ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò
|
|
|
- Θεοφιλά Βλαχόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ÊåöÜëáéï 1 ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò 1.1 Äéáíýóìáôá Áò èõìçèïýìå ëïéðüí îáíü ôçí Ýííïéá ôïõ äéáíýóìáôïò. Áðü ôï Ëýêåéï ãíùñßæïõìå üôé ôï äéüíõóìá åßíáé ìéá ðïóüôçôá ðïõ Ý åé ìýôñï, äéåýèõíóç êáé öïñü. Åðßóçò, ãíùñßæïõìå üôé óå Ýíá êáñôåóéáíü óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí Ýíá äéüíõóìá áíáðáñßóôáôáé áðü ìéá ôñéüäá ðñáãìáôéêþí áñéèìùí. ÐñÜãìáôé, Ýóôù Ýíá äéüíõóìá v. Óå Ýíá êáñôåóéáíü óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí èá ãñüöåôáé v v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 ; 1.1 üðïõ ôá e 1 ; e 2 êáé e 3 åßíáé ôñßá ãñáììéêü áíåîüñôçôá, ìïíáäéáßá êáé ïñèïãþíéá ìåôáîý ôïõò äéáíýóìáôá, äçëáäþ áðïôåëïýí ìéá ïñèïêáíïíéêþ âüóç ôïõ ôñéóäéüóôáôïõ Åõêëåßäéïõ þñïõ. Ãéá ìéá äåäïìýíç âüóç äçëáäþ ãéá Ýíá äåäïìýíï óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí, õðüñ åé ìéá áêñéâþò ôñéüäá áñéèìþí åí ðñïêåéìýíù ôá v 1 ; v 2 êáé v 3 ïé ïðïßïé áíáðáñéóôïýí ôï äéüíõìá v. Ãé' áõôü óõ íü ðáñáëåßðïõìå ôá äéáíýóìáôá âüóçò êáé ãñüöïõìå ôï äéüíõóìá v: v v 1 ; v 2 ; v 3 : 1.2 Ïé áñéèìïß v 1 ; v 2 êáé v 3 ðñïêýðôïõí áðü ôçí ðñïâïëþ ôïõ äéáíýóìáôïò v óôïõò Üîïíåò 1 ; 2 êáé 3, áíôéóôïß ùò üðùò öáßíåôáé êáé áðü ôï Ó Þìá 1.1. Ç ðñïâïëþ üìùò ôïõ äéáíýóìáôïò v óôïí Üîïíá 1, üðùò ìüèáìå áðü ôï áíôßóôïé ï ìüèçìá ôùí Ìáèçìáôéêþí, äßíåôáé áðü ôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï: v 1 v e 1 ; 1.3
2 4 ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò Ó Þìá 1.1. Ôï óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí êáé ç âüóç {e 1 ; e 2 ; e 3 }. êáèþò åðßóçò êáé ïé ðñïâïëýò ôïõ v óôïõò äýï õðüëïéðïõò Üîïíåò äßíïíôáé áðü ôéò ó Ýóåéò v 2 v e 2 ; v 3 v e 3 : 1.4 ôóé ôåëéêü ôï äéüíõóìá v íá ãñüöåôáé áðü ôç ó Ýóç 1.1 v v e 1 e 1 + v e 2 e 2 + v e 3 e 3 ; 1.5 Áí ãíùñßæïõìå ôéò óõíéóôþóåò åíüò äéáíýóìáôïò, äçëáäþ åêåßíç ôçí ôñéüäá áñéèìþí óôçí ïðïßá áíáöåñèþêáìå ðáñáðüíù, ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå åýêïëá ôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï ìåôáîý äõï äéáíõóìüôùí. óôù, ãéá ðáñüäåéãìá, Ýíá äåýôåñï äéüíõóìá w w 1 ; w 2 ; w 3, ôüôå ôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï ìåôáîý ôùí v êáé w èá äßíåôáé áðü ôçí Ýêöñáóç v w v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 : 1.6 Åðßóçò, ìðïñïýìå åýêïëá íá õðïëïãßóïõìå ôï ìýôñï êáé ôç äéåýèõíóç åíüò äéáíýóìáôïò. Èá óõìâïëßæïõìå ìå v Þ áðëþò ìå v ôï ìýôñï ôïõ äéáíýóìáôïò v. ¼ôáí åßíáé ãíùóôýò ïé óõíéóôþóåò åíüò äéáíýóìáôïò, ôï ìýôñï ôïõ õðïëïãßæåôáé ùò åîþò: v v v1 2 + v2 2 + v3 2 : 1.7 Áí ðüñïõìå õðüøç ôç ó Ýóç 1.6, åßíáé åýêïëï íá áðïäåé èåß üôé éó ýåé ç ðáñáêüôù ó Ýóç v v v v Óçìåéþóåéò ÊëáóóéêÞò Ìç áíéêþò
3 1.2 ÄéáíõóìáôéêÝò óõíáñôþóåéò 5 Ç äéåýèõíóç åíüò äéáíýóìáôïò êáèïñßæåôáé áðü ôéò ãùíßåò ðïõ ó çìáôßæåé áõôü ôï äéüíõóìá ìå ôïõò ôñåéò Üîïíåò ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí. Ôá áíôßóôïé á óõíçìßôïíá ôùí ãùíéþí áõôþí áíáöýñïíôá ùò óõíçìßôïíá êáôåýèõíóçò: cosv; e 1 v e 1 v ; cosv; e 2 v e 2 v ; cosv; e 3 v e 3 : 1.8 v óêçóç: ñçóéìïðïéþíôáò ôéò ó Ýóåéò 1.8 íá áðïäåßîåôå üôé ãéá ôïí ÉR 2 éó ýåé tan v 2 v 1 ; üðïõ ç ãùíßá ðïõ ó çìáôßæåé ôï äéüíõóìá v ìå ôïí Üîïíá X 1. Ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï ÓçìáíôéêÞ ðáñáôþñçóç: ÐñÝðåé íá óçìåéþóïõìå üôé Ýíá äéüíõóìá åßíáé êüôé ðáñáðüíù áðü ôéò óõíéóôþóåò ôïõ. Ãéá íá ôï ðïýìå äéáöïñåôéêü: ïé óõíéóôþóåò åíüò äéáíýóìáôïò áíáðáñéóôïýí ðëþñùò ôï äéüíõóìá ìüíï üôáí äßíåôáé ç âüóç ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí. Áõôü óçìáßíåé üôé ç äéáôåôáãìýíç ôñéüäá áñéèìþí ðïõ áðïôåëïýí ôéò óõíéóôþóåò åíüò äéáíýóìáôïò áëëüæåé ìå ôçí áëëáãþ ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí. Áò ôï äïýìå ìå Ýíá ðáñüäåéãìá óôï åðßðåäï, äçëáäþ óôïí äéäéüóôáôï þñï ÉR 2. ÐáñÜäåéãìá óôù Ýíá óõóôçìá óõíôåôáãìýíùí ìå Üîïíåò X 1 ; X 2 êáé Ýíá äéüíõóìá v ôï ïðïßï ãñüöåôáé óå áõôü ôï óýóôçìá óõíôåôáãìåíùí ùò åîþò: v 2 e e 2 2; 2; üðïõ {e 1 ; e 2 } ç âüóç ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí. óôù ôþñá Ýíá äåýôåñï óýóôçìá ìå Üîïíåò X 1 ; X 2 ôï ïðïßï ó çìáôßæåé ãùíßá 45 ìïéñþí ìå ôï ðñþôï, üðùò öáßíåôáé óôï Ó Þìá 1.2. Ôüôå ôï ßäéï äéüíõóìá èá ãñüöåôáé óôï óõóôçìá óõíôåôáãìýíùí X 1 ; X 2: v 2; 2 e 1 + e 2 ; üðïõ e 1 êáé e 2 ôá äéáíýóìáôá âüóçò ôïõ äåýôåñïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí. ÐáñáôçñÞóôå üôé ôï ìýôñï ôïõ äéáíýóìáôïò ðáñáìýíåé áíáëëïßùôï áðü ôçí áëëáãþ ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí. 1.2 ÄéáíõóìáôéêÝò óõíáñôþóåéò ÌÝ ñé ôþñá áíôéìåôùðßæáìå ôá äéáíýóìáôá ùò óôáèåñýò ðïóüôçôåò. ¼ðùò üìùò Ýíá âáèìùôü ìýãåèïò ìðïñåß íü åßíáé åßôå ìéá óôáèåñü åßôå ìéá ìåôáâëçôþ, êáôü ôïí ßäéï ôñüðï ÔìÞìá Ìç áíéêþí ÅðéóôÞìçò Õëéêþí Âáóßëçò K. Êáëðáêßäçò
4 6 ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò Ó Þìá 1.2. Ôï äéüíõóìá v óå äõï äéáöïñåôéêü óõóôþìáôá óõíôåôáãìýíùí 1 2 êáé 1 2. Ýíá äéüíõóìá ìðïñåß íá åßíáé Ýíá óôáèåñü äéüíõóìá Þ ìéá äéáíõóìáôéêþ ìåôáâëçôþ. Áöïý Ý ïõìå äéáíõóìáôéêýò ìåôáâëçôýò, ìðïñïýìå íá "öôåéüîïõìå" äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò. Ãéá ðáñüäåéãìá óôç óõíüñôçóç fx f 1 x; f 2 x; f 3 x; 1.9 ç äéáíõóìáôéêþ ìåôáâëçôþ x x 1 ; x 2 ; x 3 áðïôåëåß ôçí áíåîüñôçôç ìåôáâëçôþ åíþ ç äéáíõóìáôéêþ ìåôáâëçôþ f f 1 ; f 2 ; f 3 áðïôåëåß ôçí åîáñôçìýíç ìåôáâëçôþ ôçò óõíüñôçóçò 1.9. Ðñüêåéôáé äçëáäþ ãéá ìéá äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç ìå äéáíõóìáôéêþ áíåîüñôçôç ìåôáâëçôþ. ÄçëáäÞ, åí ðñïêåéìýíù, ç óõíüñôçóç ìáò "äïõëåýåé" ùò åîþò: Þ ðéï áíáëõôéêü x fx; 1.1 x 1 ; x 2 ; x 3 f 1 x 1 ; x 2 ; x 3 ; f 2 x 1 ; x 2 ; x 3 ; f 3 x 1 ; x 2 ; x ÐáñáôçñÞóôå åðßóçò üôé ïé óõíéóôþóåò ôçò f åßíáé ôñåéò äéáöïñåôéêýò âáèìùôýò óõíáñôþóåéò ðïõ ç êáèåìéü Ý åé ôñåéò áíåîüñôçôåò ìåôáâëçôýò. Ìå ðéï áðëü ëüãéá ìéá äéáíõóìáôéþ óõíüñôçóç óå Ýíá óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí åßíáé ìéá ôñéüäá âáèìùôþí óõíáñôþóåùí. Áò ãßíïõìå ðéï óõãêåêñéìýíïé ìå Ýíá áðëü ðáñüäåéãìá. ÐáñÜäåéãìá óôù ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç ìå äéáíõóìáôéêþ áíåîüñôçôç ìåôáâëçôþ fx x x 3 ; x x x 2 3 ; cosx 2x 3 ; x 3 : 1.12 Óçìåéþóåéò ÊëáóóéêÞò Ìç áíéêþò
5 1.3 Ðáñáãþãéóç êáé ïëïêëþñùóç äéáíõóìáôéêþí óõíáñôþóåùí 7 Ðñïöáíþò, ç ðáñáðüíù äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç áðïôåëåßôáé áðü ôéò ôñåéò ðáñáêüôù âáèìùôýò óõíáñôþóåéò äéáíõóìáôéêþò ìåôáâëçôþò: f 1 x f 1 x 1 ; x 3 x x 3 ; f 2 x f 2 x 1 ; x 2 ; x 3 x x x 2 3 f 3 x f 3 x 2 ; x 3 cosx 2 x 3 : Óôï ìüèçìá áõôü ìáò åíäéáöýñïõí êõñßùò ïé äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìå áíýîáñôçôç âáèìùôþ ìåôáâëçôþ, äçëáäþ óõíáñôþóåéò ôçò ìïñöþò t ft; Þ f ft; 1.13 üðïõ t åßíáé ç áíåîüñôçôç âáèìùôþ ìåôáâëçôþ êáé ft ç áíôßóôïé ç åéêüíá ôçò. Ðéï áðëü ç ðáñáðüíù óõíüñôçóç ãñüöåôáé: ft f 1 t; f 2 t; f 3 t; 1.14 üðïõ f 1 t, f 2 t êáé f 3 t áðïôåëïýí ôéò óõíéóôþóåò óõíáñôþóåéò ôçò f. ÐáñÜäåéãìá äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò âáèìùôþò ìåôáâëçôþò. óôù ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç ft t 2 ; cos t; sin t: 1.15 Ðñïöáíþò ïé ôñåéò óõíéóôþóåò óõíáñôþóåéò åßíáé: f 1 t t 2 ; f 2 t cos t; f 3 t sin t: 1.3 Ðáñáãþãéóç êáé ïëïêëþñùóç äéáíõóìáôéêþí óõíáñôþóåùí Áöïý ìéëþóáìå ãéá óõíáñôþóåéò åßíáé åýëïãï íá áíáñùôþèïýìå ôß ãßíåôáé ìå ôçí ðáñüãùãï êáé ôçí ïëïêëþñùóç ôùí äéáíõóìüôéêþí óõíáñôþóåùí. Áò îåêéíþóïõìå áðü ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìå âáèìùôþ áíîüñôçôç ìåôáâëçôþ, äçëáäþ óõíáñôþóåéò ôçò ìïñöþò Åöüóïí Ý ïõìå ìßá ìüíï áíåîüñôçôç ìåôáâëçôþ, äçëáäþ ôçí t, áò äïýìå ðñþôá ôçí óõíþèç ðáñüãùãï ôçò f ùò ðñïò t: df df1 dt dt ; df 2 dt ; df 3 : 1.16 dt ÔìÞìá Ìç áíéêþí ÅðéóôÞìçò Õëéêþí Âáóßëçò K. Êáëðáêßäçò
6 8 ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò Ì' Üëëá ëüãéá, ãéá íá ðáñáãùãßóïõìå ìéá äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç äåí Ý ïõìå ðáñü íá ðáñáãùãßóïõìå ôéò óõíéóôþóåò óõíáñôþóåéò ìßá ðñïò ìßá. ÐáñÜäåéãìá Ç óõíþèçò ðáñüãùãïò ôçò óõíüñôçóçò 1.15 Ý åé ùò åîþò df dt 2t; sin t; cos t : Ãéá íá ïëïêëçñþóïõìå ôýôïéåò óõíáñôþóåéò äåí Ý ïõìå ðáñü íá ïëïêëçñþóïõìå ìßá ðñïò ìßá ôéò óõíéóôþóåò ôçò ftdt f 1 tdt; f 2 tdt; f 3 tdt : 1.17 ÐáñÜäåéãìá Ôï áüñéóôï ïëïêëþñùìá ôçò óõíüñôçóçò 1.15 õðïëïãßæåôáé áíôßóôïé á: ftdt t 2 dt; cos tdt; sin tdt t c 1; sin t + c 2 ; cos t + c 3 ; üðïõ c 1 ; c 2 êáé c 3 áõèáßñåôåò - áëëü äéáöïñåôéêýò ìåôáîý ôïõò åí ãýíåé - óôáèåñýò ðïõ ðñïêýðïôïõí ç êüèå ìéá áðü ôçí ïëïêëþñùóç ôçò áíôßóôïé çò óõíéóôþóáò. Áò ðåñüóïõìå ôþñá óôçí ðáñáãþãéóç ìéáò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå äéáíõóìáôéêþ áíåîüñôçôç ìåôáâëçôþ, äçëáäþ ìéá óõíüñôçóç ôçò ìïñöþò Åí ðñïêåéìýíù Ý ïõìå ôñåéò áíåîüñôçôåò ìåôáâëçôýò: ôéò x 1 ; x 2 êáé x 3, åðïìýíùò äåí Ý åé íüçìá ç óõíþèçò ðáñüãùãïò. Áíôßèåôá Ý åé íüçìá íá áíáæçôþóïõìå ôéò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ùò ðñïò ôéò áíåîüñôçôåò ìåôáâëçôýò. Ãéá ðáñüäåéãìá, ç ìåñéêþ ðáñüãùãïò ùò ðñïò ôçí ðñþôç áíåîüñôçôç ìåôáâëçôþ äßíåôáé áðü ôç 2 3 : 1 ÁíÜëïãá õðïëïãßæïõìå ôéò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ùò ðñïò ôéò Üëëåò äýï @x : 1.2 Óçìåéþóåéò ÊëáóóéêÞò Ìç áíéêþò
7 1.4 Êáìðýëåò êáé ôñï éýò 9 ÐáñÜäåéãìá Áò õðïëïãßóïõìå ôþñá ôéò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ôçò äéáíõóìáôéêþò x 2 ; 2x ; 2x 2 ; sinx 2 x 2 x sinx 2 x ; 2x 3 ; x 2 x 2 3 Ãéá ôçí ïëïêëþñùóç ìéá äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò ôçò ìïñöþò 1.9, èá ðåñéïñéóôïýìå óå ìéá áðëþ íýîç. ÅðåéäÞ Ý ïõìå ôñåéò áíåîüñôçôåò ìåôáâëçôýò, ïñßæåôáé ôï ôñéðëü ïëïêëþñùìá. Ãéá ðáñüäåéãìá áí èåùñþóïõìå Ýíá ùñßï Ù ôïõ ôñéóäéüóôáôïõ þñïõ ÉR 3, ôüôå ôï ïëïêëþñùìá ôçò fx ãñüöåôáé fxdv f 1 x 1 ; x 2 ; x 3 dv; f 2 x 1 ; x 2 ; x 3 dv; f 3 x 1 ; x 2 ; x 3 dv : 1.21 Ù Ù Ù Ù Óôçí ïõóßá, êáé ó' áõôþ ôçí ðåñßðôùóç, ïëïêëçñþíïõìå êáôü óõíéóôþóá. 1.4 Êáìðýëåò êáé ôñï éýò Óôï ìüèçìá áõôü èá ìáò áðáó ïëþóïõí ïé ôñï éýò õëéêþí óçìåßùí óôïí ôñéóäéüóôáôï þñï Þ óôï åðßðåäï. ÅðïìÝíùò åßíáé ñþóéìï íá êáôáíïïýìå ôç ìáèçìáôéêþ ðåñéãñáöþ ôùí êáìðõëþí óôïí IR 2 Þ óôïí IR 3. Ï ðéï áðëüò ôñüðïò íá ãñüøïõìå ìéá êáìðýëç óôï åðßðåäï åßíáé íá ñçóéìïðïéþóïõìå ôçí Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ìéáò ìåôáâëçôþò Þ üðùò èá ôçí áðïêáëïýìå ôþñá ãéá íá ôçí äéáêñßíïõìå áðü ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò, ôçò âáèìùôþò óõíüñôçóçò ìéáò áíåîüñôçôçò âáèìùôþò ìåôáâëçôþò. Ãíùñßæïõìå ðïëý êáëü üôé ôï ãñüöçìá ôçò áíáðáñéóôü ìéá êáìðýëç Ó ÐáñÜäåéãìá. Ç óõíüñôçóç x 2 fx 1 ðïõ äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç x 2 fx 1 4 x 2 1 ; 2 x áíáðáñéóôü ôï Üíù çìéêýêëéï åíüò êýêëïõ áêôßíáò 2 ìå êýíôñï óôçí áñ Þ ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí, üðùò öáßíåôáé êáé óôï Ó Þìá 1.4. Áí èåëþóïõìå íá áíáðáñáóôþóïõìå ïëüêëçñï ôïí êýêëï ôïõ Ó Þìáôïò 1.4, èá ñåéáótïýìå êáé ìéá äeýôåñç óõíüñôçóç ðïõ èá áðåéêïíßæåé ôï êüôù çìéêýêëéï x 2 gx 1 4 x 2 1 ; 2 x 1 2: 1.23 ÔìÞìá Ìç áíéêþí ÅðéóôÞìçò Õëéêþí Âáóßëçò K. Êáëðáêßäçò
8 1 ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò Ó Þìá 1.3. Ôï ãñüöçìá ôçò óõíáñôþóçò x 2 fx 1 åßíáé ìéá êáìðýëç. Ãßíåôáé Ýôóé öáíåñü üôé êüèå êáìðýëç äåí åßíáé ðüíôïôå äõíáôü íá áíáðáñßóôáôáé áðü ìéá ìüíï óõíüñôçóç. ñåéáæüìáóôå åðïìýíùò Ýíáí Üëëï ôñüðï ãéá ôçí ðëþñç ìáèçìáôéêþ áíáðáñüóôáóç ôùí êáìðõëþí. Áõôü ìðïñåß íá ãßíåé ìå äõï ôñüðïõò: á. Ìå ôç âïþèåéá ìéáò åîßóùóçò äýï ìåôáâëçôþí â. Ìå ôçí ðáñáìåôñéêþ áíáðáñüóôáóç ÁíáðáñÜóôáóç êáìðýëçò ìå åîßóùóç äýï ìåôáâëçôþí Óå áíôßèåóç ìå ìéá åîßóùóç ìéáò ìåôáâëçôþò, ïé åîéóþóåéò ìå äýï ìåôáâëçôýò ìðïñïýí íá Ý ïõí Üðåéñåò ëýóåéò. Áò èåùñþóïõìå ãéá ðáñüäåéãìá ìéá ãñáììéêþ åîßóùóç äýï ìåôáâëçôþí áx 1 + âx 2 + ã ; 1.24 üðïõ á; â êáé ã åßíáé äïóìýíåò ìþ-ìçäåíéêýò óôáèåñýò. Ãíùñßæïõìå üôé ïé ëýóåéò ôçò åîßóùóåéò áõôþò, äçëáäþ üëá ôá æåýãç ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ðïõ ìçäåíßæïõí ôçí åîßóùóç 1.24 åßíáé óçìåßá ôïõ åðéðýäïõ ðïõ âñßóêïíôáé ðüíù óå ìéá åõèåßá. Ãé' áõôü üôáí âëýðïõìå ìéá åîßóùóç áõôþò ôçò ìïñöþò ôçí áðïêáëïýìå åîßóùóç åõèåßáò. Ãåíéêüôåñá, áí ìéá åîßóùóç äýï ìåôáâëçôþí ôçò ìïñöþò F x 1 ; x åßíáé áñêåôü ïìáëþ, ôüôå áõôþ áíôéðñïóùðåýåé ìéá êáìðýëç óôï åðßðåäï 1 2. Ôï ðéï ãíùóôü ðáñüäåéãìá ìéá ôýôïéáò áíáðáñüóôáóçò åßíáé ï êýêëïò. Èåùñåßôáé ãíùóôü üôé ç åîßóùóç êýêëïõ Ý åé ôçí áêüëïõèç ãåíéêþ ìïñöþ: x 1 á 2 + x 2 â 2 ñ 2 ; 1.26 Óçìåéþóåéò ÊëáóóéêÞò Ìç áíéêþò
9 1.4 Êáìðýëåò êáé ôñï éýò 11 Ó Þìá 1.4. Ï êýêëïò áíôéóôïé åß óôá ãñáöþìáôá äýï äéáöïñåôéêþí óõíáñôþóåùí üðïõ á; â êáé ñ óôáèåñýò, åßíáé ï êýêëïò ìå áêôßíá ñ êáé êýíôñï óôï á; â. Ç áíáðáñüóôáóç ìéáò êáìðýëçò ìå ôç ìïñöþ ôçò 1.25 êáèéóôü ðïëý åýêïëï ôïí õðïëïãéóìü ôïõ ìïíáäéáßïõ êüèåôïõ ðñïò ôçí êáìðýëç äéáíýóìáôïò. ÐñÜãìáôé ãíùñßæïõìå üôé ôï 1 åßíáé Ýíá äéüíõóìá êüèåôï ðñïò ôç êáìðýëç, åðïìýíùò ôï ìïáíáäéáßï äéüíõóìá èá äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç n F F : 1.28 ÐáñÜäåéãìá Ïëüêëçñç ç êáìðýëç ôïõ Ó Þìáôïò 1.4 ðåñéãñüöåôáé áðü ôçí åîßóùóç F x 1 ; x 2 x x : 1.29 Aí åðéëýóïõìå ôçí ðáñáðüíù åîßóùóç ùò ðñïò x 2 èá êáôáëþîïõìå óôéò ëýóåéò: x 2 ± 4 x 2 1 ; 1.3 äçëáäþ ìßá ãéá êüèå çìéêýêëéï üðùò áêñéâþò êáé ïé óõíáñôþóåéò 1.22 êáé 1.23 ôçò ðñïçãïýìåíçò ðáñáãñüöïõ. Åðßóçò ôï ìïíáäßáéï êüèåôï ðñïò ôïí êýêëï äéüíõóìá èá åßíáé óýìöùíá ìå ôçí 1.28: n F F 1 4x x 2 2 2x 1 ; 2x 2 : ÔìÞìá Ìç áíéêþí ÅðéóôÞìçò Õëéêþí Âáóßëçò K. Êáëðáêßäçò
10 12 ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò ÐáñáôÞñçóç Óçìåéþíïõìå üôé ôá ðáñáðüíù éó ýïõí ìüíï ãéá åðßðåäåò êáìðýëåò, äçëáäþ ãáé êáìðýëåò ðïõ "æïõí" óôïí äéóäéüóôáôï þñï. Áí, êáôü áíüëïãï ôñüðï, èåëþóïõìå íá ðåñéãñüøïõìå ìéá êáìðýëç ôïõ ôñéóäéüóôáôïõ þñïõ, ôüôå ñåéáæüìáóôå äýï åîéóþóåéò ìå ôñåéò ìåôáâëçôýò ç êüèå ìéá. Ì' Üëëá ëüãéá ôï óýóôçìá ôùí äýï åîéóþóåùí ìå ôñåéò áãíþóôïõò F x 1 ; x 2 ; x 3 ; Gx 1 ; x 2 ; x 3 áíôéðñïóùðåýåé ìéá êáìðýëç ðïõ, åí ãýíåé, äå " ùñü" óôï åðßðåäï êáé ñåéüæåôáé Ýíáí åõñýôåñï þñï ãéá íá ôçí öéëïîåíþóåé, äçëáäþ ôïí IR ÐáñáìåôñéêÞ áíáðáñüóôáóç êáìðõëþí Ç ðáñáìåôñéêþ áíáðáñüóôáóç ìéáò åðéðåäçò êáìðýëçò ãßíåôáé ìå äõï ïìáëýò óõíáñôþóåéò ðïõ áìöüôåñåò åîáñôüíôáé áðü ìéá ìåôáâëçôþ ðïõ áðïôåëåß ôçí ðáñüìåôñï ôçò áíáðáñüóôáóçò. Ãåíéêþò, ç ðáñáìåôñéêþ ðåñéãñáöþ ìéáò êáìðýëçò Ý åé ôç ìïñöþ: x 1 f 1 ô; x 2 f 2 ô; ô [ô 1 ; ô 2 ] 1.31 Áí åðéèõìïýìå ôçí ðáñáìåôñéêþ ðåñéãñáöþ ìéáò êáìðýëçò óôïí ôñéóäéüóôáôï þñï, ôüôå èá ñåéáóôïýìå ìéá åðéðëýïí óõíüñôçóç x 1 f 1 ô; x 2 f 2 ô; ô [ô 1 ; ô 2 ] 1.32 x 2 f 2 ô: ÐáñÜäåéãìá Ï êýêëïò ôïõ ôåëåõôáßïõ ðáñáäåßãìáôïò Ý åé ôçí áêüëïõèç ðáñáìåôñéêþ ðåñéãñáöþ: x 1 ö 2 cos ö; x 2 ö 2 sin ö; ö [; 2; 1.33 üðïõ ö åßíáé ç ðáñüìåôñïò ôçò áíáðáñüóôáóçò. Ïé ðáñáìåôñéêýò åîéóþóåéò 1.33 êáé ç åîßóùóç 1.29 ðåñéãñüöïí ôï ßäéï ãåùìåôñéêü áíôéêåßìåíï: ôüí êýêëï áêôßíáò 2, ìå êýíôñï ôçí áñ Þ ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí. ÅðïìÝíùò ó åôßæïíôáé ìåôáîý ôïõò êáé ìå êüðïéïí ôñüðï èá õðüñ åé ìåôüâáóç áðü ôçí ìéá ìïñöþ óôçí Üëëç. ÐñÜãìáôé, áí õøþóïõìå ôéò 1.33 óôï ôåôñüãùíï êáé ðñïóèýóïõìå êáôü ìýëç, ðáßñíïõìå x x cos 2 ö + 4 sin 2 ö 4 cos 2 ö + sin 2 ö x x 2 2 4; Óçìåéþóåéò ÊëáóóéêÞò Ìç áíéêþò
11 1.5 Ôï åðéêáìðýëéï ïëïêëþñùìá 13 äçëáäþ êáôáëþãïõìå óôçí åîßùóç ÐáñáôÞñçóç Áîßæåé íá ðáñáôçñþóåôå üôé ïé ðáñáìåôñéêýò åîéóþóåéò x 1 ø 2 cos4ø; x 2 ø 2 sin4ø; ø [; 2; 1.34 ìå ðáñüìåôñï áõôþ ôç öïñü ôï ø, áíáðáñéóôïýí ôïí ßäéï áêñéâþò êýêëï. ÊáôÜ óõíýðåéá ç ðáñáìåôñéêþ ðåñéãñáöþ 1.33 äåí åßíáé ìïíáäéêþ êáé åßíáé äõíáôüí ìå áëëáãþ ôçò ðáñáìýôñïõ íá åðéôõã Üíïõìå Üëëåò áíáðáñüóôüóåéò ôïõ ßäéïõ êýêëïõ. 1.5 Ôï åðéêáìðýëéï ïëïêëþñùìá Óôçí ÐáñÜãñáöï 1.3 ðáñïõóéüóáìå ïëïêëçñþìáôá âáèìùôþí Þ äéáíõóìáôéêþí óõíáñôþóåùí ðïõ ôá óýíïëá Ù åðé ôùí ïðïßùí ïëïêëçñþíïõìå åßíáé ùñßá ôïõ IR, ôïõ IR 2 Þ ôïõ IR 3. Ó' áõôþ ôçí ðáñüãñáöï èá õðåíèõìßóïõìå ðùò ïëïêëçñþíïõìå ìéá âáèìùôþ Þ äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç åðß ìéáò êáìðýëçò, èá åîåôüóïõìå äçëáäþ ôï ëåãüìåíï åðéêáìðýëéï ïëïêþñùìá. óôù ìéá êáìðýëç C ìå ðáñáìåôñéêýò åîéóþóåéò Þ éóïäýíáìá x 1 x 1 ô; x 2 x 2 ô; ô [ô 1 ; ô 2 ] 1.35 x 3 x 3 ô rô x 1 ô; x 2 ô; x 3 ô ; ô [ô 1 ; ô 2 ]: 1.36 Ôï äéáöïñéêü ôçò r åßíáé åðßóçò ìéá äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç ðïõ äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç drô dx 1 ô; dx 2 ô; dx 3 ô x 1ôdô; x 2ôdô; x 3ôdô : 1.37 Áðü ãåùìåôñéêþ Üðïøç ìðïñïýìå íá âëýðïõìå ôï äéüíõóìá dr ùò ìéá "ìéêñþ" ìåôáôüðéóç åðß ôçò êáìðýëçò C ðïõ áíôéóôïé åß óå ìéá ìåôáâïëþ ôçò ðáñáìýôñïõ êáôü dô. óôù ôþñá ìéá äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç f ðïõ åßíáé êáëü ïñéóìýíç åðé ôçò êáìðýëçò C, äçëáäþ Ý åé íüçìá íá ãñüöïõìå f fr frô; ô [ô 1 ; ô 2 ]: 1.38 Ôüôå ôï åðéêáìðýëéï ïëïêëþñùìá ôçò f åðß ôçò C ãñüöåôáé f dr: 1.39 C ÔìÞìá Ìç áíéêþí ÅðéóôÞìçò Õëéêþí Âáóßëçò K. Êáëðáêßäçò
12 14 ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò Ç ôåëåßá ìåôáîý ôçò f êáé ôïõ dr óôçí 1.39 åßíáé ôï óýìâïëï ôïõ åóùôåñéêïý ãéíïìýíïõ, åðïìýíùò ç ôåëåõôáßá ãñüöåôáé f dr f 1 dx 1 + f 2 dx 2 + f 3 dx 3 : 1.4 C C Ìðïñïýìå íá ñçóéìïðïéþóïõìå ôçí 1.37 ãéá íá ìåôáôñýøïõìå ôï ðáñáðüíù åðéêáìðýëéï ïëïêëþñùìá óå Ýíá ïñéóìýíï ïëïêëþñùìá ðïõ îýñïõìå íá ôï õðïëïãßæïõìå. ÐñÜãìáôé ô2 f dr f 1 dx 1 + f 2 dx 2 + f 3 dx 3 f 1 x 1 + f 2 x 2 + f 3 x 3 dô: 1.41 ô 1 C C Ïé f 1 ; f 2 êáé f 3 ðïõ åìöáíßæïíôáé óôçí õðü ïëïêëþñùóç ðïóüôçôá ôçò 1.41 ìðïñïýí íá ãñáöïýí óõíáñôþóåé ôïõ ô üðùò öáßíåôáé åýêïëá áðü ôçí ÄçëáäÞ ïëüêëçñç ç ðïóüôçôá ðïõ âñßóêåôáé óôçí ðáñýíèåóç ôçò 1.41 ìðïñåß íá ãñáöåß ùò óõíüñôçóç ôïõ ô êáé, óõíåðþò, ôï ïñéóìýíï ïëêëþñùìá ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß. ÐáñÜäåéãìá óôù ç åðßðåäç êáìðýëç C ç ïðïßá Ý åé ðáñáìåôñéêýò åîéóþóåéò Þ éóïäýíáìá x 1 2 cos 2ô; x 2 4 sin 2ô; ô [; ] 1.42 rô x 1 ô; x 2 ô 2 cos 2ô; 4 sin 2ô ; ô [; ]; 1.43 Åðßóçò äßíåôáé ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç: fx f 1 x 1 ; x 2 ; f 2 x 1 ; x 2 x x 1 x 2 ; x x Åóôù ôá óçìåßá ; P 2 êáé P 3 ôçò êáìðýëçò C ðïõ áíôéótïé ïýí óôéò ôéìýò ôçò ðáñáìýôñïõ ; 2 êáé, äçëáäþ óôá äéáíýóìáôá r, r2 êáé r, áíôéóôïß ùò. Íá õðïëïãéóôïýí ôá åðéêáìðýëéá ïëïêëþñùìáôá P2 fr dr 1.45 êáé P3 fr dr 1.46 Ôï äéáöïñéêü ôçò r ãñüöåôáé dr dx 1 ; dx 2 x 1ôdô; x 2ôdô 4 sin2ôdô; 8 cos2ôdô : 1.47 Åðßóçò ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç 1.43 ìðïñåß íá ãñáöåß fr f 1 ; f 2 x x 1 x 2 ; x x 2 2 cos 2ô cos 2ô4 sin 2ô; 2 cos 2ô sin 2ô : 1.48 Óçìåéþóåéò ÊëáóóéêÞò Ìç áíéêþò
13 1.5 Ôï åðéêáìðýëéï ïëïêëþñùìá 15 ôóé ôï åðéêáìðýëéï ïëïêëþñùìá 1.46 ãñüöåôáé P3 fr dr P3 f 1 dx 1 + f 2 dx 2 P3 x x 1 x 2 dx 1 + x x 2 dx 2 ; 1.49 ç ïðïßá ìå ôç âïþèåéá ôùí 1.46 êáé 1.47 ãñüöåôáé: P3 fr dr 8 cos 3 2ô + 2 cos2ô4 sin2ô 4 sin2ôdô + 4 cos 2 2ô + 4 sin2ô 8 cos2ôdô 32 cos 3 2ô sin2ô dô + 32 cos2ô sin 2 2ô dô cos 3 2ô dô + 32 sin2ô cos2ô dô cos 3 2ô sin2ô + cos2ô sin 2 2ô d2ô cos 3 2ô + sin2ô cos2ô d2ô: Áí êüíïõìå ôçí áëëáãþ s 2ô óôçí ìåôáâëçôþ ïëïêëþñùóçò, ç ôåëåõôáßá ó Ýóç ãßíåôáé P3 fr dr 16 [ 2 2 ] cos 3 s sin s cos s sin 2 s ds + cos 3 s + sin s cos s ds Ï áíáãíþóôçò ìðïñåß åýêïëá íá äéáðéóôþóåé üôé ôá ôåëåõôáßá ïëïêëçñþìáôá åßíáé ìçäýí, åðïìýíùò êáôáëþãïõìå óôï óõìðýñáóìá üôé : P3 fr dr : Áíôßóôïé á õðïëïãßæåôáé ôï åðéêáìðýëéï ïëïêëþñùìá 1.45: [ ] fr dr 16 cos 3 s sin s cos s sin 2 s ds + cos 3 s + sin s cos s ds P2 : ÔìÞìá Ìç áíéêþí ÅðéóôÞìçò Õëéêþí Âáóßëçò K. Êáëðáêßäçò
14
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
ÊåöÜëáéï 2. Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò. 2.1 Ôé åßíáé ôï äéüíõóìá;
ÊåöÜëáéï 2 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò ¼ðùò èá äéáðéóôþóïõìå óôá åðüìåíá êåöüëáéá, ç Ýííïéá ôïõ ôáíõóôþ åßíáé áðáñáßôçôç ãéá íá ðåñéãñüøïõìå ìåñéêýò, íýåò ãéá ìáò, Ýííïéåò ôçò Ìç áíéêþò ôïõ Óõíå ïýò, ïðùò ãéá
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Μηχανική του Συνεχούς Μέσου
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Τανυστικός Λογισμός Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
30 ÊåöÜëáéï 2 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 2.1 ÅéóáãùãÞ ¼ðùò êáé óôïí IR 2, Ýôóé êáé óôïí IR 3 ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ìéá êáìðýëç ðáñáìåôñéêü. ÄçëáäÞ, íá Ý åé ôç ìïñöþ x = x(t), y = y(t), z = z(t), üðïõ t åßíáé
[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
![[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.](/thumbs/61/46104077.jpg "[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.")
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Ç áñ Þ äéáôþñçóçò ôçò åíýñãåéáò
ÊåöÜëáéï 4 Ç áñ Þ äéáôþñçóçò ôçò åíýñãåéáò 4.1 Ôï Ýñãï óôù ìéá óôáèåñþ äýíáìç F äñü åðß åíüò óùìüôéïõ ðïõ êéíåßôáé åõèýãñáììá üðùò öáßíåôáé óôï Ó Þìá 4.1. Ôï Ýñãï ðïõ ðáñüãåé (Þ êáôáíáëþíåé) ç äýíáìç êáôü
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Μηχανική του Συνεχούς Μέσου
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Κινηματική Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß
ÌÜèçìá 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ôá êõñéüôåñá óôïé åßá ôùí äéáíõóìüôùí, ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá ãéá ôçí êáôáíüçóç ôùí åðüìåíùí ìáèçìüôùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
Estimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT
ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò
ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,
ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò
ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
ÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ
Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».
Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò
Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ.
ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ. ÄçìÞôñçò Ðáíáãüðïõëïò ÂáóéêÝò éäéüôçôåò - óõíáñôþóåéò - ôïðïëïãßá. ÅéóáãùãÞ óôïõò ìéãáäéêïýò óêçóç.. Íá ãñáöïýí óôç ìïñöþ a + bi ìå a; b R ïé áñéèìïß: (3 + 3i) + (4
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Μηχανική του Συνεχούς Μέσου
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Νόμοι Ισοζυγίου Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç
0. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ 0. Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ÊáôÜ ôç ìåëýôç åíüò öáéíïìýíïõ óôï åñãáóôþñéï êáôáãñüöïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôùí ðáñáôçñþóåùí êáé ôùí ìåôñþóåþí ìáò óå ðßíáêåò. Ïé ðßíáêåò
ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Âáóéêïß Ïñéóìïß êáé Ïñïëïãßá
ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí
165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò
ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò
ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá
ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï
Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
Chi-Square Goodness-of-Fit Test*
Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Ïé Íüìïé êßíçóçò ôïõ Newton
ÊåöÜëáéï 3 Ïé Íüìïé êßíçóçò ôïõ Newton Óå áõôü ôï êåöüëáéï èá åîåôüóïõìå ôéò ó Ýóåéò ìåôáîý ôùí äõíüìåùí êáé ôïõ áðïôåëýóìáôoò ðïõ áõôýò ðñïêáëïýí, äçëáäþ ôçí êßíçóç. Ïé ó Ýóåéò áõôýò ðïõ áðïôåëïýí èåìåëéþäåéò
Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí
ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Union of Pure and Applied Chemistry).
.5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé
ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ
Åðéìïñöùôéêü Ðñüãñáììá Ãéá ôïõò Åêðáéäåõôéêïýò-Ìáèçìáôéêïýò óôï Ìáèçìáôéêü ôìþìá ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí êáôü ôçí ðåñßïäï Äåêåìâñßïõ 2000-Éïõíßïõ 200 ìå Õðåýèõíï ôïí êáèçãçôþ Ð. ÓôñÜíôæáëï ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ
ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 121- ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 27 Μαΐου 2002 (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
Μηχανική του Συνεχούς Μέσου
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Εξισώσεις Πεδίου Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
ÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αναδρομικές Συναρτήσεις Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
ÐïëëÝò åôáéñßåò ðñïóöýñïõí õðçñåóßåò
Ferral Ferral Της Πηνελόπης Λεονταρά Σήμανση CE: Πως γίνεται ο έλεγχος της παραγωγικής Ï êáèïñéóìüò ôïõ åëýã ïõ ðáñáãùãþò óå Ýíá êáôáóêåõáóôéêü óýìöùíá ìå ôéò ôå íéêýò ðñïäéáãñáöýò ãéá ôá êïõöþìáôá, óôçí
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:
ÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ç äýíáìç áëëçëåðßäñáóçò äýï çëåêôñéêþí öïñôßùí ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìå âüóç ôïí íüìï ôïõ Coulomb. Óôï ðáñüäåéãìá ìáò âñßóêåôáé ç óõíéóôáìýíç äýíáìç ðïõ åíåñãåß óôï öïñôßï q áðü äýï Üëëá öïñôßá
1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009
ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 Ïíïìáôåðþíõìï : Á.Ì : ÈÝìá 1: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 2: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 3: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 4: Âáèìüò [ ] èñïéóìá
Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!
ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò
ËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç
8 ËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç Ðåñéå üìåíá Êåöáëáßïõ 8.1 ÅéóáãùãÞ......................... 162 8.2 ÂáóéêÝò ííïéåò ÃñáììéêÞò ëãåâñáò........ 163 8.2.1 Ðßíáêåò êáé Äéáíýóìáôá................ 163 8.2.2
Μηχανική του Συνεχούς Μέσου
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Εισαγωγή Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
6 s(s 1)(s 3) = A s + B. 3. Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Çëåêôñïëïãßáò ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 22/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. (i Õðïëïãßóôå ôçí óåéñü Fourier S f (x ôçò óõíáñôþóåùò (18 ìïí. { ; < x f(x
ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ -
ΜΑΘΗΜΑ 1 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ- ΟΡΥΚΤΩΝ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΡΕΠΤΟΣ ΖΥΓΟΣ- ΕΚΚΡΕΜΕΣ
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;
ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ. Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ
138 Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ 10 ÌÏÍÔÅËÏ ÁÐÏÔÉÌÇÓÇÓ ÔÙÍ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ 11 ÔÏÌÅÉÓ ÅÖÁÑÌÏÃÇÓ ÔÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ 139
ÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç
Ενότητα 6 Μάθημα 45 Πρώτος-τελευταίος 1. Íá êáôáíïþóïõí ôéò Ýííïéåò ðñþôïò êáé ôåëåõôáßïò. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôï ñüíï êáé ôç äéáäï Þ ãåãïíüôùí. 1. Íá áêïýóïõí ôï ðáñáìýèé
Μηχανική του Συνεχούς Μέσου
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Καταστατικές Σχέσεις Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).
Ramsey's Theory or something like that.
Ramsey's Theory or something like that. ÌÜñèá, ÄçìÞôñçò, ÓôÝöáíïò 30 Íïåìâñßïõ 2005 Complete disorder is impossible T.S.Motzikin 1 ÅéóáãùãÞ. To 1930 o Ramsey[10] äçìïóßåõóå Ýíá Üñèñï ðüíù óå Ýíá ðñüâëçìá