υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 18.

Transcript

1 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

2 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσεως εµπορικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα

3 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Εκπαιδευτική Ενότητα8 η Μοντελοποίηση υναµικών Συστηµάτων Συνεχούς Μέσου οκός σε στρέψη & οκός σε κάµψη Γενικά Στην παρούσα Εκπαιδευτική Ενότητα και στο πλαίσιο της µοντελοποίησης δυναµικών συστηµάτων συνεχούς µέσου, α εξετασούν δύο ακόµα χαρακτηριστικές περιπτώσεις µονοδιάστατων φορέων: µία µονόπακτη δοκός σε στρέψη καώς και µία µονόπακτη δοκός σε κάµψη. Η πρώτη περίπτωση είναι ιδιαίτερα χρήσιµη στη µελέτη εύκαµπτων ατράκτων µετάδοσης κίνησης, ενώ η δεύτερη περίπτωση είναι ιδιαίτερα χρήσιµη στη µελέτη µεταλλικών κατασκευών. Και στις δύο περιπτώσεις, εωρείται ότι οι εµφανιζόµενες παραµορφώσεις της δοκού είναι µικρές, άρα ελαστικές, και γι αυτό χρησιµοποιείται η αντίστοιχη εωρία πρώτης τάξεως (οι παραµορφώσεις, συναρτήσει των µετατοπίσεων, περιγράφονται από αναπτύγµατα Taylor, τα οποία περιέχουν µόνον γραµµικούς όρους). οκός σε στρέψη Στο Σχήµα απεικονίζεται µία µονόπακτη ελαστική δοκός (πρόβολος) µήκους. Πιο αναλυτικά, στο Σχήµα α απεικονίζεται η περίπτωση στρέψης της δοκού λόγω µίας οµοιόµορφα κατανεµηµένης ροπής στρέψης m (, ) t, η οποία επιβάλλεται κα όλο το µήκος της δοκού. Στο Σχήµα β, απεικονίζεται η περίπτωση στρέψης της δοκού, όταν σ αυτήν επιβάλλεται συγκεντρωµένη ροπή M στο ελεύερο άκρο της. Σχετικά µε τη διατοµή της δοκού, εωρούµε ότι αυτή είναι σταερή κα όλο το µήκος της δοκού, κυκλικού (άρα συµµετρικού) σχήµατος και γνωστής ακτίνας, συνεπώς εωρούνται γνωστά και σταερά το εµβαδόν A και η πολική ροπή αδρανείας J της διατοµής. Επίσης, εωρούνται γνωστές οι ιδιότητες του υλικού κατασκευής της δοκού, δηλαδή η πυκνότητα ρ και το µέτρο διάτµησης G. Τέλος, εωρείται ότι η κατανοµή του υλικού δεν µεταβάλλεται κατά µήκος της δοκού. ρ, Α, G,, J, (,t) ρ, Α, G,, J M, (,t) m (,t) (α) Σχήµα : οκός σε στρέψη λόγω επιβολής (α) οµοιόµορφα κατανεµηµένης ροπής σε όλο το µήκος της δοκού και (β) συγκεντρωµένης ροπής στο ελεύερο άκρο της δοκού Η εξίσωση δυναµικής ισορροπίας της δοκού του Σχήµατος α είναι (αναλυτικός υπολογισµός βάσει Μηχανικής Παραµορφωσίµου Σώµατος δίδεται στο Παράρτηµα Α): (β), + ( ) I G J m t t ()

4 Στην Εξ.(), ως ( ) υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - δηλώνεται η γωνία στροφής της δοκού κατά το µήκος της. Ισοδύναµα, η Εξ.() γράφεται και ως εξής: (, ) I + G J m t Στην Εξ.() χρησιµοποιήηκαν οι παρακάτω συµβολισµοί: () J : πολική ροπή αδρανείας I : µαζική ροπή αδρανείας Υπενυµίζεται ότι, από τη Μηχανική του Παραµορφωσίµου Σώµατος, η πολική ροπή αδρανείας και η µαζική ροπή αδρανείας µίας κυκλικής διατοµής ορίζονται όπως φαίνεται στο Σχήµα. da dm ρ da r r J A r da I A r dm (α) (β) Σχήµα : Κυκλική διατοµή: (α) πολική ροπή αδρανείας και (β) µαζική ροπή αδρανείας Ειδικότερα, για τη ροπή αδρανείας ισχύει: J r da (3) A Επίσης, για τη µαζική ροπή αδρανείας ισχύει: ρ const I r dm r ρda I ρ r da I ρj A A A J (4) Υπενυµίζεται ότι σε επίπεδα σχήµατα, η πυκνότητα ρ ορίζεται ανά µονάδα εµβαδού. Συνεπώς, η πολική ροπή αδρανείας J έχει διαστάσεις 4 I έχει διαστάσεις M. Τυπικές µονάδες µέτρησης είναι: για την πολική ροπή αδρανείας J : για τη µαζική ροπή αδρανείας I : 4 m kg m, ενώ η µαζική ροπή αδρανείας

5 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Σχετικά µε τα ενεργειακά µεγέη, τα οποία αφορούν στη δοκό του Σχήµατος, ισχύει: Η κινητική ενέργεια της δοκού, λόγω της περιστροφικής της κίνησης, ισούται µε: (5) T I d Η δυναµική ενέργεια της δοκού, η οποία συσσωρεύεται σε αυτήν λόγω της παραµόρφωσής της, ισούται µε: U G J ( ) d (6) Επειδή δεν υπάρχουν στοιχεία διάχυσης ενέργειας, η ισχύς διάχυσης είναι µηδενική: Η ισχύς των εξωτερικών δυνάµεων ισούται µε: t P (7) c (, ) P m t d (8) Παρατηρώντας τις Εξ.(5,6,8) διαπιστώνουµε ότι υπάρχει πλήρης αναλογία µε τις αντίστοιχες ενεργειακές ποσότητες µίας δοκού σε εφελκυσµό. Η µόνη διαφορά έγκειται στο γεγονός ότι, στην προκειµένη περίπτωση, εµφανίζεται η γωνία στροφής, αντί της µετατόπισης q, η οποία εµφανίζεται στην περίπτωση της εφελκυόµενης δοκού. Για τον υπολογισµό των ολοκληρωµάτων στις Εξ.(5,6,8) απαιτείται µία παραδοχή σχετικά µε τη µορφή της συνάρτησης ( ), δηλαδή της συνάρτησης, η οποία περιγράφει τη µεταβολή της γωνίας στροφής κατά µήκος της δοκού. Λόγω µικρών παραµορφώσεων, εωρείται ότι η εν λόγω µεταβολή είναι γραµµική: FE (9) όπου ως FE συµβολίζεται η γωνία στροφής του ελευέρου άκρου. Η πρώτη χρονική παράγωγος της Εξ.(9) ισούται µε: Η πρώτη χωρική παράγωγος της Εξ.(9) ισούται µε: FE () FE () Αντικαιστώντας κατάλληλα µε τις Εξ.(,) στις Εξ.(5,6,8), προκύπτουν αναλυτικές εκφράσεις για τους επί µέρους ενεργειακούς όρους. Ειδικότερα, για τη δοκό του Σχήµατος, εωρώντας σταερή διατοµή κα όλο το µήκος της δοκού, ισχύει:

6 Για την κινητική ενέργεια της δοκού: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - FE T I d I d I FE d I d 3 3 FE FE FE T I I T I T I FE 3 () Για τη δυναµική ενέργεια της δοκού: FE FE U G J ( ) d G J FE d G J d G J G J U FE (3) Για την ισχύ των εξωτερικών δυνάµεων και για σταερή κατανοµή ροπής FE Pt m (, ) (, ) (, ) (, ) t d m t d m t FE d m t d m : FE FE Pt m(, t) m(, t) Pt m(, t) FE (4) Εάν στην εξεταζόµενη δοκό, αντί της οµοιόµορφα κατανεµηµένης ροπής m (βλ. Σχήµα α), εφαρµοσεί µία συγκεντρωµένη ροπή M στο ελεύερο άκρο της (βλ. Σχήµα β), τότε ισχύουν και πάλι οι Εξ.(7,,3), ενώ για τη ροπή των εξωτερικών δυνάµεων ισχύει: P t M (5) FE Εφαρµογή # Έστω το δυναµικό σύστηµα του Σχήµατος 3. Το σύστηµα αποτελείται από έναν εύκαµπτο άξονα µήκους και σταερής διατοµής A, καώς και από ένα ζεύγος συνεργαζοµένων οδοντωτών τροχών, εκ των οποίων ο ένας (έστω τροχός #) είναι σταερά συνδεδεµένος στο ελεύερο άκρο της δοκού. Για τον άξονα, εωρούνται γνωστά τα χαρακτηριστικά του G (µέτρο διάτµησης), J (πολική ροπή αδρανείας) και I (µαζική ροπή αδρανείας). Για τον τροχό #, εωρείται γνωστή η ακτίνα του r καώς και η συγκεντρωµένη µαζική ροπή αδρανείας του I. Κατ αντιστοιχία, για τον τροχό #, εωρείται γνωστή η ακτίνα του r καώς και η συγκεντρωµένη µαζική ροπή αδρανείας του I, αντίστοιχα. Στον τροχό #

7 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ασκείται εξωτερική συγκεντρωµένη ροπή M, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3. Ζητείται η εξίσωση κίνησης του δυναµικού συστήµατος. r, I ρ, Α, G,, J M r, I Σχήµα 3: υναµικό σύστηµα δοκού σε στρέψη Λύση Για την καταγραφή της εξίσωσης κίνησης, α χρησιµοποιηεί η Ενεργειακή Αρχή agrange. Για την κινητική ενέργεια του συστήµατος, ισχύει: o Κινητική ενέργεια τροχού #: o Κινητική ενέργεια τροχού #: T I (6) T I (7) o Κινητική ενέργεια δοκού (βλ. Εξ.(), υπό την παραδοχή της Εξ.(9)): T I d T I (8) 3 Προσέτοντας κατά µέλη τις Εξ.(6,7,8), προκύπτει ότι η κινητική ενέργεια του συστήµατος ισούται µε: T I + I + I (9) 3 Για τη δυναµική ενέργεια του συστήµατος, ισχύει: o υναµική ενέργεια τροχού #: ο τροχός εωρείται απαραµόρφωτος, άρα σε αυτόν δεν αποηκεύεται δυναµική ενέργεια: U () o υναµική ενέργεια τροχού #: όµοια µε τον τροχό #, άρα ισχύει: o υναµική ενέργεια δοκού (βλ. Εξ.(3)): U () U G J ()

8 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Προσέτοντας κατά µέλη τις Εξ.(,,), προκύπτει ότι η δυναµική ενέργεια του συστήµατος ισούται µε: U G J (3) Επειδή δεν υπάρχουν στοιχεία διάχυσης ενέργειας, η ισχύς διάχυσης είναι µηδενική: Η ισχύς των εξωτερικών δυνάµεων ισούται µε (βλ. Εξ.(5)): P (4) c Pt M (5) Σχετικά µε τους Βαµούς Ελευερίας του συστήµατος, οι κινηµατικές µεταβλητές, οι οποίες εµπλέκονται στους ενεργειακούς όρους του συστήµατος (βλ. Εξ.(,3,4,5) είναι δύο: η γωνία στροφής και η γωνία στροφής. Υπενυµίζεται ότι, όπως περιγράφει η Εξ.(9), η γωνία στροφής της δοκού εκφράζεται συναρτήσει της γωνίας στροφής του ελευέρου άκρου της. Επίσης, επειδή οι τροχοί #, # συνεργάζονται, από τη µεταξύ τους σχέση µετάδοσης προκύπτει: r r (6) Από την Εξ.(6) έπεται ότι οι κινηµατικές µεταβλητές και είναι µεταξύ τους συζευγµένες. Συνεπώς, µόνο µία από αυτές είναι δυνατόν να εωρηεί ως ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή. Ισοδύναµα, το εξεταζόµενο δυναµικό σύστηµα είναι ενός Βαµού Ελευερίας. Επιλέγοντας ως Βαµό Ελευερίας του συστήµατος τη γωνία στροφής, από την Εξ.(6) προκύπτει: r r r r (7) Η πρώτη χρονική παράγωγος της Εξ.(7) ισούται µε: r r r r (8) Εισάγοντας την Εξ.(8) στις Εξ.(9) προκύπτει: Για την κινητική ενέργεια του συστήµατος, ισχύει: r T I + I + I r 3 r T I + I + I r

9 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - r T I+ I + I (9) r 3 Ορίζουµε ως ισοδύναµη µαζική ροπή αδρανείας I την ακόλουη ποσότητα: r I I+ I + I r 3 (3) Ο συνδυασµός των Εξ.(9,3) δίδει: T I (3) Για τη δυναµική ενέργεια του συστήµατος, ισχύει: U G J (3) Ορίζουµε ως ισοδύναµη σταερά στροφικού ελατηρίου k την ακόλουη ποσότητα: k G J (33) Ο συνδυασµός των Εξ.(3,33) δίδει: U k (34) Για την ισχύ των εξωτερικών δυνάµεων, εισάγοντας την Εξ.(8) στην Εξ.(5), προκύπτει: r Pt M r (35) Ορίζουµε ως ισοδύναµη ροπή M την ακόλουη ποσότητα: r M M r (36) Ο συνδυασµός των Εξ.(35,36), δίδει: Pt M (37) Εφαρµόζοντας, κατά τα γνωστά, την Ενεργειακή Αρχή agrange για τον Βαµό Ελευερίας q, προκύπτουν τα ακόλουα: Η ενεργειακή µεταβλητή agrange του συστήµατος ισούται µε: T U (38)

10 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Συνεπώς, από το συνδυασµό των Εξ.(3,34,38), προκύπτει: Για τον αδρανειακό όρο, ισχύει: T U I k ( ) Εξ ( ) (39) q T U. 39 I k q I (4) Παραγωγίζοντας την Εξ.(4) ως προς το χρόνο, προκύπτει: ( ) d d I I dt dt (4) Για τον όρο ελαστικότητας, ισχύει: ( ) Εξ ( ) q T U. 39 I k q k (4) Για τον όρο διάχυσης, ισχύει: Για τον όρο διέγερσης, ισχύει: PC q P C PC ( ) q ( M ) Pt q P t Pt M q (43) (44) Η µαηµατική έκφραση για την Ενεργειακή Αρχή agrange είναι: PC Pt t q q + q q (45) Αντικαιστώντας στην Εξ.(45) µε τις Εξ.(4,4,43,44), προκύπτει: (46) I + k M Η Εξ.(46) αποτελεί την εξίσωση κίνησης του εξεταζοµένου δυναµικού συστήµατος. Παρατηρούµε ότι η Εξ.(46) περιγράφει ένα µονοβάµιο δυναµικό σύστηµα, αποτελούµενο από ένα στροφικό ελατήριο σταεράς k και από έναν στρεφόµενο δίσκο µαζικής ροπής

11 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - αδρανείας I, το οποίο (σύστηµα) καταπονείται από µία συγκεντρωµένη ροπή M, όπως απεικονίζεται στο Σχήµα 4. k I M Σχήµα 4: υναµικό σύστηµα ισοδύναµο του συστήµατος του Σχήµατος 3 οκός σε κάµψη Στο Σχήµα 5 απεικονίζεται µία µονόπακτη ελαστική δοκός (πρόβολος) µήκους σε κάµψη. Με κόκκινο χρώµα απεικονίζεται ο ουδέτερος άξονας της δοκού στην παραµορφωµένη κατάσταση (για κααρά εποπτικούς λόγους, απεικονίζεται µία υπερβολικά παραµορφωµένη κατάσταση), ενώ µε πράσινο χρώµα σηµειώνεται η γωνία κάµψης y, η οποία σχηµατίζεται µεταξύ του παραµορφωµένου και του απαραµόρφωτου σχήµατος του ουδετέρου άξονα της δοκού, σε µία τυχαία έση και κατά τη χρονική στιγµή t (ως w(, t ) σηµειώνεται το αντίστοιχο βέλος κάµψης στη και κατά τη χρονική στιγµή t ). Επίσης, στο Σχήµα 5α απεικονίζεται η περίπτωση κάµψης της δοκού λόγω της επιβολής µίας οµοιόµορφης κατανοµής κατακορύφου φορτίου f z κα όλο το µήκος της δοκού, ενώ στο Σχήµα 5β απεικονίζεται η περίπτωση κάµψης της δοκού, όταν σ αυτήν επιβάλλεται συγκεντρωµένο κατακόρυφο φορτίο F z στο ελεύερο άκρο της. Σχετικά µε τη διατοµή της δοκού, εωρούµε ότι αυτή είναι ορογωνικού σχήµατος (άρα, διπλής συµµετρίας), γνωστών διαστάσεων, και σταερή κα όλο το µήκος της δοκού. Συνεπώς, εωρούνται γνωστά και σταερά το εµβαδόν A και η ροπή αδρανείας I yy της διατοµής. Επίσης, εωρείται ότι σε όλο το µήκος της δοκού, οι ιδιότητες του υλικού κατασκευής, δηλαδή η πυκνότητα ρ και το µέτρο ελαστικότητας E, είναι γνωστά και σταερά µεγέη. z ρ, Α, E,, I yy w(,t) f z y z ρ, Α, E,, I zz w(,t) F z y y z b h (α) (β) (γ) Σχήµα 5: οκός σε κάµψη: (α) κάµψη λόγω οµοιόµορφα κατανεµηµένης δύναµης σε όλο το µήκος της δοκού, (β) κάµψη λόγω συγκεντρωµένης δύναµης στο ελεύερο άκρο της δοκού και (γ) ορογωνική διατοµή δοκού

12 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Υπενυµίζεται ότι, από τη Μηχανική του Παραµορφωσίµου Σώµατος, για τη ροπή αδρανείας της ορογωνικής διατοµής του Σχήµατος 5γ ισχύουν τα εξής: Ροπή αδρανείας ως προς τον άξονα y y : Ροπή αδρανείας ως προς τον άξονα z z : I yy z da bh 3 (47) A (48) 3 I zz y da b h A Από την Τεχνική Θεωρία Κάµψης, είναι γνωστό ότι για µικρές παραµορφώσεις (δηλαδή, για µικρές γωνίες κάµψης y ) η εξίσωση ισορροπίας ενός στοιχειώδους τµήµατος d της δοκού του Σχήµατος 5α είναι (αναλυτικός υπολογισµός παρατίεται στο Παράρτηµα Β): 4 ρ w w yy 4 A + EI f t t z (49) Σχετικά µε τα ενεργειακά µεγέη, τα οποία αφορούν στη δοκό του Σχήµατος 5α, ισχύει: Η κινητική ενέργεια της δοκού, λόγω της καµπτικής της µετακίνησης, ισούται µε: T ρ Aw d (5) Η δυναµική ενέργεια της δοκού, η οποία συσσωρεύεται σε αυτήν λόγω της παραµόρφωσής της, ισούται µε: U E I ( w ) d yy (5) Επειδή δεν υπάρχουν στοιχεία διάχυσης ενέργειας, η ισχύς διάχυσης είναι µηδενική: Η ισχύς των εξωτερικών δυνάµεων ισούται µε: P (5) c P t f zwd (53) Για τον υπολογισµό των ολοκληρωµάτων στις Εξ.(5,5,53) απαιτείται µία παραδοχή σχετικά µε τη συνάρτηση w w( ), δηλαδή τη συνάρτηση, η οποία περιγράφει τη µεταβολή του βέλους κάµψης w κατά µήκος της δοκού. Παρατηρώντας, δε, την Εξ.(5), διαπιστώνουµε ότι σε αυτήν εµφανίζεται η δεύτερη χωρική παράγωγος του βέλους κάµψης, συνεπώς η συνάρτηση w w( ) δεν είναι δυνατόν να είναι γραµµική (πρώτης τάξεως). Ισοδύναµα, η κινηµατική παραδοχή σχετικά µε την παραµόρφωση της δοκού δεν πρέπει να είναι γραµµική. Προς αυτήν την κατεύυνση, υπάρχει η δυνατότητα διατύπωσης διαφόρων

13 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - εκφράσεων παρεµβολής του βέλους κάµψης, όπως µε τη χρήση πολυωνύµων Hermite. Στην παρούσα Εκπαιδευτική Ενότητα, µέσω παραδείγµατος, α παρουσιασεί µία εναλλακτική (τριγωνοµετρικής µορφής) διατύπωση. Εφαρµογή # Έστω το δυναµικό σύστηµα του Σχήµατος 6. Το σύστηµα αποτελείται από µία εύκαµπτη δοκό, από µία συγκεντρωµένη µάζα και από ένα ελατήριο. Η δοκός έχει µήκος, διαέτει ορογωνική διατοµή εµβαδού A, και είναι κατασκευασµένη από υλικό γνωστών ιδιοτήτων (πυκνότητα ρ και µέτρο ελαστικότητας E ). Θεωρείται ότι κατά µήκος της δοκού η διατοµή και οι ιδιότητες του υλικού είναι σταερά µεγέη. Η συγκεντρωµένη µάζα M είναι σταερά συνδεδεµένη στο ελεύερο άκρο της δοκού και εδράζεται επί γραµµικού ελατηρίου σταεράς k. Ζητείται η εξίσωση κίνησης του δυναµικού συστήµατος. F z ρ, Α, E,, I zz M w z k Σχήµα 6: υναµικό σύστηµα δοκού σε κάµψη υπό τη δράση συγκεντρωµένου φορτίου Λύση Και σε αυτήν την εφαρµογή, για την καταγραφή της εξίσωσης κίνησης, α χρησιµοποιηεί η Ενεργειακή Αρχή agrange. Για την κινητική ενέργεια του συστήµατος, ισχύει: o Κινητική ενέργεια δοκού (βλ. Εξ.(5)): T ρ Aw d (54) o Κινητική ενέργεια συγκεντρωµένης µάζας: o Κινητική ενέργεια ελατηρίου: T Mw (55) T (56) Προσέτοντας κατά µέλη τις Εξ.(54,55,56), προκύπτει ότι η κινητική ενέργεια του συστήµατος ισούται µε: T Aw d + Mw ρ (57)

14 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Για τη δυναµική ενέργεια του συστήµατος, ισχύει: o υναµική ενέργεια δοκού (βλ. Εξ.(5)): U ( ) E I w d o υναµική ενέργεια συγκεντρωµένης µάζας: o υναµική ενέργεια ελατηρίου: yy (58) U (59) U kw (6) Προσέτοντας κατά µέλη τις Εξ.(58,59,6), προκύπτει ότι η δυναµική ενέργεια του συστήµατος ισούται µε: ( ) U E I yy w d kw + (6) Επειδή δεν υπάρχουν στοιχεία διάχυσης ενέργειας, η ισχύς διάχυσης είναι µηδενική: Η ισχύς των εξωτερικών δυνάµεων ισούται µε (βλ. Εξ.(5)): P (6) c P t Fw (63) Για την περιγραφή του βέλους κάµψης w w( ), α χρησιµοποιηεί η εξής παρεµβολή: π w(, t) cos w (64) Η επιλογή αυτή δεν είναι τυχαία και εξηγείται στο Παράρτηµα Γ. Η πρώτη χρονική παράγωγος της Εξ.(64) ισούται µε: Η πρώτη χωρική παράγωγος της Εξ.(64) ισούται µε: π w cos w (65) π π w sin w (66) Η δεύτερη χωρική παράγωγος της Εξ.(64) ισούται µε: π π w cos w (67)

15 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Τονίζεται ιδιαιτέρως ότι η συνάρτηση περιγραφής του βέλους κάµψης w w( ) πρέπει να ικανοποιεί τις κινηµατικές συνήκες στο σηµείο στήριξης της δοκού. Αυτό σηµαίνει ότι στη έση (βλ. Σχήµα 6) α πρέπει: η κοµβική µετατόπιση να είναι µηδενική η γωνία κάµψης να είναι µηδενική ( ) : w, t (68) w : (, t) (69) Με βάση την Εξ.(64), έπεται ότι το κατακόρυφο βέλος κάµψης της δοκού γράφεται ως συνάρτηση του βέλους κάµψης w του ελεύερου άκρου της δοκού. Συνεπώς, το δυναµικό σύστηµα διαέτει µία ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή (το βέλος κάµψης w του ελεύερου άκρου της δοκού), συνεπώς το εν λόγω σύστηµα είναι ενός Βαµού Ελευερίας. Αντικαιστώντας στην Εξ.(57) µε την Εξ.(65), προκύπτει ότι η κινητική ενέργεια του συστήµατος ισούται µε (αναλυτικός υπολογισµός παρατίεται στο Παράρτηµα ): T A+ M w (.676ρ ) Στην Εξ.(7), ορίζουµε ως ισοδύναµη µάζα την ποσότητα: Εισάγοντας την Εξ.(7) στην Εξ.(7), προκύπτει: (7) M.676ρ A+ M (7) T M w (7) Αντικαιστώντας στην Εξ.(6) µε την Εξ.(67), προκύπτει ότι η δυναµική ενέργεια του συστήµατος ισούται µε (αναλυτικός υπολογισµός παρατίεται στο Παράρτηµα Ε ): π π U E I w + kw E I + k w yy 3 yy 3 (73) Στην Εξ.(73), ορίζουµε ως ισοδύναµη σταερά ελατηρίου την ποσότητα: 4 π k E I yy k (74) Εισάγοντας την Εξ.(74) στην Εξ.(73), προκύπτει:

16 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - U k w (75) Εφαρµόζοντας, κατά τα γνωστά, την Ενεργειακή Αρχή agrange για τον Βαµό Ελευερίας q w, προκύπτουν τα ακόλουα: Η ενεργειακή µεταβλητή agrange του συστήµατος ισούται µε: Συνεπώς, από το συνδυασµό των Εξ.(7,75,76), προκύπτει: Για τον αδρανειακό όρο, ισχύει: T U (76) T U M w k w ( T U) Εξ ( ) (77) q w. 77 M w k w q w w w w M w w (78) Παραγωγίζοντας την Εξ.(78) ως προς το χρόνο, προκύπτει: ( ) d d M w M w dt w dt (79) Για τον όρο ελαστικότητας, ισχύει: ( T U) Εξ ( ) q w. 77 M w k w q w w w w ( k w) k w w w (8) Για τον όρο διάχυσης, ισχύει: PC q w PC PC ( ) q w w w (8) Για τον όρο διέγερσης, ισχύει: P P P ( Fw ) F q w w w t q w t t (8) Η µαηµατική έκφραση για την Ενεργειακή Αρχή agrange είναι:

17 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - PC Pt t q q + q q (83) Αντικαιστώντας στην Εξ.(83) µε τις Εξ.(79,8,8,8), προκύπτει: (84) M w + k w F Η Εξ.(84) αποτελεί την εξίσωση κίνησης του εξεταζοµένου δυναµικού συστήµατος (βλ. Σχήµα 6) και παρατηρούµε ότι η Εξ.(84) περιγράφει ένα µονοβάµιο δυναµικό σύστηµα, αποτελούµενο από ένα γραµµικό ελατήριο σταεράς k και από µία συγκεντρωµένη µάζα M, το οποίο (σύστηµα) καταπονείται από µία συγκεντρωµένη δύναµη F, όπως απεικονίζεται στο Σχήµα 7. F z M w k Σχήµα 7: υναµικό σύστηµα ισοδύναµο του συστήµατος του Σχήµατος 6 Η Εξ.(84), όπως άλλωστε και η Εξ.(46), έχει µία πολύ ενδιαφέρουσα ποιοτική ερµηνεία: όλα τα συνεχή δυναµικά συστήµατα είναι δυνατόν να αναχούν σε διακριτά συστήµατα λίγων Βαµών Ελευερίας, κάτι που διευκολύνει σηµαντικά την ανάλυση σύνετων κατασκευών. Σηµαντική Παρατήρηση Από την προηγούµενη εφαρµογή προκύπτει ένα πολύ ενδιαφέρον, από τεχνολογικής απόψεως, συµπέρασµα. Ειδικότερα, εωρώντας ότι M k, δηλαδή εωρώντας µόνον τη µονόπακτη δοκό, η πρώτη ιδιοσυχνότητα προκύπτει ίση µε: 4 π yy 3 + E I k k 3 w M.676ρ A+ M 4 π E I yy π E I yy w 4.676ρ A ρ A (85) Η Εξ.(85) πληροφορεί ότι, σε µία µονόπακτη δοκό, η πρώτη ιδιοσυχνότητα είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου του µήκους της δοκού. Αυτό το συµπέρασµα είναι πολύ σηµαντικό στην αεροναυπηγική. Ειδικότερα, σε ένα αεροσκάφος επιζητείται η αύξηση της άνωσης, κάτι που επιτυγχάνεται χρησιµοποιώντας µεγάλες επιφάνειες άνωσης (πτέρυγες). Ωστόσο, µία µεγάλη επιφάνεια άνωσης έχει και µεγάλο µήκος. Συνεπώς, βάσει της Εξ.(85), µία πολύ µακριά πτέρυγα αεροσκάφος, η οποία µοντελοποιείται ως µονόπακτη δοκός, χαρακτηρίζεται από πολύ χαµηλές ιδιοσυχνότητες, άρα είναι ισχυρά επιρρεπής σε ταλαντώσεις

18 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Στρέψη δοκού: Σηµειώσεις από Μηχανική Παραµορφωσίµου Σώµατος Στην Τεχνική Θεωρία Στρέψης, ισχύουν οι ακόλουες δύο βασικές παραδοχές για τη στρέψη κυλινδρικών σωµάτων:. Μία επίπεδη τοµή κάετη στον άξονα του κυλινδρικού σώµατος παραµένει επίπεδη και µετά την επιβολή της στρεπτικής ροπής.. Η διατµητική παραµόρφωση γ σε µια διατοµή µεταβάλλεται γραµµικά από τον άξονα του σώµατος προς την περιφέρεια. Στον άξονα του σώµατος ισχύει γ, ενώ στην περιφέρεια του σώµατος ισχύει γ γ ma. r τ ma r R τ ma M m d O da γ ma d r M+dM (α) (β) Σχήµα Α.: Στρέψη ελαστικής δοκού: (α) διατοµή και (β) στοιχειώδες τµήµα µήκους d Με βάση τις ανωτέρω παραδοχές, ισχύουν τα ακόλουα: Ισορροπία ροπών στη διατοµή (βλ. Σχήµα Α.α) r τ ma τ ma MR M τ ma da r M r da M J ma R R τ R J A εµβαδόν µοχλοβραχίονας A τάση J δύναµη ροπή (Α.) Στροφή διατοµής (βλ. Σχήµα Α.β) Επίσης, από τον ορισµό της διατµητικής τάσης, ισχύει: R d γ d (Α.) ma τ ma Gγ ma γ ma τ ma G Αντικαιστώντας στην Εξ.(Α.) µε τις Εξ.(Α., Α.3), προκύπτει: Εξ.( Α.3) Εξ.( Α.) M R R d γ ma d R d τ ma d R d d G J G M d d d M GJ GJ d Λαµβάνοντας την ισορροπία ροπών σε στοιχειώδες τµήµα µήκους d, προκύπτει: (Α.3) (Α.4)

19 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - dm M + dm + m(, t) d M dm + md m(, t) (Α.5) d Η πρώτη χωρική παράγωγος της Εξ.(Α.4) ισούται µε: Ο συνδυασµός των Εξ.(Α.5, Α.6) δίδει: dm d d GJ d (Α.6) d d ( ) ( ) GJ m, t GJ + m, t d d Η Εξ.(Α.7) εκφράζει τη στατική ισορροπία σε ένα στοιχειώδες τµήµα µήκους d της ελαστικής δοκού. Για τη διατύπωση της δυναµικής ισορροπίας του εν λόγω τµήµατος, α χρησιµοποιηεί η Αρχή του D Alembert, σύµφωνα µε την οποία αρκεί να προσδοεί στο στοιχειώδες τµήµα αδρανειακό αίτιο, φοράς αντίετης από τη φορά περιστροφής του στοιχειώδους τµήµατος. Ισοδύναµα, αρκεί να προσδοεί ροπή ίση µε: (Α.7) d I dt Προσέτοντας τον ανωτέρω όρο στην Εξ.(Α.7), τελικά προκύπτει: (Α.8) d d ( ) I GJ m, + + t dt d Η Εξ.(Α.9) αποτελεί την εξίσωση δυναµικής ισορροπίας ενός στοιχειώδους τµήµατος µήκους d µίας ελαστικής δοκού σε στρέψη. (Α.9)

20 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: Κάµψη δοκού: Σηµειώσεις από Μηχανική Παραµορφωσίµου Σώµατος Στην Τεχνική Θεωρία Κάµψης, ισχύουν οι ακόλουες δύο βασικές παραδοχές:. Μία επίπεδη τοµή κάετη στον άξονα του καµπτοµένου σώµατος παραµένει επίπεδη και µετά την επιβολή της καµπτικής ροπής.. Τα υλικά σηµεία του καµπτοµένου σώµατος, τα οποία βρίσκονται επί του ουδετέρου άξονα του σώµατος, δεν εµφανίζουν οριζόντια µετατόπιση (εωρία µικρών παραµορφώσεων). Με βάση τις ανωτέρω παραδοχές, είναι δυνατόν να διατυπωεί η εξίσωση δυναµικής ισορροπίας ενός στοιχειώδους τµήµατος µήκους d, το οποίο υποβάλλεται σε κάµψη λόγω επιβολής µίας οµοιόµορφης κατανοµής δυνάµεων (βλ. Σχήµα Β.). z ρ, Α, E,, I yy w(,t) f z y M V f z d V+dV M+dM (α) (β) (γ) d z y dw d dw u z d Σχήµα Β.: Κάµψη ελαστικής δοκού υπό οµοιόµορφη κατανοµή καµπτικού φορτίου: (α) µοντέλο, (β) εντατικά µεγέη επί στοιχειώδους τµήµατος µήκους d και (γ) (υπερβολικά) παραµορφωµένο σχήµα του στοιχειώδους τµήµατος Πιο συγκεκριµένα, στο Σχήµα Β.α απεικονίζεται µία τυπική περίπτωση ελαστικής δοκούς σε κάµψη λόγω επιβολής οµοιόµορφης κατανοµής καµπτικού φορτίου. Στο Σχήµα Β.β απεικονίζεται ένα στοιχειώδες τµήµα µήκους d της ελαστικής καµπτοµένης δοκού, επί του οποίου έχουν σηµειωεί τα εµπλεκόµενα εντατικά µεγέη. Στο, δε, Σχήµα Β.γ απεικονίζεται το παραµορφωµένο σχήµα του στοιχειώδους τµήµατος µήκους d. Για εποπτικούς λόγους και προκειµένου να εµφανισούν κααρά τα απεικονιζόµενα µεγέη, το παραµορφωµένο σχήµα του εν λόγω στοιχειώδους τµήµατος έχει µεγευνεί υπερβολικά. Θεωρώντας προσέγγιση πρώτης τάξεως, η αξονική παραµόρφωση Σχήµατος Β.β, εξ ορισµού, ισούται µε: ε του τµήµατος του ε όπου η µεταβλητή u εκφράζει οριζόντια µετατόπιση. Σύµφωνα µε το νόµο του Hooke, η αντίστοιχη αξονική τάση σ είναι ίση µε: σ ε du d E (Β.) (Β.) Σε ένα καµπτόµενο τµήµα, η αξονική τάση σ δεν είναι άλλη από την ορή τάση, η οποία αναπτύσσεται λόγω κάµψης, και, σύµφωνα µε την Τεχνική Θεωρία Κάµψης, ισούται µε:

21 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - M σ z I yy Στην Εξ.(Β.3), ως M συµβολίζεται η επιβαλλόµενη καµπτική ροπή, (Β.3) I yy είναι η ροπή αδρανείας της διατοµής του καµπτοµένου σώµατος και z είναι η απόσταση της ακρότατης ίνας του σώµατος από τον ουδέτερο άξονα του σώµατος. ιευκρινίζεται ότι η ορή τάση από κάµψης είναι ετική στο εφελκυόµενο τµήµα του καµπτοµένου σώµατος και αρνητική στο λιβόµενο τµήµα του καµπτοµένου σώµατος, αντίστοιχα. Ο συνδυασµός των Εξ.(Β., Β., Β.3) δίδει: M du M du σ ε E z E z M z E I yy I yy d I yy d Βάσει των παραδοχών της Τεχνικής Θεωρίας Κάµψης (επιπεδότητα διατοµών και εωρία µικρών παραµορφώσεων), για τη γωνία y του Σχήµατος Β.γ ισχύει: σ (Β.4) sin tan (Β.5) y y y Βάσει της Εξ.(Β.5), η οριζόντια µετατόπιση u των υλικών σηµείων µίας διατοµής του καµπτοµένου σώµατος, ισούται µε (βλ. και Σχήµα Β.γ): dw u z d όπου w είναι η κατακόρυφη µετατόπιση ενός υλικού σηµείου και z η κατακόρυφη απόστασή του από τον ουδέτερο άξονα του καµπτοµένου σώµατος. Η πρώτη χωρική παράγωγος της Εξ.(Β.6) ισούται αριµητικά µε την εφαπτοµένη της γωνίας (γωνία κάµψης), η οποία σχηµατίζεται µεταξύ του παραµορφωµένου και του απαραµόρφωτου σχήµατος του ουδετέρου άξονα (βλ. Σχήµα Β.α, Β.γ). (Β.6) du d w z d d Εισάγοντας την Εξ.(Β.7) στην Εξ.(Β.4), προκύπτει: (Β.7) du d υ M z E I yy z M E I yy d d Από την ισορροπία ροπών ως προς το δεξί άκρο του στοιχείωδους τµήµατος µήκους d (βλ. Σχήµα Β.β) και εωρώντας ως ετική την αριστερόστροφη φορά, προκύπτει: d d z + z ( ) M M dm M Vd f d dm Vd f d (Β.8) dm d dm d V + f z V fz d d Καώς η τιµή του διαφορικού d τείνει στο µηδέν, τελικά από την Εξ.(Β.9) προκύπτει: (Β.9)

22 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - dm V d Από την ισορροπία δυνάµεων στο στοιχείωδες τµήµα µήκους d, προκύπτει: (Β.) dv + Fy V V + dv + f zd dv + fzd f z (Β.) d ( ) ( ) Η πρώτη χωρική παράγωγος της Εξ.(Β.8) ισούται µε: 3 dm d w E I yy 3 d d Αντικαιστώντας στην Εξ.(Β.) µε την Εξ.(Β.), προκύπτει: 3 3 dm d w d w E I yy V E I 3 yy 3 d d d Η πρώτη χωρική παράγωγος της Εξ.(Β.3) ισούται µε: (Β.) (Β.3) d d d 4 4 dv d w d w E I yy f 4 z E I yy 4 (Β.4) Η Εξ.(Β.4) εκφράζει την εξίσωση της στατικής ισορροπίας ενός στοιχειώδους τµήµατος µήκους d ενός καµπτοµένου σώµατος. Σύµφωνα µε την Αρχή του D Alembert, η διατύπωση της εξίσωσης δυναµικής ισορροπίας του εν λόγω τµήµατος προκύπτει από την εξίσωση στατικής ισορροπίας, εάν σε αυτήν προστεεί αδρανειακός όρος ίσος και αντίετος από την κίνηση του σώµατος. Στην προκειµένη περίπτωση, ο εν λόγω αδρανειακός όρος ισούται µε: d w ρ A dt (Β.5) όπου ως ρ συµβολίζεται η πυκνότητα του υλικού κατασκευής της ελαστικής δοκού και ως A συµβολίζεται το εµβαδόν της διατοµής της δοκού. Προσέτοντας τον όρο (Β.5) στο αριστερό µέλος της Εξ.(Β.4), τελικά προκύπτει: 4 d w d υ ρ yy 4 A + E I f dt d z (Β.6) Η Εξ.(Β.6) αποτελεί την εξίσωση δυναµικής ισορροπίας ενός στοιχειώδους τµήµατος µήκους d µίας ελαστικής δοκού σε κάµψη

23 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ: Αιτιολόγηση επιλογής τριγωνοµετρικής συνάρτησης παρεµβολής του κατακορύφου βέλους κάµψης Σύµφωνα µε την Εξ.(64), για την περιγραφή του βέλους κάµψης w w( ) δοκού σε κάµψη, είναι δυνατόν να χρησιµοποιηεί η εξής παρεµβολή: όπου µία ελαστικής π w(, t) cos w (Γ.) w είναι το βέλος κάµψης του ελευέρου άκρου και είναι το µήκος της δοκού. Αποδεικνύεται, µε αυστηρά µαηµατικό τρόπο, ότι η Εξ.(Γ.) περιγράφει την πρώτη ιδιοµορφή µίας µονόπακτης ελαστικής δοκού. Επειδή η συγκεκριµένη µαηµατική απόδειξη εκφεύγει του πλαισίου προπτυχιακών σηµειώσεων, στo παρόν Παράρτηµα, αντί της µαηµατικής αποδείξεως, α παρατεούν αριµητικά αποτελέσµατα (βλ. Σχήµα Γ.), τα οποία συνηγορούν στη χρήση της Εξ.(Γ.) ως συνάρτησης παρεµβολής του βέλους κάµψης cos(π/) -cos(π/) -cos(π/) NE5 NE NE Σχήµα Γ.: Πρώτη ιδιοµορφή µονόπακτης ελαστικής δοκού και τριγωνοµετρική παρεµβολή του κατακορύφου βέλους κάµψης Πιο αναλυτικά, στο Σχήµα Γ.: µε συνεχή µωβ γραµµή απεικονίζεται η πρώτη ιδιοµορφή µίας µονόπακτης ελαστικής δοκού, όταν η δοκός διακριτοποιείται µε NE 5 πεπερασµένα δοκιδόµορφα στοιχεία (δηλαδή, πεπερασµένα στοιχεία δοκού). µε καφέ γραµµή, απεικονίζεται η πρώτη ιδιοµορφή της εν λόγω δοκού, όταν αυτή διακριτοποιείται µε NE πεπερασµένα δοκιδόµορφα στοιχεία. ιευκρινίζεται ότι ως NE συµβολίζεται το πλήος των πεπερασµένων στοιχείων της διακριτοποίησης (Number of Eements). µε καφέ γραµµή, απεικονίζεται η πρώτη ιδιοµορφή της εν λόγω δοκού, όταν αυτή διακριτοποιείται µε NE πεπερασµένα δοκιδόµορφα στοιχεία

24 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - µε µπλε γραµµή, απεικονίζεται η πρώτη ιδιοµορφή της εν λόγω δοκού, όταν αυτή διακριτοποιείται µε NE πεπερασµένα δοκιδόµορφα στοιχεία. µε πράσινη γραµµή απεικονίζεται η συνάρτηση cos ( π ), [, ] µε ροζ γραµµή απεικονίζεται η συνάρτηση cos ( π ), [, ] µε µαύρη γραµµή απεικονίζεται η συνάρτηση cos ( π ), [, ] ιευκρινίζεται ότι οι ιδιοµορφές έχουν υπολογισεί µε τη βοήεια του εµπορικού λογισµικού ANSYS. Παρατηρώντας το Σχήµα Γ., διαπιστώνουµε ότι η πρώτη ιδιοµορφή µίας µονόπακτης ελαστικής δοκού, καώς αυξάνεται το πλήος των πεπερασµένων στοιχείων, µε τα οποία διακριτοποιείαι η δοκός, τείνει προς την καµπύλη cos( ) π. Συνεπώς, για άπειρο πλήος διαµερίσεων, η εν λόγω πρώτη ιδιοµορφή α ταυτισεί µε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης cos ( π ), [, ]. Με την επιλογή της συνάρτησης παρεµβολής cos( ) π εξασφαλίζεται και η ικανοποίηση των συνοριακών συνηκών στη έση στήριξης µίας µονόπακτης ελαστικής δοκού. Πιο συγκεκριµένα, στο πακτωµένο άκρο της δοκού α πρέπει και το βέλος κάµψης να είναι µηδενικό (δηλαδή α πρέπει w( t) µηδενική (δηλαδή α πρέπει w ( t) παρεµβολής, προκύπτει: Για το βέλος κάµψης:, ), αλλά και η γωνία κάµψης να είναι, επίσης, ', ). Εκτελώντας πράξεις µε τη συνάρτηση π w(, t) cos w w(, t) ( cos( ) ) w w(, t) Για τη γωνία κάµψης: d π π π π w (, t) cos w sin w w (, t) sin( ) w d w, t (Γ.3) ( ) Από τις Εξ.(Γ., Γ.3), προκύπτει ότι χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση cos( ) (Γ.) π, για την περιγραφή της κατανοµής του κατακορύφου βέλους κάµψης κατά µήκος µίας µονόπακτης ελαστικής δοκού, πληρούνται οι συνοριακές συνήκες στη έση στήριξης της δοκού. Τέλος, ένα πολύ ενδιαφέρον τεχνολογικό συµπέρασµα προκύπτει από την παρατήρηση των πρώτων ιδιοµορφών µίας µονόπακτης ελαστικής δοκού. Όπως φαίνεται και στο Σχήµα, για κάε ιδιοµορφή υπάρχουν έσεις, στις οποίες η δοκός δεν διεγείρεται (µηδενικό πλάτος ταλάντωσης). Σε αυτές ακριβώς τις έσεις είναι δυνατή η τοποέτηση επιπροσέτων µαζών, χωρίς να επιβαρύνεται η δοκός. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα αποτελεί η τοποέτηση κινητήρων στην πτέρυγα ενός αεροσκάφους. Όπως προκύπτει από την πρώτη ιδιοµορφή, η

25 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - καλύτερη έση τοποέτησης ενός κινητήρα είναι όσο το δυνατόν πλησιέστερα (εφαπτοµενικά) στην άτρακτο Mode Mode Mode 3 Mode Σχήµα Γ.: Πρώτες τέσσερεις ιδιοµορφές µονόπακτης ελαστικής δοκού (οι ιδιοµορφές υπολογίσηκαν µε το εµπορικό λογισµικό ANSYS) Εάν, πάλι, είναι επιυµητή η τοποέτηση δύο κινητήρων στην ίδια πτέρυγα, τότε, όπως προκύπτει από το Σχήµα Γ., οι καλύτερες έσεις είναι οι έσεις µηδενισµού της τρίτης ιδιοµορφής (δηλαδή, η ιδιοµορφή που µηδενίζεται σε δύο έσεις και αντιστοιχεί στη χαµηλότερη ιδιοσυχνότητα). ιευκρινίζεται ότι στα δύο προαναφερέντα παραδείγµατα, το αποκλειστικό κριτήριο επιλογής των καλύτερων έσεων ήταν η δυναµική συµπεριφορά της πτέρυγας λόγω γεωµετρίας και υλικού κατασκευής της

26 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Υπολογισµός της κινητικής ενέργειας του δυναµικού συστήµατος του Σχήµατος 6 Σύµφωνα µε την Εξ.(5), η κινητική ενέργεια κατανεµηµένο φορτίο ισούται µε: T µίας δοκού σε κάµψη υπό οµοιόµορφα Σύµφωνα µε την Εξ.(65), ισχύει: T ρ Aw d (.) Ο συνδυασµός των Εξ.(.,.) δίδει: π w cos w (.) π T ρ Aw d ρ A cos w d π π T ρ A cos cos w + d π π T ρ Aw cos cos d + π π T ρ Aw d cos d+ cos d (.3) Για τον υπολογισµό της ενέργειας T, απαιτείται ο υπολογισµός των τριών ολοκληρωµάτων στο δεξί µέλος της Εξ.(.3). Συνεπώς, ισχύει: Για το ολοκλήρωµα I d [ ] ( ) (.4) I d I Για το ολοκλήρωµα cos π I d Αλλαγή µεταβλητής: π π d d d d π Αντικατάσταση και εκτέλεση πράξεων: π ( π ) ( π ) I cos d cos( ) d cos( ) d π π ( π ) I sin( ) ( ) I π π π (.5) (.6)

27 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Για το ολοκλήρωµα I 3 π cos d Εφαρµόζοντας την ίδια αλλαγή µεταβλητής µε αυτήν του ολοκληρώµατος I, µετά από αντικατάσταση και εκτέλεση πράξεων, προκύπτει: π I3 d d d π π ( π ) ( π ) cos ( cos ) ( cos ) (.7) Από πίνακες ολοκληρωµάτων, βρίσκουµε ότι: ( π ) ( ) ( π ) cos d ( + cos sin) π cos π sin π π + ( + cos( ) sin( ) ) 4 Ο συνδυασµός των Εξ.(.7,.8) δίδει: I 3 π I3 π 4 Εισάγοντας τις Εξ.(.4,.6,.9) στην Εξ.(.3), τελικά προκύπτει: (.8) (.9) T ρ Aw + ρ Aw ρ Aw π π π 3π 8 T ρ Aw T ρ Aw(.676) π (.) Σύµφωνα µε την Εξ.(57), η κινητική ενέργεια του εξεταζοµένου συστήµατος ισούται µε: Ο συνδυασµός των Εξ.(.,.), δίδει: T Aw d + Mw ρ T (.) (.676) T ρ Aw (.676 ) + Mw T ρ A+ M w (.)

28 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ε: Υπολογισµός της δυναµικής ενέργειας του δυναµικού συστήµατος του Σχήµατος 6 Σύµφωνα µε την Εξ.(58), η δυναµική ενέργεια κατανεµηµένο φορτίο ισούται µε: Σύµφωνα µε την Εξ.(67), ισχύει: U ( ) E I w d U µίας δοκού σε κάµψη υπό οµοιόµορφα yy (Ε.) π π w cos w (Ε.) Εισάγοντας την Εξ.(Ε.) στην Εξ.(Ε.), προκύπτει: π π U E I ( ) cos yy w d E I yy w d Για τον υπολογισµό της ενέργειας 4 π π U E I yyw cos d 4 π yy cos π U E I w d (Ε.3) U, απαιτείται ο υπολογισµός του ολοκληρώµατος στο δεξί µέλος της Εξ.(Ε.3). Ωστόσο, παρατηρούµε ότι το εν λόγω ολοκλήρωµα είναι ίδιο µε το ολοκλήρωµα I 3 του Παραρτήµατος. Συνεπώς, εισάγοντας την Εξ.(.9) στην Εξ.(Ε.3), προκύπτει: π π π yy yy 4 4 yy 5 3 U E I w E I w E I w π 3 4 U E I yyw 3 Σύµφωνα µε την Εξ.(6), η δυναµική ενέργεια του εξεταζοµένου συστήµατος ισούται µε: (Ε.4) Ο συνδυασµός των Εξ.(Ε.4, Ε.5), δίδει: U E I yy w d+ kw U ( ) π π U E I w + kw E I + k w yy 3 yy 3 (Ε.5) (Ε.6)