ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Μεταπτυχιακή Ειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστημών. Πάτρα 2008

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Μεταπτυχιακή Ειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστημών. Πάτρα 2008"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Διπλωματική Εργασία Μεταπτυχιακή Ειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστημών Στατιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης Πειραματικών Δεδομένων Αθανάσιος Δρόσος Πάτρα 008

2 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Σχολή Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας Πρόγραμμα Σπουδών Μεταπτυχιακή Ειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστημών Σύμβουλος Καθηγητής : ΣΠΥΡΟΣ ΕΥΣΤ. ΤΖΑΜΑΡΙΑΣ Διπλωματική Εργασία του ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ Β. ΔΡΟΣΟΥ Στατιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης Πειραματικών Δεδομένων ΠΑΤΡΑ 008

3 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ον : ΠΙΘΑΝΟΤΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ... 8 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Η έννοια της πιθανότητας Κλασσικός Ορισμός της Πιθανότητας ( Από τον DE MOIVRE) Eμπειρικός ορισμός Πιθανότητας (Από τον Von Mses) Μαθηματικός Ορισμός της Πιθανότητας (Από τον Kolmogorov )0..4 Υποκειμενική η Μπευζιανή (Bayesan ) έννοια της Πιθανότητας (Από τον Bayes).... Tυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας....4 Προσδοκώμενη τιμή - Μεταβλητότητα Γραμμικές συναρτήσεις τυχαίων μεταβλητών Συναρτήσεις τυχαίων μεταβλητών... 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ον : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ & ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Συλλογή δεδομένων Ταξινόμησης δεδομένων Παράσταση με την βοήθεια Πίνακα Γραφική παράστασις Μορφές κατανομών δεδομένων Χαρακτηριστικές τιμές δεδομένων Χαρακτηριστικές τιμές θέσης Χαρακτηριστικές τιμές διασποράς Συνδιασπορά Συσχέτιση Ροπές μεγαλύτερης τάξης... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : BΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Εισαγωγή Διωνυμική Συνάρτηση Πιθανότητας Πολυωνυμική Συνάρτηση Πιθανότητας Συνάρτηση Πιθανότητας Posson Κανονική Συνάρτηση Πιθανότητας Ομοιόμορφη Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Kατανομή Γ Κατανομή Χ Κατανομή STUDET Ασυμπτωτική Συμεριφορά Κατανομών ον ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΣΦΑΛΜΑΤΑ O Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Η έννοια του σφάλματος της μέτρησης Συστηματικά και τυχαία σφάλματα Γιατί τα σφάλματα ακολουθούν συνήθως κανονική κατανομή

4 4.6 Βασικές αρχές της θεωρίας των σφαλμάτων Συμβατική και Bayesan ερμηνεία των μετρήσεων Επαναλαμβανόμενες μετρήσεις Απόρριψη αποτελεσμάτων Μέσο βεβαρημένο άθροισμα μετρήσεων Διάδοση Σφαλμάτων Συστηματικά σφάλαματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Διακριτική Ικανότητα των Μετρητικών Διατάξεων Αποδοχή και Αποδοτικότητα της Μετρητικής διάταξης Ολοκλήρωση Monte Carlo Εισαγωγή Τυχαίοι αριθμοί Ολολήρωση Monte Carlo Προσομοίωση Φαινομένων με τη Μέθοδο Μonte Carlo... 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Εισαγωγή Ιδιότητες Εκτιμητών Συνέπεια ( Consstency) Προκατάληψη (Bas) Αποδοτικότητα Bασικοί Εκτιμητές Εκτίμηση Μέσης Τιμής Εκτίμηση της μεταβλητότητας Eκτίμηση τυπικής απόκλισης σ Συνάρτηση Πιθανοφάνειας Μέγιστη Πιθανοφάνεια Ιδιότητες της Μεθόδου Μεγίστης Πιθανοφάνειας Εκτεταμένη Μέθοδος Μέγιστης Πιθανοφάνειας Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Εκτίμηση Παραμέτρων Γραμμικού Προτύπου Εκτίμηση Παραμέτρων Ευθείας Μεθοδος των ροπών... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 : ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Διάστημα Εμπιστοσύνης στην Περιγραφική Στατιστική Διάστημα Εμπιστοσύνης στην Εκτίμηση Ορια Εμπιστοσύνης Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσης Τιμής Διάστημα Εμπιστοσύνης Παραμέτρου p Διωνυμικής Κατανομής Διάστημα Εμπιστοσύνης Διασποράς κανονικής κατανομής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ Γεωμετρική ερμηνεία της δεσμευμένης πιθανότητας Απόδειξη του νόμου του Bayes... 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Eυρεση του τύπου της Συνάρτησης Πυκνότητας Πιθανότητας... 7 της κατανομής Posson... 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

5 5 4. Ευρεση του τύπου διάδοσης σφαλμάτων για συνάρτηση με μία μεταβλητή Ευρεση του τύπου διάδοσης σφαλμάτων για συνάρτηση με δύο μεταβλητές Ευρεση του τύπου διάδοσης σφαλμάτων για συνάρτηση με Ν μεταβλητές Ευρεση του πίνακα συνδιασποράς για δύο μεταβλητές που έχουν τυχαία σφάλματα σ, σ και ένα κοινό συστηματικό σφάλμα s ΚΕΦΑΛΑΙΟ Aπόδειξη του τύπου ολοκλήρωσης Μonte Carlo Β. Μέθοδος ( Επιτυχίας Απώλειας )... 78

6 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αναμφίβολα πρωταρχική πηγή γνώσης στις Φυσικές Επιστήμες,αποτελεί η παρατήρηση και το πείραμα. Η αλματώδης ανάπτυξη αυτών των επιστημών, στηρίχτηκε σε γενικές γραμμές στο παρακάτω μοντέλο: α. Πείραμα (Παρατήρηση) β. Γενίκευση αποτελεσμάτων και ανάπτυξη θεωριών γ. Εξήγηση φαινομένων και πρόβλεψη νέων (φαινομένων) που μπορούν να παρατηρηθούν πειραματικά Πόσο βέβαιοι είμαστε όμως ότι τα πειραματικά μας δεδομένα είναι αξιόπιστα ώστε να μπορούν να απορρίψουν η να ενισχύσουν μια θεωρία ; Όπως θα προσπαθήσουμε να δείξουμε στα επόμενα, ένα από τα σημαντικώτερα προβλήματα κατά την εκτέλεση ενός πειράματος είναι τα σφάλματα που υπεισέρχονται στις πειραματικές μετρήσεις.τα προβλήματα αυτά συχνά έχουν να κάνουν με το τι συμβαίνει εάν επαναλάβουμε το ίδιο πείραμα πολλές φορές. Η γνώση τους και η απαλειφή τους είναι απαραίτητες προυποθέσεις για την αξιοπιστία και την επιτυχία του πειράματος. Πολλές φορές όμως παραβλέπουμε η υποβαθμίζουμε το γεγονός αυτό, έχοντας στο μυαλό μας τους θεμελιώδεις νόμους της κλασσικής φυσικής, οι οποίοι χαρακτηρίζονται από μαθηματική ακρίβεια και δεν επιδέχονται αβεβαιότητες και σφάλματα GMm Για παράδειγμα στον νόμο της βαρύτητας του Νεύτωνα F = ο εκθέτης r του παρανομαστή είναι ακριβώς ίσος με.000 και όχι π.χ.000 ± 0.0, όπως ενδεχόμενα να κατέληγαν οι πειραματικές μετρήσεις. Το γεγονός αυτό μπορεί να μας οδηγήσει στο συμπέρασμα ότι η Στατιστική δεν έχει θέση στις επιστήμες. Είναι γνωστό όμως ότι ο Νεύτωνας κατέληξε στον παραπάνω νόμο στηριζόμενος στις λεπτομερείς και αναλυτικές αστρονομικές παρατηρήσεις του Tycho Brahe. Σκοπός της Στατιστικής Ανάλυσης Πειραματικών Δεδομένων είναι η εύρεση της αληθούς τιμής ενός φυσικού μεγέθους με την μέγιστη δυνατή ακρίβεια, χρησιμοποιώντας τις πειραματικές μετρήσεις. Αν για παράδειγμα οι πειραματικές μετρήσεις για τον νόμο του Νεύτωνα κατέληγαν στο συμπέρασμα ότι η τιμή του εκθέτη είναι.000 ± 0.0, θα πρέπει να μπορούμε να δείξουμε ότι η τιμή αυτή είναι συμβατή με την θεωρητική πρόβλεψη, ότι η αληθής τιμή του εκθέτη είναι ίση με. Με τον όρο συμβατή εννοούμε ότι η πιθανότητα η αληθής τιμή του εκθέτη να είναι ίση με, είναι πολύ μεγάλη π.χ 98%.

7 7 Εν αντιθέσει με την κλασσική φυσική που χαρακτηρίζεται από μαθηματική ακρίβεια, η σύγχρονη φυσική που μελετά τον μικρόκοσμο έχει από την φύση της στατιστικό χαρακτήρα. Η αρχή της απροσδιοριστίας μας δίνει μόνο την πιθανότητα η μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους ( π.χ ταχύτητα ) να έχει μια ορισμένη τιμή. Στα πειράματα επομένως της σύγχρονης φυσικής, όπως π.χ της σωματιδιακής φυσικής τα σφάλματα έχουν διττή προέλευση : την φύση και την πειραματική διαδικασία. Αυτό κάνει πιο έντονο τον πιθανοκρατικό χαρακτήρα της μέτρησης ενός φυσικού μεγέθους και την αβεβαιότητα της αληθούς τιμής του. Η ανάλυση των πειραματικών δεδομένων δεν είναι εμπειρική. Στηρίζεται σε βασικές μαθηματικές αρχές και νόμους που περιγράφουν την συμπεριφορά μεγάλου πλήθους πειραματικών δεδομένων. Στο τεύχος αυτό παρουσιάζονται οι πιο βασικές έννοιες της θεωρίας αυτής.

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ον : ΠΙΘΑΝΟΤΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Η έννοια της πιθανότητας Bασική έννοια στη θεωρία των πιθανοτήτων είναι το πείραμα, ο ορισμός του οποίου δεν είναι ξεκαθαρισμένος. Στην θεωρία των πιθανοτήτων μας ενδιαφέρουν τα πειράματα τα οποία μπορούν να επαναληφθούν όσες φορές θέλουμε κάτω από τις ίδιες πρακτικά συνθήκες. Η επανάληψη ενός πειράματος κάτω από τις ίδιες συνθήκες δεν οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα, δηλαδή δεν μπορούμε με βεβαιότητα να προβλέψουμε το αποτελεσμά του ( αρχή αιτιότητας ). Μικρές μεταβολές στα αίτια που διαφεύγουν από την αντιληψή μας ( και της μέτρησης ακόμα με τα πιο τέλεια όργανα ) μπορούν να μεταβάλλουν το αποτέλεσμα. Ένα τέτοιο πείραμα χαρακτηρίζεται σαν τυχαίο πείραμα. Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός τυχαίου πειράματος το ονομάζουμε δειγματικό χώρο και το παριστάνουμε με το γράμμα Ω. Κάθε δυνατό αποτέλεσμα ενός πειράματος λέγεται απλό γεγονός η απλό ενδεχόμενο και η συλλογή απλών γεγονότων λέγεται γεγονός η ενδεχόμενο. Ο δειγματικός χώρος δηλαδή είναι το σύνολο όλων των απλών γεγονότων. Ο δειγματικός χώρος π.χ της ρίψεως ενός κύβου αποτελείται από τα δυνατά αποτελέσματα,,3,4,5,6. Yπάρχουν οι παρακάτω μέθοδοι με τις οποίες εκτιμάμε (ουσιαστικά ορίζουμε αυθαίρετα ) την πιθανότητα ενός γεγονότος... Κλασσικός Ορισμός της Πιθανότητας ( Από τον DE MOIVRE) Εάν εκτελέσουμε ένα πείραμα Ν φορές και σημειώσουμε τον αριθμό n x που συνέβηκε ένα γεγονός Χ, n y τον αριθμό που συνέβηκε το γεγονός Υ κ.ο.κ όπου n nx + ny +... = και πάρουμε τα πηλίκα x n, y κ.ο.κ παρατηρούμε ότι τα πηλίκα αυτά παρουσιάζουν μια ομαλότητα καθώς το Ν γίνεται πολύ μεγάλο.εάν εκτελέσουμε δηλαδή τις Ν επαναλήψεις του πειράματος πολλές φορές τα πηλίκα n x n, y,..., θα έχουν την ίδια τιμή την κάθε φορά.

9 9 Ολη μας η προσπάθεια είναι να ορίσουμε, για κάθε γεγονός Ε ενός πειράματος, ne έναν αριθμό pe ( ) = όταν το Ν είναι πολύ μεγάλο. Τον αριθμό p( E ) τον ονομάζουμε πιθανότητα. Ο ορισμός αυτός ισχύει με την προυπόθεση ότι όλα τα γεγονότα είναι ισοπίθανα, δηλαδή δεν υπάρχει λόγος να υποθέσουμε ότι κάποιο γεγονός του δειγματικού χώρου είναι περισσότερο η λιγώτερο πιθανό να συμβεί έναντι των άλλων. Κατά την ρίψη π,χ ενός νομίσματος τα γεγονότα κορώνα, γράμματα είναι ισοπίθανα και η πιθανότητα να έχουμε κορώνα η γράμματα είναι 50%... Eμπειρικός ορισμός Πιθανότητας (Από τον Von Mses) Η προυπόθεση του ισοπίθανου των γεγονότων του δειγματικού χώρου που απαιτεί ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας που αναφέραμε προηγουμένως, περιορίζει σημαντικά το πεδίο εφαρμογών της πιθανοθεωρίας.σε πολλά πειράματα δεν είναι ξεκάθαρο το ισοπίθανο των αποτελεσμάτων του. Ο Von Mses στην προσπαθειά του να αντιμετωπίσει το πρόβλημα του ορισμού της πιθανότητας σε οποιοδήποτε δειγματικό χώρο διατύπωσε τον παρακάτω ορισμό: OΡΙΣΜΟΣ: Eστω ότι ένα τυχαίο πείραμα η φαινόμενο μπορεί να επαναληφθεί κάτω από τις ίδιες ακριβώς συνθήκες απεριόριστο αριθμό φορών, και έστω ένα γεγονός Α.Υποθέτουμε ότι σε Ν επαναλήψεις του πειράματος αυτού, το γεγονός Α πραγματοποιείται n φορές. A na Η σχετική συχνότητα του Α f A δίνεται από την σχέση : f A = n Αν υπάρχει το lm f lm A A = τότε αυτό ορίζει την πιθανότητα p( A ), του γεγονότος Α, δηλαδή n pa ( ) = lm f lm A A = (.) Την ύπαρξη του ορίου αυτού με την μαθηματική έννοια ο παίρνει σαν αξίωμα. Von Mses την Πολλές είναι οι αντιρρήσεις που εκτοξεύθηκαν εναντίον της ερμηνείας της πιθανότητας ως συχνότητας. Πρώτον, ο πεπερασμένος αριθμός γεγονότων ( πειραμάτων ) που μπορούν να πραγματοποιηθούν μέσα στα όρια της ανθρώπινης εμπειρίας. Δεύτερον, η δυνατότητα εύρεσης της οριακής συχνότητας. Αυτό που φαίνεται ότι μπορούμε να κάνουμε είναι, από την παρατηρηση περιορισμένου τμήματος της ακολουθίας των γεγονότων να βγάζουμε συμπεράσματα για άπειρο αριθμό γεγονότων.

10 0 Τρίτον, δεν είναι βέβαιον ότι υφίσταται το όριο της σχετικής συχνότητας Για παράδειγμα κατά την ρίψη ενός νομίσματος είναι λογικώς δυνατό μια μακρά αλυσίδα από κορόνες να ακολουθηθεί από μια ακόμα μακρύτερη αλυσίδα από γράμματα και αυτή από ακόμα μια μακρύτερη αλυσίδα από κορόνες και ούτω κάθε εξής, έτσι ώστε η σχετική συχνότητα από κορόνες να κυμαίνεται σε ευρύτατα απομακρυσμένα όρια και να μην συγκλίνει. Παρά τις δυσκολίες που παρουσιάζει η παραπάνω προσσέγγιση της πιθανότητας χρησιμοποιείται ευρέως στις επιστήμες..3 Μαθηματικός Ορισμός της Πιθανότητας (Από τον Kolmogorov ) [3] H μεθοδος αυτή θεμελιώνεται σε τρία αξιώματα από τα οποία προκύπτουν τα πάντα. Με την χρήση των αξιωμάτων αυτών μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα κάθε πολύπλοκου γεγονότος γνωρίζοντας όμως τις «a pror» πιθανότητες των συνιστουσών του Τα αξιώματα με τα οποία ο Kolmogorov θεμελίωσε την θεωρία του είναι : Aς υποτεθεί ότι Ω είναι το σύνολο όλων των δυνατών στοιχειωδών γεγονότων X, που είναι δυνατόν να συμβούν, καθώς επίσης και ότι μόνο ένα από αυτά μπορεί να συμβεί κάθε φορά. Η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός X, η p( X ), όρίζεται από τις παρακάτω ιδιότητες. px ( ) 0 για κάθε X Ω. p( XORX) = px ( ) + px ( ) 3. px ( ) = Ω j j Το πρώτο αξίωμα επιβάλλει ότι η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός είναι μεγαλύτερη η ίση του μηδενός. Αρνητικές πιθανότητες δεν υφίστανται Το δεύτερο αξίωμα δηλώνει ότι η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός X η το γεγονός X j ισούαι με το άθροισμα των πιθανοτήτων τους. Η ιδιότητα αυτή είναι συνέπεια της σχέσης αμοιβαίας απόκλισης των γεγονότων. Εάν συμβεί το γεγονός X αποκλείεται να συμβεί και το γεγονός X. Το τρίτο αξίωμα εκφράζει ότι το σύνολο Ω καλύπτει όλα τα ενδεχόμενα αποτελέσματα του πειράματος και συνεπώς κάθε δυνατό αποτέλεσμα ανήκει στο σύνολο Ω. Από τα προηγούμενα αξιώματα προκύπτουν τα παρακάτω θεωρήματα : j

11 Θεώρημα. : Εάν A A τότε p( A) p( A) και p( A A) = pa ( ) pa ( ) Θεώρημα. : Για κάθε γεγονός Α ισχύει : 0 pa ( ) Θεώρημα.3 : p( ) = 0 δηλαδή κάθε πιθανότητα είναι μεταξύ 0 και Δηλαδή η πιθανότητα του αδύνατου γεγονότος είναι 0. Θεώρημα.4 Εάν Α και Β είναι δύο οποιοδήποτε γεγονότα τότε p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) Η ιδιότητα αυτή γενικεύεται για n γεγονότα Θεώρημα.5 : Εάν το Β είναι το συμπλήρωμα του Α τότε : p( B) = P( A)..4 Υποκειμενική η Μπευζιανή (Bayesan ) έννοια της Πιθανότητας (Από τον Bayes) Παρακάτω θα αναπτύξουμε την Βayesan έννοια της Πιθανότητας, η οποία προκάλεσε αρκετές έριδες μεταξύ των επιστημόνων, χωριζοντάς τους σε δύο σχολές : - αυτούς που ακολουθούν τον τρόπο θεμελίωσης της Πιθανότητας ως το όριο της σχετικής συχνότητας. ( Συμβατικός ορισμός ) - αυτούς που ακολουθούν την Υποκειμενική η Bayesan έννοια της πιθανότητας Η προσέγγιση αυτή εφαρμόζεται κυρίως εκεί που δεν υπάρχει δυνατότητα πολλών επαναλήψεων των πειραμάτων. Πριν από αυτό όμως θα αναπτύξουμε ορισμένες έννοιες που σχετίζονται με αυτήν την θεώρηση...4. Αμοιβαία αποκλειόμενα γεγονότα Δύο γεγονότα, εάν δεν είναι δυνατόν να συμβούν ταυτόχρονα, ονομάζονται αμοιβαία αποκλειόμενα γεγονότα. Γενικά, εάν μεταξύ Κ γεγονότων δεν υπάρχουν ούτε δύο μη αμοιβαία αποκλειόμενα, τότε αυτά ονομάζονται αμοιβαία αποκλειόμενα. Στο παρακάτω σχήμα παριστάνονται γραφικά τα αμοιβαία αποκλειόμενα γεγονότα.

12 Σχήμα. Αμοιβαία αποκλειόμενα γεγονότα [ ] Από τον ορισμό των αμοιβαίων αποκλειόμενων γεγονότων συνάγεται ότι η διατομή δύο η περισσοτέρων αμοιβαία αποκλειομένων γεγονότων είναι αδύνατο γεγονός, συμβολίζεται δε με, δηλαδή σαν κενό σύνολο. Δηλαδή εάν τα E και E είναι αμοιβαία αποκλειόμενα γεγονότα,θα έχουμε : E E = όπου το κενό σύνολο, και pe ( E) = p( ) = 0 (.) Η πιθανότητα του γεγονότος E E δηλαδή η p( E E) εκφράζει την πιθανότητα να συμβεί το γεγονός E η το E η να συμβούν και τα δύο. Επειδή όμως η πιθανότητα ενός γεγονότος ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων των σημείων του δειγματικού χώρου, που αποτελούν το γεγονός και τα οποία στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι σημεία που ανήκουν μόνο στο E, μόνο στο E και στο E, και E συνάγεται ότι : p( E E) = pe ( ) + pe ( ) pe ( E) (.3) Η πιθανότητα των κοινών σημείων των E και E αφαιρείται γιατί το άθροισμα p( E) + p( E) περιλαμβάνει τις πιθανότητες των σημείων του E και όλων των σημείων του E και συνεπώς περιλαμβάνει τις πιθανότητες των κοινών σημείων των E και E εις διπλούν. Η σχέση αναφέρεται σαν αθροιστικός νόμος των πιθανοτήτων. Εάν τα γεγονότα E και E είναι αμοιβαία αποκλειόμενα, τότε pe ( E) = p( ) = 0 και η γίνεται

13 3 p( E E) = p( E) + p( E) η σχέση αυτή γενικεύεται και για n γεγονότα ισχύει δηλαδή p( E E... E ) = p( E ) + p( E ) p( E ) (.4) n n Παράδειγμα. [ 6 ] Ποια η πιθανότητα κατά την ρίψιν ενός κύβου, να εμφανισθεί αριθμός,3,5 ή αριθμός διαιρούμενος διά του 3. Στο σχ.. φαίνονται ο δειγματικός χώρος της δοκιμής και τα σημεία που αποτελούν τα γεγονότα E (αριθμός,3,5) και E (αριθμός διαιρούμενος δια του 3) Σχήμα. [ ] Τα γεγονότα E και E, δηλαδή η εμφάνισης κατά την ρίψιν του κύβου αριθμού,3,5 ή αριθμού διαιρούμενου δια του 3 δεν είναι αμοιβαια αποκλειόμενα γεγονότα. Επειδή τα σημεία του δειγματικού χώρου είναι ισοπίθανα έχουμε : 3 pe ( ) =, pe ( ) = και pe ( E) = Επομένως από την σχέση παίρνουμε : p( E E) = pe ( ) + pe ( ) pe ( E) = 3 + = Ανεξάρτητα γεγονότα Στην θεωρία των πιθανοτήτων δύο γεγονότα λέγονται ανεξάρτητα, εάν η πιθανότητα να συμβούν ταυτόχρονα, p( E E), είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων να συμβεί το καθένα χωριστά.. Δηλαδή όταν ισχύει η σχέση :

14 4 p( E E ) = p( E ) P( E ) (.5) Η προηγούμενη σχέση ισχύει και στην περίπτωση κατά την οποίαν pe ( ) = 0, οπότε όμως η p( E E) δεν ορίζεται. Η παραπάνω σχέση γενικεύεται και για Ν γεγονότα : p( E E... E ) = p( E ) P( E )... p( E ) (.6) Δεν πρέπει να συγχέουμε τα «αμοιβαία αποκλειόμενα γεγονότα» με τα «ανεξάρτητα γεγονότα».η διαφορά τους είναι ότι τα μεν πρώτα δεν έχουν κανένα κοινό σημείο στον δειγματικό τους χώρο, στα δε δεύτερα ότι απαιτείται η ύπαρξη ενός τουλάχιστον κοινού σημείου για να είναι ανεξάρτητα Η ανεξαρτησία μεταξύ των γεγονότων E και E σημαίνει ότι δεν είναι δυνατόν να προκύψουν συμπεράσματα για το γεγονός E από το γεγονός E. Παράδειγμα. [ 6] Μια συσκευή λειτουργεί όταν λειτουργούν τρία εξαρτήματά της. Οι πιθανότητες λειτουργίας κάθε εξαρτήματος είναι : pe ( ) = 0, pe ( ) = 0,8 και pe ( 3) = 0,9 αντίστοιχα. Ποια είναι η πιθανότητα να μην παρουσιαστεί βλάβη στην συσκευή ;. Η λειτουργία ενός εξαρτήματος υποτίθεται δεν επηρεάζεται από την λειτουργία ή βλάβη των άλλων εξαρτημάτων.συνεπώς τα γεγονότα της λειτουργίας των εξαρτημάτων είναι ανεξάρτητα και η πιθανότητα να λειτουργήσει η συσκευή θα δίνεται από την σχέση : pe ( E E) = pe ( ) PE ( ) pe ( ) = 0,7 0,8 0,9 = 0, Υπό συνθήκη πιθανότητα Η πιθανότητα να παρουσιαστεί βλάβη σε μια συσκευή κατά την διάρκεια των 0 επόμενων ωρών λειτουργίας της δεν θα είναι η ίδια, εάν η συσκευή είναι καινούργια η εάν έχει ήδη λειτουργήσει επί 000 ώρες. Το παράδειγμα αυτό φανερώνει ότι ένα γεγονός μπορεί να έχει πιθανότητα να συμβεί σ ένα υποσύνολο του δειγματικού χώρου, διαφορετική από αυτή που έχει στον συνολικό δειγματικό χώρο. Οι πιθανότητες που αναφέρονται σε γεγονότα τα οποία δημιουργούνται από σημεία τέτοιων υποσυνόλων ονομάζονται υπό συνθήκη πιθανότητες.

15 5 Θεωρούμε δύο γεγονότα Α και Β (σχ.3 ) με pb ( ) 0. Εστω p( A/ B) η πιθανότητα να συμβεί το A με την προυπόθεση ότι έχει συμβεί το B. Η πιθανότητα αυτή δίνεται από τον τύπο p( A B) pa ( / B) = (.7) PB ( ) Σχήμα.3 Τα σύνολα στοιχειωδών γεγονότων Ω, Α και Β [ ] H p( A/ B ) ονομάζεται πιθανότητα υπό συνθήκη η δεσμευμένη πιθανότητα να συμβεί το Α με την προυπόθεση ότι έχει συμβεί το Β. Στο παράρτημα A παραθέτουμε την γεωμετρική απόδειξη της παραπάνω σχέσης. Παράδειγμα.3 Να βρεθεί η πιθανότητα να έρθει σε μια ρίψη ενός ζαριού, αποτέλεσμα μικρότερο του 4 εάν α) δεν δίνεται άλλη πληροφορία β) είναι γνωστό ότι η ρίψη έδωσε περιττό αριθμό. α) Εστω Α το γεγονός «μικρότερο του 4» Επειδή το Α είναι ένωση των γεγονότων,,3, έχουμε : pa ( ) = p() + p() + p(3) = + + = όπου δεχτήκαμε ίσες πιθανότητες για όλα τα απλά γεγονότα.

16 6 β) Εστω Β το γεγονός περιττός αριθμός. Είναι : 3 pb ( ) = = 6 και pa ( B) pa ( B) = =. Αρα pa ( / B) = = 3 = 6 PB ( ) 3. Παρατηρούμε ότι η επιπλέον πληροφορία ( ότι το αποτέλεσμα είναι περιττός ) αυξάνει την πιθανότητα από σε 3. Όπως αναφέραμε δηλαδή και στην προηγούμενη ενότητα, η πιθανότητα επιλογής του δεύτερου γεγονότος από το σύνολο Α δεν εξαρτάται απο την επιλογή του πρώτου γεγονότος, δηλαδή από το εάν προηγουμένως είχε επιλεγεί γεγονός από το σύνολο Β Θεώρημα του Βayes Έστω τα A, A,..., A k, είναι αμοιβαία αποκλειόμενα γεγονότα που η ενωσή τους σχηματίζει τον δειγματικό χώρο Ω των μετρήσεων ενός πειράματος και των οποίων οι πιθανότητες να συμβούν, p( A), p( A),..., p( A ), είναι γνωστές. Εστω επίσης το γεγονός Β το οποίο πραγματοποιείται μόνον εφ όσον πραγματοποιηθεί ένα από τα γεγονότα A και του οποίου γνωρίζουμε την υπο συνθήκη πιθανότητα p( B/ A), =,..., να συμβεί.. Η υπό συνθήκη πιθανότητα p( A / B), =,..., κάθε ενός από τα γεγονότα A, αποδεικνύεται ότι δίνεται από την σχέση : pa ( / B), = = p( A) p( B/ A) p( A) p( B/ A) (.8) H σχέση αυτή είναι το περίφημο θεώρημα του Bayes Η απόδειξη του θεωρήματος παρατίθεται στο παράρτημα A. Παράδειγμα.4 Στο παράδειγμα αυτό βλέπουμε πως μπορούμε να ελέγξουμε την αξιοπιστία μιάς επιστημονικής θεωρίας κάνοντας χρήση του θεωρήματος του Bayes Θέτουμε στον τύπο του Bayes :

17 7 A= Θεωρία, Β= Αποτελέσματα Πειράματων η παρατηρήσεων, οπότε μπορούμε να κάνουμε τις παρακάτω αντιστοιχίσεις : - pa ( ) = p( θεωρι α). Eκφράζει την πίστη μας στην θεωρία χωρίς να έχουμε καμμιά πειραματική ένδειξη. Είναι φανερό ότι το pa ( ) = p( θεωρι α), μπορούμε να το προσεγγίσουμε μόνο υποκειμενικά, δηλαδή με την διαισθησή μας, την εμπειρία μας κ.λ.π. - pa ( / B) = pa ( / B) = p( θεωρι α / πειραμα τα ). Εκφράζει την πίστη μας στην θεωρία μετά τις πειραματικές επιβεβαίωσεις η διάψευσεις. - pb ( / A ) = pb ( / A) = p( πειρα ματα / θεωρι α ).Είναι η πιθανότητα να πάρουμε τα αναμενόμενα αποτελέσματα εφ οσον η θεωρία είναι σωστή - p( πειρα ματα ). Η πιθανότητα να έχουμε ανεξάρτητα εάν η θεωρία μας είναι σωστή η λάθος. πειραματικές μετρήσεις Οπότε ο τύπος του Bayes θα έχει την μορφή : p( πειρα ματα / θεωρι α ) p( θεωρι α / πειρα ματα ) = p( θεωρι α ) p( πειρα ματα ) Η παραπάνω σχέση φαίνεται λογική.βλέπουμε δηλαδή ότι εάν η θεωρία προβλέπει τα πειραματικά αποτελέσαματα δηλαδη ο όρος pb ( / A) = pb ( / A) = p( πειρα ματα / θεωρι α ) είναι μεγάλος τότε ο όρος. pa ( / B) = pa ( / B) = p( θεωρι α / πειραμα τα ), δηλαδή η αξιοποιστία της θεωρίας μετά τα πειραματικά αποτελέσματα γίνεται μεγαλύτερος από ότι πρίν,δηλαδή από το p( πειρα ματα / θεωρι α ) pa ( ) = p( θεωρι α) (Γιατί. ) p( πειρα ματα ) Εάν τα πειραματικά αποτελέσματα είναι ευλογοφανή ανεξάρτητα από τον αν η θεωρία είναι σωστή, οφείλονται δηλαδή σε άλλους λόγους, τότε ο όρος p( πειρα ματα / θεωρι α ) και η αξιοπιστία της θεωρίας δεν μεγαλώνει.. p( πειρα ματα ) Για να εφαρμόσουμε όμως το τύπο του Bayes θα πρέπει να γνωρίζουμε το p( Α ), την πιθανότητα δηλαδή οι υποθέσή μας Α που έχουμε δεχθεί να είναι σωστή.οι πιθανότητα αυτή όμως όπως είπαμε προηγουμένως ορίζεται υποκειμενικά χρησιμοποιώντας προηγούμενες γνώσεις και εμπειρίες. Η υποκειμενικός χαρακτήρας της γνώσης των p( Α ) συγκεντρώνει τα πυρά των πολεμίων της Bayessan μεθόδου. Αν και η μέθοδος αυτή μπορεί να καταλήξει σε λανθασμένα αποτελέσματα, είναι πολύ χρήσιμη στις περιπτώσεις που δεν έχουμε την δυνατότητα να επαναλάβουμε το

18 8 πείραμα αρκετές φορές Επίσης σε αρκετές περιπτώσεις η κλασσική μέθοδος είναι δύσκολο να εφαρμοσθεί,ενώ η χρήση της Bayesan μεθόδου είναι πολύ απλή. Όπως θα δούμε παρακάτω ο τρόπος που η συμβατική μέθοδος αντιμετωπίζει τέτοια προβλήματα είναι με την χρήση «διαστημάτων εμπιστοσύνης». Παράδειγμα.5 [ 6 ] Μια επιχείρηση παράγει ηλεκτρικούς λαμπτήρες σε τρία διαφορετικά εργοστάσια. Το πρώτο παράγει το 0%, το δεύτερο το 30% και το τρίτο το 50% της συνολικής παραγωγής.η ποιότητα παραγωγής στα τρία εργοστάσια είναι διαφορετική, Συγκεκριμένα οι ελαττωματικοί λαμπτήρες στο πρώτο εργοστάσιο είναι %, στο δεύτερο % και στο τρίτο 3%.. Ζητάμε να μάθουμε ποια είναι η πιθανότητα ένας ελαττωματικός λαμπτήρας να προέρχεται από το πρώτο,το δεύτερο ήτο τρίτο εργοστάσιο. Εστω Η το γεγονός του ελαττωματικού λαμπτήρα και E το γεγονός να προέρχεται από το πρώτο εργοστάσιο, E να προέρχεται από το δεύτερο και E3 να προέρχεται από το τρίτο. Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι pe ( ) = 0,0 pe ( ) = 0,30 και pe ( 3) = 0,50 Οι πιθανότητες ο ελαττωματικός λαμπτήρας να προέρχεται από το πρώτο το δεύτερο η το τρίτο εργοστάσιο είναι οι αντίστοιχες υπο συνθήκες πιθανότητες: ph ( / E ) = 0,00, ph ( / E ) = 0,00 και ph ( / E 3) = 0,030 Χρησιμοποιώντας την σχέση βρίσκουμε pe ( H) = ph ( ) pe ( / H) = 0,004 pe ( H) = ph ( ) pe ( / H) = 0,004 pe ( H) = ph ( ) pe ( / H) = 0, Αρα ph ( ) = 0,03 Η πιθανότητα ένας λαμπτήρας να έχει παραχθεί στο πρώτο, δεύτερο και τρίτο εργοστάσιο, προτού αυτός επιλεγεί από το σύνολο και εξετασθεί, δηλαδή η a pror πιθανότητες είναι 0,0-0,30 και 0,50 αντίστοιχα. Οι πιθανότητες αυτές

19 9 διαφοροποιούνται όταν υπάρξει πληροφορία ελαττωματικός. ότι ο επιλεγμένος λαμπτήρας είναι Οι νέες πιθανότητες βρίσκονται από τις παρακάτω σχέσεις : pe pe ( H) 0,004 ph ( ) 0,03 ( / H) = = = 0,7 pe ( H) 0,004 = = = ph ( ) 0,03 ( / H) 0,7 pe pe ( H) 0,05 = = = ph ( ) 0,03 3 ( 3 / H) 0,65 pe. Tυχαίες Μεταβλητές [5] Υποθέτουμε ότι στρίβουμε δύο νομίσματα των οποίων οι δύο όψεις είναι Α και Β.Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται τα σημεία του δειγματικού χώρου αυτής της δοκιμής καθώς και οι πιθανότητες κάθε σημείου αυτού. Σημεία δειγματικου χώρου Αριθμός όψεων Πιθανότητα Α Α /4 Α Β /4 Α Α /4 Β Α /4 Β Β 0 /4 Πίνακας. Τις πληροφορίες του πίνακα. μπορούμε να τις συνοψίσουμε στον πίνακα.

20 0 Αριθμός Α όψεων 0 Πιθανότητα /4 /4 /4 Πίνακας. Συμβολίζομεν τον αριθμό των Α όψεων με την μεταβλητή Χ, η οποία παίρνει την τιμή x = 0, όταν καμιά όψις Α δεν εμφανίζεται το οποίο ονομάζουμε γεγονός E.Την τιμή x =, όταν εμφανίζεται μία Α όψις σ αυτήν την δοκιμή και ονομάζουμε γεγονός E. Και τέλος την τιμή x 3 =, όταν εμφανίζονται δύο όψεις Α και είναι το γεγονός E 3.Κάθε τιμή της μεταβλητής Χ έχει ορισμένη πιθανότητα να συμβεί. Μία μεταβλητή Χ όπως η προηγουμένη, η οποία παίρνει την τιμή x, όταν συμβαίνει το γεγονός E, την τιμή x όταν συμβαίνει το γεγονός E., την τιμή x n όταν συμβαίνει το γεγονός τυχαία μεταβλητή. Οι μεταβλητές αυτές μόνον την πιθανότητα να λάβουν κάποια τιμή. x n κ.οκ την ονομάζουμε δεν έχουν καθορισμένη τιμή αλλά γνωρίζουμε Τυχαίες μεταβλητές είναι και τα αποτελέσματα μετρήσεων πολλών φυσικών ποσοτήτων. Για παράδειγμα ο χρόνος ζωής ενός ασταθούς σωματιδίου η ενός ασταθούς πυρήνα δεν έχει μια μοναδική τιμή αλλά είναι μεταβλητός και το μόνο που μπορούμε να μάθουμε είναι η πιθανότητα να διασπαστεί το σωματίδιο σε χρόνο t. H πιθανότητα αυτή είναι ανάλογη της t / ποσότητας e τ όπου τ ο χρόνος ημιζωής. Ανεξάρτητα από την ακρίβεια των μετρητικών μας συσκευών, όταν επιχειρήσουμε να μετρήσουμε τον χρόνο ζωής ενός πλήθους πανομοιότυπων ασταθών πυρήνων, θα προσδιορίζουμε χρόνους ζωής t διαφορετικούς για καθέναν από αυτούς. Τον ίδιο εκθετικό νόμο τον συναντούμε σε πολλές περιπτώσεις, όπως για την πιθανότητα που έχει ένα εξάρτημα μηχανής να διαρκέσει χωρίς βλάβη για χρόνο μεγαλύτερο από t. Οι επαναλαμβανόμενες μετρήσεις της ίδιας φυσικής ποσότητας δεν καταλήγουν πάντα στο ίδιο αποτέλεσμα. Στις περισσότερες περιπτώσεις η πιθανότητα να βρούμε την τιμή Q ( η καλύτερα, μια τιμή μεταξύ Q και Q+dQ) ως ένα αποτέλεσμα μέτρησης ενός φυσικού μεγέθους με αληθή τιμή R εκφράζεται από την ακόλουθη σχέση

21 ( R Q) σ PQdQ ( ) e dq Εάν Χ μία τυχαία μεταβλητή, η οποία μπορεί να πάρει τις τιμές x, x,..., x n με αντίστοιχες πιθανότητες p( x), p( x),..., p( x n ), το σύνολο που έχει σαν στοιχεία τα διατεταγμένα ζεύγη [ x, px ( ) ]: =,,..., n ονομάζεται συνάρτηση πιθανότητας της Χ.Συνήθως η συνάρτηση πιθανότητας γράφεται σαν συναρτησιακή σχέση μεταξύ του p( x ) και του x.3 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας [ 3 ] Για να αντιληφθούμε την την φυσική έννοια της πυκνότητας πιθανότητας εκτελούμε το παρακάτω πείραμα Σκοπός του πειράματος είναι ο καθορισμός της κατεύθυνσης ενός σωματίου το οποίο κινείται παράλληλα με τον άξονα Ζ προς το επίπεδο του σχ. Προς τούτο τοποθετούμε δύο σειρές ανιχνευτών x ( κάθετους στον οριζόντιο άξονα Χ ) και y ( κάθετους στον κατακόρυφο άξονα Υ.Το εύρος των ανιχνευτών είναι Δx και Δy αντίστοιχα. Κατά την διέλευση του σωματίου διαμέσου κάποιων από τους ανιχνευτές ( π.χ x και y ) οι ανιχνευτές διεγείρονται και παράγονται σήματα στην άκρη τους.κατ αυτόν τον τρόπο για κάθε σωμάτιο που ανιχνεύεται προσδιορίζουμε δύο διακριτές μεταβλητές και j που αντιστοιχούν στους ανιχνευτές x και y. Σχήμα.4 Συστοιχία αμοιβαία ορθογώνιων ανιχνευτών [ ] Εάν αφήσουμε Ν σωμάτια να διασχίσουν την μετρητική συσκεύη και υπολογίσουμε το πλήθος n j των σωματίων που διέγειραν το ζεύγος των ανιχνευτών (,j) μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα P j να διέλθει ένα σωμάτιο διαμέσου των ανιχνευτών x και y.πράγματι από τον ορισμό της πιθανότητας ισχύει :

22 P j nj nj = lm για μεγάλο Ν. (.9) Στο σχ..5.a παρίσταται γραφικά, υπό μορφή ιστογράμματος η πιθανότητα διέγερσης κάθε ζεύγους ανιχνευτών (,j), που υπολογίστηκε σε ανάλογο πείραμα βάσει της σχέσης.9 Σχήμα.5Πιθανότητα διέγερσης του ζεύγους ανιχνευτών.5.b Πυκνότητα πιθανότητας διέλευσης σωματίου από την στοιχειώδη περιοχή dxdy γύρω από το σημείο (x,y) [ ] Ουσιαστικά η P j αναφέρεται στην πιθανότητα να περάσει ένα σωμάτιο μέσα από μια επιφάνεια διαστάσεων Δx Δ y. Η πιθανότητα που έχει ένα σωμάτιο να περάσει από την μοναδιαία επιφάνεια θα είναι : ρ = Pj j x y και την ονομάζουμε μέση πυκνότητα πιθανότητας. Εάν υποθέσουμε ότι κάθε σωμάτιο έχει την ίδια πιθανότητα να περάσει από κάθε σημείο της επιφάνειας Δx Δ y, τότε η πιθανότητα να περάσει το σωμάτιο από ένα μικρό τμήμα d της επιφάνειας αυτής θα είναι : ρj d. Είναι φανερό ότι εάν έχουμε στην διαθεσή μας άπειρο αριθμό ανιχνευτών μηδενικού πάχους ( Δx 0, Δy 0) και καλύψουμε όλη την επιφάνεια διέλευσης των σωματίων, θα μπορέσουμε να υπολογίσουμε το : nxy ( P( Δx, Δ y) lm = lm = f ( xy, ) ( Δx Δy) ( Δx Δy) Δ x 0 Δ x 0 Δy 0 Δy 0 (.0)

23 3 όπου n xy ο αριθμός των σωματίων που πέρασαν από μια στοιχειώδη επιφάνεια Δx Δ y που βρίσκεται στην θέση x,y, για κάθε σημείο x, y H συνάρτηση f ( xy, ) που εκφράζει την πιθανότητα για κάθε σημείο x, y, ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και για το παραδειγμά μας παρίσταται γραφικα στο σχ.5(b). Επειδή οι τυχαίες μεταβλητές x, y είναι συνεχείς, η πιθανότητα να περάσει ένα σωματίδιο από ένα συγκεκριμένο σημείο x, y, είναι 0. Μπορούμε να γνωρίζουμε μόνο την πιθανότητα το σωματίδιο να περάσει από την περιοχή Δx, Δ y. Από την παρατήρηση αυτή και την σχέση (.0) προκύπτει ότι : bd p( x, y) f( x, y) dxdy Δ Δ = a c όπου b a =Δ x και d c=δ y Αν γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιάς τυχαίας μεταβλητής Ζ είναι R(z), τότε η πιθανότητα να λάβει η Ζ τιμή στο διάστημα μεταξύ z και z+dz είναι Pz ( ) = Rz ( ) dz (.) Στην περίπτωση που μελετάμε ένα πρόβλημα που χαρακτηρίζεται με περισσότερες από μία μεταβλητές ( π.χ η ταυτόχρονη μέτρηση πίεσης, θερμοκρασίας και του όγκου ενός αερίου ),συνήθως οι πυκνότητες πιθανότητες των τυχαίων μεταβλητών αλληλεξαρτώνται.στην περίπτωση αυτή, η πιθανότητα οι τυχαίες μεταβλητές X, X,..., X να έχουν συγχρόνως τιμές στα διαστήματα x, x dx x, x dx x, x + dx δίνεται από την σχέση : [ + ] [ + ],, [ ] P( x, x,..., x ) = g( x, x,..., x ) dx dx... dx όπου (.) gx (, x,..., x ) είναι η κοινή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των τυχαίων μεταβλητών. Το ολοκλήρωμα της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας για όλες τις δυνατές τιμές των τυχαίων μεταβλητών εκφράζει την συνολική πιθανότητα και συνεπώς πρέπει να ισούται με την μονάδα.: g ( x, x,..., x ) dx dx... dx = (.3) Στην περίπτωση που η τυχαία μεταβλητή παίρνει διακριτές τιμές η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας χάνει την χρηστική της αξία.στην περίπτωση αυτή μιλούμε για συνάρτηση πιθανότητας όπως την ορίσαμε στην προηγούμενη ενότητα.

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής Εισαγωγή Οι κυνικοί λένε σαρκαστικά πως μπορείς να αποδείξεις οτιδήποτε με τη Στατιστική. Άλλοι πάλι υποστηρίζουν πως δεν μπορείς να κάνεις τίποτα με τη Στατιστική. Κάποιοι θυμίζουν ότι η Στατιστική είναι

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο : Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )=-Ρ(Α) Μονάδες 7 Α. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress.

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress. 3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ttp://cutemats.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα