ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ταξινόµηση - Στοιχειώδεις µέθοδοι Κεφάλαιο 6. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

Transcript

1 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ταξινόµηση - Στοιχειώδεις µέθοδοι Κεφάλαιο 6 Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

2 Περίληψη Ταξινόµηση: οι κανόνες του παιχνιδιού Ταξινόµηση µε εισαγωγή Γενικές Υλοποιήσεις Bubble Sort Selection Sort Insertion Sort Χαρακτηριστικά επιδόσεων Shellsort Ταξινόµηση συνδεδεµένων λιστών Ταξινόµηση µε αριθµοδείκτη κλειδιού Δοµές Δεδοµένων 07-2

3 Οι κανόνες του παιχνιδιού Στόχος ταξινόµησης Είσοδος: Δίνεται ένα σύνολο Ν στοιχείων/αντικειµένων Υλοποίηση των συνόλων µε πίνακες ή λίστες Κάθε στοιχείο περιλαµβάνει ένα κλειδί Έξοδος: Αναδιάταξη των στοιχείων σύµφωνα µε τα κλειδιά Αύξουσα / φθίνουσα, αριθµητική / λεξικογραφική σειρά Είδη ταξινόµησης Εσωτερική ταξινόµηση: τα στοιχεία χωράνε στη µνήµη Εξωτερική ταξινόµηση: τα στοιχεία αποθηκεύονται στο δίσκο, σε βάση, κτλ Προσαρµοστική ταξινόµηση: εξαρτάται από τα στοιχεία Σε εσωτερική ταξινόµηση έχουµε πιο εύκολη πρόσβαση στα στοιχεία Θα ασχοληθούµε κυρίως µε εσωτερική ταξινόµηση Δοµές Δεδοµένων 07-3

4 Οι κανόνες του παιχνιδιού Ταξινόµηση σε πίνακα Κάποιες συµβάσεις/αφαιρέσεις: Θα ασχοληθούµε µε ταξινόµηση σε αύξουσα σειρά sort(): υλοποιεί έναν αλγόριθµο ταξινόµησης, Βασίζεται στις: less(): σύγκριση 2 στοιχείων exch(): αντιµετάθεση 2 στοιχείων compexch(): σύγκριση 2 στοιχείων και αντιµετάθεση αν είναι απαραίτητο αποδεσµεύεται η sort() από τον τύπο δεδοµένων Δοµές Δεδοµένων 07-4

5 Ταξινόµηση µε εισαγωγή (Insertion Sort) H µέθοδος που χρησιµοποιούν οι χαρτοπαίκτες Δείτε εδώ: Ή ψάξτε στο youtube insertion sort Δοµές Δεδοµένων 07-5

6 Ταξινόµηση µε εισαγωγή (Insertion Sort) H ιδέα του αλγορίθµου: Βρόχος στα δεδοµένα εισόδου Έστω ότι ταξινοµούµε τα στοιχεία από 0 ως Ν-1 Στην επανάληψη k: κοιτάµε το στοιχείο a[k] Ο αριστερός υποπίνακας a[0],,a[k-1] είναι ήδη ταξινοµηµένος (από τις προηγούµενες επαναλήψεις) Βρίσκουµε ποια είναι η σωστή θέση για το a[k] (ανάµεσα στις θέσεις 0 ως k) Κανουµε τις απαραίτητες αντιµεταθέσεις Μπορούµε να το υλοποιήσουµε για το εύρος a[p] ως a[r] αντί για a[0] ως a[n-1] Δοµές Δεδοµένων 07-6

7 Ταξινόµηση µε εισαγωγή (Insertion Sort) class ArraySortBasic { //ταξινόµηση των στοιχείων a[p] ως a[r] } static boolean less(double v, double w) { return v < w; } static void exch(double[] a, int i, int j) { double t = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = t; } static void compexch(double[] a, int i, int j) { if (less(a[j], a[i])) exch (a, i, j); } static void sort(double[] a, int p, int r) { //υλοποίηση Insertion Sort for (int i = p+1; i <= r; i++) for (int j = i; j > p; j--) compexch(a, j-1, j); } Δοµές Δεδοµένων 07-7

8 Πολυπλοκότητα Αξιολόγηση αλγορίθµων ταξινόµησης Βασικές λειτουργίες: συγκρίσεις και αντιµεταθέσεις Η σύγκριση απαιτεί ανάγνωση Η µετάθεση απαιτεί ανάγνωση και εγγραφή Οι πιο απλές ταξινοµήσεις είναι συνήθως O(N 2 ) Οι πιο περίπλοκες ταξινοµήσεις είναι O(NlοgN) Υπό προϋποθέσεις, ορισµένες ειδικές ταξινοµήσεις είναι O(N) Πολυπλοκότητα της Insertion Sort Worst case: αν ο πίνακας αρχικά είναι σε φθίνουσα σειρά 1 η επανάληψη: 1 σύγκριση και µετάθεση 2 η επανάληψη: 2 συγκρίσεις και µεταθέσεις... Συνολικά Ν-1 = Ν(Ν-1)/2 = Ο(Ν 2 ) Δοµές Δεδοµένων 07-8

9 Ιδιότητες και επιπλέον είδη ταξινόµησης Ευσταθής και µη ταξινόµηση Πολλές φορές έχουµε στοιχεία µε πολλά κλειδιά Ευσταθής ταξινόµηση: διατηρεί τη σχετική σειρά ως προς το δεύτερο κλειδί Έστω ότι έχουµε ένα αρχείο µε ονόµατα και βαθµούς Αν ταξινοµούµε µε βάση τους βαθµούς, τα ονόµατα που ισοβαθµούν µένουν ταξινοµηµένα σε ευσταθή ταξινόµηση Οι περισσότερες απλές µέθοδοι είναι ευσταθείς Οι περισσότερες από τις πιο πολύπλοκες µεθόδους δεν είναι ευσταθείς Έµµεση ταξινόµηση (indirect sort) Αναδιατάσσουµε τους δείκτες αλλά όχι τα ίδια τα στοιχεία Δοµές Δεδοµένων 07-9

10 Γενικές υλοποιήσεις Σε πολλές περιπτώσεις δεν θα έχετε απλώς έναν πίνακα µε πραγµατικούς ή ακεραίους για ταξινόµηση Στην γραµµατεία κάθε φοιτητής αντιστοιχεί σε ένα αντικείµενο µε Ονοµατεπώνυµο ΑΜ Όνοµα πατέρα/µητέρας Διεύθυνση Τηλέφωνο Κτλ Χρειαζόµαστε πιο γενικές υλοποιήσεις για να µπορούµε να ταξινοµούµε αντικείµενα οποιουδήποτε τύπου ως προς κάποιο πεδίο τους Δοµές Δεδοµένων 07-10

11 Γενικές υλοποιήσεις Αποδέσµευση της ταξινόµησης από τους τύπους δεδοµένων Οι αλγόριθµοι ταξινόµησης δεν εξαρτώνται από τα κλειδιά Αρκεί να µπορούν να τα συγκρίνουν Οι αλγόριθµοι ταξινόµησης δεν εξαρτώνται από τα στοιχεία Αρκεί να µπορούν να τα αντιµεταθέσουν Γενική βιβλιοθήκη ταξινόµησης Ο πελάτης µεταβιβάζει στη sort() έναν πίνακα στοιχείων Η sort() καλεί τις µεθόδους σύγκρισης και αντιµετάθεσης Η βιβλιοθήκη της Java χρησιµοποιεί τη διεπαφή Comparable Aντικείµενα που υλοποιούν το interface Comparable: αρκεί να υλοποιούν τη µέθοδο v.compareto(w) -1 αν v<w, +1 αν v>w, 0 αν v=w Κάθε πίνακας τέτοιων αντικειµένων µπορεί να ταξινοµηθεί Δοµές Δεδοµένων 07-11

12 Γενικές υλοποιήσεις Μια εναλλακτική µορφή της βιβλιοθήκης Αρχικά ορίζουµε έναν γενικό τύπο αντικειµένου ITEM Η διεπαφή ITEM αρκεί να παρέχει τη µέθοδο less() interface ITEM { boolean less(item v); } Στη συνέχεια ορίζουµε τη γενική τάξη ταξινόµησης Sort Η τάξη δεν περιέχει κατάσταση Όλες οι µέθοδοι είναι static Βοηθητική µέθοδος less() Παίρνει ως παράµετρο δύο στοιχεία τύπου ITEM Βοηθητικές µέθοδοι exch() και compexch() Παίρνουν ως παραµέτρους πίνακες µε αντικείµενα ITEM Αντιµεταθέτουν στοιχεία τύπου ITEM Δοµές Δεδοµένων 07-12

13 Γενικές υλοποιήσεις Βοηθητική µέθοδος sort() Καλείται από τους πελάτες µε πίνακα τύπου ITEM και δύο όρια για το εύρος του πίνακα class Sort { static boolean less(item v, ITEM w) { return v.less(w); } static void exch(item[] a, int i, int j) { ITEM t = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = t; } static void compexch(item[] a, int i, int j) { if (less(a[j], a[i])) exch (a, i, j); } static void sort(item[] a, int p, int r) { example(a, p, r); } static void example(item[] a, int p, int r) { for (int i = p+1; i <= r; i++) for (int j = i; j > p; j--) compexch(a, j-1, j); } } Δοµές Δεδοµένων 07-13

14 Γενικές υλοποιήσεις Μπορούµε να έχουµε ΑΤΔ στοιχείων προς ταξινόµηση Και ΑΤΔ πίνακα στοιχείων ΑΤΔ στοιχείων Υλοποιεί τη διεπαφή ITEM Πρέπει να παρέχει υλοποίηση της less() Μπορούµε να προσθέσουµε ανάγνωση, τυχαίο ορισµό, εµφάνιση στοιχείων, κτλ Παράδειγµα: class myitem implements ITEM { public boolean less(item) //υλοποιεί τη σύγκριση void read() //διαβάζει το στοιχείο από την είσοδο void rand() //παράγει ένα τυχαίο στοιχείο public String tostring() // + ό,τι άλλο µπορεί να απαιτείται από την εφαρµογή } Δοµές Δεδοµένων 07-14

15 Γενικές υλοποιήσεις Παράδειγµα 1: τύποι ταξινόµησης ακεραίων Υλοποίηση τάξης myitem Χρησιµοποιεί τις πράξεις των ακεραίων Προσοχή στις µετατροπές τύπων! class myitem implements ITEM { } private int key; //το στοιχείο ως προς το οποίο ταξινοµούµε // εδώ µπορεί να υπάρχουν και άλλα πεδία... public boolean less(item w) {... return key < ((myitem) w).key; } Δοµές Δεδοµένων 07-15

16 Γενικές υλοποιήσεις Μπορούµε να έχουµε και ΑΤΔ για πίνακα στοιχείων Πίνακας στοιχείων άγνωστου τύπου Παρέχει τη δυνατότητα ταξινόµησης (υπο)πινάκων Διασύνδεση class myarray { } myarray(int) void rand() //παράγει τυχαία στοιχεία void read() //διαβάζει τον πίνακα από την είσοδο void show(int, int) //τυπώνει µέρος του πίνακα void sort(int, int) /*ταξινοµεί (υπο)πίνακα που καθορίζουν οι παράµετροι */ Δοµές Δεδοµένων 07-16

17 Γενικές υλοποιήσεις Παράδειγµα ενός προγράµµατος οδήγησης ταξινόµησης (driver program) class ArraySort { { } public static void main(string[] args) int N = Integer.parseInt(args[0]); myarray A = new myarray(n); if (args.length < 2) A.rand(); else A.read(); A.sort(0, N-1); A.show(0, N-1); } Δοµές Δεδοµένων 07-17

18 Γενικές υλοποιήσεις Παράδειγµα 2: τύποι ταξινόµησης εγγραφών Έστω µία τραπεζική εφαρµογή µε αντικείµενα που περιέχουν: Αριθµό λογαριασµού (int), όνοµα (String), υπόλοιπο (double) Αρχικά ορίζουµε την τάξη των εγγραφών Μπορούµε να επιλέξουµε το κλειδί ταξινόµησης Η SortKeyField δείχνει ποιο κλειδί θέλουµε class Record { } int id; //αριθµός λογαριασµού double balance; //υπόλοιπο String who; //όνοµα static int SortKeyField = 0; Δοµές Δεδοµένων 07-18

19 Γενικές υλοποιήσεις Παράδειγµα 2: τύποι ταξινόµησης εγγραφών Στη συνέχεια ορίζουµε την τάξη myitem Κληρονοµεί τη Record και υλοποιεί την ITEM Η less() ταξινοµεί ανάλογα µε τη SortKeyField class myitem extends Record implements ITEM { public boolean less(item w) { } myitem r = (myitem) w; switch (SortKeyField) { case 2: return who.compareto(r.who); case 1: return balance < r.balance; default: return id < r.id; } } Δοµές Δεδοµένων 07-19

20 Γενικές υλοποιήσεις Ιδιότητες γενικής υλοποίησης Λειτουργεί µε οποιονδήποτε τύπο αντικειµένων Όχι τόσο αποδοτική για ενσωµατωµένους τύπους Απαιτείται ένα πρόσθετο επίπεδο αναφορών Στην πράξη όµως εργαζόµαστε συνήθως µε αντικείµενα (π.χ. εγγραφές) και όχι µε στοιχειώδεις τύπους Υλοποιεί ταξινόµηση δεικτών Ταξινόµηση δεικτών Οι πίνακες αντικειµένων περιέχουν αναφορές Η αντιµετάθεση γίνεται σε επίπεδο αναφορών Αποφεύγεται η αντιγραφή των αντικειµένων Το κόστος της αντιµετάθεσης είναι µικρό Ανάλογο µε την αντιµετάθεση ακεραίων Δοµές Δεδοµένων 07-20

21 Στοιχειώδεις µέθοδοι: Ταξινόµηση φυσαλίδας Bubble Sort Λειτουργία αλγορίθµου Από τις πιο παλιές και απλοϊκές µεθόδους Σαρώνουµε από τα δεξιά προς τα αριστερά Αντιµεταθέτουµε γειτονικά στοιχεία όταν χρειάζεται Το µικρότερο στοιχείο φτάνει στο κάτω άκρο Το αριστερό όριο του πίνακα κινείται µία θέση δεξιά Επαναλαµβάνουµε την ίδια διαδικασία Μετά την επανάληψη i: ταξινοµηµένο το τµήµα a[p],,a[p+i] static void bubble(item[] a, int p, int r) { for (int i = p; i < r; i++) for (int j = r; j > i; j--) compexch(a, j-1, j); } Δοµές Δεδοµένων 07-21

22 Ταξινόµηση φυσαλίδας Bubble Sort Σχετικά αργή µέθοδος Πολλές αντιµεταθέσεις σε κάθε επανάληψη! Επιδέχεται βελτιστοποίηση (π.χ. αν δεν γίνουν αντιµεταθέσεις σε 1 επανάληψη) Πολυπλοκότητα Worst case: πίνακας σε φθίνουσα σειρά (N-1)+ (N-2) + +1 N 2 /2 = O(N 2 ) συγκρίσεις και αντιµεταθέσεις Average case: πιο πολύπλοκη η ανάλυση για τον ακριβή αριθµό αντιµεταθέσεων αλλά τελικά περίπου N 2 /2 = O(N 2 ) Σίγουρα απαιτούνται O(N 2 ) συγκρίσεις Δοµές Δεδοµένων 07-22

23 Ταξινόµηση µε επιλογή - Selection Sort Λειτουργία αλγορίθµου Εντοπίζουµε το µικρότερο στοιχείο του πίνακα Σαρώνουµε όλα τα στοιχεία µε τη σειρά Το αντιµεταθέτουµε µε αυτό στην πρώτη θέση Επαναλαµβάνουµε από την επόµενη θέση Κάθε πέρασµα µειώνει τη σάρωση κατά µία θέση static void selection(item[] a, int p, int r) { for (int i = p; i < r; i++) { int min = i; for (int j = i+1; j <= r; j++) if (less(a[j], a[min])) min = j;//εύρεση min exch(a, i, min); } } Δοµές Δεδοµένων 07-23

24 Ταξινόµηση µε επιλογή - Selection Sort Αναπαράσταση αλγορίθµου Μπορούµε να το σκεφτούµε σαν να χωρίζουµε τον πίνακα σε δύο τµήµατα Αριστερός υποπίνακας: ταξινοµηµένος Δεξιός υποπίνακας: µη ταξινοµηµένος Σε κάθε πέρασµα: Εντοπίζουµε το µικρότερο στοιχείο στον δεξιό υποπίνακα Το ενσωµατώνουµε στον αριστερό υποπίνακα Πολυπλοκότητα της Selection Sort Δεν µπορούµε να δούµε αν βρήκαµε ήδη το ελάχιστο στοιχείο Worst case: Ο(Ν) αντιµεταθέσεις, O(N 2 ) συγκρίσεις,, π.χ. φθίνουσα σειρά Οι αντιµεταθέσεις είναι πάντα Ο(Ν) Average case: O(N 2 ) (πάντα κάνει O(N 2 ) συγκρίσεις) Δοµές Δεδοµένων 07-24

25 Ταξινόµηση µε εισαγωγή Insertion Sort Την είδαµε στην αρχή αυτής της ενότητας Στην επανάληψη i, βάζουµε το a[i] στη σωστή θέση static void sort(item[] a, int p, int r) { Πολυπλοκότητα O(N 2 ) Πιθανές βελτιστοποιήσεις: for (int i = p+1; i <= r; i++) for (int j = i; j > p; j--) compexch(a, j-1, j); } } Μπορούµε να σταµατήσουµε να εκτελούµε την compexch όταν το κλειδί µπει στη σωστή θέση Διαδοχικές αντιµεταθέσεις που αφορούν το ίδιο στοιχείο δεν είναι αποδοτικές Ο έλεγχος στο 2 ο for µπορεί να αποφευχθεί µε χρήση στοιχείου φρουρού Δοµές Δεδοµένων 07-25

26 Ταξινόµηση µε εισαγωγή Insertion Sort static void insertion(item[] a, int p, int r) { int i; // τοποθέτηση του ελάχιστου στην πρώτη θέση (φρουρός) for (i = r; i > p; i--) compexch(a, i-1, i); for (i = p+2; i <= r; i++) { int j = i; ITEM v = a[i]; // δεν χρειάζεται πρόσθετος έλεγχος, το j δεν βγαίνει εκτός ορίων while (less(v, a[j-1])) { // µετακίνηση του j-1 και όχι αντιµετάθεση a[j] = a[j-1]; j--; } a[j] = v; } //βάζουµε το v στη σωστή θέση } Δοµές Δεδοµένων 07-26

27 Ταξινόµηση µε εισαγωγή Insertion Sort Λειτουργία βελτιωµένου αλγορίθµου Πάλι µπορούµε να το σκεφτούµε σαν να χωρίζεται ο πίνακας σε υποπίνακες Αρχικά ελάχιστο στοιχείο πάει µπροστά Παίρνουµε το πρώτο στοιχείο του δεξιού Το εισάγουµε στο σωστό σηµείο του αριστερού Και συνεχίζουµε... Δοµές Δεδοµένων 07-27

28 Ταξινόµηση µε εισαγωγή Insertion Sort Βελτιώσεις ταξινόµησης µε εισαγωγή Μπορούµε να δούµε αν βρήκαµε τη σωστή θέση Ο αριστερός υποπίνακας είναι ήδη ταξινοµηµένος Δεν χρειάζονται χωριστοί έλεγχοι τερµατισµού Απλά βάζουµε το µικρότερο στοιχείο στην αρχή Παίζει το ρόλο φρουρού Δεν χρειάζονται πλήρεις αντιµεταθέσεις Αρκεί η µετακίνηση των στοιχείων µία θέση δεξιά Στο τέλος αντιγράφεται το αρχικό στοιχείο Πολυπλοκότητα Worst case: παραµένει O(N 2 ) (π.χ. όταν τα στοιχεία είναι σε φθίνουσα σειρά) Είναι όµως αρκετά πιο γρήγορη από την αρχική υλοποίηση Δοµές Δεδοµένων 07-28

29 Στοιχειώδεις Ταξινοµήσεις Για περισσότερες λεπτοµέρειες δείτε εδώ: Insertion Sort Selection Sort Bubble Sort Δοµές Δεδοµένων 07-29

30 Χαρακτηριστικά επιδόσεων Συγκρίσεις Worst Case Συγκρίσεις Average Case Αντιµεταθέσεις ή µετακινήσεις Worst Case Αντιµεταθέσεις ή µετακινήσεις Average Case Bubble Sort N 2 /2 N 2 /2 N 2 /2 N 2 /2 Selection Sort Insertion Sort N 2 /2 N 2 /2 N N N 2 /2 N 2 /4 N 2 /2 N 2 /4 Δοµές Δεδοµένων 07-30

31 Χαρακτηριστικά επιδόσεων Όλες οι στοιχειώδεις ταξινοµήσεις είναι O(N 2 ) Αυτό δεν σηµαίνει ότι είναι ίδιες όµως! Ταξινόµηση µε επιλογή Κάνει πάντοτε λίγες αντιµεταθέσεις Δεν εξαρτάται καθόλου από την είσοδο Δεν µπορεί να γίνει προσαρµοστική Για αρχεία µε πολύ µεγάλα στοιχεία και µικρά κλειδιά Το κόστος των µεταθέσεων κυριαρχεί επί των συγκρίσεων Η ταξινόµηση µε επιλογή είναι γραµµική Δοµές Δεδοµένων 07-31

32 Χαρακτηριστικά επιδόσεων Ταξινόµηση µε εισαγωγή (προσαρµοστική έκδοση) Οι συγκρίσεις σταµατάνε όταν το στοιχείο µπει στη θέση του Συγκρίσεις και µετακινήσεις πάνε µαζί Worst case έχει διπλάσια πολυπλοκότητα σε σχέση µε average case Ταξινόµηση φυσαλίδας Προσαρµοστική έκδοση: έλεγχος αν έγιναν αντιµεταθέσεις στην προηγούµενη επανάληψη του βρόχου Σταµατάµε όταν το αρχείο είναι ταξινοµηµένο Συγκρίσεις και αντιµεταθέσεις πάνε µαζί Insertion Sort και Bubble Sort αποδίδουν καλά σε πολλά µερικώς ταξινοµηµένα αρχεία που συναντώνται στην πράξη (όχι όµως και η Selection Sort) Δοµές Δεδοµένων 07-32

33 Χαρακτηριστικά επιδόσεων Αντιστροφή (Inversion): ένα ζεύγος κλειδιών εκτός σειράς : 2 inversions [το ζεύγος (6, 8) και το ζεύγος (7, 8)] Συνολικός αριθµός αντιστροφών: για κάθε στοιχείο µετράµε τα µεγαλύτερα κλειδιά αριστερά του Λίγες αντιστροφές σηµαίνει «µερικώς» ταξινοµηµένο αρχείο Όταν έχουµε Ο(1) πλήθος αντιστροφών ανά στοιχείο: Σε τέτοιες περιπτώσεις τα κλειδιά είναι «κοντά» στις τελικές τους θέσεις Οι ταξινοµήσεις εισαγωγής και φυσαλίδας είναι γραµµικές (Ο(Ν)) Ταξινόµηση µε εισαγωγή είναι πάντα ανάλογη µε το πλήθος των αντιστροφών Για ταξινόµηση φυσαλίδας απόδειξη πιο πολύπλοκη Τα ίδια ισχύουν κι όταν έχουµε µόνο ένα σταθερό πλήθος στοιχείων που δεν έχουν Ο(1) αντιστροφές Δοµές Δεδοµένων 07-33

34 Πειραµατική Μελέτη Στοιχεία τύπου int Στοιχεία µε κλειδιά τύπου int Στοιχεία µε κλειδιά τύπου string N S I* I B S I B S I B S: Selection Sort I*: Insertion Sort I: βελτιωµένη Insertion Sort B: Bubble Sort Δοµές Δεδοµένων 07-34

35 Ταξινόµηση Shellsort Προτάθηκε από τον Shell (1959) Επέκταση της Insertion Sort Μειονεκτήµατα προηγούµενων µεθόδων: Συγκρίσεις µόνο µεταξύ γειτονικών στοιχείων Αν το ελάχιστο είναι στο τέλος χρειάζονται πολλές µετακινήσεις ή αντιµεταθέσεις για να πάει στην αρχή Ιδέα: ταξινόµηση ανά h στοιχεία Δοµές Δεδοµένων 07-35

36 Ταξινόµηση Shellsort Ιδέα: ταξινόµηση ανά h στοιχεία Ένας πίνακας είναι h-sorted αν οι υποπίνακες a[0], a[h], a[2h],... a[1], a[h+1], a[2h+1],... a[2], a[h+2], a[2h+2], a[h-1], a[2h-1], a[3h-1],... είναι ταξινοµηµένοι Δοµές Δεδοµένων 07-36

37 Ταξινόµηση Shellsort Λειτουργία του αλγορίθµου: Ξεκινάµε µε κάποια µεγάλη τιµή του h Κάνουµε τον πίνακα h-sorted Ίδιος κώδικας µε Insertion Sort µε τους δείκτες στους βρόχους να αυξοµειώνονται κατά h Μειώνουµε την τιµή του h και επαναλαµβάνουµε Όταν το h γίνει 1, ουσιαστικά καταλήγουµε σε Insertion Sort αλλά µε πολύ µικρότερο αριθµό συγκρίσεων Ερώτηση: τι τιµές πρέπει να διαλέξουµε για το h? Ουσιαστικά χρειαζόµαστε µία ακολουθία τιµών Δοµές Δεδοµένων 07-37

38 Ταξινόµηση Shellsort Version που χρησιµοποιεί την ακολουθία 1, 4, 13, 40, 121, 364,... δηλαδή h i+1 = 3h i + 1 static void shell(item[] a, int p, int r) { int h; for (h = 1; h <= (r-l)/9; h = 3*h+1); for ( ; h > 0; h /= 3) //InsertionSort µε βήµα h for (int i = p+h; i <= r; i++) { int j = i; ITEM v = a[i]; while (j >= p+h && less(v, a[j-h])) { a[j] = a[j-h]; j -= h; } a[j] = v; } } Δοµές Δεδοµένων 07-38

39 Ταξινόµηση Shellsort h = 1, 4, 13, 40, Προτάθηκε από τον Knuth (1969) Περισσότερα για τον Knuth εδώ: Πρώτα γίνεται 13-ταξινόµηση Μετά 4-ταξινόµηση Και στο τέλος 1-ταξινόµηση, δηλαδή Insertion Sort Πολύ µικρότερος αριθµός συγκρίσεων κατά την Insertion Sort Μακρινές µετακινήσεις γίνονται στις µεγάλες τιµές του h Δοµές Δεδοµένων 07-39

40 Ταξινόµηση Shellsort - Πολυπλοκότητα Η πολυπλοκότητα εξαρτάται από την ακολουθία {h i } Δεν έχει βρεθεί ακόµα αποδεδειγµένα η καλύτερη ακολουθία (ανοιχτό ερευνητικό πρόβληµα) Στην πράξη χρησιµοποιούνται ακολουθίες που µειώνονται γεωµετρικά Με κατάλληλες ακολουθίες, η shellsort είναι αρκετά πιο γρήγορη από τις άλλες στοιχειώδεις ταξινοµήσεις Δοµές Δεδοµένων 07-40

41 Ταξινόµηση Shellsort - Πολυπλοκότητα Τι γνωρίζουµε µέχρι σήµερα: Ιδιότητα 1: Η shellsort µε την ακολουθία του Knuth 1, 4, 13, 40, εκτελεί λιγότερες από Ο(Ν 3/2 ) συγκρίσεις Ιδιότητα 2: Η shellsort µε την ακολουθία 1, 8, 23, 77, 281 (h i = 4 i i +1 ) εκτελεί λιγότερες από Ο(Ν 4/3 ) συγκρίσεις Ιδιότητα 3: Η shellsort µε την ακολουθία 1, 2, 3, 4, 6, 9, 8, 12, 18, 27, 16, 24, 36, 54, 81, εκτελεί λιγότερες από Ο(Ν (logn) 2 ) συγκρίσεις (Pratt 1971) Δοµές Δεδοµένων 07-41

42 Ταξινόµηση συνδεδεµένων λιστών Προσαρµογή ταξινοµήσεων πινάκων Βασικός κανόνας: τροποποιούµε δείκτες και όχι κόµβους Αλλάζουµε τη δοµή και όχι το περιεχόµενο της λίστας Selection Sort: προσαρµογή σε λίστες Λίστα εισόδου: µη ταξινοµηµένη Λίστα εξόδου: ταξινοµηµένη Εντοπισµός µέγιστου στοιχείου Το µέγιστο από όσα έχουν µείνει Αποσύνδεση από λίστα εισόδου Σύνδεση στην αρχή της εξόδου Μικρότερο από όσα υπάρχουν ήδη εκεί Λίστα εξόδου σε αύξουσα σειρά Δοµές Δεδοµένων 07-42

43 Ταξινόµηση συνδεδεµένων λιστών Χρήση κόµβου φρουρού στην αρχή της λίστας εισόδου private static Node findmax(node h) { for (Node t = h; t.next!= null; t = t.next) if (h.next.item < t.next.item) h = t; return h; } //επιστρέφει δείκτη στον προηγούµενο από max static Node sort(node h) { Node head = new Node(-1, h), out = null; while (head.next!= null) { Node max = findmax(head); Node t = max.next; max.next = t.next; //διαγραφή από λίστα εισόδου t.next = out; //προσθήκη στην κεφαλή της λίστας εξόδου out = t; } return out; } Δοµές Δεδοµένων 07-43

44 Καταµέτρηση µε αριθµοδείκτη (χωρίς συγκρίσεις) Ειδικές µορφές ταξινόµησης, όταν γνωρίζουµε περαιτέρω ιδιότητες Αποφυγή συγκρίσεων αν εκµεταλλευθούµε τις ιδιότητες των κλειδιών Παράδειγµα 1: Έστω N κλειδιά µε διακεκριµένες τιµές από 0 έως N-1 for (i = 0; i < N; i++) b[a[i].key] = a[i]; Παράδειγµα 2: Καταµέτρηση µε αριθµοδείκτη κλειδιού Έστω N κλειδιά που παίρνουν τιµές 0 ή 1 Πρώτη διέλευση: µέτρηση των στοιχείων µε κλειδί 0 και κλειδί 1 Χρήση πίνακα µετρητών, cnt[0], cnt[1] και πίνακα b µε Ν στοιχεία cnt[0]: δείχνει αρχικά την θέση που πρέπει να µπει το πρώτο 0 στον b cnt[1]: αρχικά η θέση που πρέπει να µπει το πρώτο στοιχείο µε κλειδί 1 στον b Δεύτερη διέλευση στον πίνακα: µεταφέρουµε κάθε κλειδί στη σωστή θέση στον b και αυξάνουµε τον αντίστοιχο µετρητή for (i = 0; i < N; i++) b[cnt[a[i].key]++] = a[i]; Δοµές Δεδοµένων 07-44

45 Καταµέτρηση µε αριθµοδείκτη Παράδειγµα 3: Γενίκευση σε µεγαλύτερο αριθµό κλειδιών Έστω N αντικείµενα µε τιµές κλειδιών από 0 έως M-1 Για ευκολία, έστω ότι τα κλειδιά είναι τα ίδια τα a[i] αντί για a[i].key Έστω ότι το M είναι πολύ µικρότερο από το N πιθανόν πολλά κλειδιά µε ίδιες τιµές Πρώτη διέλευση: µετράµε το πλήθος κλειδιών για κάθε διακριτή τιµή Χρήση ενός πίνακα µετρητών cnt[] M στοιχείων Χρήση πίνακα b για προσωρινή αποθήκευση των στοιχείων Μετατροπή των µετρητών σε αθροιστικούς, cnt[k] = πόσα στοιχεία έχουν κλειδί µικρότερο από k = θέση που πρέπει να µπει το πρώτο στοιχείο µε κλειδί k Δεύτερη διέλευση: µεταφέρουµε κάθε κλειδί στη σωστή θέση Ο αντίστοιχος µετρητής αυξάνεται Η θέση για το επόµενο θα δίνεται πάντα από τον µετρητή Στο τέλος αν χρειάζεται, µεταφέρουµε τα στοιχεία πίσω στον a Δοµές Δεδοµένων 07-45

46 Καταµέτρηση µε αριθµοδείκτη Σειρά περασµάτων στους πίνακες 1ο: αρχικοποίηση M µετρητών 2ο: µέτρηση κλειδιών 3ο: µετατροπή M µετρητών σε αθροιστικούς 4ο: µεταφορά N κλειδιών στις σωστές θέσεις 5ο: επαναφορά N κλειδιών στον αρχικό πίνακα static void distcount(int a[], int p, int r) { int i, j, cnt[] = new int[m]; int b[] = new int[a.length]; for (j = 0; j < M; j++) cnt[j] = 0; for (i = p; i <= r; i++) cnt[a[i]+1]++; for (j = 1; j < M; j++) cnt[j] += cnt[j-1]; for (i = p; i <= r; i++) b[cnt[a[i]]++] = a[i]; for (i = p; i <= r; i++) a[i] = b[i-p]; } Δοµές Δεδοµένων 07-46

47 Καταµέτρηση µε αριθµοδείκτη Πόσο εξοικονοµούµε µε την ταξινόµηση µε αριθµοδείκτη? Θεώρηµα: Η καταµέτρηση µε αριθµοδείκτη γίνεται σε χρόνο Ο(Ν), υπό την προϋπόθεση ότι το πλήθος των διαφορετικών τιµών των κλειδιών Μ είναι Ο(Ν) Αρκεί να δούµε τις πράξεις στους 5 βρόχους Κάθε βρόχος εκτελείται σε Ο(Μ) ή σε Ο(Ν) Συνολική πολυπλοκότητα είναι Ο(Μ+Ν), άρα Ο(Ν) Δοµές Δεδοµένων 07-47