9. ΦΟΡΤΙΑ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΔΟΚΩΝ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "9. ΦΟΡΤΙΑ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΔΟΚΩΝ"

Transcript

1 9. ΦΟΡΤΙ ΔΙΤΟΜΗΣ ΔΟΚΩ 9.1 ενικά Ο όρος φορτία σημαίνει είτε δυνάμεις είτε ροπές. Συνοψίζοντας αυτά που αναφέρθηκαν σε προηγούμενα κεφάλαια, μπορούμε να πούμε ότι δοκός είναι ένα σώμα με μεγάλο μήκος και μικρές διαστάσεις κάθετης τομής, που στηρίζεται και φορτίζεται με τέτοιο τρόπο ώστε να μεταβιβάζει δυνάμεις κάθετες στο μήκος του. Διατομή λέγεται το σχήμα που παράγεται αν κόψουμε τη δοκό κάθετα στο μήκος της. Εξετάζοντας τη διατομή βλέπουμε τί συμβαίνει στο εσωτερικό του σώματος. Τα φορτία που ασκούνται σε κάποιο σώμα από εξωτερικές αιτίες μεταδίδονται στο εσωτερικό του, και διατρέχουν το σώμα για να μεταδοθούν στις στηρίξεις, όπως δείχνουν τα παρακάτω παραδείγματα. υτά τα φορτία που μεταδίδονται στο εσωτερικό του σώματος θα λέγονται φορτία διατομής. α) β) γ) Σχήμα 9.1 Μετάδοση φορτίων στο εσωτερικό δοκού α) Δύναμη παράλληλη με το μήκος της δοκού μεταβιβάζεται μέσω της δοκού αναλλοίωτη. β) Όταν μεταβιβάζεται μία δύναμη κάθετη στο μήκος της δοκού, δημιουργείται ταυτόχρονα και μια ροπή. (Καταλαβαίνουμε την ύπαρξη της ροπής από το ότι μετά από τυχόν θραύση το δεξιό τμήμα περιστρέφεται πριν πέσει) γ) Όταν η δοκός έχει δύο στηρίξεις, τότε η συνολική δύναμη χωρίζεται σε δύο μέρη, από τα οποία το ένα μεταβιβάζεται στην αριστερή στήριξη και το άλλο στη δεξιά.

2 ν τα φορτία διατομής ξεπεράσουν τα όρια αντοχής του σώματος, τότε το σώμα παθαίνει μηχανική βλάβη (π.χ. πλαστική παραμόρφωση ή θραύση). Επομένως ο υπολογισμός των φορτίων διατομής είναι το απαραίτητο πρώτο βήμα σε κάθε υπολογισμό αντοχής. 9.2Θεμελιώδεις ιδιότητες και η μέθοδος των τομών ια να υπολογίσουμε τα φορτία που υπάρχουν στο εσωτερικό του σώματος, σε κάποιο σημείο Κ που μας ενδιαφέρει, φανταζόμαστε ότι κόβουμε το σώμα σ' εκείνο το σημείο (στο Κ) και το χωρίζουμε σε δύο τμήματα. α) Κ β) A γ) Κ αρ Κ δεξ Κ δεξ Συνέχεια του υλικού αριστερά του Κ Σχήμα 9.2 Δοκός και εφαρμογή τομής α) Η αρχική δοκός β) Χωρισμός της δοκού σε τμήματα γ) Στην πραγματικότητα, το υλικό της δοκού συνεχίζεται και αριστερά από το Κ. Η συνέχεια του υλικού αποτελεί μια στήριξη για το Κ, και συγκεκριμένα μία πάκτωση. Ισχύουν οι ιδιότητες: α) Ισορροπία συνόλου και κάθε τμήματος ξεχωριστά Όπως ισορροπεί ολόκληρη η δοκός κάτω από την επίδραση της εξωτερικής δύναμης και των φορτίων της πάκτωσης (βλ. σχ. 9.2α), όμοια πρέπει να ισορροπούν: - το δεξιό τμήμα του σώματος (τμήμα Κ, βλ. σχ. 9.2β) κάτω από την επίδραση της και των δυνάμεων που ενεργούν στο εσωτερικό της τομής, στο σημείο Κ δεξ - το αριστερό τμήμα του σώματος (τμήμα Κ, βλ. σχ. 9.2β) κάτω από την επίδραση των Ay, A και των δυνάμεων που ενεργούν στο εσωτερικό της τομής, στο σημείο Κ αρ β) Ισοδυναμία της τομής με πάκτωση Στο σημείο Κ δεξ ενεργούν εκείνα τα φορτία που θα προέκυπταν αν το τμήμα Κ στηριζόταν στο Κ με πάκτωση (βλ. σχ. 9.2γ).

3 ποδεικνύεται λοιπόν ότι στις δύο όχθες της τομής Κ δεξ, Κ αρ ενεργούν τα φορτία που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα (ίδια με τα φορτία της πάκτωσης τους έχουμε δώσει όμως τα ονόματα N,, και N', ', ' αντίστοιχα). A K αρ ' ' K δεξ ' Σχήμα 9.3 Τμήματα της δοκού και τα φορτία στις δύο όχθες της τομής Ισχύουν επιπλέον οι ιδιότητες γ) λληλεπίδραση των δύο τμημάτων του σώματος: Τα φορτία N,, δεν ενεργούν αυτόνομα στο εσωτερικό του σώματος, αλλά εκφράζουν την αλληλεπίδραση ανάμεσα στα δύο τμήματα του σώματος: Το αριστερό τμήμα Κ ασκεί στο δεξιό τμήμα Κ τα φορτία,,, ενώ το δεξιό στο αριστερό τα N', ', '. δ) ξίωμα δράσης αντίδρασης: Πρέπει να επαληθεύεται το αξίωμα δράσης αντίδρασης, άρα πρέπει οι, ' να έχουν ίσα μεγέθη και αντίθετες φορές, ομοίως οι, ' και οι Μ, Μ'. (ια το λόγο αυτό, στη θέση των N', ', ' χρησιμοποιούμε τα σύμβολα N,,, ώστε να εξασφαλίζεται αυτόματα η ισότητα των αριθμητικών τιμών). 9.3 Συμβάσεις θετικής φοράς Όταν θέλουμε να υπολογίσουμε τα φορτία διατομής της δοκού, ακολουθούμε μια διαδικασία που αρχίζει με τα εξής βήματα: *1. Επιλέγουμε αυθαίρετα μία από τις δύο πλευρές της δοκού (συνήθως την κάτω πλευρά) ως πλευρά αναφοράς (ή στην επίσημη γλώσσα ίνα αναφοράς ). Τοποθετούμε μία διακεκομμένη γραμμή για να θυμόμαστε ποια είναι η ίνα αναφοράς. *2. Κόβουμε το δοκάρι, ξανασχεδιάζουμε το ένα μόνο από τα δύο τμήματά του, και τοποθετούμε στην τομή τα φορτία διατομής ως εξής: - μία δύναμη παράλληλη με το μήκος του δοκαριού, που την ονομάζουμε N, και την τοποθετούμε έτσι ώστε να κατευθύνεται προς τα έξω, να είναι δηλαδή εφελκυστική για το δοκάρι - μία δύναμη κάθετη στο μήκος της δοκού, που την ονομάζουμε διατμητική δύναμη, την συμβολίζουμε με, και η κατεύθυνσή της προκύπτει αν στρέψουμε

4 την N κατά 90º κατά τη φορά του ωρολογιού - μία ροπή Μ που ονομάζεται καμπτική ροπή, και και την τοποθετούμε στην κατεύθυνση που εφελκύει την ίνα αναφοράς. ν εφαρμόσουμε αυτούς τους κανόνες για τις κατευθύνσεις των N,, στην αριστερή και στη δεξιά όχθη της τομής, τα φορτία της μίας όχθης θα προκύψουν αντίθετης κατεύθυνσης από τα φορτία της άλλης, άρα επαληθεύεται αυτομάτως το αξίωμα δράσης αντίδρασης. Οι παραπάνω κανόνες για τις κατευθύνσεις των N,, ονομάζονται συμβάσεις θετικής φοράς. Δεν επιβάλλονται από τους νόμους της φυσικής, αντίθετα καθιερώνονται με μία αυθαίρετη συμφωνία που έκαναν μεταξύ τους οι μηχανικοί για να τυποποιήσουν την εργασία τους. Η τροποποίησή τους επιτρέπεται μόνο εάν δεν παραβιάζεται το αξίωμα δράσης αντίδρασης. Όταν η πραγματική κατεύθυνση του, του ή του Μ είναι αντίθετη από αυτή που προκύπτει από τις συμβάσεις θετικής φοράς, η αριθμητική τιμή του φορτίου θα προκύψει αρνητική. Στην περίπτωση αυτή δεν διορθώνουμε τα σχήματα, και παρουσιάζουμε τα τελικά αποτελέσματα με τα αρνητικά πρόσημα που προέκυψαν.

5 9.4 Παραδείγματα υπολογισμού φορτίων διατομής Φορτία διατομής σε χαρακτηριστικά σημεία Στη δοκό του σχήματος 9.4, να βρεθούν τα φορτία διατομής στα παρακάτω σημεία: α) στα, ' (λίγο αριστερά και λίγο δεξιά του σημείου εφαρμογής της ), β) στα Δ,Ε γ) στα άκρα,. Λύση: Υπολογίζουμε τα φορτία των στηρίξεων (βλ. σχ. 9.5): = cosθ = 1414 * cos45 = 1000 N (9-1) y = sinθ = 1414 N * sin45 = 1000 Σ = 0 => A = = 1000 N (9-2α) ΣΜ = 0 => α => By = y = 300 N (9-2β) αβ Σy = 0 => Ay = y By = 700 N (9-2γ) Επιλέγουμε τη θέση της ίνας αναφοράς από κάτω. ια να βρούμε τα φορτία διατομής,, στο σημείο, φανταζόμαστε τη δοκό κομμένη στο και ξανασχεδιάζουμε μόνο ένα από τα δύο τμήματά της (έστω το αρι-στερό τμήμα ). Τοποθετούμε στο σχήμα όλες τις αποστάσεις και τα φορτία που δέχεται το. Παρατηρούμε ότι στο σχήμα υπάρχουν τρία άγνωστα φορτία, τα,, Μ, που μπορούν να υπολογισθούν από τις εξισώσεις ισορροπίας. Σ = 0 => N = A = 1000N Σ y = 0 => = Ay = 700N (9-3α) (9-3β) Σχήμα 9.5 Δ α θ θ ' Σχ. 9.4 μφιέρειστη δοκός (Δίδονται: =1414 N θ=45º α=0,3m β=0,7m) y β Ε α/2 β/2 B y ΣΜ = 0 => => Ay * 0,3m = 0 => => = Ay * 0,3m = = 700N * 0,3m = 210Nm (9-3γ) Σχήμα 9.6 0,3m

6 Υπάρχει ένα μικρό πλεονέκτημα στον υπολογισμό αν ως κέντρο των ροπών διαλέξουμε το σημείο της τομής (εδώ το ): δεν εμφανίζονται στην εξίσωση των ροπών οι άλλοι άγνωστοι, ). ν εξετάζαμε το τμήμα δεξιά της τομής (δηλ. Το '), θα εμφανίζονταν στο σχήμα και οι δυνάμεις και y (που στο αριστερό τμήμα δεν εμφανίστηκαν) και τα αποτελέσματα θα προέκυπταν ως εξής: Σ = 0 => N = = 1000N (9-4α) y Σy = 0 => By = 0 => => = - By =... = 700N (9-4β) ΣΜ = 0 => Μ By * 0,7m = 0 => => = By * 0,7m = 300N* 0,7m = 210Nm (9-4γ) Σχήμα 9.7 0,7m B y (Η y δεν εμφανίσθηκε στην εξίσωση των ροπών επειδή η απόστασή της από το κέντρο των ροπών είναι απειροστή, πρακτικά ίση με το μηδέν). Συγκρίνοντας τις σχέσεις (9-3) και (9-4) παρατηρούμε ότι: Όταν τα αποτελέσματα εκφρασθούν με γράμματα, οι εκφράσεις προκύπτουν διαφορετικές (π.χ. Μ = y * 0,3m στη σχέση (9-3γ), ενώ Μ = y * 0,7m στη σχέση (9-4γ)). Όταν όμως υπολογισθούν οι αριθμητικές τιμές, αυτές προκύπτουν ίδιες (Μ = 210Nm) και στις δύο περιπτώσεις. ενικά ισχύει ο κανόνας: Όταν τα φορτία στήριξης της δοκού (εδώ τα A, Ay, By) έχουν υπολογισθεί σωστά, τότε τα φορτία διατομής N,, προκύπτουν ίδια είτε υπολογισθούν από την ισορροπία του αριστερού τμήματος της δοκού είτε του δεξιού. (Το αριστερό και το δεξιό τμήμα πρέπει να έχουν προκύψει από την ίδια τομή. Στην περίπτωσή μας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα της ισορροπίας του Δ με εκείνα της ισορροπίας του 'Ε (προέκυψαν και τα δύο από τομή στο ). ν το δεξιό τμήμα είχε προκύψει από τομή στο ' (τμήμα 'Ε), τα αποτελέσματα θα ήταν διαφορετικά). ια τα φορτία διατομής στο ', το σχήμα είναι το 9.8 και οι υπολογισμοί έχουν ως εξής: Σ = 0 => N A = 0 => => N = A = 0 Σy = 0 => Ay y = 0 => => = Ay y = = 700N 1000N = -300N Σ' = 0 => y * 0,3m = 0 => => = Ay * 0,3m = 700N * 0,3m =210Nm 0,3m Σχήμα 9.8 y '

7 ια τα φορτία διατομής στο Δ, το σχήμα είναι το 9.9 και οι υπολογισμοί έχουν ως εξής: Σ = 0 => N = A = 1000N Σy = 0 => = Ay = 700N ΣΜΔ = 0 => y * 0,15m = 0 => => = A * 0,15m = 700N * 0,15m = = 105Nm Δ 0,15m Σχήμα 9.9 ια να βρούμε τα φορτία διατομής στο Ε θα εξετάσουμε το τμήμα της δοκού δεξιά του Ε, επειδή δέχεται λιγότερες δυνάμεις από ότι το αριστερό τμήμα Ε. Το σχήμα είναι το 9.10 και οι υπολογισμοί έχουν ως εξής: Σ = 0 => N = 0 Σy = 0 => By = 0 => => = By = 300N ΣΜΕ = 0 => Μ y = 0,35m = 0 => = 300N * 0,35m = 105Nm Ε B y 0,35m Σχήμα 9.10 ια να βρούμε τα φορτία διατομής στο, φανταζόμαστε ότι κόβουμε το δοκάρι σε μικρή απόσταση δεξιά του και εξετάζουμε ένα τμήμα του με απειροστό μήκος d. Οι ροπές υπολογίζονται ως προς το σημείο τομής ' Σ= 0 => N = A = 1000N Σy = 0 => = Ay = 700N ΣΜ' = 0 => Ay d = 0 => = Ay d Eπειδή d 0 άρα δεχόμαστε ότι στο σημείο ' ισχύει : Μ = y * 0 = 0 ' d Σχήμα 9.11α Όμοια για το σημείο ισχύει Σ = 0 => N = 0 Σy = 0 => = By = 300N ΣΜ' = 0 => Μ y d = 0 => = By d By * 0 = 0 Σχήμα 9.11β d ' B y

8 Παρατηρούμε ότι σε διάφορες θέσεις κατά μήκος του δοκαριού προκύπτουν διαφορετικά αποτελέσματά για τα φορτία διατομής (λέμε ότι τα φορτία διατομής N,, μεταβάλλονται κατά μήκος της δοκού) Φορτία διατομής σε ολόκληρο το μήκος της δοκού, και διαγράμματα ια το δοκάρι του σχήματος 9.12, να βρεθούν τα διαγράμματα φορτίων διατομής σε ολόκληρο το y μήκος του. Λύση : Το δοκάρι που εξετάζουμε είναι ισοδύναμο με εκείνο του σχ Άρα οι δυνάμεις στήριξης θα προκύψουν όσες ακριβώς και στο σχ. 9.5: =1000N, Ay=700N, By=300N. Σχεδιάζουμε το διάγραμμα ελευθέρου σώματος του δοκαριού (σχ. 9.13), στο οποίο τοποθετούμε την ίνα αναφοράς από κάτω. Θα εξετάσουμε αρχικά μία τομή του δοκαριού σε τυχόν σημείο Κ που βρίσκεται ανάμεσα στα και. Η έκφραση τυχόν σημείο σημαίνει μεταβλητό σημείο δηλαδή ότι μπορούμε να αλλάξουμε την θέση του μετακινώντας το προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά. Ονομάζουμε την απόσταση του Κ από κάποιο σταθερό σημείο, εδώ από το. (Μαθηματικές παρατηρήσεις: - Το δεν είναι άγνωστος κάποιας εξίσωσης αλλά μεταβλητή. - Οι τιμές που μπορούμε να δώσουμε στη μεταβλητή προσδιορίζονται ως εξής: Στην αριστερή ακραία θέση του Κ (όταν Κ ) θα ισχύει = 0, ενώ στη δεξιά θέση (όταν Κ ) θα ισχύει = 0,3m. Άρα το διάστημα μεταβολής του θα είναι 0 < < 0,3m ) Εξετάζουμε το αριστερό τμήμα του δοκαριού Κ και παίρνουμε Σ = 0 => = A = 1000N Σy = 0 => = Ay = 700N ΣΜ Κ = 0 => Ay = 0 => => = Ay = 700N * Σχ μφιέρειστη δοκός (Δίδονται: =1000 N y =1000 N α=0,3m β=0,7m) Σχ Σχήμα 9.14 α Κ K y β B y

9 Παρατηρούμε ότι το είναι σταθερό και ίσο με 1000 ανεξάρτητα από τη θέση του Κ κατα μήκος του A, και όμοια το σταθερό και ίσο με 700. Η ροπή Μ, αντίθετα εξαρτάται από τη θέση του Κ κατά μήκος του. Το αποτέλεσμα για τη ροπή Μ εκφράζεται όχι με μορφή αριθμού αλλά με τον τύπο Μ = y. Τα αποτελέσματα λοιπόν γράφονται σωστότερα με την μορφή = 1000 (σταθερή συνάρτηση) για 0 < < 0,3m = 700N (σταθερή συνάρτηση) για 0 < < 0,3m = Ay => = 700N * για 0 < < 0,3m (9-5α) (9-5β) (9-5γ) Οι ακραίες τιμές της Μ θα είναι: - Στο σημείο ισχύει =0, άρα Μ = 0 (9-6α) (όπως βρέθηκε και νωρίτερα, βλ. σχ. 9.11) - Στο σημείο ισχύει =0,3m άρα Μ = 700 * 0,3m = 210 Nm (9-6β) (όπως βρέθηκε και νωρίτερα, βλ. σχ. 9.6). ια να υπολογίσουμε τα φορτία διατομής,, που ισχύουν στην περιοχή της δοκού, φανταζόμαστε τη δοκό κομμένη σε ένα άλλο τυχόν σημείο Λ το οποίο βρίσκεται μεταξύ και. ν διαλέξουμε να ονομάσουμε την απόσταση Λ, και αν εξετάσουμε το αριστερό τμήμα του δοκαριού Λ, προκύπτει το παρακάτω σχήμα Σημειώνουμε στο σχήμα ότι η απόσταση Λ (που επίσης θα χρειαστεί) είναι 0,3m Σχήμα 9.15 y Λ B y κραίες τιμές του : ια Λ προκύπτει = 0,3m ενώ για Λ προκύπτει = 1m Οι τιμές των N,, είναι: Σ = 0 => A = 0 => => N = A = 0 Σy = 0 => Ay y = 0 => => = Ay y = = 700N 1000N = 300N ΣΜΛ = 0 => Ay y ( 0,3m) Μ = 0 => => Μ = y y ( 0,3m) = = 700 * 1000N * ( 0,3m) y Σχήμα 9.16 Λ -0,3m Τα αποτελέσματα γράφονται και στη μορφή = 0 (σταθερή συνάρτηση) για 0,3m < < 1m (9-7α) = 300N (σταθερή συνάρτηση) για 0,3m < < 1m (9-7β) Μ = y ( 0,3m) = 700 * 1000N * ( 0,3m) για 0,3m< <1m (9-7γ)

10 Οι ακραίες τιμές της Μ θα είναι - Στο σημειο ισχύει =0,3m, άρα Μ = 700 * 0,3m 1000N * 0 = 210Nm (9-8α) - Στο σημειο B ισχύει = 1m, άρα Μ = 700 * 1m 1000N * (1m 0,3m) = 700Nm 700Nm = 0 (9-8β) Εάν συνοψίσουμε τις σχέσεις (9-5) και (9-7) σε γραφική παράσταση, παίρνουμε τα διαγράμματα φορτίων διατομής που φαίνονται στο παρακάτω σχ y Παρατηρήσεις στα διαγράμματα: - νωρίζουμε ήδη από τα μαθηματικά ότι η γραφική παράσταση οποιασδήποτε σταθερής συνάρτησης είναι μια οριζόντια ευθεία. ια το λόγο αυτό, οι γραφικές παραστάσεις των, είναι οριζόντιες ευθείες. - Η ροπή Μ εκφράζεται με δύο διαφορετικά μεταξύ τους πολυώνυμα πρώτου βαθμού, με ανεξάρτητη μεταβλητή την απόσταση. (βλέπε σχέσεις (9-5γ), (9-7γ)). Όπως γνωρίζουμε από τα μαθηματικά, οι γραφικές τους παραστάσεις θα είναι ευθείες με κλίση. νωρίζουμε ήδη δύο σημεία της κάθε ευθείας, αφού έχουμε υπολογίσει τις ακραίες τιμές της ροπής: Δύο σημεία της ευθείας Μ=Ay είναι τα (,) = (0, 0) και (,) = (0,3m, 210Nm) (βλ. σχέσεις (9-6)). Τοποθετούμε τα σημεία στο διάγραμμα και Σχήμα 9.17 Διαγράμματα φορτίων διατομής αμφιέρειστης δοκού χαράζουμε την ευθεία που ενώνει (ευθεία Δ στο σχ. 9.17γ, που είναι η γραφική παράσταση της Μ=Ay ). Όμοια, δύο σημεία της ευθείας Μ = y ( 0,3m) είναι τα (, ) = (0,3m, 210Nm) και (, ) = (1m, 0) (βλ. σχέσεις 9.8) και η γραφική της παράσταση είναι η ευθεία Δ στο σχ. 9.17γ. - Στη γραφική παράσταση της καμπτικής ροπής εφαρμόστηκε ένα ζευγάρι συμβάσεων που συνήθως τις υιοθετούν οι μηχανικοί : α)η ίνα αναφοράς τέθηκε από κάτω και β) τα θετικά της καμπτικής ροπής τέθηκαν επίσης προς τα κάτω. Με τον τρόπο αυτό, το διάγραμμα καμπτικών ροπών μοιάζει με το σχήμα που θα πάρει η δοκός όταν παραμορφωθεί ελαστικά υπό την επίδραση των δυνάμεων που την φορτίζουν. - Στο σημείο η διατμητική δύναμη αλλάζει απότομα από 700 σε 300. υτή η μεταβολή λέγεται άλμα της διατμητικής δύναμης και είναι ίση με την εξωτερική (α) (β) =0 N=1000N =700N =0,3m N=0 = 300N =1m (γ) Δ μεγ = 210 Nm N

11 δύναμη που ενεργεί πάνω στο δοκάρι, κάθετα προς το μήκος του, στο σημείο του άλματος. Όμοια η έχει άλμα από 1000 σε 0 στο σημείο. Το άλμα είναι ίσο με την εξωτερική αξονική δύναμη. Στο σημείο του άλματος της, υπάρχει απότομη αλλαγή στην κλίση της καμπτικής ροπής Μ (βλ. σημείο Δ στο σχ. 9.17). Λέμε ότι η Μ παρουσιάζει γόνατο στο σημείο Διαγράμματα φορτίων διατομής σε πρόβολο Στον πρόβολο του σχήματος 9.18 να υπολογισθούν τα διαγράμματα των φορτίων διατομής. Λύση : Τοποθετούμε την ίνα αναφοράς από κάτω. Κόβουμε στο Κ, παίρνουμε το τμήμα Κ που δεν περιέχει την πάκτωση, και προκύπτει: Σ = 0 => N = 0 Σy = 0 => = = 1000N (9-9α) (9-9β) l Σχ Πρόβολος (Δίδονται: =1000N l=0,7m) K ΣΜΚ = 0 =>Μ = 0 => => = (9-9γ) Οι ακραίες τιμές της Μ θα είναι: - Στο σημείο B ισχύει =0, άρα Μ = 0 - Στο σημείο ισχύει =0,7m άρα Μ = l = 1000N * 0,7m = 700Nm Παρατηρούμε ότι τα παραπάνω βρέθηκαν χωρίς να χρειαστεί να υπολογίσουμε τα φορτία στήριξης στην πάκτωση. Σχήμα 9.19 K Άλλη λύση: ν διαλέγαμε να εξετάσουμε το τμήμα Κ που περιέχει την πάκτωση, η συνολική λύση (αρκετά δυσκολότερη) θα ήταν: ρίσκουμε τα φορτία στήριξης στην πάκτωση: A Σ = 0 => = 0 A Σy = 0 => Ay = =1000N y ΣΜ = 0 => l = 0 => Σχήμα 9.20 => Μ = l = 1000N * 0,7m = 700 Nm l

12 Τοποθετούμε την ίνα αναφοράς από κάτω, κόβουμε στο Κ, ονομάζουμε αυτή τη φορά την απόσταση Κ με το γράμμα (ακραίες τιμές: =0 για το και =l=0,7m για το ) και έχουμε: A K Σ = 0 => = = 0 Σy = 0 => = Ay = 1000N ΣΜΚ= 0 => Μ y = 0 => => = Ay = 1000N * 700Nm Σχήμα 9.21 Οι ακραίες τιμές της Μ θα είναι - Στο σημειο A ισχύει =0, άρα Μ = Μ = 700m - Στο σημειο B ισχύει =0,7m, άρα Μ = Ay l = 1000 * 0,7m 700 Nm = ( )Nm = 0 Παρατηρούμε ότι προκύπτουν ίδια αποτελέσματα, με αρκετά περισσότερες όμως πράξεις. Επομένως: Όταν υπολογίζουμε τα φορτία διατομής πακτωμένης δοκού, είναι προτιμότερο, αφού κόψουμε τη δοκό, να εξετάσουμε το τμήμα της που ΔΕ περιέχει την πάκτωση. Τα διαγράμματα των φορτίων διατομής (δηλ. οι γραφικές παραστάσεις των σχέσεων (9-9)) δίνονται στο διπλανό σχήμα (Τέθηκαν τιμές του σύμφωνα με τη σημασία που έχει το στο σχ ν βασισθούν τα διαγράμματα στο σχ. 9.21, θα αλλάξουν μόνο οι τιμές του, ενώ η μορφή των διαγραμμάτων θα παραμείνει αναλλοίωτη.) =0,7m N=0 =0 N =700N μεγ = 700 Nm Σχήμα 9.22 Διαγράμματα φορτίων διατομής προβόλου

13 9.4.4 Διαγράμματα φορτίων διατομής σε δοκάρι με πολλές δυνάμεις α βρεθούν τα διαγράμματα φορτίων διατομής στο δοκάρι του σχ. 9.23, αν ισχύει: 1=1414 N θ=45º 2=700 N α=0,3m β=0,7m γ=0,25m 1 θ Δ 2 Λύση: Υπολογίζουμε τα φορτία των στηρίξεων (βλ. σχ. 9.24): = cosθ = 1414 N * cos45º = 1000N y = sinθ = 1414 * sin45º = 1000N Σ = 0 => A = = 1000 N ΣΜ A = 0 => => y * 0,3m 2 * 0,75m By * 1m = 0 => By =... = 825 Σy = 0 => Ay = y 2 By = 875 N α Σχ Κ Κ y θ γ β 2 Δ Λ Ρ B y Επιλέγουμε την θέση της ίνας αναφοράς από κάτω. Λ Ρ Κόβουμε σε τυχόν σημείο Κ στην περιοχή. Εξετάζουμε το αριστερό τμήμα του δοκαριού Κ και παίρνουμε Σ = 0 => = A = 1000N (9-10α) Σy = 0 => = Ay = 875N (9-10β) ΣΜ Κ = 0 => Ay K = 0 => => = Ay K = 875N * K (9-10γ) όπου 0 < K < 0,3m Οι ακραίες τιμές της Μ θα είναι: - Σημείο : K=0, άρα Μ = 0 (9-11α) - Σημείο : Κ=0,3m άρα Μ = 875 * 0,3m = = 262,5 Nm (9-11β) Σχ K Κ Σχ. 9.25α y Κόβουμε επίσης σε τυχόν σημείο Λ στην περιοχή Δ. Εξετάζουμε το αριστερό τμήμα του δοκαριού Λ και παίρνουμε Σ = 0 => = A = 0 (9-12α) Σy = 0 => = Ay y = 125N (9-12β) Λ Λ 0,3m ΣΜ Λ = 0 => Ay Λ y (Λ 0,3m) = 0 Λ Σχ. 9.25β

14 => = Ay Λ y (Λ 0,3m) = 875N * Λ 1000N (Λ 0,3m) (9-12γ) όπου 0,3m < Λ < 0,75m Οι ακραίες τιμές της Μ θα είναι: - Σημείο : Λ=0,3m άρα Μ = 875 * 0,3m 0 = 262,5 Nm (9-13α) - Σημείο Δ: Λ=0,75m άρα Μ = 875N*0,75m 1000N (0,75m 0,3m) = 206,25 Nm (9-13β) Σημείωση: Στο παραπάνω σχήμα 9.26 πρέπει να εξετάσουμε το τμήμα Λ που περιλαμβάνεται ανάμεσα στην τομή Λ και στο άκρο της αρχικής δοκού. (Περιέχει όλες τις περιοχές αριστερά του Λ (εδώ την και την Λ), και όχι μόνο την τελευταία (εδώ την Λ)). Παραλλαγή των υπολογισμών για την περιοχή : Εάν επιλέγαμε να εξετάσουμε το τμήμα Λ (για την ακρίβεια το αρ Λ), το σχήμα θα έπρεπε να είναι όπως το σχ Δεν πρέπει να απουσιάζουν τα N', ', ' από την αριστερή τομή αρ. Οι υπολογισμοί πρέπει να γίνουν ως εξής: - Επειδή το σημείο αρ βρίσκεται στην περιοχή, άρα βασιζόμαστε στα αποτελέσματα ' y που βρήκαμε στο σχ. 9.25α για να προσδιορίσουμε τα N', ', ': ' ' = 1000N αρ Λ ' ' = 875N Λ 0,3m ' = 875N * 0,3m = 262,5 Nm (όπου τέθηκε K = 0,3m ώστε το Κ του σχ. Σχ α να πέσει επάνω στο σημείο αρ ). - πό τις εξισώσεις ισορροπίας του τμήματος αρ Λ υπολογίζουμε τα φορτία διατομής N,, στο σημείο Λ: Σ = 0 => = ' = 0 Σy = 0 => = ' y = 125N ΣΜ Λ = 0 => (' y)(λ 0,3m) ' = 0 => => = ' (' y)(λ 0,3m) = 262,5 Nm ( 125 N) * (Λ 0,3m) - Οι ακραίες τιμές της Μ θα είναι: Σημείο : Λ=0,3m άρα Μ = 262,5 Nm 0 = 262,5 Nm Σημείο Δ: Λ=0,75m άρα Μ = 262,5 Nm 125N (0,75m 0,3m) = 206,25 Nm Παρατηρούμε ότι οι τιμές των N,, που βρέθηκαν από υπολογισμούς στο σχ είναι ίδιες με αυτές που βρέθηκαν στο σχ. 9.25, άρα οι δύο τρόποι είναι ισοδύναμοι. Όμως οι υπολογισμοί στο σχ (πρώτος τρόπος) παρακάμπτουν την ανάγκη να βρεθούν οι τιμές των N', ', ', και γι' αυτό είναι προτιμότεροι. πομένει να υπολογίσουμε τα φορτία διατομής σε σημείο Ρ της περιοχής Δ. Στην περίπτωση αυτή βολεύει να εξετασθεί η ισορροπία του δεξιού τμήματος της δοκού Ρ, γιατί αυτό έχει λιγότερες δυνάμεις. Στην απόσταση Ρ δίνουμε νέο όνομα '. Το διάστημα μεταβολής της είναι από

15 '=0 (για Ρ ) έως '=0,25m (για Ρ Δ). πό τις εξισώσεις ισορροπίας του τμήματος Ρ παίρνουμε: Σ = 0 => N = 0 (9-14α) Ρ Σy = 0 => By = 0 => => = By = 825N (9-14β) B y ΣΜE = 0 => Μ y ' = 0 => => Μ = y ' = 825N * ' (9-14γ) Σχ ' Οι ακραίες τιμές της Μ θα είναι: - Σημείο B: '=0 άρα Μ = 0 (9-15α) - Σημείο : '=0,25m άρα Μ = 825 * 0,25m = 206,25 Nm (9-15β) Η σχεδίαση των διαγραμμάτων φορτίων διατομής αυτής της δοκού αφήνεται στον αναγνώστη ως άσκηση Μεταβολή των φορτίων διατομής κατά μήκος της δοκού και φόρτιση με κατανεμημένο φορτίο Στα παραδείγματα που εξετάσθηκαν μέχρι τώρα επιβεβαιώνεται ένας κανόνας που λέει ότι: Όταν ένα δοκάρι φορτίζεται μόνο με μεμονωμένες δυνάμεις, χωρίς να ενεργούν επάνω του κατανεμημένα φορτία (δηλ. όταν q=0), τότε σε κάθε περιοχή του δοκαριού η εφεκλυστική και η διατμητική δύναμη είναι σταθερές (δηλ., = πολυώνυμα μηδενικού βαθμού) ενώ η καμπτική ροπή Μ μεταβάλλεται ως πολυώνυμο πρώτου βαθμού (διαφορετικό πολυώνυμο για κάθε περιοχή του δοκαριού). (Στα παραπάνω εννοείται ότι οι περιοχές διαχωρίζονται η μία από την άλλη στα σημεία όπου ενεργούν πάνω στο δοκάρι οι μεμονωμένες δυνάμεις). Σ' αυτή την παράγραφο θα δούμε ένα παράδειγμα που ανήκει σε διαφορετική περίπτωση, και επαληθεύει τον κανόνα: Όταν μία περιοχή ενός δοκαριού φορτίζεται με ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο (δηλ. όταν q=πολυώνυμο μηδενικού βαθμού και q 0), τότε σ' αυτή την περιοχή η διατμητική δύναμη μεταβάλλεται ως πολυώνυμο πρώτου βαθμού, ενώ η καμπτική ροπή Μ ως πολυώνυμο δευτέρου βαθμού. q = 600 N/m Παράδειγμα: α βρεθούν τα διαγράμματα φορτίων διατομής στο δοκάρι του σχ Λύση: Υπολογίζουμε τα φορτία των στηρίξεων (βλ. σχ. 9.29): K l=3m Σχ μφιέρειστη δοκός με ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο

16 R = q l = 600 N/m * 3m = 1800N Σ = 0 => A = 0 ΣΜ A = 0 => R * l/2 By * l = 0 => => By = R/2 = 900 Σy = 0 => Ay = R By = 900 N R Επιλέγουμε την θέση της ίνας αναφοράς από κάτω. Κόβουμε το δοκάρι σε τυχόν σημείο Κ (βλ. σχ για τη θέση της τομής). Εξετάζουμε το αριστερό τμήμα του δοκαριού Κ, που ξανασχεδιάσθηκε στο σχ. 9.30α. Στα σχ. 9.30α, 9.30β δεν σχεδιάσθηκε η δύναμη A, διότι είναι μηδενική. Μετατρέπουμε το σχ. 9.30α στο 9.30β (το μέρος του κατανεμημένου φορτίου (α) που πρόλαβε να πατήσει στο αριστερό Σχ τμήμα της δοκού Κ είναι ίσο με q (β) και αντικαθίσταται από μία δύναμη στο μέσον του Κ). πό τις εξισώσεις ισορροπίας στο σχ. 9.30β παίρνουμε Σ = 0 => = 0 (9-16α) Σy = 0 => = Ay q = 900N 600 N/m* (9-16β) ΣΜ Κ = 0 => Ay (q )*(/2) = 0 => => = Ay (q )*(/2) =... = 900N* 300N/m*² (9-16γ) Οι χαρακτηριστικές τιμές της θα είναι: - Σημείο : =0, άρα = 900N 0 = 900N (9-17α) - Σημείο Μ (μέσον της δοκού): =1,5m άρα = N/m*1,5m = 0 (9-17β) - Σημείο : =3m, άρα = N/m*3m = 900N (9-17γ) Επομένως στο σημείο Μ (μέσον της δοκού) είναι ενδεχόμενο να εμφανισθεί η μέγιστη καμπτική ροπή, επειδή γενικά ισχύει: Η μέγιστη καμπτική ροπή μπορεί να εμφανισθεί είτε σε ένα από τα δύο άκρα της περιοχής του δοκαριού που εξετάζουμε, είτε σε εσωτερικό σημείο της περιοχής, στο οποίο μηδενίζεται η διατμητική δύναμη. Oι χαρακτηριστικές τιμές της Μ θα είναι: - Σημείο : =0, άρα Μ = 0 (9-18α) - Σημείο Μ (μέσον της δοκού): =1,5m άρα Μ = 900*1,5m 300N/m*1,5²m² δηλ. = 675Nm (9-18β) - Σημείο : =3m, άρα Μ = 900*3m 300N/m*3²m² = 0 (9-18γ) Παρατηρούμε ότι η μέγιστη καμπτική ροπή εμφανίζεται στο μέσον Μ της δοκού. Σχ q K l/2 q K /2 B y

17 Τα διαγράμματα φορτίων διατομής του δοκαριού δίνονται στο διπλανό σχήμα (σχ. 9.31). q =0 N=0 =3m N =900N = 900N μεγ = 675 Nm Φορείς με άλμα στην καμπτική ροπή Σχ.9.31 Διαγράμματα φορτίων διατομής σε δοκό με ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο Στα μέχρι τώρα παραδείγματα συναντήσαμε περιπτώσεις στις οποίες η καμπτική ροπή Μ (α) μεταβάλλεται κατά συνεχή τρόπο, χωρίς άλματα. Π.χ. στο δοκάρι της παραγ (το ξαναβλέπουμε στο διπλανό σχήμα) είχαμε δεί ότι - το δοκάρι χωρίζεται σε δύο περιοχές, - το σύνορο μεταξύ των δύο περιοχών είναι το (β) Δ σημείο στο οποίο ενεργεί η εξωτερική δύναμη y, (η κατεύθυνσή της είναι κάθετη στο μεγ = 210 Nm Σχ.9.32 Φορέας χωρίς άλμα στην μήκος του δοκαριού) καμπτική ροπή - η καμπτική ροπή υπολογίζεται από τους τύπους (α) στην περιοχή (με 0 < < 0,3m): Μ = 700 * (9-5γ) =0 =0,3m y =1m

18 (β) στην περιοχή (με 0,3m < < 1m): = 700N* 1000N*( 0,3m) (9-7γ) ια την καμπτική ροπή στο σύνορο μεταξύ των δύο περιοχών (σημείο, στο οποίο ισχύει =0,3m) κάνουμε την εξής διερεύνηση: α) ν δεχθούμε ότι το ανήκει στην αριστερή περιοχή, βάζουμε στον τύπο (9-5γ) την τιμή =0,3m και παίρνουμε: Μ αρ = 700 * 0,3m = 210 Nm β) ν δεχθούμε ότι το ανήκει στη δεξιά περιοχή, βάζουμε στον τύπο (9-7γ) την τιμή =0,3m και παίρνουμε: Μ δεξ = 700 * 0,3m 1000 * (0,3m-0,3m) = 700 * 0,3m 0 = 210 Nm Παρατηρούμε ότι σ' αυτό το παράδειγμα ισχύει Μ αρ = Μ δεξ (9-19) Το παραπάνω συμπέρασμα (τύπος (9-19)) ισχύει γενικότερα όταν στο δοκάρι που εξετάζουμε: - ασκούνται μόνο δυνάμεις ή κατανεμημένα φορτία και όχι ροπές - και δεν υπάρχουν διακλαδώσεις. (Εννοείται ότι το σημείο είναι το σύνορο μεταξύ δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών περιοχών). Σ' αυτή την παράγραφο, αντίθετα, θα εξετάσουμε δοκάρια στα οποία δεν ισχύουν οι παραπάνω προϋποθέσεις, και γι' αυτό παρουσιάζουν απότομη μεταβολή της καμπτικής ροπής σε ορισμένα σημεία. Παράδειγμα: Στο σχ παριστάνεται μία άτρακτος (κοινώς άξονας ) με στηρίξεις στα σημεία,. Στην άτρακτο είναι στερεωμένος ένας οδοντοτροχός ΔΕ, που στο σημείο Δ φορτίζεται με τις δυνάμεις y=1000n και =500N. Ζητούνται οι καμπτικές ροπές λίγο αριστερά και λίγο δεξιά του σημείου. Λύση: Τοποθετούμε στο σχήμα τις δυνάμεις στήριξης A, Ay, By καθώς και την ίνα αναφοράς στην κάτω πλευρά του δοκαριού. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις στήριξης: Σ=0 => A = = 500N ΣA = 0 => y*300mm *200mm By*(300mm600mm) = 0 => y*300mm *200mm 1000N*300mm 500N*200mm => By = = => 300mm600mm 900mm => By = 444,4 N Σy = 0 => Ay = y By = 1000N 444,4N = 555,5 N 200 A y Δ Ε Σχ.9.33 Φορέας με άλμα στην καμπτική ροπή (άτρακτος με έκκεντρη αξονική φόρτιση) B B y

19 Κόβουμε το δοκάρι σε μικρή απόσταση αριστερά του σημείου, εξετάζουμε το αριστερό τμήμα της ατράκτου, και παίρνουμε: Σ = 0 => αρ = A = 500N Σy = 0 => αρ αρ = Ay = 555,5N A A αρ ΣΜ Κ = 0 => Ay * 300mm αρ αρ = 0 => => αρ = Ay * 300mm = 555,5N * 300mm = Nmm = 166,6Nm αρ Κατόπιν κόβουμε το δοκάρι σε μικρή απόσταση δεξιά του σημείου, εξετάζουμε το αριστερό τμήμα της ατράκτου, και παίρνουμε: Σ = 0 => δεξ = A = 0 Σy = 0 => δεξ = Ay y = 444,4N ΣΜ Λ = 0 => Ay*300mm r y d δεξ = 0 Επειδή d 0 προκύπτει ότι δεξ Ay*300mm r = = 555,5N*300mm 500*200mm = Nmm = 266,6Nm Παρατηρούμε ότι σ' αυτή την περίπτωση οι καμπτικές ροπές αρ, δεξ διαφέρουν μεταξύ τους, και η διαφορά τους είναι ίση με τη ροπή της έκκεντρης αξονικής δύναμης ως προς σημείο της μέσης γραμμής του δοκαριού: δεξ αρ = r (9-20) r =200mm (α) (β) A δεξ y Δ δεξ δεξ δεξ Σχήμα 9.34 για υπολογισμό των,, Μ σε θέσεις δεξιά και αριστερά του σημείου d Άλλες περιπτώσεις α) ια το δοκάρι του παρακάτω σχήματος να βρεθεί το διάγραμμα καμπτικής ροπής στην περίπτωση της άμεσης και της έμμεσης φόρτισης. β) ια τις κατασκευές που περιγράφονται στις επόμενες σελίδες, να υπολογισθούν τα φορτία διατομής στις τομές αρ, δεξ, Κ που δίνονται στα σχήματα

20 Έμμεση φόρτιση δοκού 200 Φ Μ 150 C D 500 B=5000 N B/2 B/2 B A D A C D Έμμεση φόρτιση Άμεση φόρτιση

21 1m =1000 N Πλαίσια 2m A Σχήμα 1α Χ 1 Κ Σχήμα 1β Σχήμα 1γ Κ =1000 N 2 A Σχήμα 2α Χ 1 Κ Σχήμα 2β 2 Σχήμα 2γ Κ

22 =1000N, y y A A z Πρόοψη Πλάγια αριστερή όψη, Σχήμα 3α Πλαίσια στον χώρο z Κάτοψη Χ 1 y Κ, Σχήμα 3β 2 y Σχήμα 3γ K z 2 Κ y Σχήμα 3δ

23 Διαγράμματα φορτίων διατομής σε άτρακτο (Δυνάμεις στο χώρο)

Γ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΔΙΑΤΟΜΗΣ (N, Q, M)

Γ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΔΙΑΤΟΜΗΣ (N, Q, M) . ΥΠΟΛΟΙΣΜΟΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΔΙΑΤΟΜΗΣ (N, Q, M). Ορισμοί φορτίσεων μίας δοκού Οι φορτίσεις που μπορεί να εμφανισθούν σ'ένα σώμα είναι ο εφελκυσμός (ή η θλίψη με κίνδυνο λογισμού), η διάτμηση, η κάμψη και η στρέψη.

Διαβάστε περισσότερα

8. ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ. 8.1 Ορισμοί:

8. ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ. 8.1 Ορισμοί: 8. ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Σχ. 8.1 Παραδείγματα δικτυωμάτων 8.1 Ορισμοί: Δικτύωμα θα λέγεται ένας σύνθετος φορέας που όλα τα μέλη του είναι ράβδοι. Παραδείγματα δικτυωμάτων δίνονται στο σχήμα παραπάνω. Πλεονέκτημα

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Σχήμα 2 Παραγόμενη Μονάδες S.I. όνομα σύμβολο Εμβαδό Τετραγωνικό μέτρο m 2 Όγκος Κυβικό μέτρο m 3 Ταχύτητα Μέτρο ανά δευτερόλεπτο m/s Επιτάχυνση Μέτρο ανά δευτ/το στο τετράγωνο m/s 2 Γωνία Ακτίνιο

Διαβάστε περισσότερα

3. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΡΙΞΗΣ

3. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΡΙΞΗΣ 3. ΥΠΟΛΟΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΡΙΞΗΣ 3.1 Ορισμός: Φορέας λέγεται ένα στερεό σώμα που δέχεται δυνάμεις (και θέλουμε τελικά να ελέγξουμε την αντοχή του). Είδη γραμμικών φορέων: ράβδος, δοκός, εύκαμπτος γραμμικός

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις στήριξης και καμπτικές ροπές σε άτρακτο που δέχεται φόρτιση στον χώρο T Ε T Ε. A z. A y

Δυνάμεις στήριξης και καμπτικές ροπές σε άτρακτο που δέχεται φόρτιση στον χώρο T Ε T Ε. A z. A y υνάμεις στήριξης και καμπτικές ροπές σε άτρακτο που δέχεται φόρτιση στον χώρο ίδεται μία άτρακτος ΑΒ που φέρει οδοντοτροχό στη θέση. Στο δεξιό της άκρο είναι συνδεδεμένη με κινητήρα ο οποίος ασκεί στρεπτική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 015 3. Δοκοί (φορτία NQM) Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής με τα διάφορα είδη φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 016 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 017 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ.

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ. Τίτλος Μαθήματος ΤΧΝΟΛΟΙΚΟ ΚΠΙΔΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜ ΚΝΤΡΙΚΗΣ ΜΚΔΟΝΙΣ ΣΧΟΛΗ ΤΧΝΟΛΟΙΚΩΝ ΦΡΜΟΩΝ ΤΜΗΜ ΜΗΧΝΟΛΟΩΝ ΜΗΧΝΙΚΩΝ Τ ΜΗΧΝΙΚΗ Ι ΡΣΤΗΡΙΟ Καθηγητής Δρ. Μοσχίδης Νικόλαος ΣΡΡΣ, ΣΠΤΜΡΙΟΣ 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

2. Επίδραση των δυνάμεων στην περιστροφική κίνηση Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων

2. Επίδραση των δυνάμεων στην περιστροφική κίνηση Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2. Επίδραση των δυνάμεων στην περιστροφική κίνηση Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2.1 Όπως είναι γνωστό, όταν σε κάποιο σώμα ενεργούν δυνάμεις, ένα από τα αποτελέσματά τους μπορεί να είναι να αλλάξει η κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Δ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΑΣΕΩΝ - ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΝΤΟΧΗΣ

Δ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΑΣΕΩΝ - ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΝΤΟΧΗΣ Δ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΑΣΕΩΝ - ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΝΤΟΧΗΣ Δ1. Η φέρουσα διατομή και ο ρόλος της στον υπολογισμό αντοχής Όπως ξέρουμε, το αν θα αντέξει ένα σώμα καθορίζεται όχι μόνο από το φορτίο που επιβάλλουμε αλλά και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016 A2. Δικτυώματα Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 1 Τι είναι ένα δικτύωμα Είναι ένα σύστημα λεπτών,

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ

Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ 4_15580 Δύο σημειακά ηλεκτρικά φορτία Q 1 = μc και Q = 8 μc, συγκρατούνται ακλόνητα πάνω σε οριζόντιο μονωτικό δάπεδο, στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, σε απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Παραμορφώσεις ανομοιόμορφων ράβδων

2.1 Παραμορφώσεις ανομοιόμορφων ράβδων ΑΞΟΝΙΚΗ ΦΟΡΤΙΣΗ 9 Αξονική φόρτιση. Παραμορφώσεις ανομοιόμορφων ράβδων. Ελαστική ράβδος ΑΒ μήκους, Γ B μέτρου ελαστικότητας Ε και / συντελεστή θερμικής διαστολής α, είναι πακτωμένη στα σημεία Α και Β και

Διαβάστε περισσότερα

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η Ανάλυση Ισοστατικών οκών και Πλαισίων Τρίτη,, 21, Τετάρτη,, 22 και Παρασκευή 24 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ.

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ. Τίτλος Μαθήματος ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Καθηγητής Δρ. Μοσχίδης Νικόλαος ΣΕΡΡΕΣ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 202 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ( η περίοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ 1. Δύο ακίνητα σημειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 = - 2 μc και q 2 = + 3 μc, βρίσκονται αντίστοιχα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ 1. Δύο ακίνητα σημειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 = - 2 μc και q 2 = + 3 μc, βρίσκονται αντίστοιχα ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ 1. Δύο ακίνητα σημειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 = - 2 μc και q 2 = + 3 μc, βρίσκονται αντίστοιχα στις θέσεις x 1 = - 3 m και x 2 = + 6 m ενός άξονα x'x, όπως φαίνεται στο παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 2. Δικτυώματα Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να είναι σε θέση ο φοιτητής να μπορεί να ελέγχει την ισο-στατικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Δ (15732) Δύο ακίνητα σημειακά ηλεκτρικά φορτία 2 μc και 3 μc, βρίσκονται αντίστοιχα στις θέσεις 3 m και 6 m ενός άξονα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Δ1) Να υπολογίσετε το δυναμικό του ηλεκτρικού

Διαβάστε περισσότερα

1. Δυνάμεις και ο κανόνας του παραλληλογράμμου

1. Δυνάμεις και ο κανόνας του παραλληλογράμμου 1. Δυνάμεις και ο κανόνας του παραλληλογράμμου Δύναμη είναι μία επίδραση που μπορεί να ασκείται σε ένα σώμα και έχει ως αποτέλεσμα είτε ότι αλλάζει την κινητική κατάσταση του σώματος είτε ότι προκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/ E-mail: gloudos@teiath.gr Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Η εντατική κατάσταση στην οποία βρίσκεται μία δοκός, που υποβάλλεται σε εγκάρσια φόρτιση, λέγεται κάμψη. Αμφιέριστη δοκός Πρόβολος Κατά την καταπόνηση σε κάμψη αναπτύσσονται καμπτικές ροπές, οι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Εισαγωγή Παραμορφώσεις Ισοστατικών Δοκών και Πλαισίων: Δ22-2 Οι κατασκευές, όταν υπόκεινται σε εξωτερική φόρτιση, αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις προηγούμενων εξετάσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις προηγούμενων εξετάσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΚΑΙ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις προηγούμενων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Κ. Β. ΣΠΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής ΕΜΠ Πορεία επίλυσης. Ευρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΣΩΜΑ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΟΛΟΣΩΜΑ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΟΛΟΣΩΜΑ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Διάφοροι τύποι ολόσωμων ισοστατικών πλαισίων Ισορροπία κόμβων ΣF x = 0 N 1 + N 2 cosθ + Q 2 sinθ N 3

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 011 Διδάσκων:, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defned. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 6 Οκτωβρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 6 Οκτωβρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 6 Οκτωβρίου 11 Διδάσκων:, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΚΟΥΝΤΑΣ Δ. ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΣΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης CreatveCommons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Δ2) Να υπολογίσετε την απόσταση ra του σημείου Α από το σημειακό φορτίο Q καθώς και τη τιμή του ηλεκτρικού φορτίου Q. Μονάδες 9

Δ2) Να υπολογίσετε την απόσταση ra του σημείου Α από το σημειακό φορτίο Q καθώς και τη τιμή του ηλεκτρικού φορτίου Q. Μονάδες 9 14345 Ακίνητο σημειακό ηλεκτρικό φορτίο Q δημιουργεί γύρω του ηλεκτροστατικό πεδίο. Σε σημείο Α του πεδίου αυτού, το μέτρο της έντασης είναι N/ και η τιμή του δυναμικού είναι - 6 V. Δ1) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : 8-9-, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :......

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΚΗ 1 ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Παράδειγμα 1.1

ΣΤΑΤΙΚΗ 1 ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Παράδειγμα 1.1 ΣΤΤΙΚΗ 1 ΥΝΜΕΙΣ Στατική είναι ο κλάδος της μηχανικής που μελετά την ισορροπία των σωμάτων. Κατά την μελέτη δεχόμαστε ότι τα σώματα δεν παραμορφώνονται από τις δυνάμεις που ασκούνται σ αυτά. Οι παραμορφώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΙΚΤΥΩΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΜΟΡΦΩΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΙΚΤΥΩΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΜΟΡΦΩΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΙΚΤΥΩΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΜΟΡΦΩΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ Στην Τεχνική Μηχανική Ι μελετώνται επίπεδα δικτυώματα. Τα δικτυώματα είναι φορείς που απαρτίζονται από ευθύγραμμες ράβδους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : --, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :......

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Μέθοδος Cross Η μέθοδος Cross ή μέθοδος κατανομής των ροπών, χρησιμοποιείται για την επίλυση συνεχών δοκών και πλαισίων. Είναι παραλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

5. ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ 5.1 Η

5. ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ 5.1 Η 5. ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ 5. Η έννοια του κέντρου βάρους Έστω ότι ένα σώμα αποτελείται από δύο ή περισσότερα μέρη,... με απλό σχήμα, και ότι τα βάρη των μερών του είναι Β, Β.... Οι δυνάμεις Β, Β... θα ενεργούν

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 30 Ιουνίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 30 Ιουνίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουνίου 11 Διδάσκων:, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (1

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ. Δοκοί, Πλαίσια, Δικτυώματα, Γραμμές Επιρροής και Υπερστατικοί Φορείς

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ. Δοκοί, Πλαίσια, Δικτυώματα, Γραμμές Επιρροής και Υπερστατικοί Φορείς ΤΧΝΟΛΟΙΚΟ ΚΠΑΙΥΤΙΚΟ ΙΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΧΝΟΛΟΙΚΩΝ ΦΑΡΜΟΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής ΑΣΚΗΣΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ οκοί, Πλαίσια, ικτυώματα, ραμμές πιρροής και Υπερστατικοί Φορείς, Ph.D. Μάρτιος 11 Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Ι - Στατική

Μηχανική Ι - Στατική ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μηχανική Ι - Στατική Ενότητα #6: Δικτυώματα (Μέθοδος Κόμβων) Δρ. Κωνσταντίνος Ι. Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ.

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ. Τίτλος Μαθήματος ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Καθηγητής Δρ. Μοσχίδης Νικόλαος ΣΕΡΡΕΣ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ε.3 Λυμένες ασκήσεις με υπολογισμό τάσεων

Ε.3 Λυμένες ασκήσεις με υπολογισμό τάσεων Ε.3 Λυμένες ασκήσεις με υπολογισμό τάσεων Πρόβλημα Ε.1 Να ελεγχθεί αν αντέχουν σε εφελκυσμό οι ράβδοι στα παρακάτω σχήματα. (Έχουν όλες την ίδια εφελκυστική δύναμη Ν=5000Ν αλλά διαφορετικές διατομές. Η

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 Β5. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 24 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 25 Απριλίου, 2010 Ώρα: 11:00-14:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίμιο αποτελείται από οκτώ (8) θέματα. 2) Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα. 3)

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1 1. Πότε τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία; Αναφέρεται παραδείγματα. Στη φυσική πολλές φορές είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τα σώματα χωρίς να λάβουμε υπόψη τις διαστάσεις τους. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2005 ΘΕΜΑ 1

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2005 ΘΕΜΑ 1 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: ΘΕΜΑ 1 Στο φορέα του σχήματος ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγράμματα Μ, Q, N (3.5 μονάδες) β) η κατακόρυφη βύθιση του κόμβου 7 λόγω της φόρτισης και μιας ομοιόμορφης μείωσης της θερμοκρασίας

Διαβάστε περισσότερα

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2 Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 10//10/01 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας 1 Kg βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης 45º. Μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 25/09/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 25/09/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 25/09/6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ Οι αρχαίοι Έλληνες ανακάλυψαν από το 600 π.χ. ότι, το κεχριμπάρι μπορεί να έλκει άλλα αντικείμενα όταν το τρίψουμε με μαλλί.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 5 Ιουνίου 1 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΡΑΠΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

γ. Πόση επιτάχυνση θα έχει το σώμα τη στιγμή που έχει απομάκρυνση 0,3 m;

γ. Πόση επιτάχυνση θα έχει το σώμα τη στιγμή που έχει απομάκρυνση 0,3 m; ΘΕΜΑ Γ 1. Ένα σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση με εξίσωση 0,6 ημ 8 S.I.. α. Να βρείτε την περίοδο και τον αριθμό των ταλαντώσεων που εκτελεί το σώμα σε ένα λεπτό της ώρας. β. Να γράψετε τις εξισώσεις της

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις του κεφαλαίου 3: Είδη φορτίσεων

Λυμένες ασκήσεις του κεφαλαίου 3: Είδη φορτίσεων 1 Λυμένες ασκήσεις του κεφαλαίου 3: Είδη φορτίσεων Πρόβλημα 3.1 Να ελεγχθεί αν αντέχουν σε εφελκυσμό οι ράβδοι στα παρακάτω σχήματα. (Έχουν όλες την ίδια εφελκυστική δύναμη Ν=5000Ν αλλά διαφορετικές διατομές.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΟ ΕΚΠΙΕΥΤΙΚΟ ΙΡΥΜ ΘΗΝΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΩΝ ΕΦΡΜΟΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική Ι 15 Φεβρουαρίου 1 ιδάσκων:, Ph.D. ιάρκεια εξέτασης : ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΤΩΝ ΡΠΤΗ ΕΞΕΤΣΗ (1 η περίοδος χειμερινού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ.

