y + P (x)y + Q(x)y = 0 (1.1) y(x) = g(x)y (x), (1.2) gy + (P g + 2g )Y + (g + P g + Qg)Y = 0, (1.3)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "y + P (x)y + Q(x)y = 0 (1.1) y(x) = g(x)y (x), (1.2) gy + (P g + 2g )Y + (g + P g + Qg)Y = 0, (1.3)"

Transcript

1 κ ε φ ά λ α ι ο 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι ΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ DARBOUX ΚΑΙ LIOUVILLE 1. Μετασχηµατισµοί σε δευτεροτάξιες γραµµικές εξισώσεις: Η κανονική µορφή Ξεκινάµε από την τυπική µορφή µιας δευτεροτάξιας γραµµικής (και οµογενούς) εξίσωσης y + P (x)y + Q(x)y = 0 (1.1) στην οποία ο συντελεστής της δευτέρας παραγώγου έχει γίνει µονάδα διαιρώντας µε τον συντελεστή που τυχόν υπήρχε. Προκειµένου τώρα να µετασχηµατίσου- µε την (1.1) σε µια άλλη (ενδεχοµένως επιλύσιµη) µορφή, τα µόνα εργαλεία που έχουµε στη διάθεσή µας είναι οι αλλαγές εξαρτηµένης και ανεξάρτητης µεταβλητής: y = f(y ) και t = t(x) αντίστοιχα. εδοµένου όµως ότι η εξίσωσή µας είναι γραµµική και οµογενής, και θέλουµε να παραµείνει τέτοια (διότι, βεβαίως, οι µη γραµµικές εξισώσεις είναι πολύ δυσκολότερες) οι µόνες αλλαγές εξαρτηµένης µεταβλητής που έχει νόηµα να χρησιµοποιήσουµε είναι εκείνες µε τη γραµµική και οµογενή µορφή y(x) = g(x)y (x), (1.2) όπου g(x) µια αυθαίρετη συνάρτηση που εναπόκειται σε µας να επιλέξουµε, ανάλογα µε τον επιδιωκόµενο σκοπό. Εισάγοντας τη (1.2) στην (1.1) παίρνουµε gy + (P g + 2g )Y + (g + P g + Qg)Y = 0, (1.3)

2 4 ΚΕΦ. 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι από όπου είναι φανερό ότι αν διαλέξουµε το g ώστε να είναι ( P g + 2g = 0 g = exp 1 ) P (x) dx, (1.4) 2 η (1.3) θα καταλήγει στη λεγόµενη κανονική µορφή Y + I(x)Y = 0, (1.5) στην οποία ο συντελεστής της πρώτης παραγώγου έχει µηδενιστεί, ενώ ο συντελεστής του Y έχει πάρει όπως είναι εύκολο να δείτε τη µορφή I(x) = Q(x) 1 2 P 1 4 P 2. (1.6) Θα δείξουµε τώρα ότι η αναγωγή σε κανονική µορφή δηλαδή µια µορφή χωρίς πρώτη παράγωγο είναι δυνατή και µε χρήση µιας αλλαγής εξαρτηµένης µεταβλητής t = t(x) για µια κατάλληλη t(x). Πράγµατι, κάνοντας µια τέτοια αλλαγή στην (1.1) θα έχουµε τη νέα, ως προς t, εξίσωση t 2 ÿ + ( t + P t )ẏ + Qy = 0, (1.7) που έρχεται σε κανονική µορφή αν η συνάρτηση t = t(x) εκλεγεί έτσι ώστε t + P t = 0 t(x) = e R P (x)dx dx, (1.8) οπότε η (1.7) καταλήγει στην ( Q(x) ÿ + e 2 R P (x)dx ) y = 0 (1.9) x=x(t) όπου, βέβαια, x = x(t) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της t = t(x) όπως αυτή ορίζεται από την (1.8). Για λόγους που θα γίνουν σύντοµα κατανοητοί το πέρασµα από µια κανονική µορφή σε µια άλλη είναι µια πολύ χρήσιµη τεχνική για την οποία πρέπει να πούµε δυο λόγια σε τούτη την εισαγωγή. Η βασική ιδέα είναι πολύ απλή: Να κάνουµε στην εξίσωση y + q(x)y = 0 (1.10) Επειδή θα τις χρησιµοποιούµε συχνά από εδώ και µπρος, σηµειώνουµε για διευκόλυνση του αναγνώστη τις σχέσεις y = t ẏ, y = t 2 ÿ + t ẏ, όπου y dy/dx και ẏ dy/dt.

3 1. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΕ ΕΥΤΕΡΟΤΑΞΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5 πρώτα µια αλλαγή ανεξάρτητης µεταβλητής t = t(x) η οποία την «βγάζει» από την κανονική µορφή και εν συνεχεία να την επαναφέρουµε σε κανονική µορφή (διαφορετική όµως από την προηγούµενη) µε τη συνήθη αλλαγή εξαρτηµένης µεταβλητής y = gy. Και όπως µπορείτε να δείξετε µόνοι σας, το αποτέλεσµα θα είναι η νέα, ως προς t, εξίσωση Ÿ (t) + Q(t)Y (t) = 0, (1.11) όπου η σχέση της παλιάς προς τη νέα εξαρτηµένη µεταβλητή θα δίνεται από τον τύπο Y (t) = ẋ(t) 1 y ( x(t) ) (1.12) µε x = x(t) ή t = t(x) τη συνάρτηση που συνδέει τις ανεξάρτητες µεταβλητές x και t και η οποία µπορεί να είναι τυχούσα. Όσο για τη σχέση των Q(t) και q(x) αυτή θα περιγράφεται από τον τύπο όπου {x, t} η παράσταση {x, t} = ορ Q(t) = qẋ 2 + {x, t}, (1.13) 1 2 (ẍ ẋ ) 1 4 (ẍ ) 2, (1.14) που είναι γνωστή στη βιβλιογραφία ως η σβαρτσιανή της συνάρτησης x = x(t) και είχε µελετηθεί από τους µαθηµατικούς στο πλαίσιο της θεωρίας των µιγαδικών συναρτήσεων, για την πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητά της να παραµένει αναλλοίωτη στους µετασχηµατισµούς Möbius w = (az + b)/(cz + d). Να είναι δηλαδή { } ax + b {x, t} = cx + d, t, (1.15) όπου a, b, c, d αυθαίρετες (και µιγαδικές εν γένει) σταθερές. Όµως οι αλλαγές εξαρτηµένης µεταβλητής που µπορούµε να πραγµατοποιήσουµε σε µια γραµµική (και οµογενή) εξίσωση δεν περιορίζονται στη µορφή (1.2). Μπορούν να συµπεριλάβουν και τη γενικότερη γραµµική και οµογενή απεικόνιση ẋ Y = Ly (1.16) στην οποία οι δύο εξαρτηµένες µεταβλητές y(x) και Y (x) συνδέονται όχι απλώς µέσω της δράσης µιας συνάρτησης g(x) ή 1/g(x) αλλά ενός γραµµικού διαφορικού τελεστη L όπως, παραδείγµατος χάριν, του L = a(x)d 2 + b(x)d + c(x)

4 6 ΚΕΦ. 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι για τον οποίο θα είναι Y = ay + by + cy. (1.17) εδοµένου όµως ότι η y ικανοποιεί εξ υποθέσεως µια δευτεροτάξια εξίσωση της µορφής y + p(x)y + q(x)y = 0 (1.18) θα είναι y = py qy και η (1.17) θα ξαναγράφεται ως Y = (b ap)y + (c aq)y A(x)y + B(x)y (AD + B)y το οποίο σηµαίνει ότι για τη διερεύνηση των µετασχηµατισµών (1.16) µπορούµε να περιοριστούµε σε πρωτοτάξιους διαφορικούς τελεστές L, οπότε η (1.16) θα γράφεται ως Y = (AD + B)y A(x)y + B(x)y (1.19) ή, ισοδύναµα, ως Y = A (y + BA ) y A(y + fy) f = B/A. (1.20) εδοµένου όµως ότι οι µετασχηµατισµοί του τύπου Y = A(x)y έχουν ήδη µελετηθεί εξίσωση (1.2) µπορούµε να αγνοήσουµε τον παράγοντα A(x) στην (1.20) και να περιοριστούµε µόνο στη µελέτη του γραµµικού µετασχηµατισµού Y = (D + f)y = y + fy. (1.21) Παραλείποντας µια γενικότερη διερεύνηση των επιπτώσεων του µετασχηµατισµού (1.21) σε µια τυχούσα δευτεροτάξια εξίσωση, θα δείξουµε τώρα ότι µε χρήση αυτού του µετασχηµατισµού και µε κατάλληλη εκλογή της συναρτήσεως f µπορούµε να επιτύχουµε τη µετάβαση y + q(x)y = 0 Y + Q(x)Y = 0, (1.22) δηλαδή το πέρασµα από µια κανονική µορφή σε µια άλλη µε την ίδια ανεξάρτητη µεταβλητή x. Σηµειώστε όµως ότι τώρα δεν έχουµε την ευχέρεια να εκφράσουµε Σηµειώστε ότι στην (1.18), αντίθετα µε την (1.1), χρησιµοποιούµε για τους συντελεστές της εξίσωσης τα πεζά γράµµατα p και q αντί των κεφαλαίων P και Q που είχαν χρησιµοποιηθεί αρχικά. Και ο λόγος είναι απλός. Εδώ θέλουµε να κρατήσουµε τα κεφαλαία γράµµατα P και Q για τη µετασχηµατισµένη εξίσωση ως προς Y, όπως ήδη κάναµε στην περίπτωση της εξίσωσης (1.10).

5 1. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΕ ΕΥΤΕΡΟΤΑΞΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7 το y συναρτήσει του Y παρά µόνο µε χρήση ολοκληρωµάτων οπότε η διαδικασία µετασχηµατισµού της αρχικής εξίσωσης y + qy = 0 δεν µπορεί να γίνει µε αντικατάσταση όπως παλιά π.χ., όπως µε την αλλαγή (1.2) αλλά µε αντικατάσταση του Y = y + fy, στην τελική εξίσωση Y + QY = 0 µε τον σκοπό να εκλεγούν κατάλληλα τόσο το Q όσο και η συνάρτηση µετασχηµατισµού f ώστε η εξίσωση ως προς y που θα προκύψει να συµπίπτει µε την αρχική. Σηµειώστε ακό- µα ότι στη διαδικασία αυτή θα εµφανιστεί και η τρίτη παράγωγος τής y η οποία θα πρέπει να επανεκφραστεί µέσω χαµηλότερων παραγώγων µε χρήση της εξίσωσης που ικανοποιεί η y. ηλαδή y + qy = 0 y = (qy) = (qy + q y). Εκτελώντας το παραπάνω «σχέδιο» θα έχουµε Y + QY = (y + fy) + Q(y + fy) = y + (fy) + Q(y + fy) = (qy + q y) + (fy + 2f y + f y) + (Qy + Qfy) = fy + ( q + 2f + Q)y + ( q + f + Qf)y = 0 και διαιρώντας µε f παίρνουµε την εξίσωση y + Q + 2f q f y + (Qf + f q ) y = 0, f που θα συµπίπτει µε την αρχική (y + qy = 0) µόνο αν είναι Q + 2f q = 0 Q = q 2f (1.23) f και Qf + f q = q, (1.24) f οπότε λόγω και της (1.23) η (1.24) θα γράφεται τελικά ως f 2ff q = 0 (f f 2 q) = 0 f f 2 q = c = σταθερά. (1.25) Όµως η (1.25) είναι µια εξίσωση τύπου Ricatti που µετατρέπεται σε µια γραµ- µική δευτεροτάξια εξίσωση µε τον µετασχηµατισµό f = u u (1.26) Έτσι αποκαλούνται οι εξισώσεις της µορφής y = ay 2 + by + c των οποίων το δεύτερο µέλος είναι ένα δευτεροβάθµιο τριώνυµο ως προς y µε συντελεστές a, b, c που υποτίθενται τυχούσες συναρτήσεις του x. Η ιδιαιτερότητα των εξισώσεων Ricatti έγκειται στο γεγονός ότι ανάγονται σε γραµµικές (2ας τάξεως) µε τον µετασχηµατισµό y = (1/a)(u /u) που τις φέρνει στη µορφή u (b + (a /a))u + acu = 0. Αποδείξτε το.

6 8 ΚΕΦ. 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι που όντως την µετατρέπει στη γραµµική εξίσωση u + (q + c)u = 0, (1.27) που είναι η ίδια µε την αρχική εξίσωση αλλά µε το q + c στη θέση του q και µε c µια τυχούσα σταθερά. Ενώ βέβαια, σύµφωνα µε τις (1.23) και (1.26), η µετασχη- µατισµένη µορφή της αρχικής εξίσωσης θα είναι η ( Y + q + 2 ( u u ) ) Y = 0. (1.28) 2. Η εξίσωση Schrödinger: Από ένα επιλύσιµο δυναµικό σε ένα άλλο: Ο µετασχηµατισµός Darboux Θα δείξουµε τώρα ότι το τελευταίο µας αποτέλεσµα, δηλαδή η απεικόνιση y + qy = 0 Y =y +fy Y + QY = 0, (1.29) µπορεί να χρησιµοποιηθεί άµεσα για την κατασκευή µιας άπειρης αλυσίδας ακριβώς επιλύσιµων δυναµικών δηλαδή ακριβώς επιλύσιµων εξισώσεων Schrödinger µε αφετηρία ένα από αυτά. Ξεκινάµε από την εξίσωση Schrödinger στη «µαθηµατική γραφή» y + ( λ v(x) ) y = 0, (1.30) την οποία προτιµήσαµε έναντι της «φυσικής» µορφής ψ + 2m 2 ( E V (x) ) ψ ψ + ( ɛ U(x) ) ψ = 0 (1.31) [ ɛ = 2mE/ 2, U(x) = 2mV (x)/ 2] για λόγους που θα γίνουν σύντοµα εµφανείς. Με την αντιστοιχία συµβόλων λ ɛ, y ψ το πέρασµα από τη µια µορφή στην άλλη είναι, βεβαίως, τετριµµένο, όπως το ίδιο ισχύει και για τη µετατροπή των αποτελεσµάτων στις συνήθεις µονάδες, που είναι θέµα καθαρής διαστατικής ανάλυσης, αφού (πέρα από την αλλαγή συµβόλων) η (1.30) προκύπτει από την (1.31) επιλέγοντας ένα σύστηµα µονάδων στο οποίο είναι = 2m = 1.

7 2. Η ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRÖDINGER: Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX 9 Αν εφαρµόσουµε τώρα τα αποτελέσµατα της προηγούµενης παραγράφου στην εξίσωση (1.30) δηλαδή για q(x) = λ v(x) θα έχουµε την απεικόνιση y + ( λ v(x) ) y = 0 Y + ( λ V (x) ) Y = 0, (1.32) όπου η σχέση της αρχικής (y) µε τη νέα (Y ) κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από τον τύπο Y = y u u y (1.33) και η σχέση του αρχικού (v) µε το νέο (V ) δυναµικό, από την ( u ) V (x) = v(x) 2, (1.34) u όπου η συνάρτηση µετασχηµατισµού u ικανοποιεί την εξίσωση u + (µ v)u = 0, (1.35) δηλαδή την αρχική εξίσωση Schrödinger, αλλά µε την τυχούσα παράµετρο µ στη θέση της αρχικής ιδιοτιµής λ. Και αυτό δηλαδή η αντικατάσταση του λ µε την τυχούσα παράµετρο µ οφείλεται προφανώς στο γεγονός ότι στην εξίσωση (1.27) εµφανίζεται και η τυχούσα σταθερά c που προστίθεται στην ιδιοτιµή λ (αφού q = λ v(x)) και τη µετατρέπει σε µια τυχούσα άλλη παράµετρο µ άσχετη πλέον µε το λ. Και είναι σηµαντικό να τονίσουµε εδώ ότι χάρις σε αυτό ακριβώς το γεγονός η νέα, ως προς Y, εξίσωση είναι πάλι µια εξίσωση Schrödinger µε ένα νέο δυναµικό V (x) που δεν εξαρτάται από το λ όπως απαιτείται. ιότι, βέβαια, αν το µ στην (1.35) ήταν πάλι το ίδιο το λ η λύση u θα εξαρτιόταν από αυτό θα ήταν δηλαδή u = u(x, λ) οπότε το ίδιο θα συνέβαινε και µε το νέο δυναµικό (1.34). Θα ήταν V = V (x, λ) και η Y + (λ V (x, λ))y = 0 δεν θα ήταν πλέον µια εξίσωση ιδιοτιµών τύπου Schrödinger. Λόγω της µεγάλης σηµασίας τους θα συνοψίσουµε τα προηγούµενα αποτελέσµατα που θα τα επικαλούµαστε στο εξής υπό τον συλλογικό τίτλο ο µετασχη- µατισµός Darboux στον ακόλουθο πίνακα. Πίνακας 1.1 Ο µετασχηµατισµός Darboux y + (λ v)y = 0 Y + (λ V )Y = 0 ( ) Y = y u u u y, V = v 2 u u + (µ v)u = 0

8 10 ΚΕΦ. 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι 3. Υπερδιαπερατά δυναµικά: Η απλούστερη δυνατή εφαρµογή του µετασχηµατισµού Darboux Το απλούστερο δυνατό παράδειγµα εφαρµογής του µετασχηµατισµού Darboux αντιστοιχεί προφανώς στην περίπτωση που το αρχικό δυναµικό v(x) είναι µηδέν ή έχει µια σταθερή τιµή που µπορεί πάντα να γίνει µηδέν µε κατάλληλη εκλογή της στάθµης αναφοράς των δυναµικών ενεργειών του προβλήµατος. Με v(x) = 0 η εξίσωση Schrödinger για τη συνάρτηση µετασχηµατισµού u θα γράφεται ως u + µu = 0, (1.36) όπου µ µια αυθαίρετη παράµετρος που εναπόκειται σε µας να επιλέξουµε κατάλληλα. Από τον τύπο (1.34) για το νέο δυναµικό V (x) είναι φανερό ότι αν επιθυµού- µε το δυναµικό αυτό να µην έχει σηµεία απειρισµού σε πεπερασµένα x δηλαδή στο ανοικτό διάστηµα < x < + θα πρέπει η συνάρτηση u να µην µηδενίζεται σε αυτό το διάστηµα, οπότε το µ θα πρέπει να είναι αρνητικό ώστε οι λύσεις της (1.36) να είναι υπερβολικές και όχι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις που έχουν, βέβαια, άπειρα σηµεία µηδενισµού στο < x < +. Θέτοντας µ = γ 2 (< 0) η (1.36) έχει ως προφανή µη µηδενιζόµενη λύση την για την οποία ο µετασχηµατισµός Darboux δίνει και u = cosh γx (1.37) Y = y γ tanh γx y (1.38) V (x) = 2γ2 cosh 2 γx = (1.39) όπου στον τύπο (1.39) παραθέσαµε και τη µορφή του αντίστοιχου δυναµικού. Όπως βλέπετε, πρόκειται για ένα πηγάδι δυναµικού (potential well) και ως τέτοιο οφείλει να έχει τουλάχιστον µία δέσµια κατάσταση. Πράγµατι, όπως θα δείξουµε αµέσως και τελείως γενικά η εξίσωση Schrödinger για το δυναµικό V (x) έχει ως λύση, για λ = µ = γ 2, τη συνάρτηση Y = 1 u = 1 cosh γx = (1.40) Αυτό ισχύει για κάθε µονοδιάστατο πηγάδι όσο ρηχό και αν είναι, υπό τον όρο ότι έχει «ισοϋψή χείλη» στο ±. Είναι δηλαδή lim V (x) = lim V (x). x + x

9 3. ΥΠΕΡ ΙΑΠΕΡΑΤΑ ΥΝΑΜΙΚΑ 11 που έχει όλα τα χαρακτηριστικά µιας δέσµιας λύσης. Η γενική απόδειξη είναι πολύ απλή. Σηµειώστε κατ αρχάς ότι για την ειδική τιµή λ = µ ο τύπος του Darboux Y = y (u /u)y δεν δίνει και τις δύο λύσεις της νέας εξίσωσης Schrödinger διότι τότε είναι και y = u, οπότε θα έχουµε Y = 0. Όµως ως εξίσωση 2ας τάξεως η αρχική εξίσωση Schrödinger (πάντα για την ειδική περίπτωση λ = µ) θα έχει εκτός από την y 1 = u και µια δεύτερη λύση y 2 = u για την οποία ο µετασχηµατισµός Darboux θα δώσει Y = u u u u = u u u u W (u, u) 1 u u u, (1.41) όπου W (u, u) uu u u η βρονσκιανή των δύο λύσεων y 1 = u και y 2 = u της εξίσωσης y + (µ v)y = 0 που θα είναι ίση µε µια σταθερά αφού η εξίσωση δεν έχει όρο πρώτης παραγώγου. είξαµε λοιπόν ότι όντως το νέο δυναµικό (1.39) που προκύπτει από το δυναµικό v = 0 µε τον µετασχηµατισµό Darboux, έχει µια δέσµια κατάσταση στη «θέση» λ = γ 2 που αντιστοιχεί στην εκλεγείσα τιµή της παραµέτρου µ. Όµως το πιο ενδιαφέρον χαρακτηριστικό του δυναµικού (1.39) γνωστού και ως δυναµικού Bargmann ( ) είναι µια πολύ σπάνια ιδιότητά του που αποδίδεται µε τον όρο re ectionless potential και σε ελληνική απόδοση υπερδιαπερατό ή µη ανακλαστικό ή και διαφανές δυναµικό. Μια σύντοµη εισαγωγή στις σχετικές έννοιες είναι αναγκαία και συµπυκνώνεται επαρκώς στο Σχήµα 1.1. Θα δείξουµε τώρα ότι ειδικά για το πηγάδι δυναµικού που βρήκαµε εξίσωση (1.39) το πλάτος ανάκλασης r(k) θα µηδενίζεται και εποµένως το σωµατίδιο θα έχει µηδενική πιθανότητα να ανακλαστεί οποιαδήποτε και αν είναι η ενέργειά του ή ο «κυµαταριθµός» k που την προσδιορίζει µέσω της σχέσης ɛ λ = k 2. Γι αυτό το σκοπό εισάγουµε στη σχέση (1.38) τη λύση y k = e ikx της αρχικής εξίσωσης Schrödinger για λ = k 2 (θετικές ενέργειες) και παίρνουµε Y k = y k γ tanh γx y k = (ik γ tanh γx)e ikx, (1.42) ( ) Υπενθυµίζουµε στον αναγνώστη ότι για τη βρονσκιανή W = y 1y 2 y 1y 2 δύο γραµµικά ανεξάρτητων λύσεων y 1 και y 2 της εξίσωσης y + P y + Qy = 0 ισχύει ο λεγόµενος τύπος του Abel W = e R P (x)dx, από όπου είναι προφανές ότι για τις δύο λύσεις µιας εξίσωσης στην κανονική µορφή y + q(x)y = 0 θα είναι W = σταθερά. Στην πραγµατικότητα το δυναµικό Bargmann έχει τη γενικότερη µορφή V (x) = V 0/ cosh 2 γx µε τα V 0 και γ ανεξάρτητες παραµέτρους. Και αν το V 0 παίρνει µια οποιαδήποτε από τις διάκριτες τιµές n(n + 1)2mγ 2 / 2 τότε το δυναµικό Bargmann έχει την επιπλέον ιδιότητα της υπερδιαπερατότητας την οποία θα συζητήσουµε τώρα.

10 12 ΚΕΦ. 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι Σχηµα 1.1: Το πρόβληµα της µονοδιάστατης σκέδασης: Ένα σωµατίδιο που προσπίπτει εξ αριστερών στο τυχόν πηγάδι δυναµικού v(x) έχει πάντα µια πιθανότητα να ανακλαστεί και µια (συµπληρωµατική) πιθανότητα να «περάσει». Το εισερχόµενο σωµατίδιο περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση e ikx, το ανακλώµενο από την r(k)e ikx όπου r(k) το πλάτος ανάκλασης (reflection amplitude) και το διερχόµενο από την t(k)e ikx, όπου t(k) το πλάτος διέλευσης (transmission amplitude). Ενώ οι σχετικές πιθανότητες θα είναι r(k) 2 και t(k) 2 αντίστοιχα. οπότε για x ± δηλαδή στη λεγόµενη περιοχή σκέδασης ( µακριά από το σκεδάζον δυναµικό) θα έχουµε Y (±) k Y k (για x ± ) = (ik γ)e ikx (1.43) απ όπου είναι φανερό ότι η λύση σκέδασης Y k του νέου δυναµικού V (x) δεν περιέχει πουθενά και ειδικότερα στην περιοχή x (αριστερά του σκεδάζοντος δυναµικού) ανακλώµενο κύµα e ikx και εποµένως το πλάτος ανάκλασης είναι όντως µηδενικό για κάθε τιµή του k, όπως υποσχεθήκαµε να δείξουµε. Οποιαδήποτε και αν είναι η ενέργειά του το σωµατίδιο που προσπίπτει πάνω στο δυναµικό (1.39) δεν έχει καµιά πιθανότητα να ανακλαστεί! Σηµειώστε ακόµα ότι από τις (1.43) έπεται αµέσως ότι το πλάτος διέλευσης t(k) θα ισούται µε t(k) = ik γ (1.44) ik + γ και είναι ένας µιγαδικός αριθµός µε απόλυτη τιµή µονάδα, όπως θα έπρεπε να αναµένεται, αφού η πιθανότητα ανάκλασης είναι µηδέν και άρα η πιθανότητα διέλευσης ίση µε ένα. εδοµένου ότι η λύση σκέδασης δείτε σχήµα 1.1 έχει συµφωνηθεί να κανονικοποιείται έτσι ώστε το εισερχόµενο κύµα e ikx να έχει συντελεστή µονάδα, η λύση (1.42) θα πρέπει (σύµφωνα µε την (1.43), η οποία δίνει Y ( ) k = (ik + γ)e ikx ), να διαιρεθεί µε ik + γ οπότε ο συντελεστής του διερχόµενου κύµατος θα γίνει (ik γ)/(ik + γ).

11 3. ΥΠΕΡ ΙΑΠΕΡΑΤΑ ΥΝΑΜΙΚΑ 13 Σηµειώστε επίσης ότι η u = cosh γx = (e γx + e γx )/2 δεν είναι η πιο γενική µη µηδενιζόµενη λύση της (1.36) (µε µ = γ 2 ) που µπορούσαµε να έχουµε χρησιµοποιήσει για την εφαρµογή του µετασχηµατισµού Darboux. Η πιο γενική τέτοια λύση είναι η u = e γx + ce γx (c > 0) (1.45) για την οποία το αντίστοιχο δυναµικό είναι e 2γx V (x) = 8cγ 2 (e 2γx + c) 2 (1.46) και έχει πάλι τη µορφή ενός πηγαδιού, όχι όµως συµµετρικού ως προς την αρχή όπως προηγουµένως. Στην πραγµατικότητα το δυναµικό (1.46) δεν είναι παρά µια µετατοπισµένη µορφή του δυναµικού (1.39), όπως µπορείτε εύκολα να επιβεβαιώσετε κάνοντας στην (1.46) την αντικατάσταση c = exp(2γa) οπότε θα είναι V (x) = 2γ 2 / cosh 2 (x a). Ανεξαρτήτως όµως αυτού του ειδικού γεγονότος (όντως ειδικού όπως θα δούµε αργότερα) το σίγουρο είναι ότι η (1.46) περιγράφει µια µονοπαραµετρική οικογένεια δυναµικών που έχουν όλα τον ίδιο συντελεστή ανάκλασης (µηδέν στην περίπτωσή µας) τις ίδιες δέσµιες καταστάσεις (µία στην περίπτωσή µας) και επίσης το ίδιο πλάτος διέλευσης, όπως µπορείτε µόνοι σας να δείτε. Από φυσικής πλευράς (αλλά όχι µόνο) αυτό είναι ένα πολύ βαθύ αποτέλεσµα παρότι τετριµµένο στην παρούσα ειδική περίπτωση. Σηµαίνει ότι η γνώση του πλάτους ανάκλασης r(k) για κάθε k αλλά και των «θέσεων» των δέσµιων καταστάσεων δεν αρκεί για τον µονοσήµαντο προσδιορισµό του δυναµικού v(x). Μπορεί να υπάρχουν όχι µόνο ένα αλλά άπειρα δυναµικά v(x) που έχουν τα ίδια παραπάνω φυσικά χαρακτηριστικά και όµως δεν ταυτίζονται! Ώστε ευλόγως να τίθεται το ερώτηµα: Τι άλλα φασµατικά δεδοµένα θα πρέπει να γνωρίζουµε ώστε να είναι δυνατός ο µονοσήµαντος προσδιορισµός του σχετικού δυναµικού; Το ερώτηµα αυτό βρίσκεται στην καρδιά του λεγόµενου αντίστροφου προβλήµατος σκέδασης (inverse scattering problem) για το οποίο θα έχουµε πολλά να πούµε στη συνέχεια του βιβλίου. Θα κλείσουµε τούτη την παράγραφο µε κάποια αναγκαία σχόλια. Σχολιο 1: Κοιταγµένη από µια ορισµένη σκοπιά η βασική ιδιότητα του δυναµικού που κατασκευάσαµε δηλαδή η µη ανακλαστικότητά του θα έπρεπε να αναµένεται. Του κληροδοτήθηκε από το αρχικό δυναµικό v = 0 που είναι βεβαίως το προφανές (και αυτονόητο) υπόδειγµα ενός υπερδιαπερατού δυναµικού. εν εξετάζουµε την εκδοχή u = c 1e γx + c 2e γx διότι ένας αριθµητικός πολλαπλασιαστικός παράγοντας στη συνάρτηση u δεν παίζει κανένα ρόλο στο µετασχηµατισµό Darboux, αφού εκεί µόνο η παράσταση u /u έχει σηµασία.

12 14 ΚΕΦ. 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι Σχολιο 2: Η εφαρµογή του µετασχηµατισµού Darboux δεν σταµατάει βεβαίως στο πρώτο βήµα της. Μπορεί να συνεχίζεται επ άπειρον θεωρώντας κάθε φορά το δυναµικό που «φτιάξαµε» ως το αρχικό και εφαρµόζοντας εκ νέου την ίδια τεχνική. Όπως θα δούµε στο µεθεπόµενο κεφάλαιο (αλλά και στην παράγραφο που ακολουθεί) η έξυπνη εφαρµογή αυτού του «αλγορίθµου» ιδιαίτερα στο δεύτερο βήµα του εµπεριέχει κάποιες πολύ ενδιαφέρουσες δυνατότητες. 4. Ιδιόµορφα δυναµικά: Μια δεύτερη στοιχειώδης εφαρµογή του µετασχηµατισµού Darboux Ας διευκρινήσουµε κατ αρχάς ότι µε τον όρο ιδιόµορφα δυναµικά (singular potentials) εννοούµε δυναµικά που απειρίζονται σε ένα ή περισσότερα σηµεία του άξονα x. Και, ως συνέπεια αυτού του γεγονότος, η κίνηση του κβαντικού σωµατιδίου που υπόκειται σε ένα τέτοιο δυναµικό περιορίζεται στο διάστηµα µεταξύ δύο σηµείων απειρισµού, αφού το δυναµικό λειτουργεί τότε ως άπειρο φράγµα σε αυτά τα σηµεία, που εµποδίζει το σωµατίδιο να περάσει από την άλλη µεριά. (Ο καθαρά µαθηµατικός µηχανισµός που επιβάλλει αυτό τον εγκλωβισµό θα συζητηθεί λίγο αργότερα.) Επιλύσιµα ιδιόµορφα δυναµικά µπορούν, βεβαίως, να παραχθούν «αφθόνως» µε τον µετασχηµατισµό Darboux αρκεί να επιλεγούν λύσεις u(x) της βοηθητικής εξίσωσης Schrödinger u + (µ v(x))u = 0, µε ένα ή περισσότερα σηµεία µηδενισµού στον άξονα x. Παίρνοντας πάλι ως αφετηρία το µηδενικό δυναµικό v(x) = 0, µερικά ενδεικτικά παραδείγµατα θα είναι τα εξής: ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: ( v(x) = 0, µ = 0 ) Με v(x) = 0 και µ = 0 η βοηθητική εξίσωση Schrödinger u +(µ v(x))u = 0 καταλήγει στην u = 0 u = x και εποµένως V (x) = 0 2 ( ) 1 = 2 x x 2 = (1.47) Βρίσκουµε δηλαδή ένα απωστικό δυναµικό, µε απειρισµό του τύπου 1/x 2, που υποχρεώνει το σωµατίδιο να κινηθεί µόνο πάνω στον θετικό ηµιάξονα x. Το ενεργειακό φάσµα σε ένα τέτοιο δυναµικό είναι βεβαίως συνεχές και θα εκτείνεται στο διάστηµα 0 < λ <. Όσο για τις κυµατοσυναρτήσεις Y k που ικανοποιούν και τη συνοριακή συνθήκη Y k (0) = 0 αυτονόητη από φυσική άποψη αφού το σωµατίδιο δεν µπορεί να περάσει στα αρνητικά x αυτές θα προκύπτουν από τον τύπο Y k = y k u u y k = y k 1 x y k (1.48)

13 4. Ι ΙΟΜΟΡΦΑ ΥΝΑΜΙΚΑ 15 θέτοντας y k = sin kx, που δεν είναι παρά η λύση της αρχικής εξίσωσης Schrödinger (µε λ = k 2 ) που ικανοποιεί επίσης της συνθήκη µηδενισµού στο αδιαπέραστο τοίχωµα στο x = 0. Θα είναι λοιπόν, βάσει της (1.48), Y k = k cos kx 1 sin kx. x Αν θέλουµε τώρα να προχωρήσουµε τον µετασχηµατισµό Darboux ένα βήµα πιο πέρα, θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε τις λύσεις U(x) της νέας βοηθητικής εξίσωσης Schrödinger U + (µ 2x ) 2 U = 0 (1.49) και να υπολογίσουµε το νέο δυναµικό U(x) βάσει του τύπου ( ) U U(x) = V (x) 2. (1.50) U Επιλέγοντας πάλι την τιµή µ = 0, η (1.49) γίνεται µια εξίσωση Euler µε λύσεις x 2 και x 1, εκ των οποίων η πρώτη εισαγόµενη στην (1.50) µε V (x) = 2/x 2 δίνει U(x) = 6 x x 2 (1.51) και είναι φανερό πλέον από την (1.51) ότι η συνέχιση του αλγορίθµου Darboux πάνω στην ίδια «τροχιά» θα δώσει ύστερα από n βήµατα το δυναµικό n(n + 1)/x 2, που δεν είναι παρά το γνωστό από την τριδιάστατη κεντρική κίνηση φυγόκεντρο δυναµικό µε τις γνωστές κβαντωµένες τιµές της στροφορµής του σωµατιδίου. Τέλος, διερευνήστε µόνοι σας τι συµβαίνει αν στο δεύτερο στάδιο εφαρµογής του αλγορίθµου επιλέξουµε τη λύση U(x) = x 1, και βγάλτε τα αναγκαία γενικά συµπεράσµατα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: ( v(x) = 0, µ < 0 ) Μένοντας στο v(x) = 0 ως αρχικό δυναµικό, αλλά µε µ = γ 2 στη βοηθητική εξίσωση Schrödinger, θα έχουµε τώρα ως λύση µε µηδενικά την u = sinh γx, οπότε το νέο ιδιόµορφο δυναµικό θα είναι το V (x) = 0 2 ( ) γ cosh γx = 2γ2 sinh γx sinh 2 γx = (1.52) Οποτεδήποτε χρειαστεί να «προχωρήσουµε» τον µετασχηµατισµό Darboux ένα ακόµα βήµα, θα χρησιµοποιούµε τα σύµβολα U, U και Ψ για τη λύση της βοηθητικής εξίσωσης Schrödinger, το δυναµικό και τη νέα κυµατοσυνάρτηση αντίστοιχα.

14 16 ΚΕΦ. 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι πήραµε δηλαδή ξανά ένα απωστικό δυναµικό µε την ίδια συµπεριφορά όπως πριν δηλαδή 2/x 2 για µικρά x. Και αν συνεχίσετε τον αλγόριθµο πάνω στην ίδια «τροχιά» δηλαδή µε το ίδιο µ και µε τη λύση που έχει κόµβο στο x = 0 θα καταλήξετε, ύστερα από n βήµατα, στο δυναµικό n(n+1)γ 2 / sinh 2 γx, που συµπεριφέρεται επίσης ως n(n+1)/x 2 για µικρά x. Υπάρχει βεβαίως και η δυνατότητα να επιλέξουµε στο δεύτερο βήµα είτε ένα διαφορετικό µ είτε µια διαφορετική λύση για το ίδιο µ, αλλά τη σχετική διερεύνηση θα την αφήσουµε σ εσάς. Σκεφτείτε απλώς ότι οι λύσεις της δεύτερης βοηθητικής εξίσωσης Schrödinger θα προκύπτουν επίσης µε εφαρµογή του µετασχηµατισµού Darboux αν µ 2 µ 1 = µ ή θα κατασκευαστούν χωριστά αν µ 2 = µ 1 = µ λαµβάνοντας υπ όψιν ότι τότε η µία λύση θα είναι η U 1 = (sinh γx) 1 και η δεύτερη θα βρεθεί µε εφαρµογή του τύπου y 2 = y 1 (W (x)/y 2 1 )dx που δίνει τη δεύτερη λύση µιας δευτεροτάξιας γραµ- µικής εξίσωσης όταν η πρώτη είναι ήδη γνωστή. (W (x) είναι, βεβαίως, η βρονσκιανή της εξίσωσης και θα ισούται µε µονάδα στην περίπτωσή µας. Γιατί;) Σηµειώστε τέλος ότι και τούτο το δυναµικό όπως και το προηγούµενο έχει αποκλειστικά συνεχές φάσµα, µε λ = k 2, και οι σχετικές λύσεις σκέδασης που ικανοποιούν και τη συνοριακή συνθήκη Y k (0) = 0 θα είναι οι Y k = y k γ tanh γx y k yk =sin kx = k cos kx γ sin kx tanh γx και πράγµατι µηδενίζονται για x 0, όπως µπορείτε εύκολα να δείτε. Ενώ στην ασυµπτωτική περιοχή x + θα έχουµε όπου Y (+) k = k cos kx γ sin kx k 2 + γ 2 sin(kx + δ), δ = δ(k) = tan 1 (k/γ) είναι η λεγόµενη φασική µετατόπιση (phase shift), η οποία «µετράει» την επίδραση του εξεταζόµενου δυναµικού πάνω σε ένα σωµατίδιο που σκεδάζεται από αυτό. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: ( v(x) = 0, µ > 0 ) Θέτοντας τώρα µ = k 2 στη βοηθητική εξίσωση Schrödinger, θα έχουµε ως λύσεις µε µηδενικά και µάλιστα µε άπειρα µηδενικά τις sin kx και cos kx. Επιλέγοντας την πρώτη παίρνουµε V (x) = 0 2 ( ) k cos kx = 2k2 sin kx sin 2 kx = (1.53) βρίσκουµε δηλαδή ένα απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού στο διάστηµα 0 < x < π/k, το οποίο όµως δεν είναι πια «απότοµο» όπως το γνωστό όπου το δυναµικό «πηδάει» ασυνεχώς από το µηδέν στο άπειρο στα σηµεία x = 0 και x = L αλλά οµαλό, αφού περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση που πλησιάζει κατά συνεχή τρόπο το άπειρο στα

15 4. Ι ΙΟΜΟΡΦΑ ΥΝΑΜΙΚΑ 17 συγκεκριµένα σηµεία. Όπως είναι φανερό από τη µορφή του, το δυναµικό (1.53) θα έχει αποκλειστικά διάκριτο φάσµα, µε ιδιοτιµές και ιδιοσυναρτήσεις που θα προκύψουν από τον µετασχηµατισµό Darboux Y = y (u /u)y αν σκεφτούµε ότι για να ικανοποιεί η Y (x) τις συνοριακές συνθήκες Y (0) = Y (L) = 0 θα πρέπει να τις ικανοποιεί επίσης και η y(x). Έτσι οι ιδιοτιµές του νέου (οµαλού) απειρόβαθου πηγαδιού θα είναι όπως και του γνωστού, δηλαδή οι λ n = n 2, όπου δεχτήκαµε για λόγους απλότητας ότι k = 1 L = π. Στις ίδιες µονάδες οι ιδιοσυναρτήσεις y n του αρχικού πηγαδιού θα είναι οι y n = sin nx και του νέου οι Y n = y n cos x sin x y n = n cos nx cos x sin nx. (1.54) sin x Σηµειώστε όµως ότι για n = 1 η (1.54) δίνει Y 1 = 0 όπως θα έπρεπε να αναµένεται, αφού τότε είναι λ = µ(= k 2 ) = 1 και όπως γνωρίζουµε ο µετασχηµατισµός Darboux δεν δίνει τη λύση σε αυτή την περίπτωση. εδοµένου ακόµα ότι η 1/u για u = sin x δεν έχει τα «προσόντα» µιας δέσµιας κατάστασης, το συµπέρασµα από τα παραπάνω είναι ότι το νέο απειρόβαθο πηγάδι που κατασκευάσαµε έχει όλες τις ιδιοτιµές του παλιού πλην της πρώτης. Θα είναι δηλαδή λ n = n 2 n 2 (1.55) Ως έλεγχο αυτού του συµπεράσµατος ας δούµε αν όντως ο τύπος (1.54) µε n = 2 δίνει µια ιδιοσυνάρτηση Y 2 µε τα απαιτούµενα χαρακτηριστικά µιας θεµελιώδους καταστάσεως όπως θα πρέπει να είναι η n = 2 σύµφωνα µε την (1.55). Θα έχουµε Y 2 = 2 cos 2x sin x cos x sin 2x = 2(cos2 x sin 2 x) cos x 2 sin x cos x sin x Y 2 = 2 sin 2 x sin 2 x και πράγµατι η ιδιοσυνάρτηση αυτή µηδενίζεται µόνο στα άκρα x = 0 και x = π του διαστήµατος 0 < x < π και άρα αντιπροσωπεύει τη θεµελιώδη κατάσταση του νέου πηγαδιού. ιαπιστώνουµε έτσι όχι χωρίς ικανοποίηση ότι ο µετασχηµατισµός Darboux µπορεί να µας δώσει «δυναµικά-απογόνους» όχι µόνο της αδέσµευτης ελεύθερης κίνησης (τα υπερδιαπερατά δυναµικά) αλλά και της περιορισµένης σε ένα διάστηµα ελεύθερης κίνησης, οπότε τα «δυναµικά-απόγονοι» είναι τα οµαλά απειρόβαθα πηγάδια που βρήκαµε πριν. Και µπορείτε επίσης να δείτε µόνοι σας ότι η συνέχιση του αλγορίθµου Darboux πάνω στην ίδια «τροχιά» µπορεί να δώσει όλη την οικογένεια δυναµικών της µορφής N(N + 1)/ sin 2 x, όπου το N θα δηλώνει τώρα το πλήθος των δέσµιων καταστάσεων του αρχικού πηγαδιού που έχουν «αφαιρεθεί». Θα είναι δηλαδή πάλι λ n = n 2 αλλά µε n N + 1. Ενώ τα ίδια αποτελέσµατα θα ισχύουν και για την οικογένεια δυναµικών N(N + 1)/ cos 2 x που προκύπτουν µε επιλογή της λύσης u = cos x. Και τα οποία βέβαια δεν είναι παρά µια µετατοπισµένη (κατά π/2) µορφή των προηγούµενων.

16 18 ΚΕΦ. 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι Στην επόµενη παράγραφο θα έχουµε την ευκαιρία να δούµε ότι όχι µόνο το δυναµικό Bargmann µε τυχούσα ισχύ, αλλά και τα οµαλά απειρόβαθα πηγάδια τούτης της παραγράφου είναι ακριβώς επιλύσιµα µε τυχούσα ισχύ V 0 και όχι µόνο για τις τιµές N(N + 1) που δίνει ο µετασχηµατισµός Darboux. Και θα επιβεβαιωθεί έτσι κάτι που ήδη υποψιάζεται ο αναγνώστης. Ότι ο µετασχηµατισµός Darboux παράγει δυναµικά µε κάποιες πολύ ειδικές ιδιότητες. Ποιες να είναι άραγε αυτές στην τωρινή περίπτωση; 5. Τα «αρχικά» επιλύσιµα δυναµικά. Ο µετασχηµατισµός Liouville Το αυτονόητο ερώτηµα που τίθεται από τα προηγούµενα είναι βεβαίως τούτο. Ποια είναι τα «δυναµικά εκκίνησης» για την εφαρµογή του αλγορίθµου Darboux; ηλαδή, ποια είναι τα αρχικά επιλύσιµα δυναµικά επί των οποίων θα εφαρµοστεί ο αλγόριθµος για να παράξει νέα; Από την πλευρά ενός µαθηµατικού µπορεί να τεθεί και ένα άλλο ερώτηµα: Γιατί θα πρέπει να µας απασχολήσει τόσο πολύ η εξίσωση Schrödinger; Πέραν των εφαρµογών της, έχει κάτι το ειδικό ως καθαρά µαθηµατική εξίσωση ώστε να αξίζει να προσελκύσει την προσοχή µας και από µαθηµατικής σκοπιάς; Παραδόξως οι απαντήσεις και στα δύο αυτά ερωτήµατα είναι αλληλένδετες. Αρχίζοντας µε το δεύτερο ερώτηµα θα δείξουµε αµέσως ότι: ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε εξίσωση ιδιοτιµών δεύτερης τάξης δηλαδή κάθε εξίσωση της µορφής Ly = λy : L = a(x)d 2 + b(x)d + c(x) (1.56) µπορεί πάντα να αναχθεί στην εξίσωση Schrödinger για κάποιο κατάλληλο δυναµικό v(x). y + ( λ v(x) ) y = 0 (1.57) Η απόδειξη είναι πολύ απλή. Πηγαίνοντας όλους τους όρους στο πρώτο µέλος και διαιρώντας µε τον συντελεστή a(x) της δευτέρας παραγώγου, η (1.56) γράφεται στην ισοδύναµη µορφή y + P (x)y + ( Q 0 (x) + λq 1 (x) ) y = 0, (1.58) όπου P (x) = b(x)/a(x), Q 0 (x) = c(x)/a(x) και Q 1 (x) = 1/a(x). Όµως η (1.58) µετατρέπεται αµέσως στην κανονική µορφή Y + I(x, λ)y = 0 (1.59) Αυτή θα είναι στο εξής µια εναλλακτική ονοµασία του µετασχηµατισµού Darboux η οποία λαµβάνει υπ όψιν και το γεγονός ότι πρόκειται στην ουσία για µια αλγοριθµική διαδικασία που µπορεί να εφαρµοστεί «κατ εξακολούθησιν».

17 5. ΤΑ «ΑΡΧΙΚΑ» ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LIOUVILLE 19 µε το γνωστό µετασχηµατισµό y = gy, όπου g = exp( 1 2 P (x)dx) και I(x, λ) = λq 1 + Q P 1 4 P 2. (1.60) Έτσι η (1.56) παίρνει τελικά τη λεγόµενη µορφή Liouville y + ( λw v(x) ) y = 0, (1.61) που είναι όπως µια εξίσωση Schrödinger αλλά µε την ιδιοτιµή λ να έχει πολλαπλασιαστεί µε µια συνάρτηση βάρους w(x) που αποκαλείται έτσι διότι εµφανίζεται στο εσωτερικό γινόµενο των ιδιοσυναρτήσεων, το οποίο, αντί της συνήθους µορφής y n y mdx, γράφεται τώρα ως w(x)y n y mdx. Σύµφωνα µε την (1.60) θα είναι λοιπόν w(x) = Q 1, v(x) = 1 2 P P 2 Q 0. (1.62) Το τελευταίο βήµα είναι να δείξουµε ότι µια εξίσωση τύπου Liouville, όπως η (1.61), µπορεί να αναχθεί στην εξίσωση Schrödinger, δηλαδή πάλι σε µια εξίσωση τύπου Liouville αλλά µε w = 1. Γι αυτό το σκοπό δεν έχουµε παρά να εφαρµόσουµε τον µετασχηµατισµό της 1 (εξ. (1.10)-(1.14)) y + qy = 0 Y (t)=y(x(t))/ ẋ(t) Ÿ + Q(t)Y = 0, (1.63) όπου Q(t) = qẋ 2 + {x, t} µε {x, t} όπως στην (1.14). Έτσι θα έχουµε Ÿ + ( (λw v)ẋ 2 + {x, t} ) Y = 0, (1.64) οπότε αν η συνάρτηση µετασχηµατισµού x(t) εκλεγεί έτσι ώστε wẋ 2 = 1 dt dx = w(x) t(x) = w(x) dx, (1.65) τότε η (1.64) θα γράφεται ως Ÿ + ( λ V (t) ) Y = 0, (1.66) Και βέβαια ως προς αυτό το εσωτερικό γινόµενο οι ιδιοσυναρτήσεις της (1.61) που ικανοποιούν κάποιες κλάσεις συνοριακών συνθηκών π.χ. τις y(a) = y(b) = 0 είναι ορθογώνιες. Είναι δηλαδή (y n, y m) = Z b n w(x)y n(x)y m(x) dx = 0 όπου y n και y m οι λύσεις της (1.61) που αντιστοιχούν στις διαφορετικές ιδιοτιµές λ n και λ m.

18 20 ΚΕΦ. 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι δηλαδή ως µια εξίσωση Schrödinger ως προς τη µεταβλητή t και µε ένα νέο δυνα- µικό V (t) ίσο µε V (t) = v(x) w(x) {x, t} (1.67) x=x(t) που γράφεται επίσης ως ( ) v(x) {t, x} V (t) = w(x) αν ληφθεί υπ όψιν ότι (δείξτε το) {x, t} = x=x(t) (1.68) {t, x} {t, x} t 2 = w(x). (1.69) είξαµε λοιπόν ότι πράγµατι κάθε εξίσωση ιδιοτιµών της γενικής µορφής Ly = λy όπου L ένας τυχών δευτεροτάξιος διαφορικός τελεστής µπορεί να αναχθεί στην εξίσωση Schrödinger η οποία αποκτά έτσι και ένα καθαρά µαθηµατικό περιεχόµενο. Είναι η θεµελιώδης εξίσωση του προβλήµατος ιδιοτιµών δευτέρας τάξεως. Ή διαφορετικά: Είναι η κανονική µορφή του προβλήµατος ιδιοτιµών δευτέρας τάξεως. Για προφανείς λόγους ο µετασχηµατισµός που µας οδήγησε στο παραπάνω αποτέλεσµα που είναι ξανά µια µετάβαση από µια κανονική µορφή σε µια άλλη (τύπος (1.63)) θα αποκαλείται στο εξής (για λόγους εύκολης συνεννόησης) µετασχηµατισµός Liouville και θα αποτελέσει µαζί µε τον µετασχηµατισµό Darboux ένα από τα βασικά µας εργαλεία για την ακριβή επίλυση, ή τη µελέτη, της εξισώσεως Schrödinger. Για τη χρήση του µετασχηµατισµού Liouville ως εργαλείου επίλυσης, η βασική ιδέα είναι πολύ απλή. Από κάθε ακριβώς επιλύσιµη εξίσωση της µορφής (1.61) που συµβαίνει να γνωρίζουµε, να δηµιουργούµε µια ακριβώς επιλύσιµη εξίσωση Schrödinger δηλαδή ένα ακριβώς επιλύσιµο δυναµικό χρησιµοποιώντας αυτό το µετασχηµατισµό. Μερικά παραδείγµατα θα σας πείσουν πόσο «παραγωγική» µπορεί να είναι αυτή η ιδέα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Ξεκινάµε από την εξίσωση y + (A + Bx + Cx ) 2 y = 0 (1.70) που γνωρίζουµε ότι είναι ακριβώς επιλύσιµη, αφού πρόκειται για την εξίσωση Schrödinger ( y + λ ( gx + Gx )) 2 y = 0 (1.71)

19 5. ΤΑ «ΑΡΧΙΚΑ» ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LIOUVILLE 21 για το δυναµικό Coulomb ( g/x) σε συνδυασµό µε τον φυγόκεντρο όρο (G/x 2 ) αλλά µε τυχούσα ισχύ G αντί της συνήθους έκφρασης 2 l(l + 1)/2m που εµφανίζεται στην ακτινική εξίσωση του γνωστού τριδιάστατου προβλήµατος (βλ., π.χ., Σ. Τραχανάς, Κβαντοµηχανική Ι, σελ. 382). Και δεδοµένου ότι οι παράµετροι λ, g και G στην (1.71) είναι κατ αρχήν αυθαίρετες, η εξίσωση (1.70) είναι ακριβώς επιλύσιµη για κάθε δυνατή τιµή των A, B και C. Ένα παράδειγµα εφαρµογής του µετασχηµατισµού Liouville στην (1.70) είναι να την γράψουµε ως ( λ y + x 2 + A + B x + C ) x 2 y = 0 (1.72) που είναι, βέβαια, η ίδια µε την (1.70) αφού ο πρώτος και ο τελευταίος όρος µέσα στην παρένθεση αθροίζονται στον (λ + C)/x 2 που είναι ξανά ο αρχικός όρος, εφόσον το λ + C είναι πάλι µια αυθαίρετη σταθερά. Με w(x) = 1/x 2 θα έχουµε w(x) dx t = dx = x = ln x x = et {x, t} = 1/4 και εποµένως (αγνοώντας πρόσηµα αφού οι εµφανιζόµενες παράµετροι είναι αυθαίρετες και προσθετικές σταθερές που δεν έχουν φυσική σηµασία) θα έχουµε A + B V (t) = x + C x 2 1/x 2 x=e t {x, t} = Ae 2t + Be t και αν επανέλθουµε σε φυσικό συµβολισµό για τη µαθηµατική µεταβλητή t ( ) την πούµε x αντί t παίρνουµε τελικά ως επιλύσιµο δυναµικό το λεγόµενο δυναµικό Morse V (x) = Ae 2λx + Be λx, (1.73) όπου κάναµε επιπλέον και την ανακλιµάκωση x λx η οποία σίγουρα δεν επηρεάζει την επιλυσιµότητα, αφού είναι πρακτικά ισοδύναµη µε απλή αλλαγή µονάδων. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: (Χωρίς λόγια!) εξίσωση εκκίνησης: y + (A + Bx + Cx ) 2 y = 0 ( ) Όπως θα δούµε στο επόµενο κεφάλαιο, η ακριβής επιλυσιµότητα της (1.70) θα είναι προφανής και χωρίς καµιά προηγούµενη σχετική γνώση. Εναλλακτικά, θα µπορούσαµε να έχουµε αποκαλέσει τη µεταβλητή της αρχικής εξίσωσης ως t και τη νέα ως x αλλά αυτές είναι διαδικαστικές λεπτοµέρειες χωρίς ουσιώδες περιεχόµενο.

20 22 ΚΕΦ. 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι ( λ εξίσωση τύπου Liouville: y + x + A + B x + C ) x 2 y = 0 w(x) = 1 dx x t = x 1/2 x = t 2 x {x, t} = 1 2 (ẍ ẋ ) 1 4 A + B V (t) = x + C x 2 (1/x) (ẍ ẋ x=t 2 ) 2 = 3 4t 2 {x, t} = At 2 + B t 2 + σταθερά V (x) = Ax 2 + B x 2 (1.74) όπου στα παραπάνω υιοθετήσαµε µια σειρά αυτονόητων απλοποιήσεων και συµβάσεων όπως, π.χ., το να αγνοούµε τον τυχόν αριθµητικό συντελεστή στη σχέση του t µε το x ή αντίστροφα και επίσης να µετονοµάζουµε συνεχώς (επί το κοµψότερο) τις σταθερές A, B, C εφόσον είναι αυθαίρετες, ή να αγνοούµε προσθετικές σταθερές στην έκφραση του τελικού δυναµικού που δεν έχουν φυσική (ή άλλη) σηµασία. Το αποτέλεσµα (1.74) είναι, βέβαια, πολύ αξιοµνηµόνευτο. Πρόκειται για τον αρµονικό ταλαντωτή µε τον γνωστό κεντρόφυγο όρο. Και προήλθε βεβαίως από το δυναµικό Coulomb µέσω του µετασχηµατισµού Liouville. Φτάσαµε έτσι στο πολύ ενδιαφέρον συµπέρασµα ότι τα δυναµικά Coulomb και αρµονικού ταλαντωτή είναι διασυνδεόµενα δηλαδή µπορούν να απεικονιστούν το ένα στο άλλο και άρα οι λύσεις του ενός µπορούν να εκφραστούν µέσω των λύσεων του άλλου. Το οποίο σηµαίνει, µεταξύ άλλων, ότι τα σχετικά πολυώνυµα Laguerre και Hermite συνδέονται µεταξύ τους µε τον τρόπο που υποδεικνύουν οι παραπάνω πράξεις. Ας µην εκπλαγεί λοιπόν ο αναγνώστης αν συναντήσει «διασυνδέσεις» τέτοιου τύπου στη βιβλιογραφία. Σύµφωνα µε τα παραπάνω θα πρέπει να τις περιµένει. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: (Πάλι µε την ίδια αρχική εξίσωση.) εξίσωση εκκίνησης: y + (A + Bx + Cx ) 2 y = 0 ( εξίσωση τύπου Liouville: y + λ (1 + 1x ) 2 + A + Bx + Cx ) 2 y = 0 t = x 2 dx = 1 + x 2 x + ln 1 + (1.75) 1 + x 2

ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ

ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΤΡΑΧΑΝΑΣ ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ªÈ Û ÛÙËÌ ÙÈÎ Ó ÙËÛË E-BOOK ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ I Ú ÙÈÎ ˆÚ ÁÎÚËÙÈÎ EÓÒÛˆ AÌÂÚÈÎ HΡΑΚΛΕΙΟ 2011 Π ANEΠIΣTHMIAKEΣ E KΔOΣEIΣ K PHTHΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

x L I I I II II II Ακόµα αφού η συνάρτηση στην θέση x=0 είναι συνεχής, έχουµε την παρακάτω συνθήκη. ηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις είναι

x L I I I II II II Ακόµα αφού η συνάρτηση στην θέση x=0 είναι συνεχής, έχουµε την παρακάτω συνθήκη. ηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις είναι Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδι3α(ΑΚΠ3α), x > Θεωρούµε κβαντικό πηγάδι µε δυναµικό της µορφής V( x) x Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για (α) c> και (β) c< Για την περίπτωση (α) να µελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες. ΘΕΜΑ [5575] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Αυγούστου ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης,5 ώρες (α) Να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε µη εξαρτώµενο από τον χρόνο τελεστή Α, ισχύει d A / dt = A,

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι

Διαβάστε περισσότερα

y(x) = g(x) Y (x), (1) y + P y + Qy = 0 (2)

y(x) = g(x) Y (x), (1) y + P y + Qy = 0 (2) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ Ι ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΟΥ ΙΑΤΗΡΟΥΝ ΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΑΣ ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΚΑΙ Η ΧΡΗΣΗ ΤΟΥΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΑΚΡΙΒΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ «ΒΟΗΘΗΤΙΚΩΝ» ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΥ ΣΥΝΑΝΤΩΝΤΑΙ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ Περιεχοµενα

Διαβάστε περισσότερα

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n 3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο νόμος της χρονικής μεταβολής των μέσων τιμών και το

Διαβάστε περισσότερα

( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε

( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Γενάρη ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες ΘΕΜΑ [555555553] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιγράφεται από την Χαµιλτονιανή H 3ε µ iε µε ιδιοσυναρτήσεις κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής.

Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 55 Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Η δισδιάστατη γραμμική δυναμική ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από ένα σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

z=± Η εξίσωση αυτή μας λέει αμέσως ότι η συνάρτηση Green σε δύο διαστάσεις είναι

z=± Η εξίσωση αυτή μας λέει αμέσως ότι η συνάρτηση Green σε δύο διαστάσεις είναι στο άπειρο το αποτέλεσμα απειρίζεται λογαριθμικά. Αυτή η συμπεριφορά του δυναμικού Coulomb σε δύο διαστάσεις δεν μπορεί να εξαλειφθεί με τον ίδιο τρόπο όπως η απόκλιση (86 διότι έχει φυσική αφετηρία :

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που

Διαβάστε περισσότερα

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0 Τρόποι Κατασκευής Εάν οι ιδιοσυναρτήσεις του διαφορικού τελεστή L αποτελούν ένα ορθοκανονικό L ( ) ( ) (7) και πλήρες σύστημα συναρτήσεων ( ) m( ), m (8) και εάν τότε η εξίσωση Gree ( ) ( ) ( ) (9) z ()

Διαβάστε περισσότερα

γ /ω=0.2 γ /ω=1 γ /ω= (ω /g) v. (ω 2 /g)(x-l 0 ) ωt. 2m.

γ /ω=0.2 γ /ω=1 γ /ω= (ω /g) v. (ω 2 /g)(x-l 0 ) ωt. 2m. Μηχανική Ι Εργασία #7 Χειμερινό εξάμηνο 015-016 Ν. Βλαχάκης 1. Σώμα μάζας m και φορτίου q κινείται σε κατακόρυφο άξονα x, δεμένο σε ελατήριο σταθεράς k = mω του οποίου το άλλο άκρο είναι σταθερό. Το σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις.

Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα), < Θεωρούµε κβαντικό πηγάδι µε δυναµικό της µορφής V( ) = VΘ( ), Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις V Ε Ι ΙΙ Σχήµα ΑΚΠα1

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΗΣΗΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις :

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις : Η Εξίσωση Helmholtz Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή εξίσωση Helmholtz σε χωρικές διαστάσεις : ( + k Ψ ( r f( r ( k (6 Η εξίσωση αυτή συνοδεύεται (συνήθως από συνοριακές συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Θεωρούμε ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές εκφρασμένο στις καρτεσιανές συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα ΘΕΜΑ 1: Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ Εξετάσεις 1ης Ιουλίου 13 Τµήµα Α. Λαχανά) Α ) Για την πρώτη διεγερµένη κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου µε τροχιακή στροφορµή l = 1 να προσδιορισθουν οι αποστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

[A I 3 ] [I 3 A 1 ].

[A I 3 ] [I 3 A 1 ]. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Βασικά θεωρήματα για τις γραμμικές Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7.

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7. stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 01. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΕΦ. 2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦ.

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι

ˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής

Διαβάστε περισσότερα

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann 3 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemnn 3. Μέθοδος αντικατάστασης ή αλλαγής µεταβλητής Πρόταση 3.. Εστω ότι η u = f (y) είναι συνεχής στο διάστηµα I, η y = g() έχει συνεχή παράγωγο στο διάστηµα Ι και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

ης Green µέσα από προβλήµατα µίας διάστασης είναι κάποιος δευτεροτάξιος διαφορικός τελεστής της γενικότερης µορφής

ης Green µέσα από προβλήµατα µίας διάστασης είναι κάποιος δευτεροτάξιος διαφορικός τελεστής της γενικότερης µορφής Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα 5 Κεφάλαιο 1ο Μη οµογενείς συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: Η µέθοδος της συνάρτησης Green για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις της γενικότερης

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006 ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 006 Θέµα ο. Για την διαφορική εξίσωση + ' =, > 0 α) Να δειχτεί ότι όλες οι λύσεις τέµνουν κάθετα την ευθεία =. β) Να βρεθεί η γενική λύση. γ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της κβαντομηχανικής. Εφαρμογές της κβαντομηχανικής

Εφαρμογές της κβαντομηχανικής. Εφαρμογές της κβαντομηχανικής Εφαρμογές της κβαντομηχανικής ΠΙΑΣ Ελεύθερο σωματίδιο σε μια διάσταση Σωματίδιο κινούμενο ελεύθερα στον άξονα σε σταθερό δυναμικό ανεξάρτητο του : V ˆ( () V ξίσωση Schrödinger: d d H ˆ H ˆ ˆ() () () d

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 23: Σκέδαση σε τετραγωνικά δυναμικά. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 23: Σκέδαση σε τετραγωνικά δυναμικά. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 23: Σκέδαση σε τετραγωνικά δυναμικά Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να μελετήσει την περίπτωση σκέδασης σε σκαλοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1

Κβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1 Χειμερινό εξάμηνο 16-17 Κβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων ) ψ(x) dx Άσκηση 1 ψ ο (x) = Α (α x ), < x < = A (α x ) dx = 1 (α x ) dx = (α 4 x + x 4 )dx = α 4 dx x dx = 5 45 3 A ( 5 45 + 5 3 5 + x 4 dx + 5

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω) Εξέταση: 17 Ιούνη 2013 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ΘΕΜΑ 1[ ]

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω) Εξέταση: 17 Ιούνη 2013 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ΘΕΜΑ 1[ ] ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω Εξέταση: 17 Ιούνη 13 ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής ΘΕΜΑ 1[1515] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιράφεται από την Χαµιλτονιανή, ε H 4ε 1 1 3i 1 1, µε 1, ιδιοσυναρτήσεις κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα