Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)"

Transcript

1 Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10, 0-1, -1 C: confess N: not confess Όταν εξετάζαµε το συγκεκριµένο παίγνιο είχαµε δει ότι σε αυτό υπάρχει µια µόνο ισορροπία. Η ισορροπία αυτή είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. Προσπαθήσαµε να βρούµε µια άλλη λύση, πέρα από αυτή την «κακή» ισορροπία, όπου και οι δύο παίκτες σπαταλάνε 8 χρόνια στην φυλακή, και είδαµε ότι, δυστυχώς, δεν υπάρχει. Ας υποθέσουµε τώρα ότι αυτό το παίγνιο επαναλαµβάνεται πολλές φορές. Υπάρχει περίπτωση µε την επανάληψη να αλλάξουν τα αποτελέσµατα; Σε αυτό το παιγνίδι δεν επιτρέπεται ποτέ η συνεργασία. Αυτό το οποίο γίνεται είναι ότι οι παίκτες, κάθε λίγο κάνουν ένα έγκληµα και µετά ξαναβρίσκονται στην φυλακή. Το παιγνίδι επαναλαµβάνεται πολλές φορές µε την ίδια ακριβώς δοµή ανά περίοδο. Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε να σκεφτούµε ένα άλλο παιγνίδι. Έστω ότι υπάρχουν δυο επιχειρήσεις στην αγορά. Οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται σε τιµές. Ξέρουµε ότι όταν οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται σε τιµές τότε: P = MC Π = 0 (τα κέρδη θα είναι µηδέν). Οι ίδιες οι επιχειρήσεις θα µπορούσαν να υπογράψουν µια συµφωνία ή να συνεργαστούν και να πετύχουν κάθε µία τα µισά των κερδών του µονοπωλητή (π ). Αυτό είναι ένα άλλο είδος διλήµµατος φυλακισµένων. Ας δούµε τι θα συµβεί αν αυτό το παίγνιο επαναλαµβάνεται ένα πεπερασµένο αριθµό φορών (ο αριθµός των επαναλήψεων είναι πεπερασµένος αρχικά) Τ: πεπερασµένο (αριθµός επαναλήψεων του παιγνίου) Τι θα συµβεί αν το Τ είναι πεπερασµένο; Θα αλλάξει το αποτέλεσµα; 193

2 Χαρακτηριστικό στην επανάληψη του παιγνίου είναι ότι και οι δύο παίκτες ξέρουν ότι θα κάνουνε Τ φορές το έγκληµα και ότι θα βρεθούν Τ φορές στην κατάσταση του διλήµµατος των φυλακισµένων. Μπορούµε συνεπώς να χρησιµοποιήσουµε την οπισθoγενή επαγωγή. Πάµε λοιπόν στο τελευταίο στάδιο για να δούµε τι θα συµβεί σε αυτό άσχετα µε το ότι έχει συµβεί στο παρελθόν: ( 8, 8). Με δεδοµένο ότι δεν υπάρχει µέλλον και επιπλέον δεν υπάρχει καµιά περίπτωση να εκτοξευθούν απειλές που να αλλάξουν τη συµπεριφορά των παικτών (στο µέλλον), το µόνο που θα κοιτάξει κάθε παίκτης είναι να µεγιστοποιήσει τα κέρδη του στο παρόν (το παρόν είναι η περίοδος Τ). Στην τελευταία περίοδο οι δύο παίκτες θα πάνε από 8 χρόνια φυλακή. Εµείς µπορούµε να σκεφτούµε διαφορετικά: ότι µιλάµε για µια αγορά, όπου ανταγωνίζονται δύο επιχειρήσεις για τις τιµές. Γεγονός που σηµαίνει ότι στην τελευταία περίοδο οι δύο επιχειρήσεις βρίσκονται σε ένα δίληµµα, όµοιο µε αυτό των φυλακισµένων, και επιλέγουν µια τιµή ίση µε το οριακό κόστος: P = MC και πετυχαίνουν κέρδη µηδέν. Το ερώτηµα που γεννάται τώρα είναι τι θα συµβεί την περίοδο Τ 1; Σηµείωση: Στην περίοδο Τ το παίγνιο τελειώνει και έτσι καµία από τις δυο επιχειρήσεις δεν µπορεί να κερδίσει κάτι µε το να εκτοξεύσει µια απειλή την περίοδο Τ-1. Επιπλέον τα κέρδη των επιχειρήσεων την περίοδο Τ είναι µηδενικά και το αποτέλεσµα (της τελευταίας περιόδου) δεν µπορεί να αλλάξει. Συνεπώς δεν έχει κανένα νόηµα να απειλήσει η µια επιχείρηση την άλλη, γεγονός που σηµαίνει ότι θα θέσουν τιµή ίση µε το οριακό κόστος και τα κέρδη τους θα είναι µηδενικά την περίοδο Τ-1. Την περίοδο Τ δεν υπάρχει καθόλου µέλλον. Την περίοδο (Τ 1) υπάρχει µέλλον αλλά είναι «µαύρο» και για τις δύο. εν υπάρχει η δυνατότητα να απειληθεί η αντίπαλος ότι θα τις µειωθούν τα κέρδη, διότι τα κέρδη της είναι ήδη στο ελάχιστο δυνατό. Με αυτή τη λογική και πηγαίνοντας προς τα πίσω θα βρούµε ότι όταν το παίγνιο επαναλαµβάνεται ένα πεπερασµένο αριθµό φορών, το αποτέλεσµα είναι κάθε περίοδο: 194

3 P = ΜC Π = 0 ή στο δίληµµα των φυλακισµένων: κάθε περίοδο και οι δύο φυλακισµένοι θα πηγαίνουν 8 χρόνια φυλακή ο καθένας. Επειδή υπάρχει η τελευταία περίοδος και είναι κοινή γνώση ότι υπάρχει (η τελευταία περίοδος), και επιπλέον ξέρουν και οι δύο ότι (την τελευταία περίοδο) δεν θα υπάρχει µέλλον, το αποτέλεσµα θα είναι και πάλι το ίδιο όπως το αποτέλεσµα ενός παιγνίου που επαναλαµβάνεται µόνο µια φορά. Αυτό αρκεί για να «ξεδιπλώσει» το επιχείρηµά µας, και να φτάσουµε να έχουµε το ίδιο αποτέλεσµα κάθε περίοδο. Εδώ, θέλουµε να βρούµε µια λύση του παιγνίου που να είναι τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων. Γι αυτό αρχίζουµε από το τέλος. Σηµείωση: δεν µας ενδιαφέρουν οι ισορροπίες κατά Νash στα επαναλαµβανόµενα παίγνια. Μας ενδιαφέρουν οι τέλειες ισορροπίες υποπαιγνίων και βλέπουµε ότι το αποτέλεσµα του διλήµµατος των φυλακισµένων επαναλαµβάνεται ακόµα και όταν το παίγνιο επαναλαµβάνεται Τ περιόδους. Γι αυτό που πρέπει να πεισθούµε τώρα είναι ότι το να µοντελοποιήσουµε την κατάσταση σε ένα παίγνιο πεπερασµένου αριθµού περιόδων δεν είναι το λογικό. ηλαδή συνήθως ο τρόπος που βλέπουν οι παίκτες το παίγνιο είναι σαν να είναι ένα παίγνιο απείρων περιόδων. Γιατί; Ας πάµε στο παράδειγµα των δύο επιχειρήσεων, που ανταγωνίζονται σε τιµές. Ποια είναι η λογική του να πούµε ότι και οι δύο επιχειρήσεις ξέρουν ποια θα είναι η τελευταία περίοδος που θα ανταγωνιστούν στην αγορά; Είναι σαν να λέµε ότι µπαίνουν 2 επιχειρήσεις το 1950 στην αγορά, και ξέρουν ότι και οι δύο θα βγούνε από την αγορά το 2005 ό,τι και να συµβεί. Αυτό το πράγµα δεν είναι λογικό, ούτε συµβαίνει έτσι στην πραγµατικότητα. Συνήθως, δεν είναι γνωστό πότε θα σταµατήσει ο ανταγωνισµός στην αγορά, πότε θα τελειώσει το παίγνιο. Και γιατί δεν είναι γνωστό; Το πιο απλό που µπορούµε να σκεφτούµε είναι το εξής: η ζωή των επιχειρήσεων εξαρτάται από µακροοικονοµικά γεγονότα (αρνητικά shocks που µπορεί να έχει µια οικονοµία). Κάτι συµβαίνει εξωτερικά, η οικονοµία µπαίνει σε µια περίοδο ύφεσης µε αποτέλεσµα κάποιες από τις επιχειρήσεις να φύγουν από την αγορά διότι δεν είναι πλέον κερδοφόρες. Άρα, όλες οι επιχειρήσεις έχουν κάποιο κίνδυνο να φύγουν από την αγορά κάθε περίοδο, για λόγους εξωγενείς ή για λόγους που δεν µπορούν να ελέγξουν ή να προβλέψουν (π.χ. έχουν ένα κακό anager). Αν είναι έτσι τα πράγµατα, τότε τι αλλάζει; Αυτό που αλλάζει είναι ότι η τελευταία περίοδος δεν είναι γνωστή. Αν υποθέσουµε στο πιο απλό παράδειγµα ότι κάθε περίοδο κάθε επιχείρηση αντιµετωπίζει µια µικρή πιθανότητα να φύγει εκτός αγοράς. Πόσες περιόδους θα διαρκέσει αυτό το παίγνιο; 195

4 Σηµείωση: Υπάρχει διαφορά µεταξύ realization (πραγµατοποίησης) και rando process (τυχαία διαδικασία). Κάθε περίοδο υπάρχει µια µικρή θετική πιθανότητα να κλείσει η επιχείρηση. Αλλά πόσες περιόδους µπορεί να διαρκέσει η ζωή της επιχείρησης στην αγορά. Άπειρες. Άρα το παίγνιο για τις επιχειρήσεις διαρκεί άπειρες περιόδους. Το ενδιαφέρον είναι ότι όταν το Τ: ο αριθµός των περιόδων που ανταγωνίζονται οι επιχειρήσεις είναι άπειρος, δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την ίδια µέθοδο (να πάµε στο Τ= ). εν µπορεί να αναλυθεί η απειροστή περίοδος. Για τον ίδιο λόγο που δεν µπορούσαµε να το κάνουµε στο παράδειγµα των διαπραγµατεύσεων πάλι δεν µπορούµε να πάµε στην Τ = και µετά στην Τ = 1, Τ = 2 κ.ο.κ. Γιατί οι περίοδοι είναι άπειροι; Θα δώσουµε ένα παράδειγµα που δεν είναι ακριβώς το ίδιο. Όταν σκεφτόµαστε πόσα χρόνια θα ζήσουµε, ξέρουµε πόσο ακριβώς θα ζήσουµε; ΟΧΙ. Όταν το βλέπουµε από σήµερα δεν ξέρουµε πόσα χρόνια θα ζήσουµε. Με τον ίδιο τρόπο οι επιχειρήσεις δεν ξέρουν πόσα χρόνια θα ζήσουν. Ας δούµε το παράδειγµα που δώσαµε πριν. Ας πούµε ότι η κάθε επιχείρηση εξαρτάται από το πως πάει η παγκόσµια οικονοµία. Άρα υπάρχει µια µικρή περίπτωση να βγει έξω από την αγορά κάθε περίοδο. Όταν το βλέπει ο επιχειρηµατίας τώρα, πόσες περιόδους µπορεί να µείνει στην αγορά; Άπειρες, εδώ έχουµε µια στοχαστική ανέλιξη. Σηµείωση: αν υπήρχε συµβόλαιο, τότε θα είχαµε πεπερασµένο Τ. Αν υπήρχε δηλαδή τρόπος να ξέρουν και οι δύο επιχειρήσεις, ότι θα φύγουν από την αγορά ένα συγκεκριµένο χρόνο, τότε θα είχαµε το παράδοξο του Bertrand ακόµα και σε πεπερασµένες περιόδους. Όµως, συνήθως δεν είναι έτσι τα πράγµατα. Πρέπει να δούµε τι θα συµβεί. Αλλάζουν τα αποτελέσµατα αν βλέπει ex ante κανείς ότι οι περίοδοι είναι άπειροι; Αλλάζουν εντελώς! Χωρίς να µπούµε σε λεπτοµέρειες θα πούµε την βασική λογική. Το κόλπο ποιο είναι; Κάθε περίοδο, όποια και να είναι αυτή, οι αποµένουσες περίοδοι είναι ΑΠΕΙΡΕΣ. Άρα, αυτό που µπορεί να κάνει µια επιχείρηση είναι να πει στην άλλη: «αν σήµερα δεν συνεργαστείς µαζί µου και συνεργασία µπορεί να σηµαίνει να θέσει η αντίπαλος την τιµή του µονοπωλητή που θέτω και εγώ και έτσι και οι δυο µας να κάνουµε τα µισά κέρδη του µονοπωλητή, τότε από αύριο και µετά θα σε τιµωρήσω θέτοντας µια τιµή: P=MC µέχρι το τέλος της αγοράς». Γιατί µια τέτοια απειλή είναι αξιόπιστη; Θα πούµε κάτι που ξεχάσαµε να το πούµε πριν. Ας πούµε ότι έχουµε άπειρες περιόδους και µας προτείνεται ως ισορροπία ότι κάθε µια από αυτές τις άπειρες περιόδους, οι επιχειρήσεις θέτουν: P=MC. Είναι αυτή µια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων ή όχι; 196

5 P 1t *=P 2t *=c t=0, 1, 2,..., (1) Είναι αυτό µια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων; ΝΑΙ, διότι αν η µια αυξήσει λίγο την τιµή της θα χάσει όλη την αγορά. Ούτε έχει κίνητρο να την µειώσει κάτω από το οριακό κόστος. Άρα το (1) είναι µια από τις ισορροπίες του παιγνίου των απείρων περιόδων αλλά δεν είναι η µοναδική. Θα δείξουµε ότι υπάρχουν άπειρες ισορροπίες: ο,τιδήποτε µπορεί να συµβεί στο παίγνιο των απείρων περιόδων. Άρα τώρα ας πάµε πίσω να επαναλάβουµε την στρατηγική που είπαµε πριν, η οποία καλείται «Trigger strategy». «Trigger strategy»: «Αν συνεργαστείς µαζί µου συνεχίζω να συνεργάζοµαι. Αν όµως σήµερα µειώσεις την τιµή σου έστω και λίγο (ε > 0) από αύριο και πέρα εγώ θα θέσω µια τιµή P=MC». Σαν αποτέλεσµα, και ο άλλος θα θέσει µια τιµή ίση µε το MC, δηλαδή στην συνέχεια του παιγνίου θα βρισκόµαστε στην ισορροπία P=MC. Άρα τώρα τι συµβαίνει; Κάθε επιχείρηση σκέφτεται τα εξής δύο πράγµατα. (i) ή να µειώσει την τιµή της λιγάκι κάτω από την τιµή του αντιπάλου, και να πάρει όλα τα κέρδη της αγοράς σήµερα αλλά να χάσει κέρδη από αύριο µέχρι το άπειρο. (ii) ή να συνεχίσει να συνεργάζεται και να έχει τα µισά κέρδη απ όσα θα µπορούσε να πετύχει µε το να µειώσει λιγάκι την τιµή της, αλλά να έχει αυτά τα µισά κέρδη άπειρες περιόδους. Άρα η trigger strategy θα έχει 2 µέρη (όπου το πρώτο θα είναι η καλή θέληση): Trigger strategy: P io =P P P it = c (P,P ) ( P, P ) εάν Ht =,... 0 t 1 για κάθε άλλη περίπτωση Καλή θέληση σηµαίνει ότι στην περίοδο µηδέν, κάθε επιχείρηση θα θέσει µια τιµή ίση µε την τιµή του µονοπωλίου. Οπότε το trigger strategy µας λέει ότι η επιχείρηση i θα αρχίσει µε καλή θέληση, θα θέσει την τιµή του µονοπωλίου. Τις επόµενες περιόδους η στρατηγική έχει δύο µέλη: συνεχίζει µε την ίδια τιµή αν η ιστορία του παιγνιδιού µέχρι εκείνη τη στιγµή, ήταν «συνεργασία». ηλαδή αν και οι δύο επιχειρήσεις έθεταν τιµές ίσες µε P, κάθε περίοδο. Αν δεν συµβεί αυτό το πράγµα, η τιµή την περίοδο t θα είναι µε το MC. Περίοδος 0: οι επιχειρήσεις κάνουν ένα πείραµα. Θέτουν την τιµή του µονοπωλητή για να δούνε αν θα ξεκινήσει µια συνεργασία η οποία θα διαρκέσει µέχρι το άπειρο. 197

6 Αν για παράδειγµα την περίοδο t=1 η αντίπαλος έχει θέσει µια τιµή µικρότερη από την τιµή του µονοπωλίου, την περίοδο 2 η άλλη επιχείρηση θα θέσει τιµή ίση µε το MC. Αλλιώς αν έχουν θέσει τιµή ίση µε την τιµή του µονοπωλητή, θα συνεχίσει µε την τιµή του µονοπωλητή. Άρα αν κάποια από τις επιχειρήσεις αποκλίνει κάποια περίοδο, από εκεί και πέρα δεδοµένης της στρατηγικής trigger που θα ακολουθήσουν και οι δύο, θα πάµε στην ισορροπία: * Pt = P * t = c 1 2 : όπου κάθε µια θέτει την τιµή ίση µε το MC. Θα αποδείξουµε ότι το ζεύγος: (Trigger strategy, Trigger strategy) είναι τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων, αν δ ½ (δ: συντελεστής προεξόφλησης). Αν δηλαδή η µια επιχείρηση ακολουθεί την Trigger strategy, η καλύτερη απάντηση που µπορεί να δώσει ο άλλος είναι η ίδια στρατηγική (Trigger strategy). Το ενδιαφέρον είναι ότι αυτή η στρατηγική έχει πολύ ισχυρές τιµωρίες. ηλαδή αν µια από τις επιχειρήσεις, µια περίοδο θέσει µια τιµή 1 cent λιγότερο από του µονοπωλητή, η άλλη επιχείρηση την τιµωρεί από την επόµενη περίοδο µέχρι το άπειρο, θέτοντας µια τιµή πολύ χαµηλή P=MC. Γιατί έχει κίνητρο να κατεβάσει την τιµή πολύ; Όσο µεγαλύτερη είναι η απειλούµενη τιµωρία, τόσο πιο εύκολο είναι να βρεθεί µια συνεργασία µεταξύ των δύο επιχειρήσεων. Άρα, πρέπει να βρούµε την πιο ισχυρή τιµωρία που είναι πιθανόν να θέσει µια από τις εταιρείες. Και αυτή είναι µια πολύ ισχυρή τιµωρία: κάνεις µια φορά την απόκλιση και η άλλη σε τιµωρεί για πάντα. Σηµείωση: Αρχίζουµε µε P io =P, διότι αν δεν ξεκινήσουν µε καλή θέληση, ποτέ δεν θα επιτευχθεί καλή ισορροπία. Μπορεί να το σκεφτόµαστε ως ένα πείραµα: δηλαδή θέλουµε να δούµε αν το αντίπαλος µας έχει στόχο να συνεργαστεί ή όχι. Ποιο το αποτέλεσµα του ζεύγους στρατηγικών (Trigger strategy, Trigger strategy); Αν και οι δύο επιχειρήσεις ακολουθήσουν την Trigger strategy, τότε ξεκινούν και οι δύο µε τις τιµές του µονοπωλητή. εδοµένου ότι την περίοδο µηδέν: P io =P και τη δεύτερη περίοδο θα θέσουν τιµή ίση µε του µονοπωλητή. εδοµένης της ιστορίας µέχρι την περίοδο 1 (που είναι τιµές µονοπωλητή) την περίοδο 2 θα θέσουν και οι δύο την τιµή του µονοπωλητή. Αυτό θα συνεχίζεται µέχρι το άπειρο. Οπότε θα βγει µια ιστορία όπου: H ( P, P ) t = 0 οι δύο επιχειρήσεις θα θέτουν την τιµή τους ίση µε εκείνη του µονοπωλητή, για κάθε περίοδο. 198

7 Ο συνδυασµός στρατηγικών (Trigger, Trigger) είναι µια τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων αν δ ½. Η λογική εδώ είναι: Κάποιος µπορεί να πάρει µεγάλα κέρδη σήµερα και µικρά κέρδη στο µέλλον, ή µικρότερα σήµερα αλλά τα ίδια κέρδη για πάντα π 2. Άρα, ποια είναι η συνθήκη που χρειαζόµαστε; Τι χρειάζεται να είναι σχετικά µεγάλο; Το δ. Αν για παράδειγµα το µέλλον δεν παίζει κανένα ρόλο, η ισορροπία (Trigger strategy, Trigger strategy) δεν µπορεί ποτέ να επιτευχθεί. Οπότε η συνθήκη είναι: δ ½ (δηλαδή αρκετά µεγάλο δ). H ( P, P ) τι είναι; Είναι το τελικό αποτέλεσµα. Ότι κάθε περίοδο υπάρχει µια τιµή ίση t = 0 µε τον µονοπωλητή. Το µόνο που έµεινε να αποδείξουµε είναι γιατί το δ ½, όταν έχουµε δύο επιχειρήσεις. Θα δούµε µετά πως αλλάζει το δ αν υπάρχουν παραπάνω επιχειρήσεις. Ας πάρουµε µια επιχείρηση µια τυχαία περίοδο t. Η επιχείρηση αυτή µπορεί είτε: (i) να συνεχίσει µε την τιµή του µονοπωλητή ή (ii) να µειώσει την τιµή της. Ποια τα κέρδη της όταν συνεχίσει µε την τιµή του µονοπωλητή; Π δπ Π i (ακολουθεί)= Π = (1 + δ + δ ) Π 1 Π = = 2 1 δ 2(1 δ ) Ποια τα κέρδη αν µειώσει την τιµή της; Π i (απόκλιση) Π Αν αποκλίνει θα έχει κέρδη σχεδόν ίσα µε τον µονοπωλητή, διότι θα πρέπει να µειώσει την τιµή λίγο κάτω από το P. (P -ε) Το Π i (απόκλιση) είναι τα κέρδη της επιχείρησης όταν αποκλίνει από την στρατηγική, δεδοµένου ότι η άλλη επιχείρηση ακολουθεί την στρατηγική Trigger. Επαναλαµβάνουµε: δεδοµένου ότι η επιχείρηση j ακολουθεί το Trigger Strategy, θέλουµε να δούµε αν η επιχείρηση i έχει κίνητρο να αποκλίνει (να αλλάξει την τιµή της από P ) ή να ακολουθήσει την στρατηγική. 199

8 Άρα µε την απόκλιση, σήµερα πετυχαίνει περίπου τα κέρδη του µονοπωλίου, αλλά από αύριο πετυχαίνει µηδέν. Άρα συνολικά πετυχαίνει σχεδόν τα κέρδη του µονοπωλητή µιας περιόδου. Τι κέρδη θα έχει η ίδια επιχείρηση αν ακολουθήσει την στρατηγική Trigger; Θα έχει κάθε φορά κέρδη Π 2 αλλά προεξοφληµένα. Άρα δεν θα αποκλίνει από την στρατηγική αν Π i (ακολουθεί) Π i (απόκλιση) Π Π 2(1 δ ) 1 2 2δ 2δ 1 δ ½ Αν θέλαµε να κάνουµε την ίδια ανάλυση µε το παιχνίδι των φυλακισµένων, το αντίστοιχο Π είναι το 1. Όµως βλέπουµε το Π δεν παίζει κανένα ρόλο. Όταν είναι δύο άτοµα, το δ πρέπει να είναι µεγαλύτερο από το 0.5. Το τι κερδίζει κανείς µε την συνεργασία που παριστάνει το Π, δεν παίζει κανένα ρόλο. Βέβαια, αυτό που έχει σχέση είναι να δούµε τη διαφορά του 1 και 8 διότι Π = -1 και αν αποκλίνει θα έχει 8. Π i (απόκλιση)=0+δ( 8)+δ 2 ( 8)+... = 8[1+δ+δ ]+8 = δ Π i (ακολουθεί)= 1+δ( 1) = 1(1+δ+...)= 1 δ Πi (απόκλιση) Πi (ακολουθεί) δ 1 δ δ $1/8 Τι προβλέπεται αν αντί για δύο επιχειρήσεις έχουµε πολλές (n); Η κρίσιµη τιµή του δ θα είναι µεγαλύτερη. Γιατί; Εδώ υπάρχει µια σιωπηρή συνεργασία. Πότε είναι πιο εύκολο να συνεργαστούν: όταν είναι δύο ή πολλές επιχειρήσεις; Σίγουρα δύο. Άρα το κρίσιµο δ θα είναι µεγαλύτερο. Η κριτική τιµή του δ αν για παράδειγµα έχουµε τρεις επιχειρήσεις θα είναι µεγαλύτερη από το ½. Γιατί; Η συνθήκη δ ½ σηµαίνει ότι ακόµα και αν προεξοφλείται αρκετά το µέλλον, δηλαδή δ=½, οι δύο επιχειρήσεις µπορούν να συνεργαστούν χρησιµοποιώντας το Trigger Strategy. 200

9 Αν είναι όµως πολλές οι επιχειρήσεις πρέπει το µέλλον να παίζει περισσότερο ρόλο. Μα το µέλλον να παίζει περισσότερο ρόλο σηµαίνει δ πιο ψηλό. Το δ είναι αντίστροφο του επιτοκίου. Αν έχουµε n επιχειρήσεις: Π Πς Πi (ακολουθεί)= n n Π = n ( 1 δ ) Πi (αποκλίνει) Π +δ Π Πi (ακολουθεί) Πi (αποκλίνει) Π Π n(1 δ) 1 n nδ 1 n( 1 δ ) n 1 nδ δ n 1 ή δ 1 1/n n Άρα, είναι πιο δύσκολο να γίνει η συνεργασία. Πρέπει οι επιχειρήσεις να θεωρούνε σηµαντικά τα µελλοντικά τους κέρδη. Και µπορούµε να δούµε τι γίνεται αν n=10. Αν έχουµε 10 επιχειρήσεις, η συνθήκη απαιτεί ένα δ 0.9. ηλαδή ήδη είµαστε σε ένα αρκετά ψηλό συντελεστή προεξόφλησης. Οπότε, µια ισορροπία, καλή ισορροπία συνεργασίας, είναι δύσκολη όταν ο αριθµός των επιχειρήσεων είναι πολύ µεγάλος. Γιατί είναι πιο δύσκολο να συνεργαστούν; ιότι όταν όλες οι άλλες συνεργάζονται και µια µειώσει την τιµή της, πιάνει όλη την αγορά. Άρα, από εκεί που είχε Π κέρδη πάει σε Π. Αυξάνει πάρα πολύ τα κέρδη της. n Άρα το κέρδος το τωρινό της επιχείρησης είναι πολύ µεγάλο. Αν λοιπόν οι µελλοντικές απώλειες δεν είναι σηµαντικές (το δ είναι µικρό) τότε η επιχείρηση θα σπάσει τη συµφωνία και θα πάρει τα σηµερινά κέρδη και δεν θα την ενδιαφέρουν οι απώλειες οι µελλοντικές. [Πως ορίζεται η ισορροπία κατά Nash; Λέµε ας πούµε ότι οι υπόλοιποι ακολουθούν. Εγώ τι κάνω; Ακολουθώ ή όχι; Αν το ακολουθώ, είναι µια ισορροπία κατά Nash. Αν δεν το ακολουθώ δεν είναι.] εν έχουµε κάνει καµιά αυστηρή ανάλυση του όλου θέµατος. Απλώς είπαµε ποια είναι η βασική λογική και γιατί πετυχαίνουµε µια καλή ισορροπία, µια ισορροπία σιωπηλής συνεργασίας (tacit collusion). Και γιατί είναι σιωπηρή συνεργασία; ιότι βάζουν την τιµή του µονοπωλητή, χωρίς να υπάρχει υπογραµµένο κανένα συµβόλαιο, χωρίς να υπάρχει καµιά ανοιχτή συµφωνία. 201

10 Απλά, µέσω των απειλών που κάθέ µια επιχείρηση εκτοξεύει στην αντίπαλό της όλες πετυχαίνουν την καλή ισορροπία. Με την ίδια λογική, µπορούµε να υποστηρίξουµε οποιαδήποτε άλλη τιµή µεταξύ του µονοπωλητή (P ) και του c. ηλαδή, θα µπορούσαµε να είχαµε το εξής Trigger Strategy: P oi =P, P > c P P it = c (P,P ) ( P, P εάν Ht =,... 0 t 1 στις άλλες περιπτώσεις ) Θα βγει το ίδιο αποτέλεσµα όπως πριν. Αν δ ½ αυτή είναι τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων. Άρα τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων µπορούµε να έχουµε και µε τιµή ίση µε το οριακό κόστος, και µε τιµή ίσή µε P. Tέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων έχουµε και για ο,τιδήποτε ενδιάµεσο. Όλα είναι τέλειες ισορροπίες κατά Nash υποπαιγνίων και όχι µόνο!!! Τι άλλο µπορεί να συµβεί εδώ; Τι άλλο µας λέει το θεώρηµα του Folk; Folk Theore: Οι επιχειρήσεις µπορεί να κάνουνε διάφορα κέρδη ανά περίοδο. Μπορεί µια να έχουν ψηλά κέρδη και µια χαµηλά. Τι µπορούµε να κάνουµε; Να πάρουµε όλα αυτά τα κέρδη, τα προεξοφληµένα και να βρούµε ποια είναι τα µέσα κέρδη ανά περίοδο. ηλαδή παίρνουµε µια επιχείρηση που κάνει κέρδη Π οi την περίοδο 0, Π 1i την πρώτη κλπ. Θα κάνουµε όλα αυτά τα κέρδη έναν µέσο όρο. (1 δ) Π =Π οi +δπ 1i +... = Π δπ43... Π 1 δ Τι λέµε; Υπάρχουν κάποια µέσα κέρδη ανά περίοδο. Τι µας λέει το θεώρηµα του Folk; Μας λέει: πάρτε οποιαδήποτε µέσα κέρδη ανά περίοδο, έτσι ώστε τα µέσα κέρδη να είναι µεγαλύτερα ή ίσα από το µηδέν και να είναι µικρότερα ή ίσα των κερδών του µονοπωλητή. Με ένα περιορισµό: τα κέρδη των δύο επιχειρήσεων αθροίζουν σε κέρδη µικρότερα ή ίσα του µονοπωλητή. Παράδειγµα: Έστω ότι τα κέρδη στην αγορά φθάνουνε µέχρι 10, όπου Π =10. Προφανώς αν οι επιχειρήσεις θέτουν µια τιµή ίση µε το MC θα κάνουν κέρδη µηδέν. Άρα τα κέρδη θα είναι από 0 µέχρι

11 Ας πάρουµε δύο µέσα κέρδη της εταιρείας 1 και 2 έτσι ώστε: 0 Π Π 2 10 Π 1 + Π 2 10 Μια πιθανότητα είναι τα µέσα κέρδη ανά περίοδο να είναι 5 για κάθε επιχείρηση. Άλλη πιθανότητα είναι µηδέν για την πρώτη εταιρεία και 10 για την άλλη. Ή για παράδειγµα 8 µε 2 ή 3 µε 3 ή 1 µε 1. εν είναι απαραίτητο να αθροίζουν στο 10. Αυτά τα κέρδη µπορούνε να πραγµατοποιηθούνε σε κάποια τέλεια ισορροπία κατά Nash. ηλαδή υπάρχουν στρατηγικές έτσι ώστε να µας δώσουν µια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων που το αποτέλεσµα της είναι οι επιχειρήσεις κατά µέσο όρο να πετυχαίνουν τα κέρδη: 0 Π Π 2 10 ηλαδή, ο,τιδήποτε µπορεί να συµβεί κάτω από τον ήλιο (under the sun). Τα πάντα είναι ισορροπία. ηλαδή πάµε από µια κατάσταση εντελώς ακραία όπου έχουµε κέρδη µηδέν - έχουµε το παράδοξο του Bertrand ή το παράδοξο του διλήµµατος των φυλακισµένων που έχει µια µόνο ισορροπία σε κυρίαρχες στρατηγικές, σε οτιδήποτε «κάτω από τον ήλιο» είναι ισορροπία. Βέβαια, αν οτιδήποτε «κάτω από τον ήλιο» είναι ισορροπία, ποια είναι η πιο πιθανή ισορροπία σύµφωνα µε το focal point; Η ισορροπία η οποία θα είναι αποτελεσµατική. Μια από τις αποτελεσµατικές ισορροπίες. Και αν όλα είναι συµµετρικά, η πιο πιθανή ισορροπία είναι: και οι δύο επιχειρήσεις να θέτουν µια τιµή ίση µε τον µονοπωλητή και να πετυχαίνουν τα µισά των κερδών του µονοπωλητή. Η συµµετρία µας δίνει µια πιο πιθανή ισορροπία το να µοιράζονται τα κέρδη εξίσου. Και το focal point µας δίνει µια ισορροπία η οποία είναι αποτελεσµατική. Απορία: Πότε µια ισορροπία είναι αποτελεσµατική; Αποτελεσµατική είναι µε την έννοια των παιχτών που συµµετέχουν στο παιγνίδι, όχι της οικονοµίας. Στο δίληµµα των φυλακισµένων η αποτελεσµατική ισορροπία είναι το ( 1, 1). Αυτό όµως δεν είναι καλό για την κοινωνία. εν υπάρχει µια µόνο αποτελεσµατική ισορροπία γενικά. Μπορεί η µια επιχείρηση να είναι εκτός αγοράς συνέχεια και η άλλη να είναι συνέχεια µονοπωλητής. Και αυτή είναι αποτελεσµατική ισορροπία. Έχει πολλές αποτελεσµατικές. 203

12 Στο δίληµµα των φυλακισµένων το ( 1, 1) είναι η αποτελεσµατική ισορροπία, γιατί οι δύο φυλακισµένοι ΣΥΝΟΛΙΚΑ θα µείνουν στην φυλακή λιγότερα χρόνια. Στις δύο επιχειρήσεις όµως, υπάρχουν πολλές ισορροπίες. Οι επιχειρήσεις αυτές, παρόλο που είναι συµµετρικές, µπορεί να κάνουνε διαφορετικά κέρδη για παράδειγµα η µια να κάνει όλα σχεδόν τα κέρδη και η άλλη σχεδόν καθόλου. Γιατί; ιότι το folk theore µας λέει ότι είναι πιθανόν να γίνει αυτό. Είναι αποτελεσµατικό αν το άθροισµα των κερδών των δύο επιχειρήσεων είναι ίσο µε τα κέρδη του µονοπωλητή. Τι µπορεί να συµβαίνει; Για παράδειγµα, οι τιµές την περίοδο: 1, 5, 9, 13, 17,... η µια επιχείρηση δρα ως µονοπωλητής και την περίοδο: 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, να δρα η άλλη επιχείρηση σαν µονοπωλητής. Τι αποτέλεσµα θα έχουµε από άποψη µέσων κερδών; Θα έχει η µια το 1/4 των κερδών του µονοπωλητή. Τα συνολικά κέρδη θα είναι τα κέρδη του µονοπωλητή, όµως δεν τα µοιράζονται εξίσου. Αυτή είναι µια ισορροπία πιθανή που µπορούµε να βρούµε στρατηγικές που θα την υποστηρίζουν όπου θα είναι αποτελεσµατική αλλά όχι συµµετρική. ηλαδή αποτελεσµατικότητα είναι το άθροισµα των κερδών των επιχειρήσεων να ισούται µε τα κέρδη του µονοπωλητή. 204

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ Kεφάλαιο 11 Θα επαναλάβουµε αυτά που είχαµε πει την προηγούµενη φορά. Παραστατικά αν έχουµε το εξής παίγνιο όπου οι δύο παίχτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους αφού αποφασίσει ο Ι, θα δούµε πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0)

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0) Κεφάλαιο 5 Θα ξεκινήσουµε το κεφάλαιο αυτό βλέποντας ένα ακόµη παράδειγµα αναφορικά µε την ισορροπία που προκύπτει από την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) και την ισορροπία κατά Nash στην στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία

Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία Κεφάλαιο 4 Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία κατά Nash είναι: (α) ένα διάνυσµα από στρατηγικές, έτσι ώστε δεδοµένων των υπολοίπων στρατηγικών, ο παίκτης

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 )

Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 ) Κεφάλαιο 7ο Μιλήσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο για το τι θα συµβεί αν οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται σε τιµές. Επιπλέον µιλήσαµε για το πως αποδεικνύεται το παράδοξο του Bertrand και καθώς επίσης και για

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2008 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (13:00-16:00) ΘΕΜΑ 1 ο (2,5

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ολιγοπώλιο. Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι. Αρ. Διάλεξης: 11

Ολιγοπώλιο. Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι. Αρ. Διάλεξης: 11 Ολιγοπώλιο Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι Αρ. Διάλεξης: 11 Μορφές Αγορών μεταξύ Μονοπωλίου και Τέλειου Ανταγωνισμού Ο Ατελής Ανταγωνισμός αναφέρεται στην διάρθρωση της αγοράς εκείνης η οποία βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

3. Παίγνια Αλληλουχίας

3. Παίγνια Αλληλουχίας 3. Παίγνια Αλληλουχίας Τα παίγνια αλληλουχίας πραγµατεύονται περιπτώσεις όπου οι κινήσεις των παικτών διαδέχονται η µια την άλλη, σε αντίθεση µε τα παίγνια όπου οι αποφάσεις των παικτών γίνονται ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές.

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 1, -1 0, 0-1, 0 0, 0 0, 6 10, -1 2, 0 10, -1-1, -1 Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΑΓΟΡΩΝ ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός A1. Το υπόδειγµα των εγχειριδίων Στον Πλούτο των Εθνών (1776) ο Adam Smith παρουσίασε το φηµισµένο πλέον επιχείρηµά του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούµενα Μαθήµατα: Παίχτες: είναι αυτοί που λαµβάνουν τις αποφάσεις. Ένα παίγνιο πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Α Κ Α Η Μ Α Ι Κ Ο Ε Τ Ο Σ 2 0 1 1-2 0 1 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT Ο συγκεκριµένος οδηγός για το πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 2: Ισορροπία Nash. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 2: Ισορροπία Nash. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 2: Ισορροπία Nash Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΚΟΙΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Players-Παίκτες Rules- Κανόνες. Τιµωρείσαι εάν τους παραβιάσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Κεφάλαιο 7 Ε. Σαρτζετάκης Μονοπωλιακός ανταγωνισμός Η μορφή αγοράς του μονοπωλιακού ανταγωνισμού περιέχει στοιχεία πλήρους ανταγωνισμού (ελεύθερη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 8 Σεπτεµβρίου 005 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (:00-4:00 ΘΕΜΑ ο (.5 Το παράδοξο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούμενα Μαθήματα: Παίχτες: είναι αυτοί που λαμβάνουν τις αποφάσεις. Ένα παίγνιο πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ

Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ Έστω ότι έχουµε δοχεία αριθµηµένα από το ως και σφαίρες αριθµηµένες από ως. Οι σφαίρες τοποθετούνται τυχαία στα δοχεία ανά µία. Εάν µία σφαίρα και το δοχείο

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνιο: Συμμετέχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με τουλάχιστον δύο στρατηγικές ο καθένας και αντίθετα συμφέροντα. Το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη καθορίζεται από τις συνδυασμένες επιλογές όλων

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Μεταξύ του µονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισµού

Μεταξύ του µονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισµού Ολιγοπώλιο Μεταξύ του µονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισµού Ο ατελής ανταγωνισµός αναφέρεται σε εκείνες τις δοµές µ της αγοράς που κυµαίνονται µεταξύ του τέλειου ανταγωνισµού και του µονοπωλίου. Μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να - Παράδειγμα. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να αποκρούσει ένας τερματοφύλακας. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΣΗ µε λογισµικό PheT ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Πείραµα. (εικονικό). http://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_el.html

ΑΝΩΣΗ µε λογισµικό PheT ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Πείραµα. (εικονικό). http://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_el.html ΑΩΣΗ µε λογισµικό PheT ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Πείραµα. (εικονικό). http://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_el.html Παίρνω στο ένα µου χέρι τα 2 kg σίδερο και στο άλλο τα 2 kg ξύλο. Αισθάνοµαι

Διαβάστε περισσότερα

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Χειµώνας-Άνοιξη Μάθηµα: ηµόσια Οικονοµική ιδασκαλία: Βασίλης Θ. Ράπανος Γεωργία Καπλάνογλου Μετά και το 4 ο πακέτο, πρέπει να στείλετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 7: Τέλεια ισορροπία Nash για υποπαίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 7: Τέλεια ισορροπία Nash για υποπαίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 7: Τέλεια ισορροπία Nash για υποπαίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον Θεωρία Παιγνίων Αβεβαιότητα παρουσία άλλου πράκτορα Μια άλλη πηγή αβεβαιότητας είναι η παρουσία άλλου πράκτορα στο περιβάλλον, ακόμα κι όταν ένας πράκτορας είναι

Διαβάστε περισσότερα

3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα Bertrand

3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα Bertrand 3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα ertrand - To υπόδειγμα Cournot υποθέτει ότι κάθε επιχείρηση επιλέγει την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος, ενώ στην πραγματικότητα οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται

Διαβάστε περισσότερα

B 1 A 1 B 2 A 2. t 1. t 3 w. t 2 A 3 B 3. t 4. t 5

B 1 A 1 B 2 A 2. t 1. t 3 w. t 2 A 3 B 3. t 4. t 5 Κεφάλαιο 3 Δυναμικά παίγνια 3.1 Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε αναλύσει παίγνια στα οποία όλοι οι παίκτες επιλέγουν τις στρατηγικές τους ταυτόχρονα. Αυτή η υπόθεση όμως δεν είναι πάντα κατάλληλη. Σε πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων - Ορισμός. Αν οι επιλογές μιας επιχείρησης εξαρτώνται από την αναμενόμενη αντίδραση των υπόλοιπων επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά, τότε υπάρχει στρατηγική αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 3 (θεωρία παιγνίων) Οι δύο μεγαλύτερες τράπεζες μιας χώρας, Α και Β, εκτιμούν ότι μια άλλη τράπεζα, η Γ, θα κλείσει στο προσεχές διάστημα και πρόκειται να προχωρήσουν σε διαφημιστικές εκστρατείες

Διαβάστε περισσότερα

Τέλειος ανταγωνισμός είναι μια ακραία συμπεριφορά της αγοράς, όπου πολλές εταιρίες ανταγωνίζονται με τις παρακάτω προϋποθέσεις :

Τέλειος ανταγωνισμός είναι μια ακραία συμπεριφορά της αγοράς, όπου πολλές εταιρίες ανταγωνίζονται με τις παρακάτω προϋποθέσεις : Κεφάλαιο 1. ΤΕΛΕΙΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Εισαγωγή Τέλειος ανταγωνισμός είναι μια ακραία συμπεριφορά της αγοράς, όπου πολλές εταιρίες ανταγωνίζονται με τις παρακάτω προϋποθέσεις : α) Υπάρχουν πολλές εταιρίες οι

Διαβάστε περισσότερα

Générateurs et groupes cycliques

Générateurs et groupes cycliques Γεννήτορες και κυκλικές οµάδες - Générateurs et groupes cycliques N. Lygeros Νοµίζω πως τώρα είµαστε αρκετά προετοιµασµένοι για να δούµε µερικά πράγµατα από το βιβλίο. Άρα το Η θα είναι η υποοµάδα. Οπότε

Διαβάστε περισσότερα

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος.

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος. σώματος αλλά και συστήματος. Μια καλοκαιρινή περιπλάνηση. Τα δυο σώµατα Α και Β µε ίσες µάζες g, ηρεµούν όπως στο σχήµα, ό- που το ελατήριο έχει σταθερά 00Ν/, ενώ το Α βρίσκεται σε ύψος h0,45 από το έδαφος.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Κεφάλαιο 11 Τα χαρακτηριστικά των ανταγωνιστικών αγορών! Τα κύρια χαρακτηριστικά των ανταγωνιστικών αγορών είναι: " Στην αγορά συµµετέχουν πολλοί αγοραστές και πωλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-1: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /10/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : /11/01

Διαβάστε περισσότερα

«Το θέµα είναι που θα πάει; Τουλάχιστον µετά να πήγαινε Μαλανδρίνο, δεν ξέρω»

«Το θέµα είναι που θα πάει; Τουλάχιστον µετά να πήγαινε Μαλανδρίνο, δεν ξέρω» «Το θέµα είναι που θα πάει; Τουλάχιστον µετά να πήγαινε Μαλανδρίνο, δεν ξέρω» Στον αποµαγνητοφωνηµένο δάλογο που ακολουθεί συνοµιλεί συγγενής του Γ. Ρουπακιά (Α) µε τον (Β) - Οπου Α η καλούσα - Οπου Β

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ 2 η ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΠΟE- ΟΤΑ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 29 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2008 ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ 1. Ενηµέρωση. 2. Εκλογή Αναπληρωτή Προέδρου. 3. Κλιµάκωση των απεργιακών κινητοποιήσεων. Ν. Α ΑΜΟΠΟΥΛΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Θεωρία Παιγνίων Μαρκωβιανά Παιχνίδια Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Μερική αρατηρησιµότητα POMDPs

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία (balance) Οι ιδιότητες που δημιουργεί η μέθοδος του ακεραίου τοπ.

Ισορροπία (balance) Οι ιδιότητες που δημιουργεί η μέθοδος του ακεραίου τοπ. Ισορροπία (balance) Ένας όρος που χρησιμοποιείται συχνά σε θέματα κινήσεων είναι η ισορροπία (balance). Για να προχωρήσουμε παρακάτω πρέπει να ξέρουμε πως να βγάζουμε αποτελέσματα σε ένα τουρνουά ζευγών

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Η ακρίβεια ορίζεται σαν το πηλίκο των ευρεθέντων συναφών εγγράφων προς τα ευρεθέντα έγγραφα. Άρα για τα τρία συστήµατα έχουµε τις εξής τιµές:

Η ακρίβεια ορίζεται σαν το πηλίκο των ευρεθέντων συναφών εγγράφων προς τα ευρεθέντα έγγραφα. Άρα για τα τρία συστήµατα έχουµε τις εξής τιµές: Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY463 - Συστήµατα Ανάκτησης Πληροφοριών 2005-2006 Εαρινό Εξάµηνο 1 η Σειρά Ασκήσεων (Αξιολόγηση Αποτελεσµατικότητας Ανάκτησης) Άσκηση 1 (4 βαθµοί) Θεωρείστε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ MARSHALL ΚΑΙ HICKS. 1. Η καµπύλη Engel

ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ MARSHALL ΚΑΙ HICKS. 1. Η καµπύλη Engel ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ ARSALL ΚΑΙ ICKS. Η καµπύλη Egel Η καµπύλη Egel παράγεται από την

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008 Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 (για άριστα διαβασµένους) ΟΜΑ Α Α Να απαντήσετε στις επόµενες ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής A1. Σε γραµµική ΚΠ της µορφής Y =

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα στα Σύνολα και Αριθµοί 11/02/2011 Απαντήσεις µε σχολιασµό. n4 + 4n 2. (iii)

Θέµατα στα Σύνολα και Αριθµοί 11/02/2011 Απαντήσεις µε σχολιασµό. n4 + 4n 2. (iii) Καρλόβασι 17/02/2011 Θέµατα στα Σύνολα και Αριθµοί 11/02/2011 Απαντήσεις µε σχολιασµό. 1. Να υπολογίσετε κάθε ένα από τα παρακάτω όρια (για ). (i)! (ii) 4 + 4 2 (iii) 1 1+ 2 2+ 3 3+ + (i) Χρη- οπότε a+1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Δυναμική αποτελεσματικότητα και βιώσιμη ανάπτυξη

Κεφάλαιο 5. Δυναμική αποτελεσματικότητα και βιώσιμη ανάπτυξη Κεφάλαιο 5. Δυναμική αποτελεσματικότητα και βιώσιμη ανάπτυξη 1 Εισαγωγή Δύο κριτήρια/αρχές/μέσα αποτελεσματικής διαχείρισης πόρων Στατική αποτελεσματικότητα: Ο παράγοντας χρόνος δεν είναι σημαντικός. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς Μάθηµα : Overview Of The Algorithmic Game Theory Ηµεροµηνία : 007/04/19 Σηµειώσεις : Ελενα Χατζηγιωργάκη,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ισορροπία. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 19 Απριλίου 2013

Γενική Ισορροπία. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 19 Απριλίου 2013 Γενική Ισορροπία Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 19 Απριλίου 2013 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία 19 Απριλίου 2013 1 / 50. Παρατήρηση. Στη γενική ισορροπία προσέξτε ότι οι καµπύλες

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονοµική Θεωρία. Προσφορά προϊόντος από επιχείρηση. Προσφορά προϊόντος από επιχείρηση. = 0 p = dc(q) Notes. Notes. Notes.

Μικροοικονοµική Θεωρία. Προσφορά προϊόντος από επιχείρηση. Προσφορά προϊόντος από επιχείρηση. = 0 p = dc(q) Notes. Notes. Notes. Μικροοικονοµική Θεωρία Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 23 Σεπτεµβρίου 214 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Μικροοικονοµική Θεωρία 23 Σεπτεµβρίου 214 1 / 25 Προσφορά προϊόντος από επιχείρηση Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαρκοβιανές Αλυσίδες

Μαρκοβιανές Αλυσίδες Μαρκοβιανές Αλυσίδες { θ * } Στοχαστική Ανέλιξη είναι μια συλλογή τ.μ. Ο χώρος Τ (συνήθως είναι χρόνος) μπορεί να είναι είτε διακριτός είτε συνεχής και καλείται παραμετρικός χώρος. Το σύνολο των δυνατών

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Πολίτη Όλγα Α.Μ. 4528 Εξάµηνο 8ο Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ταλαντώσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ταλαντώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ταλαντώσεις Στο Παράδειγµα 9 είδαµε τη µελέτη της κίνησης υλικού σηµείου µάζας, που βρίσκεται στο ένα άκρο ελατηρίου µε το άλλο άκρο του ελατηρίου σταθερό Θα επανεετάσοµε το ίδιο πρόβληµα εδώ

Διαβάστε περισσότερα

Κωστόπουλος ηµήτριος Μ.Π.Λ.Α. TAPE COMPRESSION (θεώρηµα 2.3 Παπαδηµητρίου)

Κωστόπουλος ηµήτριος Μ.Π.Λ.Α. TAPE COMPRESSION (θεώρηµα 2.3 Παπαδηµητρίου) Κωστόπουλος ηµήτριος Μ.Π.Λ.Α. TAPE COMPRESSION (θεώρηµα 2.3 Παπαδηµητρίου) Εισαγωγή. Αυτό το φυλλάδιο έχει στόχο να δώσει ένα ανάλογο αποτέλεσµα µε αυτό του linear speedup θεωρήµατος, εάν έχουµε µία µηχανή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΙΛΙΑ ΤΟΥ ΑΝΤΙΠΡΟΕ ΡΟΥ ΤΟΥ ΣΕΒ. κ. ΧΑΡΗ ΚΥΡΙΑΖΗ

ΟΜΙΛΙΑ ΤΟΥ ΑΝΤΙΠΡΟΕ ΡΟΥ ΤΟΥ ΣΕΒ. κ. ΧΑΡΗ ΚΥΡΙΑΖΗ ΟΜΙΛΙΑ ΤΟΥ ΑΝΤΙΠΡΟΕ ΡΟΥ ΤΟΥ ΣΕΒ κ. ΧΑΡΗ ΚΥΡΙΑΖΗ στο συνέδριο του Economist µε θέµα: SOCIAL SECURITY REFORM IN GREECE Reality-Obstacles-Decisions for the Pension System Τετάρτη, 14 Φεβρουαρίου 2008 Όταν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα