Κινηματική Επιπόνηση Πασσάλου: Η Μέθοδος των Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων Νeural Network Analysis of Pile Soil Kinematic Interaction

Transcript

1 3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας 5 7 Νοεμβρίου, Άρθρο Κινηματική Επιπόνηση Πασσάλου: Η Μέθοδος των Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων Νeural Network Analysis of Pile Soil Kinematic Interaction Nίκος ΓΕΡΟΛΥΜΟΣ, Γιώργος ΓΚΑΖΕΤΑΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Ο σχεδιασμός πασσάλου έναντι κινηματικής επιπόνησης σπανίως εφαρμόζεται στην συνήθη πρακτική. Σύμφωνα δε με τους ισχύοντες κανονισμούς, η κινηματική αλληλεπίδραση πασσάλου εδάφους πρέπει να λαμβάνεται υπόψιν μόνον όταν ο πάσσαλος τέμνεται από διεπιφάνειες εδαφικών στρώσεων με απότομη αλλαγή στην δυστμησία. Σκοπός του άρθρου είναι η διερεύνηση της σεισμικής συμπεριφοράς πασσάλου λόγω κινηματικής επιπόνησης. Αναλύεται διεξοδικά η σεισμική απόκριση πασσάλου εγκιβωτισμένου σε δίστρωτο ελαστικό έδαφος, με την χρήση κατάλληλα βαθμονομημένου ελατηριωτού προσομοιώματος τύπου Winkler. Τα αποτελέσματα χρησιμοποιούνται για τον σχεδιασμό και την εκπαίδευση τεχνητού νευρωνικού δικτύου το οποίο προτείνεται ως εναλλακτική μεθόδος ανάλυσης της κινηματικής επιπόνησης πασσάλου. Το νευρωνικό δίκτυο οδηγεί στην διατύπωση κλειστών αναλυτικών σχέσεων για τα εντατικά μεγέθη (τέμνουσα και ροπή) που αναπτύσσονται όχι μόνον στην περιοχή της διεπιφάνειας, αλλά και στην σύνδεση με τον κεφαλόδεσμο. Αποδεικνύεται, ότι η κινηματική ροπή στην σύνδεση με τον κεφαλόδεσμο είναι κρισιμότερη για τον σχεδιασμό του πασσάλου, καθώς προστίθεται στην αντίστοιχη αδρανειακή η οποία είναι μέγιστη στην θέση αυτή. ABSTRACT : Design of piles against kinematic loading is rarely applied in engineering practice. According to seismic codes, kinematic soil pile interaction should be taken into account only when the pile is intersected by interfaces with large stiffness contrast of the consecutive soil layers. This paper studies the seismic response of apile due to kinematic loading. The response of a pile embedded in a two layer soil profile is thoroughly investigated, with the use of an appropriately calibrated Winkler model. The results of the analysis are utilized to train an artificial neural network, as an alternative approximation to the problem. The developed neural network leads to the establishment of closed-form expressions for the kinematic structural forces, not only in the vicinity of the interface, but also at the pile-to-cap connection. It is shown that the kinematic bending moment at pile-tocap connection is crucial for the design of the pile, as it is superimposed to the inertial one which is maximized at this location. Λέκτορας, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, gerolymos@gmail.com Καθηγητής, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, gazetas@ath.forthnet.gr

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τις τελευταίες δεκαετίες, η αστοχία πασσάλων κατά την διάρκεια σεισμών είναι γνωστό και σύνηθες φαινόμενο. Αστοχίες έχουν καταγραφεί σε γέφυρες και σε προβλήτες λιμανιών, μετά από ισχυρή σεισμική επιπόνηση του εδάφους: Οι Ross et al. (99) περιέγραψαν πλήθος αστοχιών σε πασσάλους γεφυρών και συστήματα προβλητών στον σεισμό της Αλάσκας το 9. Στο Φριούλι της Ιταλίας στον σεισμό του 97, καταγράφηκαν αστοχίες πασσάλων σε δύο γέφυρες (CNEL-NEL, 97). Ο Mizouno (97) κατέγραψε περιπτώσεις αστοχίας πασσάλων στον σεισμό του Kobe το995 στην Ιαπωνία. Αίτια των αστοχιών αυτών θεωρούνται: ο ανεπαρκής σχεδιασμός των πασσάλων για τις κατακόρυφες δυνάμεις και τις καμπτικές ροπές που μεταφέρονται σε αυτούς από την ανωδομή (αδρανειακές δυνάμεις). Αποτέλεσμα, η αστοχία του πασσάλου πλησίον της κεφαλής του. Οι μεγάλες μετακινήσεις που επιβάλλονται στον πάσσαλο λόγω ρευστοποίησης του περιβάλλοντος εδάφους. Η καμπτική αστοχία που προκαλείται από την εδαφική παραμόρφωση, καθώς τα σεισμικά κύματα διαδίδονται στην εδαφική μάζα (κινηματική αλληλεπίδραση). Η αστοχία του πασσάλου λαμβάνει χώραν σε διεπιφάνειες δύστμητων εύτμητων εδαφικών στρώσεων, ακόμη και σε μεγάλα βάθη από την επιφάνεια του εδάφους. Η Τρίτη υπόθεση βασίζεται σε παρατηρηθείσες αστοχίες πασσάλων μετά από σεισμό (Σχήμα ), οι οποίες δεν μπορούν να αιτιολογηθούν από μεταφορά έντασης από την ανωδομή. Από αναλυτικούς υπολογισμούς και επι τόπου μετρήσεις (Dobry & O Rourke, 93, Mizuno, 97, Tazoh et al., 97), διαπιστώθηκε άμεση σχέση του εν-λόγω μηχανισμού αστοχίας με την ύπαρξη ασυνέχειας μεταξύ εδαφικών σχηματισμών με μεγάλες διαφορές στην αντοχή και στην δυστμησία. Σχήμα. Αστοχία πασσάλων (L = m, d =.3 m) σε κινηματική επιπόνηση στον σεισμό της Niigata (9).

3 Η διέλευση σεισμικών κυμάτων εντός του εδάφους επιβάλλει οριζόντιες μετακινήσεις στο έδαφος. Ο πάσσαλος εξαναγκάζεται να ακολουθήσει την κίνηση του ταλαντούμενου εδάφους στην οποία όμως αντιστέκεται η δυσκαμψία του. Έτσι, αναπτύσσονται καμπτικές ροπές στον πάσσαλο. Οι ροπές αυτές αναπτύσσονται και απουσία ανωδομής. Αναφέρονται δε ως κινηματικές για να διαχωριστούν από τις αντίστοιχες αδρανειακές που μεταβιβάζονται στον πάσσαλο από την ταλάντωση της ανωδομής. Παρόλα αυτά, η προσοχή των μηχανικών δεν έχει εστιαστεί στην κινηματική επιπόνηση των πασσάλων. Παραδοσιακά, οι σεισμικώς φορτιζόμενοι πάσσαλοι σχεδιάζονται μόνον για την παραλαβή των εντατικών μεγεθών που τους μεταβιβάζει η ανωδομή. Όμως, η κινηματική φόρτιση έχει αναγνωριστεί στους πρόσφατους σεισμικούς κανονισμούς. Για παράδειγμα στον ΕC (99) αναφέρεται: οι πάσσαλοι θα πρέπει να σχεδιάζονται για τις ακόλουθες δύο φορτίσεις : α) αδρανειακές δυνάμεις από την ανωδομή («αδρανειακή» επιπόνηση ) β) επιβαλλόμενες παραμορφώσεις από το έδαφος («κινηματική» επιπόνηση) τέτοια φόρτιση μπορεί να είναι ιδιαίτερα μεγάλη στις διεπιφάνειες των εδαφικών στρώσεων. Ο σχεδιασμός πρέπει να εξασφαλίζει ότι δεν θα δημιουργηθεί πλαστική άρθρωση σε αυτά τα σημεία. Αντίστοιχα στον ΕΑΚ () : Σε περίπτωση σεισμού η καταπόνηση πασσάλων ή άλλων στοιχείων βαθιάς θεμελίωσης, προέρχεται ενγένει από τις ακόλουθες αιτίες : Την δράση στήριξης, δηλαδή τη μεταφορά των δράσεων της ανωδομής στο έδαφος και αντίστροφα, καί Την κινηματική καταπόνηση που οφείλεται στην παραμόρφωση που υφίσταται το περιβάλλον έδαφος κατά την διέλευση των σεισμικών κυμάτων. Ανάλογες διατυπώσεις υπάρχουν και σε άλλους κανονισμούς και οδηγίες. Αξιοσημείωτο όμως είναι ότι ουδεμία αναφορά γίνεται στην κινηματική ροπή που αναπτύσσεται στην σύνδεση του πασσάλου με τον κεφαλόδεσμο. Η κινηματική καμπτική ροπή στην κεφαλή του πασσάλου μπορεί να είναι μεγαλύτερη (στις περισσότερες μάλιστα περιπτώσεις) από την αντίστοιχη στην διεπιφάνεια δύο εδαφικών στρωμάτων, αλλά και κρισιμότερη για τον σχεδιασμό του πασσάλου διότι στην περιοχή αυτή η αδρανειακή ροπή (λόγω ταλαντώσεως της ανωδομής) λαμβάνει την μέγιστη τιμή της. Επίσης δεν υπάρχει καμία αναλυτική σχέση στην διεθνή βιβλιογραφία για τον υπολογισμό της κινηματικής τέμνουσας δύναμης. Στόχος της παρούσας εργασίας είναι να καλύψει τις προαναφερθείσες ελλείψεις, στοχεύοντας στην ανάπτυξη κλειστών αναλυτικών εκφράσεων για τα κινηματικά εντατικά μεγέθη που αναπτύσσονται στην διεπιφάνεια δύο εδαφικών στρωμάτων, αλλά και στην περιοχή της σύνδεσης του πασσάλου με τον κεφαλόδεσμο. 3

4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ο υπολογισμός της κινηματικής αλληλεπίδρασης πασσάλου εδάφους πραγματοποιείται σε δύο στάδια (Σχήμα ): (α) Ανάλυση της σεισμικής απόκρισης του εδαφικού σχηματισμού (εδαφική στήλη) στο ελεύθερο πεδίο ώστε να υπολογισθεί ο διεγείρων κυματισμός του πασσάλου, χρησιμοποιώντας δυναμικές παραμέτρους για το έδαφος συμβιβαστές με τις αναπτυσσόμενες παραμορφώσεις. Το έδαφος ελεύθερου πεδίου θεωρείται ως διατμητική δοκός. Γίνεται η παραδοχή της κατακόρυφης διάδοσης αρμονικών διατμητικών κυμάτων, η οποία είναι πολύ κοντά στην πραγματικότητα καθώς τα κύματα που φτάνουν στην ελεύθερη επιφάνεια ακολουθούν τελικά κατακόρυφη διεύθυνση, εξαιτίας των διαθλάσεων από τις εδαφικές διεπιφάνειες. Ετσι, καθώς ανεβαίνουμε πρός την ελεύθερη επιφάνεια τα στρώματα γίνονται συνήθως πιο μαλακά, και η διεύθυνση των κυμάτων γίνεται πιο κατακόρυφη από τις αλλεπάλληλες διαθλάσεις. Η μετακίνηση ελεύθερου πεδίου U ff, προσδιορίζεται στα πλαίσια της θεωρίας για μονοδιάστατη διάδοση ελαστικών κυμάτων. (α) Ανάλυση της απόκρισης του συστήματος πασσάλου-εδάφους. Ο διεγείρων κυματισμός που υπολογίσθηκε στο προηγούμενο στάδιο, επιβάλλεται ως φόρτιση στον πάσσαλο μέσω συνεχώς κατανεμημένων ελατηρίων και απορροφητήρων που περιγράφουν το περιβάλλον του πασσάλου έδαφος (δυναμικό ελατηριωτό προσομοίωμα Winkler. Σε αντίθεση με τη κλασική θεώρηση Winkler, τα ελατήρια και οι αποσβεστήρες είναι συνάρτηση της συχνότητας διέγερσης, και σχετίζονται όχι μόνον με την δυστμησία του εδάφους αλλά και με την απόσβεση ακτινοβολίας που αναπτύσσεται καθώς τα κύματα διαδίδονται μακριά από τον πάσσαλο. Μία ακόμη διαφορά με την κλασική δοκό Winkler, είναι πως εδώ ο πάσσαλος δρά ως παθητική δοκός που διεγείρεται από την κίνηση του εδάφους μέσω του συστήματος ελατηρίων και αποσβεστήρων που αναφέρθηκαν προηγουμένως. Η μαθηματική περιγραφή της κινηματικής αλληλεπίδρασης πασσάλου εδάφους δίδεται από το σύστημα των κάτωθι διαφορικών εξισώσεων: U z ff + ω U Vs ff = () και, E p I p d u dz ( k + iω c )( u U ) = ρ p Apω u + x x ff () Η ανάλυση του ενλόγω συστήματος των διαφορικών εξισώσεων, για πολύ-στρωτο εδαφικό προφίλ, ευωδούται μέσω του ημί-αναλυτικού αλγορίθμου SPIAB, όπως περιγράφεται στα

5 άρθρα (Mylonakis 995, Mylonakis et al. 997, Gerolymos et al. 99, Nikolaou et al., Nikolaou and Gazetas 997). k c Παραμόρφωση Εδάφους Στάδιο Α Στάδιο Β Εδαφοδυναμική Ανάλυση Κινηματική Αλληλεπίδραση Πασσάλου Εδάφους Σχήμα. Μεθοδολογία Ανάλυσης: Στάδιο Α - Εδαφοδυναμική Ανάλυση, και Στάδιο Β - Κινηματική Αλληλεπίδραση Πασσάλου Εδάφους (με τον κώδικα SPIAB) ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΠΟΝΗΣΗ ΠΑΣΣΑΛΟΥ ΣΕ ΔΙΣΤΡΩΤΟ ΕΔΑΦΟΣ Το Πρόβλημα Στην παρούσα εργασία εξετάζεται η κινηματική απόκριση μεμονωμένου πασσάλου εγκιβωτισμένου σε δίστρωτο εδαφικό προφίλ, που διεγείρεται από κατακορύφως διαδιδόμενα αρμονικά διατμητικά κύματα. Ο πάσσαλος είναι διαμέτρου d, πυκνότητας ρ p, ροπής αδράνειας Ι p καί έχει μήκος L. Το δε μέτρο ελαστικότητάς του είναι Ε p. Ο πάσσαλος θεωρείται πακτωμένος στην κεφαλή του (ως μέλος πασσαλομάδας), και εδράζεται σε ανένδοτο βράχο, διαπερνώντας δύο εδαφικά στρώματα. Η πρώτη (επιφανειακή) στρώση έχει πάχος Η, μέτρο ελαστικότητας Ε s καί πυκνότητα ρ s. Η δεύτερη στρώση εδάφους έχει μέτρο ελαστικότητας Ε s καί πυκνότητα ρ s. Η μέγιστη επιτάχυνση στην επιφάνεια του εδάφους είναι ίση με A sur (m / s ). Το πρόβλημα παρουσιάζεται σκαριφηματικά στο Σχήμα 3. Οι αδιάστατες παράμετροι των οποίων η επιρροή στην κινηματική αλληλεπίδραση πασσάλου εδάφους διερευνάται, είναι : Η λυγηρότητα του πασσάλου L / d Ο λόγος σχετικού βάθους H / L του επιφανειακού εδαφικού στρώματος 5

6 Ο λόγος σχετικής δυσκαμψίας Ε p /E s μεταξύ του πασσάλου και του επιφανειακού εδαφικού στρώματος. Ο λόγος σχετικής δυστμησίας Ε s / E s των δύο εδαφικών στρώσεων. Ο λόγος σχετικής πυκνότητας ρ ρ /ρ s μεταξύ του πασσάλου και της πρώτης εδαφικής στρώσης. Ο λόγος σχετικής πυκνότητας ρ s /ρ s των δύο εδαφικών στρώσεων. Ο λόγοι Μ cap / ρ p d Α sur, Μ int / ρ p d Α sur, και Q int / ρ p d 3 Α sur, όπου Μ cap, M int, και Q int, η μέγιστη (στο πεδίο των συχνοτήτων) καμπτική ροπή στην κεφαλή του πασσάλου, και μέγιστη καμπτική ροπή και τέμνουσα δύναμη στην διεπιφάνεια των εδαφικών στρωμάτων, αντιστοίχως. Ο συντελεστής υστερητικής απόσβεσης ξ έχει ληφθεί σταθερός και ίσος με 5% και στα δύο στρώματα, εκτός από μία περιοχή συνολικού πάχους διαμέτρων εκατέρωθεν της διεπιφάνειας των εδαφικών στρώσεων, για τις οποίες έχει ληφθεί ίσος με %. Α sur M cap Ε s ρ s H ξ = 5% E p ρ p ξ = % Ε s ρ s L ξ = 5% M int, Q int d Σχήμα 3. Το Πρόβλημα: Κινηματική επιπόνηση πασσάλου σε δίστρωτο ελαστικό έδαφος

7 Kinematic Moment (knm) Kinematic Shear Force (kn) Kinematic Moment (knm) Kinematic Shear Force (kn) Σχήμα. Περιβάλλουσες μέγιστων κινηματικών εντατικών μεγεθών για Πάσσαλο με d =.5 m, L / d =, E p / E s =, E s / E s =, ρ p / ρ s =.33, ρ s / ρ s =, και (Επάνω): H / L =.5, (Κάτω): H / L =.5, για ανάλυση (α) κατά συχνότητες (μπλέ γραμμή με κύκλους), και (β) εν-χρόνω ανάλυση (μαύρη γραμμή) με το επιταχυνσιογράφημα της Καλαμάτας (9) ως σεισμική διέγερση στην βάση του προσομοιώματος, μετά από υποκλιμάκια αναγωγή της κορυφαίας επιτάχυνσης στο m / s Παραδείγματα Στα Σχήματα εώς 7 παρουσιάζονται οι υπολογισθείσες με το προσομοίωμα του Σχήματος κατανομές των μεγίστων εντατικών μεγεθών σε πάσσαλο, για χαρακτηριστικές τιμές των αδιάστατων παραμέτρων του προβλήματος. Τα αποτελέσματα από τις αναλύσεις στο πεδίο των συχνοτήτων συγκρίνονται με τα αντίστοιχα των εν-χρόνω αναλύσεων, με το επιταχυνσιογράφημα της Καλαμάτας (9) ως σεισμική διέγερση στην βάση του προσομοιώματος ύστερα από επικλιμάκια αναγωγή της κορυφαίας επιτάχυνσης στο m / s. 7

8 Kinematic Moment (knm) 5 5 Kinematic Shear Force (kn) Kinematic Moment (knm) Kinematic Shear Force (kn) Σχήμα 5. Περιβάλλουσες μέγιστων κινηματικών εντατικών μεγεθών για Πάσσαλο με d =.5 m, L / d =, E p / E s =, E s / E s =, ρ p / ρ s =.33, ρ s / ρ s =, και (Επάνω): H / L =.5, (Κάτω): H / L =.5, για ανάλυση (α) κατά συχνότητες (μπλέ γραμμή με κύκλους), και (β) εν-χρόνω ανάλυση (μαύρη γραμμή) με το επιταχυνσιογράφημα της Καλαμάτας (9) ως σεισμική διέγερση στην βάση του προσομοιώματος, μετά από υποκλιμάκια αναγωγή της κορυφαίας επιτάχυνσης στο m / s Παρατηρείστε ότι η καμπτική ροπή στην σύνδεση με τον κεφαλόδεσμο είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη στην διεπιφάνεια των δύο στρώσεων όταν αυτή εμφανίζεται σε μικρό βάθος από την επιφάνεια. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα αποτελέσματα για τα προφίλ ανεστραμμένης κατανομής της δυστμησίας. Όταν το μέτρο ελαστικότητας του επιφανειακού στρώματος είναι μεγαλύτερο από αυτό του υποκειμένου, η κινηματική επιπόνηση του πασσάλου είναι πιο έντονη. Αξιοσημείωτο είναι επίσης ότι οι κινηματικές ροπές από την ενχρόνω ανάλυση είναι μικρότερες των αντιστοίχων από την ανάλυση στο πεδίο των συχνοτήτων, κατά έως φορές περίπου.

9 Kinematic Moment (knm) Kinematic Shear Force (kn) 3 Kinematic Moment (knm) Kinematic Shear Force (kn) 3 Σχήμα. Περιβάλλουσες μέγιστων κινηματικών εντατικών μεγεθών για Πάσσαλο με d =.5 m, L / d =, E p / E s =, E s / E s =.5, ρ p / ρ s =.33, ρ s / ρ s =, και (Επάνω): H / L =.5, (Κάτω): H / L =.5, για ανάλυση (α) κατά συχνότητες (μπλέ γραμμή με κύκλους), και (β) εν-χρόνω ανάλυση (μαύρη γραμμή) με το επιταχυνσιογράφημα της Καλαμάτας (9) ως σεισμική διέγερση στην βάση του προσομοιώματος, μετά από υποκλιμάκια αναγωγή της κορυφαίας επιτάχυνσης στο m / s 9

10 Kinematic Moment (knm) 3 5 Kinematic Shear Force (kn) Kinematic Moment (knm) Kinematic Shear Force (kn) Σχήμα 7. Περιβάλλουσες μέγιστων κινηματικών εντατικών μεγεθών για Πάσσαλο με d =.5 m, L / d =, E p / E s =, E s / E s =.5, ρ p / ρ s =.33, ρ s / ρ s =, και (Επάνω): H / L =.5, (Κάτω): H / L =.5, για ανάλυση (α) κατά συχνότητες (μπλέ γραμμή με κύκλους), και (β) εν-χρόνω ανάλυση (μαύρη γραμμή) με το επιταχυνσιογράφημα της Καλαμάτας (9) ως σεισμική διέγερση στην βάση του προσομοιώματος, μετά από υποκλιμάκια αναγωγή της κορυφαίας επιτάχυνσης στο m / s Εισαγωγή ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ Πραγματοποιήθηκαν 7 αναλύσεις με τον κώδικα SPIAB (Mylonakis and Gazetas, 997). Από τα αποτελέσματα αναπτύχθηκαν κλειστές εκφράσεις για τα κινηματικά εντατικά μεγέθη στον πάσσαλο, με την εφαρμογή μεθόδων βελτιστοποίησης. Συγκεκριμένα εφαρμόσθηκε: (α) η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων, και (β) η μέθοδος των τεχνητών νευρωνικών δικτύων. Τα αποτελέσματα από τις δύο μεθόδους παρουσιάζονται εκτενώς στις επόμενες παραγράφους.

11 Η Μέθοδος της Γραμμικής Παλινδρόμησης Με εφαρμογή της μεθόδου της γραμμικής παλινδρόμησης, προέκυψαν οι παρακάτω σχέσεις για τα μέγιστα (στο πεδίο των συχνοτήτων) εντατικά μεγέθη στην κεφαλή και στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρωμάτων: Μέγιστη καμπτική ροπή (knm) στην κεφαλή του πασσάλου Mcap L H Ep E ρ s p ρ s =.5 p d Asur d L Es Es s s ρ ρ ρ (3) Μέγιστη καμπτική ροπή (knm) στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρωμάτων Mint L H Ep E ρ s p ρ s =. pd Asur d L Es Es s s ρ ρ ρ () Μέγιστη τέμνουσα δύναμη (kn) στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρωμάτων Qint L H Ep E ρ s p ρ s =.9 3 p d Asur d L Es Es s s ρ ρ ρ (5) Tο δε σφάλμα χαρακτηρίζεται από R =.5,.5, και.9 για την καμπτική ροπή στην κεφαλή του πασσάλου, την καμπτική ροπή, και την τέμνουσα δύναμη στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρωμάτων, αντιστοίχως. Οι εν-λόγω εκφράσεις υποεκτιμούν τα εντατικά μεγέθη κατά 3.5 φορές περίπου. Καμπτική Ροπή στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρώσεων Μ int : knm Σχήμα. Σύγκριση της ακριβούς λύσης (SPIAB) με την σχέση των Nikolaou and Gazetas, 997).

12 Αυτό που αξίζει να παρατηρήσει κανείς στις Εξισώσεις 3, και 5, είναι ότι η μέγιστη καμπτική ροπή στην κεφαλή του πασσάλου εξαρτάται σχεδόν αποκλειστικά από τον λόγο σχετικής δυσκαμψίας μεταξύ του πασσάλου και του επιφανειακού στρώματος. Αντιθέτως, η επιρροή των υπολοίπων λόγων στα άλλα δύο κινηματικά μεγέθη είναι εξίσου σημαντική. Το σφάλμα από την εξίσωση είναι αρκετά μικρό αν συγκριθεί με αυτό από την αντίστοιχη σχέση που πρότειναν οι Nikolaou and Gazetas (997): () ( knm) int =. M A ρ sur s H d 3 L d.3 E E p s. V V s s.5 η οποία χαρακτηρίζεται από το χαμηλότατο R =. (Σχήμα ). Η καμπτική ροπή από την Σχέση υποεκτιμάται, κατά μέσον όρο,.5 φορές περίπου σε σχέση με την αντίστοιχη ακριβή. Αξιοσημείωτο είναι ότι οι σχέσεις 3 έως 5 υποδηλώνουν ότι αυξανομένου του μέτρου ελαστικότητας του βαθύτερου στρώματος σε σχέση με το αντίστοιχο του επιφανειακού, τα εντατικά μεγέθη στην διεπιφάνεια μειώνονται. Το συμπέρασμα αυτό φαίνεται εκ πρώτης όψεως ως παράδοξο. Βρίσκεται δε σε αντίθεση με την σχέση της Nikolaou and Gazetas (997). Ωστόσο, οι σχέσεις 3 έως 5 έχουν προκύψει από την επεξεργασία ενός πλούσιου φάσματος αποτελεσμάτων και επομένως είναι στατιστικά ορθές. Το καταφανές σφάλμα στις σχέσεις 3 έως 5 κρύβεται πίσω από τον διττό ρόλο του λόγου σχετικής δυστμησίας Ε s /E s των εδαφικών στρώσεων. Πράγματι, αυξανομένου του μέτρου ελαστικότητας του βαθύτερου στρώματος σε σχέση με αυτό του επιφανειακού, θα έπρεπε να οδηγεί σε αύξηση των εντατικών μεγεθών όπως υποδηλώνει και η σχέση. Ωστόσο, αντίστοιχη αύξηση του μέτρου ελαστικότητας του υπερκειμένου εδαφικού στρώματος ως προς αυτό του υποκειμένου (εδαφικό προφίλ με ανεστραμμένη κατανομή της δυστμησίας), συνεπάγεται πολύ μεγαλύτερη αύξηση των εντατικών μεγεθών στην διεπιφάνεια. Προφίλ ανεστραμμένης δυστμησίας μπορεί να έχουμε (α) όταν ρευστοποιήσιμη εδαφική στρώση περιβάλλεται εκατέρωθεν από μή ρευστοποιήσιμο έδαφος, ή (β) σε περιπτώσεις βελτίωσης του εδάφους (π.χ. με χαλικοπασσάλους), όπου ο πάσσαλος τέμνει την βάση της βελτιωμένης εδαφικής ζώνης και συνεχίζει σε μεγαλύτερα βάθη. Για την άρση του προαναφερθέντος παραδόξου εφαρμόζουμε ξανά την μέθοδο της γραμμικής παλινδρόμησης με την προσθήκη του όρου ( + Ε s / E s ) στις σχέσεις 3 έως 5. Το αποτέλεσμα έχει ως εξής: Μέγιστη καμπτική ροπή (knm) στην κεφαλή του πασσάλου Mcap L H Ep E ρ s p ρ s E s =.3 + p d Asur d L Es Es s s Es ρ ρ ρ (7) Μέγιστη καμπτική ροπή (knm) στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρωμάτων

13 Mint L H Ep E ρ s p ρ s E s =.9 + pd Asur d L Es Es s s Es ρ ρ ρ () Μέγιστη τέμνουσα δύναμη (kn) στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρωμάτων Qint L H Ep E ρ s p ρ s E s = p d Asur d L Es Es s s Es ρ ρ ρ (9) Τα αποτελέσματα των αναλυτικών σχέσεων συγκρίνονται στο Σχήμα 9 με τα αντίστοιχα ακριβή αποτελέσματα από τον κώδικα SPIAB. Tο σφάλμα από τις νέες σχέσεις χαρακτηρίζεται από R =.5,.7, και. για την καμπτική ροπή στην κεφαλή του πασσάλου, την καμπτική ροπή και την τέμνουσα δύναμη στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρωμάτων, αντιστοίχως. Παρατηρούμε ότι η απόδοση της γραμμικής παλινδρόμησης βελτιώθηκε σημαντικά ως προς τα εντατικά μεγέθη στην διεπιφάνεια. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την καμπτική ροπή στην σύνδεση με τον κεφαλόδεσμο, για την οποία παραμένει το ισχνό R =.5. Συμπερασματικά θα λέγαμε ότι η μέθοδος της γραμμικής παλινδρόμησης αποτυγχάνει να προσεγγίσει την καμπτική ροπή στην σύνδεση με τον κεφαλόδεσμο με ικανοποιητική ακρίβεια, και η εφαρμογή πιο προηγμένων μεθόδων βελτιστοποίησης (π.χ. μέθοδος τεχνητών νευρωνικών δικτύων) είναι αναγκαία. Η μέθοδος των Τεχνητων Νευρωνικών Δικτύων: Εισαγωγή Τα νευρωνικά δίκτυα επιχειρούν μέσω μίας πυκνής αλληλοσύνδεσης απλών υπολογιστικών στοιχείων να επιτύχουν υψηλή απόδοση. Κάθε κόμβος στο νευρωνικό δίκτυο είναι μία σύναψη ενός αριθμού εισόδων που περνά το αποτέλεσμα μίας μή-γραμμικής συνάρτησης. Με την έννοια της σύναψης εννοούμε την άθροιση, με βάρη, των εισόδων. Τα νευρωνικά δίκτυα χαρακτηρίζονται από την τοπολογία τους, τα χαρακτηριστικά των κόμβων και την διαδικασία εκμάθησης που περιέχουν. Η διαδικασία αυτή καθορίζει ένα αρχικό σύνολο βαρών και υποδεικνύει το πώς τα βάρη αυτά μπορούν να προσαρμοστούν κατά την χρήση του δικτύου ώστε να βελτιώνεται η απόδοσή του. Υπάρχουν αρκετά μοντέλα νευρωνικών δικτύων. Μεταξύ άλλων τα συνήθως απαντώμενα σε εφαρμογές Πολιτικού Μηχανικού, είναι (α) τα Radial Basis Function (RBF) δίκτυα, (β) τα δίκτυα πολλαπλών στρωμάτων (Multi Layer Perceptron, MLP), και (γ) τα δυναμικά νευρωνικά δίκτυα (Time Recurrent Multi Layer Perceptron, TR-MLP). Τα δίκτυα πολλαπλών στρωμάτων (multi-layer perceptron) θα χρησιμοποιηθούν για την επίλυση του δικού μας προβλήματος. Είναι feedforward δίκτυα συνεχών εισόδων και τα στρώματα που περιέχουν ταξινομούνται σε εισόδου (Input Layer), εξόδου (Output Layer) και ενδιάμεσα (Hidden Layers). Βασικό χαρακτηριστικό των δικτύων αυτών είναι το ότι δεν επιτρέπεται η απευθείας σύνδεση κόμβων του ίδιου στρώματος ή η παράκαμψη στρωμάτων. Η είσοδος κάθε κόμβου ισούται με το σταθμιστικό άθροισμα (weighted sum) των εξόδων των κόμβων του προηγούμενου στρώματος. Για τον προσδιορισμό της βέλτιστης τοπολογίας (αριθμός κόμβων και εσωτερικών στρωμάτων) ενός νευρωνικού δικτύου έχουν αναπτυχθεί αρκετοί 3

14 αλγόριθμοι. Μεταξύ άλλων οι σπουδαιότεροι υπάγονται στην κατηγορία των γενετικών αλγορίθμων (genetic algorithms), και αλγόριθμοι βασισμένοι σε ευρηστικές τεχνικές. Ως συνάρτηση των κόμβων (output function, o j (net j )) χρησιμοποιούνται ενγένει η υπερβολική εφαπτομένη (tanh), η σιγμοειδής, και η γραμμή σταθερής κλίσης. H κατάλληλη επιλογή μίας από τις παραπάνω συναρτήσεις ή ο συνδυασμός δύο ή και περισσοτέρων συναρτήσεων εξαρτάται από το είδος του προς επίλυση προβλήματος. Σε προβλήματα προσδιορισμού συναρτήσεως, η tanh είναι συνήθως η βέλτιστη συνάρτηση μεταφοράς (transfer function). Καμπτική Ροπή στην σύνδεση με τον κεφαλόδεσμο Μ cap : knm 5 R = Καμπτική Ροπή στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρώσεων Μ int : knm Προσεγγιστική Λύση 5 5 R = Τέμνουσα Δύναμη στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρώσεων Q int : kn 5 R = Ακριβής Λύση Σχήμα 9. Σύγκριση της ακριβούς λύσης (SPIAB) με τις προβλέψεις των Εξισώσεων 7,, και 9.

15 Σε προβλήματα ταξινόμησης προτύπων, ο συνδυασμός της υπερβολικής εφαπτομένης για τα εσωτερικά στρώματα (Hidden Layers) με σιγμοειδή για το στρώμα εξόδου, είναι ο πλέον κατάλληλος. Στην περίπτωση της υπερβολικής εφαπτομένης η έξοδος και η είσοδος ενός κόμβου διατυπώνεται αλγεβρικά ως εξής: j ( net j ) = ( neti b j ) net j = o tanh, w o () j ij i όπου, net j η είσοδος του κόμβου j, w ij το βάρος της σύνδεσης των κόμβων i j, o i η έξοδος του κόμβου I, και b j το κατώφλι του κόμβου j Η τοπολογία ενός νευρωνικού δικτύου πολλαπλών στρωμάτων (Ο πιό δημοφιλής / αποδοτικός αλγόριθμος μάθησης ενός MLP νευρωνικού δικτύου είναι ο back-propagation. O αλγόριθμος εκμάθησης back-propagation σχεδιάστηκε με βάση την ελαχιστοποίηση του μέσου τετραγωνικού σφάλματος (ΜSΕ) μεταξύ της πραγματικής εξόδου ενός feed-forward δικτύου πολλαπλών στρωμάτων, και της επιθυμητής εξόδου: N p p p () N p p = MSE = y t Όπου N p ο αριθμός των προτύπων πρός αναγνώριση του σταδίου εκμάθησης, y p το άνυσμα της πραγματικής εξόδου του συστήματος για δεδομένο πρότυπο εισόδου, και t p το επιθυμητό άνυσμα εξόδου. Εκτός από την MSE έχουν αναπτυχθεί και άλλες συναρτήσεις σφάλματος, μία από τις σπουδαιότερες η Cross Entropy η οποία δίνει πολύ ικανοποιητικά αποτελέσματα σε προβλήματα ταξινόμησης προτύπων. H διαδικασία εκμάθησης στοχεύει στην εύρεση των βέλτιστων βαρών του δικτύου που ελαχιστοποιούν την συνάρτηση λάθους (error function) Ε. Δηλαδή στην αναπροσαρμογή των βαρών για κάθε ζευγάρι εισόδου-εξόδου, ώστε η έξοδος να πλησιάζει την επιθυμητή. Εφαρμογή Το πολυστρωματικό νευρωνικό δίκτυο (MLP Neural Network) το οποίο αναπτύχθηκε για την ανάλυση της κινηματικής αλληλεπίδρασης πασσάλου εδάφους, δείχνεται σχηματικά στο Σχήμα. Αποτελείται από τρία στρώματα. Το στρώμα εισόδου το οποίο απαρτίζεται από έξη νευρώνια που αντιστοιχούν στις έξη μεταβλητές του προβλήματος :. ο λόγος L / d. ο λόγος Η / L 3. ο λόγος E p / E s. ο λόγος Ε s / Ε s, 5. ο λόγος ρ p / ρ s, και. o λόγος ρ s / ρ s. 5

16 M cap M int Q int - tanh Output Layer - 3 n Hidden Layer tanh Transfer Function Input Layer d L H E s Input variables E s ρ s ρ s Σχήμα. Σχηματική απεικόνιση του πολυστρωματικού (MLP) τεχνητού νευρωνικού δικτύου που αναπτύχθηκε για τον υπολογισμό των μέγιστων κινηματικών εντατικών μεγεθών σε πάσσαλο εντός δίστρωτου ελαστικού εδάφους Τόσο στο εσωτερικό στρώμα όσο και στο στρώμα εξόδου χρησιμοποιείται ως συνάρτηση μεταφοράς η υπερβολική εφαπτομένη (tanh function). Η αναπροσαρμογή των βαρών του νευρωνικού δικτύου κατά την διάρκεια της εκπαίδευσής τους βασίζεται στην ελαχιστοποίηση της συναρτήσεως λάθους ΜSE, δεχόμενοι σφάλμα στόχου μικρότερο του %. Η εκπαίδευση του νευρωνικού δικτύου πραγματοποιήθηκε με τον μαθηματικό λογισμικό κώδικα ΜΑTLAB. Εφαρμόσθηκε δε η μέθοδος της offline (batch) αναγνώρισης προτύπων, σε συνδυασμό με την συνάρτηση εκπαίδευσης των Lavenberg Marquardt η οποία υπάγεται στην κατηγορία της Quasi Newton τεχνικής βελτιστοποίησης. Ως πρότυπα εκπαίδευσης χρησιμοποιήθηκαν αποτελέσματα από την ακριβή επίλυση του προβλήματος (με τον κώδικα SPIAB). Συγκεκριμένα, αξιοποιήθηκαν 7 πρότυπα. Για να αποφευχθεί η υπερεκπαίδευση του νευρωνικού δικτύου χρησιμοποιήθηκε μεταξύ άλλων η μέθοδος early stopping (training set, test set, and validation test) η οποία έδωσε τα αποτελέσματα με το μικρότερο σφάλμα. Η μαθηματική διατύπωση του νευρωνικού δικτύου μετά το πέρας της εκπαίδευσής του, έχει ως εξής : y n m tanh w i tanh w i, j x j + b i + b () i = j = = Όπου y = Μ cap / ρ p d Α sur, Μ int / ρ p d Α sur, και Q int / ρ p d 3 Α sur, και m, και n, ο αριθμός των κόμβων στο στρώμα εισόδου και στο εσωτερικό στρώμα αντιστοίχως. w i,j και b j τα βάρη και τα κατώφλια του εσωτερικού στρώματος, και w j και b τα βάρη και το κατώφλι του στρώματος εξόδου. Οι τιμές των βαρών και κατωφλίων που αντιστοιχούν (α) στην μέγιστη

17 καμπτική ροπή στην κεφαλή (M cap ) και (β) στην μέγιστη καμπτική ροπή (M int ) και (γ) μέγιστη τέμνουσα δύναμη (Q int ) στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρωμάτων, παρουσιάζονται στους Πίνακες έως 3. x j είναι το άνυσμα εισόδου κανονικοποιημένο ως προς τις ελάχιστες και τις μέγιστες τιμές των μεταβλητών του προβλήματος x j (x = L / d, x = H / L, x 3 = E p / E s, x = E s / E s, x 5 = ρ p / ρ s, και x = ρ s / ρ s ). To άνυσμα εισόδου x j εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός της μεταβλητής x j σύμφωνα με : x j = x j min x j max x min x j j (3) Οι τιμές (min, max) των μεταβλητών x j που υιοθετήθηκαν στην εκπαίδευση του νευρωνικού δικτύου, έχουν ως εξής : L / d : (, ), H / L : (.5,.75), E p / E s : (5, ), E s / E s : (.5, 3), ρ p / ρ s : (, ), και ρ s / ρ s : (.9,.7). Πίνακας. Βάρη και κατώφλια για την κινηματική ροπή στην κεφαλή του πασσάλου Εσωτερικό Στρώμα w i, j b i Στρώμα Εξόδου w b i Πίνακας. Βάρη και κατώφλια για την κινηματική ροπή στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρωμάτων Εσωτερικό Στρώμα w i, j b i Στρώμα Εξόδου b w i Πίνακας 3. Βάρη και κατώφλια για την κινηματική τέμνουσα δύναμη στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρωμάτων Εσωτερικό Στρώμα w i, j b i Στρώμα Εξόδου b w i 7

18 Καμπτική Ροπή στην σύνδεση με τον κεφαλόδεσμο Μcap : knm.5 R = Καμπτική Ροπή στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρώσεων Μint : knm R = Τέμνουσα Δύναμη στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρώσεων Qint : kn R = Σχήμα. Σύγκριση της ακριβούς λύσης (SPIAB) με τις προβλέυψεις των νευρωνικών δικτύων

19 Τα αποτελέσματα από τις αναλύσεις με τα νευρωνικά δίκτυα παρουσιάζονται στο Σχήμα. Η υπεροχή των τεχνητών νευρωνικών δικτύων έναντι της γραμμικής παλινδρόμησης είναι προφανής. Και στις τρεις περιπτώσεις το R είναι μεγαλύτερο του.9. Επισημαίνεται ότι οι εκφράσεις για τον υπολογισμό των μεγίστων κινηματικών εντατικών μεγεθών που αναπτύχθηκαν στο παρόν κεφάλαιο, ισχύουν για αρμονική διέγερση στην επιφάνεια του εδάφους. Για τυχούσα χρονοιστορία επιταχύνσεων ως διέγερση στην επιφάνεια, οι μέγιστες τιμές εξαρτώνται επίσης από (α) την λεπτομέρεια των κινηματικών χαρακτηριστικών της διέγερσης, (β) τον αριθμό των σημαντικών κύκλων φόρτισης, και (γ) από το συχνοτικό περιεχόμενο της διέγερσης ως προς την θεμελειώδη ιδιοπερίοδο του εδαφικού σχηματισμού. ΕΝ-ΧΡΟΝΩ ΑΝΑΛΥΣΗ Η επιρροή της χρονοιστορίας της φόρτισης στα κινηματικά εντατικά μεγέθη που αναπτύσσονται στον πάσσαλο, μπορεί να ληφθεί υπόψιν με την εφαρμογή μειωτικού συντελεστή στις σχέσεις, 7,, 9, και, ο οποίος συνήθως κυμαίνεται από.5 εώς. ανάλογα με την καταστροφικότητα του επιταχυνσιογραφήματος (Nikolaou and Gazetas, 997). Για την εκτίμηση του εν-λόγω μειωτικού συντελεστή, η, πραγματοποιήθηκαν αναλύσεις με τέσσερα πραγματικά επιταχυνσιογραφήματα ως σεισμικές διεγέρσεις στην βάση του προσομοιώματος (Πίνακας ). Πίνακας. Τα επιταχυνσιογραφήματα υπολογισμού. Η παράμετρος Arias Intensity αντιστοιχεί στις κλιμακούμενες χρονοιστορίες (με PGA = m / s ) Σεισμική Διέγερση M s Δεσπόζουσα Περίοδος (T p : s) Arias Intensity (m / s ) Temblor (Parkfield, 9)... Καλαμάτα-Νομαρχία (Καλαμάτα, 9) Shinkobe (Kobe, 995) Pacoima dam (Northridge, 99)...5 9

20 .5 Mcap,t / Mcap,f..3.. Ts / Tp.5 Mint,t / Mint,f..3.. Ts / Tp.5 Qint,t / Qint,f..3.. Ts / Tp Σχήμα. Διαγράμματα μειωτικού συντελεστή η (ο οποίος ορίζεται ως το πηλίκο του κινηματικού εντατικού μεγέθους από εν-χρόνω ανάλυση, προς το αντίστοιχο από ανάλυση κατά συχνότητες). Σύγκριση της ακριβούς λύσης (μπλε κύκλοι) με την εξίσωση (κόκκινα τετράγωνα), για την καμπτική ροπή στην σύνδεση με τον κεφαλόδεσμο (επάνω), την ροπή και την τέμνουσα δύναμη (κάτω) στην διεπιφάνεια.

21 Τα αποτελέσματα των αναλύσεων παρουσιάζονται συγκεντρωτικά στο Σχήμα. Προτείνεται η εξής προσεγγιστική σχέση για τον συντελεστή η: Ts Ts , Tp Tp T s Ts η =., < 3. T p Tp T s.5, > 3. Tp () Όπου Τ s, η θεμελιώδης ιδιοπερίοδος του εδάφους, και T p η δεσπόζουσα περίοδος της διέγερσης. Οι προβλέψεις της σχέσεως συγκρίνονται με τα αποτελέσματα από την ακριβή επίλυση στο Σχήμα. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Διερευνήθηκε παραμετρικά η κινηματική αλληλεπίδραση πασσάλου εδάφους για πάσσαλο σε δίστρωτο εδαφικό σχηματισμό. Αναπτύχθηκαν δε κλειστές αναλυτικές εκφράσεις για τις μέγιστες τιμές των κινηματικών εντατικών μεγεθών που αναπτύσσονται (α) στην κεφαλή του πασσάλου, και (β) στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρωμάτων, συναρτήσει χαρακτηριστικών παραμέτρων του εδάφους και του πασσάλου, με την εφαρμογή μεθόδων υπολογιστικής νοημοσύνης. Τα ευρήματα της εν-λόγω διερεύνησης ενισχύονται από την απουσία ολοκληρωμένου σετ αναλυτικών σχέσεων στην διεθνή βιβλιογραφία για τον υπολογισμό των κινηματικών εντατικών μεγεθών στον πάσσαλο. Οι υπάρχουσες εκφράσεις αγνοούν παντελώς, τόσο την καμπτική ροπή που αναπτύσσεται στην κεφαλή του πασσάλου, όσο και την κινηματική τέμνουσα δύναμη η οποία καθορίζει και το ποσοστό εγκάρσια όπλισης Δείχθηκε ότι η κινηματική ροπή που αναπτύσσεται στον σύνδεσμο με τον κεφαλόδεσμο είναι εν-γένει κρισιμότερη για τον σχεδιασμό του πασσάλου από την αντίστοιχη ροπή που αναπτύσσεται στην διεπιφάνεια των δύο εδαφικών στρωμάτων. Αυτό, διότι και σε μέγεθος είναι συνήθως μεγαλύτερη, αλλά κυρίως διότι προστίθεται με την αδρανειακή ροπή (λόγω ταλαντώσεως της ανωδομής) η οποία στην περιοχή αυτή λαμβάνει την μέγιστη τιμή της. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσίασε η περίπτωση του εδαφικού προφίλ ανεστραμμένης δυστμησίας. Η κινηματική ροπή που αναπτύσσεται σε διεπιφάνειες για τις οποίες το υπερκείμενο στρώμα είναι πιο δύστμητο από το υποκείμενο, είναι πολύ πιο μεγάλη από την αντίστοιχη για διεπιφάνειες όπου το βαθύτερο στρώμα είναι σκληρότερο από το επιφανειακό. Προφίλ ανεστραμμένης δυστμησίας μπορεί να έχουμε (α) όταν ρευστοποιήσιμη εδαφική στρώση περιβάλλεται εκατέρωθεν από μή ρευστοποιήσιμο έδαφος, ή (β) σε περιπτώσεις βελτίωσης του εδάφους (π.χ. με χαλικοπασσάλους), όπου ο πάσσαλος τέμνει την βάση της βελτιωμένης εδαφικής ζώνης και συνεχίζει σε μεγαλύτερα βάθη.

22 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η εργασία πραγματοποιήθηκε στα πλαίσια του ερευνητικού προγράμματος ΑΣΠΡΟΓΕ, το οποίο χρηματοδοτήθηκε από την ΓΓΕΤ και την ΕΓΝΑΤΙΑ ΟΔΟ ΑΕ. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Dobry R. and O Rourke M.J. (93) Seismic Response of End-Bearing Piles Journal of Geotechnical Engineering, 9, 5, 77-7 Gerolymos N., Gazetas G., Mylonakis G. (99) Fundamental Period and Effective Damping of Pile-Supported Bridge Piers, th European Conference on Earthquake Engineering Mizuno H. (97) Pile Damage during Earthquakes in Japan, Dynamic Response of Pile Foundations, ed. T. Nogami, ASCE Special Publication, pp Μylonakis G. (995), Contributions to Static and Seismic Analysis of Piles and Pile Supported Bridge Piers, Ph.D, State University of New York at Buffalo, U.S.A. Mylonakis G., Nikolaou A., & Gazetas G., (997), "Soil-Pile-Bridge Seismic Interaction: Kinematic and Inertial Effects Part I : Soft Soil", Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol., No. 3, pp Nikolaou A. & Gazetas G. (997), Seismic design procedure for kinematically stressed piles, Seismic Behaviour of Ground and Geotechnical Structures, Seco e Pinto (ed.), Balkema, Rotterdam, September 997, 53-. Nikolaou S., Mylonakis G., Gazetas G., Tazoh T. (), Kinematic pile bending during earthquakes: analysis and field measurements, Geotechnique, Vol. 5, No. 5, pp. 5-. Ross G., Seed H., Migliaccio R. (99) Bridge Foundation Behaviour in Alaska Earthquake, Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE Tazoh T., Shimizu K. and Wakahara (97) Seismic Observations and Analysis of Grouped Piles, Geotech. Special Publication, No, Dynamic Response of Pile Foundations, ASCE, pp. -.