μέρος ο Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου - 1 - Παράδειγα Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. Λέκτορας. Τηλ:

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. Λέκτορας. Τηλ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 05-06 ιδάκω: Βαίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο είγµα Ο ηµατικότερος

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές διακριτές κατανομές

Βασικές διακριτές κατανομές Βασικές διακριτές καταομές 6 Καταομή Bernoull και Διωυμική καταομή 6 Πουωυμική καταομή 63 Καταομή και διαδικασία Posson 64 Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω 65 Προβήματα και ασκήσεις Γεωποικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1 ιάτηµα εµπιτούνης της µ - µ δύο ανεξάρτητων τ.µ. X και X Μέες τιµές: µ και µ ιαπορές: και είγµα µεγέθους, από τον πληθυµό τηςx, X ειγµατικές µέες τιµές: και ειγµατικές διαπορές: και Θέλουµε ναεκτιµήουµε

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική 9. Ποσοτικές μεταβλητές 9.. Κατασκευή πίακα καταομής συχοτήτω 9.. Γραφική παρουσίαση καταομής συχοτήτω 9..3 Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα 9..3. Μέτρα θέσης 9..3. Μέτρα διασποράς 9..3.3

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ

ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ Δρ Χαράλαμπος Π Στρουθόπουλος Καθηγητής ΣΕΡΡΕΣ, ΜΑΡΤΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο ) ΘΕΜΑ Α 1. α) Απόλυτη συχότητα οομάζεται ο φυσικός αριθμός που μας δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη Στατιστική

Ασκήσεις στη Στατιστική Σχολείο: ο ΓΕΛ Κοµοτηής Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: Ασκήσεις στη Στατιστική 5 0, 3 0 0 Σύολο F % F % Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: F % F % 0 0 0 0,5 30 0,0 0 6 50 Σύολο 3 Να συµπληρώσετε το

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

9. Περιγραφική Στατιστική

9. Περιγραφική Στατιστική 9. Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Οι έοιες τυχαία μεταβλητή, τυχαίο δείγμα και πληθυσμός που προσεγγίσαμε και διατυπώσαμε με όρους Πιθαοτήτω στο Α Μέρος, αποτελού βασικές έοιες και της Στατιστικής.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ

Διαβάστε περισσότερα

( Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ)

( Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Χ. ΑΜΙΑΝΟΥ, Ν. ΠΑΠΑ ΑΤΟΣ, Χ. Α. ΧΑΡΑΛΑΜΠΙ ΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΑΘΗΝΑ 003 Στη Ρίτα Στη Χρυούλα Στη Λέα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ατί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Αρχικά, με τη έοια στατιστική θεωρούσαμε τη απαρίθμηση και καταγραφή τω μετρήσεω. Οι παρατηρήσεις αυτές ή οι μετρήσεις ααφέροται σε συγκεκριμέο ατικείμεο ή γεγοός.

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Η Θεωρία Αριθμώ, δηλαδή η μελέτη τω ιδιοτήτω τω θετικώ ακεραίω, έθεσε από πολύ ωρίς τους μαθηματικούς μπροστά στο εξής πρόβλημα: Κάποια πρόταση αληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμέο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,...,

Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,..., Μετά το τέλος της µελέτης του 2ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει α γωρίζει: Τις βασικές έοιες της στατιστικής όπως πληθυσµός, δείγµα κ.λ.π. καθώς και τις κατηγορίες τω µεταβλητώ. Τους ορισµούς της απόλυτης,

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε .3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου

Διαβάστε περισσότερα

2. Πιθανότητα και Δεσμευμένη Πιθανότητα

2. Πιθανότητα και Δεσμευμένη Πιθανότητα Μάθημα: Στατιστική (Κωδ 105) Διδάσκω: Γιώργος Κ Παπαδόπουλος 2 Πιθαότητα και Δεσμευμέη Πιθαότητα Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΑ : Είαι γωστό ότι για µια συεχή συάρτηση σε έα διάστηµα, το ολοκλήρωµα F ορίζει έα πραγµατικό αριθµό όπου o είαι έα οποιοδήποτε σηµείο του και α έα αυθαίρετο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα