Τα μαθηματικά στο ημερολόγιο:

Transcript

1 Τα μαθηματικά στο ημερολόγιο: Από την επαγωγική επιχειρηματολογία στην παραγωγική απόδειξη Γιώργος Κόσυβας,σχολικός Σύμβουλος ΠΕ03 Α Αθήνας Θεοδόσης Παπανικολάου,σχολικός Σύμβουλος ΠΕ03 Α Αθήνας Κώστας Στουραΐτης,εκπαιδευτικός ΠΕ03 4 ου ΓΕΛ Γαλατσίου

2 Επιλογή οποιουδήποτε μήνα, οποιουδήποτε έτους

3 Σε κάθε μηνιαίο ημερολόγιο είναι κρυμμένα κάποια μοτίβα, κανονικότητες (patterns), που οι μαθητές ανακαλύπτουν, διερευνούν και με κατάλληλη παρέμβαση,όπου χρειαστεί, του εκπαιδευτικού φτάνουν, όπως θα δούμε στην έρευνά μας, στον επιδιωκόμενο σκοπό.

4 Συγκεκριμένα,σε αυτή την εργασία, εξετάζουμε τρία προβλήματα της άλγεβρας του ημερολογίου, τα οποία δοκιμάσαμε σε 4 σχολικές τάξεις (σε ομάδες 4-5 ατόμων) εισάγοντας μια «κουλτούρα απόδειξης» στη διδασκαλία των μαθηματικών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Ειδικότερα ερευνούμε τη σχέση ανάμεσα στην επαγωγική επιχειρηματολογία, την εικασία και την αλγεβρική απόδειξη. Από την περιγραφή και ανάλυση των αλληλεπιδράσεων προέκυψε ότι οι μαθητές δυσκολεύονται στη μετάβαση από την αριθμητική επιχειρηματολογία στην παραγωγική απόδειξη. Με τη διδακτική μας πρόταση δείχνουμε πώς μπορούν να ξεπεραστούν οι δυσκολίες των μαθητών στον αποδεικτικό συλλογισμό.

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Σε γενικές γραμμές, οι ερευνητές συμφωνούν ότι η επιχειρηματολογία και η απόδειξη αποτελούν τα θεμέλια της μαθηματικής κατανόησης και ότι η μάθηση της αιτιολόγησης έχει βαρύνουσα σημασία για την ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης (Stylianides, 2007; Mueller, Yankelewitz & Maher, 2010). Στα μαθηματικά, η απόδειξη είναι ένα συγκεκριμένο είδος επιχειρηματολογίας: είναι η εξήγηση που δείχνει γιατί μια πρόταση είναι αληθής. Η μαθηματική απόδειξη είναι ένας ισχυρός τρόπος επιβεβαίωσης ή διάψευσης εικασιών και αποδοχής της αλήθειας (Potari,Zachariades &Zaslavsky, 2010). Στην περίπτωση αυτή ένα ή περισσότερα επιχειρήματα, συνδέονται λογικά μεταξύ τους στη διαδικασία παραγωγής προτάσεων που επικεντρώνονται στη σύνθεση της απόδειξης. Οι σχέσεις μεταξύ επιχειρηματολογίας και απόδειξης είναι πολύπλοκες (Pedemonte, 2007).Ορισμένοι ερευνητές υπογράμμισαν τις επιστημολογικές και γνωστικές διαστάσεις της απόδειξης, ενώ άλλοι έστρεψαν την προσοχή τους στην ενότητα επιχειρηματολογίας και απόδειξης.

6 Κατά την εξέταση της διαδικασίας παραγωγής επιχειρημάτων και τη σύνθεση της απόδειξης πρέπει να λαμβάνονται υπόψη δύο συμπληρωματικές διαστάσεις: το αναφορικό σύστημα και η δομή. Το αναφορικό σύστημα περιλαμβάνει το αναπαραστατικό σύστημα της αριθμητικής, της άλγεβρας, ή της γεωμετρίας (π.χ. γλώσσα, σύμβολα, σχήματα, κ.λπ.) και το σύστημα γνώσης της επιχειρηματολογίας και της απόδειξης (Martinez & Pedemonte, 2014). Η δομή είτε της επιχειρηματολογίας είτε της απόδειξης παραπέμπει στους τρόπους λογικής σύνδεσης των προτάσεων, όπως είναι η εξηγητική υπόθεση του Peirce (abduction), o εύλογος συλλογισμός του Polya (plausible reasoning), η επαγωγή (induction) και η παραγωγή (deduction). Η δομική συνέχεια ή ασυνέχεια μεταξύ επιχειρηματολογίας και απόδειξης, μπορεί να εξηγήσει ορισμένες από τις δυσκολίες των μαθητών κατά την οικοδόμηση μιας απόδειξης (Pedemonte, 2007).

7 Η απόδειξη ως μέθοδος παραγωγής και εξακρίβωσης μαθηματικών προτάσεων, έχει προνομιακό πεδίο εφαρμογής στην ευκλείδεια γεωμετρία, εδραιώνοντας ίσως μια μονομερή και παραμορφωμένη εικόνα στους μαθητές. Η άλγεβρα παρέχει ευκαιρίες σε μαθητές να καταγίνονται με την απόδειξη σε ένα πλαίσιο διαφορετικό από τη γεωμετρία. Οι μελέτες για τη μάθηση της άλγεβρας έχουν τεκμηριώσει τις δυσκολίες των μαθητών στον αλγεβρικό συλλογισμό και την αιτιολόγηση (Δραμαλίδης & Σακονίδης, 2006). Συχνά οι μαθητές βασίζονται σε παραδείγματα ή αριθμητικές περιπτώσεις για να αιτιολογήσουν τις εικασίες τους.

8 Σε αυτή την εργασία, μελετούμε τη σχέση διατύπωσης εικασίας, επιχειρηματολογίας και αλγεβρικής απόδειξης. Η ανάλυσή μας έχει ως στόχο να συνεισφέρει στην έρευνα για την περίπτωση κατά την οποία η επιχειρηματολογία είναι επαγωγική και κατασκευάζεται στην αριθμητική και η απόδειξη είναι παραγωγική και ανάγεται στην άλγεβρα. Ειδικότερα, θα μελετήσουμε πώς ο εκπαιδευτικός μέσω τριών προβλημάτων από την άλγεβρα του ημερολογίου μπορεί να αναπτύξει τον συλλογισμό και την αιτιολόγηση των μαθητών, πώς μπορεί να αναδείξει τις δυνατότητές τους και να βοηθήσει στην υπέρβαση των δυσκολιών κατά τη διδασκαλία της άλγεβρας. Τα προβλήματα αυτά έχουν ως στόχο να προωθήσουν τη διατύπωση εικασιών, τη διερεύνηση κανονικοτήτων στο ημερολόγιο και τις αντίστοιχες αποδείξεις τους και έχουν χρησιμοποιηθεί και από άλλους ερευνητές εκτός Ελλάδας.( Martinez & Pedemonte, 2014 )

9 Βασικά ερευνητικά ερωτήματα αυτής της εργασίας είναι: (α) Η επαγωγική επιχειρηματολογία διευκολύνει ή εμποδίζει τη συνειδητοποίηση της αναγκαιότητας της απόδειξης από τους μαθητές; (β) Πώς οι μαθητές μαθαίνουν να ξεπερνούν τις δυσκολίες κατά την ενασχόλησή τους με τη διερεύνηση και τη λύση των τριών αυτών προβλημάτων;

10 ΜΕΘΟΔΟΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Οργανώσαμε 4 πειραματικές διδασκαλίες (2 στην Γ γυμνασίου / Γ1, Γ2 και 2 στην Α λυκείου/λ1, Λ2), σε ισάριθμα τμήματα διαφορετικών σχολικών μονάδων του κέντρου της Αθήνας(Μάρτιος 2015). Σε όλα τα σχολικά τμήματα,χωρισμένα σε ομάδες,ανατέθηκαν 3 ίδια προβλήματα του ημερολογίου, με στόχο τη διερεύνησή τους από τους μαθητές, τη διατύπωση εικασιών και την απόδειξή τους. Η απόδειξη δεν απέβλεπε στην επιβεβαίωση ενός συμπεράσματος που είναι ήδη γνωστό εκ των προτέρων. Αρχικές πληροφορίες 1) Οι μαθητές δεν είχαν εμπλακεί σε άλλες διδασκαλίες, πέραν των τυπικών μαθημάτων που προβλέπονται από το πρόγραμμα σπουδών. 2) Οι διδασκαλίες μαγνητοφωνήθηκαν ή λήφθηκαν δεδομένα από τους παρατηρητές εκπαιδευτικούς με τη μορφή γραπτών σημειώσεων. 3) Η ανάλυση των δεδομένων είναι ποιοτική και αφορά κυρίως την παρατήρηση των μαθηματικών αλληλεπιδράσεων εκπαιδευτικού-μαθητών και μαθητών-μαθητών. ( Cobb, Confrey, disessa, Lehrer, & Schauble, 2003). Από τις σημειώσεις των παρατηρητών και τα μαγνητοφωνημένα μαθήματα ταυτοποιήθηκαν κρίσιμα στοιχεία σχετικά με τα ερευνητικά ερωτήματα και αποτέλεσαν τη βάση για την ανάλυση περιεχομένου.

11 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2015 ΔΕΥ ΤΡΙ ΤΕΤ ΠΕΜ Π ΑΡ ΣΑΒ ΚΥΡ Πρόβλημα: Θεωρούμε 2 2-τετράγωνα ενός ημερολογίου, όπως στο ακόλουθο σχήμα (αντίστοιχα 3 3, 4 4): (α) Να υπολογίσετε τις διαφορές των χιαστί γινομένων των 2 2 τετραγώνων ημερολογίου (π.χ και αντίστοιχα για τα 3 3, 4 4). Χρησιμοποιώντας τετράγωνα από οποιονδήποτε μήνα του έτους ή από άλλα έτη να βρείτε το 2 2 τετράγωνο ημερολογίου με το μέγιστο και το ελάχιστο αποτέλεσμα (αντ. 3 3, 4 4). (β) Να διατυπώσετε μια εικασία και να την αποδείξετε.

12 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2015 ΔΕΥ ΤΡΙ ΤΕΤ ΠΕΜ ΠΑΡ ΣΑΒ ΚΥΡ τετράγωνα 3x3,4x4 αντίστοιχα

13 Οι μαθητές όλων των ομάδων τόσο της Γ γυμνασίου όσο και της Α λυκείου εξέτασαν πολλά παραδείγματα με τις διαφορές των χιαστί γινομένων των τριών τετραγώνων ημερολογίου (2 2, 3 3, 4 4) π.χ = =-7, = =-7, και οδηγήθηκαν στις αντίστοιχες εικασίες. Με βάση τα παραδείγματα οι μαθητές βρήκαν ότι το αποτέλεσμα για τα 2 2 τετράγωνα είναι πάντοτε -7, για τα 3 3 είναι -28 και για τα 4 4 είναι -63. Μετά από συζήτηση στην ομάδα τους κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχει ελάχιστο ή μέγιστο αποτέλεσμα, εκδηλώνοντας βεβαιότητα, η οποία παραπέμπει σε αυτό που εμείς λέμε "εικασία". Ορισμένοι δεσμεύτηκαν για πολλή ώρα στην επαγωγική αριθμητική επιχειρηματολογία από την οποία δυσκολεύτηκαν να αποκολληθούν.επιβεβαίωσαν την εικασία με λίγα παραδείγματα συμπεραίνοντας ότι είναι αληθής.

14 Ακολουθεί ο διάλογος στο εσωτερικό μιας ομάδας μαθητών λυκείου (Λ2, Ομάδα Ε), που ασχολήθηκαν με τετράγωνα 4x4. Σωτήρης: Απίστευτο! Πάντοτε βρίσκουμε -63.Είναι ένα πραγματικό γεγονός! Να αποδείξουμε κάτι φανερό; Ευγενία: Δοκίμασα έξι τετράγωνα του 4 4-ημερολογίου με διαφορετικούς συνδυασμούς και βρήκα -63. Μαριγώ: Και εγώ το ίδιο βρήκα. Έκανα δοκιμές στο ημερολόγιο του Φεβρουαρίου.Δεν υπάρχει ούτε μέγιστος ούτε ελάχιστος αριθμός. Στην ομάδα τους πίστευαν ότι τα αριθμητικά αποτελέσματα είναι απόδειξη. Η πεποίθησή τους για την αριθμητική επαλήθευση είναι ισχυρή και δεν χρειάζεται να αποδείξουν κάτι φανερό. Μεταξύ άλλων στο συλλογικό χαρτόνι της ομάδας Ε είχαν γράψει: «Απόδειξη: Παίρνουμε ένα τυχαίο ημερολόγιο και υπολογίζουμε τις διαφορές των χιαστί γινομένων που τελικά έχουν ως αποτέλεσμα -63. Αφού ισχύει για ένα τυχαίο ημερολόγιο, η εικασία αποδεικνύεται». Το επιχείρημά τους υποστηρίζεται αποκλειστικά με την αριθμητική. Οι μαθητές δυσκολεύονταν να αντιληφθούν ότι λίγα ή πολλά παραδείγματα δεν αποτελούν απόδειξη και δέχονταν τα εμπειρικά παραδείγματα ως αποδείξεις των μαθηματικών γενικεύσεων.

15 Όταν οι μαθητές της ομάδας Ε παρακολούθησαν την εργασία της ομάδας Γ προβληματίστηκαν, άλλαξαν τις αρχικές ιδέες τους και έδειξαν να κατανοούν την ανάγκη της αλγεβρικής απόδειξης. Η Ευγενία :«Ποτέ δεν θα μπορέσουμε να υπολογίσουμε όλες τις διαφορές. Αρκεί να βάλουμε x και θα βρούμε τη γενική εξήγηση». Η Ευγενία ανακάλυψε ότι η αριθμητική επαλήθευση δεν αρκεί. Τα μέλη της ομάδας αποδέχτηκαν ότι η συγκέντρωση και εξέταση περιπτώσεων, η οποία δεν μπορεί να είναι πλήρως εξαντλητική, είναι χρήσιμη για τη διερεύνηση του προβλήματος, όμως αυτό δεν αποτελεί μια έγκυρη απόδειξη.

16 Αξίζει να τονιστεί ότι, οι περισσότεροι μαθητές των τεσσάρων τμημάτων πίστευαν ότι ένα σύνολο αριθμητικών παραδειγμάτων δεν είναι απόδειξη και επικεντρώθηκαν στην εύρεση ενός γενικού τρόπου, γι αυτό χρησιμοποίησαν μεταβλητές. Χαρακτηριστική είναι η περίπτωση του Παναγιώτη (Γ1), ο οποίος αφού πρώτα παρατήρησε ότι «πάντα βγαίνει αποτέλεσμα 7», συνειδητοποίησε τη σχέση που υπάρχει μεταξύ των στοιχείων γειτονικών σειρών του ημερολογίου και πρότεινε τον ακόλουθο συμβολισμό για ένα γενικό τετράγωνο 2 2: x x +1 x + 7 x + 8 Στη συνέχεια πρότεινε (διαφορά χιαστί γινομένων) την εξίσωση : x(x+8)-(x+7)(x+1)=-7 και διαπίστωσε ότι προκύπτει ταυτότητα: Παναγιώτης (Γ1, Ομάδα Α): Αφού συμβαίνει σε όλα τα τετράγωνα 2x2, που αλλάζουν οι αριθμοί και βρίσκουμε ίδιο αποτέλεσμα, έχουμε μια ταυτότητα.

17 Όμως η χρήση της μεταβλητής δεν οδήγησε τους μαθητές να επινοήσουν μια αλγεβρική απόδειξη. Το ακόλουθο απόσπασμα προέρχεται από την παρουσίαση της εργασίας μιας ομάδας μαθητών λυκείου σε ολόκληρη την τάξη. Σχετικά με την εύρεση και την απόδειξη της εικασίας τους ακολούθησε ο διάλογος: Χρήστος (Λ1, Ομάδα ΣΤ): Το x(x+8) (x+1)(x+7) θα βγάζει πάντα 7. Όποιο νούμερο κι αν βάλουμε για x θα μας βγάλει πάντα 7. Εκπαιδευτικός: Το αποδείξατε ότι κάνει 7; Χρήστος: Ναι το αποδείξαμε. Γιατί μετά είπα στον Αντώνη να μου πει τρία νούμερα και βάλαμε το 3, το 16 και το 23, εντελώς τυχαία νούμερα, το βάλαμε παντού αυτό και βγήκε. [Κάτι λέει ο Αργύρης] Εκπαιδευτικός: Για πες αυτή την ιδέα. Αργύρης: Άμα δεν βάλουμε νούμερα και κάνουμε εκείνες τις πράξεις, θα βγάλει 7, άρα αυτή είναι η απόδειξη, άρα έτσι θα το λύσουμε. Το έχω κάνει εγώ στο χαρτί [χειροκροτήματα στην τάξη!]

18 Ο Χρήστος κάνει χρήση μεταβλητής και καταλήγει στη γενίκευση με την επινόηση της αλγεβρικής παράστασης x(x+8) (x+1)(x+7), αλλά εκλαμβάνει ως απόδειξη την επαλήθευση του αλγεβρικού τύπου με τυχαία αριθμητικά παραδείγματα χωρίς να εξετάζει γιατί ισχύει ο τύπος. Ο Αργύρης αντιπροτείνει ότι η απόδειξη απαιτεί αλγεβρικές πράξεις. Αυτό είναι ένα κρίσιμο βήμα για τη μετάβαση από την αριθμητική στην άλγεβρα, από την επαγωγική επιχειρηματολογία στην παραγωγική απόδειξη, που αναδεικνύει την αναγκαιότητα κατασκευής της απόδειξης.κάνοντας χρήση μεταβλητών και μετασχηματισμών της παράστασης κατέληξε στην ανεύρεση μιας αλγεβρικής απόδειξης.η αλγεβρική γλώσσα λειτουργεί ήδη ως εργαλείο απόδειξης. Η γραπτή απόδειξη που προσκόμισε είναι λιτή: 2 2 x x x +1 x + 7 = x + 8x - x + 7x + x = x + 8x - x - 7x - x - 7 = -7

19 Αυτή ήταν μια εμπειρία των μαθητών στην παραγωγική απόδειξη με γόνιμη αξιοποίηση της μετασχηματιστικής δύναμης της άλγεβρας. Ανάλογη αλγεβρική απόδειξη έδωσε μια μαθήτρια της Γ γυμνασίου (Γ1). Κωνσταντίνα (Γ1, Ομάδα Β): έκανα εγώ τις πράξεις και βρήκα ότι ισχύει: x 2 +8x-(x 2 +x+7x+7)=-7 ή x 2 +8x-x 2 -x-7x-7=-7 ή -7=-7 που ισχύει. Στο γυμνάσιο (Γ2) ένας μαθητής έθεσε ως μεταβλητές τις α, β για 2x2 πίνακα: α α+1 β β+1 Μετά από πράξεις βρήκε: α(β+1)-β(α+1)=αβ+α-βα-β=α-β. Όμως δεν προέκυψε το -7. Κάποιος από την ομάδα είπε ότι «ο β έχει μάλλον κάποια σχέση με τον α, γιατί ανήκει στην επόμενη εβδομάδα». Ήταν εμφανής η δυσκολία αποδοτικής χρήσης των μεταβλητών στην αλγεβρική απόδειξη. Την προηγούμενη στρατηγική επίλυσης με τον ίδιο συμβολισμό, πλήρως αιτιολογημένη, έδωσαν οι μαθητές του λυκείου (Λ2, Ομάδα Ζ).

20 Αξίζει να επισημανθεί ότι δεν κατάφεραν όλοι οι μαθητές να γεφυρώσουν με επιτυχία την αριθμητική επαγωγική επιχειρηματολογία με την αλγεβρική απόδειξη. Μαίρη (Λ2, Ομάδα Α): [ ] Δεν μπορεί να ισχύει x(x+8)-(x+1)(x+7)=-7 Εκπαιδευτικός: Γιατί δεν γίνεται; Μαίρη: Δεν είναι ίδια πράγματα. Από εδώ υπάρχουν τα x, εκεί -7, που βγήκε από πολλές διαφορές των χιαστί γινομένων. Όταν η μαθήτρια εξίσωσε την αλγεβρική παράσταση x(x+8)-(x+1)(x+7) με -7, συνέδεσε δύο αντικείμενα διαφορετικής φύσης χωρίς να αντιλαμβάνεται τη σημασία της εκτέλεσης των πράξεων στη μετάβαση από τη γενίκευση του τύπου στην αλγεβρική απόδειξη. Η απόσταση ανάμεσα στην αριθμητική επιχειρηματολογία και την αλγεβρική απόδειξη και η αδυναμία χρήσης μετασχηματισμών αποτελούσαν δυσκολίες για την κατασκευή της απόδειξης. Στη συνέχεια τα άλλα μέλη της ομάδας με εφαρμογή διαδικασιών επίλυσης βρήκαν: -7 =-7 και ανέφεραν ότι αυτό ισχύει.

21 Τέλος, ενδιαφέρουσα είναι η ακόλουθη στιχομυθία στο εσωτερικό μιας ομάδας μαθητών λυκείου (Λ1, Ομάδα Δ), που ασχολήθηκαν με πίνακες 3x3: Μαρία: Το αποτέλεσμα είναι σταθερό, πάντα αυτό βγαίνει [ 28]. Άγγελος: Πρέπει να είναι με τύπο η απόδειξη, αναγκαστικά; Εκπαιδευτικός: Εσείς θα αποφασίσετε. Μπορεί να είναι διαφορετικά; Άγγελος: Μπορεί να είναι και με λόγια, αλλά δεν το αποδεικνύουμε με λόγια, πρέπει να στηρίζεται, να έχει μια [δεν ακούγεται, αλλά εννοεί μια διαδικασία με σχέσεις], ενδεχομένως τα λόγια είναι περιττά. Μαρία: Καταρχάς να εξηγήσουμε με λόγια πώς καταλήγουμε στον τύπο Εκπαιδευτικός: Με τα λόγια πώς εννοούσες ότι μπορεί να είναι η απόδειξη; Άγγελος: Ότι αν κάνουμε χιαστί μας βγαίνει πάντα το σταθερό 28; Λάθος; Εκπαιδευτικός: Κι αυτό είναι απόδειξη; Άγγελος: Όχι, αυτό είναι λόγια. Η απόδειξη είναι με απόδειξη, συμπέρασμα όπως στη γεωμετρία τώρα κύριε, καταλάβατε. Ο Αγγελος αμφισβητεί ότι τα λόγια της καθημερινής γλώσσας και η επαγωγική επιχειρηματολογία αποτελούν τεκμηριωμένη μαθηματική απόδειξη και η εικόνα που διαμόρφωσε για την απόδειξη είναι ίσως κάτι που περιέχει κάποιες ιεροτελεστίες. Η Μαρία προτιμά να εξηγήσουν με λόγια πώς βρήκαν τον αλγεβρικό τύπο.

22 Στο χαρτόνι τους οι μαθητές της ομάδας Δ έγραψαν: «Εικασία: αν χρησιμοποιήσουμε 3 3 τετράγωνα σε οποιοδήποτε ημερολόγιο, η διαφορά των χιαστί γινομένων που προκύπτει ΠΑΝΤΑ είναι το -28. Απόδειξη: x x+2 x(x+16) (x+14)(x+2)= ; x+14 x+16 π.χ. i) [12(12+16)] [(12+14)(12+2)]= 12x28-26x14= =-28». ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2015 ΔΕΥ ΤΡΙ ΤΕΤ ΠΕΜ ΠΑΡ ΣΑΒ ΚΥΡ

23 Οι μαθητές μετακινήθηκαν από την αριθμητική στην άλγεβρα και επινόησαν ορθά τον αλγεβρικό τύπο. Ως επεξήγηση της απόδειξής τους προσκόμισαν ένα παράδειγμα αριθμητικής αντικατάστασης. Έτσι, η απόδειξή τους δεν είναι αλγεβρική, είναι μια αριθμητική επαλήθευση αλγεβρικού τύπου. Κατά τη μαθηματική συζήτηση στην ολομέλεια της τάξης, καταγράψαμε τα ακόλουθα: Αργύρης (Λ1, Ομάδα Δ): Δεν έχουμε την απόδειξη. Εκπαιδευτικός: Δεν έχουμε απόδειξη. Και μετά τι έχουμε εδώ πέρα; [δείχνει στο χαρτόνι τους την αριθμητική αντικατάσταση] Αργύρης: Απλά αντικαταστήσαμε το x, δεν είναι απόδειξη. Μαρία: Εσύ ήθελες να κάτσουμε να λύσουμε τον τύπο και να βρούμε ότι όντως βγαίνει 28 χωρίς να αντικαταστήσουμε το x. Εκπαιδευτικός: Εσείς τι κάνατε; Μαρία: Εμείς, παρόλο που το σκεφτήκαμε αυτό, προτιμήσαμε, ουσιαστικά για να δείξουμε ότι όντως ισχύει, ότι όντως επαληθεύεται το 28, τον ονομάσαμε τύπο.[ ]. Άγγελος: Ωραία, δεν είναι απόδειξη, είναι ένας τύπος. Στη δημόσια συζήτηση ο Αργύρης δεν θεωρεί απόδειξη την αριθμητική αντικατάσταση, ενώ για τη Μαρία η επαλήθευση του τύπου με αριθμητικά παραδείγματα αρκεί για την εξασφάλιση επεξήγησης και βεβαιότητας.οι εκφράσεις της όπως όντως, σε κάθε περίπτωση, πάντοτε δείχνουν να πιστεύει ότι το αριθμητικό επιχείρημα είναι περισσότερο πειστικό από το αλγεβρικό.αν είναι έτσι, η άλγεβρα λειτουργεί περισσότερο ως μια ιεροτελεστία επιβεβλημένη έξωθεν.

24 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η εξερεύνηση κανονικοτήτων στο ημερολόγιο ήταν ιδανική πρόκληση για την εμπλοκή των μαθητών στη μαθηματική δραστηριότητα και την υπέρβαση των δυσκολιών που παρουσιάστηκαν κατά τη διαδικασία της απόδειξης. Δοκιμάσαμε τρία προβλήματα με τετράγωνα 2x2,3x3 και4x4 από το μηνιαίο ημερολόγιο. Οι μαθητές διατύπωσαν μια εικασία για κάθε τετράγωνο τεσσάρων αριθμών. Τα αποτελέσματα για κάθε μήνα οποιουδήποτε έτους ήταν αντίστοιχα στα τρία προβλήματα: -7, -28 και -63.

25 Σύμφωνα με την προηγούμενη συζήτηση,για το πρώτο ερευνητικό ερώτημα (α), προκύπτει το συμπέρασμα ότι η επαγωγική επιχειρηματολογία διευκόλυνε τη συνειδητοποίηση της αναγκαιότητας της απόδειξης στους περισσότερους μαθητές. Στις ποικίλες απόψεις των μαθητών για τη φύση της απόδειξης υπερίσχυσε η αναγκαιότητα της αλγεβρικής απόδειξης. Όμως υπήρξαν και μαθητές που υποστήριξαν την αριθμητική επαλήθευση (αριθμητική γενίκευση) ή τη μεικτή "απόδειξη" (αριθμητική αντικατάσταση σε τύπο). Οι παρατηρήσεις μας δείχνουν ότι τα προβλήματα της άλγεβρας του ημερολογίου έδωσαν την ευκαιρία στην πλειονότητα των μαθητικών ομάδων γυμνασίου-λυκείου να παραγάγουν μια εικασία με επαγωγικό συλλογισμό χρησιμοποιώντας αριθμητικά παραδείγματα και να δημιουργήσουν μια παραγωγική απόδειξη. Αυτό συμφωνεί με τα αποτελέσματα άλλων ερευνών για μαθητές παρόμοιας ηλικίας (Martinez & Pedemonte, 2014). (α) Η επαγωγική επιχειρηματολογία διευκολύνει ή εμποδίζει τη συνειδητοποίηση της αναγκαιότητας της απόδειξης από τους μαθητές;

26 Σχετικά με το δεύτερο ερευνητικό ερώτημα (β) όπως στοιχειοθετείται από την παρουσίαση των αποτελεσμάτων οι αντιστάσεις των μαθητών στην κατασκευή μιας απόδειξης μπορούν να ξεπεραστούν σε ένα περιβάλλον μαθηματικής επικοινωνίας, ανταλλαγής επιχειρημάτων και αναστοχαστικού διαλόγου. Οι μαθητές εισάγοντας στο ημερολόγιο αλγεβρικά σύμβολα κατασκεύασαν μια επιτυχή γέφυρα ανάμεσα στην αριθμητική και την άλγεβρα (επαγωγική επιχειρηματολογία και παραγωγική απόδειξη). Ορισμένοι μαθητές δεν έθεσαν γράμματα στο ημερολόγιο και δεν ήταν ικανοί να μεταβούν στην παραγωγική απόδειξη πριν από τη μαθηματική συζήτηση στην ολομέλεια. Ορισμένοι είχαν δυσκολίες και στο μετασχηματισμό της αλγεβρικής παράστασης. Με τη βοήθεια του εκπαιδευτικού όλοι οι μαθητές ξεπέρασαν τις δυσκολίες σε όλα τα προβλήματα.όταν οι μαθητές παράγουν επαγωγική

27 Όπως διαπιστώσαμε η συνύπαρξη της αριθμητικής και της άλγεβρας στην προβολή των επιχειρημάτων των μαθητών εμφανίζεται με διάφορους τρόπους. Αυτή η συνύπαρξη διευκολύνεται από το ό,τι οι αριθμοί αντικαθίστανται με γράμματα που παριστάνουν αριθμούς στο ημερολόγιο, όμως χωρίς να τους εξαλείφουν. Αυτό το γεγονός υποστηρίζει τη συνέχεια ανάμεσα στην αριθμητική επιχειρηματολογία και την αλγεβρική απόδειξη.

28

29

30 Γενίκευση του προβλήματος Μπορείτε να βρείτε ένα γενικό τύπο που βγάζει τα παραπάνω αποτελέσματα -7, -28, -63 σε πίνακες ημερολογίου κxκ, κ=2,3,4 αντίστοιχα; Απάντηση:

31 παράρτημα θεωρητικού μέρους Ο Peirce εισήγαγε την εξηγητική υπόθεση (abduction), ενώ θεώρησε ότι η επαγωγή (induction) και η παραγωγή (deduction) είναι αναγκαία και συμπληρωματικά εργαλεία για αυτήν. Η εξηγητική υπόθεση είναι ένα τρίτο είδος συλλογισμού,όπου από μια συλλογή δεδομένων, γεγονότων ή παρατηρήσεων συλλαμβάνουμε μια υπόθεση που τα εξηγεί καλύτερα από άλλες.η εν λόγω εξηγητική υπόθεση είναι πιθανώς αληθινή. «Στην επαγωγή γενικεύουμε από έναν αριθμό περιπτώσεων στις οποίες κάτι είναι αλήθεια και συνάγουμε ότι το ίδιο πράγμα είναι πιθανά αληθινό για ολόκληρη την τάξη. Αλλά στην εξηγητική υπόθεση, περνάμε από την παρατήρηση ορισμένων γεγονότων στην υπόθεση μιας γενικής αρχής που εξηγεί τα γεγονότα». (Fann, 1970, p. 10) Όταν οι γιατροί κάνουν μια γνωμάτευση ή όταν οι δικαστές αναλύουν μια υπόθεση με ελλιπή στοιχεία το πρώτο στάδιο της συναγωγής των συμπερασμάτων τους περιέχει εξηγητική υπόθεση.

32 Μέθοδος λύσης μαθηματικού προβλήματος G. Polya (1973) 1. κατανόηση του προβλήματος 2. επινόηση ενός σχεδίου αναγνώριση στρατηγικών -επιλογή κατάλληλης στρατηγικής 3. εκτέλεση του σχεδίου πραγματοποίηση επιλεγμένης στρατηγικής 4. ανασκόπηση τι έχεις μάθει αφού έλυσες το πρόβλημα (γενίκευση)