4. Ο αισθητήρας (perceptron)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. Ο αισθητήρας (perceptron)"

Transcript

1 4. Ο αισθητήρας (perceptron) Σκοπός: Προσδοκώµενα αποτελέσµατα: Λέξεις Κλειδιά: To µοντέλο του αισθητήρα (perceptron) είναι από τα πρώτα µοντέλα νευρωνικών δικτύων που αναπτύχθηκαν, και έδωσαν µεγάλη ώθηση χάρη στις επιτυχίες που είχε από την αρχή. Βέβαια καθ όσον οι γνώσεις µας για το νευρικό σύστηµα του ανθρώπου προόδευαν, οι πρώτες αυτές προσπάθειες φαίνεται ότι ήταν πολύ απλοϊκές. Σήµερα υπάρχουν πολλές παραλλαγές µε διαφορετικές και περίπλοκες νευρωνικές δοµές. Η πιό απλή είναι ο λεγόµενος στοιχειώδης αισθητήρας (elementary perceptron), γιατί αποτελείται από ένα µόνο νευρώνα, και είναι το πιο απλό αυτοδύναµο σύστηµα που υπάρχει και επιτελεί µία ορισµένη διεργασία. Ο µοναδικός νευρώνας του συστήµατος έχει έναν ορισµένο αριθµό συνδέσεων που προέρχονται από άλλους νευρώνες (τους οποίους όµως δεν εξετάζουµε), όπως ΣΧΗΜΑ 4.1 Ο στοιχειώδης αισθητήρας (perceptron) φαίνονται στο σχήµα 4.1. Το πολύ απλό αυτό πρότυπο µπορεί να κάνει διάφορα χρήσιµα πράγµατα. Ο νευρώνας είναι ο κύκλος και οι συνδέσεις του οι διάφορες 1

2 γραµµές. Έχει ένα ορισµένο αριθµό εισόδων, αλλά µία µόνο έξοδο. Αυτό σηµαίνει ότι η µονάδα αυτή δέχεται πολλές εισόδους, s 1, s 2, s 3, κλπ. αλλά παράγει µία µόνο έξοδο, που όπως φαίνεται στο σχήµα είναι στα δεξιά του κύκλου. Κάθε εισερχόµενο σήµα s i, συνδέεται µε τον κεντρικό νευρώνα µε ένα βάρος w i. Το βάρος w µας δείχνει κατά κάποιο τρόπο την αλληλεπίδραση µεταξύ των δύο νευρώνων τους οποίους συνδέει. Αν οι δύο νευρώνες ήταν δύο άτοµα, τότε το βάρος w θα ήταν ο δεσµός µεταξύ των δύο ατόµων. Στην απλή περίπτωση που έχουµε εδώ του ενός νευρώνα το w είναι η επίδραση του εισερχόµενου σήµατος µε τον νευρώνα αυτό. Αυτό που έχει σηµασία δεν είναι η τιµή του βάρους w από µόνη της, ούτε η τιµή του σήµατος s, αλλά είναι το γινόµενο s i w i και έτσι κάθε s i πολλαπλασιάζεται επί το βάρος w i που έχει η σύνδεση i, και τελικά αυτό που παρουσιάζεται στον νευρώνα από κάθε εισερχόµενο σήµα είναι το γινόµενο s i w i. Ο αισθητήρας κατόπιν αθροίζει τα γινόµενα αυτά, και θεωρούµε λοιπόν ότι λαµβάνει ένα συνολικό σήµα µε τιµή: S = i s i w i Ακολούθως εφαρµόζουµε την συνάρτηση κατωφλίου Heaviside, µε ένα συγκεκριµένο κατώφλι θ. Συγκρίνουµε το θ µε το άθροισµα S. Εάν S>θ τότε ο αισθητήρας ενεργοποιείται και θεωρούµε ότι πυροδοτεί. Εάν S<θ τότε το άθροισµα S µηδενίζεται και ο αισθητήρας παραµένει αδρανής. Αυτό συνοψίζεται ως: Εάν S>θ τότε έξοδος =1 Εάν S<θ τότε έξοδος=0 Αντιλαµβανόµαστε λοιπόν ότι η ενεργητικότητα του αισθητήρα εξαρτάται από τα βάρη των συνδέσεων, τις τιµές των εισόδων, και την τιµή του κατωφλίου. Θεωρούµε ότι αυτό που µαθαίνει το σύστηµά µας αποθηκεύεται στα βάρη των συνδέσεων, τα οποία, όπως θα δούµε και παρακάτω, µεταβάλλονται συνεχώς, κατά την διάρκεια που το σύστηµα "µαθαίνει" κάποια πληροφορία. 2

3 ΣΧΗΜΑ 4.2 Ο αισθητήρας (perceptron) µε n νευρώνες Ενας αισθητήρας µε πιο περίπλοκη δοµή δίδεται στο σχήµα 4.2. Εδώ έχουµε n νευρώνες, αντί για έναν µόνο που έχει ο στοιχειώδης αισθητήρας. Στην πιο γενική περίπτωση έχουµε πλήρη συνδεσµολογία, δηλ. κάθε εισερχόµενο σήµα x i παρουσιάζεται και στους n νευρώνες, µε διαφορετικό βάρος κάθε φορά. Η διαδικασία σύγκρισης µε το κατώφλι θ είναι η ίδια όπως και στο απλό µοντέλο, αλλά εδώ έχουµε µια πλειάδα από εξόδους, των οποίων ο αριθµός είναι n, όσο δηλ. και ο αριθµός των νευρώνων. Υπάρχουν και διάφορα άλλα παρόµοια µοντέλα, που ονοµάζονται επίσης συλλογικά αισθητήρες, και µερικά είναι πιο περίπλοκα από τα παραπάνω, αλλά ο µηχανισµός λειτουργίας τους είναι ο ίδιος όπως αυτόν που είδαµε. 4.1 Το πρόβληµα της αποκλειστικής διάζευξης (exclusive-or) Ένα από τα πιο γνωστά προβλήµατα των νευρωνικών δικτύων είναι το πρόβληµα της συνάρτησης Χ-ΟR (exclusive-or), συνάρτηση της αποκλειστικής διάζευξης, όπως λέγεται. Η συνάρτηση αυτή δέχεται δύο εισόδους και δίδει µία έξοδο. Οι είσοδοι και η έξοδος µπορεί να είναι 0 ή 1 µόνον, και ισχύει ο εξής 3

4 περιορισµός: Εάν και οι δύο είσοδοι είναι ίδιες τότε η έξοδος είναι 0, εάν είναι διαφορετικές τότε η έξοδος είναι 1. Οι όροι αυτοί συνοψίζονται στον πίνακα 4.1. Πίνακας 4.1 Η συνάρτηση X-OR Είσοδος 1 Είσοδος 2 Έξοδος Εάν χρησιµοποιήσουµε τον στοιχειώδη αισθητήρα µε δύο εισόδους και µία ΣΧΗΜΑ 4.3 Ο αισθητήρας µε δύο εισόδους για το πρόβληµα XOR έξοδο τότε έχουµε το σχήµα 4.3, που είναι µία ειδική περίπτωση του σχήµατος 4.2. Χρησιµοποιώντας το απλό αυτό δίκτυο όλοι οι δυνατοί συνδιασµοί αναπαρίστανται στο διάγραµµα του σχήµατος 4.4, στο επίπεδο x-y, όπου οι δύο άξονες είναι οι δύο είσοδοι s 1 και s 2. Στο δίκτυο του σχήµατος 4.3, κάθε φορά που έρχονται οι δύο είσοδοι s 1 και s 2 τίθεται το ερώτηµα της σύγκρισης µεταξύ του S και του θ. Θέλουµε το δίκτυο να δίνει έξοδο=0 όταν το S είναι S<0.5, και να δίνει έξοδο=1 όταν S>0.5. Βλέπουµε όµως καθαρά ότι δεν υπάρχει κανένας συνδιασµός τιµών των w 1 και w 2 που 4

5 ΣΧΗΜΑ 4.4 Το πρόβληµα της συνάρτησης X-OR σε αναπαράσταση στο επίπεδο x-y. να παράγουν τις σχέσεις που περιλαµβάνονται στον πίνακα 4.1. Ας θεωρήσουµε ότι το κατώφλι θ=0.5. Η αλγεβρική σχέση γίνεται: s 1 w 1 +s 2 w 2 =0.5 και περιγράφει το δίκτυό µας. Η εξίσωση αυτή είναι γραµµική ως προς s 1 και s 2. Αυτό σηµαίνει ότι όλες οι τιµές των s 1 και s 2 που ικανοποιούν την εξίσωση αυτή θα βρίσκονται σε µία ευθεία γραµµική στο επίπεδο x-y, όπως π.χ. η ευθεία του σχήµατος 4.4. Οποιαδήποτε τιµή αν έχουν τα s 1 και s 2 πάνω στην γραµµή αυτή θα δώσουν S=0.5. Εάν τα s 1 και s 2 βρίσκονται στην µία πλευρά της γραµµής τότε το S>θ, και έξοδος=1. Αν τα s 1 και s 2 βρίσκονται στην άλλη πλευρά της γραµµής τότε S<θ και έξοδος=0. Αλλάζοντας τις τιµές w 1 και w 2 καθώς και την τιµή του θ, θα αλλάξει την κλίση και την θέση της γραµµής αυτής. Αυτό που θέλουµε εµείς όµως είναι τα σηµεία (0,0) και (1,1) να βρίσκονται απο την µία πλευρά της ευθείας, και τα σηµεία (0,1) και (1,0) να βρίσκονται από την άλλη. Μόνον τότε το δίκτυο θα δίνει την σωστή απάντηση. Βλέπουµε ότι δεν υπάρχει κανένας τρόπος να τραβήξουµε µία ευθεία γραµµή, µε οποιαδήποτε κλίση, που να ικανοποιεί την συνθήκη αυτή. Καταλήγουµε 5

6 λοιπόν στο συµπέρασµα ότι το δίκτυο του σχήµατος 4.3, ανεξάρτητα από τιµές w 1,w 2, και θ, δεν µπορεί να λύσει το πρόβληµα της συνάρτησης X-OR. ΣΧΗΜΑ 4.5 Η επιφάνεια S Σε µία διαφορετική απεικόνιση, στο σχήµα 4.5, έχουµε το επίπεδο x-y, µε άξονες τα δύο σήµατα εισόδου s 1 και s 2, όπως και πριν, και το S στον άξονα των z. ηµιουργείται έτσι η επιφάνεια S, κάθε σηµείο της οποίας είναι πάνω από το αντίστοιχο σηµείο του x-y επιπέδου, και σε απόσταση η οποία δίδεται από την τιµή του S στο σηµείο αυτό. Η κλίση της επιφάνειας αυτής είναι φυσικά σταθερή σε όλο το x-y επίπεδο. Τα σηµεία εκείνα τα οποία δίδουν τιµή του S ίση µε την τιµή κατωφλίου θ θα έχουν προβολή µια σταθερή γραµµή στην S επιφάνεια. Όλα τα σηµεία από την µία πλευρά της γραµµής κατωφλίου θα έχουν προβολή στην S επιφάνεια σε µεγαλύτερες τιµές από την σταθερή γραµµή, ενώ τα σηµεία από την άλλη πλευρά θα έχουν προβολή σε µικρότερες τιµές. Έτσι, η γραµµή κατωφλίου 6

7 διαιρεί το x-y επίπεδο σε δύο περιοχές. Όλα τα σηµεία από την µία πλευρά της γραµµής δίνουν έξοδο=0, και τα σηµεία από την άλλη πλευρά δίνουν έξοδο= Γραµµική διαχωρισιµότητα Υπάρχουν πολλές συναρτήσεις, παρόµοιες µε την συνάρτηση του X-OR, οι οποίες δεν µπορούν να παρασταθούν µε ένα δίκτυο ενός µόνο νευρώνα. Για όλες αυτές τις συναρτήσεις λέµε ότι είναι γραµµικά µη διαχωρίσιµες. Είδαµε ότι στην περίπτωση που έχουµε δύο εισόδους, τότε ο διαχωρισµός γίνεται από µία ευθεία γραµµή. Αν το πρόβληµά µας είχε τρείς εισόδους τότε ο διαχωρισµός θα γίνονταν από ένα επίπεδο που θα τέµνει τον τρισδιάστατο χώρο. Για την περίπτωση τεσσάρων και πάνω εισόδων, πρέπει να δηµιουργήσουµε έναν υπερχώρο n διαστάσεων και ο οποίος θα τέµνεται από ένα υπερ-επίπεδο, το οποίο είναι ένα γεωµετρικό σχήµα που διαιρεί τον χώρο σε τέσσερις ή παραπάνω διαστάσεις. εν υπάρχει κανένας απλός τρόπος να ξέρουµε εκ των προτέρων εάν η συνάρτηση που µας παρουσιάζεται είναι γραµµικά διαχωρίσιµη, και µάλιστα όταν ο αριθµός των µεταβλητών είναι µεγάλος. Ένας νευρώνας µε n εισόδους µπορεί να έχει 2 n διαφορετικούς συνδιασµούς από 0 και 1. Καθ' όσον κάθε συνδιασµός µπορεί να δώσει δύο διαφορετικές εξόδους (0 ή 1), υπάρχουν 2 εις την 2 n διαφορετικές συναρτήσεις n µεταβλητών. Καταλαβαίνουµε λοιπόν ότι η πιθανότητα είναι πολύ µικρή να είναι µία συνάρτηση γραµµικά διαχωρίσιµη, όταν µάλιστα υπάρχουν πολλές είσοδοι. Ήδη από τα πρώτα χρόνια της ανάπτυξης των νευρωνικών δικτύων έγινε κατανοητό το πρόβληµα αυτό της γραµµικής διαχωρισιµότητας και οι περιορισµοί τους οποίους εισάγει. Η αδυναµία αυτή του αισθητήρα να λύσει τόσο απλά προβλήµατα είναι το µεγαλύτερο µειονέκτηµά του. Τα πιο πολλά προβλήµατα δεν είναι γραµµικά διαχωρίσιµα, και τα λίγα προβλήµατα που είναι, έχουν λυθεί πιο εύκολα µε άλλους τρόπους. Αυτό ισχύει για προβλήµατα κάθε φύσης, τεχνικά και µη. Η αναγνώριση αυτής της δυσκολίας, και η ανικανότητα του αισθητήρα να την λύσει, πραγµατικά σταµάτησαν την έρευνα στην περιοχή αυτή. Φυσική προέκταση λοιπόν του απλού µοντέλου ήταν να προταθεί ένα δίκτυο µε δύο επίπεδα νευρώνων, αντί για ένα που έχει το στοιχειώδες µοντέλο. Το µοντέλο δύο 7

8 επιπέδων µπορεί να ξεχωρίσει σηµεία που περιλαµβάνονται σε ανοιχτές ή κλειστές κυρτές περιοχές. Κυρτή περιοχή είναι η περιοχή στην οποία οποιαδήποτε δύο σηµεία στην περιοχή αυτή µπορούν να ενωθούν από µία ευθεία γραµµή, η οποία ανήκει εξ ολοκλήρου στην περιοχή αυτή. Κλειστή κυρτή περιοχή είναι µία περιοχή στην οποία όλα τα σηµεία περιέχονται µέσα στα όρια της (π.χ. ο κύκλος), ενώ ανοιχτή είναι η περιοχή στην οποία µερικά σηµεία βρίσκονται έξω από τα προκαθορισµένα όρια (π.χ. περιοχή µεταξύ δύο παράλληλων γραµµών.) ιάφορες περιοχές φαίνονται στο σχήµα 4.6. ΣΧΗΜΑ 4.6 Κυρτές περιοχές, ανοικτές και κλειστές 8

9 Θεωρούµε ένα νευρωνικό δίκτυο µε δύο επίπεδα, και µε δύο εισόδους που έρχονται στους δύο νευρώνες του πρώτου επιπέδου, όπως στο σχήµα 4.7. Οι δύο νευρώνες του πρώτου επιπέδου συνδέονται µε ένα νευρώνα του δευτέρου επιπέδου. Ας υποθέσουµε ότι θ=0.75 για τον νευρώνα του δεύτερου επιπέδου και ότι τα βάρη ΣΧΗΜΑ 4.7 Κυρτή περιοχή απόφασης που παράγεται από σύστηµα δύο επιπέδων. είναι και τα δύο ίσα προς 0.5. Στην περίπτωση αυτή, εάν η έξοδος των δύο νευρώνων του πρώτου επιπέδου είναι 1, τότε παράγεται ως έξοδος το 1 και απο τον νευρώνα του δεύτερου επιπέδου. Αυτό όµως είναι ανάλογο ως ο νευρώνας εξόδου να εκτελεί την συνάρτηση του λογικού "και". Στο σχήµα 4.7 θεωρούµε ότι κάθε νευρώνας του πρώτου επιπέδου διαιρεί το x-y επίπεδο µε τέτοιο τρόπο ώστε ο πρώτος από τους δύο νευρώνες να δίδει έξοδο=1 για εισόδους κάτω από την πάνω γραµµή, και ο άλλος νευρώνας να δίδει έξοδο=1 για εισόδους πάνω από την κάτω γραµµή. Μετά από αυτόν τον διπλό χωρισµό παρατηρούµε ότι η τελική έξοδος του δικτύου είναι 1 µόνον µέσα στην σκιασµένη περιοχή σχήµατος V. Αν είχαµε χρησιµοποιήσει τρεις 9

10 νευρώνες στο επίπεδο εισόδου τότε θα είχαµε τρεις ευθείες τεµνόµενες γραµµές, οι οποίες δίδουν µια περιοχή σε σχήµα τριγώνου. Για περισσότερους νευρώνες θα δηµιουργείται ένα πολύγωνο µε ανάλογο αριθµό πλευρών. Όλα τα πολύγωνα αυτά είναι κυρτά επειδή σχηµατίζονται από τις περιοχές των λογικών "και", και έτσι περιοχές που είναι κυρτές µπορούν να περιληφθούν. Σηµεία που δεν µπορούν να περιληφθούν σε µία κυρτή περιοχή δεν µπορούν να διαχωριστούν από τα άλλα σηµεία στο επίπεδο από ένα δίκτυο µε δύο επίπεδα. Ο νευρώνας του δεύτερου επιπέδου µπορεί να αναπαραστήσει και άλλες συναρτήσεις, εκτός από το λογικό "και". Για να γίνει αυτό θα πρέπει τα w και τα θ να επιλεγούν σωστά. Για να παραστήσει το λογικό "ή" θα πρέπει τουλάχιστον ένας από τους νευρώνες του πρώτου επιπέδου να έχει έξοδο=1. Υπάρχουν 16 δυαδικές συναρτήσεις δύο παραµέτρων. Αν επιλεγούν σωστά τα θ και w, ένα δίκτυο µε δύο επίπεδα µπορεί να αναπαραστήσει τις 14 από αυτές, δηλ. όλες εκτός από το X-OR και το X-NOR. εν είναι απαραίτητο οι είσοδοι να έχουν δυαδικές τιµές. Ένα διάνυσµα εισόδων µε συνεχείς τιµές µπορεί να αναπαραστήσει ένα σηµείο οπουδήποτε στο x-y επίπεδο. Στην περίπτωση αυτή το δίκτυο υποδιαιρεί το επίπεδο σε συνεχείς περιοχές, κατ' αντίθεση στο να βγάζει ως έξοδο 0 ή 1. Η γραµµική διαχωρισιµότητα όµως σε κάθε περίπτωση απαιτεί ότι η έξοδος του νευρώνα στο δεύτερο επίπεδο περιέχεται σε ένα τµήµα του x-y επιπέδου που περικλείεται από ένα κυρτό πολύγωνο. Αν έχουµε δηλ. δύο περιοχές P και Q που πρέπει να διαχωρισθούν, τότε όλα τα σηµεία της περιοχής P πρέπει να περιέχονται σε ένα κυρτό πολύγωνο το οποίο δεν περιέχει κανένα σηµείο του Q, και αντιθέτως. Στο σχήµα 4.8 έχουµε ένα δίκτυο µε τρία επίπεδα. Οι ικανότητες του εξαρτώνται από τον αριθµό των νευρώνων και από τα βάρη w. Εδώ δεν υπάρχουν περιορισµοί κυρτότητας. Ο νευρώνας του τρίτου επιπέδου δέχεται ως είσοδο µια οµάδα κυρτών πολυγώνων και ο λογικός συνδιασµός τους δεν είναι απαραίτητο να είναι κυρτός. Στο σχήµα αυτό βλέπουµε δύο τρίγωνα, το Α και το Β. Τα δύο αυτά τρίγωνα συνδέονται µε την συνάρτηση "Α και όχι Β", και έτσι ορίζεται µια µη-κυρτή περιοχή. Όταν προσθέτουµε περισσότερους νευρώνες, ο αριθµός των πλευρών των πολυγώνων αυξάνεται χωρίς περιορισµό. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα να µπορούµε να περικλείουµε µια περιοχή οποιουδήποτε σχήµατος, µε όσο µεγάλη ακρίβεια θέλουµε. Επί πλέον, δεν είναι απαραίτητο να τέµνονται (δηλ. να έχουν κοινά σηµεία) οι 10

11 ΣΧΗΜΑ 4.8 ίκτυο τριών επιπέδων. Στο επάνω µέρος φαίνεται µία µη-κυρτή περιοχή αποφάσεων που δηµιουργείται από την τοµή δύο κυρτών περιοχών. περιοχές εξόδου του δεύτερου επιπέδου. Είναι δυνατόν να περικλείουµε διάφορες περιοχές, κυρτές και µη, και να δίδει το δίκτυο έξοδο=1 για κάθε περίπτωση που το διάνυσµα εισόδου βρίσκεται µέσα σε κάποια από αυτές. Βλέπουµε λοιπόν από τα παραπάνω ότι έχει µεγάλη σηµασία να ξεφύγουµε από την περίπτωση του ενός νευρώνα του στοιχειώδους αισθητήρα προς τα µοντέλα που έχουν πολλά επίπεδα. Παρ' όλα αυτά για πολλά χρόνια δεν υπήρχε κανένας επιτυχής αλγόριθµος εκπαίδευσης τέτοιων δικτύων και εποµένως ήταν και πάλι περιορισµένα τα πράγµατα που µπορούσαν να κάνουν τα δίκτυα αυτά. 4.3 Ικανότητα αποθήκευσης Μία απλή σκέψη που υπήρχε από την αρχή που αναπτύχθκαν τα νευρωνικά δίκτυα είναι το κατά πόσο θα µπορούσαν να χρησιµοποιηθούν ως στοιχεία αποθήκευσης, όπως είναι π.χ. η µνήµη των ηλεκτρονικών υπολογιστών. 11

12 Η σκέψη είναι µήπως ο αριθµός των bits που απαιτώνται για να αποθηκεύσουµε µία πληροφορία στα w του perceptron είναι πολύ µικρότερος από ό,τι στην συνήθη µνήµη του υπολογιστή. Από το βιβλίο όµως του Minsky φάνηκε ότι ο αριθµός αυτός αυξάνεται πάρα πολύ γρήγορα, ταχύτερα από εκθετικά, µε το µέγεθος του προβλήµατος. Αυτό απαιτεί υπερβολικά µεγάλη µνήµη. Το συµπέρασµα τότε αναγκαστικά είναι ότι τα συστήµατα αυτά περιορίζονται σε προβλήµατα µικρού µεγέθους. Πάντως δεν υπάρχει πoσοτική σχέση για τα νευρωνικά δίκτυα που να σχετίζει τις παραµέτρους αυτές. 4.4 Η εκπαίδευση του αισθητήρα Το γεγονός ότι τα νευρωνικά δίκτυα έχουν την ικανότητα να µαθαίνουν, να εκπαιδεύονται, είναι ίσως το πιο σηµαντικό τους χαρακτηριστικό. Όπως και στα βιολογικά δίκτυα, έτσι και τα τεχνητά δίκτυα µεταβάλλονται από την εµπειρία που αποκτούν, στην προσπάθειά τους να δώσουν ως έξοδο το ζητούµενο σωστό αποτέλεσµα. Όπως είδαµε νωρίτερα µπορούµε να αποφανθούµε εάν ένα δίκτυο ενός επιπέδου µπορεί να παραστήσει µία συνάρτηση, χρησιµοποιώντας το κριτήριο της γραµµικής διαχωρισιµότητας. Όταν η απάντηση είναι θετική, τότε πρέπει να µπορέσουµε να βρούµε τις κατάλληλες τιµές των w και θ. Μόνον τότε το δίκτυο θα έχει εκπαιδευτεί. Μία τέτοια διαδικασία προτάθηκε από τον Rosenblatt. Η εκπαίδευση µπορεί να είναι είτε εποπτευόµενη είτε µη εποπτευόµενη. Η εποπτευόµενη εκπαίδευση σηµαίνει ότι υπάρχει ένας δάσκαλος εκτός του δικτύου, ο οποίος συνεχώς εκτιµά την συµπεριφορά του συστήµατος και καθοδηγεί όποιες αλλαγές χρειάζονται. Στην µη-εποπτευόµενη εκπαίδευση δεν υπάρχει τέτοιος δάσκαλος. Το δίκτυο οργανώνει από µόνο του την συµπεριφορά του και επιφέρει τις κατάλληλες αλλαγές. Η εκπαίδευση του αισθητήρα είναι εποπτευοµένου τύπου. Ο αλγόριθµος για την εκπαίδευση του αισθητήρα µπορεί να δηµιουργηθεί µε πρόγραµµα στον υπολογιστή. Έχει την εξής διαδικασία: Στην αρχή της µάθησης το σύστηµα δεν έχει καµία προηγούµενη γνώση. Τα βάρη w i πρέπει να έχουν τυχαίες τιµές, π.χ. έχουν τιµές οι οποίες δίνονται από µία κατανοµή ψευδοτυχαίων αριθµών, και είναι όλα 0<w<1. Όταν παρουσιάζουµε µια νέα πληροφορία στο σύστηµα, τότε το σύστηµα την µαθαίνει µε το να µεταβάλει τα βάρη του προς την σωστή κατεύθυνση. Η διαδικασία αυτή είναι ανάλογη µε την 12

13 εξάσκηση που υφίσταται ένα βιολογικό σύστηµα όταν µαθαίνει µια διεργασία. Η µεταβολή των βαρών συνεχίζεται µέχρις ότου το σύστηµα µάθει το σήµα που του δόθηκε. Όταν συµβεί αυτό τότε σταµατάει η µεταβολή των w i και οι τελικές τιµές τους αποθηκεύονται και χρησιµοποιούνται περαιτέρω. Στο σηµείο αυτό λέµε ότι το δίκτυο έχει εκπαιδευθεί, και έχει µάθει τα πρότυπα που του διδάξαµε. 4.5 Η διαδικασία εκµάθησης Όλα τα νευρωνικά δίκτυα, συµπεριλαµβανοµένου και του στοιχειώδους αισθητήρα, τα οποία υποβάλονται σε µία διαδικασία εκµάθησης, ξεκινούν από µία κατάσταση κατά την οποία δεν έχουν καµµία απολύτως γνώση για το πρόβληµα το οποίο θα µελετήσουν. Κατά την διάρκεια της εκµάθησης παρουσιάζονται τα διάφορα πρότυπα, παραδείγµατα (patterns), τα οποία ο αισθητήρας πρέπει να µάθει να αναγνωρίζει. Τα παραδείγµατα αυτά αποτελούν την οµάδα παραδειγµάτων εκµάθησης. Κάθε οµάδα αποτελείται από δύο τµήµατα: Πρώτα είναι το τµήµα που περιλαµβάνει τα σήµατα εισόδου, δηλ. οι τιµές s 1, s 2,s 3 κλπ. εύτερον, είναι το τµήµα που περιλαµβάνει τους στόχους εκµάθησης, αυτό δηλαδή το οποίο είναι το επιθυµητό αποτέλεσµα. Σε κάθε οµάδα εισερχοµένων σηµάτων αντιστοιχεί ένας µόνον στόχος, δηλ. υπάρχει µια µόνο σωστή απάντηση. Ένα τέτοιο παράδειγµα δίδεται στο σχήµα 4.9. Κάθε πρότυπο είναι ένα ζεύγος διανυσµάτων, που αποτελείται από το διάνυσµα εισόδου και το διάνυσµα εξόδου. Κάθε φορά που παρουσιάζουµε ένα πρότυπο στην είσοδο ακολουθείται η γνωστή διαδικασία. Οι νευρώνες υπολογίζουν το άθροισµα S i, το συγκρίνουν µε το κατώφλι θ, και δίδουν στην έξοδο την πρέπουσα τιµή. Η τελική έξοδος του δικτύου συγκρίνεται µε τη σωστή έξοδο, αυτή δηλ. που πρέπει να δίνει το δίκτυο, η οποία είναι γνωστή εκ των προτέρων, τον στόχο. Υπολογίζεται η διαφορά των δύο και το δίκτυο χρησιµοποιεί την διαφορά αυτή για να διορθώσει τις τιµές των w. Η διόρθωση γίνεται µε τέτοιο τρόπο έτσι ώστε το δίκτυο, συνολικά να δώσει ως έξοδο την επόµενη φορά µια τιµή που είναι πιο κοντά στην επιθυµητή. 13

14 ΣΧΗΜΑ 4.9 Πρότυπο και ο αντίστοιχος στόχος Ο σκοπός της εκπαίδευσης είναι να βρεθεί µία µοναδική οµάδα τιµών των w, που όταν βρεθεί και χρησιµοποιηθεί, τότε το δίκτυο θα βρίσκει την σωστή τιµή για κάθε πρότυπο. Μετά την εκπαίδευση τα w δεν αλλάζουν καθόλου. Η εκπαίδευση ακολουθεί το διάγραµµα στο σχήµα Όταν ακολουθηθεί ο αλγόριθµος αυτός µετά από ορισµένα βήµατα (περάσµατα) το δίκτυο θα µάθει να αναγνωρίζει τα πρότυπα και θα δίνει κάθε φορά τη σωστή απάντηση. Υπάρχουν όµως αρκετά ερωτήµατα. Είναι φανερό πρώτον ότι το δίκτυο µαθαίνει όλο το σέτ των προτύπων που του παρουσιάζονται. Το ερώτηµα είναι πώς πρέπει να παρουσιάζονται τα πρότυπα, δηλ. σε µια δεδοµένη σειρά, που επαναλαµβάνεται συνεχώς, ή πρέπει να επιλέγονται µε τυχαίο τρόπο. εν υπάρχει θεωρητική σωστή απάντηση σε αυτό. 14

15 ΣΧΗΜΑ 4.10 Αλγόριθµος εκπαίδευσης του δικτύου Ο πιο συνηθισµένος κανόνας για την διόρθωση των βαρών w στην γενική περίπτωση συνεχών τιµών των εισόδων και εξόδων (και όχι 0 ή 1) είναι ο κανόνας έλτα. Ορίζεται ως παράµετρος δ η διαφορά εξόδου και στόχου δηλ. δ=t-o όπου t είναι ο στόχος (αρχικό από το target), και ο η έξοδος (αρχικό αποό το output), που δίδεται µια δεδοµένη στιγµή. Εάν δ=0 τότε η έξοδος είναι σωστή και δεν γίνεται καµία διόρθωση (αυτό αντιστοιχεί σε απάντηση Ναι στο ερώτηµα είναι το Υ σωστό στο διάγραµµα 4.10). Εάν δ>0 ή δ<0 τότε θα γίνει διόρθωση (η περίπτωση δ>0 αντιστοιχεί σε απάντηση Όχι στο ερώτηµα είναι το Υ σωστό), οπότε αφαιρούµε την τιµή κάθε πρότυπου από το αντίστοιχο w. Ανάλογα και για δ<0. Υπολογίζουµε τώρα την ποσότητα. 15

16 i =ηδx i όπου x i είναι η τιµή του σήµατος εισόδου, και η είναι µια σταθερά που δίδει τον "ρυθµό εκπαίδευσης". Ακολούθως: w i (n+1)=w i (n)+ i όπου w i (n+1) είναι η τιµή του βάρους i µετά την διόρθωση στο βήµα n+1, w i (n) είναι η τιµή του πριν την διόρθωση στο βήµα n. Ο κανόνας αυτός µεταβάλει ένα βάρος w i µόνον αν το σήµα x i =1, αλλά δεν το µεταβάλει αν x i =0, διότι τότε i =0. Επίσης, θα πρέπει δ 0, για να γίνει οποιαδήποτε µεταβολή. Η τιµή του η είναι συνήθως η<1. O χρόνος εκπαίδευσης είναι µεγάλος αν το η είναι µικρό, ενώ µικραίνει όταν το η είναι µεγαλύτερο. Σύνοψη: Βιβλιογραφία 16

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1 8. ίκτυα Kohonen Το µοντέλο αυτό των δικτύων προτάθηκε το 1984 από τον Kοhonen, και αφορά διαδικασία εκµάθησης χωρίς επίβλεψη, δηλαδή δεν δίδεται καµία εξωτερική επέµβαση σχετικά µε τους στόχους που πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Το άθροισµα των εισερχόµενων σηµάτων είναι:

Το άθροισµα των εισερχόµενων σηµάτων είναι: 7. ίκτυα Hopfeld Σε µία πολύ γνωστή εργασία το 982 ο Hopfeld παρουσίασε µια νέα κατηγορία δικτύων, τα οποία έχουν µεγάλες υπολογιστικές ικανότητες και είναι χρήσιµα σε δύο κατηγορίες προβληµάτων. Πρώτα,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008 Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ Τα τελευταία 25 χρόνια, τα προβλήµατα που σχετίζονται µε την διαχείριση της Γεωγραφικής Πληροφορίας αντιµετωπίζονται σε παγκόσµιο αλλά και εθνικό επίπεδο µε την βοήθεια των Γεωγραφικών

Διαβάστε περισσότερα

Υλοποιώντας λογικές πύλες χρησιμοποιώντας perceptrons

Υλοποιώντας λογικές πύλες χρησιμοποιώντας perceptrons Υλοποιώντας λογικές πύλες χρησιμοποιώντας perceptrons Ένας μικρός οδηγός Λευτέρης Ασλάνογλου Προπτυχιακός Φοιτητής Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πάτρας Τρίτη, 5 Ιουνίου 2012 Το παρακάτω είναι ένα tutorial

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2,5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις Πέµπτη 19 Ιουνίου 2008 11:00-14:00 Έστω το παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης 6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ 4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ Ευθείες γραµµές και παραβολικά τµήµατα µπορούν να µοντελοποιηθούν µε τη χρήση κυβικών πολυωνυµικών τµηµάτων. Τα κυκλικά ελλειπτικά ή υπερβολικά τµήµατα όµως προσεγγίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

ΥΟ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΥΟ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΥΟ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Από την θεωρία της Τριγωνοµετρίας είναι γνωστοί δύο νόµοι: ο νόµος του ηµιτόνων και ο νόµος του συνηµιτόνων, οι οποίοι ισχύουν για τυχαίο τρίγωνο. Έστω ένα τυχαίο

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Θεωρητική εισαγωγή

4.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΥΑ ΙΚΟΣ ΑΘΡΟΙΣΤΗΣ-ΑΦΑΙΡΕΤΗΣ Σκοπός: Να µελετηθούν αριθµητικά κυκλώµατα δυαδικής πρόσθεσης και αφαίρεσης. Να σχεδιαστούν τα κυκλώµατα από τους πίνακες αληθείας

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 10 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΥΠΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ 1. Πως ορίζεται ο τμηματικός προγραμματισμός; Τμηματικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Η ταχύτητα συνήθως δεν παραµένει σταθερή Ας υποθέσουµε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο µε ταχύτητα k 36. Ο δρόµος είναι ανοιχτός και ο οδηγός αποφασίζει

Διαβάστε περισσότερα

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία.

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Κατά την καταγραφή δεδοµένων, σε κάθε εγγραφή δεδοµένου θα πρέπει να δίδεται µαζί και το αντίστοιχο εκτιµώµενο σφάλµα ή αβεβαιότητα. Ο όρος σφάλµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

5. Μέθοδος oπισθοδιάδοσης (backpropagation) του λάθους

5. Μέθοδος oπισθοδιάδοσης (backpropagation) του λάθους 5. Μέθοδος oπισθοδιάδοσης (backpropagation) του λάθους Σκοπός: Προσδοκώμενα αποτελέσματα: Λέξεις Κλειδιά: Η μέθοδος οπισθοδιάδοσης του λάθους είναι η πιο δημοφιλής μέθοδος σήμερα για την εκπαίδευση ενός

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικοί Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 35)

Γεωµετρικοί Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 35) Γεωµετρικοί Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 35) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Γινόµενα σηµεία, τοµή ευθυγράµµων τµηµάτων Εύρεση κυρτών περιβληµάτων: Ο αλγόριθµος του Grm και ο αλγόριθµος του

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών 1 Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ της Κωτσογιάννη Μαριάννας Περίληψη 1. Αντικείµενο- Σκοπός Αντικείµενο της διπλωµατικής αυτής εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Λύσεις µε κατάλληλο σχολιασµό και παρατηρήσεις σε θέµατα από παλαιότερες πανελλαδικές εξετάσεις. Γενικές οδηγίες και παρατηρήσεις κατά την αντιµετώπιση

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. ίνεται το γνωστό πρόβληµα των δύο δοχείων: «Υπάρχουν δύο δοχεία

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Προσδιορισµός Εισοδήµατος και Επιτοκίου Το Υπόδειγµα IS LM

Κεφάλαιο 4 Προσδιορισµός Εισοδήµατος και Επιτοκίου Το Υπόδειγµα IS LM Κεφάλαιο 4 Προσδιορισµός Εισοδήµατος και Επιτοκίου Το Υπόδειγµα LM Σύνοψη Όταν η επενδυτική δαπάνη εξαρτάται από το επιτόκιο, η συνθήκη ισορροπίας στην αγορά αγαθών θα περιλαµβάνει δύο µεταβλητές το εισόδηµα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ ΑΠΟ ΤΑ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΡΟΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΕ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΟΜΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΠΕΡΙ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ ΑΠΟ ΤΑ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΡΟΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΕ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΟΜΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ ΑΠΟ ΤΑ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΡΟΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΕ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΟΜΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μερικές παρατηρήσεις και σκέψεις του συγγραφέα του βιβλίου Σχετικά µε τη µετάβαση από Ρ σε ΠΠ υπάρχουν 2 σηµαντικά ερωτήµατα:

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ Οι ασκήσεις διαλυµάτων που αφορούν τις περιεκτικότητες % w/w, % w/v και % v/v χωρίζονται σε 3 κατηγορίες: α) Ασκήσεις όπου πρέπει να βρούµε ή να µετατρέψουµε διάφορες περιεκτικότητες.

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ www.geocities.com/gutsi1 -- www.gutsias.gr

NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ www.geocities.com/gutsi1 -- www.gutsias.gr Έστω µάζα m. Στη µάζα κάποια στιγµή ασκούνται δυο δυνάµεις. ( Βλ. σχήµα:) Ποιά η διεύθυνση και ποιά η φορά κίνησης της µάζας; F 1 F γ m F 2 ιατυπώστε αρχή επαλληλίας. M την της Ποιό φαινόµενο ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα ΕΠΛ 422: στα Συστήµατα Πολυµέσων. Βιβλιογραφία. ειγµατοληψία. ηµιουργία ψηφιακής µορφής πληροφορίας στα Συστήµατα Πολυµέσων

Περιεχόµενα ΕΠΛ 422: στα Συστήµατα Πολυµέσων. Βιβλιογραφία. ειγµατοληψία. ηµιουργία ψηφιακής µορφής πληροφορίας στα Συστήµατα Πολυµέσων Περιεχόµενα ΕΠΛ 422: Συστήµατα Πολυµέσων Ψηφιακή Αναπαράσταση Σήµατος: ειγµατοληψία Βιβλιογραφία ηµιουργία ψηφιακής µορφής πληροφορίας στα Συστήµατα Πολυµέσων Βασικές Έννοιες Επεξεργασίας Σηµάτων Ψηφιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητής : Νικόλαος. Κατσίπης 19 Απριλίου 2013 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας εύχοµαι καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1 ΦΥΣ 3 - Διαλ. Κέντρο µάζας Μέχρι τώρα είδαµε την κίνηση υλικών σηµείων µεµονωµένα. Όταν αρχίσουµε να θεωρούµε συστήµατα σωµάτων ή στερεά σώµατα κάποιων διαστάσεων είναι πιο χρήσιµο και ευκολότερο να ορίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

3. O ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ PERCEPTRON

3. O ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ PERCEPTRON 3. O ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ PERCEPRON 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Το Perceptron είναι η απλούστερη μορφή Νευρωνικού δικτύου, το οποίο χρησιμοποιείται για την ταξινόμηση ενός ειδικού τύπου προτύπων, που είναι γραμμικά διαχωριζόμενα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Νευρωνικά ίκτυα και Εξελικτικός. Σηµερινό Μάθηµα. επανάληψη Γενετικών Αλγορίθµων 1 η εργασία Επανάληψη νευρωνικών δικτύων Ασκήσεις εφαρµογές

Νευρωνικά ίκτυα και Εξελικτικός. Σηµερινό Μάθηµα. επανάληψη Γενετικών Αλγορίθµων 1 η εργασία Επανάληψη νευρωνικών δικτύων Ασκήσεις εφαρµογές Νευρωνικά ίκτυα και Εξελικτικός Προγραµµατισµός Σηµερινό Μάθηµα επανάληψη Γενετικών Αλγορίθµων η εργασία Επανάληψη νευρωνικών δικτύων Ασκήσεις εφαρµογές Κωδικοποίηση Αντικειµενική Συνάρτ Αρχικοποίηση Αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα