Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ"

Transcript

1 Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά κυριαρχούµενες στρατηγικές. ( ηλαδή µπορεί να µας βάλει ένα πρόβληµα που έχει πολλές κυριαρχούµενες στρατηγικές, τις απαλείφουµε και µας µένει ένας πίνακας 2 2 ή 3 3). Στο παίγνιο αυτό υπάρχουν 3 επιλογές: Α, Κ, (ΙΙ) Α Κ Α 4, 5 0, 0 5,4 (Ι) Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5 Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (Ι) (ΙΙ) Α Κ Α 4, 5 0, 0 5,4 Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5 Οπότε δεν υπάρχει κανένα σηµείο ισορροπίας σε αµιγείς στρατηγικές. Πρέπει να υπάρχει κάποια ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές. Για να βρούµε αυτή την ισορροπία, πρέπει να υποθέσουµε ότι κάθε παίχτης επιλέγει µε κάποια πιθανότητα τις 3 στρατηγικές. 121

2 εδοµένου ότι δεν υπάρχει καµιά αυστηρά κυριαρχούµενη στρατηγική σε αυτό το παιγνίδι. 5 > 0 < 4 4 < 5 > 0 0 < 4 < Σηµείωση: Στις µεικτές στρατηγικές όταν έχουµε ασθενώς κυριαρχούµενες στρατηγικές δεν τις απαλείφουµε. ΜΟΝΟ ΑΝ ΕΙΝΑΙ ΑΥΣΤΗΡΑ ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΕΣ ΤΙΣ ΑΠΑΛΕΙΦΟΥΜΕ. Ποια είναι η επιλογή που έχει κάθε παίχτης; Είναι βασικά 2 πιθανότητες: έχει τρεις αµιγείς στρατηγικές άρα µε 3 πιθανότητες µπορούµε να προσδιορίσουµε όλη την κατανοµή. Άρα εδώ πέρα θα έχουµε: (ΙΙ) Α(q 1 ) Κ(q 2 ) (q 3 = 1-q 1 q 2 ) Α(p 1 ) 4, 5 0, 0 5,4 (Ι) Κ(p 2 ) 5, 4 4, 5 0, 0 (p 3 = 1- p 1 - p 2 ) 0,0 5, 4 4, 5 Εδώ δεν είναι εύκολο να φτιάξουµε επίπεδα αντίδρασης. ηλαδή µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την κλασσική µέθοδο και να φτιάξουµε την καµπύλη αντίδρασης αλλά δεν µπορούµε να την ζωγραφίσουµε διότι είναι σε τρισδιάστατο χώρο. Οπότε, θα χρησιµοποιήσουµε την εναλλακτική µέθοδο που προέρχεται από την αρχή της εξίσωσης των κερδών. Τι σηµαίνει η αρχή της εξίσωσης των κερδών; 122

3 Σηµαίνει ότι δεδοµένης της στρατηγικής ισορροπίας του παίχτη ΙΙ, ο παίχτης Ι θα είναι αδιάφορος µεταξύ του να χρησιµοποιήσει οποιαδήποτε από τις τρεις στρατηγικές. ηλαδή: Π Ι ( )=Π Ι (Α)=Π Ι (Κ) Αυτή η τριπλή ισότητα µας δίνει βασικά δύο εξισώσεις µε δύο αγνώστους (το q 1 και q 2 ). Και αυτό που θα βρούµε είναι η κατανοµή πιθανότητας του παίχτη ΙΙ. Με την εξίσωση των κερδών του παίχτη Ι βρίσκουµε τις πιθανότητες που χρησιµοποιεί ο παίχτης ΙΙ στις στρατηγικές του. Π Ι (Α)=Π Ι (Κ)=Π Ι ( ) Π Ι (Α)=4q 1 +0 q 2 +5(1 q 1 q 2 )=5 q 1 5q 2 (1) Π Ι (K)=5q 1 +4q 2 +0(1 q 1 q 2 )=5q 1 +4q 2 (2) Π Ι ( )=0 q 1 +5q 2 +4(1 q 1 q 2 )=4 4q 1 +q 2 (3) Συνδυάζοντας για παράδειγµα το (1) και (2). 5 q 1 5q 2 =5q 1 +4q 2 6q 1 +q 2 =5 (4) Συνδυάζοντας το (2) και (3). 4 4q 1 +q 2 =5q 1 +4q 2 q 1 +3q 2 =4 (5) Λύνοντας τις (4) και (5) έχουµε: q 1 = = = 1/ q 2 = = = 1/ Στο γραπτό αν µας πει υπολογίστε τις µεικτές στρατηγικές πρέπει να κάνουµε πράξεις. Αν όµως µας πει να βρούµε τις µεικτές στρατηγικές µπορούµε να γράψουµε απευθείας ότι: [(Α, Κ, ; 1/3, 1/3, 1/3), (Α, Κ, ; 1/3, 1/3, 1/3)] διότι υπάρχει συµµετρία στο παίγνιο αυτό. Άρα βρήκαµε ότι η στρατηγική ισορροπίας του παίχτη ΙΙ είναι: (Α, Κ, ; 1/3, 1/3, 1/3) Μας µένει να βρούµε την στρατηγική του παίχτη Ι: δεδοµένου ότι είναι συµµετρικό, θα βρούµε ακριβώς τις ίδιες εξισώσεις 123

4 Π ΙΙ ( )=Π ΙΙ (Κ)=Π ΙΙ (Α) Π ΙΙ ( )= 4P 1 +0 P 2 +5(1 P 1 P 2 )=5 P 1 5P 2 (1) Π ΙI (K)=0 P 1 +5P 2 +4(1 P 1 P 2 )=4 4P 1 +P 2 (2) Π ΙΙ (Α)=5P 1 +4P 2 +0(1 P 1 P 2 )=5P 1 +4P 2 (3) Από (1) & (2) 5 P 1 5P 2 =4 4P 1 +P 2 3P 1 +6P 2 =1 (4) (2) & (3) 4 4P 1 +P 2 =5P 1 +4P 2 P 1 +3P 2 =4 (5) 1 6 P 1 = = = = 1/ P 2 = 4 = = 1/ P 1 = P 2 = P 3 =1/3 Άρα: [(Α, Κ, ; 1/3, 1/3, 1/3), (Α, Κ, ; 1/3, 1/3, 1/3)] Αν θέλει κάποιος να µαντέψει ποια είναι η ισορροπία τι θα κάνει; Για παράδειγµα µαντεύουµε ότι P 1 = P 2 = P 3 =1/3. οκιµάζουµε τα κέρδη Π ΙΙ ( )= Π ΙΙ (Κ)= Π ΙΙ (Α) για P 1 = P 2 = P 3 =1/3. Αν δεν υπάρχει απόκλιση τότε είναι ισορροπία. Άρα δεν είναι δύσκολο να µαντέψει κανείς. ηλαδή µαντεύει κάποιος ότι η ισορροπία είναι 1/3, 1/3, 1/3. Είναι αυτή η ισορροπία; Αν εξισώνοντας τα κέρδη του ΙΙ, δεδοµένου ότι P 1 = P 2 = P 3 =1/3, τότε προφανώς είναι η ισορροπία. Άρα, µπορούµε να µαντεύουµε κάποια ισορροπία και µετά να ελέγξουµε αν είναι πράγµατι ισορροπία. Αυτή η µέθοδος που έχουµε πει είναι γενική, αλλά φυσικά τα παιγνίδια δεν είναι πάντοτε συµµετρικά. Έχουµε τελειώσει µε τις ισορροπίες στις µεικτές στρατηγικές (*αν στο διαγώνισµα βρούµε µια µήτρα µεγάλη, το πρώτο που πρέπει να κάνουµε είναι να απαλείψουµε όλες τις αυστηρά κυριαρχούµενες στρατηγικές). ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ Έχουµε εξηγήσει όλη την διαίσθηση πίσω από τα δυναµικά παίγνια, στα οποία εφαρµόζουµε το backwards induction. Θα δούµε λίγες περισσότερες λεπτοµέρειες και κάποιους ορισµούς. Οπότε τώρα αφήνουµε τα παίγνια που είναι σε µορφή µήτρας, 124

5 και µπαίνουµε µόνο σε παίγνιο που περιγράφονται σε µορφή δέντρου, όπου ο χρόνος είναι καθορισµένος. Θα κάνουµε µια µικρή επανάληψη, έτσι ώστε να µπορέσουµε να ορίσουµε την τέλεια ισορροπία κατά Nash υπό-παιγνίων, στη γενική µορφή και όχι όταν το παίγνιο είναι τέλειας πληροφόρησης. Μέχρι τώρα αυτό που κάναµε ήταν ότι: όταν το παίγνιο ήταν τέλειας πληροφόρησης, δηλαδή δεν υπάρχουν σύνολα πληροφόρησης, τότε η λύση που βγαίνει από το backwards induction είναι η τέλεια ισορροπία κατά Nash υπό παιγνίων. Τώρα θέλουµε να την ορίσουµε και στην πιο γενική περίπτωση, όπου δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει τέλεια πληροφόρηση. Η οπισθογενής επαγωγή πάντοτε θα µας δώσει τέλειες ισορροπίες κατά Nash. Όµως δεν έχουµε µάθει πως να χρησιµοποιούµε την οπισθογενή επαγωγή στην πιο γενική περίπτωση όταν δεν υπάρχει τέλεια πληροφόρηση. Την έχουµε δει µόνο σε παίγνιο τέλειας πληροφόρησης. Αν δεν υπάρχει τέλεια πληροφόρηση τι θα συµβεί; Το πρώτο πράγµα που χρειαζόµαστε είναι να ορίσουµε το σύνολο πληροφόρησης. Ορισµός: Σύνολα πληροφόρησης (Information sets) Ένα σύνολο κόµβων όπου: (i) αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριµένο παίχτη (αυτός ο συγκεκριµένος παίχτης πρέπει να πάρει την απόφαση του σε ένα από τους κόµβους). (ii) ο παίχτης δεν διακρίνει σε ποιο κόµβο έχει φθάσει το παίγνιο. οι επιλογές του παίχτη είναι οι ίδιες σε όλους τους κόµβους που ανήκουν σε ένα σύνολο πληροφόρησης. ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ (i) Ένα σύνολο πληροφόρησης ανήκει σε έναν παίχτη. εν µπορεί να ανήκει σε δύο παίχτες το ίδιο σύνολο πληροφόρησης. (ii) Και αυτός ο παίχτης, στον οποίο ανήκει το σύνολο πληροφόρησης, δεν µπορεί να διακρίνει / δεν ξέρει σε ποιο κόµβο βρίσκεται. Θα δούµε διάφορα παραδείγµατα, για να καταλάβουµε καλύτερα τον ορισµό. 125

6 Παράδειγµα 1: Είναι δυνατόν αυτό να είναι ένα σύνολο πληροφόρησης; ΟΧΙ. εν µπορεί στον κόµβο α ο παίκτης να έχει δύο επιλογές, στον κόµβο b 3 επιλογές και 2 στον κόµβο c. Αν ο παίχτης Α έχει τρεις επιλογές µπροστά του, τότε αυτό του δίνει πληροφόρηση. Άρα, αν ο παίχτης Α έχει στο b τρεις επιλογές ενώ στο α, c έχει 2 επιλογές τότε µπορεί να ξεχωρίσει αν βρίσκεται στο b ή στο α και c. Ο παίχτης Α, αν είναι στο b ξέρει ότι βρίσκεται στο b διότι θα έχει µπροστά του τρεις επιλογές. Άρα δεν µπορούν και οι τρεις κόµβοι να είναι στο ίδιο σύνολο πληροφόρησης. Εµείς είπαµε ότι ο παίχτης δεν διακρίνει σε ποιο κόµβο έχει φθάσει το παιγνίδι, όταν µιλούµε για το σύνολο πληροφόρησης. Με το (1) δεν είναι δυνατόν να µην ξέρει που έχει φθάσει, αν το παιγνίδι έχει φθάσει στο b; ΟΧΙ, ξέρει διότι έχει τρεις επιλογές µπροστά του. Άρα, πρέπει σε κάθε κόµβο να έχουµε όχι µόνο τον ίδιο αριθµό στρατηγικών, αλλά και τις ίδιες στρατηγικές. Για παράδειγµα: δεν είναι σύνολο πληροφόρησης. Άρα σε όλους τους κόµβους που ανήκουν σε ένα σύνολο πληροφόρησης, ο παίχτης έχει τις ίδιες επιλογές σε όλους τους κόµβους. Αφού έχει τις ίδιες επιλογές, θα κάνει µια από τις επιλογές του, είτε θα πάει αριστερά 126

7 και στους τρεις κόµβους, είτε δεξιά και στους τρεις διότι δεν ξέρει που βρίσκεται και παίρνει µια απόφαση. Άρα, το άτοµο δεν διακρίνει σε ποιο κόµβο βρίσκεται σηµαίνει ότι δεν έχει κανένα τρόπο να διακρίνει. εν µπορεί να κάνει κάποια περίπλοκη σκέψη και να βρει που βρίσκεται. εν µπορεί να διακρίνει. Θα δούµε τώρα τι σηµαίνει υπό-παίγνιο. Και χρειαζόµαστε τον ορισµό, για να ορίσουµε την τέλεια ισορροπία κατά Nash υπό-παιγνίων. Ορισµός Υποπαιγνίου Είναι µια συνέχιση του παιγνίου από ένα χρονικό σηµείο µέχρι το τέλος. Αλλά χρειαζόµαστε κάποιες συγκεκριµένες συνθήκες: (1) Ξεκινά από ένα κόµβο, b, που ανήκει σε ένα σύνολο πληροφόρησης µε ένα µοναδικό στοιχείο, το b [και το b δεν είναι ο αρχικός κόµβος]. Άρα δεν µπορεί να ξεκινήσει από κάποιο σύνολο πληροφόρησης µε πολλούς κόµβους µέσα. Μπορούµε αν θέλουµε, να βάλουµε την επιπλέον συνθήκη ότι το b δεν είναι αρχικός κόµβος. Αυτό το βάζουµε σε παρένθεση διότι είναι µια συµφωνία. ηλαδή το αρχικό παίγνιο δεν είναι υποπαίγνιο. (2) Περιλαµβάνει όλους τους κόµβους αποφάσεων (κόµβοι που παίρνει κάποια απόφαση) και τελικούς κόµβους (κόµβους που βρίσκονται τα αποτελέσµατα), που ακολουθούν τον κόµβο b. (3) εν τέµνει κανένα σύνολο πληροφόρησης. ηλαδή το υποπαίγνιο είναι κάτι που το αποµονώνουµε και το αναλύουµε. Άρα δεν πρέπει να τέµνει κανένα σύνολο πληροφόρησης. 127

8 Άρα οι συνθήκες (1)-(3) είναι απαραίτητες για να µπορούµε να ορίσουµε ένα υποπαίγνιο. Θα δούµε τώρα παραδείγµατα που θα µας βοηθήσουν να καταλάβουµε τις τρεις συνθήκες. Θα δούµε πόσα υποπαίγνια υπάρχουν. Πόσα υποπαίγνια έχει αυτό το παίγνιο; Έχει 6 υποπαίγνια. 128

9 Γιατί το σχήµα είναι υποπαίγνιο; ιότι ξεκινά από ένα κόµβο b που ανήκει σε ένα σύνολο πληροφόρησης που έχει µοναδικό στοιχείο. Το σύνολο πληροφόρησης είναι βασικά το σύνολο που περιλαµβάνει τον συγκεκριµένο κόµβο. Περιλαµβάνει όλους τους κόµβους αποφάσεων και τελικούς. Εδώ περιλαµβάνει µόνο τελικούς κόµβους µετά τον κόµβο b. εν τέµνει κανένα σύνολο πληροφόρησης. Παράδειγµα: 12

10 ηλαδή όταν ο παίχτης Ι παίρνει την τελική του απόφαση δεν γνωρίζει τι έχει κάνει ο παίχτης ΙΙ. Ο παίχτης ΙΙ γνωρίζει την πρώτη κίνηση του Ι, αλλά όταν ο παίχτης Ι παίρνει την απόφασή του δεν ξέρει την απόφαση του ΙΙ. Πόσα υποπαίγνια έχουµε εδώ; Έχουµε δύο υποπαίγνια. Ξεκινά από ένα κόµβο b που ανήκει σε ένα σύνολο πληροφόρησης µε µόνο ένα στοιχείο. Κανένα υποπαίγνιο δεν µπορεί να ξεκινήσει από το Α ή Β διότι το σύνολο πληροφόρησης έχει 2 στοιχεία. Παράδειγµα: Ας πούµε ότι Ι δεν θυµάται τι έκανε ξέχασε. Παίρνει την απόφαση του στο παρελθόν, ο ΙΙ την παρατηρεί, αλλά µετά όταν θα αποφασίσει δεν θυµάται τι αποφάσισε στο παρελθόν. 130

11 Εδώ δεν υπάρχει κανένα υποπαίγνιο, γιατί δεν ικανοποιείται η συνθήκη (3). Για παράδειγµα το πιο κάτω ξεκινά από ένα κόµβο µε ένα µοναδικό στοιχείο, δηλαδή ικανοποιεί την συνθήκη (1), αλλά τέµνει το σύνολο πληροφόρησης. Άρα το παίγνιο αυτό δεν έχει κανένα υποπαίγνιο. Όταν ένα παίγνιο δεν έχει κανένα υποπαίγνιο µια ισορροπία κατά Nash είναι και τέλεια ισορροπία υποπαιγνίου. 131

12 Αν υπάρχουν υποπαίγνια πρέπει συνήθως να µειώσουµε τον αριθµό των ισορροπιών κατά Nash, διότι γενικά ο αριθµός τελείων ισορροπιών υπό παιγνίων είναι µικρότερος ή το πολύ ίσος µε τον αριθµό των ισορροπιών κατά Nash. Ουσιαστικά, η τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων ξεκίνησε από το γεγονός ότι σε πολλά παίγνια εµφανίζονταν ένας πολύ µεγάλος αριθµός ισορροπιών κατά Nash. Και λέγανε υπάρχει κανένας τρόπος να επιλέξουµε µεταξύ των ισορροπιών κατά Nash; Υπάρχει κάποιο κριτήριο; Το κριτήριο που βρέθηκε ήταν η διαχρονική συνέπεια. ηλαδή ότι οι επιλογές που κάνουνε τα άτοµα είναι λογικές στο χρόνο, µε την έννοια ότι λαµβάνουν υπόψη όλη την πληροφόρηση που έχουν στα χέρια τους, δεν χρησιµοποιούνε απειλές που δεν είναι αξιόπιστες κλπ. Γιατί ορίζουµε τα υποπαίγνια; Θέλουµε να τα αναλύσουµε ξεχωριστά, να βρούµε τις ισορροπίες κατά Nash σε αυτά τα υποπαίγνια. 132

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VII. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΡΑΥΣΕΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Εισαγωγή Θραύση (fracture) ονοµάζεται ο διαχωρισµός, ή θρυµµατισµός, ενός στερεού σώµατος σε δύο ή περισσότερα κοµµάτια, κάτω από την επίδραση

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική ανάλυση Κεφάλαιο 1 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα

ιανυσµατική ανάλυση Κεφάλαιο 1 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα Κεφάλαιο 1 ιανυσµατική ανάλυση 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα Αν περπατήσετε 4 µίλια προς τον βορρά και µετά 3 µίλια προς την ανατολή (Σχ. 1.1), θα έχετε διανύσει συνολικά 7 µίλια,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα

Sudoku. - Οι άμεσοι αποκλεισμοί είναι δυο ειδών, ήτοι: 1) Απευθείας αποκλεισμός από ένα κουτάκι όλων, πλην ενός, των αριθμών.

Sudoku. - Οι άμεσοι αποκλεισμοί είναι δυο ειδών, ήτοι: 1) Απευθείας αποκλεισμός από ένα κουτάκι όλων, πλην ενός, των αριθμών. 1 από 10 Sudoku. Αν κάποιος ασχοληθεί με ένα λαό το σίγουρο είναι πως θα βρει πολλά ενδιαφέροντα πράγματα, χαρακτηριστικά του τρόπου σκέψης - και της στάσης ζωής γενικότερα - του λαού αυτού, και πιθανόν

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Νώντας Κεχαγιάς Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Νώντας Κεχαγιάς Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Νώντας Κεχαγιάς Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων Ιωάννινα, 2008 ii Περιεχόµενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...................... vii 1.1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΥΤΕΡΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ......... vii

Διαβάστε περισσότερα

, y 1. y y y y = x ( )

, y 1. y y y y = x ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Μία εξίσωση µε αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µίας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C και µόνο αυτές την επαληθεύουν. Αν έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας Υλικών Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Νίκος Λαζαρίδης Για το µάθηµα Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά (ΤΕΤΥ 116) Αναθεώρηση, συµπληρώσεις : Μαρία Καφεσάκη 1 Κεφάλαιο 1: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικά και Κλασσικά Ανάλογα της Σύγχρονης Φυσικής

Μηχανικά και Κλασσικά Ανάλογα της Σύγχρονης Φυσικής ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Μεταπτυχιακή Ειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστηµών ιπλωµατική Εργασία της Ευθυµίας- Βικτωρίας Σιούτα Σύµβουλος Καθηγητής: ΣΠΥΡΟΣ ΕΥΣΤ. ΤΖΑΜΑΡΙΑΣ Μηχανικά και Κλασσικά Ανάλογα

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Οι πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασµού στο σύνολο των ακεραίων µε εποπτικό τρόπο: Ένα µοντέλο ή ένα παιχνίδι; ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 www.ptheodoropoulos.gr

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Άλγερα και πράξεις: (ή το µυστικό της επιτυχίας) - Όταν ένα γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

2 Φωτογραφία εξωφύλλου: Κυµατοσυνάρτηση για ένα ηλεκτρόνιο στο άτοµο του Η.

2 Φωτογραφία εξωφύλλου: Κυµατοσυνάρτηση για ένα ηλεκτρόνιο στο άτοµο του Η. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΚΑΘΗΓΗΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΙΚΡΟΚΟΣΜΟ» ΜΠΑΚΑΤΣΕΛΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Μια µατιά στην Κβαντοµηχανική 0.1 Εισαγωγή

Μια µατιά στην Κβαντοµηχανική 0.1 Εισαγωγή Μια µατιά στην Κβαντοµηχανική 0.1 Εισαγωγή Είναι χρήσιµο να ξεκινήσουµε πρώτα µε κάποιες γενικές παρατηρήσεις και υπενθυµίσεις. Η Φυσική είναι η επιστήµη που µελετάει τη δοµή της ύλης και τις αλληλεπιδράσεις

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2.

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. Κεφάλαιο 17 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17.3. ΤΟ χ 2 ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 17.3.1. Ένα ερευνητικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΡΗΝΙΚΗ 5ου εξαμήνου. 10 διευκρινήσεις και σημαντικά σημεία (όχι σ' όλη την ύλη) Κ. Κορδάς, ακ. έτος 2013-14

ΠΥΡΗΝΙΚΗ 5ου εξαμήνου. 10 διευκρινήσεις και σημαντικά σημεία (όχι σ' όλη την ύλη) Κ. Κορδάς, ακ. έτος 2013-14 ΠΥΡΗΝΙΚΗ 5ου εξαμήνου 10 διευκρινήσεις και σημαντικά σημεία (όχι σ' όλη την ύλη) Κ. Κορδάς, ακ. έτος 2013-14 1. Ο αριθμός των πυρήνων που έχω σ' ένα δείγμα μειώνεται εκθετικά με το πέρασμα του χρόνου,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΠΟΙΗΣΗ ΓΕΝΕΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΣΤΟΧΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Αρχή της απροσδιοριστίας και διττή σωματιδιακή και κυματική φύση της ύλης.

Αρχή της απροσδιοριστίας και διττή σωματιδιακή και κυματική φύση της ύλης. 1 Αρχή της απροσδιοριστίας και διττή σωματιδιακή και κυματική φύση της ύλης. Μέχρι τις αρχές του 20ου αιώνα υπήρχε μια αντίληψη για τη φύση των πραγμάτων βασισμένη στις αρχές που τέθηκαν από τον Νεύτωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς Στην Εισαγωγή στη Μηχανική, πριν το Κεφάλαιο 1, είδαµε ότι ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα ισχύει µόνο για αδρανειακούς παρατηρητές, δηλαδή για παρατηρητές που είτε

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΥΛΗΣ. Ο διδάσκων. Θ. Παπαδόγγονας

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΥΛΗΣ. Ο διδάσκων. Θ. Παπαδόγγονας ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΥΛΗΣ Ανακοινώνεται στους σπουδαστές του 1ου εξαμήνου του Τμήματος Διοίκησης Επιχειρήσεων ότι η ύλη της τελικής εξέτασης του μαθήματος «Μικροοικονομική» αφορά τις εξής ενότητες: Οικονομική Επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Ένας interpreter µεταφράζει σε γλώσσα µηχανής την εντολή άµεσα την στιγµή που εισάγεται.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Ένας interpreter µεταφράζει σε γλώσσα µηχανής την εντολή άµεσα την στιγµή που εισάγεται. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι γλώσσες προγραµµατισµού έκαναν την εµφάνιση τους κατά την διάρκεια του ου παγκόσµιου πολέµου σε αριθµητικά προβλήµατα του πυροβολικού (υπολογισµό καµπυλών βολών). Εκείνες τις µέρες χρησιµοποιούνταν

Διαβάστε περισσότερα

Πως γράφουµε ένα φιλοσοφικό δοκίµιο ή µια εργασία στη φιλοσοφία

Πως γράφουµε ένα φιλοσοφικό δοκίµιο ή µια εργασία στη φιλοσοφία 1 Γιώργος Καραµανώλης Πως γράφουµε ένα φιλοσοφικό δοκίµιο ή µια εργασία στη φιλοσοφία 1. Για ποιον και γιατί γράφουµε Ένα φιλοσοφικό δοκίµιο ή µια εργασία σε ένα φιλοσοφικό θέµα, είναι ένα κείµενο που

Διαβάστε περισσότερα