Μη Κυρτότητες σε Προβλήματα Βελτιστοποίησης με Εφαρμογή σε Αγορές Ηλεκτρικής Ενέργειας και Εφεδρειών

Transcript

1 5 ο Φοιτητικό Συνέδριο Διοικητικής Επιστήμης και Τεχνολογίας Αθήνα 8 Μαΐου 28 Μη Κυρτότητες σε Προβλήματα Βελτιστοποίησης με Εφαρμογή σε Αγορές Ηλεκτρικής Ενέργειας και Εφεδρειών Παναγιώτης Ανδριανέσης Γιώργος Λυμπερόπουλος Γιώργος Κοζανίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιομηχανίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας pandianesis@otmailcom lib@miet o@miet Περίληψη Στην παρούσα εργασία εξετάζονται μη κυρτότητες (non convexities) οι οποίες εμφανίζονται σε προβλήματα μεικτού ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού Αρχικά διατυπώνεται ένα γνωστό παράδειγμα από τη διεθνή βιβλιογραφία (Scaf example) στο οποίο επιδιώκεται η ικανοποίηση της ζήτησης ενός προϊόντος που παράγεται από δύο διαφορετικούς τύπους παραγωγικών μονάδων Κάθε μονάδα έχει διαφορετική μέγιστη παραγωγική δυναμικότητα διαφορετικό κόστος εγκατάστασης και διαφορετικό κόστος παραγωγής ανά μονάδα προϊόντος Το πρόβλημα αναφέρεται σε μία περίοδο και χρησιμοποιείται ως βάση για την διαπίστωση της μη ύπαρξης τιμών ισορροπίας Στη συνέχεια γίνεται μια συνοπτική αναφορά σε εργασίες που επιχείρησαν να συνδέσουν το παραπάνω πρόβλημα με την αγορά ηλεκτρικής ενέργειας και παρατίθενται οι βασικές μορφοποιήσεις που αναφέρονται στο πρόβλημα της κατανομής των παραγωγικών μονάδων για την κάλυψη της ζήτησης Η παρούσα εργασία επεκτείνει την υφιστάμενη βιβλιογραφία εστιάζοντας την ανάλυση στις αγορές ηλεκτρικής ενέργειας και εφεδρειών θεωρώντας δύο προϊόντα ενέργεια και εφεδρεία τα οποία εκκαθαρίζονται ταυτόχρονα στα πλαίσια του Ημερήσιου Ενεργειακού Προγραμματισμού Η αντικειμενική συνάρτηση επιδιώκει την ελαχιστοποίηση του κόστους της ενέργειας και της εφεδρείας καθώς και του κόστους εκκίνησης και κράτησης των παραγωγικών μονάδων για το σύνολο των περιόδων κατανομής της επόμενης ημέρας Μέσω της ανάλυσης του δυικού προβλήματος διατυπώνονται θεωρήματα που προσδιορίζουν τιμές ισορροπίας οι οποίες αναφέρονται εκτός από τα δύο προϊόντα και στις ακέραιες δραστηριότητες (κατάσταση λειτουργίας εκκίνηση κράτηση) Λέξεις Κλειδιά: Απελευθέρωση Αγοράς Ηλεκτρικής Ενέργειας Ημερήσιος Ενεργειακός Προγραμματισμός Μη Κυρτότητες 1 Εισαγωγή Στην παρούσα εργασία θα μας απασχολήσουν ερωτήματα σχετικά με την ύπαρξη τιμών ισορροπίας για μια κατηγορία αγορών που περιγράφεται από προβλήματα μεικτού ακέραιου προγραμματισμού στα οποία εμφανίζονται μη κυρτότητες Αρχικά παραθέτουμε ένα παράδειγμα από τη βιβλιογραφία προκειμένου να γίνει κατανοητή η επίδραση που έχει η εμφάνιση μη κυρτότητας με τη μορφή σταθερού κόστους σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης Κατόπιν το πρόβλημα εξειδικεύεται ώστε να έχει εφαρμογή στην απελευθερωμένη αγορά ηλεκτρικής ενέργειας Υφιστάμενα μοντέλα τροποποιούνται και επεκτείνονται για να συμπεριλάβουν εκτός από την ενέργεια και την εφεδρεία Κατ αυτόν τον τρόπο προσεγγίζεται το πρόβλημα του Ημερήσιου Ενεργειακού Προγραμματισμού (ΗΕΠ) που αποτελεί τη βάση λειτουργίας της χονδρεμπορικής αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας 2 Το παράδειγμα Scaf Το παράδειγμα που περιγράφεται από τον Scaf [1] είναι ενδεικτικό ενός προβλήματος βελτιστοποίησης που παρουσιάζει μη κυρτότητες Στο παράδειγμα αυτό επιδιώκεται η ικανοποίηση της ζήτησης ενός προϊόντος από δύο διαφορετικούς τύπους παραγωγικών μονάδων τα χαρακτηριστικά των οποίων φαίνονται στον Πίνακα «1» 1

2 5 ο Φοιτητικό Συνέδριο Διοικητικής Επιστήμης και Τεχνολογίας Αθήνα 8 Μαΐου 28 Χαρακτηριστικά Smoestac (τύπου 1) Hi Tec (τύπου 2) Μέγιστη παραγωγή 16 7 Κόστος εγκατάστασης 53 3 Οριακό κόστος 3 2 Μέσο κόστος (υπολογισμένο στη μέγιστη παραγωγή) Πίνακας 1: Στοιχεία Μονάδων Παραγωγής του Παραδείγματος Scaf Οι μονάδες τύπου 1 έχουν μεγάλη παραγωγική δυναμικότητα μεγάλο κόστος εγκατάστασης αλλά και μεγάλο οριακό κόστος Οι μονάδες τύπου 2 είναι μικρότερες μονάδες έχουν μικρότερο κόστος εγκατάστασης ανά μονάδα αλλά σχετικά υψηλότερο από αυτό των τύπου 1 σε σχέση με τη δυναμικότητά τους και μικρότερο οριακό κόστος Οι τιμές έχουν επιλεγεί κατάλληλα ώστε το μέσο κόστος ανά μονάδα προϊόντος των δύο τύπων να είναι αρκετά κοντά με υψηλότερο αυτό των μονάδων τύπου 1 Υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει περιορισμός στον αριθμό των μονάδων που μπορούν κατασκευασθούν και ότι επιδιώκεται η ικανοποίηση της ζήτησης σε διάρκεια μιας περιόδου Η επίλυση του προβλήματος για επίπεδα ζήτησης από 55 έως 7 μονάδες δίνει τα αποτελέσματα που φαίνονται στον Πίνακα «2» Ζήτηση # Smoestac # Hi Tec Παραγωγή Smoestac Παραγωγή Hi Tec Συνολικό κόστος Πίνακας 2: Αποτελέσματα Επίλυσης του Παραδείγματος Scaf Αν επιχειρήσουμε να βρούμε μια τιμή στην οποία να επιτυγχάνεται ισορροπία θα διαπιστώσουμε ότι τέτοια τιμή δεν υπάρχει! Για παράδειγμα οι τιμές οριακού κόστους 2 και 3 δεν επαρκούν για να καλυφθεί το κόστος εγκατάστασης και των δύο τύπων Η τιμή (μέσο κόστος των μονάδων τύπου 1 όταν αυτές παράγουν στο μέγιστο) θα είχε ως αποτέλεσμα ζημία για όσες μονάδες τύπου 1 δεν λειτουργούν στη μέγιστη παραγωγή και κέρδος για τις μονάδες τύπου 2 Σημειώνουμε ότι στα επίπεδα ζήτησης του Πίνακα «2» οι μονάδες τύπου 2 παράγουν στο μέγιστο καθώς το μέσο κόστος τους είναι μικρότερο από αυτό των μονάδων τύπου 1 Η παραπάνω τιμή (63125) θα μπορούσε να αποτελέσει τιμή ισορροπίας σε περίπτωση που η ζήτηση καλύπτεται μόνο από μονάδες τύπου 1 (πχ 64) Με ανάλογη συλλογιστική η τιμή (μέσο κόστος των μονάδων τύπου 2 όταν αυτές παράγουν στο μέγιστο) δεν μπορεί να αποτελέσει τιμή ισορροπίας καθώς οι μονάδες τύπου 1 θα λειτουργούν με ζημιές και επομένως δεν έχουν κίνητρο να εισέλθουν στην αγορά ενώ ζημιές θα εμφανίζουν και όσες από τις μονάδες τύπου 2 δεν παράγουν στη μέγιστη παραγωγή Εξαίρεση αποτελούν τα επίπεδα ζήτησης που καλύπτονται αποκλειστικά από μονάδες τύπου 2 (πχ ) όπου η τιμή θα μπορούσε να είναι τιμή ισορροπίας Ωστόσο εν γένει δεν υπάρχει τιμή στην οποία να μπορεί να επιτευχθεί ισορροπία Θα πρέπει να υπογραμμίσουμε ότι το παραπάνω παράδειγμα δεν είναι αντιπροσωπευτικό των προβλημάτων που αναφέρονται σε αγορές ενέργειας Παρόλα αυτά αποτελεί ένα ιδιαίτερα χρήσιμο παράδειγμα μέσω του οποίου μπορούν να γίνουν κατανοητές οι μη κυρτότητες σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης και οι επιπτώσεις που έχει η εμφάνισή τους στις τιμές ισορροπίας 2

3 5 ο Φοιτητικό Συνέδριο Διοικητικής Επιστήμης και Τεχνολογίας Αθήνα 8 Μαΐου 28 3 Εφαρμογή σε Αγορές Ηλεκτρικής Ενέργειας Στην απελευθερωμένη αγορά ηλεκτρικής ενέργειας το πρόβλημα του Ημερήσιου Ενεργειακού Προγραμματισμού (ΗΕΠ) με το οποίο επιδιώκεται ο προγραμματισμός των παραγωγικών μονάδων σε 24ωρη βάση για την κάλυψη του φορτίου ελαχιστοποιώντας τη συνολική δαπάνη [2] αποτελεί μια κατεξοχήν εφαρμογή αγοράς όπου παρατηρούνται σημαντικές μη κυρτότητες Η αντικειμενική συνάρτηση και οι περιορισμοί του προβλήματος εγείρουν σημαντικά ερωτήματα σε σχέση με την εκκαθάριση της αγοράς και την εύρεση τιμών ισορροπίας Οι O Neill et al [3] εξετάζουν την ύπαρξη τιμών που εκκαθαρίζουν αγορές με μη κυρτότητες Η ανάλυσή τους υποκινήθηκε από τις αγορές ηλεκτρικής ενέργειας όπου οι μη κυρτότητες εμφανίζονται λόγω των τεχνικών χαρακτηριστικών των παραγωγικών μονάδων ωστόσο τα αποτελέσματα που προέκυψαν έχουν γενικότερη εφαρμογή Η βασική συμβολή της εργασίας τους είναι ότι αποτιμά μέσω σκιωδών τιμών τις δραστηριότητες που σχετίζονται με ακέραιες μεταβλητές κατά τέτοιο τρόπο ώστε η αγορά να εκκαθαρίζεται Στο σημείο αυτό κρίνεται σκόπιμο να γίνει μια σύντομη αναφορά στη γενική μορφοποίηση και στα συμπεράσματα θεωρήματα που καταγράφονται στην παραπάνω εργασία Για λόγους συμβατότητας με τη μορφοποίηση του ΗΕΠ θα μετατρέψουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης Αρχικά διατυπώνουμε το πρόβλημα μεικτού ακέραιου προγραμματισμού (πρωτεύον) PIP : v { c x d x A x A b (1) PIP (2) 1 2 B x B b (3) 1 2 x (4) {1 (5) όπου x μεταβλητές απόφασης που σχετίζονται οι μεν x με την ποσότητα των «αγαθών» οι δε με τις «ακέραιες δραστηριότητες» (δυαδικές μεταβλητές που εκφράζουν την κατάσταση λειτουργίας την εκκίνηση κλπ) c d οι αντίστοιχες παράμετροι κόστους A1 A 2 πίνακες παραμέτρων ώστε η σχέση (2) να αντιπροσωπεύει τον περιορισμό εκκαθάρισης της αγοράς ( b : διάνυσμα που παριστάνει τις απαιτήσεις για τα αγαθά) και B1 B 2 πίνακες παραμέτρων ώστε η σχέση (3) να αντιπροσωπεύει «εσωτερικούς» περιορισμούς για κάθε ( b : διάνυσμα που παριστάνει το δεξιό μέλος των περιορισμών αυτών) Ακολούθως σχηματίζουμε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού θέτοντας τις ακέραιες τιμές των μεταβλητών ίσες με τις βέλτιστες PLIP : v { c x d x A x A b PLIP 1 2 (6) (σκιώδεις τιμές) ( y ) (7) B1x B2 b ( y ) (8) ( w ) (9) x (1) Στη συνέχεια γράφουμε το δυικό πρόβλημα (γραμμικού προγραμματισμού) DLIP : max v { y b y b w y y w (11) DLIP ya yb c (12) 1 1 ya yb w d (13) 2 2 3

4 5 ο Φοιτητικό Συνέδριο Διοικητικής Επιστήμης και Τεχνολογίας Αθήνα 8 Μαΐου 28 y (14) y (15) w (16) Αν εξετάσουμε το πρόβλημα για κάθε συμμετέχοντα αυτός αντιμετωπίζει το παρακάτω πρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους του (ή μεγιστοποίησης του κέρδους του): PIP : vpip {( c ) ( 1 2 ) x d p A x A p x (17) B1x B2 b (18) x (19) {1 (2) όπου p : η τιμή που σχετίζεται με το αγαθό x και p : η τιμή που σχετίζεται με την ακέραια μεταβλητή Τότε ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα: Θεώρημα 1: v v v (προφανές εκ κατασκευής των προβλημάτων) PIP PLIP DLIP Θεώρημα 2: Έστω { x η βέλτιστη λύση στο PIP και PLIP και { y y w η βέλτιστη λύση στο DLIP Αν στο πρόβλημα PIP ορίσουμε p y και p w τότε οι τιμές { y w και οι κατανομές { x αντιπροσωπεύουν ανταγωνιστική ισορροπία (λύνουν το ατομικό πρόβλημα για κάθε συμμετέχοντα και εκκαθαρίζουν την αγορά) Θεώρημα 3: Εάν καθένας συμμετέχων υποβάλλει μια προσφορά που να αντανακλά το πραγματικό κόστος και τους πραγματικούς περιορισμούς τότε η ακόλουθη διαδικασία ελαχιστοποιεί το συνολικό κοινωνικό κόστος και εκκαθαρίζει την αγορά: 1 Επίλυση του προβλήματος PIP και καθορισμός της βέλτιστης λύσης { x 2 Επίλυση του προβλήματος PLIP και καθορισμός των σκιωδών τιμών { y w 3 Σύναψη του παρακάτω συμβολαίου με κάθε συμμετέχοντα: Ο συμμετέχων προσφέρει x x και και λαμβάνει y( A1x A2) w Ενδιαφέρον παρουσιάζει και η εργασία των Hoan and in [4] οι οποίοι παραθέτουν ένα μοντέλο κατανομής με ελαχιστοποίηση του κόστους εστιάζοντας στις μη κυρτότητες που εμφανίζονται στην αγορά ηλεκτρικής ενέργειας Το πρόβλημα αναφέρεται σε μια περίοδο και λαμβάνει υπόψη το κόστος εκκίνησης το τεχνικό ελάχιστο και το τεχνικό μέγιστο μιας παραγωγικής μονάδας Η ανάλυση βασίστηκε στην εργασία των O Neill et al [3] επεκτείνοντας την ιδέα της αποτίμησης των ακέραιων μεταβλητών και υπολογίζοντας τιμές ισορροπίας με ένα είδος προσαύξησης (plift) Για λόγους πληρότητας παραθέτουμε το μοντέλο αλλά δεν θα επεκταθούμε περισσότερο σε αυτή την ανάλυση { c x d (κόστος ενέργειας + κόστος εκκίνησης) (21) x x b (ενεργειακό ισοζύγιο b : φορτίο) (22) x m ( m : τεχνικό ελάχιστο) (23) x M ( M : τεχνικό μέγιστο) (24) x (25) {1 (26) Τέλος σημειώνουμε τις εργασίες των Bjøndal and Jönsten [5][6] που χρησιμοποιούν τις προηγούμενες αναλύσεις [3][4] και προτείνουν μια μέθοδο υπολογισμού «τροποποιημένων» τιμών βασιζόμενοι στη δημιουργία μιας ισχύουσας ανισότητας (valid ineqality) που υποστηρίζει τη βέλτιστη λύση 4

5 5 ο Φοιτητικό Συνέδριο Διοικητικής Επιστήμης και Τεχνολογίας Αθήνα 8 Μαΐου 28 4 Επέκταση σε Αγορές Εφεδρειών Η ανάλυση επικεντρώνεται στο να συμπεριλάβουμε στη μορφοποίηση εκτός της ενέργειας και την εφεδρεία με τη μορφή ετοιμότητας παροχής επιπρόσθετης ενέργειας και να διατυπώσουμε το πρόβλημα για πολλές περιόδους Για λόγους απλούστευσης γράφουμε ένα μοντέλο του ΗΕΠ με μια βαθμίδα προσφοράς για την ενέργεια (η οποία είναι ίση με το τεχνικό μέγιστο των μονάδων) χωρίς περιορισμούς που αναφέρονται στους μέγιστους ρυθμούς ανόδου και καθόδου της παραγωγής των μονάδων Συνοπτικά οι παράμετροι οι μεταβλητές απόφασης και οι αρχικές τιμές του προβλήματος του ΗΕΠ που εξετάζουμε φαίνονται στον Πίνακα «3» Παράμετροι Μονάδα παραγωγής G Περίοδος κατανομής P Τιμή στην προσφορά έγχυσης ST P Τιμή στην προσφορά εφεδρείας Y SUC Κόστος εκκίνησης V SDC Κόστος κράτησης X Q Τεχνικό μέγιστο W max Q Τεχνικό ελάχιστο bid Μέγιστη δυνατότητα προσφοράς εφεδρείας Μεταβλητές απόφασης D Ζήτηση ενέργειας Αρχικές Τιμές eq Απαίτηση εφεδρείας MU Ελάχιστος χρόνος λειτουργίας MD PIP: Ελάχιστος χρόνος κράτησης Ποσότητα προσφοράς έγχυσης που εντάσσεται στον ΗΕΠ Ποσότητα προσφοράς εφεδρείας που εντάσσεται στον ΗΕΠ Κατάσταση λειτουργίας (δυαδική μεταβλητή) Εκκίνηση (εξαρτημένη δυαδική μεταβλητή) Κράτηση (εξαρτημένη δυαδική μεταβλητή) Μετρητής ωρών: ON (ακέραια μεταβλητή) Μετρητής ωρών: OFF (ακέραια μεταβλητή) ST Αρχική κατάσταση λειτουργίας (την ώρα ) X Ώρες λειτουργίας την ώρα W Ώρες κράτησης την ώρα Πίνακας 3: Παράμετροι Μεταβλητές Απόφασης και Αρχικές Τιμές του Προβλήματος ΗΕΠ Το πρόβλημα του ΗΕΠ διατυπώνεται ως ακολούθως: { P G P Y SUC V SDC (27) G ST Y V G D (28) eq (29) G ST Q (3) max G ST Q (31) ST bid (32) ( X MU )( ST ST ) (33) 1 1 ( W MD )( ST ST ) (34) 1 1 Y ST (1 ST 1) (35) V ST (1 ST ) (36) 1 X ( X 1) ST (37) 1 W ( W 1)(1 ST ) (38) 1 ST ST (39) X X (4) W W (41) 5

6 5 ο Φοιτητικό Συνέδριο Διοικητικής Επιστήμης και Τεχνολογίας Αθήνα 8 Μαΐου 28 Η αντικειμενική συνάρτηση (27) επιδιώκει την ελαχιστοποίηση του μεταβλητού κόστους για την ενέργεια και την εφεδρεία καθώς και του κόστους εκκίνησης και κράτησης των μονάδων Οι σχέσεις (28) και (29) αναφέρονται στην ικανοποίηση του ενεργειακού ισοζυγίου και των απαιτήσεων εφεδρείας Οι περιορισμοί (3)-(34) αφορούν τους τεχνικούς περιορισμούς των μονάδων ελάχιστης μέγιστης παραγωγής μέγιστης δυνατής προσφοράς εφεδρείας ελάχιστου χρόνου λειτουργίας και κράτησης Οι σχέσεις (35)-(38) ορίζουν τις δυαδικές μεταβλητές εκκίνησης και κράτησης και τις ακέραιες μεταβλητές που αντιπροσωπεύουν τους μετρητές των ωρών λειτουργίας και κράτησης και οι σχέσεις (39)-(41) ορίζουν τις αρχικές τιμές Αφού επιλύσουμε το πρόβλημα μεικτού ακέραιου πραγραμματισμού και βρούμε τη βέλτιστη λύση σχηματίζουμε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού θέτοντας τις ακέραιες τιμές ίσες με τις βέλτιστες PLIP: { P G P Y SUC V SDC G ST Y V (42) (σκιώδεις τιμές) G G D ( p ) (43) eq ( p ) (44) G ST Q max G ST Q ST ST ST Y Y V V ( ) (45) ( ) (46) ( ) (47) ( ) (48) ( ) (49) ( ) (5) G ST Y V (51) Σχηματίζουμε το δυϊκό πρόβλημα: G eq DLIP: max { p D p ST Y V G p p (52) G p P (53) p P (54) Q max Q bid (55) SUC (56) SDC (57) G p p και (58) Στο Παράρτημα περιλαμβάνεται η αντιστοιχία του προβλήματος του ΗΕΠ με την μορφοποίηση των O Neill et al όπως διατυπώθηκε στην προηγούμενη ενότητα Επομένως ισχύουν τα ακόλουθα: 1 Επιλύουμε το PIP και βρίσκουμε τις βέλτιστες τιμές G ST Y V G 2 Επιλύουμε το PLIP και υπολογίζουμε τα p p 3 Προσφέρουμε σε κάθε μονάδα που παρέχει G / ST Y V το ακόλουθο ποσό: G p G p ST Y V Τότε εφόσον κάθε μονάδα έχει δηλώσει τα πραγματικά στοιχεία κόστους και τους πραγματικούς περιορισμούς το συνολικό κοινωνικό κόστος ελαχιστοποιείται η αγορά εκκαθαρίζεται και οι τιμές αυτές με την αντίστοιχη κατανομή σχηματίζουν ανταγωνιστική ισορροπία 6

7 5 ο Φοιτητικό Συνέδριο Διοικητικής Επιστήμης και Τεχνολογίας Αθήνα 8 Μαΐου 28 5 Προτάσεις για Περαιτέρω Έρευνα Στην παρούσα εργασία επιχειρήσαμε να καταδείξουμε ένα βασικό πρόβλημα που παρουσιάζεται στο σχεδιασμό της αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας Το ζήτημα σχετίζεται με μη κυρτότητες οι οποίες εμφανίζονται στο πρόβλημα βελτιστοποίησης που περιγράφει τη λειτουργία της αγοράς σε ημερήσια βάση Έγινε αντιληπτό ότι δεν υπάρχει τιμή ισορροπίας που να αντιστοιχεί στην ενέργεια και την εφεδρεία Η μέθοδος που περιγράψαμε επέκτεινε τον ορισμό των «αγαθών» συμπεριλαμβάνοντας και τις ακέραιες δραστηριότητες (εν προκειμένω κατάσταση λειτουργίας εκκίνηση και κράτηση) προτείνοντας μια διαδικασία για την εκκαθάριση της αγοράς και την κατάληξη σε ανταγωνιστική ισορροπία Η προσέγγιση αυτή μπορεί να αποτελέσει ένα χρήσιμο εργαλείο τόσο για την εκ των προτέρων ανάλυση της αγοράς όσο και για την εκ των υστέρων εκκαθάρισή της Βιβλιογραφικές Αναφορές 1) HE Scaf (1994) Te Allocation of esoces in te Pesence of Indivisibilities Jonal of Economic Pespectives 8(4) pp ) Ρυθμιστική Αρχή Ενέργειας (25) Κώδικας Διαχείρισης του Συστήματος και Συναλλαγών Ηλεκτρικής Ενέργειας ΦΕΚ Β 655/ Αθήνα 3) P O Neill PM Sotiewic BF Hobbs MH otopf W Stewat J (25) Efficient Maet-cleain Pices in Maets wit Nonconvexities Eopean Jonal of Opeational eseac 164 pp ) WW Hoan and BJ in (23) On Minimm-Uplift Picin fo Electicity Maets Woin Pape Jon F Kennedy Scool of Govenment Havad Univesity 5) M Bjøndal and K Jönsten (24) Eqilibim Pices Sppoted by Dal Pice Fnctions in Maets Wit Non-Convexities Woin Pape No29/4 Institte fo eseac in Economics and Bsiness Adistation Been Noway 6) M Bjøndal and K Jönsten (24) Allocation of esoces in te Pesence of Indivisibilities: Scaf s Poblem evisited Woin Pape No3/4 Institte fo eseac in Economics and Bsiness Adistation Been Noway Παράρτημα Οι αντιστοιχίες με τη γενική μορφοποίηση έχουν ως εξής: G 1 G H x x 1 H (2 H ) x1 IH OH A1 A1 O I ST 1 ST H Y 1 YH V 1 V H H (2 H ) x(2 H) IH OH B 1 B1 IH IH O I H H (3 H ) x(2 H) A H (3 H ) x1 2 2 P 1 P H c P 1 c T P H 1 x (2 H ) OH OH OH A O O O H H H (2 H ) x(3 H) Q I O O H H H max 2 2 H H H bid IH OH OH(3 H ) x(3 H) B B Q I O O SUC d d SUC SDC SDC I H T 1 x(3 H) D1 D H b eq 1 eq H HxH (2 H ) x1 b b (3 H ) x1 O H HxH 7