Δυνατότητα Χρήσης Γεωμετρικών Υψομέτρων GPS σε Τρέχουσες Τοπογραφικές Εργασίες

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Δυνατότητα Χρήσης Γεωμετρικών Υψομέτρων GPS σε Τρέχουσες Τοπογραφικές Εργασίες"

Transcript

1 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No Δυνατότητα Χρήσης Γεωμετρικών Υψομέτρων GPS σε Τρέχουσες Τοπογραφικές Εργασίες Γ. Α. ΚΑΛΟΓΡΙΔΗΣ Β. Χ. ΝΤΖΟΥΦΡΑ Διπλ. Αγρ.Τοπογράφος Μηχανικός Ε.Μ.Π. Διπλ. Αγρ.Τοπογράφος Μηχανικός Ε.Μ.Π. Κ. Α. ΠΑΠΑΖΗΣΗ Ε. Χ. ΤΕΛΕΙΩΝΗ Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Επιστημονικός Συνεργάτης Ε.Μ.Π. Περίληψη Στην εργασία αυτή, μελετάται η δυνατότητα χρησιμοποίησης γεωμετρικών υψομέτρων, που προκύπτουν από μετρήσεις με το δορυφορικό σύστημα γεωδαιτικού εντοπισμού GPS, αντί των ορθομετρικών υψομέτρων, για τοπογραφικές εργασίες μεγάλης κλίμακας προσεγγίζοντας κατάλληλα ένα τοπικό μοντέλο γεωειδούς στην περιοχή μελέτης. Για το σκοπό αυτό ιδρύθηκαν δίκτυα στην Πολυτεχνειούπολη Ζωγράφου, που μετρήθηκαν και με γεωμετρική χωροστάθμηση αλλά και με το σύστημα γεωδαιτικού εντοπισμού GPS, και διερευνήθηκε κατά πόσον οι διαφορές, που προκύπτουν στα υψόμετρα, ικανοποιούν τις απαιτήσεις ακρίβειας τοπογραφικού δικτύου 3 ης τάξης. Για την περιοχή αυτή (1.5 km 2 ) αλλά και για μεγαλύτερη (5 6 km 2 ) που εξετάσθηκε, θεωρήθηκε ότι το γεωειδές μεταβάλλεται ομαλά και προσεγγίζεται με ένα επίπεδο μιας μέσης κλίσης. Σε όλες τις περιπτώσεις που εξετάσθηκαν οι διαφορές που προέκυψαν στα υψόμετρα, χρησιμοποιώντας τα γεωμετρικά αντί των ορθομετρικών, κυμάνθηκαν μεταξύ 1 cm 4.5 cm. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως είναι γνωστό, για τον προσδιορισμό υψομετρικών διαφορών με ακρίβεια της τάξης του ±1 mm ή λίγων mm ανά Κm χρησιμοποιείται η κλασσική μέθοδος της γεωμετρικής χωροστάθμησης [11]. Σε περιπτώσεις έντονου τοπογραφικού ανάγλυφου μπορεί να χρησιμοποιηθεί η Ειδική Τριγωνομετρική Υψομετρία (Ε.Τ.Υ.) [12], που μπορεί να δώσει καλύτερες ακρίβειες και από τη γεωμετρική χωροστάθμηση. Φυσικά, οι υψομετρικές διαφορές Δn, που προσδιορίζονται στις περιπτώσεις αυτές, δεν είναι ακριβώς ορθομετρικές διαφορές. Στην πραγματικότητα ισχύει : ΔΗ = Δn + OC, (1.1) όπου OC η ορθομετρική διόρθωση που πρέπει να προστεθεί στην υψομετρική διαφορά Δn που μετράται, για να δώσει την ορθομετρική υψομετρική διαφορά ΔΗ [4]. Για τοπογραφικές εργασίες, όμως, όπου η γνώση των υψομέτρων απαιτείται με ακρίβεια λίγων cm, και οι δύο μέ- Υποβλήθηκε: Έγινε δεκτή: θοδοι, που αναφέρθηκαν προηγουμένως, είναι χρονοβόρες και ως εκ τούτου αντιοικονομικές. Σήμερα, το δορυφορικό σύστημα εντοπισμού GPS προσδιορίζει γεωμετρικές υψομετρικές διαφορές Δh με ακρίβεια της τάξης των μερικών mm για αποστάσεις μέχρι αρκετές δεκάδες km, σε σχετικά σύντομο χρονικό διάστημα. Οι ορθομετρικές διάφορες ΔΗ προσδιορίζονται από τις αντίστοιχες γεωμετρικές Δh μέσω των διαφορών ΔΝ των υψομέτρων του γεωειδούς [4],[9] : ΔΗ = Δh - ΔΝ (1.2) Η σχέση (1.2) που συνδέει τις τρεις επιφάνειες αναφοράς, Φυσική Γήινη Επιφάνεια (Φ.Γ.Ε), ελλειψοειδές και γεωειδές είναι σημαντική, ενώ η γνώση του γεωειδούς είναι καταλυτική στη μετατροπή των γεωμετρικών υψομέτρων σε ορθομετρικά υψόμετρα, δηλαδή σε υψόμετρα με φυσικό νόημα. Φυσικά, η επίδραση της απόκλισης της κατακορύφου αγνοείται για τις ακρίβειες που απαιτούνται στις τρέχουσες τοπογραφικές εργασίες. Το γεωειδές προσδιορίζεται με τη βοήθεια αστρογεωδαιτικών παρατηρήσεων ή μετρήσεων της βαρύτητας ή δορυφορικών παρατηρήσεων ή τέλος από λύσεις που συνδυάζουν δύο ή περισσότερες από τις προηγούμενες παρατηρήσεις και συνήθως με ακρίβεια μικρότερη από την αντίστοιχη ακρίβεια προσδιορισμού των σχετικών υψομέτρων από GPS [4],[9]. Για να επιτευχθούν εξ ίσου ακριβείς τιμές στις διαφορές υψομέτρων του γεωειδούς ΔΝ, χρησιμοποιείται συνήθως γεωδυναμικό μοντέλο με αναπτύγματα υψηλού βαθμού [9], συνδυάζοντας τοπικά δεδομένα βαρύτητας και υψομετρίας. Φυσικά, η ακρίβεια επηρεάζεται κυρίως από την ποιότητα των δεδομένων, που θα χρησιμοποιηθούν στη λύση, καθώς και σε ποιο βαθμό ο συνδυασμός τους είναι επιτυχής. Πρακτικά, αυτό σημαίνει ότι με μια λύση συνδυασμού μπορεί, για μια περιοχή, να προκύψει καλύτερο μοντέλο τοπικού γεωειδούς από ότι για μία άλλη. Έτσι, για μικρές εκτάσεις μερικών δεκάδων Κm 2, για ομαλό ανάγλυφο του γεωειδούς, και όταν δεν απαιτείται με-

2 48 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2 γάλη ακρίβεια στα υψόμετρα (λίγα cm), θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν τα γεωμετρικά υψόμετρα που προκύπτουν από μετρήσεις με το σύστημα, GPS, μελετώντας την κλίση του γεωειδούς τοπικά, θεωρώντας το γεωειδές είτε ως επίπεδο, είτε ως επιφάνεια 2 ου βαθμού [5], [7], [10]. Πρέπει να τονιστεί ότι σε περιπτώσεις τοπογραφικών εργασιών υψηλής ακρίβειας, ακόμη και σε περιορισμένης έκτασης εφαρμογές, ιδιαίτερα όταν παρατηρούνται έντονες μεταβολές των υψομέτρων του γεωειδούς σε μικρές αποστάσεις, επιβάλλεται ένας υψηλής ακριβείας και διακριτικής ικανότητας προσδιορισμός του γεωειδούς από ετερογενή δεδομένα, που αναφέρονται σε ένα γεωδυναμικό μοντέλο υψηλού βαθμού τάξης και ανάπτυξης π.χ [2], [3]. 2. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Δn αποτέλεσμα γεωμετρικής χωροστάθμησης ΔΗ ορθομετρική υψομετρική διαφορά OC ορθομετρική διόρθωση Η ορθομετρικό υψόμετρο h γεωμετρικό υψόμετρο Ν υψόμετρο ή αποχή του γεωειδούς Χ, Υ, Ζ καρτεσιανές συντεταγμένες φ, λ, h γεωδαιτικές συντεταγμένες x, y συντεταγμένες στην Εγκάρσια Μερκατορική Προβολή 3. ΔΙΚΤΥΑ ΜΕ ΚΟΡΥΦΕΣ ΓΝΩΣΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΟΡΘΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΨΟΜΕΤΡΟΥ υπάρχει δυνατότητα κέντρωσης του δέκτη πάνω σε αυτές. Για το λόγο αυτό υλοποιήθηκαν νέες κορυφές πολύ κοντά στα Rιpθres, σε αποστάσεις που δεν ξεπερνούσαν κατά μέσο όρο τα 15 μέτρα, με σκοπό να πραγματοποιηθούν σε αυτές μετρήσεις GPS και επιπλέον να προσδιορισθεί και το ορθομετρικό υψόμετρο τους από την αντίστοιχη χωροστάθμηση. Το δεύτερο δίκτυο (Δίκτυο GPS) αποτελείτο συνολικά από 11 κορυφές. Ως ενδέκατη κορυφή ορίστηκε το δυτικότερο βάθρο στο δώμα του κτηρίου Λαμπαδαρίου. Η μεταφορά των ορθομετρικών υψομέτρων από τις κορυφές του χωροσταθμικού δικτύου στις κορυφές του δικτύου GPS (σύνδεση των δύο δικτύων), πραγματοποιήθηκε με χωροσταθμήσεις μίας, ή το πολύ δύο στάσεων του χωροβάτη, ενώ οι μετρήσεις έγιναν και πάλι με τη μέθοδο της γεωμετρικής χωροστάθμησης σε μετάβαση και επιστροφή, με τη χρήση του ψηφιακού χωροβάτη WILD NA 2000 [11],[14]. Στο δίκτυο GPS (σχήμα 2) σχηματίστηκαν 29 βάσεις εκ των οποίων οι 10 συνδέονταν με την κορυφή 11, ενώ οι υπόλοιπες 19 επιλέχθηκαν έτσι, ώστε να σχηματίζουν κλειστά τρίγωνα, χωρίς να δίνεται ιδιαίτερο βάρος στη μορφή και το σχήμα τους. Οι βάσεις μετρήθηκαν εφαρμόζοντας τη μέθοδο του σχετικού στατικού εντοπισμού [13]. Για την εφαρμογή της μεθόδου χρησιμοποιήθηκαν δύο γεωδαιτικοί δέκτες μονής συχνότητας (L1), 4600 LS της TRIMBLE [8], [15], οι οποίοι παρατηρούσαν ταυτόχρονα για χρονικό διάστημα 1 ώρα ώρα. Η ακρίβεια που επιτυγχάνεται, σύμφωνα με τον κατασκευαστή με τη χρήση αυτού του δέκτη, για στατικό εντοπισμό, είναι οριζοντιογραφικά της τάξης των ± 5mm ± 1ppm για βάσεις 10 Κm και ± 5mm ± 2ppm για βάσεις 10 Κm, ενώ υψομετρικά της τάξης των ± 10mm ± 2 ppm και για κινηματικό εντοπισμό της τάξης των ± 2cm ±2 ppm [15] Γενικά Στην περιοχή της Πολυτεχνειούπολης Ζωγράφου (περιοχή έκτασης 1.5 x 1.0 Km 2 ) ιδρύθηκαν [8] δύο υψομετρικά δίκτυα. Το πρώτο δίκτυο αποτελείτο από τις 10 υψομετρικές αφετηρίες (Rιpθres), του υφιστάμενου χωροσταθμικού δικτύου της Πολυτεχνειούπολης Ζωγράφου (Σχήμα 1). Τα στοιχεία του δικτύου (18 χωροσταθμικές οδεύσεις συνολικού μήκους S = 9.8 Km) μετρήθηκαν με τη μέθοδο της γεωμετρικής χωροστάθμησης [11], σε μετάβαση και επιστροφή, με τη χρήση του ψηφιακού χωροβάτη WILD NA Για μια διπλή γεωμετρική χωροστάθμηση (aller - retour) ενός χιλιομέτρου, σύμφωνα με τις προδιαγραφές της εταιρείας, μπορεί να επιτευχθεί ακρίβεια στην υψομετρική διαφορά : ± 1.5 mm/ Km [14]. Από τον τρόπο με τον οποίο ήταν υλοποιημένες οι κορυφές του πρώτου δικτύου (ορειχάλκινα μπουλόνια πακτωμένα σε τοίχους) γίνεται φανερό ότι δεν ήταν δυνατό να πραγματοποιηθούν μετρήσεις με τη χρήση GPS, αφού δεν µ. µ µ Σχήμα 1: Χωροσταθμικό Δίκτυο Figure 1: The leveling network

3 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No µ 1. µ Figure 1. The leveling network Σχήμα 2: Δίκτυο GPS Figure 2: The GPS network 3.2. Συνόρθωση δικτύων και υπολογισμός υψομέτρων Τα τελικά υψόμετρα των κορυφών του χωροσταθμικού δικτύου προέκυψαν μετά από συνόρθωση, με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (Μ.Ε.Τ.) των μετρημένων υψομετρικών διαφορών [1], εφαρμόζοντας τη μέθοδο των εμμέσων παρατηρήσεων : Για κάθε μετρημένη υψομετρική διαφορά σχηματίστηκε μία εξίσωση της μορφής H j -H i = ΔH ij + υ ij (3.1.1), ενώ ως σταθερή κορυφή γνωστού υψομέτρου επιλέχθηκε η χωροσταθμική αφετηρία του κτηρίου Λαμπαδαρίου (κορυφή 10) με Η 10 = m. Οι υπολογισμοί έγιναν μέσω προγράμματος, το οποίο συντάχθηκε σε γλώσσα Visual Basic [8]. Τα αποτελέσματα της συνόρθωσης του χωροσταθμικού δικτύου παρουσιάζονται στον πίνακα 1, στήλη 2. Οι τελικές θέσεις των κορυφών του δικτύου GPS δόθηκαν με μορφή γεωδαιτικών συντεταγμένων στο ΕΓΣΑ 87, ύστερα από συνόρθωση με την Μ.Ε.Τ. των μετρημένων βάσεων, εφαρμόζοντας τη μέθοδο των εμμέσων παρατηρήσεων. [1] Το Ε.Γ.Σ.Α 87 με το WGS 84 έχουν την ίδια κλίμακα και προσανατολισμό, έτσι, θεωρούνται παράλληλα με ακρίβεια Για τους υπολογισμούς χρησιμοποιήθηκαν δύο προγράμματα. Το πρόγραμμα TRIMNET [6] του λογισμικού GPSURVEY που συνοδεύει το δέκτη και πρόγραμμα το οποίο συντάχθηκε σε γλώσσα Visual Basic [8]. Μέσω του TRIMNET, για κάθε βάση σχηματίστηκαν τρεις εξισώσεις παρατήρησης, μία για την απόσταση, μία για το αζιμούθιο και μία για την υψομετρική διαφορά μεταξύ των σημείων. Μέσω του δεύτερου προγράμματος, για κάθε βάση σχηματίστηκαν τρεις γραμμικές εξισώσεις της μορφής : Χj Xi = ΔΧ +υ ΔΧ Υj Υi = ΔΥ + υ ΔΥ (3.1.2) Ζj - Ζi = ΔΖ + υ ΔΖ όπου Χ, Υ, Ζ οι άγνωστες καρτεσιανές συντεταγμένες των κορυφών, (ΔΧ, ΔΥ, ΔΖ) το μετρημένο διάνυσμα της βάσης i-j και υ ij τα αντίστοιχα υπόλοιπα. Και στις δύο περιπτώσεις ως σταθερή κορυφή επιλέχθηκε η κορυφή 11 του δικτύου (Βάθρο στο δώμα του κτηρίου Λαμπαδαρίου). Οι διαφορές μεταξύ των αποτελεσμάτων των δύο προγραμμάτων ήταν αμελητέες για τις ακρίβειες που απαιτού- Πίνακας 1: Υψόμετρα κορυφών χωροσταθμικού δικτύου και δικτύου G.P.S.- Υψόμετρα γεωειδούς Table 1: Heights of the leveling and GPS network points Geoidal heights.. (m). (m) GPS. h (m) =h-h (m) = N 11 - N i (cm) (1) (2) (3) (4) (5) (6)

4 50 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2 νταν [8]. Τα τελικά γεωμετρικά υψόμετρα των κορυφών του δικτύου GPS δίνονται στον πίνακα 1, στήλη 4. Στη στήλη 3 του ίδιου πίνακα εμφανίζονται τα ορθομετρικά υψόμετρα των κορυφών του δικτύου GPS, όπως αυτά προέκυψαν μετά τις χωροσταθμήσεις μεταξύ των κορυφών του χωροσταθμικού δικτύου και του δικτύου GPS. Χρησιμοποιώντας το ορθομετρικό (Η) και το γεωμετρικό (h) υψόμετρο κάθε κορυφής, υπολογίστηκαν το υψόμετρο του γεωειδούς Ν σε κάθε σημείο, καθώς και οι διαφορές του (ΔΝ) για κάθε σημείο ως προς τη σταθερή κορυφή του δικτύου (Πίνακας 1, στήλες 5,6). Εάν για έναν αριθμό σημείων μιας περιοχής είναι γνωστά τόσο τα γεωμετρικά υψόμετρα (προσδιορισμένα από παρατηρήσεις με GPS ) όσο και τα ορθομετρικά υψόμετρα (προσδιορισμένα με χωροστάθμηση ακριβείας), τότε είναι δυνατό να συνταχθεί ένας τοπικός χάρτης του γεωειδούς για την περιοχή, προσαρμόζοντας στα σημεία αυτά μια επιφάνεια [5], [7], [10]. Έτσι, η διαδικασία αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του υψομέτρου του γεωειδούς σε ενδιάμεσα σημεία, όπου τα ορθομετρικά υψόμετρα δεν είναι γνωστά και χρειάζεται να βρεθούν. Όταν η έκταση που ενδιαφέρει είναι μικρή και ζητούνται τα ορθομετρικά υψόμετρα μερικών σημείων της, συνηθίζεται με ικανοποιητική ακρίβεια να θεωρείται ότι το γεωειδές μεταβάλλεται ομαλά και προσεγγίζεται με ένα επίπεδο μίας μέσης κλίσης. Το πλεονέκτημα ενός τέτοιου επιπέδου, είναι ότι μπορεί εύκολα να υπολογιστεί, με την προϋπόθεση ότι υπάρχουν τρία σημεία με γνωστά ορθομετρικά και γεωμετρικά υψόμετρα. Η εξίσωση ενός τέτοιου επιπέδου θα δίνεται από την σχέση: N x y (3.1.3) όπου x, y οι συντεταγμένες των σημείων στην Εγκάρσια Μερκατορική Προβολή (Ε.Μ.Π.), όπως εφαρμόζεται στο ΕΓΣΑ 87 και α,β,γ οι άγνωστες παράμετροι του επιπέδου, που προσδιορίζονται από τρεις εξισώσεις της μορφής (3.1.3). Εάν είναι γνωστά περισσότερα σημεία, τότε προσδιορίζεται το βέλτιστο επίπεδο χρησιμοποιώντας τη ΜΕΤ. Στο δίκτυο GPS της περιοχής μελέτης, οι μεταβολές του Ν, (Πίνακας 1, στήλη 6), που δεν ξεπερνούσαν τα 4.5cm, δείχνουν ότι το γεωειδές μεταβάλλεται ομαλά και μπορεί να απεικονισθεί με μορφή επιπέδου. Για τον προσδιορισμό των παραμέτρων ενός τέτοιου επιπέδου, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η Μ.Ε.Τ., εφ όσον υπάρχουν περισσότερα σημεία γνωστού υψομέτρου. Τελικά, όμως, χρησιμοποιήθηκε ο ελάχιστα απαιτούμενος αριθμός σημείων, επειδή η περιοχή εφαρμογής είναι περιορισμένη σε έκταση (αποστάσεις κορυφών της τάξης του 1 Km) και δεν παρατηρούνται ιδιαίτερα έντονες μεταβολές στο ανάγλυφο, συνεπώς, ο προσδιορισμός μέσω της Μ.Ε.Τ. δε θα επέφερε ουσιαστική μεταβολή στα τελικά αποτελέσματα. Επιλέχθηκαν οι κορυφές 4,5,9 επειδή, όπως φαίνεται και από το Σχήμα 2, το τρίγωνο που σχηματίζουν περικλείει την περιοχή μελέτης. Από την επίλυση του συστήματος που σχηματίστηκε, προσδιορίσθηκε το επίπεδo με εξίσωση: N I = x y (3.1.4) Στη συνέχεια υπολογίστηκαν οι νέες τιμές του υψομέτρου του γεωειδούς (Ν I ) σε κάθε κορυφή, που έδωσαν και τα νέα ορθομετρικά υψόμετρα τους, (Πίνακας 2, στήλη 3). Πίνακας 2. Σύγκριση ορθομετρικών υψομέτρων των κορυφών του δικτύου G.P.S. Table 2. Comparison of orthometric heights of the GPS network H (m) - GPS H (m) (mm) Στη στήλη 4 του Πίνακα 2 φαίνονται οι διαφορές ανάμεσα στα ορθομετρικά υψόμετρα των κορυφών του δικτύου G.P.S., όπως αυτά προέκυψαν από τη γεωμετρική χωροστάθμηση (Πίνακας 2 στήλη 2), και στα νέα ορθομετρικά υψόμετρα που προσδιορίσθηκαν (Πίνακας 2 στήλη 3). Οι διαφορές αυτές κυμαίνονται μεταξύ 12 και +17 mm, γεγονός που δείχνει ότι το συγκεκριμένο επίπεδο προσεγγίζει το γεωειδές ικανοποιητικά στην περιοχή. 4. ΔΙΚΤΥΑ ΜΕ ΚΟΡΥΦΕΣ ΓΝΩΣΤΟΥ ΟΡΘΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΨΟΜΕΤΡΟΥ Στη συνέχεια εφαρμόσθηκε η παραπάνω διαδικασία για αποστάσεις μεταξύ τριών σημείων της τάξης των 2 3 km και με υψομετρικές διαφορές της τάξης των 200m. Αρχικά, πραγματοποιήθηκαν μετρήσεις με GPS από το

5 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No βάθρο που βρίσκεται στο δώμα του κτηρίου Λαμπαδαρίου (κορυφή 11 του δικτύου GPS ), προς τα τριγωνομετρικά σημεία Κύρου Πήρα, Λιθάρι και Ελενίτσα με γνωστές συντεταγμένες και γνωστά ορθομετρικά υψόμετρα, προκειμένου να προσδιορισθεί, σύμφωνα με τη διαδικασία που περιγράφεται στη συνέχεια, το ορθομετρικό υψόμετρο του βάθρου, το οποίο θεωρήθηκε άγνωστο.[8] Κάνοντας την παραδοχή ότι στο τριγωνομετρικό σημείο Κύρου Πήρα, το ορθομετρικό υψόμετρο του ταυτίζεται με το γεωμετρικό και από την επίλυση της βάσης 11 - Κύρου Πήρα υπολογίσθηκαν οι συντεταγμένες του σημείου 11. Στη συνέχεια από την επίλυση των βάσεων 11-Λιθάρι και 11- Ελενίτσα υπολογίσθηκαν τα γεωμετρικά υψόμετρα, καθώς και τα υψόμετρα του γεωειδούς των σημείων Λιθάρι και Ελενίτσα (Πίνακας 3). Πίνακας 3.Υψόμετρα τριγωνομετρικών σημείων Table 3. The network pillars heights H (m) h (m) N (cm) Χρησιμοποιώντας τα υψόμετρα του γεωειδούς στα τρία τριγωνομετρικά σημεία και ακολουθώντας την προηγούμενη διαδικασία, προκύπτει: = x y (4.1) οπότε για το σημείο 11 Ν ΙΙ = cm, τιμή που προσεγγίζει την αρχική μέγιστη μεταβολή του γεωειδούς στη περιοχή του πρώτου υψομετρικού δικτύου (Πίνακας 1, στήλη 6). Από τις γεωμετρικές υψομετρικές διαφορές μεταξύ των σημείων ΚΠ - 11, Λιθ - 11 και Ελ 11, καθώς και τις μεταβολές του Ν μεταξύ των ίδιων σημείων υπολογίστηκαν οι ορθομετρικές τους υψομετρικές διαφορές (Πίνακας 4, στήλη 4). Πίνακας 4: Υψομετρικές διαφορές μεταξύ της κορυφής 11 και των τριών τριγωνομετρικών σημείων. Table 4: Height differences between point 11 and the pillars h (m) (m) (m) Στη συνέχεια ο μέσος όρος των ορθομετρικών υψομέτρων του σημείου 11 βρέθηκε: H 11 = m Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (4.1) και για τις άλλες κορυφές του δικτύου G.P.S. της Πολυτεχνειούπολης υπολογίσθηκε το Ν II, που αντιστοιχεί σε κάθε μία από αυτές, καθώς και το ΔΝ II ως προς την κορυφή 11 (Πίνακας 5, στήλη 2). Τέλος, γνωρίζοντας και τις γεωμετρικές υψομετρικές δι- Πίνακας 5: Ορθομετρικά υψόμετρα κορυφών δικτύου G.P.S. από προσδιορισμό του γεωειδούς Ν II Table 5: Comparison between the (a) GPS network orthometric heights determined via the geoidal plane (Ν II ) and (b) the orthometric heights determined by leveling N i-11 (cm) h i-11 (m) i-11 (m) H (m) II H (m) (cm) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

6 52 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2 αφορές μεταξύ των κορυφών του δικτύου και της κορυφής 11 (Πίνακας 5, στήλη 3), προσδιορίσθηκαν οι νέες ορθομετρικές υψομετρικές διαφορές ως προς την κορυφή 11, καθώς και τα νέα ορθομετρικά υψόμετρα των κορυφών του δικτύου (Πίνακας 5, στήλες 4,5). Στη στήλη 7 του Πίνακα 5 φαίνονται οι διαφορές ανάμεσα στα νέα αυτά ορθομετρικά υψόμετρα και στα ορθομετρικά υψόμετρα, όπως αυτά προέκυψαν από τη γεωμετρική χωροστάθμηση (Πίνακας 5 στήλη 6). 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από την ανάλυση των δικτύων που πραγματοποιήθηκε στην εργασία αυτή, προκύπτουν τα ακόλουθα συμπεράσματα: Εάν σε μία περιοχή είναι γνωστά τα γεωμετρικά και ορθομετρικά υψόμετρα τριών σημείων, τα οποία βρίσκονται σε αποστάσεις, που δεν ξεπερνούν το 1Km, τότε είναι δυνατόν [5], [7], [8], [10] να προσδιορισθεί το ορθομετρικό υψόμετρο οποιουδήποτε ενδιάμεσου σημείου με μετρήσεις μόνο G.P.S., θεωρώντας ότι το γεωειδές στην περιοχή που περικλείεται από τα τρία αυτά σημεία μεταβάλλεται ομαλά και επομένως μπορεί να προσεγγισθεί με ένα επίπεδο. Πράγματι, στην περίπτωση που εξετάστηκε, όπου οι υψομετρικές διαφορές μεταξύ των σημείων δεν ξεπερνούσαν τα 50m, αποδείχθηκε ότι μία τέτοια προσέγγιση του γεωειδούς είναι εφικτή με ικανοποιητική ακρίβεια. Στην περίπτωση που είναι γνωστά μόνο τα ορθομετρικά υψόμετρα των σημείων, τότε, για να ακολουθηθεί η παραπάνω διαδικασία, γίνεται επιπλέον η παραδοχή ότι για ένα από αυτά το ορθομετρικό του υψόμετρο ταυτίζεται με το γεωμετρικό, δηλαδή Ν=0. Όσον αφορά τις διαφορές που προκύπτουν στα υψόμετρα που υπολογίσθηκαν με την παραπάνω διαδικασία (χρήση G.P.S.) και σε εκείνα που προσδιορίσθηκαν από γεωμετρική χωροστάθμηση, αυτές είναι της τάξης του ±1cm για αποστάσεις μεταξύ των κορυφών όχι μεγαλύτερες από 1Km (Πίνακας 2, στήλη 4). Αντίθετα, όταν τα σημεία βρίσκονται σε απόσταση 2-3 Km, τότε οι διαφορές μπορεί να φτάσουν τα λίγα εκατοστά ( Πίνακας 5, στήλη 7). Εάν τα υψόμετρα των σημείων είχαν προσδιορισθεί με τη μέθοδο της τριγωνομετρικής υψομετρίας, η ακρίβειά τους θα έφτανε τις μερικές δεκάδες εκατοστά, γιατί, όπως είναι γνωστό, η ποιότητα των μετρήσεων, που πραγματοποιούνται με τριγωνομετρική υψομετρία, επηρεάζεται έντονα από το φαινόμενο της διάθλασης στην ατμόσφαιρα [11]. Για τη βελτίωση της ακρίβειας της μεθόδου απαιτείται ο προσδιορισμός του συντελεστή γεωδαιτικής διάθλασης στην περιοχή με διαδικασίες, οι οποίες απαιτούν αρκετό χρόνο και επιπλέον παρατηρήσεις [12]. Οι μετρήσεις με G.P.S. μπορούν να γίνουν κάτω σχεδόν από οποιεσδήποτε συνθήκες, ενώ το μόνο σημείο στο οποίο πρέπει να δοθεί προσοχή είναι η κέντρωση του δέκτη και η σωστή μέτρηση του ύψους του. Αντίθετα, η γεωμετρική χωροστάθμηση απαιτεί [11] προσεκτικό έλεγχο του χωροβάτη και των συνθηκών που αυτός πρέπει να πληροί, καθώς και ιδιαίτερη προσοχή κατά την διάρκεια των μετρήσεων. Σχετικά με το χρόνο, ο οποίος απαιτείται, προκειμένου να γίνουν μετρήσεις με τη χρήση G.P.S., είναι χαρακτηριστικό ότι για να πραγματοποιηθεί μία γεωμετρική χωροστάθμηση μήκους 1 Km σε μετάβαση και επιστροφή απαιτείται κατά μέσο όρο περίπου μία ώρα, ενώ στο ίδιο χρονικό διάστημα είναι δυνατόν, εάν διατίθενται 3 δέκτες G.P.S., να μετρηθούν 3 βάσεις (κεκλιμένα μήκη), ανεξαρτήτως μήκους. Απ όσα αναπτύχθηκαν παραπάνω, διαπιστώνεται ότι η διαδικασία προσδιορισμού ορθομετρικών υψομέτρων με τη χρήση G.P.S. είναι ιδιαίτερα απλή, πρακτική και πολύ χρήσιμη σε τρέχουσες τοπογραφικές εργασίες, όπου οι απαιτήσεις σε ακρίβεια είναι της τάξης των μερικών εκατοστών, όπως π.χ.: Η σύνδεση υψομετρικά μίας περιοχής με απομακρυσμένα σημεία γνωστού υψομέτρου και Σε διατομές και κατά μήκος τομές σε κάθε είδους τεχνικά έργα, φωτοσταθερά και χαράξεις όχι μεγάλης ακριβείας. Βέβαια, πρέπει να τονιστεί, ότι η διαδικασία αυτή, σε καμία περίπτωση, δεν μπορεί να αντικαταστήσει τη γεωμετρική χωροστάθμηση σε εργασίες, όπου απαιτείται ο προσδιορισμός υψομέτρων με ιδιαίτερα μεγάλη ακρίβεια. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Αγατζά - Μπαλοδήμου Α.Μ., Θεωρία Σφαλμάτων και Συνορθώσεις Ι, Ε.Μ.Π. - Σ.Α.Τ.Μ., Αθήνα Ανδριτσάνος Β.Δ.., Κατσάμπαλος Κ.Ε., Κεχαϊδου Κ.Ε., Τζιαβός Η.Ν. Βελτιστοποίηση τοπικού γεωειδούς με δεδομένα βαρύτητας, Τοπογραφίας, Πυκνότητας και GPS, Τεχνικά Χρονικά, Επιστ. Εκδ. ΤΕΕ, 1, τευχ. 1 2, Αθήνα Ανδριτσάνος Β.Δ.., Καγιαδάκης Β., Κωστάκης Γ., Μυλωνά Κοτρογιάννη Ε., Πικριδάς Χ., Ρωσσικόπουλος Δ., Τζιαβός Η.Ν., Φωτίου Α. Προσδιορισμός Τοπικού Μοντέλου Γεωειδούς συνδυάζοντας Μετρήσεις GPS, Βαρύτητας και Υψομετρίας. Εφαρμογή στην Ευρύτερη Περιοχή της Θεσσαλονίκης, Τεχνικά Χρονικά, Επιστ. Εκδ. ΤΕΕ, 1, τευχ. 3, Αθήνα Βέης Γ., Μπιλλήρης Χ., Παπαζήση Κ., Ανώτερη Γεωδαισία, Ε.Μ.Π. - Σ.Α.Τ.Μ., Αθήνα Collier P.A. and Croft M.J., Heights from G.P.S. in an engineering environment, Survey Review, Jan. 1997, vol. 34, No 263 p.p GPSurvey Software, TRIMNET Plus, User s Manual 7. Featherstone W.E., Dentith M.C. and Kirby J.F., Strategies for the accurate determination of orthometric heights from GPS, Survey Review, Jan. 1998, vol. 34, No 267 p.p Καλογρίδης Γ., Ντζούφρα Β., Προσδιορισμός υψομέτρων με επίγειες και δορυφορικές μεθόδους, Διπλωματική Εργασία, Ε.Μ.Π., Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Αθήνα, Ιούλιος Κατσάμπαλος Η.Ε. και Τζιαβός Η.Ν., Φυσική Γεωδαισία, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη King R.W., Masters E.G., Rizos C., Stolz A. and Collins J., Surveying with Global Positioning System G.P.S., Dummler Bonn, Μπαλοδήμος Δ.-Δ., Υψομετρία, Ε.Μ.Π. Σ.Α.Τ.Μ., Αθήνα Μπαλοδήμος Δ.-Δ., Ανάπτυξη μεθόδου Ειδικής Τριγωνομετρικής υψομετρίας για εργασίες υψηλής ακρίβειας, Αθήνα Τεχνικά Χρονικά, Επιστ. Εκδ. ΤΕΕ, Ιουλ. Αυγ. Σεπτ Παραδείσης Δ., The Global Positioning System, Αθήνα, Ιανουάριος 1992.

7 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No Σταθάς Δ., Ψηφιακοί χωροβάτες Ο χωροβάτης WILD NA 2000, Ειδικές Γεωδαιτικές Αποτυπώσεις - Συμπληρωματικές σημει ώσεις Υψομετρίας, Ε.Μ.Π. Σ.Α.Τ.Μ., Αθήνα, Οκτώβριος Trimble, 4600LS Surveyor, Surveying and mapping products. Κ. Α. Παπαζήση Καθηγήτρια, Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας, Τομέας Τοπογραφίας, Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Ε.Μ.Π. Ε. Χ. Τελειώνη Επιστημονικός Συνεργάτης, Εργαστήριο Γενικής Γεωδαισίας, Τομέας Τοπογραφίας, Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Ε.Μ.Π. Γ. Α. Καλογρίδης Διπλ. Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός, Ε.Μ.Π. Β. Χ. Ντζούφρα Διπλ. Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός, Ε.Μ.Π.

8 54 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2 Extended summary The Use of GPS Geometric Heights in Surveying An Extended Summary G. A. KALOGRIDIS V. CH. NTZOUFRA Rural and Surveying Engineer N.T.U.A. Rural and Surveying Engineer N.T.U.A. K. A. PAPAZISSI E. CH. TELIONI Professor N.T.U.A. Scientific Collaborator N.T.U.A. Abstract The determination of orthometric heights (H) via GPS observations is rather difficult, since geoidal heights must be known, in order to convert geometric heights (determined by GPS observations) to orthometric ones. On the other hand, the determination of the geoid is obtained through a combination of methods and time consuming calculations; it is, therefore, a rather expensive methodology for surveys of ordinary accuracy. In this paper an attempt was made to approximate the surface of the geoid by a plane for an area of a few Km 2. This plane was determined from three points, with known orthometric and geometric heights, lying in the area under consideration. In this case the orthometric heights resulting from the geometric GPS ones would be quite acceptable. It is well known that geometric leveling is used for the determination of height differences when the desired accuracy is of ±1mm or even better, while in the case of steep slopes, the use of the specialized method of trigonometric leveling can reach the same accuracy. In ordinary surveys, however, where the determination of heights is needed with an accuracy of a few cm, the above mentioned methods are time consuming and therefore rather expensive. On the other hand, geometric height differences h between points on the earth s surface may be determined in less time, and with an accuracy of some mm, using GPS observations. In order to convert the geometric height differences to orthometric ones ( h), the corresponding geoidal height differences H h N must be known, since. The geoidal heights are nowadays determined through astrogeodetic observations, gravity measurements and satellite methods, or through a combination of these methods. Unfortunately, the accuracy obtained is lower than that obtained for the geometric heights. Submitted: Jun Accepted: May However, in ordinary surveys, extending over an area of a few tenths of km 2 and for height differences not above 300m, where the heights are determined with an accuracy of some cm, one could use the relative geometric height determination via GPS observations and convert them afterwards to orthometric ones. In such cases, the surface of the geoid in the area can be approximated either by a plane or by a best fitting second order surface. Thus, two height networks have been established in the N.T.U. Campus in order to study the use of GPS heights in surveying. The first network was a leveling one, consisting of 10 benchmarks (Figure 1). The orthometric heights of the benchmarks were determined by leveling using the digital level NA2000 WILD together with bar coded staves. A GPS network, consisting of 11 points (Figure 2) was established near the leveling network, in such a way that the distances between the corresponding points of the two networks did not exceed 15m. The relative geometric heights of the network s points were determined by GPS observations using two, single frequency, receivers 4600LS Trimble. The two networks were connected via geometric leveling between their points; thus the orthometric heights of the GPS points were also determined. The 11 th point of the GPS network was the pillar of the N.T.U. triangulation network, which is erected on the Lambadarios building of the Department of Rural and Surveying Engineering. The heights of both networks are depicted in Table 1. The geoidal height for each point of the GPS network was determined from the difference between the respective geometric and orthometric height. The geoidal height differences between point 11, which was kept fixed for the solution, and the remaining GPS network points were also determined (Table 1, Columns 5 & 6). Since the geoidal height differences did not exceed 4.5cm, it can be assumed

9 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No that the surface of the geoid in the area is smooth. It was therefore decided to approximate it with a plane given by equation 3.1.3, where x, y are the plane coordinates of the points and a, b, c the three unknown coefficients which must be determined. The minimum number of points required for the determination of the unknown coefficients are three; if more points are available the coefficients will be determined by a least squares solution. In this case study, points 4, 5, 9 were used for the determination of the unknown coefficients. Finally, the plane approximating the geoidal surface in the area was given by equation (3.1.4). New values of the geoidal heights for GPS network points were calculated using the above equation. New values for the corresponding orthometric heights for the same points were also determined (Table 2) by applying the well-known formula: H h N. These values were compared with the ones obtained by geometric leveling (Table 1). Since their differences range from 1.2 cm up to +1.7 cm, it can be concluded that the plane determined above fits well the geoidal surface in the area. It was also decided to study whether the determination of orthometric heights from geometric ones is possible when the orthometric heights of three given points are known and the geoid is again approximated by a plane. For this purpose GPS observations were carried out for a network consisting of three pillars from the Greek Triangulation network, in the vicinity of the N.T.U. Campus, and the fixed point 11 of the GPS network, whose orthometric height was assumed unknown. The height differences between the four points are of the order of 200m and their distances up to 5 km. The heights of the geoid were calculated from the given orthometric heights and the determined geometric ones under the assumption that the orthometric height of one pillar coincided with its geometric one, i.e. at this point the geoidal height is considered as zero (Table 3). A new plane approximating the geoid s surface in the area was determined as described above, using equation (4.1), and new values for the geoidal heights of these four points were calculated. The orthometric height differences between point 11 and the three pillars of the Greek Triangulation network were determined using the corresponding geometric differences and the geoidal ones. (Table 4.) Thus, three values for the orthometric height of point 11 were calculated. Finally, the mean of the three values was chosen, as the orthometric height of point 11. Next, new values for the geoidal heights of the points of the GPS network were determined from equation (4.1). Using these values, the geoidal height differences between point 11 and the remaining points of the GPS network were calculated. Finally, new orthometric heights for the points of the network were determined using the geometric height differences, the corresponding geoidal height differences and the orthometric height of point 11 determined as above. The values of these orthometric heights were compared with the ones obtained via geometric leveling and the results are depicted in Table 5. Some remarks regarding the procedure used previously are: If there exist in the area under consideration three points with both their orthometric and geometric heights known, and the surface of the geoid in the area is smooth, the orthometric height of any point in the area may be determined using GPS observations and approximating the geoid s surface with a plane. This procedure gives good results even if the three points are as far apart as 3 km and the slopes are steep. In the case that only the orthometric heights of the points used for the determination of the geoid s plane are known, the assumption that the plane passes through one of them (i.e. N = 0 for that point) should be made in order to determine the plane s equation. If the distances between the points do not exceed 1 km, the differences between orthometric heights determined as described above and orthometric heights determined by the classic method of geometric leveling are of the order of 1 cm, while for longer distances between the points these differences may be as large as 3 cm. Using the GPS measurements, as described previously, orthometric heights are computed in an easy and practical way. Thus, the procedure might be quite useful in ordinary surveys where the demands for accuracy are of the order of a few centimeters. K. A. Papazissi Professor, Laboratory of Higher Geodesy, Dept. of Topography, School of Rural & Surveying Eng., N.T.U.A. E. Ch. Telioni Scientific Collaborator, Laboratory of General Geodesy, Dept. of Topography, School of Rural & Surveying Eng., N.T.U.A. G. A. Kalogridis Rural and Surveying Engineer N.T.U.A. V. Ch. Ntjoufra Rural and Surveying Engineer N.T.U.A.

Μετασχηματισμός δικτύου GPS στα ελληνικά γεωδαιτικά συστήματα αναφοράς

Μετασχηματισμός δικτύου GPS στα ελληνικά γεωδαιτικά συστήματα αναφοράς Μετασχηματισμός δικτύου GPS στα ελληνικά γεωδαιτικά συστήματα αναφοράς Α. Φωτίου και Χ. Πικριδάς Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας, Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, ΑΠΘ Περίληψη: Παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ακριβής 3Δ Προσδιορισμός Θέσης των Σημείων του Κεντρικού Τομέα του Δικτύου LVD με τη μέθοδο του Σχετικού Στατικού Εντοπισμού

Ακριβής 3Δ Προσδιορισμός Θέσης των Σημείων του Κεντρικού Τομέα του Δικτύου LVD με τη μέθοδο του Σχετικού Στατικού Εντοπισμού Σχολή Μηχανικής και Τεχνολογίας Πτυχιακή εργασία Ακριβής 3Δ Προσδιορισμός Θέσης των Σημείων του Κεντρικού Τομέα του Δικτύου LVD με τη μέθοδο του Σχετικού Στατικού Εντοπισμού Χατζηιωάννου Ανδρέας Λεμεσός,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΥΨΟΜΕΤΡΙΑ - ΧΩΡΟΣΤΑΘΜΗΣΗ

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΥΨΟΜΕΤΡΙΑ - ΧΩΡΟΣΤΑΘΜΗΣΗ ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΥΨΟΜΕΤΡΙΑ - ΧΩΡΟΣΤΑΘΜΗΣΗ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής 3ο εξάμηνο http://eclass.uniwa.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο ΠΑΛΙΟ http://eclass.survey.teiath.gr NEO

Διαβάστε περισσότερα

Χωροστάθμηση GNSS (Η αρχή του τέλους της κλασικής χωροστάθμησης;) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός Α.Π.Θ.

Χωροστάθμηση GNSS (Η αρχή του τέλους της κλασικής χωροστάθμησης;) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός Α.Π.Θ. Χωροστάθμηση GNSS (Η αρχή του τέλους της κλασικής χωροστάθμησης;) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός Α.Π.Θ. Αντικείμενο της παρουσίασης Σχέση συστημάτων υψών Γεωδαισίας και δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τοπογραφικά και

Διαβάστε περισσότερα

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Αποτυπώσεις - Χαράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΥΨΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΥΨΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΥΨΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής 3ο εξάμηνο http://eclass.uniwa.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστημίου Δυτικής Αττικής 3ο εξάμηνο ΝΕΟ eclass http://eclass.uniwa.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 77 10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ολοκληρώνοντας την συνοπτική παρουσίαση των εννοιών και μεθόδων της Γεωδαιτικής Αστρονομίας θα κάνουμε μια σύντομη αναφορά στην αξιοποίηση των μεγεθών που προσδιορίστηκαν,

Διαβάστε περισσότερα

Το χωροσταθμικό δίκτυο Αθηνών, προαστίων και περιχώρων. Το χθες και το σήμερα

Το χωροσταθμικό δίκτυο Αθηνών, προαστίων και περιχώρων. Το χθες και το σήμερα Το χωροσταθμικό δίκτυο Αθηνών, προαστίων και περιχώρων. Το χθες και το σήμερα Γ. Πανταζής Εργαστήριο Γενικής Γεωδαισίας, Τομέας Τοπογραφίας, Σχολή Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ-2 (ο χάρτης)

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ-2 (ο χάρτης) ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ-2 (ο χάρτης) Ο χάρτης ως υπόβαθρο των ΓΣΠ Tα ΓΣΠ βασίζονται στη διαχείριση πληροφοριών που έχουν άμεση σχέση με το γεωγραφικό χώρο, περιέχουν δηλαδή δεδομένα με γεωγραφική

Διαβάστε περισσότερα

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch: HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΓΩΝΙΟΜΕΤΡΗΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΓΩΝΙΟΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΓΩΝΙΟΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής 3ο εξάμηνο http://eclass.uniwa.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ακριβής προσδιορισμός υψομετρικών διαφορών με χρήση ολοκληρωμένων γεωδαιτικών σταθμών

Ακριβής προσδιορισμός υψομετρικών διαφορών με χρήση ολοκληρωμένων γεωδαιτικών σταθμών Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-007 Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-37 Ακριβής προσδιορισμός υψομετρικών διαφορών με χρήση ολοκληρωμένων γεωδαιτικών σταθμών E. ΛΑΜΠΡΟΥ Δρ Αγρόνομος και Τοπογράφος

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες 1/11/2014. Μουστάκας Δ. Παναγιώτης

Ευχαριστίες 1/11/2014. Μουστάκας Δ. Παναγιώτης Περίληψη Στην παρούσα εργασία επιχειρείται η επισκόπηση, αλλά και εφαρμογή, των μεθόδων που χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση των ορθομετρικών υψομέτρων στην τοπογραφική πρακτική. Βασικός στόχος είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική θεωρία της υψομετρίας (Βαρύτητα & Υψόμετρα)

Δυναμική θεωρία της υψομετρίας (Βαρύτητα & Υψόμετρα) Δυναμική θεωρία της υψομετρίας (Βαρύτητα & Υψόμετρα) Συστήματα Υψομέτρων Ένα σύστημα υψομέτρων είναι ένα μονοδιάστατο σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιείται για να εκφράσει τη μετρική απόσταση (ύψος) ενός

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση υψομετρικών τεχνικών στο δίκτυο Μεταλλικού

Σύγκριση υψομετρικών τεχνικών στο δίκτυο Μεταλλικού Σεμιναριακό Μάθημα Ασκήσεων Υπαίθρου (Ιούλιος 2016) Σύγκριση υψομετρικών τεχνικών στο δίκτυο Μεταλλικού Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Υψομετρικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Άσκηση 10 Σε ένα κατακόρυφο δίκτυο έχουν μετρηθεί, μέσω διπλής γεωμετρικής χωροστάθμησης, οι υψομετρικές διαφορές μεταξύ όλων των σημείων

Διαβάστε περισσότερα

υψών διαφορετικού τύπου. Προσδιορίζονται είτε γεωµετρικά, είτε δυναµικά

υψών διαφορετικού τύπου. Προσδιορίζονται είτε γεωµετρικά, είτε δυναµικά Συστήµατα υψών ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΨΩΝ Η βαρύτητα εξαρτάται από το ύψος, εποµένως τα συστήµατα υψών είναι ιδιαίτερα σηµαντικά για το πεδίο βαρύτητας. ιάφορες τεχνικές µετρήσεων οδηγούν στον προσδιορισµό υψών διαφορετικού

Διαβάστε περισσότερα

Finite Field Problems: Solutions

Finite Field Problems: Solutions Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΝΙΚΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΝΙΚΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΝΙΚΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΘΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΥΨΟΜΕΤΡΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ GPS ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΟΡΥΧΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας

Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας Ενότητα 3: Συστήματα Υψών Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.3 Trigonometric Equations

Section 8.3 Trigonometric Equations 99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΨΗΦΙΑΚΗ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ

ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΨΗΦΙΑΚΗ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΣΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ-ΣΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΟΜΕΑ ΣΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS EXERCISE 01 Page 545 1. Use matrices to solve: 3x + 4y x + 5y + 7 3x + 4y x + 5y 7 Hence, 3 4 x 0 5 y 7 The inverse of 3 4 5 is: 1 5 4 1 5 4 15 8 3

Διαβάστε περισσότερα

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required) Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση των δικτύων μόνιμων σταθμών GNSS στον προσδιορισμό υψομέτρων μέσω τεχνικών NRTK

Αξιολόγηση των δικτύων μόνιμων σταθμών GNSS στον προσδιορισμό υψομέτρων μέσω τεχνικών NRTK 5 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών ΑΤΜ: Πραγματικότητα & Προοπτικές 14 & 15 Οκτωβρίου 2017, Αθήνα Αξιολόγηση των δικτύων μόνιμων σταθμών GNSS στον προσδιορισμό υψομέτρων μέσω τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση υψομετρικών τεχνικών στο δίκτυο Μεταλλικού

Σύγκριση υψομετρικών τεχνικών στο δίκτυο Μεταλλικού Σεμιναριακό Μάθημα Ασκήσεων Υπαίθρου Σύγκριση υψομετρικών τεχνικών στο δίκτυο Μεταλλικού Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Υψομετρικές τεχνικές στο δίκτυο του

Διαβάστε περισσότερα

DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0.

DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0. DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL -7-1! PROBLEM -7 Statement: Design a double-dwell cam to move a follower from to 25 6, dwell for 12, fall 25 and dwell for the remader The total cycle must take 4 sec

Διαβάστε περισσότερα

the total number of electrons passing through the lamp.

the total number of electrons passing through the lamp. 1. A 12 V 36 W lamp is lit to normal brightness using a 12 V car battery of negligible internal resistance. The lamp is switched on for one hour (3600 s). For the time of 1 hour, calculate (i) the energy

Διαβάστε περισσότερα

3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β

3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β 3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗ ΜΟΡΦΩΝ ΛΥΓΙΣΜΟΥ ΣΤΙΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗ ΜΟΡΦΩΝ ΛΥΓΙΣΜΟΥ ΣΤΙΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τοµέας οµοστατικής Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗ ΜΟΡΦΩΝ ΛΥΓΙΣΜΟΥ ΣΤΙΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ιπλωµατική Εργασία Ιωάννη Σ. Προµπονά

Διαβάστε περισσότερα

Matrices and Determinants

Matrices and Determinants Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΛΟΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΥΤΟΝΟΜΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΟΗΓΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΥΨΗΛΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΟΡΘΟΦΩΤΟΓΡΑΦΙΩΝ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΕΚΤΑΣΕΩΝ

ΠΙΛΟΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΥΤΟΝΟΜΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΟΗΓΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΥΨΗΛΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΟΡΘΟΦΩΤΟΓΡΑΦΙΩΝ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΕΚΤΑΣΕΩΝ Σχολή Μηχανικής & Τεχνολογίας Τμήμα Πολιτικών & Μηχανικών Γεωπληροφορικής Μεταπτυχιακή διατριβή ΠΙΛΟΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΥΤΟΝΟΜΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΟΗΓΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΥΨΗΛΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΟΡΘΟΦΩΤΟΓΡΑΦΙΩΝ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Example Sheet 3 Solutions

Example Sheet 3 Solutions Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Δίκτυα. Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί. 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016. Χριστόφορος Κωτσάκης

Εισαγωγή στα Δίκτυα. Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί. 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016. Χριστόφορος Κωτσάκης Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016 Εισαγωγή στα Δίκτυα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Εισαγωγή Τι είναι δίκτυο;

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική δραστηριότητα και προοπτικές ΑΠΘ. Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Ερευνητική δραστηριότητα και προοπτικές ΑΠΘ. Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Ερευνητική δραστηριότητα και προοπτικές από τη λειτουργία του δικτύου μόνιμων σταθμών GNSS του ΤΑΤΜ-ΑΠΘ ΑΠΘ Χ. Πικριδάς, Α. Φωτίου, Δ. Ρωσσικόπουλος, Μ. Χατζηνίκος Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

CRASH COURSE IN PRECALCULUS

CRASH COURSE IN PRECALCULUS CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter

Διαβάστε περισσότερα

2. THEORY OF EQUATIONS. PREVIOUS EAMCET Bits.

2. THEORY OF EQUATIONS. PREVIOUS EAMCET Bits. EAMCET-. THEORY OF EQUATIONS PREVIOUS EAMCET Bits. Each of the roots of the equation x 6x + 6x 5= are increased by k so that the new transformed equation does not contain term. Then k =... - 4. - Sol.

Διαβάστε περισσότερα

PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities

PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities tanθ = sinθ cosθ cotθ = cosθ sinθ BASIC IDENTITIES cscθ = 1 sinθ secθ = 1 cosθ cotθ = 1 tanθ PYTHAGOREAN IDENTITIES sin θ + cos θ =1 tan θ +1= sec θ 1 + cot

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΙΔΡΥΣΗ ΑΣΤΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΗΣ ΡΑΦΗΝΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

«Χρήσεις γης, αξίες γης και κυκλοφοριακές ρυθμίσεις στο Δήμο Χαλκιδέων. Η μεταξύ τους σχέση και εξέλιξη.»

«Χρήσεις γης, αξίες γης και κυκλοφοριακές ρυθμίσεις στο Δήμο Χαλκιδέων. Η μεταξύ τους σχέση και εξέλιξη.» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «Χρήσεις γης, αξίες γης και κυκλοφοριακές ρυθμίσεις στο Δήμο Χαλκιδέων.

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =? Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις παρατηρήσεων στα τοπογραφικά δίκτυα

Εξισώσεις παρατηρήσεων στα τοπογραφικά δίκτυα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 018-019 Εξισώσεις παρατηρήσεων στα τοπογραφικά δίκτυα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση δικτύου μέσω εξισώσεων παρατήρησης

Μοντελοποίηση δικτύου μέσω εξισώσεων παρατήρησης Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 017-018 Μοντελοποίηση δικτύου μέσω εξισώσεων παρατήρησης Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

Solutions to Exercise Sheet 5

Solutions to Exercise Sheet 5 Solutions to Eercise Sheet 5 jacques@ucsd.edu. Let X and Y be random variables with joint pdf f(, y) = 3y( + y) where and y. Determine each of the following probabilities. Solutions. a. P (X ). b. P (X

Διαβάστε περισσότερα

HEPOS και μετασχηματισμοί συντεταγμένων

HEPOS και μετασχηματισμοί συντεταγμένων Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή HEPOS και μετασχηματισμοί συντεταγμένων Χριστόφορος Κωτσάκης Τοµέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Τµήµα Αγρονόµων Τοπογράφων Μηχανικών, ΑΠΘ ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση χωροσταθμικών υψομέτρων στο κρατικό τριγωνομετρικό δίκτυο της Ελλάδας

Ανάλυση χωροσταθμικών υψομέτρων στο κρατικό τριγωνομετρικό δίκτυο της Ελλάδας 3 ο Πανελλήνιο Συνέδριο ΑΤΜ Ανάλυση χωροσταθμικών υψομέτρων στο κρατικό τριγωνομετρικό δίκτυο της Ελλάδας Χ. Κωτσάκης, Μ. Ζουλίδα, Δ. Τερζόπουλος, Κ. Κατσάμπαλος Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τοπογραφικά και

Διαβάστε περισσότερα

Χωροστάθμησημε GPS Βασικές αρχές, προβλήματα και προκαταρκτικά αποτελέσματα

Χωροστάθμησημε GPS Βασικές αρχές, προβλήματα και προκαταρκτικά αποτελέσματα HEPOS Workshop Χωροστάθμησημε GPS Βασικές αρχές, προβλήματα και προκαταρκτικά αποτελέσματα Χ. Κωτσάκης, Κ. Κατσάμπαλος, Δ. Αμπατζίδης Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016

Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Silvio Capobianco Exercise 1.7 Let H(n) = J(n + 1) J(n). Equation (1.8) tells us that H(2n) = 2, and H(2n+1) = J(2n+2) J(2n+1) = (2J(n+1) 1) (2J(n)+1)

Διαβάστε περισσότερα

Statistical Inference I Locally most powerful tests

Statistical Inference I Locally most powerful tests Statistical Inference I Locally most powerful tests Shirsendu Mukherjee Department of Statistics, Asutosh College, Kolkata, India. shirsendu st@yahoo.co.in So far we have treated the testing of one-sided

Διαβάστε περισσότερα

Εµπειρία από το ΕΓΣΑ87

Εµπειρία από το ΕΓΣΑ87 Εµπειρία από το ΕΓΣΑ87 και τις εφαρµογές τύπου HEGNET ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΣΤΡΑΤΟΥ Ι. ΚΟΛΟΒΟΣ Β. ΚΑΓΙΑ ΑΚΗΣ ιηµερίδα: ιηµερίδα: HEPOS και σύγχρονα γεωδαιτικά συστήµατα αναφοράς, αναφοράς, 2525-26/09/08,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 4ο εξάμηνο http://eclass.survey.teiath.gr Παρουσιάσεις, Ασκήσεις, Σημειώσεις ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. Ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

TEI Athens Department of Surveying Engineering. Ονοματεπώνυμο. Τίτλος εργασίας. 3rd EXERCISE

TEI Athens Department of Surveying Engineering. Ονοματεπώνυμο. Τίτλος εργασίας. 3rd EXERCISE 2013 TEI Athens Department of Surveying Engineering Ονοματεπώνυμο Τίτλος εργασίας 3rd EXERCISE Περιετόμενα Πρόλογος Abstract....σελ. 2 I. Εισαγφγή......σελ. 3 ΙΙ. Υυομετρία....σελ. 4 II.1 Γεφμετρική Φφροστάθμηση...σελ.

Διαβάστε περισσότερα

Instruction Execution Times

Instruction Execution Times 1 C Execution Times InThisAppendix... Introduction DL330 Execution Times DL330P Execution Times DL340 Execution Times C-2 Execution Times Introduction Data Registers This appendix contains several tables

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Δίκτυα. Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί. 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος Χριστόφορος Κωτσάκης

Εισαγωγή στα Δίκτυα. Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί. 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος Χριστόφορος Κωτσάκης Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2018-2019 Εισαγωγή στα Δίκτυα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Εισαγωγή Τι είναι δίκτυο;

Διαβάστε περισσότερα

Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύου Μεταλλικού

Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύου Μεταλλικού Σεμιναριακό Μάθημα Ασκήσεων Υπαίθρου Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύου Μεταλλικού Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Δίκτυο Μεταλλικού Τ1-Τ10

Διαβάστε περισσότερα

Ίδρυση δικτύου κατακόρυφου ελέγχου με δορυφορικές μεθόδους στο λεκανοπέδιο Αττικής

Ίδρυση δικτύου κατακόρυφου ελέγχου με δορυφορικές μεθόδους στο λεκανοπέδιο Αττικής ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΝΙΚΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ Ίδρυση δικτύου κατακόρυφου ελέγχου με δορυφορικές μεθόδους στο λεκανοπέδιο Αττικής

Διαβάστε περισσότερα

Homework 8 Model Solution Section

Homework 8 Model Solution Section MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests

Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Side-Note: So far we have seen a few approaches for creating tests such as Neyman-Pearson Lemma ( most powerful tests of H 0 : θ = θ 0 vs H 1 :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE ΑΠΟ ΑΤΟΜΑ ΜΕ ΤΥΦΛΩΣΗ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE ΑΠΟ ΑΤΟΜΑ ΜΕ ΤΥΦΛΩΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE

Διαβάστε περισσότερα

[1] P Q. Fig. 3.1

[1] P Q. Fig. 3.1 1 (a) Define resistance....... [1] (b) The smallest conductor within a computer processing chip can be represented as a rectangular block that is one atom high, four atoms wide and twenty atoms long. One

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για τις μετρήσεις πεδίου, βασικές συμβουλές και γενική περιγραφή εργασιών

Οδηγίες για τις μετρήσεις πεδίου, βασικές συμβουλές και γενική περιγραφή εργασιών Ενημερωτικό σεμινάριο για το μάθημα των Ασκήσεων Υπαίθρου Οδηγίες για τις μετρήσεις πεδίου, βασικές συμβουλές και γενική περιγραφή εργασιών (θεματικές ενότητες 4, 5, 6, 7) Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και

Διαβάστε περισσότερα

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ»

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ» I ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΝΟΜΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Άσκηση 1 Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων ενός σημείου P μετρήθηκαν οι οριζόντιες αποστάσεις προς τρία γνωστά σημεία (βλέπε σχήμα).

Διαβάστε περισσότερα

Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύων Μεταλλικού

Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύων Μεταλλικού Σεμιναριακό Μάθημα Ασκήσεων Υπαίθρου (Ιούλιος 2016) Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύων Μεταλλικού Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Δίκτυο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ης ΕΝΟΤΗΤΑΣ : Εισαγωγή στο γήινο πεδίο βαρύτητας

ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ης ΕΝΟΤΗΤΑΣ : Εισαγωγή στο γήινο πεδίο βαρύτητας ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ης ΕΝΟΤΗΤΑΣ : Εισαγωγή στο γήινο πεδίο βαρύτητας Ζήτημα 1 ο Δίνονται οι μετρήσεις γεωμετρικών υψομέτρων του δορυφορικού συστήματος GPS στα τριγωνομετρικά σημεία της ΓΥΣ με γνωστά ορθομετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 4: Μοντέλα Ανάλυσης και Εξισώσεις Παρατηρήσεων Δικτύων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq.

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq. 6.1. Dirac Equation Ref: M.Kaku, Quantum Field Theory, Oxford Univ Press (1993) η μν = η μν = diag(1, -1, -1, -1) p 0 = p 0 p = p i = -p i p μ p μ = p 0 p 0 + p i p i = E c 2 - p 2 = (m c) 2 H = c p 2

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΟΛΙΣΘΗΡΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΜΑΚΡΟΥΦΗ ΤΩΝ ΟΔΟΔΤΡΩΜΑΤΩΝ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΟΛΙΣΘΗΡΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΜΑΚΡΟΥΦΗ ΤΩΝ ΟΔΟΔΤΡΩΜΑΤΩΝ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Πτυχιακή εργασία ΟΛΙΣΘΗΡΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΜΑΚΡΟΥΦΗ ΤΩΝ ΟΔΟΔΤΡΩΜΑΤΩΝ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΣ Χριστοδούλου Αντρέας Λεμεσός 2014 2 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Jesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013

Jesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013 Notes on Average Scattering imes and Hall Factors Jesse Maassen and Mar Lundstrom Purdue University November 5, 13 I. Introduction 1 II. Solution of the BE 1 III. Exercises: Woring out average scattering

Διαβάστε περισσότερα

Αναερόβια Φυσική Κατάσταση

Αναερόβια Φυσική Κατάσταση Αναερόβια Φυσική Κατάσταση Γιάννης Κουτεντάκης, BSc, MA. PhD Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΦΑΑ, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Περιεχόµενο Μαθήµατος Ορισµός της αναερόβιας φυσικής κατάστασης Σχέσης µε µηχανισµούς παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ AΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

ΛΥΣΕΙΣ AΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο ΛΥΣΕΙΣ ΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Άσκηση (α) Οι συνορθωμένες συντεταγμένες του σημείου P είναι: ˆ 358.47 m, ˆ 4.46 m (β) Η a-psteriri εκτίμηση της μεταβλητότητας

Διαβάστε περισσότερα

και μοντέλου γεωειδούς Περιεχόμενα

και μοντέλου γεωειδούς Περιεχόμενα Ανάπτυξη και διάθεση μοντέλου μετασχηματισμού HTRS07 - ΕΓΣΑ87 και μοντέλου γεωειδούς Κώστας Αυγερινός, Διευθυντής Δ/νσης Υπηρεσιών & Προϊόντων Δρ. Μιχάλης Γιαννίου, Τμήμα Γεωδαιτικής Υποδομής Τεχνικός

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακή διατριβή. Ανδρέας Παπαευσταθίου

Μεταπτυχιακή διατριβή. Ανδρέας Παπαευσταθίου Σχολή Γεωτεχνικών Επιστημών και Διαχείρισης Περιβάλλοντος Μεταπτυχιακή διατριβή Κτίρια σχεδόν μηδενικής ενεργειακής κατανάλωσης :Αξιολόγηση συστημάτων θέρμανσης -ψύξης και ΑΠΕ σε οικιστικά κτίρια στην

Διαβάστε περισσότερα

SCITECH Volume 13, Issue 2 RESEARCH ORGANISATION Published online: March 29, 2018

SCITECH Volume 13, Issue 2 RESEARCH ORGANISATION Published online: March 29, 2018 Journal of rogressive Research in Mathematics(JRM) ISSN: 2395-028 SCITECH Volume 3, Issue 2 RESEARCH ORGANISATION ublished online: March 29, 208 Journal of rogressive Research in Mathematics www.scitecresearch.com/journals

Διαβάστε περισσότερα

Section 9.2 Polar Equations and Graphs

Section 9.2 Polar Equations and Graphs 180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011 Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

Second Order RLC Filters

Second Order RLC Filters ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor

Διαβάστε περισσότερα