α α α = Δωρεάν διάθεση α ν = β ν β δ γ Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr

Transcript

1 Web page: Η ποτελεσμτική μάθηση δε θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Τυπολόγιο Άλγεβρς Α Λυκείου Σύολ ριθμώ Δυάμεις Ρίζες Ν : {Φυσικοί ριθμοί = {,,,...} Ζ : {Ακέριοι = {... -5, -, -, -, -,,,,... } Q : {Ρητοί ριθμοί} = {χ : χ=, όπου τά κί β είι β κέριο ριθμοί κι β } Q': { Αρρητοι ριθμοί } R : "Αρρητοι ριθμοί κλούτι οί δεκδικοί ριθμοί μέ άπειρ δεκδικά ψηφί τά οποί δέ επλμβάοτι περιοδικώς. {Πργμτικοί ριθμοί} Τό σύολο τώ πργμτικώ ριθμώ R περιλμβάει τά ύποσύολ Ν, Ζ, Q, Q C : = {Μιγδικοί ριθμοί} Σύολο είι κάθε συλλογή τικειμέω, που κθορίζοτι με πόλυτη σφήει κι δικρίοτι το έ πό το άλλο. Ίσ οομάζοτι δύο σύολ, ότ έχου τ ίδι κριβώς στοιχεί. Έ σύολο Α οομάζετι υποσύολο εός συόλου Β, ότ κάθε στοιχείο του Α είι κι στοιχείο του συόλου Β κι συμβολίζετι Α Β. Κεό σύολο Ø οομάζετι το σύολο που δε έχει κέ στοιχείο. Έωση Α Β δύο συόλω Α, Β οομάζετι έ έο σύολο που έχει ως στοιχεί τ κοιά κι μη κοιά στοιχεί τω δύο συόλω. Τομή Α Β δύο συόλω Α, Β οομάζετι έ έο σύολο που έχει ως στοιχεί τ κοιά στοιχεί κι τω δύο συόλω. Συμπλήρωμ εός συόλου Α ως προς έ βσικό σύολο Ω οομάζετι το σύολό που έχει όλ τ στοιχεί του Ω που δε ήκου στο Α κι συμβολίζετι με Α. =, κ = +κ κ : = κ β = (β) ( ) μ = μ = β () β = β β ( β) = β, = = µ µ = β β β = = β ( ) = = µ µ = β = β =, β > β β μ μ = + μ ρμ = = = = με, κ λ λ κ = ρ κ, λ ΙΝ ΠΡΟΣΟΧΗ: Δε ισχύει + β = + β μ = μ μ = μ Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ γ = δ = βγ β δ γ δ = = β δ β γ Εξίσωση = γ = = β δ γ β δ γ ± β γ ± δ = = β δ β δ Δωρεά διάθεση

2 Ρίζες της = = > < = κ ή = κ+ = κ Μί ρίζ: = Δύο ρίζες τίθετες: =, = κ+ Μί ρίζ: = = κ = Δε υπάρχου ρίζες, Α δ ύ τ η στο R = κ+ Μί ρίζ: = γ ± β γ ± δ = = β δ β γ δ ± ± ± = = = = β β β β ± β ± ± β λ ± λ ± ± λ = = = = β β β λ β ± λ β ± ± λ β Κός τω πρόσημω: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Ισότητ δυάμεω Γι τους πργμτικούς ριθμούς,,μ με κι ±,ισχύει η συεπγωγή: = μ = μ Βσικές τυτότητες Εξίσωση Α Βθμού μοδική λύση. ( + β) = + β + β + β = ( + β ) β Η εξίσωση +β= έχει = β = β Αδύτη β= Αόριστη. ( - β) = - β + β + β = ( - β ) + β. β = ( β ) ( + β ). ( + β + γ ) = Εξίσωση Β Βθμού Η εξίσωση ²+β+γ= με Δ=β²-γ έχει Δ< Δ> Δ= κμί ρίζ στο ϒ, δύο ρίζες στο ϒ μί διπλή δύο μιγδικές άισες ρίζ στο ϒ συζυγείς ρίζες, = β ± Δ = β z, = β ± i Δ Άθροισμ κι γιόμεο ριζώ τριωύμου Η εξίσωση ² + β + γ = με ρίζες κι έχει άθροισμ ριζώ γιόμεο ριζώ β γ S = P = Α γωρίζουμε το άθροισμ S κι το γιόμεο P δύο ριθμώ ρ κι ρ τότε μί εξίσωση που έχει ρίζες τ ρ κι ρ είι: ² - S + P = + β + γ + β + βγ + γ 5. ( - β - γ ) = + β + γ - β + βγ - γ + β = ( + β ) β ( + β) 6. ( + β ) = + β + β + β 7. + β = ( + β) ( - β + β ) 8. - β = ( - β ) +β ( - β) 9. ( - β ) = - β + β - β. ( + β) = + β +6 β +β + β. ( β) 5 = 5 5 β + β β + 5β β 5. + β + γ - βγ = ( + β + γ)[( β) + (β γ) + (γ ) ] Α : + β + γ = ή = β = γ τότε + β + γ - βγ = ( + β)( - - β + - β - - β - +β - ), : περιττός Μορφές κι πρόσημο τριωύμου f() = + β +γ Δωρεά διάθεση. + β =

3 Δ >, f() = ( - )( - ) f() + Ομόσημο του Ετερόσημο του Ομόσημο του Δε πργοτοποιείτι : άρτιος ( β)( β + - β + + β - +β - ), : περιττός. β = ( β)( β + - β + + β - +β - ), : άρτιος ( + β)( - - β + - β - + β - - β - ), : άρτιος. ( + )(β + β ) ( β + β ) = ( β β ) Δ =, f() = ( ρ) f() ρ + Ομόσημο του Ομόσημο του Δ <, Το f() Δ ε π ρ γ ο τ ο π ο ι ε ί τ ι f() + Ομόσημο του Διτετράγωη Εξίσωση Η εξίσωση +β²+γ= οομάζετι διτετράγωη κι λύετι με τη τικτάστση =², με τη οποί γίετι πλό τριώυμο ως προς με ρίζες έστω κι. Οι ρίζες της ρχικής είι είι:, =± κι, =± Πρμετρική εξίσωση οομάζετι κάθε εξίσωση, που οι συτελεστές τω γώστω ή ο στθερός όρος εκφράζοτι με τη βοήθει γρμμάτω κι όχι συγκεκριμέω ριθμώ. Δικρίουμε τις εξής περιπτώσεις: Βρίσκουμε τις τιμές τω πρμέτρω γι τις οποίες είι. Γι τις τιμές υτές η εξίσωση έχει μοδική λύση. Βρίσκουμε τις τιμές τω πρμέτρω γι τις οποίες είι = κι β. Γι τις τιμές υτές η εξίσωση είι δύτη. Βρίσκουμε τις τιμές τω πρμέτρω γι τις οποίες είι = κι β =. Γι τις τιμές υτές η εξίσωση είι τυτότητ. Σύγκριση δύο πργμτικώ ριθμώ Έστω κι β δύο πργμτικοί ριθμοί τότε: Λέμε ότι ο είι μεγλύτερος του β κι το συμβολίζουμε > β, ότ β > Δωρεά διάθεση ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Πείρμ τύχης οομάζετι κάθε πείρμ που όσες φορές κι το επλάβουμε, δε μπορούμε προβλέψουμε το ποτέλεσμ του με πόλυτη βεβιότητ. Δειγμτικός χώρος εός πειράμτος τύχης οομάζετι το σύολο όλω τω δυτώ ποτελεσμάτω του κι συμβολίζετι με Ω. Εδεχόμεο εός πειράμτος τύχης οομάζετι κάθε υποσύολο του δειγμτικού χώρου Ω. Βέβιο εδεχόμεο σε έ πείρμ τύχης οομάζετι το εδεχόμεο που πργμτοποιείτι σε οποιδήποτε εκτέλεση του πειράμτος. Αδύτο εδεχόμεο σε έ πείρμ τύχης οομάζετι το εδεχόμεο που δε πργμτοποιείτι σε κμιά εκτέλεση του πειράμτος. Δύο εδεχόμε Α κι Β εός πειράμτος τύχης οομάζοτι συμβίβστ ότ Α Β =. Ίσ εδεχόμε A = B Ότ πργμτοποιείτι το Α πργμτοποιείτι κι το Β κι τιστρόφως. Οομάζετι συμπλήρωμ εός εδεχομέου Α το εδεχόμεο Α που πργμτοποιείτι ότ δε πργμτοποιείτι το Α. Διφορά A B ή AB Πργμτοποιείτι ότ πργμτοποιείτι το Α λλά όχι το Β. Συμμετρική διφορά AB A B Πργμτοποιείτι ότ πργμτοποιείτι κριβώς έ πό τ Α, Β. (A B) Πργμτοποιείτι ότ δε πργμτοποιούτι ούτε το Α ούτε το Β. (AB) Πργμτοποιείτι ότ δε πργμτοποιείτι τουλάχιστο έ πό τ Α, Β. Βσικές Ιδιότητες τω πράξεω μετξύ εδεχομέω A φ = A, Aφ = φ A A = A, AA = A A Ω = Ω, AΩ = A A A = Ω, (A ) = A Α A B τότε AB = A κι A B = B (A B) = A B, (AB) = A B Κλσικός ορισμός της πιθότητς (Laplace, 8) Α ο Ω είι πεπερσμέος κι όλ τ πλά εδεχόμεά του είι

4 Λέμε ότι ο είι μικρότερος του β κι το συμβολίζουμε < β, ότ - β < Λέμε ότι ο είι ίσος με το β κι το συμβολίζουμε = β, ότ - β =. ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ου βθμού ίσωση Ισχύει >β -β> Γι οποιοδήποτε ζεύγος πργμτικώ ισχύει μί πό τις τρεις σχέσεις: >β, =β, <β Ισχύου > κι β> +β> κι < κι β< +β<, β ομόσημοι β > ή β > > β ± γ > β ± γ >β >β γ>δ γ>βγ, γ> γ<βγ, γ< +γ>β+δ, β ετερόσημοι β < ή β < > β κι β >γ > γ μετβτική ιδιότητ >β >β γ>δ γ > β γ, γ> γ < β γ, γ< γ>βδ (ισχύει,β,γ,δ θετικοί) Ποτέ δε φιρούμε ή διιρούμε ισότητες! + >β + >β >β > β >β> >β >β> < β >> κι > τότε > >> κι < τότε < ισοπίθ, τότε : P( Α) = πλήθος ευοϊκώ περιπτώσεω = Ν(Α) πλήθος δυτώ περιπτώσεω Ν(Ω) P(Ω) = Ν(Ω) = Ν(Ω) Σ έ πείρμ τύχης Ρ(Α) + Ρ(Α ) = Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β). Αξιωμτικός ορισμός της πιθότητς (Kolmogorov, 9). P(A), εδεχόμεο Α του Ω.. P(Ω) = Αεξάρτητ εδεχόμε Α, Β P(AB) = P(A)P(B). Ότ P(A) >, P(B) > κι Α, Β εξάρτητ τότε P(A / B) = P(A) κι P(B / A) = P(B) Εξρτημέ εδεχόμε Α,Β P(AB) P(A)P(B) Αεξάρτητ εδεχόμε Α,Β, Γ P(AB) = P(A)P(B), P(AΓ) = P(A)P(Γ) P(BΓ) = P(Β)P(Γ) κι P(ABΓ) = P(A)P(Β)P(Γ) Αεξρτησί κι συμπληρωμτικά εδεχόμε Α Α, Β εξάρτητ τότε είι εξάρτητ κι τ ζεύγη {Α, Β }, {Α, Β}, {Α, Β } Σχέσεις μετξύ εξάρτητω κι ξέω εδεχομέω Α Α, Β ξέ (με P(A) > κι P(B) > ) τότε: P(A / B) = P(A) κι συεπώς τ Α, Β είι εξρτημέ. Α Α, Β ξέ τότε: P(AB) = κι P(A B) = P(A) + P(B). Α Α, Β εξάρτητ τότε: P(AB) = P(A)P(B) κι P(A B) = P(A) + P(B) P(A)P(B) ΠΡΟΟΔΟΙ Αριθμητική Γεωμετρική = +(-)ω, = λ -, λ= + ω= + - οι ριθμοί, β, γ είι οι ριθμοί, β, γ είι διδοχικοί όροι κι διδοχικοί όροι κι μόο β= + γ μόο β²=γ + S = S = -λ λ, S = λ γι λ < Απόστση σημείω Α Α(, ) κι Β(, ) δύο σημεί τότε η πόστσή τους είι d ΑΒ = ( ) + ( ) Δωρεά διάθεση

5 >β> κι τότε ισχύου: >β > β >β> κι n θετικός ρητός τότε: n >β n -n <β -n ου βθμού ίσωση +β γ>,,β,γ IR κι Γι τη λύση της ισότητς υτής στηριζόμστε στη θεωρί που φέρετι στο πρόσημο του τριωύμου. Ότ στις ισώσεις χ+β >, χ+β < τ,β δε είι συγκεκριμέοι ριθμοί τότε οι ισώσεις υτές οομάζοτι πρμετρικές. Η διδικσί προσδιορισμού τω λύσεω μις πρμετρικής ίσωσης οομάζετι διερεύηση. Απόλυτη τιμή Α. Ορισμός: Β.Ιδιότητες., IR, =,. =, IR., IR <. = = Ν , IR, = ±, = Αδύτη, <, >, = Αδύτη, < < ή >, > > IR, = IR, < 8. + β + β, ( τό = ισχύει ότ β ) 9. β + β, ( τό = ισχύει ότ β ) , ΙΝ. β = β Συάρτηση Κάθε διδικσί τιστοίχησης η οποί τιστοιχεί σε κάθε στοιχείο του συόλου A έ μόο στοιχείο του B λέγετι συάρτηση. Σχημτικά η κτάστση έχει ως εξής. A a b c d f Μεθοδολογί - Μελέτη συρτήσεω Η διδικσί που κολουθείτι γι τη μελέτη κάθε συάρτησης είι: Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της. Αζητούμε συμμετρίες. Εξετάζουμε τη μοοτοί της. Αζητούμε κρόττ. Εξετάζουμε τη συμπεριφορά της f() γι πολύτως μεγάλες τιμές του. Κάουμε πίκ τιμώ κι σχεδιάζουμε τη γρφική της πράστση. Εφρμογές μελέτης συρτήσεω. B 7 9 Η συάρτηση f() = + β,, β Γρφική πράστση της f() = +β Η γρφική πράστση της συάρτησης f(χ) = +β είι μι ευθεί, με εξίσωση = +β η οποί: ) Τέμει το άξο στο σημείο (, β). β ) Τέμει το άξο τω στο σημείο β (-,), γ ) Σχημτίζει με το άξο τω γωί ω (κλίση της ευθείς), γι τη οποί ισχύει: εφω = Η = εφω The image part with relationship ID rid78 was not found in the file. κθορίζει πλήρως τη διεύθυση της ευθείς = +β κι γι το λόγο υτό λέγετι συτελεστής Δωρεά διάθεση

6 . =, β β β. = ΙΝ,. β ± β + β Εξισώσεις με πόλυτες τιμές του γώστου Γι τη λύση εξισώσεω με πόλυτ χρησιμοποιούμε τ εξής: χ =, > <=> χ = ή χ = - χ = <=> χ = ή χ = - χ = χ χ =, < είι δύτη. Στις ισώσεις που περιέχου πόλυτ χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες: διεύθυσης υτής. Ισχύει: ) Α >, τότε ο <ω<9 ο. β ) Α <, τότε 9 ο <ω<8 ο. γ ) Α =, τότε ω= ο. δ) Α ε χ χ δε ορίζετι συτελεστής διεύθυσης Ο συτελεστής διεύθυσης ευθείς πό δύο σημεί της Α(, ), B(, ) με = ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ: = : Πριστάει ευθεί που διέρχετι πό τη ρχή τω ξόω με συτελεστή διεύθυσης. The image part with relationship ID rid8 was not found in the file.. χ θ, θ > <=> -θ χ θ. χ θ, θ > <=> χ -θ ή χ θ Α θ < : Η ίσωση χ <θ είι δύτη (φού χ ) Η ίσωση χ > θ, ισχύει γι κάθε χεr Μελέτη της συάρτησης f() =, Η συάρτηση υτή ορίζετι γι κάθε πργμτικό ριθμό. Είι άρτι συάρτηση. Α >, είι γησίως φθίουσ στο (-, ], γησίως φθίουσ στο [, + ) κι προυσιάζει ελάχιστο στο =, το f()=. Α <, είι γησίως ύξουσ στο (-, ], γησίως φθίουσ στο [, + ) κι προυσιάζει μέγιστο στο =, το f()=. = : Πριστάει τη διχοτόμο της ης γωί (=, ω=5 ) The image part with relationship ID rid85 was not found in the file. = β : Πριστάει ευθεί πράλληλη στο χ χ που διέρχετι πό το σημείο (,β) του άξο ( =, ω = ) Η γρφική πράστση της συάρτησης f() =, είι πρβολή, με κορυφή το σημείο Ο (, ) κι άξο συμμετρίς το άξο. The image part with relationship ID rid86 was not found in the file. = < = - : Πριστάει τη διχοτόμο της ης γωίς Δωρεά διάθεση

7 ( = -, ω=5 ) The image part with relationship ID rid88 was not found in the file. = > Ειδικές περιπτώσεις της f() =, Α =>, τότε f() = Α =-<, τότε f() = - Μελέτη της συάρτησης f() =, Η συάρτηση υτή ορίζετι γι κάθε πργμτικό ριθμό, με. Είι περιττή, δηλδή η γρφική της πράστση θ έχει το Ο(,) κέτρο συμμετρίς. Α >, είι γησίως φθίουσ στο (-, ) κι στο (, + ). Α <, είι γησίως ύξουσ στο (-, ) κι στο (, + ). Η γρφική πράστση της συάρτησης f() =, είι ισοσκελής υπερβολή: = < Ευθείες πράλληλες - κάθετες Οι ευθείες ε : = +β κι ε : = +β είι: I. Πράλληλες = Απόδειξη: ε //ε ω = ω εφω = εφω = ω ΙI. Κάθετες = - Ο Απόδειξη: Θεωρώ τις κάθετες ευθείες = κι =. Το τρίγωο ΟΑΒ είι ορθογώιο άρ έχω: (ΟΑ) +(ΟΒ) = (ΑΒ) = ( - ) +(-) ++ + = + - = - = - = +β ω = +β Ο = Α(, ) Β(, ) = ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ: = > Α = R (φού το f() ορίζετι γι κάθε ) Αποτελείτι πό δύο κλάδους, που είι συμμετρικοί ως προς το Ο. Έχει οριζότιες Δωρεά διάθεση

8 σύμπτωτες τους ημιάξοες Ο, Ο κι κτκόρυφες σύμπτωτες τους ημιάξοες Ο, Ο. Α >, έχει άξο συμμετρίς τη ευθεί =. Α <, έχει άξο συμμετρίς τη ευθεί =. Ειδικές περιπτώσεις της Α =>, τότε Α =-<, τότε f() = f() = f() =, : ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ: Α τότε f(α ) = R φού γι κάθε R η εξίσωση = +β έχει λύση ως προς στο πε Aφού = +β = -β β = Α = τότε f(α ) = {β} ( φού η f έχει μοδική τιμή f() = = β) Μερικές χρήσιμες γρφικές πρστάσεις συρτήσεω ƒ()= (πρβολή) ƒ()= +6+ (πρβολή) ƒ()=+ (γρμμική) ƒ()=-+5 (γρμμική) Δωρεά διάθεση

9 ƒ()= ƒ()=/ (υπερβολή) Ορισμοί ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωομετρικός ριθμός Στ γγλικά Ορισμός ημίτοο ημ sinus sin συημίτοο συ cosines cos εφπτομέη εφ tangent tan συεφπτομέη σφ cotangent cot τέμουσ τεμ secant sec συτέμουσ στεμ cosecant csc πέτι κάθετος υποτείουσ προσκείμεη κάθετος υποτείουσ πέτι κάθετος προσκείμεη κάθετος προσκείμεη κάθετος πέτι κάθετος υποτείουσ προσκείμεη κάθετος υποτείουσ πέτι κάθετος Δωρεά διάθεση

10 άξος άξος σφθ εφθ - ημθ συ θ άξος Ο - τριγωομετρικός άξος Σημτικές σχέσεις ημ θ+συ θ = εφθ = ημθ συθ εφθσφθ= τεμθ= συθ σφθ = συθ ημθ στεμθ= ημθ Περιοδικότητ Γωίες που διφέρου π Γωίες με άθροισμ π ημ(kπ+θ)=ημθ συ(kπ+θ)=συθ εφ(kπ+θ)=εφθ σφ(kπ+θ)=σφθ ημ(π-θ)=ημθ συ(π-θ)=-συθ εφ(π-θ)=-εφθ σφ(π-θ)=-σφθ ημ(π+θ)=-ημθ συ(π+θ)=-συθ εφ(π+θ)=εφθ σφ(π+θ)=σφθ Γωίες που διφέρου π/ Γωίες με άθροισμ π/ Γωίες τίθετες ημ( π -θ)=συθ ημ( π +θ)=συθ ημ(-θ)=-ημθ συ( π -θ)=ημθ εφ( π -θ)=σφθ συ( π +θ)=-ημθ εφ( π +θ)=-σφθ συ(-θ)=συθ εφ(-θ)=-εφθ σφ(-θ)=-σφθ Δωρεά διάθεση

11 σφ( π -θ)=εφθ σφ( π +θ)=-εφθ Τριγωομετρικοί ριθμοί κυριότερω γωιώ μοίρες κτίι rad π π π 6 π π π 5 5π π π π π ημθ συθ Εφθ σφθ Τριγωομετρικές εξισώσεις ημ=ημθ =kπ+θ =kπ+π-θ εφ=εφθ =kπ+θ συ=συθ =kπ±θ σφ=σφθ =kπ+θ Άθροισμ, διπλάσιο, τριπλάσιο, μισό τόξο Τριγωομετρικοί ριθμοί θροίσμτος ημ(±β)=ημσυβ±συημβ συ(±β)=συσυβ ημημβ Τριγωομετρικοί ριθμοί διπλάσιου τόξου ημ=ημσυ εφ εφ= -εφ εφ(±β)= εφ ± εφβ εφεφβ Δωρεά διάθεση συ=συ -ημ =συ - =-ημ σφ= σφ - σφ

12 σφ(±β)= σφσφβ σφβ ± σφ Τριγ. ριθμοί τριπλάσιου τόξου ημ=ημ-ημ συ=συ -συ εφ -εφ εφ= εφ σφ -σφ σφ= σφ Τριγ. ριθμοί μισού τόξου ημ = ± συ συ = ± + συ εφ = ± συ + συ σφ = ± + συ συ Τύποι ποτετργωισμού ημ = συ συ = + συ εφ = συ + συ σφ = + συ συ Βσικές ισότητες - ημ, - συ, - εφ, - σφ, Άθροισμ τριγωομετρικώ ριθμώ ημ+ημβ=ημ + β -β συ συ+συβ=συ + β -β συ ημ-ημβ=συ + β -β ημ συ-συβ=ημ + β -β ημ εφ+εφβ= ημ( + β) συσυβ σφ+σφβ= ημ( + β) ημημβ εφ-εφβ= ημ( β) συσυβ σφ-σφβ= ημ( β) ημημβ ημ κι συ συρτήσει της εφ(/) ημ κι συ σ ρητές συρτήσεις της εφ(/) Γιόμε (τύποι του Werner) Δωρεά διάθεση

13 εφ ημ= + εφ εφ συ= + εφ ημημβ= [συ(-β)-συ(+β)] ημσυβ= [ημ(+β)+ημ(-β)] συσυβ= [συ(+β)+συ(-β)] (k+)π, k Αγωγή στο πρώτο τετρτημόριο -φ 9±φ 8±φ 7±φ 6±φ κπ±φ ημ -ημφ συφ µημφ -συφ ±ημφ συ συφ µημφ -συφ ±ημφ συφ εφ -εφφ µσφφ ±εφφ µσφφ ±εφφ σφ -σφφ µεφφ ±σφφ µεφφ ±σφφ τεμ τεμφ µστεμφ -τεμφ ±στεμφ τεμφ στεμ -στεμφ τεμφ µστεμφ -τεμφ ±στεμφ Μεττροπές μετξύ τριγωομετρικώ ριθμώ γωστό ημ συ εφ σφ ημ ημ ημ ± ημ ± ημ ± ημ ημ συ ± συ συ εφ εφ ± + εφ ± + εφ συ ± συ εφ συ ± συ ημ σφ ± + σφ σφ ± + σφ σφ σφ Δυάμεις ημιτόου, συημιτόου ημ²= ( - συ) συ²= ( + συ) Δωρεά διάθεση

14 ημ³= (ημ - ημ) συ³= (συ + συ) ημ= 8 (συ συ +) συ= (συ + συ +) 8 ημ= (ημ 5ημ + ημ5) 6 συ= (συ + 5συ + συ5) 6 ημ 6 = ( 5συ + 6συ συ6) συ6 = ( + 5συ + 6συ συ6) Το άθροισμ ημιτόου συημιτόου ως ημίτοο Γι κάθε, β η συάρτηση (πράστση) ƒ()=ημ+βσυ μπορεί γρφεί στη μορφή ƒ()=ρημ(+φ) όπου: β ημφ = ρ ρ= + β κι Άρ maƒ=ρ κι minƒ=-ρ συφ = ρ Γρφικές πρστάσεις The image part with relationship ID rid was not found in the file. The image part with relationship ID rid5 was not found in the file. ƒ()=εφ ƒ()=σφ The image part with relationship ID rid6 was not found in the file. The image part with relationship ID rid7 was not found in the file. ƒ()=ημ ƒ()=συ Δωρεά διάθεση

15 The image part with relationship ID rid8 was not found in the file. The image part with relationship ID rid9 was not found in the file. ƒ()=τεμ ƒ()=στεμ Δωρεά διάθεση