Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ασκήσεις Πράξης

Transcript

1 ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Καθηγητς: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ. Εφαρμ: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ασκσεις Πράξης Χειμερινό εξάμηνο /5

2 Ασκσεις Πράξης ΣΑΕ Άσκηση Μαθηματικ εξομοίωση φυσικών συστημάτων Ανάλογα συστματα Αναλογικό διάγραμμα // Δίνεται μηχανικό σύστημα τριών σωμάτων. α Θεωρώντας ως είσοδο τη δύναμη Ft και εξόδους τις μετατοπίσεις,, σημειώστε τις δυνάμεις στα σώματα και γράψτε τις εξισώσεις του συστματος. Έστω > >. β Σχεδιάστε το ηλεκτρικό ανάλογο τάσης και έντασης σημειώνοντας αναλογίες μεγεθών και στοιχείων. γ Αν τα στοιχεία του μηχανικού συστματος είναι:,,,,,,,,,, αντικαταστστε τις τιμές αυτές στις εξισώσεις των τριών σωμάτων & σχεδιάστε το αναλογικό διάγραμμα του συστματος. Λύση α Σημειώνουμε τις δυνάμεις:

3 Ασκσεις Πράξης ΣΑΕ Εφαρμόζοντας το νόμο F σε κάθε σώμα προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις: Σώμα : F F Σώμα : Σώμα : β Ηλεκτρικό ανάλογο τάσης

4 Ασκσεις Πράξης ΣΑΕ Ηλεκτρικό ανάλογο έντασης γ Για,,,,,,, οι εξισώσεις του συστματος γίνονται: F Το αναλογικό διάγραμμα είναι:

5 5 Ασκσεις Πράξης ΣΑΕ

6 Ασκσεις Πράξης ΣΑΕ Άσκηση Επίλυση κυκλωμάτων στο μιγαδικό επίπεδο Άλγεβρα βαθμίδων 5// Δίνεται ηλεκτρικό κύκλωμα. α Επιλύστε το κύκλωμα και υπολογίστε τη συνάρτηση μεταφοράς G με τη μέθοδο εντάσεων βρόχων και τάσεων κόμβων*. β Από τις εξισώσεις εντάσεων βρόχων γράψτε τις σχέσεις των,, και και σχεδιάστε το ολικό διάγραμμα βαθμίδων του συστματος. * Στη μέθοδο τάσεων κόμβων πρέπει να απλοποισετε από τον αριθμητ και παρονομαστ της συνάρτησης μεταφοράς τον παράγοντα για να έχετε το ίδιο αποτέλεσμα με τη μέθοδο εντάσεων βρόχων. Λύση α Μετασχηματίζουμε το κύκλωμα κατά Laplace: 6

7 Ασκσεις Πράξης ΣΑΕ 7 α Μέθοδος εντάσεων βρόχων: Βρόχος : Βρόχος : Βρόχος : Απλοποιώντας έχουμε: Υπολογισμός ορίζουσας με ανάπτυγμα ως προς την η στλη: Πόλοι: 8. p, 5. p, 8. p Υπολογισμός ορίζουσας : Άρα και Και η συνάρτηση μεταφοράς: G

8 Ασκσεις Πράξης ΣΑΕ 8 β Μέθοδος τάσεων κόμβων: Κόμβος : Κόμβος : Κόμβος : 7 6 Υπολογισμός ορίζουσας με ανάπτυγμα ως προς την η γραμμ: Πόλοι: 8. p, 5. p, 8. p, 5. p

9 Ασκσεις Πράξης ΣΑΕ Υπολογισμός ορίζουσας : Άρα Από τον παρονομαστ απλοποιείται ο παράγοντας. Πράγματι 96 Άρα G 96 8 β Οι εξισώσεις από τη μέθοδο εντάσεων βρόχων είναι: και 6 7 Το διάγραμμα βαθμίδων είναι: 9

10 Ασκσεις Πράξης ΣΑΕ Άσκηση Χρονικ απόκριση συστημάτων 9// Δίνεται σύστημα δεύτερης τάξης με βηματικ είσοδο u t για t, χρονικ απόκριση y t φθίνουσας ταλάντωσης με μηδενικ αρχικ συνθκη y, και δεδομένα χαρακτηριστικά μεγέθη: υπερύψωση., μέγιστη τιμ y. 5 και χρόνος αποκατάστασης. 75για απόκλιση 5%. α Υπολογίστε τη φυσικ συχνότητα, το συντελεστ απόσβεσης και την ενίσχυση A του συστματος. β Γράψτε και τη διαφορικ εξίσωση του συστματος, λύστε τη, βρείτε τη βηματικ χρονικ απόκριση και σχεδιάστε την. γ Υπολογίστε τη χρονικ απόκριση του συστματος για ανοδικ είσοδο u t t και μηδενικ αρχικ συνθκη. δ Υπολογίστε την ελεύθερη χρονικ απόκριση του συστματος για είσοδο u t και αρχικ συνθκη y, y. Λύση α Υπολογισμός του συντελεστ απόσβεσης από τη δεδομένη υπερύψωση. m Γενικά είναι: Άρα e l l l l l

11 άρα l l l και l Ασκσεις Πράξης ΣΑΕ l l l..6 Ειδικά για. :. 5. l...6 α Υπολογισμός της φυσικς συχνότητας από το δεδομένο χρόνο αποκατάστασης.75 Γενικά είναι: άρα Ειδικά για. 5 και. 75 είναι: Φυσικ συχνότητα:. 78Hz α Υπολογισμός της ενίσχυσης A από τη δεδομένη μέγιστη τιμ y. 5 και υπερύψωση. Γενικά είναι: y m A άρα.5 Ειδικά: A. 5. ym A β Η διαφορικ εξίσωση συστματος δεύτερης τάξης γενικά είναι: d y dy y t Au dt dt t οπότε για. 78Hz,. 5 και A. 5 γράφεται:.78 d y.5 dy y t.5u dt.78 dt t d y dy..5 y t.5u t dt dt d y dy.6.y t u t dt dt Μετασχηματίζοντας κατά Laplace με μηδενικές αρχικές συνθκες έχουμε:.6. Y Για βηματικ είσοδο u t έχουμε Y.6. m

12 Ασκσεις Πράξης ΣΑΕ Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι: Q.6. έχει πόλους: p,.8 j. 6 j,. 8,. 6 Άρα Q.8.6 Οπότε Y A A.6 A Είναι: A. 5,.8.6. A A ja j j..8.6 j.8.6 j. άρα A. 65 και A. 5 και η βηματικ χρονικ απόκριση με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace είναι: y t.5 e.8t με αρχικ συνθκη y και y t.5.6t. μέγιστη τιμ y m. 5 τη χρονικ στιγμ t m ec Χρόνος αποκατάστασης. 75για απόκλιση 5% από την τελικ τιμ y. 5. Απόκλιση: y και οριακές τιμές: y , y γ Χρονικ απόκριση για ανοδικ είσοδο u t t και μηδενικ αρχικ συνθκη Είναι οπότε

13 Ασκσεις Πράξης ΣΑΕ Y A A A.6 A Είναι: A d.6 A.6, d A A ja j είναι.8.6 j.8.6 j.9.6 j οπότε j A j..9.6 j..9.6 άρα A 5., A. 6 και η χρονικ απόκριση με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace είναι: y t.5t.6 e.8t.5.6t.6.6t με y δ Ελεύθερη χρονικ απόκριση για u t και αρχικ συνθκη y, y Η διαφορικ εξίσωση είναι: d y dy.6. y t dt dt y, y Μετασχηματίζοντας κατά Laplace έχουμε: Y y y.6 Y y.y Y.6 Y.Y.6. Y.6 Άρα Y A.6 A Πρέπει:.6 A.6 A.8 A A.6 A. 8, άρα πρέπει: A και A.6 A.8. 6 οπότε A. 5 και η ελεύθερη χρονικ απόκριση με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace είναι: y t.8t e με αρχικ συνθκη y και y.5.6t.6t

14 Ασκσεις Πράξης ΣΑΕ Άσκηση Αρμονικά διαγράμματα ode 6// Δίνεται σύστημα με ενίσχυση A, πόλους: p απλός, p διπλός, p, απλός, p απλός και ρίζες-μηδενιστές: z απλ, z 5 διπλ. 5, α Γράψτε τον αναλυτικό πίνακα & σχεδιάστε τα αρμονικά διαγράμματα ode μέτρου και φάσης. β Υπολογίστε την αρμονικ απόκριση για 8 και. Λύση Η συνάρτηση μεταφοράς του συστματος γράφεται: G 5 Η ενίσχυση A είναι: A d log 6d. Ο αναλυτικός πίνακας μέτρου είναι: d 5 A 6 d 6 d 6 d 6 d 6 d 6 d απλός πόλος α.ρ. δ.π. δ.ρ. 5 α.π. α.π. 5 6d / oct για 6d / oct d d 6d / oct 6d / oct 6d / oct 6d / oct d 6 d / oct 6 d / oct 6 d / oct 6 d / oct 6 d / oct d d d / oct d / oct d / oct d / oct d d d d / oct d / oct d / oct d d d d 6d / oct 6d / oct d d d d d 6d / oct Σύνολο 6d / oct για d / oct d 6d d / oct d / oct 6d / oct d / oct Το διάγραμμα λογαριθμικού μέτρου είναι:

15 Ασκσεις Πράξης ΣΑΕ Ο αναλυτικός πίνακας και το διάγραμμα λογαριθμικς φάσης είναι: A απλός πόλος α.ρ δ.π δ.ρ α.π α.π Σύνολο

16 Ασκσεις Πράξης ΣΑΕ Από το διάγραμμα προκύπτει: για 8 d d log log άρα. 7 και 9 o Οπότε η αρμονικ απόκριση: y t t.78t 9 για d 9d log log 9/ άρα 9. 5 o Οπότε η αρμονικ απόκριση: y t t.5t 6