Fizika za studente na Departmanu za matematiku i informatiku na PMF-u u Novom Sadu

Transcript

1 d Fedo Skuban Fizika za sudene na Depamanu za maemaiku i infomaiku na PMF-u u Noom Sadu Depaman za fiziku, PMF Noi Sad Fizičke eličine. SI sisem jedinica 4 Osnoni pojmoi kinemaike Bzina 3 Ubzanje 5 Paolinijsko keanje 7 Slobodno padanje Veikalni hiac 3 Hoizonalni hiac 5 Kosi hiac 8 Kiolinijsko keanje. Kužno keanje 3 Ugaona bzina 3 Ugaono ubzanje 33 Ranomeno kužno keanje 38 Jednako-ubzano kužno keanje 4 Dinamika. Sila, masa i količina keanja 43 Njunoi zakoni keanja. I Njuno zakon 45 II Njuno zakon 47 III Njuno zakon 48 Gaiaciona sila. Njuno zakon uniezalne gaiacije 5 Mehanika Sadžaj Težina ela 53 Sila nomalne eakcije podloge 54 Sila enja 55 Sila elasičnosi 59 Sile kod kužnog keanja 6 Rad i enegija 66 Enegija 69 Kineička enegija 7 Poencijalna enegija 7 Gaiaciona poencijalna enegija 73 Konzeaina i nekonzeaina polja 77 Konzeaine i nekonzeaine sile 78 Poencijalna enegija defomisane opuge 79 Zakon odžanja enegije 8 Snaga 85 Impuls sile i količina keanja 86 Zakon odžanja količine keanja 88 Sudai 9 Elasičan suda 93 Neelasičan suda 94

2 Oscilacije i alasi 95 Osciloanje ela obešenog o elasičnu opugu 98 Maemaičko klano Talasno keanje. Posianje alasa u elasičnoj sedini. 3 Jednačina pogesinog alasa 8 Bzina šienja alasa Enegija alasa Osnone osobine alasnog keanja 3 Sadžaj Saika fluida 8 Piisak 9 Hidosaički piisak Poisak. Ahimedo zakon. 4 Osobine gasoa. Amosfeski piisak. 6 Dinamika fluida 8 Jednačina koninuiea 9 Benulijea jednačina 3 Toičelijea eoema 33 3 Fizičke eličine. SI sisem jedinica. Poeba da se bojem izažaaju osobine ili opisuju piodne pojae namenula je poebu uođenja fizičkih eličina i jedinica fizičkih eličina. Fizičkim eličinama se kaniaino opisuju osobine ela, sanja i pocesa. Skalane eličine su popuno odeđene sojom bojnom ednošću, dok su ekoske eličine definisane joši pacem i smeom. 96. godine je na međunaodnom niou dogooeno da se koisi jedinseni sisem fizičkih jedinica u seu, z. SI sisem (međunaodni sisem jedinica), koji sadži 7 osnonih eličina i njihoih jedinica, dok su se osale jedinice (jedinice osalih fizičkih eličina) izedene od osnonih (iako imaju duge nazie, mogu se nedosmisleno izazii peko nekih od pomenuih sedam osnonih jedinica). 4

3 Osnone fizičke eličine: Fizičke eličine. SI sisem jedinica. nazi eličine najčešća oznaka eličine jedinica oznaka jedinice masa m kilogam kg dužina l, s, mea m eme sekund s empeaua T kelin K jačina elekične suje I ampe A jačina selosi J kandela cd količina supsance n mol mol 5 Fizičke eličine. SI sisem jedinica. m je dužina pua koju u akuumu peđe selos za / deo sekunde. kgjemasa ealona u obliku cilinda isine 39 mm i pečnika 39 mm od legue 9% P - % I, koji se čua u Međunaodnom biou za ežine i mee u Seu, Fancuska. sjeeme ajanja oscilacija elekona između da hipefina nioa u aomu Cs. K je emodinamička empeaua koja je jednaka /73.6 delu emodinamičke empeaue ojne ačke ode. Aje jačina emenski salne elekične suje koja, polazeći koz da paa, paalelna poodnika beskonačne dužine i zanemaljiog popečnog peseka, koja se nalaze u akuumu na asojanju od m, pouzokuje između njih elekodinamičku (pilačnu ili odbojnu) silu od 7 N po meu dužine. 6

4 Fizičke eličine. SI sisem jedinica. cdjeselosna jačina koju u odeđenom pacu emiuje izo selosi u idu monohomaskog začenja fekencije 54 Hz i čija je izačena snaga u om pacu /683 deo W po seadijanu. molje količina maeije sisema koji sadži oliko elemenanih jedinki koliko ima aoma u. kg izoopa ugljenika C (Aogado boj). 7 Fizičke eličine Izedene fizičke eličine - skup fizičkih eličina koje su funkcije osnonih ili osnonih i eć izedenih eličina, a dobijaju se na osnou fomule ili elacije. Pimei: bzina dx/d [m/s] ubzanje ad/d [m/s ], sila Fm a [Nkgm/s ], piisak pf/s [PaN/m ] gadijen bzine d/dz [s /s] koeficijen dinamičke iskoznosi ηf/(s (d/dz)) [PasNs/m kg/sm] Mogu bii i bezdimenzione: apsoluni indeks pelamanja Poasono boj nc/ μ(δd/d)/(δl/l) Izuzeak su jedinice za: ugao u ani [ad] posoni ugao [s] 8

5 Fizičke eličine Jedinice fizičkih eličinaseločeso ne koise u som osnonom obliku, eć išesuko umanjene ili uećane. Milimea, nanosekunda ili mikofaad su jedinice koje sadže pefikse mili-, nano- i miko- i pedsaljaju umnoške osnone jedinice (mea, sekunda, Faad) zasnoane na azličiim eksponenima boja. ed eličine pefiks oznaka piko- p 9 nano- n 6 miko- μ 3 mili- m ceni- c deci- d ed eličine pefiks oznaka deka- da heko- h 3 kilo- k 6 mega- M 9 giga- G ea- T 9 KINEMATIKA Osnoni pojmoi kinemaike Mehaničko keanje ela je pomena položaja og ela u odnosu na bilo koje dugo elo. Za odeđianje položaja koise se efeenni sisemi, najčešće Dekao paougli koodinani sisem. Refeenni sisemi su ezani za posmaača događaja. Mogu se keai (anomeno ili ubzano) ili mioai. Refeenni sisemi koji miuju ili se anomeno keću su z. inecijalni efeenni sisemi, a oni koji se ubzano keću naziaju se neinecijalni efenni sisemi.

6 Osnoni pojmoi kinemaike Veko položaja je eko koji spaja koodinani počeak i dau ačku, a usmeen je ka daoj ački. Maeijalna ačka je elo zanemaljiih dimenzija, ali konačne mase. U kinemaici nas nanje ineesuju dimenzije pokenih ela, a iše samo njihoo keanje i eličine koje ga kaakeišu. Linija koju maeijalna ačka opisuje okom keanja (skup uzasopnih položaja) pedsalja njenu puanju. Ili, o je skup ačaka koz koje polazi okom sog keanja. Osnoni pojmoi kinemaike Deo puanje Δs koji elo peđe za eme Δ između deačke (np. M im )jepeđeni pu. To je asojanje između kajnjeg i počenog položaja ela meeno duž puanje. Δ Veko pomeaja Δ s s s je eko koji spaja počeni i kajnji položaj ačke u keanju. Δ ( + Δ) ( ) Sakokeanjesemožesmaaikao kombinacija anslacije i oacije. Tanslacija saka paa ili aan osaje sama sebi paalelna. Roacija - se ačke se keću po konceničnim kugoima čiji ceni su na isoj paoj - osa oacije. Δs

7 Vse keanja. Bzina. Bzinom se, u opšem smislu, kaakeiše peđeni pu u jedinici emena. Sednja puna bzina je količnik ukupnog peđenog pua Δs za neko eme Δ i emena keanja Δ. Δs s Δ Jedinica je [m/s]. Sednja ekoska bzina je količnik ekoa pomeaja i emena u oku kojeg je pomeaj napaljen. s Δ ( + Δ) ( ) Δ Δ Δs 3 Tenuna bzina Tenuna bzina (bzina pokene ačke u daom enuku ) je sednja ekoska bzina u beskonačno malom inealu emena. Veko enune bzine ima paac angene na puanju. Δ, Δ Δ Δ d lim Δ Δ d Inenzie enune bzine se, na osnou činjenice da je dužina pomeaja jednaka peđenom puu Δs u slučaju da Δ, definiše kao: Δ Δs ds lim lim Δ Δ Δ Δ d 4

8 5 Ubzanje Ubzanje je eličina koja kaakeiše pomenu bzine u jedinici emena. Sednje ubzanje je količnik pomene bzine i emenskog ineala u oku kojeg je a pomena načinjena. Tenuno ubzanje je ganična ednos sednjeg ubzanja kada emenski ineal Δ. Jedinica za ubzanje je [m/s ]. Veko enunog ubzanja ima paac ekoa pomene bzine. Inenzie enunog ubzanja se definiše kao: a a s s Δ + Δ Δ Δ ) ( ) ( a a d d lim, Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ d d a Δ Δ Δ Δ Δ Δ * d d d d d d d d d d lim lim a a a * Čia se: dugi izod ekoa pomeaja po emenu. 6 Ubzanje Ubzanje može bii poziino (eko bzine i eko ubzanja imaju isi sme) ili negaino (z. uspoenje eko bzine i eko ubza-nja imaju supone smeoe). Ubzanje posoji i kada nema pomene inenziea ekoa bzine. Dooljno je da eko bzine menja paac uposou.

9 Jednodimenzionalno (paolinijsko) keanje anomeno keanje Keanje kod kojeg je puanja paa linija je paolinijsko. Vekoi bzine i ubzanja (ako je a ) se poklapaju sa pacem keanja, a inenziei enunih oih eličina su: ds d d s a d d d Paolinijsko keanje može bii anomeno ili pomenljio (najjednosaniji slučaj: jednako-ubzano). Ranomeno (unifomno) paolinijsko keanje je ono u kome se bzina ne menja ni po inenzieu ni po pacu uokuemena.njeninenzie je aan količniku peđenog pua i emena. a s cons. 7 Paolinijsko keanje anomeno keanje Zakon položaja je funkcija pomene položaja ela (maeijalne ačke) sa emenom, xf(). Uslučaju paolinijskog anomenog keanja zakon položaja glasi *: x x + ili poso (ako uzmemo da je počeni položaj (kodinaa) ela x ): x * Kod paolinijskog keanja koodinanu osu (ecimo x-osu) na kojoj se pai položaj ela usmeaamo duž paca keanja. 8

10 Paolinijsko keanje jednako-ubzano keanje Keanje po paoj liniji pi kojem je ubzanje konsanno ( a cons. ) je jednako-ubzano paolinijsko keanje. Ubzanje može bii poziino ili negaino (uspoenje; inenzie bzine se smanjuje u oku emena). Zakon bzine je funkcija koja pokazuje zaisnos bzine od emena, f(). Za slučaj da je počena bzina (bzina u enuku s), zakon bzine glasi: + a Zakon položaja uslučaju paolinijskog jednako-ubzanog keanja glasi: a x x + + za x a x + 9 Paolinijsko keanje jednako-ubzano keanje Veza između kajnje i počene bzine i peđenog pua x je: + ax Sednja bzina kod jednako-ubzanog paolinijskog keanja je: a cons. + s + a a x x + +

11 Pimei paolinijskog jednako-ubzanog keanja Slobodno padanje Slobodno padanje je paolinijsko (jednodimenzionalno) i jednako-ubzano keanje ela u polju sile Zemljine eže bez počene bzine ( ). Inenzie ubzanja ela pibližno iznosi a g 9.8m/s i pod izesnim usloima se može smaai konsannom eličinom (u blizini pošine Zemlje, uz zanemaianje sile opoa azduha,...). Sme ubzanja je ka pošini Zemlje (ačnije ka cenu Zemlje). Inenzie bzine, položaj ela na eikalnoj y- osiipeđeni pu (ačunajući odmesagdeseelo puša da slobodno pada): g g g y h s Slobodno padanje Kada nema dugih uicaja, eć deluje samo sila Zemljine eže na ubzanje ela, ada sa ela padaju jednako ako su isoemeno pušena da padaju, isoemeno i sižu do pošine. Bzina pi udau o zemlju pi slobodnom padu sa isine h: gh

12 Veikalni hiac Veikalni hiac je jednodimenzionalno (paolinijsko) i jednako-ubzano keanje ela u polju sile Zemljine eže sa nekom počenom bzinom ( ) elo je bačeno u eikalnom pacu (naiše ili naniže nekom počenom bzinom). Inenzie ubzanja ela je akođe g 9.8m/s, a sme ubzanja je ka pošini Zemlje (ačnije ka cenu Zemlje). Sme bzine, međuim, može bii i supoan od smea ubzanja kada se elo baca naiše (eikalni hiac naiše), bzina je u počeku usmeena u poziinom smeu y-ose duž koje se posmaa položaj bačenog ela elo uspoaa dok ne dosigne maksimalnu isinu, a zaim slobodno pada. Kod eikalnog hica naniže, bzina ela i ubzanje uek imaju isi sme. 3 + g Veikalni hiac Zakon bzine, zakon položaja i peđeni pu Hiac naniže g y h g s + Hiac naiše g g y h + U momenu pada na zemlju je y; u najišoj ački puanje je inenzie bzine. g s Maksimalna isina koju dosiže elo u eikalnom hicu naiše: H h + g 4

13 Dodimenzionalno (kiolinijsko) keanje u polju sile Zemljine eže Hoizonalni hiac Hoizonalni hiac je dodimenzionalno (kiolinijsko) i složeno keanje ela u polju sile Zemljine eže sa nekom počenom bzinom ( ) elo je bačeno u hoizonalnom pacu sa neke isine. U slučaju dodimenzionalnog keanja (po kiolinijskoj puanji), bzina ela se u sakom momenu može azložii na de komponene duž x- i duž y-ose koodinanog sisema ezanog za posmaača (obično je o Zemljina pošina). 5 Hoizonalni hiac Keanje duž x-ose je anomeno bzina je konsanna. Keanje duž y-ose je jednako-ubzano bzina ase (slobodno padanje; ubzanje je g). x y g x g y h * h je isina sa koje je bačeno elo po puanji hoizonalnog hica. 6

14 Hoizonalni hiac Puanja je paabola. Zakon (jednačina) puanje, (zaisnos y-koodinae položaja ela koje se keće po puanji hoizonalnog hica od x-koodinae): gx y h U momenu pada na zemlju je y dome x D, bzina D, ugao puanje α D. + x y h x D g 7 Kosi hiac Kosi hiac je dodimenzionalno (kiolinijsko) i složeno keanje ela upolju sile Zemljine eže sa nekom počenom bzinom ( ) elojebačeno pod nekim uglom u odnosu na hoizonalni paac. Keanje se može opisai kao supepozicija da keanja duž x-iy-koodinane ose. Duž x-ose keanje je anomeno bzina je konsanna. Duž y-ose keanje je jednako-pomenljio ako je ugao izbacianja poziian (eikalni hiac naiše), bzina duž y-ose po opada, a nakon dosizanja maksimalne isine, bzina menja sme i ase po inenzieu; u slučaju negainog ugla, bzina duž y- ose salno ase, kao kod slobodnog padanja. 8

15 Puanja je paabola. Vemenska pomena komponeni bzina i koodinaa ela: Kosi hiac x x x cosα y y g y sin α g x x x cosα y y + y g g y y + sin α Zakon (jednačina) puanje yf(x) ima oblik: * y je isina sa koje je bačeno elo po puanji kosog hica. y y + x gα g cos x α 9 Kosi hiac U najišoj ački puanje je y ( x ) maksimalna isina y max. Pod usloom da je y : y max sin g α U momenu pada na zemlju je y dome x D, bzina D, ugao puanje α D : x D sin α g Dome zaisi od počene bzine ela ( )i od ugla α pod kojim je ispaljen pojekil po puanji kosog hica. * Peposalja se da je opo azduha zanemalji. 3

16 Kinemaika oacionog keanja. Kužno keanje. Položaj maeijalne ačke pi keanju po kužnici da je adijus-ekoom, koji polazi od cena kužne puanje, a zašaa na mesu maeijalne ačke. Ugaoni pomeaj Δθ je ugao između počenog (θ ) i kajnjeg (θ) položaja adijus-ekoa. Ugloi se izažaaju u adijanima (ad). Ugaoni pomeaj Δθ je eko čiji paac se poklapa sa pacem ose oacije, a sme je odeđen pailom desnog zanja. θ [ad] s Δs Δθ θ Δθ θ θ Δ θ * Ugao od ad je onaj za koji je odgoaajuća dužina luka na kužnici jednaka njenom polupečniku (s), θs/ ad. 3 Ugaona bzina ω Sednja ugaona bzina ω s je količnik ugaonog pomeaja i emena u oku kojeg je aj ugao opisan. Jedinica je [ad/s]. Tenuna ugaona bzina ω je jednaka sednjoj ugaonoj bzini kada emenski ineal Δ. Ugaona bzina je poziina, ako se θ poećaa, a negaina, ako se θ smanjuje. Ugaona bzina je eko čiji se paac poklapa sa pacem ose oacije nomalan je na aan oacije. Sme ekoa je odeđen pailom desnog zanja. Δθ ωs Δ Δθ dθ ω lim Δ Δ d 3

17 Ugaono ubzanje α Ugaono ubzanje je posledica ubzanog keanja maeijalne ačke po kužnici (poećanje ili smanjenje inenziea peifene bzine ), odnosno pomene inenziea ugaone bzine ω. Sednje ugaono ubzanje α s je količnik pomene ugaone bzine i emenskog ineala u oku kojeg je došlo do e pomene. Jedinica je [ad/s ] ili samo [s ]. α s Δω Δ Δω dω α lim Δ Δ d d θ α d Tenuno ugaono ubzanje α je sednje ugaono ubzanje za ganičan slučaj kada Δ. Ugaono ubzanje α je eko čiji se paac poklapa sa pacem ose oacije, dakle nomalan je na aan kužnice i kolineaan sa ekoom ugaone bzine ω. 33 Veza između lineanih i ugaonih eličina Veza između inenziea peifene bzine keanja maeijalne ačke (ela) po kužnici i inenziea ugaone bzine ω adijus ekoa e maeijalne ačke: ω Δs / Δs Δ Δ Δθ Δ ω ω Veko peifene bzine leži u ani kužnice, kao i adijus-eko, a eko ugaone bzine ω je nomalan na aan kužnice. 34

18 Veza između lineanih i ugaonih eličina Slično ome, eza između inenziea ubzanja a maeijalne ačke koja se keće po kužnici (dakle, peifena bzina se menja po inenzieu) i inenziea ugaonog ubzanja α dobija se na sledeći način: Δ Δω Δω aτ α Δ Δ Δ a τ α Pošo je ubzanje ode posledica pomene inenziea peifene bzine, ekooe eličine ( a τ ) ima paac angene na kužnu puanju (kao i peifena bzina) izog azloga nosi nazi angencijalno ubzanje. Oznaka a τ isiče da oo ubzanje eba azlikoai od z. nomalnog (cenipealnog ubzanja) koje je posledica pomene paca peifene bzine. d aτ d o * o je jedinični eko peifene bzine. 35 Kiolinijsko keanje. Kužno keanje. Sako kiolinijsko keanje se može pedsaii kao keanje po kužnici, pičemu se polupečnik kužnice menja u oku keanja. Položaj maeijalne ačke pi keanju po kužnici je da adijus-ekoom. Sako kiolinijsko keanje je i ubzano keanje, je se bzina menja baem po pacu. 36

19 Nomalno i angencijalno ubzanje kod kužnog keanja U opšem slučaju, eko ubzanja ima de komponene: nomalno (cenipealno) ubzanje, koje je nomalno na angenu u posmaanoj ački, i angencijalno ubzanje, koje ima paac angene na puanju. Kod anomenog kiolinijskog keanja (inenzie bzine se ne menja, eć samo paac) eko ubzanja ima paac nomalan na angenu puanje, j. usmeen je ka cenu kiine puanje i adi se o nomalnom (cenipealnom) ubzanju. 37 Ranomeno (unifomno) kužno keanje Peifena bzina ima salan inenzie, cons. Ugaona bzina ω akođe ima konsanni inenzie, ωcons. s θ ω pun kug θ π ad π ω πν T ν T Ranomeno kužno keanje je peiodično, a peiod oacije T je eme poebno da adijuseko opiše pun kug od π ad. Fekencija ili učesanos obanja ν (ili f) obnuo je sazmena peiodu obanja T. 38

20 Ranomeno kužno keanje Zbog nepekidne pomene paca bzine, posoji nomalno ubzanje inenziea a n, usmeeno uek ka cenu oacije, supono od adijus ekoa. Na osnou sličnosi ougloa i definicije nomalnog ubzanja a n ipeifene bzine,sledi: Δ Δ Δ a Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Inenzie nomalnog ubzanja: n ω a n ω a n Veko nomalnog ubzanja: 39 Jednako-ubzano kužno keanje Ako se menja i inenzie bzine, a ne samo paac, pomena bzine ima de komponene, a akođe iubzanje koje je opisuje: Δ Δ n + Δ a a + a n τ τ Pomena bzine u pacu nomale (bzina pomene paca) definiše nomalno ubzanje, a u pacu angene (bzina pomene inenziea) - angencijalno ubzanje. 4

21 Jednako-ubzano kužno keanje Najposiji oblik neanomenog kužnog keanja je jednako-ubzano (ili jednako-uspoeno) keanje u oku kojeg se, poed paca, iinenzie peifene bzine (pa ako i ugaone bzine) menjaju pailno u oku emena. Dugim ečima, angencijalno ubzanje a τ ima konsanni inenzie. Tangencijalno ubzanje a τ je eko kolineaan angeni na kužnicu. d d( ω ) dω aτ d d d a a n + aτ a an + a τ a τ α d aτ d o * o je jedinični eko peifene bzine. a + ( α) Keanje po kioj liniji je, pakično, salno keanje po kužnim puanjama, čiji se polupečnici salno menjaju, a akođe ibzina i ubzanja ela koje se keće. 4 Jednako-ubzano kužno keanje Pi jednako-ubzanom kužnom keanju mogu se definisai izazi analogni onim kod jednako-ubzanog paolinijskog keanja. ω ω ± α ± a α θ θ + ω ± a x x + ± ω ω ± α θ ± a x 4

22 Dinamika. Sila, masa i količina keanja. Dinamika je deo mehanike koji se bai uzocima pomene keanja ela. Inenos je piodna endencija ela da osane u sanju mioanja ili anomenog keanja po paoj liniji i jedna je od osnonih osobina ela. Masa ela je kaniaina mea inenosi. Inecija se odnosi na mioanje ili keanje ela bez obzia na njihou masu, a inenos je opianje pomeni sanja keanja. Bzina je osnona kinemaička eličina koja kaakeiše elou keanju. Pi pomeni bzine dolazi do izažaja inecija ela, pa se masa, kao njena mea, i bzina jaljaju zajedno u nooj, kompleksnijoj eličini koja bolje opisujekeanje.tojekoličina keanja k skalani poizod mase i bzine ela (jedinica za količinu keanja je [kgm/s]): k m 43 Sila, masa i količina keanja. Do pomene sanja keanja (bzine) može doći samopiineakciji ela sa dugim elima. Sila (jedinica je Njun, [N]) je kaniaina mea ineakcije (međusobnog deloanja) ela, j. izažaa inenzie ineakcije. Sile mogu bii konakne, kadapi ineakciji posoji dodi između ela, i bezkonakne, kada se ineakcija osauje na daljinu, j. puem fizičkog polja (gaiaciona, elekična, magnena, jaka ili slaba nukleana sila). 44

23 Njunoi zakoni keanja I Njuno zakon Slika pikazuje azliči uicaj sile enja na keanje isog ela po azličiim podlogama posoji, dakle, ineakcija između koljajućeg ela i podloge podloga uiče na pomenu sanja keanja. I Njuno zakon - zakon inecije Sako elo zadžaa sanje mioanja ili anomenog paolinijskog keanja se dok dugo elo sojim deloanjem o sanje ne pomeni, j. dok ne ineaguje sa dugim elom. * Isak Njun, engleski fiziča i maemaiča (64-77). 45 Maemaički izaz I Njunoog zakona Ukoliko je : F a cons. m cons. U odsusu spoljašnjih sila, akadase ši posmaanje u inecijalnom efeennom sisemu, elo koje miuje osaje u sanju mioanja, a elo koje se keće nasalja keanje sa konsannom bzinom i o po paoj liniji (nepomenjena količina keanja). Oaj zakon aži samo u z. inecijalnim efeennim sisemima, koji ili miuju ili se anomeno keću po paoj liniji. * Inecijalni efeenni sisem je koodinani sisem u kojem se ili u odnosu na koji se posmaa keanje nekog ela. ** Posoje neinecijalni efeenni sisemi koji se keću ubzano ielačije se keanje posmaa u akim sisemima pe deloanje dodanih (fikinih) z. inecijalnih sila, koji su posledica neanomenog keanja efeennog sisema. 46

24 II Njuno zakon - osnoni zakon dinamike Akonaelomasem deluje spoljašnja sila F, ubzanje a koje pi ome elo dobija diekno je sazmeno (ezulannoj) sili koja na njega deluje, a obnuo sazmeno masi. F a F ma F ma m Bzina pomene količine keanja ela popocionalna je sili koja na njega deluje i ši se u pacu sile. d d F ( m) m ma d d Sila nije uzok keanja ela, eć je uzok pomeni sanja keanja, koja se mei ubzanjem ona menja količinu keanja ela. Masa uoimizazimajeinecijalna masa i pedsalja meu odupianja ela pomeni sanja keanja ona je kaniaina mea inenosi ela. 47 III Njuno zakon - zakon akcije i eakcije m a F F ma Ako jedno elo deluje na dugo nekom silom, onda i dugo elo deluje na po silom isog inenziea i paca, a suponog smea. Sako deloanje (akcija) saa uek supono po smeu i jednako po inenzieu poideloanje (eakciju), j. deloanja da ela jedno na dugo su jednaka i suponog smea. 48

25 Neki ipoi sila u mehanici Gaiaciona sila Sila poiska Sila nomalne eakcije podloge Sila zaezanja Elasična sila opuge Sila enja 49 Gaiaciona sila. Njuno zakon uniezalne gaiacije. Kepleoi zakoni. I Kepleo zakon: planee se keću oko Sunca po elipičnim puanjama u čijoj zajedničkoj žiži je Sunce. II Kepleo zakon: adijus-eko bilo koje planee za iso eme pebiše isu pošinu sekoska bzina planee je konsanna. ΔS cons. Δ III Kepleo zakon: odnos kadaa peioda obilaska planea oko Sunca i ećeg sepena sednjeg asojanja (ili duže poluose) od Sunca je konsanna eličina. * Johanes Keple (57-63), * Isak Njun (64-77) T a 3 cons. 5

26 Njuno zakon gaiacije (686.) Na osnou ezulaa asonomskih posmaanja J. Keplea, Njun je peposaio posojanje pilačne sile između Sunca i planea koja zakiljuje njihou puanju i koja je usmeena pema izou deloanja sile (Suncu). Njun je akođe peposaio (adi jednosanosi) da se planee keću po pibližno kužnim puanjama, polupečnika R. Ubzanje koje ima planea usled sile koja zakiljuje njenu puanju je nomalno (cenipealno) ubzanje a n. Rπ T F ma n T k R 4π m R k 3 m R 4π k R m M Sm k γ R R Sila koja odžaa planee na njihooj puanji zaisi od mase Sunca M S i od mase planee m. 5 Njuno zakon gaiacije (686.) Soje zaključke o sili pilačenja između Sunca i planea Njun je uopšio na sa maeijalna ela, j. ona koja imaju osobinu mase. Zakon uniezalne gaiacije: Bilo koje de maeijalne ačke međusobno se pilače gaiacionom silom: paac e sile polazi koz maeijalne ačke, inenzie je sazmean masama maeijalnih ačaka, a obnuo sazmean kadau asojanja između njih. F m m m m γ F γ o γ 6.67 Nm kg γ - gaiaciona konsana o -jedinični eko usmeen od m ka m 5

27 Težina ela Težina Q nekog objeka na ili iznad pošine Zemlje (ili iznad nekog dugog semiskog ela) je sila kojom elo deluje na hoizonalnu podlogu na koju je posaljeno, odnosno sila kojom elo zaeže konopac okojijeokačeno da isi. Težina ela je mea gaiacione sile kojom Zemlja (ili dao semisko elo) deluje na objeka. m M Q γ Z Izaz za ežinu na osnou II Njunoog zakonadinamike(gdesusilaiubzanje sazmeni) ima oblik: mg R Z - na pošini Zemlje R Z +h -na isini h iznad Q pošine Zemlje Ubzanje g sile Zemljine eže na njenoj pošini iznosi 9.8 m/s. Ubzanje sile Zemljine eže opada sa poećanjem asojanja od cena Zemlje. VAŽNO: Sila Zemljine eže (gaiaciono pilačenje od sane Zemlje) deluje na elo, a ežina ela deluje na podlogu (ili na neko dugo elo). 53 Sila nomalne eakcije podloge - nomalna sila F N U mnogim siuacijama elo je u konaku sa nekom podlogom (pošinom), a sila eakcije pošine na silu ežine kojom elo piiska podlogu je upao nomalna sila F N. Tačnije, komponena sile eakcije podloge koja je nomalna na pošinu pedsalja nomalnu silu F N. Pime: elo na smoj ani (slučaj keanja bez pisune sile enja između ela i sme ani): 54

28 Sila enja Tenje je posledica deloanja međumolekulanih sila između dodinih pošina ela i podloge na kojoj se elo nalazi (spoljašnje enje), ili između sasanih deloa unua nekog sisema (unuašnje enje). Sila enja deluje na dodinoj pošini između ela i usmeena je nasupo smeu keanja ela u odnosu na pošinu. U opšem slučaju, posoji saička sila enja (enje mioanja), i kineička sila enja (ona se jošdeli na enjeklizanja i enjekoljanja). Sila enja koljanja je znano slabija od sile enja klizanja. 55 Saička sila enja (enje mioanja) Sila enja mioanja jednaka je po inenzieu i pacu, asupona po smeu (u odnosu na moguće keanje) ezulannoj spoljašnjoj sili koja deluje na elo u pacu paalelnom podlozi. Saička sila enja F s može imai ednosi od do neke maksimalne max ednosi. F s F F s max s μ Maksimalna ednos saičke sile enja je sazmena sili nomalne eakcije podloge F N na kojoj se elo nalazi. μ s koeficijen saičkog enja (zaisi od piode dodinih pošina) F N nomalna sila, kojom podloga deluje na pošinu ela sa kojim je u konaku i zaklapa pa ugao sa pošinom s F N max F s 56

29 Kineička sila enja (enje klizanja) Kineička sila enja deluje u pacu angene na dodinu pošinu između ela i podloge po kojoj se keće i uek je usmeena nasupo elainoj bzini ela. Pod odeđenim usloima, pibližno aži sledeće: nezaisnajeodeličine dodine pošine između ela i podloge; nezaisna je od bzine keanja (klizanja), ukoliko je bzina mala; popocionalna je eličini nomalne sile F N. Po inenzieu je nešo manja od maksimalne sile saičkog enja. F k μ F μ k koeficijen kineičkog enja (zaisi od k N piode dodinih pošina). F N nomalna sila *, kojom podloga deluje na pošinu ela sa kojim je u konaku i zaklapa pa ugao sa pošinom. * Na gafiku je nomalna sila F N obeležena sa N. 57 Kineička sila enja (enje klizanja) U oblasi saičkog enja sa poasom učne sile F poećaa se i saička sila enja se do neke maksimalne ednosi f s,max, nakon čega elo počinje soje keanje, a na njega deluje sada kineička sila enja (nešo manja po ednosi od f s,max ) oblas kineičkog enja. 58

30 Sila elasičnosi. Elasičnos čsih ela Sako elo pod uicajem spoljašnjih dejsaa, osim položaja, menjaisoj oblik. Sila elasičnosi ela deluje unua njih i eži da ai defomisanim elima pobini oblik. Elasične sile u elima su posledica međuaomskih sila poduicajem spoljašnjih sila menjaju se međusobna asojanja i položaji aoma, a međuaomske sile se ome suposaljaju. Teoijski, posoje sašeno elasična i sašeno plasična ela. Elasična defomacija se ispoljaa u da osnona oblika: kao defomacija isezanja i defomacija smicanja. Elasična defomacija isezanja Isezanje (ili sabijanje) nasaje pi nomalnom deloanju sile na pošinu. Napon je količnik sile i pošine na koju a sila deluje: F σ S 59 Elasična defomacija isezanja Huko zakon elasične defomacije isezanja poezuje napon sile i elainu defomaciju izduženja: E - Jango modul elasičnosi F S Δl E l U izesnim ganicama aži: F k Δl Ganica do koje aži Huko zakon je ganica popocionalnosi, aganica do koje elo još uek ne osaje ajno defomisano je ganica elasičnosi. 6

31 Elasična defomacija smicanja Smicanje je oblik defomacije koji nasaje pi angencijalnom deloanju sile na pošinu ela. Tangencijalna sila izazia pomeanje (smicanje) slojea (aomskih ani) u čsom elu jednih u odnosu na duge za neki mali iznos, a ukupan efeka deloanja sile je odsupanje gonje iice pedmea za Δx u odnosu na pobini položaj. Relaina defomacija se izažaa peko ugla α (gα α), koji pedsalja odnos apsolunog pomeanja gonje iice pedmea i dimenzija defomisanog pedmea: Δx α l Huko zakon elasične defomacije smicanja: G - modul smicanja F S Δx G l 6 Sile kod kužnog keanja - cenipealna sila Pilikom keanja po kužnici, ela se keću ubzano - njihoa bzina se sakako menja po pacu,amožeipoinenzieu. Pi anomenom keanju po kužnici, ela kaakeiše samo nomalno ubzanje a n - posledica pomene paca bzine. Pema II Njunoom zakonu, ako se ela ubzaaju, znači da na njih deluje neka sila F koja je uzočnik pomene sanja keanja (koje se opisuje ekoom količine keanja k ), j. koja je uzok pomenuog ubzanja. a n ω 6

32 Sile kod kužnog keanja - cenipealna sila Sila koja uzokuje nomalno (cenipealno) ubzanje i zakiljuje puanju ela nazia se cenipealna sila F c (gaiaciona kod planea, sila zaezanja kanapa, ). Cenipealna sila je uek usmeena ka cenu kužne puanje ela. F c m F c m o 63 Sile kod kužnog keanja - cenifugalna sila Pema III Njunoom zakonu (akcije i eakcije), ela koja se keću po zakiljenoj puanji osećaju, poed deloanja cenipealne, i dejso sile eakcije na nju, koja je isog inenziea i paca, a suponog smea - o je cenifugalna sila F cf. m F cf m F cf o Cenifugalna sila je anoežna sila cenipealnoj i omogućaadaelo osane na zakiljenoj puanji okom sog keanja. 64

33 Sile kod kužnog keanja angencijalna sila Pi neanomenom keanju po kužnici, osim cenipealne sile F cp koja zakiljuje puanju ela i uzokuje cenipealno ubzanje a n (j. pomenu paca bzine), moa posojai i angencijalna sila F τ koja uzokuje pomenu inenziea peifene bzine (j. angencijalno ubzanje a τ ). F F + F cp a a + a n τ τ Vekoski zbi cenipealne i angencijalne sile daje ukupnu silu F koja deluje na elo koje se neanomeno keće po kužnoj puanji. 65 Rad i enegija Ako na elo duž pua njegoog pomeanja deluje sila konsannog inenziea, paca i smea, ukupan ad e sile pilikom pomeanja ela je poizod peđenog pua ela i komponene sile paalelne sa puem (z. akina komponena sile). Ako se paac sile ne poklapa sa pacem pomeanja ela, eć zaklapa ugao θ sa njim, samo komponena sile F koja ima paac pomeanja ela (F x ) može šii ad. F F sin θ y (komponena koja ne ši ad) A F Δx F cons. F F cosθ x (akina komponena) 66

34 Rad i enegija Rad je skalana eličina, skalani poizod ekoa sile F i ekoa peđenog pua Δx koji elo pi ome pelazi. Jedinica za ad je džul ([J][Nm]). A F Δx F Δx cosθ ( F, x θ Δ ) Akonaelodelujesilapodošim (upim) uglom u odnosu na paac duž kog se keće elo, ad sile je poziian (negaian). Ako sila deluje pod paim uglom u odnosu na paac keanja, ili ako elo miuje, ad sile je jednak nuli. 67 Rad i enegija Ako sila nije konsanna po inenzieu, eć se menja duž pua pomeanja, ad se izažaa u difeencijalnom obliku, a njegoa ukupna ednos A se nalazi peko inegalnog ačuna (sabianjem dopinosa ukupnom adu na beskonačno malim deloima pua) o je pošina ispod kie zaisnosi F x f(x). da ( F cosθ) dx A da x x F cosθdx elemenani ad duž pua dx Ako se osim inenziea menja i sme sile okom pomeanja ela duž pua Δx, neophodno je poznaai i sme sile kao funkciju pomeaja Ff(α(x)), šo komplikuje inegaciju, j. nalaženje izšenog ada. 68

35 Enegija Fizička eličina koja kaakeiše sposobnos ela, ili sisema ela da izše ad nazia se enegijom. Iz oga poizilazi činjenica: ad je poces kojim se ši penošenje enegije među elima. ΔE E f E i A Razlika između kajnjeg i počenog sanja ela u pogledu sadžaja enegije (ΔE) jednaka je adu A izšenom pilikom pomene og sanja. Enegija je eličina koja kaakeiše sanje ela, dok je ad eličina koja kaakeiše pomenu og sanja. Jedinica za enegiju je džul ([J]). Kaže se da elo poseduje enegiju, a ad je poces penosa ili peaanja jednog oblika enegije u dugi. 69 Kineička enegija Pime: pomeanje ela po hoizonalnoj ani bez enja pod uicajem neke ezulanne sile F koja izazia pomenu sanja keanja (količine keanja ΔkmΔ), j. pomenu inenziea bzine od neke ednosi do ednosi. A x x F dx d d dx d F ma m m m d dx d dx A x x d m dx m dx m d m m Kineička enegija anslaonog keanja: m E k Kineička enegija ela pi njegoom anslaonom keanju sazmena je masi m ela i kadau njegoe bzine. 7

36 Kineička enegija Teoema o adu i enegiji: Kada spoljašnja sila F ši ad A nad nekim elom, pi čemu se menja samo inenzie bzine keanja ela, njegoa kineička enegija E k se menja, a a pomena je upao jednaka adu. Rad A sile F na pomeanju nekog ela je azlika između počene i kajnje kineičke enegije E k ela. A E k E k m m Teoema o adu i enegiji ukazuje na o da će se inenzie bzine ela poećai ako je izšen ad nad elom od sane spoljašnjih sila poziian, je je u om slučaju kajnja kineička enegija ela eća od počene. Nasupo ome, inenzie bzine ela se smanjuje, ako je izšeni ad nad elom negaian. A ΔE k 7 Poencijalna enegija Poencijalna enegija je dugi oblik enegije koji može posedoai elo, ali samo ako je ono sasani deo nekog sisema ela. Pod sisemom ela se podazumea skup od da ili iše ela koja mogu međusobno ineagoai, deloai jedno na dugo nekom silom. Ako da ela u sisemu međusobno ineaguju puem sile, ada ad kojiizšisila pi deloanju jednog ela na dugo uzokuje peaanje kineičke (ili nekih dugih oblika) enegije koju poseduju ela u duge oblike enegije. Ako se menja međusobni aspoed ela u posmaanom sisemu menja se i njihoa poencijalna enegija. Poencijalna enegija je, dakle, pojam ezan za sisem ela zao šo zaisi od fizičkog položaja jednog ela u odnosu na dugo. U opšem slučaju: Poencijalna enegija pedsalja sposobnos ela da izši ad zahaljujući položaju ukomesenalazi. To je ad koji elo akumulia dospeajući u neku ačku polja sila. 7

37 Gaiaciona poencijalna enegija PRIMER: U sisemu Zemlja lopa izši se ad nad lopom pi njenom pomeanju sa isine y a u odnosu na pošinu Zemlje na eću isinu y b. Pošo je lopa mioala i pe i nakon izšenog ada nad njom, ne dolazi do pomene njene kineičke enegije, eć se adi o pomeni nekog dugog oblika enegije usled pomene položaja. Kada se lopa pusi na isini y b, ona slobodno pada ka pošini Zemlje (ka položaju y a ) pod uicajem gaiacione sile pilačenja od sane Zemlje. Dakle, u položaju na isini y b lopa poseduje mogućnos (poencijal) da pomeni soje sanje keanja, j. da pomeni soju kineičku enegiju. y b y a 73 Gaiaciona poencijalna enegija Pilikom slobodnog padanja sa isine y b, jedina sila koja deluje na lopu je gaiaciona sila (jednaka sili ežine Qmg), i o u pacu keanja ka mesu na isini y a. Pi ome se, usled pomene položaja u gaiacionom polju Zemlje, pomenila (smanjila) ipoencijalna enegija lope, dok se kineička enegija poećala (bzina lope ase). Rad A koji je izšila gaiaciona sila Zemlje (njen inenzie iznosi Fmg) na pilačenju (pemešanju) lope za asojanje hy b y a jednak je smanjenju poencijalne enegije za iznos ΔE p mgh. F mg h y b y a A ( mg cos )( y A mgh y b a) A ( E pa E pb ) ΔE p y b y a Isi ad se izši i kada se elo ežine Qmg podigne sa mesanaisiniy a na isinu y b, čime se poeća njegoa gaiaciona poencijalna enegija za iznos ΔE p mgh. 74

38 Gaiaciona poencijalna enegija Gaiaciona poencijalna enegija enegija koju poseduje elo mase m kada se nalazi u gaiacionom polju dugog ela. Pošo je gaiaciona sila najslabija od osnonih ineakcija u piodi, i gaiaciona poencijalna enegija nekog ela ima značaj samo ako se ono nalazi u jakom gaiacionom polju polju nekog masinog nebeskog ela, kao šo je Zemlja. U opšem slučaju: Gaiaciona poencijalna enegija koju poseduje neko elo u gaiacionom polju Zemlje je ad (E p A) koji na elu mase m izši Zemljino gaiaciono polje pilačeći ga iz beskonačnosi u neku ačku na asojanju od cena Zemlje. 75 Gaiaciona poencijalna enegija Uobičajeno je, međuim, da se ednos gaiacione poencijalne enegije koju ela poseduju u Zemljinom gaiacionom polju ačuna u odnosu na neki efeenni (nuli) nio položaj u kome se (pema sopsenom izbou) smaa da je poencijalna enegija ela jednaka nuli. E p mgh Vednos gaiacione poencijalne enegije u nekom položaju ela u polju gaiacije, dakle, zaisi od izboa efeennog (nulog) nioa. Sa duge sane, ad gaiacione sile (sile Zemljine eže) ne zaisi od izboa efeennog (nulog) nioa poencijalne enegije. 76

39 Konzeaina i nekonzeaina polja Izšen ad na pomeanju ela u gaiacionom polju ne zaisi od oblika puanje, eć samo od počene i kajnje ačke položaja ela u om polju, j. od njihoe isinske azlike (eikalnog asojanja). y b A mg( y ) b ya y a Sa polja sila u kojima izšen ad sile zaisi samo od počenog i kajnjeg položaja ela (a ne i od oblika puanje) su konzeaina (poencijalna) polja. Sila je konzeaina (poencijalna), ako njen ad na pomeanju ela zaisi samo od počenog i kajnjeg položaja ela u polju sila, a ne i od oblika puanje duž koje se ši pomeanje 77 Konzeaine i nekonzeaine sile Rad konzeainih sila na pomeanju ela po zaoenoj puanji jednak je nuli,jesepočeni i kajnji položaj ela poklapaju. U ealnim siuacijama, na ela simulano deluju i konzeaine sile (kao sila gaiacije) i nekonzeaine sile (kineička sila enja, opo azduha, ), čiji se ad delimično peaa u duge oblike. Nekonzeaine sile uzokuju pomenu mehaničke enegije sisema. 78

40 Poencijalna enegija defomisane opuge Poencijalna enegija elasične defomacije Defomisana opuga sposobna je da izši ad na ačun elasičnih sila F e koje eže da je ae u pobino sanje, a koje su posledica spoljašnjih sila F i koje su doele do defomacije. Pema Hukoom zakonu, eličina izduženja (sabijanja) opuge x je sazmena spoljašnjoj sili F i koja je izazala defomaciju. kx F i Supono spoljašnjoj sili F i usmeena je elasična (esiuciona) sila F e kojasejaljaudefomisanoj opuzi i ona je uek suponog smea od smea poasa defomacije x. F ( x) F kx e i k je koeficijen elasičnosi opuge, zaisi od maeijala i oblika. 79 Poencijalna enegija defomisane opuge U defomisanom sanju opuga poseduje izesnu poencijalnu enegiju sposobna je da pod uicajem elasičnih sila izši neki ad pilikom aćanja u nedefomisani oblik. x A Fe dx k x dx k a A ( E E ) p p a ΔE p a a k a k Pi šenju ada, elasična sila smanjuje poencijalnu enegiju defomisane opuge za iznos ΔE p ka / i menja se sanje keanja opuge (poećaa kineička enegija) ši se peaanje enegije iz jednog u dugi oblik. Rad je, u oom slučaju,poziian, je sila delujeu smeu pomeanja ela. 8

41 Poencijalna enegija defomisane opuge Nakon polaska koz anoežni položaj (x), sisem opuga-elo nasalja keanje, a elasična sila ga uspoaa. Smanjenje kineičke enegija odgoaa poećanju elasične poencijalne enegije opuge. Rad je, u oom slučaju, negaian, je elasična sila ima supoan sme od smea keanja ela. U opšem slučaju, poencijalna enegija defomisane opuge je: E p k x 8 Zakon odžanja enegije Zakon odžanja mehaničke enegije Ukupna mehanička enegija E (kineička i poencijalna) zaoenog (izoloanog) sisema ela, između kojih deluju samo konzeaine sile, osaje nepomenjena (konsanna). U zaoenom sisemu u kojem ne deluju nekonzeaine sile (np. sila enja, opo azduha, id.), zbi kineičke i poencijalne enegije, j. ukupna mehanička enegija je konsanna, j. ne menja se u oku emena. E E k + E p cons. 8

42 Zakon odžanja enegije Pime: slobodno padanje ela sa isine h. E E m E E E p k mgh x m + mg( h x) gx + mg( h x) mgh m m gh mgh E + E E + E E k E cons. k p k p + p Pomena mehaničke enegije u oom slučaju jednaka je nuli: Δ( E k + E ) p 83 Zakon odžanja enegije zaoen i ooen sisem Enegija može pelazii iz jednog u dugi oblik i penosii se sa jednog na dugo elo, ali ukupna enegija u zaoenom sisemu ela u kome ne deluju nekonzeaine sile osaje konsanna. E E k + E p cons. U opšem slučaju, za ooen sisem ela u kome, osim međusobnih sila ineakcije, deluju i spoljašnje nekonzeaine sile, ad spoljašnjih nekonzeainih sila A nk bio bi jednak pomeni ukupne mehaničke enegije. A nk ΔE Δ( E + E ) k p Enegija se ne može soii nii nesai, eć samo pomenii oblik iz jednog u dugi. 84

43 Snaga Sednja snaga (bzina šenja ada) je količnik ada A i emenskog ineala Δ za koji je ad izšen pilikom pomeanja ela duž pua Δx pod uicajem sile F. Jedinica za snagu je a ([W][J/s]). A Δ Tenuna snaga je sednja snaga u beskonačno malom inealu emena: P s ΔA P lim Δ Δ F Δx P F Δ s s da P d Ako sila nije konsana, analizia se u kakom inealu emena d, za koji sila deluje na puu dx. Snaga je skalana eličina, skalani poizod ekoa sile i ekoa bzine pomeanja i u opšem slučaju aži: dx P F P F d 85 Impuls sile i količina keanja Na osnou II Njunoog zakona, poizod enune sile F i emenskog ineala d u oku kojeg sila deluje na elo jednak je pomeni količine keanja dk u om inealu emena. d dk F ma m Fd dk d d Ukupna pomena količine keanja Δk izazana deloanjem pomenljie sile F u oku konačnog ineala emena Δ: Δk Fd FΔ Za slučaj konsanne sile: F cons. Δk Fd F Δ 86

44 Impuls sile i količina keanja Impuls sile p je inegal poizoda sile F i emena d u kojem a sila deluje i jednak je ukupnoj pomeni količinekeanjaelaδk u oku ineala emena Δ. p Fd Δk Teoema o impulsu i količini keanja: Kada na elo deluje ezulanna sila u oku konačnog emenskog ineala Δ, impuls p F oe ezulanne sile je jednak ukupnoj pomeni količine keanja Δk koju a sila uzokuje u oku emena Δ. p Δk 87 Zakon odžanja količine keanja - zaoen sisem Zaoen sisem - nema deloanja spoljašnjih sila, eć samo međusobnih sila ineakcije f. f f d ( m + m) f + f d m + m cons. k n i m i i cons. Δk Ukupna količina keanja zaoenog sisema ne menja se okom emena, j. osaje konsanna. 88

45 89 Zakon odžanja količine keanja - ooen sisem Pomena ukupne količine keanja Δk ooenog sisema jednaka je impulsu spoljašnje ezulanne sile F R Δ p ( ) ( ) F F k k F F k F F F F f f m m f f R n i i n i i R n i i n i i Δ Δ Δ d ) ( cons. d d ) ( d d Impuls ezulujuće sile p. Ooen sisem - osim deloanja međusobnih sila ineakcije f, na ela deluju i spoljašnje sile F. p F k R Δ Δ 9 Pimei zakona odžanja količine keanja m m m m m + ) ( m m m m m m + +

46 Sudai Suda je kakoajna uzajamna ineakcija između ela bez uicaja spoljašnjih sila, u kojoj se iše ili manje ispoljaaju elasične osobine ela. Nakon sudaa, bzine ela se menjaju, u opšem slučaju, i po inenzieu i po pacu, a deo enegije se može peoii u oplou. Sudai daju ela mogu bii jednodimenzionalni (kadaseelaipei nakon sudaa keću po isoj paoj liniji) i dodimenzionalni. 9 Sudai Elasičan suda suda je slučaj sudaa u kome se ukupna kineička enegija ela pe i posle sudaa ne menja. Neelasičan suda je onaj u kome deo kineičke enegije ela u oku sudaa pelazi u duge oblike enegije (poencijalnu, oplonu, ). -u sašeno neelasičnom sudau ela nakon sudaa osaju zajedno; - u osalim slučajeima, kada se deo kineičke enegije ansfomiše u duge oblike (defomacija ela koja učesuju u sudau sudau, oploa, ), aelaneosaju spojena, eč je samo o neelasičnom sudau u šiem smislu eči. 9

47 Elasičan suda Zakon odžanja količine keanja Zakon odžanja kineičke enegije m + m m + m m + m m + m 93 Neelasičan suda Defomacije koje nasaju na elima u sudau su ajne. Zakon odžanja kineičke enegije u neelasičnom sudau ne aži, je se deo e enegije peaa u neki dugi id. m + m m m ) ( + 94

48 Oscilacije i alasi Sako keanje koje se po odeđenom pailu ponalja u oku emena je peiodično ili oscilaono keanje. Ukoliko su sila koja eži da ai oscilaoni sisem u anoežno sanje, pa pema ome i ubzanje koje sisem ima, diekno sazmeni asojanju od njega i usmeeni ka njemu, ada se adi o jednosanom hamonijskom keanju. Pime: elo ezano za učšćenu opugu može da se keće u eikalnoj ili u hoizonalnoj ani (po glakoj pošini, bez enja) 95 Oscilacije Osnone osobine hamonijskog osciloanja: Peiod osciloanja T je eme za koje elo izši jednu oscilaciju. Fekencija osciloanja ν (ili f) je boj oscilacija u jedinici emena. Elongacija x je poizoljno asojanje od anoežnog položaja. Ampliuda A je maksimalna elongacija. Kod hamonijskih oscilacija pomenljia eličina (elongacija) se menja po sinusnom ili kosinusnom zakonu u funkciji emena. 96

49 Oscilacije Osnone osobine hamonijskog osciloanja: Kužna fekencija ω je poezana sa fekencijom f (ν) i peiodom T. π f ω πf T T Pi keanju maeijalne ačke po kužnici anomenom peifenom bzinom i njen adijus eko (eko položaja) se obće anomenom ugaonom bzinom ω. y-koodinaa položaja maeijalne ačke koja se anomeno keće pokužnici menja se po sinusnom (kosinusnom) zakonu, odnosno pojekcija adijus-ekoa na y-koodinanu osu menja soj inenzie po sinusnom (kosinusnom) zakonu u funkciji emena. T je eme poebno maeijalnoj ački da obiđe pun kug. 97 Pimei hamonijskih oscilacija Osciloanje ela obešenog o elasičnu opugu Sila koja aća elo i opugu ka anoežnom položaju je elasična sila defomisane opuge i (pema Hukoom zakonu za elasične defomacije isezanja) sazmena je eličini defomacije). Znak " " znači supoan sme sile F od ekoa položaja x ela ezanog za opugu. F k x k koeficijen elasičnosi opuge Iz II Njunoog zakona sledi jednačina keanja: Smena: k ω m d x F ma m d d x m + kx d Rešenje oe difeencijalne jednačine ima oblik: x Asin( ω + α) 98

50 Osciloanje ela obešenog o elasičnu opugu Elongacija x je sinusna (ili kosinusna) funkcija emena: x Asin( ω + α) ω kužna fekencija oscilaonog keanja α počena faza, opisuje počeni položaj sisema (ω +α) faza osciloanja Peiod osciloanja T zaisi od osobina opuge (koeficijen elasičnosi k) i od mase m ela okačenog na nju: T π π ω m k 99 Enegija ela koje osciluje na elasičnoj opuzi Enegija ela koje osciluje na elasičnoj opuzi je zbi kineičke enegije ela i poencijalne enegije elasične defomacije opuge. S obziom da aži: x Asin( ω + α) dx Aω d cos( ω + α) k m ω E E m + ma ω kx ka cons. Zbi kineičke i elasične poencijalne enegije pi hamonijskom osciloanju, ukoliko nema gubiaka, je konsanan.

51 Maemaičko klano Maemaičko klano je maeijalna ačka koja se u polju Zemljine eže keće na salnom asojanju od dae ačke (ačke oslonca). F x sin ϕ Q l mg x F l " "znači supoan sme sile F od ekoa položaja x. Jednačina keanja: d s m d mgx + l d s F ma m d x hoizonalno asojanje od anoežnog položaja s lučno asojanje od anoeže (peđeni pu) Maemaičko klano d s m d mgx + l d g x Za male ugloe ϕ, x s. Smena: ω + ωx l d Rešenje jednačinejedajeelongacijax sinusna (ili kosinusna) funkcija emena oblika: x x sin( ω + α) Peiod osciloanja T, za slučaj malih ampliuda osciloanja, zaisi od dužine klana l i ubzanja sile Zemljine eže g: T π π ω l g

52 Talasno keanje - Posianje alasa u elasičnoj sedini Mehanički alas (alasno keanje) je šienje oscilaonog poemećaja u elasičnoj maeijalnoj sedini. Pi posianju alasa, ne pemešaju se delići sedine. Oni osciluju oko anoežnih položaja, a penosi se enegija alasa. Za posojanje mehaničkog alasa neophodno je posojanje: izoa alasnog poemećaja, maeijalne sedine koz koju se poemećaj penosi, i nekog fizičkog mehanizma peko kojeg elemeni maeijalne sedine uiču jedan na dugi. 3 Posianje alasa u elasičnoj sedini Kod ansezalnih alasa delići elasične sedine osciluju nomalno na paac posianja alasa. Jaljaju se samo u sedinama gde posoje elasične sile smicanja - čsa ela. 4

53 Posianje alasa u elasičnoj sedini Kod longiudinalnih alasa delići sedine osciluju duž paca posianja alasa (zgušnjaanje i azeđianje). 5 Posianje alasa u elasičnoj sedini Sinusoidalni alas posoji kada saka ačka elasične sedine ukojojse posie alas ši hamonijske oscilacije oko anoežnog položaja sa elongacijom: y y sin( ω + φ ) i i i Rasojanje između da najbliža delića koji osciluju u isoj fazi (ili im se faze azlikuju za π) jealasna dužina λ. Talasni poemećaj pelazi pu od jedne alasne dužine dok delići sedine izše jednu oscilaciju (za eme T), pa je bzina posianja alasa (fazna bzina): λ c T λν 6

54 Posianje alasa u elasičnoj sedini Pošina koja spaja ačke do kojih je sigao alasni poemećaj je alasni fon. U homogenoj i izoopnoj sedini alasni fon ima oblik sfee. Ako je alasni fon aan, eč je o anom alasu. Na elikoj udaljenosi od izoa alasa i sfeni alas ima aan alasni fon. Hajgenso pincip: Saka ačka elasične sedine do koje je sigao alasni fon može se smaai noim izoom alasa. 7 Jednačina pogesinog alasa Pogesini alas je alas koji se u celoj elasičnoj sedini posie bez pomene paca ili smea. Posianjem alasa u nekoj elasičnoj sedini u sanje osciloanja se doode se ačke e sedine i njihoa elongacija se opisuje sinusnom (ili kosinusnom) funkcijom za hamonijsko keanje. Zbog kašnjenja u osciloanju udaljenijih delića sedine u odnosu na izo alasa, definiše se jednačina koja opisuje emensku i posonu zaisnos elongacije delićaelasične sedine - jednačina pogesinog alasa: y y sin( ω φ) Oo je z. alasna funkcija, koja opisuje elongaciju poizoljnog delića maeijalne sedine, na asojanju x od izoa alasa u poizoljnom enuku. π Počena faza alasa: φ x λ 8

55 Jednačina pogesinog alasa Razlika u fazi za de ačke elasične sedine: Delići osciluju u fazi: Δφ k π ili Δx x x k λ Delići osciluju u suponim fazama: Δφ ( k ) π ili Δx x x λ (k ) π Δφ φ φ ( x x) λ asojanje između ačaka elasične sedine koje su u fazi: asojanje između ačaka elasične sedine koje su u suponim fazama 9 Bzina šienja alasa Bzina posianja mehaničkih alasa zaisi od elasičnih osobina maeijalne sedine koz koju se posie. Za asezalni alas koji se posie koz zaegnuu žicu (F - sila zaezanja žice; μm/l-linijska masa žice), bzina alasa je: c F μ U opšem slučaju, za asezalni alas koji se posie koz čsi maeijal (G - modul smicanja maeijala; ρ - gusina maeijala), bzina alasa je: c G ρ

56 Bzina šienja alasa Za longiudinalni alas kojiseposiekozčso elo (E - Jango modul elasičnosi; ρ - gusina ela), bzina alasa je: c E ρ Za longiudinalni alas kojiseposiekozečnos (K koeficijen sišljiosi ečnosi; B zapeminski koeficijen elasičnosi; ρ gusina ečnosi), bzina alasa je: c K ρ K B c B ρ Za longiudinalni alas koji se posie koz gas (κ - adijabaska konsana; p - piisak gasa; ρ - gusina gasa), bzina alasa je: c κ c p V c κ p ρ Enegija alasa Elongacija i bzina keanja česica (mase m) sedine: dy y y sin ω yωcosω d m E Ek max max E mω y Gusina enegije u alasa (n je koncenacija česica elasične sedine, j. boj u jedinici zapemine): u ne ρω y

57 Osnone osobine alasnog keanja. Odbijanje alasa Raan alas na ganici de sedine u kojima su bzine posianja alasa azličie delimično se odbija, a delimično pelama. Odbijanje (efleksija) alasa se objašnjaa pomoću Hajgensoog pincipa: Saka ačka na ganici de elasične sedine do koje je sigao alasni fon može se smaai noim izoom alasa. Noi alasni fon (odbijenog alasa) čini zajednička angena na sfene alasne fonoe koji poičuodačaka na ganici de sedine. Upadni ugao jednak je uglu odbijanja. Paci upadnog i odbojnog alasa leže u isoj ani. 3 Pelamanje alasa Pelamanje (efakcija) alasa se dešaa na ganici de sedine u kojima se alas posie azličiim bzinama. Pema Hajgensoom pincipu, alasni fon pelomljenog alasa menja paac keanja. Noi alasni fon (pelomljenog alasa) čini zajednička angena na sfene alasne fonoe koji poičuodačaka na ganici de sedine. Ako se pelamaju alasi koji sadže komponene azličie fekencije, dolazi do dispezije - saka komponena se pelama pod azličiim uglom. sin α c sin β c 4

58 Difakcija alasa Difakcija alasa je pojaa šienja alasa iza pepeka sa pukoinom, odnosno saijanja alasa na pepekama. Talasi skeću sa pobinog paca u isoj elasičnoj sedini. Dimenzije pukoine eba da su isog eda eličine kao i alasna dužina. Pema Hajgensoom pincipu, saka ačka pukoine je noi izo alasa. 5 Inefeencija alasa Inefeencija alasa je pojaa slaganja (supepozicije) alasa koji se posiu u isoj sedini. Inefeencija se jalja samo ako posoji salna fazna azlika između alasa koji inefeiaju (koheenni alasi). Inefeencija je konsukina, ako se ampliude sabiaju (alasi u fazi), a desukina ako se ponišaaju (alasi u suponim fazama). 6

59 7 Posmaamo inefeenciju alasa u daoj ački difakoanih sa de pukoine - imaju ise ampliude, fekencije i alasne dužine, a azličie faze u oj ački. Inefeencija alasa λ π ω λ π ω sin sin x y y x y y i i x λ π φ U daoj ački ezulanno osciloanje česice elasične sedine ima ampliudu koja zaisi ne samo od ampliude alasa koji inefeiaju, eć i od fazne azlike Δφ, odnosno od azlike u peđenim pueima Δx alasa od pojedinih izoa. x x x Δ λ π λ π φ Δφ φ ) ( λ λ Δ in. des. ) (k in. kons. k x

60 Mehanika fluida. Saika fluida. Fluidi: ečnosi ("salna" zapemina i pomenlji oblik) i gasoi (pomenljii i zapemina i oblik). Saika (poučaa anoežu) i dinamika (poučaa keanje) fluida. Slabije međumolekulske sile u poeđenju sa čsim elima uzokuju pomenljios oblika (i zapemine). Deloanje sile na ečnosi uzokuje pomenu oblika, a samo u maloj mei i zapemine (sišljios). U ećini idealnih slučajeasmaasedajei zapemina salna, nepomenljia (j. njena pomena je zanemaljia). Deloanje sile na gasoe uzokuje pomenu i oblika i zapemine. 8 Piisak Pomeanje fluida izaziaju sile koje deluju na izesnu njihou pošinu (zbog oga šo nemaju salan oblik). Zao je uedena fizička eličina piisak (skalana eličina) koja pedsalja odnos nomalne sile F koja deluje na pošinu nekog ela S. Jedinica za piisak je Paskal ([Pa]). F p S 9