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ. Τίτλος Μαθήματος ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Καθηγητής Δρ. Μοσχίδης Νικόλαος ΣΕΡΡΕΣ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

Πλαστική Κατάρρευση Δοκών

Πλαστική Κατάρρευση Δοκών Πλαστική Κατάρρευση Δοκών ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σταδιακή Μελέτη Πλαστικής Κατάρρευσης o Παράδειγμα 1 (ισοστατικός φορέας) o Παράδειγμα 2 (υπερστατικός φορέας) Αμεταβλητότητα Φορτίου Πλαστικής Κατάρρευσης Προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

4. Σώμα Σ 1 μάζας m 1 =1kg ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία φ=30 ο. Το σώμα Σ 1 είναι δεμένο στην άκρη

4. Σώμα Σ 1 μάζας m 1 =1kg ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία φ=30 ο. Το σώμα Σ 1 είναι δεμένο στην άκρη 1. Δίσκος μάζας Μ=1 Kg είναι στερεωμένος στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=200 N/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο. Πάνω στο δίσκο κάθεται ένα πουλί με μάζα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών 7. Στρέψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών 2015 1 Εισαγωγή Σε προηγούμενα κεφάλαια μελετήσαμε πώς να υπολογίζουμε τις ροπές και τις τάσεις σε δομικά μέλη τα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α A1. Στις ερωτήσεις 1 9 να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση, χωρίς να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΘΕΜΑ Α A1. Στις ερωτήσεις 1 9 να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση, χωρίς να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. ΜΑΘΗΜΑ / Προσανατολισμός / ΤΑΞΗ ΑΡΙΘΜΟΣ ΦΥΛΛΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΤΜΗΜΑ : ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΦΥΣΙΚΗ/ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ( ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ) ΘΕΜΑ Α A1. Στις ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Μηχανών ΙΙ. Α. Ασκήσεις άλυτες. Άσκηση Α.1: Πλήρης υπολογισμός οδοντοτροχών με ευθεία οδόντωση

Στοιχεία Μηχανών ΙΙ. Α. Ασκήσεις άλυτες. Άσκηση Α.1: Πλήρης υπολογισμός οδοντοτροχών με ευθεία οδόντωση Στοιχεία Μηχανών ΙΙ Α. Ασκήσεις άλυτες Άσκηση Α.1: Πλήρης υπολογισμός οδοντοτροχών με ευθεία οδόντωση Περιγραφή της κατασκευής: Σε μία αποθήκη υλικών σιδήρου χρησιμοποιείται μία γερανογέφυρα ανυψωτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON 1 ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON Τι είναι «δύναμη»; Θα πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ότι ο όρος «δύναμη» στη Φυσική έχει αρκετά διαφορετική σημασία από ότι στην καθημερινή γλώσσα. Εκφράσεις όπως «τον χτύπησε με δύναμη»,

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Μέθοδος των υνάμεων (συνέχεια) Παράδειγμα Π8-1 Μέθοδος των υνάμεων: 08-2 Να υπολογιστούν οι αντιδράσεις και να σχεδιαστεί το διάγραμμα ροπών κάθε μέλους του πλαισίου. [ΕΙ σταθερό] Το πλαίσιο στο σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ 2. ΣΤΑΤΙΚΗ Να χαραχθούν τα διαγράμματα [Ν], [Q], [M] στη δοκό του σχήματος: Να χαραχθούν τα διαγράμματα [Ν], [Q], [M] στον φορέα του σχήματος: Ασκήσεις υπολογισμού τάσεων Άσκηση 1 η (Αξονικός εφελκυσμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ *

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ * ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ * 1 η σειρά ΑΣΚΗΣΗ 1 Ζητείται ο έλεγχος σε κάμψη μιάς δοκού ορθογωνικής διατομής 250/600 (δηλ. Πλάτους 250 mm και ύψους 600 mm) για εντατικά μεγέθη: Md = 100 KNm Nd = 12 KN Προσδιορίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙA ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - ΘΕΩΡΙΑ (για τις ασκήσεις βλ. σελ. 3)

ΣΤΟΙΧΕΙA ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - ΘΕΩΡΙΑ (για τις ασκήσεις βλ. σελ. 3) ΣΤΟΙΧΕΙA ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - ΘΕΩΡΙΑ (για τις ασκήσεις βλ. σελ. 3) Η εξεταστέα ύλη για τις περιγραφικές ερωτήσεις (στο πρώτο μέρος της γραπτής εξέτασης) θα είναι η παρακάτω: - Κεφ. 1: Ποια είναι τα δύο πλεονεκτήματα

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Οδηγίες χρήσης του προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων RATe ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ RATe

3.2 Οδηγίες χρήσης του προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων RATe ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ RATe 3.2 Οδηγίες χρήσης του προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων RATe 67 3.2 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ RATe Στις επόμενες σελίδες παρουσιάζεται βήμα-βήμα ο τρόπος με τον οποίο μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ Πτυχιακή Εργασία Θέμα: Στατική Επίλυση Επίπεδων Ισοστατικών Δικτυωμάτων Φοιτητής: Γογοδώνης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1.

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1. ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ 1. Γενικά Με τη δοκιμή κάμψης ελέγχεται η αντοχή σε κάμψη δοκών από διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση τομών Συνήθη σφάλματα και Παραδείγματα. Πότε;

Σχεδίαση τομών Συνήθη σφάλματα και Παραδείγματα. Πότε; Σχεδίαση τομών... Πότε;...Συνήθη σφάλματα και Παραδείγματα Οταν 5 η Διάλεξη οι οψεις Τομές δημιουργουν συγχυση και δεν εμφανιζουν αμεσα το εσωτερικο των αντικειμένων Ι.Ν. ΑΓ. ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ, ΗΠΕΙΡΟΣ Διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΥΛΗ ΓΙΑ ΤΟ 2ο ΤΕΣΤ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

ΥΛΗ ΓΙΑ ΤΟ 2ο ΤΕΣΤ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι ΥΛΗ ΓΙΑ ΤΟ 2ο ΤΕΣΤ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι Το τεστ θα περιλαμβάνει ασκήσεις στα παρακάτω κεφάλαια: Υπολογισμός ελέγχου συγκόλλησης Υπολογισμός μελέτης δοκού που φορτίζεται σε κάμψη Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

5. Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει την ταχύτητα ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε συνάρτηση με τον χρόνο.

5. Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει την ταχύτητα ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε συνάρτηση με τον χρόνο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9/0/06 ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις 7 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Mια μικρή σφαίρα προσκρούει

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Μην ξεχνάμε τον άξονα περιστροφής.

Μην ξεχνάμε τον άξονα περιστροφής. Μην ξεχνάμε τον άξονα περιστροφής. Έχουμε πάρα πολλά προβλήματα, όπου ένα στερεό, όπως μια ράβδος, στρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα. Συνήθως στις περιπτώσεις αυτές επιλύουμε το πρόβλημα, «αφήνοντας

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ. 2. Στερεοστατική. 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων Δύναμη

ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ. 2. Στερεοστατική. 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων Δύναμη 2. Στερεοστατική 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2.1.1 Δύναμη Στο πλαίσιο της καθημερινής ζωής κάνουμε διάφορες ενέργειες που προκαλούν διάφορα αποτελέσματα. Όταν για παράδειγμα λέμε ότι κάποιος σπρώχνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος, μάζας Μ και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 10 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2018 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6)

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 10 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2018 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΦΥΣΙΗ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 10 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 018 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα.

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. 2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. 2.2.1. Συμβολή και μέγιστο πλάτος Σε δύο σημεία μιας ευθείας ε βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Ο 1 και Ο 2 οι οποίες παράγουν κύματα με πλάτος Α=2cm και μήκος κύματος

Διαβάστε περισσότερα

Χ. ΖΕΡΗΣ Απρίλιος

Χ. ΖΕΡΗΣ Απρίλιος Χ. ΖΕΡΗΣ Απρίλιος 2016 1 Κατά την παραλαβή φορτίων στα υποστυλώματα υπάρχουν πρόσθετες παραμορφώσεις: Μονολιθικότητα Κατασκευαστικές εκκεντρότητες (ανοχές) Στατικές ροπές λόγω κατακορύφων Ηθελημένα έκκεντρα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) 371 AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) ΑΣΚΗΣΗ 1 Το µηκυνσιόµετρο στο σηµείο Α της δοκού του σχήµατος καταγράφει θλιπτική παραµόρφωση ίση µε 0.05. Πόση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα