Κεφάλαιο 6 Διάδοση αβεβαιοτήτων

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 6 Διάδοση αβεβαιοτήτων"

Transcript

1 Κεφάλαιο 6 Διάδοση αβεβαιοτήτων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται ο τρόπος με τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε την αβεβαιότητα σε μία σύνθετη μέτρηση. Αρχικά δίνονται προσεγγιστικοί τρόποι υπολογισμού της αβεβαιότητας σε απλές περιπτώσεις όπου εμφανίζονται αθροίσματα, διαφορές, γινόμενα ή πηλίκα φυσικών μεγεθών. Περιγράφεται ο τρόπος υπολογισμού της αβεβαιότητας ενός φυσικού μεγέθους, το οποίο είναι συνάρτηση μίας μεταβλητής ποσότητας, ακολουθεί η γενίκευση για την περίπτωση της συνάρτησης πολλών μεγεθών που είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα. Προαπαιτούμενη γνώση Κεφάλαιο 1, στοιχεία διαφορικού λογισμού Η αβεβαιότητα στις απλές σύνθετες μετρήσεις Όπως έχει ήδη αναφερθεί, η μέτρηση πολλών παράγωγων φυσικών μεγεθών είναι σύνθετη διαδικασία, που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα δεν προκύπτει κατευθείαν μέσω της σύγκρισης με την πρότυπη μονάδα, αλλά θα πρέπει να μετρήσουμε ένα ή περισσότερα άλλα θεμελιώδη φυσικά μεγέθη από τα οποία θα υπολογίσουμε στη συνέχεια το ζητούμενο, χρησιμοποιώντας μία γνωστή μαθηματική σχέση. Για παράδειγμα, η μέτρηση της μέσης ταχύτητας υ ενός κινητού μπορεί να πραγματοποιηθεί μετρώντας την απόσταση Δx μεταξύ δύο συγκεκριμένων σημείων από τα οποία διέρχεται το κινητό το αντίστοιχο χρονικό διάστημα Δt που χρειάζεται για να διέλθει από αυτά. Στη συνέχεια, υπολογίζουμε τη μέση ταχύτητα από τη γνωστή σχέση, υ=δx/δt. Ένα άλλο παράδειγμα είναι ο υπολογισμός του εμβαδού μιας ορθογώνιας επιφάνειας για τον οποίο θα πρέπει να μετρήσουμε ξεχωριστά τις δύο διαστάσεις της a,b στη συνέχεια να υπολογίσουμε το ζητούμενο εμβαδόν από τη σχέση Ε=ab. Στα προηγούμενα παραδείγματα, όπως σε κάθε περίπτωση σύνθετης μέτρησης ενός φυσικού μεγέθους, οι μετρήσεις που πραγματοποιούνται εμπεριέχουν αβεβαιότητες τις οποίες πρέπει να υπολογίσουμε. Προφανώς, οι αβεβαιότητες αυτές υπεισέρχονται στον τελικό υπολογισμό του ζητούμενου μεγέθους. Ο τρόπος με τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε την αβεβαιότητα στο τελικό αποτέλεσμα μίας σύνθετης μέτρησης είναι ο σκοπός του κεφαλαίου αυτού περιγράφεται στις επόμενες ενότητες. Στο Κεφάλαιο 1.6 είδαμε ότι κατά τη μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους Χ εκφράζουμε το αποτέλεσμα ως όπου η αριθμητική τιμή Χ ο αποτελεί την ένδειξη του αναλογικού ή ψηφιακού οργάνου μέτρησης το δχ εκφράζει την αβεβαιότητα, λόγω της περιορισμένης διακριτικής ικανότητας του οργάνου. Επομένως, ένας παράγοντας αβεβαιότητας σε μία απλή ή σύνθετη μέτρηση σχετίζεται με την ανάγνωση της αναλογικής ή ψηφιακής κλίμακας των οργάνων μέτρησης. Ωστόσο, είναι σημαντικό να μην επικεντρωνόμαστε μόνον σε αυτό το είδος αβεβαιότητας, γιατί μπορεί κάλλιστα να μας οδηγήσει σε σημαντική υποεκτίμηση της συνολικής αβεβαιότητας της μέτρησης. Για παράδειγμα, κατά τη μέτρηση της περιόδου ταλάντωσης ενός εκκρεμούς με ένα ψηφιακό χρονόμετρο ακρίβειας 0.01 s προκύπτει ως αποτέλεσμα η τιμή 2.36 s. Άρα, το αποτέλεσμα της μέτρησης αυτής μπορεί να γραφεί ως s όπου παρατηρούμε ότι η αβεβαιότητα της μέτρησης είναι πολύ μικρή. Αν ωστόσο επαναλάβουμε τη μέτρηση με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, ενδέχεται να βρούμε μία διαφορετική τιμή, π.χ. 65

2 s Η εξήγηση στη μεγάλη αυτή διαφορά μεταξύ των δύο αποτελεσμάτων, η οποία παραπέμπει σε αβεβαιότητα μεγαλύτερη από την ακρίβεια του χρησιμοποιούμενου χρονομέτρου, βρίσκεται στο γεγονός ότι το αποτέλεσμα της μέτρησης επηρεάζεται καθοριστικά από το χρόνο αντίδρασης του πειραματιστή κατά την έναρξη λήξη λειτουργίας του χρονομέτρου. Στην καλύτερη περίπτωση, ο χρόνος αυτός θα μπορούσε να είναι 1-2 δέκατα του δευτερολέπτου. Άρα, στην προκειμένη περίπτωση, η αβεβαιότητας στη μέτρηση του χρόνου είναι 10 με 20 φορές μεγαλύτερη από αυτή που υποδηλώνει η ακρίβεια του οργάνου μέτρησης που χρησιμοποιούμε. Περιπτώσεις όπου η αβεβαιότητα της μέτρησης είναι μεγαλύτερη από την ακρίβεια που μας παρέχει το όργανο μέτρησης, είναι αρκετά συνηθισμένες στο φοιτητικό εργαστήριο. Από τα παραπάνω γίνεται κατανοητό ότι δε θα πρέπει να υποεκτιμούμε τους διάφορους παράγοντες που συνεισφέρουν με διαφορετικό βαθμό στην αβεβαιότητα των μετρήσεων ενός μεγέθους. Ο παράγοντας με τη μεγαλύτερη αβεβαιότητα είναι αυτός που τελικά καθορίζει την αβεβαιότητα στο τελικό αποτέλεσμα. Έτσι λοιπόν, λόγω των αβεβαιοτήτων που υπεισέρχονται στη μέτρηση ενός μεγέθους από διάφορους παράγοντες, κρίνεται σκόπιμη η μέτρηση του μεγέθους αρκετές φορές. Στην περίπτωση αυτή είδαμε ότι η εκτίμηση της καλύτερης τιμής ενός μεγέθους Χ εκφράζεται από τη μέση τιμή του μεγέθους αυτού, ενώ η αβεβαιότητα των Ν μετρήσεων δίνεται από την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής, σύμφωνα με τη σχέση 3.2. Σε κάθε περίπτωση, στις επόμενες ενότητες, είτε μετράμε μία μόνον φορά ένα μέγεθος είτε πραγματοποιούμε ένα μεγάλο αριθμό μετρήσεων, θα χρησιμοποιήσουμε για την αβεβαιότητα στη μέτρηση του μεγέθους Χ το συμβολισμό δχ, ενώ η εκτίμηση της καλύτερης τιμής θα δίνεται από την τιμή Χ b Απλοί κανόνες υπολογισμού αβεβαιότητας σύνθετων μετρήσεων Η αβεβαιότητα σε αθροίσματα διαφορές φυσικών μεγεθών Υπολογισμός αβεβαιότητας αθροίσματος διαφοράς Έστω ότι μετράμε δύο φυσικά μεγέθη X Y θέλουμε να υπολογίσουμε το άθροισμα, X+Y ή τη διαφορά τους, X-Y. Για τον υπολογισμό της αβεβαιότητας στις δύο αυτές περιπτώσεις, πρέπει να βρούμε τη μεγαλύτερη τη μικρότερη πιθανή τιμή που μπορεί να πάρει το άθροισμα ή η διαφορά των μεγεθών X Y (Taylor, 1997). Αν Χ b Y b είναι οι καλύτερες τιμές των δύο φυσικών μεγεθών, που προκύπτουν από τις μέσες τιμές τους στην περίπτωση που επαναλάβαμε τις μετρήσεις αρκετές φορές, δχ, δy οι αντίστοιχες αβεβαιότητές τους, τότε η μέγιστη πιθανή μετρούμενη τιμή των Χ Y θα είναι Χ b +δχ Y b +δy, αντίστοιχα. Έτσι, η μεγαλύτερη πιθανή τιμή για το άθροισμα των δύο μεγεθών, X+Y θα είναι Αντίστοιχα, η μικρότερη πιθανή μετρούμενη τιμή των Χ Y θα είναι Χ b -δχ Y b -δy επομένως, η μικρότερη πιθανή τιμή για το άθροισμα των δύο μεγεθών, X+Y θα είναι Επομένως, η καλύτερη εκτίμηση του αθροίσματος S των δύο μεγεθών X+Y θα ισούται με ενώ η αντίστοιχη αβεβαιότητα θα είναι Με τον ίδιο ακριβώς συλλογισμό, προκύπτει ότι η εκτίμηση της καλύτερης τιμής της διαφοράς των δύο μεγεθών D=X-Y, καθώς επίσης η αντίστοιχη αβεβαιότητα της, θα δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις 66

3 Επομένως, είτε πρόκειται για το άθροισμα, είτε για τη διαφορά δύο φυσικών μεγεθών, η αβεβαιότητα ισούται με το άθροισμα των επιμέρους αβεβαιοτήτων των δύο μεγεθών. Οι παραπάνω σχέσεις μπορούν να γενικευτούν για το άθροισμα τη διαφορά πολλών φυσικών μεγεθών. Αν δηλαδή έχουμε τα φυσικά μεγέθη Χ 1, Χ 2,, Χ Ν, Y 1, Y 2,, Y Ν, καθένα από τα οποία έχει αβεβαιότητα δχ 1, δχ 2,, δχ Ν δυ 1, δυ 2,, δυ Ν,, αντίστοιχα, για το μέγεθος Ζ που θέλουμε να υπολογίσουμε βάσει της σχέσης 6.1 η αβεβαιότητα του θα είναι 6.2 Οι αβεβαιότητες δηλαδή των μεγεθών που προσθέτουμε ή αφαιρούμε μεταξύ τους, πάντα αθροίζονται, ώστε το άθροισμα τους να αποτελεί την αβεβαιότητα του παράγωγου μεγέθους. Θα πρέπει να αναφέρουμε ότι οι κανόνες αυτοί προέκυψαν κάνοντας απλούς συλλογισμούς, οι οποίοι όπως θα δούμε στη συνέχεια είναι προσεγγιστικοί. Μας παρέχουν ωστόσο με εύκολο τρόπο τη μέγιστη τιμή της αβεβαιότητας που παρουσιάζεται σε αθροίσματα ή/ διαφορές μεταξύ φυσικών μεγεθών. Εντούτοις, η πραγματική τιμή της αβεβαιότητας, όπως προκύπτει από το νόμο διάδοσης αβεβαιοτήτων, είναι στην πραγματικότητα μικρότερη, χωρίς ωστόσο να διαφέρει πολύ από την τιμή που προαναφέραμε Παράδειγμα υπολογισμού αβεβαιότητας Έστω ότι για την πραγματοποίηση ενός πειράματος, θέλουμε να αναμίξουμε τα ρευστά που περιέχονται σε δύο ογκομετρικά δοχεία, τοποθετώντας το περιεχόμενο τους σε ένα μεγαλύτερο δοχείο. Αρχικά, ζυγίζουμε τα δύο άδεια δοχεία στη συνέχεια τα ζυγίζουμε, αφού πρώτα τοποθετήσουμε σε καθένα από αυτά την επιθυμητή ποσότητα του ρευστού. Για τη ζύγιση των άδειων δοχείων χρησιμοποιούμε έναν ηλεκτρονικό ζυγό ακρίβειας 0.01 g εύρους 215 g. Λαμβάνουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα για τις μάζες των δύο άδειων δοχείων g g Στη συνέχεια, αφού τοποθετήσουμε την επιθυμητή ποσότητα υγρού σε καθένα από αυτά τα δύο δοχεία, χρησιμοποιούμε ένα μηχανικό ζυγό ακρίβειας 0.1 g ο οποίος δίνει ένα μεγαλύτερο εύρος τιμών απ ότι ο πρώτος. Ζυγίζουμε τα δύο γεμάτα δοχεία παίρνουμε τα εξής αποτελέσματα g g Η συνολική μάζα των δύο ρευστών θα προκύψει αν από τη συνολική μάζα των δύο δοχείων μαζί με το περιεχόμενο τους, αφαιρέσουμε τις μάζες των άδειων δοχείων, δηλαδή 67

4 g g g Η αντίστοιχη αβεβαιότητα θα ισούται με g 0.22 g 0.2 g όπου έχουμε κρατήσει ένα σημαντικό ψηφίο, στρογγυλοποιώντας το αποτέλεσμα. Το τελικό αποτέλεσμα επομένως μπορεί να γραφεί ως εξής g Παρατηρούμε ότι η συνεισφορά των μικρότερων αβεβαιοτήτων δm 1 δm 2 από τη ζύγιση των δοχείων δε συνεισφέρει καθόλου στην ολική αβεβαιότητα του τελικού αποτελέσματος, κατόπιν της στρογγυλοποίησης που κάναμε, βάσει των κανόνων που έχουμε αναφέρει στο Κεφ Πρακτικά, αυτό σημαίνει ότι η αβεβαιότητα στο αποτέλεσμα καθορίζεται από τις αβεβαιότητες που έχουν τα λιγότερο ακριβή όργανα μετρήσεων Η αβεβαιότητα σε γινόμενα πηλίκα φυσικών μεγεθών Υπολογισμός αβεβαιότητας του γινομένου δύο φυσικών μεγεθών Έστω ότι μετράμε δύο φυσικά μεγέθη X Y θέλουμε να υπολογίσουμε ένα άλλο φυσικό μέγεθος που προκύπτει από το γινόμενό τους (Taylor, 1997). Για παράδειγμα, η ορμή p ενός σώματος μάζας m που κινείται με ταχύτητα υ ορίζεται ως το γινόμενο της μάζας του σώματος επί την ταχύτητα του, p=mυ. Γνωρίζοντας την καλύτερη εκτίμηση για τα δύο μετρούμενα μεγέθη τις αντίστοιχες αβεβαιότητες τους, κάθε μέγεθος μπορεί να γραφεί ως εξής Στις παραπάνω σχέσεις έχουμε χρησιμοποιήσει τις σχετικές (ή κλασματικές) αβεβαιότητες δχ/ Χ b δy/ Y b, αντίστοιχα. Η απόλυτη τιμή στον παρανομαστή εξασφαλίζει ότι η σχετική αβεβαιότητα όπως η αβεβαιότητα δχ (ή δυ) λαμβάνουν μόνον θετικές τιμές. Η σχετική αβεβαιότητα μας παρέχει μία καλύτερη εικόνα για το μέγεθος της αβεβαιότητας ή αλλιώς την ακρίβεια της μέτρησης, ειδικά αν αυτή εκφραστεί ως επί τοις εκατό ποσοστό. Ένα ποσοστό 2% στην αβεβαιότητα των μετρήσεων θεωρείται μικρό είναι γενικά αποδεκτό, ενώ ένα ποσοστό της τάξης του 20% είναι μεγάλο θα πρέπει να αιτιολογήσουμε την προέλευσή του επαρκώς. Η εκτίμηση της καλύτερης τιμής του γινομένου Ρ των δύο μεγεθών X Y δίνεται προφανώς από τη σχέση 6.5 Οι μεγαλύτερες πιθανές τιμές για τα μεγέθη X Y δίνονται από τις σχέσεις για το θετικό πρόσημο στις παρενθέσεις επομένως, η μεγαλύτερη πιθανή τιμή για το γινόμενο είναι

5 Υπό την προϋπόθεση ότι οι σχετικές αβεβαιότητες δχ/ Χ b δy/ Y b των μετρήσεων είναι μικρές (μερικές ποσοστιαίες μονάδες), το γινόμενό τους θα είναι ακόμα πιο μικρός αριθμός επομένως μπορούμε χωρίς σημαντικό σφάλμα να το παραλείψουμε στη σχέση 6.6. Έτσι τελικά, προκύπτει Κατ αναλογία, η μικρότερη πιθανή τιμή του γινομένου θα προκύψει για τις τιμές των X Y που δίνονται από τις σχέσεις για το αρνητικό πρόσημο στην παρένθεση, οπότε έχουμε τελικά Η τιμή δηλαδή του μεγέθους Ρ, βάσει των σχέσεων δίνεται από τη σχέση Συγκρίνοντας τη σχέση 6.9 με τη γενική μορφή που μπορούμε να εκφράσουμε το αποτέλεσμα 1 προκύπτει ότι 6.10 Η σχέση 6.10 μας λέει ότι η σχετική αβεβαιότητα του γινομένου δύο μεγεθών ισούται με το άθροισμα των σχετικών αβεβαιοτήτων των μεγεθών αυτών Υπολογισμός αβεβαιότητας του πηλίκου δύο φυσικών μεγεθών Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το πηλίκο Q των μεγεθών X Y που εκφράζονται από τις σχέσεις Το μέγεθος Q θα εκφράζεται τότε από την ακόλουθη σχέση Η μεγαλύτερη η μικρότερη πιθανή τιμή του Q στην παραπάνω σχέση, μπορεί να προκύψει επιλέγοντας κατάλληλα τα πρόσημα στον αριθμητή τον παρανομαστή του κλάσματος της σχέσης Έτσι, αν η παρένθεση στον αριθμητή λάβει τη μεγαλύτερη τιμή 1+δΧ/ Χ b, ενώ η παρένθεση στον παρονομαστή τη μικρότερη, 1+δY/ Y b, το μέγεθος Q θα έχει τη μεγαλύτερη πιθανή τιμή, δηλαδή

6 Το δεύτερο κλάσμα στη σχέση 6.12 έχει τη μορφή (1+α)/(1-β) όπου α=δχ/ Χ b β=δυ/ Υ b, οι οποίοι είναι αριθμοί αρκετά μικρότεροι της μονάδας (α, β<<1). Σύμφωνα με το διωνυμικό θεώρημα που μας δίνει το ανάπτυγμα της ποσότητας (1+x) n με x <1, για την τιμή n=-1, μπορούμε να προσεγγίσουμε τον παράγοντα 1/(1-β) ως εξής όπου οι όροι οι οποίοι είναι μεγαλύτεροι του β έχουν παραληφθεί, αφού είναι αρκετά μικροί. Άρα θα ισχύει τελικά η σχέση 6.12 θα δώσει Με ανάλογο τρόπο, προκύπτει ότι η μικρότερη πιθανή τιμή για το Q θα δίνεται από τη σχέση 6.13 αλλά με - στο πρώτο πρόσημο της παρένθεσης, οπότε τελικά μπορούμε να γράψουμε Συγκρίνοντας τη σχέση 6.14 με τη γενική μορφή που μπορούμε να εκφράσουμε το αποτέλεσμα 1 προκύπτει τελικά ότι 6.15 Επομένως, η σχετική αβεβαιότητα στην περίπτωση του πηλίκου δύο φυσικών μεγεθών είναι ίδια με τη σχετική αβεβαιότητα του γινομένου τους ίση με το άθροισμα των σχετικών αβεβαιοτήτων των δύο φυσικών μεγεθών Γενίκευση ειδικές περιπτώσεις Οι σχέσεις υπολογισμού της αβεβαιότητας του γινομένου ή του πηλίκου δύο φυσικών μεγεθών μπορούν να γενικευτούν για το γινόμενο το πηλίκο περισσότερων φυσικών μεγεθών (Taylor, 1997). Αν δηλαδή έχουμε τα φυσικά μεγέθη Χ 1, Χ 2,, Χ Ν, Y 1, Y 2,, Y Ν, καθένα από τα οποία έχει σχετική αβεβαιότητα δχ 1 / Χ 1b, δχ 2 / Χ 2b,, δχ Ν / Χ Nb δυ 1 / Y 1b, δυ 2 / Y 2b,, δυ Ν / Y Nb,, αντίστοιχα, για το μέγεθος Ζ που θέλουμε να υπολογίσουμε βάσει της ακόλουθης σχέσης

7 η σχετική αβεβαιότητά του θα είναι 6.17 Δηλαδή, οι σχετικές αβεβαιότητες μεγεθών που πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε μεταξύ τους, πάντα αθροίζονται. Στην ειδική περίπτωση που το μέγεθος Ζ υπολογίζεται ως το γινόμενο ενός μεγέθους Χ με έναν σταθερό παράγοντα Β που δεν έχει αβεβαιότητα, δηλαδή Z=BX, τότε η σχετική αβεβαιότητα στον υπολογισμό του Ζ, βάσει της σχέσης 6.10, θα είναι 6.18 δηλαδή ίδια με τη σχετική αβεβαιότητα του μεγέθους Χ, αφού η αβεβαιότητα του σταθερού παράγοντα Β είναι μηδέν. Θέτοντας στη σχέση 6.18 Z b =B X b, προκύπτει ότι 6.19 Αν η σχέση 6.19 προέκυψε στηριζόμενοι στον προσεγγιστικό κανόνα της σχέσης 6.10 για την άθροιση των σχετικών αβεβαιοτήτων, αποδεικνύεται ότι έχει γενικότερη ισχύ έτσι δε θα τροποποιηθεί όπως οι άλλοι κανόνες που αναφέραμε. Αν η μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους Χ χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του μεγέθους Ζ που εκφράζεται από τη σχέση Ζ=Χ n, τότε βάσει της γενικευμένης σχέσης 6.17 υπό την προϋπόθεση ότι το n είναι θετικός ακέραιος αριθμός, η σχετική αβεβαιότητα του Ζ είναι 6.20 αφού το παραπάνω άθροισμα περιλαμβάνει n το πλήθος ίδιους προσθετέους. Η παραπάνω σχέση αποδεικνύεται ότι ισχύει για κάθε τιμή του εκθέτη n Παραδείγματα υπολογισμού αβεβαιότητας (α) Ένας φοιτητής μετράει τις δύο πλευρές μίας ορθογώνιας πλάκας χρησιμοποιώντας ένα χάρακα ακρίβειας 1 mm βρίσκει τα αποτελέσματα a=19.6 cm b=4.7 cm. Υπολογίστε το εμβαδό της πλάκας το επί τοις εκατό ποσοστό της σχετικής αβεβαιότητάς της. Σύμφωνα με όσα έχουμε αναφέρει στην ενότητα 1.5, η αβεβαιότητα των μετρήσεων είναι 0.5 mm. Έτσι, τα δύο αποτελέσματα μπορούν να εκφραστούν ως εξής cm 19.6 cm 0.3% cm 4.7cm 1.1% Το εμβαδό της πλάκας θα ισούται με cm x 4.70 cm 92.1 cm η επί τοις εκατό σχετική αβεβαιότητα του εμβαδού προκύπτει αθροίζοντας τις ποσοστιαίες σχετικές αβεβαιότητες των α b, δηλαδή θα είναι 1.4%. Άρα, μπορούμε τελικά να γράψουμε για το ζητούμενο εμβαδόν 71

8 cm (β) Έστω ότι θέλουμε να μετρήσουμε το πάχος ενός φύλλου από ένα βιβλίο. Όπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο, αυτό μπορεί να επιτευχθεί με τη χρήση ενός οργάνου μέτρησης αντικειμένων μικρών διαστάσεων που ονομάζεται μικρόμετρο το οποίο παρέχει μεγάλη ακρίβεια στις μετρήσεις (0.01 mm). Αν ωστόσο δεν έχουμε στη διάθεσή μας ένα τέτοιο όργανο, παρά μόνον ένα συνηθισμένο χάρακα του οποίου η ακρίβεια είναι συνήθως 1 mm, προφανώς δε μπορούμε να μετρήσουμε κατευθείαν το πάχος της μίας σελίδας. Ωστόσο, αφού οι σελίδες του βιβλίου είναι πανομοιότυπες σε ότι αφορά το πάχος τους, μπορούμε να μετρήσουμε το πάχος ενός μεγάλου αριθμού σελίδων, ώστε η μέτρηση αυτή να είναι εφικτή με το χάρακα. Έτσι λοιπόν μετράμε το πάχος 200 φύλλων το αποτέλεσμα που παίρνουμε είναι cm Το πάχος επομένως του ενός φύλλου θα είναι 1 x 1.10 cm mm 55 µm 200 η αβεβαιότητα σύμφωνα με τη σχέση 6.19 θα είναι κι αυτή αντίστοιχα 1 x 0.05 cm cm mm 2.5 µm 200 Τελικά μπορούμε να γράψουμε για το πάχος του ενός φύλλου µm (γ) Για τον υπολογισμό της επιτάχυνσης της βαρύτητας g, ένας φοιτητής εκτελεί πειράματα ελεύθερης πτώσης μίας σφαίρας, μετρώντας το ύψος h από το οποίο αφήνει να πέσει στο πάτωμα η σφαίρα, καθώς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα Δt. Μετά από αρκετές επαναλαμβανόμενες μετρήσεις κατέληξε στα ακόλουθα αποτελέσματα s m Η σφαίρα με μηδενική αρχική ταχύτητα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση που περιγράφεται από την ακόλουθη σχέση 1 2 λύνοντας ως προς g θα έχουμε 2 2 x 2.02 m 0.65s 9.6 m/s Η σχετική αβεβαιότητα στο αποτέλεσμα αυτό μπορεί να υπολογιστεί σύμφωνα με τους κανόνες που έχουμε αναφέρει (Σχέση 6.17), όπου ο παράγοντας 2 δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα που θα είναι % 18.46% 20.94% 21%

9 Παρατηρούμε ότι η μεγαλύτερη συνεισφορά στην αβεβαιότητα προέρχεται από τη μέτρηση του χρόνου οπότε αν θέλουμε να βελτιώσουμε την ακρίβεια της μεθόδου μας, πρέπει να επικεντρωθούμε σε αυτόν τον παράγοντα. Έτσι, το τελικό αποτέλεσμα μπορεί να γραφεί βάσει των κανόνων στρογγυλοποίησης ως 10 2 m/s Υπολογισμός αβεβαιοτήτων ανεξάρτητων μεγεθών Στις περιπτώσεις που αναφέραμε για την άθροιση, τη διαφορά, το γινόμενο ή το πηλίκο φυσικών μεγεθών, οι αβεβαιότητες που προκύπτουν μπορεί να είναι μικρότερες στην περίπτωση που τα μετρούμενα μεγέθη είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους οι αβεβαιότητες τους υπόκεινται μόνον σε τυχαία σφάλματα, ακολουθούν δηλαδή την κανονική κατανομή. Όταν λέμε (στατιστικά) ανεξάρτητα μεγέθη εννοούμε τα μεγέθη για τα οποία η μέτρηση του ενός δεν επηρεάζει με κανένα τρόπο το αποτέλεσμα της μέτρησης του άλλου μεγέθους. Θεωρήσαμε στην περίπτωση του αθροίσματος δύο μεγεθών Χ Υ ότι η μεγαλύτερη η μικρότερη πιθανή τιμή τους είναι επομένως η αβεβαιότητα στο άθροισμά τους θα ισούται με δχ+δυ. Το αποτέλεσμα αυτό όμως είναι υπερεκτιμημένο, αφού για τη μέγιστη πιθανή τιμή έχουμε θεωρήσει ότι τα μεγέθη Χ Υ μπορούν να λάβουν ταυτόχρονα τις μέγιστες πιθανές τιμές τους. Αν όμως τα μεγέθη Χ Υ είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους ακολουθούν την κανονική κατανομή, υπάρχει 50% πιθανότητα η υπερεκτίμηση του ενός μεγέθους να συνοδεύεται από υποεκτίμηση του άλλου μετρούμενου μεγέθους, αντίστροφα. Έτσι, η πιθανότητα να υπερεκτιμήσουμε ταυτόχρονα τα δύο μετρούμενα μεγέθη είναι αρκετά μικρή άρα η αβεβαιότητα του αθροίσματος θα είναι σαφώς μικρότερη από τη μέγιστη τιμή δχ+δυ που μπορεί αυτή να πάρει. Αποδεικνύεται ότι για τις μετρήσεις δύο μεγεθών που είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα ακολουθούν την κανονική κατανομή (βλ. Κεφ.4), η αβεβαιότητα στο άθροισμα τους Ζ=Χ+Υ δίνεται από τη σχέση 6.21 Η αβεβαιότητα στην άθροιση των δύο μεγεθών είναι πάντα μικρότερη από το άθροισμα των αβεβαιοτήτων τους, δηλαδή 6.22 Η απόδειξη της σχέσης 6.22 είναι προφανής αφού αν τα δχ δυ αποτελούν τις κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, η υποτείνουσα που δίνεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα θα είναι πάντα μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών (Σχήμα 6.1). Σχήμα 6.1 Στο ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές δx δy, η υποτείνουσα είναι πάντα μικρότερη του αθροίσματος των δύο καθέτων πλευρών. 73

10 Υπάρχει ωστόσο περίπτωση τα δύο μετρούμενα μεγέθη να μην είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, οπότε η αβεβαιότητα στο άθροισμά τους δε θα δίνεται από τη σχέση 6.21, αλλά θα ισούται με το άθροισμα των επιμέρους αβεβαιοτήτων των δύο μεγεθών. Για παράδειγμα, έστω ότι χρησιμοποιούμε για τη μέτρηση των διαστάσεων διαφόρων αντικειμένων ένα μεταλλικό χάρακα ο οποίος ωστόσο έχει βαθμονομηθεί για χρήση σε θερμοκρασία διαφορετική από αυτή που εμείς τον χρησιμοποιούμε στο εργαστήριο. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα, λόγω της θερμικής διαστολής του χάρακα, να λαμβάνουμε πάντα μετρήσεις μικρότερες από τις πραγματικές, αν η θερμοκρασία στο εργαστήριο είναι μεγαλύτερη από αυτή της βαθμονόμησης του, γιατί ο χάρακας θα έχει μεγαλύτερο μήκος. Ωστόσο, το συστηματικό σφάλμα που προκύπτει στην περίπτωση αυτή μπορεί να είναι μικρότερο από την ακρίβεια του χάρακα, οπότε θα μπορούσαμε να το αγνοήσουμε. Αν βέβαια κάνουμε χρήση ενός χάρακα που για οποιοδήποτε λόγο έχει μεγαλύτερο μήκος από το ορθό χωρίς να έχουμε τη δυνατότητα σύγκρισης (βαθμονόμησης) με άλλο χάρακα, αν θέλουμε να υπολογίσουμε το άθροισμα δύο μηκών, αυτό θα είναι πάντα υποεκτιμημένο δε θα μπορούμε να εφαρμόσουμε τη σχέση Έτσι, η αβεβαιότητα θα πρέπει να υπολογιστεί από το άθροισμα των δύο επιμέρους αβεβαιοτήτων, όπως αναφέρθηκε στην αρχή της ενότητας. Γενικεύοντας, για τον υπολογισμό του μεγέθους Ζ που ισούται με το άθροισμα τη διαφορά πολλών μεγεθών (βλ. σχέση 6.1), η αντίστοιχη αβεβαιότητα θα δίνεται από την ακόλουθη σχέση 6.23 Σε κάθε περίπτωση, είτε δηλαδή πρόκειται για ανεξάρτητα φυσικά μεγέθη είτε όχι, η αβεβαιότητα αυτή δε μπορεί ποτέ να υπερβεί το άθροισμα των αβεβαιοτήτων όλων των φυσικών μεγεθών 6.24 Αντίστοιχα, η αβεβαιότητα στον υπολογισμό του μεγέθους Ζ που περιέχει γινόμενα πηλίκα φυσικών μεγεθών (βλ. σχέση 6.16), θα δίνεται από την ακόλουθη σχέση 6.25 ενώ δε θα είναι ποτέ μεγαλύτερη από το άθροισμα των σχετικών αβεβαιοτήτων όλων των φυσικών μεγεθών 6.26 Σύμφωνα με τα παραπάνω, για τον υπολογισμό της αβεβαιότητας του εμβαδού E στο παράδειγμα (α) της ενότητας , η σχέση 6.25 παίρνει τη μορφή x x10 11x10 ή 1.1%, αν εκφραστεί ως ποσοστό. Η τιμή αυτή είναι μικρότερη από το 1.4% που προέκυψε από το άθροισμα των σχετικών αβεβαιοτήτων στις μετρήσεις του μήκους. Άρα, το τελικό αποτέλεσμα μπορεί να γραφεί ως cm Ανάλογα, για τον υπολογισμό της επιτάχυνσης g του παραδείγματος (γ), η σχετική αβεβαιότητα σύμφωνα με τη σχέση 6.25 είναι x10 2x85.2x x10 74

11 ή 13.3%, τιμή που είναι προφανώς μικρότερη από το 21% που είχαμε υπολογίσει για την σχετική αβεβαιότητα, εφαρμόζοντας τη σχέση Παρατηρούμε ότι στα δύο παραδείγματα, οι αβεβαιότητες είναι μικρότερες από αυτές που προκύπτουν από τον απλοποιημένο κανόνα της άθροισης των σχετικών αβεβαιοτήτων. Ο τρόπος αυτός ωστόσο, πέρα από την απλότητά του, όπως αναφέραμε ήδη, μας παρέχει ένα άνω όριο της αβεβαιότητας των μετρήσεων σε διάφορες περιπτώσεις μίας έμμεσης μέτρησης Αβεβαιότητα φυσικών μεγεθών μίας μεταβλητής Υπολογισμός αβεβαιότητας Έστω ότι έχουμε μετρήσει ένα μέγεθος x για το οποίο έχουμε εκτιμήσει την καλύτερη τιμή την αβεβαιότητα του,, θέλουμε να υπολογίσουμε ένα άλλο μέγεθος που εκφράζεται μέσω της συνάρτησης y(x). Η συνάρτηση αυτή μπορεί να περιέχει τριγωνομετρικές ποσότητες, δυνάμεις ή εκθετικές μεταβολές του μεγέθους x να είναι αύξουσα ή φθίνουσα, όπως απεικονίζεται στο Σχήμα 6.2.α,β. Σχήμα 6.2 Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y(x) ως προς το μέγεθος x μπορούμε να βρούμε τις ακραίες πιθανές τιμές της, που αντιστοιχούν στις μετρούμενες τιμές του x. Το (α) αναφέρεται σε αύξουσα το (β) σε φθίνουσα συνάρτηση. Η καλύτερη εκτίμηση της πραγματικής τιμής του y δίνεται προφανώς από την τιμή της συνάρτησης στο x b, y b =y(x b ). Αντίστοιχα, στις ακραίες πιθανές τιμές του x, x b -δx x b +δx, οι τιμές της συνάρτησης θα είναι y max =y(x b +δx) y min =y(x b -δx) Αν η αβεβαιότητα δx είναι μικρή, όπως πολύ συχνά ισχύει για τα μετρούμενα μεγέθη στο εργαστήριο, το κομμάτι της καμπύλης της συνάρτησης που βρίσκεται στο διάστημα [x b -δx, x b +δx] είναι προσεγγιστικά ευθύγραμμο οι ακραίες πιθανές τιμές y max y min θα ισαπέχουν από την καλύτερη εκτίμηση της τιμής του y που είναι η y b. Έτσι, μπορούμε να γράψουμε για την καλύτερη τιμή την αβεβαιότητα του μεγέθους που περιγράφεται από τη συνάρτηση y Ωστόσο, επειδή η συνάρτηση y(x) είναι συνήθως γνωστή, η αβεβαιότητά της μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά δίνεται από τη σχέση (βλ. Σχήμα 6.2)

12 Αφού υποθέσαμε ότι η αβεβαιότητα δx είναι μικρή, μπορεί να αντικατασταθεί με το dx λαμβάνοντας υπόψη τον ορισμό της παραγώγου της συνάρτησης y(x), από τη σχέση 6.27 θα προκύψει επομένως 6.28 Προκειμένου λοιπόν να υπολογίσουμε την αβεβαιότητα δy, αρκεί να βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης y(x) να την πολλαπλασιάσουμε με την αβεβαιότητα δx. Η σχέση 6.28 ισχύει στην περίπτωση που η παράγωγος (κλίση) της συνάρτησης στο σημείο x b είναι θετική, όπως στο Σχήμα 6.2α. Αν η κλίση είναι αρνητική, όπως στην περίπτωση της συνάρτησης του Σχήματος 6.2β, θα προκύψει ένα αρνητικό πρόσημο στη σχέση Μπορούμε επομένως να γράψουμε στη γενική περίπτωση για την αβεβαιότητα ότι 6.29 ώστε η απόλυτη τιμή να μας διασφαλίσει ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό Παραδείγματα (α) Για τον υπολογισμό του μήκους κύματος λ μίας ακτινοβολίας με τη χρήση ενός οπτικού φασματοσκόπιου χρησιμοποιούμε τη σχέση λ= Dsinθ, όπου θ είναι η μετρούμενη γωνία στο φασματοσκόπιο D μία σταθερά του οργάνου που ισούται με 2.5μm (βλ. Κεφ. 9.6). Αν μία μέτρηση της γωνίας δίνει αποτέλεσμα η καλύτερη τιμή για το μήκος κύματος θα είναι sin 2.5 sin x10 µm 370x10 µm 370 nm Η αβεβαιότητα στον υπολογισμό του μήκους κύματος λ προκύπτει από τη σχέση 6.29 είναι 6.30 όπου η γωνία θ μετριέται σε ακτίνια (rad). Εφόσον οι 360 ο αντιστοιχούν σε 2π rad = rad, προκύπτει ότι το δθ θα αντιστοιχεί σε 1.745x10-3 rad. Άρα, από τη σχέση 6.30 η αβεβαιότητα στο μήκος κύματος θα είναι τελικά 2.5 cos x10 µm 4.3x10 µm 4.3 nm που αντιστοιχεί σε μία σχετική αβεβαιότητα 1.1%. Το τελικό αποτέλεσμα μπορεί επομένως να γραφεί ως εξής nm (β) Για τον υπολογισμό του ύψους μίας πολυκατοικίας, ένας φοιτητής εκτελεί πειράματα ελεύθερης πτώσης με σφαίρες μετράει το χρόνο που κάνουν αυτές να χτυπήσουν στο έδαφος. Τις σφαίρες τις αφήνει χωρίς αρχική ταχύτητα από την ταράτσα της πολυκατοικίας. Για τις μετρήσεις του χρησιμοποιεί ένα ρολόι χειρός που έχει ακρίβεια ενός δευτερολέπτου. Μετά από αρκετές μετρήσεις υπολόγισε τη μέση τιμή την αβεβαιότητά της που είναι 76

13 Η καλύτερη τιμή για το ζητούμενο ύψος h θα δίνεται από την ακόλουθη σχέση, που εκφράζει την απόσταση την οποία διανύει ένα σώμα που εκτελεί ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση g=9.81m/s m s 2.4 s m Η αβεβαιότητα στον υπολογισμό του h, βάσει της σχέσης 6.29 θα είναι m x 2.4s x 0.3s 7.06 m s που αντιστοιχεί σε σχετική αβεβαιότητα 25%. Το τελικό αποτέλεσμα μετά τις απαραίτητες στρογγυλοποιήσεις, μπορεί να γραφεί ως εξής 28 7 m 6.4. Γενικευμένος νόμος διάδοσης αβεβαιότητας Γενίκευση Η σχέση 6.29 που αναφέραμε προηγουμένως αφορά την περίπτωση που το μέγεθος y που θέλουμε να υπολογίσουμε είναι συνάρτηση μόνον μίας μεταβλητής, x. Σε πολλές περιπτώσεις βέβαια, ένα ζητούμενο μέγεθος μπορεί να είναι συνάρτηση πολλών μετρούμενων φυσικών μεγεθών από τα οποία θα πρέπει να υπολογίσουμε την καλύτερη τιμή την αβεβαιότητά του (Formasini, 2008). Η περίπτωση της μίας μεταβλητής (βλ. σχέση 6.29) γενικεύεται με τον τρόπο που υπολογίζεται η αβεβαιότητα για ανεξάρτητα μεταξύ τους μετρούμενα φυσικά μεγέθη που υπόκεινται μόνον σε τυχαία σφάλματα (βλ. σχέσεις ). Αν δηλαδή ένα μέγεθος y που θέλουμε να υπολογίσουμε είναι συνάρτηση των μεγεθών x 1,x 2,,x N, τα οποία είναι στατιστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους υπόκεινται όλα σε τυχαία μόνον σφάλματα, η καλύτερη εκτίμηση της πραγματικής τιμής του y θα δίνεται από την ακόλουθη σχέση,,, 6.31 όπου x 1b,x 2b,,x Nb, είναι οι μέσες τιμές των μετρούμενων μεγεθών x i, στην περίπτωση που έχουμε πραγματοποιήσει πολλές το πλήθος μετρήσεις για κάθε ένα από αυτά. Αν δx i είναι οι αντίστοιχες αβεβαιότητες των μεγεθών x i, η αβεβαιότητα δy του ζητούμενου μεγέθους δίνεται από τη σχέση 6.32 Στην παραπάνω σχέση, η ποσότητα / ονομάζεται μερική παράγωγος του y ως προς τη μεταβλητή x i ισούται με την παράγωγο της συνάρτησης y = f(x 1,x 2,,x N ) ως προς τη μεταβλητή x i, αν θεωρήσουμε ότι οι υπόλοιπες μεταβλητές παραμένουν σταθερές. Η απόδειξη της σχέσης 6.32 ξεφεύγει από τους σκοπούς του παρόντος συγγράμματος γι αυτό παραλείπεται. Σε αντιστοιχία με τη σχέση 6.26, η αβεβαιότητα δy δεν είναι ποτέ μεγαλύτερη από την ποσότητα

14 Στην περίπτωση που i=1, δηλαδή έχουμε μόνον ένα μετρούμενο μέγεθος x, η σχέση 6.32 ανάγεται στην απλουστευμένη σχέση Η σχέση 6.32 για τον υπολογισμό της αβεβαιότητας είναι αρκετά περίπλοκη, ειδικά όταν έχουμε αρκετά μετρούμενα φυσικά μεγέθη η συνάρτηση y = f(x 1,x 2,,x N ) έχει πολύπλοκη μορφή. Η διαδικασία ωστόσο του υπολογισμού θα μπορούσε να γίνει σταδιακά, ώστε να αποφευχθούν τυχόν λάθη. Μπορούμε δηλαδή να υπολογίσουμε την αβεβαιότητα του κάθε παράγοντα ξεχωριστά μετά να κάνουμε αντικατάσταση στη τελική σχέση Με τον τρόπο αυτό, υπολογίζουμε τη συνεισφορά της αβεβαιότητας του κάθε μετρούμενου φυσικού μεγέθους στο τελικό αποτέλεσμα. Σε πολλές περιπτώσεις, μικρές αβεβαιότητες από κάποια μετρούμενα μεγέθη θα μπορούσαν να παραλειφθούν χωρίς ουσιαστική επίδραση στην ολική αβεβαιότητα Παραδείγματα (α) Για τον υπολογισμό του όγκου ενός ορθού κυλίνδρου, μετρήθηκαν η ακτίνα r το ύψος h του κυλίνδρου 10 φορές. Οι μέσες τιμές των r h οι αντίστοιχες αβεβαιότητες τους υπολογίστηκαν ότι είναι cm cm Η μέση τιμή του όγκου του κυλίνδρου θα δίνεται από τη σχέση cm ενώ η αβεβαιότητα θα υπολογιστεί από τη σχέση 6.32 ως εξής cm Στη γραφή του τελικού αποτελέσματος θα κρατήσουμε ένα σημαντικό ψηφίο για την αβεβαιότητα στον όγκο, ενώ η μέση τιμή του όγκου θα έχει την ακρίβεια του σφάλματος. Δηλαδή cm (β) Η ποσότητα w είναι συνάρτηση των μετρούμενων μεγεθών x, y z, σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση 2 3 Για τις μετρούμενες τιμές των μεγεθών x, y z έχουμε τα εξής αποτελέσματα Η καλύτερη τιμή για το μέγεθος z θα είναι x 3.2 x x 2.8 x

15 Στη συνέχεια μπορούμε να υπολογίσουμε ξεχωριστά τη συνεισφορά του κάθε μετρούμενου μεγέθους στην αβεβαιότητα της ποσότητας w. Αν δw x είναι η αβεβαιότητα της ποσότητας w που οφείλεται μόνον στην αβεβαιότητα του μεγέθους x, θα έχουμε x 3.2 x x Αντίστοιχα θα έχουμε για της αβεβαιότητες δw y δw z x x 4.4 x x 2.8 x x 4.4 x Η συνολική αβεβαιότητα βάσει της σχέσης 6.32 θα είναι Παρατηρούμε ότι το μέγεθος z είναι αυτό που συνεισφέρει καθοριστικά στην ολική αβεβαιότητα του ζητούμενου μεγέθους, ενώ οι αβεβαιότητες των μεγεθών x y είναι αρκετά μικρότερες. Το τελικό αποτέλεσμα μετά τις απαραίτητες στρογγυλοποιήσεις, μπορεί να γραφεί ως εξής Στο ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα θα καταλήξουμε αν αγνοήσουμε τελείως τις συνεισφορές των αβεβαιοτήτων των δύο μεγεθών x y Ασκήσεις 1. Η ακρίβεια στη μέτρηση μήκους με τη χρήση ενός μεταλλικού χάρακα είναι 1 mm, ενώ με τη χρήση ενός διαστημόμετρου (βλ. Κεφ. 7) είναι 0.05 mm. Αν θέλουμε να μετρήσουμε το μήκος ενός αντικειμένου που είναι 4 cm με ακρίβεια 1%, ποιο όργανο θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε; Αιτιολογείστε την απάντησή σας χρησιμοποιώντας σε κάθε περίπτωση τη σχετική αβεβαιότητα του οργάνου. 2. Ένας φοιτητής μετράει δύο ποσότητες α, β για τις οποίες τα αποτελέσματα είναι Υπολογίστε για το γινόμενο το πηλίκο των μεγεθών αυτών, τις καλύτερες τιμές τις σχετικές τους αβεβαιότητες, θεωρώντας ότι τα μεγέθη είναι στατιστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους. 3. Αναμειγνύουμε το περιεχόμενο δύο δοχείων με διαλύματα προκειμένου να πραγματοποιήσουμε μία χημική αντίδραση. Οι όγκοι των διαλυμάτων μετρήθηκαν αρχικά βρέθηκαν 123 4cm 79

16 98 5cm Υπολογίστε τον ολικό όγκο του τελικού διαλύματος την αντίστοιχη αβεβαιότητα θεωρώντας ότι οι μετρήσεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. 4. Αν η μέτρηση μίας γωνίας θ δίνει το αποτέλεσμα υπολογίστε την τιμή των τριγωνομετρικών αριθμών sinθ cosθ, καθώς επίσης τις αντίστοιχες αβεβαιότητές τους. 5. Η μέτρηση της διαμέτρου μιας σφαίρας με ένα όργανο που έχει ακρίβεια 0.01 mm (βλ. Κεφ. 7) έδωσε αποτέλεσμα mm. Τι θα δηλώσετε για τον όγκο της σφαίρας την αντίστοιχη αβεβαιότητα; Βιβλιογραφία/Αναφορές Formasini, P. (2008). The Uncertainty in Physical Measurements An Introduction to Data Analysis in the Physics Laboratory. New York: Springer. Taylor, J. R. (1997). An Introduction to Error Analysis The Study of Uncertainties in Physical Measurements (2 nd Ed). California: University Science Books. 80

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2 ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Περιεχόμενα 1. Στρογγυλοποίηση.... 2 1.1 Γενικά.... 2 1.2 Κανόνες Στρογγυλοποίησης.... 2 2. Σημαντικά ψηφία.... 2 2.1 Γενικά.... 2 2.2 Κανόνες για την

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Εισαγωγή στη στατιστική ανάλυση μετρήσεων

Κεφάλαιο 4 Εισαγωγή στη στατιστική ανάλυση μετρήσεων Κεφάλαιο 4 Εισαγωγή στη στατιστική ανάλυση μετρήσεων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες της στατιστικής ανάλυσης των μετρήσεων που υπόκεινται σε τυχαία σφάλματα. Παρουσιάζεται μέσω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται δύο κριτήρια απόρριψης απομακρυσμένων από τη μέση τιμή πειραματικών μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους και συγκεκριμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 3 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός

ΑΣΚΗΣΗ 3 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 3 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να παρουσιάζει τα αποτελέσματα πειραματικών μετρήσεων σε μορφή. Τις περισσότερες φορές στις ασκήσεις του εργαστηρίου,

Διαβάστε περισσότερα

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Σφάλμα ανάγνωσης οργάνου Το σφάλμα αυτό αναφέρεται σε αβεβαιότητες στη μέτρηση που προκαλούνται από τις πεπερασμένες ιδιότητες του οργάνου μέτρησης και/ή από τις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η 1 Σκοπός Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την ταχύτητα, την επιτάχυνση, τη θέση ή το χρόνο κίνησης ενός κινητού.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΘΕΜΑ Α Α1. Δ Α2. Γ Α3. Α Α4. Δ Α5. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β1. α) Σωστή η ii. β) Στη θέση ισορροπίας (Θ.Ι.) του σώματος ισχύει η συνθήκη ισορροπίας: ΣF=0

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ. Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΛΥΣΕΙΣ. Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 01-013 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 1//1 ΘΕΜΑ 1 ο ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός του μέτρου της στιγμιαίας ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11: Προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας με το απλό εκκρεμές

Κεφάλαιο 11: Προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας με το απλό εκκρεμές Κεφάλαιο 11: Προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας με το απλό εκκρεμές Σύνοψη Προσδιορισμός της έντασης του γήινου βαρυτικού πεδίου μέσω μέτρησης της περιόδου απλών αρμονικών ταλαντώσεων ενός απλού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΟΓΚΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΟΓΚΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΕΚΦΕ Αν. Αττικής Υπεύθυνος: Κ. Παπαμιχάλης ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΟΓΚΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ Κεντρική επιδίωξη των εργαστηριακών ασκήσεων φυσικής στην Α Γυμνασίου, είναι οι μαθητές να οικοδομήσουν

Διαβάστε περισσότερα

Όργανα μέτρησης διαστάσεων-μάζας. Υπολογισμός πυκνότητας μεταλλικών σωμάτων

Όργανα μέτρησης διαστάσεων-μάζας. Υπολογισμός πυκνότητας μεταλλικών σωμάτων Όργανα μέτρησης διαστάσεων-μάζας. Υπολογισμός πυκνότητας μεταλλικών σωμάτων Συγγραφείς:. Τμήμα, Σχολή Εφαρμοσμένων Επιστημών, ΤΕΙ Κρήτης Περίληψη Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση μετρήσαμε τη διάμετρο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/10/2013

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/10/2013 ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡ: (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 13/1/13 ΘΕΜ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της κίνησης σώματος πάνω σε πλάγιο επίπεδο. Περιγραφή - Θεωρητικές προβλέψεις - Σχεδιασμός

Μελέτη της κίνησης σώματος πάνω σε πλάγιο επίπεδο. Περιγραφή - Θεωρητικές προβλέψεις - Σχεδιασμός Εργαστήριο Φυσικής Λυκείου Επιμέλεια: Κ. Παπαμιχάλης Μελέτη της κίνησης σώματος πάνω σε πλάγιο επίπεδο Περιγραφή - Θεωρητικές προβλέψεις - Σχεδιασμός Βασικές έννοιες, σχέσεις και διαδικασίες Αδρανειακό

Διαβάστε περισσότερα

Προετοιμασία των ομάδων για τον τοπικό διαγωνισμό.

Προετοιμασία των ομάδων για τον τοπικό διαγωνισμό. Προετοιμασία των ομάδων για τον τοπικό διαγωνισμό. Φυσική 1. Επεξεργασία πειραματικών δεδομένων: α) Καταγραφή δεδομένων σε πίνακα μετρήσεων, β) Επιλογή συστήματος αξόνων με τις κατάλληλες κλίμακες και

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα 1 Διαστημόμετρο (Μ Κύρια κλίμακα, Ν Βερνιέρος)

Σχήμα 1 Διαστημόμετρο (Μ Κύρια κλίμακα, Ν Βερνιέρος) Άσκηση Μ1 Θεωρητικό μέρος Μήκος και μάζα (βάρος) Όργανα μέτρησης μήκους Διαστημόμετρο Με το διαστημόμετρο μετράμε μήκη μέχρι και μερικά μέτρα, σε χαμηλές απαιτήσεις ως προς την ακρίβεια. Το κύριο μέρος

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Κατά την καταγραφή δεδοµένων, σε κάθε εγγραφή δεδοµένου θα πρέπει να δίδεται µαζί και το αντίστοιχο εκτιµώµενο σφάλµα ή αβεβαιότητα. Ο όρος σφάλµα

Διαβάστε περισσότερα

x 2,, x Ν τον οποίον το αποτέλεσμα επηρεάζεται από

x 2,, x Ν τον οποίον το αποτέλεσμα επηρεάζεται από Στη θεωρία, θεωρία και πείραμα είναι τα ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ... υπό ισχυρή συμπίεση ίδια αλλά στο πείραμα είναι διαφορετικά, A.Ensten Οι παρακάτω σημειώσεις περιέχουν τα βασικά σημεία που πρέπει να γνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1 1. Πότε τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία; Αναφέρεται παραδείγματα. Στη φυσική πολλές φορές είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τα σώματα χωρίς να λάβουμε υπόψη τις διαστάσεις τους. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο Φοιτητή. Εργαστηριακό Τμήμα Π.χ. Δευτέρα

Ονοματεπώνυμο Φοιτητή. Εργαστηριακό Τμήμα Π.χ. Δευτέρα Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Εργαστηριακό Τμήμα Π.χ. Δευτέρα 11 00 13 00 Ομάδα Π.χ. 1A Πειραματική άσκηση Ελεύθερη πτώση Ημερομηνία Εκτέλεσης Άσκησης... / / 2015 Ημερομηνία παράδοσης εργαστ.αναφοράς... / / 2015

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τοπικός διαγωνισμός EUSO2017

Τοπικός διαγωνισμός EUSO2017 ΕΚΦΕ Νέας Ιωνίας ΕΚΦΕ Χαλανδρίου Τοπικός διαγωνισμός EUSO2017 Πειραματική δοκιμασία Φυσικής Στα «αχνάρια» του Αρχιμήδη! 10 Δεκεμβρίου 2016 ΣΧΟΛΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ: ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΤΩΝ: 1) 2). 3).. ΛΙΓΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών

Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών Φυσική Α Γενικού Λυκείου Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών (Μετρήσεις, αβεβαιότητα, επεξεργασία δεδομένων) Υποστηρικτικό υλικό 20 Οκτωβρίου 2016 Μαρίνα Στέλλα, Υπεύθυνη ΕΚΦΕ Σχολικό Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση 2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του φυσικού εκκρεμούς.

Εργαστηριακή Άσκηση 2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του φυσικού εκκρεμούς. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Όνομα : Κάραλης Νικόλας Α/Μ: 09104042 Εργαστηριακή Άσκηση 2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του φυσικού

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική Χωρίζεται σε έξι βασικούς κλάδους: Κλασική μηχανική Θερμοδυναμική Ηλεκτρομαγνητισμός Οπτική Σχετικότητα Κβαντική μηχανική είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Δx: απόλυτο σφάλμα του μεγέθους x. (Το Δx έχει τις ίδιες μονάδες με το x). Δx x Δx x

Κεφάλαιο 1. Δx: απόλυτο σφάλμα του μεγέθους x. (Το Δx έχει τις ίδιες μονάδες με το x). Δx x Δx x Κεφάλαιο 1 Σύνοψη Θεωρία Σφαλμάτων: Βασικές γνώσεις περί σφαλμάτων με στόχο την κατανόηση των διαφόρων πηγών σφάλματος πειραματικών μετρήσεων, του τρόπου ποσοτικής εκτίμησης της επίδρασής τους στην (αν-)ακρίβεια

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση πειραματικών αποτελεσμάτων

Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση πειραματικών αποτελεσμάτων Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση πειραματικών αποτελεσμάτων Σύνοψη Πέραν από την ιδιαίτερη προσοχή που θα πρέπει να επιδείξουμε κατά τη λήψη μετρήσεων σε ένα πείραμα, μεγάλη σημασία έχει ο τρόπος που θα παρουσιάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κινηματική

Κεφάλαιο 1: Κινηματική Κεφάλαιο 1: Κινηματική Θέμα Β: 3763 Β 3768 Β1 3770 Β1 377 Β 4980 Β1 498 Β1 4986 Β1 4989 Β 4995 Β1 5044 Β1 5046 Β1 5050 Β1 505 Β1 5090 Β1 515 Β1 518 Β1 513 Β 563 Β1 535 Β1 535 Β 539 Β1 5515 Β1 6154 Β1 8996

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να παρουσιάζει τα αποτελέσματα πειραματικών μετρήσεων σε μορφή καμπυλών και να μπορέσει εν τέλει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα :

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα : Νόμος Νόμοι Πρότυπο ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Πρότυπο ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης (Ε.Ο.Μ.Κ) Όταν η επιτάχυνση ενός

Διαβάστε περισσότερα

Α και Β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ

Α και Β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Φυσικών Επιστημών 2011-12 Τοπικός διαγωνισμός στη Φυσική 10-12-2011 Σχολείο: Ονόματα των μαθητών της ομάδας: 1) 2) 3) Κεντρική ιδέα της άσκησης Στην άσκηση μελετάμε την κίνηση ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κίνηση σε μία διάσταση

Κεφάλαιο 1. Κίνηση σε μία διάσταση Κεφάλαιο 1 Κίνηση σε μία διάσταση Κινηματική Περιγράφει την κίνηση, αγνοώντας τις αλληλεπιδράσεις με εξωτερικούς παράγοντες που ενδέχεται να προκαλούν ή να μεταβάλλουν την κίνηση. Προς το παρόν, θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ανακρίνοντας τρία διαγράμματα

Ανακρίνοντας τρία διαγράμματα Ανακρίνοντας τρία διαγράμματα 1) Ένα σώµα κινείται πάνω στον άξονα x και στο διάγραµµα φαίνεται η θέση του σε συνάρτηση µε το χρόνο. Με βάση πληροφορίες που µπορείτε να αντλήσετε µελετώντας το παραπάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Θέμα Α. 1. β 2. α 3. γ 4. β 5. Λ,Λ,Λ,Λ,Λ.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Θέμα Α. 1. β 2. α 3. γ 4. β 5. Λ,Λ,Λ,Λ,Λ. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ- 07 Θέμα Α.. β. α 3. γ 4. β 5. Λ,Λ,Λ,Λ,Λ. Β Στην επιφάνεια ελαστικού μέσου υπάρχουν δύο πανομοιότυπες πηγές κυμάτων που ξεκινούν ταυτόχρονα την ταλάντωση τους. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ).

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ). 1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ). *1. Μια κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. Αρκετές φορές τα πειραματικά δεδομένα πρέπει να απεικονίζονται υπό μορφή γραφικών παραστάσεων σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων καρτεσιανών συντεταγμένων. Με τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

5. Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει την ταχύτητα ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε συνάρτηση με τον χρόνο.

5. Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει την ταχύτητα ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε συνάρτηση με τον χρόνο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9/0/06 ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις 7 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Mια μικρή σφαίρα προσκρούει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ:

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ: ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13 5. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...25

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16-10- 2011. 1) α) Μονάδα μέτρησης ταχύτητας στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (S.I.) είναι το 1Km/h.

ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16-10- 2011. 1) α) Μονάδα μέτρησης ταχύτητας στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (S.I.) είναι το 1Km/h. ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16- - 2011 ΘΕΜΑ 1 0 Για τις ερωτήσεις 1-5, αρκεί να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά από αυτόν, το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ 5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ Μετρούμε αλλά και υπολογίζουμε Στο προηγούμενο μάθημα χρησιμοποιήσαμε το μέτρο, αλλά και άλλα όργανα με τα οποία μετρούμε το μήκος. Το σχήμα που μετρούμε με το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια του ορίου στο x ο Υπάρχουν συναρτήσεις οι τιμές των οποίων πλησιάζουν ένα πραγματικό αριθμό L, όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης σώματος με χρήση συστήματος φωτοπύλης-χρονομέτρου. Περιγραφή - Θεωρητικές προβλέψεις - Σχεδιασμός

Μελέτη της ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης σώματος με χρήση συστήματος φωτοπύλης-χρονομέτρου. Περιγραφή - Θεωρητικές προβλέψεις - Σχεδιασμός Εργαστήριο Φυσικής Λυκείου Επιμέλεια: Κ. Παπαμιχάλης Μελέτη της ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης σώματος με χρήση συστήματος φωτοπύλης-χρονομέτρου Περιγραφή - Θεωρητικές προβλέψεις - Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ. 1ο Κριτήριο αξιολόγησης στα κεφ Θέμα 1. Κριτήρια αξιολόγησης Ταλαντώσεις - Κύματα.

ΟΡΟΣΗΜΟ. 1ο Κριτήριο αξιολόγησης στα κεφ Θέμα 1. Κριτήρια αξιολόγησης Ταλαντώσεις - Κύματα. 1ο Κριτήριο αξιολόγησης στα κεφ. 1-2 Θέμα 1 Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; 1. Ένα σώμα μάζας m είναι δεμένο στην ελεύθερη άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k και ηρεμεί στη θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

α. φ Α < φ Β, u A < 0 και u Β < 0. β. φ Α > φ Β, u A > 0 και u Β > 0. γ. φ Α < φ Β, u A > 0 και u Β < 0. δ. φ Α > φ Β, u A < 0 και u Β > 0.

α. φ Α < φ Β, u A < 0 και u Β < 0. β. φ Α > φ Β, u A > 0 και u Β > 0. γ. φ Α < φ Β, u A > 0 και u Β < 0. δ. φ Α > φ Β, u A < 0 και u Β > 0. ΙΙΑΓΓΩΝΙΙΣΜΑ ΦΦΥΥΣΙΙΚΚΗΣ ΚΚΑΤΤΕΕΥΥΘΥΥΝΣΗΣ ΓΓ ΛΛΥΥΚΚΕΕΙΙΟΥΥ ΚΚυυρρι ιιαακκήή 1133 ΙΙααννοουυααρρί ίίοουυ 001133 Θέμα 1 ο (Μονάδες 5) 1. Στο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A1. γ. Α. α. Α3. β. Α4. δ. Α5. α. Λάθος β. Σωστό γ. Σωστό δ. Σωστό ε. Λάθος ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΠΛΗΡΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Άρα, για τις αντίστοιχες αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων των δύο σωμάτων πριν από την κρούση τους προκύπτει ότι:

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΠΛΗΡΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Άρα, για τις αντίστοιχες αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων των δύο σωμάτων πριν από την κρούση τους προκύπτει ότι: ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΕΤΑΡΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΔΕΚΑ (10) ΘΕΜΑ Α ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.4 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Μια ευθύγραμμη κίνηση στην οποία το διάνυσμα της ταχύτητας δεν μένει σταθερό, δηλαδή έχουμε μεταβολή της ταχύτητας, την ονομάζουμε ευθύγραμμη μεταβαλλόμενη κίνηση.

Διαβάστε περισσότερα